Корреляционные измерения в мезоскопических электронных системах тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ
|
Лебедев, Андрей Владимирович
АВТОР
|
||||
|
кандидата физико-математических наук
УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
|
||||
|
Черноголовка
МЕСТО ЗАЩИТЫ
|
||||
|
2005
ГОД ЗАЩИТЫ
|
|
01.04.02
КОД ВАК РФ
|
||
|
|
||||
Российская Академия Наук Институт Теоретической Физики им. Л. Д. Ландау
КОРРЕЛЯЦИОННЫЕ ИЗМЕРЕНИЯ В МЕЗОСКОПИЧЕСКИХ ЭЛЕКТРОННЫХ СИСТЕМАХ
Специальность 01.04.02 — Теоретическая физика
Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук
Черноголовка - 2005
Работа выполнена в Институте теоретической физики им. Л. Д. Ландау Российской Академии Наук.
Научный руководитель: доктор физико-математических наук
Лесовик Г. Б.
Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук
Махлин Ю. Г.
доктор физико-математических наук Суслов И. М.
Ведущая организация: Институт физики твердого тела РАН
Защита состоится 23 июня 2005 года в 15 часов на заседании Диссертационного совета Д 002.207.01 при Институте теоретической физики им. Л. Д. Ландау РАН по адресу: 142432, Московская обл., Ногинский р-н, пос. Черноголовка, Институт физики твердого тела РАН.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института теоретической физики им. Л. Д. Ландау РАН.
Автореферат разослан «. » мая 2005 г.
Ученый секретарь Диссертационного совета, доктор физико-математических наук
Общая характеристика работы
Актуальность темы. Измерение корреляционных функций или флуктуа-ций электронного тока в мезоскопических электронных системах в последнее время является весьма популярной темой экспериментальных и теоретических исследований во многих научных центрах. Связано это с двумя основными обстоятельствами: во-первых появились новые теоретические методы, такие как формализм матрицы рассеяния, интегралы по траекториям, которые оказались гораздо более подходящими для описания свойств электронного транспорта по сравнению с традиционными подходами, например с использованием формулы Кубо, функций Грина, диаграммной техники и т. д.; во-вторых, значительный прогресс, достигнутый в последнее десятилетие в изготовлении мезоскопических наноструктур, дает возможность для экспериментального изучения квантовых флуктуаций в таких системах.
Важной особенностью мезоскопических систем является то, что ввиду их чрезвычайно малого размера, флуктуации в таких системах значительно менее подавлены по сравнению с макроскопическими образцами и обладают гораздо более интересными свойствами. Более того, поскольку длина когерентности электронов в наноструктурах может достигать размеров системы, электронный транспорт может обуславливаться специфическими квантовыми интерференционными эффектами, которые не проявляются при измерении средних величин, например кондактанса проводника, и могут быть обнаружены только при измерении корреляционных функций, например флуктуаций электронного тока в проводнике. В целом, изучение корреляторов высоких порядков, а в переделе и полной статистики наблюдаемых величин, позволяет максимально возможным образом изучить свойства любых стохастических систем (как квантовых, так и классических).
Значительный интерес к изучению корреляционных функций обусловлен также возникновением новой науки - квантовой информатики, где изучение квантовых корреляций дополнилось исследованием таких тонких характеристик, как степень квантовой запутанности, необходимых для описания
любых реально действующих квантовых криптографических схем. Мезоско-пические наноструктуры могут потенциально выступать также в роли элементарной базы квантовых компьютеров, где квантовые флуктуации накладывают принципиальные ограничения на принципы функционирования таких устройств. При этом остро встает принципиальный для всех предложенных в настоящее время квантовых вычислительных и криптографических схем вопрос, как практически и наиболее реалистичным способом создать квантовые запутанные состояния электронов. Как оказывается, измерение нелокальных в простанстве корреляторов электронного тока может само по себе служить эффективным источником квантовой запутанности. Следует также отметить, что корреляционные измерения в электронных системах позволяют исследовать такие фундаментальные аспекты квантовой теории, как редукция волновой функции и нелокальность квантовой механики.
Цель работы. Развитие методов описания корреляционных функций в электронных мезоскопических системах. Применение полученных результатов для изучения тонких характеристик матрицы рассеяния; локализации частицы в двухъямном потенциале, взаимодействующей с резервуаром; получение запутанных электронных состояний в квантовых проводниках; исследование степени электронной запутанности; изучение дробного заряда в сильно-взаимодействующих одномерных электронных системах.
Научная новизна диссертационной работы заключается в следующих оригинальных результатах, которые выносятся на защиту:
1. Предложен метод построения матрицы рассеяния для описания дробового шума в одноканальном баллистическом квантовом контакте сверхпроводник - нормальный металл в режиме еУ < А при наличии размытых Андреевских резонансов в системе. Показано, что спектральная плотность шума как функция частоты, проявляет ряд специфических особенностей из-за наличия Андреевских резонансов в системе. Показано, что анализируя эти особенности можно определить относительные фазы амплитуд Андреевского отражения, соответствующих соседним
резонансам.
2. Исследована динамика частицы в двухъямном потенциале, взаимодействующей со случайным гауссовым классическим полем. Вычислены первые два момента для квантово-механической вероятности локализации частицы в одной из ям на конечных временах, как случайной величины случайного гауссового поля, и первые четыре момента для вероятности локализации на бесконечных временах. На основании данного вычисления сделано предположение, что квантовомеханическая вероятность найти частицу в одной из ям на бесконечных временах распределена равномерно в интервале [0,1]. Показано, что хотя недиагональные элементы матрицы плотности частицы затухают со временем, локализации частицы в одной из ям не происходит.
3. Впервые вычислен нелокальный в пространстве и времени коррелятор электронного тока в нормальном баллистическом мезоскопическом проводнике. Показано, что коррелятор неравновесных флуктуаций электронного тока обладает специфической координатно-временной зависимостью. Предложена физическая интерпретация полученного результата, в которой немонотонная зависимость неравновесных флуктуаций от координат объясняется в терминах коллапса электронной волновой функции при проективном измерении коррелятора токов.
4. В различных много-контактных нормальных баллистических проводниках вычислены разновременные корреляторы спиновых электронных и электронно-дырочных токов. В терминах данных корреляторов сформулировано временно-зависящее неравенство Белла, позволяющее судить о степени спиновой запутанности электронов между различными контактами системы. Показано, что неравенство Белла нарушается на коротких временах, определяемых приложенным напряжением к системе. Показано, что нарушение неравенства Белла связано с возникновением спин-запутанной пары электронов, распределенной между различными контактами системы, при проективном измерении корреляторов
токов.
6. В много-контактном баллистическом проводнике изучена спиновая запутанность электронов в режиме, когда на один из контактов приложено переменное напряжение. Показано, что для импульса напряжения с Ф = — с f V(t)dt = Фо, где Фо = hc/e, в систему инжектируются два электрона в синглетном состоянии. Для импульса напряжения с Ф = пФ0, (п -целое) показано, что неравенство Белла, сформулированное в терминах количества переданных частиц через соответствующий контакт, нарушается максимально при п = 1 и не нарушается при п > 1.
7. Изучен процесс туннелирования электронов из сканирующего электронного микроскопа в углеродную нанотрубку, присоединенную к нормальным ферми-жидкостным контактам. Во втором порядке теории возмущений по амплитуде туннелирования в рамках неоднородной модели Латтинжеровской жидкости вычислены авто- и кросс-корреляции электронного тока на конечной частоте в ферми-жидкостных контактах. Показано, что из измерения данных флуктуаций на конечной частоте, можно извлечь величину дробного заряда многочастичных возбуждений, распространяющихся в нанотрубке.
Научная и практическая ценность. В работе изучены корреляционные измерения в различных электронных мезоскопических системах. Показано, что измерение разновременных корреляторов электронного тока может служить эффективным средством для изучения различных характеристик системы, таких как: относительные фазы амплитуд Андреевского отражения, соответствующих различным резонансам в NS контактах; величины дробного заряда в углеродных нанотрубках, которые невозможно получить только из измерения средних величин, например среднего тока в системе. Измерение корреляторов электронного тока может быть использовано для изучения степени квантовой электронной запутанности, а также само выступать в роле источника квантовой запутанности, что имеет принципиальное значение для создания элементарной базы квантовых компьютеров и
функционирования квантовых криптографических схем. Более того, исследование корреляторов старших порядков, позволяет изучить такие вопросы как: коллапс волновой функции; нелокальность квантовой механики; влияние макроскопического резервуара на динамику квантовой системы.
Апробация работы. Основные результаты, предъявленные в диссертации, докладывались и обсуждались на международных конференциях по мезоскопической физике в Черноголовке 2003 г., на 20-ой конференции по мезоскопической физике Европейского физического общества в Праге (Чехословакия, 2004г.), Венеции (Италия, 2004г.), на конференциях по квантовым компьютерам и вычислениям в Бразилиа (Бразилия, 2004г.), Тичино (Швейцария, 2004г.), на семинарах по физике твердого тела в Центре теоретической физики г. Марсель (Франция, 2003 и 2004гг.), в Институте теоретической физике ЕТН-Цюрих (Швейцария, 2003 и 2004гг.), в Университете Базеля (Швейцария, 2003 г.), в Институте физики твердого тела Университета Карлсруе (Германия, 2002г.), на семинарах ИТФ им. Л. Д. Ландау.
Публикации. По материалам диссертации опубликовано шесть печатных работ.
Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы.
Основное содержание работы
Во введении обоснована актуальность темы, сформулирована цель работы, раскрыта новизна и практическая ценность полученных результатов, приведены основные положения, выносимые на защиту.
