Приближения в метрике L p полиномами на системе попарно дизъюнктных отрезков тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Введение

Глава 1. Аппроксимация полиномами непрерывных функций с суммируемой в р-й степени первой производной на конечном множестве попарно дизъюнктных отрезков

1.1. Обозначения и определения.

1.2. Специальное семейство континуумов М{Е\ zi,., zm).

1.3. Покрытие множества Е системой интервалов.

1.4. Специальное продолжение функции /.

1.5. Приближающий полином, зависящий от континуума М

1.6. Основная лемма.

1.7. Основная теорема первой главы

Глава 2. Альтернативная конструктивная характеристика классов С.Л.Соболева на конечном множестве попарно дизъюнктных отрезков

2.1. Предварительные сведения.

2.2. Псевдоаналитическое продолжение функций из классов W\(E).

2.3. Характеристика класса W\{E) с помощью псевдоаналитического продолжения.

2.4. Некоторые вспомогательные результаты.

2.5. Конструктивная характеристика классов W\(E).

Актуальность темы. Задачи об аппроксимации более сложных объектов менее сложными играют важную роль почти во всех областях математики. Современная теория приближения функций представляет собой весьма обширную ветвь математического анализа и имеет дело главным образом с приближением отдельных функций и классов функций при помощи заданных подпространств, состоящих из функций, более простых в конструктивном отношении, чем аппроксимируемые функции. Чаще всего роль таких пространств играют множества алгебраических многочленов или же (в периодическом случае) множества тригонометрических полиномов заданного порядка п.

Настоящая работа представляет собой исследование в области конструктивной теории функций. Идея конструктивного описания некоторого класса функций, учитывающего структурные свойства этого класса, заключается в получении согласующихся между собой прямых и обратных теорем приближения для данного класса. Прямой теоремой приближения принято называть всякую теорему, устанавливающую оценку отклонения в той или иной метрике данного класса функций от полиномов, в которые этот класс отображается некоторой последовательностью полиномиальных операторов. Причем существенным является вопрос, каким образом эти оценки зависят от гладкости функций данного класса и от выбранной последовательности операторов. Обратной же теоремой в теории приближения называют теорему, которая устанавливает степень гладкости класса функций в зависимости от скорости стремления к нулю его приближений. Если для некоторого класса функций совокупность прямых и обратных теорем устанавливает условия, которые являются как необходимыми, так и достаточными для принадлежности функций к этому классу, то говорят, что прямые и обратные теоремы согласуются. При конструктивном описании классов функций скоростью полиномиальных приближений интерес представляют те прямые теоремы, в которых оценки отклонения функций данного класса от приближающих полиномов позволяют получать обратные утверждения.

В настоящий момент хорошо изучены вопросы приближения функций действительного и комплексного переменных в различных линейных нормированных пространствах. Наиболее актуальны задачи конструктивного описания в равномерной и интегральной метриках.

В теории приближений в комплексной плоскости весьма существенным является вопрос, какова общая природа множества, на котором имело бы смысл заниматься приближением функций. В 50-е годы С. Н. Мергеляном было установлено, что приближение возможно на компактах, дополнение которых не разбивает плоскость. Это дало принципиальную возможность получать прямые утверждения на несвязных множествах. С другой стороны, было показано, что и для обратных теорем условие связности множества несущественно. Однако большинство результатов в области конструктивной теории функций получено на континуумах, в то время как работ, оперирующих с несвязными множествами, достаточно мало, причем во всех этих работах исследования проводились в равномерной метрике. В свете выше сказанного, актуальными являются вопросы приближения функций в интегральной метрике на несвязных множествах.

Целью работы являлось описание классов функций, определяемых интегральной метрикой, на конечном множестве попарно дизъюнктных отрезков скоростью их взвешенных полиномиальных приближений.

Научная новизна работы состоит в следующих полученных результатах:

- впервые получено прямое описание непрерывных функций с суммируемой в р-й степени первой производной в терминах скорости взвешенных полиномиальных приближений в метрике Lp на конечном множестве попарно дизъюнктных отрезков;

- впервые дана конструктивная характеристика классов С. Л. Соболева Wl, I > 2 - целое, на языке взвешенных полиномиальных приближений на конечном множестве попарно дизъюнктных отрезков.

