О приближении гладких функций модификациями многочленов Бернштейна тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им. А.И.ГЕРЦЕНА

На правах рукописи

ЕРШОВА Тамара Викторовна

О ПРИБЛИЖЕНИИ ГЛАДКИХ ФУНКЦИЙ МОДИФИКАЦИЯМИ МНОГОЧЛЕНОВ БЕРНШГЕЙНА

01.01.01. - математический анализ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург - 1994

Работа выдолнена на квфедре математического анализа Челябинского государственного педагогического института.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор ВИДЕНСКИИ Виктор Соломонович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Академии гражданской авиации (г. С.-Петербург) ШИРОКОВ Николай Алексеевич;

кандидат физико-матэматичэских наук, доцент Санкт-Петербургского архитектурно-строительного университета ШМАКОВА Инна Борисовна.

Еедущая организация: Санкт-Петербургский государственный университет

Защита состоится "16"_кпягчря-_ 1994 г.

а 16 час. 15 кие. на заседании Диссертационного Совета К 113.05.14 по защите диссертаций на соискание ученой степени кандидата наук при Российском государственном педагогическом университете имени А.И.Герцена (191185, г.Санкт-Петербург, наб.реки Мойки, 48, корпус I, ауд.209).

• С диссертацией можно ознакомиться в фундаментальной библиотеке института.

Автореферат разослан " 14" акгясая

1994 г.

Ученый секретарь Диссертационного совета

И.Б.Готская

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В теор»: пгкбл-::кеккя функций езвд'ю роль игревт линейные полоииелььше операторы (кратко: л.п.о.). Оки были введены в рассмотрение П.И.Хоровкиам s 50-9 годы. Л.п.о. получил: пфоков применение э теоретических исследованиях и в прикладных областях математики.

Но недостатком этих операторов является их медленная сходимость к приближаемой функции. П.П.Корозкиным было доказано, что порядок приближения полиномиальными л.п.о.степени

п не может быть вше п~г г пространстве С!а,Ъ].

Многочлены Бернштейна относящиеся к л.п.о., являются

простым к удобным аппаратом приближения, сохрвЕягаим некоторые важные свойства аппроксимируемой функции. Ео Е.В.Ворэнозская [1] в 1932 г. доказала, что порядок приближения многочленами Берклтейна для сколь угодно раз дифференцируемой функции не

может быть лучае, чем п~1.

Отказавшись от положительности операторов, иокно улучшить качество приближения. В том же 1932 г. С.Н.Бэрнштейн [2], видоизменив последовательность многочленов Вп, рассмотрел новую

последовательность операторов Qn. Он показал, что порядок

приближения операторами бп функций / е o^4ho,U равен п~2.

Развивая идею С.Н.Бернштейна, в 1987 г. В.С.Бэденскиа [33 к Т.П.Пендина построили модификации Bnv для приближения

/ в c(mho,1J, и в а и получили ряд результатов. Во-первых, отметим, что А, во-вторых, их кодификации оказались

применимыми к последовательностям л.п.о. канонического роста.

Таким образом, появилась задача исследования, предложенного З.С.Виденским и Т.П.Пендкной, метода увеличения скорости сходимости для гладких функций.

Цель работы. В 1-ой глазе: I, Выявить те обше свойства модификаций В.О.Виденского и Т.Е.Пендиной, которые они имеют в случае линейных операторов в пространства С[С,11,

нормированных условием

1п(1,х)=1 для чг «10,11. (I)

2. Исследовать поведение центральных моментов модификаций Вт при П * 00.

3. Доказать асимптотические теоремы типа теоремы Вороновской-Берштейна для модификаций многочленов Бернитейна.

Во 2-ой главе: Используя технику промежуточных функций, оценить приближение / «з линейной комбинацией двух

многочленов Берштейна Вп к В2п в терминах модуля непрерывности

второго порядка производной

Общая методика выполнения исследований. Используются классические методы конструктивной теории функций, в частности, идеи, указанные С.Н.Бернштейном в работе [2] и получившие дальнейшее развитие в работах другие математиков.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми, они приведены с полными доказательствами.

