О коэффициентах Фурье по системе Хаара тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА I. О КОЭШП.ШЕНГАХ-ФУРЬЕ ПО СИСТЕМЕ ХААРА ФШШШ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

§ 1.1. Основные обозначения, определешш н вспомогательные утверждения . то

§ I.?. О коэффициентах Фурье функций одной переменной по системе Хаара

§ 1.3. Коэффициенты Фурье по системе Хаара от абсолютно непрерывных функтшй.

ГЛАВА II. О КОЭФФИЦИЕНТАХ ФУРЬЕ ПО СИСТЕМА ХААРА ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ

§ 2.1. Некоторые обозначения, определения л вспомогательные утвервдешш.

§ 2.2. О коэффициентах Фурье по системе Хаара функттий многих переменных

Теория ортогональных рядов является одниг.1 из классических разделов современного анализа. В эгго:л направлении в настоящее время получены Фундаментальные результаты, которые изложены в разных хорошо известных монографиях, учебниках. ,0ни находят приложение в самых различных вопросах математики, механики л физики.

Ортонормированная на отрезке 10д! полная в пространстве Ь(ЗЮ,1~\) система функции оила построена А. Ха-аром [32] в 1309 г. Непосредственным поводом ,цля этого послужило хорошо известное свойство тригонометрической системы, состоящее в том, что существуют ряды Фурье от непрерывных функций, расходящиеся в отдельных точках. Этот факт был замечен Дю Буа-Реймоном [30]. (Позже А.Н.Колмогоров [341, [35"] показал, что существует 25Т-периодпческая функция 7С ЦС0,2^3) ряд дурье которой по тригонометрической системе всю,ну расходится; .

Желание выяснить, является ли это свойство общим для всех орт©нормированных полных систем, привело Хаара к построению системы Х^с*^ 9 которая обладает тем свойством, что ряд Фурье по этой системе от любой непрерывной функции сходится к ней равномерно. Эта система обладает и рядом других замечательных сеойств. Хотя функции атой системы являются ступенчатыми и её нельзя рассматривать как настоящий базис в пространстве С([0,1Л) непрерывных функций, однако первый базис е С([0Л1) был построен именно с помощью этой системы. Это было сделано Фабером [331 в 1910 г. (Хотя определения базиса тогда не было), который показал, что любая непрерывная на отрезке СОДЗ функция единственным образом представляется равномерно сходящимся рядом по системе-1, .

Отметим, что через функции Хаара довольно просто выражаются Функции ортонормированшх систем Радемахера и Уолша, которые были построены несколько позке.

Интерес к системе Хаара значительно возрос в последнее • время в связи с тем, что она оказалась полезной в решении ва.дных вопросов- общей теории ортогональных рядов и нашла приложение в вычислительной математике, теории вероятностей, теории интегрирования и других областях. Инициатором более подробного и глубокого изучения свойств рядов по системе Хаара следует считать П.Л.Ульянова, которому принадлежат многие важные результаты в этой области, а так:?;е постановки многих задач.

В работах ряда авторов были изучены разные свойства простых рядов Фурье по системе Хаара. Что касается кратных рядов Фурье по системе Хаара, то в этом направлении известно сравнительно мало.

Вопросы сходимости рядов Фурье от того или иного класса функций связаны с поведением коэффициентов Фурье этих шункций.

Известно, что для тригонометрической системы скорость убывания коэффициентов Фурье возрастает с увеличением гладкости функций. Не так обстоит дело для системы Хаара ^см. [II], стр. 145), состоящей из разрывных Функций. Для этой системы гладкость функции накладывает ограничения на коэффи-тщенти Фурье не только снизу, но и сверху. Файн для системы Уолша доказал, что абсолютно непрерывная функция з 9 имеющая коэффициенты Фурье может быть только тожественно постоянной, (см. [313 сто. 384). Опираясь на теорему Фаина, Б.И.Голубов доказал соответсвующее утверждение для системы Хаара при условии О-що('01^) и перенёс его так->г.е и на непрерывные функщш (см. [б] стр. 1285, 1295).