Первая глава посвящена изучению дробового шума в одноканнальном баллистическом N8 контакте при наличии размытых Андреевских резонан-сов в режиме ¿V < Д, где V - напряжение на контакте, Д - величина сверхпроводящей щели.
Для вычисления дробового шума в данной системе применяется форма-
лизм матрицы рассеяния. В общем случае матрица рассеяния NS контакта зависит от энергии и в пространстве электрон-дырка имеет следующий вид:
S(e)=/Me) (1)
V she(e) Shh(e) J
ГДв See (вьь)- амплитуды нормального электронного (дырочного) отражения, seh, She - амплитуды Андреевского отражения. Как следует из симметрии уравнений Боголюбова- де Женна данные амплитуды подчиняются следующим условиям:
*ее(г) = «£h(-e), яА(е) =-вье(-е), |яьв(е)| = |«д(е)|. (2)
Считая положение резонансов в системе заданным и предполагая, что каждый резонанс является простым полюсом матрицы рассеяния как функции комплексного е, матрицу рассеяния можно представить в виде:
ад^+х:^^). (з)
где Е±п = ±е„ — г'Гп/2, еп - положение n-го резонанса, Г„ - его ширина, So, S±„ некоторые постоянные матрицы 2x2. Исходя из условий унитарности для матрицы рассеяния и электронно-дырочной симметрии (2) можно показать, что при заданных Еп и So,
_ f ао Ьо\
V ~ь0 «5) '
(4)
матрицы S±n параметризуются набором чисел Ап = ±1, А —п — каждое из которых соответствует п-му резонансу NS контакта:
иё-Т)' <5'
где е"^ = г\/(Ь0/Ь'0)(а*0/а0) - постоянный фазовый множитель, а коэффициенты ап определяются следующей системой линейных уравнений:
+ + = Уп. (6)
■т " ~~ т
Данная параметризация исчерпывает все возможные решения для матрицы рассеяния NS контакта при заданных So и Еп. В случае узких резонансов \еп — ет\ <С Г„, Гт Vn, т параметризация числами А„ имеет ясный физический смысл: для двух соседних, хорошо разделенных резонансов е„ и en+i фаза амлитуд Андреевского отражения Seh, She меняется на величину ж (2тт) при A„An+i = соответственно.
Поскольку средний ток в NS контакте и спектральная мощность шума на нулевой частоте определяются только вероятностью Андреевского отражения Дд (е) = |seh (е)|2, то данные величины не зависят от относительной фазы амплитуд Андреевского отражения, соответствующих различным резонансам. Однако, спектральная мощность шума на конечной частоте, S(oj) = J{(I(t)I(0)))e~lljtdt, непосредственно зависит от амплитуд матрицы рассеяния и, как функция частоты, проявляет ряд специфических особенностей на частотах, определяемых положением резонансов в системе. Более того, появление той или иной особенности зависит от относительной фазы между соответствующими резонансами, что позволяет экспериментально измерить относительную фазу амплитуд Андреевского отражения.
Спектральная мощность шума на положительных частотах 0 < и> < 2eV/h (S(u>) = 0 при и> > 2eV/K) при нулевой температуре может быть найдена явно для случая хорошо разделенных резонансов \еп — ет\ •С Г„,Гт. Для So = 1, что соответствует идеальному Андреевскому отражению в резонансе, RA(en) = 1, спектральная мощность шума определяется следующим выражением:
Ж, Л 9.е2/^Г» V (1 + А„Ат)ГпГт(Гп + Гт) 1
= + (Г. + Гт) V4 / ' (?)
где суммирование производится только по резонансам chu> — eV<en< eV.
Полученные результаты могут быть проиллюстрированы на примере NS контакта с двумя хорошо локализованными Андреевскими резонансами Ei = ei — гГх/2, Е2 = £2 — ¿Гг/2 в интервале энергий [eF, eF + eV] для резонансов с А1А2 = 1, Рис. 1(a), или А1А2 = —1, Рис. 1(b).
Как видно, спектральная мощность шума обладает двумя характерными
Рис. 1: Спектральная мощность шума на положительных частотах в единицах So = 2(e2/h)eV как функция частоты в единицах eV/h для (а) двух резонансов с разностью фаз 2тг или (Ь) 7г: ei = 0.2eV, е2 = 0.8eV, Г\ = 0.02eV и Г2 = О.ОЗеУ.
типами особенностей: "ступеньками"шириной Гп на частотах hwn = eV±en, и "прогибами", т.е. частичным подавлением шума, на частотах Ншпт — £п + £т >0 шириной Г„ + Гт таких, что для соответствующих резонансов п и т выполняется условие Л„Лт = 1. Таким образом появление особенности второго типа на частоте шпт зависит от относительной фазы амплитуд Андреевского отражения между n-ым и m-ым резонансами: для резонансов с относительной фазой п (AnAm = — 1) соответствующая особенность появляется на частоте w = \еп — ет\/Н, тогда как для резонансов с относительной фазой 2п (ЛпЛт = 1) шум подавляется на частоте ш = |en + em|/ft. Что касается особенностей первого типа - "ступенек", то они всегда присутствуют в системе вне зависимости от относительной фазы между резонансами. Наличие конечной температуры Т качественно приводит к уширению ступеньки Ферми, что в результате приводит к уширению "ступенек"на величину къТ при квТ min|en — em\, тогда как особенности второго типа ("прогибы") остаются неизменными при квТ «С min|e-„ — em\.
Во второй главе изучается динамика частицы в двухъямном потенциале, взаимодействующей с макроскопическим резервуаром. Рассматриваемая задача состоит в следующем: пусть до момента времени t = 0 частицу удер-
живают в левой яме, а затем отпускают. В дальнейшем мы интересуемся поведением системы, усредненным по степеням свободы резервуара, т.е. усредненными вероятностями вида {Р^ь,н(1)), где < > 0, первый индекс обозначает начальное состояние частицы, второй конечное. Поскольку усредненная вероятность нахождения частицы в левой яме, (Р¿,_>Л(£)), после усреднения по степеням свободы среды не несет полной информации о динамике частицы, мы будем также интересоваться корреляторами вида Рь^я^)}, где скобки обозначают усреднение по степеням свободы резервуара.
Необходимость вычисления корреляторов такого вида следует из того факта, что вероятности, получаемые из матрицы плотности, представляют собой результат как квантовомеханического усреднения, так и усреднения по начальному состоянию резервуара. Например, обращение = оо))
в 1/2 может происходить следующим образом: в зависимости от начального состояния резервуара либо = оо) = 1, либо = оо) = 0, а 1/2 возникает только в результате усреднения по начальному состоянию резервуара. В данном случае в рассматриваемой модели имеется локализация частицы в одной из ям, и обращение в 0 коррелятора {Рь->ь{оо)Рь-,я(оо)) будет однозначно свидетельствовать об этом. В более общем случае имеется некоторая функция Т(Рь-,ь(Ь)) - плотность вероятности состояний среды, в которых частицы оказывается в левой яме с вероятностью Р^^). Изучение высших корреляторов вида позволяет определить величину
ПР^Ш
Усредненные вероятности вида (^_>£(<)) выражаются в терминах функционального интеграла по траектории частицы в двухъямном потенциале. Например величина (Рь^ь(Ь)) имеет следующий вид:
(Рь^)) = I Од1(г)Пд2(Ь)А[д1(1))А*[д2Ц)}Р[д1^),д2^)}, (8)
где А[д(Ь)] - амплитуда для траектории д(Ь) в отсутствие взаимодействия с резервуаром, ¿''[д 1(£), <7г(0] - функционал влияния резервуара. Средняя вероятность может быть вычислена в модели, где резервуар представляет собой бесконечный набор невзаимодействующих гармонических осцилляторов при конечной температуре. Однако, соответствующий функционал
влияния уже для второго момента величины PL^L{t) имеет в данной модели чрезвычайно сложный вид, что делает задачу о вычислении соответствующего функционального интеграла для {Pf_,L(t)) исключительно сложной. Поэтому рассматривается более простая модель резервуара, где действие резервуара моделируется случайным гауссовым классическим полем, действующим на частицу. Считая потенциал симметричным, в базисе состояний, где координата частицы принимает определенные значения ±go/2 (до расстояние между ямами) гамильтониан для частицы имеет следующий вид:
H(t) = -\HAax+q-^az, (9)
где ах, а7 - матрицы Паули, и базис выбран так, что собственное значение az равное ±1 соответствует частице, локализованной в правой (левой) яме, Д - амплитуда квантовомеханического туннелирования между ямами. Считается, что распределение вероятностей для классического поля cp(t) гауссово и имеет вид белого шума: (^(fiVfe)) = —
В такой модели функционал влияния, F[qi, <72], для величины (PL^L(t)) имеет вид F[quq2] = ехр(-Г $tf2(t)dt'), где £i2(i) = % ЧЫ*) ~ 9г(*))> Г = <7o(v2)/(2/i2), и усредненная по случайному полю вероятность (PL^L(t)) может быть вычислена точно:
{Г^М) - 2+ 4у/Р-4А^
+ exp{-|t(r + у/Г^4ДЗ)}(-Г + УТ^Ш)
4у/Г2 — 4Д2 ' 1 ;
Как видно, для любого ненулевого Г значение {PL^,L{t = 00)) = 1/2, причем при значении Г = 2Д наблюдается переход от затухающих колебаний к релаксации. В пределе Г > Д в задаче имеются два времени релаксации Ti < т2, где т\ = Г-1, т2 = Г/Д2.
