Конструктивное описание пространств нерперывных функций на объединениях отрезков тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Введение.

1. Предыстория рассмотренных в диссертации вопросов.

2. Содержание работы.

Глава 1. Полиномиальные приближения на дизъюнктных отрезках.

1.1. Построение Рп. Геометрический этап.

1.2. Формулировка теоремы и начальные приготовления.

1.3. Построение приближающего полинома.

1.4. Оценка gn(z)-f(z).

1.5. Завершающий этап.

Глава 2. Об одном классе функций на дизъюнктной системе отрезков.

2.1. Формулировка задачи и начальные приготовления.

2.2. Построение Рп. Геометрический этап.

2.3. Оценка уклонения gn(z) —/.

2.4. Полином Рп и оценка разности / — Рп.

Глава 3. Взвешенные полиномиальные приближения на дизъюнктной системе отрезков.

3.1. Формулировка теоремы и начало доказательства.

3.2. Окончание доказательства.

1. Предыстория рассмотренных в диссертации вопросов.

Современная теория аппроксимации началась с теоремы П.А.Чебышева о наименьшем уклонении от нуля алгебраического полинома именно на отрезке (1854 год). После основополагающих результатов Джексона и Бернштейна начала века об описании гельдеровских классов 1к -периодических функции скоростью их приближения тригонометрическими полиномами переход к аналогичному описанию классов Гельдера на отрезке алгебраическими полиномами начал совершаться лишь после работы С.М.Никольского [1] 1946 года, в которой рассматривались функции /.удовлетворяющие на отрезке [-1,1] условию Липшица: х1)-/{х2\<схх-х2 и которые можно было приблизить алгебраическими полиномами степени не более, чем п с точностью

7г( л/1-Х2

-+ 0 2 п 2

V П Таким образом, оказалось, что функции, v - v -- x у удовлетворяющие условию непрерывности, не зависящему от точки на [-1,1], могут приближаться алгебраическими полиномами со скоростью, зависящей от точки на отрезке, что принципиально отличает ситуацию от 2л* -периодического случая. Гипотеза С.М.Никольского о том, что логарифмический множитель в цитированной оценке есть недостаток метода была подтверждена в

1951 году А.Ф.Тиманом [2], который доказал прямое утверждение о приближении функций из классов Гельдера алгебраическими многочленами. Его результат состоит в следующем.

Теорема А [2]: Пусть /(х) имеет на отрезке [-1,1] г непрерывных производных, г = ОД,. и пусть - это модуль непрерывности функции / на отрезке [-1,1]. Тогда для п = 1,2,. существуют полиномы Рп, с^Рп<п, такие, что справедливо неравенство х)-рп(х) < + Щ 4 и е [-1,1]. (1) п . п п п v у v j

Затем А.Ф.Тиман [3] в 1957 году установил, что существование полиномов Рп, <п, для которых справедливо неравенство

1), например, для м?(<8) = 8а, 0<а<1, влечет существование у функции / г непрерывных производных и при этом г -тая производная удовлетворяет условию Гельдера порядка а. Таким образом, конструктивное описание классов Гельдера на отрезке скоростью их приближения алгебраическими многочленами было получено лишь в 1957 году. Потом последовали работы В.К.Дзядыка, в которых вместо отрезка рассматривались континуумы более общего вида. На таких континуумах удалось описать классы Гельдера функций, аналитических во внутренности соответсвующих континуумов, скоростью их приближения на границе континуума алгебраическими многочленами (как правило, подобно оценке (1) для отрезка, эта скорость зависела от точки границы). Усилия различных математиков были сосредоточены на ослаблении условий, при которых удается добиться желаемого описания. При этом оказалось, что обратные утверждения могут быть установлены для гораздо более общих типов множеств, чем прямые. Так прямые утверждения в первых работах В.К.Дзядыка 2

4], [5] должны были быть континуумами с с - кусочно-гладкими границами. В работе Н.А.Лебедева-Н.А.Широкова [6] 1971 года граница уже кусочно с0 - гладкая. После чего усилиями

