Плотность состояний в мезоскопических сверхпроводящих гибридных структурах тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

Российская Академия Наук Институт Теоретической Физики им. Л. Д. Ландау

На правах рукописи

ОСТРОВСКИИ Павел Михайлович

плотность состоянии в мезоскопических сверхпроводящих гибридных структурах

01.04.02 — теоретическая физика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Черноголовка - 2004

Работа выполнена в Институте теоретической физики им. Л. Д. Ландау Российской Академии Наук.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук

Фейгельман М. В.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук

Копнин Н. Б.,

кандидат физико-математических наук Бараш Ю. С.

Ведущая организация: Институт физических проблем

им. П. Л. Капицы РАН

Защита состоится 25 июня 2004 года в 11 часов на заседании Диссертационного совета Д 002.207.01 при Институте теоретической физики им. Л. Д. Ландау РАН по адресу: 142432, Московская обл., Ногинский р-н, г. Черноголовка, Институт теоретической физики им. Л. Д. Ландау РАН.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института теоретической физики им. Л. Д. Ландау РАН.

Автореферат разослан мая 2004 г.

Ученый секретарь

Диссертационного совета,

доктор физико-математических наук

Фальковский Л. А.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В настоящее время во многих научных центрах проводятся активные теоретические и экспериментальные исследования различных структур, состоящих из сверхпроводящих и нормальных элементов субмикронных размеров. Интерес к этим объектам вызван их необычными свойствами, связанными с процессами когерентной электронной динамики. В частности, это открывает возможности для создания на основе таких структур элементной базы квантовых компьютеров, для которых когерентные процессы играют ключевую роль. Характерной особенностью субмикронных систем являются специфические флуктуации, вызванные неконтролируемыми микроскопическими особенностями различных образцов,— ме-зоскопические флуктуации. Миниатюризация элементов современных компьютеров также достигла масштабов на которых мезоскопические флуктуации становятся существенными. Кроме того, замечательные и необычные свойства мезоскопических структур представляют самостоятельный научный интерес с точки зрения проверки фундаментальных квантовых законов.

Структуры, в состав которых входят сверхпроводящие элементы, обладают многочисленными особенностями, не свойственными для нормальных систем. Специфические явления, характерные для гибридных структур, носят общее название эффекта близости. Одним из примеров такого явления служит образование щели в электронном спектре нормального металла, приведенного в контакт со сверхпроводником. Этот эффект лежит в основе нескольких активно исследуемых вариантов реализации квантовых вычислений. Для когерентной квантовой динамики существенным условием является отсутствие низкоэнергетических возбуждений, которое и обеспечивается наличием щели в электронном спектре. Любые процессы, которые изменить структуру спектра на низких энергиях, играют существенную роль и должны приниматься во внимание при изучении когерентных явлений в гибридных структурах. Одной из возможных причин появления низкоэнергетических возбуждений являются мезоскопические флуктуации.

Эффекты, связанные с кулоновским взаимодействием между электронами, также становятся важными в системах малых размеров. Когда емкость элементов структуры настолько мала, что изменение полного количества электронов на единицу приводит к существенному изменению энергии по сравнению с температурой и другими характерными энергетическими масштабами, становятся важными явления кулоновской блокады. В сверхпро-

водящих системах заряд и фаза являются канонически сопряженными переменными, для которых справедлив принцип неопределенности Гейзенберга. Невозможность одновременно фиксировать обе величины приводит к конкуренции между когерентными процессами, лежащими в основе эффекта близости и фиксирующими фазу, и кулоновскими явлениями, фиксирующими заряд. Таким образом кулоновское взаимодействие приводит к подавлению эффекта близости. Поэтому учет эффекта кулоновской блокады необходим при рассмотрении когерентной динамики в мезоскопических гибридных структурах наряду с мезоскопическими флуктуациями.

Цель работы. Развитие метода нелинейной <г-модели для учета мезоско-пических флуктуаций в сверхпроводящих гибридных структурах. Применение полученных результатов для изучения низкоэнергетического спектра гибридных структур различной геометрии и различных характеристик контактов между элементами. Построение самосогласованной теории кулоновской блокады для сверхпроводящих структур и изучение на ее основе свойств электронного спектра таких структур при наличии кулоновского взаимодействия.

Научная новизна, диссертационной работы заключена в следующих оригинальных результатах, которые выносятся на защиту:

1. Вычислена плотность квазилокализованных состояний в спектре нормального металла, соединенного идеальным контактом со сверхпроводником. В пределе большого нормального кондактанса найдена точная зависимость плотности состояний от энергии около края спектра с учетом всех возможных седловых точек модели.

2. Изучено влияние туннельных контактов и разности фаз на спектр квазилокализованных состояний в гибридной структуре. Показано, что количество квазилокализованных состояний возрастает по мере уменьшения щели ниже определенного критического уровня как за счет туннельных контактов, так и за счет протекающего через систему джозеф-соновского тока.

3. В рамках ненульмерной С-модели изучены различные случаи неуниверсальной зависимости плотности состояний в гибридной структуре от энергии. Получены результаты для структур с контактами большой

площади. Вычислена плотность состояний вдали от квазиклассического края спектра.

4. Построена самосогласованная теория для учета кулоновских эффектов в нормальной металлической грануле, соединенной со сверхпроводником туннельным контактом. В рамках этой теории найдена зависимость щели в электронном спектре от емкости гранулы, температуры и напряжения на затворе. Для гранулы, присоединенной к двум сверхпроводникам, получена зависимость тока от разности фаз и вычислено значение критического тока.

Научная и практическая ценность. В работе впервые построена полная параметризация многообразия нелинейной суперматричной очм одели для гибридных структур. Эта параметризация, помимо проделанного в диссертации вычисления плотности квазилокализованных состояний, также может использоваться для решения других задач, связанных с учетом неква-зиклассических эффектов в таких системах, например, для вычисления ме-зоскопических поправок к проводимости. Плотность квазилокализованных состояний, вычисленная для различных гибридных структур, имеет важное значение для решения вопроса о времени сбоя фазы в таких структурах и может применяться при расчетах реальных квантовых схем на основе сверхпроводников. В работе развит метод адиабатического приближения для описания кулоновских эффектов в гибридных структурах, который представляет собой принципиально новый способ описания эффектов взаимодействия. Полученная с его помощью зависимость критического тока SINIS контакта от напряжения на затворе, может быть использована для создания транзисторов, работающих в сверхпроводящих цепях.

Апробация работы. Основные результаты, представленные в диссертации, докладывались и обсуждались на международных конференциях по мезоскопической физике в Черноголовке (2000 и 2003гг.), Виндзоре (Великобритания, 2001г.), Дельфте (Нидерланды, 2002г.), Эриче (Италия, 2002г.), Гранаде (Испания, 2003г.), на семинарах по сверхпроводимости в Университете Paris-Sud (Франция, 2000 и 2004гг.), физике твердого тела в Институте теоретической физики ЕТН-Цюрих (Швейцария, 2000г.) и Институте Макса Планка в Штутгарте (Германия, 2004г.), на семинарах в ИТФ им. Л. Д. Ландау.

Публикации. По материалам диссертации опубликовано пять научных работ.

Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, четырех приложений, заключения и списка литературы.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы, сформулирована цель работы, раскрыта новизна и практическая ценность полученных результатов, приведены основные положения, выносимые на защиту.

Первая глава посвящена вычислению плотности квазилокализованных состояний в нормальном металле, соединенном со сверхпроводником идеальным контактом.

Сверхпроводник характеризуется наличием щели Д в спектре возбуждений на энергии Ферми. В электронном спектре нормального металла, приведенного в контакт со сверхпроводником, также появляется щель, если динамика электронов имеет хаотический характер. Щель в спектре нормального металла образуется благодаря процессам андреевского отражения электронов от границы со сверхпроводником. Ее величина меньше Д и определяется обратным временем ухода электрона из нормального металла в сверхпроводник. В грязном пределе, когда движение электронов можно описывать в рамках уравнения диффузии с коэффициентом Б, щель оказывается порядка энергии Таулесса ^^ = НИ/Ь2, где Ь — характерный размер нормальной области контакта. Мы предполагаем, что Ь ^ так что энергия Таулесса действительно оказывается значительно меньше .

Для описания свойств грязных гибридных структур в квазиклассическом пределе используется уравнение Узаделя

ПОЩд(т)Щ(г)) + г[тгЕ + ггхД, д(г)] = 0, д2(г) = 1. (1)

Здесь д — квазиклассическая функция Грина, которая представляет собой матрицу в пространстве Намбу - Горькова, т, — матрицы Паули. Уравнение Узаделя предсказывает образование щели для плоского

идеального SNS контакта с длиной нормальной области 2Ь.

