Устойчивый метод решения линейных уравнений с некомпактными операторами и его приложения к задачам управления и наблюдения тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

003479929

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В. ЛОМОНОСОВА

—}

ФАКУЛЬТЕТ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И КИБЕРНЕТИКИ Кафедра оптимального управления

На правах рукащси

■■ ¿'Ц/К!

ПОТАПОВ Михаил Михайлович

Устойчивый метод решения линейных уравнений с некомпактными операторами и его приложения к задачам управления и наблюдения

01.01.07 - Вычислительная математика

АВТОРЕФЕРАТ 1 5 ОПТ ?,1Г10

диссертации на соискание ученой степени ¿оод

доктора физико-математических наук

Москва - 2009

Работа выполнена на кафедре оптимального управления факультета вычислительной математики и кибернетики Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

академик РАН, профессор В.А. ИЛЬИН

доктор физико-математических наук, профессор A.C. ЛЕОНОВ

доктор физико-математических наук, доцент Ю.М. НЕЧЕГГУРЕНКО

Ведущая организация:

Институт Математики и Механики УрО РАН, г. Екатеринбург

Защита состоится « 11 » ноября 2009 г. в 15.30 часов на заседании диссертационного совета Д 501.001.43 при Московском государственном университете им. М.В. Ломоносова, расположенном по адресу: 119991, Москва, ГСП-1, Ленинские горы, МГУ, второй учебный корпус, факультет ВМиК, аудитория 685.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке факультета ВМиК Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова.

Автореферат разослан «_»_2009 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 501:001.43 доктор физико-математических наук,

профессор

Общая характеристика работы

Актуальность темы. В настоящее время приближенные методы решения операторных уравнений, как линейных, так и нелинейных, образуют весьма представительный и вполне сложившийся раздел современной вычислительной математики. Основополагающий вклад в становление и развитие этих методов применительно к уравнениям с неточными данными внесли такие выдающиеся российские математики, как А.Н.Тихонов, М.М.Лаврентьев, В.К.Иванов (см. [С1]-[СЗ]). Впоследствии их ученики и последователи В.А.Морозов, А.Б.Бакушинский, В.В.Васин, A.B.Гончарский, В.А.Винокуров, А.С.Леонов, А.Г.Ягола, Г.М.Вайникко, В.Г.Романов, А.М.Федотов, Ф.П.Васильев, Ю.Л.Гапоненко, А.М.Денисов, А.Л.Агеев, С.Ф.Гилязов, М.Ю.Кокурин и др., а также зарубежные коллеги C.W.Gröetsch, H.W.Engl, M.Hanke, A.Neubauer, детально проработали многие теоретические и практические аспекты данного научного направления и для случая линейных уравнений вывели технику построения устойчивых приближенных решений на очень высокий уровень. В частности, в [С4]-[С7] описаны и исследованы целые классы методов регуляризации, вырабатывающие устойчивые приближения к нормальному решению при условии согласования значений регуляризирующих параметров априорным или апостериорным способом с имеющейся информацией о приближенных данных. Тем не менее, даже в этой тщательно и продуктивно исследованной области еще остаются неизученные классы задач, один из которых и стал главным объектом исследования в данной диссертации.

Внешне эти задачи имеют традиционный вид уравнения

Аи = / (1)

с линейным ограниченным оператором А £ L(H -+ F), действующим в вещественных сепарабельных гильбертовых пространствах Н и F. Предполагается, что уравнение (1) имеет классическое решение, т.е. / принадлежит R{Ä) - образу пространства Я при отображении А. Решение может быть неединственным, поэтому для определенности ищется нормальное решение uf) имеющее минимальную Я-норму. Требуется построить устойчивые приближения к и* в условиях, когда вместо точных исходных данных Auf фактически доступны лишь некоторые их приближения А G L(H —► F) и / € F. Основные отличия постановки задачи (1) в настоящей диссертации от традиционной постановки заключаются в характере априорной информации об искомом решении и, и приближенных данных Ли/, при наличии которой задача должна быть решена. Обычно уравнение (1) решается в предположе-

нии выполнения следующих условий:

НА-АКч, II/-ЯК <5, (2)

в которых помимо самих приближенных данных Auf должны быть известны и соответствующие им уровни погрешностей т/ и 6. В работе [С8] показано, что при отсутствии каких-либо дополнительных сведений об искомом решении и, одних только приближенных данных А, f без информации об уровнях погрешностей ту, S недостаточно для построения устойчивых приближенных решений, разумеется, если исходная задача (1) изначально была некорректной.

Мы отказываемся от присутствующего в (2) условия равномерной близости операторов А а А, т.е. снимаем требование rj —► 0. При этом не обязательно знать и величину г/ погрешности в операторе. Заметим, что при наличии априорной информации о мере аппроксимации щ операторов на точном решении

||Ли,-Ли»||<>ь (3)

в [С6, С9] показано, что сильные приближения к и, могут быть построены и без условия (2) равномерной близости операторов с помощью обычных ре-гуляризирующих процедур с априорным выбором параметра регуляризации. В [СЮ] в случае, когда наряду с (3) имеется дополнительная информация о сильной поточечной сходимости сопряженных операторов: А* —» Л*, указаны способы построения устойчивых приближений к и* с помощью как априорного, так и апостериорного выбора параметра регуляризации по методу невязки. Мы предлагаем другой метод регуляризации, использующий априорную информацию иного типа, отличную от традиционных условий (2) или условия (3).

Появление этого метода было стимулировано выполнением серии работ по конечномерной аппроксимации двойственных задач граничного и зонного управления и наблюдения системами, динамика которых описывалась пространственно-одномерным волновым уравнением [1]-[6]. Во всех этих задачах точные операторы А были линейными ограниченными, но некомпактными, а в роли А выступали их конечномерные приближения. Как известно [С11], в такой ситуации погрешность rj в операторе в принципе не может стремиться к нулю, а от априорной информации типа (3) о величине 77* погрешности на неизвестном точном решении мы принципиально отказываемся. В перечисленных работах [1]-[6] фактически была доказана сильная сходимость приближенных решений только по невязке, но не по агрументам, в роли которых выступали, в частности, управления.

С аналогичными проблемами сталкивались и другие авторы [С12]-[С18]. Выявление причин, по которым применение к решению подобных обратных задач стандартных разностных, проекцинно-разностных или полудискретных схем конечномерной аппроксимации, обладающих свойствами устойчивости и сходимости в прямых задачах, не гарантирует сходимости приближенных решений обратных к ним задач, сыграло важнейшую роль в поиске средств борьбы с такого рода неустойчивостями. Как выяснилось, основной причиной их возникновения при дискретизации непрерывных волновых процессов является появление среди дискретных решений волн, у которых при измельчении шагов сетки укорачиваются длины и замедляются скорости распространения. Достаточно подробные обсуждения этих «паразитных» явлений представлены в обзоре Е^иагиа [С16] и в книге КСЬтопэУ, Л.Ь.Ьюпб, Л.У/.Не [С13]. Там же можно найти и описания приемов, которые использовались для подавления этих неустойчивостей: метода регуляризации А.Н.Тихонова, метода мультисеток, метода конечных элементов со смешанными базисами, введения искусственной вязкости и прямой фильтрации высокочастотных гармоник. Несмотря на внешние различия в конструкциях фактически все эти подходы направлены на подавление вредных высокочастотных осцилляции, привносимых стандартными методами дискретизации. Из перечисленных регуляризующих подходов самым универсальным, не привязанным к типу уравнений, является метод А.Н.Тихонова, однако обоснованное его применение в естественных классах управляемости сдерживается отсутствием у оператора А свойства компактности, а, значит, и отсутствием информации о скорости стремления к нулю погрешности ц в условии (2). Для обоснованного применения остальных методов необходимо детально исследовать свойства (в основном, спектральные) дискретных моделей, чтобы затем использовать их для введения дополнительных сеток или дополнительных базисных функций, определения величины искусственной вязкости или нижней границы срезаемых частот. Кстати, такая информация может быть альтернативой для (2) с известным т} при выборе в методе А.Н.Тихонова значения параметра регуляризации.

Суть наших предложений заключается в том, чтобы для дискретной аппроксимации обратных задач использовать любые схемы, подходящие для решения прямых задач, не подвергая их никакой дополнительной модификации, а с вызываемыми такой дискретизацией явлениями неустойчивости решений обратных задач бороться с помощью дополнительной информации об их точных решениях. Именно, предлагаемый нами метод решения уравнения (1) с неточными данными работает в предположении, что искомое точное

нормальное решение щ истокопредставимо:

= V, в ^ г, (4)

а величина г в (4), ограничивающая норму элемента-источника V*, известна. В (4) А* £ L(F* —» Н*) - оператор, сопряженный к А, действующий в сопряженных гильбертовых пространствах Р'иЯ*, возможное отождествление которых по Риссу с основными пространствами Р и Я в общем случае не производится. В приложениях привилегия таких отождествлений обычно закрепляется только за обычными или весовыми пространствами Лебега 1'? интегрируемых с квадратом функций. По этой причине в (4) и присутствует явно оператор Рисса Зц : Н* > Н, устанавливающий соответствующий изоморфизм. Условия (2) равномерной операторной близости замещаются более слабыми условиями сильной поточечной сходимости операторов:

\\Аи - Аи\\г -* О VиеЯ, \\А*у - А*у\\ц* 0 Уи <= р*. (5)

Правая часть уравнения (1) может быть известна приближенно:

(6)

а уровень погрешности в (б) может оставаться неизвестным. В (5) предполагается, что оператор А*, приближающий А*, является сопряженным к А : А* = (Л)*. Заметим, что в отличие от случая равномерной близости, которая в силу равенства норм ||А — А\\ = ЦЛ* — А*|| имеет место сразу для обоих взаимно сопряженных операторов, ни одно из двух условий поточечной сходимости в (5), вообще говоря, не следует из другого [С11].

При наличии информации (4)-(6) приближенные решения и уравнения (1) предлагается искать в истокообразном виде

й=7нА\ уеГ, (7)

со значением г, взятым из (4). Элементы-источники V в (7) выбираются из естественных соображений минимизации уклонения

\\и-и*\\Ъ 21 11.7**» _ = рДА*у\\% - 2(ЗнА*ь, и>)И + ,

в котором последнее слагаемое от V не зависит, а сумма первых двух с помощью теоремы Рисса и транспонирования записывается в виде квадратичного функционала — 2(г>, Ащ). В силу (5) Аи, -> Аи* (= /, поэтому с

учетом (6) этот функционал будет близок к функционалу

= - 2(1 ь), (8)

содержащему только реально доступные данные. Предлагаемый метод состоит в минимизации квадратичного функционала (8) на шаре < г радиуса г в пространстве Р*. По любому е-приближенному решению этой задачи, т.е. по любому элементу V, удовлетворяющему условиям

ЪеР*, |№р.<г, /(5)< М /(«)+£, (9)

в соответствии с (7) определяется итоговое приближение и = Этот

метод, который мы будем называть вариационным, впервые был предложен в работах [7]-[12], а в диссертации он представлен в форме, сложившейся под влиянием рассмотренных впоследствии приложений [13]—[28].

Априорная информация (4), имеющая принципиальное значение для возможности применения вариационного метода, доступна в случае, когда сопряженный оператор А* непрерывно обратим на своем образе Л (Л*), т.е. имеет место оценка

\\А*у\\2н.>ф\\1. \ZveF*, (10)

причем значение постоянной ц > 0 в этой оценке должно быть известно. Тогда, если правая часть / € ^ уравнения (1) известна точно, то условие (4) будет выполняться со значениями г ^ а если вместо / известно некоторое приближение / £ ^ то потребуется знание и соответствующего уровня погрешности: ||/ - < 5. По данным /, 5 определяется диапазон возможных значений параметра г :

г^Мк±1_ (И)

Разумеется, при практическом применении метода целесообразно выбирать значения г, близкие к нижней границе диапазона (11).

Условие (10) является хотя и весьма жестким, но все же не уникальным и выполняется, в частности, в задачах из работ [С12]-[С18], посвященных вычислениям. Правда, вычислительные процедуры в [С12]-[С18] организовывались по другим сценариям, в которых оценка (10) не использовалась. В главах 2-5 настоящей диссертации, посвященных приложениям вариационного метода к различным задачам управления и наблюдения для процессов колебаний, будет показано, что во всех этих приложениях оценка (10) выполняется на достаточно протяженных временных промежутках, и что важные для реализации метода значения параметра ц определяются конструктивно. Эти задачи управления и наблюдения будут записываться в форме взаимно сопряженных линейных операторных уравнений [С19] Ли = / и А*у = д.

Уравнением Аи = f описывается задача отыскания управления и, переводящего систему в заданное целевое состояние /, а в форме сопряженного уравнения A*v = д записывается двойственая задача восстановления состояния v сопряженной системы по наблюдениям д за ее траекторией. Основными проблемами в задачах управления и наблюдения традиционно считаются проблемы управляемости и наблюдаемости. Под управляемостью обычно понимают возможность попадания в любую наперед заданную цель /, а под наблюдаемостью - единственность восстанавливаемого состояния v, порождающего наблюдаемый сигнал д. На операторном языке управляемость означает существование решения операторного уравнения Аи = f для любой правой части / или, другими словами, равенство R{A) = F. Наблюдаемость - это не что иное как единственность решения сопряженного уравнения A*v = g или тривиальность ядра сопряженного оператора: N{A*) = {0}. Условие (10), являющееся основным инструментом определения важного для численных расчетов значения параметра г, влечет также и наличие обоих этих свойств: и наблюдаемости, и управляемости. Действительно, при выполнении неравенства (10) ядро сопряженного оператора тривиально: N(A*) = {0}, что означает наблюдаемость, а его образ будет замкнут: R(A*) = R(A*). Тогда, как известно [СЗ], замкнутым будет и образ самого оператора А : R{A) = R(A), что с учетом ортогонального разложения R{A) © N(A*) = F означает равенство R{A) = F, т.е. наличие управляемости. По этим соображениям оценки типа (10) ниже называются неравенствами наблюдаемости.

Авторы, занимавшиеся проблемами управляемости и наблюдаемости (см. [С13, С16],[С20]-[С29]), обычно устанавливали сам факт наличия оценки (10) или искали наименьшее время Г*, начиная с которого, т.е. при Т >ТФ, постоянная ц становилась положительной, а оценка (10) - содержательной, и при этом не интересовались конкретными значениями р, которые имеют первостепенное значение для численной реализации нашего вариационного метода. В связи с этим в диссертации в ряде случаев пришлось дорабатывать в конструктивном плане некоторые из неравенств наблюдаемости, полученных в [С13, С16],[С20]-[С29].

На наш взгляд, актуальность выбранной тематики обусловлена наличием реальной потребности в устойчивых методах численного решения различных уравнений в различных информационных условиях. Один из таких универсальных методов решения произвольных линейных уравнений при выполнении условий (4)-(6) предложен в диссертации. Полагая, что универсальность сама по себе является заслуживающим признания достоинством, мы сознательно воздерживаемся от каких-либо прямых сравнений нашего метода по точности, экономичности или другим критериям со специализированными

методами из [С12]-[С18], заранее признавая возможные преимущества последних по тем или иным показателям в тех конкретных задачах, на решение которых они и были ориентированы. В связи с этим в главе 6, посвященной численным экспериментам, прежде всего демонстрируются работоспособность вариационного метода и адекватность его результатов шагам сетки и уровню шума.

Цель диссертационной работы. Основными целями в диссертации являются:

1. Разработка устойчивого метода решения линейных уравнений в гильбертовых пространствах, подходящего для случая неравномерных возмущений в операторе, возникающих, например, при его конечномерной аппроскима-ции. Определение условий применимости метода, исследование свойств его сходимости и разработка вычислительного алгоритма для его практической реализации.

2. Применение данного метода к двойственным задачам управления и наблюдения для волнового уравнения и уравнения колебаний балки с переменными коэффициентами с целью построения сильно сходящихся приближенных решений. Вывод в случае их отсутствия конструктивных неравенств наблюдаемости (10) и развитие техники доказательства условий сильной поточечной сходимости (5).

3. Демонстрация практической работоспособности вариационного метода на одном из теоретически исследованных в диссертации приложений к задачам граничного Дирихле-управления для волнового уравнения.

Методы исследования. В диссертации использованы методы функционального анализа и теории операторов, методы математической физики для исследования свойств обобщенных решений уравнений с частными производными и энергетического оценивания самих решений и их производных вместе с терминальными и граничными следами. При построении конечномерных приближенных решений использовались методы конечно-разностной устойчивой аппроксимации слабых и сильных обобщенных решений соответствующих начально-краевых задач. Наконец, предложенный в работе вычислительный алгоритм итерационного типа сочетает в себе идеи метода Лагранжа из теории условной оптимизации с вычислительными методами линейной алгебры.

Научная новизна. Предложенный в работе вариационный метод является новым методом регуляризации линейных уравнений с истокопредстави-мым нормальным решением и неточно заданным оператором, приближения к которому обладают свойством сильной поточечной сходимости. В работе

получен ряд новых неравенств наблюдаемости (10) с конструктивно определяемыми значениями постоянной /х и негрубыми значениями пороговых моментов управляемости-наблюдаемости для задач, двойственных к задачам с регулярными граничными управлениями в краевых условиях первого, второго и третьего рода и к задачам с регулярными зонными управлениями для волнового уравнения с переменными коэффициентами. При выводе этих неравенств наблюдаемости значительную роль сыграли предложенные автором разложения пространств целевых состояний в задачах управления в суммы специально подобранных подпространств, а также внесенные модификации в конструкцию мультипликатора. Определенную новизну несет в себе и развитая в диссертации техника построения конечномерных приближений к исходным непрерывным двойственным постановкам задач управления и наблюдения, сохраняющих отношение двойственности и обладающих нужными для применения вариационного метода свойствами сильной поточечной аппроксимации (5).

Практическая значимость. Результаты диссертации, представляющей собой теоретическое исследование, имеют широкие возможности практических приложений к задачам управления и наблюдения, а также к другим обратным задачам для линейных динамических систем, описываемых дифференциальными уравнениями различного типа. Некоторые из таких приложений подробно рассмотрены в самой диссертации в главах 2-5, но универсальность предлагаемого вариационного метода, пригодного для решения произвольных линейных уравнений в информационных условиях (4)-(6), потенциально расширяет область применимости далеко за пределы задач управления и наблюдения, на которых было сконцентрировано внимание в данной работе. Результаты диссертации могут также составить содержание отдельных специальных курсов лекций или отдельных разделов таких курсов для студентов факультетов физико-математического и естественно-научного профиля.

Основные результаты и положения, выносимые на защиту.

1. Предложен вариационный метод решения линейных уравнений в сепа-рабельных гильбертовых пространствах, устойчивый к неравномерным возмущениям оператора, характерным для конечномерных аппроксимаций некомпактных линейных отображений.

2. Разработан конечношаговый алгоритм, позволяющий решать с контролируемой точностью внутреннюю для вариационного метода задачу минимизации выпуклого квадратичного функционала на шаре методом итераций по множителю Лагранжа.

3. Для волнового уравнения и уравнения колебаний балки с переменными коэффициентами получен ряд новых конструктивных неравенств наблюдаемости. Эти неравенства содержат априорную информацию, необходимую для численного решения двойственных задач управления и наблюдения для таких уравнений с помощью предложенного в работе вариационного метода.

4. Для рассмотренных в работе двойственных задач граничного и зонного управления и наблюдения, описываемых уравнениями колебаний струны и балки, построены подчиняющиеся всем требованиям вариационного метода конечномерные аппроксимации, сохраняющие отношение двойственности, а также описаны процедуры численного решения этих задач вариационным методом, вырабатывающие сильно сходящиеся приближения.

Апробация работы. Все основные положения диссертации докладывались на различных международных и всероссийских конференциях, научных школах и семинарах, в том числе на международных конференциях, посвященных 90-летию и 100-летию со дня рождения Л.С.Понтрягина в г.Москве (1998,2008), на международной конференции «Tikhonov and Contemporary Mathematics» в г.Москве (2006), на международной конференции «Дифференциальные уравнения и смежные вопросы», посвященной памяти И.Г.Петровского в г.Москве (2007), на международной конференции «Современные проблемы математики, механики и их приложений», посвященной 70-летию ректора МГУ академика В.А.Садовничего в г.Москве (2009), на всероссийских конференциях «Алгоритмический и численный анализ некорректных задач» в г.Екатеринбурге (1995,1998,2008), Воронежских математических школах «Понтрягинские чтения»(1994,2008), конференциях «Обратные и некорректно поставленные задачи»в МГУ им. М.В. Ломоносова (1995,1996,1998,2000), на российском симпозиуме с международным участием ((Управление упругими колебаниями» в г.Переславле-Залесском (2006), а также многократно на Ломоносовских и Тихоновских чтениях в МГУ им. М.В. Ломоносова; на научно-исследовательских семинарах кафедры оптимального управления и кафедры математической физики факультета ВМиК МГУ им. М.В. Ломоносова, на научно-исследовательских семинарах под руководством проф. А.Г.Яголы, проф. А.Б.Бакушинского, проф. А.В.Тихонравова (НИВЦ МГУ), под руководством проф. Г.М.Кобелькова, проф. В.И.Лебедева, проф. А.В.Фурсикова (Институт вычислительной математики РАН), под руководством проф. А.И.Прилепко (мехмат МГУ).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 28 pa-

ботах [1]-[28], из них 12 - в изданиях, рекомендованных ВАК: [1, 3, 6, 9, 12],[14]-[16], [18]-[20],[22] и одна [21] - в рецензируемом журнале. Из 13 журнальных публикаций 10 выполнены без соавторов. Две статьи с соавторами [1, 3], выполненные на начальном этапе исследований, сыграли важную роль в развитии техники доказательства сильной поточечной сходимости (5) по значениям операторов и стимулировали разработку вариационого метода, обеспечивающего сходимость по их аргументам. В статье [14] соавтором являлась аспирантка, выполнявшая техническую часть работы под руководством автора данной диссертации.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения и шести глав. Главы разбиты на параграфы, параграфы - на пункты. Нумерация теорем, лемм, и замечаний - двойная, сквозная внутри каждой главы. Нумерация формул - тройная, сквозная внутри каждого параграфа. Та же нумерация, за исключением формул, сохранена и в автореферате. Список литературы содержит 235 наименований.

Содержание работы

Во введении обоснована актуальность диссертационной работы, дан краткий обзор современного состояния области исследования, сформулированы основные цели работы, кратко изложено ее содержание, приведены полученные в ней результаты, являющиеся по мнению автора новыми в научном плане, и проведено обсуждение их практической значимости.