В.И.Белого-В.М.Миклюкова [7], И.А.Шевчука [8], Н.А.Широкова а

9], В.К.Дзядыка [10] и, наконец, В.И.Белого [11] в 1977 году, условия на границу были ослаблены до требования только ее квазиконформности. Оказалось, правда, [12], [13], [14], что нарушение условия квазиконформности для континуума уже не позволяет конструктивно описывать гельдеровские классы в ставших уже классическими терминах, использованных в [4]-[11]. Подчеркнем, что все упомянутые работы и много десятков других статей содержали прямые теоремы (или доказательство их отсутствия) только о континуумах, что было связано с существом применяемых методов, но не существом дела, что показывает история усовершенствования обратных теорем. В первых после работы А.Ф.Тимана [3] 1957 года обратных теоремах, в которых фигурировали континуумы, отличные от отрезка, В.К.Дзядык [15] требовал кусочной с - гладкости границы. Затем Н.А.Лебедев [16], Н.А.Лебедев и П.М.Тамразов [17] и, наконец, П.М.Тамразов [18] довели рассмотрение до регулярного в смысле теории потенциала компакта. Приведем формулировку одной из теорем П.М.Тамразова [17] в случае классов Гельдера.

Теорема В: Пусть К - регулярный компакт на комплексной плоскости С, g(z,oо) - функция Грина для области С\К с

ПОЛЮСОМ В 00 ; для к > О положим

Пусть функция / аналитична во внутренности компакта К и непрерывна на К и предположим, что для каждого п = 1,2,. найдется полином Рп, &^ и, такой, что г >\ z,Li

V «У zedi:, 0<а<1 (2)

Тогда существует постоянная сх, не зависящая от ^ 22 и с0, такая, что для е^ справедливо соотношение

Z1 2 2 а

Таким образом, условие связности множества для обратных теорем оказалось несущественным. При этом характеристика ph{z)= dist{z,Lh), фигурирующая в правой части условия (2), для случая континуума совпадает с характеристикой, применявшейся в работах [4]-[11]. Таким образом, вопрос о доказательстве прямых теорем для несвязных множеств возникал вполне естественно.

Первым результатом, в котором фигурировала скорость приближения полиномами на несвязном континууме (двух отрезках, лежащих на вещественной оси) была теорема Н.И.Ахиезера [19], 1928 год, о наименьшем уклонении полинома от функции sign х.

Далее последовала работа Уолша [20] 30-х годов, где устанавливалась возможность экспоненциального быстрого приближения полиномами функций, аналогичных в окрестности лемнискаты {г : < где некоторый фиксированный полином. Наконец, принципиальная возможность сколь угодно хорошо приближать непрерывные функции полиномами на достаточно общих компактах была доказана С.Н.Мергеляном [21]. С учетом условия (2), используемого в теореме В П.М.Тамразовым, упоминаемые результаты не давали возможности конструктивного описания, скажем, класса Гельдера на несвязном множестве в терминах полиномиальных приближений. Первой работой, в которой удалось применить характеристику Для классов

Гельдера (и даже более общих классов) на несвязных множествах была статья Нгуен Ту Тханя [22]. Кроме этой статьи, в настоящий момент, имеются лишь публикации [23]-[26], в которых доказываются прямые теоремы на несвязных множествах с использованием характеристики рк (г). В работе Нгуен Ту Тханя рассматривалось конечное дизъюнктное объединение континуумов, каждый из которых удовлетворял условиям из работы Н.А.Лебедева и Н.А.Широкова [6] и, кроме того, класс функций на всех континуумах был одним и тем же. Рассмотрение объединения отрезков и определение класса функций отдельно на каждом отрезке, как это сделано в данной диссертации, потребовало преодоления новых трудностей.

