Задача Дирихле для некоторого класса эллиптических дифференциальных уравнений на римановых многообразиях тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

0 Введение

1 Краевые и внешние краевые задачи

1.1 Общие свойства эллиптических дифференциальных операторов второго порядка.

1.2 Задача Дирихле.

1.3 О задаче Дирихле на римановых многообразиях специального вида.

1.4 О взаимосвязи между разрешимостью краевой и внешней краевой задач.

1.5 О разрешимости краевых задач для уравнения Шрёдингера при изменении коэффициента с(х)

2 Ограниченные решения уравнения Шрёдингера на римановых многообразиях специального вида

2.1 О разрешимости краевых задач уравнения Шрёдингера

2.2 О разрешимости краевых и внешних краевых задач на римановых многообразиях специального вида

2.3 Примеры.

3 О поведении ограниченных решений на римановых произведениях

3.1 Некоторые краевые задачи для уравнения Шрёдингера

3.2 О разрешимости задачи Дирихле на римановых произведениях .ИЗ

Глава О Введение

В исследованиях последних десятилетий была отмечена глубокая связь между классическими проблемами теории функций, теорией решений некоторых эллиптических уравнений в частных производных второго порядка, в частности, уравнения Лапласа-Бельтрами и стационарного уравнения Шрёдингера, и геометрией римановых многообразий. Данная тематика нашла свое развитие в работах российских и зарубежных ученых математиков: М. Андерсона, Е.М. Ландиса, Л. Нирен-берга, O.A. Олейник, H.H. Уральцевой, С.Л. Соболева, Д. Сулливана, С.Т. Яу, A.A. Григорьяна, В.Г. Мазьи, В.М. Миклюкова, Н.С. Нади-рашвили, П. Ли, А.Г. Лосева и ряда других авторов. Обзор классических и современных методов теории эллиптических дифференциальных уравнений второго порядка с частными производными представлен в известных монографиях Р. Куранта, Д. Гильберта [18], O.A. Ладыженской, H.H. Уральцевой [19], Л. Хёрмандера [42], Е.М. Ландиса [20], Д. Гилбарга, Н. Трудингера [8].

Изучение эллиптических уравнений на римановых многообразиях является достаточно новым направлением в современной математике и лежит на стыке дифференциальной геометрии, математического анализа, теории случайных процессов. Истоки указанной проблематики восходят к классификационной теории двумерных некомпактных римановых многообразий и поверхностей. Важный класс проблем данного направления относится к получению теорем типа Лиувилля, утверждающих тривиальность пространства ограниченных решений некоторых эллиптических уравнений на многообразии.

Классическая теорема Лиувилля утверждает, что всякая ограниченная гармоническая в R" функция является тождественной постоянной. Однако класс полных многообразий, на которых существуют нетривиальные ограниченные гармонические функции, достаточно широк. Так, например, М.Андерсон [1] и Д.Сулливан [41] показали, что на полном односвязном многообразии с секционной кривизной, заключенной между двумя отрицательными константами, существует бесконечномерное множество нетривиальных ограниченных гармонических функций и, более того, разрешима задача Дирихле о восстановлении гармонической на таком многообразии функции по непрерывным граничным данным для случая идеальной границы.

В этой связи, важным является изучение на римановых многообразиях поведения решений уравнения Аи — Хи = О, Л = const > 0. Известно (см. [14]), что существование ненулевого ограниченного решения этого уравнения эквивалентно стохастической неполноте рассматриваемого многообразия (многообразие стохастически полно, если стохастический процесс, ассоциированный с римановой структурой многообразия, имеет бесконечное время жизни).

В работах ряда авторов П. Ли, С.Т. Яу [21], A.A. Григорьяна [10], [11], A.A. Григорьяна, Н.С. Надирашвили [12], A.A. Григорьяна, У. Хансена [13], А.Г. Лосева [23], М. Мурата [37], [38] — решались аналогичные задачи для линейных эллиптических уравнений более общих, чем уравнение Лапласа-Бельтрами, в частности, для стационарного уравнения Шрёдингера

Lu = А и — с(х)и = 0, (0.1) где с(х) — вещественнозначная неотрицательная функция.

