Операторы канонического порядка и сплайны по многочленам Бернштейна тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ А.И.ГЕРЦЕНА

На правах рукописи

Меньшикова Юлия Станиславовна

Операторы канонического порядка и сплайны по многочленам Бернштейна

01.01.01. - математический анализ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург 1998

Работа выполнена lui кафедре математического анализа Российского государственного педагогического университета им.Л .И.Герцена.

доктс >р физико- матсмати ч еских наук, профессор Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Санкт-Петербургского Государственного Технического Университета

Виденский

Виктор Соломонович Петухов

Александр Павлович

кандидат физико-математических наук, доцент Санкт-Петербургского Г осударственного архитектурно-строительного университета

Башмакова Инна Борисовна

Ведущая организация:

Санкт-Петербургский государственный университет.

Защита состоится " 14 " октября 1998 года в 16 час. 15 мин. на заседании Диссертационного Совета К 113.05.14 по защите диссертаций на соискание ученой степени кандидата наук при Российском государственном педагогическом университете имени А.И.Герцена (191186, г.Санкг-Петербург, наб.реки Мойки, 48, корпус 1, ауд.209).

С диссертацией можно ознакомиться в фундаментальной библиотеке университета.

Автореферат разослан " № " CJK&ïJj

.1998 года.

Ученый секретарь Диссертационного Совета

Готская И.Б.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Одним из важных направлений теории аппроксимации являются линейные методы приближения, среди которых особое место занимают линейные положительные операторы (л.п.о.). Ведущим частным случаем л.п.о. являются многочлены Бернштейна

Вд;х) = £ / (-)рпк(х),рпк(х) = скпхк(1 - (1)

Одпако, для функций, имеющих непрерывные производные выше второго порядка, л.п.о. не дают лучшего приближения, чем па классе дважды дифференцируемых функций. Развивая идею С.Н.Беряштейна [Собр.соч., т.2, статья Л-57], В.С.Виденский и Т.П. Пенднна построили модификации многочленов (1), которые повышают порядок приближения гладких функций. В дальнейшем авторы распространили эти модификации на л.п.о. канонического порядка, к которым относятся многие классические операторы. Затем Т.В.Ершова применила эти модификации к линейным операторам Ьп, нормированным условием 1Г1(1; х) = 1. Г.Х.Киров изучил другие последовательности операторов по многочленам (1), которые также реагируют на повышение гладкости функции. Еще одним методом улучшения качества приближения является итерация. Таким образом, отказ от положительности операторов позволяет улучшить приближение дифференцируемых функций. Возникает задача исследовать обобщенные неположительные операторы канонического порядка, а также их модификации, и применяя методы теории л.п.о., обобщить некоторые из полученных ранее результатов. Кроме того, строятся сплайны по многочленам Бернштейна (1), что также приводит к ускорению сходимости л.п.о. Цель работы. В первой главе:

1. Построить неположительные операторы, обобщающие л.п.о. канонического порядка, и исследовать их аппроксимационные свойства, используя методы теории положительных операторов.

2. Исследовать обобщения дробно-рациональных операторов и многочленов Бернштейна и для них доказать теоремы, обобщающие результаты, известные для соответствующих л.п.о.

3. Для обобщенных многочленов Бернштейна построить модификации с лучшими аппроксимационными свойствами для гладких функций.

4. Исследовать итерацию обобщенных многочленов Бернштейна как метод ускорения сходимости исходных операторов для гладких функций.

Во второй главе:

1. Построить интерполяционные сплайны по многочленам Бернштейна, ускоряющие сходимость операторов для непрерывных функций.

2. Рассмотреть итерацию сплайнов, а также их модификации, улучшающие приближение гладких функций по сравнению с такими же модификздиями для многочленов Бернштейна.

Общая методика выполнения исследований. Используются классическпеметоды конструктивной теории функций, в частности, идеи, предложенные С.Н.Бернштейном, и получившие дальнейшее развитие в работах других математиков.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми, они приведены с полными доказательствами. Построены неположительные обобщения л.п.о. канонического порядка, для которых доказаны теоремы типа Поповичиу и теорема Вороновской - Бернштейна. Для обобщенных дробно-рациональных операторов и многочленов Бернштейна, являющихся частными случаями операторов канонического порядка, получен также результат о совместном приближении функции и ее первой производной. Исследованы бернштейновские модификации и последовательности Кирова по обобщенным многочленам Бернштейна, улучшающие качество приближения гладких функций. Для построенных модификаций доказаны асимптотические теоремы Вороновской. Кроме того, рассмотрена итерация неположительных операторов, также при-

водящая к ускорению сходимости этих операторов для гладких функций.

Исследованы интерполяционные сплайны по многочленам Берн-штейна, причем порядок приближения с их помощью выше, чем в случае классических многочленов Бернштейна. Для построенных сплайнов получены основные аппроксимационные теоремы. Также исследованы некоторые модификации этих сплайнов, которые, во-первых, улучшают качество приближения гладких функций, а во-вторых, обладают более высокой скоростью сходимости, чем подобные модификации по классическим многочленам Бернштейна. Практическая и теоретическая ценность. Работа носит теоретический характер. Полученные утверждения развивают классические результаты и могут быть использованы в исследованиях ап-проксимационных свойств линейных операторов, а также для непосредственного приближения конкретных функций в вычислительной математике.

