Запутанные состояния и устойчивые квантовые вычисления тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

Введение.

1. Очистка магических состояний

1.1. Симплектические коды.

1.2. Вычислительная модель и формулировка задачи.

1.3. Вычисления в группе Клиффорда.

1.4. Универсальные вычисления с магическими состояниями

1.5. Очистка магических состояний.

2. Топологические квантовые коды

2.1. Торический код

2.2. Коды на решетке с границей.

2.3. Исправление ошибок в торическом коде

2.4. Оптимальное кодирующее преобразование.

3. Квантовые вычисления с фермионами

3.1. Локальные фермионные моды.

3.2. Универсальный базис.

3.3. Моделирование фермионов на квантовом компьютере

3.4. Вычисления с майорановскими фермионами.

3.5. Моделирование фермионов на графе.

4. Энтропия запутанности многочастичных состояний

4.1. Запутанность в двухчастичной системе

4.2. Многочастичный аналог энтропии запутанности.

4.3. Детерминантные состояния

4.4. Шестикубитное состояние.

5. Совместимость многочастичнЫх и локальных состояний

5.1. Постановка задачи и основные результаты.

5.2. Совместимость с чистыми состояниями для кубитов

5.3. Классическая задача о совместимости.•.

5.4. Точное решение для двух кубитов

Идея использования динамики многочастичных квантовых систем для решения сложных вычислительных задач возникла более 20 лет назад и, по-видимому, была впервые сформулирована в работах [1,2]. Несколько позже Deutsch предложил схемную модель квантового компьютера, не зависящую от конкретной физической реализации и позволяющей анализировать его вычислительные возможности [3]. Современное состояние теории квантовых вычислений подробно изложено, например, в учебнике [4].

В настоящее время существует уже довольно обширный список задач, для которых доказано преимущество квантовых вычислений по сравнению с классическими. Он включает задачу разложения числа на простые множители и вычисления дискретного логарифма [5], вычисления с оракулом, в частности, задачу о нахождении скрытой подгруппы в абелевой группе [б, 7] и в диэдральной группе [8], решение уравнения Пелля [9], поиск в неупорядоченной базе данных [10].

При практической реализации квантового компьютера нужно уметь исправлять ошибки, неизбежно возникающие в ходе вычисления из-за взаимодействия с окружающей средой и неточности элементарных операций. На данный момент наиболее перспективными представляются два подхода к решению этой задачи. Первый подход основан на использовании квантовых кодов [11]. В работах [7, 12] было показано, что если неточность элементарных операций меньше некоторого фиксированного значения 6 ~ 10~4, любую квантовую схему можно преобразовать к устойчивому виду, в котором все операции выполняются над закодированными кубитами. При этом появляется много вспомогательных операций, цель которых — обнаружение и исправление ошибок. Недостатком этого метода является черезвы-чайно низкое значение 5. Во втором подходе для реализации квантового компьютера предлагается использовать двухмерные квантовые системы с топологическим порядком [13, 14]. Возбуждения таких систем описываются частицами с неабелевой статистикой (анионами), см. [15, 16]. При этом возбужденные состояния оказываются сильно вырожденными и "защищенными" относительно действия локальных возмущений, что позволяет надежно хранить квантовую информацию. Исправление ошибок в этом случае происходит "автоматически", за счет естественных релаксационных процессов. Адиабатическое движение анионов позволяет действовать на хранящиеся состояния некоторой группой унитарных операторов, а процессы релаксации двухчастичных состояний в одночастичные позволяют выполнять измерения. Неточность этих операций экспоненциально мала по расстоянию между анионами. Недостатком второго подхода является то, что пока неизвестна реальная физическая система с топологическим порядком в которой можно бы было реализовать универсальный набор элементарных операций.