Недиагональные элементы матрицы плотности, (Ф*(^ФД(£)) имеют вид
_ ¿Дехр{-КГ+х/Г^4Д*)} _ гД ехр{|(—Г + -у/Р^Д2)} ^«WW - 2\/Г2 — 4Д2 2\/Т2 — 4Д2
(И)
и затухают со временем (Ф*(оо)Фя(оо)) = 0, причем в пределе Г А максимальное по модулю значение достигается через времена порядка т\ и равно Д/2Г.
Корреляторы второго порядка также вычисляются с помощью интеграла по траекториям. Соответствующий функционал влияния зависит уже от четырех траекторий и имеет вид 1, д2, дз, 94] = ехр(-Г /0*(^(О+^СО)2^ = Ы(*) = Чо1^^) ~ Вычисление показывает,
что в этом случае,
<^(оо)> = (Р^(оо)Р^л(оо)) = 1 {Р1Я( оо)> = 1 (12)
Таким образом, хотя недиагональные элементы матрицы плотности затухают со временем, локализации частицы в системе не происходит. Тем самым показано, что так называемый эффект "декогеренции"не влечет за собой локализации частицы.
Процедура вычислений может быть легко обобщена для произвольных высших моментов Численные рассчеты показывают, что (Р^(оо)) =
1/4, (Р?Лоо)} = 1/5. На основании данного вычисления можно сделать предположение, что величина Р^ь{оо) как функция случайного гауссового поля распределена равномерно в интервале [0,1]: 1
<^М> = / (^(оо))"Р(Р^(оо))й(Р^(оо)) = (13)
о
и ~Р{Рь-*1.{оо)) — 1 в интервале [0,1]. Исходя из данного предположения можно изучить вопрос о зависимости конечного состояния частицы от начального, когда исходное состояние имеет вид |5) = + Ь|ФИ), |а|2 + |Ь|2 = 1. В этом случае (Р£^с(оа)) = 1 /(п + 1) т.е. в данной модели функция распределения для вероятностей в конечном состоянии через очень большое время не зависит от начального состояния. Тем не менее, в каждом конкретном случае финальное состояние зависит от исходного:
((Р^(оо) - Р^(оо))2) - (14)
где |S') = а!|Фх) + Более того, если в начальный момент к системе
приложен дополнительный импульс поля 6<p(t) в течение короткого интервала времени такого, что частица не успевает протуннелировать между ямами, то соответствующий коррелятор, - ^¿-.¿{vW + <VW})2)' поз~
воляющий судить о чувствительности конечного состояния к изменениям внешнего поля, имеет вид
<(^М*)} - РыШ + М*)>) Voo = |а|2|Ь|2 481а^Ф), (15)
где <5Ф = (1/2К) f qoS(p(t)dt. Тем самым показано, что дополнительный импульс поля (на фоне случайного поля) меняющий фазу частицы на величину порядка 7г/2, меняет в типичном случае вероятность обнаружить частицу в одной из ям на величину более 1/2.
Третья глава посвящена изучению пространственно нелокальных, разновременных корреляторов электронного тока в многоконтактных баллистических нормальных проводниках и исследованию спиновой электронной запутанности в таких системах на основе измерения данных корреляторов.
В рамках формализма матрицы рассеяния в одноканальном баллистическом проводнике с центром рассеяния в начале координат, см. Рис. 2с, вычислен неприводимый коррелятор электронного тока CXuX2(ti — = {{I(x 1, t\)I(x2, £2))) в режиме, когда к левому электронному резервуару приложено постоянное напряжение V, eV <С EF, и прозрачность барьера на зависит от энергии вблизи уровня Ферми. Полученный ответ можно представить в виде суммы равновесных и избыточных флуктуаций: СХиХ2(т) = СЦХ1(т) + СЦХ2{т). Равновесные флуктуации С£л(т) = CXuX2(t;V = 0) описываются различными выражениями по одну С™Х2{т) (x\xi > 0) и по разные стороны от барьера С^Дт) (х\х2 < 0):
С^М = № + + а(т ~ т+)} ' (16)
= ~[а(т+т-)+а(т-т-)-Ща(т+т+)+а(т-т+)]], (17)
где т* = (|a;i| ± \xi\)/vf, vF - скорость Ферми; Т, R - вероятности прохождения и рассеяния от барьера соответственно; а(т) — тг2в2/ sinh2[тгб'т/Я], в -
температура электронных резервуаров. Напротив, избыточные флуктуации С™Х2(т) = СХиХ2(т\ У) — СХиХ2(г; V = 0) описываются единым выражением для всех координат х^х?-
еУ(т — г-)]
, . 8е2ТН . ,
= —81П2
2 П
>-] а(г-г-).
(18)
Рис. 2:
Как видно, избыточные флуктуации СХ*Х2 (т) зависят только от запаздывающей переменной т — (|жх| — |хг|Пространственная зависимость избыточных флуктуаций полностью исчезает для симметричного измерения токов Х\ = — Х2, см. Рис. 2Ь, и флуктуации становятся максимальными при совпадающих временах г = 0, что свидетельствует о наличии нелокальных мгновенных корреляций в системе. Наличие таких мгновенных корреляций и немонотонная координатная зависимость коррелятора С^Х2(т) объясняется в терминах коллапса электронной волновой функции при измерении коррелятора токов. Поскольку избыточные флуктуации описывают корреляции между прошедшими и отраженными частицами, то измерение электрона в точке хх > 0 вызывает мгновенную редукцию электронной волновой функции и появление дырки в точке Х2 < 0, двигающуюся в отрицательном направлении, что в свою очередь дает (т) > 0. Осциллирующая зависимость и затухание избыточных флуктуаций на характерном масштабе
времен г ~ Н/еУ является следствием фермиевской статистики электронов и того факта, что резервуар с приложенным напряжением V инжектирует в среднем по одному электрону (на каждую проекцию спина) за время г = К/еУ. В свою очередь координатно-временная зависимость равновесных флуктуаций соответствует баллистическому распространению электронов вдоль проводника; различные процессы рассеяния, дающие вклад в равновесные и избыточные флуктуации схематично изображены на Рис. 2&.
Точно такой же координатно-временной зависимостью обладают избыточные флуктуации электронного тока между двумя контактами 'и' и 'с!' нормальной мезоскопической "вилки", см. Рис. 2а, при постоянном напряжении на контакте У:
где Тт, Тж) - вероятности прохождения электрона из контакта 'в' в контакт 'и', 'в' соответственно. В такой геометрии измерение электрона, например, в точке х\ контакта 'и' мгновенно вызывает появление дырки в точке х% = х\ контакта 'с!', распространяющейся в положительном направлении, что в результате дает отрицательный знак для
Рис. 3: а) схема эксперимента Белла в трехконтактном баллистическом проводнике; Ь) состояния рассеяния синглетно коррелированной электронно-дырочной пары в туннельном режиме.
Измерение разновременных корреляторов электронного и электронно- дырочного токов позволяет исследовать вопрос о спиновой электронной запу-
8е2ТтТ^ . 2[еУ(т — т~)] . ,
=--12-^ Г2Й-1 ~ Т ^ ^
V
танности в мезоскопических проводниках. Детально рассматривается следующий эксперимент в духе Белла: имеется нормальный баллистический трехконтактный проводник, см. Рис. За, на один из контактов ('в') которого приложено постоянное напряжение V. В двух других контактах ('и' и 'с!') имеются спиновые фильтры с направлением поляризации а и Ь соответственно. В эксперименте Белла Рис. За измеряются корреляции между спиновыми электронными токами г = 1,3, в контакте 'и', спроецированных на направления ±а, и соответствующими токами в контакте 'с!': 3 = 2,4, спроецированными на направления ±Ь. В терминах данных величин формулируется временно-зависящее неравенство Белла:
К,(т) = \ЕаЬ(т) - ЕаЬ(т) + ЕйЬ(т) + £а6(т)| < 2, (20)
где а и Б означают две другие ориентации спиновых фильтров, а величина Еаь(т) определяется через корреляторы спиновых электронных токов а,Ь;т) = (Ц(тЩ0)), где ¿ = 1,3,3 = 2,4:
р м = СГ2(т) ~ СЩт) - С?2(т) + С?4(т) М> СГ2(т) + Сй(т) + СЩ(т) + СЦ( г) • ^
Нарушение неравенства Белла (20) при некоторых ориентациях спиновых фильтров свидетельствует о наличии спин-запутанных электронных пар, распределенных между контактами 'и' и 'сГ проводника. Вычисление корреляторов Су(а,Ь;т) при оптимальных ориентациях спиновых фильтров: ваь = ввь = #аЬ = ^/4, #аь — 37г/4 (0„ь - угол между векторами а и Ь) дает следующий результат для неравенства Белла (20) в пределе нулевой температуры и симметричной позиции спиновых фильтров х = у^> /шР/еУ в верхнем и нижнем контакте:
2вш\еУт/2П) 1
т2{еУ/К)2 — 28т2(ёУт/2Н) ~ у/2 Как видно: неравенство Белла нарушается на коротких временах г = Н/еУ и максимально нарушается при совпадающих временах; нарушение неравенства Белла (22) не зависит от прозрачностей Т5и, Т^ системы.
