Квантовая запутанность спиновых состояний неразличимых фермионов тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

На правах рукописи

■Кг-Р^

Арифуллин Марсель Равшанович

КВАНТОВАЯ ЗАПУТАННОСТЬ СПИНОВЫХ СОСТОЯНИИ НЕРАЗЛИЧИМЫХ ФЕРМИОНОВ

Специальность 01.04.02 - Теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

005554753

13 ноя 2014

Оренбург-2014

005554753

Работа выполнена на кафедре биофизики и физики конденсированного состояния ФГБОУ ВПО «Оренбургский государственный университет»

Научный руководитель: Бердинский Виталий Львович

доктор физико-математических наук, заведующий кафедрой биофизики и физики конденсированного состояния ФГБОУ ВПО «Оренбургский государственный университет»

Официальные оппоненты: Волков Николай Борисович

доктор физико-математических наук, заведующий лабораторией нелинейной динамики института электрофизики УрО РАН (г. Екатеринбург)

Садовский Иван Александрович

кандидат физико-математических наук, младший научный сотрудник Аргоннской национальной лаборатории (г. Аргонн, Иллинойс, США)

Ведущая организация: Институт проблем химической физики Российской академии наук

Защита состоится « 19 » декабря 2014 г. в 14"" часов на заседании диссертационного совета Д 212.296.03 при Челябинском государственном университете по адресу: 454001, Челябинск, ул. Братьев Кашириных, 129, конференц-зал.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Челябинского государственного университета.

Автореферат разослан «Л^» 2014 г.

Ученый секретарь диссертационного совета,

доктор физико-математических - / 'тГ

наук, профессор Е. А. Беленков

Общая характеристика работы

Актуальность работы. Перспективы применения спина электрона в качестве носителя информации в спинтронике, квантовых вычислений и в квантовой криптографии требуют знания спиновых состояний многофермионных систем, например, спиновых состояний ансамбля электронов в полупроводниках, сверхпроводниках и спиновой жидкости. Однако, чтобы использовать спин электрона в качестве носителя квантовой информации, его необходимо "извлечь" из ансамбля неразличимых частиц. Если этот процесс происходит достаточно быстро, то электронный спин не успеет изменить свое состояние и, следовательно, будет нести "память" о своем пребывании в большом ансамбле. Поэтому необходимо знание состояний многоспиновых систем и, в частности, запутанности таких состояний.

Запутанность - важная характеристика квантовых состояний, необходимая для создания алгоритмов квантовых вычислений и разработки протоколов квантовой криптографии. Это обстоятельство, с одной стороны, определило активное, главным образом, теоретическое изучение запутанности, а с другой, — оттеснило на второй план важное значение запутанности квантовых состояний для описания свойств реальных физических систем и физических процессов. Однако для понимания роли запутанных состоянии в физических процессах требуется знать физические причины и механизмы появления запутанности.

В элементарных актах физико-химических процессов сохраняется суммарный спин частиц (закон сохранения углового момента), а принцип Паули требует антисимметрии полной многоэлектронной волновой функции, зависящей от пространственных или спиновых степеней свободы. Совместное действие этих двух фундаментальных физических законов приводит к существованию спиновых правил отбора, управляющих многими интересными и важными физическими процессами и химическими реакциями. Спиновые правила отбора, управляющие двухспиновыми процессами, хорошо известны, они хорошо изучены как теоретически, так и экспериментально. Гораздо

3

меньше известно о спиновых правилах отбора, управляющими многоэлектронными (многоспиновыми) процессами. В таких процессах запутанность многоспиновых состояний оказывается тесно связанной с многоспиновыми правилами отбора, что определяет эвристическое значение этого понятия.

Эти проблемы определили основные цели и задачи диссертационной работы.

Основные цели работы:

Описание спиновых состояний многоэлектронных (многофермионных) систем, изучение их свойств, доказательство запутанности этих состояний и вывод многоспиновых правил отбора, управляющих образованием запутанных физических систем из независимых подсистем, возможности экспериментальной верификации запутанности многоспиновых состояний.

Задачи:

- Построение многоспиновых матриц плотности в виде, допускающем их обобщение на иные виды фермионов со спином 8 = 'Л.

- Исследование свойств этих матриц и описываемых ими спиновых состояний,

- Доказательство запутанности спиновых состояний многоэлектронных систем с произвольным четным числом частиц и с заполненными электронными оболочками.

- Определение иерархии запутанности квантовых состояний подсистем большой запутанной спиновой системы.