Общая методика выполнения работы. При доказательстве утверждений применяются методы конструктивной и геометрической теории функций. Приближение многочленами функций из рассматриваемых классов в работе основывается на хорошем приближении многочленами ядра Коши. Построение приближающих многочленов производится с помощью хорошо известных полиномиальных ядер типа Джексона, а также с помощью многочленных ядер, рассматривавшихся ранее В. К. Дзядыком, которые в настоящее время в теории многочленов Фабера обладают, по сравнению с другими ядрами, наиболее сильными свойствами. Кроме того, в работе существенно используются граничные свойства кусочно-гладких континуумов и непрерывные продолжения функций с исходного множества на всю плоскость, в частности, псевдоаналитическое продолжение.

Практическая и теоретическая ценность. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы в конструктивной теории функций.

Предыстория рассмотренных в диссертации вопросов. Конструктивные характеристики различных классов функций хорошо изучены в периодическом случае, т. е. для приближения периодических функций, определенных на отрезке, тригонометрическими многочленами. Классическим в этой области является результат Д. Джексона-С. Н. Бернштейна начала века об описании классов Гельдера 27г-периодических функций скоростью их приближения тригонометрическими полиномами в равномерной метрике. В дальнейшем для периодических функций этот результат был распространен А. Зигмундом [1] и Е. Квадом [2] на пространства Lp. Конструктивные описания были получены и для других классов в интегральной метрике, в частности, известную теорему Литтлвуда - Пэли о двоичном разложении в гармоническом анализе можно рассматривать, после небольшой модификации, как конструктивную характеристику периодического класса J

С. J1. Соболева W р. Ввиду непосредственного отношения этой теоремы к данной работе, напомним формулировку более общего результата [3].

Теорема 0.1. 2ir-периодическая функция f принадлежит классу Wp[—7г,7г], / > 0 - целое, 1 < р < оо, тогда и только тогда, когда для некоторой последовательности {Тг»} тригонометрических многочленов степени, не превосходящей 2п, п = 0,1,., справедливо соотношение

Теорема о двоичном разложении получается из теоремы 0.1, если в качестве Тг» взять частные суммы ряда Фурье функции /.

При изучении непериодического случая, т. е. приближения непериодических функций обыкновенными многочленами, возникли трудности. Например, было установлено, что если f(x)~ непериодическая непрерывная на сегменте [a, b] функция, a En(f) - наилучшее равномерное приближение f(x) на [а, Ь] алгебраическими многочленами степени не выше чем п, то dx < оо. а) если / Е Lip а, 0 < а < 1, на всем сегменте [а, 6], то

En(f) < Сп~а, причем увеличение показателя а в этом неравенстве невозможно; б) если En(f) < Сп~а, 0 < а < 1, то f(x) Е Lz'por лишь на всяком сегменте [с, d] С (а, 6).

Таким образом, оказалось, что условие En(f) < Сп~а, в отличие от периодического случая, не позволяет получить конструктивное описание класса Lip а на всем сегменте.

Вопрос о конструктивной характеристике непериодических функций / Е Lip а долго оставался открытым. Лишь в 1946 г. С.М.Никольский [4] показал, что если / 6 Lip 1 на сегменте [—1,1], то для любого п найдется алгебраический многочлен степени не выше чем п, такой, что выполняется неравенство

Полученный результат означает, что функцию / Е Lip 1 можно приблизить у концов отрезка лучше, чем во внутренних точках. Это обстоятельство и послужило основанием для высказанной С. М. Никольским гипотезы о том, что при конструктивном описании классов непериодических функций нужно использовать не однородные, а взвешенные приближения, учитывающие положение точки на отрезке. Неоднородность шкалы приближений возникает от того, что концы отрезка являются его особыми точками на комплексной плоскости, в то время как периодический случай сводится к изучению функций на окружности, таких особых точек не имеющей.

Эта гипотеза получила свое подтверждение в работах А. Ф. Ти-мана и В.К.Дзядыка. В 1951 г. А.Ф.Тиман [5, 6] доказал следующее прямое утверждение о приближении функций из классов Гельдера.