Исследованы центральные моменты модификаций В.С.Ввденского и Т.П.Пендиной линейных опараторов, нормированных условием (I): вычислены четыре предела для модификаций многочленов Беркштейна, характеризующих поведение их центральных моментов при П -* со.

Доказаны асимптотическая теорема типа теоремы

4

Вороновской-Бернптейнэ для модификаций многочленов Вп, кмевкая локальнкй характер, а также обобщенная теорема такого же типе для сколь угода гладких функций.

Практическая и теоретическая ценность. Работа носит теоретический характер, разработаны новые положения, развивавшие классические результаты. Полученные в диссертации результаты могут быть использованы В/ исследованиях аппроксимациокных свойств последовательностей линейных операторов в известном смысле близких к многочленам Беркштейна, • а также в вычислительной математике.

Апробация работы. Рег/льтаты работы докладывались в 1990 -1994 годах на семинарах профессоров В.С.Виденского и Г.П.Квтаксока по конструктивной теории функций в Российском государственном педагогическом университете им. А.II.Герцена и на Герценовсют чтениях в г.Санкт-Петербурге.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах азтора [1-41.

Структура.и объем работа. Диссертация состоит кз введения и двух глав. Список литературы содержи! 43 наименования. Обцкй объем работы - 112 стр.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введения содержится краткий исторический обзор, обсуждаются задачи исследования и формулируются основные результата.

Первая глава посвящается модификациям З.С.Виденского и I .П.Пввдиной.

Их модификации применяются к линейным операторам 1п, нормированных условием (I). Для полученных операторов Ъпу

5

вводится понятие центральных моментов. Доказывается, что некоторые моменты операторов равны нулю, другие вычисляется

через централыше моменты исходных операторов 1п. Приводится

разложение в точке ^(/.х) по производным /^^(х), к е Я,

причем остаточный член этого разложения представлен через остаточные члены формул, полученных применением операторов Ъп к

обеим частям формул Тейлора для функции / и некоторых ее производных.

Остальные результаты первой главы относятся к модификациям многочленов Бернштейка Вт.

Описывается поведение в точке центральных моментов операторов Вт при п ю. Доказывается теорема 1.10.1 типа

теоремы Вороновокой-Барштейна для А теорема 1.10.3

характеризует разложение Вт{Т,х) в том случае, когда порядок

гладкости функции / больше V.

В § I вводятся основные понятия и описываются те результаты Е.В.Вороновской, С.Н.Бернштейна, В.С.Веденского, Т.Е.Пендиной, которые получат дальнейшее развитие в настоящей диссертации.

Модификации В.С.Веденского и Т.П.Пендиной линейных операторов в пространстве СС0.11, удовлетворяющих условию

(I), определяются рекуррентными формулами [31

1п1г - V ■

' У-1 £

V - V - £ 1<к> (2 >

Как обычно, центральными моментами порядка г П>0; операторов

1',п называются функции

Бп1(х) = 1п((г-х)г, а), х « 1С, и.

Кроме того, ЕЕ9Д9НШ9 В.С.Вадэнским и Т.П.Пенлиной функции а^, определяются аналогичны:.!:! рекуррентными формулами г пО ЭгИ

«ПС - "ТТ ' °п1

О! 1!

<? 1М Э

- — - при V ? 2. (3)

й=/

В § 2 доказывается

ЛЕММА 1.2.1. Справедл"за формула

^((г-Х^.Х) = О при 1 < Г < У-1, V > 2. Заметил, что у многочленов Бернатейна равен нули центральный момент первого порядка.

В лежа 1.3.1. из § 3 вычисляется центральный момент порядка V операторов х^ .