В главе 1 в § 1.1 представлен центральный результат диссертации - вариационный метод и приведено доказательство его сходимости. Этот метод применяется к линейным уравнениям (1) при условиях (4)-(6) и по существу уже описан в (7)-(9). Следуя тексту диссертации, внесем лишь одно изменение в область вариации элементов-источников V, которая в предварительном описании (7)-(9) совпадала со всем сопряженным пространством Г*. Приложения подсказывают, что разумнее сузить эту область до риссовского прообраза Ё* некоторого (на практике конечномерного) подпространства Р пространства .Р, содержащего образ приближенного оператора:

Р* = где ЩА) сРсК

и уже в г* выделить шар в (г) радиуса г :

Я(г) = {г,€.Н1М|^г}. (12)

Приближения и к нормальному решению и„ уравнения (1) будем искать в истокообразном виде

и = ^А% V € В(г), (13)

а элементы-источники V в (13) должны быть е-оптимальными решениями следующей квадратичной задачи минимизации на шаре В (г):

V 6 в{г), щ^пйащ+е, щ = \\а*ь\\]1.-2&у). (14)

вбВ(г)

Теорема 1.1. [9, 12] Пусть выполняется условие истокопредставимости (4) и приближения и выбираются по правилам (12)-(Ц)- Тогда справедлива следующая оценка:

¥~иЛн < (\\А%4%.-1\А%4%.)+2г(з\\Аи,-Аи4Р+2\\/-/\\Р^+£. (15)

Если £ —► 0 и приближенные данные А, А*, / удовлетворяют условиям аппроксимации (5), (6), то из (15) следует сильная сходимость

||и-1х.||я-»0. (16)

Замечание 1.1. Как видно из оценки (15), сильная сходимость (16) получается и в случае, когда аппроксимационные условия (5) выполняются не всюду на Я и Е", а только на точном нормальном решении и» и его источнике VОднако ввиду того, что оба этих элемента неизвестны, мы предпочитаем сохранить запись этих условий в формально более сильном, но зато и более реалистичном виде (5).

Замечание 1.2. Соображения, приводящие к конструкции квадратичного функционала вида (8) указывают на тесную связь предложенного вариационного метода (12)—(14) решения уравнения (1) с методом квазирешений В.К.Иванова [СЗ] для сопряженного уравнения А'ь = «,, правда, в не совсем стандартной ситуации, поскольку правая часть и, этого уравнения сама является неизвестной.

Замечание 1.4. При наличии неравенства наблюдаемости (10) с известной постоянной р. > 0 вариационный метод можно применять и к сопряженному уравнению А*ь = д. Дело в том, что из неравенства наблюдаемости (10) в предположении существования решения у следуют единственность этого решения, его истокопредставимость и оценка для нормы источника: V = ||и„||н < ^^, что позволяет определять значение радиуса шара

г в случае приближенно заданной правой части д : если д € Я*, ||з - ^ 5, то г >

Выпуклая задача квадратичной минимизации (12)—(14) может быть решена различными методами за конечное число шагов, количество которых можно рассчитать заранее по заданному в (14) уровню точности е. В частности, для этих целей подходит стандартный метод проекции градиента [СЗО], однако при численных расчетах мы использовали другой, на наш взгляд, более эффективный и экономичный метод итерационного типа, предложенный в [12] и описанный в § 1.2. Этот метод основан на правиле множителей Лагран-жа и на важном свойстве непрерывной монотонной зависимости от А норм

||г/(А)||^« элементов г>(А), являющихся единственными решениями уравнения Эйлера для функции Латранжа 1(ь) + А(||и||£.. - г2) при каждом фиксированном А > 0:

+ = г/е^*, А > 0, (17)

где С} : Р —» Е - оператор ортогонального проектирования. Алгоритм

Шаг 1. Выбираются два параметра > 0 и ё > 0 (теоретически оба они должны стремиться к нулю).

Шаг 2. Полагаем в уравнении (17) А = Ао и находим его решение щ = гТ(Ао). Если ||г/о||^' ^ г + е, тона выход алгоритма подаем элемент и — щи останавливаем вычисления.

Шаг 3. Если ||г5о||р- > г+е, то итерационным методом (дихотомии, Ньютона или др.) находим некоторое А > Ао из условий:

г-£<||и(А)||р. ^г + е.

Затем находим соответствующее этому А решение V = у(\) уравнения (17) и останавливаем алгоритм.

Гарантированная оценка погрешности е в (14) через параметры Ао и £ описанного алгоритма была получена в [12]. В диссертации в теореме 1.2 выводится усовершенствованный вариант этой оценки:

е < тах12г2Ао, ?}. (18)

Из (18) видно, что е-погрешность в (14) имеет тот же порядок малости, что и параметры алгоритма Ао и е.

В § 1.3 излагается математический аппарат, используемый в главах 2-4 при выводе конструктивных неравенств наблюдаемости (10). За основу берутся банаховы конструкции для сумм X + У и пересечений X П У пространств X, У из [С31] и модифицируются для того, чтобы в случае гильбертовых пространств X, У их сумма X + У и пересечение X Л У оставались гильбертовыми. Пусть Я - гильбертово пространство, отождествленное по Риссу со своим сопряженным, а X, У - гильбертовы пространства, каждое из которых непрерывно и всюду плотно вкладывется в Я. В таком случае организуются обычные канонические вложения [С32]:

X С Я а Н* С X*, ¥сН~Н*сУ*. (19)

Определение 1. Пересечением Xf]Y называется гильбертово пространство, состоящее из элементов, принадлежащих одновременно и X и У; скалярное произведение в X П Y определяется по правилу

(f,9)xnY = l(f,g)x + Hf,g)r ■ V,gexnv. (20)

Определение 2. Суммой X + Y называется гильбертово пространство, состоящее из элементов z 6 Я, представимых в виде z — х + у, х £ X, у € У. Скалярное произведение в X + Y вводится по правилу

(z\z')x+Y^2(xlxl)x + 2(yly2t)Y Vz1, z2 £ X + Y, (21)

где x't £ X, yl £ Y, г = 1,2, - единственные решения следующей задачи квадратичной минимизации с линейным ограничением:

Ых + IIwIIk -»inf> х£Х, у£ y, x + y = z,

соответствующие значениям z = г', г = 1,2.

Нормировочные множители в (20) и в (21) выбраны с таким расчетом, чтобы в случае совпадения пространств X = Y совпадали бы и нормы: ||/||xnx = ||/lk, INU+x = ||г||х. В случае гильбертовых пространств со скалярными произведениями (20),(21) справедливо следующее отношение двойственности, аналогичное [С31].

Теорема 1.3. Пусть X,Y, Н - гильбертовы пространства, для которых имеют место непрерывные и всюду плотные вложения (19). Тогда справедливо равенство (X 4- Y)* = X* П Y*, понимаемое в смысле полного изоморфизма гильбертовых пространств.

В следующей теореме устанавливается связь между операторами Рисса Jx'.X*-* X, Jy-.Y*-+Y и Jx+y : (X + Y)* X + Y.

Теорема 1.4. Пусть выполняются условия теоремы 1.3. Тогда

Jx+y = \{Jx + Jy).

Далее описываются два варианта разложений в сумму конкретного функционального пространства Ях(0,1), которые используются в следующих главах при рассмотрении задач с граничными и зонными управлениями и наблюдениями для волнового уравнения. Роль базового гильбертова пространства Я будет играть пространство L2(0,1) измеримых интегрируемых по Лебегу с квадратом на отрезке х £ [0,1} функций со скалярным произведением (/, 0)£j(o,i) ~ Jo P{x)f(x)d(x) dx, в котором весовая функция р{х) £

СЧОД р{х) > 0. Пространство L2p(0,l) и сопряженное к нему пространство (¿|(0, Z))* будем отождествлять по Риссу: (L2p(0,l))* ~ Ц(0,1). Под Н1(0,1) понимается соболевское пространство Hl(0,1) = {f{x) 6 L2(0,I) | /'(x) £ L2(0,Z)}. В первом разложении в роли ХиУ будут выступать подпространства х = Я»(б,0 = {/(«) е я1 (о,/)| /(0) = о}, г = h\q°i) = {/(*) е Нх(0,1) | f(l) = 0}, наделенные одинаковыми скалярными произведениями

{/. 9)нцЬ) = </, 9)H40ib = } Н*)ГШ(х) dx (22)

О

с весовой функцией € С1 [0,1], к(х) > 0. Оба пространства Я!(0,/) и

о

Я (0,1) являются гильбертовыми, каждое из них непрерывно и всюду плотно вкладывается в l2p(0,1) и

Я1(0,0 = Я1(0,0 + Я1(0,0. (23)

Из теоремы 1.3 следует отношение двойственности

(ях(о, 0)" = {Н\0,1) + я^о, by = (я1 (о, О)* П (я1 (о, or. (24)

В теореме 1.5 приведен вид скалярного произведения в пространстве Ях(0, /), индуцированного разложением (23).

Второе из нужных нам разложений строится следующим образом. По произвольному разбиению отрезка [0,1} точками 0 = яо < х\ < • • • < £n-i < хп — I на п частичных сегментов [a:<_i, i = 1,2,..., п, определяются два подпространства Я \ven(0,1) = {f(x) е Я1 [0,1) | f{x2i) = 0, 0 < 2t < п}, 0 = {/(®) € Я^О.О I /(ea-i) = 0, 1 < 2г - 1 < п}, наделенные

одинаковыми скалярными произведениями (/, д). = (/, g)•, =

■и cvinWJ JiabjW)

Jq к(х) f(x) д'(х) dx. Оба они будут гильбертовыми, причем

Hl{0,l) =Hlven(0,l)+ НшФЛ (25)

а тогда по теореме 1.3

Теорема 1.6. Скалярное произведение в пространстве Я*(0,i), индуцированное разложением (25), вычисляется по правилу

</, 5>ячо,о = } k(x)f(x)g'(x) dx + t ' *<*) = / ill"

0 i=l 0

Результаты первой главы, относящиеся к вариационному методу, опубликованы в [7]-[12]. Свойства разложений (23),(25) использовались в [16]-[28].

В главе 2 рассматриваются приложения вариационного метода к задачам Дирихле-управления и двойственным к ним задачам Нейман-наблюдения для волнового уравнения с переменными коэффициентами. Именно с этих задач в [1] начались попытки автора построить устойчивый вычислительный алгоритм для отыскания их приближенных решений, которые привели к появлению вариационного метода. Материалы, представленные в первых двух параграфах главы 2, являются модифицированной и более подробной версией, первоначально изложенной в [9]. Третий параграф посвящен случаю более регулярных граничных управлений и написан по материалам авторских публикаций [1б]-[18],[21, 23]. В § 2.4 рассматриваются задачи граничного Дирихле-управлеЕшя с так называемыми частичными целями, когда в целевой паре / = (/°(г), /х(х)) задается только одна из компонент: либо терминальное состояние f°(x), либо терминальная скорость /'(ж), а вторая компонента может оставаться произвольной.

Задача с двусторонними Дирихле-управлениями имеет вид:

р(х)уа = (к{х)ух)х, Q <t<T, 0 <х<1,

tf|x-o = uoW. 2/U=i = «iW, 0<i<T, (26)

2/|i=o = 0, yt | ¿=0 = 0, 0 <x<l.

Значения T > 0, I > 0 и коэффициенты уравнения p(x) > 0, k(x) > 0, p{x), k(x) 6 С HO, J], предполагаются заданными. Требуется выбором граничных управлений и — u(t) — («о(£), щ(<)) перевести систему (26) в заданное целевое состояние / = f(x) = (/°(ж), fl(x)) :

J/|t=r = f°(x), yt\ w = /*(*), 0 < £ < (27)

В двойственной задаче наблюдения фазовая траектория р = p(t, х) является решением того же дифференциального уравнения с обратным течением времени и однородными граничными условиями того же типа:

p{x)ptt = (k{x)Px)x, 0 <t<T, 0 < х < I,

РU=o = 0, р|1=/ = 0, 0 <t<T, (28)

p\t=T^v°(x), Vt\t=T — — ^(i), 0 <x<l. Объектом наблюдения являются граничные значения производных по х :

flt>(i) = *PxU=o, 9i(t) = —крх | х~1, 0 <t<T, (29)

а целью наблюдения - восстановление конечного состояния v = v{x) = {v°(x), v1^)) процесса (28) по дополнительной информации (29) о значениях функций g = g\t) = (g0(t), gi(t)).

Задачи управления (26),(27) и наблюдения (28),(29) записываются в форме взаимно сопряженных уравнений с линейными ограниченными операторами, действующими в сопряженных гильбертовых пространствах:

Au = f, А € L(H —> F), Au = (у(Т,х), yt(T,x)), (30)

a*v=g, A* € L(F* -+ H*), A*v = (k(Q)px(t,Q),-k(l)px(t,l)). (31)

Здесь Я = L2(0,T) x L2(0,T), F = L»(0,I) x где #-»((), i) =

(Я5 (0,i))* ~ пространство, сопряженное к пространству Соболева

йо(0,0 = {/(*) еi2(o,01 ад®) е ь2До,0, /(0) = о, /(0 = о},

наделенному скалярным произведением вида (22). Пространства L2(0,T) и I>2(0, Î) отождествляются по Риссу со своими сопряженными, а для пространств Яр (0,0 и Я-1 (0,0 организуется обычное вложение [С32] Щ(0,1) С L*(0,l) с- (Ь2(0,0)* С Я"1 (0,0- При этом восстанавливаемые состояния и и наблюдаемые сигналы g в задаче (28),(29) окажутся элементами пространств F* = #¿(0,1) х 1,2(0,/) и Я* = Я = L2(0,T) х L2(0,T). Сведения о свойствах слабых и сильных обобщенных решений дифференциальных задач (26) и (28), подтверждающие корректность определений (30),(31), взяты из [С33]-[С36]. В случае уравнений с постоянными коэффициентами задачи управления и наблюдения могут быть решены аналитически в различных функциональных классах. В этом направлении в последнее время большую и плодотворную работу выполнили В.А.Ильин, Е.И.Моисеев, Л.Н.Знаменская и др. (см. [С37]-[С39] и цитированную там литературу); при этом во многих случаях были получены исчерпывающие результаты. Для рассматриваемого в диссертации случая переменных коэффициентов подобные аналитические конструкции вряд ли возможны и вместо них предлагаются приближенные решения, построенные с помощью вариационного метода (12)—(14). Его применение требует знания радиуса г шара B(r), а основным источником такой информации является неравенство наблюдаемости (10). Оценка типа (10) несложно получается с помощью техники, предложенной L.F.Ho в [С24] для задач с пространственно-локализованными (зонными) управлениями. Здесь мы приводим эту оценку прежде всего с целью предъявления явного значения постоянной ц и без претензий на новизну, хотя, с другой стороны, не располагаем сведениями об источниках, в которых мог бы содержаться такой результат.

Возьмем точку £ 6 [О, I] и введем мультипликатор т{х) = тп(х, £) : тп'(ж) = 1+ а(х)т(х), 0 < х < I, тп(£) = О, a(*) = min{-£g, при O^z^, (32)

a(z)=max{-£g, при £ < х < I

Дифференциальную задачу (32) можно решить аналитически:

т(х) = т(х, О = f ехр ( / 0(77) dtjJ ds. (33)

Обозначим через Ti(£) величину

(34)

и положим

f, = argminr.(0, T, = T,(£t), mt(x) = т(х,Ь). (35) «е[0Д

Значение T„ играет роль порогового момента, начиная с которого, т.е. при Т > Т„ у систем (26),(27) и (28),(29) появляются свойства управляемости и наблюдаемости.

Теорема 2.1. Пусть значение порогового момента Г, определено в (35). Тогда для решения р сопряженной задачи (28) при Т >Tt справедлива оценка

= / (1*(0Ы«, 0)|2 + \k(l)Px(t, Ol2) dt >

о

(ф)1 + dx =

° (36)

\/v = (у°(х)У(х)) е Hl(Q,l) х L%Q,l),

где » = M = maX{^f,l=f}.

Замечание 2.1. Если коэффициенты дифференциального уравнения постоянны: р(х) = 1, к(х) = 1, то = I/2, т.(г) = х - I/2, М = |т,(0)| = т,{1) = 1/2, и пороговый момент управляемости-наблюдаемости будет равен своему оптимальному значению Т, = 1, а постоянная ¡1 из оценки (36) будет равна

К = 2^. (37)

Из (32)—(36) видно, что и в случае переменных коэффициентов значение ц может быть найдено конструктивно: либо аналитически, либо численно.

В случае односторонних управлений и — Unit) € Н — L2(0,T), когда правый конец х = I закреплен, т.е. щ (t) = 0, пространство F целевых функций и сопряженное к нему пространство F* не изменятся, а пространство наблюдаемых граничных сигналов д = go(t) станет равным Н* = Я = L2(0,T). В новую постановку задачи наблюдения войдут старые условия (28) вместе с новым условием одностороннего Нейман-наблюдения go(t) — крх\х=о, замещающим прежние двусторонние соотношения (29), а под значением сопряженного оператора вместо (31) надо будет понимать A*v = k(0)px(t,0). Мультипликатор т(х) = гп(х, £) будет выбираться по тому же правилу (32), только теперь параметр £ не оптимизируется, как в (35), а просто полагается равным £ = 1. Значения соответствующего мультипликатора тщ(х) = т(х, I) окажутся отрицательными, а на правом конце тщ{1) = 0. Пороговый момент управляемости-наблюдаемости станет равным То = 2 max ^|то(я)| ^/Щ') ■

В теореме 2.2 доказано, что в задаче (28) с левосторонним Нейман-наблюдением при Т > То справедливо неравенство наблюдаемости (10) со значени-

Замечание 2.2. В случае постоянных коэффициентов р(х) = 1, к(х) = 1 при выборе £ = I будем иметь тпо(х) = х — I, Та = 21, Mq = |nio(0)| = I, fto — , в частности, значение порогового момента То = 21 = 2 Т, удваивается по сравнению со случаем двусторонних управлений и наблюдений.

В § 2.2 с помощью вариационного метода на базе конечно-разностных аппроксимаций стоятся приближенные решения задач граничного Дирихле-управления и двойственных к ним задач Нейман-наблюдения. Для этого на отрезках [0, Г] и [0,1} вводятся равномерные сетки с шагами т = Т/М по t и h = l/N по х и узлами tj = j т, j = 0,1,...,М, Xi — ih, г = 0,1,...,N. Задача (26) аппроксимируетя разностной схемой

РУи = (Ьу*)х, г = 1,2,...— 1, j = 1,2, ...,Af — 1,

y|i=o = «o, у|<-дг = Ы1, j = 1,2,...,Jli — 1, (38)

y|j=o = 0, yt |j=o = 0) г = 1,2,... ,iV — 1.

Задаче (28) сопоставляется ее разностный аналог

Я>и = №>*)*» i = l,2,...,N-l, j = 1,2.....М- 1,

i> | i=o = 0, p\i=N = 0, j = 1,2, ...,JW — 1, (39)

= PiljW =-1"1. г = lf2,...,iV-l.

Как и в [9], для дискретизации обеих дифференциальных задач выбраны классические явные разностные схемы [С40], для устойчивости которых тре-

буется выполнение условий согласования шагов сетки:

О < * <£<0(02, с2=тт у^Г}, 0 < а < 1. (40)

Значения коэффициентов можно вычислять по простым правилам, например, Р; = р(х{), — к(х{ - |), г = 1,2,..., Л^. На базе дискретных конструкций (38),(39) строятся конечномерные взаимно сопряженные отображения Л = Ать, А* = Л*тЛ, действующие в тех же пространствах, что и исходные операторы Л, Л*. На вход оператора Л подаются произвольные функции

и = Ы*)> «1(*)> е Я = Ь2(0,Т) х 12(0,Т).

По этим функциям строятся сеточные граничные управления и = (щ, и{),

< = кт I ио= 1 Л, ; = 1,2,...,М-1. (41)

Они подставляются в граничные условия разностной задачи (38) и по ее решению у определяются значения

ЛГ-1 ЛГ-1

= ( Е Е $ - 6 ^ = ¿»(0,0 х Я-Чо, /), (42)

¿=1 «=1

где е^х) - функции-«ступеньки», равные 1 при х е [г» - + §] и нулю в остальных точках числовой прямой, а 5(а:_— - ¿-функции Дирака, сосредоточенные в узлах сетки я*. Оператор А* применяется к произвольной паре V = (и0(ж), и1 (я)) € Р* - Яд (О,1) х Ь2(0, ¿). Сначала он преобразует ее в сеточную пару V = (и0, V1),

= = ± $ Р(х)у\х)<1х, г = 1,2,... — 1. (43)

1-й •М 2

Затем решается задача (39) с дискретными данными V0, V1 и по ее решению р определяется принадлежащее Я* = Ь2(0,Т) х Ь2(0,Т) выходное значение

и-1 М-1

= Е(-^Л'Ь-СО) , (44)

¿-1 ¿=1

где - функции-«ступеньки» переменной

В леммах 2.1-2.3 устанавливаются важные для применимости вариационного метода свойства взаимной сопряженности операторов Л и Л* и свойства

(5) их сильной поточечной сходимости. В качестве подпространства F берем Р = ЬкхЩ1, ¿Л = зрап{е1(а;),...,еЛг_1(а;)},

(451

Я^1 = зрап{<5(ж - хх),..., 6{х - Зд-О}-

Теорема 2.3. [9] Пусть Т > Тч,где Т, взято из (35), и выполняется условие (40), а приближенные данные / € Г близки к точным в смысле (6). Тогда в задаче управления (26), (27) приближения и, построенные по правшам (12)-(Ц),(41)~(45)> будут сильно сходиться при г, Ь, £ —* 0 к нормальному решению задачи управления: || й — к„||я —» 0.

Во второй части этой теоремы сформулировано аналогичное утверждение о сходимости приближенных решений двойственной задачи наблюдения (28),(29). В теореме 2.4 содержатся аналогичные теореме 2.3 утверждения о сильной сходимости приближенных решений задач с односторонними управлениями и наблюдениями из Н — Н* = Ь2(0, Т).

В § 2.3 рассматриваются двойственные задачи Дирихле-управления и Нейман-наблюдения в других функциональных пространствах. На этот раз граничные управления будут выбираться из пространства Соболева Н1(0,Т) =

(0,Т) и им будут соответствовать более регулярные обобщенные решения у — у(Ь,х) из класса ^((Зг), введенного в работах В.А.Ильина [С34, С35]. Именно в этом классе для волнового уравнения с постоянными коэффициентами В.А.Ильин и Е.И.Моисеев выполнили бблыпую часть своих исследований по отысканию явных аналитических выражений для нормальных граничных управлений на достаточно протяженных временных промежутках [С34, С35, С37, С38]. В случае переменных коэффициентов применимость вариационного метода существенным образом зависит от наличия неравенства наблюдаемости (10) с известным значением ¡л>0. При переходе к более гладкому классу граничных управлений снижается регулярность решений р двойственной задачи наблюдения, а, как известно, свойства единственности, к усиленным разновидностям которых относится оценка (10), в менее регулярных и более широких классах доказывать сложнее. В связи с этим в число основных результатов диссертации из § 2.3 в отличие от § 2.1 помимо результатов сходимости приближенных решений включаются также и полученные конструктивные неравенства наблюдаемости для задач как в односторонней, так и в двусторонней постановке. Заметим, что при выводе неравенств наблюдаемости случаи односторонних и двусторонних управлений из Н1(0,Г) оказываются уже не столь аналогичными, как в случае управлений из ¿2(0, Г). Результат для односторонних задач сформулирован в теореме 2.5. В более

сложном случае двусторонних управлений существенно используется теорема 2.5 в комбинации с разложением пространства целевых состояний Н1(0, /) в сумму (23) и с отношением двойственности (24).

