Топологический индекс и принцип усреднения тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Государственнвй Комитет Российской Федерации по высшему образованию ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ргз ол

„ t Ка правах рукописи

с i

.......' " УДК 517.5

КАМЕНСКИЙ Михаил Игоревич

ТОПОЛОГИЧЕСКИЙ ИНДЕКС И

ПРИНЦИП УСРЕДНЕНИЯ 01.01.02 - Дифференциальные уравнения

Автореферат Диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Воронеж - 1996

Работа выполнена на кафедре математического анализа математического факультета Воронежского госуниверситета

Официальные оппонента: доктор физико-математических наук

в.в.жиков, доктор физико-математических наук

A.Д.МЫШКИС, доктор физико-математических наук

B.Н.УШАКОВ

Ведущее учреждение - Институт проблем управления Российской Академии наук

заашта состоится "'•г' 1996 г.

а " " часов на заседании диссертационного совета Л 002.07.01 в институте математики и механики УрО РАН по адресу: 620219, Екатеринбург, ул. С.Ковалевской, 16.

с диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики и механики УрО РАН

Автореферет разослан

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат фкз.- мат. наук

X мм

V

1996 г.

И. И. ГУСЕВ

ОБЩ.АЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Проблеме обоснования процедуры усреднения для различных типов дифференциальных уравнений после классических работ Н.Н.Боголюбова, Н.М.Крылова (см., например, ставшую так же классической монографию Н. Н.Боголюбова, Ю.А.митропольского1) посвящены сотни книг и десятки тысяч статей. Не имея возможности привести даже минимальный список, процитируем в алфавитном порядке лишь фамилии некоторых авторов, занимавшихся этим вопросом: В.М.Волосов, Е.А.Гребенников, М.И.Громяк, В.В.Жиков, Д. и. Мартшиок, Ю.А.Митро-польский, Е. и. Моисеенко, В.И.Моргунов, О.Б.Лыкова Ю.А.Рябов, Н.А.Перестюк, В.П.Рубаник, A.M.Самойленко, И.Б.Симоненко, Б.П.Ткач, Г.П.хома. Более подробный список авторов и описание результатов можно найти, например, в обзоре a.m.самойленко2. Приложения принципа усреднения в различных областях науки и техники приведены в монографиях упомянутых авторов, а так же А.А.Алифова, К.В.Фролова, И.Н.Блехмана, Н.А.Бобылева, В.С.Климова, в.О.Кононенко и др. Важным как в теоретическом плане так и в приложениях является случай, когда правая часть уравнения

х' = ef(t,x,e), (1)

к которому применяется процедура усреднения, является Т-периоди-ческой функцией переменной t, здесь х - неизвестная функция со значениями в некотором банаховом пространстве, с - малый положительный параметр. В этом случае усредненное уравнение имеет вид

у' = ef (у), (2)

где

f (y)=i Г f(s,y,0)ds. (3)

J о

Естественными здесь являются два вопроса:

- при каких условиях и на каких промежутках может быть гарантирована близость решений уравнений (1) и (2), отвечающих одному' и тому же начальному условию;

- когда вблизи состояния равновесия системы (2) существует Т-периодическое решение уравнения (1), и как в этом случае связаны устойчивость состояния равновесия с устойчивостью этого решения.

1Н.И.Боголюбов, Ю.А.Иитропольский. Асимптотические методы и теории нелинейных колебаний. - М.:Наука, 1974.

2А.Н.Самойленко. Н.Н.Боголюбов и нелинейная механика // Успехи мат. наук. 1994. - 49, - 5. - С. 103-146.

Теоремы Н.Н.Боголюбова для конечномерного пространства и непрерывного по совокупности переменных оператора Г, который кроме того непрерывено дифференцируем по пространственной переменной, дают следующий ответ на поставленные вопросы:

- решения задач Коши для уравнений (1) и (2) с одинаковыми начальными условиями близки на отрезке [О,а/е];

- если у* - состояние равновесия уравнения (2) и 0«е<г(£' (у*)), то при достаточно малых е уравнение (1) имеет Т-периодическое решение близкое к у*, и, если все собственные значения матрицы Г'Су*) лежат в левой полуплоскости, то это решение устойчиво, если же Г' Су*) имеет хотя бы одно собственное значение в правой полуплоскости, то это решение неустойчиво.

Такие заключения называют обычно принципом усреднения. Важным этапом в обосновании принципа усреднения для задачи Коши для различных видов уравнений была работа М.А.Красносельского С.Г.Крейна3, в которой принцип усреднения получается как следствие теоремы о непрерывной зависимости решений задачи коши от параметра в случае интегрально непрерывной по параметру правой части.

Однако, несмотря на отмеченные достижения в методе усреднения, для многих классов дифференциальных уравнений, важных как с теоретической точки зрения, так и с точки зрения имеющихся приложений, обоснование процедуры усреднения отсутствует. Сюда следует отнести различные уравнения типа параболических с некомпактными полугруппами, параболические уравнения с запаздыванием, некоторые уравнения с отклоняющимся аргументом нейтрального типа, уравнения в бесконечномерном пространстве с многозначными операторами. Обоснованию принципа усреднения для этих классов уравнений и посвящена диссертация, что делает выбранную тему актуальной.

