Майорановские фермионы в сверхпроводящих гибридных структурах тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

На правах рукописи

ИОСЕЛЕВИЧ Павел Алексеевич

Майорановские фермионы в сверхпроводящих гибридных

структурах

Специальность 01.04.02 — Теоретическая физика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

5 ДЕК 2013

Черноголовка - 2013

005541832

Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном учреждении науки Институт теоретической физики им. Л.Д.Ландау Российской академии наук.

Научный руководитель: Фейгельман Михаил Викторович,

доктор физ.-мат. наук., профессор

Официальные оппоненты: Воловик Григорий Ефимович, д. ф.-м. н.,

Защита состоится 27 декабря 2013 года в 11 часов 30 минут на заседании диссертационного совета Д 002.207.01 при Федеральном государственном бюджетном учреждении науки Институт теоретической физики им. Л. Д. Ландау Российской академии наук по адресу: 142432, Московская обл., г. Черноголовка, просп. Академика Семенова, д. 1-А, Институт теоретической физики им. Л.Д.Ландау РАН.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института теоретической физики им. Л. Д. Ландау РАН.

Автореферат разослан ноября 2013 г.

Ученый секретарь диссертационного совета,

ФГБУН ИТФ им. Л.Д.Ландау РАН, г. Черноголовка, главный научный сотрудник

Мирлин Александр Давидович, д. ф.-м. н., профессор Технологического Института г. Карлсруэ, Германия, глава теор. отдела

Ведущая организация: Федеральное государственное бюджетное

учреждение науки Институт физики микроструктур Российской академии наук

доктор физ.-мат. наук

Грннсвич Петр Георгиевич

Общая характеристика работы

Актуальность темы. В середине 2000х годов было предсказано существование топологических изоляторов,1-4 вскоре подтвержденное экспериментально.5"8 Эти материалы являются объемными изоляторами с металлической поверхностью. Поверхностные моды при этом топологически защищены н остаются проводящими при включении возмущений, например, примесного беспорядка. Топологические изоляторы существуют в разных измерениях. Так, состояние квантового эффекта Холла является примером двумерного топологического изолятора. Двумерный объем такой системы не проводит, в то время как край обнаруживает квантованную проводимость, соответствующую одномерным модам на краю образца. Топологические фазы реализуются и в сверхпроводящих системах. Именуемые топологическими сверхпроводниками, эти фазы также характеризуются щелью в спектре объемных возбуждений и бссщелевыми поверхностными модами. В одномерном топологическом сверхпроводнике такая поверхностная мода является локализованным состоянием с нулевой энергией. Это состояние оказывается майорановский фермионом - квазичастицей не несущей энергии и заряда, и совпадающей со своей античастицей.

Майорановский фермнон, прежде изучавшийся в контексте физики высоких энергий, возникает в сверхпроводящих системах в виде коллективного электронного возбуждения. Энергия локализованного майорановского состояния равна нулю и не меняется под воздействием внешних локальных возмущений. Благодаря этому качеству кубит, построенный на паре пространственно разведенных майорановских состояний, устойчив к дефазировкс локальными возмущениями.9

Создание систем, содержащих майорановские состояния, и обнаружение этих состояний - актуальная задача, которой заняты многие теоретики и экспериментаторы. Теоретически майорановские состояния предсказаны в на-ноироволоках с сильным спин-орбитальным взаимодействием в присутствии магнитного поля и сверхпроводимости,10,11 в коре вихря на поверхности трехмерного топологического изолятора с наведенной сверхпроводимостью12 и

некоторых других системах. В прошлом году нескольким экспериментальным группам удалось реализовать систему на базе нанопроволоки.13-15 Указанием на присутствие защищенной нулевой моды в этих экспериментах служит гшк в проводимости при нулевом напряжении, устойчивый к изменению магнитного поля, напряжения затворов и других параметров. Измеренный пик соответствует резонансному андреевскому отражению электронов, вызванному присутствием в системе майорановского нулевого состояния.16

Степень разработанности темы. Физика топологических изоляторов и сверхпроводников - тема сравнительно молодая, и испытывающая в последние годы бурное развитие. Имеется большой ряд работ по наиболее простым вопросам, однако еще большее число задач пока не решено теоретически. Экспериментальная наука достигла заметных успехов в работе с топологическими изоляторами, в то время как эксперименты с майорановскими состояниями в гибридных сверхпроводящих системах по большей части находятся в разработке, а число уже проведенных убедительных измерений невелико.

Целью работы являлось изучение майорановскнх фермионов в сверхпроводящих гибридных структурах и связанных с ними транспортных эффектов. Одной из задач являлось рассмотрение джозсфсоновского тока в системе, содержащей майорановскне фермионы. Цель состояла в предложении Б^-системы на основе топологического изолятора, и изучении возникающего в этой системе джозефсоновсого тока.

Мы также ставили перед собой задачу изучить туннельную проводимость сверхпроводящей гибридной системы, содержащей дискретные андреевские уровни, в частности, майорановскне состояния.

Еще одной целью было исследование влияния беспорядка на систему с уединенным майорановским состоянием путем рассмотрения статистики дискретных уровней в такой системе в пределе сильного беспорядка.

Основные положения, выносимые на защиту, заключаются в следующем:

1. Рассмотрена Б^-система, представляющая собой сэндвич нз покрытого с двух сторон сверхпроводящей пленкой куска трехмерного то-

иологичсского изолятора, в котором просверлен цилиндрический канал, соединяющий две поверхности. Через этот канал пропущен абри-косовский вихрь, приводящий к появлению майорановской моды в коре вихря на обеих поверхностях. Показано, что между поверхностями через канал протекает джозсфсоновскпй ток, содержащий наряду с 2тт-исриодпчсской но (р частью еще и аномальную 47г-периодичсскую компоненту. Этот ток вычислен при разных параметрах системы и температуре. Установлена связь аномальной компоненты с сохранением фермион-нон четности в контакте, и получена характеристическая температура, при которой аномальный ток подавляется.

2. Рассмотрено андреевское отражение электрона, туннслирующего в сверхпроводящую систему с дискретным спектром андреевских состояний. Получены общие формулы для резонансного отражения при энергиях, близких к энергиям дискретного спектра системы. Исследована интерференция различных андреевских процессов и получена точная формула для одноканального контакта в терминах дискретных уровней системы. С помощью этой формулы рассмотрена система с парой почти нсспарснных майорановских мод. В этой ситуации в проводимости имеется лорснтцсвскнй пик при нулевом напряжении высотой 2е2//г, на фоне которого имеется параметрически узкий, топологически защищенный провал до нуля на самых низких энергиях.

3. Рассмотрен кор вихря на сверхпроводящей поверхности топологического изолятора в пределе сильного беспорядка. С помощью метода нелинейной суперсиммстрнчной а-модсли найдена средняя локальная плотность состояний. Показано, что эта система относится к нульмерному классу симметрии В (также известному как Б-оск!) и имеет ¿-пик в плотности состояний при нулевой энергии, описывающий майорановское состояние, и отталкивающий ближайшие уровни с конечной энергией. Вычислено ушпренне пика в ситуации, когда к поверхности топологического изолятора в области кора вихря подключен туннельный контакт, и получена проводимость в туннельном эксперименте для такой системы.

Методология и методы исследования. Исследования, составляющие диссертацию, проводились современными методами теоретической физики. Сверхпроводящие системы изучались при помощи формализма Боголюбова-де Жена, электронный транспорт - на основе теории ¿'-матриц и формул Лесовика-Левитова. Свойства неупорядоченных систем исследовались с помощью суперсимметричной нелинейной сигма-модели.

Научная новизна и достоверность. Результаты диссертационной работы получены впервые, достоверность ее выводов обеспечена надежностью применявшихся методов и подтверждается результатами апробации работы.

