Интегродифференциальный консервативный метод приближения одномерных и двумерных функций алгебраическими многочленами и сплайнами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

• /ч

На правах рукописи

Бирюкова Татьяна Константиновна

ИНТЕГРОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЙ КОНСЕРВАТИВНЫЙ МЕТОД ПРИБЛИЖЕНИЯ ОДНОМЕРНЫХ И ДВУМЕРНЫХ ФУНКЦИЙ АЛГЕБРАИЧЕСКИМИ МНОГОЧЛЕНАМИ И СПЛАЙНАМИ

Специальность: 01.01.07 "Вычислительная математика"

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва -1997 г.

Работа выполнена в Московском государственном авиационном институте (техническом университете)

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор В. И. Киреев.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор В. Ф. Тишкин, кандидат физико-математических наук, доцент А. В. Янин.

Ведущая организация:

Авиационный научно-технический комплекс имени А. Н. Туполева.

на заседании диссертационного совета К 053.18.09 в Московском государственном авиационном институте (техническом университете) по адресу: 125871, г. Москва, ГСП, А-80, Волоколамское шоссе, д. 4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МАИ.

Защита диссертации состоится

Автореферат разослан: cZUT&Ó,bJj 1997г.

Ученый секретарь диссертационного совета, к.ф.-м.н., доцент

М. В. Ротанина

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы.

В современной вычислительной математике и ее приложениях - при геометрическом моделировании обводов и поверхностей агрегатов летательных аппаратов (ЛА), при конструировании расчетных схем и алгоритмов решения задач математической физики и в других задачах широко используются алгебраические сплайны и многочлены.

В настоящее время наиболее развитыми и математически обоснованными являются методы аппроксимации кубическими сплайнами, которые обобщены на сплайны произвольной нечетной степени. По способу построения эти сплайны -дифференциальные, так как их условия согласования с аппроксимируемой функцией носят дифференциальный характер. Устойчивость сплайнов нечетных степеней обеспечивается симметричностью соответствующих условий согласования на концах каждого частичного отрезка (л, - узлы сетки

Д,: а = хо< *!<...< хп = Ь), а также граничных условий на концах отрезка [а,6].

Однако в большом числе вычислительных задач точность исходных данных соответствует точности аппроксимации параболическими многочленами и сплайнами. При конструировании интерполяционных сплайнов четных степеней указанный принцип симметрии не обеспечивается, что влечет за собой неустойчивость, например, параболических сплайнов, построенных обычным способом. Их регуляризация осуществляется путем сдвига узлов сплайна относительно узлов аппроксимируемой сеточной функции, что существенно усложняет расчетные алгоритмы.

Традиционные параболические сплайны, также основанные только на дифференциальных условиях согласования аппроксимирующих и аппроксимируемых функций, не обладают свойством консервативности в смысле сохранения интегральных свойств (площадей под кривыми и объемов под поверхностями). Однако в современных вычислительных алгоритмах математической физики отдается предпочтение консервативным методам, конструируемым для интегральных законов сохранения массы, импульса и энергии. Поэтому желательно, чтобы аппроксимационные алгоритмы, встраиваемые в расчетные схемы, удовлетворяли условию консервативности. При геометрическом моделировании сложных технических поверхностей соблюдение равенства

площадей и объемов под заданными и искомыми функциями также предоставляет новые возможности в повышении качества аппроксимации.

Из данного краткого анализа следует актуальность разработки новых более совершенных подходов к численной аппроксимации, удовлетворяющих требованиям консервативности, устойчивости, сходимости, экономичности, гибкости при их реализации.

В диссертации предложены и математически обоснованы новые интегродифференциальные многочлены и консервативные йнтегродиф-ференциальные сплайны одной и двух переменных как параболические, так и произвольной четной степени, основанные на интегральных условиях или совокупности интегральных и дифференциальных условий согласования аппроксимирующей и аппроксимируемой функций. При этом для параболических интегродифференциальных сплайнов устойчивость обеспечивается без сдвига узлов сплайна относительно узлов сеточной функции.

Разработаны и методически исследованы устойчивые экономичные алгоритмы нахождения параметров интегродифференциальных сплайнов, позволяющие учитывать локальные свойства аппроксимируемых функций.

Целью диссертационной работы является:

разработка и математическое обоснование консервативного интегродифференциального метода аппроксимации одномерных и двумерных сеточных функций с помощью ИД-многочленов и ИД-сплайнов четныхстепеней, основанных на интегральных условиях или совокупности интегральных и дифференциальных условий согласования аппроксимирующей и аппроксимируемой функций;

- построение одномерных параболических ИД-многочленов и устойчивых консервативных слабо и сильно сглаживающих ИД-сплайнов минимального дефекта (9=1), узлы которых совпадают с узлами аппроксимируемых сеточных функций, а также двумерных параболических ИД-многочленов и слабо сглаживающих ИД-сплайнов дефекта 1;

- конструирование одномерных и двумерных интерполяционных ИД-многочленов и ИД-сплайнов произвольной четной степени;

- изучение аппроксимационных свойств ИД-сплайнов различных типов и методические исследования алгоритмов приближения ими функций одной и двух переменных.