Особый интерес представляет взаимосвязь между разрешимостью внешних краевых задач и структурными свойствами многообразия. Одним из важных результатов, относящихся к данному направлению, является теорема A.A. Григорьяна и Н.С. Надирашвили [12] об эквивалентности следующих условий: а) на римановом многообразии М существует ограниченное отличное от постоянного решение уравнения (0.1); б) на М \ В (где В — компакт в М с гладкой границей dB, М\В связно) существует ограниченное отличное от постоянного решение внешней краевой задачи Неймана

Av — c(x)v = О, —

В [12] также установлена зависимость свойств решений уравнения (0.1) на римановых многообразиях от изменения функции с{х). Доказано, что если 0 < с(х) < Ас\(х), где А — const > 0, с(х) ф 0, то из выполнения теоремы Лиувилля для уравнения А и — с{х)и — 0 следует ее выполнение и для уравнения Av — c\(x)v = 0.

По проблематике диссертационная работа относится к очерченному направлению. Целью работы является дальнейшее исследование связей между геометрическим строением некомпактных римановых многообразий и поведением ограниченных решений уравнения Шрёдингера на таких многообразиях, получение необходимых и достаточных условий разрешимости задачи Дирихле для этого уравнения на некомпактных римановых многообразиях.

В настоящей работе предлагается новый подход к постановке краевых задач на некомпактных римановых многообразиях, основанный на введении понятия класса [/] эквивалентных на многообразии М непрерывных ограниченных функций. Заметим, что в условиях, когда существует каноническая геометрическая компактификация многообразия М (например, на многообразиях отрицательной секционной кривизны), добавляющая границу на бесконечности, данный подход естественным образом приводит к постановке задачи Дирихле, как она понимается в работах [1], [38], [41], [43] и др.

Следующие результаты диссертации являются новыми.

1. Установлена взаимосвязь между разрешимостью краевых и внешних краевых задач для уравнения Шрёдингера на произвольных гладких связных некомпактных римановых многообразиях.

2. Получены условия разрешимости краевых задач на произвольных некомпактных римановых многообразиях при изменении функции с(х) в уравнении (0.1).

3: Получены необходимое и достаточное условия разрешимости задачи Дирихле на римановых многообразиях, имеющих концы специального вида.

Наряду с широким применением техники априорных оценок решений эллиптических уравнений второго порядка в работе используются теоретико-функциональные методы, связанные с исследованием поведения решений уравнения Шрёдингера на римановых многообразиях специальноо вида.

Основные результаты диссертации докладывались на IV Международной конференции женщин-математиков (г. Волгоград, 1996 г.), на Всероссийских школах-конференциях "Алгебра и анализ" (г. Казань, 1997 г.), "Современные проблемы теории функций и их приложения" (г. Саратов, 1998 г.), "Современные методы в теории краевых задач" (г. Воронеж, 1998 г.), на научных конференциях молодых ученых Волгоградской области (1995, 1996, 1998 гг.), на "Международной конференции по анализу и геометрии" (г. Новосибирск, 1999 г.), на научных конференциях профессорско-преподавательского состава ВолГУ (1997-1999 гг.), на научном семинаре ИМ СО РАН (апрель, 1996 г., рук. проф. Копылов А.П.), в разное время на семинарах ВолГУ "Нелинейный анализ" (рук. проф. Миклюков В.М.) и "Эллиптические дифференциальные уравнения второго порядка на римановых многообразиях" (рук. проф. Ткачев В.Г.).

Работа " О поведении ограниченных решений уравнения Шрёдингера на римановых многообразиях" на IV Межвузовской конференции студентов и молодых ученых Волгоградской области по направлению "Физика и математика" заняла призовое место.

Основные результаты опубликованы в [25]- [35]. Все результаты из совместных статьей, использованные автором в диссертации, получены им самостоятельно.

Диссертация состоит из введения и трех глав. В первой главе вводятся понятия краевой и внешней краевой задач для уравнения Шрёдингера на произвольном гладком связном некомпактном рима-новом многообразии М и установливается взаимосвязь между разрешимостью краевых и внешних краевых задач. Кроме того, в первой главе получены условия разрешимости краевых задач в зависимости от изменения коэффициента с(х) в уравнении (0.1). Во второй и третьей

главах изучается поведение ограниченных решений уравнения (0.1) на римановых многообразиях специального вида, рассматривается вопрос о постановке и разрешимости задачи Дирихле на таких многообразиях.

