Квантовомеханическая запутанность систем взаимодействующих ядерных спинов во внешнем магнитном поле тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.17 ВАК РФ

На правах рукописи

Пырков Алексей Николаевич

003462565

КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКАЯ ЗАПУТАННОСТЬ СИСТЕМ ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ ЯДЕРНЫХ СПИНОВ ВО ВНЕШНЕМ МАГНИТНОМ ПОЛЕ

01.04.17 - химическая физика, в том числе физика горения и взрыва

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

2: о:з 2.:э

Черноголовка 2009

003462565

Работа выполнена в Институте проблем химической физики РАН.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук

Фельдман Эдуард Беньяминович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Ацаркин Вадим Александрович Институт радиотехники и электроники им. В.А. Котельникова РАН

доктор физико-математических наук, профессор Молотков Сергей Николаевич Институт физики твердого тела РАН

Ведущая организация: Физико-технологический институт

Российской академии наук

Защита состоится « Ж » НАрГА 2009 года в 10 часов 00 мин. на заседании диссертационного совета Д 002.082.01 при Институте проблем химической физики РАН по адресу: 142432, Московская область, г. Черноголовка, пр. H.H. Семенова, д. 1, Институт проблем химической физики РАН, корпус 1/2.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института проблем химической физики РАН.

Автореферат разослан «ж» февраля 2009 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

кандидат физ.-мат. наук Безручко Г.С.

О Пырков А.Н. 2009 © Институт проблем химической физики РАН 2009

Общая характеристика работы

Актуальность работы. Запутанные состояния являются основным ресурсом для квантовых вычислений и квантовой теории информации [1]. Перспективы, открываемые возможностями квантовых вычислений и квантовой теорией информации, для решения сложных вычислительных задач, передачи данных и криптографии, привели к крупномасштабным экспериментальным и теоретическим исследованиям запутанности. В настоящее время из-за того, что теория запутанных состояний базируется на фундаментальных идеях квантовой механики, их исследование охватывает почти все области современной физики: атомную физику, квантовую оптику, химическую физику, спектроскопию ядерного и электронного магнитного резонанса, физику сверхпроводников и др.

Наиболее эффективными для экспериментальной реализации квантовых вычислений оказались методы ЯМР из-за хорошо развитых методов управления и контроля с помощью резонансных импульсов ВЧ поля, а также благодаря хорошей изоляции спиновых степеней свободы от других, что приводит к большим временам декогерснизации. Именно на основе ЯМР в жидкости был построен первый семикубитный квантовый компьютер, реализовавший на практике основные квантовые алгоритмы. Однако квантовые вычисления, реализованные методами ЯМР в жидкости, оперируют с псевдочистыми состояниями, которые в условиях проводимых жидкофазных экспериментов ЯМР (системы с небольшим числом спинов при комнатной температуре) являются незапутанными [2]. Отсутствие запутанности в таких экспериментах вызывает сомнение в возможностях этого метода для реализации преимуществ квантовых компьютеров по сравнению с классическими. К тому же оказалось, что на основе жидкофазного ЯМР едва ли можно организовать квантовый компьютер, в котором число кубитов значительно больше 10 [3].

Новые перспективы в развитии экспериментальных методов квантовых вычислений и передаче данных открывает ЯМР твердотельных систем при низких температурах. Важные результаты получены в однородных одномерных моделях [4] (цепочки, кольца), когда гамильтониан многочастнчной системы можно точно диагонализовать. В то же время однородные системы не позволяют решить вопрос адресации кубитов и надежная передача квантовых состояний возможна лишь в коротких цепочках, содержащих не более трех спинов [5]. Ситуация существенно

меняется при использовании неоднородных спиновых систем. В одномерном случае такие системы представляют собой те же цепочки и кольца, в которых, однако, расстояния между ближайшими спинами различны. Большое значение имеет также неоднородное магнитное поле, которое позволяет организовать адресацию кубитов. Одной из простейших неоднородных систем является альтернированная цепочка спинов 1/2, ХУ-гамильтониан которой удалось диагонализовать [6, 7]. Знание спектра ХУ-гамильтониана альтернированной цепочки позволило установить, что в таких цепочках удается точная или с высокой вероятностью передача квантовых состояний с одного конца цепочки на другой для цепочек различной длины [7, 8]. Существенно, что в ряде случаев ХУ-гамнльтониан может быть реализован экспериментально методами многоквантовой (МК) спектроскопии ЯМР [9], и модель цепочки ядерных спинов в = 1/2 с ХУ-гамильтонианом используется для теоретического описания МК ЯМР таких соединений, как гнд-роксиапатит кальция Са5(0Н)(Р04)з и фторапатит кальция Са5Р(Р04)з. Таким образом, исследование запутанности в альтернированной цепочке ядерных спинов является важной и актуальной задачей. Кроме того, хорошо развитая экспериментальная техника ЯМР позволяет надеяться на возможность экспериментального изучения запутанных состояний методами ЯМР.

Цель работы. Целью настоящей работы является исследование запутанных состояний и их свойств в альтернированной открытой цепочке ядерных спинов б=1/2 с ХУ-гамильтонианом, а также развитие методов ЯМР, с помощью которых можно проследить за возникновением и эволюцией запутанных состояний в эксперименте.

Научная новизна. Впервые получены зависимости парной запутанности в альтернированной цепочке ядерных спинов (б=1 /2) с ХУ-гамильтонианом от температуры, положения пары спинов в цепочке, длины цепочки, отношения констант спин-спинового взаимодействия (ССВ). Даны качественные объяснения этих зависимостей. Показан осциллирующий характер запутанности в альтернированной цепочке из-за влияния ее открытых концов. Показано, что альтернированная цепочка при отношении констант спин-спинового взаимодействия больше чем 3, димеризуется, причем запутанными оказываются только ядерные спины с сильным взаимодействием.