С.В.Еочкарёв [3] изучил указанное явление для системы Хаара и вместе с имеющимися в работах [б] , [20] оценками сверху получил результаты, которые дают достаточное полное описание поведения коэффициентов Фурье по системе Хаара для различных классов функций.

В этом направлении-вместе с другими ма^магпками продол-:*ал работу и В.Ш.Цагарейшвили (см, [23], 1.24] и [25] 1, который для коэффициентов Фурье по системе Хаара доказал, что а) Если функция оГсп-аГСФои'^), то шхх при я,е1о,1У б) Существует такая непрерывная на отрезке 10/П функция, что мо^^сп-- агсп |=а (2"ь). но -6 при эсвЦИ , где 0- и Ъ некоторые действительные постоянные.

Диссертационная работа посвящена дальнейшему изучению коэффициентов Фурье по системе Хаара от того или иного класса функции.

Работа состоит из двух глав. В первых параграфах каждой из глав приведены обозначения, определения и известные утверждения, которые используются в последующих параграфах.

В § 1.2 первой главы получены результаты, которые в некотором смысле обобщают теоремы П.Л.Ульянова [20] <, В частности, установлена

Теорема 1.1. Если измеримая по Лебегу функция 5 такова, что при всех х£ СОДЗ , т.* О

Теорема 1.2. Если функция ?£С([0,4Л) » то ДДЛ451' (м. и)

Теорема 1.3. Если функция , то г»-и п. су\-> 1 и, »о) г

И-К}

Теореыа 1.4. Если функция

ГО ъ \ I

1М-1 ъ

В первой не главе в § I. 3 -Доказаны теоремы, которые в некотором смысле связаны с георемами С.В.Бочкарёва [з] . Приведём характерные из них. ,

Теорема 1.5. Если для функции 1 производная]£ ЙЦ^ОДЗ) и иль ^ пи\х {¿Ы-ъ ь

К--1 о где си,а,,., ач действительные постоянные и £ [ОД].

Теорема 1.8. Пусть для функщш ^ производная) ¿КЕДП^ и

-г

AlYL

Ь->оО К- 1

ДгО) тогда, где С1оуа(|ай)-,а^ действительные постоянные и 5сС[ОД]

В § 2.2 второй главы обобщены для функций многих переменных результаты, полученные в § 1.2 первой главы. В частности установлена

Ъ + Ъъ о.

Теорема 2.1. Если измеримая по Лебегу функция какова, что ЦЪОЦИ при всех х£ 1.0, П^ , 20

Да-гг<ьД

2" Ч^Ч^Ч I

Соч^ч/"'^*!-)

Теорема 2.2. Если функция а то

VI,чн,-,^«) / и-м п. - Д. ^ % X X иО V 3 ) лм-ч )

П1Д + ^Л Л Ы

Теорема 2.3. Если функция го ли' гГм \-ttl I 1

1=1 еч-^Д'-'Л,''!, со,.1

Т'1

Теорема 2Л. Если функция , Кр<со .1 Л

VI) >

Результаты диссертационной работы опубликовании (см.

14] , ¡15] и [16*] ) и докладывались на научное оешшаре по теории функций и функционального анализа Тбилисского государственного университета , руководимом членогл-коррес-поццентом АН Республики Грузия, профессором Л.В.&^шашвшш

В заключении автор выражает глубокую благодарность научному руководителю, кандидату физико-математических наук, доценту В.Ш.Цагарейшвили за постановку задач и постоянное внимание при работе над диссертацией«

1 о

1. Бари ILK. Тригонометрические ряды. М.: Фпзматгиз, Т 031 .

2. Бочкарёв С.Б. О коэффициентах Фурье по системе Хаара . — Матем. сб., 80, J5I, 1969, 97-116.

3. Гаймназаров Г. Об абсолютной сходимости двойных рядов Фурье-Хаара .-Докл. АН Та да. ССР, 14, ¿¿2, 1971, 3-6.