Когда выяснилось, что описание классов Гельдера на отрезке требует введения неравномерной шкалы полиномиального приближения, то естественным образом встал вопрос о том, какой же класс функций на отрезке описывается равномерным С приближением полиномами со скоростью а ' п - степень п приближающего полинома. На этот вопрос впервые ответил А.Л.Фуксман [27] в 1965 году, правда, на более общем континууме. Описание классов функций, определяемых равномерными полиномиальными приближениями, впоследствии было перенесено Ю.И.Волковым [28], В.К.Дзядыком и Г.А.Алибековым [29], Н.А.Широковым [30] и Е.М.Дынькиным [31] на континуумы. Ни одной работы до [26], в которой бы рассматривались описания классов функций, определяемых равномерным полиномиальным приближением на дизъюнктных континуумах, не было. В [26] и в настоящей диссертации эта задача решается для дизъюнктных отрезков.

Наличие двух типов приближения полиномами на отрезке - в шкале Р\{х) и равномерного, —, делает естественной проблему о па п нахождении классов функций, определяемых взвешенной скоростью для континуума встретилось в [30]. В данной диссертации подобная задача решается для дизъюнктных отрезков.

2. Содержание работы.

Для формулировки теоремы 1, доказанной в первой главе, потребуется опредилить ряд объектов. Пусть множество Е состоит из конечного числа отрезков = \ак,Ьк\, к = 1,2,.,т, которые

1-е Впервые подобное утверждение

V п у попарно не пересекаются. Далее гк, к = 1,2,.,т - неотрицательные целые числа, модули непрерывности, удовлетворяющие условию х), (3)

О * х I где Ак - длина 8к. Далее пусть

Для краткости пусть г - вектор с координатами (г1,.,гт), м? -векторно-значная функция {м>1 ),., )), е ^. Наконец, через обозначим множество функций определенных на

Е, для которых справедливы соотношения 6^(5,).* = 1,2,., и.

Отметим, что определение классов функций Л^^), которые имеют, вообще говоря, различную степень гладкости на различных отрезках является новшеством, не встречавшимся ранее при описании классов функций на компактах полиномиальными приближениями.

Далее пусть - функция Грина для области С\Е с логарифмическим полюсом в бесконечности.

Введенные обозначения позволяют формулировать теорему 1.

Теорема 1. Пусть - класс функций, определенный выше, причем модули непрерывности И^ удовлетворяют условию (3).

Тогда для любой функции / е Л^^Е) и любого натурального п найдутся постоянная с р не зависящая от пи г и полином степени, не превосходящей п, такие, что справедливо неравенство

Г(г)-РМ 2 (5) где ге^, величина рх (г) определена в (4). п

Замечания: 1.) Несложные соображения, связанные с геометрической теорией функций, показывают, что при 0 < к < 1, к = 1,2,.,т и 2 е &к с некоторыми постоянными ск > 0 и 0 не зависящими от к, справедливы неравенства

Рккск2Рк,к(4 (6) где ркк(г) строится аналогично построению (4) для если вместо Е взять отрезок и вместо функции Грина (г^, оо) для

С\Е применить функцию Грина оо) для области С \$к.

Поскольку хорошо известно [32], глава 7, что с некоторыми постоянными ск > 0 и ск >0 справедливы неравенства

7) при 0 < к < 1, то, следовательно, соотношение (5), при учете соотношений (6) и (7) может быть переписано в виде

2)-Рп(г)<с} л/К* - Я- в+ п) гк

X ж v п л/1 (?-акЬ~вЛ+

П); ге^, к = 1,2,.,т.

2.) В последующих рассуждениях нам часто придется рассматривать ситуации, аналогичные (6) и (7). Для сокращения записи в подобных ситуациях введем следующее

Определение. Пусть функции а(а,.,б))> 0, в(а,.,со)> О зависят от некоторых переменных а,.,со (обычно в нижеследующих выкладках это будет номер к отрезка 8к, точка 2, лежащая на каком либо континууме, параметры г1,.)гт, степень п полинома).

Тогда пишем а{а,.,й))^!в(а,.,со) или,кратко, если существуют постоянные сх > 0, с2 > 0, не зависящие от а,.,60, такие, что выполнены неравенства сха(а,.,бо) < в(а,., со) < с2а(а,., о?), справедливые при всех рассматриваемых значениях переменных.

