О коэффициентах Фурье-Хаара тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

0. Введение

1. Оценки коэффициентов Фурье-Хаара для функций одной переменной с ограниченной вариацией на отрезке [0,1]

§1.1. Основные определения

§1.2. Свойства многочленов Хаара и их коэффициентов

Фурье-Хаара.

§1.3. Точные оценки коэффициентов Фурье-Хаара и сумм, составленных из них, для функций с ограниченной вариацией

2. Точные константы в оценках рядов, составленных из степеней модулей коэффициентов Фурье-Хаара для функций одной переменной с ограниченной вариацией

§2.1. Формулы для вычисления константы су при 7 >

§2.2. Точное значение су при 7 >

§2.3. Нахождение точного значения су при 1 < 7 < 1,

§2.4. Оценки для константы с7 при |<7<1и1,5<7<

3. О коэффициентах Фурье-Хаара функций нескольких переменных с ограниченной вариацией Витали

§3.1. Основные определения и вспомогательные утверждения

§3.2. Точные константы в оценках сумм модулей коэффициентов Фурье-Хаара для функций с ограниченной вариацией Витали.

§3.3. Другой способ получения точных констант в оценках для коэффициентов Фурье-Хаара функций двух переменных с ограниченной вариацией Витали.

В последнее время интерес к системе Хаара значительно возрос. Она находит применение в различных разделах математики и ее приложениях (вычислительная математика, теория кодирования, теория вероятностей, цифровая обработка сигналов, распознавание образов и другие).

Впервые ортонормированная на отрезке [0,1] система функций была построена Хааром в его диссертации [1] в 1909 году (см. также [2] — [4]). Хаар установил, что для любой непрерывной функции ряд Фурье по этой системе к ней сходится равномерно. Он также показал, что ряд Фурье по системе {Xn(0)nLi от любой интегрируемой функции сходится к ней почти всюду. Это была первая известная система, обладающая такими свойствами.

Позднее в 1928 году Шаудер в [5] доказал, что система Хаара является базисом в пространстве 1/(0,1) при всех р > 1, а Марцинкевич в 1937 году (см. [17]) установил, что она будет безусловным базисом в пространстве 1/{0,1) прир > 1. Другое, более краткое, доказательство теоремы Марцинкевича дал В. Ф. Гапошкин в 1974 году в работе [18].

Систематическое изучение системы Хаара в СССР было начато П. JI. Ульяновым. Приведем некоторые доказанные им теоремы.

В 1961 году получен первый результат о безусловной сходимости почти всюду рядов Фурье: в работе [8] П. JI. Ульянов доказал, что система Хаара не является системой безусловной сходимости. В работах [9] и [10] (1961 г. и 1963 г. соответственно) установлено, что для того, чтобы возрастающая последовательность си(п) являлась множителем Вейля для безусловной сходимости почти всюду рядов по системе Хаара, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие оо < со. В [10] также получены необходимые и достаточные п=1 условия безусловной сходимости почти всюду для рядов Фурье-Хаара с монотонными коэффициентами. оо

В работе [13] (1964 г.) доказано, что ряд ^ amXm(t) с монотонныт—1 ми коэффициентами сходится почти всюду на множестве положительной меры тогда и только тогда, когда {ат} С h, и при этом он будет рядом Фурье некоторой функции / 6 1/(0,1), 1 < р < оо. Теоремы единственности для рядов с монотонными коэффициентами установлены в [14] (1983 г.). Результаты о коэффициентах Фурье-Хаара от суперпозиции функций, принципиально отличные от результатов для тригонометрической системы, содержатся в работах [15], [16] (1983 г. и 1985 г. соответственно).

Эти исследования П. JL Ульянова были продолжены многими отечественными и зарубежными математиками, в числе которых

A. М. Олевский, А. А. Талалян, Б. И. Голубов, С. В. Бочкарев,

B. А. Скворцов, Ф. Г. Арутюнян, Г. Алексич, К. Тандори, Ф. Мориц, JI. Лейндлер, А. Гарема, Р. Ганди, Е. М. Никишин, В. Ф. Гапошкин, Б. С. Кашин, В. М. Бугадзе, В. Г. Кротов, В. И. Прохоренко, Н. П. Хо-рошко и другие.