Научная и практическая значимость. Полученные новые результаты позволяют лучше понять физику топологических сверхпроводников и майо-рановских фермионов и могут быть применены как для дальнейших теоретических исследований, так и для планирования и анализа экспериментов.

Апробация работы. Результаты, изложенные в диссертации, докладывались и обсуждались на международных конференциях: MES0-12 (г. Черноголовка, 2012), Landau Days (г. Черноголовка, 2012, 2013), Topological materials for папо structures, (Stuttgart, Germany, 2012), The Science of Micro structures: New Frontiers in the Physics of Quantum Dots (г. Черноголовка, 2012), Современные проблемы фундаментальных и прикладных паук (г. Долгопрудный, 2008, 2009), а также на научных семинарах в MIT (Cambridge, Massachusets), UC Berkeley (Berkeley, California), Weizmann Institute (R.eliovot, Israel), NITech (Nagoya, Japan), Microsoft Station Q (Santa Barbara, California), Института Теоретической Физики им. Л. Д. Ландау РАН, МГУ и Института физики микроструктур РАН.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 3 научные работы, список которых приведен в конце реферата.

Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, приложения и списка литературы.

Основное содержание работы

Диссертационная работа начинается с введения, в котором дан краткий обзор физики топологических изоляторов и сверхпроводников и описан контекст решаемых в диссертации задач. Также во введении сформулированы цели диссертации и представлены се основные результаты. Заканчивается введение кратким описанием содержания остальных глав.

Первая глава посвящена математике и общим свойствам манорановских фермионов. В диссертации сверхпроводимость рассматривается в приближении среднего поля, и электроны описываются уравнениями Боголюбова-де Жена. В стандартном базисс {ф^ — 4>\) гамильтониан сверхпрово-

дящей системы

времени (С обозначает комплексное сопряжение). По построению /1 ¡¡¡к; ан-

матрнца Паули а действует на спин, а г - в пространстве Намбу-Горькова. Вместе с равенством £2 = 1 это коммутационное соотношение приводит к симметрии спектра Н^д ~ каждому уровню с энергией +Е соответствует уровень с —Е, причем соответствующие волновые функции связаны соотношением Ф+е = 2■ф-Е■ Спектр также может содержать состояние с Е = О и самосопряженной волновой функцией 7 = Н7 - такое состояние является майорановской модой. На исходном языке операторов рождения и уничтожения электронов действие Н есть не что иное, как эрмитово сопряжение, так что 7 = - майорановский фермион является своей собственной античастицей. Электрон-дырочная симметрия обеспечивает топологическую защищенность уединенной майорановской моды от возмущений. Четность числа нулевых собственных значений Нв<ю ~ топологический инвариант, способный изменить свое значение только при закрытии щели в спектре системы.

Поскольку одна фермнонная степень свободы, описываемая операторами

(1)

где Н0 - одноэлектронный гамильтониан, а Т = (<туС - оператор обращения

тпкоммутирует с оператором электрон-дырочной симметрии 5! = оутуС, где

ct,c, соответствует паре майорановских операторов

с+с*

в реальной конечной системе число нулевых майорановских мод всегда четно. Говоря об изолированной майорановскоп моде 71 с нулевой энергией, мы будем подразумевать, что где-то в системе есть вторая майорановская мода 72, пространственно удаленная от первой, так что расщепление по энергии между ними экспоненциально мало. Комбинация двух майорановских мод образует один полноценный фермионный уровень с малой, но не нулевой энергией. Волновая функция этого уровня существенно нелокальна и является равновзвешенной суперпозицией мод 71 и 72-

Рассмотрим туннельный контакт между двумя топологическими сверхпроводниками, содержащими моды 71 и 72. Низкоэнергетнчсская часть гамильтониана имеет вид Н = г_Ь'((^)7х72 с энергией Е(<р), зависящей от разности фаз В простейшем случае Е((р) = £соз(у?/2), в общем же случае Е(<р) является функцией, меняющей знак при адиабатическом изменении </? на 2тт. Действительно, при повороте фазы в первом сверхпроводнике на 5(р, волновая функция 7х домножается слева на е®7*'5^/2, и ПрН обороте фазы на 27Г меняет знак, за счет чего меняет знак и туннельный матричный элемент между 71 и 72. Из 47г-перподичности Е(<р) следует, что и адиабатическая эволюция системы 47г-периоднческая. В частности, 47г-периодическая зависимость энергии транслируется в 47г-пернодическнй стационарный джозефсоновский ток. Измерение такого аномального тока может служить экспериментальным свидетельством наличия майорановских фермионов в системе.

Вторая глава диссертации посвящена изучению аномального джозефсо-новского тока в предложенной нами оригинальной системе, изображенной на Рисунке 1 и основанной на трехмерном топологическом изоляторе, покрытом сверхпроводником.

Рассмотрим сэндвич, изображенный на Рисунке 1, состоящий из относительно толстой пластины трехмерного топологического изолятора, например, В123ез, покрытой с двух сторон тонким слоем 5-волнового сверхпроводника. За счет эффекта близости электроны на поверхности топологического изо-

MBS

Рас. 1: Изучаемая во второй главе система (вид в ссчсшш вдоль лншш вихря). Пластина топологического изолятора покрыта с двух сторон сверхпроводящей пленкой. В пластине вместе с пленками просверлено отверстие, через которое пропущен вихрь. Плоские поверхности топологического изолятора сверхпроводящие за счет эффекта близости, в то время как поверхность внутри цилиндрического отверстия — металлическая. Разность фаз между сверхпроводящими поверхностями регулируется потоком Ф.

лятора описываются гамильтонианом (1) с наведенным параметром порядка Д(г) и одноэлектроиным гамильтонианом

Н{) = с {о -,р., + (ТуРу) - Ef. (3)

Здесь v- скорость Дираковских электронов, Ef -энергия Ферми. Рассмотрим вихрь Абрикосова, пронизывающий поверхность топо,логического изолятора с наведенной сверхпроводимостью. В коре вихря имеются связанные электронные состояния типа Кароли-Матрикона-де Жена.17 характеризующиеся целым моментом V. При v -С p/s, где £ = v/А - длина когерентности (Д - сверхпроводящая щель вдали от кора), спектр эквидистантен, Ev = vcj0 с щ ~ jgj. Состояние с и = 0 является майорановской нулевой модой.12 Поскольку пластина топологического изолятора имеет две поверхности, мы имеем два кора с одинаковыми спектрами. Состояния с двух поверхностей гибридизуются за счет туннелирования сквозь толщу изолятора, и мы получаем ситуацию с 47г-периодической низкоэнергетической динамикой, описанную выше. Ток в такой системе мал в меру вероятности туннелирования сквозь пластину. Чтобы получить аномальный джозефсоновский ток с заметной амплитудой, проделаем в пластине цилиндрическое отверстие радиуса Н ВДОЛЬ ЛИНИИ вихря. Электроны С угловым моментом V < PfR свобод-

но проникают сквозь отверстие-трубку по металлическим стенкам, сильно гибридизуя состояния с двух поверхностей. Как мы покажем, аномальный член в токе 1 (¡р) за счет трубки вырастет до величины порядка еД//г, при этом появится также ц нормальная, 27Г-периодическая компонента порядка (р/ЩеА/к. Первым делом, однако, покажем, что ток в любом случае останется 47Г-иериодичным, как при открытии отверстия, так и при любых других деформациях системы. Для гамильтониана с электрон-дырочной симметрией определен Пфаффиан.9 При обороте фазы на 2тг Пфаффнан умножается на Р = ±1 и этот множитель является топологическим ннварнантом системы. Для системы 1-А'(у>)7172 Пфаффиан равен Е{ир) и меняет знак при Ф —> 93 + 27Г. Поскольку открытие отверстия не закрывает щели в системе, а только меняет дискретную часть спектра, Р остается равным —1 после открытия отверстия. Знак Пфаффиана связан с фермнонной четностью системы - всякий раз, когда Р 1{Н(ир)) меняет знак, меняется четность основного состояния системы.9 Поэтому в системе с Р = — 1 и сохраняющейся фермион-ной четностью эволюция является 4л"-период1гшой. Это доказывает, что 4тг-периодический ток - топологически защищенное явление. Отметим важность низкой симметрии нашей системы: если вместо поверхности топологического изолятора взять графен, электронные состояния в котором вырождены по спину и долине,18 получится четыре кошш системы и тривиальный инвариант Р = Р1Р2Р3Р4 = (Л)4 = +1. Точно так же, из-за вырождения по спину, аномальный ток не возникает, например, в обычном баллистическом Я^-контакте.19