Теорема 0.2. Если функция f(x), заданная на отрезке [—1,1], имеет там r-ю производную, модуль непрерывности которой w(t), то для любого п > г существует алгебраический многочлен Рп{х) степени не выше п, такой, что выполняется неравенство f(x) - Р„(х)| < Сг

VTT

X* 1 со г

X* п п* J где постоянная Сг не зависит от п и /. п 1 п

0.1)

В 1956 г. В. К. Дзядык [7] доказал возможность полного обращения условия (0.1) в предположении, что u>(t) = ta, 0 < а < 1. Затем, в 1957 г. А.Ф.Тиман [8] обобщил теорему Дзядыка, установив возможность обращения условия (0.1) при таком же ограничении на u(t), что

М*) , и в периодическом случае: J < 00•

После получения Тиманом и Дзядыком описания классов Гельде-ра на отрезке с помощью взвешенных приближений возник вопрос: не является ли условие inf

Pn:degP„<n f{x) - Рп{х) r+a П

71 С < оо, п = 1,2,.,

0.2) совпадающее с (0.1) при р = оо и u(t) = ta} конструктивной характеристикой классов Гельдера в метрике Ьр.

Опираясь на предшествующие работы Г. К. Лебедя [9] и М. К. Потапова [10-13], ответ на этот вопрос дал В. П. Моторный [14] в 1971 г. В работах Лебедя и Потапова рассматривались классы функций и заданных на отрезке [-1,1] и имеющих r-ю производную f^(x), интегрируемую в р-й степени, для которой при любом 0 < h < 1 выполнено h)-/W(®)||Mw.4< ли, соответственно, р) (жл/Г^Т? - hy/Т^Щ - /^(ж)

VT^h +h?) С

Если г = 0, то классы 1,1] суть классы С.М.Никольского. Г.К. Лебедь и М.К.Потапов показали, что при р = оо классы и совпадают, а при 1 < р < оо пересечение этих классов не пусто. Кроме того, они дали конструктивное описание класса при

О < а < 1.

Теорема 0.3. Для того, чтобы f(x) G необходимо и достаточно, чтобы для любого п > г нашелся алгебраический многочлен степени не выше п, такой, что f(x) - Рп(х) 1 \ г+а nj

С г п г+а ■ где постоянная Сг не зависит от п и /.

В свете полученных результатов существенным оказался вопрос о связи между классами и . Были предположения, что класс

Щг+а) содержится в классе [15]. В. П. Моторный установил, что классы и различны при 0 < а < 1 и совпадают при а = 1.

Таким образом, класс функций, удовлетворяющих условию (0.2), не совпадает с Н^г+а\ а ф 1.

В. П. Моторным были предприняты попытки конструктивно описать классы

В работе [14] им была получена оценка порядка роста величины наилучшего взвешенного приближения функций класса алгебраическими многочленами.

Теорема 0.4. Если функция f(x) € то существует постоянная Сг, зависящая только от г, такая, что для любого п > г найдется алгебраический многочлен степени не выше п, удовлетворяющий неравенству f(x) - Рп(х) I \ г+а п) Сv

1п1/р п п

Г+Q

0.3)

Теорема 0.4 является одним из вариантов усиления аналога теоремы Джексона в интегральной метрике. Однако неравенство (0.3) не характеризует класса поскольку этому неравенству удовлетворяют также функции класса Кроме того, условие (0.3) необратимо. Для конструктивного описания классов Моторный предложил использовать не многочлены, а некоторые кусочно-полиномиальные агрегаты.

Результаты, полученные Моторным, натолкнули на мысль, что классы Щ при а ф 1, по-видимому, вообще не допускают конструктивной характеристики с помощью обычных взвешенных полиномиальных приближений. Причина этого явления была вскрыта Е. М. Дынь-киным при изучении более общих классов О. В. Бесова [3] (1986). В работе [3], как частный случай конструктивной характеристики классов Бесова B*q, Е. М.Дынькин получил описание классов Щ = В^ с помощью более сложного, чем (0.2) условия. Оказалось, что условие / (Е Врр эквивалентно соотношению

00 1 N

1 /Р оо, где

En(f)va = inf м - Рп(х) vi- Z2 1 Г

V * п2/

Таким образом, проблема конструктивного описания классов Щг+а) была частично разрешена. Ответ же на вопрос о структурной характеристике класса функций, удовлетворяющего условию (0.2) дает, как мы видели, теорема 0.4.

В работе [16] М. К. Потаповым была рассмотрена более общая задача: каков класс непериодических функций, для которого на отрезке [-1,1] выполнено условие

1 \Р2 inf

Р„ :degP„ <п f(x)-Pn(x)} (1-*F(1+xf (l-аи

•< cHa+r) п.

При ограничениях на параметры /3 = j = 0npi = p2 это условие совпадает с условием (0.2). Такое обобщенное условие позволяет одновременно исследовать в интегральной метрике классы, описываемые однородными и взвешенными приближениями.