в конце бо-х начале 70-х годов в работах Д.И.Мартынюка, А.М.Самойленко4, В.В.Стрыгина5 для уравнений с запаздыванием и в работе [15] Р.Р.Ахмерова и автора для уравнений нейтрального типа

3красносельский Н.А., крейи с. Г. О принципе усреднения в нелинейной механике // успехи мат. наук. - 1955. - ю, N3(65). - с. 147-152.

АМаргынак Л.И., самойленко А.N. О периодических решениях нелинейных систем с запаздыванием // В сб. математическая физика. - Киев. -1967. - с. 128-145.

5Стрыгии в. В. Одна теорема о существовании периодических решений систем дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом // кат. заметки. - 1970, - 8, N2. - с. 229-233.

была замечено, что топологический индекс Пуанкаре состояния равновесия усредненного уравнения совпадает с топологическим индексом оператора эквивалентного задаче о периодических решениях неусредненного уравнения. Это позволяет в случае отличия от нуля первого доказывать существование вблизи состояния равновесия усредненного уравнения периодических решений неусредненного уравнения. Именно такой взгляд на принцип усреднения и развивается в диссертации. В задаче Коим его тоже удается реализовать, Так как индекс множества решений задачи Коши всегда равен 1. В диссертации разработана схема доказательства принципа усреднения, позволяющая сделать следующий вывод:

-как только для эквивалентного задаче Коши или задаче о периодических решениях оператора построена теория топологического индекса, так для такого уравнения может быть осуществлено обоснование процедуры усреднения.

В работе рассматриваются в основном уравнения, для которых эквивалентные операторы не являются вполне непрерывными. Последнее требует применения нетрадиционных теорий топологического индекса и, в частности, построенной Б.Н.Садовским теории топологического индекса уплотняющих операторов6.

В диссертации исследуется устойчивость периодических решений неусредненного уравнения, находящихся вблизи состояния равновесия усредненного уравнения. В целом исследование устойчивости по первому приближению таких решений может быть проведено при помощи анализа линейной части оператора сдвига (см. монографию М.А.Красносельского7) по траекториям неусредненного уравнения. Однако, во-первых, для уравнения (1) по оператору сдвига за период Т нельзя заметить изменение спектра линейной части исследуемого оператора, так как с входит в качестве множителя в правую часть. Поэтому в диссертации анализируются операторы сдвига за время [1/с]Т или за время !1/е2]Т в вырожденных случаях. Во-вторых, для уравнений, рассматриваемых в диссертации, фазовые пространства бесконечномерны, и в отличие от конечномерного случая соответствующие линейные операторы сдвига за указанное время не будут непрерывно по норме зависеть от параметра

6Ахмеров P.P., Каменский М.И., Родкииа А.Е., Потапов A.C., Садовский Б.Н. Меры некомпактности и уплотняющие операторы. - Новосибирск: Наука, 1986.

1Красносельский H.A. Оператор сдвига по траекториям дифференциальных уравнений. - N.: Наука, 196б.

в. Они будут лишь сильно сходиться при с —» О к производной в точке состояния равновесия оператора сдвига за время Т по траекториям усредненного уравнения при е=1. Такая сходимость не влечет в общем случае (см. 8) близости ответственных за устойчивость частей спектров указанных операторов. Последнее требует специального развития общей теории возмущений линейных операторов, что и проделано в диссертации.

Цель работы. Целью диссеретации является обоснование принципа усреднения для новых классов дифференциальных уравнений. Получение в терминах теории топологического идекса неподвижных точек условий возможности применения процедуры усреднения. Исследование устойчивости периодических решений неусредненного уравнения, находящихся вблизи состояния равновесия усредненного уравнения.

Общая методика работы. В работе используются различные методы качественного анализа дифференциальных уравнений, связанные с понятием топологического индекса, теория полугрупп операторов, различные методы линейного и нелинейного функционального анализа, теория мер некомпактности и уплотняющих операторов.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются иовыми и опубликованы в работах автора, в работе:

- разработан способ обоснования процедуры усреднения, основанный на теории топологического индекса;

- на его основе обоснована процедура усреднения для новых классов дифференциальных уравнений с запаздыванием, в том числе нейтрального типа, параболических уравнений с некомпактной полугруппой, параболических уравнений с отклоняющимся аргументом;

- в терминах топологического индекса указаны условия перехода к высшим приближениям в вырожденных случаях, позволившие установить также новые теоремы о существовании ненулевых и больших по норме периодических решений неусредненного уравнения;'

- исследована устойчивость периодических решений, возникающих . вблизи состояния равновесия усредненного уравнения;

- развиты теория мер некомпактности и уплотняющих операторов, теория топологического индекса и теория возмущений линейных уплотняющих операторов, позволяющие исследовать указанные уравнения.