Аппробация работы. Результаты работы докладывались в 19971998 годах на семинарах профессоров В.С.Виденского и Г.И.Натансона по копструктивной теории функций при РГПУ имени А.И.Герцена и на Герценовских чтениях в г.Санкт-Петербурге. Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах автора [1-3].

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения и двух глав. Список литературы содержит 48 наименований. Общий объем работы 112 страниц.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении содержится краткий исторический обзор, обсуждаются задачи исследования и формулируются основные результаты.

Первая глава посвящена исследованию операторов, являющихся обобщением л.п.о. канонического порядка Anf. Рассматривается оператор

ВД; *) = £ «nkf(U)ank{x), / 6 С[0; 1]. (2)

*=0

п

где апк(х) - положительные функции, ¿ a„k(x) = 1, (^nfc)fc-o " матри-

О

ца узлов на [O;l],(Mn¿)¿=0, п £ N. - ограниченная последовательность действительных чисел. Оператор Кп не является положительным. Однако, мы покажем, что для Кп в общем виде можно доказать ряд основных аппроксимационных теорем, используя при этом методы теории л.п.о. Для частных видов л.п.о. канонического порядка, а именно, для дробно-рациональных операторов Qn и многочленов Бернштейна (1) Вп, более углубленно изучаются свойства соответствующих им обобщенных операторов вида (2). Для них при условии предъявления дополнительных требований к матрице (unt)%=(¡, п £ N, получены теоремы о совместном приближении функции и ее первой производной. В случае обобщенных многочленов Бернштейна исследуются их модификации, основанные на идеях построения бернштейновских модификаций, последовательностей Г.Х.Кирова и итерационных операторов для Вп. Доказывается, что все исследуемые конструкции улучшают качество приближения гладких функций по сравнению с исходным оператором.

Первая глава начинается с описания последовательностей л.п.о., для которых в дальнейшем строится ряд обобщений. Мы приводим также для каждого вида л.п.о. те результаты С.Н.Бернштейна, Е.В. Вороновской, В.С.Виденского, Т.П.Пендиной, Г.Х.Кирова и Т.В. Ершовой, которые затем будут использованы в работе.

В §2 более подробно излагается содержание недавно вышедшей статьи Campiti М., Metafune G. (Approximation propeties of recursively defined Bernstein-type operators// J. Approx.Theory. (1996). V.87. P.243-289), под влиянием которой возникла идея построения рассматриваемых нами новых операторов. Для / € С[0; 1] авторы исследовали многочлены вида

коэффициенты (Рпк)1=о> п £ Ы, задаются при помощи процедуры, обобщающей треугольник Паскаля. Для Рп получен ряд теорем, для доказательства которых использованы специальные вспомогатель-

яые операторы. Сформулирована теорема об одновременном приближении функции / S С'р)[0;1] и ее производных любого порядка к = 0Тр. Но эта теорема и предшествующая ей лемма доказаны авторами только для случая р = 1. Поэтому мы приводим доказательство этих утверждений для любого pÇ. N, при этом обобщая и несколько упрощая метод, предложенный Campiti M., Metafune G.

В §3 рассматривается л.п.о. А„ и соответствующий ему неположительный оператор (2) Кп. Необходимо, чтобы коэффициенты г¿n^: удовлетворяли условию

(31 > 0)(Vn € AT)(V/c = U|гы| < L (3)

В теореме 1.3.1 показано, что в случае, когда последовательность л.п.о. {Лп} является аппроксимирующей,

Hrn \Kn(f\ х) - f(x)K„(eо; х)| = 0 равномерно на [0;1],

если ео = eo(t) = 1 на [0; 1]. Пусть {А„} - л.п.о. канонического порядка, то есть их центральные моменты S„{An\ х) — An((t—xY\ х) характеризуются некоторой правильной скоростью убывания. Показано, что модули центральных моментов Sv{Kn, х) обладают тем же свойством. Поэтому для Кп можно доказать теоремы типа Вороновской-Бернштейна.

Теорема 1.3.2. Если / G С(р)[0;1], то

\Kn(f-,z)-f(x)Kn(e0;x)-Î: < 7п)7£

k-\ к• Р-

В частности, при р — 2 имеем теорему.

Теорема 1.3.3. Для / G С'2'[0;1] справедливо неравенство

| ВД; х) - Лх)Кп(е о; х) - - | <

< LM2g(x)io(f"-ln)fi.

Доказательство проводится по схеме, указанной С.Н. Бершптейном. Считая, что / g С'р)[0;1], 1-х - фиксированная из [0;1], запишем

разложение функции по формуле Тейлора.

№ = /(*) + £ + гР(/; х),

к=1 К-

где гр(/; а;) = ~ /(p)(:r)}(í ~ ХУ " остаточный член,

лежит между í и ж. Применим к обеим частям разложения f(t) оператор Кп и получим

Kn(f; i) = /№(е„; + Е 5*(7[";жУ>(:г) + Rp(Kn, х),

k=l

ж) — Jín((í — ж) Rp(Kn; x) = Kr,(rp; x). Задача сводится к оценке центральных моментов и остаточного члена. В ходе доказательства осуществляется переход от к л.п.о. А„. Порядок приближения гладких функций посредством л.п.о. А„ и оператора Кп одинаков.