Настоящая работа посвящена оценкам коэффициентов Фурье-Хаара от функций с ограниченной вариацией и сумм, составленных из этих коэффициентов. Поведение рядов Фурье-Хаара и коэффициентов Фурье-Хаара от функций с ограниченной вариацией подробно исследовано в работе [12] П. JI. Ульянова (1963 г.).

Известно (см. монографию [6], стр. 132, 121), что тригонометрический ряд Фурье непрерывной 27г-периодической функции может оказаться расходящимся в некоторых точках, но для 2тг-периодической функции, имеющей ограниченную вариацию на отрезке [0, 2тт], ее тригонометрический ряд Фурье сходится всюду. Для рядов Фурье по системе Хаара в этих случаях картина прямо противоположна. Ряды Фурье по системе Хаара от непрерывных функций всюду сходятся, тогда как от функций с ограниченной вариацией они могут оказаться расходящимися. П. JI. Ульянов показал ([12], теорема 2, стр. 368), что существует такая функция, имеющая ограниченную вариацию на отрезке [0,1], что ее ряд Фурье-Хаара расходится на всюду плотном на [0,1] множестве.

Кроме того, в работе [12] (теорема 1, пункт 5)) установлены оценки для коэффициентов Фурье-Хаара {ат(/)}^>1 от функций / с ограниченной вариацией на отрезке [0,1] через полную вариацию функции:

1) и am(f)\<4=-Vtf, m = 2,3,.,

2) где

МЛ = J О

Причем, доказано (следствия 3 и 4 из теоремы 1), что эти оценки в смысле порядка не улучшаемы.

В работе Чисельского и Муселака [19] (1959 г.) установлены результаты, относящиеся к абсолютной сходимости рядов Фурье по системе Хаара. Эти результаты, как отмечают авторы, аналогичны теоремам Бернштейна и Зигмунда для тригонометрических рядов (см. монографию [7], стр. 138). Например, в работе [19] установлено, что если / € F[0, 1] и / Е Lip а с некоторым а > 0, то оо m=1

На самом же деле нет никакой необходимости требовать, чтобы / б Lip а при некотором а > 0. П. Л. Ульянов в [12] (теорема 4, стр. 372) установил, что оо „ ы/)1< —Тгуц (з) т—1 для любой функции / G 1].

В первой главе настоящей диссертационной работы найдены точные константы в оценках (1), (2), (3) и предъявлены функции, на которых в этих неравенствах достигаются равенства.

В работе [12] (теорема 4', стр. 373) доказано, что для всякой оо Е V[0,1] выполняется неравенство ^ |ат(/)|т < оо для любого т—1

7 > |. Если же 7 = §, то найдется /0 € V[0,1], такая, что ряд Е 1ат(/о)|з расходится. т—1

Во второй главе диссертации рассматривается следующая задача. При каждом 7 > | найти точную константу ст в неравенстве

ОО 1 / т-2 где / — произвольная функция, имеющая ограниченную вариацию на отрезке [0,1]. Поставленная задача решена при 7>2и1<7<1,5. При остальных 7 > | для константы с7 найдены оценки сверху и снизу.

Третья глава диссертации является обобщением результатов первой главы на случай функций нескольких переменных.

Теперь подробнее изложим содержание диссертации. Диссертация состоит из трех глав.

В первой главе диссертации исследуется поведение коэффициентов Фурье-Хаара от функций одной переменной с ограниченной вариацией на отрезке [0,1].

В параграфе 1.1 приведены основные определения.

Определение 1.1 ([20], стр. 381). Разбиением отрезка [а,Ь] называется конечный набор точек Т = {ti}f=0, таких что а = to < t\ < . < tn = b. Обозначим через т([а,6]) семейство всех разбиений отрезка [а,Ь].

Функция /, определенная на отрезке [а, Ь] и принимающая действительные значения, называется функцией с ограниченной вариацией на отрезке [а, 6], если найдется такое число К, что для всякого разбиения Т £ т([а, Ъ]) выполняется неравенство п

ПЛП = £|/(*.-)-/ftг—1

Величина V^f = sup V[f,T] называется полной вариацией

Тет([а,Ь]) функции / на отрезке [а, Ь].