Приложения. Работа носит теоретический характер. Методы и результаты могут найти применение в теории нелинейных колебаний,

8Като Т. Теория возмущений линейных операторов,- П.: Пир, 1972.

теории систем, теории управления.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались' на семинарах по теории систем в ИПУ АН РАН и ИППИ РАН под руководством М. А. Красносельского и Н.А.Бобылева, математических семинарах Руанского университета под руководством профессора к.Деллашери (Франция, Руан 1991, 1993, 1994, 1995), на математическом семинаре Высшей Нормальной школы в Кашаие под руководством профессоров Ж.-И.Гидаглийа, Ж.-М.Корона (Франция, Париж, 1992, 1993, 1994), на математическом семинаре университета в Монтпелье под руководством профессоров М.Валадье, К.кастена (Франция, Монтпелье 1994), на математических семинарах Флорентийского университета под руководством профессора дж.Копти (Италия, Флоренция, 1993, 1995), на международных конференциях по дифференциальным уравнениям (Болгария, Русе 1981, Пловдив 1991), в Международном центре им. С.Банаха (приглашенный лектор, Польша, Варшава 1990), интернациональном конгрессе математиков (Швейцария, Цюрих, 1994), международной конференции по функционально-дифференциальным уравнениям (приглашенный лектор, Москва 1994), на Интернациональном симпозиуме по методам и приложениям анализа (Гон-Конг, 1994), всесоюзной конференции по геометрии и анализу (Новосибирск 1989), в ХШ и XIV Всесоюзных школах по теории операторов в функциональных пространствах (Куйбышев 1988, Новгород 1989), на всесоюзной конференции по нелинейным проблемам дифференциальных уравнений и математической физики (Тернополь, 1989), на Всесоюзной конференции по интегральным и краевым задачам математической физики (Владивосток, 1990). на III и IV региональных Уральских конференциях по функционально-дифференциальным уравнениям и их приложениям (Пермь, 1988, Уфа, 1989), на второй и третьей региональных Северо - Кавказских конференциях по функционально-дифференциальным уравнениям и их приложениям (Махачкала, 1988, 1991), в Крымских осенних математических школах (Симферополь 1990, 1991, 1992, приглашенный лектор 1994), воронежских математических школах (Воронеж 1989, 1992).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах автора [1] - [14] без соавторов.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав и списка литературы. В каждом параграфе принята индивидуальная нумерация формул, объем диссертации - 280 страниц текста, набранного в редакторе Chiwriter (формат машинописного текста). Библиография содержит 194 наименования; Формулировки результатов приведены в главах 2 и 4. Доказательства отнесены в главы 3 и 5.

ОБЗОР СОДЕРЖАНИЯ ДИССЕРТАЦИИ

Классы уравнений, рассматриваемые в диссертации. В диссертации исследованы многие классы уравнений, • такие как обыкновенные дифференциальные уравнения, уравнения с запаздыванием (в том числе нейтрального типа), параболические уравнения с некомпактной полугруппой, параболические уравнения с запаздыванием. Для всех этих уравнений, включая и хорошо изученные обыкновенные дифференциальные уравнения, предложенный подход позволил получить новые результаты в принципе усреднения, особенно в случае вырождения. Методика, предложенная в диссертации, в принципе позволяет провести обоснование процедуры усреднения и для других классов уравнений. Конкретный выбор объектов исследования связан со следующими обстоятельствами:

1) имеющимися приложениями и отсутсвием обоснования принципа усреднения;

2) возможностью построения эквивалентных операторных уравнений, допускающих применение теории топологического индекса (в тех случаях, когда такое построение отсутствовало, оно проведено в диссертации);

3) наличием в соответствующих операторных уравнениях некомпактных операторов, что потребовало применения нетрадиционных теорий топологического индекса.

Обыкновенные дифференциальные уравнения. Применяемая теория топологического индекса - это соответствующая теория для вполне непрерывных операторов. Уже в этом классическом случае удается избавиться от требования единственности решения задачи Коши усредненного уравнения и установить близость интегральных, воронок усредненного и неусредненного уравнений (§ 2.1), а в задаче о периодических решениях условие Ого-(Г'(у*)) заменяется на более общее условие

1пс1£у , { + 1) * 0.

7 • о

Отметим, что в случае ОеИССу*)) величина нкНу^, I) часто

может быть вычислена по алгоритму М. А. красносельского - П.П.Забрей-ко9. в § 2.2 установлены условия перехода к высшим приближениям для уравнения

9Красносельский N. А., Забрейко П. Л. Геометрические методы нелинейного анализа. - №.: Наука, 1975.

х' = ep(t,x) + с l/f(t,x,c), (4)

где yiR'xR1'—» Rn, ^i:R1xRnx[0, 11 —> Rn. Здесь предполагается, что

(p(t+T,x) s í>(t,x), \p(1+T,x,с) 2 i/)(t,x,e) и f ¥>(s,y)ds 2 o.