Известно [17, 18], что для того чтобы функция f(x) G Щ необходимо и достаточно, чтобы f(x) почти всюду совпадала с функцией ограниченной вариации, если р = 1, или с интегралом от некоторой функции из Lp} когда р > 1. Это позволяет при р > 1 одновременно описывать классы и классы С. JL Соболева Wlp, I = г + I. Изучением классов С. JI. Соболева занимался Е. М. Дынькин. В работе [3] им был получен непериодический аналог теоремы 0.1 для случая I > 2 -целое.

Теорема 0.5. Функция / 6 Lv[—1,1] входит в класс 1,1], 1 < р < оо, I = 2,3,., тогда и только тогда, когда для некоторой последовательности {Ру} алгебраических многочленов степени не выше 2й, п = 0,1,

1 / оо 2д Р/2 £ I/W - (2-л^ 4- 4~nJ dx< 00. (0.4) п=0 /

Конструктивное описание классов С. Л. Соболева производилось с помощью псевдоаналитического продолжения F [19, 20], обладающего dF „ тем свойством, что его комплексная производная -г— быстро убываoz ет при приближении к отрезку [—1,1] на плоскости. Скорость такого убывания однозначно характеризует гладкость исходной функции /.

Е. М. Дынькин переформулировал стандартное определение класса

8F

С. Л. Соболева в виде некоторой модульной оценки на -7—. dz

Теорема 0.6. Функция / G Wlp[-1,1], 1 < р < оо, / = 1,2,., тогда и только тогда, когда возможно ее продолжение F с оценкой

-1 II S(x)

4СЛ-М])

-idF(() дС

2 \ d^dri р/2 dx < 00, ( = £ + irj, (0.5) где d(C, [-1,1]) = mf<i \С - х\ и S(x) = |с : ^у^ < d(C, [-1,1])} сектор Н. Н. Лузина.

Такое описание класса на языке псевдоаналитического продолжения оказывается полезным в теории приближений, так как к одинаковым оценкам вида (0.4) могут привести совершенно разные конструкции продолжения. Существует продолжение, связанное с модулями гладкости функции /, и продолжение, связанное с ее наилучшими приближениями. Когда эти способы продолжения приводят к одина-8F ковым оценкам -тр-, то констатируется совпадение соответствующих классов функций, т. е. получаются конструктивные описания типа теорем 0.1, 0.3, 0.5.

В данной работе классы С.Л.Соболева рассматриваются на несвязном множестве. Принципиальная возможность сколь угодно хорошо приближать непрерывные функции полиномами на достаточно общих компактах была доказана С. Н. Мергеляном [21] (1951). А в 60-70-х годах появились работы Н.А.Лебедева и П.М.Тамразова [22-24], в которых условия связности множества при доказательстве обратных утверждений оказались несущественными. Первый результат об аппроксимации функций классов Гельдера на несвязных множествах с помощью взвешенных приближений принадлежит Нгуен Ту Тханю [25] (1981). Нгуен Ту Тхань рассматривал конечное дизъюнктное объединение континуумов, имеющих внутренние точки, причем класс функций на всех континуумах был одним и тем же. Кроме этой статьи, в настоящий момент имеются лишь публикации [26-33], в которых классы функций изучаются на несвязных множествах. В работах [28, 29] в качестве такого множества берется конечная система дизъюнктных отрезков. Более того, в отличие от работы Нгуен Ту Тханя в [28] аппроксимация функций классов Гельдера проводится в предположении, что они имеют различную степень гладкости на разных отрезках.

Ни одной работы, кроме [30-32], в которой бы классы функций описывались в интегральной метрике на несвязном множестве, ранее не было. В [30-32] и в данной диссертации эта задача решается для дизъюнктных отрезков.

Содержание работы. В первой главе данной работы доказана возможность весового приближения в метрике Lp алгебраическими многочленами непрерывных функций с суммируемой в р-ой степени первой производной на конечном множестве попарно дизъюнктных отрезков в комплексной плоскости. Полученная скорость приближения пригодна для описания в терминах скорости взвешенных полиномиальных приближений указанных пространств.

Прежде чем сформулировать основные результаты, введем ряд т обозначений. Пусть Е = U sk ~ объединение конечного числа попарно непересекающихся отрезков sk = [сц^Ьь] в плоскости комплексного переменного z. Далее, пусть G(z) - функция Грина области (Г\ Е с полюсом в бесконечности;

Удалось установить справедливость следующего утверждения, формулировку которого мы приводим здесь в сокращенном варианте (полную формулировку теоремы 1.1 см. п. 1.7): пусть функция f(z) непрерывна на множестве Е и удовлетворяет условию f'(z) Е LPk(sk), 1 < Pk < оо, k = 1,т. Тогда при каждом натуральном п существует алгебраический многочлен степени не выше п, такой, что имеет место неравенство где постоянная с не зависит от п.