Научную новизну результатов работы составили:

1. Новый консервативный интегродифференциальный метод аппроксимации одномерных и двумерных функций с помощью ИД-многочленов и ИД-сплайнов, обеспечивающий построение устойчивых ИД-сплайнов четных степеней без сдвига узлов сплайна относительно узлов исходной сеточной функции.

2. Методы интерполяции, слабого и сильного сглаживания функций, а также восстановления функций, заданных своими интегралами на частичных отрезках на основе глобальных параболических ИД-сплайнов.

3. Устойчивые экономичные алгоритмы нахождения параметров глобальных параболических ИД-сплайнов, позволяющие учитывать локальные свойства аппроксимируемых функций.

4. Теоремы сходимости одномерных и двумерных слабо сглаживающих параболических ИД-сплайнов при аппроксимации ими функций различных классов гладкости.

5. Одномерные и двумерные интерполяционные ИД-многочлены и ИД-сплайны произвольной четной степени, узлы которых совпадают с узлами аппроксимируемой сеточной функции.

6. Результаты сравнительного численного анализа новых интегродиф-ференциапьных сплайнов и традиционных дифференциальных сплайнов.

Теоретическое и практическое значение.

Теоретическая значимость результатов диссертации определяется построенными в ней интегродифференциальными сплайнами и многочленами произвольной четной степени, предложенными методами интерполяции и сглаживания сеточных функций на основе ИД-сплайнов и ИД-многочленов, а также консервативностью интегродифференциального метода.

Практическая значимость результатов диссертационных исследований состоит в том, что интегродифференциальный консервативный метод приближения функций соответствует характеру современных численных схем, используемых при расчете течений жидкостей и газов, которым присуща консервативность, и предоставляет новые возможности в построении аппроксимационных операторов. Метод аппроксимации на основе одномерных и двумерных ИД-сплайнов позволяет сохранять площади и объемы под аппроксимируемыми функциями, что обусловливает их перспективность при аппроксимации сложных технических поверхностей и обводов пространственных аэрогазодинамических форм ЛА, обладающих интегральными свойствами.

Достоверность исследования и полученных результатов вытекает из математической обоснованности постановок рассматриваемых задач, обусловлено соответствующими доказательствами теорем сходимости ИД-сппайнов и устойчивости -алгоритмов аппроксимации и подтверждается проведенными вычислительными экспериментами по аппроксимации одномерных и двумерных функций ИД-многочленами и ИД-сплайнами.

Апробация работы.

Основные результаты, изложенные в диссертации, докладывались

- на XIII Школе-семинаре по комплексам программ математической физики, (Новосибирск, 26 сентября - 4 октября 1994 г.);

- на Молодежной научной конференции "21 Гагаринские чтения" (Москва, 4-8апреля 1995г.);

- на Международной конференции "Математические модели и численные методы механики сплошной среды", посвященной памяти академика Н. Н. Яненко (Новосибирск, 26 мая - 2 июня 1996 г.);

- на Международной конференции по вычислительной и прикладной механике (Москва, 5-8 февраля, 1997 г.);

- на семинаре чл.-корр. РАН Пирумова У. Г. в Московском государственном авиационном институте (техническом университете) на кафедре "Вычислительная математика и программирование" (май 1997 г.).

Публикации. По теме диссертации опубликовано семь печатных работ.

Структура и объем работы.

Диссертация состоит из шести разделов (включая введение и заключение) и списка литературы, содержащего 138 наименований. Работа изложена на 152 страницах машинописного текста, содержит 12 рисунков и 11 таблиц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В первом разделе - введении - дается краткий обзор литературы по теме диссертации, раскрывается актуальность темы исследования, излагаются цели диссертационной работы, результаты, выносимые на защиту и структура диссертации.

Во втором разбеле вводятся определения одномерных ИД-сллайнов и ИД-многочленов, конструируются одномерные параболические ИД-многочлены и локальные интерполяционные ИД-сппайны, доказываются теоремы об оценках

погрешностей аппроксимации ими функций различных классов гладкости. Рассматривается метод сглаживания сеточных функций, заданных с погрешностью, с помощью многочленов наилучшего интегрального приближения, основанных на интегральном условии согласования с аппроксимируемой функцией.