•'o

В этом случае решения задач Коши неусредненного уравнения и уравнения первого приближения с одинаковым начальным условней близки на отрезке to.d/e2], что раньше, по-видимому, не отмечалось. В задаче о периодических решениях уравнения (4) основное условие имеет вид

ind(y , <р* -

т т т

где <р'(z) = í-fíp'(s,z> tp(t,x)dsdr, ф'íz) = i-1 i//(t, z, 0)dT. T JoJo * o

Кроме того здесь же получены теоремы о ненулевых и больших по норме

периодических решениях уравнений

х' = еВ(t)х + еП(t, х, е) т

в случае, когда B(t) - NxN-матрица и Ь- Г Bf-rldr = 0.

1 ■'о

Уравнения с запаздыванием, сначала рассматривается уравнение нейтрального типа, т.е. уравнение, в котором значение производной в настоящий момент времени зависит в явном виде от предыстории как самой функции так и ее производной. В обозначениях, предложенных Н. Н. Красовским10, такое уравнение может быть записано в виде

х' (t) = cí(t, х , х',с), (51

t t

где f: R1хС([-h,01,RN)хС([-h,0i,RN)х[о, 1] —> Rn непрерывный оператор, с - малый положительный параметр, х , х^ обозначают элементы пространства C([-h,Ql,RN), определяемые равенствами

х (s!=x(t+s), х'(s)=x'(t+s), se[-h,0]. t t

Именно для этого уравнения теория топологического индекса для обоснования принципа усреднения была применена в работе [15]. Требуемое в [15] условие непрерывности оператора f, ■ стоящего в правой части уравнения (5), не позволяет рассмотреть уравнение нейтрального типа с быстро осциллирующей правой частью. Такое урав-

нение с дискретным запаздыванием после замены переменных имеет вид

</ > л.1 I h(e), 1 ,, h(e). .

х (т) = с4(т, х(-г--- ), - х (т—-), с), (6)

е е с

где отображение ф : r'x rnx hnx[0,1] —» rn непрерывно по

1аКрасовский H.H. некоторые задачи теории устойчивости движения. - Н.: Госгехиздат, 1959.

совокупности переменных, Т-периодично по первой переменной и удовлетворяет условию Липшица с константой к<1 по третьей переменной. Уравнение (6) может быть записано в форме (5), но наличие множителя 1 /с перед производной в правой части уравнения (6) делает предположение о непрерывности оператора £ в уравнении (5) весьма ограничительным. Поэтому в § 2-3 кроме уравнения (5) рассмотрено и уравнение (6).

Для уравнений (5) и (6)' изучается задача о существовании Т-периодических решений вблизи состояния равновесия у^ усредненного уравнения. Показано, что как для уравнения (5), так и для уравнения (6) усредненное уравнение является обыкновенным дифференциальным уравнением вида

у' = *0(у>.

где для уравнения (5)

Ф (у) =-1- S fis. I y,0,0)ds (у £ RK),

О i h

О

I - каноническое вложение пространства RN в . пространство h

Ci[h,0],RK), a для уравнения (6)

1 т

Ф (у) = ^ S $(t,y,0,0)dt.

о

Условие,

indi Ф + i, U) * о. (7J

о

обеспечивающее наличие Т-периодического решения в окрестности U состояния равновесия у , на первый взгляд для этих уравнений выглядит одинаковым, однако, для уравнения (6) это условие имеет существенное (как показывает построенный в диссертации пример) дополнение

О í~có~Z(y), ye SU, (8)

где 2 - многозначный оператор, задаваемый формулой

т

Z(x) = iz : z€HN, z = S Ф( t, x,y(t),0)dt, yeM>.

о

Здесь

т

M = <y : yeC (RN), Hyil s max {1, 2T}M/(l-k), S y(t)dt = 0),

о

константа M задается равенством

H = sup< |Ф(t, y,0,0)| teR1, ye ÔU }.

Приведем точную формулировку результата для уравнения (б). Теореиа 2.3.6. Пусть Ф - описанное выше отображение, уравнение

О = Ф (у)

имеет решение у , и и - открытая ограниченная окрестность у

такая, что имеют место неравенство (7) и соотношение (3). Тогда существует такое cQ>0, что при 0<c<cq уравнение (6) имеет по крайней мере одно Т-периодическое решение x(t,c), для которого справедливо

соотношение x(t.c) s U и х'(t,e) -» 0, при с —» о.

Появляющееся в этой теореме многозначное условие 18) в задаче усреднения отмечается впервые.

Для уравнений (5), (6) теория топологического индекса -соответствующая теория, для уплотняющих операторов.

Аналоги вырожденного случая, описанного в § 2.2, получены в §2.3 для уравнения

со

x'(t) = с £ А^(t)х(t - h ) + с2 g(t, X с), (9)

1 =0

где Ai(t) : R —> R непрерывные, Т-периодические по t операторы, 0=ho< h,<...< .., —> ш, оператор

g : н'хСП-ш.О], rw )х [О, 1 ] —> r", непрерывен по совокупности переменных и Т-периодичен по первой переменной, С((-»,Ol,Rn) - пространство непрерывных на (-ш,0) функций со

значениями в RK с нормой llxll = sup |x(t)| .

t R"

Предполагается, что

S A (t)dt = О, 1=0,1.....