Большая часть второй главы посвящена вычислению спектра и сверхтока в описанной выше Э^-системе. Вычисление производится в квазнклас-сическом пределе Д < Е/. Также мы считаем « Д < н I < Здесь

- длина когерентности в сверхпроводящем покрытии, а Ь- длина трубки, совпадающая с толщиной пластины. Считая все поверхности топологического изолятора чистыми, мы находим волновые функции с заданной энергией Е и моментом V на поверхностях и в металлической трубке, а затем сшиваем

Рис. 2: Аномальный ток /„(у), вычисленный прн р/Л = 2 (пунктирная линия) и р/Л = 3 (синяя линия). Остальные параметры имеют значения р}£ = 10, рг£ао = 5, р/Ь = 0, Т = 0.05Д. Экстремумы функции /„(у) расположены в тех точках, где пара сопряженных уровней пересекается в е = 0.

их на границах отверстия. Ответ для спектра имеет вид

уЬ

,k(<p) = - TT - 27г к) - єі

arcsin -

Ґ1--V (Pfi

.2

(p/W2

(4)

P/R 2pfR2

где £i « Д, а £0 w Д/2, угловой момент |г/| < p/R, а к 6 Z. Формула (4) работает при е^ «Ди PfR — \v\ (pfR)1/3. В коротком SNS-контактс равновесный сверхток выражается через спсктр нодщелевых состояний.19 Нам, однако, нужно получить ток в условиях сохраняющейся фермионной четности. Для этого мы вводим термодинамические потенциалы для четного и нечетного ансамблей П0/е2Ц и вычисляем 47г-перподичсскую часть тока

е д

la ( 1) 0 j^ßyj ^even) !

(5)

где - четность основного состояния системы. В терминах дискретного спектра системы формула (5) переписывается как

ш = (-1)*-

2е/

■Е

det

h(l — Р) ¿-г1 sinh Ц дір'

/ = IItanh§;>

(6) (7)

где сумма и произведение берутся по положительным е^. Величина 1а есть разность между током в четном и нечетном состоянии системы при температуре Т. Отмстим, что полный ток содержит также не зависящую от четности, 27г-иериодичсскую компонента 1п ~ pfReA/h, пропорциональную числу каналов в трубке. Применяя общую формулу (6) к нашей системе со спектром

І, 1.0

Рис. 3: Температурная зависимость компоненты Ia(f = 7г) при тех же значениях параметров, что н на Рисунке 2. Синяя и пунктирная кривые соответствуют p/R = 3 и p/R = 2.

е£о 0.8

0.6

0.4

0.2

Т

0.0

0.05

0.1

0.15 Д

(4), мы получаем несколько различных режимов, в зависимости от параметров системы и температуры. Типичные кривые 1а(<р) приведены на Рисунке 2. Отметим, что экстремумы тока расположены при тех (р, в которых пара уровней системы пересекается в нуле энергий. При самых низких температурах 1а('-р) оказывается порядка еД/Л. При более высоких температурах, когда среднее число квазичастиц в системе становится много больше единицы, аномальный ток экспоненциально подавляется с ростом температуры. Характеристическая температура, при которой ток подавляется, есть

Первый аргумент минимума - температура, при которой число квазнчастиц, описываемых формулой (4), становится порядка единицы, Вторая величина соответствует негибридизованным уровням с \и\ > p/R, не проникающим в трубку. Наконец, третья величина - классическая температура для эффекта

спектра. Зависимость 1а{Т) приведена на Рисунке 3. Ввиду быстрого затухания 1а(Т), экспериментальное обнаружение 47г-периодичсского тока возможно только при температурах ниже Т*.

В третьей главе обсуждается в общем виде туннельный контакт между нормальным металлом и сверхпроводящей гибридной системой, содержащей подщелевые связанные состояния. При напряжениях меньше сверхпроводящей щели проводимость в такой системе определяется андреевским отражением.21 При этом андреевское отражение носит резонансный характер - пики в проводимости возникают при напряжениях, близких к одному из уровнен дискретного спектра сверхпроводящей системы. Для изучения проводимости

четности,20 при этой температуре появляются квазичастицы непрерывного

мы используем формулу Бюттикера-Тинкхама-Клапвайка22

оо

2е Г

1 = т ! Та(Е)[МЕ - еУ) - /о(Е)]йЕ (9)

—ОО

оо

и _ 2е2 [ ТА(Е)

—оо

где Та{Е) есть вероятность андреевского отражения электрона с энергией Е, просуммированная но всем каналам. Эту величину можно переписать в виде формулы Кубо

Матрицы действуют в пространстве Намбу, V - оператор скорости электронов в металлическом проводе, ь* - сопряженный по времени оператор, действующий на дырки. - точная запаздывающая (опережающая) функция Грина электронов в проводе (галка в <5 означает структуру в пространстве Намбу). Представим полную систему в виде провода с невозмущенной функцией Грина Со, сверхпроводящей структуры и туннельного гамильтониана Нт, переносящего электроны из провода в сверхпроводник и обратно. Точную функцию Грина полной системы в области провода запишем в терминах Т-матрицы

6 = 60 + ТС0 (12)

.у- = С?()Ят6дЯг ^

1 — ('"(]//;(///'/'

Выражение (13) содержит формальное суммирование по всем степеням туннельного гамильтониана Нт- Техническое содержание третьей главы сводится к вычислению '1 '-матрицы в двух общих случаях и последующему нахождению проводимости С{У,Т).

Первым общим случаем, когда удастся получить компактный ответ для проводимости, является одноуровневый резонанс. Если энергия туннслиру-ющего электрона близка только к одному дискретному уровню сверхпро-

водника, мы можем удержать в только соответствующий полюс

с Ш, (14)

где |;о) обозначает резонансное состояние. В таком случае Т-матрица равна

где |г) = НтЦо)- Подстановка в уравнения (12,11,10) дает при нулевой температуре

1 "1 (У3

г* - (л 74

где ширина резонансного пика IV и параметры пем определяются как

Гпе = (г|фЙ|г\ \¥ = ъ(пе + пь), где { К е| ? \е' (18)

За д обозначены металлические (функции Грина без структуры в пространстве Намбу. В частном случае точечного контакта пе,п/, приобретают смысл электронной н дырочной компонент плотности вероятности в точке контакта, помноженных на обратное время туннелирования. V/ можно понимать как упругое уширение уровня |уц) за счет контакта с металлическим проводом. Структура Т*А такова, что андреевское отражение сильнее от уровней, электронная и дырочная компоненты которых близки по абсолютной величине. В частности, для майорановского состояния пс = п/,.и Т*А вследствие 7 = -у*. Явление идеального резонансного отражения от уединенной мапо-рановской моды в специального вида системе было рассмотрено в работе.16 Полученная нами формула (16) применима, когда |еУ - £у„| < |еУ -и |еК — < \еУ - то есть когда обратное время туннелирования №'

много меньше, чем расстояния между уровнями. Типичный профиль проводимости в такой ситуации представлен на Рисунке 4.

1 І! Р і

і Л' а \ / а Л і

Рис. 4: Схематическое изображение туннельной проводимости, как функции напряжения, для произвольной системы. Каждому уровню соответствует пик высоты < 2е2/Л (в точности 2е2/Л для майораповского уровня). С ростом температуры пики уширяются. За ш0 обозначено характерное межуровневое расстояние.