Изучен процесс возникновения запутанных состояний при адиабатическом размагничивании (АР) в одномерной н двумерной системах. Показано, что температура возникновения запутанности между любыми подсистемами примерно одинакова и зависит от пространственной размерности. Таким образом, появляется возможность изучения методами ЯМР запутанных состояний в твердотельных системах ядерных спинов s = 1/2.

Предложен метод МК спектроскопии ЯМР, позволяющий связать величину запутанности с экспериментально наблюдаемой интенсивностью многоквантовой когерентности второго порядка. Введен соответствующий свидетель запутанности. Показано, что сепарабельные состояния отделены от запутанных барьером, зависящим от температуры и внешнего магнитного поля.

Практическая ценность. Предложенный в данной работе свидетель запутанности на основе интенсивности МК когерентности второго порядка позволяет исследовать запутанность в конкретных материалах методами многоквантовой спектроскопии ЯМР.

Основные положения, выносимые на защиту. 1) Результаты исследования парной запутанности в альтернированной цепочке ядерных спинов s=l/2 с XY-гамильтонианом в зависимости от температуры, положения пары спинов внутри цепочки, длины цепочки, отношения констант спин-спинового взаимодействия.

2) Результаты исследования запутанности различных подсистем девятиспнно-вой цепочки ц девятнспннового квадратного кластера при адиабатическом размагничивании в зависимости от температуры.

3) Метод экспериментального исследования запутанности в дпмерных системах ядерных спинов s=l/2 на основе свидетеля запутанности в условиях МК эксперимента ЯМР.

Публикации и апробация работы. Основные результаты, представленные в диссертации, доложены на Первой европейской конференции молодых ученых но квантовой информации (Вена, 2007), международной конференции "Новые достижения магнитного резонанса. Завойский - 100" (Казань, 2007), международном симпозиуме "Квантовая информатика - 2007" (Липки, 2007), X международной школе молодых ученых "Actual Problems of Magnetic Resonance and Its

з

Application" (Казань, 2006), 4-ой международной конференции "Quantum Physics and Communication" (Дубна, 2007), а также на научных семинарах и конкурсах научных работ в ИПХФ РАН. По теме диссертации опубликовано 4 статьи в журналах, рекомендованных ВАК Минобрнауки России.

Личный вклад автора в работу состоит в непосредственном участии в постановке задач, проведении аналитических и численных расчетов запутанности в одномерных и двумерных системах ядерных спинов, в разработке методов ЯМР для исследования возникновения запутанности в многоспиновых системах и изучения ее свойств.

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, выводов, благодарностей и списка литературы. Объем диссертации составляет 97 страниц, в том числе 21 рисунок и библиография из 117 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении дана общая характеристика диссертационной работы, обоснована актуальность темы, сформулированы цели работы, описана структура диссертации, показана новизна работы.

Первая глава носит обзорный характер и посвящена сспарабсльным и запутанным состояниям в квантовомеханических системах и роли запутанности в квантовой теории информации и квантовых вычислениях. В этой главе дан краткий обзор существующих мер запутанности, методов экспериментальной регистрации запутанности на основе свидетеля запутанности и результатов исследования запутанности в модельных спиновых системах, рассматриваемых в химической физике и других областях современной физики. Резюмируя рассмотренные литературные данные, можно заключить, что к началу нашей работы (2005 год) исследования запутанности были проведены только в однородных спиновых системах, когда гамильтониан системы можно диагонализовать. Неоднородные спиновые системы более предпочтительны в решении задач квантовой теории информации и квантовых вычислений. В квантовых регистрах на. основе неоднородных спиновых систем возможно организовать адресацию с помощью различных ларморовых частот, и неоднородные системы являются более подходящими для моделирования каналов передачи данных. Кроме того, недостаточно полно были

исследованы возможности экспериментального получения запутанных состояний в системах ядерных спинов, и не существовало методов МК ЯМР для экспериментальной регистрации запутанности в системах ядерных спинов в твердом теле при низких температурах. На основе этого была сформулирована цель настоящей работы.

Во второй главе исследована парная запутанность в одной из простейших неоднородных систем - альтернированной цепочке ядерных спинов 1/2 с XY-гамильтоннаиом. В этой части диссертации мы рассмотрели конечную открытую цепочку спинов 1/2 с XY-гамильтонианом в сильном внешнем магнитном поле. Гамильтониан этой системы может быть представлен в следующем виде: Л' Л'-1

UjJnz ), (1)

11=1 71=1

где I„n - проекция оператора углового момента n-го спина на ось а (а = x,y,z), N - число спинов в цепочке, ларморова частота шп равна при нечетном и и и>2 при четном, константа спин-спинового взаимодействия (ССВ) £>„,„+1 равна D\ при нечетном п и D2 при четном.

Предполагается, что рассматриваемая система находится в условиях термодинамического равновесия с матрицей плотности:

Р=—, (2)

где Р = h/kT, Т - температура системы и Z = Тг{е_,зя} - статистическая сумма. Для исследования парной запутанности мы используем критерий Вуттерса [10], описанный в первой главе диссертации. Согласно этому критерию для количественной оценки запутанности в двухспиновой системе используется мера запутанности, названная согласованностью С, которая определяется как

Cab - max{0,2А - Ai - А2 - A3 - А4}, А = max{Ai, А2, A3, А4}, (3)

где Ai, А2, A3, и А4 - арифметические квадратные корни из собственных чисел произведения матриц РавРав, Рав ~ матрица плотности рассматриваемой двухспиновой системы и

Рав = (сту ® <Гу)р\в{°у ® ау)> (4)

где cry = 21у и "звездочка" обозначает комплексное сопряжение, и матричные представления рав, Рав рассматриваются в стандартном базисе {|00), |01), |10), |11)}.