ЛЕША 1,3.1. Справедлива формула

г^и-хУ а) с^Ш »-—--прIV?).

Таким образом, рекуррентные формулы (э) дают возможность

вычислить центральный момент I ((г-х)у,х).

В § 4 указывается другой способ задания операторов отличный от формул (2).

ЛЕММА 1.4,1. Справедлива формула ;

/ - V - «тЛ/^ пpиv>í.

Из леммы 1.4.1 следует, что модификации В.С.Виденского и Т. П. Лениной совпадают с конструкциями Д.А.Найко [4].

В лет 1.5.1 из § 5 вычисляются центральные моменты.

операторов L^ порядков большое к.

ЛЕШ. I.5.I. Справедлива формула Lm)((t-X)Vi-l,X) 1 Sj^ix)

Z —ы-«n.wl-ft^

(v+D! Ы

lR=C

црк l > O, V > 1.

Из лзкш I.5.I для модификаций многочленов Бернштейна Bnv

вытекает соотношение

Bnv((t-xf,x) - 0(п L 2 h при т г» V, необходимое для их исследования.

Опишем содержание основного метода исследования л.п.о., указанного С.Н.Бэрнгтейком [2]. Считая функцию f « OCO.11 диМерещируемой т (т в М) раз в точке х в 10,11, напилен по формуле Тейлора разложение

Ш 1(к)(х)

fet; - Y-rt-zjVm(f,t.x), (4)

í— ¡zl 3г=0

где г (f,t,x) - остаточный член.

Применим к обеим частям (4! оператор Вп. Получим д (х)

. . —+ вп(гш(г,г.х),х). (5)

Учитывая определение центральных моментов х), свойство

Зп0(х)-1

и вводя обозначение равенство (5) перепишем в вида

Вп(!,х) - + £-/(Ю(х) + И^^.х). (6)

Таким образом, возникают задачи изучения остаточного члена Я^ и центральных' момэнтов

В § 6 равенство (4) рассматривается при я - V + I, к обеим частям его применяется оператор И, благодаря лемме 1.2.1, записывается разложение

* ъ^а-х^а)

- /га; + ) -——-+

к=0

В лемме Х.6.Х остаточный член выражается через

остаточные члены формул (6) и типа (6), написанных в случае произвольных линейных операторов для функции } и производных ,

ШШ 1.6.1. Если для функции / з точке х « [0,1] существует производная /^^^(х), то

1 х^т-х^.х)

- ГШ - £--_-•г г'г; -

й=0 v-*

й»?

В дальнейшем лемма 1.5.1 применяется к модификациям многочленов Берштэйна Впр.

В §§ 7-10 исслэдуются только модификации многочленов

С.Н.Бернштайн [г] и Ю.В.Волков [5] вычиолили пределы:

* sn,2m(x) W1-x)f

Ilm

п a (2т)1 fmt

"m sn,2m-1(xl (x(1-x)f~1 (1-гх)

U и

n * *> (2n-l)l 3 ^''(т-г)!

В лемме I.7.I вычисляются аналогичные пределы для модификаций Вт.

ЛЕММА 1.7Л. Справедливы формулы

Um пп а_ - (~1)т+1 —- при т > 1,

п + оо 71 г™ т!

т ffl (x(1-x)f-1(1-2x) Um пт cl р. Ах) « ЫГ-- при т > 2.

В § 8 доказывается теорема I.8.I типа теоремы Вороковской-БершлтвЕна.

ТЕОРЕМА I.8.1. Если функция / « CfC,1] дифференцируема в точке х 2т (п > 1) раз, то

К*™-'™} -

т

(7)

2. Если функция J « С[0,1] дифференцируема в точке х 2т+2 (т > 1) раза, то

(8)

Г2Ш+1) 171+1 (X(1-x)f(1-2x) Г2т.2} п (X(1-X)m+1

Из (7) при т - 1 получаем соотношение Е.В.Воронэвской [1]

Ш n ¡BM.X) - f(x)\ - /г)(х) n * м l " J

X(1-X) 2

Из (8) при т = 1 следует равенство С.Н.Бернштейна [2]

ш Л^г,.*;- я*;}

п оо I " J б 8

В 5 9 вычисляются другие пределы для центральных моментов операторов Впг, , а, именно,

Кт- и г (и

п * а (2т)1 п - » (гт-1)1

Здесь 2т } v и Зп-7 з v соответственно.