Для систем без градиента фазы сверхпроводящего параметра порядка квазиклассическую функцию Грина можно параметризовать одним углом в:

д = rz cos в + тх sin в. При этом локальная плотность состояний определяется выражением

(р(Е, г)) = и Re ti(jzg(r)) = 2v Re cos в, (2)

где v — металлическая плотность состояний на энергии Ферми без учета спина. При энергиях меньше щели, Е < Е&, уравнение Узаделя имеет два решения, соответствующие углам = 7г/2 + irpip. Действительная часть этих углов равна 7г/2, что отвечает нулевой плотности состояний под щелью. При энергии оба решения совпадают. Для вычисления плотности состояний около пороговой энергии будем использовать константы которые определенным образом выражаются через решения уравнения Узаделя. В случае плоского NS или SNS контакта они принимают значения ,

с2 И 0.88

Мезоскопические флуктуации могут привести к появлению электронного состояния, аномально слабо связанного со сверхпроводником,— квазилока-лизованного состояния. На языке квазиклассических траекторий это соответствует ситуации, когда между двумя последовательными андреевскими отражениями проходит заметно большее время, чем L2/D. Такое состояние будет иметь энергию меньше , но вероятность его появления убывает экспоненциально с понижением энергии. Поэтому для нахождения плотности квазилокализованных состояний необходимо выйти за рамки квазиклассического приближения. Для этого используется суперматричная модель Ефетова. Она описывается действием

ЭД = y J dr str [^(VQ)2 + 4iQ(A(E + iO) + гт-гД)], Q2 = 1 (3)

для суперматрицы Q размера 8x8. Помимо пространства Намбу - Горькова, эта матрица действует также в пространстве "частица - дырка" (РН), введенном для учета симметрии относительно обращения времени, и суперпространстве Ферми - Бозе, необходимом для усреднения по беспорядку. Здесь введено обозначение Л = <тгт2, а матрицы Паули £Г< действуют в пространстве РН. Помимо нелинейного ограничения матрица удовлетворяет также условию инвариантности относительно зарядового сопряжения,

Для параметризации матрицы Q мы используем представление, явно разрешающее ограничение Q* = l:Q = e~iU/2AeiUt2. Матрица U должна быть антисамосопряженной и, кроме того, антикоммутировать с .

В результате оказывается, что U содержит 8 независимых коммутирующих

параметров: по 4 в FF- и ВВ-блоке. Столько же углов параметризует коммутирующую часть матрицы Q. Вычисляя матричную экспоненту, получаем

Qff = тг cos &f[(tz cos кр + sin к?(сгх cos xf + sin xf)]+

Qm = [<jz cos кц + tz sin кв(ах cos хв + <*v sin хв)] x x [rz cos 6q + <jz sin 6й(тх cos <pB + tv sin <£b)] •

Действие выражается через введенные таким образом параметры в виде

£вв = hD [(V0B)2 + sin2 0b(VVb)2 + (VfcB)2 + sin2 MVxb)2] + + AiE eos 6q eos кв — 4Д sin eos k^ eos v?b-

Топология FF-сектора модели соответствует четырехмерной сфере S4, которая параметризуется четырьмя углами. ВВ-сектор имеет вид произведения двух двумерных сфер. Кроме того существует дополнительная дискретная симметрия: одновременная инверсия обеих сфер не меняет матрицу Q. Таким образом, многообразие ВВ-сектора имеет вид факторизованного произведения S2 х S2/Z2.

Для описания редких явлений аномальной локализации мы будем рассматривать инстантоны cr-модели. Применимость этого метода определяется большой величиной нормального кондактанса системы. В дальнейшем мы всегда предполагаем, что это условие выполнено.

Рассмотрим стационарные точки действия. В отсутствие градиента фазы параметра порядка минимум действия достигается при ¿f = y>F = V'B = О и XF.B = const. Чтобы привести действие к диагональному виду вводим в ВВ-секторе новые углы а = 0в + А;ви/? = #в — кв. В результате получаем

So[0] = ^ J dr [hD(We)7 + 4¿£cos 0-4Д sin в]. (7)

Стационарные точки действия So описываются уравнением Узаделя, которое имеет два решения Таким образом всего существует 8 седловых

точек действия <г-модели. Точка вр = а = /3 = имеет суперсимметричную структуру: FF- и ВВ-блоки матрицы Q идентичны, а полное действие равно нулю. Вклад этой седловой точки соответствует результату стандартной квазиклассической теории и дает нулевую плотность состояний при энергиях меньших Две седловые точки вр = а = 01, [3 = 02 и в? = ¡3 = 01, а — 02 имеют одинаковое действие и переводятся друг в друга поворотом угла на тс, На самом деле обе точки принадлежат седловому кольцу, соответствующему вращению угла Хв- Мы называем это кольцо первым инстантоном. Изолированную седловую точку — в\, а = (3 = мы называем вторым инстантоном. Его действие вдвое больше, чем для первого инстантона, и в пределе большого кондактанса вкладом этой седловой точки можно пренебречь. Плотность квазилокализованных состояний, вычисленная методом перевала около первого инстантона, имеет вид

Здесь мы ввели безразмерную энергию £ = ^Сх/сгХ-Е^ — Е)/Е%, среднее расстояние между уровнями

6 = {г/У)'1 (V — объем нормальной области), и параметр СИ = 7ГСг£^/(25), который имеет смысл нормального кондактанса системы. Для плоского SNS контакта он равен (5 = 2.15Си, где См — нормальный кондактанс, измеренный в единицах е2/Й. Плотность состояний под щелью действительно оказалась экспоненциально малой, причем в показателе экспоненты стоит величина инстантонного действия. Предэкспо-ненциальный множитель получается из вычисления гауссового интеграла по флуктуациям матрицы Q около седловой точки. Такое вычисление можно проделать, если флуктуации относительно слабые и допускают применение квадратичного приближения. Это действительно так, если ё (?~2/3. При меньших значениях е, то есть ближе к пороговой энергии, различные седловые точки оказываются слишком близки друг к другу, и флуктуации около них начинают перекрываться.

Плотность состояний выше пороговой энергии определяется вкладом суперсимметричной седловой точки Действие для нее равно нулю, а интегрирование по флуктуациям в гауссовом приближении дает единицу в силу суперсимметрии. В результате воспроизводится квазиклассический результат уравнения Узаделя, который в наших обозначениях имеет вид

Рис. 1. Левый рисунок: точная зависимость плотности состояний от энергии (10) [сплошная линия]. Для системы с разностью фаз близкой к тг — пунктирная линия. Квазиклассический результат (9) — точечная линия. Правый рисунок: фазовая диаграмма различных зависимостей плотности состояний (е* = С-1/2, 7* = С?-3'*). Выше сплошной линии — (10), левее — (20), правее — (19,27), между пунктирными линиями — флуктуационная область. Ниже точечной линии число квазилокализованных состояний велико. Для системы с разностью фаз, близкой к тг, все результаты справедливы левее штрихпунктирной линии.

Вычисление плотности состояний, учитывающее все седловые точки действия, дает точное выражение, справедливое как выше, так и ниже пороговой энергии

А1(е)

(Р)

(е) + [А1'(б)]2 + -

J ¿у А1(у)|

В этом выражении использованы универсальные параметры

с = (2(5)2/3£ = —^Т—— >

2тг2/3С1 '

(10)

(Н)

Такая зависимость плотности состояний от энергии изображена на Рис. 1. Полное число квазилокализованных состояний при этом оказывается порядка единицы.

Во второй главе изучается плотность квазилокализованных состояний в системе с подавленной щелью. Рассматривается два варианта подавления щели: контакт с туннельными границами между сверхпроводником и нормальным металлом и SNS контакт с разностью фаз близкой к тг.

Для описания неидеальной границы между сверхпроводником и нормальным металлом к действию модели добавляется специальный граничный член вида

= м 1п [1-^+£{<$>, д«}].

(12)

В этом выражении индекс г нумерует сверхпроводники, присоединенные к нормальному металлу, а верхний индекс (г) обозначает величину соответствующей переменной около границы 1-го контакта. Другие обозначения: — значение матрицы 0 в г-ом сверхпроводнике, — величина Q нормального металла около контакта, Г,- — безразмерная прозрачность границы, а Щ — число каналов проводимости в контакте.

В случае, когда в системе нет градиента фазы, переменные разделяются таким же образом, как и для системы с идеальными контактами. При этом действие принимает вид (6), а к выражению для ^добавляется граничное слагаемое:

So[0] = [hD(Vef + 4¿£cos в] - i E N¡ln (l + 7i sin 0«) , (13)

где ti = Г{/(2 — ГО- Варьирование этого действия дает уравнение Узаделя и граничные условия Куприянова - Лукичева к нему. Вся классификация инстантонов сохраняется в этом случае и результат для плотности состояний (10) оказывается справедливым, если константы 01,2 определить при помощи решений уравнения Узаделя с учетом новых граничных условий.

В пределе туннельных контактов Г< и 2ji <С 1 можно рассматривать градиентные члены в действии (13) как малую поправку. Это связано с тем, что, с точки зрения минимума действия, пространственное изменение матрицы Q менее выгодно, чем ее скачок на границе контакта. В этом пределе можно явно учесть слабую зависимость Q от координат по теории возмущений и вывести эффективное нульмерное действие. При этом оказывается, что минимум действия достигается для значений с большой мнимой частью, поэтому удобно ввести вместо угла в новую переменную Р согласно в = 7г/2 + i ln Р. При этом вклад граничных членов и малых градиентов в действие выражается через среднее эффективное значение прозрачности

7 =

(Z*») '[E^ + f/dríVE)'

(14)

где А{ — площадь границы г-го контакта I — длина свободного пробега, а функция Е(г) определяется решением линейного уравнения

Само эффективное нульмерное действие для переменной Р принимает вид

So(P) =

ttGT

—гР — — + —^ Р 4

(16)

Здесь (?т обозначает безразмерный (в единицах е2/Й) туннельный кондак-танс всех контактов: (?т = Энергия отсчитывается от пороговой

в единицах величины щели: е = — Е)/Е6.