Определение. Пусть на отрезке [а,6] на сетке несовпадающих узлов

Д\.а = х0 < Л) <...< xj < х/+1 <...< дт„_| < х„ - Ь (1)

л-1

задана функция fl = /(х,) (1=0...м). Функция 5}.91(х)= у5г /(дг), определенная на

/=0

отрезке [а,Ь~\ и принадлежащая классу гладкости С™а составленная из совокупности звеньев называется одномерным алгебраическим

интегродифференциальным сплайном степени г дефекта ц{0<т<г.д = г-т) с узлами на сетке Д^ если каждое звено сплайна при х е[х,-,х/+1] (;=0,...п-1)

представляется в виде многочлена г -ой степени 5г /(х)= (х-х,-) с

*=о

коэффициентами ак / , определяемыми из совокупности интегральных и дифференциальных условий согласования:

*(Ч1 Г! + 1

|5л/(х^г = /;>1, где /;41 = |/(х)А, (2)

X, X,

= /Г , где (* = *, ,• + 1) (3)

(/7, -порядки производных, принимающие целые значения из интервала 0<рх<т)

и условий непрерывности сплайна и его производных во внутренних

узлах сетки Др

=5^)(х)| (/=1,...«-1), (4)

1 Х=1/

где рг - порядки производных, принимающие целые значения из интервала

Многочлен 5Г(х) степени г, аппроксимирующий функцию /(х) на отрезке и удовлетворяющий на этом отрезке интефальному условию согласования (2) в совокупности с дифференциальными условиями согласования вида (3), называется.интегродифференциальным многочленом.

Классические интерполяционные многочлены второй степени (например, многочлен Лагранжа Л2(х) ) определяются только функциональными условиями согласования ■ и строятся на трехгочечном шаблоне. Такой способ характеризуется отсутствием гибкости и невозможностью "подстроить" алгоритм интерполяции в соответствии с локальными свойствами функции, реализующимися внутри шаблона, например, в областях быстрого изменения интерполируемой функции или в местах разрыва ее производных.

Использование интегродифференциального подхода позволяет повысить гибкость интерполирования, поскольку для ^построения параболических ИД-многочленов используется двухточечный шаблон и ! для более точного вычисления интегралов в особых локальных зонах можно конструировать алгоритмы, учитывающие поведение функции в данной конфетной области. Для этого могут быть применены полученные в диссертации различные виды квадратурных формул, построенных на нерегулярном шаблоне.

Так, одномерные ИД-многочлены второй степени на отрезке дг;+1]

52ИД1,/(*)=// +

6У//+1 2А/;+)

-■ А/,

6У//+1 зд//+1)

А/+1- Ь.

Г

■х-х,)2. (5)

1+1 ^

Х2ИД2,/(*) = | ---4-^» ~

1 0

+ + (6)

2/1,

'/+1

(где А/М=/М-Л, Д/}'+1= //+1-/Л Т/,'+1=/,'+1-/Л+1)

конструируются на основе интегрального условия согласования многочлена и аппроксимируемой сеточной функции /(*,) в совокупности с условиями интерполяции (3) при рх = 0 (многочлен (5) ) или дифференциальными условиями согласования (3) при ^ = 1 (многочлен (6)).

Из ИД-многочленов (5), как из звеньев, можно построить локальный

п-1

ИД-сплайн. имеющий в общем случае дефект, равный 2: ЗгидК*) =и^2ИД1,;М •

1=0

В работе получены оценки погрешностей аппроксимации функций различных классов гладкости ИД-многочленами (5), (6).

Здесь приводятся оценки для многочлена (5), обобщенные в виде следующей теоремы.

Теорема 1. Если параболический ИД-многочлен ¿^идмС*) на отрезке интерполирует функцию j (т - 1,2,3) , причем параметры

ИД-многочлена //+1, fk (k-i, /И) известны точно или вычислены с точностью не ниже 0(hm+2), 0(/im+1) соответственно, то справедливы оценки:

где /7=0,1 - порядок производной, fgfcf. = шах [g(jc)| - равномерная норма, Тт р- константы, приведенные в таблице 1.

Таблица 1.

—^Кпасс функции fix) Константа Г3 Г2 Г1

Tmfi —"7= « 0.008019 72л/3 —-7= « 0.028284 25л/2 1 6

Тт, 1 1 12 1 4 2

Для аппроксимации функций, заданных в узлах сетки приближенно: Ui = f(xi)±c,}"=Q (cj - погрешности измерения значений функции), в работе предлагается метод сглаживания сеточных функций на основе многочленов наилучшего интегрального приближения Рг (х).

Эти многочлены учитывают как точечные, так и интегральные свойства аппроксимируемых функций и основываются на интегральном условии согласования многочлена Рг (х) степени г и функции /(*,).

Многочлены наилучшего интегрального приближения степеней г=1, 2, 3 на

регулярной сетке (й, =—, М,...гЧ, А=*г+.-д-0 =6-а, р=г+1), где р - число Р

интервалов разбиения отрезка [о,г>], имеют вид:

где Alop = ll"p-Iop.... &т1оР = Ат~х12ш'рр- Л1"-1/^- конечно-интегральные разности, Ikk$P = ¡f(x)dx.

хь+byh/p

Значения интегралов ¡^¡^ вычисляются по осредненным данным.

Получены также рекуррентным методом формулы для многочленов наилучшего интегрального приближения до 7-й степени.