Временной интервал, на котором нарушается неравенство Белла, может быть расширен в туннельном режиме Т8и <С 1, Т8и ~ 1 если в верхнем
контакте 'и' вместо электронного тока измерять дырочный ток = {2е?/К)У — /ц. Соответствующее неравенство Белла имеет вид (20), где все корреляторы электронных токов заменены на соответствующие корреляторы электронно-дырочных токов, С^е(а, Ь; т) = (/гь(т)7®(0)). После вычисления корреляторов неравенство Белла имеет вид:
2sin2(eVr/2ñ)
2sin (eW/2ft) + Т-1(1 - TBU)r2(eV/h)2
<
_1_
(23)
В этом случае: неравенство Белла может быть нарушено только при Tsu > Tmin = 2/(1 + \/2); при T8U > Tmin неравенство Белла нарушается на гораздо больших временах т < Полученные результаты для неравенства
Белла в случае электронных и электронно-дырочных измерений проиллюстрированы на Рис. 4.
eVx/h
Рис. 4: Эксперимент Белла для электрон-электронных (слева) и электронно-дырочных (справа) измерений. Толстая линия 1/\/2 определяет критическое значение, выше которого неравенство Велла нарушается.
Причина, по которой в нормальной невзаимодействующей системе наблюдается спиновая электронная запутанность, может быть найдена в следующих двух обстоятельствах: во-первых, вследствие фермионной статистики электронов, электронный резервуар ('з'), с приложенным напряжением V, инжектирует в среднем по одной паре избыточных электронов с противоположными спинами за время ту. Более того, изучение парной корреляционной функции для избыточных электронов в контакте 'б': д/£у(<г) =
(Ф^ (ж)Ф^(?/)Ф(Гз(2/)Ф(,/1(а;)) (Ф^я) - оператор электронного поля в 's') показывает, что электроны в инжектированной паре обладают спиновыми син-глетными корреляциями на расстояниях порядка \х—у\ ~ vftv, что является следствием принципа Паули. В дальнейшем данная пара электронов рассеивается в контакты 'и' и 'd', причем синглетные корреляции сохраняются. Второе обстоятельство связано с тем, что в эксперименте Белла при измерении корреляций электронного тока между верхним и нижним контактами проводника Рис. За, двух-электронная волновая функция инжектированной пары в контактах 'и' и 'd' проецируется на запутанную по спину компоненту, где один электрон из пары находится в контакте 'и', а другой в контакте 'd'. Таким образом проективное измерение корреляторов токов само является причиной возникновения спиновой электронной запутанности, причем фермионная статистика электронов разделяет инжектированные электроны по времени rv (для каждой проекции спина в отдельности), что и позволяет наблюдать нарушение неравенства Белла на коротких временах т < rv. При этом роль проективного измерения является существенной: без проецирования волновая функция двух электронов, распределенных между контактами 'и' и 'd', является простым детерминантом Слэттера и потому незапутанной.
В туннельном случае, при измерении дырочного тока в верхнем контакте нарушение неравенства Белла имеет ту же природу что и для электрон-электронных измерений. Соответствующие состояния рассеяния электронно-дырочной пары продемонстрированы на Рис. ЗЬ. При этом измерение корреляций электронно-дырочных токов между верхним и нижним контактами проецирует состояние рассеяния электронно-дырочной пары на спин-запутанную компоненту ß + 7 см. Рис. ЗЬ, когда только один электрон из инжектированной пары в контакте 's' туннелирует в нижний контакт. Соответствующая компонета S, когда инжектированная пара целиком туннелирует в нижнй контакт подавлена в туннельном режиме T8U -С 1. При этом увеличение временного интервала для нарушения неравенства Белла связано с тем, что соответствующие туннельные события разделены гораздо большим временным интервалом в силу малости вероятности Ts
-н
Рис. 5: Нормальный четырех-контактный безотражательный мезоскопический рассеива-тель, инжектирующий в контакты's' и's' поток спин-поляризованных электронов вдоль направления магнитного поля ±Н (eV = ¡ia\H\/2) соответственно, i? - угол, характеризующий матрицу рассеяния системы: Тт = Тм = cos2 ■д, Т^ = TSu = sin21?, = T„d = 0 -соответствующие вероятности рассеяния.
Возникновение электронной запутанности исследовано также на примере безотражательного четырех-контактного рассеивателя Рис. 5 в режиме, когда в контакты 's' и 's' поступают спин поляризованные электроны вдоль направления магнитного поля ±Н, приложенного к соответствующим резервуарам так, что eV = дв|Н|/2, где V - постоянное напряжение на контактах 's' и 's'. В отличие от трехконтактиой системы Рис. За, инжектированные электроны в контактах 's' и 's' не обладают спин-синглетными корреляциями. Тем не менее соответствующее неравенство Белла (20,21), сформулированное в терминах разновременных корреляторов спиновых электронных токов между контактами 'и' и 'd', нарушается при следующих направлениях векторов поляризации: ipa = 0, <рь = ít/4, <¿>g = 7г/2 и <Ръ = Зтг/4, где ipa -угол направления вектора а в экваториальной плоскости единичной сферы. Данный выбор углов поляризации спиновых фильтров соответствует спин-триплетному запутанному состянию двух электронов между контактами 'и' и 'd' системы. Соответствующее неравенство Белла нарушается на коротких временах т < rv и, для симметричной позиции спиновых фильтров и нулевой температуре, имеет вид:
2(eVr/h)2 - sin2 2д sin2 {eVr/h) ~ у/2*
sin2 2d sin2{eVr/h)
(24)
причем нарушение неравенства Белла зависит от параметра матрицы рассеяния системы, см. Рис. 5, и максимальное нарушение происходит для симметричного рассеивателя ■& = 7г/4. Как и ранее, причиной электронной запутанности является измерение корреляторов тока между контактами 'и' и 'с!' системы, в результате которого состояния рассеяния электронов с противоположным направлением спинов проецируются на запутанную компоненту.
Рис. 6: схема эксперимента Белла для а) трехконтактного нормального проводника, Ь) четырехконтактного безотражательного рассеивателя в режиме когда на контакт 'в' системы приложен импульс переменного напряжения.
В предложенных схемах создания и детектирования электронной запутанности, см. Рис. 3 и 5, электроные пары инжетируются из источника случайным образом. Тем самым, представляет интерес рассмотреть случай, когда синглетная пара электронов может быть инжектирована в проводник контролируемым образом. Данная задача изучается на примере двух нормальных баллистических систем, Рис. 6, в режиме когда к одному из контактов системы приложен импульс переменного напряжения В соответствующих экспериментах Белла измеряются корреляции количества переданного заряда за конечное время = ^ через соответ-
ствующие спиновые фильтры в верхнем (г = 1,3 поляризация ±а) и нижнем (г = 2,4 поляризация ±Ь) контактах. В терминах корреляторов пере-даннного заряда а, Ь) = формулируется неравенство Белла
|^аь ~ЕйЪ + ЕйЪ + Яа6| < 2 где
Е ь = ~ ~ (25)
£12 + £14 + £32 + £34
В адиабатическом приближении, когда импульс напряжения, приложенный в момент 0 < ¿о < t и шириной слабо меняется за время рассеяния электрона, коррелятор переданного избыточного заряда К'¡^ имеет вид
££(а,Ь) = е ТД
/ 2 ] п2 - ^(а, Ь) -I- ~2 8т2(7гп) 1п ■
(26)
где -Ру (а, Ь) = |(ае|Ь^)|2 - спиновая часть неприводимого коррелятора переданного заряда, ах,з = ±а, Ьг,4 = ±Ь, и соответствующие матричные элементы имеют вид |(±а| ± Ь)|2 = со82(0аь/2), |(±а| Т Ь)|2 = зт2(0аь/2); п = Ф/Фо, где Ф = —с/ У(£)<И и Фо = Лс/е - квант магнитного потока. В полученном выражении ур. (26) член ~ п2 соответствуют приводимому вкладу в коррелятор К™, тогда как другие два члена соответствуют неприводимому коррелятору и описывают корреляции п (для каждой проекции спина) избыточных электронов инжектированных в систему и многоэлектронный отклик системы на приложенный импульс напряжения (~ 1п(£ —
Для безотражательного рассеивателя Рис. 6Ь полный коррелятор переданного заряда между верхним и нижним контактом определяется только избыточными флуктуациями: Кц = /С®*, тогда как в трехконтактном проводнике Рис. 6а в коррелятор дают вклад также и равновесные флуктуации:
е2 г
£<?(а,Ь)«^(а,Ь)-^Тиа1п-, т = тах{Н/Е,,(х + у)М, (27)
для времени наблюдения £ > т. Здесь Тид - вероятность туннелирования между контактами 'и' и '<!' проводника, Рис. 6а; х и у расстояния до спиновых фильтров от точки рассеяния в верхнем и нижнем контакте соответственно. Как видно, равновесные флуктуации логарифмически расходятся
с увеличением времени наблюдения, что позволяет нарушить неравенство Белла только на коротких временах t. Тем самым с практической точки зрения большим преимуществом обладает схема Рис. 6Ь, где равновесные флуктуации между контактами 'и' и '<!' подавлены и время Ь может быть произвольным.
Для целых п неравенство Белла принимает следующий вид:
£ Я (28)
2п — 1
и нарушается максимально только при п = 1. Как видно, неравенство Белла (28) не зависит от параметров системы и формы импульса и определяется только параметром п. При п = 1 из источника 'в' в систему инжектируются два электрона в синглетном состоянии, волновая функция которых проецируется на запутанную компоненту при измерении коррелятора К.^.
Хотя формально неравенство Белла может нарушаться и при дробных О < п < 1, в этом случае коррелятор (26) становится отрицательным, и заряд в одном из контактов 'и' или 'сГ может протекать в направлении противоположном приложенному напряжению, что делает неприменимым использование неравенства Белла и лишает его нарушение физического смысла.