- Доказать, что увеличение числа частиц в многофермионной системе приводит к уменьшению корреляции между спинами любой пары фермионов и эти корреляции полностью отсутствуют при бесконечно большом числе частиц исходной системы.

- Определить проявления запутанности и нелокальных свойств спиновых состояний многоэлектронных систем в условиях экспериментов

Эйнштейиа-Подольского-Розена и влияние геометрической фазы Берри на запутанные многоспиновые системы.

- Показать физико-химические применения запутанных многоспиновых состояний для описания правил отбора, управляющих спинзависимыми процессами, и для определения вероятностей рекомбинации.

Положения, выносимые на защиту:

1. Показать, что неразличимость частиц и принцип Паули однозначно определяют спиновые состояния фермионов, их спиновые корреляции и запутанность их спиновых состояний.

2. Спиновые состояния многоэлектронных систем с четным числом частиц N описываются матрицами плотности, представимыми в виде суммы неортогональных операторов проектирования на все возможные синглетные состояния.

3. Спиновые корреляции в подсистемах зависят от полного числа частиц в исходной большой системе. В бесконечно большой системе любые парные состояния не скоррелированы и являются смесыо синглетных и триплетных состояний.

4. Многоспиновые матрицы плотности запутанных состояний позволяют определять спинзависимые вероятности образования запутанных систем, существование многоспиновых правил отбора, управляющих физическим процессом.

Научная новизна работы.

Показано, что принцип неразличимости частиц и принцип Паули однозначно определяют спиновые состояния фермионов, их спиновые корреля-ции и запутанность их спиновых состояний. Состояния спиновой подсистемы фермионов описываются спиновой матрицей плотности, которая представима в виде суммы неортогональных проекторов на всевозможные многоспиновые синглетные состояния. (Неортогональные разложения единичной матрицы).

На примере четырехфермионной системы показано, что в многочастичных запутанных системах могут быть незапутанные подсистемы: например, 4-х спиновая система максимально запутана, 3-х спиновая подсистема частично запутана, двухфермионная спиновая подсистема не запутана и не может быть в чистом синглетном состоянии. Увеличение числа частиц в многофермионной системе приводит к уменьшению корреляции между спинами любой пары фермионов и эти корреляции полностью отсутствуют при бесконечном числе частиц.

Для многоспинового аналога эксперимента Эйнштейна-Подольского-Розена доказано нарушение неравенства Белла. Это доказывает существование квантовых нелокальных корреляции и запутанность спиновых состояний вылетевшего электрона с остальной частью исходной многоспиновой системы.

Доказано, что образование запутанных систем управляется действием многоспиновых правил отбора, а спиновые матрицы плотности позволяют рассчитывать спинзависимые вероятности процессов объединения подсистем.

Научно-практическая значимость

Знание запутанных спиновых состояний многоэлектронных систем, например, ансамбля электронов в полупроводниках, необходимо для разработки алгоритмов квантового компьютинга, протоколов квантовой криптографии и для создания элементной базы спинтроники, реализующей эти алгоритмы и протоколы. Знание многоспиновых правил отбора, управляющих образованием запутанных квантовых систем, позволит анализировать и находить механизмы управления различными физическими, химическими и биохимическими процессами, в которых участвуют несколько электронов с неспаренными спинами.

Личный вклад соискателя.

Автор участвовал в постановке задач, в получении всех теоретических результатов, самостоятельно проводил все выкладки и обрабатывал результаты, участвовал в апробации работы.

Апробация работы.

Материалы диссертации представлены на следующих международных и российских конференциях: 2nd Annual conference on quantum cryptography "QCRYPT 2012" (Republic of Singapore, 2012); Advanced research workshop "Meso-2012" Mesoscopic and strongly correlated electron systems (Chemogolovka, Russia- 2012); 14 Школа молодых ученых "Актуальные проблемы физики", ФИАН, 2012; International Conference on Quantum Technologies", (Moscow, Russia, 13-17 July 2011); The 12th International symposium on spin and magnetic field effects in chemistry and related phenomena (Нидерланды, Нордвик, 10-15 мая 2011); The Second Russian-Japanese Seminar" Molecular and Biophysical Magnetoscience". Hiroshima Univ.- Orenburg Univ.,( Orenburg, Russia. 2007); Всероссийская научная конференция студентов — радиофизиков. (Санкт-Петербургский университет, 2007.); 6-я Курчатовская молодежная научная школа, секция: фундаментальные исследования, (г. Москва, 17-19 ноября 2008г.); 51-я Научная конференция МФТИ, современные проблемы фундаментальных и прикладных наук, общая и прикладная физика, секция общей и экспериментальной физики, (г. Долгопрудный,2008г.); XVI Международной научной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов - 2009», (г. Москва, 2009г.); 44-ая Школа ПИЯФ РАН по Физике конденсированного состояния, (г. Санкт-Петербург, 2010г.)