3.) При проведении доказательств приходится использовать большое количество постоянных, зачастую даже в течение одной выкладки. Для упрощения обозначений мы будем использовать обычный в таких обстоятельствах прием, когда постоянная с может принимать фактически различные значения в разных строках или даже в разных частях одной строки. Естественно, такой прием применяется лишь в случаях, в которых подобная интерпретация постоянной с не приводит к противоречиям.

Теорема 1 сформулирована в п.1.2., пункты 1.1 и 1.2 являются подготовительными для формулировки теоремы и начала доказательства. В п. 1.1 объясняется, как строится континуум

Г{г-[,.,2т ) из целого семейства таких континуумов, использование которого при дальнейших аналитических рассуждениях и является основной геометрической идеей доказательства теоремы 1. Функцию определенную первоначально лишь на Е, требуется как-то продолжить на весь континуум /^,.,7^), что и проведено в конце п.1.2. Пункт 1.3. начинается с приготовлений, которые позволяют по данному континууму гт) построить приближающий функцию / полином, который впервые появился в работе [6]. Новшеством с которым придется иметь дело в настоящей ситуации является то обстоятельство, что функция / в разных частях континуума имеет разную гладкость, что потребует получения своей оценки приближения для каждого отрезка 8к. Полиномы , которые строятся в этом пункте, получены в самом его конце. Для проведения последующих оценок функцию фигурирующую в получении , следует записать в виде формулы (10). Немедленное получение формулы (10) затруднительно из-за того, что континуум Т"1^,.^) не имеет внутренних точек, поэтому приходится использовать обходной способ рассуждений, получая (10) для функций, аналитичных в окрестности 2т ) и, затем, используя теорему Мергеляна и соотношение (3) для уверенности в сходимости соответствующих интегралов.

Многочлен gn, конечно, зависит и от параметров ; какихто фиксированных значений параметров г1,.,2т недостаточно для получения утверждения теоремы 1, приходится использовать всю их совокупность.

В п. 1.4. проводится оценка уклонения /. При этом существенно используются трудные результаты из многих предшествующих работ разных математиков. Существенно, что получаемые оценки не зависят от параметров ; кроме того, окончательная оценка уклонения, полученная в самом конце п.1.4., показывает, почему рассмотрение одного континуума Т7^,.,^) недостаточно для доказательства теоремы 1, поскольку для фигурирующей там характеристики р — 2в малой п окрестности точки гк е 8к справедлива эквивалентность и1 точек получать оценку —. п п

В п.1.5. мы проводим завершающий этап построения приближающего полинома Рп и оценки его уклонения от /. Для этого, используя весь набор параметров , с помощью вспомогательного полинома, определенного в лемме 1, строится многочлен зависящий только от г (соотношение (19)).

Далее требуется важная геометрическая лемма 2, которая влечет существенное неравенство (22) для и р\{7.х,.,2т\2).

Свойства функции Л, определенной в лемме 1, и неравенство (22) позволяют в соотношениях (23) и (24) завершить доказательство теоремы 1.

Вторая глава посвящена доказательству теоремы 2, в которой описываются классы функций, равномерно приближаемые на дизъюнктном множестве отрезков . В п.2.1. эта теорема формулируется.

Теорема 2. Пусть Зк = \ак,Ьк , причем отрезки 8к т дизъюнктны, к = 1,2,., Е = и к=1

Ък-\(Ък-ак\Ьк

Пусть 0<а-<1, Н(Е\а1,.,ат)~ класс функций /, определенных на Е, удовлетворяющих соотношениям: х)-/(у}<с-\х-у\"^

Х-йг - ак ак с(0

Оь ■, а* ™(2)

М - /Си) ^ с • - д/^л! - >*>У е Ч •

Для того чтобы функцию / можно было приблизить полиномами Рп{г) степени, не превосходящей п, таким образом, что п к г & 5к, к = 1,2,.,т, необходимо и достаточно, чтобы е Н(Е;аи.,ат).