Граничные управления и = («о(£), щ^)) из Ях(0,Т) = Цт^й^) являются непрерывными на отрезке [О, Г] функциями, поэтому в постановке (26) задачи управления их значения при I = 0 для согласования с однородными начальными условиями выбираются из подмножества

и = («оф. щ(4)) £ Я = Н1{0,Т) х Я^б.Т), (46)

с компонентами Ях(0,Т) = е Ях(0,Т) /(0) = о|, которые являются гильбертовыми пространствами со скалярным произведением

(/,д)т{Ь>т) = 1т№сИ. (47)

Значения операторов управления Л и наблюдения А* сохраняют вид (30),(31), а изменяются пространства, в которых они действуют. Пространство Я управлений уже описано в (46),(47), а пространство ^ и сопряженные к ним пространства будут такими: Р = Я1 (О, /) х Щй, I), F, = Ь2р{0,1) х (Ях(0, /))*,

Я' = (Я1(0,Г))'х(Я1(0,Г))*.

Теорема 2.6. [18, 21] Пусть значение порогового момента Т„ определено в (35). Тогда для решения р задачи (28) приТ > Т, справедлива оценка

с тем же самым значением постоянной [1, что и в (36).

Изменение функциональных пространств в непрерывных моделях (26)-(29) отразится на конструкциях их приближенных решений. Разностные схемы (38),(39) и условия согласования шагов сетки (40) не меняются. Приближенный оператор А граничные управления (46) превращает в дискретные и = (и0, щ) по правилу (отличному от (41)): и30 = ио(&), и{ = з =

1,2,..., М, и через соответствующее решение у разностной схемы (38) преобразует в

Аи = (£ у?<Рг(х), Е1 у?.ф)) еР = Я*(0,1) х Ь2р(0,0, (48) 41=0 «=1 ' '

где функции-« шапочки» <р,(х) - это базисные сплайны первого порядка, равные 1 — ^^ при х € [ar¿-i, x¡+i] и нулю в остальных точках числовой прямой, а функции-«ступеньки» e¿(:г) уже появлялись выше в (42). На вход приближенного оператора наблюдения А* подается произвольная пара (v°(x), у*(х)) е F* = L2p(Q,l) х (Я2(0,/))*. Она подвергается дискретной трансформации по правилу (отличному от (43)):

$ = е<> = ¿k f Р(*)v\ = jfrK <*>> (49)

и по соответствующему решению разностной схемы (39) формируется выход A*V = (90, gi) € Я* = (ЯЧо,?))* X (Я1(0,Г))*,

АГ-1

5о= Е - tj)T + <v\ v.0)5(í - ÍM), (50)

3=1 м-1

а = - E - ¿J>+{v\ ipN)s{t - ¿M).

j=I

Подпространство F* вариаций источников v имеет вид

F* = Jp'F = Lhx {ЩУ, R(Á) С F = HlxLhcF, (Н1У = J¿lmHl, Hl = span{^0(®), • • •, ¥>*(*)}. (51)

Lh = span{ei(a;),..., e^_i(a;)}.

Сформулируем теорему сходимости в части, относящейся к задаче управления. В тексте диссертации в формулировку этой теоремы включено также и аналогичное утверждение о приближенных решениях задачи наблюдения.

Теорема 2.8. [16, 18] Пусть выполняется условие управляемости и наблюдаемости Т > Т* со значением Т* из (35) и условие согласования шагов сетки (40), а приближения f близки к f в смысле (6). Тогда приближенные управлениям, построенные по правилам (12)-(Ц),(48)-(51), будут сильно в Н — Hl(0, Т) х Я1 (б, Т) сходиться при т, h, е —» 0 к нормальному решению ut задачи управления (26), (27), (46).

В § 2.4 рассматриваются задачи с односторонними и двусторонними Дирихле-управлениями из пространства Соболева Я1(0, Т), в которых в заданный конечный момент Т управляемую систему требуется перевести либо в состояние f°(x) с неважно какой скоростью /1(х), либо в момент Т требуется вывести систему на скоростной режим ^(х), не заботясь при этом о ее фазовой позиции f°(x). Именно такие постановки обсуждались в работе [18].

Нам представляется интересным продемонстрировать те изменения, которые произойдут в постановках двойственных задач наблюдения, в неравенствах наблюдаемости, а также в значениях входящих в эти неравенства пороговых моментов управляемости-наблюдаемости и постоянных ц. В теореме 2.9 представлено неравенство наблюдаемости для задач с односторонними управлениями и наблюдениями. Задаче с двусторонними Дирихле-управлениями из пространства (46) и единственным целевым условием

1/|ыг = /°(*). О < а; < где /°(х) (Е ^ = Ях(0,1), (52)

соответствует оператор управления Аи = у{Т,х), А € Ь(Н —> Р). Действие сопряженного к нему оператора наблюдения А* описывается дифференциальной задачей (28) с нулевым конечным состоянием у°(х) = 0 и искомой конечной скоростью у = у1(х) £ Р* — (Я'(0,1))*. Этот оператор действует по правилу

А'у = (Л(0Ы*,0), -А(0Рх(М)) € Я* = (Я1 (О, Т))* х (Н'(0,Т))*. (53)

В задаче управления с другой целевой установкой

1Н\и.т = Р{х), 0 <х<1, где /1(x)€F = ^(0,/), (54)

оператор управления действует по правилу Ли = Уь{Т, х), Л € Ь(Н —+ а сопряженный к нему оператор наблюдения - по правилу (53), но с другим функциональным пространством Р* в роли области определения: V — у°(х) €

Р* = Ь2р(0,1).

Теорема 2.10. [18] Пусть значение Т, определено в (35). Тогда для обеих задач (26), (52) и (26), (54) при Т > у справедливо неравенство

||Л*«||2Н. = II *(0М,0) ||2я1(5г))> +1| к{1)Рх{;1) ||^1(5г))>

где М = ' М =

для произвольных элементов у^у1 е Р* = (Я!(0,1))* в случае цели (52) и произвольных v = у° € Р* = Ь2(0,1) в случае цели (54).

Утверждения родственных теорем 2.6 и 2.10 фактически отличаются только значением порогового момента, который в задачах с ослабленными целями (52) или (54) вдвое короче, чем в задаче с полным целевым набором (27). Те изменения, которые наблюдаются при переходе к задачам с частичными целями, столь естественны, что мы решили не выходить в диссертации за рамки затронутой в [18] проблематики и не обсуждать подобные постановки ни для

задач из § 2.1 с менее регулярными граничными Дирихле-управлениями из L2(0,T), ни в последующих главах для задач с управлениями и наблюдениями других типов, а также и вопросы аппроксимации таких задач.

В главе 3 вариационный метод применяется к задачам граничного управления и наблюдения для волнового уравнения с переменными коэффициентами и краевыми условиями второго и третьего рода. Задача с двусторонними управлениями и целевыми условиями (27) имеет вид

Р(з) Уй = (Ф) Ух)х, 0 < t < Г, 0 <х<1, -кУх -ь сг0г/1 х=0 = uo(t), kyx + a1y\x^!=u1(t), 0 < t < Т, (55) y\t=o — 0) Vt | i-0 = 0; Q <x <1. Двойственная к ней задача наблюдения описывается системой

p(x)ptt = (k(x)px)x, 0<t<T, 0 <х <1, -крх+<тоР\х=о = Ъ, kpx + aip\x^i = Q, 0 <t<T, (56) P|t-r = «°(®). Pt 1«=Г = -^(z), 0 <x<l, с дополнительной граничной информацией вида

p|*-o = Ä>W. =&(*), 0 < i < Т.

Граничные коэффициенты сг0, О"! > 0 считаются заданными и могут обращаться в ноль вместе или по отдельности. Тем самым мы не исключаем в (55),(56) возможности, когда одно из краевых условий или оба они являются граничными условиями второго рода (Неймана). Заметим, что случаи подобных «(вырождений», как правило, приводят лишь к техническим упрощениям, а самым трудным с точки зрения вывода неравенств наблюдаемости оказывается случай с односторонними управлениями и наблюдениями, когда оба значения <т0 и 0\ строго положительны. Для уравнений с постоянными коэффициентами р(х) и к(х) и граничными управлениями в условиях второго и третьего рода ряд аналитических результатов получен в работах В.А.Ильина, Б.И.Моисеева, Л.Н.Знаменской, А.А.Никитина, А.А.Кулешова [С37]-[С39], [С41]. С позиций точной управляемости и минимизации соответствующего порогового момента такие задачи для дифференциальных уравнений с младшими членами и в многомерном случае исследовались в [С25], однако далеко не все результаты из [С25] настолько конструктивны, чтобы можно было по ним определять и значения постоянной ц, важные для нас с вычислительной точки зрения.

В § 3.1 в теореме 3.1 представлен вариант неравенства наблюдаемости для задачи (56) в случае, когда в исходной задаче (55) управления выбираются

из нерегулярного класса и = (u0(t), гц(i)) S Я = {Hl{0,T))* x (Hl(Q,T))*, а цели (27) - из согласованного с ними по степени гладкости пространства / = </°(ат), /'(я)) € F = Lp(0,1) х (Я^О, I))*. В диссертации это неравенство представлено в виде, несколько измененном по сравнению с первоначальной версией, опубликованной в [6], и выбранном с учетом опыта, приобретенного позже в [19]-[22]. При этом, как и в главе 2, существенную роль играют предложенные L.F.Ho [С24] конструкции мультипликаторов в задачах зонного управления с переменными коэффициентами.

В § 3.2 рассматривается более сложный для вывода неравенств наблюдаемости случай задачи (55),(27) с более регулярными управлениями и целями: и = Mi), Ui(t)) е я = L2(0,T) х L2(0,T), f = (f°(x), f{x)) e F = Я1 (0,1) x L2(0,1). В этом случае оператор управления А действует по правилу (30), а оператор наблюдения - по правилу A*v — (p(t, 0), p(t, I)), 0 <t <T, A* € L(F* H*), F* = L2p(0,l) x (Я^О,1))*, Я* = Я = L2(0,T) x L2(0,T).

Теорема 3.2. [20,22] Пусть момент Tt определен в (35). Тогда для решения р сопряженной системы (56) при Т > Т» справедлива оценка

( \]A*v\\%. = f(p2(t,0)+p2(t,l))dtZ

>^(!p(x)\v\x)\2dx + \\v%w) =mIMIJ. Vv = (v°,v>)eF', в которой /J, = (T- Т,)/М > 0, М = max{M0, Mi}, М0 = р(0)|т*(0)| +

? Hi + , Мг = Р{1)m.(l) + т4 (oi(l + агЩ) .

Далее рассматривается случай односторонних управлений, когда в (55) щ (t) = 0. В этом случае неравенства наблюдаемости доказываются отдельно в теореме 3.3 для больших, а в теореме 3.4 для малых значений коэффициента 01 > 0 на ненаблюдаемом конце х = 1. Из этих результатов в теореме 3.5 конструируется неравенство наблюдаемости для случая произвольных а\ > 0. В случае постоянных р(х), к(х) значения пороговых моментов в теоремах 3.3 и 3.4 оказываются лишь асимптотически оптимальными при <т\ —> +оо и <7i —* 0, когда правое граничное условие приближается по типу к условию Дирихле и Неймана соответственно. Для умеренных значений значение порогового момента заметно отклоняется от оптимального, а структура постоянной /х усложняется, не теряя при этом конструктивности.

В § 3.3 с помощью вариационного метода строятся приближенные решения двойственных задач управления и наблюдения для нерегулярных управлений и = (u0(t), ui(t)) е Я = (Я:(0,Т))* х (Hl{Q,T))* в теореме 3.6 и для регулярных управлений и = (u0(t), щ(t)) € Я = L2(0, Т) х L2(0, Т) в теореме 3.7.

В обоих случаях рассматриваются задачи двустороннего типа, в которых постоянные р имеют более простую конструкцию. Здесь для краткости ограничимся описанием приближенных решений только задачи с регулярными управлениями. Управляемую систему (55) аппроксимируем разностной схемой (38), в которой граничные условия заменены на

-кух+ет0у\^0 = Щ, ку? + у|,-=лг = Щ, 3 = 1,2,... ,М - 1. (57)

Сопряженной системе (56) сопоставим разностный аналог (39) с однородными граничными условиями

-крх + сг0р|1=0 = 0, крх + <71р](=н = 0, j = 1,2.....М- 1. (58)

На вход оператора А поступают произвольные управления и = щ (¿)) € Ь2(0,Т) х 1/2(0,Т), которые перерабатываются в пару сеточных функций и = (щ, щ) по правилу (41) и через решение у разностной задачи (38) с граничными условиями (57) преобразуются в значение Аи вида (48). Присутствующие в (48) угловые значения у^, у^, формально не определяемые разностной схемой, определяются из условий

~кг + <7о 2/0м = 0, + = 0.

Оператор А* применяется к произвольной паре V = (у0, и1) е Р* = Ь2(0,1) х (Н1(0,0)*- Сначала он преобразует ее в сеточную пару (к0, V1) по правилу (49) за исключением двух крайних компонент вектора дискретной скорости, для которых действует особое правило

у1 - ¿Лу > Ь+Не^о +е1 /. %-1 - рыну ' + к„+Л<г1 елг /•

Затем решается разностная задача (39) с граничными условиями (58) и формируется итоговое значение

_ / м-1 . м-1 . ч

А*у=(Е £ p^ej(t)J € Н* = Я = ¿2(0, Т) х £2(0, Г). (59)

^ .7=1 >=1 '

В качестве подпространства, по которому будут варьироваться истокообра-зующие элементы V, выбирается Р* вида (51).

Теорема 3.7. [22] Пусть выполняется условие управляемости и наблюдаемости Т > СП» со значением Т* из (35) и условие согласования шагов сетки (40), а приближения f близки к / в смысле (6). Тогда приближенные управления и, построенные по правилам (12)-(Ц),(48),(51),(59) будут сильно в Н = Ь2(0,Т) х Ь2(0,Т) сходиться при т, Л, е —► 0 к нормальному решению и* задачи управления (55), (27).

В главе 4 рассматриваются задачи управления того же вида, что и в [С24]:

р{х)уа = {к{х)ух)х + Bu(t,х), (i,x)eQ= (О,Т) х (О,I),

У |х=о = 0, J/Ui = 0, 0 <t<T, (60)

У |t=o = 0, yt |i»0 = 0, 0 < х < I,

с зонными управлениями, однородными граничными условиями Дирихле и целями (27).' Областью приложения управляющих воздействий и = u(t,x) является содержащаяся в Q зона ii = (0, Т) х ш прямоугольной формы, ограниченная по х промежутком и> = (ilf 12) с заданными границами Q<I1<I2<I. На части Q \ Q прямоугольника Q, находящейся за пределами зоны Л, оператор В доопределяет значения u(t, х) нулями.

В § 4.1 выводятся конструктивные неравенства наблюдаемости для управлений из нерегулярных классов

иеЯ = (Я1(П))* и ивН = Ь2(0,Т;(Н1(ш))*}.

Таким управлениям соответствуют целевые состояния / = (f°(x), f1{x)) € L2(0,l)x € Я_1(0,1). Сопряженная система имеет вид (28), а в роли наблюдений выступают значения ее решения p(t, х) в зоне П. Оператор наблюдения А* € L{F* -> Я*), F* = Hq(0,1) х L2p(0,l), действует по правилу

A*v = (B*p)(t,x), (t,x)6il,

с участием оператора сужения В*, сопряженного к оператору продолжения В из (60). При этом в случае и 6 (Нг(О.))* имеем В*: Я*(Q) -+ Я* = Я*(П), а если и € 12(0,Г; (Я1^))*), то В*: L2(0,T; НЦ0,1)) -> Я* = 1?(0,Т-,Н1{ш)). Конструктивное неравенство наблюдаемости в случае, когда и G (Я1(П))*, фактически было получено в [С24], а в статье [3] и в диссертации в теореме 4.1 оно приводится для удобства последующего применения вариационного метода. В более сложном случае, когда и € L2(0,T; (Я1^))*), L.F.Ho в [С24] удалось сохранить значение порогового момента Т», но значение д перешло при этом из категории известных в категорию существующих, чего было вполне достаточно для достижения главной цели L.F.Ho - доказательства точной управляемости. В теореме 4.2 для случая и € L2(0,T\ (Ях(ш))*) получено неравенство наблюдаемости, в котором значение постоянной р определяется конструктивно и зависит от параметра а > 0. Этот параметр теоретически может быть сколь угодно малым и играет роль скачка в точках разрыва х = h и х = I2 предложенного нами мультипликатора. От параметра а зависит также и пороговый момент Tt(a), причем при а —* 0 значение Г* (а) будет стремиться к оптимальному значению, которое в случае постоянных коэффициентов равно Г„(0) = 2 max{Zi, l — k}. Стоит, однако, заметить,

что при а —► 0 наряду с оптимистичным поведением значения порогового момента наблюдается и негативное явление ц(а>) -+ 0, поэтому при выполнении практических вычислений во избежание потери устойчивости не следует брать а слишком малым.

В § 4.2 конструктивное неравенство наблюдаемости выводится для слабых решений системы, сопряженной к задаче (60) с регулярными управлениями е Ь2(£Г), при которых пространством целевых функций становится Р1 = Яр(0,I) х Ь2р(0, ¿). Здесь нам пришлось использовать и разрывный мультипликатор, и процедуру сглаживания нерегулярных решений р^,х), и специальное разложение (25) для пространства Яц(0,1) целевых состояний /°(х). Соответствующий результат сформулирован в теореме 4.3, в которой зависисимость постоянной ц от параметра а не теряет конструктивность, а ее усложнения по сравнению с теоремой 4.2 имеют чисто технический характер.

В § 4.3 с помощью вариационного метода строятся приближенные решения задач (60),(27) с зонными управлениями из (Я3(П))*, а также двойственных к ним задач зонного наблюдения. Как уже отмечалось, вывод неравенств наблюдаемости усложняется по мере сужения класса управлений, которое сопровождается расширением множества решений сопряженной системы, но после того, как эти неравенства уже получены (в теоремах 4.1-4.3), принципиальной разницы в сложности конструкций вырабатывемых вариационным методом приближений и в доказательствах их сходимости не наблюдается. Поэтому во избежание излишних повторов для демонстрации возможностей вариационного метода в главе 4 был выбран только один из трех классов задач с самым широким пространством управлений (Я1(П))*. Для аппроксимации задачи управления выбираем разностную схему (38) с однородными граничными условиями и слагаемым Ви в правой части разностного уравнения, в котором оператор В продолжает сеточное управление и нулем за пределы зоны П. В отличие от (38) дополняем сетку по переменной t узлами с номерами ] = ] = М + 1. Для простоты предполагаем, что граничные точки зоны 11 и 12 попадают в узлы сетки: 1\ = ■ И, /г = Ч • Л- На вход приближенному оператору управления А подается произвольный функционал и е (Я^П))*. Он преобразуется в сеточное управление по правилу

и\ = ти(и' г = ц,...,п, 7 = 0,1,...,М,

где <Р{(х) и <^(£) - функции-«шапочки», затем решается разностная задача для у и определяется выход Аи € ^ = Ш0,1) х Я-1(0,1), отличающийся от (42) только тем, что в место у^ и у^. на этот раз берутся значения у¥+1 и со следующего слоя. Сопряженный оператор А* применяется к произвольной паре V = (и0(ж), ^(я)) € Р* = Яо(0,/) х 12(0,1), которая

подвергается дискретизации по правилу (43), затем решается разностная задача для р и определяется значение A*v G Я* = #*(П) в форме билинейного сплайна

_ «а

МеЛ.

í—з i j—О

В качестве фигурирующего в методе подпространства F берется (45), а источники v, генерирующие приближенные управления и, будут варьироваться по

множеству F* = J^F = H\üy.Lh> где Щ0 = span{v?i(a;).....^v-i(z)}, Lh =

span{ei(a;),..., ejv_i(a;)} . В теореме 4.4 показано, что при выполнении условия управляемости-наблюдаемости вида Т > Т*, в котором пороговое значение Т, определяется конструктивно, приближенные управления и, вырабатываемые вариационным методом, при т, Л, е —> 0 сходятся по норме пространства (Я*(П))* к единственному нормальному решению и„ задачи управления. При тех же условиях имеет место и сильная в F* сходимость приближенных решений v двойственной задачи наблюдения.

Результаты, представленные в теоремах 4.2-4.4, опубликованы в форме докладов на конференциях [24, 26, 27]; их журнальные версии находятся в печати. В работе [3], написанной до появления вариационного метода, были получены предварительные результаты о сильной поточечной сходимости вида (5) в задачах зонного управления и наблюдения для уравнения с постоянными коэффициентами.

В главе 5 демонстрируются возможности вариационного метода применительно к двойственным задачам граничного управления и наблюдения для дифференциального уравнения второго порядка по времени и четвертого порядка по пространству, описывающего процесс поперечных колебаний стержня (балки) и известного также под названиями »система Петровского» [С22, С25] или «уравнение Эйлера-Бернулли» [С28]. Присутствие в уравнении производных высокого порядка открывает широкие возможности для выбора граничных условий различных типов в различных комбинациях. Не имея намерений охватить сколь-либо систематически даже малую их часть, мы ограничиваемся в диссертации обсуждением только двух вариантов постановок в рамках опубликованных работ [13]-[15].

В § 5.1 рассматривается задача граничного управления смещением и изгибающим моментом на левом конце отрезка («вторая система Петровского»по

терминологии [С22, С25]) для уравнения с постоянными коэффициентами:

Уа + Ухххх = 0, 0 <t<T, 0 <х<1, y|x=o = u0(i), 1/|»-1 = 0, 0 < i < Т,

(61)

~Ухх I х=0 = Ui(t), Ухх | х=1 = о, 0 < t < Т,

v|t-o = 0, yt | <=о = 0, 0<х<1

Граничные управления и = (uo(t), щ(t)) должны обеспечить перевод системы (61) в заданное целевое состояние (27), а оператор управления А действует по правилу (30), только в других пространствах. Действие оператора наблюдения А* описывется сопряженной системой с обратным течением времени, с таким же дифференциальным уравнением и такими же, только однородными, граничными условиями, что и в (61), и финальными условиями

p\t~T = v°(x), pt|t=T=-гф), 0 < х < I. (62)

Значения сопряженного оператора вычисляются по правилу

A*v = (-рххх\х=о, рх\х=о), 0 <t<T.

В задаче наблюдения требуется восстановить конечное состояние v — (v°, и1) в (62) по известным значениям д = (g0(t), gi(t)), где g0{t) - рх|г=о, Si(<) = -Рххх U=o- Задачи управления и наблюдения ставятся в пространствах

и £ Н = L2(Q,T) х (ЯЧО.Т))', / е F = Я_1(0,0 х V*, v £ F* = V х Нд (0,1), д € Н* = L2(0,T) х Н\0,Т),

где V = {/(я) € Я3(0,0 П Щ(0,1) | /"(0) = f"(l) = 0} - гильбертово пространство со скалярным произведением (/, д)у = /0' f "'(%)</" (х) dx. Неравенство наблюдаемости (10) в этих пространствах с явным выражением для fi представлено в теореме 5.1.