Публикации.

Основные результаты работы опубликованы в 4 статьях в научных журналах из перечня ВАК ив 13 тезисах докладов международных и всероссийских конференций.

Объём и структура диссертации.

Диссертация состоит из введения, литературного обзора, трех глав, содержащих оригинальные теоретические результаты, выводов, списка цитируемой литературы. В конце каждой главы, за исключением литературного обзора, приведены основные результаты и выводы. Работа изложена на П_1 страницах и содержит 6 рисунков, 1 график и 5 таблиц.

Содержание работы

Во Введении обоснована актуальность работы, приведена структура диссертации, поставлена цель исследования и сформулированы основные задачи.

В Главе 1 приведен обзор на тему запутанных квантовых состояний и меры запутанности чистых и смешанных квантовых состояний. Также в этой главе рассмотрен обзор работ по запутанности тождественных частиц, а также связи запутанности квантовых состояний многочастичных систем и спиновых правил отбора.

В Главе 2. «Спиновые состояния многоэлектронных систем»

представлены результаты построения спиновых матриц плотности многофермионных систем, содержащей произвольное четное число частиц N. Подробно изучены спиновые состояния четырехэлектронной системы. Определены правила построения и свойства некоторых спиновых подсистем.

Стартовой позицией для описания таких систем является полная волновая функция [Ч' антисимметричная относительно перестановок любых

частиц (принцип Паули). Совокупность электронных спинов неразличимых частиц (фермионов) образуют спиновую подсистему, состояние которой в силу принципа несепарабельности должно описываться спиновой матрицей плотности. Согласно общим правилам такие редуцированные матрицы плотности подсистем находятся взятием частичного следа по «лишним переменным» полной матрицы плотности

(1)

Известно, что любая антисимметричная функция может быть представлена в виде суперпозиции детерминантов Слетера, построенных из одночастичных волновых функций, включающих спиновые переменные отдельных фермионов. Однако в данной работе для простоты будем считать, что для описания полной системы достаточно однодетерминантной функции Слетера. Для системы N фермионов со спином .5 =1/2, характеризуемых

набором n12 волновых функций <у¡(г,э),<//2(г,.<;),...уу;1(г,л) детерминант Слетера имеет вид:

где <//:¡(г, 5) = р,С)- описывает пространственную часть волновой

функции, а спиновую часть полной волновой функции). Спиновая

матрица плотности является редуцированной матрицей плотности, которая получается взятием следа по всем неспиновым переменным исходной матрицы плотности р = полной системы.

р"=)(Ч )=1(ф* Х^,-*, К ^) (3)

*

где векторы (Ф41 - представляют собой прямые произведения пространственных волновых функции <р{г) со всеми возможными размещениями фермионов. При вычислении следа в формуле (3) используется условие ортогональности пространственных одночастичных волновых функций.

После расчета детерминанта Слетера методом Лапласа и взятия следа по «пространственным» переменным спиновая матрица может быть представлена в «унифицированном» виде как сумма неортогональных проекторов на многоспиновые синглетные состояния и для системы ТУ фермионов имеет вид:

В выражении (4) сумма берется по всем возможным размещениям n час-тиц по n/2 синглетным спиновым состояниям. Оператор р - это оператор перестановок по всем парным синглетным состояниям. Количество таких слагаемых

2"л'2Лг!/(Л'/2)!

в точности равно количеству всевозможных румеровских спариваний фермионов. Полученное выражение (4) и представляет собой искомую спиновую матрицу плотности многофермионной системы. Оно не зависит от конкретного вида пространственных одноэлектронных волновых функций <р,(>'/). Спиновая матрица плотности рл' однозначно определяется принципом неразличимости квантовых частиц и принципом Паули.

В следующем разделе подробно проанализирована четырехспиновая подситема, которая после всех выкладок предыдущего параграфа может представлена в виде

р' (5)

Здесь оператор матрицы плотности/?5 представлен в виде суммы трех операторов проектирования на парные синглетные спиновые состояния . Полученное выражение (2) и представляет собой искомую спиновую матрицу плотности четырехэлектронной (четырехфермионной) системы. Оно не зависит от конкретного вида пространственных одноэлектронных волновых функций Вывод матрицы плотности (2) доказывает, что спиновая матрица плотности />5 однозначно определяется принципом неразличимости квантовых частиц и принципом Паули.