В этой работе мы разработали метод получения редуцированной матрицы плотности из исходной матрицы плотности общей системы. Согласно этому методу, редуцированная матрица плотности пары спинов г и ] определяется как:

з

р[Ц) - Тг{11...Л}_{/,л р = £ 41

(5)

(6)

где (к = 1,2,..., Д^) принимает одно из значений {0,1,2,3}, ж" = 1к - единичная матрица размерности 2 х 2, = /ь, = 1ку> Х1 = Ь: Цпа ~ проекция оператора углового момента п-го спина на ось а (а = х, у, г)) и а^' - численный коэффициент, который определяется как

и зависит от коэффициентов матрицы плотности всей цепочки.

Редуцированная матрица плотности двухспиновой системы, находящейся в окружении остальных спинов цепочки, полностью определяет поведение запутанности этой пары спинов в зависимости от внутренних параметров цепочки, температуры и магнитного поля. Точные выражения для однофер-РП,/2 мионных энергий и собственных векто-

Рис. 1. Зависимость согласованности сшшов 2 и ров гамильтониана (1), найденные в ра-3 от температуры в цепочке, состоящей из Л'= ботах [0, 7], позволяют получить мат-

101 спинов, и О-г/О^ = 2.5. На вставке показана

зависимость согласованности от температуры в большем масштабе.

ричные элементы редуцированной мат-

рицы плотности (5), как функции температуры, длины цепочки, положения спинов и отношения констант ССВ. Мы аналитически получили коэффициенты редуцированной матрицы плотности пары соседних спинов в альтерниро-

ванной цепочке, состоящей из нечетного числа спинов. Отличия в поведении запутанности для цепочки, состоящей из четного числа сшшов, рассмотрены на примере однородной модели. При исследовании запутанности удаленных спинов г

\\], когда "расстояние" между спинами г = — г| больше единицы, возникают тензорные произведения фермпонных операторов до 2г-го порядка включительно и аналитическое исследование запутанности при г > 1 вряд ли возможно. На основе аналитически полученных формул исследована запутанность ближайших соседей в открытых альтернированных цепочках спинов й = 1/2 с ХУ-гамильтонианом при нулевых ларморовых частотах в зависимости от термодинамических параметров и характеристик цепочки.

На Рис. 1 показана зависимость согласованности второго и третьего спинов от температуры. Запутанность возникает при /31)] и 1, т.е. при Т ~ 0.5 мкК, когда « 27т • 104 с-1. Температура, при которой появляется запутанность в парах ближайших спинов, зависит от отношения констант ССВ, длины цепочки и удаленности спиновой пары от концов цепочки. Отметим, что именно при микрокельвиновых температурах в монокристалле СаРг, когда ядерные спины связаны диполь-дипольным взаимодействием, наблюдались упорядоченные состояния ядерных спинов [11].

Численные расчеты (Рис. 2) показывают, что согласованность, количественно характеризующая парную запутанность, осциллирует. Качественное объяснение этих осцилляций состоит в следующем. Спины 1 и N находятся на концах цепочки и являются выделенными. Поскольку ненулевой запутанностью обладают только ближайшие соседи, пара спинов 1 и 2 и пара спинов N-1 и N имеют максимальную запутанность в однородной цепочке. Спин 2 может быть запутан как со спином 1, так и со спином 3. Увеличение запутанности между двумя спинами приводит к уменьшению запутанности между каждым из этих спинов и любым другим спином цепочки. Поскольку спин 2 сильно запутан со спином 1, запутан-

Рис. 2. Согласованность ближайших соседей в зависимости от положения внутри цепочки для однородной цепочки (£>1 = В2), состоящей из 100 спинов (N=100). Согласованность осциллирует, н эти осцилляции затухают при удалешш пары спинов от концов цепочки.

ность спинов 2 и 3 слабее. В результате спин 3 сильно запутан со спином 4 и т.д.

Осцилляции затухают, когда спиновая пара удаляется от концов цепочки.

Зависимость согласованности от положения пары спинов в цепочке при различных значениях отношения констант ССВ показана на Рис. 3. Осцилляции согласованности ие затухают при удалении пары от концов альтернированной цепочки (Рис. 3). Осцилляции согласованности, при которых она изменяется от нуля почти до единицы, происходят из-за различия констант ССВ в альтернированной цепочке. Зависимость согласованности от отношения констант ССВ представлена на Рис. 4. С ростом отношения D2/D1 согласованность пары егшнов с меньшей константой ССВ убывает, а согласованность пары спинов с большей константой ССВ возрастает. Фактически получается димеризованная спиновая цепочка (Рис. Зс), которая качественно может рассматриваться, как система невзаимодействующих спиновых пар при DiJD\ > 3.