В дальнейшем будет удобно вместо туннельного кондактанса, который пропорционален прозрачности границ, ввести величину, описывающую только геометрию системы: С? = жОтЦ^у)

Действие (16) имеет две седловые точки, которые совпадают при пороговой энергии

При малых отклонениях энергии от пороговой, е 72^3, плотность состояний дается выражением (10), в котором нужно положить

В области больших энергий этот результат перестает быть спра-

ведливым. Главный вклад от первого инстантона в плотность состояний можно, тем не менее, вычислить в перевальном приближении:

«-¿дагч-^)- (и>

Эта формула может применяться только для Е когда вклады

остальных седловых точек пренебрежимо малы. При достаточно малых 7, когда , это условие становится более сильным, чем . В

этом режиме выражение (10) неприменимо при любых энергиях, а полное количество квазилокализованных состояний оказывается много больше единицы. Такую зависимость мы называем "сильным хвостом".

Когда энергия выше пороговой (е < 0), плотность состояний определяется вкладом суперсимметричной седловой точки. При условии |е| ^ у2/3 корневой рост плотности состояний (9) сменяется убыванием по закону обратного корня

В режиме "сильного хвоста" эта зависимость справедлива вплоть до флукту-ационной области около пороговой энергии. Фазовая диаграмма, иллюстрирующая условия реализации различных зависимостей плотности состояний от энергии, приведена на Рис. 1.

Другой пример структуры с подавленной щелью — SNS контакт с разностью фаз. Мы рассматриваем случай, когда нормальная область соединена с двумя сверхпроводящими берегами одинаковыми квантовыми точечными баллистическими контактами; в каждом контакте N каналов проводимости. В пределе точечных контактов можно пренебречь градиентным членом в действии. В результате оно принимает вид

Мы вновь оставляем в параметризации три угла вр, и кв и получаем для действия выражение

5 = 5ГГ-5ВВ,

N

(22)

<SFF = G [irj cos $f cos Jcp — In (1 + 7 sin 0f)] , <SBB = G [ir] cos 6b cos кв — In (cos fa + 7 sin $в)] •

В этих выражениях мы ввели безразмерную энергию Т] = nE/(N5) и величину G = 2N, имеющую смысл полного безразмерного кондактанса контактов. Также введено обозначение 7 = costp, где <р — разность фаз. Величины G и 7 играют ту же роль, что и в случае контакта с туннельными границами.

Структура седловых точек действия (22) зависит от 7. При нулевой разности фаз существует два инстантона, рассмотренных выше. По мере увеличения разности фаз эти две седловые точки постепенно сближаются и в некоторый момент совпадают. При дальнейшем увеличении разности фаз из двух инстантонов остается только второй, который представляет собой изолированную точку. Значение разности фаз, при которой инстантоны совпадают, зависит от энергии. Наоборот, при фиксированной разности фаз существует критическое значение энергии , при котором инстантоны совпадают

2V^7

V =

(s + y/l + if) yJl + i/TTfr?

(23)

Эта критическая энергия всегда меньше величины щели и совпадает с ней при нулевой разности фаз. В пределе разности фаз близкой к ж и для энергий около пороговой существует только второй инстантон, и можно положить кв — 0. Из восьми седловых точек, которые были у действия (6) в случае нулевой разности фаз, остается только четыре. Плотность квазилокализо-ванных состояний дается выражением (10), но без интегрального слагаемого

(см. Рис. 1), а универсальный параметр Ад определяется соотношением

Асимптотическое

(Р) =

4Л?7е

ехр

.3/2

(25)

Как и в случае контакта с туннельными границами, это выражение справедливо для значений энергии в интервале (7_2/37_2/9 < £ < 72/3, Для энергий выше пороговой можно применять асимптотику (9), но имеет смысл удержать также следующий член разложения, который оказывается более существенным, чем для контакта без разности фаз

Приведенные результаты справедливы для £ < 72/3. В противоположном пределе выше порога плотность состояний описывается зависимостью (20), а ниже порога при £ 72/3, по аналогии с "сильным хвостом" (19), получаем

Фазовая диаграмма для различных поведений плотности состояний в контакте с разностью фаз имеет, в терминах С? = 2Ы и 7 = соз(у/2) такой же вид (Рис. 1), как и для туннельного контакта. Единственное отличие состоит в дополнительном ограничении, связанном с условием отсутствия первого инстантона Т] > г/*

Функциональная зависимость вида (10) была ранее получена для плотности состояний в SN контакте феноменологически методом теории случайных матриц с использованием гипотезы универсальности. В рамках ортогонального ансамбля Вигнера - Дайсона воспроизводятся результаты для контакта с постоянной фазой. Случай разности фаз, близкой к 7Г соответствует унитарному ансамблю. Мы построили полностью микроскопическую теорию, дающую аналогичные результаты в более общем случае контакта с неидеальной границей. Также продемонстрированы пределы применимости теории случайных матриц и найдено выражение для плотности

состояний за рамками гипотезы универсальности — "сильный хвост".

В третьей главе рассмотрены некоторые случаи, когда для нахождения плотности квазилокализованных состояний недостаточно приближения нульмерной ст-модели. К ним относятся системы, в которых область контакта сверхпроводника и нормального металла имеет относительно большую площадь, и вопрос о поведении плотности состояний на низких энергиях глубоко под щелью. Также, в качестве иллюстрации, приведено вычисление плотности квазилокализованных состояний в сверхпроводнике с магнитными примесями, впервые проделанное Ламакрафтом и Саймонсом.

Идея вычисления плотности квазилокализованных состояний, выполненного в предыдущих главах, состояла в отделении пространственной зависимости параметров матрицы 0 от их амплитуды. Таким образом происходил переход к нульмерному пределу <г-модели. При этом действие для различных инстантонных решений оказывалось пропорциональным объему системы. Возможна, однако, ситуация, когда инстантон занимает лишь часть объема. Действие увеличивается за счет градиентного вклада, но объемный фактор уменьшается.

Будем рассматривать плоский № или SNS контакт, в котором нормальная область имеет толщину Ь и площадь поперечного сечения А. Характерный размер инстантона в поперечном направлении определяется длиной Ь± = которая зависит от рассматриваемой энергии. Действие для ограниченного в поперечном направлении инстантона принимает вид

(28)

Здесь функция д(г) является частным решением солитонного типа для уравнения Lj_V2g = д — д2 в двумерной области, соответствующей сечению системы, с граничным условием Vng = 0.

Если нормальная область имеет вид тонкой пленки, краем присоединенной к сверхпроводнику одним из двух типов контакта, то для плотности состояний с экспоненциальной точностью получаем

(Р)

н

ехр (—29.4 Gq£5/4) , идеальный; ехр (—13.6 СаГ1/6е^), туннельный.

(29)

В случае, когда пленка присоединена не краем, а поверхностью, имеем

Параметр имеет смысл безразмерного кондактанса на квадрат пленки.

В пределе малых энергий поведение плотности состояний не зави-

сит от свойств границы контакта. В одномерном случае плоского контакта плотность состояний с экспоненциальной точностью определяется выражением

(Р) ~ \ ехр 1п21) , « Е « Е,. (31)

Для двумерного случая, когда нормальная пленка соединяется со сверхпроводником краем, результат принимает вид

Трехмерный случай не может быть рассмотрен в рамках диффузной модели, поскольку для энергий заметно ниже пороговой становятся существенными нелокальные баллистические эффекты.

Четвертая глава посвящена изучению кулоновских эффектов в нормальной грануле, соединенной туннельным контактом со сверхпроводником. Рассматривается вопрос о самосогласованном вычислении величины щели с учетом эффекта близости и кулоновской блокады. Кулоновское взаимодействие приводит к флуктуациям электрического потенциала, а значит и фазы, гранулы относительно сверхпроводника. В результате происходит частичное подавлению щели в плотности состояний.

Предполагается, что нормальная гранула соединена со сверхпроводником туннельным контактом с большим безразмерным кондактансом и взаимной емкостью С5. Кроме того, имеется затвор, который связан с гранулой емкостью Сд, и на который подается отрицательный потенциал — Уд относительно сверхпроводника. Суммарную емкость обозначаем Со = С^ + Сд.

Для рассмотрения временных флуктуаций потенциала суперматричная модель Ефетова не подходит, вместо нее используется динамическая реп-личная ст-модель Финкельштейна. Помимо матрицы ф, действующей в пространствах Намбу - Горькова, реплик и мацубаровских энергий, она явно включает скалярный электрический потенциал гранулы ф. Однако, более удобно работать не с потенциалом, а с фазой, определенной согласно К* = е /т ф%Лт, и сделать калибровочное преобразование, предложенное Каменевым и Андреевым: (¡^ = е*т'к* 0^е~гт'к*'.. В этих переменных действие

имеет вид

а

е2ЛГ2 1гЕс

2С0 5

'е.