о

Соответствующее усредненное уравнение имеет вид

у' = е2 (- Voy + g0(y)),

1 т 1 т — где Vq = j- X V(t)dt. g (х) = 4- J" g(t,x,0)dt,

о 1 о

ш со t

здесь vit) = X Е a^t) A (t - h ), а Я Ш = S A (s)ds, "x"(s)ex. i=o j = o 1 J 1 о 1

Параболические уравнения с некомпактной полугруппой. Вопросы о

применимости процедуры усреднения изучаются в § 4.1 для уравнения

+ сАи = c«(t,u) (10)

dt

в случае, когда оператор -А порождает сильно непрерывную некомпактную полугруппу в некотором банаховом пространстве Е, а оператор ф : й'х Е —» Е, непрерывен по совокупности переменных, Т-периодичен по первой переменной. Хотя в тексте уравнения типа (10) и называются параболическими, на самом деле в таком виде может быть записан широкий класс уравнений, включающий в себя как классические квазилинейные параболические уравнения, так и некоторые гиперболические уравнения, например, нелинейные волновые уравнения с трением. Отказ от условий аналитичности и компактности, накладываемых

11 — At

обычно (см.. например, ) на полугруппу е , и представляет

основную сложность при исследовании уравнения (10). Дело в том, что

эквивалентные интегральные операторы

t

Fuit) = e"cAtUo + J e~cM1"s)$(s,u(s))ds (11)

о

и

T

Gu(t) = e~GAt(I-e" AT)"1Je"cAlT"s)t(s,u(s))ds +

(12)

t

+ Je~cAlt~s)<t(s,u(s))ds,

о

соответствующие задаче Коши для уравнения (10) с начальным условием

и(о) = и (13)

с

и задаче о Т-периодических решениях для уравнения (10), в этом случае не только не являются вполне непрерывными в соответствующих пространствах непрерывных функций, но даже не переводят ограниченные множества в множества равностепенно непрерывных функций. Также lie вполне непрерывен и оператор сдига. Это потребовало построения специального типа мер некомпактности, относительно которых операторы (11). (12) уплотняют, т.е. уменьшают, в некотором смысле, меру некомпактности. Так, например, для оператора (11) мера некомпактности v ограниченного множества £2£С( [а,Ы,Е), относительно которой он уплотняет, задается формулой

к(П) = max ( sup e~at*(D(t) ). lira sup max llx(t)-x(t+т)II ), dSQ 1 & -»o xeD OST£S

где D - счетное подмножество множества n, a a - некоторое

\2

положительное число, x - мера некомпактности Хаусдорфа в пространстве Е, D(t) - множество значений функций из D в момент времени t. Значения у лежат в пространстве R2, полуупорядоченном конусом векторов с неотрицательными координатами.. Оператор Ф для задачи (10), (13) предполагается удовлетворяющим неравенству

11Симоненко И. Б. Обоснование метода осреднения для задачи конвекции в поле быстро осциллирующих сил и для других параболических уравнений // мат. сборник. - 1972.'- 87, n2. - С. 236-253.

12Мерой некомпактности хаусдорфа ограниченного подмножества банахова пространства называют 1см. ссылку на стр. 5) ннфимум-тех с1, для которых это подмножество имеет конечную ¿-сеть.

*(Ф([0,Т] х W) s L*(W) (14)

для любого ограниченного множества USE.

Другие нужные меры некомпактности строятся и изучаются в § l.i. Они имеют достаточно сложную структуру: их значения могут сами лежать в пространстве функций. В диссертации установлены свойства этих мер некомпактности, которых оказывается достаточно для построения теории топологического индекса для уплотняющих относительно них ■ операторов. Кроме того при помощи теории мер некомпактности в § 1.1 установлено следующее свойство функций, обеспечивающее равностепенную непрерывность образов Fi) и GC2 множеств функций Я, для stoTopux n(t) d каждый момент времени t вполне ограничено.

Предложение 1.1.14. Пусть Е - сепарабелыюе банахово пространство, п - ограниченное множество в С([а,Ь],Е) и *№(t))=0 почти всюду на fa.bj. тогда для любого 5 > О существуют множество е £ !а,Ы и компакт К S Е такие, что mes е < 5 и sup p(x(t),K) < 5

ХбП

ДЛЯ t <= [a,b]\e.

Принцип усреднения для задачи Коши (10), (13) сформулирован в случае, когда усредненное уравнение

+ сАи = сф (и), (15)

at о

где

1 1

Ф (и) = ^J- Ф(s, u)ds, (16)

О ! О

с начальнм условием (13) при е=1 имеет единственное решение на отрезке (o,dl. в этом случае близость решений задач (10), (13) и (15), (13) гарантируется на отрезке [0,d/el.