Класс всех функций, имеющих ограниченную вариацию на отрезке [а, Ь], обозначается через V[a,b].

Определение 1.2 ([21], стр. 77). Система Хаара — это ортонор мир о ванная система функций х — ^ ^ IA 6 ко~ торой Xi(t) = 1. а при п = 2k -f г, % — 1,., 2к, к = 0,1,.функция

Xn(t) = Xkft) определяется следующим образом:

О nput

2*/2 при t е

-2&/2 при t Е (ffcf,

Xn(t) = Дт Xn(S) при t = О;

ДтоХп(1~£) nput= 1; lim ^Xn{t + + Xn{t — /2 при остальных t 6 [0,1].

Для каждого фиксированного к = 0,1,. множество функций называют к-ой пачкой.

Определение 1.3. Пусть функция / € Z^fO, 1]. Тогда ее коэффициенты Фуръе-Хаара задаются формулой а. L = Jf(t)xn(t)dt, пек

Определение 1.4. Многочленом Хаара порядка М, где М € и

N, будем называть функцию Р вида P(t) = an\n(t), где ап £ Ж,

П=1 п = 1,. ,М.

Если an = an(f), п = 1,., М, то Р будем называть многочленом Хаара функции /.

Множество всех многочленов Хаара порядка 2N, отличных от постоянной, обозначим Vn- Через V^ обозначим множество всех неубывающих многочленов Хаара порядка 2N, отличных от постоянной. Такоо же положим "Р* = (J V

N=1

Определение 1.5. Обозначим через lk(t), к = 0,1,., ломаную, заданную на отрезке [0,1] формулами:

0 nput = $- р = 0,.,2й; h(t) = { 2-V2-1 nput = f, + JiTI-p = 0,.,2k-l; линейна на каждом отрезке [fjFjr, гШ"]? 5 = 1? • • • 5

Определение 1.6. Для всякого IV € N определим на отрезке [0,1] функцию

N-1 k=О

Определение 1.7. Для каждого N £ N определим константу с^ формулой оо |ara(Piv)| га=2 cjv - sup --д-- .

Определение 1.8. Определим константу с формулой оо

Е I га=2 /р-ч с = sup -- . (5) pep*

В параграфе 1.2 установлены свойства многочленов Хаара и их коэффициентов Фурье-Хаара. Некоторые из них используются не только в первой главе, но и в других двух главах.

В частности, получены следующие результаты. Выведена формула для вычисления значений многочлена Хаара функции / через значения самой функции /. Показано, что для неубывающей функции ее многочлен Хаара тоже не убывает. Доказано, что полная вариация многочлена Хаара функции / не превосходит полной вариации самой функции. Установлено, что значения функции lk(i) вычисляются как интеграл от суммы функций Хаара в к-ой пачке.

Далее, в леммах 1.7-1.9 выведены формулы для коэффициентов и сумм, составленных из модулей коэффициентов многочлена Хаара, через функции и Lj^(t). Затем, используя эти формулы, в лемме 1.10 доказано, что значение константы cjy равно максимуму функции Ljsf(j/2N), j = 1,. ,2^ — 1, и влемме 1.11 найден этот максимум. В лемме 1.12, с помощью предельного перехода, получено значение константы с.

В параграфе 1.3 доказаны две теоремы. В теореме 1.1 доказано неравенство

М/)|<с-Уо7, ш—2 где / — произвольная функция с ограниченной вариацией, а константа с определена в (5). Оценка установлена сначала для неубывающих функций, затем результат распространен на общий случай.

Теорема 1.1. а) Пусть функция f принадлежит классу ^[0,1] и {am(/)}w=i — коэффициенты Фурье функции / по системе Хаара. Тогда ш=2 б) Для функции f (f\ f 1 пРи 0 < t < 1/3; М)~\0 при 1/3 < £ < 1, принадлежащей классу V^O,1], выполняется равенство

Е м/о)1 = ■ vihт=2

В теореме 1.2 получены оценки для модуля одного коэффициента Фурье-Хаара и для суммы коэффициентов в пачке от функции с ограниченной вариацией.