В §4 исследуются свойства оператора !?„, построенного на основе введенного В.С.Виденским дробно - рационального оператора

п

Dn{f\x) - Е v,nkf{rnk)qnk{x), k=Q

(unk)k=о> п Е N, - удовлетворяют (3). В работах В.С.Виденского и Т.П.Пендиной показано, что Q„ является л.п.о. канонического порядка, поэтому для Dn формулируются теоремы 1.4.1 и 1.4.2 как частные случаи теорем 1.3.2 и 1.3.3. Пусть коэффициенты ti„t удовлетворяют дополнительным условиям.

(Эф 6 С(1)[0; 1]) lim D„(e0; х) = i¡>(x),limD'n{e0-, х) = ф'(х) на [0;1](4)

(3М > 0)(Vn G Ar)(Vi е С[0; 1]) |Ще0; х)\ < М. (5)

В этом случае для / 6 С(1)[0; 1] доказывается теорема 1.4.3, содержащая следующее предельное соотношение:

Hrn D'n(f;x) — (f(x)jJj(x))' равномерно на [0;1].

" í

Un(f; *) = £ - pni(a;), (6)

k=О V"/

В §5 задается оператор вида

inkl |

k=0

где unt определяются условием ограниченности (3). Для Un верны теоремы.

Теорема 1.5.1. Если / е С[0; 1], то

\Un(f;x) - f(x)Un(e0;x)\ <2Lio

к(1 -x)

Теорема 1.5.2. Для f £ lj справедливо неравенство

\Un(f-,x) - f(x)Un(eD;x) - £ <

к-1

Пусть коэффициенты для оператора {/„ удовлетворяют дополнительным условиям, аналогичным (4), (5). В этом случае для 11п верны следующие теоремы. Теорема 1.5.3. Если / е С(2)[0; 1], то

\ш п{£Ш; ~ 1(х)ип(е0: г)} = х(1 - Х)ф'(х)Г(х)+

+ - х)'ф(х)¡"(х) равномерно на [0;1].

То есть операторы С/„ для функций, имеющих производные порядка, выше второго, не дают лучшего приближения, чем на классе дважды дифференцируемых функций. Теорема 1.5.4. Если / £ 1], то последовательность

равномерно сходится к (/(ж)яр(х))' на всем отрезке [0;1]. Заметим, что операторы (6) и„ обобщают многочлены Fn, описанные в §2. Приводится целый класс операторов, которые с одной стороны удовлетворяют условиям (4),(5), а с другой, достаточно далеки по конструкции от Предложенные нами доказательства утверждений существенно отличаются от тех, что приведены в статье СатрШ

М., Metaflшe О. для соответствующих теорем. А именно, мы применяли методы, характерные для положительных операторов и не использовали специальных конструкций операторов.

В §6 исследуются бернштейновские модификации оператора 11п для / 6 1], определяемые рекуррентными формулами.

си/; *) = Щч, *){£/■„(/; + /М(1 ~ ип(е0; х))},

им *) = иМ «) - "С „,„_*(/<'); г), ^ > 2. (7)

к—1

Вводятся функции апр(х), аналогичные тем, что были предложены В.С.Виденским и Т.П.Пендиной для

= = ^ТР51-

<*М) = ^^ - * > 2.

Доказывается утверждение. Лемма 1.6.1. Справедлива формула

ип,М = - и>1.

Основные результаты этого параграфа состоят в следующем. Теорема 1.6.1. Если / 6 С(р)[0; 1], р > 2 то приЬ> 1

Теорема 1.6.2. Ясли / е 1], р £ Аг, то приЬ> 1

|^п,Р+1(/; аг) - /№(е0; г) - а„,р+1(х)/«р+1)(а;)^(ео; х)\ <

При доказательстве обеих теорем к исходному оператору (6) и„ применяется общая схема С.Н.Бернштейна.

В §7 исследуются свойства модификаций Г.Х.Кирова для 11„

*„,(/;■*) = £ £ «п*^^ (х - (8)

4=0 ¿=0 г! \ п>

{ипк)к=о, п £ N,- действительные числа, удовлетворяющие (3). Для

Япр/ выводятся такие теоремы.

Теорема 1.7.1. Если f € С(р)[0; 1], р > 2, то

\Нпр(1;х) - /(х)СГп(е0; ®)| < •

Теорема 1.7.2. Для любой функции f £ С'р+2)[0; 1] верно неравенство

I#„,(/;*) - /(х)£/„(е0;х)| < |/(р+1)(х)|+

П 2

+^(1/(р+2)И1 + |7прИ1)}, где 1яп 7,?(г) = 0 равномерно на всем [0;1];

Обе теоремы вновь доказываются по общей схеме, применяемой в диссертации. В то время как сам Г.Х.Киров при выводе теорем для модификаций классических многочленов Бернштейна (1) использовал другой метод.

В §8 изучается итерационный процесс по оператору ип. Приближающий оператор имеет вид

ипт = тпео - (Л/„е0 - [/„)">, (9)

где I - тождественный оператор на С[0; 1]. Определяется дифференциальный оператор вида

В ходе рассуждений выводятся значения для 51(СГП; х) и Б^и^х), которые показывают, что в действительности множитель п, стоящий в определении оператора £>, сокращается. Верна теорема, обобщающая результат М.Ш.Джамалова. Теорема 1.8.1. Если / € С<2т>[0; 1], теЫ, то

Утверждения, полученные в §§6-8, показывают, что построенные по операторам 17п последовательности (7)-(9) реагируют на повышение гладкости приближаемой функции, тем самым улучшая качество приближения. При этом порядок приближения во всех трех случаях одинаков.