В силу соотношения (6) между характеристиками рк и рк к и обратных теорем о равномерном приближении на отрезке [27], [28] существенно доказать лишь прямое утверждение. В п.2.2. рассматривается модификация конструкции главы 1. Окончательная формула (8) аналогична соответствующей формуле (10) главы 1 для случая rk = 0, к —1,2,., m; новые обстоятельства класса влекут новый тип уклонения соответствующих полиномов.

В п.2.3. проводится оценка уклонения построенных многочленов gH(zlf.,zm;z) от функции /, принадлежащей классу

Н(Е;а1,.,ат). При этом возникают как новые ситуации в оценках, так и необходимость использовать трудные неравенства ряда предшествующих работ. Итогом работы в п.2.4. является оценка уклонения (22), в которой постоянная сне зависит от п, z и значений параметров zl,.,zm.

В п.2.4. строится окончательный вариант приближающего многочлена Рп, который получается с помощью более простой формулы, чем соответствующий многочлен Рп в главе 1. Проводятся окончательные оценки приближения f — Рп. Отметим, что именно здесь существенно использовалось ограничение ак < 1, а также геометрическое соотношение (22) главы 1.

Глава 3 посвящена доказательству теоремы 3 о взвешенных полиномиальных приближениях, определенных впервые в [30]. Как т и в главах 1 и 2, Е = Sk , Sk - попарно дизъюнктные отрезки, к=1 числа ak, <гк, 0 <ак < 1, 0 < <Ук < 1, к = 1,2,.,m - произвольны.

Класс функций Н(Е;а1,сг1,а29сг2у">ат>0'т) определяется следующим образом еН{Е;а1,а1,а29(г2,.,ат,сгт) тогда и только тогда, когда х)-Ау\<с1 х-у °как л/ х— &к Ч У~ак х)-М<С/ х-у ак.ак 4\х~ък Ч У-Ьк сО)

О/, .

-(гк)ак где к = 1,2,., т, З'к, определены в начале формулировки теоремы 2.

Теорема 3. Для того, чтобы / € Н(Б', ОСх , <7^, а2 > ^2 • • •'ат > ^т ) необходимо и достаточно, чтобы с некоторой постоянной Су, не зависящей от 2 и П и при всяком натуральном п нашелся бы полином Рп, (1 Ъ%Рп ^ п, такой, что т-т^гРГЧг)-^^, к — 1,., тш.

Как и в теореме 2, обратное утверждение теоремы 3 следует из соотношения (6) и обратной теоремы для континуума [30], поэтому опять существенно получить лишь прямое утверждение. Для построения приближающего полинома используется конструкция главы 2. Оказывается, что новый класс функций порождает новый

1. Никольский С.М. О наилучшем приближении многочленами функций, удовлетворяющих условию Липшица, Известия АН СССР, сер. матем., 10, №4,1946,295-317.

2. Тиман А.Ф. Усиление теоремы Джексона о наилучшем приближении непрерывных функций многочленами на конечном отрезке вещественной оси, ДАН СССР, 78, №1,1951,17-20.

3. Тиман А.Ф. Обратные теоремы конструктивной теории функций, заданных на конечном отрезке вещественной оси, ДАН СССР, 116, №5, 1957, 762-765.

4. Дзядык В.К. К вопросу о приближении непрерывных функций в замкнутых областях с углами и о проблеме С.М.Никольского (первое сообщение), Известия АН СССР, сер. матем., 26, №6, 1962, 796-824.

5. Дзядык В.К. К теории приближения аналитических функций, непрерывных в замкнутых областях, и о проблеме С.М.Никольского (второе сообщение), Известия АН СССР, сер. матем., 27, №5,1963,1135-1164.

6. Лебедев H.A., Широков H.A. О равномерном приближении функций на замкнутых множествах, имеющих конечное число угловых точек с ненулевыми внешними углами, Известия АН Арм.ССР, сер. матем., 6, №4,1971, 311-341.

7. Белый В.И., Миклюков В.М. Некоторые свойства конформных и квазиконформных отображений и прямые теоремыконструктивной теории функций, Известия АН СССР, сер. магем., 38, №6, 1974,1343-1361.