В диссертации найдены оценки погрешностей аппроксимации функций многочленами наилучшего интегрального приближения степеней #-=1,2, 3 в узлах

х * — .vq + j— . гдеу = 0,... г+1, Л = .г,+гдг0 = А-а, p = r +1. J P

В третьем разделе рассматриваются различные типы задач аппроксимации функций и методы их решения на основе одномерных параболических глобальных ИД-сплайнов дефекта 1, обладающих свойством консервативности.

1. Задача слабого сглаживания сеточных функций.

Пусть на сетке Д] (1) задана функция {// =/(*,)±е,}"=0 , где 6, -погрешности измерения или вычисления значений функции, не превышающие С(Я3) (Н = шах И,).

Требуется построить глобальный параболический ИД-сплайн S^O) с узлами на сетке A1? имеющий погрешность аппроксимации Ц^ид« -/М|| = шах|^цд(дг) -/М|. не превышающую 0(Нг) (для Дх) (т>Ъ)),

и удовлетворяющий на каждом частичном отрезке [xbjci+1] (¿ = 0,...п-1) интегральному условию согласования (2) и условиям непрерывности сплайна и его первой производной ((4) - прир2=0,1) в узлах сетки Д,.

Данный метод аппроксимации будем называть методом слабого сглаживания, а соответствующий сплайн - слабо сглаживающим сплайном.

2. Задача сильного сглаживания сеточных функций.

Пусть в узлах сетки Д, приближенно задана функция {/, = /(jc/)±e(},''=0 , где е, - погрешности, превышающие (ДЯ3). Требуется построить сглаживающий глобальный параболический ИД-сплайн дефекта </ = 1, удовлетворяющий интегральному условию согласования (2).

Данный метод аппроксимации будем называть методом сильного сглаживания, а соответствующий сплайн - сильно сглаживающим сплайном.

3. Задача восстановления функций по интегралам.

Пусть функция /(*) определена значениями интегралов от нее на частичных

г1+1

отрезках [х,,] (_х, (/=0,...я) - узлы сетки д,): /¿, ...../,','_| . где /}+1 =

Требуется восстановить функцию путем построения глобального параболического ИД-сплайна дефекта ц=\.

Для решения первой из указанных задач в работе построены параболические слабо сглаживающие ИД-сплайны.

Для этих сплайнов разность значений сплайна и функции как в узлах сетки Д(, так и на всем рассматриваемом отрезке при аппроксимации функций

класса С^ц (т> 3) имеет порядок <9(/-/3) и, таким образом, указанные сплайны близки к интерполяционным. Во многих практических задачах порядок точности исходных данных не превышает 0(Н■'). В этих случаях слабо сглаживающие сплайны в сущности являются интерполяционными, так как они обеспечивают выполнение условий интерполяции в узлах сеточной функции с порядком 0(Я3).

Однако в отличие от традиционных интерполяционных параболических дифференциальных сплайнов &д(лг), устойчивость ИД-сплайнов обеспечивается

без сдвига узлов сплайна относительно узлов аппроксимируемой сеточной функции, что обусловлено применением интегрального условия согласования. При этом ИД-сплайны обладают свойством консервативности, а алгоритмы их построения характеризуются простотой реализации и экономичностью.

Звено 1-го слабо сглаживающего ИД-сплайна %зд1С*) на отрезке [.г,,х,+1] имеет вид (5), где вместо Л используются их слабо сглаженные значения /)■.

Для обеспечения непрерывности первой производной сплайна ¿ыодСх), его параметры /} (¡=0,...«) определяются из трехдиагональной системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ):

>ц Ьм) А-1

,/-!1 г/

Ч_ 4-1

.2. ,2

/ = 1,...л-1. (7)

Граничные условия можно задать в виде: /о=/0=/(х0), ?„=/„=/(хп).

Звено 2-го слабо сглаживающего ИД-сплайна ^гидаМ на отрезке имеет вид (6), где вместо // используются значения Ш¡ = §2идг./С*»)-

Для обеспечения непрерывности сплайна ¿>2идгМ. ег0 дифференциальные параметры Ьц находятся из трехдиагональной СЛАУ:

mi-\hi + 2mi (f'i + hM ) + ml+lh,+l = 6

ül.ik. h, )

V"/+l

/ = 1,...п-1.

(8)

В случае равномерной сетки узлов можно использовать следующие

граничные соотношения: щ = -у (-2/о +3/^), т„ = -~(/,"Гз - З/^'г] + 2//,'_]).

к к

В работе предложены и исследованы также другие типы граничных соотношений для равномерных и неравномерных сеток.

Системы (7) и (8) имеют диагональное преобладание и для их решения применяется экономичный метод прогонки.

Для вычисления интегральных параметров сплайнов могут быть использованы лево- и правосторонние квадратурные формулы:

У hf

~ 6Я/+1

, w;+l TJ3(/+1) „3(1+1)

1 f , Hi Hi f . H2i r

- , JM + Ii + , 2 V/'-l

hM hfhM hf

„4M)

¿41 +

fi!+lfip , 1 , Ii ~ Ii-1

А;

(9)

(10)

бя, V "i+1 где + р/г,+1.