В § 10 доказывается теорема I.IO.I, являющаяся обобщенной асимптотической теоремой типа Вороновской-Бернштейна для модификаций Bnv.

ТЕОРЕМА 1.10.1. Пусть функция / « СС0.11 имеет в точке Xa [ 0,11 производную М > 1, I > 0. Т0ГДЗ

21 Вп гят-х)га*л.х)

вп pjt.x) - i(x) + у —---f(Sm+tt)(z) +

n,¿!11 t- (йп+Ь)!

í>0

+ o(n~m~l) .

2. Пусть функция f a CÍO,11 имеет в точке х « íO, JJ производную т } it 1)0. Гогдв

Bn ^г,.»; - ях; ♦ у -f(bH*>(t) *

к-0

ю(гСт-1'1).

В § II рассматривается модификации Г.X.Кирова и указывается другая их запись¡ вычисляется их центральные

Я

моменты лвСых порядков.

В 5 X второй главы дается обзор функционалов Питри и Гонска.

В лемме 2.2.1 из & 2 норма отклонения I/-/ , где I -линейный ограниченный оператор, оценивается сверху некоторым К - функционалом Гонска. В § 3 доказывается

ТЕОРЕМА 2.З.Х. Пусть / « С^ГС, П. Пусть, далее, оператор А }

ип" ~ в2п~ ~ Ёп Д8®0^0,1 Б пространстве СЮ, и. Тогдэ 3 3

справедливо неравенство

\ип(/,х) - Нх) - 1(г)(х) Ха~Х) | <

г 3 х(1-х) 1 х(1-х) /5)

< Г--+--з— ГГЦ

I 4 Г1 32 ТГ -1 г

1

Точка х « ГС,11, шаг П « (О,- 1, п > 2.

г

ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА

1. Вороновская Е.В. Определение асимптотического вида приближения функция полиномами С.Н.Бернлтейна // ДАН СССР (А). 1933. С.79-85.

2. Бернштейн С.Н. Добавление к статье Е.В.Вороновской "Определение асимптотического вида приближения функций полиномами С.Н.Бернштейна" //Собр. соч. М. ,1954. т.2. С.155-158,

3. Виденский B.C. Многочлены Бернштейна. Л.: ЛГШ, 1990.

4. Нейко Д.А. Прямые и обратные теоремы приближения функций комбинациями операторов класса В - Киев, 1987. 52 с. (Препринт / АН УССР, ин-т математики; 87.19).

5. Волков Ю.И. О некоторых линейных положительных операторах // Матем. заметки. 1978. т.23. .'3 5. С.659-669.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих

работах автора:

1. Ершова I.B. 0 некоторых свойствах модификаций многочленов Бернштейна // Функц. анализ. Ульяновск, 1993. вып.34. С.15-26.

2. Ершова Т.В. О свойствах операторов Еернштейн. // Тезисы докладов Второй Всероссийской научно-практической конференции. Челябинск. II-I3 мая 1994, т.1. ч.2. C.2IS.

3. Ершова Г.В. Обобщенная теорема Вороновской-Бернштейна для модификаций многочленов Бернштейна. С.-Петербург, 1994. 13с. Деп. в ВИНИТИ 31 .05.94, J» 1348-В94.

4. Ершова Т.В. Асимптотическая теорема Вороновской-Бернштейна для модификаций многочленов Бернштейна // Вестник Челябинского университета. Серия Мат.-Мех., 1994. Л 2, С. 11-11.

■I3