Теорема 1.2. Пусть / £ V[0,1], {aro(/)}m=i — коэффициенты Фурье-Хаара функции /. Тогда при каждом фиксированном к = 0,1,. выполняется следующее: а) верны оценки 1)

2fc+1

2) т=2* + 1 V

М/)|< ур-К)1/, т = 2к + г, г = 1,. ,2 , к. б) при фиксированном % £ {1,., 2fc} для функции f4t\ = il при

W) jo при выполняются равенства

2fc+i m=2*+l ZYZ U km(n)\ = ^=-V01fl где m = 2k+i.

Во второй главе диссертации для функций одной переменной с ограниченной вариацией на отрезке [0,1] найдены точные константы в оценках

D«.(/)!j"'<vi'.1/ (6) п—2 при каждом 7 из промежутков 1 < 7 < 1,5 н 7 > 2 для функций, имеющих конечную и отличную от нуля полную вариацию.

В параграфе 2.1 сначала приведены необходимые определения.

Определение 2.1. Для всякого 7 > 0 зададим на отрезке [0,1] функцию fc=0

Из определения (4) видно, что данный функциональный ряд составлен из непрерывных функций и при у > 0 мажорируется сходящимоо ся числовым рядом Поэтому по признаку Вейерштрасса к=О оо ряд lk(t) сходится равномерно, а его сумма L^(t) есть непрерывная к=0 функция, ограниченная величиной 227/2.1.

Определение 2.2. При каждом 7 > 2/3 определена величина оо

ДЕ Ы/)Р)1/7 п=2 с7 = sup< emiLV/^о . (7)

Определение 2.3. Для каждого N € N и у > 2/3 обозначим через Cjv,7 величину оо

Е к(Р»)Г)1/7 рн е Рл !•■ (8)

I п=2

CN>у = Slips

VJPn

Основной результат параграфа 2.1 второй главы сформулирован в теореме 2.1 и заключается в том, что при 7 > 1 вычисление константы Су сводится к нахождению максимума функции Ly(t) на отрезке [0,1].

Ограничение 7 > 1 возникает из метода доказательства. В лемме 2.3 показано, что величину с/у)7, определенную в (8), при 7 > 1 можно записать как норму некоторого оператора А, действующего из банахова пространства®.^ в банахово пространство Ж^. Затем вычислена эта норма и установлена формула .1/7

C/V,y

UPm(L^)) ' ГДе М = 2N — I.

Далее, в лемме 2.4 доказывается, что при 7 > 1 константа ст, определяемая в (7), выражается через сдг)7 равенством

У2 c7 = supcjv,7, причем с7<2(2т/21)1/у Таким образом справедлива

Теорема 2.1. При у > 1 выполняются следующие утверждения: а) величина с7, заданная равенством (7), вычисляется по формуле

1/7

LM)) e[o,i] с7 = ^ max Ly б) равенство в оценке (6) достигается, например, на функции / / 0 при 0 < t < ty, ~\1 при ty<t< 1, где ty — любая из точек, в которых функция Ly(t) принимает наибольшее значение на отрезке [0,1].

В параграфе 2.2 найдено значение ст при 7 > 2. В лемме 2.5 доказано, что при любом 7 > 0 функция Ly удовлетворяет системе функциональных уравнений

F(t) =t7 + 2~lf2F(2t) при 0 < £ < F(t) = F{ 1 -t) при 0 < t < 1.

С помощью принципа сжимающих отображений в лемме 2.6 показано, что эта система имеет единственное ограниченное на отрезке [0,1] решение, которое обязательно является непрерывным. Применяя эти утверждения в лемме 2.7, получаем явный вид функции Ly при 7 = 2, а именно L2(t) = t — t2. В лемме 2.8 отмечено, что величины с7 не возрастают при 7 > §.

С использованием этих вспомогательных утверждений доказана

Теорема 2.2. При 7 > 2 выполняется следующее: а) с7 = 2/ б) на функции f = х2 достигается равенство в оценке

Е М/)Г)1/Т<с7.у07.

П-2

В параграфе 2.3 найден максимум функции L7 на отрезке [0,1], а следовательно, и значение с7 при 1 < 7 < 1,5 и предъявлены функции, для которых достигается равенство в оценке (6). Основной результат этого параграфа сформулирован в теореме 2.5.