Если в задаче Коши никаких свойств полугруппы, кроме сильной непрерывности не нужно, то в задаче о периодических решениях выделены классы сильно непрерывных полугрупп, для которых оператор, заданный формулой (12), и оператор сдвига уплотняют (§ 5.1 и § 5.2). Эти свойства полугрупп описаны в § 1.5. Грубо говоря, производящими операторами таких полугрупп являются производящие операторы сжимающих полугрупп, возмущенные компактными или уплотняющими с соответствующей константой операторами. основное свойство полугрупп описывается неравенством

» e^V*^ ?>0,

означающим, что полугруппа за время t уменьшает меру некомпактности

--rt

Хаусдорфа множества в е раз. При этом

У>Ь, (17)

где Ь - константа из неравенства (14). отметим, что в диссертации задача о периодических решениях изучается не для уравнения (10), а для системы таких уравнений. В этом случае вместо неравенства (17) требуется устойчивость нулевого решения некоторой линейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений.

Условие существования Т-периодических решений, уравнения (10) вблизи состояния равновесия и* усредненного уравнения имеет вид

1Пс1(\1*, А~Ч ) * 0, (18)

о

где Фо определено равеством (16).

Неравенство (18) выполнено, если линеаризованное уравнение

Ау = Ф'(и*)у (19)

не имеет ненулевых решений. Если же уравнение (19) имеет ненулевые решения, то для получения условий, при которых верно неравенство (18), можно использовать алгоритм Ы.А.Красносельского-П. П.Забрейко.

Аналог результата из §2.2 приведен в § 4.1 для задачи о периодических решениях уравнения

и' + е2Аи = сВШи + е2Фи,и). Здесь А, ви) - линейные ограниченные операторы, действующие в некотором банаховом -пространстве Е, оператор В(Ои - непрерывен по совокупности переменных, Т-периодичен но I и

т

/ в(Б)а5 = о.

о

В заключении § 4.1 изучается уравнение

и' + цАи = Фи, и, 1/ц ), (20)

когда Оесг(А) и нулевому собственному значению отвечают только собственные Еекторы. Здесь ц » 1. Обозначим через Р - проектор Рисса, отвечающий нулевой точке спектра оператора А. В диссертации предполагается, что нелинейность Ф имеет следующий вид

Фи, V, —■ ) — Фи, V) + — <рИ,\), (21)

И ч

причем

Р* = 0, (22)

а для полугруппы е выполнена оценка

II е"А1(1 - Р)11 £ Се"Ч\ ч>0. (23)

в качестве формально предельного при ц —> ю для уравнения (20) нужно рассматривать получающееся усреднением по 1 обыкновенное дифференциальное уравнение

v' = <P0(v). i (24)

1 rT

где <pQ(v) =-j- Pi>(s,v)ds. Здесь, по сравнению со случаем Pf * о, -'о

также наблюдается эффект удлиннения промежутка близости решений и появления Т-периодических решений вблизи состояния равновесия уравнения (24). Сформулируем результат, относящийся к начальной задаче.

теорена 4. l.io. пусть пространство Е сепарабедьно, Оео-(А) и

является изолированным простым полюсом резольветы (AI+ А)"1 опера-

-At

тора -А, порождающего сильно непрерывную полугруппу е , для которой справедлива оценка (23). Непрерывный оператор Ф:RJxEx[0,1]—>Е, имеет представление (21), причем выполнено равенство (22), и при каждом фиксированном As[0,1] справедлива оценка

х(Ф([0,Т], ¡2, А)) * Lx(£2).

Пусть также уравнение (24) с начальным условием

v(0) => Pu

о

имеет единственное решение v* на отрезке [0,dJ. Тогда при достаточно больших it задача (20), (13) имеет решение и , определенное на отрезке [o.ud], и

И и Ct) - v (t) и -1 о при и —^—» m.

й ц

Здесь v (t) определяется равенствами

Pv^t) = v*(-i ), СГ-PJv ft) = e ~*At(I - P)uQ.

Результаты § 4.1, связанные с задачей о периодических решениях, могут быть перенесены на параболические дифференциальные включения с некомпактной полугруппой. Пример такого переноса для включения

+ eAu е e$(t,u)

at

приведен в § 4.3.

Параболические уравнения с запаздыванием. Эти уравнения являются предметом исследования в § 4.2. Здесь изучены уравнения

^г + Av + f e-;v<l-s) Av(s)ds = f ( — , v) (25)

dt J e

Jo

И

+ Av + f e"A(t"s)Av(s)ds = f( — , v), (26)

dt J-oo e

возникающие, например, в модели олдройда вязко-упругой жидкости. Оператор -А предполагается производящий оператором аналитической

полугруппы, а нелинейнность { - подчиненной некоторой дробной степени оператора А. Для уравнения (25) рассматривается начальная задача, а для уравнения (26) задача о периодических решениях, для этих уравнений соответствующие задачи сводятся к операторным уравнениям вида

йц = Фи (27)

где С - обратимый линейный оператор, а Ф - вполне непрерывный нелинейный оператор, поэтому для эквивалентного уравнения

и = С_1Фи,

может быть применена теория топологического индекса вполне непрерывных операторов.