Вид оператора матрицы плотности /з'5 делает очевидной ее симметрию относительно любых перестановок. Перестановки спинов внутри одного синглета изменяют знак вектора спинового состояния = а,р) -/9,ау), но не изменяют знак тензорного произведения этих векторов. Перестановки спинов между разными синглетам сводятся к простой перестановке операторов проектирования. Таким образом, показано, что из антисимметричной волновой функции Ч' получена симметричная матрица плотности рБ. Поскольку все парные синглетные состояния инвариантны относительно вращений, то и матрица плотности рБ инвариантна относительно этих преобразований.

Приведение матрицы плотности (2) к диагональному виду показывает, что описывает некогерентную суперпозицию двух четырехспиновых синглетных состояний и определяет физические свойства рассматриваемой системы, которые приведены в диссертации

В разделе 2.4 показано, что полученное выражение для четырехспиновой матрицы плотности системы электронов с заполненными электронными оболочками позволяет изучать спиновые состояния частиц внутри ансамбля и получать выражения для спиновых матриц, описывающие электронные системы с незаполненными оболочками. Физически такие системы можно получить, исключив «лишний» спин, принадлежащий удаляемому электрону.

Удалению «лишнего» спина соответствует редукция спиновой матрицы плотности по переменным удаляемой частицы. Поскольку изначально все частицы эквивалентны, то «удалять» можно любую из них, это не изменит конечный результат. Здесь для простоты и удобства будем считать, что удаляется четвертый спин. Поэтому и редукцию спиновой матрицы плотности проведем по его спиновым переменным. В результате получаем

Эта матрица плотности р^з представляет собой сумму произведений матриц плотности парных синглетных состояний на матрицу плотности

неполяризованного неспаренного спина |а)(а| + |/?)(/?|, причем неспаренным может быть любой из спинов системы 1, 2 или 3. Таким образом, редукция спиновой матрицы плотности по спиновым переменным удаляемой частицы сохраняет неразличимость оставшихся частиц.

Двухспиновая матрица р/2 плотности имеет вид

(6)

(7)

где | - векторы триплетных состояний оставшихся первого и второго

электронных спинов

Из (7) следует, что спиновое состояние любой электронной пары в четырехэлектронной диамагнитной системе является некогерентной суперпозицией синглетных и триплетных состояний. Это означает, что принцип Паули не допускает существования внутри ансамбля фермионов пар частиц в чистом синглетном состоянии. Их состояния всегда является смесью синглетных и триплетных состояний.

В Главе 3 «Запутанность спиновых состояний многоэлектронных систем» доказана запутанность спиновых состояний многоэлектронной системы, состоящей из четного числа частиц со спином Б = '/г, заполняющих нижние N/2 состояния. Подробно исследована запутанность четырехспиповой системы. Проанализированы аналоги гипотетических экспериментов •Эйнштейна-Подольского-Розена. Установлено нарушение неравенств Белла, доказывающее нелокальные корреляции и запутанность спиновых состоянии.

Многофермионная спиновая система, которая описывается оператором спиновой матрицы плотности (4), может быть разделена на две подсистемы произвольной размерности. Примерами физической реализацией такого разделения могут быть самопроизвольный распад типа радиоактивного распада атомных ядер или распад, инициируемый внешним воздействием, например, фотоионизация, в результате которой вылетают один или несколько электронов. Поэтому возникает вопрос, существует ли запутанность этих подсистем? Например, существует ли в полупроводниках запутанность между спиновыми состояниями валентных электронов и спиновыми состояниями электронов проводимости, возникших в результате межзонных переходов? Существует ли запутанность спиновых состояний этих электронов в зоне проводимости, обусловленная их общим происхождением из ансамбля электронов валентной зоны?

Для доказательства запутанности таких больших произвольных систем неприменимы критерии, подобные критерию Переса-Городецкого, требующих нахождения собственных значений частично транспонированных матриц рт.