Формула (16) не работает, если энергия электрона близка сразу к двум или более резонансным уровням. Такая ситуация особенно актуальна в контексте физики майорановских фермионов - паре слабо спаренных майоранов-ских мод соответствует уровень с малой энергией Ео и уровень-изображение с —Е0. Если Е0 < \А/, пользоваться формулой (16) нельзя. Ниже мы выводим точную формулу, позволяющую учесть сразу все уровни системы (в том число пару майорановских состояний) для одноканального туннельного контакта Нт• Одноканальный туннельный гамильтониан в общем виде можно записать как

Нт = \0)і(а\ - |б/*)(*(сг*| 4- 1г.с.

(19)

с некоторыми волновыми функциями 10) н \а) в щупе и сверхпроводнике, соответственно. Вычисляя Т-матрицу и подставляя результат в формулу Кубо, мы получаем общий ответ:

2е> 4Й|

л (і - ад, +|^|)2 + (Ее +

где безразмерные величины определены как

\Ш£ ,

Е-Е, Е + Е, '

Г ,2¥ ІНЯІ2 , \Ш\2

J>0 3 3

У у.2 л г Ш(з№) , ИЯО'У)

А= "¿^^Г е + ■

2'

(20)

(21) (22) (23)

Здесь N0 = 1т(#|<7Л|0) - нормировочная константа (для точечного контакта Щ = -ли). Величина Ид имеет простой физический смысл - 2г'Ед является амплитудой андреевского отражения в низшем порядке по Нт- Поскольку Н^О'Ю = (а\з)(з\а*)Т = ^и*)0'*|<7*)>ФУнкиия Ел(Ь') - нечетная, так что в отсутствие уровней с Ej = 0 амплитуда Ед(0) равна нулю. Вклады в андреевское отражение от уровней Е^ и —Ej сокращают друг друга при Е = 0. Поскольку знаменатель в выражении (20) при этом остается конечным, получается <3(0) = 0. Если же в системе есть нулевой майорановскнй уровень, то Ед имеет полюс в нуле. Легко показать, что знаменатель также будет иметь полюс при Е = 0. Разрешив неопределенность, получим (3(0) = 2е2//г. Таким образом, в одноканальном контакте проводимость при нулевом напряжении квантуется - (?(0) = 0 или С(0) = 2е2//г. Такое квантование легко получить из соображений симметрии.24 5-матрица сверхпроводящей системы обладает электрон-дырочной симметрией, так что с1(Н Б(Е = 0) = ±1. Поскольку для одноканального контакта С = е2//г(1 — с1с15), мы немедленно получаем искомое квантование. Случай полного андреевского отражения 5" = — 1) соответствует так называемому топологическому ^-контакту, на границе которого имеется квазистационарное майорановское состояние. В тривиальном N3-контакте (<1<Л 5 = +1), наоборот, отражение электронов полностью нормальное и проводимость равна нулю.

Особый интерес представляют системы, содержащие пару слабо спаренных майорановских мод. С одной стороны, в системе с единственной модой проводимость О(0) должна быть равна 2е2/Н. С другой стороны, в системе с двумя майорановскими модами мы сразу оказываемся в ситуации С(0) = 0. Как непрерывным образом связать два случая? Чтобы ответить на этот вопрос, рассмотрим проводимость при самых низких энергиях, выкинув из формулы (20) все уровни, кроме пары наиннзших, ±Е0. Выражение для проводимости значительно упрощается:

0(У) =

1

к '

(24)

где

(Ы2 + Ы2)2'

Í1 = ty/Wa(<j\j), h = ty/W0(a\f).

4|Í!Í2|2

2\2

(25)

(26)

(27)

(28)

Эффективная резонансная энергия Ё0 чуть больше Е0, но обычно эта разница мала по сравнению с Eq и ей можно пренебречь. При W Eq кривая G(V) состоит из двух лорентцовских пиков, ширина W которых много меньше расстояния 2Eq между ними, см. серую кривую на Рисунке 5. По мере уменьшения Eq пики сближаются, причем внешние крылья набирают спектральный вес, а проводимость при ¡eVj < Eq, наоборот, подавляется. Такое поведение соответствует структуре - при | еV | < Е0 интерференция вкладов от |jo) и ¡j/q) деструктивная, а при \eV\ > Eq - конструктивная. При Е0 -С W кривая имеет вид одного лорентцевского пика ширины 2W с узким провалом ширины Eq/W при V = 0, обеспечивающим соблюдение условия G(0) = 0. Предел Eq 0 соответствует процессу удаления одной майора-новской моды из системы, н переходу в режим топологического NS-контакта. G(0) = 0 при любом положительном Е0, однако, при конечной температуре провал в G(V) размывается, так что экспериментально обнаружить провал в пике возможно только при самых низких температурах. Отмстим, что общий спектральный вес / = /„ G{eV)dV (взятый при V Eq, но много меньше следующего энергетического уровня) остается неизменным при изменении Eq. На Рисунке 5 проводимость при нулевой температуре изображена для разных Eq. На Рисунке 6 представлена проводимость при различных температурах.

Отметим, что полученные формулы (16,20) приложимы отнюдь не только к системам с майорановскими фермионами. Они годятся для любых туннельных экспериментов, температура в которых достаточно мала для разрешения отдельных андреевских уровней. Например, можно было бы наблюдать уровни Кароли-Матрикона-де Жена в графене с наведенной сверхпроводимостью.23 В трехмерном сверхпроводнике уровни Кароли-Матрикона-де Жена

Рис. 5: Одиокаиальиая проводимость при Т = 0 для фиксированного IV и различных значений Е0. Пуктнр-ная кривая соответствует Е0 = 0. На врезке показаны кривые при самых низких Е. На этом и следующем графике ТД положено равным единице.

Рис. 6: Одиокаиальиая проводимость при Е0 = 1 и IV = 10 при различных температурах. Пунктирная кривая соответствует Т = 4.

еУ/£0

не являются дискретными за счет дисперсии вдоль линии вихря. Однако, это одномерное движение можно локализовать с помощью беспорядка. Так, в сильно анизотропных материалах вроде N1)302 масса движения вдоль линии вихря очень велика, так что для локализации квазичастиц достаточно слабого беспорядка.

В четвертой главе рассматривается кор вихря на поверхности трехмерного топологического изолятора в пределе сильного беспорядка. Изучается система, изображенная на Рисунке 7 - в сверхпроводящей пленке, покрывающей тоиологичссий изолятор, проделано отверстие радиуса Я, в которое помещен абрикосовский вихрь. Назначение отверстия трояко: во-первых, отверстие пиннингует вихрь - в эксперименте не придется искать вихрь; во-вторых, оно позволяет подвести щуп туннельного микроскопа непосредственно к поверхности топологического изолятора и измерить туннельную плотность состояний; наконец, вырезав кружок, мы удаляем из сверхпроводящей пленки низколежащие состояния Кароли-Матрикона-дс Жена,25 на фоне которых было бы трудно обнаружить электронные состояния с поверхности

сУ/Ш

Т=0.01

Т=0.1

Т= 1 Я0= 1

Т=4 \У=10

-10 -5 0 5 10

Topological Insulator

SC:

Рис. 7: Изучаемая система. Трехмерный топологический изолятор покрыт плопкоп s-волнового сверхпроводника. I) которой имеется отверстие радиуса R. Спектр пнзколежа-щпх электронных состояний содержит майораповскоо состояние. Оно может быть измерено туннельным микроскопом, подведенным к поверхности топо логического изолятора через отверстие.

топологического изолятора. Мы предполагаем R больше или порядка Vf/A в сверхпроводящей пленке, что означает, что вырезана большая часть спектра Кароли-Матрикона-де Жена, и позволяет считать наведенный параметр порядка на поверхности топологического изолятора ступенчатой функцией.