Перейдем к точным формулировкам.

В работе изучается поведение ограниченных решений уравнения (0.1), где с(х) >0 — гладкая на римановом мнгогообразии функция.

Пусть М — произвольное гладкое связное некомпактное римано-во многообразие без края, {Bk}kLi — исчерпание многообразия М, то есть последовательность предкомпактных открытых подмножеств ри-манова многообразия М таких, что В к С Bk+ь М = U^-B*.

Пусть fi(x) и /2(х) непрерывные ограниченные на М функции. Будем говорить, что функции fi(x) и /2(2:) эквивалентны на М и обозначать f\(x) ~ /2(ж), если для некоторого исчерпания {Bk}kLi многообразия М выполнено lim ||/i(:e) - /2(3?)| \c°(M\Bk) = к—^ОО где \\f(x)\\c%G) = supG

Введенное понятие не зависит от выбора исчерпания. Класс эквивалентных / функций будем обозначать через [/].

Пусть В С М — произвольное компактное подмножество с гладкой границей и В С Дь для всех к. Ясно, что отношение эквивалентности характеризует поведение функций вне произвольного компакта G С М, и, если изменить значение функции лишь на компакте, то новая функция будет эквивалентна исходной.

Будем говорить, что для уравнения (0.1) на М разрешима краевая задача с граничными условиями из класса [/], если на М существует решение и{х) уравнения (0.1) такое, что и Е [/].

Будем говорить, что для уравнения (0.1) на М\В разрешима внешняя краевая задача с граничными условиями из класса [/], если для любой непрерывной на dB функции Ф(ж) на М\В существует решение и(х) уравнения (0.1) такое, что и Е [/] и и\дв =

Заметим, что если многообразие М имеет компактный край дМ, то данная постановка краевой задачи эквивалентна классической постановке задачи Дирихле.

Пусть {.В^}^! — исчерпание многообразия М с гладкими границами дВк. Обозначим Vk — решение уравнения (0.1) в Bk\B, удовлетворяющее условиям ч\дВ = *к\двк = Последовательность функций сходится на М \ В к решению уравнения (0.1)

V = Нт г^, 0 < V < 1, у\дв = 1. к—* оо

При этом функция V не зависит от выбора исчерпания {Д^}^.

Функцию V будем назвать Ь-потенциалом компакта В относительно многообразия М.

Для уравнения Лапласа-Бельтрами функция V есть не что иное, как емкостный потенциал компакта В относительно многообразия М (см. [9], [11]).

Многообразие М будем называть многообразием параболического типа, если для некоторого компакта В его емкостный потенциал тождественно равен 1. Многообразие, на котором существует нетривиальный емкостный потенциал, будем называть многообразием непараболического типа.

Если многообразие М устроено так, что внешность некоторого компакта В С М состоит из р компонент связности ., с некомпактными замыканиями, то для каждой области £),• понятие парабо-личности и непараболичности типа определяется аналогичным образом.

Многообразие М будем называть Ь-строгим многообразием, если для некоторого компакта О С М существует ¿-потенциал V такой, что V £ [0], (если Ь=А, то многообразие будем называть А-строгим).

Будем говорить, что многообразие М является Ь-точным, если на нем существует решение и уравнения (0.1), удовлетворяющее условию и е [1].

В первой главе диссертационной работы устанавливается взаимосвязь между разрешимостью краевых и внешних краевых задач для уравнения (0.1) на М. Основные результаты главы содержатся в следующих утверждениях.

Теорема 1.1. Пусть на М \ В для любой постоянной на дВ функции Ф(х) существует решение и(х) уравнения (0.1) такое, что и Е [/] и u\dB — Тогда на М для уравнения (0.1) разрешима краевая задача с граничными условиями из того же класса.

Следствие 1.3. Пусть на М \ В для уравнения (0.1) разрешима внешняя краевая задача с граничными условиями из класса [/]. Тогда на М для уравнения (0.1) разрешима краевая задача с граничными условиями из того же класса.

Теорема 1.2. Пусть на L-строгом многообразии М для уравнения (0.1) разрешима краевая задача с граничными условиями из класса [/]. Тогда на М\В разрешима внешняя краевая задача с граничными условиями из класса [/].