(гх^тсо52К^ . (33)

Здесь операция Тг подразумевает взятие следа по всем матричным индексам, включая энергии, а операция ^ — след по пространству Намбу - Горь-кова, величина щели в отсутствие взаимодействия Еъ определена в (17), и введен параметр еЫ = СдУд, имеющий смысл равновесного заряда гранулы в отсутствие эффекта близости. Вклад от процессов туннелирования виртуальных квазичастиц, сводится к перенормировке емкости С = Со + е2С?т/(2Д). В дальнейшем будем пользоваться величиной кулоновской энер-

Основная идея учета кулоновского взаимодействия заключается в применении к полученному действию адиабатического приближения: характерные частоты флуктуаций К оказываются много больше существенного энергетического масштаба для ф, если Ее б. Это позволяет проинтегрировать по переменной К, считая матрицу О. стационарной:

Из действия (33) получается следующий гамильтониан, управляющий динамикой фазы К:

На волновые функции накладываются 27Г-периодические граничные условия, связанные с квантованием электрического заряда. Входящий сюда параметр характеризует отношение силы эффекта близости к силе кулоновского взаимодействия; логарифмически расходящаяся сумма должна быть обрезана на £ ~ Д. Для оценки можно взять tg0£ = Еъ/е, тогда получим д = Е]!Ес, где Е] ~ (Е1/6)1п(А/Еъ) — джо-зефсоновская энергия, которая была бы у контакта, если нормальную гранулу заменить на слабый сверхпроводник со щелью

Спектр гамильтониана (35) периодически зависит от И, поэтому будем считать ^ 1/2. Усредняя по репликам, получаем выражение для свободной энергии системы

гии Ее = е2/(2С).

= Т~Ч[тг соз % + шп вае).

(34)

Я = Ес [(^д/дК + Ы)2 - 2дсж2К].

(35)

Т =

- 1сь" + Пъ^т). (36)

ЕаЬ/Е) Ес6/Е]

Рис. 2. Щель в термодинамической (левый рисунок) и туннельной (правый рисунок) плотности состояний при N = 0 (сплошная линия), 0.3 (пунктирная линия), 0.4 (штрих-пунктирная линия) и 0.5 (точечная линия). Вставка: плотность состояний для д = 0.95 и N = 0 (отмечено кружком на основном рисунке).

Здесь Ы, Т) — свободная энергия фазы К, соответствующая гамильтониану (35). Минимум свободной энергии (36) достигается при tgве = Ёе/е, где параметр имеющий смысл щели в термодинамической плотности состояний, определяется системой уравнений самосогласования

Минимизация свободной энергии (36) предполагает применение метода перевала для действия (33) по матрице (). Оценка флуктуаций около седловой точки показывает, что такое приближение справедливо, если <5.

Систему уравнений (37) легко решить при нулевой температуре в пределе сильного и слабого взаимодействия:

Точная зависимость щели от Ее изображена на Рис. 2.

Термодинамическая плотность состояний получается продолжением выражения на действительные энергии; результат имеет вид

Туннельная плотность состояний, получаемая из измерений дифференциальной проводимости между гранулой и внешним пробником (иглой туннельного микроскопа), выражается через матрицу ф так же, как термодинамическая плотность состояний — через О. Чтобы вычислить туннельную плотность состояний, нужно свернуть выражение для термодинамической плотности состояний (в мацубаровском представлении) с коррелятором фаз В частотном представлении эта величина имеет вид

(40)

где Еп и |га) — уровни энергии и собственные функции гамильтониана (35). В результате свертки получается величина щели в туннельной плотности состояний Е^иа = Ё6 + Е\ — а сама плотность состояний имеет ступенчатый вид (Рис. 2). В пределе слабого взаимодействия^"11 = Ё6, а при сильном взаимодействии

С помощью свободной энергии (36) можно вычислять любые термодинамические величины. В частности, средний заряд на грануле дается выражением В режиме сильного кулоновского взаимодействия (д 1) имеем

-»и;

+

<г2с„лг

2С(1 — Ы2)2'

(41)

Первый член этого выражения был получен ранее Матвеевым и Глазма-ном в пренебрежении эффектом близости. Эта зависимость демонстрирует сильный эффект кулоновской блокады в системе с большим нормальным кондактансом что возможно только благодаря сверхпроводящему контакту.

В противоположном пределе слабого взаимодействия ^ 1) остается только экспоненциально слабая модуляция

в/е = ЛГ - (С0/С)8\^:д3/4е-4^ып(7гЛГ).

(42)

С повышением температуры эффект близости постепенно подавляется, и при определенной критической температуре щель пропадает. Для отыскания Тс можно воспользоваться теорией Гинзбурга - Ландау для свободной энергии (36). В роли параметра порядка выступает В результате оказывается, что подавление щели происходит переходом второго рода, а для

критическом температуры справедливы асимптотические выражения

Здесь I117 = 0.577 — постоянная Эйлера. В промежуточной области Д/ ~ Ее возможна неоднозначная зависимость ТС(ЕС): при определенной температуре щель пропадает, а с дальнейшим повышением температуры — снова открывается. Это явление проще всего объяснить, рассматривая гамильтониан (35) в зарядовом, а не фазовом представлении. Различные состояния соответствуют определенному числу электронов в грануле, а член с cos 2K описывает туннелирование куперовской пары, которое изменяет число электронов на два. Состояния с зарядом ±е обладают одинаковой кулоновской энергией, поэтому переходы между ними не заблокированы. С повышением температуры возрастает вероятность возбуждения системы в эту пару состояний, и это может привести к усилению эффекта близости. Численный расчет показывает, что возвратное поведение возможно, если

Построенный метод позволяет также вычислит ток в системе, если к нормальной грануле подсоединено два сверхпроводящих контакта с определенной разностью фаз. Предполагаем, что Gl и Gr туннельные кондактансы левого и правого контактов. Все вычисления проделываются также, как и в случае одного контакта, однако величина Es становится функцией разности фаз

(44)

£g(<p) = ^G2L + G2R + 2GLGRcos<p.

Для вычисления тока можно воспользоваться свободной энергией (36) и применить соотношение 1(<р) = (2е/Н)((Ц-/(1<р). При нулевой температуре результат имеет вид

По мере увеличения разности фаз Е&(ф) уменьшается, а значит кулоновское взаимодействие становится относительно сильнее. В симметричном ((-¡х = Сд) контакте при приближении разности фаз к тг параметр д стремится к

нулю, и ток убывает экспоненциально. Таким образом, зависимость тока от разности фаз оказывается резко несимметричной.

Критический ток определяется как максимальное значение В пределе д 1 максимум достигается п урй ет/2, и выражение для критического тока сразу получается из (45). Если же кулоновское взаимодействие сильное , то максимальный ток достигается при малом и равен

- - п

и = Щу^-Х^СкЕсёехр

4 Ес6

'Щ( 0)

(46)

В этом режиме критический ток существенно зависит от потенциала затвора, увеличиваясь вместе с N. Таким образом, система представляет собой транзистор, через который куперовские пары проходят поодиночке.

В приложения вынесен ряд технически сложных вычислений.

В заключении сформулированы основные результаты и выводы работы:

1. Вычислена плотность квазилокализованных состояний в спектре нормального металла, соединенного со сверхпроводящими контактами. Построена явная параметризации многообразия суперматричной а- модели и классификация всех седловых точек. С учетом всех возможных седло-вых точек в перевальном приближении найдена зависимость плотности состояний от энергии около края спектра, включая всю флуктуацион-ную область.

2. Изучено влияние туннельных контактов и разности фаз на спектр квазилокализованных состояний в гибридной структуре. Показано, что количество квазилокализованных состояний возрастает по мере уменьшения щели ниже определенного критического уровня как за счет туннельных контактов, так и за счет протекающего через систему джозеф-соновского тока. Продемонстрированы сходства и различия результатов микроскопической теории с предсказаниями теории случайных матриц для плотности состояний около края спектра в случае ортогонального и унитарного ансамблей Вигнера - Дайсона.

3. В рамках ненульмерной <7-модели изучены различные случаи неуниверсальной зависимости плотности состояний в гибридной структуре от энергии. Получены результаты для структур с контактами большой площади. Вычислена плотность состояний вдали от квазиклассического края спектра.

4. Построена самосогласованная теория для учета кулоновских эффектов в нормальной металлической грануле, соединенной со сверхпроводником туннельным контактом. Найдена зависимость щели в электронном спектре от емкости гранулы. Показано, что кулоновское взаимодействие приводит к ступенчатой зависимости туннельной плотности состояний от энергии. Изучена зависимость величины щели в спектре от напряжения на затворе и квантование заряда гранулы в режиме кулоновской блокады. Вычислена температурная зависимость щели и найдено значение критической температуры. Для гранулы, присоединенной к двум сверхпроводникам, получена зависимость тока от разности фаз и вычислено значение критического тока.

Основное содержание диссертации изложено в следующих работах:

[1] P.M. Ostrovsky, M.A. Skvoitsov, and M.V. Feigel'man, "Density of states below Thouless gap in SNS junction", Phys. Rev. Lett. 87(2), 027002 (2001).

[2] P.M. Ostrovsky, M.A. Skvortsov, M.V. Feigel'man, "Density of States in a Mesoscopic SNS Junction", Письма в ЖЭТФ 75(7), 407 (2002).