Полный гамильтониан, описывающий электроны на поверхности топологического изолятора, имеет вид

Здесь р. - химический потенциал, У(г) - случайный потенциал, описывающий примесный беспорядок. Цель четвертой главы - вычислить локальную плотность состояний р(Е, г). усредненную по беспорядку. Для этого мы используем суперсимметричную нелинейную ст-модель.2е Электроны на поверхности топологического изолятора относятся к симплектическому классу симметрии АН. характеризующемуся симметрией по отношению к обращению времени с Т2 = —1. В нашей системе Т-инвариантность нарушена вихрем, и. кроме того, имеется электрон-дырочная симметрия. Поэтому система относится к сверхпроводящему классу О. Эффективное действие сигма-модели для на-

0, г < R, Д, r>R.

(29)

шей системы

S[Q] = Y¡d2rStl [D(y3)2 + 4(¿eA - + 4Q\,

A = tz(tz, A = А(г)(тх eos tp — ty s'mip). (31)

Здесь e = E + iGt5{г — v^/A'kv - сумма энергии и локального члена, описывающего слабый туннельный контакт с металлом, имеющий нормальную проводимость Gt -С 1. За Ü обозначен коэффициент диффузии, v - металлическая плотность состояний. Sg[Q] - топологический член типа Весса-Зумино-Виттена, возникающий из-за Дираковской природы электронов на поверхности топологического изолятора. Суперматрица Q имеет размер 8 X 8 и ограничена условиями Q2 = 1 и

Q = Q = CQTCT, С = тх[°х °) . (32)

Vo ¿<VFB

Здесь т действует в пространстве Намбу, а а - во вспомогательном TR-пространстве, введенном для равнозначного учета куперонов и диффузонов. Поиск минимума действия (31) сводится к решению уравнению Узаделя и сужению эффективного многообразия до двух несвязанных частей, на которых S/) принимает разные значения. Вычисляя супсрннтсграл

р{Е, г) = £ Re У DQ Str[fcAQ(r)] e"6™, (33)

мы находим

р(г,Е) = ип(г)/(Е/ш0), (34)

R2-r2

n{r) = cos 9\ (r) = R2 + r2, (35)

, , -у sin(27r:r)

= f 2I 2^ + 1 - -36

Tv{x¿ + 7¿) 2тгх

Здесь 7 = Gtn(ru)/27r -С 1, а среднее межуровневое расстояние равно

а;"1 = 2и J d2r cos í>i (г) = 27r(log4 - 1 )vR2. (37)

Выражение (36) в пределе 7 —> 0, когда первый член превращается в ó(x), воспроизводит ответ для плотности состояний нульмерного класса D-odd (также

a,=o.i

- tjLiñsiclassics díiss D-ímwí

0.0

(1.0

n.s

1.0

l.s

2.0

E/E rl]

Рис. 8: Полная плотность состояний при низких энергиях как функция энергии Е. Сплошные линии изображают плотность состояний для различных G¡ в единицах е2/Л. Майо-рановский уровень при Е = 0 отталкивает низко-лежащие уровни с конечной энергией, как видно из провала вблизи майорановского пика. Осциллирующая пунктирная (серая) кривая демонстрирует плотность состояний в классе D, то есть в системе; не имеющей майорановского уровня. Пунктирная (красная) кривая - квазиклассический результат, не учитывающий корреляции уровней, и одинаковый для классов В и D.

обозначаемого В).27 Пик в нуле соответствует майорановскому состоянию в системе. В присутствии туннельного контакта ¿-пик размывается. Кривые для интегральной плотности состояний N(E) = J р(г, E)dr для разных Gt представлены на Рисунке 8. Формула (36) применима при энергиях много меньше энергии Таулесса Етн = D/R2. При больших энергиях флуктуации подавляют осцилляции в р(Е). При Е Ети плотность состояний можно считать квазиклассически: p{r) = z/Re cos#(r), где в(г) - решение уравнения Узаделя. При энергиях Етк -С Е -С А решить его удается аналитически, при промежуточных энергиях Е ~ Етн мы решили его численно. Результаты представлены на Рисунке 9.

Результат (36) свидетельствует о том, что хотя майорановское состояние не сдвигается с нуля энергии за счет беспорядка, оно тем не менее оказывает влияние на статистику уровней - ближайшие уровни с ненулевой энергией отталкиваются от майорановского уровня - вероятность найти уровень с энер-

1.0

0.8

п

> 0.6

0.0

о

2

4

6

8

Е/ЕТЬ

Рис. 9: Полная плотность состояний как функция энергии Е. Осциллирующая (синяя) кривая демонстрирует низкоэпергетический результат при = 0.1е2//г, пунктирная кривая — высокоэнергетическая асимптотика, монотонная (красная) кривая — численное решение, интерполирующее между двумя пределами.

гной много меньше и>(] подавлена, в отличие от системы без майорановского состояния.

Согласно результатам третьей главы, при 1 туннельная проводи-

мость имеет вид набора резонансных пиков. При этом оказывается применимой формула

если только в качестве плотности р(£/',Го) брать выражение (36), уже содержащее в себе уширение уровней за счет туннельного контакта. В результате мы находим 6(0) = 2е2/Іг, в согласии с формулой (16). Такой пик возможно обнаружить экспериментально, что и было сделано в системах на основе нанопроволок.13

Заканчивается четвертая глава вычислением шума в рассматриваемом контакте. В заключении сформулированы результаты диссертации, выносимые на защиту. В приложение вынесены громоздкие вычисления.

У р{Е,г0)[ПЕ-еУ)-НЬ')]<1Е

(38)

Заключение

Результаты диссертационной работы можно разбить на три части. Первая касается аномального, 47г-периодического джозефсоновского тока в З^-системах, содержащих майорановские фермионы. Мы получили общую формулу, выражающую такой ток через подщелевой спектр контакта при сохраняющейся фермионной четности в контакте. Предложив оригинальную геометрию, основанную на трехмерном топологическом изоляторе, покрытом в-волновым сверхпроводником, мы посчитали в ней спектр и получили отсюда аномальный джозефсоновский ток. Ответ был изучен, как функция параметров системы и температуры, откуда была получена характеристическая температура, при которой аномальный ток подавляется.

Во второй части диссертации был рассмотрен в общем виде туннельный контакт между нормальным металлом и сверхпроводником, содержащим дискретные подщелевые уровни. При напряжениях, меньших щели, туннельная проводимость определяется резонансным андреевским отражением, происходящим, когда энергия электрона близка к одному из дискретных уровней. Мы получили общие выражения, описывающие соответствующие резонансные пики в проводимости. Кроме того, для случая одноканального контакта были получены общие выражения, позволяющие проанализировать роль интерференции в процессе андреевского отражения. Интерференция существенна, когда энергия электрона близка сразу к нескольким дискретным уровням, и определяет то, как именно ведут себя пики в проводимости, близко расположенные по энергии. В частности, при нулевом напряжении вклады от уровней с противоположными энергиями сокращают друг друга, что приводит к занулению проводимости. Для системы с двумя слабо спаренными майорановскнми фермионами проводимость имеет вид лорентцевского пика высоты 2е2//г в нуле, на фоне которого имеется параметрически узкий провал вплоть до нуля. Рассмотрен плавный переход от системы с парой спаренных манорановских мод к системе с одной майорановской модой. Показано, что провал в проводимости быстро замывается с ростом температуры, что не позволяет отличить систему с единственной майорановской модой от системы с

двумя слабо спаренными модами.

В третьей главе мы изучали кор вихря на сверхпроводящей поверхности топологическою изолятора в присутствии сильного беспорядка. Получена плотность состояний р[г,Е). усредненная по беспорядку. В пределе сильного беспорядка система описывается сигма-моделью класса симметрии D-odd (также обозначаемою В). При низких энергиях плотность состояний в системе обнаруживает 5-пик в плотности состояний, и осцилляции при отходе от нуля энергии. Хотя майорановская мода, соответствующая (5-ннку, и защищена топологически (ее энергия остается на нуле при .любой реализации беспорядка). она тем не менее существенно влияет на статистику остальных уровней - ближайший уровень с положительной энергией отталкивается от нее.