В диссертации показано, что сплайны S2iai(x) и ЗгидаМ являются эквивалентными при эквивалентных граничных условиях и одинаковых значениях интегральных параметров /¡+l.

Для параболического ИД-сплайна 52вд1(х)в работе доказана следующая теорема сходимости.

Теорема 2. Пусть функцию /(х) (х е [а,6]), заданную с точностью не ниже ОС//4) на сетке Aj (1) с параметром неравномерности сетки Q= шах h, j min А,,

аппроксимирует слабо сглаживающий параболический ИД-сплайн S2tWi(x). Тогда, если f(x) еС^ ¿j и параметры //+1(/=0,...л-1) определяются по формулам

v

(9), (10) , a J] (/' 0,...л) - из трехдиагональной СЛАУ (7) с краевыми условиями 7о=/о=/(-го). /,=/„=/(*»)■ то справедливы оценки:

где р=0, 1 - порядок производной, а константы имеют значения: 1 1 U 25

~ 72л/з ' 7j-,_I2' Л°~48> Л'-24 '

Таким образом, при/(г) еCjJa ^ сплайны S^iwiM равномерно сходятся к

функции /О) на последовательности сеток Д^: а = х0 < <...<*„_[ <х„ = Ь, по крайней мере, со скоростью Я3, а их производные ^'цдiМ равномерно сходятся к f{x), по крайней мере, со скоростью Нг с ростом п.

В работе получены также оценки погрешностей аппроксимации функций, принадлежащих классам гладкости с{а и С^ ц.

В диссертации приводятся экономичные алгоритмы нахождения параметров слабо сглаживающих ИД-сплайнов, позволяющие учитывать локальные особенности аппроксимируемых функций.

Методические расчеты, проведенные для параболических слабо сглаживающих ИД-сплайнов при аппроксимации ими функций различных классов гладкости, показали, что в ряде случаев они обеспечивают более точное приближение, чем традиционные параболические дифференциальные сплайны.

Сопоставление результатов приближения функций -с ломощью ИД-сплайнов с результатами для классических дифференциальных сплайнов проводилось по двум нормам:

Я[а,4]= I!sW -/М IL,= шах | S(x) -/(х) | - равномерная норма,

(п - число интервалов разбиения отрезка [а,Ь]).

Результаты сравнения аппроксимации сплайном 52вд](дг) и традиционным дифференциальным' сплайном ^здО) гладких функций /¡(х)=х4 и /2(х)=ет приведены в таблице 2.

"MJ V

1/2

(k»n) - среднеквадратическая норма

Таблица 2.

Функция Сплайн Норма я= 10 « = 20 п = 40 « = 80

[-0.9, 1.0] ЦД 1 (х> | 0.0020317 0.0008212 0.0002074 0.0000748 0.0000232 0.0000084 0.0000027 0.0000010

К\ «Л ЬцяМ 0.0085097 0.0017382 0.0010969 0.0001637 0.0001392 0.0000157 0.0000175 0.0000016

[0.1,2.0] Ща,Ь\ 0.0005706 0.0001783 0.0000621 0.0000194 0.0000071 0.0000023 0.0000008 о.ооооооз

0.0026280 0.0004141 0.0003380 0.0000397 0.0000429 0.0000039 0.0000054 0.0000004

Сравнение значений норм ^ и ¿2_[а,б] Для сплайнов 5;(а1(х) и б'гдМ позволяет сделать вывод, что ИД-сплайн 5Чщ|(х) лучше приближает рассматриваемые функции /(х), чем сплайн ¿>"2д(», поскольку 1\аь] и ^2,[а,Ь) для §2цщ(.г) имеют меньшие значения, чем соответствующие нормы для Из данных, приведенных в таблице 2, также видно, что ИД-сллайны сходятся к аппроксимируемым функциям, о чем свидетельствует уменьшение норм при возрастании п .

ИД-сплайны имеют преимущества и при аппроксимации негладких функций. На рис. 1 (А) представлен график ИД-сплайна ¿>2ид ¡СО, аппроксимирующего

функцию /0)=М. имеющую разрыв первой производной в точке х*= 0, при равномерном разбиении отрезка [«,/>] (л=10, о=-1.0,6=1.0), а на рис. 1 (В) крупным планом показана часть этого графика в окрестности особой точки .г*= 0 и, для сравнения, сплайн ЗгдМ в этой же области.

В

®2ИД1(Х)

---ЭздМ

«Х) = |Х|

ооо узлы сплайна

-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0

-0.3

0.0

На рис. 1 (Б видно, что отклоне ние в окрестности точки х=0 сплайн;

от аппрок

симируемой функци! /(.г) меньше, чел отклонение 6'2д(х 0.3 от /(х).

Рис. 1.