[3] П.М. Островский, M.A. Скворцов, М.В. Фейгельман, "Плотность ква-зилокализованных состояний в мезоскопических NS-системах", ЖЭТФ 123(2), 399 (2003).

[4] P. M. Ostrovsky, M. A. Skvortsov, and M. V. Feigelman, "Coulomb Blockade of Proximity Effect at Large Conductance", Phys. Rev. Lett. 92(17), 176805 (2004).

[5] P. M. Ostrovsky and M. V. Feigelman, "Coulomb Effects in Nanoscale SINIS Junction", Письма в ЖЭТФ 79(10), 602 (2004).

04 - 1 46 2 8

Введение 1 Квазилокализованные состояния в идеальной гибридной структуре

1.1 Квазиклассический подход.

1.2 Суперматричная а-модель.

1.3 Параметризация многообразия (^-матрицы.

1.4 Седловые точки.

1.5 Параметризация флуктуаций 1.6 Одноинстантонное решение.

1.7 Точное решение вблизи порога.

2 Квазилокализованные состояния в гибридной структуре с подавленной щелью

2.1 SIN структура.

2.1.1 Действие для границы.

2.1.2 Нульмерное действие. 2.1.3 Классификация "хвостов".

2.1.4 "Сильный хвост".

2.2 SNS контакт с разностью фаз.

2.2.1 Зависимость щели от разности фаз.

2.2.2 Классификация седловых точек.

2.2.3 Решение вблизи порога.

2.2.4 "Сильный хвост".

2.3 Метод теории случайных матриц.

3 Неуниверсальная плотность состояний

3.1 Контакт большой площади.

3.2 Сверхпроводник с магнитными примесями.

3.3 Предел малых энергий. т 4 Кулоновские эффекты в SIN структуре

4.1 SIN контакт.

4.1.1 Динамическая репличная а-модель.

4.1.2 Самосогласованный подход.

4.1.3 Термодинамическая плотность состояний

4.1.4 Туннельная плотность состояний.

4.1.5 Квантование заряда.

Щ 4.1.6 Температурные эффекты.

4.2 Сверхпроводящий ток в SINIS контакте

4.2.1 Зависимость тока от разности фаз

4.2.2 Критический ток.

В настоящее время во многих научных центрах проводятся активные теоретические и экспериментальные исследования различных структур, состоящих из сверхпроводящих и нормальных элементов субмикронных размеров. Интерес к этим объектам вызван их необычными свойствами, связанными с процессами когерентной электронной динамики [1]. В частности, это открывает возможности для создания на основе таких структур элементной базы квантовых компьютеров, для которых когерентные процессы играют ключевую роль [2].

Характерной особенностью субмикронных систем являются специфические флуктуации, вызванные неконтролируемыми микроскопическими особенностями различных образцов,— мезоскопические флуктуации [1]. Мезоскопические свойства металлов проявляются, когда длина когерентности электронов проводимости сравнивается с характерными размерами образца. Миниатюризация элементов современных компьютеров также достигла масштабов на которых мезоскопические флуктуации становятся существенными. Кроме того, замечательные и необычные свойства мезоскопических структур представляют самостоятельный научный интерес с точки зрения проверки фундаментальных квантовых законов.

В гибридных структурах, состоящих из сверхпроводящих и нормальных частей, наблюдаются специфические эффекты мезоскопической сверхпроводимости. Эти явления известны под общим названием "эффекта близости". Качественно они сводятся к подавлению сверхпроводимости в сверхпроводящих частях и к появлению некоторых сверхпроводящих свойств в нормальных облаг стях. Одним из характерных примеров является эффект Джозефсона [3]. При туннелировании через слой изолятора куперовские пары частично сохраняют свою когерентность, и таким образом могут переносить сверхток через такой слой. Если же два сверхпроводящих контакта соединены областью нормального металла, аналогичный эффект имеет более сложную микроскопическую природу. Фундаментальным явлением в этом случае является андреевское отражение [4, 5].

При падении электрона на границу раздела сверхпроводник - нормальный металл с нормальной стороны не может произойти его переход в сверхпроводник, потому что на соответствующей энергии в спектре сверхпроводника находится щель. Однако в этом случае возможен процесс андреевского отражения: вместо электрона в нормальный металл отражается дырка, а в сверхпроводник уходит куперовская пара [4]. По-другому этот процесс можно рассматривать как туннелирование куперовской пары из сверхпроводника в нормальный металл. Хотя при этом притяжение между электронами пропадает, они все еще несут когерентность, характерную для сверхпроводника. Если нормальный слой достаточно тонок, такая пара может попасть во второй сверхпроводник, перенося тем самым сверхток. Эта ситуация соответствует некоторой электронной траектории, соединяющей два сверхпроводящих берега: пройдя по этой траектории, электрон андреевски отражается в дырку, которая повторяет путь электрона в противоположном направлении, и после повторного андреевского отражения траектория замыкается. Такие траектории разрешены, когда на их протяжении укладывается целое число длин волн — так возникают андреевские состояния. Эти состояния образуют дискретный спектр и располагаются симметрично относительно уровня Ферми (в отсутствие тока). Таким образом, энергии, сколь угодно близкие к фермиевской, запрещены, и система обладает глобальной сверхпроводимостью.

На этом примере видно, как близость сверхпроводника приводит к изменению низкоэнергетического спектра нормального металла. Аналогичные явления, также обусловленные андреевским отражением, могут происходить и в более простом случае контакта одного сверхпроводника с нормальным металлом. При этом в нормальной области также будут возникать андреевские состояния, изменяя его спектр. Характер этих изменений существенно зависит от типа классической динамики электронов в нормальной части контакта [6]. Начнем с примера. Если нормальная область имеет правильную прямоугольную форму и не содержит примесей, то в ней будут существовать сколь угодно длинные траектории электронов между двумя андреевскими отражениями. Это приводит к появлению уровней с произвольно малой энергией, и, как следствие, щель в спектре отсутствует. Однако плотность состояний все же будет линейно стремиться к нулю при приближении к энергии Ферми [6, 7]. В общем случае спектр такого типа возникает, когда классическая динамика электронов в нормальной области интегрируема.

Противоположный предел хаотичной динамики реализуется, например, в случае большой плотности потенциальных (немагнитных) центров рассеяния — примесей. При таких условиях движение электронов будет диффузным. Однако наивная попытка определить характер спектра, изучая вероятность траекторий различной длины приводит к неверному результату. Действительно, при хаотичном движении всегда можно найти сколь угодно длинные траектории, но, тем не менее, в спектре будет наблюдаться щель. Причина ошибки состоит в неучете эффектов квантовой интерференции [8, 9]. Дело в том, что квазиклассические диффузные траектории представляют собой ломаные линии:

• электрон последовательно рассеивается на большом количестве примесей. Для двух достаточно длинных траекторий почти наверняка найдется общая примесь. А значит кроме двух соответствующих андреевских состояний имеются еще как минимум два: электрон, летящий по первой траектории, после рассеяI ния на общей примеси переходит на вторую траекторию, а после андреевского отражения дырка на той же примеси возвращается на первую траекторию, и наоборот. Из-за эффектов квантовой интерференции между описанными про

• цессами низколежащие андреевские уровни нельзя описывать на наивном языке простых траекторий.

Адекватная квазиклассическая техника для диффузных систем хорошо известна [10, 11, 12] и опирается на уравнение Узаделя. Качественно результат сводится к появлению щели в плотности состояний порядка Н/гс, где тс — характерное время диффузии между двумя андреевскими отражениями [6, 13, 14, 15]. Оно определяется силой и концентрацией примесей, размерами нормальной области и прозрачностью границы со сверхпроводником. Однако такая квазиклассическая теория не учитывает мезоскопические флуктуации. На качественном уровне можно считать, что коэффициент диффузии флуктуирует, и это приводит к отклонению величины щели в каждом конкретном образце от ее среднего значения. В результате усреднения по возможным конфигурациям примесей вместо строгого обращения плотности состояний в ноль будет наблюдаться ее резкое падение при соответствующей энергии, а при меньших энергиях она будет экспоненциально малой.

• Можно сделать следующее общее утверждение. Если положение края спектра определяется физической величиной, которая может флуктуировать, то при усреднении по этим флуктуациям появляется "хвост" плотности состояний в запрещенной области. Подобный "хвост" был впервые рассмотрен Лифшицем в обычном легированном полупроводнике [16]. Локализованные состояния в запрещенной зоне возникают за счет редких флуктуаций случайного потенциала. Для изучения этих явлений используется метод оптимальной флуктуации [16,17,18,19]. Суть метода состоит в отыскании наиболее вероятной флуктуации, дающей определенное значение энергии локализованного состояния. Если такая оптимальная флуктуация найдена, можно пренебречь менее вероятными флуктуациями, дающими такой же результат, а затем усреднить плотность состояний по распределению вероятностей этих оптимальных флуктуаций. На сегодняшний день известно много примеров подобного рода флуктуационных эффектов в различных системах, см. например [20, 21, 22, 23, 24].