Полученные результаты способны служить руководством для экспериментальных исследований — мы предложили конкретную SNS-снстему для обнаружения аномального джозефсоновского тока. Результаты, полученные нами для туннельной проводимости, и выводы о влияния беспорядка на системы с майорановскими фермионами могут быть использованы для анализа существующих экспериментальных данных и для планирования новых измерений.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Tunneling conductance due to a discrete spectrum of Andreev states / P. A. Ioselevich, M. V. Peigel'man // New Journal of Physics. — 2013. — Vol. 15. - P. 055011.

2. Anomalous Josephson Current via Majorana Bound States in Topological Insulators / P. A. Ioselevich and M. V. Feigel'man // Phys. Rev. Lett. — 2011. - Vol. 106. - P. 077003.

3. Majorana state on the surface of a disordered three-dimensional topological insulator / P. A. Ioselevich, P. M. Ostrovsky, and M. V. Feigel'man // Phys. Rev. B. - 2012. - Vol. 86. - P. 035441.

Цитируемая литература:

1 Topological Insulators in Three Dimensions / L. Fu, C. L. Kane and E. J. Meie // Phys. Rev. Lett. - 2007. - Vol. 98. - P. 106803.

2 Topological phases and the quantum spin Hall effect in three dimensions / R. Roy // Phys. Rev. B. - 2009. - Vol. 79. - P. 195322.

3 Quantum Spin Hall Effect and Topological Phase Transition in HgTe Quantum Wells / B. A. Bernevig, T. A. Hughes, and S. C. Zhang // Science. - 2006. -Vol. 314. - P. 1757.

4 Topological insulators with inversion symmetry / L. Fu, C. L. Kane // Phys. Rev. B. - 2007. - Vol. 76. - P. 045302.

5 Quantum Spin Hall Insulator State in HgTe Quantum Wells / M. König, S. Wiedmann, С. Brne, et al // Science. - 2007. - Vol. 318. - P. 766.

ß A topological Dirac insulator in a quantum spin Hall phase / D. Hsicli, D. Qian, L. Wray, et al // Nature. - 2008. - Vol. 452. - P. 970.

7 Observation of a large-gap topological-insulator class with a single Dirac cone on the surface / Y. Xia, D. Qian, D. Hsieh, et al // Nature Physics — 2009. — Vol. 5. - P. 398.

8 Topological insulators in Bi2Se3, Bi2Te3 and Sb2Te3 with a single Dirac cone on the surface / H. Zhang, С. X. Liu, X. L. Qi, et al // Nature Physics - 2009. -Vol.5. - P. 438.

9 Unpaired Majorana fcrinions in quantum wires / A. Yu. Kitaev // Pliysics-Uspekhi. - 2001. - Vol. 44. - Pp. 131-136.

10 Majorana Fermious and a Topological Phase Transition in Semiconductor-Superconductor Heterostructures / R. M. Lutchyn, J. D. Sau, and S. Das Sarma // Phys. Rev. Lett. - 2010. - Vol. 105. - P. 077001.

2G

11 Helical Liquids and Majorana Bound States in Quantum Wires / Y. Oreg, G. Refael, F. von Oppen // Phys. Rev. Lett. - 2010. - Vol. 105. - P. 177002.

12 Superconducting Proximity Effect and Majorana Fermions at the Surface of a Topological Insulator / L. Pu and C. L. Kane // Phys. Rev. Lett. — 2008. — Vol. 100. - P. 096407.

13 Signatures of Majorana Fermions in Hybrid Superconductor-Semiconductor Nanowire Devices / V. Mourik, K. Zuo, S. M. FYolov, et al // Science. — 2012. - Vol. 336. -P. 1003.

14 Zero-bias peaks and splitting in an AI-InAs nanowire topological superconductor as a signature of Majorana fermions / A. Das, Y. Ronen, Y. Most, Y. Oreg, M. Heiblum, and H. Shtrikman // Nature Physics. — 2012. — Vol. 8. — Pp. 887-895.

15 Observation of Majorana Fermions in a Nb-InSb Nanowire-Nb Hybrid Quantum Device / M. T. Deng, C. L. Yu, G. Y. Huang et al // Nano Letters. - 2012. -Vol. 12. - Pp. 6414-6419.

16 Majorana Fermion Induced Resonant Andreev Reflection / K. T. Law, P. A. Lee, and T. K. Ng // Phys. Rev. Lett. - 2009. - Vol. 103. - P. 237001.

17 Bound Fermion states on a vortex line in a type II superconductor / C. Caroli, P. G. de Gennes, and J. Matricon // Physics Letters. — 1964. — Vol. 9. — P. 307.

18Graphene: carbon in two dimensions / M. I. Katsnelson // Materials Today. — 2007. - Vol. 10. - Issue 1-2. - Pp. 20-27.

19 Joscphson current through a superconducting quantum point contact shorter than the coherence length / C. W. J. Bcenakker and H. van Houten // Phys. Rev. Lett. - 1991. - Vol. 66. — P. 3056.

20 Experimental evidence for parity-based 2e periodicity in a superconducting single-electron tunneling transistor / M. T. Tuominen, J. M. Hergenrother, T. S. Tighe, M. Tinkham // Phys. Rev. Lett. - 1992. - Vol. 69. - P. 1997.

21 Thermal conductivity of the intermediate state of superconductors / A. F. Andreev // Sov. Phys. JETP. - 1964. - Vol. 19. - P. 1228.

22 Transition from metallic to tunneling regimes in superconducting microconstrictions: Excess current, charge imbalance, and supercurrent conversion / G. E. Blonder, M. Tiiikham, and T. M. Klapwijk // Phys. Rev. B. - 1982. - Vol. 25. - Pp. 4515-4532.

23 Vortex core states in superconducting graphene / I. M. Khayniovich, N. B. Kopnin, A. S. Mel'nikov, I. A. Shereshevskii // Phys. Rev. B. - 2009. - Vol. 79. - P. 224506.

24 Quantized Conductance at the Majorana Phase Transition in a Disordered Superconducting Wire / A. R. Akhmerov, J. P. Dahlhaus, F. Hassler, et al // Phys. Rev. Lett. - 2011. - Vol. 106. - P. 057001.

25 Electronic structure of vortices pinned by columnar defects / A. S. Mel'nikov, A. V. Samokhvalov, and M. N. Zubarev // Phys. Rev. B. - 2009. - Vol. 79. -P. 134529.

20 K. B. Efetov, Super-symmetry in Disorder and Cliaos / K. B. Efetov // New York: Cambridge University Press, 1997.

27 The supersyinmetric technique for random-matrix ensembles with zero eigenvalues / D. A. Ivanov // J. Math. Phys. - 2002. - Vol. 43. - P. 126.