4. Голубов Б.И. О рядах Фурье непрерывных функций по системе Хаара.Изв. АН СССР. Сер. мат. 28, №8, 1964, I27I-I2SG

5. Голубов Б.И. Ряды по системе Хаара. 3 сб. "Мат. анада; з',' 1970 (Итоги науки и техники, ВИНИТИ АН СССР), M.: I97X

6. Дзядык В.К. Введение в теорию равномерного приблпазшгл функций полиномами. М.: Наука,

7. Жижиашвили Л.В. Некоторые вопросы многомерного гармонического анализа. Тбилиси.: ТГУ, 1983.

8. Зигмунд А. Тригонометрические ряды. т.1 -1.1. : Шр, 19S5.

9. Кашин Б.С., Саакян А.А. Ортогональные ряди. М.: Наука, 1984.

10. КачмаяС., Штейнгауз Г. Теория ортогональных рядов. Г-Л. : Физматгиз, 1958.

11. Колмогоров А.Н., Фомин C.B. Элементы теории функции п Функционального анализа. М.: Наука, 1989.

12. Натансон И.П. Теория функций вещественной переменно;!. — М.: Гостехиздат, 1957.

13. Робакидзе Ы.Г. Коэффициенты Фурье по системе Хаара от абсолютно непрерывных функции. --Сообщ. АН Груз. ССР, 133,1589, 245-247.

14. Робакидзе М.Г. Коэффициенты Фурье по системе Хаара от абсолютно непрерывных функций. Сообщ. АН Грузии, 141, 1991, 257-259.

15. Робакидзе М.Г. О коэффициентах Фурье-Хаара (Ьушший многих переменных. Сообщ. АН Грузии, 143, \12, 1991, 125-Т28.

16. Соболь И.М. Некоторые квадратурьше формулы и шункшш Хаара. 1.1.: Наука. 1939.

17. Тиман А.Ф. Теория приближения функции действительного переменного. ГЛ.: Физматгиз, Т96П.Т9. Ткебучава Г.Е. О кратных рядах Фурье по системе Хаара. -В кн.: Некоторые вопросы теорий функций. тЛ - Тбилиси.: 1979.

18. Ульянов П.Лв 0 рядах по системе Хаара. ГЛатегл. сб., 63, Ш, 1964, 356-391.

19. Ульянов П.Л. Ряды по системе Хаара. Изв. АН СССР, сер. матем., 28, 1984, 925-950.

20. Ульянов П.Л. Об абсолютной и равномерной' сходимости рядов Фурье. Матем.сб., 72, 1*2, 1937, 193-225.

21. Нагарейшвили В.Ш. О рядах по системе Хаара. Сообщ. АН Груз. ССР, 60, №1, 1970, 37-39.

22. Цагарейтвили В ЛИ. О коэффициентах Фурье-Хаара. Сообщ. АН Груз. ССР, 63, йТ, Т971, 37-39.

23. Цагарейшвили В. HU 0 коэффициентах Фурье-Хаара. -Сообщ, АН Груз. ССР, 81, т., Т976, 29-31.

24. Челидзе В.Г. Некоторые методы сумирования двойшх рядов и двойных интегралов. Тбилиси.: ТГУ, 1977.

25. Яяушаускас А.И. Двойные ряды,, Новосибирск»: Наука, 19

26. Янушауокас А.И, Кратные тригонометрические ряды. Новосибирск.: Наука, T9S6.

27. Fine >¿,1. On tfce .ialfüi funetions* Tranя. дает, &'&th. Soc. , C5, 1949, 372-414.32. ii&ür A» Zur Theorie der orthogonalen Punktioneanyfteme. r i.lath. Ann., 6е), 19Ю, 331-37I.

28. Paber G, Über die Orthogonalfunktionen des Herrn Haar. Jahre aber* Deutsch, ¡«ath. Verein., 19, I9IO, 104-1X2.

29. Kolmogoroff л.К. U'ne ne^ie de Pou^ier-lebefique divergente presque partout. -Pund. Aath., 4, 1923» 324-32-1.