Для решения задачи 2 (сильное сглаживание) можно применять уже рассмотренные ИД-сплайны ид и ^2ЦД2(-Х). 60011 их интегральные

параметры //+1 (/^0....«-!) вычислять так, чтобы получающиеся сплайны осредняли погрешности измерений или вычислений и восстанавливали исходную функцию /(.т) .

В этом случае значения интегралов /,'+| находятся на основе выделения "рукава" разброса значений функции _/)■ и дополнительного осреднения самих

верхней и нижней

На рис. 2 представлен график сильно сглаживающего ИД-сплайна 5,1П|(.г),

аппроксимирующего 1

функцию /(.г) = , 1 + 25.г"

на отрезке [-1, 1].

Показан "рукав", построенный для вычисления интегральных параметров.

Рис. 2.

Для решения задачи 3 (восстановление функции по интегралам) также используются ИД-сплайны 5г21щ1(.т)и ЛщгМ- В этом случае в качестве интегральных параметров сплайнов следует использовать заданные или заранее вычисленные значения интегралов /,'+1 (/- 0,...и-1).

В четвертом разделе на основе одномерных интегродифференциальных параболических многочлейов и сплайнов конструируются двумерные параболические ИД-многочлены и ИД-сплайны, сохраняющие равенство объемов под аппроксимируемой и аппроксимирующей функциями.

Задача слабого сглаживания функции двух переменных с помощью двумерного параболического ИД-сплайна дефекта 1 по г и по V ставится следующим образом.

интегралов: ( (в) и (н) относятся к

огибающим, составляющим "рукав").

Пусть на сетке Д2 =ДххД„ (Дх: a хо-.г| .х„ Ь, &у: с -уоу\<■... ■ ун ■- d )

задана функция двух переменных [/Ij=f(xi,yj)+Qjj}"l0ji0 , где 0,j (i = 0,...nx,j = 0,...nv) - погрешности измерения или вычисления значений

функции, не превышающие £?(#*+#£) (шах hxi, Ну= max h...). Пусть

i = l, лх 7= 1,..лг

также либо заданы, либо предварительно вычислены по значениям /¡j (/=0,... пх, у=0,...пу) двойные интегралы II J{ f{x,y)dxjy (¿=0,...n^-l, у=0,...л(-1) с

точностью не ниже 0(Н1+Ну) во всех частичных областях Qj j - [х,, х<+1 ] х [уj ,yj-\ ], образуемых сеткой Д2.

Требуется построить глобальный параболический ИД-сплайн S22 ид(-г.З') с узлами на сетке Д2, имеющии для функции f(x,y) еСа ' (тх> 3,ту> 3)

погрешность аппроксимации _2 щ (х, ><) -/(х, 1 = тах\5221щ(х>У)-^(х,у)\,

11 " о ' ' 1

не превышающую 0(Нх+Ну), и удовлетворяющий условиям:

1) двумерному интегральному условию согласования с аппроксимируемой функцией:

\1^г,2^,уУ1хс1у=12^+\ {М),...Пх. 1,гО,..мг1), (11)

2) условиям непрерывности сплайна 52дИд(х,у) и его частных

с-^дид^Г) 3^2т(х,у) г2%цц(х,>1)

производных до порядка 1 пох и у :---, -, - на

дх ду . охду

границах частичных областей О,-у и, следовательно, во всей области П.

Двумерные слабо сглаживающие ИД-сплайны 522 и д (*>.у) строятся на основе одномерных ИД-сплайнов ^цщСх), рассматриваемых в разделе 3 диссертации.

Формула звена одномерного слабо сглаживающего ИД-сплайна 52ВД|(х) на отрезке в форме Лагранжа записывается следующим образом:

где (0<и<1), = №(") = ('-"XI-За), ^(и) = и(Зи-2).

Тогда звено двумерного слабо сглаживающего ИД-сплайна

,\2 2ид(л".>') = и и^2,21Щ(/,у!( г-> ' 3 частичной области О/у имеет вид:

<=0 7=0

х— х У-У/

XI+1 ">'741

'+1.7+1 , м /+1

!гхМ

-1

</ъ(и) (и) . <Р(У) =

- ?>зМ V

I /и 7. ?.

' у ЛО ■>'.] 1

'уУ(/+1) //+1,7 //+1,7+1

-И/,,

/Г'/(У)= |/(х,У/)<&. ^'7©= . Ду - параметры, вычисляемые аналогично

соответствующим параметрам одномерного сплайна .

8 работе предлагаются экономичные устойчивые алгоритмы нахождения параметров двумерного параболического слабо сглаживающего ИД-сплайна, обеспечивающие непрерывность сплайна и его производных до 1 порядка по каждой из переменных.

Для сплайна ид(-г.у) в диссертации доказана следующая теорема сходимости.