К уравнению (28) может сводится и задача о периодических решениях параболического уравнения с дискретным запаздыванием

^ш+ау(п + к ау(м)) = т,у(и,уи-ы). (28)

Для уравнения (28) построение оператора С достаточно сложно. Сначала

для г<1 строятся разрешающие операторы С"1 в задаче о периодических

У

решениях для уравнения

^Ш+АуЦ) + к А^и-ь) =

а затем показывается, что С"1 сходятся при ч —> 1 к некоторому опе-* И а -1

ратору, обозначаемому С . При этом для любого а<1 оператор А К

ограничен. Такое построение проведено для случая самосопряженного

положительно определенного неограниченного оператора А, действующего

в гильбертовом пространстве.

Устойчивость периодических решений, устойчивость периодических решений, появляющихся вблизи состояния равновесия усредненного уравнения, исследована в диссертации на примере уравнений (5) и (10), а в вырожденном случае - уравнения (7) с конечным числом запаздываний. При фиксированном с вывод об устойчивости или неустойчивости Т-периодического решения ие, находящегося вблизи состояния равновесия усредненного уравнения, делается на основе анализа спектра производной оператора сдвига за указанное выше время, вычисленной в точке, соответствующей начальному значению этого решения. Если спектр этого линейного оператора целиком лежит внутри единичного круга, то решение иЕ устойчиво, если же имеется часть" спектра вне единичного круга, то исследуемое решение неустойчиво.

Если для нулевого:значения параметра с, которому отвечает.оператор сдвига по траекториям усредненного уравнения, расположение спектра известно, то для исследования устойчивости ис при малых с достаточно проследить за изменением лишь части спектра, лежащей вне

некоторого круга радиуса, меньше единицы, эти операторы в силу ' полученных результатов для начальной задачи, как отмечалось ваше, лишь сильно непрерывны по с. Однако, как показано в § 3.4 для уравнения (5) и в § 5.2 для уравнения (10) операторы сдвига уплотняют по совокупности параметра и начальных условий относительно специальных мер некомпактности, конструируемых соответственно в §1.1 ив § 5.2. Оператор сдвига по траекториям уравнения (7) в случае конечного числа запаздываний вполне непрерывен, т. е. уплотняет с константой, равной нулю, по совокупности указанных переменных. Свойство уплотняемости и обеспечивает непрерывную зависимость от параметра "ответственных" за устойчивость частей спектра. Кроме того оно гарантирует полную непрерывность по совокупности указанных переменных проекторов Рисса, отвечающих этим частям спектра, а также равномерную ограниченность по параметру резольвент операторов в инвариантных подпространствах, соответствующих остальной части спектра. Оказывается, что уплотияемость является и необходимым условием для наличия последних двух свойств, соответствующий абстрактный результат, а также необходимые и достаточные условия непрерывности по норме указанных проекторов Рисса приведены в § 1.3.

Сформулируем один из этих результатов. Для этого потребуются некоторые обозначения.

Пусть линейные ограниченные операторы А , действующие в бана-

п '

ховом пространстве Е, сильно сходятся к оператору А^ при п —> ю и вне замкнутого круга K(0,q) комплексной плоскости каждый из операторов А^ (neN) имеет лишь изолированные точки спектра, каждая из которых - это собственное значение конечной кратности. Тогда существуют сколь угодно малые с>0, для которых на границе круга K(0,q+e) ни один из операторов А не имеет точек спектра, т.е.

Г л <г( А ) = а. (29)

Е п

Обозначим через Р (е) проектор Рисса оператора А , отвечающий точкам

п п

спектра, лежащим вне K(0,q+c), и пологим А (с) = А'СI - Р (с)).

п п ч

Будем говорить, что последовательность {А > совместно уплотняет

п

с константой q относительно меры некояпактности ф, если для любой ограниченной последовательности х ={ х^) выполнено неравенство

Y) s q (ИХ),'

где Y = { А х ). Если q в последнем неравенстве равно нулю, то будем

л п

говорить, что последовательность совместно компактна.

Теорема 1.3.15. Для того чтобы для любого с > О, для которого выполнено равенство (29), последовательность проекторов Р (с) была

совместно компактна, а резольвента (AI - А^(с)Г1 равномерно ограничена вне круга K(0,q+c), необходимо и достаточно, чтобы для любого 5>0 и любой подпоследовательности < А > существовала

п

к

нормальная мера некомпактности ф, эквивалентная мере некомпактности

Хаусдорфа, по отношению к которой { А } совместно уплоняет с

к

константой q + б.

Доказательство единственности возникающих вблизи состояния равновесия периодических решений также опирается на тот факт, что соответствующие производные, но. уже интегральных операторов, уплотняют.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах автора

1. О принципе усреднения для квазилинейных параболических уравнений с запаздыванием, //доклады Академии наук.- 1994. - 337, N 3. - с. 304-306.

2. О методе функционализации параметра для уравнений типа параболических. //Доклады Академии наук. - 1994. - 338, N 4. - с. 450-453.