Рис. 3. Зависимость согласованности от поло- Зависимость согласованности С12

жения пары егшнов г, г + 1 внутри цепочки при , п

спинов 1 и 2 от температуры для од-

N = 17, /Ш1/2 = 30 для различных значений

r^n ! \ г, / п 1 in нородных цепочек разной длины да-отпошения констант ССВ. (a) L>2/A = 1; (Ь) 1 " ^ 1 " м

D2/D1 = 1.25; (с) D2/D1 = 3. на на Рис. 5. Для небольших цепо-

чек (небольших N) согласованность Сп возрастает при увеличении длины цепочки, когда N остается нечетным, и убывает

при четных N. Простой анализ показывает, что это различие обусловлено влиянием удаленного конца цепочки на согласованность С12. Учитывая влияние удаленного конца цепочки, можно показать, что он уменьшает запутанность между первым и вторым спином для цепочек с нечетным числом спинов и увеличивает запутанность между первым и вторым сгшном в цепочках из четного числа спинов. При увеличении N влияние удаленного конца цепочки уменьшается, что ведет к увеличению запутанности между первым и вторым спином при увеличении длины цепочки, состоящей из нечетного числа спинов и уменьшению Си при увеличении длины цепочки состоящей из четного числа спинов. Для согласованности С23 спинов 2 и 3 наблюдается обратная ситуация (Рис. 5), которая также объясняется влиянием удаленного конца цепочки. При переходе к альтернированной цепочке при увеличении отношения констант ССВ D2JD1 влияние эффекта димернзации цепочки доминирует по сравнению с влиянием удаленного конца цепочки, и поведение парной запутанности соседних спинов не зависит от четности (нечетности) числа спинов в цепочке при DijD\ > 3.

В третьей главе изучена запутанность систем ядерных спинов при адиабатическом размагничивании (АР), и показано, что этот метод может быть использован для получения запутанных состояний в системах ядерных спинов s = 1/2.

Из предыдущей части работы ясно, что запутанные состояния систем ядерных спинов в условии термодинамического равновесия возникают в области микрокельвиновых температур. Одним из экспериментальных способов достижения таких температур является АР. В этой главе на основе выполненных численных расчетов для девятиспино-вой цепочки и девятиспинового плоского спинового кластера изучена запутанность между различными подсистемами этих систем в условиях АР. При этом использован критерий Вуттерса [10] для исследования двухспиновой запу-

Рис. 4. Зависимость согласованности! пар спинов 1, 2 и 2, 3 от отношения констант ССВ для цепочки из N = 55 спинов и 2 = 30.

0.8

0.6

f кйзшешэоешшшк

I D,/D,=1 — 3 спина

— 7 спинов

6 спинов

О 100 СПИНОВ )

+ 105 спинов |

10 15 20

pD,/2

(a)

25

30

10 15

PD,/2

(b)

Рис. 5. Зависимости согласованности (а) пары сшшов 1 и 2; и (Ь) пары спинов 2 н 3 от температуры в однородной цепочке (Di = D2) при N = 3,4,6,7,100,105. Поведение согласованности С]2 разное для цепочек с четным и нечетным числом сшшов.

танности и РРТ критерий [12] для подсистем, состоящих из большего числа спинов. Мы показали, что запутанность различных подсистем цепочки возникает при приблизительно одной и той же температуре (микрокельвиповая область) для подсистем любого размера. Аналогичный результат верен и для плоского кластера. Таким образом, существование двухспиновой запутанности может служить индикатором возникновения и двухсоставной запутанности.

Мы рассмотрели систему из N дипольно связанных ядерных спинов s = 1/2, взаимодействующих с сильным внешним магнитным полем. Система облучается частотно-модулированным ВЧ полем w(t), которое перпендикулярно к внешнему постоянному магнитному полю. Гамильтониан этой системы Я в лабораторной системе координат (ЛСК) может быть записан в виде [13]:

Нщ, = и*,J, + Hdz + 2wjx cos Qf w(t')dt'^ , (7)

где Wo - ларморова частота, w\ - амплитуда ВЧ поля (в частотных единицах), 1па - проекция оператора углового момента n-го спина (п = 1,2.. .N) на ось а (а = x,y,z), /„ = и Нd: ~ секулярная часть диполь-дипольного

гамильтониана [13], которая может быть записана как

Hdz = ^ — U Ij),

*<з

где Dij - константы ДДВ спинов г и j, (/; Ij = IiXIjX + Uyljy + hJjz)

10

Спиновая динамика этой системы определяется матрицей плотности p(t). Эволюция матрицы плотности p(t) во времени определяется уравнением Лиувилля (ft= 1) [13]

i^ = [Hlab,p(t)]. (9)

Преобразуя матрицу плотности p(t) с помощью унитарного преобразования

p(t) = e-ih^(.ndt'p*^eu.J'wif)dt!t (lfl)

получим эволюционное уравнение для матрицы плотности p*(t)

г^- = [(зд - w(t))L + Hdz + wj,,p\t)}. (11)

В уравнении (11) мы пренебрегли несущественными членами, осциллирующими с двойной ларморовои частотой. Согласно (11) гамильтониан Н системы во "вращающейся" системе координат (ВСК) может быть записан как

H = A(t)It + Hdz + wlIx, (12)

где A(t) = Wo—w(t) - резонансная расстройка ларморовой частоты от частоты ВЧ поля. В процессе АРВСК резонансная расстройка A(t) адиабатически медленно изменяется [13]. При этом выполняется условие адиабатического прохождения [131:

1^1« 1. (13)

7ГШ{

Условие (13) означает, что расстройка Д(4) изменяется столь медленно, что система в каждый момент времени успевает подстроиться под квазиравновесное состояние с соответствующим значением Д(t). Следовательно, можно считать, что в каждый момент времени система находится в термодинамически квазиравновесном состоянии, и матрица плотности pcq(t) системы имеет вид

Peq(t) = erW/Z, (14)

где (3 пропорциональна обратной температуре (/3 = Н/кТ) и Z - статистическая сумма. Энтропия S системы может быть записана как [13]

S = -fcTr{ptY^)ln[pf.9(i)]}. (15)

и

Эксперимент по АРВСК начинается с расстройки Д где Щос = "

локальное дипольное поле, и расстройка изменяется во времени по линейному закону

Д = До - at, (16)

где До и а - численные коэффициенты. Из адиабатического условия S = const, можно получить обратную температуру /3(t) в процессе АРВСК, если известна в каждый момент времени расстройка Д(<). При этом, так как энтропия сохраняется, размагничивание приводит к уменьшению спиновой температуры. Таким образом, мы получим матрицу плотности ptq(t) в течение всего эксперимента АРВСК. В частности, энтропия S

S = kN In 2 + kN In [cosh ( ^

-N/3A tanh

(f)

(17)

при Д Щос может быть использована для определения начальной температуры в системе.