В первой главе диссертации исследуется упрощенная модель квантовых вычислений с ошибками. В рамках этой модели часть элементарных операций выполняется точно, а оставшаяся часть — приближенно. Точные операции включают в себя хранение состояния (идеальная квантовая память), неразрушающие измерения кубитов в вычислительном базисе, и применение унитарных операторов из группы Клиффорда. Это достаточно слабый набор операций и любое вычисление с ними можно эффективно моделировать классически (теорема Готесмана-Нилла). Неточная операция состоит в приготовлении некоторого смешанного однокубитного состояния р. Введение в систему кубита в состоянии р приводит к потере когерентности и поэтому может рассматриваться как ошибка. Задача состоит в нахождении множества состояний р, при которых наша модель эквивалентна универсальному квантовому компьютеру. Эта задача может возникнуть при попытке объединить два описанных выше метода борьбы с ошибками, если удастся найти систему с топологическим порядком, в которой движением анионов можно реализовать любой оператор из группы Клиффорда.

Во второй главе рассматриваются торические коды — простейший пример двухмерной квантовой системы с топологическим порядком, см. [13]. В диссертации построено обобщение конструкции [13] на случай планарных решеток имеющих границу. Мы рассматриваем решетки, граница которых состоит из чередующихся участков с двумя типами граничных условий. Чтобы закодировать т кубит, необходимо иметь т ■+ 1 участок каждого типа. Логические операторы планарного кода описываются относительными гомологиями на прямой и на дуальной решетках. Показано, что кодирующее преобразование для торического кода можно реализовать квантовой схемой логарифмической (по размеру решетки) глубины. Торический код представляет собой простейший пример системы с топологическим порядком. Планарный аналог торического кода, по-видимому, можно реализо вать экспериментально, как массив сверхпроводящих островков соединенных джозефсоновскими контактами, помещенный во внешнее магнитное поле [18].

Вопрос об эффективном моделировании многочастичных фермионных систем на квантовом компьютере изучается в третьей главе. Для формализации задачи мы рассматриваем фермионную систему как множество М абстрактных узлов, каждый из которых может быть либо пуст, либо заполнен ферми-частицей. С каждым узлом в £ М связана пара фермионных операторов рождения-уничтожения а\,а3, действующих на общем фоков-ском пространстве Им- Проблема состоит в том, что понятие локальности фермионного оператора определяется иначе чем для кубитов: оператор 0} : Нм Им называется ¿-локальным, если его можно выразить через операторы {а|,а3, 5 € 5'}, где Б С М — некоторое подмножество узлов размера не более к. Наиболее общий способ моделирования фермионов ку-битами состоит в замене фермионного оператора О/ на кубитный оператор V Од = -10/Л, где I : Нм —► (С2)®" — некоторое унитарное вложение, а п — необходимое число кубитов. После этого нужно представить Од квантовой схемой с необходимой точночстью. Если в качестве J выбрать стандартное преобразование Йордана-Вигнера, то Оч может действовать на все п кубитов, даже если Of был 2-локальным. Соответственно, квантовая схема представляющая Од может иметь размер порядка п. В диссертации описываются более эффективные преобразования для которых "потеря локальности" ограничена логарифмом п в общем случае и константой, если требуется моделировать геометрически локальные взаимодействия. В заключении главы строится новый класс симплектических квантовых кодов, естественно описывающийся на языке майорановских фермионов.

Одним из актуальных направлений теории квантовой информации является изучение свойств запутанных многочастичных состояний. Запутанность используется как полезный ресурс при решении таких задач как те-лепортация квантовых состояний [21], распределение закрытого ключа [22], односторонние квантовые вычисления с кластерными состояниями [23], при построении квантовых стратегий в теории игр [24]. Для двухчастичной системы важную роль играет энтропия запутанности, определяемая как энтропия Фон-Неймана редуцированной матрицы плотности одной из частей. Она является аддитивной относительно тензорного умножения состояний и монотонной относительно локальных квантовых операций. В асимптотическом пределе это единственная (с точностью до нормировки) монотонная мера запутанности двухчастичных чистых состояний, см. [25]. В четвертой главе строится обобщение энтропии запутанности на многочастичный случай. Если система из п «¿-уровневых квантовых частиц находится в чистом состоянии |Ф) £ (С*)®", то ее энтропию запутанности ¿?[Ф] можно определить как решение следующей оптимизационной задачи. Рассмотрим п независимых наблюдателей, каждый из которых выполняет полное измерение своей частицы в произвольно выбранном базисе. Совокупность результатов измерений полученных всеми наблюдателями — случайная величина, энтропию которой необходимо минимизировать по выбору базисов. Для двухчастичной системы 5[Ф] совпадает с энтропией фон Неймана любой из частиц. В диссертации изучается вопрос о том, как устроены "максимально запутанные" состояния, для которых 5[Ф] ~ п \о%2 с1. Строится семейство состояний, для которого отношение 5[Ф]/(пк^2сГ) асимптотически достигает единицы.