Для аппроксимации обоих непрерывных процессов используются явные трехслойные разностные схемы с пятиточечным шаблоном по ж и согласованными шагами сетки: Ci h2 ^ г < ci = const > 0. Приближенный оператор управления А, действуя на пару функций и = (uo(t), щ(t)) € Я, превращает

ее в дискретную пару и>0 = ^ J u0(t) dt, и{ = fi), j = 0,1,..., М, а

a-i

затем через соответствующее сеточное решение у преобразует в выход

Аи = ( - Xi)h> Evu+ls(x - *i)h) e F = Я-^О,/) X у. (63)

4 ¿=1 i=l ' '

Приближенный оператор наблюдения А* применяется к паре функций V = (ь°(х), у1(х)) б ¿<1*, дискретизирует их по одинаковому правилу и? = V- = у:(х{), г — 1,..., N — 1, после чего решается сеточная задача для р и определяется выход

~ / м м ч

А*у = ( - £ р>ххх^{1), £ € Н* = Ь2(О, Т) х Н\О,Т). (64)

4 7=0 j-0 >

С учетом (63) в качестве подпространства ^ берем (см. (45))Р = Н^хНЦ1. В теореме 5.2 доказывается сильная сходимость приближенных решений задачи управления (61),(27) и двойственной к ней задачи наблюдения, построенных с помощью вариационного метода (12)—(14) на базе конечномерных взаимно сопряженных конструкций (63),(64). Материалы § 5.1 опубликованы в [13,14].

В § 5.2 рассматривается задача с двусторонними граничными управлениями в старших производных для уравнения с переменными коэффициентами

й{х)Уа + (к{х)ухх)хх = 0, 0 < < < Т, Ъ<х<1, -к(х)ухх | х=о = 0, к{х)ухх\х=1 = 0, 0 <г<Т,

(65)

~{КХ) Ухх)х 11=0 = ио(*)| (к(х) Ухх)х I хЫ = М*), 0 < * < Т, У11=о = 0, 2/( 14=о == 0, 0 <х<1,

и целевыми установками вида (27). По проблемам точной управляемости для задач вида (65),(27) нам какие-либо результаты других авторов неизвестны. В двойственной задаче наблюдения процесс описывается системой того же вида (65), но с обратным течением времени, однородными граничными условиями и конечными условиями

р|<=г = —г»°(ас), Ыег^Ч®), 0 < х < I. (66)

Наблюдаемыми сигналами являются граничные значения самого решения:

9 = Ш), до(*)=РМ), <&(*) =р(*,0, О<*<Т,

а искомыми являются функции V = (у°(х), и1 (г)) из (66). Задачи управления и наблюдения рассматриваются в пространствах

йен = (Н\0,Т)У х {Н1(0,Т)У, } € Р = 12р(0,1) х (Н2(0,1)У, V € Р* = Я2(0,г) х £2(0,0, 9 е я* = Я^О.Т) х Ях(0,Т).

Соответствующее этим классам неравенство наблюдаемости вида (10) с явным выражением для постоянной ц получено в теореме 5.3.

Для аппроксимации также, как и в § 5.1, используется явная трехслойная разностная схема с пятиточечным шаблоном по х и соответствующими поправками как в самой схеме, так и в условиях согласования шагов сетки, вызванными неоднородностью коэффициентов р(х) и к(х). Приближенный оператор управления А применяется к паре функций и = (щ(^), щ(()) € Я и сначала преобразует их в сеточные функции Ид = и\ —

] — 0,1,... ,М, а затем по соответствующему сеточному решению у формирует выход

Аи - ( £1у?+1Ф), £ХУи+1*(х - *<)&) 6 Г = X (Н2(0,1))*. (67) 4 1=1 ¡=1 ' '

Приближенный оператор наблюдения А* действует на пару функций у = (у°(х), у1(х)) € Р*, превращая их сначала в сеточную пару и? = ь°(х{),

~ К / ^х, г = 1,..., ЛГ — 1, а потом по соответствующему решению 2

р разностной задачи определяется выход

_ Г М . М ч

^ = (Е £ еЯ* = Я^О, Г) х ЯЧО, Т). (68)

N¿=0 ¿=0 '

В данном случае в качестве Ё с учетом (67) берется в точности подпространство, определенное в (45). В теореме 5.4 доказывается сильная сходимость приближенных решений задачи управления (65),(27) и двойственной к ней задачи наблюдения, вырабатываемых вариационным методом (12)—(14) с привлечением конечномерных взаимно сопряженных отображений (67),(68). Материалы § 5.2 опубликованы в [15].

Заметим, что приведенные в теоремах 5.1 и 5.3 неравенства наблюдаемости далеки от совершенства, поскольку присутствующие в них пороговые моменты отделены от известного для таких задач оптимального значения, равного нулю [С25, С28]. С другой стороны, нам неизвестны неравенства наблюдаемости с конструктивно определяемыми /л, в которых пороговый момент принимал бы свое оптимальное нулевое значение.

В главе 6 на простых тестовых примерах демонстрируются практические возможности вариационного метода применительно к задачам граничного Дирихле-управления для волнового уравнения с постоянными коэффициентами по схеме, описанной в главе 2. Ввиду того, что сами вычисления при применении вариационного "метода как к задачам управления, так и к задачам наблюдения, организуются по однотипным схемам, рассматираются только задачи управления. В § 6.1 тестируются задачи с управлениями из

£2(О, T), а в § 6.2 - с более регулярными управлениями из пространства Соболева Я1 (О,Г). В обоих случаях при подборе тестов с заранее известными точными нормальными решениями мы пользовались приведенными в [С38] готовыми аналитическими конструкциями. Приближенные управления, построенные с помощью вариационного подхода, обозначаются через и и называются VM-управлениями (VM = Variational Method). Они будут сравниваться по точности с численными результатами, полученными при конечномерной аппроксимации задачи управления с учетом факта истокопредста-вимости ее нормального решения: и„ = JHA*vin v„ € F*, но без привлечения имеющейся дополнительной априорной информации о норме источника: IKIlf* < г, г > MkÜ. Такие приближенные управления мы будем называть DHUM-управлениями (DHUM = Discrete Hilbert Uniqueness Method) и обозначать через й0. Выбранное название объясняется тем, что конструкция DHUM-управлений йа является конечномерной копией конструкции HUM-управлений Ж.-Л.Лионса [С22] (HUM = Hilbert Uniqueness Method). Выполненное тестирование показало, что с помощью DHUM не удается найти удовлетворительные по точности приближения к нормальному граничному управлению и* даже в отсутствии шума (это отмечалось ранее и в [С12, С16]), в то время как VM выдает устойчивые результаты, приближающиеся к и» при сгущении сетки и уменьшении амплитуды шума. Для иллюстрации приведем результаты одного из тестовых примеров, в которых качественно отражаются все основные закономерности, проявившиеся и в других численных экспериментах. Именно, рассмотрим задачу (26),(27) с постоянными коэффициентами р(х) = 1, к{х) = 1 и двусторонними Дирихле-управлениями из L2(0, Т) на пространственном отрезке длины I = 1, временном промежутке Т = 3/2 > Г, = 1 сверхкритической длины и целевыми функциями

f(x) = -тг| cos(7ra)|, f(x) = -37Г2 sin(7Ta;), 0 < х < 1.

Нормальным управлением, переводящим в такую цель, будет и* = щ(t)),

Ut0(t) = 7rsin(7ti), U*i(f) = 7TSin(7rt), 0 < i < 3/2, (69)

а норма соответствующего ему элемента-источника. vt = (u®(x),t!*(x)), v°(x) = -sin(7rx), г;}(я) = 0, будет равна ||v*||f« = тт/\/2, что позволяет применять VM на шаре радиуса г = 3 > тг/\/2. По значениям нормы целевого элемента

||/||f = 7г\/5 и параметра ц = 1 с помощью (11) можно подобрать и другое подходящее для VM значение г = 10 > тг^/5. В расчетах мы брали оба указанных значения г — 3 и г = 10. Варьировались шаги сетки т, h и уровень

искусственного шума, добавляемого к точным целевым функциям. Отслеживались значения относительных погрешностей по управлению и

'"Д", а также количество итераций по переменной А, необходимых для отыскания УМ-управлений. Некоторые из типичных результатов расчетов представлены в следующей таблице и проиллюстрированы на графиках. В таблице символ и означает либо БНиМ-управление и0 либо УМ-управление и в зависимости от метода, а зашумленная цель обозначена через /. Как видно из (69), компоненты и*о(<) и и^) точного оптимального управления совпадают, поэтому на графиках отображены только левосторонние составляющие управлений и<х>(Ь), и иг0(£).

Метод г Ц-Й' И/И* ||и-и.||я 1М1я Число . итер. по А

1. БНиМ 0 5.8785

2. УМ 3 0 0.00665 1

3. УМ 10 0 0.00665 1

4. БНиМ 0.01007 19.0811

5. УМ 3 0.01007 0.02385 И

6. УМ 10 0.01007 0.03820 16

7. БНиМ 0.10086 165.496

8. УМ 3 0.10086 0.15534 7

9. УМ 10 0.10086 0.18954 И

Таблица. Результаты ВД17М и УМ для 1 = 1, Т = 3/2, к = 1/100 и т/Л = 15/16.

БНиМ-управление УМ-управление

Рис. 1. Графики приближенных управлений при к = 1/100, т/к = 15/16, г = 3 в отсутствии шума. Иллюстрации к строкам 1 и 2 таблицы.

DHUM-управление VM-управление

Рис. 2. Графики приближенных управлений при h — 1/100, т/h = 15/16, г = 3 при наличии шума уровня 1%. Иллюстрации к строкам 4 и 5 таблицы.

Как было заявлено выше, от сравнительного тестирования нашего универсального вариационного метода и специализированных методов [С12]-[С18] мы воздерживаемся сознательно. Представленные в главе 6 результаты докладывались на конференциях [17, 23, 25, 28].

В заключении подытожен опыт рассмотренных в диссертации приложений и даны некоторые общие рекомендации по определению условий применимости вариационного метода к другим задачам, а при наличии таких условий - по его практической реализации.

Значительная часть результатов диссертации получена при финансовой поддержке РФФИ (проекты 93-012-602, 98-01-00206, 01-01-00639, 04-01-00619, 07-01-00416) и программы ((Развитие научного потенциала высшей школы» (проект РНП 2.1.1.1714).

Автор выражает искреннюю благодарность акад. А.Б.Куржанскому, указавшему в начале 1990-ых гг. на нерешенные проблемы аппроксимации задач управления и наблюдения, и проф. Ф.П.Васильеву за сотрудничество, внимание и поддержку на всех этапах выполнения данной работы.

Список цитированной литературы

[Cl] Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1979. - 285 с.

[С2] Лаврентьев М.М. О некоторых некорректных задачах математической физики. Новосибирск: Изд-во СО АН СССР, 1962. - 96 с.

[СЗ] Иванов В.К., Васин В.В., Гамака В.П. Теория линейных некорректных задач и ее приложения. М.: Наука, 1978. - 206 с.

[С4] Бакушинский А.Б. Один общий прием построения регуляризующих алгоритмов для линейных некорректных уравнений в гильбертовом пространстве // ЖВМиМФ. 1967. Т. 7. № 3. С. 672-676.

[С5] Бакушинский А.В., Гончарский А.В. Итеративные методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1989. - 128 с.

[С6] Бакушинский А.В., Гончарский А.В. Некорректные задачи. Численные методы и приложения. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1989. - 199 с.

[С7] Вайникко Г.М., Веретенников А.Ю. Итерационные процедуры в некорректных задачах. М.: Наука, 1986. - 182 с.

[С8] Леонов А.С., Ягола А.Г. Можно ли решить некорректную задачу без знания погрешностей данных? // Вести. Моск. ун-та. Сер. 3. Физика, Астрономия. 1995. Т. 36. № 4. С. 28-33.

[С9] Тихонов А.Н., Леонов А.С., Ягола А.Г. Нелинейные некорректные задачи. М.: Наука. Физматлит, 1995. - 312 с.

[СЮ] Vainikko G. On the discretization and regularization of ill-posed problems with noncompact operators // Numer. Funct. Anal, and Optimiz. 1992. V. 13 (3&4). P. 381— 396.

|C11] Садовничий B.A. Теория операторов. M.: Изд-во МГУ, 1986. - 368 с.

[С12] Glowinski R., Li С.-Н., Lions J.-L. A numerical approach to the exact boundary controllability of the wave equation (I). Dirichlet controls: Description of the numerical methods. Japan J. Appl. Math. 1990, V. 7. P. 1-76.

[C13] Glowinski R., Lions J.L., He J. W. Exact and approximate controllability for distributed parameter systems: a numerical approach // Encyclopedia of Mathematics and its Applications. V. 117. Cambridge UK: Cambridge University Press, 2008.

[C14] Rinson M.A., Garay M.Z., Miranda M.M. Numerical Approximation of the Exact Control for the String Equation // International Journal of Pure and Applied Math. 2003. V. 8. № 3. P. 349-368.

[C15] Negreaпи M., Zuazua E. Convergence of a multi-grid method for the controllability of 1-d wave equation // C. R. Acad. Sci. Paris, Sir. I. 2004. V. 338. № 5. P. 413-418.

[C16] Zuazua E. Propagation, observation, and control of waves approximated by finite difference methods // SIAM Rev. 2005. V. 47. № 2. P. 197-243.

[C17] Miinch A. A uniformly controllable and implicit scheme for the 1-d wave equation // Mathematical Modelling and Numerical Analysis. 2005. V. 39. № 2. P. 377-418.

[C18] Castro C., Misu S., Miinch A. Numerical approximation of the boundary control for the wave equation with mixed finite elements in a square // IMA Journal of Numerical Analysis. 2008. V. 28. № 1. P. 186-214.

Васильев Ф.П. О двойственности в линейных задачах управления и наблюдения // Дифференц. ур-ния. 1995. Т. 31. № 11. С. 1893-1900.

Dolecki S., Russell D.L. A general theory of observation and control // SIAM J. Control. 1977. V. 15. № 2. P. 185-220.

Russell D.L. Controllability and stabilizability theory for linear partial differencial equations: recent progress and open questions // SIAM Rev. 1978. V. 20. № 4. P. 639— 739. .

Lions J.-L. Exact controllability, stabilization and perturbations for distributed systems // SIAM Rev. 1988. V. 30. № 1. P. 1-68.

Ho L.F. Observabilité frontière de l'équation des ondes // C.R. Acad. Sci. Paris. Sér. I Math. 1986. V. 302. P. 443-446.

Ho L.F. Exact controllability of the one-dimensional wave-equation with locally distributed control // SIAM J. Control and Optimizat. 1990. V. 28(3). P. 733-748.

Komornik V. Exact controllability and stabilization. The multiplier method. Chichester: John Wiley and Sons; Paris: Masson, 1994.

Avdonin S.A., Ivanov S.A. Families of Exponentials. The Method of Moments in Controllability. Problems for Distributed Parameter Systems. Cambridge University Press, 1995.

Krabs W. Optimal Control of Undamped Linear Vibrations. Lemgo: Heldermann Verlag, 1995.

Lasiecka I., Triggiani R. Control theory for partial differential equations: continuous and approximation theories II: abstract hyperbolic-like systems over a finite time horizon. Encyclopedia of Mathematics and its Applications. V. 75. Cambridge, UK: Cambridge University Press, 2000.

Zuazua E. Controllability and odservability of partial differential equations: some results and open problems. //In Handbook of Differential Equations, Vol. 3: Evolutionary Equations. Chapter 7, C.M.Dafermos and E.Feireisl, eds. Amsterdam: Elsevier, 2007. P. 527-621.

Васильев Ф.П. Методы оптимизации. M.: Изд-во Факториал Пресс, 2002. - 824 с.

Берг Й., Лефстрем Й. Интерполяционные пространства. Введение. М.: Мир, 1980. - 264 с.

Лионе Ж.-Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения. М.: Мир, 1971. - 372 с.

Ильин В.А. О разрешимости смешанных задач для гиперболических и параболических уравнений // Успехи матем. наук. 1960. T. XV. Вып. 2(92). С. 97-154.

Ильин В. А. Граничное управление процессом колебаний на двух концах в терминах обобщенного решения волнового уравнения с конечной энергией // Дифференц. ур-ния. 2000. Т. 36. № 11. С. 1513-1528.

[С35] Ильин В.А. Граничное управление процессом колебаний на одном конце при закрепленном втором конце в терминах обобщенного решения волнового уравнения с конечной энергией // Дифференц. ур-ния. 2000. Т. 36. № 12. С. 1670-1686.

[С36] Lasiecka I., Lions J.L., Triggiani R. Nonhomogeneous boundary value problems for second order hyperbolic operators. // J. Math. Pures Appl. 1986. V. 65. P. 149-192.

[C37] Ильин В.А. Задачи теории граничного управления. Избранные труды В.А. Ильина, том 2. М.: Изд-во МАКС-Пресс, 2008. С. 430-661.

[С38] Ильин В.А., Моисеев Е.И. Оптимизация граничных управлений колебаниями струны // Успехи матем. наук. 2005. Т. 60. Вып. 6. С. 89-114.

[С39] Знаменская Л.Н. Управление упругими колебаниями. М.: Физматлит, 2004. - 176 с.

[С40] Самарский A.A., Гулин A.B. Численные методы. М.: Наука, 1989. - 432 с.

[С41] Никитин A.A., Кулешов A.A. Оптимизация граничного управления, производимого третьим краевым условием // Дифференц. ур-ния. 2008. Т. 44. № 5. С. 681-690.

Публикации автора по теме диссертации

1. Васильев Ф.П., Куржанский М.А., Потапов М.М. Метод прямых в задачах граничного управления и наблюдения для уравнения колебаний струны // Вестн. Моск. ун-та. Сер.15, Вычисл. матем. и киберн. 1993, № 3. С. 8-15.

2. Потапов М.М. О методе прямых в задачах граничного Нейман-управления и Дирихле-наблюдения для волнового уравнения // Тез. докл. весенней Воронежской математической школы «Понтрягинские чтения - V». Воронеж: Изд-во ВГУ, 1994. С. 118.

3. Куржанский М.А., Потапов М.М., Разгулин A.B. Проекционная схема метода прямых в задачах зонного управления и наблюдения для уравнения колебаний струны // Вестн. Моск. ун-та. Сер.15, Вычисл. матем. и киберн. 1994, № 3. С. 29-35.

4. Васильев Ф.П., Потапов М.М. Аппроксимация некоторых двойственных задач управления-наблюдения для волнового уравнения // Тез. докл. всероссийской конференции «Алгоритмический и численный анализ некорректных задач». Екатеринбург: Изд-во УрГУ, 1995. С. 35.

5. Потапов М.М. Об аппроксимации второй и третьей краевых задач пространственно-локализованного управления и наблюдения для уравнения колебаний // Тез. докл. конференции «Обратные и некорректно поставленные задачи». М.: Изд-во Моск. ун-та, 1995. С. 38.

6. Потапов М.М. Метод прямых в задачах граничного управления и наблюдения для гиперболического уравнения с краевыми условиями второго и третьего рода // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15, Вычисл. матем. и киберн. 1996. № 2. С. 35-41.

7. Potapov М.М. Stable variational method for linear equations with nonuniform perturbations in operator // Abstracts of International Conference «Inverse and Ill-Posed Problems». Moscow: Dialog-MSU, 1996. P. 144.

8. Потапов М.М. Устойчивый метод решения линейных уравнений с поточечно возмущенным оператором // Тез. докл. всероссийской науч. конфер. ((Алгоритмический анализ некорректных задач». Екатеринбург: Изд-во УрГУ, 1998. С. 204-205.

9. Потапов М.М. О сильной сходимости разностных аппроксимаций задач граничного управления и наблюдения для волнового уравнения // ЖВМиМФ. 1998. Т. 38. №> 3. С. 387-397.

10. Лаврухин A.B., Потапов М.М. Об аппроксимации нормального псевдорешения при отсутствии информации об уровнях погрешностей // Тез. докл. конфер. «Обратные и некорректно поставленные задачи». М.: Изд-во ((Диалог-МГУ», 1998. С. 47.

11. Васильев Ф.П., Потапов М.М. Взаимодвойственные задачи управления и наблюдения в линейных системах, их аппроксимация и регуляризация // Тез. докл. международной конфер., посвященной 90-летию со дня рождения Л.С.Понтрягина. Оптимальное управление. М.: Изд-во МГУ, 1998. С. 221-223.

12. Потапов М.М. Устойчивый метод решения линейных уравнений с неравномерно возмущенным оператором // Доклады РАН. 1999. Т. 365. № 5. С. 596-598.

13. Потапов М.М., Костикова O.P. Конечномерная аппроксимация двойственных задач управления и наблюдения для уравнения колебаний 4-го порядка // Тез. докл. шестой конфер. «Обратные и некорректно поставленные задачи». М.: Изд-во ООО «МАКС Пресс», 2000. С. 62.

14. Потапов М.М., Костикова O.P. Разностная аппроксимация задач управления и наблщдения для уравнения колебаний четвертого порядка // Вестн. Моск. ун-та. Сер.15, Вычисл. матем. и киберн. 2003. № 1. С. 33-37.

15. Потапов М.М. Приближенное решение задач граничного управления и наблюдения для уравнения поперечных колебаний стержня // ЖВМ и МФ. 2005. Т. 45. № 6. С. 1015-1032.

16. Потапов М.М. Аппроксимация задачи Дирихле-управления и двойственной задачи с нерегулярными Нейман-наблюдениями для волнового уравнения // Доклады РАН. 2006. Т. 408. № 5. С. 596-600.

17. Potapov М.М. Stable Approximation of Dual Control and Observation Problems // International Conference «Tikhonov and Contemporary Mathematics», Mocsow, June 19-25 2006. Abstracts of session «Inverse and Ill-Posed Problems». Moscow: Lomonosov MSU, Comput. Math, and Cybem., 2006. P. 153.

18. Потапов М.М. Приближенное решение задач Дирихле-управления для волнового уравнения в классах Соболева и двойственных к ним задач наблюдения // ЖВМ и МФ. 2006. Т. 46. № 12. С. 2191-2208.

19. Потапов М.М. Наблюдаемость нерегулярных решений задачи Неймана для волнового уравнения с переменными коэффициентами // Доклады РАН. 2007. Т. 412. № 6. С. 747-752.

20. Потапов М.М. Наблюдаемость нерегулярных решений третьей краевой задачи для волнового уравнения с переменными коэффициентами // Доклады РАН. 2007. Т. 414. № 6. С. 738-742.

21. Потапов М.М. Об уточнении порогового момента в задачах с двусторонними управлениями и наблюдениями для волнового уравнения // Вычислительные методы и программирование. 2007. Т. 8. № 1. С. 151-157.

22. Потапов М.М. Разностная аппроксимация задач Дирихле-наблюдения слабых решений волнового уравнения с краевыми условиями третьего рода // ЖВМ и МФ. 2007. Т. 47. № 8. С. 1323-1339.

23. Потапов М.М. Приближенное решение двойственных задач управления и наблюдения для волнового уравнения // Тезисы докладов международной конференции «Дифференциальные уравнения и смежные вопросы», посвященной памяти И.Г.Петровского (XXII совместное заседание ММО и семинара И.Г.Петровского, Москва, 21-26 мая 2007 г.): Тезисы докладов. М.: Изд-во МГУ, 2007. - 384 с. С. 250251.

24. Потапов М.М. Приближенное решение двойственных задач зонного управления и наблюдения д ля волнового уравнения // В кн. «Современные методы теории краевых задач»: материалы Воронежской весенней математической школы «Понтрягинские чтения-XIX». Воронеж: Изд-во ВГУ, 2008. С. 171-173.

25. Васильев Ф.П., Потапов М.М. Приближенное решение задач управления и наблюдения для волнового уравнения // В кн. «Дифференциальные уравнения и топология: Международная конференция, посвященная 100-летию со дня рождения Л.С.Понтрягина: Тезисы докладов». - М.: МАКС Пресс, 2008. С. 326-327.