Сначала ищем точки глобального максимума функции L7 на отрезках §] и [|,|]. Идея поиска состоит в постепенном уточнении местонахождения точки максимума путем деления пополам текущего отрезка на каждом шаге.

Для нахождения максимума функции L7 на отрезке §] определим последовательность {а^}^ точек из отрезка |] формулой

1 у (-1)П\ зЧ1-^-]' п = 0>1>-~ •

Из этого определения видно, что также можно задать рекуррентно равенствами

1 1 = <*„+! = аг„ + (-1)" • та = 0,1,., (9) или

13 1 а0 = 7, «1 = -, «„ = -■(«„ i + an2), n = 2,3,. (10)

4 о 2

Имеем {an}~=0 = {£, |, •}, Ит = 1/3.

Введем для каждого п = 0,1, 2,. И7>0 функции flr„>7(<) = (-l)n{LY(a„ + 0-i7K-*)}) где 0 < t < (И)

В лемме 2.15 показано, что при 1 < 7 < 1,5 и п = 3,4,. функции gn,<y{t) положительны на полуинтервале (0, ^тт]

В теореме 2.3 рассмотрена система вложенных стягивающихся отрезков

In = [otn — + 2^+2"]' « = 2,3,., имеющих единственную общую точку t = Из формул (9) и (10) видно, что при нечетных п отрезок 1п является правой половиной предыдущего отрезка, а при четных п — левой половиной предыдущего отрезка In-i- Из леммы 2.15 и равенства (11) вытекает, что максимум функции Ly на отрезке 1п при п = 3,4,. принадлежит отрезку 1п+ Значит, точка глобального максимума функции Ly(t) на отрезке |] лежит в каждом из вложенных отрезков 1п. Следовательно, это точка t = 3.

Аналогично, в теореме 2.4 показано, что при 1 < 7 < 1,5 на отрезке [|, |] глобальный максимум функции Ly(t) достигается в единственной точке t =

Далее, в теореме 2.5 показывается, что max L~(t) = max Ly(t), <e[o,i] «e[i S а затем, сравнивая значения функции Ly в точках t = | и t — находим точку и значение максимума функции Ly на всем отрезке [0,1]. Отсюда получаем величину константы су при 1 < 7 < 1,5.

Теорема 2.5. 1) Уравнение 5^-47-23^2 + 2^2 = 0 в промежутке 1 < 7 < 1,5 имеет единственный корень 70 (приближенное значение его 7о ри 1,456/

2) При 1 < 7 < 7о величина су вычисляется по формуле

•л

3(2г/2 1)1/7 и равенство в оценке (6) достигается на функции

0 при О < t <

1 при Ь <t < 1. з

3) При 7о < 7 < 1,5 верна формула

C712V 2^/2-1 J ' а равенство в оценке (6) достигается на функции , О при О <t<^; 9[4 "1 1 при ^<t< 1. Л

В параграфе 2.4 приведены оценки для константы с7 при | < 7 < 1 и1,5<7<2.А именно, доказаны следующие теоремы.

Теорема 2.6. При f < 7 < 2 значение константы су больше, чем

Теорема 2.7. ij ITpw | < 7 < 1 справедлива оценка гл/2 + 2 л/2 i у/2

Ч 3 ' 2(237/2 - iyh\ ~ 7 - (2З7/2 2)1/7 и

Нт с7 = оо.

2/3+0

2) При 1, 5 < 7 < 2 верно неравенство с2 =0,5 < с7 < ci,5 = ^г(5л/5 + ^(15^8 + 16^+4^2 + 8))2/3 и 0,6067.

LL I

В третьей главе диссертации для функций нескольких переменных с ограниченной вариацией Витали найдены точные константы в оценках сумм, составленных из модулей коэффициентов Фурье-Хаара.

В параграфе 3.1 для коэффициентов Фурье-Хаара amb.,m№(/) произвольной функции /, интегрируемой по Лебегу на тг-мерном кубе Dn = [0,1]п и имеющей ограниченную вариацию Витали Vnnf на нем, доказана оценка

2 4- у/2 п

•• Yl \ати-,тп(1)\ < (-з-) -VDJ. тi=2 тп=2

Приведен пример функции, имеющей конечную ненулевую вариацию Витали, на которой эта оценка достигается.