0.5-г 0.41 0.3Ч О.г! 0.1 0.01

0.2

0.4

0.6 0.8 PD,

1.2

Результаты численного исследования парной запутанности для линейной цепочки, состоящей из 9 спинов, связанных ДДВ, в условиях АРВСК представлены на Рис. 6. Мы начинаем эксперимент по адиабатическому размагничиванию с расстройки Д0 = 1 (Ш], где П\ константа ДДВ между ближайшими соседями в цепочке. Числен-

Рис. 6. Зависимость согласованности С, рассчи- ньге расчеты выполнены для расстроек тапная на основе критерия Вуттерса, от безраз- Дга = (Ю — n)D 1, п = 0,1,..., 10. Со-мерной обратной температуры для спинов отвстствукщне зиачения обратной тем-

1 и 2 девятиспиновой цепочки при wi = 2D\. . .

„ пературы вп = п/к!„ (п = 0,1,..., 10)

Пунктирная линия показывает тот же результат, получеппый с помощью РРТ критерия. найдены из выражения (15) для безразмерной энтропии S/k = 0.5. На рис. 6 представлена согласованность первого и второго спинов как функция безразмерного параметра ¡3D]. При высоких температурах согласованность равна нулю (Рис. 6), и спиновая система находится в сепарабелыюм состоянии. Когда тем-

пература системы понижается и процессе АРВСК, согласованность резко возрастает, и система становится запутанной. Запутанность возникает при температуре {Юг « 1.1 (Рис. б ), т.е. при Т к 0.5 мкК, когда О^ = 2тг104 с"1.

Рис. 7. Двойная отрицательность как функция безразмерной обратной температуры /3D] для (а) первого спина (первая подсистема) и остальных епшюв цепочки (вторая подсистема); (Ь) первых трех спинов цепочки (первая подсистема) и остальных сшшов цепочки (вторая подсистема) в девятпетшопой цепочке при u.'i = 2D\.

Пунктирная линия на Рис, 6 показывает, что результат для парной запутанности, полученный с помотцыо РРТ критерия, практически совпадает с результатом, полученным на основе критерия Вуттсрса. На рис. 7 показана зависимость двойной отрицательности от безразмерного параметра f3Di для первого спина цепочки (первая подсистема) и остальных спинов цепочки (вторая подсистема) в процессе АРВСК, когда безразмерная энтропия S/k = 0.5. Отсюда можно сделать вывод, что запутанность возникает при (Ю\ й 1.1. Этот результат близок к результату для парной запутанности. На рис. 7 также показана зависимость двойной отрицательности от безразмерного параметра 0D\ для первых трех спинов цепочки (первая подсистема) и остальных шести спинов цепочки (вторая подсистема) при тех же условиях. Здесь тоже запутанность становится достаточно большой при (3D\ и 1.1. Фактически мы показали, что запутанность разных подсистем возникает приблизительно при одной и той же температуре.

Предложенный метод анализа запутанности в процессе АРВСК позволяет исследовать ие только одномерные системы, по и системы с большей пространственной размерностью. Здесь рассмотрен плоский квадратный кластер, содержащий 9 спинов, изображенный на Рис. 8. Константа ДДВ спинов j и к (см. Рис. 8) опре-

деляется в этом случае как

= (18) 7 Зк

где 7 - гиромагнитное отношение, г,* - расстояние между спинами к и - угол между вектором, соединяющим спины гд- и направлением внешнего магнитного поля Н. Анализ показывает, что

С1С? - 1)/з] - [(А - 1)/3])2 + 9(Ш - 1)/3} - {(к - 1)/3})2 1 }

Г* = а^аи - 1)/3] - [{к - 1)/3])2 + 9(Ш - 1)/3} - {(к - 1)/3})2, (20)

где о - расстояние между ближайшими соседями в кластере, квадратные скобки [д] обозначают целую часть д, и фигурные скобки {(?} обозначают дробную часть Я-

В рассматриваемой двумерной системе, в которой все спины связаны ДДВ, процессы деструктивной ин-^ ^ Р терференции, разрушающей спиновые

. \ корреляции, ответственные за запутан-

ность различных подсистем, более су-Ъ 6 щественны, чем в одномерной цепочке.

В результате запутанность в двумерной системе возникает при более низ-

„ . „ „ „ ких температурах, чем в одномерной

Рис. 8. Двухмерный квадратный кластер. 1 "1

цепочке. На Рис. 9 представлена зависимость запутанности трех спинов 1, 2 и 4 (первая подсистема, см. Рис. 8) и четырех спинов 5, 6, 8 и 9 (вторая подсистема, см. Рис. 8). В качестве меры запутанности снова выбрана двойная отрицательность и использован РРТ-критерий [12). Другой график представленный на Рис. 9, показывает запутанность двух спинов 1 и 2 и трех спинов 3, 6 и 9 (см. Рис. 8). Представленные зависимости показывают, что в двумерном комплексе запутанность возникает при /?£>] « 1.3. Хотя температуры возникновения запутанности здесь ниже, чем в одномерном случае, они опять примерно одинаковы для различных подсистем двумерного кластера.