Очевидно, что критерий Переса-Городецкого трудно применить в общем виде для матриц больших размерностей, для которых невозможны вычисления собственных значений в аналитическом виде, например, для спиновых состояний многофермионных систем, описываемых матрицами плотности (4). Однако появление отрицательных собственных значений эквивалентно выходу матрицы рг* из класса положительно определенных матриц. Следовательно, для доказательства существования запуганности между подсистемами достаточно доказать нарушение положительной определенности этой матрицы, например, с помощью критерия Сильвестра. Согласно этому критерию, для того чтобы матрица А = {«„} была положительно определенной (все >4 > 0), необходимо и достаточно, чтобы все ее миноры были положительными. В простейшем случае главных миноров второго порядка это требование сводится к простому соотношению диагональных и недиагональных элементов |<тгц«у, | < (лйя,г) • В

диссертации доказано, что частичное транспонирование матриц плотности (4), представленных в простом мультипликативном базисе произвольных подсистем А и В, не изменяет диагональные элементы р1 = р„, но приводит к появлению в матрице рт недиагональных элементов р*. * 0, которым соответствуют нулевые диагональные р1 = р„ = 0. Следовательно,

м = р1р1 - р\р\ = -к i" < 0.

а частично транспонированная матрица рт не является положительно определенной и имеет отрицательные собственные значения X, < 0. Этот результат вместе с критерием Переса-Городецкого доказывает запутанность спиновых состояний неразличимых электронов, описываемых матрицами плотности (4). В виду произвольности разбиения системы на подсистемы А и В

любые подсистемы окажутся запутанными, что и доказывает запутанность исходной системы.

Критерий Переса-Городецкого очень удобен при анализе конкретных простых систем. Например, для четырехспиновой системы, описываемой спиновой матрицы плотности (5) и представленной как объединение двух одинаковых двухфермионных подсистем, частично транспонированная матрица плотности рт' имеет отрицательные собственные значения Я., = (1/2, 1/6, 1/6, 1/6, 1/6, 1/6, 1/6, -1/6, -1/6, -1/6). Если в качестве меры запутанности в соответствии с другими работами принять удвоенную сумму отрицательных собственных значений, то получим

£ = -2£(Л,) = -2(-1/6-1/6-1/6) = 1 . (8)

Этот результат означает, что в рассматриваемой четырехспиновой системе между двухспиновыми подсистемами существует максимальная запутанность, такая же, которая существует между двумя спинами, находящимися в суммарном синглетном состоянии.

Методом редукции // по лишним переменным получены матрицы плотности 3-х и 2-х спиновых подсистем. Используя меру запутанности (8) показано, что 3-х спиновая система частично запутана, 2-х спиновая - не запутана и описывает некогерентную суперпозицию синглетных и триплетных состояний.

Физические свойства многоспиновых состояний неразличимых фермионов, например электронов, описываемые матрицей плотности рм, позволяют предсказывать результаты экспериментов (по крайней мере, гипотетических), представляющих интерес, как для общей теории запутанности, так и для квантовой информатики. Примером такого является мысленный эксперимент Эйнштейна, Подольского и Розена (ЭПР-эксперимент). Анализ экспериментов подобного рода часто использовался для анализа фундаментальных проблем квантовой механики, например, для проверки выполнения неравенств Белла.

В общем виде для систем, в которых отсутствуют нелокальные корреляции физических величин (), Я, 5 и Т, неравенство Белла выглядит следующим образом

(05) + (Щ + (ят) - (07) < 2 (9)

где (05) - среднее значение произведения нормированных величин <3 и 5. Нарушение неравенства Белла при некоторых параметрах системы будет означать наличие в системе нелокальных корреляций, свидетельствующих о наличии запутанных состояний.

В диссертации рассмотрена следующая ситуация. Из ансамбля N фермионов выбивается одна из неразличимых частиц так быстро, что ее спин не успевает измениться и это спиновое состояние анализируется наблюдателем с помощью двух приборов <2 \\ Я (например, ячейками Мотта). Спиновое состояние оставшейся составной частицы, содержащей ЛЧ фермионов, детектируется другим наблюдателем с помощью аналогичных приборов Я и Т.

Измеряемыми величинами в приборах (? и Я считаются удвоенные проекции спина одного фермиона, операторы которых

й = а '1 , я = а 'х,

где о-^, сг^ есть проекции спина частицы А на оси X и X.

Аналогично второй наблюдатель с помощью анализаторов 5 и Т измеряет удвоенные проекции спина составной частицы на направления, повернутые относительно осей Ъ и X,

где

V

удвоенные проекции спина составной частицы на оси Ъ и X.