Вторая глава посвящена исследованию некоторых сплайнов по многочленам Бернштейна, которые улучшают приближение непрерывных функций в сравнении с исходными операторами (1) В„.

В §1 излагается способ построения нового оператора. Исходный отрезок [а;Ь] точками а = хо < х\ < ... < хп = Ь делится на п равных частей 1т. На каждом отрезке [хто_1; хга], т — 1, п, строится многочлен Бернштейна В5(/; х\ 1т) степени е. Тогда приближающий л.п.о. ВП8(/; х) на всем отрезке [а;Ь] будет равен сумме многочленов В4(/; х: 1т) на каждом из промежутков 1т. Новый оператор запишется в виде

х) = £ ВД(ю)

тл=1

(Т \ _ (1' ^ ^ 1щ

х(1т} ~ \ 0, X $ 1т,

II - [яо!^], 1т = (хт-1! ™ = %П

Вт по структуре является интерполяционным сплайном. Вводятся и оцениваются его центральные моменты

3„{ВШ-, х) = ВП5((< - х)"\х) = £ 8„(1п)х(1т), V = 0,1,2,...

т=1

^(/щ) = ВеЦ* ~ ХУ\х\^т) - центральные моменты многочленов Бернштейна на 1Ш, Доказано, что

(х хт~

КП

|5„(1т)| < ВД"

\3„(Вп$-,х)\<

В §2 исследуются аппроксимационные свойства оператора Вш. Для него доказываются теоремы типа Поповичиу, Вороновской -

Бернштейна.

Теорема 2.2.1. Если f £ C[a;f>], то Теорема 2.2.2. Если / £ С(1)[а; 6], то Теорема 2.2.3. Пусть f е С(р)[а; 6], р > 2. Тогда

~ £ IS И^)

К(р) - зависит только от р. Следствие. Для / 6 С^[а\ 6] верно, что

При доказательстве достаточно провести рассуждения на [xm^i;xm] для BJf; x\Im), придержхтаясь при этом общей схемы, так как

(V* 6 М])|Д,5(/;г) - f(x)| < max jBs(f;x;Im)x(Im) ~ f(x)x(Im)\.

т~ l,n

Если положить, что s достаточно большое, то есть s > So(/), п —> оо, то порядок приближения непрерывной функции посредством Bns значительно лучше, чем в случае классических многочленов Бернштейна (1), хотя он также не улучшается с повышением гладкости функции.

В §3 исследовано поведение производных сплайна Bns. Операторы ' (10) Впs являются сплайнами максимального дефекта, то есть все их производные терпят разрыв в узлах хт, m = 1, гИ/гежащих внутри (а; Ь). В тоже время доказываются теоремы, характеризующие поведение их односторонних производных.

Теорема 2.3.1. Если f е и s > «о(/)> то для любого

х € (а; Ь) справедливы соотношения

VI/ = Пт ВМ(/; х-0) = /"\х - 0),

ШпВМ(/;1+0) = /("(2 + 0).

Причем, если т.х не попадает в узлы равномерной сетки на [а;Ь] хт, т — 1, п — 1, то в т.х существует общая производная х),

значение которой при выборе индекса в достаточно большим, то есть в > во(/)> мп-+оо стремятся к значению производной в этой точке.

Теорема 2.3.2. Если / 6 С^[а;Ь], то на каждом интервале (хт-1;жт), т= верно неравенство

IIВ' * пк^Лг 1 и6-"117"11

В §4 на основе Вп$ рассматриваются бернштейновские модификации и последовательность операторов Кирова {б^}, задаваемые соответственно формулами

ВМх) = ВМ;х),В1а-,х) = Впв{!-х),

= р> 3. (11)

и ЕСР(/;х;1т)Х(1га), (12)

т=1

где (??(/; г; 1т) = £ £ - Ы){рЛ{х-, 1т),

1=01=0

£тк " Хт—{ Н т 1 к.

Для них доказаны теоремы.

Теорема 2.4.1. Если / € С(р)[а;6], р > 2 то

пр3р/2 ^ ' ПуД Теорема 2.4.2. Если } е С(р+1>[о; Ь], р € И, то

и веч - / - < ^ (/-«,• ^ийЛЧ

Теорема 2.4.4. Для любой / £ верно неравенство

К(р) - зависит только от р, р£ N Теорема 2.4.5. Если f € C(p+2)[a;fc], то

\\GU- /II < ^4r{||/(p+1)ll + ^ (И/(р+2)И + Ы)}(0-о),

где lirn 7„?(г) = 0 равномерно на всем [a;b]f

причем выбираем s достаточно большим s > so(/), К(р) - зависит только от р, р£ /V.

Обе последовательности дают одинаковый порядок приближения гладких функций, при этом улучшая его по сравнению с исходным оператором Bns. При выборе индексов у сплайнов для функции / так, что s > S'o(/)> п —► оо, скорость сходимости бернштейновских модификаций сплайнов Bns значительно выше, чем у аналогичных модификаций классических многочленов Бернштейна. Такое же замечание справедливо и для Gps. Для центральных моментов сплайнов Вns верно утверждение.

Теорема 2.4.3. На отрезке [а;Ь] верно равенство

B?s((t - х)"; х) = 0, где р> 2, 1<и<р-1.