Теорема 3. Пусть функцию двух переменных /(х,у) , определенную в области О, заданную с точностью не ниже на сетке Дг, аппроксимирует

слабо сглаживающий глобальный параболический ИД-сплайн ¿гдвдСх,у). Тогда, если параметры сплайна 12'¿У" 1(/=0,.../г1-1 /=0,...1), 1^^(1=0,...пх-1, у=0,...пу),

(г=0,...пх, г0,..мг1), ¿к] (Н»..„ пх-1, /=0,...пу1) находятся по алгоритму, обеспечивающему непрерывность сплайна ^гцдО^-У) и его производных до порядка 1 по л и у (приведенному в диссертации), то справедливы оценки:

+кХРг кХРу и3-р» ,

где рх=0,1 ,ру=о, 1- порядки производных по л и по у соответственно;

'V

<У уФ,у)=---

'''; - \Р+кр£1хР*Чру = гз,ру+круву Р> ;

дхР*дур>-

константы Г3 р и ЛТр (р=рх,ру) - те же, что и в теореме 2 для сплайна 52цд 1 (х);

Ох = тах Ь,-. / шт /;г.;О,. = тах И.ч / гшп Л....

,3,3

Таким образом, при /(г,у) сплайны и их производные

01'*'Ру§22ид(х,у) {рх =0,1, ру - 0,1) равномерно сходятся к функции /(х,у) на последовательности сеток дК-">-)= х Д<»,) (ДК). а_х<). г,< х Д^Я: с=Уо<>'1<...<>'ч =а'), по крайней мере, со скоростью А с ростом «х, яу.

На рис. 3 (А) представлен график двумерного слабо сглаживающего ИД-сплайна ^'2,2 ид (■*> у). аппроксимирующего в прямоугольной области

[а,Ь\ х [с,(1] = [-2.0,2.0] х [-2.0,2.0] сеточное представление функции /(.г,у) = ¿~х~~у~>, заданной в узлах сетки Д2= Ахх д^ (пх=пу=10, сетки узлов Ах и д,- равномерные).

На фафике выделена сетка линий (жирные линии), проходящих через точки (•^•.Ду). где (/=0,...ях), Ц=0,...пу) - узлы сеток Д*, Ау, /и = /(.г, ,у7).

На рис. 3 (В) изображено сечение функции /(.г,у) и аппроксимирующего ее сплайна 52,2ид(-г>.>') плоскостьюу=0.

А В

Исходная функция —— Сплайн О Узлы сплайна

2 -2

О * -1 ось ^

Рис. 3.

На рис. 3 видно, что двумерный слабо сглаживающий ИД-сплайн с высокой точностью приближает функцию .

В пятом разделе конструируются одномерные и двумерные интерполяционные ИД-многочлены и ИД-сплайны произвольной четной степени.

Формула ИД-многочлена Л'2/лидиМ одной переменной степени 2т, аппроксимирующего функцию /(.г) на отрезке и удовлетворяющего

условиям (2) и (3) - при Р1 =0,...т-1. имеет вид:

ИД1,/(-*) = Т^-!)(»)/;+1 + + »"аМ/ж 1 . (12)

">>1 а=0

где и--

"/41

Ее;

*=О

СО < ^ < 1); ¥а(и) = {-\)а<ра(\-и), а=0,.../га-1;

* (-') т±к+\

(а=0,...т-1).

лмг-1 ,

У — гР

Р=0

- т-а—1# 1 т / п

_!__у 1гИ .V г*

т ( х\к 1а» ^ т алШ+1

угк (~1) р=о Vй' *=о «пи*™.

к=о

п-1

Сплайн •52отИд1(дг)= и 52тид1)/(а:)> составленный из многочленов

/=0

ЗгтидиМ (12) как из звеньев, является интерполяционным, имеет непрерывные производные до порядка т-1 на отрезке [а,/>] и удовлетворяет интефальному условию согласования (2) на каждом частичном отрезке

Двумерный ИД-многочлен 52т¿т ид,(/,/)(*>У) степени 2т по х и у в частичной области £2, • имеет вид:

52т,2ш ид(м) (*.>') = <РГ(")Р<Р(У). где

«г/41

п <>и+1 /+1 'г/0) ,+1 'х/0+1) " *'0) 1+1 " х/(у+1) ,т-\, '+1 ' 'х/0) ,т-1, '+1 " '1/(7+1)

'>'7(0 ¿.7 /•(ОД) жо ,(0^1) ''7 /-(Оти-1)

7/,7+1 /',7+1 Л\у+1

'уАМ) Л+м Л+1,7+1 /•(0,0 /»и /■(0,1) Л+1,7+1 ЛО/п-1) ' /'+и ,(0,т-1) •/'+и+1

<и ^ ЖО) ли гО,о) 7/,7+1 /-(1.0 /',7 /•(1,1) /'.7+1 ,(1,^-1) ' /'.7 /-(17^-1) -'',7+1

,п 7+1 у-0,0) .//+1,7 /-0,0) 7,+1,7+1 Г(М) /■(1.1) Л+у+1 • /'+и ,(1,т-1) -''+1,7+1

• т-\, 7+1 Лт-Щ Ат-Щ

и 'уЛ') А/

,т-\, 7+1 Лт-1,0) Ат-щ Лт-1,1)

- 'У КМ) •''+1,7 Л+1,7+1 Л+1,у

■//,7+1

,(»41)

Л+и+1

,(т-1,т-1)

А/

АяьЛ^нЛ)

Л+1,7

,(т-1,/я-1)

А/+1

(т-1/7? --1)

»+1.7+1

ра('Х 0 (' = V), а=0,.../п-1 - те же, что и в формуле (12) одномерного ИД-многочлена .