Замечания. 1. Так как поведение расстояния ph(z) до линии уровня Ch множества Е при z 6 sk = 0 < h < 1, характеризуется соотношением к-1 h = {z:ze<D\E, G(z) = ln(l + h)}, h > 0, линии уровня множества Е1; ph(z) = dist(z,£h), z e E.

Cih (h + sj\z-ak\\z-bk\) < ph{z) < C2h (h + yf\ z - CL k I z h\) где С1, С2 - положительные постоянные, не зависящие от h и 2, то легко видеть, что используемая здесь весовая характеристика ph(z) согласуется с теми весами, которые рассматривались В. П. Моторным [14], М.К.Потаповым [16] для случая одного отрезка;

2. Особенностью данного результата является то, что он установлен для случая, когда на каждом из отрезков Sk задан свой класс непрерывных функций /: /' Е LPk(sk).

В п. 1.1. приведены предварительные определения и обозначения. Далее, для того, чтобы иметь возможность приближать функцию / одновременно на всех отрезках единой последовательностью многочленов, возникает необходимость перехода к связному множеству. С этой целью множество Е достраивается до кусочно-гладкого континуума (точнее, семейства континуумов) М{Е\ z\,., zm) без внутренних точек с внешними к М углами, равными 7г/2, 27г, 27т/т. В п.1.2 описано построение континуума М и получен ряд его граничных свойств, необходимых нам в дальнейшем.

В п. 1.3 построено покрытие исходного множества Е системой интервалов, учитывающее положение точки z € Е относительно угловых точек континуума М, и доказано вспомогательное утверждение, использующее метрическое свойство этого покрытия. Пункты 1.2-1.3 представляют собой «техническое» введение к последующим рассуждениям.

Во многих случаях идея доказательства прямых утверждений заключается в получении представления исходной функции с помощью ядра Коши, с одной стороны, и построения последовательности полиномов, хорошо приближающих ядро Коши, с другой. Применяемые же методы доказательства зависят от вида рассматриваемых множеств и классов функций. В данном случае для достижения первой цели в п. 1.4 функция / непрерывно продолжается с исходного множества Е до некоторой функции /() с компактным носителем на плоскости. Свойства построенного продолжения позволяют применить к /о формулу Коши-Грина и получить представление функции / на множестве Е с помощью ядра Коши (см. (1.45)). Заметим, что условие финитнос-ти, накладываемое на функцию /о, дает возможность продолжать с каждого отрезка Sk фактически свою функцию = Д.

Пункт 1.5 посвящен выбору вспомогательного приближающего полинома Pn(M;z) (см. (1.46)), зависящего от конкретного континуума из семейства М{Е\ zb ., zm).

В п. 1.6 получена оценка приближения функции / вспомогательными полиномами Рп(М; z) на отрезке s/. (см. лемму 1.4). Доказательство леммы 1.4 не является сложным, но достаточно трудоемко и использует некоторые классические результаты о свойствах ядер типа Джексона, максимальной функции Харди -Литтлвуда и максимального преобразования Гильберта.

Наконец, в п. 1.7 приведен окончательный вид приближающего полинома Pn(f\E\z) (см. (1.60)) и проведен завершающий этап доказательства теоремы 1.1. Сначала показано, что вспомогательные полиномы Рп(М; z) позволяют описать в интегральной метрике функцию / на отрезке s*, к = 1 ,.,т, с весом ph(M]z) (ph(M;z) - расстояние от точки z £ М до прообраза окружности радиуса 1+/г с центром в начале координат при конформном отображении области Ф\М на внешность единичного круга). Полученная оценка приближения (см. (1.63)) не зависит ни от п, ни, что весьма существенно, от выбора континуума из семейства M(E\z\, .,zm). Далее, с помощью вспомогательных конструкций и связи между весовыми характеристиками ph(z) и ph(M;z) при 2 G Е, установленной в п. 1.2, удается доказать непосредственно утверждение теоремы 1.1.