В §5 изучается итерация по сплайну Bns.Исследуется оператор

В™ — I — (I — БП8)т,1-тождественный оператор на С[а;Ь]

Для этого оператора получена теорема. Теорема 2.5.1. Если / е С(2га)[а; 6], т € N, то

То есть, m-кратная итерация позволяет улучшить качество приближения гладких функций. При этом, как и в случае последовательностей (11), (12), порядок приближения для / € С*2т^[а;Ь] равен n~2ms~m, что существенно лучше, чем для подобного итерационного оператора, построенного по классическим многочленам Бернштейна.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах автора:

1.Меньшикова Ю.С. Модификации обобщенных многочленов Берн-штейна. С.-Петербург. 1998. 9 с. Деп. в ВИНИТИ «■ ii.CF.9S № ¿У 1 Ь%

2.Меньшикова Ю.С. О приближении непрерывных функций некоторыми обобщениями многочленов Бернштейна. С.-Петербург. 1998. 6 с. Деп. в ВИНИТИог1*.оШ Л«йЗЗ ВЗ&.

3.Меньшикова Ю.С. Приближение непрерывных функций сплайнами по многочленам Бернштейна. С.-Петербург. 1998. 12 с.

Деп. в ВИНИТИ си- й.05.98 №¿191В 92.

Подписано к печати 15 .06 .98 . Тираж 100 экз.

/

V,

россиискии государственный педагогическим

университет имени а.и.герцена

/

На правах рукописи

Меньшикова Юлия Станиславовна

Операторы канонического порядка и сплайны по многочленам Бернштейна

01.01.01. - математический анализ

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор Виденский В.С.

Санкт-Петербург

1998

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение...............................................................3

Глава 1. Обобщенные операторы канонического порядка............24

1.1. Предварительные сведения....................................24

1.2. Доказательство одной теоремы в общем виде..................32

1.3. Обобщение операторов канонического порядка................41

1.4. Обобщение дробно-рациональных операторов..................46

1.5. Обобщение многочленов Бернштейна...........................55

1.6. Бернштейновские модификации для операторов Un............62

1.7. Модификации Кирова для операторов Un......................71

1.8. Итерация операторов Un.......................................76

Глава 2. Приближение непрерывных функций сплайнами

по многочленам Бернштейна..........................................82

2.1. Основные понятия. Свойства центральных моментов..........83

2.2. Основные аппроксимационные теоремы для оператора Bns... .89

2.3. Одновременное приближение функции и ее производных оператором Bns................................................... 92

2.4. Бернштейновские модификации и модификации Кирова

для оператора Bns................................................ 95

2.5. Итерация сплайнов Bns....................................... 103

Литература.........................................................108

ВВЕДЕНИЕ

Одним из важных направлений теории аппроксимации функций являются линейные методы приближения. Стремление использовать для приближения функций именно линейные операторы объясняется важностью многих из них в математическом анализе, а также возможностью построения в этом случае законченной и ясной теории. В 50-е г.г. П.П.Коровкин ввел понятие линейных положительных операторов (л.п.о.), показав, что приближающие свойства операторов во многом зависят от их положительности.

Ведущим частным случаем л.п.о. являются многочлены Берн-штейна для / £ С[0; 1]

Эта конструкция была предложена С.Н.Бернштейном [3] для доказательства теоремы Вейерштрасса о приближении непрерывных функций многочленами, исходя из методов теории вероятностей. В дальнейшем аппроксимационные свойства операторов Вп были исследованы как самим С.Н.Бернштейном, так и многими другими математиками. Многочлены Бернштейна являются удобным инструментом приближения. Они сохраняют такие свойства приближаемых функций, как положительность, монотонность, выпуклость (см. В.В.Жук [22]). В случае гладкой функции операторы Вп осуществляют одновременное приближение этой функции и ее производных. Соответствующая теорема установлена И.Н.Хлодовским (см. В.С.Виденский [8], В.Л.Гончаров [16]). Е.В.Вороновская [13] в 1932 году доказала, что если функция / имеет производные порядка выше, чем второй, то это не улучшает скорость

(0.1)

рпк(х) = Скпх\ 1 - х)"-1.

ее приближения многочленами Бернштейна. Порядок приближения будет 0(п-1). Затем С.Н.Бернштейн [2] обобщил этот результат и доказал асимптотическую теорему для Вп. В работах [4], [5], [6] он исследовал вопрос о сходимости Вп для аналитических функций в комплексной области.

В дальнейшем многие математики изучали различные операторы типа многочленов Бернштейна. В частности, Л.В.Канторович [24], [25] исследовал приближение измеримых функций при помощи операторов, получаемых из (0.1) путем замены f(k/n) на положительные функционалы, являющиеся средним значением функции / на (к/(п + + 1 )/(n + 1)). А.О.Гельфонд [14], [15] построил полиномы типа (0.1) по системе функций 1 ,{xklnmx},k > 0,т > 0, и перенес на этот случай некоторые теоремы о сходимости многочленов Вп и об оценках скорости сходимости. Позже Ю.И.Волков [12] и М.Е.Н.Ismail, C.P.May [44] независимо друг от друга исследовали операторы экспоненциального типа. Такими операторами называются л.п.о. {Fn}, удовлетворяющие условиям

X) = Fn(f(t)(t -х)-,х),пе N, Fn(l;x) = 1,Уж £ [0; 1], где (р(х) 6 С°°[а;Ь],<р(х) > 0 для х Е (а;Ь).