8. Шевчук И.А. О классах функций Z/f^ на множествах Мкомплексной плоскости, Труды Международной конференции по теории приближения функций, Калуга, 1977,409-412.

9. Белый В.И. Конформные отображения и аппроксимация аналитических функций в областях с квазиконформной границей, Математический сборник, 102, №3, 1977, 331-361.

10. Широков H.A. Аппроксимативная энтройия континуумов, ДАН СССР, 235, №3,1977, 546-549.

11. З.Широков H.A. Аппроксимативные Свойства одного континуума, Записки научных семинаров ЛОМИ, 92,1979,241-252.

12. Андриевский В.В. Геометрическг4 структура областей и прямые теоремы конструктивной теории функций, Математический сборник, 126, №1, 1985, 41-58.

13. Дзядык B.K. Обратные теоремы теории приближения функций в комплексных областях, Украинский математический журнал, 15, №4, 1963, 365-375.

14. Лебедев H.A. Об обратных теоремах равномерного приближения, ДАН СССР, 171, №4,1966, 788-790.

15. Лебедев H.A., Тамразов П.М. Обратные теоремы приближения на регулярных компактах комплексной области, Известия АН СССР, сер. матем., 34, №6,1970, 1340-1390.

16. Тамразов П.М. Телесная обратная задача полиномиального приближения функций на регулярном компакте, Известия АН СССР, сер. матем., 37, №1,1973.

17. Ахиезер Н.И. Uber einige Funktionen, die in gegebenen Intervallen am wenigsten von Null abweichen, Известия Казанского физико-математического общества, 1928.

18. Walsh J.L. Lemniskates and eguipotential curves of Green s function, American Mathematical Monthly, 42,1935,1-17.

19. Мергелян C.H. Некоторые вопросы конструктивной теории функций, Труды МИАН СССР, 37,1951,1-92.

20. Нгуен Ту Тхань. О приближении функций полиномами на замкнутом множестве с углами, дополнение которого конечносвязно, Вестник ЛГУ, №19,1981.

21. Широков H.A. Приближения по В.К.Дзядыку на компактах с бесконечносвязным дополнением, Доклады Академии Наук, 335, №6, 1994, 700-701.

22. Широков H.A. Приближение многочленом на компактах с бесконечносвязным дополнением, Алгебра и анализ, 10, №1, 1998, 245-264.

23. Межевич К.Г., Широков H.A. Полиномиальные приближения на дизъюнктных отрезках, Проблемы математического анализа, 18, 1998.

24. Межевич К.Г., Широков H.A. Один класс функций на дизъюнктной системе отрезков, Записки научных семинаров ПОМИ, 1999.

25. Фуксман A.JI. Структурная характеристика функций, у которых En(f'—1,1) < т- п~^к+а\ Успехи математических наук, 20, №4, 1965,187-190.

26. Волков Ю.И. Некоторые вопросы приближения функций комплексной переменной в областях с углами, Первая республиканская математическая конференция молодых исследователей, вып. 11, Киев, 1965,130-131.

27. Дзядык В.К., Алибеков Г.А. О равномерном приближении функций комплексного переменного на замкнутых множествах с углами, Математический сборник, 75, №4,1968, 502-557.

28. Широков H.A. О взвешенных приближениях на замкнутых множествах с углами, ДАН СССР, 214, №2,1974, 295-298.78

29. Дынькин Е.М. О равномерном приближении функций в жордановых областях, Сибирский математический журнал, 18, №4 1977, 775-786.

30. Дзядык В.К. Введение в теорию равномерного приближения функций полиномами, Москва, «Наука», 1977.

31. Смирнов В.И., Лебедев H.A. Конструктивная теория функций комплексного переменного, Москва-Ленинград, «Наука», 1964.

32. Широков H.A. Равномерное приближение аналитических функций полиномами в областях ограниченного граничного вращения без нулевых внешних углов, Записки научных семинаров ЛОМИ, 65, 1976, 199-202.

33. Андриевский В.В. Прямые теоремы в теории аппроксимации на квазиконформных дугах, Известия АН СССР, сер. матем., 44, №2, 1980,243-261.