26. Потапов М.М. Двойственные задачи зонного управления и наблюдения для волнового уравнения // В кн. «Дифференциальные уравнения и топология: Международная конференция, посвященная 100-летию со дня рождения Л.С.Понтрягина: Тезисы докладов». - М.: МАКС Пресс, 2008. С. 389.

27. Potapov М.М. Stable approximation to zone control and observation problems for the wave equation // В кн. «Алгоритмический анализ неустойчивых задач: тезисы докладов Международной конференции, посвященной 100-летию со дня рождения В.К.Иванова, Екатеринбург, 1-6 сент. 2008 г.». - Екатеринбург: Изд-во Урал, ун-та, 2008. - 324 с. С. 251.

28. Потапов М.М. Устойчивая аппроксимация оптимальных Дирихле-управлений для волнового уравнения // В кн. «Современные проблемы математики, механики и их приложений. Материалы международной конференции, посвященной 70-летию ректора МГУ академика В.А.Садовничего». - М.: Изд-во «Университетская книга», 2009. - 416 с. С. 192.

Напечатано с готового оригинал-макета

Издательство ООО "МАКС Пресс" Лицензия ИД N 00510 от 01.12.99 г. Подписано к печати 23.09.2009 г. Формат 60x90 1/16. Усл.печ.л. 2,0. Тираж 150 экз. Заказ 494. Тел. 939-3890. Тел./факс 939-3891 119992, ГСП-2, Москва, Ленинские горы, МГУ им. М.В. Ломоносова, 2-й учебный корпус, 627 к.

Введение

Глава 1. Линейные уравнения с неравномерными возмущениями в операторе. Вариационный метод

1.1. Описание метода и доказательство сходимости.

1.2. Конечношаговая процедура решения вариационной задачи

1.3. Сумма гильбертовых постранств и связанное с ней отношение двойственности.

Глава 2. Аппроксимация задач граничного Дирихле-управления и двойственных к ним задач наблюдения для волнового уравнения

2.1. Граничные управления из L2. Управляемость и наблюдаемость

2.2. Конструкция приближенных решений и их сильная сходимость

2.3. Задачи с Дирихле-управлениями из пространства Соболева и двойственные к ним задачи наблюдения. Применение вариационного метода.

2.4. Задачи управления с частичными целями и двойственные к ним задачи наблюдения.

Глава 3. Приближенное решение задач граничного управления и наблюдения для волнового уравнения с краевыми условиями второго и третьего рода

3.1. Задачи с нерегулярными граничными управлениями из пространства, сопряженного к пространству Соболева.

3.2. Задачи с регулярными управлениями из L2 и соответствующие неравенства наблюдаемости.

3.3. Сильная сходимость приближенных решений, построенных вариационным методом

Глава 4. Вариационный подход к решению двойственных задач зонного управления и наблюдения для волнового уравнения

4.1. Задачи с нерегулярными зонными управлениями и регулярными зонными наблюдениями.

4.2. Неравенства управляемости-наблюдаемости для регулярных зонных управлений из L2.

4.3. Приближенное решение задач зонного управления и наблюдения

Глава 5. Вариационный метод в задачах граничного управления и наблюдения для уравнения колебаний четвертого порядка 169 5.1. Задачи с граничными управлениями смещением и изгибающим моментом.

5.2. Задачи с граничными управлениями в старших производных

Глава 6. Численные результаты для волнового уравнения с граничными Дирихле-управлениями

6.1. Задача с Дирихле-управлениями из L

6.2. Дирихле-управления из пространства Соболева

В настоящее время приближенные методы решения операторных уравнений, как линейных, так и нелинейных, образуют весьма представительный и вполне сложившийся раздел современной вычислительной математики. Основополагающий вклад в становление и развитие этих методов применительно к уравнениям с неточными данными внесли такие выдающиеся российские математики, как А.Н.Тихонов, М.М.Лаврентьев, В.К.Иванов [156, 95, 49]. Впоследствии их ученики и последователи В.А.Морозов, А.Б.Бакушинский, В.В.Васин, А.В.Гончарский, В.А.Винокуров, А.С.Леонов, А.Г.Ягола, Г.М.Вай-никко, В.Г.Романов, А.М.Федотов, Ф.П.Васильев, Ю.Л.Гапоненко, А.М.Денисов, А.Л.Агеев, С.Ф.Гилязов, М.Ю.Кокурин и др. [4, 6]-[9],[16]-[19, 21, 26, 27, 31]-[33],[36, 50, 82, 88, 96],[98]—[104],[115]—[117],[150, 157]-[159, 162, 165, 170, 174, 224, 230], а также зарубежные коллеги C.W.Groetsch, H.W.Engl, M.Hanke, A.Neubauer [192, 182], детально проработали многие теоретические и практические аспекты данного научного направления и для случая линейных уравнений вывели технику построения устойчивых приближенных решений на очень высокий уровень. В частности, в [6]-[8, 17] описаны и исследованы целые классы методов регуляризации, вырабатывающие устойчивые приближения к нормальном}'- решению при условии согласования значений регуляризирующих параметров априорным или апостериорным способом с имеющейся информацией о приближенных данных. Тем не менее, даже в этой тщательно и продуктивно исследованной области еще остаются недостаточно изученные классы задач, один из которых и стал главным объектом исследования в данной диссертации.

Внешне эти задачи имеют традиционный вид уравнения

Au = f (1) с линейным ограниченным оператором А б L(H —F), действующим в вещественных сепарабельных гильбертовых пространствах Н и F. Предполагается, что уравнение (1) имеет классическое решение, т.е. / принадлежит R(A) - образу пространства Н при отображении А. Решение может быть неединственным, поэтому для определенности ищется нормальное решение имеющее минимальную норму. Требуется построить устойчивые приближения к в условиях, когда вместо точных исходных данных А и / фактически доступны лишь некоторые их приближения А Е L(H —> F) и / Е F. Основные отличия постановки задачи (1) в настоящей диссертации от традиционной постановки заключаются в характере априорной информации об искомом решении w* и приближенных данных An f, при наличии которой задача должна быть решена. Обычно уравнение (1) решается в предположении выполнения следующих условий: в которых помимо самих приближенных данных А иf должны быть известны и соответствующие им уровни погрешностей г] и S. В работе [104] показано, что при отсутствии каких-либо дополнительных сведений об искомом решении щ одних только приближенных данных A, f без информации об уровнях погрешностей 77, S недостаточно для построения устойчивых приближенных решений, разумеется, если исходная задача (1) изначально была некорректной.

Мы отказываемся от присутствующего в (2) условия равномерной близости операторов А и А, т.е. снимаем требование 77 —^ 0. При этом не обязательно знать и величину 77 погрешности в операторе. Заметим, что при наличии априорной информации о мере аппроксимации 77* операторов на точном решении в [8,159] показано, что сильные приближения к и* могут быть построены и без условия (2) равномерной близости операторов с помощью обычных регуляри-зирующих процедур с априорным выбором параметра регуляризации. В [230] в случае, когда наряду с (3) имеется дополнительная информация о сильной поточечной сходимости сопряженных операторов: А* —»■ А*, указаны способы построения устойчивых приближений к и* с помощью как априорного, так и апостериорного выбора параметра регуляризации по методу невязки. Мы предлагаем другой метод регуляризации, использующий априорную информацию иного типа, отличную от традиционных условий (2) или условия (3).

Появление этого метода было стимулировано выполнением серии работ по конечномерной аппроксимации двойственных задач граничного и зонного управления и наблюдения системами, динамика которых описывалась пространственно-одномерным волновым уравнением [22, 23, 94, 127]—[129]. Во всех этих задачах точные операторы А были линейными ограниченными, но некомпактными., а в роли А выступали их конечномерные приближения. Как известно [151], в такой ситуации погрешность 77 в операторе в принципе не может стремиться к нулю, а от априорной информации типа (3) о величине ту* погрешности на неизвестном точном решении мы принципиально отказываемся. В упомянутых работах [22, 23, 94, 127]—[129] фактически была доказана сильная сходимость приближенных решений только по невязке, а сходимость

2) Аи* |j < ц

3) по агрументам, в роли которых выступали, в частности, управления, доказать не удалось.

С аналогичными проблемами сталкивались и другие авторы [146, 178, 188]—[191, 217, 218, 225, 226, 234]. Выявление причин, по которым стандартные разностные, проекционно-разностные или полудискретные схемы конечномерной аппроксимации, обладающие свойствами устойчивости и сходимости в прямых задачах, оказываются непригодными для приближенного решения обратных к ним задач, сыграло важнейшую роль в поиске средств борьбы с такого рода неустойчивостями. Оказалось, что при дискретизации непрерывных волновых процессов такие неустойчивости возникают из-за появления среди дискретных решений волн, у которых при измельчении шагов сетки укорачиваются длины и замедляются скорости распространения, в то время как в нерперывной модели все возмущения распространяются с одинаковыми скоростями. Достаточно подробные обсуждения подобных «паразитных» явлений представлены в обзоре E.Zuazua [234] и в книге R.Glowinski, J.L.Lions, J.W.He [191]. Там же можно найти и описания приемов, которые использовались разными авторами для подавления этих неустойчивостей: метода регуляризации А.Н.Тихонова, метода мультисеток, метода конечных элементов со смешанными базисами, введения искусственной вязкости и прямой фильтрации высокочастотных гармоник. Несмотря на внешние различия в конструкциях фактически все эти подходы направлены на подавление вредных высокочастотных осцилляций, привносимых стандартными методами дискретизации. Из перечисленных регуляризующих подходов самым универсальным, не привязанным к типу уравнений, является метод А.Н.Тихонова, однако обоснованное его применение в естественных классах управляемости сдерживается отсутствием у оператора А свойства компактности, а, значит, и отсутствием информации о скорости стремления к нулю погрешности г) в условии (2). Для обоснованного применения остальных методов необходимо детально исследовать свойства (в основном, спектральные) дискретных моделей, чтобы затем использовать их для введения дополнительных сеток или дополнительных базисных функций, определения величины искусственной вязкости или нижней границы срезаемых частот. Кстати, такая дополнительная информация о свойствах дискретных моделей при определенных условиях вполне могла бы быть подходящей заменой для условия (2) с известным г] при выборе в методе А.Н.Тихонова значения параметра регуляризации.

Суть наших предложений заключается в том, чтобы для дискретной аппроксимации обратных задач использовать любые схемы, подходящие для решения прямых задач, не подвергая их никакой дополнительной модификации, а с явлениями неустойчивости в решениях обратных задач, которые могут возникнуть при такой дискретизации, бороться с помощью дополнительной информации о точных решениях обратных задач. Именно, предлагаемый нами метод решения уравнения (1) с неточными данными работает в предположении, что искомое точное нормальное решение щ истокопредста-вимо: щ — JHA*vv* € F*, |M|f* s* Г, (4) а величина г в (4), ограничивающая норму элемента-источника г>*, известна. В (4) А* € L(F* Н*) - оператор, сопряженный к А, действующий в сопряженных гильбертовых пространствах F* и Н*, возможное отождествление которых по Риссу [81, 83, 151, 161] с основными пространствами F и Н в общем случае не производится. В приложениях привилегия таких отождествлений обычно закрепляется только за обычными или весовыми пространствами Лебега L2 интегрируемых с квадратом функций [30, 105, 124]. По этой причине в (4) и присутствует явно оператор Рисса J# : Н* —> Н, устанавливающий соответствующий изоморфизм. Условия (2) равномерной операторной близости замещаются более слабыми условиями сильной поточечной сходимости операторов:

Au-Au\\f-*0 \/ивН, \\A*v - A*v\\H. 0 Vv е F*. (5) Правая часть уравнения (1) может быть известна приближенно:

Н7-/11^-о, (6) а уровень погрешности в (6) может оставаться неизвестным. В (5) предполагается, что приближенные операторы А и А* действуют в тех же пространствах, что и их точные прототипы: А £ L(H F), A* G L(F* —> Н*), и что операторы А*, приближающие А*, являются сопряженными к А : А* = (А)*. Заметим, что в отличие от случая равномерной близости, которая в силу равенства норм ||А — Л|| = ||А* — А*|| имеет место сразу для обоих взаимно сопряженных операторов, ни одно из двух условий поточечной сходимости в (5), вообще говоря, не следует из другого [151].

При наличии информации (4)-(6) приближенные решения и уравнения (1) предлагается искать в истокообразном виде и = JhA*v, veF\ Mf-^г, (7) со значением г, взятым из (4). Элементы-источники v в (7) выбираются из естественных соображений минимизации уклонения

И« - \\н = II JhA*v - щ\\% = \\JHA*v\\2H - 2 (JHA*v, и*)н + , в котором последнее слагаемое от v не зависит, а сумма первых двух с помо-' щью теоремы Рисса и транспонирования записывается в виде квадратичного функционала ЦА^Ц^. — 2(г?, Аи*) . В силу (5) Аи* —> Ащ = /, поэтому с учетом (6) этот функционал будет близок к функционалу

I(v) = \\A*v\\%.-2(f,v), (8) содержащему только реально доступные данные. Предлагаемый метод состоит в минимизации квадратичного функционала (8) на шаре \\v\\р* ^ г радиуса г в пространстве F*. По любому ^-приближенному решению этой задачи, т.е. по любому элементу v, удовлетворяющему условиям

V е F\ Щр. < г, I(v) ^ inf I(v) + 5, (9) veF*, ||u||F»<r в соответствии с (7) определяется итоговое приближение v = JhA*v. Этот метод, который мы будем называть вариационным, впервые был предложен в работах [221, 130]—[132, 97, 24], а в диссертации он представлен в форме, сложившейся под влиянием рассмотренных впоследствии приложений [133]— [145, 25, 222, 223].

Априорная информация (4), имеющая принципиальное значение для возможности применения вариационного метода, доступна в случае, когда сопряженный оператор А* непрерывно обратим на своем образе R(A*) или, по терминологии С.Г.Крейна [89], корректно разрешим, т.е. имеет место оценка

A*vfH. > n\\vfF. Vv е F*, (10) причем значение постоянной ц > 0 в этой оценке должно быть известно. Тогда, если правая часть / Е F уравнения (1) известна точно, то условие (4) будет выполняться со значениями г ^ а если вместо / известно некоторое приближение / £ F, то потребуется знание и соответствующего уровня погрешности: ||/ — f\\p ^ 5. По данным /, 5 определяется диапазон возможных значений параметра г : г ^ (11)

Разумеется, при практическом применении метода целесообразно выбирать значения г, близкие к нижней границе диапазона (11).

Условие (10) является хотя и весьма жестким, но все же не уникальным и выполняется, в частности, в задачах из работ [178, 188]—[191, 217, 218, 225, 226, 234], посвященных вычислениям. Правда, вычислительные процедуры в этих работах организовывались по другим сценариям, в которых оценка

10) не использовалась. В главах 2-5 настоящей диссертации, посвященных приложениям вариационного метода к различным задачам управления и наблюдения для процессов колебаний, будет показано, что во всех этих приложениях оценка (10) выполняется на достаточно протяженных временных промежутках, и что важные для реализации метода значения параметра ц определяются конструктивно. Эти задачи управления и наблюдения будут записываться в форме взаимно сопряженных линейных операторных уравнений [20] Аи = / и A*v = д. Уравнением Аи = / описывается задача отыскания управления и, переводящего систему в заданное целевое состояние /, а в форме сопряженного уравнения A*v = д записывается двойственая задача восстановления состояния v сопряженной системы по наблюдениям д за ее траекторией. Основными проблемами в задачах управления и наблюдения традиционно считаются проблемы управляемости, наблюдаелюсти и стабилизируемости, которым посвящено огромное число работ (см., например, [1, 3, 13]—[15, 29, 35, 37]—[48, 52]—[62, 63, 64, 65]—[79, 85, 87, 91, 92, 112]-[114, 119, 120, 122,123, 147]-[149, 153]-[155, 163, 164, 166]-[169, 171]—[173, 175]-[177, 179]—[181, 185]—[187, 189, 191, 193]-[206, 210]—[216, 227]-[229, 231]—[235] и цитируемую в них литературу).

Под управляемостью обычно понимают возможность попадания в любую наперед заданную цель /, а под наблюдаемостью - единственность восстанавливаемого состояния v, порождающего наблюдаемый сигнал д. На операторном языке управляемость означает существование решения операторного уравнения Аи = f для любой правой части / или, другими словами, равенство R(A) = F. Наблюдаемость - это не что иное как единственность решения сопряженного уравнения A*v = g или тривиальность ядра сопряженного оператора: N(A*) = {0}. Условие (10), являющееся основным инструментом определения важного для численных расчетов значения параметра г, обеспечивает также и наличие обоих этих свойств: и наблюдаемости, и управляемости. Действительно, при выполнении неравенства (10) ядро сопряженного оператора тривиально: N(A*) = {0}, что означает наблюдаемость, а его образ будет замкнут: R(A*) = R(A*). Тогда, как известно [49, 161], замкнутым будет и образ самого оператора А : R{A) = R(A), что с учетом ортогонального разложения R(A) 0 N(A*) = F означает равенство R(A) = F, т.е. наличие управляемости. По этим соображениям оценки типа (10), следуя, например, [191, 234], мы называем неравенствами наблюдаемости.

Большинство авторов, занимавшихся проблемами управляемости и наблюдаемости, обычно интересовал сам факт наличия оценки (10) или отыскание наименьшего значения момента времени Т*, начиная с которого, т.е. при Т > Т*, постоянная fi становилась положительной, а оценка (10) - содержательной. Конкретные значения постоянной /2, без которых нам трудно обойтись при численной реализации вариационного метода, как правило, их не интересовали. В связи с этим в диссертации значительные усилия направлены на развитие техники вывода конструктивных неравенств наблюдаемости.

На наш взгляд, актуальность выбранной тематики обусловлена наличием реальной потребности в устойчивых методах численного решения различных уравнений в различных информационных условиях. Один из таких универсальных методов решения произвольных линейных уравнений при выполнении условий (4)-(6) предложен в диссертации. Полагая, что универсальность сама по себе является заслуживающим признания достоинством, мы сознательно воздерживаемся от каких-либо прямых сравнений нашего метода по точности, экономичности или другим критериям со специализированными методами из [178, 188]—[191, 217, 218, 225, 226, 234], заранее признавая возможные преимущества последних по тем или иным показателям в тех конкретных задачах, на решение которых они и были ориентированы. В связи с этим в главе 6, посвященной численным экспериментам, тестируется лишь сам вариационный метод на предмет адекватности его результатов шагам сетки и уровню шума.

Итак, главными в диссертации можно объявить следующие направления исследований:

1. Разработка устойчивого метода решения линейных уравнений в гильбертовых пространствах, подходящего для случая неравномерных возмущений в операторе, возникающих, например, при его конечномерной аппроскима-ции. Определение условий применимости метода, исследование свойств его сходимости и разработка вычислительного алгоритма для его практической реализации.

2. Применение данного метода к двойственным задачам управления и наблюдения для волнового уравнения и уравнения колебаний балки с переменными коэффициентами с целью построения сильно сходящихся приближенных решений. При необходимости вывод соответствующих конструктивных неравенств наблюдаемости (10) и развитие техники доказательства условий сильной поточечной сходимости (5). Демонстрация практической работоспособности вариационного метода на одном из теоретически исследованных в диссертации приложений.

В главе 1 в § 1.1 представлен центральный результат диссертации - вариационный метод и приведено доказательство его сходимости. Этот метод применяется к линейным уравнениям (1) при условиях (4)-(6) и по существу уже описан в (7)-(9). В конструкцию (7)-(9) в тексте диссертации вносится лишь одно изменение, подсказанное приложениями: область вариации элементов-источников г>, которая в предварительном описании (7)-(9) совпадала со всем сопряженным пространством F*, сужается до риссовского прообраза F* некоторого (на практике конечномерного) подпространства F пространства F, содержащего образ приближенного оператора:

F* = J^(F), где R(A) G F (Z F, и уже в F* выделяется шар

B(r) = {veF* | |Mli-<r} (12) радиуса г, на котором ставится оптимизационная задача (9).

В теореме 1.1 выводится оценка точности вырабатываемых вариационным методом приближений, из которой следует их сильная сходимость к нормальному решению уравнения (1). Заметим, что при наличии неравенства наблюдаемости (10) с известной постоянной fi> 0 вариационный метод можно применять не только к уравнению (1), но и к сопряженному уравнению A*v = д. Дело в том, что из (10) в предположении существования решения v следуют единственность этого решения, его истокопредставимость и оценка для нормы источника:

V = Jp'Au,, \\щ\\н < 5 что позволяет определять значение радиуса шара г в случае приближенно заданной правой части д по правилу, аналогичному (11): если деН\ \\д - д\\н* О, то r ^ Mkdi .

Выпуклая задача минимизации квадратичного функционала (8) на шаре (12) может быть решена различными методами за конечное число шагов, количество которых можно рассчитать заранее по заданному уровню точности е. В частности, для этих целей подходит стандартный метод проекции градиента [18, 19, 21], однако при численных расчетах мы использовали другой, на наш взгляд, более эффективный и экономичный метод итерационного типа, предложенный в [132] и описанный в § 1.2. Этот метод основан на правиле множителей Лагранжа и на важном свойстве непрерывной монотонной зависимости от Л норм ||v(A)||ir. элементов гТ(Л), являющихся единственными решениями уравнения Эйлера для функции Лагранжа 1{у) + Л(||г>|||,, — г2) при каждом фиксированном Л > 0 :

JplAJHA* + Л/) v = J^Qf, v Е F*, Л > 0, (13) где Q : F F - оператор ортогонального проектирования. Гарантированная оценка погрешности этого метода была получена в [132], а в теореме 1.2 приводится усовершенствованный вариант этой оценки.

В § 1.3 излагается математический аппарат, используемый в главах 2-4 при выводе конструктивных неравенств наблюдаемости (10). За основу берутся банаховы конструкции для сумм X + Y и пересечений X П Y пространств X, Y из [12] и модифицируются для того, чтобы в случае гильбертовых пространств X, Y их сумма X + Y и пересечение X C\Y оставались гильбертовыми. Рассматривается случай, когда гильбертово пространство Н отождествлено по Риссу со своим сопряженным, X, Y — гильбертовы пространства, каждое из которых непрерывно и всюду плотно вкладывется в Н и организованы обычные канонические вложения [105]:

ХСН~Н* СХ\ У С Я ~ Я* С Y*. (14)

В теореме 1.3 приводится аналогичное [12] отношение двойственности:

1 + Г)+ = ГпГ. (15)

В теореме 1.4 устанавливается связь между операторами Рисса Jx X* —> X, Jy Y* Y и Jx+y {X -\-Y)* —> X + У. Далее описываются два варианта разложений в сумму конкретного функционального пространства Я1 (0,1) = /), которые используются в следующих главах при выводе конструктивных неравенств наблюдаемости в задачах с граничными и зонными управлениями и наблюдениями для волнового уравнения. Роль базового гильбертова пространства Н в обоих случаях будет играть пространство Lp(0,I) измеримых интегрируемых по Лебегу с квадратом на отрезке х € [0, /] функций со скалярным произведением (/, д)ь-(о,1) = /0' p{x)f(x)g{x) dx: в котором весовая функция р{х) 6 О1 [0, Z], р{х) > 0 и которое отождествляется по Риссу со своим сопряженным: (1^(0, Z))* ~ L2p(0,l). Соответствующие этим разложениям отношения двойственности вида (15) и правила скалярного умножения в Н1(0,1) приведены в теоремах 1.5 и 1.6. Результаты первой главы, относящиеся к вариационному методу, опубликованы в [221, 130]— [132, 97, 24]. Свойства описанных в теоремах 1.5 и 1.6 разложений использовались в [25, 134]—[143, 222, 223].