Подставив набор наблюдаемых величин в левую часть неравенства Белла (9), получим

±тг&*>гуу±тг&а>ху

(10)

= 2

Очевидно, что для расчета двухчастичных корреляторов для всех пар эквивалентных фермионов вместо полной матрицы плотности ры достаточно двухчастичной матрицы плотности />'', описывающей коллективное спиновое состояние первого и любого другого ¡'-го фермиона

„■' = 4-

,(^ + 2),

(V-1)1'

Подставляя ри в выражение (10), окончательно получим

(Н)

±Тг&<т'гу уъг&а'ху 1=272 > 2 (12)

<05) + (/«•) + (11Т) - (£>Т) = 2"2

Сравнение результата расчета (12) с неравенством Белла (9) доказывает его нарушение. Видно, что неравенство Белла нарушается максимально, так же как и для запутанного двухчастичного синглетного спинового состояния. Очевидно, что результат (12) не зависит от количества фермионов N > 2 в изначальной системе. Этот строгий математический результат подтверждает, что распад сложной синглетной частицы на два фрагмента со спинами 8 = 1/2 аналогичен распаду двухэлектронной системы, находящейся в запутанном синглетном состоянии.

Рассмотрим теперь случай двухэлектронной ионизации, при которой происходит выбивание двух электронов из многоэлектронного атома или одновременный перевод двух электронов из валентной зоны в зону

проводимости в полупроводнике. В этом случае измеряемыми спиновыми величинами будут

Подставляя эти операторы и двухспиновую матрицу плотности р12 в левую часть выражения (12), окончательно получим

(05) + (И) + (ит) - (вт) = 2-|7у у > тг^ху < * ■ (13)

Очевидно, что для любых ансамблей фермионов (электронов) с N > 2 выполняются неравенства Белла (9), что подтверждает отсутствие запутанности в двухфермионных подсистемах.

В Главе 4 «Многоспиновые запреты и правила отбора в физико-химических процессах» рассмотрены спинзависимые эффекты в процессах образования супероксид-иона Оз~ и многоспиновые эффекты восстангвления молекулярного кислорода. Проанализировано влияние геометрической фазы Берри на многоспиновые процессы.

Из основного определения запутанных состояний

Следует, что если система запутана, то она не может быть представлена как простое объединение подсистем. Это означает, что для ее образования необходимо действие "правила отбора", выделяющие запутанные состояния объединенной системы из исходных незапутанных. Примером таких правил отбора являются "спиновые правила отбора", управляющие образованием диамагнитных молекул (частиц в синглетных запутанных спиновых состояниях) из свободных радикалов (частиц с некоррелированными электронными спинами), аннигиляция триплетных экситонов в молекулярных кристаллах и другие спинзависимые процессы.

Примером использования многоспиновых матриц плотности является анализ образования супероксида аниона 02~. Ранее спиновые эффекты в этой реакции описаны в работе П. Хора с сотр. Этот радикал является активной формой кислорода, образующейся при присоединении одного неспаренного электрона к триплетной молекуле кислорода.

02+<Г->О; (14)

Высокая химическая активность ог делает его опасным для любых биомолекул. Поэтому важно знать вероятность образования супероксида аниона из триплетного кислорода и влияние спиновых эффектов на его образование.

Как правило, в элементарных актах химических реакций спин электронов не успевает изменяться. Следовательно, суммарный спин исходных реагентов должен быть равен суммарному спину конечных продуктов. Поэтому анализ реакции требует учета спинов всех электронов. Начальное спиновое состояние кислорода - трип летное (полный спин Б = 1), а спиновое состояние электрона -дублетное (Б = 1/2). Так как супероксид есть спиновая система, состоящая из 3 неразличимых электронов, то её следует изучать методами спиновой матрицы плотности Начальное состояние системы 02 + <Г описывается прямым произведением спиновых матриц плотности триплетного кислорода

Л^^ХтсН^ХЯМ^Х^С и неполяризованного электрона

В конечном продукте реакции 02~ нужно учитывать строгую корреляцию всех трех спинов. Состояние трех спинов 8 =1/2, согласно правилам сложений моментов, может быть либо квинтетным, либо дублетным, причем для 3-х спиновой системы допустимы два дублетных состояния. Однако супероксид 02~

- система 3-х неразличимых электронов - является дублетной частицей, которая описывается матрицей плотности

Аэ + (16)

где Л =

Поэтому спиновая вероятность ЩО;) образования о; из некоррелированных частиц описывается проекцией матрицы плотности (15) на пространство допустимых состоянии О," с помощью оператора проектирования ру2. Из формулы (6) следует, что матрица плотности спиновой системы может быть представлена как нормированная сумма ортогональных проекторов на подпространство Q допустимых спиновых состоянии. С точностью до множителя эта матрица пропорциональна оператору проектирования Р на требуемое подпространство. Это позволяет без дополнительных вычислений представить оператор проектирования как Ря = Nр0, где N - размерность подпространства. Для трехспиновой системы

Риг = 4Лв (17)

Следовательно

1Г = Гг(^:А,/^) = ^Гг[(А:з);Л,] (18)

В результате получаем, что що;) = 1/2.