3. Об одной модификации принципа усреднения для выровденных уравнений // Доклады Академии наук. - 1996. - 347, N2. - с.151-153.

4. Applications des opérateurs condensants au problèrae des solutions périodiques pour les équations paraboliques quasi-linéaires. Comptes rendus de l'Académie des sciences, v.318. Série 1, 1994, p.719-722.

5. Меры некомпактности и теория возмущений линейных операторов // Уч. зап. Тартуского ун-та. - 1977. - N 430. - с. 112- 122.

6. Оператор сдвига по траекториям уравнений нейтрального типа, зависящим от параметра.// Уч. зап. тартуского ун-та. - 1978. - N 448. - С. 101-117.

7. Sur le problèrae des solutions périodques pour les équations paraboliques quasi-linéaires avec retard. Séminaire mathématique de Rouen 1990-1991, pp 171-181.

8. On the averaging principle for the quasi-linear parabolic equations with retard. Abstracts of Invited Lectures and short Comnuni-cations Delivered at the Second International Colloquium, Plovdiv, Bulgaria 1991. p. 122.

9. On the Condensing Operators in periodic Solutions Problems for the Systems of Semi-linear parabiolic Equations. International Congress of Mathematicians. Abstracts. Short Communications. Zurich, Swizeland. 1994, p. 170.

10. On quasi-linear parabolic equatios with deviating argument. In ternational Conference on Functional- Differential Equations and Applications. Moscow. Russia. 1994, p. 36.

11. On averaging principle for degenerate ordinary differential equations. The Third International Congress on Industrial and applied mathematics. Hamburg. 1995, p.83

12. 0 принципе усреднения для уравнений с бесконечным запаздыванием в случае нулевого среднего линейной части // Третья Уральская

региональная конференция "Функционально- дифференциальные уравнения и их приложения". Тез. докл. - Пермь, 1988, - с.42.

13. Теорема о возмущении спектра и устойчивость периодических решений уравнений с запаздыванием в принципе усреднения в случае нулевого среднего линейной части // XIII Всесоюзная школа по теории оператороз в функциональных пространствах. Тез. докл. - Куйбышев, 1938. - С.84-85.

14. Геометрические методы нелинейного анализа и принцип усреднения для моделей типа Олдройда // всесоюзная конференция по геометрии и анализу. Тез. докл. - Новосибирск, 1989. - с.37.

Кроме того по теме диссертации опубликованы следующие работы

15. Ахмеров p.p., Каменский М.И. Ко второй теореме Н.Н. Боголюбова в принципе усреднения лля йункиионально-дифлеприциальных уравнении нейтрального типа // Дифференц. уравнения. - 1974.- 13. - с.537-540.

16. Ахмеров P.P., Каменский М.И., Потапов А.е., Садовский Б.Н. Уплотняющие операторы. //Итого науки и техники. ВИНИТИ. Мат. анализ. - 1980,- 18. - С. 185-250.

17. Ахмеров p.p., Каменский М.И., Потапов д.С., садовсхий Б.Н. Уравнения нейтрального типа.// Итого науки и техники. ВИНИТИ.Мат. анализ. - 1980. - 19,- с.55-126.

18. Ахмеров P.P., Каменский М.И. , Родкина А. Е. , Потапов Л.С. Садовский О.н. меры некомпактности и уплотняющие операторы.' - Новосибирск: Наука, .1986.

19. Каменский М.И., Потапова Л. В. О периодических решениях параболических уравнений с запаздывающим аргументом. // В сб."Прикладные методы функционального анализа". - Воронеж, 1985. - с.64-72.

20. Akhmerov R.R. , Kamenskii M.I. A certain approch to the study of the stability of periodic solutions in the averaging principle for functional-differential equations of neutral type. // Comment. Math. Univ. Carolinae. - 1975. - 161 - p.293-313.

21. Akhmerov R.R., Kamenskii M.I. Stability by the first approximation for set of dynamical systems with applications to neutral type equations. Nonlinear analysis. Methods and Applications. V.11, N6, 1987, pp. 651-664.

22. Kamenskii M.I., Obukhovskii V.V. Condensing multioperators and periodic solutions of parabolic functional-differential inclusions in Banach spaces. Nonlinear analysis. Theory, Methods and Applications. - 1993. - 20, -7. pp. 781-792.

23. Kamenskii M.I., Obukhovskii V.V., On periodic solutions of differential inclusions with unbounded operators in Banach spaces, Sb. Rad. Prirod. - Mat. Fak. Univ. u Novom Sadu. Ser. Mat. Fak. Univ. u Novom Sadu. Ser. Mat., 21, Ml, 1991, p. 173-191.

24. Kamenskii M.I., Obukhovskii V.V., Nistri P., Zecca P. Optimal Feedback Control for a Semilinear Evoluation Equation. Jornal of Optimization. Theory and Applications. 1994. - 82, -1. pp. 503-517.

25. Kamenskii M.I., Nistri P., Zecca P. Periodic solutions for parabolic inclusions with large parameters. International symposium on methods and applications of analysis. Hong Kong. 1994, p.54.