В четвертой главе узучаются неравновесные транспортные свойства углеродной нанотрубки, присоединенной к нормальным ферми-жидкостным контактам, в режиме, когда электроны инжектируются в нанотрубку из иглы сканирующего электронного микроскопа (СЭМ), Рис. 7.
Для описания электронного транспорта в нанотрубке используется неоднородная модель Латтинжеровской жидкости с гамильтонианом: 00
Н = \ Е / йх М*) [К^)(9хф3б)2 + К^(х)(дхв^)2], (29) & -00
где ф^, в^ - операторы бозонного поля в Латтинжеровской модели, соответствующие различным бозонным модам ]8 £ {с+, с~, е-}, где с/в, ± означает зарядовую/спиновую, полную/относительную моду; = vF/Kjs(x) - скорость звука для соответствующей моды; К^{х) - параметр взаимодей-
КапоШЬе
Рис. 7: Углеродная нанотрубка, присоединенная к ферми-жидкостным контактам. Электроны инжектируются в нанотрубку из иглы сканирующего электронного микроскопа.
ствия: К^(х) = 1 в ферми-жидкостных контактах > Ь/2, Ь - длина нанотрубки, см. Рис. 8.
Кс+М,
Кс+
-172
К*
к1-
О
иг
Рис. 8: Неоднородная модель Латтинжеровской жидкости с координатно зависящим параметром взаимодействия К}(.
Соответствующий оператор электронного поля в нанотрубке Фтст для электрона со спином а = ±1, двигающегося вдоль направления г = ±1, моды а = ±1 имеет вид:
Рп
у/2жа
<Ргаа(х, <) = Щ- V [фл(х, *) + Гвц(х, Ь)] ,
2 а
Фгсиг(.Х,£) —
_ Гусит лкргх+г&ах+йргаА1,*) £ 1
(30)
(31)
где а - ультрафиолетовый параметр регуляризации Латтинжеровской модели, Ртаа - фактор Кляйна, к¥ - импульс Ферми, <7Р - невязка по импульсам для двух электронных мод а в нанотрубке; Наас+ = 1, каас- = а, Нааа± = о и йа<те- = сит.
Оператор электронного тока в нанотрубке и ферми-жидкостных контактах в терминах бозонных полей имеет вид:
/(М) = (32)
Vя"
Процесс инжектирования электронов из иглы СЭМ описывается туннельным гамильтонианом:
H?(t) = £ r(í)íL(0, t)c*(t) + he., (33)
rao
где T(í) = ГеШо\ u>o = eV/h, V - напряжение на игле СЭМ, Г - амплитуда туннелирования, са - оператор электронного поля в игле СЭМ.
Во втором порядке теории возмущений по туннельному гамильтониану вычисляется спектральная мощность на положительной частоте кросс- и авто-корреляции электронного тока в нанотрубке. Для бесконечной нано-трубки L —> оо флуктуации тока имеют вид
К%. + agn(g)agn(a/) 2е2Г2 / а У"1 ЛЫ-ш)" . .
SXAш) ----е -щ. Bdcol-^-j^-^, (34)
где и = (1/8) ¿2jS{KjS + К'/), т_ = (|ж| - \x'\)/vc+, Г(ж) - гамма функция Эйлера, Э(х) = 1 при х > 0 и 0 при х < 0.
Полученный результат имеет следующую физическую интерпретацию: при туннелировании электрон в нанотрубке распадается на две квазичастицы (много-частичные электронно-дырочные возбуждения) с дробным электронным зарядом Q± = (1 ± Кс+)/2, двигающиеся в противоположных направлениях. Причем, поскольку электрон инжектирован локально, полученное состояние двух квазичастиц с зарядом Q± является запутанным по отношению к направлению распространения. Тем самым, при измерении автора;' > 0) и кросс-корреляций (хх' < 0) электронного тока, соответствующий фактор вур. (34) пропорционален (Q2+Q2) и (2Q+Q-) соответственно, что позволяет в принципе экспериментально измерить величину дробного заряда возбуждений в Латтинжеровской жидкости.
В действительности, в реальном эксперименте для нанотрубки конечной длины, корреляции электронного тока измеряются в ферми-жидкостных
контактах. Соответствующее выражение для спектральной мощности корреляций электронного тока в контактах на положительных частотах имеет вид:
* (_I_ , \ , ,
\1-(1-К^вт^ч + 1 - (1 - К^ып^п) '
где Т1 = Ь/2ьс+ - время пролета квазичастицы до контактов. Данный результат продемонстрирован на Рис. 9 для случая длинной 7£ ту и короткой нанотрубки Г£ ~ 7у, где ту = К/еУ.
Рис. 9: Кросс-корреляции шума на конечной частоте в ферми-жидкостных контактах для (а) ть = 14ту, (Ь) т£ = ту.
Как видно, спектральная мощность шума зависит от характерного отношения времен т^/7у. При инжектировании электрона размер волнового пакета для соответствующей Латтинжеровской квазичастицы определяется приложенным напряжением: 8х<э± ~ У^ту. Поскольку при ть ту 6х<з± С Ь, то квазичастице требуется конечное время т.£, чтобы достигнуть ферми-жидкостных контактов. В результате в шуме появляются характерные резонансы на частотах шг/, = (2р + 1)7г/2, р - целое, см. Рис. 9а, что
объясняется баллистическим распространением Латтинжеровских квазичастиц и их последующим многократным отражением от ферми-жидкостных контактов. В обратном случае r¿ ~ ту размер волнового пакета квазичастицы становится равным размерам нанотрубки и соответствующие резонансы в шуме исчезают, см. Рис. 9Ь.
Измерение кросс- и авто-корреляций электронного шума на конечной частоте позволяет экспериментально определить величину дробного заряда, а именно измеряя отношение \Sx-x/Sx,x\ = (1 — + в максимумах
üjti = (2р + 1)7г/2 можно определить параметр Кс+ и в свою очередь Q±.
В заключении сформулированы основные результаты работы.
Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:
1. Г. Б. Лесовик, А. В. Лебедев "Дробовой шум в мезоскопических системах с резонансным андреевским туннелированием", Письма в ЖЭТФ, т. 74, стр. 570-574, (2001).
2. Г. Б. Лесовик, А. В. Лебедев, А. О. Имамбеков "Динамика двухуровневой системы, взаимодействующей со случайным классическим полем", Письма в ЖЭТФ, т. 75, стр. 565-569, (2002).
3. А. V. Lebedev, G. Blatter, С. W. J. Beenakker and G. B. Lesovik, "Entanglement in Mesoscopic Structures: Role of Projection", Phys. Rev. В 69, 235312, (2004).
4. A. V. Lebedev, G. B. Lesovik and G. Blatter, "Entanglement in a Noninteracting Mesoscopic Structure", Phys. Rev. В 71 045306 (2005).
5. A. V. Lebedev, A. Crepieux and T. Martin, "Electron injection in a nanotube with leads: finite frequency noise-correlations and anomalous charges", Phys. Rev. В 71, 075416 (2005).
6. G. В. Lesovik, A. V. Lebedev and G. Blatter, "Wave function collapse in a mesoscopic device", Phys. Rev. В 71, 125313 (2005).
И 094Г
РНБ Русский фонд
2006-4 5915
Введение
1 Дробовой шум в мезоскопических системах с резонансным Андреевским туннелированием
1.1 Введение.
1.2 Квазиклассический подход к описанию электронного транспорта в NS-системах.
1.3 Построение матрицы рассеяния.
1.4 Дробовой шум в NS системах.
2 Динамика частицы в двух-ямном потенциале, взаимодействующей с резервуаром.
2.1 Введение.
2.2 Модель Леггета.
2.3 Резервуар,-как измеритель положения частицы.
2.4 Второй момент для вероятности локализации частицы.
2.5 Динамика частицы в двух-ямном потенциале, взаимодействующей со случайным классическим полем.
3 Квантовая электронная запутанность в невзаимодействующих мезоскопических системах.
3.1 Введение.
3.2 Пространственно-временная зависимость флуктуаций электронного тока.
3.2.1 Флуктуации тока в квантовом точечном контакте.
3.2.2 Флуктуации тока в нормальной мезоскопической 'вилке'.
3.2.3 Корреляции тока и коллапс волновой функции.
3.3 Неравенство Белла.
3.3.1 Вывод неравенства Белла в терминах вероятностей совместного детектирования.
3.3.2 Неравенство Белла в мезоскопических системах.
3.4 Спиновая синглетная запутанность электронов в мезоскопических проводниках.
3.4.1 Нарушение неравенства Белла.
3.4.2 Причина возникновения электронной запутанности
3.5 Спиновая триплетная электронная запутанность в мезоскопических проводниках.
3.5.1 Эксперимент Белла с двумя поляризованными электронными источниками.
3.5.2 Анализ спиновой запутанности.
3.6 Контролируемое создание запутанных электронных пар.
3.6.1 Вычисление корреляторов в нестационарном случае.
3.6.2 Единичный импульс напряжения.
3.6.3 Нарушение неравенства Белла.
4 Электронный транспорт в углеродных нанотрубках
4.1 Введение.
4.2 Неоднородная модель Латтинжеровской жидкости в углеродной нанотрубке.
4.3 Корреляторы тока в формализме Келдышевских функций Грина.
4.4 Вычисление функций Грина.
4.5 Флуктуации тока.
4.5.1 Нанотрубка бесконечной длины.
4.5.2 Флуктуации тока в ферми-жидкостных контактах.