Следовательно, только половина встреч е'+О, приводят к образованию супероксид аниона о,'. Здесь в первом приближении не рассмотрена динамика процесса, спиновая эволюция и процессы спиновой релаксации.

Аналогичный подход применим к анализу других многоэлектронных процессов, например, для анализа восстановления О, цитохромом-с-оксидазой, где требуется перенос 4-х электронов и, следовательно, 4 электронных спинов на парамагнитный триплетный кислород с образованием двух диамагнитных молекул, суммарный спин которых равен нулю. Анализ спиновых запретов и запутанностей

19

электронных спинов в исходных частицах и конечных продуктах показал, что спиновая вероятность этого многоэлектронного процесса =1/16. Эти два примера показали значение многоспиновых корреляций и запутанностей спиновых систем для анализа важных физико-химических процессов.

Поскольку для запутанных систем матрица рт может иметь отрицательные собственные значения, она не является матрицей плотности реальной физической системы, для которой р всегда положительно определенная матрица. Следовательно, не существует физически реализуемых экспериментальных методов, соответствующих операции частичного транспонирования, и физически значимых операторов эволюции, описывающих такое преобразование. Поэтому существует проблема, возможно ли экспериментальное тестирование запутанных систем, в частности, спиновых систем неразличимых электронов? В диссертационной работе анализируется возможные проявления эффектов геометрической фазы Берри в экспериментах с подсистемами запутанных и незапутанных спиновых систем. В работах М. Берри и его продолжателей было показано, что фаза волновой функции зависит не только от времени, но и от траектории эволюции системы в пространстве параметров, и эта фаза появляется даже при эволюции системы по замкнутой траектории. Для спина Б = Уг такой классической траекторией является движение спина от полюса по сфере Пуанкаре вдоль меридиана, на угол я/2, затем вдоль экватора на такой же угол и потом обратно к исходному положению. С позиций классической физики такое поведение вектора не способно изменить состояние системы, однако, в квантовомеханической теории такая эволюция приводит к появлению фазового множителя у вектора состояния, однако не изменяет матрицу плотности изолированной спиновой системы. В диссертации на примере запутанной четырехспиновой системы показано, что такая эволюция любого из неразличимых неполяризованных спинов изменяет спиновое состояние полной системы, а вылетевшему электрону не позволит вернуться в исходную систему из-за действия правил отбора, управляющих образованием запутанных систем.

Основные результаты и выводы

1. Доказано, что принцип неразличимости частиц и принцип Паули однозначно определяют спиновые состояния фермионов, их спиновые корреляции и запутанность их спиновых состояний. Состояния спиновой подсистемы фермионов однозначно описываются спиновой матрицей плотности, которая представима в виде суммы неортогональных проекторов на всевозможные многоспиновые синглетные состояния.

2. Доказано, что в многочастичных запутанных системах могут быть незапутанные подсистемы: 4-х спиновая система максимально запутана, 3-х спиновая подсистема частично запутана, двухфермионная спиновая подсистема не запутана. Показано, что двухчастичная подсистема многофермионной системы не может быть в чистом синглетном состоянии.

3. Доказано, что матрица плотности р описывает запутанные состояния, если для частично транспонированной матрицы рт нарушается условие неотрицательности и оказывается, что для некоторых элементов> р1г>[, то есть нарушается критерий Сильвестра (требование неотрицательности главных миноров матрицы рт"). Увеличение числа частиц в многофермионной системе приводит к уменьшению корреляции между спинами любой пары фермионов и эти корреляции полностью отсутствуют при бесконечном числе частиц.

4. Для многоспинового аналога эксперимента Эйнштейна-Подольского-Розена доказано нарушение неравенства Белла. Это доказывает существование квантовых нелокальных корреляции и запутанность спиновых состояний вылетевшего электрона с остальной частью исходной многоспиновой системы.

5. С точностью до постоянного множителя полученные спиновые матрицы плотности могут описывать правила проектирования на допустимые спиновые состояния четырех- и трехэлектронных систем. Эти правила проектирования выражают собой формулировки многоспиновых правила отбора и спиновых запретов, действующих в реакциях с участием нескольких электронов.