Доказательство проводится методом математической индукции по числу переменных п. Случай п = 1 был рассмотрен в главе 1.

Приведем необходимые определения. Обозначим через L1(D„), п £ N, класс всех вещественных функций, интегрируемых по Лебегу на n-мерном кубе Dn = [0,1]п.

Определение 3.1. Пусть / £ Ll{Dn). Коэффициентами Фурье-Хаара функции f называются величины

- Г f1 пц ,.,m„ (/) =: I dx\ . . . j f i • ■ • 5 ' Xmi " • • • ' Xmn fen) dxn^ Jo J 0 где mi,., ra„ £ N, a {Xm}m=l — система Хаара, задаваемая определением 1.2.

Введем для каждого г = 1,., п и h £ Е разностный оператор: ft ffe^-i ' • • ? ~ ffel1 • ■ ■ 1 ^i—Ъ "1" З-г+1 ■ • • 5 f fe 1 ? • • • ?

Пусть П = [fti, bi] х [а2, X . х [а„, 6„] — некоторый параллелепипед в пространстве Еп, и пусть т(П) = r([ai,&i]) х. .xr([a„,&n])—семейство всех подмножеств Т в П вида

Г = \ • • • 5I = 0,1,.,Ki] г = 1,., nj>, то есть

Т = Тх х . х Т„, где Ti = {аг- = ж(0) < < . < а^0 = Ь,-} — разбиение отрезка [аг-, 6г], г = 1,., п. Каждое такое множество определяет разбиение параллелепипеда П на более мелкие n-мерные параллелепипеды гиперплоскостями Xi = tff^; h = 0,., К(, i = 1,., п. Поэтому множества из класса т(П) также будем называть разбиениями параллелепипеда П.

Определение 3.4 (см. [22]). Вариацией Витали функции

П —> R. по параллелепипеду П называется величина

Уп/= sup V[TJl

Т(=г{ П) где h\K1> k1= 0 kn= 0 h| ^ — Xj — x^ k^ — 0,., Ki 1, % — 1,., n.

Если Vnf < oo, то говорят, что функция f имеет ограниченную вариацию Витали на П.

Класс всех функций, имеющих ограниченную вариацию Витали на П, обозначается через V(n). В частности, V(Dn) — класс функций, имеющих ограниченную вариацию Витали на Dn.

Замечание 3.2. При п = 1 определение 3.4 эквивалентно определению полной вариации функции одной переменной на отрезке.

Обозначим символом VLl{Dn) класс всех функций, имеющих ограниченную вариацию Витали на Dn и интегрируемых по Лебегу на Dn.

Нам понадобится также понятие вариации функции одной переменной на произвольном подмножестве в R.

Определение 3.5. Разбиением множества Е С состоящего более, чем из одной точки, назовем произвольное конечное множество точек Т = С Е, m £ N, такое что tQ < t1 < . < t Семейство всех разбиений множества Е обозначим через т(Е) тп ■

Определение 3.6 (см., например, [23, стр. 686]). Вариацией функции /: Е —М на множестве Е С М, состоящем более чем из одной точки, называется величина

VEf= sup V[TJl тег(Е) где т—1

V[TJ] = Y/\f(ti+1)-f(ti)\. i=О

Если множество Е пусто или состоит из одной точки, то положим VEf = 0.

Если Vjsf < оо, то будем называть f функцией ограниченной вариации на множестве Е.

Пусть / G Ll(Dn), п > 2. Обозначим через Ef множество тех чисел хъ для которых функция fXl(x2,. ,Я„) = f(xlvx2,. ,х„) от (п - 1) переменной (х2,. ,хп) определена и принадлежит классу Ll(Dn-1). По теореме Фубини мера Лебега множества Ef равна 1.