Существует другой, чисто феноменологический, метод работы с неупорядоченными системами — теория случайных матриц [25, 26, 27]. В рамках этой теории гамильтониан является случайной матрицей^ причем различные матричные элементы считаются некоррелированными (исключая связи за счет дополнительных симметрий гамильтониана). В главном порядке по большому размеру матрицы средняя плотность состояний случайного гамильтониана представляет собой "вигнеровский полукруг": (р(Е)) = 5~гу/\ — Е2/Е%, где Еь — ширина зоны, а <5 — среднее расстояние между уровнями в центре зоны.

Теория случайных матриц нашла широкое применение для описания спектральных свойств мезоскопических систем [28] благодаря свойству универсальности. Последнее проявляется в том, что, несмотря на различие на уровне микроскопического гамильтониана, спектры мезоскопических систем с хаотической динамикой и случайных матриц с одинаковыми 8 статистически совпадают. Впервые теория случайных матриц была применена для описания спектра металлической гранулы Горьковым и Элиашбергом [29]. Строгое микроскопическое доказательство гипотезы универсальности для этого случая позднее получил Ефетов [30], изучая парный коррелятор уровней энергии. При этом обе системы рассматриваются вдали от края зоны, когда среднюю плотность состояний можно считать не зависящей от энергии [31].

Вблизи края зоны средняя плотность состояний в ансамбле Вигнера-Дайсона в квазиклассическом приближении обращается в ноль корневым образом. При учете поправок к квазиклассическому результату появляется экспоненциально спадающий "хвост" при энергиях \Е\ > Еь [32]. В диффузной гибридной структуре плотность спектра вблизи края щели также имеет корневую особенность.

Если предположить, что форма "хвоста" полностью определяется квазиклассическим поведением плотности состояний около края спектра, то можно распространить результат теории случайных матриц на случай диффузной гибридной структуры. Это было проделано в работе [33].

Другой случай появления экспоненциально малого "хвоста" плотности состояний — сверхпроводник с магнитными примесями. Наличие магнитных примесей подавляет сверхпроводимость [34]. Если их концентрация не очень большая, то щель в спектре становится меньше по сравнению со сверхпроводником без примесей, но не обращается в ноль. Однако концентрация примесей может флуктуировать в пространстве, и, таким образом, есть ненулевая вероятность обнаружить уровень энергии ниже средней величины щели [23]. Метод оптимальной флуктуации в рамках теории случайных матриц для такой системы был развит в работе [35]. При этом концентрация магнитных примесей считалась настолько малой, что можно пренебречь эффектом подавления щели [34]. Для сверхпроводника с сильным потенциальным беспорядком и небольшой концентрацией магнитных примесей в рамках нелинейной а-модели [36, 37] "хвост" подщелевых состояний изучался Ламакрафтом и Саймонсом [38]. Результаты, полученные в работах [35] и [38], противоречат друг другу. В конце раздела 2.3 будет указана причина и способ устранения этого противоречия. Явный вид оптимальной флуктуации магнитных примесей в относительно чистом пределе был получен в работе [24]. Эта флуктуация имеет ферромагнитную структуру и несферическую форму. Переход к диффузному пределу и связь с результатом [38] обсуждается в работе [39].

В обычной статистической физике основной величиной, определяющей свойства системы, является производящий функционал 2[7] = /Т>Ф Различные корреляционные функции, в том числе и плотность состояний, выражаются через логарифмические производные от этого функционала по источникам «7. Если в системе присутствует беспорядок, все корреляционные функции нужно по нему усреднять. То есть требуется среднее значение от Ы2. Однако логарифм нелинейная функция, и его усреднение в общем случае затруднительно. Один из способов обойти эту трудность — метод реплик — был предложен в работе [40]. Он нашел широкое применение в задачах статистической физики, в особенности для описания спиновых стекол [41]. Суть метода заключается в том, что вместо одной системы рассматривается М ее копий (реплик). При этом вычисляется М-тая степень производящего функционала

ZM. Если удается усреднить ее по беспорядку при произвольном значении М и сделать аналитическое продолжение к точке М = 0, то можно воспользоваться формулой In Z = lim(Zn — 1 )/п для вычисления среднего логарифма. п—+0

Вычисление производящего функционала в общем виде при произвольном числе реплик часто оказывается достаточно сложным. Эта трудность снимается в методе нелинейной суперматричной <т-модели [36]. Он состоит в добавлении к физическим полям такого же количества грассмановых (антикоммутирую-щих) полей. При произвольном действии системы производящий функционал оказывается равным единице, и корреляционные функции определяются обычными вариационными производными этого функционала, вместо логарифмических. Одним из недостатков метода суперматричной нелинейной а-модели является невозможность учесть эффекты взаимодействия.

Квазиклассическое приближение (уравнение Узаделя) соответствует вычислению производящего функционала методом перевала. Соответствующая сед-ловая точка в действии нелинейной а-модели суперсимметрична, то есть имеет одинаковый вид по коммутирующим и грассмановым переменным. Экспоненциально малый вклад от редких мезоскопических флуктуаций соответствует другим, несуперсимметричным седловым точкам — инстантонам. Впервые такое вычисление было проделано в работе [22] для плотности состояний на высоком уровне Ландау в двумерной системе в магнитном поле. Применимость метода перевала вблизи инстантонов обеспечивалась большим номером уровня Ландау. В случае сверхпроводящих гибридных структур соответствующим большим параметром будет безразмерный кондактанс системы.

Сходное явление наблюдается в нормальных системах при изучении асимптотик функции распределения плотности состояний, кондактанса и времен релаксации [42]. Мезоскопические флуктуации примесей приводят к тому, что в области энергий, отвечающих хорошо делокализованным состояниям, с экспоненциально малой вероятностью можно найти и состояния почти локализованные. Такие состояния обеспечивают аномально медленную релаксацию тока к его равновесному значению на очень больших временах (больше обратного среднего расстояния между уровнями размерного квантования) — то есть они служат в качестве "электронных ловушек". Длинновременная асимптотика кондактанса мезоскопического образца определяется аномально локализованными состояниями [43]. В разделе 3.3 будет продемонстрировано соответствие между этой асимптотикой и плотностью квазилокализованных состояний в сверхпроводящей гибридной структуре глубоко под щелью.

Обобщение а-модели для диффузных сверхпроводящих гибридных структур было предложено в работе [37]. Там же было сделано указание на то, что подщелевая плотность состояний соответствует инстантонам в этой модели и определяется состояниями, аномально локализованными в нормальной области [42, 43, 44, 45]. Возникающие за счет редких флуктуаций случайного потенциала, такие состояния плохо связаны со сверхпроводящими берегами и имеют энергию ниже края щели. Инстантонная конфигурация, ответственная за появление "хвоста" плотности состояний в однородном сверхпроводнике с магнитными примесями была найдена в работе [38].

Современная техника изготовления субмикронных гибридных структур позволяет непосредственно наблюдать появление щели в спектре нормального металла, наведенной за счет контакта со сверхпроводником [46, 47, 48]. Результаты экспериментов удовлетворительно описываются в рамках уравнения Узаде-ля. Подщелевая плотность состояний также заметно проявляется в этих экспериментах, однако вклад мезоскопических флуктуаций трудно отделить от различных факторов декогерентности, которые также влияют на низкоэнергетическую плотность состояний. Кроме того, в некоторых структурах наблюдаются спектры [49, 50], которые не получается объяснить даже простым уравнением Узаделя.

Одной из наиболее существенных причин сбоя фазы в мезоскопических системах является кулоновское взаимодействие. Когда емкость элементов структуры настолько мала, что изменение полного количества электронов на единицу приводит к существенному изменению энергии по сравнению с температурой и другими характерными энергетическими масштабами, становятся важными явления кулоновской блокады [51]. В сверхпроводящих системах заряд и фаза являются канонически сопряженными переменными, для которых справедлив принцип неопределенности Гейзенберга. Невозможность одновременно фиксировать обе величины приводит к конкуренции между когерентными процессами, лежащими в основе эффекта близости и фиксирующими фазу, и кулоновскими явлениями, фиксирующими заряд. Таким образом кулоновское взаимодействие приводит к подавлению эффекта близости. Поэтому учет кулоновской блокады необходим при рассмотрении когерентной динамики в мезоскопических гибридных структурах наряду с мезоскопическими флуктуа-циями.

Обычный метод изучения локальных электронных свойств мезоскопических систем состоит в измерении дифференциальной проводимости между иглой туннельного микроскопа и изучаемым образцом. Дифференциальная проводимость пропорциональна точной функции Грина образца взятой в наиболее близкой к игле точке. Эта величина имеет смысл туннельной плотности состояний. В системах с взаимодействием туннельная плотность состояний оказывается подавленной на низких энергиях [52]. Этот эффект носит название туннельной аномалии. Простое качественное объяснение состоит в том, что после туннелирования электрона в образец требуется определенное время, чтобы дополнительный заряд смог распределиться и "освободить место" для следую* . щего электрона.