Измерение корреляционных функций или флуктуаций электронного тока в мезоскопических электронных системах в последнее время является весьма популярной темой экспериментальных и теоретических исследований во многих научных центрах. Связано это с двумя основными обстоятельствами: во-первых, появились новые теоретические методы, такие как формализм матрицы рассеяния, интегралы по траекториям, которые оказались гораздо более подходящими для описания свойств электронного транспорта по сравнению с традиционными подходами, например с использованием формулы Кубо, функций Грина, диаграммной техники и т. д. ; во-вторых, значительный прогресс, достигнутый в последнее десятилетие в изготовлении мезоскопических наноструктур, дает возможность для экспериментального изучения квантовых флуктуаций в таких системах.
Важной особенностью мезоскопических систем является то, что ввиду их чрезвычайно малого размера, флуктуации в таких системах значительно менее подавлены по сравнению с макроскопическими образцами и обладают гораздо более интересными свойствами [1]. Более того, поскольку длина когерентности электронов в наноструктурах может достигать размеров системы, электронный транспорт может обуславливаться специфическими квантовыми интерференционными эффектами, которые не проявляются при измерении средних величин, например кондактанса проводника, и могут быть обнаружены только при измерении корреляционных функций, например флуктуаций электронного тока в проводнике. В целом, изучение корреляторов высоких порядков, а в переделе и полной статистики наблюдаемых величин, позволяет максимально возможным образом изучить свойства любых стохастических систем (как квантовых, так и классических).
Значительный интерес к изучению корреляционных функций обусловлен также возникновением новой науки - квантовой информатики [2, 3]. Как оказалось, вычислительные алгоритмы, в которых элементарной единицей информации является квантовое состояние произвольной двухуровневой системы - квантовый бит, могут оказаться в некоторых случаях гораздо более эффективными по сравнению с аналогичными классическими вычислительными схемами. Основное преимущество квантовой информации состоит в том, что в отличие от классического бита, который в любой момент времени может находиться только в одном из двух возможных состояний, квантовый бит может одновременно находиться в произвольном состоянии суперпозиции двух значений, что позволяет производить параллельное вычисление над каждой компонентой суперпозиции в отдельности. В общем случае, любая реально действующая квантовая вычислительная схема использует состояния суперпозиции N > 1 квантовых битов, что в результате эффективно повышает скорость работы квантового алгоритма в раз. При этом, как правило, такое состояние суперпозиции квантовых битов явялется нефакторизуемым или другими словами запутанным, т.е. не представляемом в виде прямого произведения состояний каждого бита.
Такие запутанные состояния суперпозиции нескольких битов или в общем случае нескольких квантовых частиц являются специфическим свойством квантовой механики, и изначально воспринимались на уровне парадоксов квантовой теории. Так в известной работе Эйнштейна Подольского Розена [4] на основе анализа запутанного состояния двух пространственно разделенных частиц была предпринята критика квантовой механики как неполной физической теории, противоречащей духу локальности общей теории относительности. Основной причиной возникновения подобных парадоксов является то, что, как известно, при измерении любого состояния квантовой системы, находящейся в состоянии суперпозиции относительно измеряемого наблюдаемого, происходит мгновенный процесс схлопывания или коллапса волновой функции системы только в одно из возможных собственных значений наблюдаемой величины [5]. В случае, когда имеется пространственно разделенное, запутанное состояние двух частиц, измерение состояния только одной частицы мгновенно вызывает коллапс волновой функции всей системы и тем самым мгновенное изменение состояния второй частицы, которая может находиться как угодно далеко относительно первой. Такая картина находится в глубоком противоречии с духом локальности общей теории относительности, согласно которой любое локальное воздействие на первую частицу не может вызвать мгновенного влияния на состояние второй частицы, находящейся в пространственно удаленной точке.
В дальнейшем был предпринят ряд попыток [6] обойти нелокальность квантовой теории путем введения так называемых локальных скрытых переменных, точное знание которых позволяет предопределить исход любого измерения. Однако, как затем строго показал Белл [7], любая теория скрытых локальных переменных не может описать все возможные исходы измерения для двух частиц, находящихся в запутанном состоянии. В своей работе Белл рассмотрел мысленный эксперимент, в котором измеряется поляризация двух фотонов, находящихся в синглетном запутанном состоянии относительно линейной поляризации, и вывел характерное неравенство на корреляционные функции значений поляризации двух фотонов, которое должно выполняться в рамках любой возможной теории локальных скрытых переменных, способной описать данный эксперимент. Однако, как оказалось, неравенство Белла не согласуется с предсказаниями квантовой теории и нарушается для корреляционных функций поляризации двух фотонов, вычисленных согласно правилам квантовой механики. В дальнейшем данный эксперимент был реализован на практике, где в явном виде было продемонстрировано нарушение неравенства Белла и тем самым доказано, что квантовая механика является по сути нелокальной физической теорией.
В настоящее время вновь возникший интерес к квантовой запутанности обусловлен в большей степени практическими соображениями, где квантовая запутанность выступает как ресурс для квантовых вычислительных и криптографических схем, а неравенство Белла выступает в роли удобного количественного критерия для оценки степени запутанности состояния нескольких квантовых битов. При этом остро встает вопрос о практическом способе реализации квантовых компьютеров и квантовых битов. Мезоскопические структуры могут выступать в качестве экспериментальной базы квантовых компьютеров [8], где в роли квантового бита может выступать, например, две возможные проекции электронного спина [9]. При этом возникает две основных сложности. Во-первых, любая электронная мезоскопическая система взаимодействует с некоторым резервуаром, например с фононами подложки на которой изготовлена такая структура, что вызывает некотролируемый процесс декогеренции состояний суперпозиции квантового бита. Вторым важным моментом является сам способ создания электронных квантовых запутанных состояний.
Все предложенные к настоящему моменту схемы создания электронной запутанности в мезоскопических системах можно разделить на два широких класса: схемы использующие эффекты взаимодействия между электронами и схемы где запутанность создается без участия взаимодействия.
Во взаимодействующих схемах, как правило, используются два основных эффекта для создания спиновой запутанности между электронами: 1) эффекты Кулоновского взаимодействия в системах состоящих из двух или более близко расположенных квантовых точек в режиме Кулоновской блокады [10,11,12], 2) или использование парного притягивающего взаимодействия в сверхпроводниках [13, 14, 15]. При этом путем рассеяния спин-запутанные электронные пары поступают в различные контакты системы. Так в работе [13] было предложено использовать эффект близости в контактах сверхпроводник - нормальный металл, когда за счет приложенного напряжения к сверхпроводнику в нормальный металл поступают синглетно-запутанные Куперовские электронные пары. В дальнейшем эти запутанные пары электронов разделяются путем рассеяния в два других нормальных контакта системы, образуя в итоге два потока электронов запутанных между собой по спиновым степеням свободы. Для анализа спиновой-электронной запутанности в таком устройстве в работе [16] было предложено использовать неравенство Белла, сформулированное в терминах корреляторов переданного электронного заряда с заданной проекцией спина между различными контактами системы.
Позднее выяснилось, что для создания запутанного состояния электронов можно использовать и невзаимодействующие схемы, где запутанность возникает в результате корреляционого измерения, когда изначально незапутанная волновая функция электронов проецируется на запутанную компоненту [17]. Способ создания квантовой запутанности путем проективного корреляционного измерения хорошо известен в квантовой оптике [18], где запутанное по поляризации состояние двух фотонов, изначально испущенных в хорошо определенном факторизуемом Фоковском состоянии, создается в результате их совместного фотодетектирования. Впервые аналогичная схема создания электронной запутанности была предложена в работе [17], где в качестве запутанных степеней свободы предлагалось использовать различные краевые состояния в квантовом эффекте Холла.
Таким образом измерение нелокальных в простанстве корреляторов электронного тока и протекшего заряда в различных контактах когерентной ме-зоскопической структуры может само по себе служить эффективным источником электронных запутанных состояний, что дает эффективный способ создания и манипулирования такими состояниями в дальнейшем. Следует также отметить, что корреляционные измерения в электронных системах позволяют исследовать такие фундаментальные аспекты квантовой теории, как редукция волновой функции и нелокальность квантовой механики.
Основные цели диссертационной работы заключаются в развитии методов описания корреляционных функций в электронных мезоскопических системах. Применение полученных результатов для изучения тонких характеристик матрицы рассеяния; локализации частицы в двухъямном потенциале, взаимодействующей с резервуаром; получение запутанных электронных состояний в квантовых проводниках; исследование степени электронной запутанности; изучение дробного заряда в сильно-взаимодействующих одномерных электронных системах.
Материал диссертации и полученные результаты организованы следующим образом. Глава 1 посвящена изучению дробового шума в баллистических NS-контактах в Андреевском режиме eV < Д в случае, когда матрица рассеяния контакта может зависеть от энергии и, в частности, содержать размытые Андреевские резонансы. Для вычисления дробового шума в данной системе предлагается использовать квазиклассический подход на основе состояний рассеяния, получаемых из решения уравнения Боголюбова де Женна (см. Раздел 1.2). Для нахождения явного вида матрицы рассеяния системы в Разделе 1.3 предложен способ аксиоматического построения матрицы рассеяния исходя из электронно-дырочной симметрии уравнения Боголюбова де Женна и общей теории рассеяния, что позволяет классифицировать все возможные матрицы рассеяния в таких системах и определить их явный вид не затрагивая детали микроскопического устройства NS-контакта. В результате в Разделе 1.4 будет показано, что дробовой шум проявляет ряд характерных особенностей, позволяющих определить относительную фазу амплитуд Андреевского отражения между различными резонансами NS-контакта.