В главе 2 рассматриваются приложения вариационного метода к задачам Дирихле-управления и двойственным к ним задачам Нейман-наблюдения для волнового уравнения с переменными коэффициентами. Именно с этих задач в [22] начались попытки автора построить устойчивый вычислительный алгоритм для отыскания их приближенных решений, которые привели к появлению вариационного метода. В первых двух параграфах главы 2 излагается модифицированная и более подробная версия материалов, первоначально представленных в статье [131].

Задача с двусторонними Дирихле-управлениями имеет вид: р{х) ytt = (k(x) ух)х, 0 <t<T, 0 < х < I, у\х= o = u0(t), y\x=i = ui{t), 0 <t<T, (16)

У U=o = 0, yt\t=о = 0, 0 < х < I.

Значения Т > 0, I > 0 и коэффициенты уравнения р(х) > 0, к(х) > 0, р(х), к(х) е С1 [0,2], предполагаются заданными. Требуется выбором граничных управлений и — u(t) = (uQ(t): Щ(t)) перевести систему (16) в заданное целевое состояние / = f(x) = (/°(ж), f1{x)) : у | t=T — f°(x), vt\t^r = f\x), 0 <х<1. (17)

В двойственной задаче наблюдения фазовая траектория р = p(t, х) является решением того же дифференциального уравнения с обратным течением времени и однородными граничными условиями того же типа: р(х) Ри = (к(х) рх)х, 0 <t<T, 0 <х <1, р\х=о = 0, pU=z = 0, 0 <t<T, (18)

P\t=r = v°(x), yt j t=T = -v1^), 0 <x<l.

Объектом наблюдения являются граничные значения производных по х : g0(t) = крх\х=0, gi(t) = -kPx\x=l, 0 <t<T, (19) а целью наблюдения - восстановление конечного состояния v = v(x) = (v°(x), v1(x)) процесса (18) по дополнительной информации (19) о значениях функций д = g(t) = (go(t), 31 СО)- Задачи управления (16),(17) и наблюдения (18),(19) записываются в форме взаимно сопряженных уравнений с линейными ограниченными операторами, действующими в сопряженных гильбертовых пространствах:

Au = f, А е L(H —> F), Au={y(T,x),yt(T,x)), (20)

A*v = д, А* е L(F* -> #*), A*v = (k(0)px(t, 0), -k(l)px(tj)). (21)

В § 2.1 рассматираются постановки в пространствах и е Н = L2(0,T) х L2(0, Т), feF = £2(0,1) х Н~\0, /), v€F* = Hi(0,l) xL2p(0}l), gEH* = H = L2(0,T)xL2(0,T).

Сведения о свойствах слабых и сильных обобщенных решений дифференциальных задач (16) и (18), подтверждающие корректность определений (20),(21), содержатся в [34, 51, 54, 55, 110, 111, 208, 214].

В случае уравнений с постоянными коэффициентами задачи управления (16),(17) и наблюдения (18),(19) могут быть решены аналитически в различных функциональных классах. В этом направлении в последнее время большую и плодотворную работу выполнили В.А.Ильин, Е.И.Моисеев, А.И.Егоров, Л.Н.Знаменская и др. (см. [39, 40, 45]-[48, 52]-[57, 61, 68, 69, 73, 75, 78, 79, 112, 114, 166, 167] и цитированную там литературу); при этом во многих случаях были получены исчерпывающие результаты. Для рассматриваемого в дис-сертацгш случая переменных коэффициентов интересные результаты получены А.В.Боровских, указавшим в [15], с одной стороны, достаточно конструктивную, а, с другой стороны, не совсем явную схему отыскания граничных управлений, которая, судя по всему, могла бы лечь в основу специализированной вычислительной процедуры, ориентированной на решение обратных задач для волнового уравнения, но проблемы вычислений в [15] не затрагивались. Эти проблемы являются одним из главных направлений исследований в данной диссертации, и решать их предлагается с помощью универсального вариационного метода, применение которого требует знания в (12) радиуса г шара В(г). Основным источником такой информации является для нас неравенство наблюдаемости (10), которое в классах (22) несложно получается с помощью техники, предложенной L.F.Ho в [195] для других задач с пространственно-локализованными (зонными) управлениями. В теореме 2.1 эта оценка приведена с целью предъявления явного значения постоянной // и без претензий на новизну, хотя, с другой стороны, мы не можем указать и прямую ссылку на источник, в котором эта оценка была бы выписана. В теореме 2.2 аналогичная оценка приведена для задач с левосторонними управлениями и = щ(£) £ Н = L2(0,T) и закрепленным правым концом х — I, когда ui(t) = 0, и задач с левосторонними наблюдениями, в которых g = g0(t) = kpx\x=0eL2(0,T).

В § 2.2 с помощью вариационного метода на базе конечно-разностных аппроксимаций строятся приближенные решения задач граничного Дирихле-управления и двойственных к ним задач Нейман-наблюдения. Для этого на отрезках [0, Т] и [0, /] вводятся равномерные сетки с шагами т по t и h по х, на которых, как и в [131], для дискретизации обеих дифференциальных задач (16) и (18) выбираются классические явные разностные схемы [152], для устойчивости которых шаги сетки т и h должны быть согласованными. На базе этих дискретных конструкций стоятся конечномерные взаимно сопряженные отображения А — Ат;г, А* = A*Th, действующие в тех же пространствах, что и исходные операторы А, А*. В леммах 2.1-2.3 устанавливаются важные для применимости вариационного метода свойства взаимной сопряженности операторов А и А* и свойства (5) их сильной поточечной сходимости. В теоремах 2.3 и 2.4 доказана сильная сходимость приближенных решений к точным при т, h, е —»• 0 (е - это параметр из (9)) для задач с двусторонними и односторонними граничными управлениями соответственно.

§ 2.3 посвящен случаю более регулярных граничных управлений и написан по материалам авторских публикаций [134, 135, 138, 140]. В § 2.3 граничные управления выбираются из пространства Соболева Н1(0,Т) = И^О, Т) и им соответствуют более регулярные обобщенные решения у = y(t,x) из класса W^CQt)? введенного в работах В.А.Ильина [54, 55]. Именно в этом классе для волнового уравнения с постоянными коэффициентами В.А.Ильин и Е.И.Моисеев выполнили большую часть своих исследований по отысканию явных аналитических выражений для нормальных граничных управлений на достаточно протяженных временных промежутках [54]-[57, 61, 68, 69, 73]. В случае переменных коэффициентов применимость вариационного метода существенным образом зависит от наличия неравенства наблюдаемости (10) с известным значением // > 0. При переходе к более гладкому классу граничных управлений снижается регулярность решений р двойственной задачи наблюдения, а, как известно, свойства едртнственности, к усиленным разновидностям которых относится оценка (10), в менее регулярных и более широких классах доказывать сложнее. В связи с этим в число основных результатов диссертации из § 2.3 в отличие от § 2.1 включаются также и конструктивные неравенства наблюдаемости, полученные в теореме 2.5 для задач с односторонними и в теореме 2.6 для задач с двусторонними управлениями и наблюдениями. Заметим, что при выводе неравенств наблюдаемости случаи односторонних и двусторонних управлений из Н1(О, Т) оказываются уже не столь аналогичными, как в случае управлений из L2(0, Т). В более сложном случае двусторонних управлений существенно используется теорема 2.5 в комбинации с одним из разложений пространства целевых состояний 771(0, /), заготовленных в § 1.3, и соответствующим ему отношением двойственности (15). В теоремах 2.7 и 2.8 доказывется сильная сходимость приближенных решений двойственных задач с более гладкими управлениями и двойственных к ним задач наблюдения для односторонних и двусторонних постановок соответственно.

В § 2.4 рассматриваются задачи с односторонними и двусторонними Дирихле-управлениями из пространства Соболева, в которых в заданный конечный момент Т управляемую систему требуется перевести либо в состояние f°(x) с неважно какой скоростью /1(ж), либо требуется вывести систему на скоростной режим /1(гс), не заботясь при этом о ее фазовой позиции /°(ж). В теореме 2.9 представлено неравенство наблюдаемости для задач с односторонними, а в теореме 2.10 - для задач с двусторонними управлениями и наблюдениями. Основные отличия задач с ослабленными целями от их аналогов с полным целевым набором (17) сводятся фактически к уменьшению в два раза значения порогового момента управляемости-наблюдаемости. Все остальные изменения столь естественны, что мы решили во избежание повторов не выходить в диссертации за рамки затронутой в [135] проблематики и не обсуждать подобные постановки ни для задач из § 2.1 с менее регулярными граничными Дирихле-управлениями из L2(0, Г), ни в последующих главах для задач с управлениями и наблюдениями других типов, а также и вопросы аппроксимации таких задач.

В главе 3, написанной по материалам публикаций [127,129,136]—[140,222], вариационный метод применяется к задачам граничного управления и наблюдения для волнового уравнения с переменными коэффициентами и краевыми условиями второго и третьего рода. Задача с двусторонними управлениями и целевыми условиями (17) имеет вид р(х) Уи = (k{x) ух)х, 0 <t<T, 0 <х <1, -кух-\-а0у\ = u0(t), кух + спу\ x=l = ui{t), 0 <t<T, (23) УI t=o = 0, yt 14=0 = 0, 0 < х < I.

Двойственная к ней задача наблюдения описывается системой

Р{х) Pit = (к(х) Vx)xr 0 <t<T, 0 <х<1, -kpx + crop\x=o = 0, kpx + aip\xssi = 01 0 < t < Г, (24) p\t=T = v°(x), pt\t=T = -и1 (я), 0'< х < г, с дополнительной граничной информацией вида p\x=o = go(t), p\x=i = gi(t), 0 <t<T.

Граничные коэффициенты.сто, (Т\ ^ 0 считаются заданными и могут обращаться в ноль вместе или по отдельности, т.е. не исключаются возможности, когда одно из краевых условий или оба они являются граничными условиями второго рода (Неймана). Для уравнений с постоянными, коэффициентами р(х) и к(х) и граничными управлениями в условиях второго и третьего рода ряд аналитических результатов получен в работах В.А.Ильина, Е.И.Моисеева, Л.Н.Знаменской, В.В.Тихомирова, А.А.Никитина, А.А.Кулешова и др. [47, 60, 61, 71, 73, 74, 76, 77, 113, 118]-[122, 147]-[149, 154, 155].

С позиций точной управляемости и минимизации соответствующего порогового момента такие задачи для дифференциальных уравнений с младшими членами и в многомерном случае исследовались в [201], однако далеко не все результаты из [201] настолько конструктивны, чтобы можно было по ним определять и значения постоянной /г, важные для нас с вычислительной точки зрения.

В § 3.1 в теореме 3.1 получено неравенство наблюдаемости для случая управлений из нерегулярного класса и = (uo{t), ui(t)) 6 Я = (Я1(0,Т))* х (Ях(0, Т))*, которым соответствуют цели согласованной степени гладкости / = (/°(я), f\x)) е F = 1/2(0,/) х (Ях(0,/))*. В диссертации это неравенство представлено в несколько измененном по сравнению с первоначальной версией из [129] виде, выбранном с учетом опыта, приобретенного позже в [136]—[139]. При этом, как и в главе 2, за основу берется конструкция мультипликатора, предложенная L.F.Ho [195] для задач с управлениями другого типа.

В § 3.2 рассматривается более сложный для вывода неравенств наблюдаемости случай задачи (23),(17) с более регулярными управлениями и целями: и = (uo(t),u!(*)) е я = L2(0,T) х L2(0,T), f = (f°(x), f^x)) e F = H1(0,1) x L2{0, l). В этом случае оператор управления А действует по правилу (20), а оператор наблюдения - по правилу

A*v = (p(t, 0), p(t, /)), 0 < t < Т, A* G L(F* Н*), F* = L2p{0,1) х (Ях(0, /))*, Н* = Н = L2{0, Т) х L2(0, Т).

В теореме 3.2 представлено соответствующее этим пространствам конструктивное неравенство наблюдаемости. Далее рассматривается случай односторонних управлений, когда в (23) u\{t) = 0. В этом случае неравенства наблюдаемости доказываются отдельно в теореме 3.3 для больших, а в теореме 3.4 для малых значений коэффициента <j\ > 0 на ненаблюдаемом конце х = I. Из этих результатов в теореме 3.5 конструируется неравенство наблюдаемости для случая произвольных > 0. В случае постоянных р(х). к(х) значения пороговых моментов в теоремах 3.3 и 3.4 оказываются лишь асимптотически оптимальными при сг\ —» +оо и (Т\ —» 0, когда правое граничное условие приближается по типу к условию Дирихле и Неймана соответственно. Для умеренных значений а\ значение порогового момента заметно отклоняется от оптимального, а структура постоянной fi усложняется, не теряя при этом конструктивности.

В § 3.3 с помощью вариационного метода строятся приближенные решения двойственных задач управления и наблюдения для нерегулярных управлений и = (uo(t), ui{t)) еН= (Ях( 0, Т))* х (Ях( 0, Т))* в теореме 3.6 и для регулярных управлений и = (uQ(t), ui(t)) е Я — L2(0,T) х L2(0,T) в теореме 3.7. В обоих случаях сильная сходимость устанавливается только для задач двустороннего типа, в которых постоянные /1 имеют более простую конструкцию.

В главе 4 рассматриваются задачи управления того же вида, что и в [195]: р{х) уи = (k(x) ух)х + Bu(t, ж), (t, x)eQ = (О, Т) х (О, I),

У U=o = 0, у\а^ = о, 0 <t<T, (25) у |t=o = 0, yt |i=0 = 0, 0 < х < Z, с зонными управлениями, однородными граничными условиями Дирихле и целями (17). Областью приложения управляющих воздействий и = u(t, х) является содержащаяся в Q зона Q = (О, Т) xw прямоугольной формы, ограниченная по х промежутком ш = с заданными границами Q<I1<I2<I. На части Q \ Г2 прямоугольника Q, находящейся за пределами зоны Г2, оператор В доопределяет значения u(t, х) нулями.

В § 4.1 выводятся конструктивные неравенства наблюдаемости для управлений из нерегулярных классов иеЯ=(Я1(П)Г и иеН = Ь2(0,Т](Н1(ш)У).

Таким управлениям соответствуют целевые состояния / = (/°(ж), fL(x)) е L2(0,/)х € Я-1(0,1). Сопряженная система имеет вид (18), а в роли наблюдений выступают значения ее решения p(t,x) в зоне Q. Оператор наблюдения А* е L(F* Я*), F* = #£(0,1) х L2(0,0, действует по правилу

A*v = (B*p)(t,x), (t,x) efi, с участием оператора сужения В*, сопряженного к оператору продолжения В из (25). Конструктивное неравенство наблюдаемости в случае, когда и € (Hl(Q))*, фактически было получено в [195], а в статье [94] и в диссертации в теореме 4.1 оно приводится для удобства последующего применения вариационного метода. В более сложном случае, когда и G Ь2(0, Г; (Я1 (а;))*), L.F.Ho в [195] удалось сохранить значение порогового момента Т*. но значение fi перешло при этом из категории известных в категорию существующих, чего было вполне достаточно для достижения главной цели L.F.Ho - доказательства точной управляемости. В теореме 4.2 для случая и € L2(0,T; (Ях(а;))*) получено неравенство наблюдаемости, в котором значение постоянной /а определяется конструктивно и зависит от параметра а > 0. Этот параметр теоретически может быть сколь угодно малым и играет роль скачка в точках разрыва x — linx = l2 предложенного нами мультипликатора. От параметра а зависит также и пороговый момент Т*(а;), причем при а —» 0 значение

Т*(а) будет стремиться к оптимальному значению, которое в случае постоянных коэффициентов равно Т*(0) = 2 max{Zi, I — /2}.

В § 4.2 конструктивное неравенство наблюдаемости выводится для слабых решений системы, сопряженной к задаче (25) с регулярными управлениями u(t,x) Е L2(H), при которых пространством целевых функций становится F = Hq(0,1) х Ь2р(0,1). Здесь нам пришлось использовать и разрывный мультипликатор, и процедуру сглаживания нерегулярных решений и второе из заготовленных в § 1.3 специальных разложений пространства целевых состояний fQ(x). Соответствующий результат сформулирован в теореме 4.3, в которой зависимость постоянной [1 от параметра а не теряет конструктивность, а ее усложнения по сравнению с теоремой 4.2 имеют чисто технический характер.

В § 4.3 с помощью вариационного метода строятся приближенные решения задач (25),(17) с зонными управлениями из (Я1 (О))*, а также двойственных к ним задач зонного наблюдения. Как уже отмечалось, вывод неравенств наблюдаемости усложняется по мере сужения класса управлений, которое сопровождается расширением множества решений сопряженной системы, но после того, как эти неравенства уже получены (в теоремах 4.1-4.3), принципиальной разницы в сложности конструкций вырабатывемых вариационным методом приближений и в доказательствах их сходимости не наблюдается. Поэтому для демонстрации возможностей вариационного метода в главе 4 был выбран только один из трех классов задач с самым широким пространством управлений (ЯХ(П))*. Соответствующий результат о сходимости приближенных решений доказан в теореме 4.4.

Результаты, представленные в теоремах 4.2-4.4, опубликованы в форме докладов на конференциях [141, 142, 223]; их журнальные версии находятся в печати. В работе [94], написанной до появления вариационного метода, были получены предварительные результаты о сильной поточечной сходимости вида (5) в задачах зонного управления и наблюдения для уравнения с постоянными коэффициентами.

В главе 5 демонстрируются возможности вариационного метода применительно к двойственным задачам граничного управления и наблюдения для дифференциального уравнения второго порядка по времени и четвертого порядка по пространству, описывающего процесс поперечных колебаний стержня (балки) и известного также под названиями «система Петровского» [216, 201] или «уравнение Эйлера-Бернулли» [214]. Присутствие в уравнении производных высокого порядка открывает широкие возможности для выбора граничных условий различных типов в различных комбинациях. Не имея намерений охватить сколь-либо систематически даже малую их часть, мы ограничиваемся в диссертации обсуждением только двух вариантов постановок в рамках опубликованных работ [133, 144, 145].

В § 5.1 рассматривается задача граничного управления смещением и изгибающим моментом на левом конце отрезка («вторая система Петровского» по терминологии [216, 201]) для уравнения с постоянными коэффициентами:

Уи + Ухххх = 0, 0 < t < Т, 0 < х < I, y\x=o = u0{t), y\x=i = 0, 0 <t<T,

-Ухх | х=0 = Ui(i), ухх I Х=1 = 0, 0 <t <Т, у | t=o = 0, yt | t=o = 0, 0 < х < L

Граничные управления и = (wo(^)j ui{t)) должны обеспечить перевод системы (26) в заданное целевое состояние (17), а оператор управления А действует по правилу (20), только в других пространствах. Действие оператора наблюдения А* описывется сопряженной системой с обратным течением времени, с таким же дифференциальным уравнением и такими же, только однородными, граничными условиями, что и в (26), и финальными условиями р \ыг = v\x), pt\t=T = -Уг(х), 0<х <1. (27)

Значения сопряженного оператора вычисляются по правилу

A*V = (-Рххх\х=0, Рх | х=0 )) 0 <t <Т.

В задаче наблюдения требуется восстановить конечное состояние v — (v°, v1) в (27) по известным значениям д = (go(t), gi(t)), где go(t) = рх\х=о, 9i(t) = —Рххх |ж=о- Задачи управления и наблюдения ставятся в пространствах иен = L2(0,Т) х (Я *(0,Г))*, feF = Н~\0,1) х V*, V е F* = V X Hj(0,I), ден* = L2{О, Т) X Н1{0, Т), где V = {f(x) £ Я3(О,/) Л Hq(0,1) | f'(O) = f"(l) = 0} - гильбертово пространство со скалярным произведением (/, д)у = /0' f''{x)gm{x) dx. Неравенство наблюдаемости (10) в этих пространствах с явным выражением для fi представлено в теореме 5.1.

Для аппроксимации обоих непрерывных процессов используются явные трехслойные разностные схемы с пятиточечным шаблоном по ж и согласованными шагами сетки. В теореме 5.2 доказывается сильная сходимость приближенных решений задачи управления (26),(17) и двойственной к ней задачи наблюдения, построенных с помощью вариационного метода. Материалы § 5.1 опубликованы в [144, 145].

В § 5.2 рассматривается задача с двусторонними граничными управлениями в старших производных для уравнения с переменными коэффициентами р(х) ytt + (к(х) ухх)хх = 0, 0 < * < Г, 0 <х <1, -к(х) ухх | ж=0 = 0, к(х) yxx\x=:i = Q, 0 < t < Т,

28)

-(k(x)yxx)x\x=0 = u0(t), (k(x)yxv)x\x=i=ui(t), 0 <t<T, УI t=o = 0, yt | t=o = 0? 0 < х < и целевыми установками вида (17). По проблемам точной управляемости для задач вида (28),(17) нам какие-либо результаты других авторов неизвестны. В двойственной1 задаче наблюдения процесс описывается системой того же вида (28), но с обратным течением времени, однородными граничными условиями и конечными условиями p\t=T = ~v°(x), pt\t=T = v1(x), 0 < х < I. (29)

Наблюдаемыми сигналами являются граничные значения самого решения:

9 = (ffo(t), 9i(i)), 9o{t) = p(t, 0), 9l(t) = p{t, I), 0 < t < Г, а искомыми являются функции и = (г>0(ж), v1(a:)) из (29). Задачи управления и наблюдения рассматриваются в пространствах и € Н = (Н\0,Т))* х (#40, Т))*, feF = 1,2(0,0 х (Я2(0,0)*, V е F* = Я2(0,0 х 1,2(0,0, ден* = Я2(0,Г) х Я^Т).

Соответствующее этим классам неравенство наблюдаемости вида (10) с явным выражением для постоянной fi получено в теореме 5.3.

Для аппроксимации также, как и в § 5.1, используется явная трехслойная разностная схема с пятиточечным шаблоном по а; и соответствующими поправками как в самой схеме, так и в условиях согласования шагов сетки, вызванными неоднородностью коэффициентов р(х) и А;(ж). В теореме 5.4 доказывается сильная сходимость приближенных решений задачи управления (28),(17) и двойственной к ней задачи наблюдения, вырабатываемых вариационным методом. Материалы § 5.2 опубликованы в [133].

Заметим, что приведенные в теоремах 5.1 и 5.3 неравенства наблюдаемости далеки от совершенства, поскольку присутствующие в них пороговые моменты отделены от оптимального значения, равного нулю [201, 210, 212]-[214, 233]. С другой стороны, нам неизвестны неравенства наблюдаемости с конструктивно определяемыми fi, в которых пороговый момент принимал бы свое оптимальное нулевое значение.