PD,

PD,

1.4

Рис. 9. Двойная отрицательность как функция безразмерной обратной температуры вО\ между (а) спинами 1, 2, 4 (первая подсистема) и спинами 5, 6, 8, 9 (вторая подсистема); (Ь) спинами 1, 2 (первая подсистема) и спинами 3, С, 9 (вторая подсистема) при шх = 2а в двухмерном кластере рис. 8.

В четвертой главе предложен новый тип свидетеля запутанности (СЗ) -интенсивность многоквантовой (МК) когерентности в спиновой системе. С этой величиной работают в экспериментах ЯМР, и, таким образом, представлен новый способ исследования запутанности с помощью хорошо развитой техники ЯМР в реальных экспериментах. В этой главе мы концентрируем наше внимание на простейшей системе ядерных спинов - паре спинов 1/2, связанных диполь-дииольным взаимодействием в неравновесных условиях многоквантового эксперимента ЯМР [9]. Здесь показано, что в условиях многобайтового эксперимента ЯМР запутанность возникает при более высоких мнлликельвиновых температурах. Рассмотрим двух-спиновую систему в сильном внешнем магнитном ноле Но- Термодинамически равновесная матрица плотности ро этой системы записывается в виде

ехр(^)

Р 0:

(21)

где = 7#о (7 ~ гиромагнитное отношение), Т - температура, 1а = 1-[0 + и Ija (j = 1,2; а = х, у, z) - проекция оператора углового момента спина j на ось а h Z - статистическая сумма.

Многоквантовый эксперимент ЯМР состоит из четырех различных периодов: подготовительного периода, периода эволюции, смешивания и измерения [9]. На подготовительном периоде спиновая система с начальной равновесной матрицей плотности, описывающей взаимодействие спинов с сильным внешним магнитным полем, облучается специально построенной последовательностью радиочастотных

подготовительный период

смешивание

свободная эволюция

измерение

время

Рис.. 10. МК эксперимент ЯМР. На подготовительном периоде продолжительностью г после облучения системы специально подобранной последовательностью высокочастотных импульсов создаются МК когерентности. Во время свободной эволюции полученные МК когерентности изменяются под действием секулярпого дипольного гамильтониана ¡13]. На периоде смешивания происходит преобразование ненаблюдаемых МК когерентпоетей в поперечную намагниченность. Далее наблюдаемый сигнал детектируется.

импульсов. При этом анизотропный дппольный гамильтониан быстро осциллирует, когда период последовательности импульсов меньше, чем обратная дипольная частота. Спиновая динамика в этом случае описывается средним гамильтонианом, который ответствен за возникновение многоквантовых когерентностей нулевого и плюс/минус второго порядков [14]. МК когерентности создаются с помощью многоимпульсной последовательности, состоящей из восьмиимпульсных циклов, на подготовительном периоде [9]. Во вращающейся системе координат (ВСК) [13] средний гамильтониан Hmq для двухеш¡новой системы, описывающий МК динамику на подготовительном периоде, может быть записан как [9]

Hmq = b (If If + I1I2) > (22)

где Ъ = {^hj{2г\2}){1 — 3 cos2 в и) ~ константа диполь-дипольного взаимодействия между спинами 1 и 2, гц расстояние между спинами 1 и 2, и #12 угол между межядерным вектором гц и внешним магнитным полем Но; If и I~ (j = 1,2) -повышающий и понижающий операторы спина j (if = I,jX ± Ujy).

Двухспиновый гамильтониан (22) может быть легко диагоналнзован и его собственные значения равны Ai^ = 0, Азд = ±Ь. Матрица плотности в конце подго-

товителыюго периода МК эксперимента ЯМР длительностью г равна

1

р(т) = =

¿J

¿siii(2br) sinh/3 \ 0 0

(23)

2(1 +соъ\лР)

' созЪ/3 + соа(2Ьт) этЬ/3 О О

О 1 О

О О 1

У -г ят(2Ьг) втЬ/3 0 0 собИ/З - соз(2Ьг)зт11/?у

Диагональная часть матрицы плотности (23) р(о)(т) ответственна за переходы, не меняющие полного спинового момента на направление внешнего магнитного поля. Иначе говоря, она описывает МК когерентность нулевого порядка 1

Р(Ф) =

2(1 + cosh ¡3)

(cosh /3 + cos(2Ьт) sinh /3 0 0

0 1 0

0 0 1

\

V

0

■ (24)

0 0 cosh /3 — cos(26r) sinh (3J

Недиагональные части матрицы плотности Р(2)(т), Р(-2){т) ответственны за переходы с изменением проекции полного магнитного момента на ±2 (|00 >—> |11 > , |11 >—> ¡00 >). Следовательно, P(2){r)iP{-2]{T) описывают МК когерентности плюс/минус второго порядка [9, 14]:

А] 0 0 isin(2br)sinh/Л

2(1 + cosh/3)

ООО ООО ООО

(25)

Р(-2){Т) =

2(1 + cosh/3)

/

ООО ООО ООО

(26) (27)

\-гзт{2Ьт)ыпЬ/3 0 0 0,у Р(т) = Р( 0)(г) + Р( 2){т) + Р(-2){т). Поляризация системы < 12 > (г) вдоль внешнего магнитного поля (оси г) после трех периодов МК эксперимента Рис. 10 (подготовительного, свободной эво-