Лемма 3.5. Пусть п > 2, функция / G VLl(Dn). Тогда для любого набора т2,.-1тп натуральных чисел, не меньших 2, функция fm2,.,mn(xi) = ®т2,.,шге(/(^ь ')) определена на Ef, имеет на этом множестве ограниченную вариацию, и ее можно продолжить на отрезок [0,1] до такой функции ограниченной вариации /Ш2).)ГОл, что

VQ /m2,.,mre V^Ef frn2,.,mn •

Лемма 3.6. Пусть п > 2, функция / € VL1(Dn). Тогда для всех а,/3 6 Ef, а < (5, функция Еа>р = /(/?, •) — /(а, •) имеет ограниченную вариацию Витали на Z)n\ и интегрируема по Лебегу на Dn-причем

Vo^Faj < V[a^]xDnJ.

С помощью этих вспомогательных утверждений методом математической индукции получена

Теорема 3.1. а) Для коэффициентов Фуръе-Хаара атоь.,тов(/) произвольной функции / из класса VL1(Dn), п £ верна оценка

ОО ОО „ ПГ

V—л v—т /2 + л/2\ п |аГО1).,гПп(/)| < [—з—) •VDJ. mi=2 тп=2 б) Равенство в оценке пункта а) достигается, например, на функции ч I 1 если Xi 6 [0,1/3] для всех г = 1,. га: до(хЪ.,Хп) = г L ,, !

Ое остальных точках Vn из класса VL1(Dn), имеющей отличную от нуля вариацию Витали.

В параграфе 3.2 приведен другой способ получения точных констант в оценках для коэффициентов Фурье-Хаара функций двух переменных с ограниченной вариацией Витали. Метод доказательства является двумерным аналогом методу, примененному в главе 1 для функций одной переменной.

В этом параграфе рассматриваются функции, имеющие ограниченную вариацию Витали и интегрируемые по Лебегу на D = = [О, I]2. Кроме уже введенных определений, понадобится следующее.

Определение 3.8. Функцию д: D Ш будем называть неубывающей, если длл любых двух точек {х,у), (х\,у\) £ D, таких что х < Xi и у <у1} выполняется неравенство > 0.

Замечание 3.4. Определение 3.8 оправдывается тем, что если g — неубывающая функция и <?(-,0) = О, #(0, ■) = 0, то g не убывает по х при любом фиксированном у и не убывает по у при любом фиксированном х.

В настоящем параграфе доказаны три теоремы.

Теорема 3.2. Пусть / £ V{D). Тогда найдутся неубывающие функции Д,/2: D Ш, такие что f = Д - Д и VDf = УЬД + VDf2, причем если / £ VL1(D), то Д и Д также из VLl(D).

Теорема 3.3. а) Для любой функции / £ VLNJD) верна оценка т=2п—2 где amn(f) — коэффициенты Фурье-Хаара функции f. б) На функции а0(х,у) — i ^ ® — xi У — з> из клас О при остальных (х,у) £ D са VLl{D), имеющей отличную от нуля вариацию Витали, в оценке пункта а) достигается равенство.

Теорема 3.4. а) Если f £ VLl{D), то при любых т = 2к + г, п = 2Р -f- j; l<i<2k,l<j< 2Р; к,р = 0,1,.для коэффициентов Фурье-Хаара функции / верны оценки amn(f)\<2-2-ik+p)f2'VD(f) и

2fc+! 2Р+1 rn-2k+\ n=2P+l

Зафиксируем i, j, такие что 1 < i < 2k, 1 < j < 2P. Тогда на функции /0 вида fo(x,y) =

2г—1 1 X

1 прм (ж, у) G I 2FH, ^ 0 при остальных (х,у) Е D

2J-1 1 2Р+1 ' 1 принадлежащей классу VL}(D) м имеющей отличную от нуля вариацию Витали, в оценках пункта а) достигается равенство.

1. Haar A. Zur Theorie der ortogonalen Funktionensystem. 1.augural Dissertation. — Gottingen, 1909. S. 1-49.

2. Haar A. Zur Theorie der ortogonalen Funktionensystem // Math. Ann. 1910. 69. S. 331-371.

3. Haar A. Egy orthogonatis Stiggoenyrend szerrol // Math. Term. Ert. 1914. 32. S. 60-68.

4. Haar A. Gesammelte Arbeiten. — Budapest, 1959.

5. Schauder I. Eine Eigenschaft des Haar schen Orthogonalsystems // Math. Z. 1928. 28. S. 317-320.

6. Бари H. К. Тригонометрические ряды. Москва: Физматгиз, 1961.