В главе 6 на простых тестовых примерах демонстрируются практические возможности вариационного метода применительно к задачам граничного Дирихле-управления для волнового уравнения с постоянными коэффициентами по схеме, описанной в главе 2. Ввиду того, что сами вычисления при применении вариационного метода как к задачам управления, так и к задачам наблюдения, организуются по однотипным схемам, рассматриваются только задачи управления. В § 6.1 тестируются задачи с управлениями из L2(0,T), а в § 6.2 - с более регулярными управлениями из пространства Соболева if1(0,T). В обоих случаях при подборе тестов с заранее известными точными нормальными решениями мы пользовались приведенными в [73] готовыми аналитическими конструкциями. Выполненное тестирование показало, что вариационный метод выдает устойчивые результаты, приближающиеся к точному решению при сгущении сетки и уменьшении амплитуды шума. Некоторые из типичных результатов расчетов представлены в таблицах и проиллюстрированы на графиках. От сравнительного тестирования нашего универсального вариационного метода и специализированных методов [178, 188]—[191, 217, 218, 225, 226, 234] мы воздерживаемся сознательно. Представленные в главе 6 результаты докладывались на конференциях [25, 140, 143, 222].

В заключении подытожен опыт рассмотренных приложений и высказаны соображения о перспективах и проблемах применения предложенного в диссертации вариационного метода к различным задачам.

Сформулируем основные результаты диссертации, выносимые на защиту, с указанием номеров содержащих их теорем.

1. Предложен вариационный метод решения линейных уравнений в сепа-рабельных гильбертовых пространствах, устойчивый к неравномерным возмущениям оператора, характерным для конечномерных аппроксимаций некомпактных линейных отображений (теорема 1.1).

2. Разработан конечношаговый алгоритм, позволяющий решать с контролируемой точностью внутреннюю для вариационного метода задачу минимизации выпуклого квадратичного функционала на шаре методом итераций по множителю Лагранжа (теорема 1.2).

3. Для волнового уравнения и уравнения колебаний балки с переменными коэффициентами получен ряд новых конструктивных неравенств наблюдаемости. Эти неравенства содержат априорную информацию, необходимую для численного решения двойственных задач управления и наблюдения для таких уравнений с помощью предложенного в работе вариационного метода (теоремы 2.5,2.6,2.9,2.10,3.1-3.5,4.2,4.3,5.1,5.3).

4. Для рассмотренных в работе двойственных задач граничного и зонного управления и наблюдения, описываемых уравнениями колебаний струны и балки, построены подчиняющиеся всем требованиям вариационного метода конечномерные аппроксимации, сохраняющие отношение двойственное™, а также описаны процедуры численного решения этих задач вариационным методом, вырабатывающие сильно сходящиеся приближения (теоремы 2.3,2.4,2.7,2.8,3.6,3.7,4.4,5.2,5.4).

Все основные положения диссертации докладывались на различных международных и всероссийских конференциях, научных школах и семинарах, в том числе на международных конференциях, посвященных 90-летию и 100-летию со дня рождения Л.С.Понтрягина в г.Москве (1998,2008), на международной конференции «Tikhonov and Contemporary Mathematics» в г.Москве (2006), на международной конференции «Дифференциальные уравнения и смежные вопросы», посвященной памяти И.Г.Петровского в г.Москве (2007), на международной конференции « Современные проблемы математики, механики и их приложений», посвященной 70-летию ректора МГУ академика В.А.Садовничего в г.Москве (2009), на всероссийских конференциях «Алгоритмический и численный анализ некорректных задач» в г.Екатеринбурге (1995,1998,2008), Воронежских математических школах «Понтрягинские чте-ния»(1994,2008), конференциях «Обратные и некорректно поставленные зада-чи»в МГУ им. М.В. Ломоносова (1995,1996,1998,2000), на российском симпозиуме с международным участием «Управление упругими колебаниями» в г.Переславле-Залесском (2006), а также многократно на Ломоносовских и Тихоновских чтениях в МГУ им. М.В. Ломоносова; на научно-исследовательских семинарах кафедры оптимального управления и кафедры математической физики факультета ВМиК МГУ им. М.В. Ломоносова, на научно-исследовательских семинарах под руководством проф. А.Г.Яголы, проф. А.Б.Бакушин-ского, проф. А.В.Тихонравова (НИВЦ МГУ), под руководством проф. Г.М.Ко-белькова, проф. В.И.Лебедева, проф. А.В.Фурсикова (Институт вычислительной математики РАН), под руководством проф. А.И.Прилепко (мехмат МГУ).

Основные результаты диссертации опубликованы в 28 работах [22]—[25, 94, 97, 127]—[145, 221]—[223], из них 12 - в изданиях, рекомендованных ВАК: [22, 94, 129, 131]—[137, 139, 145], и одна [138] - в рецензируемом журнале. Из 13 журнальных публикаций 10 выполнены без соавторов. Две статьи с соавторами [22, 94], выполненные на начальном этапе исследований, сыграли важную роль в развитии техники доказательства сильной поточечной сходимости (5) по значениям операторов и стимулировали разработку вариационого метода, обеспечивающего сходимость по их аргументам. В статье [145] соавтором являлась аспирантка, выполнявшая техническую часть работы под руководством автора данной диссертации.

Значительная часть результатов диссертации получена при финансовой поддержке РФФИ (проекты 93-012-602, 98-01-00206, 01-01-00639, 04-01-00619, 07-01-00416) и программы «Развитие научного потенциала высшей школы» (проект РНП 2.1.1.1714).

Автор выражает искреннюю благодарность акад. А.Б.Куржанскому, указавшему в начале 1990-ых гг. на нерешенные проблемы аппроксимации задач управления и наблюдения, проф. Ф.П.Васильеву за сотрудничество, внимание и поддержку на протяжении всей работы и акад. В.А.Ильину за внимание и поддержку на завершающих ее этапах.

Заключение

Подводя итоги, остановимся кратко на перспективах и проблемах применения предложенного в диссертации вариационного метода.

1. Вариационный метод представляет собой универсальный инструмент для решения любых линейных уравнений Ли = /, но в особых информационных условиях, когда искомое нормальное решение и* истокопредстави-мо: u* = A*v*, известна оценка нормы источника: ||г>*|| ^ г, а приближенные операторы к А и А* сами являются взаимно сопряженными и обладают свойствами сильной поточечной сходимости. По этим причинам принципиальные возможности применения вариационного метода выходят далеко за рамки задач управления и наблюдения, на которых было сконцентрировано внимание в данной диссертации, и могут быть реализованы во многих других обратных задачах, основу математического описания которых составляют линейные дифференциальные уравнения различных типов [2, 35, 36, 38, 50, 80, 85, 86, 90]-[92, 96, 106, 108, 125, 150, 162, 163, 168, 176, 183, 184, 205]— [207, 219, 220, 224]. Что касается задач управления и наблюдения, то и здесь перспективы вариационного метода весьма обширны: это и другие типы уравнений, управляющих воздействий, целевых установок и наблюдаемых сигналов (в § 2.4 мы лишь слегка коснулись этой проблематики).

2. Во всех рассмотренных в диссертации приложениях при аппроксимации дифференциальных уравнений мы использовали только явные разностные схемы, но ничто не мешает при желании или при необходимости использовать неявные разностные, проекционно-разностные, полудискретные и другие схемы аппроксимации [5, 10, 11, 107, 109, 152], как, например, в [94, 129]. Главное, чтобы построенные на базе этих аппроксимаций конечномерные взаимно сопряженные операторы обладали необходимыми свойствами сильной поточечной сходимости.

3. На наш взгляд, одним из главных свойств задачи, открывающим возможность применения для ее решения вариационного метода, является- наличие неравенства наблюдаемости ||А*и||2 > м1М|2 с известным и желательно негрубым значением постоянной д. Это неравенство позволяет окончательно определиться с выбором функциональных пространств, подходящих для постановки решаемой задачи и по заданной правой части уравнения находить-радиус г того шара, на котором можно применять вариационный метод. Вывод таких неравенств представляется задачей первостепенной важности. В связи с этим укажем еще раз на то, что представленные нами конструктивные неравенства наблюдаемости в главе 3 для волнового уравнения с краевыми условиями третьего рода и односторонним граничным управлением и в главе 5 для уравнения колебаний четвертого порядка далеки от совершенства из-за заметных отклонений от оптимальных полученных нами значений пороговых моментов управляемости-наблюдаемости, входящих в выражения для постоянной \±.

1. Авдонин С.А., Иванов С.А. Управляемость систем с распределенными параметрами и семейства экспонент. Киев: Изд-во Минвуза Украинской ССР, 1989. - 244 с.

2. Агошков В.И. Методы оптимального управления и сопряженных уравнений в задачах математической физики. М.: ИВМ РАН, 2003. 256 с.

3. Акуленко Л Д. Приведение упругой системы в заданное состояние посредством силового граничного воздействия // Прикл. матем. и механика. 1981. Т. 45. Вып. 6. С. 1095-1103.

4. Алифанов О.М., Артюхин Е.А., Румянцев С.В. Экстремальные методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1988. 288 с.

5. Амосов А.А., Дубинский Ю.А., Копченова Н.В. Вычислительные методы. М.: Издательский дом МЭИ, 2008. 672 с.

6. Бакушинский А.Б. Один общий прием построения регуляризующих алгоритмов для линейных некорректных уравнений в гильбертовом пространстве // ЖВМиМФ. 1967. Т. 7. № 3. С. 672-676.

7. Бакушинский А.Б., Гончарский А.В. Итеративные методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1989. 128 с.

8. Бакушинский А.В., Гончарский А.В. Некорректные задачи. Численные методы и приложения. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1989. 199 с.

9. Бакушинский А.Б., Кокурин М.Ю. Итерационные методы решения некорректных операторных уравнений с гладкими операторами. М.: Едиториал УРСС, 2002. 192 с.

10. Бахвалов Н.С. Численные методы. М.: Наука, 1975.

11. Бахвалов H.G., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М.: Наука, 1987.

12. Берг Й., Лефстрем Й. Интерполяционные пространства. Введение. М.: Мир, 1980. 264 с.

13. Бойко А.В., Нечепуренко Ю.М. Численный спектральный анализ временной устойчивости ламинарных течений в каналах постоянного сечения // ЖВМиМФ. 2008. Т. 48. № 10. С. 1731-1747.

14. Боровских А.В. Формулы граничного управления неоднородной струной. I, II. // Дифференц. уравнения. 2007. Т. 43. № 1. С. 64-89; 2007. Т. 43. № 5. С. 640-649.

15. Вайникко Г.М. Методы решения линейных некорректно поставленных задач в гильбертовых пространствах. Тарту: Изд-во Тартус. ун-та, 1982.

16. Вайникко Г.М., Веретенников А.Ю. Итерационные процедуры в некорректных задачах. М.: Наука, 1986. 182 с.

17. Васильев Ф.П. Методы решения экстремальных задач. Задачи минимизации в функциональных пространствах, регуляризация, аппроксимация. М.: Наука, 1981. 400 с.

18. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1988. 552 с.

19. Васильев Ф.П. О двойственности в линейных задачах управления и наблюдения // Дифференц. ур-ния. 1995. Т. 31. № 11. С. 1893-1900.

20. Васильев Ф.П. Методы оптимизации. М.: Изд-во Факториал Пресс, 2002. 824 с.

21. Васильев Ф.П., Куржанский М.А., Потапов М.М. Метод прямых в задачах граничного управления и наблюдения для уравнения колебаний струны // Вестн. Моск. ун-та. Сер.15, Вычисл. матем. и киберн. 1993. № 3. С. 8-15.

22. Васин В.В., Агеев А.Л. Некорректные задачи с априорной информацией. Екатеринбург: Наука, 1993. 263 с.

23. Винокуров В.А. О погрешности приближенного решения'линейных обратных задач // Доклады АН СССР. 1979. Т. 11. № 4. С. 792-793.

24. Воеводин В.В., Кузнецов Ю.А. Матрицы и. вычисления. М.: Наука, 1984. 320 "с.29: Воронов А.А. Устойчивость, управляемость, наблюдаемость. М.: Наука, 1979.

25. Гаевский X., Грегер К., Захариас К. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1978. -336 с.

26. Гапоненко Ю.Л. Некорректные задачи на слабых компактах. М.: Изд-во-МГУ, 1989. 128 с.

27. Гилязов С.Ф. Методы решения линейных некорректных задач. М.: Изд-во МГУ, 1987. 120 с.

28. Гилязов С.Ф. Приближенное решение некорректных задач. М.: Изд-во МГУ, 1995. 199 с.

29. Говоров В. М. Первая начально-краевая задача для гиперболического уравнения с граничной функцией из Ь2 // Доклады АН СССР. 1982. Т. 262. № 5. С. 1044-1047.'

30. Гусев М.И., Куржанский А.Б. Обратные задачи динамики управляемых систем. // Механика и научно-технический прогресс. Т. 1: Общая и прикладная механика. М.: Наука, 1987. С. 187-195.

31. Денисов A.M. Введение в теорию обратных задач. М.: Изд-во МГУ, 1994. 208 с.

32. Егоров А.И. Управление упругими колебаниями. // Доклады АН УССР. Сер. А. 1986. № 5. С. 60-63.

33. Егоров А. И. Основы теории управления. М.: Физматлит, 2004. 504 с.

34. Егоров А.И., Знаменская JI.H. Управляемость упругих колебаний систем с распределенными и сосредоточенными параметрами по двум границам. // ЖВМиМФ. 2006. Т. 46. № 11. С. 2032-2044.

35. Егоров А.И., Знаменская Л.Н. О граничной наблюдаемости упругих колебаний связанных объектов с распределенными и сосредоточенными параметрами // Автоматика и телемеханика. 2007. № 2. С. 95-102:

36. Егоров А.И. О наблюдаемости упругих колебаний балки. // ЖВМиМФ. 2008. Т. 48. № 5. С. 967-973.

37. Егоров А.И., Знаменская Л.Н. Об управляемости- колебаний сети из связанных объектов с распределенными и сосредоточенными!параметрами // ЖВМиМФ. 2009. Т. 49. № 5. С. 815-825.

38. Емельянов С.В., Коровин С.К., Никитина М.Г., Никитин С.В. Аппроксимативная управляемость и наблюдаемость бесконечномерных систем // Доклады АН СССР. 1990. Т. 315. № 5. С. 1052-1056.

39. Жукова О.Г. Граничное управление гиперболической системой уравнений теплопроводности // Дифференц. ур-ния. 2008. Т. 44. № 1. С. 82-88.

40. Знаменская Л.Н. Граничное управление на двух концах волновым уравнением в классе обобщенных решений из Ь2 // Доклады РАН. 2001. Т. 380. № 6. С. 746-748.

41. Знаменская Л.Н. Управление колебаниями струны в классе обобщенных решений из Ь2 // Дифференц. ур-ния. 2002. Т. 38. № 5. С. 666-672.

42. Знаменская Л.Н. Управление упругими колебаниями. М.: Физматлит, 2004. 176 с.

43. Знаменская Л.Н. Наблюдаемость упругих колебаний систем с распределенными и сосредоточенными параметрами по двум границам // ЖВМиМФ. 2007. Т. 47. № 6. С. 944-954.

44. Иванов,В.К., Васин-В.В., Танана В.П. Теория линейных некорректных задач и ее приложения. М.: Наука, 1978. 206 с.

45. Иванов В.К., Мельникова И.В., Филинков А.И. Дифференциально-операторные уравнения и некорректные задачи. М.: Наука. Физматлит, 1995. 176 с.

46. Ильин В.А. О разрешимости смешанных задач для гиперболических и параболических уравнений // Успехи матем. наук. 1960. Т. XV. Вып. 2(92). С. 97-154.

47. Ильин В.А. Волновое уравнение с граничным управлением на двух концах за произвольный промежуток времени: // Дифференц. ур-ния. 1999. Т. 35. № 11. С. 1517-1534.

48. Ильин В.А. Волновое уравнение с граничным условием на одном конце при закрепленном втором конце. // Дифференц. ур-ния. 1999. Т. 35. № 12. G. 1640-1659.

49. Ильин В.А. Граничное управление процессом колебаний на двух-концах в терминах обобщенного решения волнового уравнения с конечной энергией // Дифференц. ур-ния. 2000: Т. 36: № 11. С. 1513-1528.

50. Ильин В.А. Граничное управление процессом колебаний на одном конце при закрепленном втором конце в, терминах обобщенного решения волнового уравнения с конечной энергией // Дифференц. ур-ния. 2000. Т. 36. № 12. С. 1670-1686.

51. Ильин В. А. Граничное управление процессом колебаний струны на двух концах приусловии существования конечной энергии1 // Доклады РАН. 2001. Т. 375. № 3. С. 295-299.

52. Ильин В.А. Граничное управление процессом колебаний струны на одном конце при закрепленном втором конце и при условии существования конечной энергии // Доклады РАН. 2001. Т. 378. № 6. С. 743-747.

53. Ильин В.А. Граничное управление сферически симметричными колебаниями трехмерного шара // Труды матем. ин-та им. В.А. Стеклова. 2001. Т. 232. С. 144-155.

54. Ильин В. А. О граничном управлении процессом, описываемым уравнением k{x) k{x)ux(x,t).x utt(x,t) = 0 // Доклады РАН. 2002. Т. 386. № 2. С. 156-159.

55. Ильин В.А. Оптимальное граничное управление упругой силой на одном конце при закрепленном втором конце и отвечающее ему распределение полной энергии струны // Доклады РАН. 2005. Т. 400. № 6. С. 731-735.

56. Ильин В.А. Задачи теории граничного управления. Избранные труды В.А. Ильина, том 2. М.: Изд-во МАКС-Пресс, 2008. С. 430-661.

57. Ильин В.А. Независимость оптимальных граничных управлений колебаниями струны от выбора точки согласования начальных и финальных условий // Доклады РАН. 2008. Т. 420. № 1. С. 18-21.

58. Ильин В.А. Аналитический вид оптимального граничного управления^ смещением на одном конце струны с модельным нелокальным граничным условием одного из четырех типов // Доклады РАН. 2008. Т. 420. № 3. С. 309-313.

59. Ильин В.А. Оптимизация граничного управления упругой силой на одном конце струны с модельным нелокальным граничным условием одного из четырех типов // Доклады РАН. 2008. Т. 420. № 4. С. 442-446.

60. Ильин В.А. Граничное управление смещением на одном конце струны при наличии нелокального граничного условия одного из четырех типов и его оптимизация // Дифференц. ур-ния. 2008. Т. 44. № 11. С. 14871498.

61. Ильин В. А. Граничное управление упругой силой на одном конце струны при наличии модельного нелокального граничного условия одного из четырех типов и его оптимизация // Дифференц. ур-ния. 2009. Т. 45. № 4. С. 586-596.

62. Ильин В.А., Моисеев Е.И. О граничном управлении на одном конце процессом, описываемым телеграфным уравнением // Доклады РАН. 2002. Т. 387. № 5. С. 600-603.

63. Ильин В.А., Моисеев Е.И. Оптимальное граничное управление смещением на одном конце при закрепленном втором конце и отвечающее ему распределение полной энергии струны. // Доклады РАН. 2004. Т. 399. № 6. С. 727-731.

64. Ильин В.А., Моисеев Е.И. Оптимальное граничное управление смещением на двух концах и отвечающее ему распределение полной энергии струны. // Доклады РАН. 2005. Т. 400. № 1. С. 16-20.

65. Ильин В.А., Моисеев Е.И. Оптимальное граничное управление смещением на одном конце при свободном втором конце и отвечающее ему распределение полной энергии струны. // Доклады РАН. 2005. Т. 400.* № 5. С. 587-591.

66. Ильин В.А., Моисеев Е.И. Оптимизация граничного управления упругой силой на двух концах струны // Доклады РАН. 2005. Т. 402. № 2. С. 163-169.

67. Ильин В.А., Моисеев Е.И. Оптимизация комбинированного граничного управления колебаниями струны упругой силой на одном конце и смещением на другом конце // Доклады РАН. 2005. Т. 402. № 5. С. 590-596.

68. Ильин В.А., Моисеев Е.И. Оптимизация граничных управлений колебаниями струны // Успехи матем. наук. 2005. Т. 60. Вып. 6. С. 89-114.

69. Ильин В.А., Моисеев Е.И. Оптимальное граничное управление упругой силой на одном конце при свободном втором ее конце // Дифференц. ур-ния. 2005. Т. 41. № 1. С. 105-115.

70. Ильин В.А., Моисеев Е.И. Оптимизация за произвольный достаточно большой промежуток времени граничного управления колебаниями струны упругой силой // Дифференц. ур-ния. 2006. Т. 42. № 12. С. 16991711.

71. Ильин В.А., Моисеев Е.И. Оптимизация управления на двух концах струны упругими граничными силами за любой достаточно большой промежуток времени // Дифференц. ур-ния. 2008. Т. 44. № 1. С. 89110.

72. Ильин В.А., Тихомиров В.В. Волновое уравнение с граничным управлением на двух концах и задача о полном успокоении колебательного процесса // Дифференц. ур-ния. 1999. Т. 35. № 5. С. 692-704.

73. Ильин В.А., Тихомиров В.В. Волновое уравнение с краевым управлением // Дифференц. ур-ния. 1999. Т. 35. № 1. С. 137-138.

74. Ишмухаметов А.З. Вопросы устойчивости и аппроксимации задач оптимального управления системами с распределенными параметрами. М.: Изд-во ВЦ РАН, 2001.

75. Канторович JI.B., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1984. 752 с.

76. Кокурин М.Ю. Операторная регуляризация и исследование нелинейных монотонных задач. Йошкар-Ола: Изд-во Марийского госуд. ун-та, 1998. 292 с.

77. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1976. 544 с.

78. Корнейчук Н.П. Сплайны в теории приближений. М.: Наука, 1984. -352 с.

79. Коровин С.К., Фомичев В.В. Наблюдатели состояния для линейных систем с неопределенностью. М.: Физматлит, 2007. 224 с.

80. Короткий А.И., Осипов Ю.С. Динамическое моделирование параметров в гиперболических системах // Изв. АН СССР, Технич. кибернетика. 1991. № 2. С. 154-164.

81. Костоусова Е.К. О свойстве слабой наблюдаемости для одномерного волнового уравнения при точечном нестационарном операторе наблюдения // Дифференц. ур-ния. 1991. Т. 27. № 8. С. 1318-1325.

82. Красносельский М.А., Вайникко Г.М., Забрейко П.П., Рутицкий Я.В., Стеценко В.Я. Приближенное решение операторных уравнений. М.: Наука, 1969. 456 с.

83. Крейн С.Г. Линейные уравнения в банаховом пространстве. М.: Наука, 1971. 104 с.

84. Кряжимский А.В., Осипов Ю.С. Устойчивые решения обратных задач динамиики управляемых систем // Труды матем. ин-та АН СССР. 1988. Т. 185. С. 126-146.

85. Куржанский А.В. Управление и наблюдение в условиях неопределенности. М.: Наука, 1977.

86. Куржанский А.В., Сивергина И.Ф. Метод гарантированных оценок и задачи регуляризации для эволюционных систем, j j ЖВМиМФ. 1992. Т. 32. № 11. С. 1720-1733.

87. Куржанский М.А. О конечномерной аппроксимации задачи наблюдения и управления для гиперболической системы. // Вестн. Московск. ун-та, Сер. 15. Вычисл. матем. и киберн. 1992. № 3. С. 28-33.

88. Куржанский М.А., Потапов М.М., Разгулин А!В. Проекционная схема метода прямых в задачах зонного управления и наблюдения для уравнения колебаний струны // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15, Вычисл. матем. и киберн. 1994. № 3. С. 29-35.