Предметом дальнейшего изложения являются классы С. JI. Соболева W\{E), I = 2,3,. Во второй главе работы получена конструктивная характеристика классов С. JI. Соболева на конечном множестве попарно дизъюнктных отрезков (см. теорему 2.1): функция f(z), суммируемая с квадратом на множестве Е, принадлежит классу W!j,{E), I — 2,3,тогда и только тогда, когда существует последовательность алгебраических многочленов {Р2»} такая, что degP2n < 2", п = 0,1,., и оо £ I/W - Р2-Ш2p2-n(z)-2l\dz\ < 00, (0.6)

Е га=0 где P2~n{z) - расстояние до линии уровня С2-« множества Е.

В силу замечания 1 достаточность условия (0.6) следует непосредственно из теоремы 0.5. Интерес представляет доказательство необходимости этого условия, чему и посвящена вторая глава работы.

В п. 2.1 приводятся необходимые сведения о классах рассматриваемых областей, функций и некоторые вспомогательные результаты, используемые в дальнейшем.

Как и в первой главе, изучение классов C.JI. Соболева предварительно производится на множестве Е как части континуума М и использует непрерывное продолжение функций / € Wl2{E) на всю плоскость, описание которого дано в п. 2.2. Однако в отличие от главы 1 здесь рассматривается более сложное, псевдоаналитическое продолжение. Псевдоаналитическим продолжением функции /, первоначально заданной на множестве Е, называется такое продолжение до функции dF(z) г с компактным носителем на плоскости, что ее производная — oz быстро убывает при приближении к Е, причем скорость такого убывания однозначно характеризует гладкость исходной функции. В работе [3] Е.М.Дынькин приводит три различных способа псевдоаналитического продолжения: с помощью квазиконформной симметрии, с помощью локальных приближений, с помощью глобальных приближений. Первые два типа псевдоаналитического продолжения позволяют получать прямые утверждения, а последняя конструкция - обратные. В частности, при доказательстве прямых теорем для классов С. JI. Соболева Е. М. Дынькин использует псевдоаналитическое продолжение, построенное с помощью квазиконформной симметрии, предполагающей наличие у рассматриваемого континуума внутренних точек. Поэтому прямое описание классов С.Л.Соболева на отрезке оказывается более сложным, чем в случае области, и требует переноса рассуждений с области <27\ [—1,1] на область, являющуюся образом внешности единичного отрезка при некотором конформном отображении. В данной работе при построении псевдоаналитического продолжения возникают дополнительные проблемы, решение которых составляет едва ли не главную трудность переноса результата Е. М. Дынькина на множество дизъюнктных отрезков. Во-первых, фигурирующий в работе континуум М не позволяет применить без изменений подход Е.М. Дынькина для случая отрезка, а требует введения для области ф\ Sfc, к — 1, .,ш, уже двух конформных отображений, причем более сложного вида (см. п. 2.2.1). Во-вторых, так как область, где псевдоаналитическое продолжение равно нулю, не может быть отделена от континуума М, то существенной становится задача сведения функции

- dF(z)

F к нулю с сохранением скорости убывания ее производной ——^ при

J Z приближении к М. Эта задача решается в пп. 2.2.2, 2.2.3. В п. 2.2.4 получено представление псевдоаналитического продолжения F с помощью ядра Коши (см. (2.28)), в а п. 2.3 дано прямое описание класса Wt>{E) на континууме М с помощью псевдоаналитического продолжения (см. лемму 2.1).

В п. 2.4 приводятся необходимые свойства континуума М и напоминаются некоторые результаты В. К. Дзядыка, касающиеся приближения ядра Коши многочленными ядрами K.2n(z](), z £ М, £ £ Ф\ М.

- 19

Пункт 2.5 посвящен доказательству теоремы 2.1. Доказательство проводится в два этапа. В п. 2.5.1 получена оценка приближения псевдоаналитического продолжения F вспомогательными полиномами P2"(M;z) (см. (2.46)) на континууме М, которая вкупе с леммой 2.1 позволяет дать прямое описание класса W^{E) в интегральной метрике с весом pk(M;z) (см. (2.45)). Далее, в п. 2.5.2 с использованием конструкции, подобной той, что рассматривалась при доказательстве теоремы 1.1, по полиному P2n(M]z) строится окончательный вариант приближающего полинома Е\ z) (см. (2.52)), не зависящий от выбора континуума из семейства М{Е\ zi,., zm) и доказывается условие (0.6). оо

Ввиду присутствия в условии (0.4) суммы не удается, по край

71=0 ней мере с помощью описанных выше рассуждений, получить конструктивное описание типа теоремы 0.5 классов Wlp(E), I = 2,3,., •1 < р < оо, при рф2.

