Оценки коэффициентов Фурье непрерывных функций по мультипликативным системам и системам типа Хаара тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕНЕН УЕКЗЕГСИТЕТ голени M. В.JICL'CEGCGBА

Мз^азтао-катематкчэстгсй факугатет

На правах рукописи

ГОНЧАРОВ. ШЖРИЙ ЛНДЕЕЕБН уж 517.51

сщкт хоззршшйсб фу?ьв вепшывшх smasä

ПО ?_'17ТГЬТ1а1ШЖАТКБИЫГ.1 CZCTEt-ULl Ii ОТСЯЗМЖ ТИМ IAAPA

Ol.01.OI. - ■ анализ

Азторейэрат дзосор^ацет на сспскадпз учёзс2- етзпоаи каздшта $23vn:c-\:aíe;¿!r.raHeci;nx паук

пос~вг - iS£2

Работа выношена на кафедре теории функций и функционального анализа Московского государственного университета имени М.В.1шоносова.

Научный руководитель Официальные оппоненты

Ведущая организация

- кандидат фазико-математичео-ккх наук, доцент Л.¿.Балашов

- доктор физико-математических наук, профессор А .В .Ефимов,

кандидат физико-матеиатиче-скшс наук, доцент Власова Е.А.

- Московский энергетический институт.

Защита состоится " fj| tfc lft-^ 1993 г. в 16 час. 05 мин. на заседании специа1изированного учёного совета Д.053.05.04 при Московской государственном университете паени М.В.Лоыоносава по адресу: П98Э9, ГСП, Москва, Ленинские горн, МГУ, цэхапико-катеыатический факультет, аудитория 16-24.

С диссертацией монно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета ЫГУ" (14 этаж).

Автореферат разослан "(9 " 199 г.

Ученый' секретарь специализированного Совета Л 053.05.04 при МГУ, профессор

Т.П.Лукаиенко

ОНЦАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблем. Системы Заара и Уолша' были построены в начале IX века в связи с репейном некоторых задач теории ортогональных рядов. Б дальнейшем благодаря своей простоте они получили применение в общей теории ортогональные рядов, вычислительной математике, теории электрических цепей, теории кодирования, теории распознавания образов. В последнее время внимание математиков стали привлекать мультипликативные система и системы тесно связанные с ними. Это вызвано как естественным развитием теории ортогональных рядов так и важными приложениями этих систем в радиотехнике, теории распознавания образов, в цифровой обработке информации и дедтих вопросах. В связи с этим вопрос об оценке коэффициентов Фурье непрерывных функций по мультипликативным системам и системам типа Хаара является актуальным.

Щль работа. Основной дельэ работы является постановка и рзшение задач связанных с оценкой коэффициентов Фурье непрерывных функций по мультипликативным системам (системам Прайса) и системам типа Хаара.

Обаая методика исследований базируется на основных результатах теории ортогональных рядов и на свойствах сингулярных непрерывных функций..

Практическая и теоретическая ценность работы. Полученные в работе результаты представляют математпче-

ский интерес к имевт теоретический характер. Они могут быть использованы при изучении свойств ортогональных рядов по мультипликативным системам и системам типа Хаара.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались : в Московской университете на семинаре

"Теория ортогональных и тригонометрических рядов" (руководители: член.-корр. РАН Ю.Ульянов, проф. М.К.Поталов, доц. Ы.И.Дьяченко),

на семинаре "Теория функций действительного неременного" (руководители: проф. В.А.Скворцов, доц.Д.А.Балашов, проф. Т.ДЛукаяенко),

ва семинаре кафедры высшей математики Московского энергетического института (руководители: проф.А.М.Сед-децкий, доц. Н.Б.ГузшчеБ),

на конференции молодых ученых МГУ (МГУ, 1992 г.), . на семднаре Казахского государственного университета ик.Аль-Фараби (руководитель проф. A.A. Еексынбаев).

Структура и объзм табота. Лиссертация состоит из введения, двух глав разбитых на 5 параграфов и списка литературы, содержащего 25 наименований.

Объем работы составляет 80 страниц машинописного текста.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликовали в работах [1-43 •

СОДЕРЖАНИЕ РАБОШ

Во введении даётся постановка задач, рассмотренных в работа, приводится обзор результатов, имевшихся в литературе и кратко излагаются результаты, полученные в диссертация.

Первый параграф главн I посвящен изучению оценок снизу коэффициентов Фурье непрерывных: ддтзкций для иуль-тнилпкатявных систем, построенных по последовательностям ' {. р^} в случае когда все члены ра ограничены в совокупности.

Здесь доказывается теореиа аналогичная теореме С.З.Бочкарёва.