Глава 2 посвящена изучению влияния макроскопического резервуара на динамику двух-уровневой системы. В Разделе 2.2 кратко описана известная модель Леггета для частицы в двух-ямном потенциале, взаимодействующей с макроскопическим резервуаром гармонических осцилляторов. В терминах функционального интеграла по траекториям частицы в двух-ямном потенциале записан общий вид для усредннной вероятности найти частицу в одной из ям при заданном начальном состоянии и приведены известные результаты найденные в данной модели. В Разделе 2.3 данная задача рассматривается в контексте теории измерений, когда резервуар выступает в роли измерителя положения частицы между ямами. При этом показано, что для выяснения вопроса о локализации частицы в какой-либо из ям изучение только усредненных вероятностей по начальному состоянию резервуара оказывается недостаточным, и при конечной температуре резервуара возникает необходимость вычислений старших моментов для вероятности локализации частицы, как функции начального состояния резервуара. В Разделе 2.4 Главы 2 в терминах функционального интеграла по траекториям частицы получно явное выражнние для второго момента вероятности локализации частицы. При этом оказывается, что получающийся функциональный интеграл оказывается гораздо более сложным чем для усредненной вероятности (первого момента), что делает задачу о вычислении функционального интеграла исключительно сложной. В последнем Разделе 2.5 Главы 2 изучается более простая модель, когда действие резервуара на частицу моделируется случайным классическим полем. Данная модель эквивалентна модели спина 1/2, когда магнитное поле вдоль направления х фиксировано, а вдоль направления г флуктуирует случайным образом. В такой модели удается найти явный вид для первого и второго момента вероятности локализации частицы за конечное время, как функции случайного Гауссового поля, а для вероятности локализации на бесконечных временах оказывается возможным найти все старшие моменты для вероятности локализации.
Глава 3 посвящена изучению спиновой электронной запутанности в различных невзаимодействующих электронных мезоскопических системах. В первом Разделе 3.2 в рамках формализма матрицы рассеяния изучаются пространственно нелокальные разновременные корреляторы электронного тока на примере двух различных мезоскопических проводников: баллистического квантового точечного контакта и трех-контактной мезоскопической "вилки"в режиме когда к одному из контактов системы приложено постоянное напряжение. Полученные результаты интерпретируются в терминах коллапса волновой функции электронов в результате корреляционного измерения токов. В Разделе 3.3 будет дана общая схема эксперимента Белла и получено соответсвующее неравенство для мезоскопических систем. В Разделе 3.4 будет проанализировано нарушение неравенства Белла и описан механизм возникновения запутанных синглетных состояний в мезоскопической "вилке". В Разделе 3.5 анализируется эксперимент Белла на примере четырех-контактного баллистического проводника, в режиме когда в два различных контакта системы поступают противоположно поляризованные по спину потоки электронов. В такой системе можно строго показать, что причиной возникновения электронной запутанности является сам процесс корреляционного измерения токов. В последнем Разделе 3.6 Главы 3 предложен способ создания спин-синглетного запутанного состояния электронов между двумя контактами мезоскопической "вилки", в режиме когда к третьему контакту прикладывается импульс переменного напряжения. При этом оказывается, что импульс напряжения соответствующий целому кванту магнитного потока инжектирует в систему строго два электрона в синглетном спиновом состоянии, что позволяет экспериментально контролируемым образом создавать запутанные электронные состояния.
В последней Главе 4 диссертационной работы изучается процесс туннелиро-вания электронов из иглы сканирующего электронного микроскопа с конечным приложенным напряжением в углеродную нанотрубку. При этом считается, что нанотрубка имеет конечную длину и своими концами присоеденена к двум различным нормальным контактам. Для описания электронного состояния в нанотрубке и нормальных контактах используется неоднородная модель Латтинжеровской жидкости с координатно зависящим параметром взаимодействия. В рамках теории возмущений по туннельному Гамильтониану, изучается флуктуации электронного тока в одном контакте (авто-корреляции) и между различными контактами (кросс-корреляции). Как оказывается, из измерений авто- и кросс-корреляций тока в контактах на конечной частоте можно экспериментально определить параметр взаимодействия Латтинжеровской модели. Полученные результаты интерпретируются в терминах Латтинжеровских квазичастиц с дробным электронным зарядом, возникающими в результате локального туннелирования электрона в нанотрубку.
Заключение
В диссертации получены следующие основные результаты
1. Предложен метод построения матрицы рассеяния для описания дробового шума в одноканальном баллистическом квантовом контакте сверхпроводник - нормальный металл в режиме eV < А при наличии размытых Андреевских резонансов в системе. Показано, что спектральная плотность шума как функция частоты, проявляет ряд специфических особенностей из-за наличия Андреевских резонансов в системе. Показано, что анализируя эти особенности можно определить относительные фазы амплитуд Андреевского отражения, соответствующих соседним резонансам.
2. Исследована динамика частицы в двухъямном потенциале, взаимодействующей со случайным гауссовым классическим полем. Вычислены первые два момента для квантово-механической вероятности локализации частицы в одной из ям на конечных временах:, как случайной величины случайного гауссового поля, и первые четыре момента для вероятности локализации на бесконечных временах. На основании данного вычисления сделано предположение, что квантовомеханическая вероятность найти частицу в одной из ям на бесконечных временах распределена равномерно в интервале [0,1]. Показано, что хотя недиагональные элементы матрицы плотности частицы затухают со временем, локализации частицы в одной из ям не происходит.
3. Вычислен нелокальный в пространстве и времени коррелятор электронного тока в нормальном баллистическом мезоскопическом проводнике. Показано, что коррелятор неравновесных флуктуаций электронного тока обладает специфической координатно-временной зависимостью. Предложена физическая интерпретация полученного результата, в которой немонотонная зависимость неравновесных флуктуаций от координат объясняется в терминах коллапса электронной волновой функции при проективном измерении коррелятора токов.
4. В различных много-контактных нормальных баллистических проводниках вычислены разновременные корреляторы спиновых электронных и электронно-дырочных токов. В терминах данных корреляторов сформулировано временно-зависящее неравенство Белла, позволяющее судить о степени спиновой запутанности электронов между различными контактами системы. Показано, что неравенство Белла нарушается на коротких временах, определяемых приложенным напряжением к системе. Показано, что нарушение неравенства Белла связано с возникновением спин-запутанной пары электронов, распределенной между различными контактами системы, при проективном измерении корреляторов токов.
5. В много-контактном баллистическом проводнике изучена спиновая запутанность электронов в режиме, когда на один из контактов приложено переменное напряжение. Показано, что для импульса напряжения с Ф = —cf V(t)dt = Фо, где Фо = hc/e, в систему инжектируются два электрона в синглетном состоянии. Для импульса напряжения с Ф = /гФ0, (п -целое) показано, что неравенство Белла, сформулированное в терминах количества переданных частиц через соответствующий контакт, нарушается максимально при п = 1 и не нарушается при п > 1.
6. Изучен процесс туннелирования электронов из сканирующего электронного микроскопа в углеродную нанотрубку, присоединенную к нормальным ферми-жидкостным контактам. Во втором порядке теории возмущений по амплитуде туннелирования в рамках неоднородной модели Латтинжеровской жидкости вычислены авто- и кросс-корреляции электронного тока на конечной частоте в ферми-жидкостных контактах. Показано, что из измерения данных флуктуаций на конечной частоте, можно извлечь величину дробного заряда многочастичных возбуждений, распространяющихся в нанотрубке.
Основное содержание диссертации изложено в следующих работах:
1] Г. Б. Лесовик, А. В. Лебедев "Дробовой шум в мезоскопических системах с резонансным андреевским туннелированием", Письма в ЖЭТФ, т. 74, стр. 570-574 (2001).
2] Г. Б. Лесовик, А. В. Лебедев, А. О. Имамбеков "Динамика двухуровневой системы, взаимодействующей со случайным классическим полем", Письма в ЖЭТФ, т. 75, стр. 565-569 (2002).
3] А. V. Lebedev, G. Blatter, С. W. J. Beenakker and G. В. Lesovik, "Entanglement in Mesoscopic Structures: Role of Projection", Phys. Rev. В 69,235312 (2004).
4] A. V. Lebedev, G. B. Lesovik and G. Blatter, "Entanglement in a Noninteracting Mesoscopic Structure", Phys. Rev. В 71, 045306 (2005).
5] A. V. Lebedev, A. Crepieux and T. Martin, "Electron injection in a nanotube with leads: finite frequency noise-correlations and anomalous charges", Phys. Rev. В 71, 075416 (2005).
6] G. B. Lesovik, A. V. Lebedev and G. Blatter, "Wave function collapse in a mesoscopic device", Phys. Rev. В 71, 125313 (2005).
Я глубоко благодарен своему научному руководителю Г. Б. Лесовику за интересные научные задачи, постоянное внимание и поддержку, Дж. Блаттеру за стимулирующие обсуждения и готовность вникать в самые мелкие подробности вычислений, а также всем сотрудникам ИТФ им. Л. Д. Ландау за ценные обсуждения и замечания и за уникальную творческую атмосферу. Автор благодарит Ю. Г. Махлина за ценные замечания в процессе написания диссертации.
1. Й. Имри, Введение в мезоскопическую физику, Москва, Физматлит, 2002.
2. A. Stean, Rep. Prog. Phys. 61, 117 (1998).
3. D. Bouwmeester, F. Ekkert, and A. Zeilinger, The Physics of Quantum Information: Quantum Cryptography, Quantum Teleportation, Quantum Computations (Springer-Verlag, Berlin, 2000).