7. Зигмунд А. Тригонометрические ряды. M.-JL: ГОНТИ, 1939.

8. Ульянов П. JI. Расходящиеся ряды Фурье класса Lp }/ ДАН СССР. 1961. Т. 137. № 4. С. 786-789.

9. Ульянов П. JI. О точных множителях Вейля для безусловной сходимости // ДАН СССР. 1961. Т. 141. № 5. С. 1048-1049.

10. Ульянов П. JI. О множителях Вейля для безусловной сходимости. // Матем. сборник. 1963. Т. 60. № 1, С. 39-62.

11. Ульянов П. Л. О рядах по системе Хаара. // ДАН СССР. 1963. Т. 149. № 3. С. 532-534.

12. Ульянов П. Л. О рядах по системе Хаара // Матем. сборник. 1964. Т. 63 (105). Выпуск 1. С. 356-391.

13. Ульянов П. Л. О рядах по системе Хаара с монотонными коэффициентами Ц Изв. АН СССР. 1964. Т. 28. № 4. С. 925-950.

14. Ульянов П. Л. Об единственности рядов по системе Хаара // Вестник МГУ. Математика. 1983. № 6. С. 63-73.

15. Ульянов П. Л. Об одной алгебре функций и коэффициентах Фурье // ДАН СССР. 1983. Т.269. № 5. С. 1054-1056.

16. Ульянов П. JI. Суперпозиции функций и коэффициенты Фурье // Труды МИАН СССР. 1985. Т. 172. С. 292-338.

17. Marcinkiewicz J. Quelques theorems sur les series orthogonales // Ann. Soc. Polon. Math. 16(1937) P. 84-96.

18. Гапошкин В. Ф. О системе Хаара, как безусловном базисе в Lp И Матем. заметки. 1974. Т. 15. № 2. С. 191-196.

19. Ciesielski L., Musielak J. On absolute convergence of Haar series // Colloq. math. 7. № 1(1959). P. 61-65.

20. Колмогоров A. H., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1989.

21. Кашин Б. С., Саакян А. А. Ортогональные ряды. М.: Наука. 1984.

22. Vitali G. Sui gruppi di punti e sulle funzioni di variabili reale // Atti. Accad. sci. Torino. 1908. V. 43. P. 75-92.

23. Шварц JI. Анализ, Т. 1. M.: Мир, 1972.

24. Чистяков В. В. К теории многозначных отображений ограниченной вариации одной вещественной переменной // Матем. сборник. 1998. Т. 189. Вып. 5. С. 153-176.

25. Jordan С. Sur la serie de Fourier // С. R. Acad. Sci. 1881. T. 92. № 5. P. 228-230.

26. Харди Г. Г., Литтльвуд Д. Е., Полиа Г. Неравенства. М.: ИЛ, 1948.

27. Hahn Н. Theorie der reellen Funktionen. Bd. 1, В., 1921.

28. Натансон И. П. Теория функций вещественной переменной. -М.: Наука, 1974.

29. Adams С. R., Clarkson J. A. Properties of functions f(x,y) of bounded variation // Transactions of Amer. Math. Soc. 1934. V. 36. № 4. P. 711-730.

30. Hardy G. H. On double Fourier series and especially those which represent the double zeta-function with reale and incommensurable parameters // Quart. J. Math. 1905. V. 37. № 1. P. 57-79.

31. Галкина С. Ю. О коэффициентах Фурье-Хаара от функций с ограниченной вариацией // Матем. заметки. 1992. Т. 51. Вып. 1. С. 42-54.

32. Галкина С. Ю. Оценки коэффициентов Фурье-Хаара для функций двух переменных с ограниченной вариацией // Известия ВУЗов. Математика. 2001. № 2 ( 465 ). С. 69-72.

33. Галкина С. Ю. О коэффициентах Фурье-Хаара функций нескольких переменных // Современные методы теории функций и смежные проблемы. Тезисы докладов. Воронеж. ВГУ. 2001. С. 84-86.

34. Галкина С. Ю. О коэффициентах Фурье-Хаара функций нескольких переменных с ограниченной вариацией Витали // Матем. заметки. 2001. Т. 70. Вып. 6. С. 803-814.