Далее в первой главе наряду с уравнением (0.1) рассматривается уравнение

L\u = Au — Ci(x)u = 0, (0.2) где 0 < а(х) < с(х), с{х) — гладкая на М функция.

В [12] доказано, что из выполнения теоремы Лиувилля для уравнения L\u = 0 при С\(х) ф. 0 следует ее выполнение и для уравнения Lu = 0.

Многие результаты настоящей работы можно охарактеризовать следующим образом. Очевидно, что выполнение на многообразии М теоремы Лиувилля для данного эллиптического уравнения автоматически влечет тривиальность класса решений краевых задач для ограниченных решений этого уравнения, в том числе и задачи Дирихле. В этой связи интерес представляют задача о массивности класса граничных данных, допустимых для разрешимости краевых задач (или о следах целых решений), а также вопрос о разрешимости краевых задач для уравнения Шрёдингера при различных коэффициентах с(х).

Следующий результат дополняет и уточняет сформулированную выше теорему работы [12] для случая краевых задач.

Теорема 1.3. Пусть на L-точном многообразии М для уравнений Lu = 0 и А и = 0 на М \ В разрешимы внешние краевые задачи с граничными условиями из класса [/]. Тогда на М\В разрешима внешняя краевая задача для уравнения L\u = 0 с граничными условиями из класса [/].

Как следствие из теоремы 1.3, имеет место следующее утверждение.

Следствие 1.5. Пусть выполнены условия теоремы 1.3. Тогда на

М разрешима краевая задача для уравнения L\U = 0 с граничными условиями из класса [/].

Во второй главе изучается поведение ограниченных решений уравнения (0.1) на римановых многообразиях, устороенных следующим образом. Пусть полное риманово многообразие М представимо в виде М = В и и £>2 и. .и Ор, где В — некоторый компакт, области попарно не пересекаются, а каждая область 1)г изометрична прямому произведению Ы+ х 5г- (где = (0,+оо), — компактные римановы многообразия без края) с метрикой

Здесь к{(г) и д{(г) — положительные, гладкие на функции, а ¿9} — метрика на 5г-.

Будем говорить, что на многообразии М разрешима задача Дирихле для уравнения (0.1), если для любого набора (ФЦ^х), Ф2(#2), • • ■, Фр($р)) непрерывных на ^ функций Фг(0г) существует решение и{х) уравнения (0.1), удовлетворяющее в каждой области Д- условию

Шп и(г,в{) = Фг(0г).

Всюду во второй главе предполагается, что в каждой области выполнено с(гД) = сг-(г).

Введем обозначения: оо / I \ и = / Шд}-п{*) I ЫФ)зГ3Ф) ¿Р Л +

Го V0 ) оо / * \

Ь = / Шд}-пУ) / <1/3 ей.

•о V0 )

Обозначим также

Ki = J hi{t)g}-n{t)dtt где го > 0, п — dim М, i = 1,. . ,р.

Можно проверить, что в каждой области 1>г- выполнено в точности одно из условий: а) и < оо;

5) = оо, < оо;

7) Кг = оо;

5) = оо, К{ < оо.

Будем называть область Д областью типа а относительно оператора Ь (соответственно /3, 8), если в этой области выполнены условия пункта а (соответственно /3, 6).

Будем называть область областью типа 7, если в этой области выполнены условия пункта 7.

В [22] доказано, что область Д- имеет параболический тип тогда и только тогда, когда К= оо. Следовательно, область Д является областью типа 7 тогда и только тогда, когда она имеет параболический тип.

Основным результатом второй главы является следующее утверждение.

Теорема 2.1. Пусть римшово многообразие М среди всех областей И{ имеет I областей типа а итп областей 1)г- типа (5, где 1+т > 1. Тогда для любого заданного набора (Ф1,., Ф/, С/+ь ., С/+т), где Ф{ — Фг(0г) — непрерывные на £г- функции, а Сг- — произвольные константы, существует единственное ограниченное решение уравнения (0.1) и(х) такое, что

Дт^г, #г) = Фг(0г) по области 1)г- типа а,

Дтв{) = Сг; по области типа ¡3.

При этом предел Нтг^00и(г, по области Д типа 7 существует, конечен и не зависит от 9{, предел Нт^оо-гх(г, 0г) по области Д- типа 6 равен нулю.