Основные результаты диссертации опубликованы в статьях [30-32]. Работа докладывалась на международной конференции студентов и аспирантов по фундаментальным наукам «Ломоносов - 2000» в МГУ и на Герценовских чтениях в РГПУ им. А. И. Герцена в 2000 гоДУ

Заключение

В работе получены следующие результаты.

1. Доказана возможность весового приближения в метрике Lp алгебраическими многочленами непрерывных функций с суммируемой в р-й степени первой производной на конечном множестве попарно дизъюнктных отрезков в комплексной плоскости. Полученная скорость приближения не зависит от степени приближающего многочлена и пригодна для описания в терминах скорости взвешенных полиномиальных приближений указанных пространств.

2. Дана конструктивная характеристика классов С. JL Соболева W^ I > 2 - целое, на конечном множестве попарно дизъюнктных отрезков. Описание производится на языке взвешенных полиномиальных приближений. Отметим, что условие типа (2.44) не позволяет дать конструктивную характеристику классов С.Л.Соболева в случае 1=1. Кроме того, используемые в работе методы доказательства не пригодны для описания классов Wp, I > 2 - целое, р ф 2. Таким образом, вопрос о конструктивной характеристике классов Wp, I > 2 - целое, р ф 2, остается открытым для дальнейшего исследования.

3. Установлена справедливость ряда граничных свойств кусочно-гладкого континуума без внутренних точек с внешними углами, равными 2тг/т, m £ IV, m ф 2. Подобные свойства были получены ранее из более общих соображений в предположении, что континуум имеет внутренние точки либо представляет собой единичный отрезок.

В заключение выражаю искреннюю благодарность своему научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору Николаю Алексеевичу Широкову за постановку задач и постоянное внимание к работе.

1. Zygmund A. Smooth functions, Duke Math. J., 12, 1945, 47-76.

2. Quade E. S. Trigonometric approximation on the mean, Duke Math. J., 3, 1937, 529-543.

3. Дынькин E. M. Конструктивная характеристика классов С. JI. Соболева и О. В. Бесова, Зап. научн. семин. ПОМИ, 155, 1986, 41-76.

4. Никольский С. М. О наилучшем приближении многочленами функций, удовлетворяющих условию Липшица, Изв. АН СССР, сер. матем., 10, № 4, 1946, 295-317.

5. Тиман А. Ф. Приближение функций, удовлетворяющих условию Липшица, обыкновенными многочленами, Докл. АН СССР, 77, № 6, 1951,969-972.

6. Тиман А. Ф. Усиление теоремы Джексона о наилучшем приближении непрерывных функций многочленами на конечном отрезке вещественной оси, Докл. АН СССР, 78, № 4, 1951, 17-20.

7. Дзядык В. К. О конструктивной характеристике функций, удовлетворяющих условию Lipo; (0 < а < 1) на конечном отрезке вещественной оси, Изв. АН СССР, сер. матем., 20, 1956, 623-642.

8. Тиман А. Ф. Обратные теоремы конструктивной теории функций, заданных на конечном отрезке вещественной оси, Докл. АН СССР, 116, № 5, 1957, 762-765.

9. Лебедь Г. К. Некоторые вопросы приближения функций одной переменной алгебраическими многочленами, Докл. АН СССР, 118, № 2, 1958, 239-242.

10. Потапов М.К. О теоремах типа Джексона в метрике Lp, Докл. АН СССР, 111, № 6, 1956, 1185-1188.

11. Потапов М.К. Некоторые вопросы наилучшего приближения в метрике Lp, Диссертация, М., 1956.

12. Потапов М. К. О приближении непериодических функций алгебраическими многочленами, Вестник МГУ, № 4, 1960, 14-25.

13. Потапов М. К. О приближении алгебраическими полиномами в метрике Lpy Исследования по современным проблемам конструктивной теории функций, М.: Физматгиз, 1961.

14. Моторный В. П. Приближение функций алгебраическими полиномами в метрике Lp, Изв. АН СССР, сер. матем., 35, № 4, 1971, 874-899.

15. Никольский С.М. РЖМат., 1957, 4696.

16. Потапов М. К. О структурных характеристиках классов функций с данным порядком наилучшего приближения, Труды МИАН, 134, 1975, 260-277.

17. Зигмунд А. Тригонометрические ряды, М.: Мир, 1965.