Федеральное государственное бюджетное учреждение науки ИНСТИТУТ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ им. Л. Д. ЛАНДАУ РАН

На правах рукописи 04201455445 ^

ИОСЕЛЕВИЧ Павел Алексеевич

Майорановские фермионы в сверхпроводящих гибридных

структурах

Специальность 01.04.02 — Теоретическая физика

Диссертация на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук

М. В. Фейгельман

Москва - 2013

Оглавление

Введение 4

1 Формализм и Майорановские операторы 11

1.1 Гамильтониан Боголюбова-де Жена..................................11

1.2 Топологическая защита уединенной Майорановской моды..........12

1.3 Майорановский базис ..................................................13

2 Аномальный ток Джозефсона в SNS-кoнтaктe на топологическом изоляторе 14

2.1 Введение..................................................................14

2.2 47г-периодичная зависимость от фазы и фермионная четность . . 15

2.3 Спектр системы ........................................................18

2.4 Джозефсоновский ток..................................................21

2.5 Заключение..............................................................23

3 Туннельный кондактанс системы с дискретным спектром Андреевских состояний 25

3.1 Введение..................................................................25

3.2 Система и формализм..................................................28

3.3 Одноуровневый резонанс для произвольного туннельного контакта 31

3.3.1 Майорановский пик............................................34

3.3.2 Точечный контакт..............................................34

3.3.3 Температурная зависимость....................................35

3.4 Одноканальный контакт и многоуровневая система................36

3.4.1 Квантование проводимости при нулевом напряжении ... 38

3.4.2 Проводимость при конечных V и интерференция............39

3.5 Обсуждение..............................................................43

3.6 Заключение..............................................................44

4 Майорановский фермион на поверхности неупорядоченного топологического изолятора 46

4.1 Введение..................................................................46

4.2 Суперсимметричная <т-модель..........................................48

4.3 Плотность состояний....................................................52

4.4 Туннельный ток........................................................54

4.5 Заключение..............................................................56

Заключение 58

Приложение 61

А Приложение к главе 1..................................................61

А.1 Уравнения сшивки..............................................61

А.2 Уравнение спектра..............................................61

A.З Вычисление аномального тока................................64

В Приложение к главе 3..................................................66

B.1 Вывод сигма-модели............................................66

В.2 Вычисление плотности состояний..............................74

Публикации по теме диссертации 79

Литература 80

Введение

Одна из тем теории конденсированного состояния, получившая бурное развитие в последние несколько лет - топологические фазы вещества. В середине 2000х годов было предсказано существование трехмерных топологических изоляторов1-7 - кристаллических веществ, являющихся диэлектриками в объеме, и при этом имеющих металлические поверхностные состояния. Эти предсказания были подтверждены в экспериментах на гетероструктурах с колодцами из HgTe,8 а также для трехмерных образцов Bii_xSbx, Bi2Se3, Bi2Te3, Bi2SeTe2 и т.д.9-11 Определяющим свойством топологических изоляторов является щель в объемном спектре, сосуществующая с защищенной поверхностной модой. Под защищенностью понимается свойство, что поверхностная мода не исчезает при слабых возмущениях. Например, на поверхности трехмерного Bi2Se3 в присутствии немагнитных примесей не происходит Андерсоновская локализация - поверхность остается металлической. Для топологических изоляторов существует так называемый принцип соответствия объема и поверхности (bulk-boundary correspondence) — по гамильтониану в объеме можно судить о свойствах поверхности. По объемному гамильтониану, в рамках заданного класса симметрии (например, рассматриваются системы, инвариантные по отношению к обращению времени Т) можно вычислить топологический индекс и. На границе областей с разными v обязательно существует бесщелевая краевая мода. Подчеркнем, что системы с разными v имеют одинаковые симметрии, но при этом находятся в разных топологических фазах. Фазы с одинаковым v могут быть получены друг из друга непрерывным изменением системы, не закрывающем объемной щели. Фазы с различными v имеют разный топологический порядок12'13 и могут переходить одна в другую только в процессе перехода, закрывающего объемную щель. Топологический фазовый переход не меняет симметрии системы, и

Рис. 1: Спектр состояний в трехмерном топологическом изоляторе Bi2Se3. (а): измеренный ARPES спектр вдоль двух направлений в поверхностной зоне Вриллюэна. (Ь): сечение Дираковского конуса с разрешением по спину, (с): полученный численно объемный (синий сплошной) и поверхностный (красный пунктирный) спектр, (d): схематическое изображение поверхностного спектра в топологического изолятора Bi2X3 (в качестве X выступает Se, Те или их смесь). Рисунок из обзора.22

поэтому имеет мало общего с теорией фазовых переходов Ландау.14

Топологические фазы существуют в разных размерностях пространства: примером двумерного топологического изолятора является целочисленный квантовый эффект Холла, а одномерного - модель Су-Шриффера-Хеегера.15 Система может быть и сверхпроводящей (спектр квазичастиц в сверхпроводниках, как правило, имеет щель и в этом смысле система является объемным изолятором) - такие топологические изоляторы обычно называют топологическими сверхпроводниками. Все множество одночастичных гамильтонианов может быть разбито на десять классов симметрии, в каждом из которых, в зависимости от размерности пространства, могут существовать определенные топологические фазы.16,17 Результат такой классификации — периодическая таблица, приведенная на Рис. 2. Заметим, что различать топологические фазы можно не только с помощью объемного гамильтониана, но и основываясь на функциях Грина. Классификацию на основе гамильтониана, называемую также топологической зонной теорией, можно вывести как невзаимодействующий предел топологической теории поля.18 Топологические инварианты типа г/, переписанные в терминах функций Грина, сохраняют смысл и для взаимодействующих систем.18-21 Подробный обзор топологических фаз можно найти в

Symmctry d

AZ .— П 1 2 3 1 5 о 7 >

А и 0 0 (! Z 0 z 0 //, 0 ¿Li

АШ 0 0 1 ryr ¿L u z 0 uL? 0 z (j

AI 1 0 0 0 0 0 z 0 "T? Ту . ' > z

BDI 1 1 1 ¿Li 0 0 0 z 0

i) 0 1 u гут 0 0 (J z 0 Z2

DIU -1 1 I ¿¿j*2 z 0 0 0 z 0

All -1 (} 0 0 , ■ r ¿¡'..j о z 0 0 {) •77 ¿L*

('II -1 -1 1 ¿Lu n —2 rjr и 0 0 «1

С 1) -1 0 0 z 0 Z 2 TL-2 z 0 0

VI 1 -1 1 0 u 0 z2 Z-2 z 0

Рис. 2: Периодическая таблица топологических изоляторов и сверхпроводников. В первом столбце — класс симметрии в обозначениях Картана, три следующих столбца — значения Т2, Н2, (ТЕ)2 ("О" означает отсутствие данной симметрии). В правой части дано пространство, содержащее топологический индекс и в данном классе симметрии в размерности d. Например, в симплектическом классе АН в d = 3 и £ Z2, то есть существует две различных топологических фазы — топологический и тривиальный изолятор. В унитарном классе А в d = 2 v £ Z, причем v имеет смысл Холловской проводимости. Для класса DIU в трехмерье ¡/£Z, примером топологической фазы является 3Не В86,87 При d — 3 у класса А стоит 0 — и = 0, существует только одна фаза (тривиальная). Рисунок из презентации С. L. Капе.

работах.21,22 В дальнейшем мы будем преимущественно обсуждать топологические сверхпроводники — сверхпроводящие гибридные структуры, находящиеся в топологически нетривиальной фазе.

В случае одномерного топологического сверхпроводника краевыми модами оказываются так называемые Майорановские состояния. Майорановское состояние является самосопряженным (его операторы рождения и уничтожения совпадают) и имеет нулевую энергию. В конечном образце пара Майорановских состояний, расположенных на противоположных концах образца, гибридизует-ся и образует один Андреевский уровень с конечной энергией. Простой пример одномерного сверхпроводника — так называемая цепочка Китаева23 — решеточная модель бесспинового р-волнового сверхпроводника. В определенной области значений параметров (химического потенциала, сверхпроводящего параметра

Рис. 3: Вихрь, пронизывающий трехмерный топологический изолятор, покрытый 5-волновым сверхпроводником. В нормальном коре вихря на поверхности топологического изолятора имеются связанные подщелевые состояния типа Кароли-де Жена-Матрикона с целыми моментами. Состояние с нулевым моментом является Майорановским.