Заметим, что в работе [27] А.Г. Лосев доказал, что если в области Д- выпонено /г- = оо (то есть £)г не является областью типа а относительно оператора Ь), то для любого ограниченного решения и(х) уравнения (0.1) предел Нтг*оо и(г, 6{) в области Г>г существует и не зависит от 9{. Поэтому в областях DL типа ¡3 в качестве предельных функций рассматриваются только постоянные.

Важным следствием теоремы 2.1 является утверждение о разрешимости задачи Дирихле на рассматриваемых римановых многообразиях.

Следствие 2.2. Яа многообразии М разрешима задача Дирихле для уравнения (0.1) тогда и только тогда, когда все области Di имеют тип а относительно оператора L.

1. Андерсон М.Т. (Anderson М.Т.) The Dirichlet problem at infinity for manifolds with negative curvature // J. Diff. Geom., 1983, v. 18, p. 701-722.

2. Андерсон M.T., Шоен P. (Anderson M.T., Schoen R.) Positive harmonic functions on complete manifolds of negative curvature // Ann. of Math., 1985, v. 121, p. 429-461.

3. Берже M., Гандушон П., Мазет E. (Berger M., Ganduchon P., Mazet E.) Le spectre d'une variete Riemannienne // Lecture Notes in Math., 1971, v. 194.

4. Бибиков Ю.Н. Курс обыкновенных дифференциальных уравнений // Москва, "Высшая школа", 1991, 303 с.

5. Брукс P. (Brooks R.) A relation between growth and the spectrum of the Laplacian // Math. Z., 1981, v. 178, p. 501-508.

6. Виннер H. (Wiener N.) Certain notions in potential theory // J. Math, and Phys. Mass Inst, 1924, vol. 3, N 1, p. 24-51.

7. Виннер H. (Wiener N.) The Dirichlet problem //J. Math, and Phys. Mass Inst., 1924, vol. 3, N 3, p. 127-146.

8. Гилбарг Д., Трудингер M. Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка // Москва, "Наука", 1989, 464 с.

9. Григорьян А.А. О множестве положительных решений уравнения ■ Лапласа-Бельтрами на римановых многообразиях специальноговида // Изв.вузов. Матем., 1987, N 2, с. 30-37.

10. Григорьян А.А. Ограниченные решения уравнении Шрёдингера на некомпактных римановых многообразиях // Труды семинара И.Г. Петровского, 1989, N 14, с. 66-77.

11. Григорьян А.А. (Grigor'ya,n A.) Analitic and geometric background of recurence and non-explosion of the Brownian motion on Riemannian manifolds // Bull. Amer. Math. Soc., 1999, v. 36, p. 135249.

12. Григорьян A.A., Надирашвили H.C. Лиувиллевы теоремы и внешние краевые задачи // Изв.вузов. Матем., 1987, N 5, с. 25-33.

13. Григорьян А.А., Хансен У. (Grigor'yan A., Hansen W.) Liouville property for a Schrodinger operator // Math. Ann., 1998, v. 312, p. 659-716.

14. Дэвайс Е.Б. (Davies E.B.) L1 properties of second order elliptic operators // Bull. London Math. Soc., 1985, v. 17, N 5, p. 417-436.

15. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям // Москва, "Наука", 1971, 576 с.

16. Келдыш М.В. О разрешимости и устойчивости задачи Дирихле // Докл. АН СССР, 1938, т. 18, N 6, с. 315-318.

17. Келдыш М.В. О разрешимости и устойчивости задачи Дирихле // УМЕ, 1941, вып. 8, с. 171-231.

18. Курант Р., Гильберт Д. (Courent R., Hilbert D.) Методы математической физики // Москва-Ленинград, "Гостехиздат", 1951, т. 1, 2.

19. Ладыженская О.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа // Москва, "Наука", 1973, 444 с.

20. Ландис Е.М. Уравнения второго порядка эллиптического и параболического типов // Москва, "Наука", 1971, 288 с.

21. Ли П., Яу С.Т. (Li P., Yau S.T.) On the parabolic kernel of the Schrodinger operator // Acta Math., 1986, v. 156, p. 153-201.