В последней главе рассматривается задача о совместимости между локальными и многочастичными состояниями составной квантовой системы. Мы называем средне-полевым состоянием системы из п частиц набор из п матриц плотности ., р^), где р^ — произвольная матрица плотности на пространстве состояний г-ой частицы "Н^. Задача состоит в нахождении множества средне-полевых состояний, которые совместимы хотя бы с одним чистым состоянием всей системы |Ф) б С^г"=1 Н^. Предложено ее решение для системы кубитов (Н® = С2) и для трехчастичнои системы С2 ® С2 <8) С4. Указана связь данной задачи с задачей о совместимости коприсоединенных орбит группы Ли и ее подгруппы, изучавшейся в работах [43, 44].

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ опубликованы в работах

1. С.Б. Бравый и А.Ю. Китаев, "Квантовые коды на решетке с границей", Quantum Computers and Quantum Computations, 1, N2, 43, (2000).

2. С.Б. Бравый и А.Ю. Китаев, "Фермионные квантовые вычисления", Annals of Physics, 298, N1, 210, (2002).

3. С.Б. Бравый, "Энтропия запутанности многочастичных чистых состояний", Phys. Rev. А 67, 012313 (2003)

4. С.Б. Бравый, "Условия совместимости между локальными и многочастичными состояниями", LANL e-print quant-ph/0301014, направлено в журнал Quantum Information and Computation.

Заключение

1. Ю. Манин, "Вычислимое и невычислимое", М.: Советское радио (1980).

2. R. Feynman, Optics News 11, 11 (1985).

3. D. Deutsch, Proc. R. Soc. bond. A 425, 73 (1989)

4. А. Китаев, А. Шень, и M. Вялый, "Классические и квантовые вычисления", М.: МЦНМО, ЧеРо (1999).

5. P. Shor, Symposium on the Foundations of Computer Science FOCS 35, 124 (1994). (LANL e-print quant-ph/9508027)

6. D. Simon, Symposium on the Foundations of Computer Science FOCS 35, 116 (1994).7. А. Китаев, УМН 6 (1997).

7. G. Kuperberg, LANL e-print quant-ph/0302112.

8. S. Hallgren, Symposium on the Theory of Computation STOC 34 (2002).

9. L. Grover, Symposium on the Theory of Computation STOC 28, 212 (1996). (LANL е-print quant-ph/9605043)

10. P. Shor, Phys. Rev. A 52, 2493 (1995).

11. P. Shor, Symposium on the Foundations of Computer Science FOCS 37, 56 (1996). (LANL e-print quant-ph/9605011)

12. А. Китаев, LANL e-print quant-ph/9707021.j»

13. M. Freedman, A. Kitaev, M. Larsen, и Zh. Wang, LANL e-print quant-ph/0101025.

14. G. Moore и N. Read, Nucl. Phys. В 360, 362 (1991).

15. С. Nayak и F. Wilczek, Nucl. Phys. В 479, 529 (1996).