К ним относятся многочлены Бернштейна (0.1), операторы Баскакова, операторы Миракьяна-Саса и другие классические операторы. В.С.Виденский [7] построил дробно-рациональные операторы Qn, частным случаем которых опять же являются многочлены (0.1) Вп.

п

Qn(f; = Е f(Тпк)япк(х) (0.2)

к=0

Основные результаты для Qn изложены в работах В.С.Виденского [7] и А.Э.Менчера[28], а также в их совместной статье [9].

В работе З.Ь.Биггтеуег[42] по бернштейновскому базису были введены операторы

п

Мп(/;х) = X] апк{1)Рпк(х),

к=О

где

1

а»*(/) = (п + 1) / /(*)Р„*(*)<Й.

В дальнейшем эти многочлены исследовала М.М.Бетепшс [43]. В результате, для операторов Мп получены теорема о приближении непрерывных функций, теорема типа Вороновской, а также результат для одновременного приближения функции и ее производных.

В 1962 году В.Г.Амелькович [1] рассмотрела последовательность

л.п.о.

п

Лг(/;ао = Е апк(1)Рпк(х),

к=О

где апк($) - произвольные линейные положительные функционалы. К таким л.п.о. относятся многочлены Бернштейна, Канторовича и Дур-рмейер. В.Г.Амелькович доказала, что если

Нт||Ап(1;х)-1|| = 0,

то

_7А||Л„Ц1 - Х^2

п—>оо

\\шп\\Ап{{1 - хУ)\\ >0.

1—>оо

Затем В.С.Виденский [8] уточнил этот результат, используя для этого другую идею, и доказал, что

Ит 4п||Ап((* -ж)2)|| > 1,

п^оо

причем равенство имеет место для Вп.

При изучении свойств операторов типа (0.1) большую роль играют функции являющиеся значениями этих операторов для ^ —

V = 0,1, 2,... при фиксированном х. Будем называть Бпи центральными моментами этих операторов. В случае многочленов Бернштейна имеем

8„(Вп\х) = Вп((г - х ^ х), V = 0,1, 2,...

Для многочленов (0.1) Вп на эти функции обратил внимание С.Н. Берн-штейн [2], указав для них рекуррентную формулу и оценку. Учитывая влияние свойств 5пг, на поведение л.п.о., В.С.Виденский и Т.П.Пендина [8], [35], [36] ввели понятие л.п.о. канонического порядка, центральные моменты которых характеризуются некоторой правильной скоростью убывания. К таким операторам относятся, в частности, многочлены Бернштейна и Дуррмейер, интерполяционные ломаные, дробно- рациональные операторы, операторы экспоненциального типа И.Ю.Волкова.

Однако, еще П.П.Коровкин [26] доказал, что порядок приближения полиномиальными л.п.о. в пространстве С [а; Ъ] не превышает п~2. В дальнейшем В.С.Виденский [7] распространил этот результат на все л.п.о. ранга п.

Предпринимался ряд попыток построить операторы, которые улучшали бы качество приближения гладких функций. В частности, к этому приводит отказ от положительности линейных операторов. ~Р.2..Ви1ъет [40] рассмотрел линейные комбинации специального вида многочленов (0.1) Вп, которые приближают / £ 0; 1] со скоростью п~к. Используя другой метод, В.В.Тихомиров [37], [38] рассмотрел комбинации многочленов (0.1) с коэффициентами, зависящими от степеней операторов. Порядок приближения для / Е 0; 1] равен п~(к+2\

В тоже время, еще в 1932 году С.Н.Бернштейн [2] построил новую последовательность операторов Рп вида

В результате, в оценке скорости их сходимости стала играть роль Но эта идея получила развитие лишь недавно в работе Д.А.Найко [32] и независимо от него в работах В.С.Виденского [8] и Т.П.Пендиной [35], [36]. Введенные ими операторы для / £ 1] определяются рекур-

рентными формулами.

Дй(/; х) = Bn{f-x),Bn2(f; х) = Бп(/; ж),

Bnv{f; ж) = В„(/; ж) - Е1 х\ v > 3. (0.3)

к=2

Эти формулы являются развитием формулы С.Н.Бернштейна для Рп. Затем В.С.Виденский и Т.П.Пендина [10], [11] применили эти модификации, названные ими бернштейновскими, к различным л.п.о. канонического порядка. Т.В.Ершова [18], [19], [20] показала, что такие последовательности можно применить к линейным операторам Ln. подчиненным условию Ln(l\x) = 1.

Другой способ изменения многочленов Бернштейна (0.1) указал Г.Х.Киров (G.H.Kirov) [45]. Рассматриваемые им операторы задаются не рекуррентным соотношением, а формулой. Однако, порядок приближения дифференцируемых функций такой же, как и у бернштей-новских модификаций.

В 1996 году Campiti М., Metafune G. [41] построили на основе полиномов (0.1) Вп операторы, в общем случае уже не являющиеся положительными. Для них авторы доказали теоремы типа Поповичиу и Вороновской, а также получили результат для одновременного приближения функции и ее производных. Подробнее об этом будет сказано в §2 первой главы.

Иной подход к проблеме ускорения сходимости л.п.о. дает итерация. И.Ю.Харрик [39] и И.П.Натансон [34] рассмотрели итерацию для операторов, коммутирующих с оператором дифференцирования. В.И.Малоземов [27] применил итерацию в периодическом случае. М.Ш.