22. Лосев А.Г. Некоторые лиувиллевы теоремы на римановых многообразиях специального вида // Изв. вузов. Матем., 1991, N 12, с. 15-24.

23. Лосев А.Г. О некоторых лиувиллевых теоремах на некомпактных римановых многообразиях// Сиб. Мат. Журнал, 1998, т. 39, N 1, с. 87-93.

24. Лосев А.Г. Теоремы типа Лиувилля на некомпактных римановых многообразиях // Вестник ВолГУ, 1998, сер. Матем. Физика, вып. 3, с. 18-31.

25. Лосев А.Г., Мазепа Е.А. О разрешимости задачи Дирихле на многообразиях специального вида // N 1073-В94 Деп. в ВИНИТИ -13 с.

26. Лосев А.Г., Мазепа Е.А. О поведении ограниченных решений уравнения Шрёдингера на некомпактных римановых многообразиях // Вестник ВолГУ, 1998, сер. Матем. Физика, вып. 3, с. 3243.

27. Лосев А.Г., Мазепа Е.А. О некоторых краевых задачах для стационарного уравнения Шрёдингера на некомпактных римановых многообразиях // N 2131-В98 Деп. в ВИНИТИ - 16 стр.

28. Лосев А.Г., Мазепа Е.А. Об асимптотическом поведении решений некоторых уравнений эллиптического типа на некомпактных римановых многообразиях // Изв.вузов. Матем., 1999, N 6, с. 41-49.

29. Лосев А.Г., Мазепа Е.А. Ограниченные решения уравнения Шрёдингера на некомпактных римановых многообразиях специ• ального вида// Доклады РАН, 1999, т. 367, N 2, с. 166-167.

30. Лосев А.Г., Мазепа Е.А. Ограниченные решения уравнения Шрёдингера на римановых произведениях // Международная конференция по анализу и геометрии, посвященная 70-летию акад. Ю.Г. Решетняка. Новосибирск, 1999. Тезисы докладов, с. 59-61.

31. Мазепа Е.А. О разрешимости задачи Дирихле для уравнения А и — с(х)и = 0 на некомпактных римановых многообразиях // "Алгебра и анализ". Тезисы докладов школы-конференции, посвященной 100-летию со дня рождения Б.М. Гагаева, Казань, 1997, с. 139-140.

32. Мазепа Е.А. О разрешимости задачи Дирихле для уравнения Шрёдингера на римановых многообразиях специального вида // " Современные проблемы теории функций и их приложения". Тезисы докладов 9-ой Саратовской зимней школы, Саратов, 1997, с. 110.

33. Милнор Дж. (Milnor J.) On deciding whether a surface is parabolic or hiperbolic // Amer. Math. Monthly, 1977, v. 84, p. 43-46.

34. Мурата M. (Murata M.) Structure of positive solutions to (—A + v)u = 0 in Rn Ц Duke Math. J., 1986, v. 53, p. 869-943.

35. Мурата M. (Murata M.) Positive harmonic functions on rotationary symmetric Riemannian manifolds // Potential Theory, ed. by M. Kishi, 1991, p. 251-259.

36. Позняк Э.Г., Шикин E.B. Дифференциальная геометрия // Москва, изд. МГУ, 1990, 384 с.124 —

37. Соболев С.JI. Некоторые применения функционального анализа в математической физике // Москва, "Наука", 1988, 336 с.

38. Сулливан Д. (Sullivan D.) The Dirichlet problem at infinity for a negatively curved manifolds // J. Diff. Geom., 1983, v. 18, p. 723732.

39. Хёрмандер Л. (Yormander L.) Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными // Москва, "Мир", 1986, тт. 1-4.

40. Ченг С .Я. (Cheng S.Y.) The Dirichlet problem at infinity for nonpositively curved manifolds // Comm. Anal, and Geom., 1993, v. 1, N 1, p. 101-112.

41. Чой Х.И. (Choi H.I.) Asymptotic Dirichlet problems for harmonic functions on Riemannian manifolds // Trans, of Amer. Math. Soc., 1984, v. 281, N 2, p. 691-716.

42. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление // Москва, "Наука", 1969, 424 с.

43. Яу С.Т. (Yau S.T.) Harmornic function on complete Riemannian manifolds // Comm. Pure Appl. Math., 1975, v. 28, p. 201-228.