4. A. Einstein, B. Podolsky, and N. Rosen, Phys. Rev. Lett. 47, 777 (1935).
5. Иоганн фон Нейман, Математические основы квантовой механики, издательство "Наука", Москва, 1964 г.
6. D. Bohm, Phys. Rev. 85, 166 (1952); Phys. Rev. 85, 180 (1952).
7. J. S. Bell, Physics 1, 196 (1965).
8. Yu. Makhlin, A. Shnirman, and G. Schon, Rev. Mod. Phys. 73, 357 (2001).
9. D. Loss and D. P. DiVincenzo, Phys. Rev. A 57, 120 (1998).101 p- Recher, E. V. Sukhorukov, and D. Loss, Phys. Rev. В 63, 165314 (2001).
10. W. D. Oliver, F. Yamaguchi, and Y. Yamamoto, Phys. Rev. Lett. 88, 037901 (2002).
11. D. S. Saraga and D. Loss, Phys. Rev. Lett. 90, 166803 (2003).
12. G. B. Lesovik, T. Martin, and G. Blatter, Eur. Phys. J. В 24, 287 (2001).
13. P. Samuelsson, E. V. Sukhorukov, and M. Buttiker, Phys. Rev. Lett. 91,157002 (2003).
14. C. Bena, S. Vishveshwara, L. Balents, and M. P. A. Fisher, Phys. Rev. Lett. 89, 037901 (2002).
15. N. M. Chtchelkatchev, G. Blatter, G. B. Lesovik, and T. Martin, Phys. Rev. В 66, R161302 (2002).
16. С. W. J. Beenakker, C. Emary, M. Kindermann, and J. L. van Velsen, Phys. Rev. Lett. 91, 147901 (2003).
17. Y. H. Shih and C. 0. Alley, Phys. Rev. Lett. 61, 2921 (1988).
18. W. Schottky, Ann. Phys. (Leipzig) 57, 541 (1918).
19. Г. Б. Лесовик, Письма в ЖЭТФ 49, 515 (1989).
20. Ya. М. Blanter and M. Buttiker, Phys. Rep. 336, 1 (2000).
21. G. B. Lesovik, JETP Lett. 70, 208 (1999).
22. L. S. Levitov and G. B. Lesovik, Phys. Rev. Lett. 72, 538 (1994).
23. R. J. Schoelkopf, A. A. Kozhevnikov, D. E. Prober, and M. J. Rooks, Phys. Rev. Lett. 80, 2437 (1998).
24. J. Torries, T. Martin, and G. B. Lesovik, Phys. Rev. В 63, 134517 (2001).
25. M. А. Лавреиьтьев, Б. В. Шабат, Методы теории функций комплексного переменного, 2002.
26. Н. Н. Боголюбов, В. В. Толмачев, Д. В. Ширков, Новый метод в теории сверхпроводимости, Издательство АН СССР, 1958.
27. А. Ф. Андреев, ЖЭТФ 46, 1823 (1964).
28. U. Gavish, Y. Levinson, and Y. Imry, Phys. Rev. В 62, 10637 (2000).
29. W. H. Zurek, Rev. Mod. Phys. 75, 715 (2003).
30. Л. Д. Ландау, E. M. Лифшиц, Курс теоретической физики, том 5, Квантовая механика, Наука 1989.
31. S. L. Adler, Why decoherence has not solved the measurement problem: a responce to P. W. Andreson, arXiv:quant-ph/0112095.
32. Г. Б. Лесовик, Письма в ЖЭТФ 74, 528 (2001).
33. A. J. Leggett et. al., Rev. Mod. Phys. 59, 1 (1987).
34. R. P. Feynman and F. L. Vernon, Jr. Ann. Phys. (N. Y.) 24, 118 (1963).
35. P. Фейнман, А. Хибс, Квантовая механика и интегралы по траекториям, НМФИ 1998.
36. A. J. Leggett, in Percolation, Localization and Superconductivity, NATO ASI Series B: Physics 109, 1 (1984).
37. Г. Б. Лесовик, УФН 171, 449 (2001).
38. Ю. Г. Махлин, частное сообщение.
39. S. Lloyd, Science 261, 1569 (1993).
40. С. Н. Bennet, Phys. Today 48, 24 (1995).
41. J. M. Kikkawa and D. D. Awschalom, Phys. Rev. Lett. 80, 4313 (1998); Nature 397, 139 (1999).
42. D. Loss and E. V. Sukhorukov, Phys. Rev. Lett. 84, 1035 (2000).
43. P. Recher and D. Loss, Phys. Rev. В 65, 165327 (2002).
44. G. Burkard, D. Loss, and E. V. Sukhorukov, Phys. Rev. В 61, R16303 (2000).
45. J. F. Clauser and M. A. Home, Phys. Rev. D 10, 526 (1974).
46. R. Horodecki, P. Horodecki, and M. Horodecki, Phys. Lett. A 210, 377 (1996).
47. A. Peres, Phys. Rev. Lett. 77, 1413 (1996).
48. W. K. Wootters, Phys. Rev. Lett. 80, 2245 (1998).
49. L. Faoro, F. Taddei, and R. Fazio, Phys. Rev. В 69, 125326 (2004).
50. P. Samuelsson, E. V. Sukhorukov, and M. Buttiker, Phys. Rev. Lett. 92, 026805 (2004).
51. A. V. Lebedev, G. Blatter, C. W. J. Beenakker, and G. B. Lesovik, Phys. Rev. В 69, 235312 (2004).
52. A. V. Lebedev, G. B. Lesovik, and G. Blatter, Phys. Rev. В 71, 045306 (2005).
53. G. B. Lesovik, A. V. Lebedev, and G. Blatter, Phys. Rev. В 71, 125313 (2005).
54. W. Xiang-bin, Phys. Rev. A 66, 024303 (2002).
55. T. Martin and R. Landauer, Phys. Rev. В 45, 1742 (1992).
56. L. S. Levitov, H. Lee, and G. B. Lesovik, J. Math. Phys. 37, 4845 (1996).
57. G. B. Lesovik, Phys. Usp. 41, 145 (1998).
58. G. B. Lesovik and R. Loosen, JETP Lett. 65, 295 (1997).
59. R. J. Schoelkopf, P. J. Burke, A. A. Kozhevnikov, and D. E. Prober, Phys. Rev. Lett. 78, 3370 (1997).
60. D. Bohm and Y. Aharnov, Phys. Rev. 108, 1070 (1957).
61. J. F. Clauser, M. A. Home, A. Shimony, and R. A. Holt, Phys. Rev. Lett. 23, 880 (1969).
62. J. F. Clauser and A. Shimony, Rep. Prog. Phys. 41, 1881 (1978).
63. A. Aspect, P. Grangier, and G. Roger, Phys. Rev. Lett. 47, 460 (1981).
64. A. Aspect, P. Grangier, and G. Roger, Phys. Rev. Lett. 49, 91 (1982).
65. J. Schliemann, J. J. Cirac, M. Ku&, M. Lewenstein, and D. Loss, Phys. Rev. A 64, 022303 (2001).
66. P. Samuelsson and M. Buttiker, Phys. Rev. В 71, 245317 (2005).
67. С. W. J. Beenakker, M. Titov, and B. Trauzettel, Phys. Rev. Lett. 94, 186804 (2005).
68. A. V. Lebedev, G. B. Lesovik, and G. Blatter, arXiv:cond-mat/0504583.
69. A. A. Kozhevnikov, R. J. Schoelkopf, and D. E. Prober, Phys. Rev. Lett. 84, 3398 (2000).
70. L.-H. Reydellet, P. Roche, D. C. Glattli, B. Etienne, and Y. Jin, Phys. Rev. Lett. 90, 176803 (2003).
71. H. Lee and L. S. Levitov, arXiv:cond-mat/9312013.
72. P. W. Anderson, Phys. Rev. Lett. 18, 1049 (1967).
73. L. S. Levitov, arXiv:cond-mat/0103617.
74. Y. Makhlin and A. D. Mirlin, Phys. Rev. Lett. 87, 276803 (2001).
75. R. Saito, G. Dresselhaus, and M. S. Dresselhaus, Physical Properties of Carbon ' nanotubes (Imperial College Press, London 1998).
76. R. Egger, A. Bachtold, M. S. Fuhrer, M. Brockrath, D. Cobden, and P. McEuen, in Interactin Electrons in Nanostructures, edited by R. Haug and H. Schoeller (Springer, 2001).
77. M. Brockrath, D. H. Gobden, J. Lu, A. G. Rinzler, R. E. Smalley, L. Balents, and P. McEuen, Nature (London) 397, 598 (1999).
78. А. Сгёпеих, R. Guyon, P. Devillard, and T. Martin, Phys. Rev. В 67, 205408 (2003).
79. A. V. Lebedev, A. Crepieux, and T. Martin, Phys. Rev. В 71, 075416 (2005).
80. J. M. Luttinger, J. Math. Phys. 15, 609 (1963).
81. D. C. Mattis and E. H. Lieb, J. Math. Phys. 6, 304 (1965).
82. F. D. M. Haldane, J. Phys. C: Solid. State Phys. 14, 2585 (1981).
83. R. Egger and A. Gogolin, Eur. Phys. J. В 3, 781 (1998).
84. D. Maslov and M. Stone, Phys. Rev. В 52, 5539 (1995).
85. I. Safi and H. Schulz, Phys. Rev. В 52, 17040 (1995).
86. С. Chamon and D. E. Freed, Phys. Rev. В 60, 1842 (1999).
87. S. E. Yang, Solid. State. Commun. 81, 375 (1992).