Наиболее сильно явление туннельной аномалии проявляется в низкоразмерных системах. Так, в грязной двумерной пленке подавление туннельной плотности состояний около энергии Ферми имеет логарифмический характер [52, 53]. В нульмерном случае маленькой металлической гранулы в туннельной плотности состояний образуется кулоновская щель, величина которой равна зарядовой энергии. Эта щель и является причиной явлений кулоновской блокады. <1 Кулоновская блокада в сверхпроводящих системах изучалось достаточно подробно [54, 55, 56], однако при этом эффект близости не принимался в расчет. Первая работа, в которой рассматривалось взаимовлияние эффекта близости и кулоновского взаимодействия, была выполнена Орегом и др. [57]. Для двумерной нормальной пленки, соединенной со сверхпроводником, в рамках метода ренормгруппы [58] была вычислена зависимость наведенной щели от константы экранированного кулоновского взаимодействия. Оказалось, что подавление ще-^ ли за счет взаимодействия имеет степенной характер, причем щель полностью закрывается, если константа взаимодействия достигает определенного критического значения.

Таким образом, явления мезоскопических флуктуаций и кулоновского взаимодействия играют существенную роль в сверхпроводящих гибридных структурах. Изучение этих явлений имеет большое значение для развития современных представлений о таких системах и их возможного применения в качестве элементной базы квантовых компьютеров и в других электронных устройствах Ф с использованием когерентных свойств.

Основные цели диссертационной работы заключаются в развитии метода нелинейной суперматричной ст-модели для учета мезоскопических флуктуаций в сверхпроводящих гибридных структурах; применении полученных результатов для изучения низкоэнергетического спектра гибридных структур различной геометрии и различных характеристик контактов между элементами; построении самосогласованной теории кулоновской блокады для сверхпроводящих структур и изучении на ее основе свойств электронного спектра таких структур при наличии кулоновского взаимодействия.

Материал диссертации и полученные результаты организованы следующим образом. Первая глава посвящена вычислению плотности квазилокализован-ных состояний в нормальном металле, соединенном с одним или несколькими сверхпроводниками идеально прозрачными контактами. В начале излагается стандартный квазиклассический подход, основанный на уравнении Узаде-ля [12]. Свойства квазиклассического решения потребуются в дальнейшем для описания возможных инстантонов а-модели. Затем приводится краткий вывод нелинейной суперматричной сг-модели Ефетова для сверхпроводящих гибридных структур [36, 37]. В разделе 1.3 построена явная параметризация многообразия сг-модели в терминах восьми углов. Далее на основе этой параметризации проделан анализ всех возможных седловых точек действия сг-модели, и указана их связь с решениями квазиклассического уравнения Узаделя. Затем предлагается явная параметризация флуктуаций около найденных седловых решений, которая диагонализует квадратичную форму действия. Также проанализированы массы различных мод и выделены наиболее существенные из них. Раздел 1.6 посвящен вычислению главного инстантонного вклада в плотность состояний, который обеспечивает появление подщелевого "хвоста". В последнем разделе главы выполнено точное вычисление плотности состояний с учетом всех возможных седловых точек и получен универсальный результат, описывающий плотность состояний выше и ниже границы щели, а также и во всей переходной области.

В первой части второй главы полученные результаты для плотности состояний обобщаются на случай системы с неидеальными контактами. Показано, что структура седловых точек и флуктуаций около них сохраняется при добавлении в действие граничного члена. Затем выводится нульмерный предел (Т-модели в случае туннельных контактов. Полученное действие позволяет проанализировать зависимость плотности состояний от величины прозрачности контактов и установить различные асимптотические выражения для подщелевого "хвоста" с экспоненциальной точностью. При этом оказывается, что показатель экспоненты существенно изменяется, если прозрачность контактов ниже определенного критического значения. В следующем разделе вычислен пред-экспоненциальный множитель для сильно туннельного случая и показано, что полное число состояний под щелью становится большим в этом пределе. Такая ситуация названа "сильным хвостом".

Вторая часть второй главы посвящена симметричному контакту с определенной разностью фаз. При протекании тока щель, наведенная в нормальной части контакта, подавляется [14] во многом аналогично тому, как это происходит в системах с туннельными границами. Существенное отличие контакта с разностью фаз заключается в изменении структуры седловых точек сг-модели. Как показано в разделе 2.2.2, если разность фаз превышает определенное критическое значение, главный инстантон, определяющий "хвост" плотности состояний в случае нулевого тока, исчезает. В следующем разделе проделан анализ масс различных флуктуационных мод около оставшейся еедловой точки и получено точное выражение для плотности состояний в этом случае. По мере приближения разности фаз к 7г происходит переход к режиму "сильного хвоста", полностью аналогичного "сильному хвосту" в системе с туннельными границами. Вывод этого результата приведен в разделе 2.2.4.

В конце второй главы излагаются основные положения метода теории случайных матриц [27] в применении к вычислению подщелевой плотности состояний в гибридных структурах [33]. Продемонстрированы сходства и различия предсказаний этой теории с результатами а-модели.

В третьей главе рассматриваются различные ситуации, когда плотность состояний нельзя описывать в рамках нульмерной сг-модели. Первый раздел посвящен структурам с достаточно большой площадью контактов, когда размер инстантона меньше размера системы. В следующем разделе решается задача о сверхпроводнике с магнитными примесями и воспроизводится результат [38]. В конце главы с логарифмической точностью вычисляется плотность квазилока-лизованных состояний в гибридной структуре глубоко под щелью. Обсуждается связь полученных результатов с длинновременной асимптотикой кондактанса [43].

Четвертая глава посвящена изучению кулоновских эффектов в нормальной грануле, соединенной туннельным контактом со сверхпроводником. Для рассмотрения временных флуктуаций потенциала гранулы, вызванных взаимодействием, используется динамическая репличная а-модель Финкелыптейна

58], вывод которой изложен в первом разделе главы. В разделе 4.1.2 разработан самосогласованный метод учета эффекта близости и кулоновской блокады, который основан на адиабатическом приближении: энергия флуктуаций фазы считается большой по сравнению с величиной щели в спектре гранулы. Уравнения, выведенные в этом разделе, позволяют находить любые физические характеристики системы в указанном приближении. В разделах 4.1.3 -4.1.5 вычислена величина термодинамической и туннельной плотности состояний, а также среднего заряда гранулы. В двух предельных случаях сильной и слабой кулоновской блокады получены приближенные аналитические выраг жения, а также приведены результаты численного расчета в общем случае. В разделе 4.1.6 изучается зависимость наведенной щели от температуры. Значение критической температуры вычислено аналитически в двух, указанных выше, предельных случаях и проанализирован общий результат, полученный численно. Оказывается, что при определенных значениях параметров системы возможна немонотонная, и даже возвратная, температурная зависимость величины щели.

Во второй части четвертой главы рассматривается случай, когда к грануле присоединены два сверхпроводника. В рамках развитого самосогласованного подхода вычисляется зависимость протекающего через систему сверхтока от разности фаз между сверхпроводниками. Из-за влияния кулоновского взаг имодействия характеристика ток - фаза оказывается резко несимметричной. Последний раздел посвящен вычислению величины критического тока и ее зависимости от температуры.

Заключение

В диссертации получены следующие основные результаты

1. Построена явная параметризации многообразия суперматричной ст-модели для гибридных структур и классификация всех седловых точек. Вычислен главный инстантонный вклад в подщелевую плотность состояний. С учетом всех возможных седловых точек найдена точная зависимость плотности состояний от энергии около края спектра, включая всю флук-туационную область.

2. Изучено влияние туннельных контактов и разности фаз на спектр квази-локализованных состояний в гибридной структуре. Показано, что количество квазилокализованных состояний возрастает по мере уменьшения щели ниже определенного критического уровня как за счет туннельных контактов, так и за счет протекающего через систему джозефсоновского тока. Продемонстрированы сходства и различия результатов микроскопической теории с предсказаниями теории случайных матриц для плотности состояний около края спектра в случае ортогонального и унитарного ансамблей Вигнера - Дайсона.

3. В рамках ненульмерной сг-модели изучены различные случаи неуниверсальной зависимости плотности состояний в гибридной структуре от энергии. Получены результаты для структур с контактами большой площади. Вычислена плотность состояний вдали от квазиклассического края спектра.

4. Построена самосогласованная теория для учета кулоновских эффектов в нормальной металлической грануле, соединенной со сверхпроводником туннельным контактом. Найдена зависимость щели в электронном спектре от емкости гранулы. Показано, что кулоновское взаимодействие приводит к двухступенчатой зависимости туннельной плотности состояний от энергии. Изучена зависимость величины щели в спектре от напряжения на затворе и квантование заряда гранулы в режиме кулоновской блокады. Вычислена температурная зависимость щели и найдено значение критической температуры. При определенных значениях параметров получена возвратная температурная зависимость щели. Для гранулы, присоединенной к двум сверхпроводникам, получена зависимость тока от разности фаз и вычислено значение критического тока.

Я глубоко благодарен своему научному руководителю М. В. Фейгельману за интересные научные задачи, постоянное внимание и поддержку, М. А. Сквор-цову за многочисленные полезные идеи и советы и готовность вникать в самые мелкие подробности вычислений, а также всем сотрудникам ИТФ им. Л. Д. Ландау за ценные обсуждения и замечания и за уникальную творческую атмосферу.

1. Имри, Введение в мезоскопическую физику, Москва, Физматлит, 2004.

2. Yu. Makhlin, A. Shnirman, G. Schön, Rev. Mod. Phys. 73, 357 (2001) и ссылки в этой работе.

3. B.D. Josephson, Phys. Lett. 1, 251 (1962).

4. А.Ф. Андреев, ЖЭТФ, 46, 1823 (1964); 49, 655 (1965); 51, 1510 (1966).