Основное содержание диссертации опубликовано в следующих работах: Статьи в научных журналах из перечня ВАК:

1. Арифуллин М. Р., Берлинский В. Л. Запутанность спиновых состояний четырехфермионной системы // Труды МФТИ. - 2013. - Т.5. - № 4.

2. Арифуллин М. Р., Берлинский В. Л. Квантовая запутанность спиновых состояний неразличимых фермионов // Вестник ОГУ. - 2013. - Т.155. - № 6.

3. Арифуллин М. Р., Берлинский В. Л. Нелокальные корреляции многоспиновых состоянии неразличимых фермионов // Вестник ОГУ. -2013.-Т.155.-№9.

4. Арифуллин М. Р., Берлинский В. Л. Спиновые состояния мультиэлектронных систем и действие мультиспиновых запретов // Журнал физической химии. - 2013. - Т.87. - № 7. - С. 1208-1212.

Статьи и тезисы докладов:

5. Arifullin M.R., Berdinskiy V.L. Spin entanglement and nonlocality of multifermion systems // arXiv: 1310.2863

6. Arifullin M.R., Berdinskiy V.L Spin Entanglement and Non-locality of Multifermion Systems. Nontransitivity of Spin Entanglement // 2nd Annual conference on quantum cryptography "QCRYPT 2012" . - Republic of Singapore -2012. - P. 68

7. Arifullin M.R., Berdinskiy V.L. Spin entanglement and nonlocality of multifermion systems // The 9th Nano Bio Chemistry Symposium and The 6th Japanese-Russian Seminar. 2012. - P. 02

8. Arifullin M.R., Berdinskiy V.L. Spin entanglement and nonlocality of multifermion systems // Advanced research workshop "Meso-2012" Mesoscopic and strongly correlated electron systems. - Chernogolovka, Russia. - 2012. - P.38

9. Арифуллин M. P., Берлинский В. Л.Спиновые корреляции в многофермионной системе // Сборник трудов 14-й Школы молодых ученых "Актуальные проблемы физики", ФИАН, 2012. - С. 51-52

10. Arifullin M.R. Multispin entanglement in fermion systems // International

conference on quantum technologies, Moscow, 2011. - P. 51 22

11. Arifullin M.R., Berdinskiy V.L. Multispin states and entanglement in enzymatic and biological processes // The 12th International Symposium on Spin and Magnetic Field Effects in Chemistry and Related Phenomena "Spin Chemistry Meeting 20II", Noordwijk, Netherlands, 2011. — P. 84

12. Арифуллин M. P. Спиновые корреляции запутанных состояний многофермионных систем // Труды 53 научной конференции МФТИ "Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук". Часть 2. Общая и прикладная физика.- М.: МФТИ, 2010.- С. 162

13. Arifullin M.R., Berdinskiy V.L. Spin Correlations and Entanglement in Multifermions Systems // The 5 Russian-Japanese Seminar "Molecular and Biophysical Magnetoscience (SMBM): Proceedings. - Orenburg, Russian Federation, 2010.-P. 77

14. Арифуллин M. P. Запутанные многоспиновые состояния электронов // 44-я Зимняя школа по физике конденсированных сред, Петербургский институт ядерной физики, г. Гатчина, Россия, 2009. — С. 35

15. Арифуллин М. Р. Квантовая запутанность в многоспиновой системе // 15-я Междунар. конф. студентов, аспирантов и молодых ученых "Ломоносов-2009", Москва, 2009. — С.6-7

16. Арифуллин М. Р. Квантовая запутанность в многофермионной системе // 51-я Научная конференция МФТИ, современные проблемы фундаментальных и прикладных наук, общая и прикладная физика, секция общей и экспериментальной физики, г. Долгопрудный, 2008. - С.88

17. Арифуллин М. Р. Паулиевская запутанность формирования фермионов спиновых кубитов // 6-я Курчатовская молодежная научная школа, секция: фундаментальные исследования, г. Москва, 2008. - С. 23

Заказ № 3747.

Тираж 100 экз. Усл. печ. л. 1,4. Подписано в печать 18.09.2014 г.

ЛР № 063109 от 04.02.1999 г. Отпечатано в ООО «Агентство «Пресса»

ИНН/КПП 5610056518/561001001 460015, г. Оренбург, ул. Пролетарская, 15 тел. 297-699, e-mail: presa1999®mail.rj