Джамалов [17] использовал этот прием для многочленов Бернштейна.

В книге В.С.Виденского [8] приведено новое доказательство теоремы Джамалова, не использующее специальных и сложных тождеств, которые были первоначально применены автором. При этом рассматривался оператор

В-пт — I Вп) ,

где I - тождественный оператор.

Порядок приближения с его помощью равен п~т. Т.П.Пендина [35] исследовала итерацию л.п.о. экспоненциального типа. Г.И.Натансон [33] развил идею видоизмененной итерации многочленов Бернштейна, построив оператор вида

<Э»г/=(/- П (1-<*пкВп))Ъ

к=1

где апк = (п- к) — , г Е N.

п\

Им получен результат об одновременном приближении функции и ее производных с порядком п~г.

Некоторые из описанных здесь методов используются в диссертации для построения и исследования новых операторов.

Изложим основное содержание диссертации. Она состоит из введения и двух глав. Первая глава посвящена исследованию операторов, являющихся обобщением л.п.о. канонического порядка. Пусть задан л.п.о.

п

Лг(/; я) = £ /(£п/ьК*(я), (0-4)

к=0

где апк(х) - положительные функции,А„(1; х) = 1, (£пк)1=о " матрица узлов на отрезке [0; 1]. При этом центральные моменты

£>1/(Ап] = — х) ; ж)

характеризуются некоторой определенной скоростью убывания. В рассмотрение вводится оператор

п

х) = X) ипк/(£пк)апк(х), (0.5)

к=О

где {ипк)^=о, п £ N1 - ограниченная последовательность действительных чисел. Оператор Кп, вообще говоря, не является положительным, что отличает его от операторов, обычно применяемых в теории приближения функций. Однако, мы покажем, что для Кп в общем виде можно доказать ряд основных аппроксимационных теорем, используя при этом методы теории л.п.о. Кроме этого, для частных видов л.п.о. канонического порядка, а именно, для дробно-рациональных операторов (0.2) (5п и многочленов Бернштейна (0.1) Вп, более углубленно изучаются свойства соответствующих им обобщенных операторов вида (0.5). Для них при условии предъявления дополнительных требований к матрице действительных коэффициентов п 6 ТУ, получены

теоремы о совместном приближении функции и ее первой производной. В случае обобщенных многочленов Бернштейна также исследуются их модификации, основанные на идеях построения бернштейновских модификаций (0.3), последовательностей Г.Х.Кирова и итерационных операторов для Вп. Доказывается, что все исследуемые конструкции улучшают качество приближения гладких функций по сравнению с исходным оператором.

Первая глава начинается с описания последовательностей л.п.о., для которых в дальнейшем строится ряд обобщений. Мы приводим также для каждого вида л.п.о. те результаты С.Н.Бернштейна, Е.В. Во-роновской, В.С.Виденского, Т.П.Пендиной, Г.Х.Кирова и Т.В.Ершовой, которые затем будут использованы в работе.

В §2 более подробно излагается содержание недавно вышедшей статьи СатрШ М., Metafune С. [41], под влиянием которой возни-

кла идея построения рассматриваемых нами новых операторов. Для / G С[0; 1] авторы исследовали многочлены вида

Fn(f;x) = ±ßnkxk(l-x)n~kf (-),

к=о w

причем коэффициенты (ßnk)k:=Q, n £ iV, задаются при помощи процедуры, обобщающей треугольник Паскаля. Для в статье получены теоремы типа Поповичиу и Вороновской, для доказательства которых использованы специальные вспомогательные операторы. Кроме того, сформулирована теорема об одновременном приближении функции / G 0; 1] и ее производных любого порядка к — 0,р. Однако, эта теорема и предшествующая ей лемма доказаны авторами только для случая р = 1. Поэтому мы приводим доказательство этих утверждений для любого р £ N, при этом обобщая и несколько упрощая метод, предложенный Campiti М., Metafune G.

В §3 рассматривается л.п.о. (0.4) Ап и соответствующий ему неположительный оператор (0.5) Кп. Для возможности использования Кп в целях приближения функций, необходимо, чтобы коэффициенты ипк удовлетворяли условию

(3L > 0)(Vn G N)(\/k = Ö~n) \unk\ < L (0.6)

В теореме 1.3.1 показано, что в случае, когда последовательность л.п.о. {.Ап} является аппроксимирующей, для {Кп} верно соотношение

Пт |Kn(f; х) - f(x)Kn(e0; а?)| = 0 равномерно на [0;1],

где во = ео(t) = 1 на [0;1].

Далее делается допущение, что {Ап} являются л.п.о. канонического порядка, то есть их центральные моменты удовлетворяют следующим условиям. Пусть Мк - константы, зависящие только от к, д(х) - непре-

рывная на [0;1] функция, {7п} - монотонно убывающая к нулю последовательность положительных чисел, таких, что

ШЛ.)||<7г (0.7)

Тогда для центральных моментов операторов Ап выполняется неравенство

-МА»;®) <Мк-д(х)у2пк. (0.8)

Показано, что для модулей центральных моментов х) выполня-

ются неравенства, аналогичные (0.7) и (0.8). Поэтому для Кп представляется возможным доказать теоремы типа Вороновской-Бернштейна. Теорема 1.3.2. Если / £ 1]; то

\Кп(^х)-1(х)Кп(е0;х)-£ <

к=1 К- Р-

В частности, при р = 2 имеем теорему.