Параметры ИД-многочлена ^„¿т ид,(/,у)(*>>') представляют собой:

а,, Зуау

хм

У)* 1

У]

-

" '*<0Г

и ^

./а, 7+1_

У=У,

>>1

&а

¿у

Из ИД-многочленов цдх1г/)(х,у), как из звеньев, можно составить

Лх-1 Иу-1

двумерный ИД-сллайн - 52т,2етид(*>.и) = и и ИД,(/,/) (х- ' > имеющий

;'=0 7=0

дефект т+1 по х и у. ИД-сплайн ¿^¿т ид(х.>) п0 построению является

интерполяционным и удовлетворяет двумерному интегральному условию согласованиями) в каждой частичной области С2, у.

В шестом разделе - заключении - обобщаются основные результаты исследований, выполненных в диссертационной работе.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. Для аппроксимации сеточных одномерных и двумерных функций предложен новый класс интегродифференциальных консервативных многочленов и сплайнов, основанных на интегральных условиях или совокупности интегральных и дифференциальных условий согласования аппроксимирующей и аппроксимируемой функций.

2. Получены и математически обоснованы интерполяционные, слабо и сильно сглаживающие параболические ИД-сплайны, а также сплайны, восстанавливающие функции по значениям определенных интегралов.

3. Разработаны глобальные устойчивые алгоритмы нахождения неизвестных параметров одномерных и двумерных параболических ИД-сплайнов, обеспечивающие их минимальный дефект (д=Л). При этом устойчивость ИД-сплайнов, в отличие от традиционных дифференциальных параболических сплайнов, обеспечивается без сдвига узлов сплайна относительно узлов сеточной функции.

4. Предложены и исследованы способы учета локальных особенностей функций при их аппроксимации глобальными одномерными и двумерными ИД-сплайнами.

5. Получены оценки погрешностей аппроксимации функций одномерными и двумерными параболическими ИД-сплайнами и доказаны теоремы их сходимости.

6. Построены одномерные и двумерные интерполяционные ИД-многочлены и ИД-сплайны произвольной четной степени, узлы которых совпадают с узлами аппроксимируемой сеточной функции.

7. Методически исследованы свойства ИД-многочленов и ИД-сплайнов при аппроксимации ими функций различных классов гладкости.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Киреев В.И., Патрикеева (Бирюкова) Т.К. Интегродифференциальные консервативные сплайны и их применение в интерполяции, численном дифференцировании и интегрировании. // Вычислительные технологии, Новосибирск, ИВТ СО РАН, 1995, т.4. № 16, с. 233-244.

2. Патрикеева (Бирюкова) Т.К. Интегродифференциальные сплайны и их применение в задаче интерполяции геометрических форм, численном дифференцировании и интегрировании. //Тезисы докладов на Молодежной научной конференции "21 Гагаринские чтения", Москва, МАТИ, 4-8 апр. 1995, с. 42.

3. Киреев В.И., Патрикеева (Бирюкова) Т.К. Полиномиальные интегродифференциальные одномерные и двумерные сплайны. II Тезисы докладов на Международной конференции "Математические модели и численные методы механики сплошных сред" под ред. Ю.Н. Шокина. Новосибирск, 26 мая - 2 июня, 1996, с.325-327.

4. Киреев В.И., Патрикеева (Бирюкова) Т.К. Сглаживающие многочлены наилучшего интегрального приближения и их применение в задаче аппроксимации сеточных функций. IIВ сб. трудов Всероссийского семинара по черчению и компьютерной графике "Совершенствование подготовки, студентов в области графики, конструирования и стандартизации", Саратов, 1996.

5. Киреев В.И., Патрикеева (Бирюкова) Т.К. Консервативный ингегродиф-ференцйапьный сплайн-метод сглаживания газодинамических параметров. // Тезисы докладов на Международном симпозиуме "Актуальные проблемы механики сплошных и сыпучих сред". Москва, 5-8 февр., 1997, с. 101-102.

6. Бирюкова Т. К., Киреев В. И. Интегродифференциальные интерполяционные и сглаживающие параболические сплайны и многочлены. II Деп. в ВИНИТИ 01.04.1997, № 1016-В97, 80 с.

7. Бирюкова Т. К., Киреев В. И. Параболические интегродифференциальные сплайны в задачах интерполирования и сглаживания одномерных и двумерных функций. // Вестник МАИ, т. 4, № 2, 1997, Принято к изданию.