18. Hardy G. Н., Littlewood I. Е. Some properties of fractional integral, Math. Z., 28, 1928, 566-606.

19. Дынькин E. M. Гладкие функции на плоских множествах, ДАН СССР, 208, № 1, 1973, 25-27.

20. Дынькин Е. М. Продолжения и интегральные представления гладких функций комплексного переменного, Автореферат канд. дис-сер., Л., 1973.

21. Мергелян С.Н. Некоторые вопросы конструктивной теории функций, Труды МИАН СССР, 37, 1951, 1-92.

22. Лебедев Н. А. Об обратных теоремах равномерного приближения, ДАН СССР, 171, № 4, 1966, 788-790.

23. Лебедев Н. А., Тамразов П. М. Обратные теоремы приближения на регулярных компактах комплексной области, Изв. АН СССР, сер. матем., 34, № 6, 1970, 1340-1390.

24. Тамразов П. М. Телесная обратная задача полиномиального приближения функций на регулярном компакте, Изв. АН СССР, сер.матем., 37, № 1, 1973, 148-164.

25. Нгуен Ту Тхань. О приближении функций полиномами на замкнутом множестве с углами, дополнение которого конечносвязно, Вестник ЛГУ, № 19, 1981, 30-35.

26. Широков Н. А. Приближения по В. К. Дзядыку на компактах с бесконечносвязным дополнением, Докл. АН, 335, № 6, 1997, 700-701.

27. Широков Н. А. Приближения многочленами на компактах с бесконечносвязным дополнением, Алгебра и анализ, 10, № 1, 1998, 245264.

28. Межевич К. Г., Широков Н.А. Полиномиальные приближения на дизъюнктных отрезках, Проблемы матем. анализа, 18, 1998, 118— 133.

29. Межевич К. Г., Широков Н.А. Один класс функций на дизъюнктной системе отрезков, Зап. научн. семин. ПОМИ, 262, 1999, 172185.

30. Крашенинникова Ю.В., Широков Н.А. Аппроксимация полиномами в метрике Ьр на дизъюнктных отрезках, Зап. научн. семин. ПОМИ, 270, 2000, 64-90.

31. Крашенинникова Ю.В. Приближение полиномами функций из классов Wp на конечном множестве дизъюнктных отрезков, 45 студенческая научная конференция по итогам работы СНО ин-та в 19992000 гг., ПГПИ, 2000, 139.

32. Крашенинникова Ю.В., Широков Н.А. Аппроксимация полиномами в метрике Lp на дизъюнктных отрезках, Материалы международной конференции студентов и аспирантов по фундаментальным наукам «Ломоносов-2000», МГУ, вып. 4, 2000, 332.

33. Дзядык В. К. Введение в теорию равномерного приближения функций полиномами, М.: Наука, 1977.

34. Белый В. И. Конформные отображения и приближение функций в областях с квазиконформной границей, Матем. сб., 102, № 3, 1977, 331-361.

35. Лебедев Н. А., Широков Н. А. О равномерном приближении функций на замкнутых множествах, имеющих конечное число угловых точек с ненулевыми внешними углами, Изв. АН Арм.ССР, сер. матем., 6, № 4, 1971, 311-341,

36. Дзядык В. К. О применении обобщенных полиномов Фабера к приближению интегралов типа Коши и функций класса Аг в областях с гладкой и кусочно-гладкой границей, Укр. матем. ж., 24, № 1, 1972, 3-19. ;

37. Стейн Е. М. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций. М.: Мир, 1973.

38. Голузин Г. М. Геометрическая теория функций комплексного переменного, 2-е изд., М.: Наука, 1966.

39. Данилюк И. И. Нерегулярные граничные задачи на плоскости. М.: Наука, 1975.

40. Альфорс Л. Лекции о квазиконформных отображениях. М.: Мир, 1969.

41. Бесов О. В., Ильин В. П., Никольский С. М. Интегральные представления функций и теоремы вложения, 2-е изд., М.: Наука, Физмат-лит, 1996.

42. Привалов И. И. Граничные свойства аналитических функций. М.-Л., ГИТТЛ, 1950.

43. Дынькин Е. М. Оценки аналитических функций в жордановых областях, Зап. научн. семин. ЛОМИ, 73, 1977, 70-90.

44. Fefferman С., Stein Е.М. Some maximal inequalities, Amer. J. Math., 93, № 1, 1971, 107-115.-9645. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1989.