Теорема 1.3.3. Для / £ 1] справедливо неравенство

|*„(/;*) - }(х)Кп(е0;х) - - <

< ЬМ2д(хМГ; 7„)7*.

Доказательство проводится по принципиальной схеме , указанной С.Н. Бернштейном [2]. Считая, что / Е С^[0; 1], т.х - фиксированная из [0;1], запишем разложение функции по формуле Тейлора.

лк к\ ~

т = /М + Е + Ы/; ж), (0.9)

•у

где гр(/; х) = - ~~ ХУ ~ остаточный член,

лежит между I ж х. Применим к обеим частям (0.9) оператор Кп и получим

Кп(Кх) = ¡(х)Кп(е0;х) + £ + ДР(КП; ж),

к=1 К-

Sk(Kn, x) = Kn((t - x)k; x), Rp(Kn; x) = Kn(rp; ж).

Таким образом, задача сводится к оценке центральных моментов оператора Sfc(K„; ж) и остаточного члена Rp(Kn; ж). В случае л.п.о. это делается с помощью неравенства Коши- Буняковского и свойств модуля непрерывности функции. Но так как оператор Кп неположителен и для него неравенство Коши-Буняковского неверно, то на определенном этапе надо осуществить переход от Кп к л.п.о. Ап. Порядок приближения непрерывно дифференцируемых функций посредством л.п.о. Ап и оператора Кп одинаков.

Следующий §4 посвящен исследованию свойств оператора Z)n, построенного на основе введенного В.С.Виденским [7] дробно - рационального оператора (0.2) Qn.

п

Dn(f;x) = Ys unk f (тпк)Япк(х), k=0

(unk)k=о? п £ N^ - удовлетворяют (0.6). В работах В.С.Виденского и Т.П.Пендиной показано, что Qn является л.п.о. канонического порядка, поэтому для Dn формулируются теоремы 1.4.1 и 1.4.2 как частные случаи теорем 1.3.2 и 1.3.3 соответственно. Затем требуем, чтобы коэффициенты ипк удовлетворяли следующим дополнительным условиям.

(Зф Е CW[0; 1]) Hm Dn(e0;x) - ф(х)и

Hm D'^-x) = ф'(х) на [0;1] (0.10)

(ЗМ > 0)(Vn £ N)(4x £ С[0; 1]) К(е0; х)\<М.

Доказывается, что в этом случае для / £ C^jO; 1] на всем отрезке [0;1] справедливо утверждение типа Хлодовского (теорема 1.4.3). А именно,

D'nif'i х) = (КхЩх))' равномерно на [0;1].

В ходе доказательства частично используется метод, указанный в [7], при этом выводятся предельные соотношения для обобщенных центральных моментов первого и второго порядка.

В §§5-8 изучаются обобщенные многочлены Бернштейна и их модификации. Пусть многочлены Вп определяются равенством (0.1). Они также являются л.п.о. канонического порядка при 7„ = 1/(2у/п). В §5 задается оператор вида

где коэффициенты ипк определяются условием ограниченности (0.6). С учетом теорем Поповичиу и Вороновской-Бернштейна, известных для Вп [2], [8], [46], формулируются частные случаи теорем 1.3.1 и 1.3.2 для Un с точными константами. Теорема 1.5.1. Если / 6 С[0; то

Предполагая, что для матрицы чисел ипк выполняются дополнительные условия, аналогичные (0.10), если заменить Dn на Un, вычисляем такие пределы.

lim nSi(Un;x)= lim nUn{(t-х);х) = x(l -х)ф'(х),

(0.11)

Теорема 1.5.2. Для / £ 0; 1] справедливо неравенство

\UJJ; х) - Я*Ше0; х) - £ <

к=1

lim nS2(Un;x) = hm^nUn((t - х)2;х) = х(1 - х)ф(х).

На основе этих равенств доказывается теорема типа Вороновской. Теорема 1.5.3. Если / Е 0; 1], и оператор Un(f;x) определяется из (0.11), а коэффициенты unk - из (0.6), (0.10), то

Jim n{Un(f] х) - f(x)Un(e0; х)} = х{1 - х)ф'(x)f'(ж)+ 1

+-х(1 — х)ф(х) f" (х) равномерно на [0;1].

То есть операторы Un для функций, имеющих производные порядка, выше второго, не дают лучшего приближения, чем на классе дважды дифференцируемых функций. Наконец, используя теорему Лагранжа о конечных приращениях и предельное соотношение для S2(Un;x), получаем следующее утверждение.

Теорема 1.5.4. Если / Е и оператор Un(f\x) определяется

из (0.11), а коэффициенты ипк - из (0.6), (0.10), то последовательность {U'nf} равномерно сходится к (/(х)ф(х))1 на всем отрезке [0;1].

Заметим, что операторы Un обобщают многочлены Fn, введенные в [41] и описанные в §2. Можно привести целый класс операторов, которые с одной стороны удовлетворяют (0.11), а с другой, достаточно далеки по конструкции от Fn. Для этого достаточно зафиксировать непрерывную на[0;1] функцию ф и положить ипк = ф{к/п). Кроме того, предложенные нами доказательства утверждений существенно отличаются от тех, что приведены в [41] д