89. Лаврентьев М.М. О некоторых некорректных задачах математической физики. Новосибирск: Изд-во СО АН СССР, 1962. 96 с.

90. Лаврентьев М.М., Романов В.Г., Шишатский С.П. Некорректные задачи математической физики и анализа. М.: Наука, 1980. 286 с.

91. Лаврухин А.В., Потапов М.М. Об аппроксимации нормального псевдорешения при отсутствии информации об уровнях погрешностей // Тез. докл. конфер. "Обратные и некорректно поставленные задачи". М.: Изд-во "Диалог-МГУ 1998. С. 47.

92. Леонов А.С. Метод минимальной псевдообратной матрицы: теория и численная реализация // ЖВМиМФ. 1991. Т. 31. № 10. С. 1427-1443.

93. Леонов А. С. О квазиоптимальном выборе параметра регуляризации в методе М.М. Лаврентьева // Сибирский матем. журнал. 1993. Т. 34. № 4. С. 117-126.

94. Леонов А. С. О псевдооптимальном выборе параметра в методе регуляризации А.Н. Тихонова // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15, Вычисл. матем. и киберн. 1995. № 1. С. 40-44.

95. Леонов А. С. 06 использовании функций нескольких переменных с ограниченной вариацией для кусочно-равномерной регуляризации некорректных задач // Доклады РАН. 1996. Т. 351. № 5. С. 592-595.

96. Леонов А. С. Замечания к методу минимальной псевдообратной матрицы // ЖВМиМФ. 1998. Т. 38. № 7. С. 1085-1090.

97. Леонов А. С. О сходимости по полным вариациям регуляризующих алгоритмов решения некорректно поставленных задач // ЖВМиМФ. 2007. Т. 47. № 5. С. 767-783.

98. Леонов А. С., Ягола А.Г. Можно ли решить некорректную задачу без знания погрешностей данных? // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 3. Физика, Астрономия. 1995. Т. 36. № 4. С. 28-33.

99. Лионе Ж.-Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения. М.: Мир, 1971. 372 с.

100. Максимов В.И. Задачи динамического восстановления входов бесконечномерных систем. Екатеринбург: Изд-во ИММ УрО РАН, 2000.

101. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1989.

102. Марчук Г.И. Сопряженные уравнения и анализ сложных систем. М.: Наука, 1992.

103. Марчук Г.И., Агошков В.И. Введение в проекционно-сеточные методы. М.: Наука, 1981.

104. Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М.: Наука, 1983.

105. Михлин С.Г. Линейные уравнения в частных производных. М.: Высшая школа, 1977.

106. Моисеев Е.И. Оптимальное граничное управление смещением в W1 струной со свободным концом // Дифференц. ур-ния. 2008. Т. 44. № 5. С. 709-711.

107. Моисеев Е.И., Тихомиров В.В. О волновом процессе с конечной энергией при заданном граничном режиме на одном конце и упругом закреплении на другом конце // Нелинейная динамика и управление. Вып. 5. Сб. статей. М.: Физматлит, 2006. С. 141-148.

108. Моисеев Е.И., Холомеева А.А. Оптимизация граничного управления в классе колебаниями струны задачи возбуждения с закрепленным концом // Дифференц. ур-ния. 2009. Т. 45. № 5. С. 741-745.

109. Морозов В.А. Регулярные методы решения некорректных задач. М.: Изд-во МГУ, 1974. 360 с.

110. Морозов В.А. Регулярные методы решения некорректно поставленных задач. М.: Наука, 1987. 240 с.

111. Морозов В.А. Методы регуляризации неустойчивых задач. М.: Изд-во МГУ, 1987. 216 с.

112. Нестеренко Ю.Р. О смешанной задаче для волнового уравнения с краевыми условиями третьего рода // Доклады РАН. 2009. Т. 426. № 1. С. 29-31.

113. Никитин А.А. Граничное управление третьим краевым условием // Автоматика и телемеханика. 2007. № 2. С. 120-126.

114. Никитин А.А. Минимизация интеграла от линейной комбинации граничного управления и его первообразной, производимыми третьим краевым условием // Доклады РАН. 2007. Т. 417. № 6. С. 743-745.

115. Никитин А.А. О смешанной задаче для волнового уравнения с третьим и первым краевыми условиями // Дифференц. ур-ния. 2007. Т. 43. № 12. С. 1692-1700.

116. Никитин А.А., Кулешов А.А. Оптимизация граничного управления, производимого третьим краевым условием // Дифференц. ур-ния. 2008. Т. 44. № 5. С. 681-690.

117. Никольский М.С. Идеально наблюдаемые системы. // Доклады АН СССР. 1970. Т. 191. № 6. С. 1224-1227.

118. Осипов Ю.С., Васильев Ф.П., Потапов М.М. Основы метода динамической регуляризации. М.: Изд-во МГУ, 1999. 237 с.

119. Осипов Ю.С., Кряжимский А.В., Максимов В.И. Задачи динамической регуляризации для систем с распределенным параметрами. Свердловск: Изд-во ИММ УрО АН СССР, 1991.

120. Потапов М.М. Об устойчивом методе решения операторного уравнения при наличии ограничения // Доклады АН СССР. 1990. Т. 313. № 6. С. 1352-1355.

121. Потапов М.М. О методе прямых в задачах граничного Нейман-управления и Дирихле-наблюдения для волнового уравнения // Тез. докл. весенней воронежской математической школы "Понтрягинские чтения V". Воронеж: Изд-во ВГУ, 1994. С. 118.

122. Потапов М.М. Об аппроксимации второй и третьей краевых задач пространственно-локализованного управления и наблюдения для уравнения колебаний // Тез. докл. конференции "Обратные и некорректно поставленные задачи". М.: Изд-во Моск. ун-та, 1995. С. 38.

123. Потапов М.М. Метод прямых в задачах граничного управления и наблюдения для гиперболического уравнения с краевыми условиями второго и третьего рода // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15, Вычисл. матем. и киберн. 1996. № 2. С. 35-41.

124. Потапов М.М. Устойчивый метод решения линейных уравнений^ поточечно возмущенным оператором,// Тез. докл. всероссийской науч. кон-фер. "Алгоритмический анализ некорректных задач". Екатеринбург: Изд-во УрГУ, 1998. С. 204-205.

125. Потапов М.М. О сильной сходимости разностных аппроксимаций задач граничного управления и наблюдения для волнового уравнения // ЖВМиМФ. 1998. Т. 38. № 3. С. 387-397.

126. Потапов% М.М. Устойчивый^ метод решения линейных уравнений с неравномерно возмущенным оператором // Доклады РАН. 1999. Т. 365. № 5. С. 596-598.

127. Потапов М.М. Приближенное'решение задач граничного управления и наблюдения для уравнения поперечных колебаний стержня // ЖВМ и МФ. 2005. Т. 45. № 6. С. 1015-1032:

128. Потапов М.М. Аппроксимация задачи Дирихле-управления и двойственной задачи с нерегулярными Нейман-наблюдениями для волнового уравнения // Доклады РАН. 2006. Т. 408. № 5. С. 596-600.

129. Потапов М.М. Приближенное решение задач Дирихле-управления для волнового уравнения в классах Соболева и двойственных к ним задач наблюдения // ЖВМ и МФ. 2006. Т. 46. № 12. С. 2191-2208.

130. Потапов М.М. Наблюдаемость нерегулярных решений задачи Неймана для волнового уравнения с переменными коэффициентами // Доклады РАН. 2007. Т. 412. № 6. С. 747-752.

131. Потапов М.М. Наблюдаемость нерегулярных решений третьей краевой задачи для волнового уравнения с переменными коэффициентами // Доклады РАН. 2007. Т. 414. № 6. С. 738-742.

132. Потапов М.М. Об уточнении порогового момента в задачах с двусторонними управлениями и наблюдениями для волнового уравнения // Вычислительные методы и программирование. 2007. Т. 8. № 1. С. 151157.

133. Потапов М.М. Разностная аппроксимация задач Дирихле-наблюдения слабых решений волнового уравнения с краевыми условиями третьего рода // ЖВМ и МФ. 2007. Т. 47. № 8. С. 1323-1339.

134. Потапов М.М. Устойчивая аппроксимация оптимальных Дирихле-управлений для волнового уравнения //В кн. "Современные проблемы математики, механики и их приложений. Материалы международной конференции, посвященной 70-летию ректора МГУ академика

135. B.А.Садовиичего. М.: Изд-во "Университетская книга 2009. - 416 с.1. C. 192.

136. Потапов М.М., Костикова О. Р. Конечномерная аппроксимация двойственных задач управления и наблюдения для уравнения колебаний 4-го порядка // Тез. докл. шестой конфер. "Обратные и некорректно поставленные задачи". М.: Изд-во ООО "МАКС Пресс2000. С. 62.

137. Потапов М.М., Костикова О. Р. Разностная аппроксимация задач управления и наблюдения для уравнения колебаний четвертого порядка // Вести. Моск. ун-та. Сер.15, Вычисл. матем. и киберн. 2003. № 1. С. 33-37.

138. Разгулин А.В. Применение проекционно-разностного метода в задачах управления и наблюдения для уравнения типа Шредингера // Вестн. Московск. ун-та, Сер. 15. Вычисл. матем. и кибернетика. 1996. № 1. С. 42-52.

139. Рево П.А., Тихомиров В.В. Граничное управление волновым процессом при упругом закреплении // Нелинейная динамика и управление. Вып. 2. Сб. статей. М.: Физматлит, 2002. С. 147-162.

140. Рево П.А., Чабакаури Г.Д. Волновое уравнение с граничным управлением на левом конце при свободном правом конце и задача о полном успокоении колебательного процесса // Дифференц. ур-ния. 2000. Т. 36. № 6. С. 806-815.

141. Рево П.А., Чабакаури ГД. Граничное управление процессом колебаний на одном конце при свободном втором конце в терминах обобщенного решения волнового уравнения с конечной энергией. // Дифференц. ур-ния. 2001. Т. 37, № 8. С. 1082-1095.

142. Романов В.Г. Обратные задачи математической физики. М.: Наука, 1984. 264 с.

143. Садовничий В. А. Теория операторов. М.: Изд-во. МГУ, 1986. 368 с.

144. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. М.: Наука, 1989. -432 с.

145. Сивергина И. Ф. Обратимость и наблюдаемость эволюционных систем. // Доклады РАН. 1996. Т. 351. № 3. С. 304-308.

146. Тихомиров, В.В. О граничном управлении» волновым уравнением при упругом закреплении // Нелинейная динамика и управление. Вып. 1. Сб. статей. М.: Физматлит, 2001. С. 155-162.

147. Тихомиров В.В. Волновое уравнение* с граничным- управлением при упругом закреплении. 1, 2. // Дифференц. ур-ния. 2002. Т. 38. № 3. С. 393-403;. № 4. С. 529-537.

148. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1979. 285 с.

149. Тихонов А.Н., Гончарский А.В., Степанов В.В., Ягола А.Г. Регуля-ризирующие алгоритмы и априорная информация. М.: Наука, 1983. -200 с.

150. Тихонов А.Н., Гончарский А.В., Степанов В.В., Ягола А.Г. Численные методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1990. 232 с.

151. Тихонов А.Н., Леонов А. С., Ягола А.Г. Нелинейные некорректные задачи. М.: Наука. Физматлит, 1995. 312 с.

152. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравненияматематической физики. М*.: Наука, 1977. 736 с.

153. Треногий В.А. Функциональный анализ. М.: Наука, 1993. -440 с.

154. Федотов A.M. Некорректные задачи со случайными ошибками в данных. Новосибирск: Наука, 1990. 280 с.

155. Фурсиков А.В. Оптимальное управление распределенными системам. Теория и приложения. Новосибирск: Научная книга, 1999.

156. Фурсиков А.В., Эмануилов О.Ю. Точная управляемость уравнений Навье-Стокса и Буссинеска // Успехи матем. наук. 1999. Т. 54. Вып. 3(327). С. 93-146.

157. Хромова Г.В. О сходимости метода Лаврентьева // ЖВМиМФ. 2009. Т. 49. № 5. С. 958-965.

158. Чабакаури Т.Д. Оптимизация граничного управления процессом колебаний струны на одном ее конце при закрепленном втором конце // Доклады.РАН. 2001. Т. 379. № 3. С. 309-312.

159. Чабакаури Т.Д. Оптимизация граничного управления процессом колебаний на одном конце при-закрепленном втором конце в случае ограниченной энергии. // Дифференц. ур-ния. 2002. Т. 38. № 2. С. 277-284.

160. Черноусъко Ф:Л. Оценивание фазового состояния, динамических систем. М.: Наука, 1988.

161. Черноусъко Ф.Л. Ограниченные управления в системах с распределенными параметрами // Прикладная матем. и механика. 1992. Т. 56. Вып. 5. С. 810-826.

162. Шафиев Р.А. Псевдообращение'операторов и некоторые приложения. Баку: Элм, 1989.

163. Эмануилов О.Ю. Граничная управляемость параболических уравнений // Матем. сборн. 1995. Т. 186. № 6. G. 109-132.

164. Эмануилов О.Ю. Граничная управляемость гиперболическими уравнениями // Сибирский матем. журнал. 2000: Т. 41. № 4. С. 944-959.

165. Avdonin S.A., Ivanov S.A. Families of Exponentials. The Method of Moments in Controllability. Problems for Distributed Parameter Systems. Cambridge University Press, 1995.

166. Alber Ya., Ryazantseva I. Nonlinear ill-posed problems of monotone type. Dordrecht: Springer, 2006. 410 p.

167. Bardos C., Lebeau G., Ranch J. Sharp sufficient conditions for the observation, control and stabilization of waves from the boudary // SIAM J. Control and Optimiz. 1992. V. 30. № 5. P. 1024-1065.

168. Belishev M.I. Recent progress in the boundary control method // Inverse Problems. 2007. V. 23. № 5. P. R1-R67.

169. A. V. Boiko A.V., Nechepurenko Yu.M. Numerical study of stability and transient phenomena of Poiseuille flows in ducts of square cross-sections j j Russ. J. Numer. Anal. Math. Modelling. 2009. V. 24. № 3. P. 193-205.

170. Castro C., Misu S., Munch A. Numerical approximation» of the boundary control for the wave equation with mixed finite elements in a square // IMA Journal of Numerical Analysis. 2008. V. 28. № 1. P. 186-214.

171. Delfour M.C., Mitter S.K. Controllability and observability for infinite-dimensional systems // SIAM J. Control. 1972. V. 10. № 2. P. 329-333.

172. Dolecki S. A classification of controllability concepts for infinite-dimensional linear systems // Control and Cybernetics. 1976. V. 5. № 2. P. 33-44.

173. Dolecki S., Russell D.L. A general theory of observation and control j j SIAM J. Control. 1977. V. 15. № 2. P. 185-220.

174. Engl H.W., Hanke M., Neubauer A. Regularization of inverse problems. Dordrecht: Kluwer, 1996. 320 p.

175. Eskin G. A new approach to hyperbolic inverse problems // Inverse Problems. 2006. V. 22. № 3. P. 815-831.

176. Eskm G. A new approach to hyperbolic inverse problems II: global step // Inverse Problems. 2007. V. 23. № 6. P. 2343-2356.

177. Fattorini H. 0. Some remarks on complete controllability // J. SIAM Control. 1966. V. 4. № 4. P. 686-694.

178. Fattorini H. 0., Russell D. L. Exact controllability theorems for linear parabolic equations in one space dimension // Arch. Rational Mech. Anal. 1971. V. 43. № 4. P. 272-292.

179. Fuhrmann P. A. Exact controllability and observability and realization theory in Hilbert space. // J. Math. Anal. & Appl. 1976. V. 53. № 2. P. 377-392.

180. Glowinski R., Li C.-H., Lions J.-L. A numerical approach to the exact boundary controllability of the wave equation (I). Dirichlet controls: Description of the numerical methods. Japan J. Appl. Math. 1990, V. 7. P. 1-76.

181. Glowinski R., Lions J. L. Exact and approximate controllability of distributed parameter systems: Part II // Acta Numerica. Camridge UK: Cambridge University Press, 1995. P. 269-378.

182. Glowinski R., He J. W., Lions J. L. On the controllability of wave models with variable coefficients: a numerical investigation // Computational and Applied Mathematics. 2002. V. 21. № 1. P. 191-225.

183. Glowinski R., Lions J. L., He J. W. Exact and approximate controllability for distributed parameter systems: a numerical approach // Encyclopedia of Mathematics and its Applications. V. 117. Cambridge UK: Cambridge University Press, 2008.

184. Groetsch C. W. The Theory of Tikhonov Regularization for Fredholm equations of the First Kind. Boston: Pitman, 1984. 104 p.

185. Hechme G., Nechepurenko Yu.M., Sadkane M. Efficient methods for computing spectral projectors for linearized Navier-Stokes equations // SIAM J. on Scient. Computing. 2008. V. 31. № 1. P. 667-686.

186. Ho L. F. Observabilite frontiere de l'equation des ondes // C.R. Acad. Sci. Paris. Ser. I Math. 1986. V. 302. P. 443-446.

187. Ho L.F. Exact controllability of the one-dimensional wave-equation with locally distributed control // SIAM J. Control and Optimizat. 1990. V. 28(3). P. 733-748.

188. Jai A. El, Pritchard A. J. Sensors and controls in the analysis of distributed systems. NY: John Wiley and Sons, 1988.

189. Klibanov M. V., Yamamoto M. Exact controllability for the time dependent transport equation // SIAM J. Control Optim. 2007. V. 46. № 6. P. 20712195.

190. Komornik V. Controlabilite exacte en un temps minimal // C.R. Acad. Sci. Paris. Ser. I Math. 1987. V. 304. P. 223-225.

191. Komornik V. Une methode generale pour la controlabilite exacte en temps minimal // C.R. Acad. Sci. Paris. Ser. I Math. 1988. V. 307. P. 397-401.

192. Komomik V. Exact controllability in short time for the wave equation j j Ann. Inst. Henri Poincare. 1989. V. 6. № 2. P. 153-164.

193. Komornik V. Exact controllability and stabilization. The multiplier method. Chichester: John Wiley and Sons; Paris: Masson, 1994.

194. Komornik V., Zuazua E. A Direct Method for the Boudary Stabilization of the Wave Equation // J. Math, pures et appl. 1990. V. 69. № 1. P. 33-54.

195. Krabs W. On moment theory and controllability of one-dimensional vibrating systems and heating processes. Berlin, Heidelberg: Springer Verlag, 1992.

196. Krabs W. Optimal Control of Undamped Linear Vibrations. Lemgo: Heldermann Verlag, 1995.

197. Kurzhanski А.В., Khapalov A. Yu. An observation theory for distributed-parameter systems // J. Math. Sys., Estimat., & Control. 1991. V. 1. № 4. P. 389-440.

198. Kurzhanski А.В., Sivergina I:F. Quasiinversion, regularisation and observability problem. Laxenburg: IIASA, 1992. WP-92-14.

199. Kurzhanski A., Valyi I. Ellipsoidal calculus for estimation and control. Boston: Birkhauser, 1997.

200. Lasiecka I., Lions J.L., Triggiani R. Nonhomogeneous boundary value problems for second order hyperbolic operators. // J. Math. Pures Appl. 1986. V. 65. P. 149-192.

201. Lasiecka I., Triggiani R. Regularity of hyperbolic equations under L2(0,T;L2(r)) boundary terms // Appl. Math, and Optimiz. 1983. V. 10. P. 275-286.

202. Lasiecka I., Triggiani R. Exact controllability of the Euler-Bernoulli equations with controls in the Dirichlet and Neumann B.C. // SIAM J. Control and Optimiz. 1989. V. 27. P. 330-373.

203. Lasiecka I., Triggiani R. Exact Controllability of the wave equation-with Neumann boundary control // Appl. Math, and Optimiz. 1989. V. 19. P. 243-290.

204. Lasiecka I., Triggiani R. Exact Controllability of the Euler-Bernoulli Equation with Boundary Controls for Displacement and Moment // Journal of Math. Anal, and Appl. 1990. V. 146. № 1. P. 1-33.

205. Lasiecka I., Triggiani R. Exact Controllability and Uniform Stabilization of Euler-Bernoulli Equations with Boundary Control Only in A iu |s j I Bollettino della Unione Matematica Italiana, Ser. 7. 1991. V. 5-B. № 3. P. 665-702.

206. Lengering G., Schmidt G. Boundary control of vibrating plate with internal damping. // Math. Methods Appl. Sci. 1989. V. 11. P. 573-586.

207. Lions J.-L. Exact controllability, stabilization and perturbations for distributed systems // SIAM Rev. 1988. V. 30. № 1. P. 1-68.

208. Munch A. A uniformly controllable and implicit scheme for the 1-d wave equation // Mathematical Modelling and Numerical Analysis. 2005. V. 39. № 2. P. 377-418.

209. Negreanu M., Zuazua E. Convergence of a multi-grid method for the controllability of 1-d wave equation // C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I. 2004. V. 338. № 5. P. 413-418.

210. Osipov Yu.S., Kryazhimskii A. V. Inverse problems for ordinary differential equation: dynamical solutions. London: Gordon and Breach, 1995.

211. Osipov Yu.S., Kryazhimskii A.V., Maksimov V.I. Dynamical inverse problems for systems with distributed parameters // J. Inv. Ill-Posed Problems. 1996. V. 4. № 4. P. 267-282.

212. Potapov M.M. Stable variational method for linear equations with nonuniform perturbations in operator // Abstracts of International Conference "Inverse and Ill-Posed Problems". Moscow: Dialog-MSU, 1996. P. 144.

213. Prilepko A.I., Orlovsky D.G., Vasin I.A. Methods for solving inverse problems in mathematical physics. Marcel Dekker, 2000.

214. Rinson M.A. Regularity and numerical solution for the exact control // PESQUIMAT. 1999. V. II. P. 73-91.

215. Rinson M.A., Garay M.Z., Miranda M.M. Numerical Approximation of the Exact Control for the String Equation // International Journal of Pure and Applied Math. 2003. V. 8. № 3. P. 349-368.

216. Russell D.L. Controllability and stabilizability theory for linear partial differencial equations: recent progress and open questions // SIAM Rev. 1978. V. 20. № 4. P. 639-739.

217. Triggiani R. Controllability and observability in Banach spaces with bounded operators // SIAM J. Control. 1975. V. 13. № 2. P. 14-27.

218. Triggiani R. Exact boundary controllability on x for the wave equation with Dirichlet control action on the boundary, and related problems // Appl. Math, and Optimiz. 1988. V. 18. P. 241-277.

219. Vainikko G. On the discretization and regularization of ill-posed problems with noncompact operators // Numer. Funct. Anal, and Optimiz. 1992. V. 13 (3&4). P. 381-396.

220. Warga J. Global directional controllability // SIAM J. Control and Optimiz. 1989. V. 27. № 5. P. 976-990.

221. Yu Т.К., Seinfeld J.H. Observability of class of hyperbolic distributed parameter systems // IEEE Trans. Automat. Control. 1971. V. 16. № 5. P. 495-496.

222. Zuazua E. Exact controllability of distributed systems for arbitrary small time // C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I. 1987. V. 804. № 7. P. 173-176.

223. Zuazua E. Propagation, observation, and control of waves approximated by finite difference methods I j SIAM Rev. 2005. V. 47. № 2. P. 197-243.