5. И. О. Кулик, ЖЭТФ 57 1745 (1969).

6. J. А. Meisen, P. W. Brouwer, К. М. Frahm, С. W. J. Beenakker, Europhys. Lett. 35, 7 (1996); Physica Scripta T69, 223 (1997).

7. A. Lodder, Yu. V. Nazarov, Phys. Rev. В 58, 5783 (1998).

8. M.C. Gutzwiller, Chaos in Classical and Quantum Mechanics, New York, Springer-Verlag, 1990.

9. N. Argaman, U. Smilansky, Y. Imry, Phys. Rev. В 47, 4440 (1993). 10] А.Ю. Ларкин, Ю.Н. Овчинников, ЖЭТФ 12, 2262 (1968).

10. И. G. Eilenberger, Z. Phys. 214, 195 (1968).

11. К. Usadel, Phys. Rev. Lett. 25, 507 (1970).

12. A.A. Голубов, М.Ю. Куприянов, ЖЭТФ 96, 1420 (1989).

13. F. Zhou, P. Charlat, В. Spivak, В. Pannetier, J. Low Temp. Phys. 110, 841 (1998).

14. S. Pilgram, W. Beizig, C. Bruder, Phys. Rev. В 62, 12462 (2000).

15. И.М. Лифшиц, УФН, 83, 617 (1964).

16. B.I. Halperin, M. Lax, Phys. Rev. 148, 722 (1966).

17. J. Zittarz, J.S. Langer, Phys. Rev. 148, 741 (1966).

18. И. M. Лифшиц, С. А. Гредескул, Л. А. Пастур, Введение в теорию неупорядоченных систем, Москва, Наука, 1982.

19. Е. Brezin, D.J. Gross, С. Itzykson, Nucl. Phys. В 235 PS], 24 (1984).

20. Л. Б. Иоффе, М.В. Фейгельман, ЖЭТФ 89, 654 (1985).

21. К. В. Efetov, V.G. Marikhin, Phys. Rev. В, 40, 12126 (1989).

22. A. V. Balatsky, S.A. Trugman, Phys. Rev. Lett. 79, 3767 (1997).

23. A. V. Shytov, I. Vekhter, I. A. Gruzberg, A.V. Balatsky, Phys. Rev. Lett. 90, 147002 (2003).

24. E.P. Wigner, Ann. Math. 53, 36 (1951).

25. F.J. Dyson, J. Math. Phys. 3, 140, 157, 166 (1962).

26. M. L. Mehta, Random matrices, New York, Academic, 1991.

27. C.W.J. Beenakker, Rev. Mod. Phys. 69, 731 (1997).

28. Л.П. Горьков, Г.М. Элиашберг, ЖЭТФ 48, 1407 (1965).

29. К. Б. Ефетов, ЖЭТФ 83, 883 (1982).

30. Б. Л. Альтшулер, Б. И. Шкловский, ЖЭТФ 91, 220 (1986).

31. С. A. Tracy, Н. Widom, Comm. Math. Phys. 159,151 (1994); 177, 727 (1996).

32. M. G. Vavilov, P. W. Brouwer, V. Ambegaokar, C. W. J. Beenakker, Phys. Rev. Lett. 86, 874 (2001).

33. А. А. Абрикосов, Л.П. Горьков, ЖЭТФ 39, 1781 (1960).

34. I. S. Beloborodov, В. N. Narozhny, I. L. Aleiner, Phys. Rev. Lett. 85,816 (2000).

35. K.B. Efetov, Supersymmetry in Disorder and Chaos, Cambridge University Press, New York, 1997.

36. A. Altland, В. D. Simons, D. Taras-Semchuk, Письма в ЖЭТФ 67, 21 (1997); Adv. Phys. 49, 321 (2000).

37. A. Lamacraft, B.D. Simons, Phys. Rev. Lett. 85, 4783 (2000); Phys. Rev. В 64, 014514 (2001).

38. I. Vekhter, A. V. Shytov, I.A. Gruzberg, A. V. Balatsky, Proceedings of the 23rd International Conference on Low Temperature Physics, Physica В 329-333, 1446 (2003).

39. S.F. Edwards, P. W. Anderson, J. Phys. F 5, 965 (1975);

40. A. Nitzan, K.H. Freed, M.H. Cohen, Phys. Rev. В 15, 4476 (1977).

41. Vik.S. Dotsenko, M.V. Feigel'man, L.B. Ioffe, Soviet Scientific Reviews 15, edited by I.M. Khalatnikov, London, Harwood Academic Publishers GmbH, 1990.

42. B. L. Altshuler, V. E. Kravtsov, I. V. Lerner, p. 449 in Mesoscopic Phenomena in Solids, edited by B. L. Altshuler, P. A. Lee, R. A. Webb, Amsterdam, North-Holland, 1991.

43. B. A. Muzykantskii, D.E. Khmelnitskii, Phys. Rev. В 51, 5480 (1995).

44. V.l. Fal'ko, K.B. Efetov, Europhys. Lett. 32, 627 (1995).

45. A.D. Mirlin, Phys. Rev. В 53, 1168 (1996).

46. S. Gu<5ron, H. Pothier, N. O. Birge, D. Esteve, M. H. Devoret, Phys. Rev. Lett. 77, 3025 (1996).

47. M. Vinet, С Chapelier, F. Lefloch, Phys. Rev. В 63, 165420 (2001).

48. N. Moussy, H. Courtois, B. Pannetier, Europhys. Lett. 55, 861 (2001).

49. A. K. Gupta, L. Cretinon, N. Moussy, B. Pannetier, H. Courtois, Phys. Rev. В 69, 104514 (2004).

50. W. Escoffier, C. Chapelier, N. Hadacek, J-C. Villegier, cond-mat/0403764 (2004).

51. Single Charge Tunneling, edited by H. Grabert and M. H. Devoret, New York, Plenum, 1992.

52. B.L. Altshuler, A.G. Aronov, Solid State Commun. 30, 115 (1979).

53. L.S. Levitov, A.V. Shytov, Письма в ЖЭТФ 66, 200 (1997).

54. Yu. V. Nazarov, Т.Н. Stoof, Phys. Rev. Lett. 76, 823 (1996).

55. A. Huck, F.W.J. Hekking, B. Kramer, Europhys. Lett. 41, 201 (1998).

56. K. A. Matveev, L.I. Glazman, Phys. Rev. Lett. 81, 3739 (1998).

57. Yu. Oreg, P.W. Brouwer, B.D. Simons, A. Altland, Phys. Rev. Lett. 82, 1269 (1999).

58. A. M. Finkel'stein, Soviet Scientific Reviews 14, edited by I. M. Khalatnikov, London, Harwood Academic Publishers GmbH, 1990.

59. H.H. Боголюбов, ЖЭТФ 34, 58, 73 (1958).

60. П. де Жен, Сверхпроводимость металлов и сплавов, Москва, Мир, 1967.

61. Л. П. Горьков, ЖЭТФ 34, 735 (1958); Y. Nambu, Phys. Rev. 117, 648 (1960).

62. J. Bardeen, L.N. Cooper, J.R. Schrieffer, Phys. Rev. 108, 1175 (1957).

63. M. A. Skvortsov, V.E. Kravtsov, M.V. Feigel'man, Письма в ЖЭТФ 68, 78 (1998).

64. М.Ю. Куприянов, В.Ф. Лукичев, ФНТ 8, 1045 (1982).

65. A.B. Зайцев, ЖЭТФ, 86,1742 (1984).

66. W. Beizig, Yu. V. Nazarov, Phys. Rev. В 87, 197006 (2001).

67. Т. Guhr, А. Müller-Groeling, H.A. Weidenmüller, Phys. Rep. 299,189 (1998).

68. A. Altland, M.R. Zirnbauer, Phys. Rev. В 55, 1142 (1997).

69. В. E. Захаров, С. В. Манаков, С. П. Новиков, Л. П. Питаевский, Теория со-литонов: метод обратной задачи рассеяния, Москва, Наука, 1980.

70. В. А. Muzykantskii, D.E. Khmelnitskii, cond-mat/9601045 (1996).

71. A.D. Mirlin, Письма в ЖЭТФ 62, 583 (1995).

72. A.D. Mirlin, Phys. Rep. 326, 259 (2000).

73. J.W. Negele, H. Orland, Frontiers in Physics 68, Quantum Many-Particle Systems, New York, Addison Wesley, 1987.

74. A. Kamenev, A. Andreev, Phys. Rev. В 60, 2218 (1999).

75. A. I. Larkin, Yu.N. Ovchinnikov, Phys. Rev. В 28, 6281 (1983).

76. P. Фейнман, Статистическая механика. Курс лекций, Москва, Мир, 1975.

77. V. Ambegaokar, A. Baratoff, Phys. Rev. Lett. 10, 487 (1963).

78. И. С. Градштейн, И. М. Рыжик, Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений, Москва, Физматлит, 1963.

79. X. Wang, H. Grabert, Phys. Rev. В 53, 12621 (1996).

80. G. Schön, A.D. Zaikin, Phys. Rep. 198, 237 (1990).

81. L. I. Glazman, F. W. J. Hekking, K. A. Matveev, R. I. Shekhter, Physica В 203, 316 (1994).