люции, смешивания) равна

<1г> (т) = Тг{е-Ш1>р{т)еШ1'рн{т)}, (28)

где Д - эффективное поле (в частотных единицах) на периоде эволюции, определяемое особенностями проведения МК эксперимента ЯМР [9]. Здесь

ры(т) = (29)

матрица плотности, которая описывает МК динамику ЯМР при высоких температурах Нгио/(кТ) -С 1. Детектируемый на разных частотах сигнал поляризации системы дает интенсивности МК когерентностей нулевого Со(т) и плюс/минус второго С±г(т) порядков

С0(т) = IV (р{ф)р'^т)) = канЬ | соз2(2Ът), (30)

С±2(г) = IV (р(2)(г)^2)(г)) = \ 1апЬ |8ш2(26г). (31)

Важно подчеркнуть, что интенсивности МК когерентностей являются наблюдаемыми величинами в экспериментах по многоквантовому ЯМР. Приведенные выше формулы показывают, что интенсивности МК когерентностей второго порядка (?2(т) и минус второго порядка С_2(т) равны. Однако в любых реальных экспериментах существуют некоторые погрешности, и экспериментальные результаты для С?2(т) и ^_2(т) обычно не равны. Некоторые из этих погрешностей могут быть устранены с помощью измерения суммы интенсивностей этих когерентностей [15]. Кроме того, важно заметить, что точность измерения суммы этих интенсивностей МК когерентностей 02(т) + С?_2(т) выше, чем точность измерения Со (г) [15]. Поэтому ниже мы будем использовать сумму интенсивностей МК когерентностей плюс/минус второго порядков для того, чтобы ввести СЗ.

Начальное состояние описываемой системы (21) является сепарабельным. Запутанность возникает на подготовительном периоде МК эксперимента ЯМР, когда МК когерентности второго порядка имеют достаточно большую интенсивность. Для того чтобы оценить количественно запутанность в рассматриваемой системе, используем критерий Вуттерса [10]. Согласно критерию Вуттереа (3) согласованность С системы, описываемой матрицей плотности (23), во время детектирования

равна

С =

| sin(2i»7") | sinli/3 — 1

2 cosh2f

(32)

Таким образом, запутанные состояния возникают только при этЬ/З > 1, когда интенсивность многоквантовой когерентности второго порядка имеет максимальную величину. Это условие означает, что запутанность возникает при температуре

Ьыо

Т <

(33)

Ar In (1 +

Если рабочая частота спектрометра ЯМР и>0 = 2тг500 • 106с-\ то занутан-

\АДАДААА^А/

0.4 0.6 т(с)

ратуре, приблизительно равной Те 27 мК. Заметим для сравнения, что в линейных цепочках днггольно связан-

Рпс. 11. Интенсивности МК когерентностей и согласованность в зависимости от времени под-ные состояния возникают при темпе- готовителыюго периода т МК эксперимента

ЯМР при /? = 3. Константа взаимодействия равна Ь = 27г1307с~1; сплошная линия - согласованность; пунктирная линия - интенсивность МК когерентности пулевого порядка; штрих-ных ядерных спинов в условиях термо- пунктирная - С2(т) + С_2(г) (см. текст).

динамического равновесия запутанность возникает только в микрокельвиновой области температур.

Простое соотношение между согласованностью С и интенсивностями МК когерентностей плюс/минус второго порядков С±г(т) могут быть найдены из выражений (31), (32):

C=ytanh|G2(r) + G_2(T)]-^-l

cosh2f

Таким образом, запутанные состояния возникают только, если

и свидетель запутанности (СЗ) может быть введен следующим образом

1

EW =

2 sink /3 cosh2 |

- {G2(t) + С_2(т)}.

(34)

(35)

(36)

В начальный момент времени С?2(0) 4- С?_2(0) = О, Е\У > 0 и рассматриваемая система находится в сепарабельном состоянии. В процессе МК эксперимента ЯМР интенсивности МК когерентностей второго порядка возникают и растут, а свидетель запутанности ЕIV меняет свой знак. В этот момент рассматриваемая система становится запутанной. В соответствии с (31) интенсивности МК когерентностей меняются периодически во времени. Знак свидетеля запутанности Е\¥ также меняется периодически. Таким образом, запутанность в системе возникает периодически в зависимости от времени подготовительного периода. Эволюция интенсивностей МК когерентностей во времени вместе с соответствующей согласованностью представлена на Рис. 11 при /? = 3.

Можно заметить, что при достаточно низких температурах согласованность близка к сумме МК когерентностей плюс/минус второго порядков (22 (т) + С_г(г) почти на протяжении всего подготовительного периода МК эксперимента ЯМР. При больших (3 (низких температурах) выражение ^втЬ/^совЬ2!]-1 стремится к нулю и максимальная величина Сг(г)-(-С_2(т) стремится к единице. Это означает, что согласованность равна максимальной величине Сг(г) + С_2 (г) при низких температурах. Соответствующие зависимости согласованности и максимальной величины С2(т) + (?_2(т) от параметра ¡3 представлены на Рис. 12.

В отличие от работы [16] мы исследовали запутанность в системе ядерных спинов, а не электронных. Такие системы являются более устойчивыми к декогерени-зации, которая приводит к потере квантовой информации, полученной в процессе квантовой обработки. Приведенный здесь анализ устанавливает температурную область и величину внешнего магнитного поля, необходимые для возникновения

Рис. 12. Зависимость согласованности (пунктирная линия) и максимальная величина С?2(т) + (7_2(т) (штрих-пунктирная линия) в зависимости от параметра 0. Сплошная линия описывает функцию [2вт11,0с 08Ь2|]-1. Здесь константа взаимодействия равна Ь = 2я1307с-1. Запутанное состояние возникает при температуре меньше, чем Те =

запутанности в системе.