16. A. Calderbank, E. Rains, P. Shor, и N. Sloane, IEEE Trans. Information Theory 44, 1369 (1998). (LANL e-print quant-ph/9608006)

17. JI. Иоффе и M. Фейгельман, LANL e-print cond-mat/0205186.

18. A. Calderbank, E. Rains, P. Shor, и N. Sloane, Phys. Rev. Lett. 78, 405 (1997). (LANL e-print quant-ph/9605005)

19. M. Nielsen и I. Chuang, "Quantum Computation and Quantum Information", Cambridge University Press (2000).

20. C. Bennett, G. Brassard, C. Crépeau, R. Jozza, A. Peres, ж W. Wootters, Phys. Rev. Lett. 70, 1895 (1993).

21. A. Ekert, Phys. Rev. Lett. 67, 661 (1991).

22. H. Briegel и R. Raussendorf, Phys. Rev. Lett. 86, 5188 (2001). (LANL e-print quant-ph/0010033)

23. J. Eisert, M. Wilkens, и M. Lewenstein, Phys. Rev. Lett. 83, 3077 (1999). (LANL e-print quant-ph/9806088)

24. G. Vidal, J. Mod. Opt. 47, 355 (2000). (LANL e-print qnant-ph/9807077)

25. D. Gottesman "Stabilizer Codes and Quantum Error Correction", Ph. D. thesis, California Institute of Technology, Pasadena, CA (1997).

26. J. Preskill, Proc. R. Soc. London A 454, 385 (1998). (LANL e-print quant-ph/9712048)

27. C. Bennett, D. DiVincenzo, J. Smolin, и W. Wootters Phys. Rev. A 54, 3824 (1996). (LANL e-print quant-ph/9604024)

28. R. Laflamme, C. Miquel, J. Paz, и W. Zurek Phys. Rev. Lett. 77, 198 (1996). (LANL e-print quant-ph/9602019)

29. D. Gottesman, LANL e-print quant-ph/9702029.

30. E. Dennis, A. Kitaev, A. Landahl, и J. Preskill, J. Math. Phys. 43, 4452 (2002). (LANL e-print quant-ph/0110143)

31. M. Freedman и D. Meyer, LANL e-print quant-ph/9810055.

32. А. Китаев, LANL e-print cond-mat/0010440.

33. D. Abrams и S. Lloyd, Phys. Rev. Lett. 79, 2586 (1997). (LANL e-print quant-ph /9703054)

34. C. Bennett, H. Bernstein, S. Popescu, и В. Schumacher, Phys. Rev. A 53, 2046 (1996). (LANL e-print quant-ph/^511030)

35. K. Dennison и W. Wooters, LANL e-print quant-ph/0106058.

36. A. Calderbank, E. Rains, P. Shor, и N. Sloane, LANL e-print quant-ph/9608006.

37. A. Higuchi, A. Sudbery, J. Szulc, Phys. Rev. Lett. 90, 107902 (2003). (LANL e-print quant-ph/0209085)

38. A. Acin, A. Andrianov, L. Costa, E. Jane, J. Latorre, и R. Tarrach, LANL e-print quant-ph/0003050.

39. K. Vollbrecht и R.F.Werner LANL e-print quant-ph/0010095.

40. A.Sudbery, J. Phys. А 34, 643 (2001). (LANL e-print quant-ph/0001116)

41. H.Barnum и N.Linden, LANL e-print quant-ph/0103155.

42. G. Heckman, Invent. Math. 67, N2, 333 (1982).

43. A. Berenstein и R. Sjamaar, J. Amer. Math. Soc. 13, 433 (2000). (LANL e-print math.SG/9810125)

44. A. Wehrl, Reports on Mathematical Physics 6, 15 (1974).

45. С. Бравый и А. Китаев, Quantum Computers and Quantum Computations 1, N2, 43 (2000). (LANL e-print quant-ph/9811052)

46. С. Бравый и А. Китаев, Annals of Physics 298, N1, 210 (2002). (LANL e-print quant-ph/0003137)

47. С. Бравый, Phys. Rev. A 67, 012313 (2003). (LANL e-print quant-ph/0205021)

48. С. Бравый, LANL e-print quant-ph/0301014, направлено в журнал Quantum Information and Computation.

49. С. Бравый и А. Китаев, готовится к публикации.