Теорема J-.2. Пусть -f (i) - непрерывная ва отрезке [0.1] и jaj-f)! = Q(dg, здесь aj{) -и-а коэйфшг'-зчт Фурье по мультнюгакатазноЗ системе, построен— пой по последовательности {p^J^j!; ? SUpCptO^00 Д^Зк^

строго 1'быЕ2впач последовательность помогите льнж такая, что ' cl,t со . Тогда ? (i) = CO'rlSi.,

Во втором гапаграйв доказывается, что утзерздеяие. Tsopetsi 1.2 не верно для преззведьннх цудьтипликатнвшп: сесгз;."..

opera 2.1. Дм еэедой стсого уй-глаэдэн ггоследо-в?.тзтзеосги D— 0

оо

Уъ — А 2,.. сЬ < 00 ' сУЩестБУет строго

л.=1 п

возрастающая последовательность натуральных чисел Рф и такая непрерывная на

Функция АШ ^ , что о ^ 1СЛ(Л)1 ^ с1К1

У1 2: -1 , где

с„(Д) = ; % а)

Со,о

функция из системы Прайса, построенной по Р^

В третьем патаградбе диссертации результат Кури доказанный для систем Уопла переносится на систеш Прайса. Следующая теорема независимо и одновременно доказана такае Н.Бокаевым.

Теорема 3.1. Цусть £ (■£) - непрерывная (за исключением, быть иокет, I) функция на ,

{аХ=0 -коэффициенты -£(-{;) по мультипликативной системе построенной по - { Ри.}^

с ограниченными р^ в совокупности. Пусть

= X 1^-0-^11.

Если lim, Гор 2 R-e= 0fTO .f(t) =

Во второй главе диссертации изучаются коэффициенты Фурье непрерывных функций для систем типа Хаара.

В четвертом параграфе второй главы доказывается Теорема 4.3. Пусть -f (t) - непрерывная на [ОД] сю ^з-и

Функция и' (v ' IE l<VfЮ ■<оа, а (f) _t -й

коэффициент Фурье -f (t) для системы типа Хаара. Тогда -f(t) — const на .

Отсюда в качестве следствия справедлива следующая Теорема 4.4. Пусть - непрзрывная на

функция к

оо _

-с; оо

ГйГ1<Ч.ф|

Тогда } здэСЬ (Х^Су) -И-й

коэффициент Фурье ■£(•£) для произвольной системы типа Хаара.

Для систем Хаара справедливость зтсй теорсж доказал Бочкарёв, дм систем типа Хаара построенных по последовательностям 1р;'Л ^^ с ограниченными р,г в совокупности Н.Бокаев.

В пятого параграфе вылсвяатся ограничения на величину коэффициентов Фурье по системе типа Хаара для функций класса ир («О, о -¿«I ¿И .

Важную, роль в теории рядов ©урье-Хаара для непрерывных; функций играет следующая

Теорема (П.Д.Ульянов). Если Ci) - непрерывная

функция на . то

здесь ) - Я-й коэффициент Фурье-Хаара,

( Ть ' О ~ ойшный непрерывности .

В пяток параграфе второй глави доказана следую-

щая

Теорема

Пусть {(-О £ С [0, . . тагда

X. 1акф| ^

здесь О.^ ( р -К-й коэффициент Фурье для сиса-еыы типа Хаара построенном по последовательности

Отсюда следует справедливость теорз^ы П.Ж.УльяЕова для систем типа Хаара построенных по последовательностям { с ограниченными" р^ в совокупности.

Затем строится класс последовательностей Р = I I3 четности Ит, — сх= )

для которых оценка (1).не улучшаема.

Теорема 5.4. Пусть Р = {р1,р2,»-} последовательность натуральных чисел такая, что

Р] =3 ПРИ ] = ЗК , к=-(,г,... ,

р. при ) =Зк+1,К =0,-1,2,...,

р- чётнее большее или разное 4 при J = ЗК+2- ?

к = ои,... •

Тогда существует функция рр такая, что

^ С

- коэффициент Фуиье для с~зтзгя: типа Хаара

" П ^

построенной по последовательности г • , - некоторая пол.оютеаиа.ч констезта.

Тем сак:ы в случае -огда Рж-г р,-?ссре;.;а П.Л.Уаьлио^а вообще говоря ве верна. Справедливость теорегя! П.Л.Ульянова з случае ограниченных позволяет доказать следугддй аналог теоремы С.З.Бочкарёва.

Теотема 5.5. Для любой функции (i) £ LipW.) (0^ ^ i) , -f(t) Const , справедливо

2d-И ''

р

= оо прЕ , Ä

Пользуясь случаемвыражаю благодарность научиому руководителю - кандидату физико-кагэматкческих наук, доценту Балашову Д.А. за постановку задач, ценные советы и постоянное внашние при выполнении работы.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

I. В.А.Гончаров. К теореме Бочкарёва. Рук. деп. в ВИЗЖИ 09.01.91 г. за В I49-B-9I.

- п -

2. В.А.Гопчаров. 0(5 одзой теореме Бочкарёва. Рук. деп. з ТПТШЯ 20.I2.S0 г. за В 6337-В-90.

3. В.А.Гончаров. О коэффициентах Фурье непрерывных функций по иультшлнкатпвнта систему. // Функ. и стохаст. анал. д пх при л. / МГУ. Мэх.-ыат.фак. -

М., 1991, - с. 5-12. - Рус. .

4. В.А.Гончаров. К теоремам Файла и Бочкарёва. Вестн. МГУ, Матем.кех., cep.I -1 4, 1992 г.