порядка, амплитуды перескока) цепочка находится в топологической фазе и имеет по одному Майорановскому состоянию на каждом конце. Другой, более реалистичный вариант топологического сверхпроводника — нанопроволока со спин-орбитальным взаимодействием и наведенной в-волновой сверхпроводимостью, помещенная в сильное магнитное поле. '25 В системах с нанопроволока-ми уже поставлены эксперименты, свидетельствующие в пользу наличия в них Майорановских состояний.26-29 Другая система, в которой предсказано появление Майорановского состояния, - это кор вихря на поверхности трехмерного топологического изолятора с наведенной «-волновой сверхпроводимостью.30 В этой системе Майорановское состояние является состоянием типа Кароли-де Жена-Матрикона31 с нулевым моментом.

Интерес к Майорановским фермионам в физике конденсированного состояния вызван многими причинами. Уже сам по себе Майорановский фермион — весьма экзотическая квазичастица: энергия изолированного Майорановского состояния равна строго нулю, а размерность его гильбертова пространства у/2 (система из 2Ы Майорановских фермионов описывается гильбертовым пространством размера Кроме того, Майорановские фермионы имеют нетривиальную обменную статистику:32' обвод одного Майорановского фермиона вокруг другого не возвращает волновую функцию к исходному значению. Эти необычные свойства, кроме несомненной теоретической, имеют и прикладную ценность: из изолированных Майорановских состояний предлагается создавать кубиты23 — за счет топологической защиты Майорановских состояний такие

Topological Insulator

кубиты должны быть устойчивы к дефазировке локальными возмущениями. Экспериментальные успехи26-28 служат дополнительным стимулом для исследований систем с Майорановскими фермионами.

Инертность Майорановского состояния, его устойчивость к возмущениям, например, электрическому и магнитному полю, примесям, привлекательна с точки зрения кубитостроения, но одновременно затрудняет его экспериментальное обнаружение. На данный момент основное внимание уделяется транспортным явлениям, связанным с Майорановским состоянием. Хотя Майорановский фермион не несет ни заряда, ни энергии, он, тем не менее, влияет на транспортные свойства системы. Так, Майорановское состояние должно быть видно при непосредственным измерении туннельной плотности состояний.26'34 Кроме того, Майорановсие фермионы приводят к аномальному, 47г-периодическому Джозефсоновскому току.23'35,36 Настоящая работа посвящена Майорановским фермионам и их транспортным свойствам в сверхпроводящих гибридных системах и включает в себя три основных части:

1. Описание стационарного эффекта Джозефсона в Б^-контакте, содержащем пару Майорановских фермионов. Определение условий, в которых можно обнаружить аномальную, 47г-периодическую ток-фазовую характеристику такого Б^-контакта.

2. Построение теории туннельной проводимости системы с дискретным спектром Андреевских уровней и приложение этой теории к системам, содержащим локализованные Майорановские фермионы.

3. Изучение статистики электронных уровней в системе, содержащей уединенное Майорановское состояние, в условиях сильного беспорядка

В процессе решения перечисленных проблем получены следующие оригинальные результаты:

1. Рассмотрена Э^-система, представляющая собой сендвич из покрытого с двух сторон сверхпроводящей пленкой куска трехмерного топологического изолятора, в котором просверлен цилиндрический канал, соединяющий

две поверхности. Через этот канал пропущен Абрикосовский вихрь, приводящий к появлению Майорановской моды в коре вихря на обеих поверхностях. При конечной разности фаз (р между поверхностями через канал протекает Джозефсоновский ток, содержащий наряду с 27Г-периодической по <р частью еще и аномальную 4-7г-периодическую компоненту. Ток вычислен при разных параметрах системы и температуре. Установлена связь аномальной компоненты с сохранением фермионной четности в контакте, и получена характеристическая температура, при которой аномальный ток подавляется.

2. Рассмотрена в общем виде ситуация андреевского отражения электрона, туннелирующего в сверхпроводящую систему с дискретным спектром Андреевских состояний. Получены общие формулы для резонансного отражения при энергиях, близких к энергиям дискретного спектра системы. Исследована интерференция различных андреевских процессов и получена точная формула для одноканального контакта в терминах дискретных уровней системы. С помощью этой формулы рассмотрена система с парой почти неспаренных Майорановских мод. В этой ситуации в проводимости имеется Лорентцевский пик при нулевом напряжении высотой 2е2/^, на фоне которого имеется параметрически узкий, топологически защищенный провал до нуля на самых низких энергиях. В реалистичных системах этот провал не виден при достижимых температурах, что проясняет результаты некоторых недавних экспериментов и численных работ.

3. Рассмотрен кор вихря на сверхпроводящей поверхности топологического изолятора в пределе сильного беспорядка. С помощью метода нелинейной суперсимметричной ст-модели найдена средняя локальная плотность состояний. Показано, что эта система относится к нульмерному классу симметрии В (также известному как Б-ос1с1) и имеет (5-пик в плотности состояний при нулевой энергии, описывающий Майорановское состояние, и отталкивающий ближайшие уровни с конечной энергией. Вычислено уширение пика в ситуации, когда к поверхности топологического изолятора в области кора вихря подключен туннельного контакт, и получена проводимость в

туннельном эксперименте для такой системы.

Настоящая диссертация организована следующим образом: В главе 1 представлен используемый в работе формализм и описаны ключевые свойства Май-орановских фермионов. В главе 2 изучается стационарный Джозефсоновский ток в Б^-системе с вихрем. В главе 3 рассматривается туннельный кондак-танс системы с дискретным Андреевским спектром. В главе главе 4 изучается статистика уровней в коре вихря, содержащем Майорановскую моду. В заключении сформулированы основные результаты работы.

Глава 1

Формализм и Майорановские операторы

1.1 Гамильтониан Боголюбова-де Жена

Для описания сверхпроводимости в интересующих нас системах мы будем пользоваться гамильтонианом Боголюбова де Жена

-(4 -Х-) ■

действующим в пространстве Намбу. Матрицы Паули в этом пространстве мы будем обозначать Оператор Т есть оператор обращения времени Т = гсгУС, где С - комплексное сопряжение. Мы будем пользоваться базисом

т

Ф = [Фг 4>1 Ф\ -Ц) (1-2)

В главах 1 и 3 мы будем рассматривать наведенную й-волновую сверхпроводимость, при которой Д и тривиальны в спиновом пространстве. Гамильтониан Нв<ю по построению обладает электрон-дырочной симметрией (также называемой симметрией зарядового сопряжения17):

-Явгю = —Нвас^! (1-3)

Е = -гтуТ = стуТуС. (1.4)

Поскольку Е2 = 1 и Е антикоммутирует с НвсЮ, собственные состояния системы разбиваются на нары из состояний и Ф_£ = ЕФ#, обладающих противоположными энергиями. Оператор Е на языке электронных операторов ф\ ф есть эрмитово сопряжение, поэтому решения Ф^ и ЕФ^ описывают уничтожение и

рождение одной и той же фермионной квазичастицы с положительной энергией \Е\. Двойной учет - следствие удвоения переменных, возникающего при введении пространства Намбу. Существенно, что кроме пар Фе, =-Фе гамильтониан может иметь самосопряженные собственные функции, 7 = Е/у. Именно эти решения называются Майорановскими модами. Оператор рождения и уничтожения для такой моды совпадают, поэтому его общий вид

Мы будем использовать часто использовать словосочетания "Майорановское состояние"и "Майорановский фермион"в одном и том же значении — для обозначения состояния, описываемого Майорановским оператором 7. Отметим, что некоторые авторы называют 7 Майорановской модой, а Андреевское состояние, образованное парой таких мод - Майорановским состоянием.

1.2 Топологическая защита уединенной Майорановской

Рассмотрим систему, спектр которой имеет щель (континуум начинается с ненулевой энергии) и некоторое количество дискретных состояний внутри щели. Если среди этих состояний есть единственное Майорановское состояние 7, то оно защищено от возмущений: при плавном изменении гамильтониана в системе в любой момент будет существовать нулевая мода. В самом деле, дискретные уровни разбиты на пары с противоположными энергиями и некоторое числ