Основные результаты и выводы

1. Разработаны аналитические п численные методы получения редуцированной матрицы плотности произвольной подсистемы многоеппновой системы взаимодействующих ядерных сппион. Соответствующие алгоритмы реализованы с помощью специальных компьютерных программ.

2. Получены зависимости запутанности спиновых пар в альтернированной цепочке от длины цепочки, температуры, отношения констант спин-спинового взаимодействия и положения пары внутри цепочки. Установлен осциллирующий характер запутанности в парах, находящихся вблизи концов альтернированной цепочки.

3. Показано, что в одномерных и двухмерных спиновых кластерах в процессе адиабатического размагничивания возникают запуганные состояния между различными подсистемами в кластерах. Температура, при которой возникает запутанность, зависит от размерности кластера, но примерно одинакова для любых его подсистем,

4. Предложен метод для экспериментального наблюдения возникновения запутанности в многоквантовом эксперименте ЯМР. Введен свидетель запутанности па основе экспериментально наблюдаемой интенсивности многоквантовой когерентности второго порядка. Показано, что запутанное состояние отделено от сепарабельпых состояний барьером, зависящим от температуры и внешнего магнитного поля.

Основное содержание диссертации изложено в следующих публикациях:

1) Дороннп С.И., Пырков А.Н., Фельдман Э.Б. Запутанность в альтернированных открытых цепочках ядерных спинов ,ч=1/2 с XY-гамильтонианом // Письма в ЖЭТФ.-2007.-Т. 85.-С. 627-631.

2) Дороннп С. И., Пырков А. Н., Фельдман Э. Б. Запутанность спиновых пар в альтернированной открытой цепочке ядерных спинов s=l/2 с ХУ-гамильтонианом // ЖЭТФ.-2007.-Т. 132.-С. 1091-1099.

3) Fel'dman Е.В., Pyrkov A.N. Evolution of spin entanglement and an entanglement witness in multiple-quantum NMR experiments //' Письма в ЖЭТФ.-2008.-Т. 88.-C. 454.

4) Doronin S.I., Fel'dinan E. В., Kucherov M. M., Pyrkov A. N. Entanglement of systems of dipolar coupled nuclear spins at the adiabatic demagnetization // Journal of Physics: Condenced Matter.-2009.-Vol.21.-025601.

Список литературы

[1] Нильсен M., Чанг И. Квантовые вычисления и квантовая информация. -М.: Мир, 2006.-824с.

[2] Separability of Very Noisy Mixed States and Implications for NMR Quantum Computing / Braunstein S. L., Caves С. M., Jozsa R, et. al. // Phys. Rev. Lett.-1999.-Vol. 83, P. 1054-1057.

[3] Warren W., Gershenfeld N., Chuang I. The Usefulness of NMR Quantum Computing // Science.-1997.-Vol. 277.-P. 1688-1690.

[4] Entanglement in many-body systems ,/ Amico L., Fazio R., Osterloh A. et.al. // Rev. Mod. Phys.-2008-Vol.80.-P. 517-576.

[5] Perfect State Transfer in Quantum Spin Networks / Christandl M., Datta N., Ekert A. et. al. // Phys. Rev. Lett.-2004.-Vol. 92,- 187902.

[6] Fel'dman E. В., Rudavets M. G. Exact results on spin dynamics and multiple quantum NMR. dynamics in alternating spin-1/2 chains with XY-Hamiltonian at high temperatures // Письма в ЖЭТФ.-2005.-Т. 81.-C. 54.

[7] Кузнецова Е.И., Фельдман Э.Б. Точные решения в динамике альтернированных открытых цепочек спинов s = 1/2 с XY-гамильтонианоми и их применение к задачам многоквантовой динамики и квантовой теории информации // ЖЭТФ. -2006.-Т. 129,- С. 1006-1017.

[8] Kuznetsova Е. I. and Zenchuk A. I. High-probability quantum state transfer in an alternating open spin chain with an XY Hamiltonian // Phys. Lett. A.-2008,-Vol. 372.-P. 6134.

[9] Multiple-quantum dynamics in solid state NMR. / J. Baum, M. Munowitz, A. N. Garroway et. al. // J. Chem. Phys.-1985.-Vol. 83.-P. 2015.

[10] Wootters W. К. Entanglement of Formation of an Arbitrary State of Two Qubits // Phys. Rev. Lett.-1998.-Vol. 80.-P. 2245-2248.

[11] Абрагам А., Гольдмап M. Ядерный магнетизм: порядок и беспорядок.- М.: Мир, 1984 .-Т. 1-2.

[12] Vidal G. and Werner R. F. Computable measure of entanglement // Phys. Rev. A.-2002.-Vol. 65.-032314.

[13] Гольдман M. Спиновая температура и ЯМР в твердых телах. М.: Мир, 1972.-С. 342.

[14] Е. В. FePdman, S. Lacelle Multiple quantum nuclear magnetic resonance in one-dimensional quantum spin chains // J. Chern. Phys.-1997.-Vol.107.-P.7067.

[15] Clio G. and Yesinowski J. P. H and 19F Multiple-Quantum NMR Dynamics in Quasi-One-Dimensional Spin Clusters in Apatites // J. Phys. Chem.-199G.-Vol. 100,- 15716.

[16] Experimental determination of thermal entanglement in spin clusters using magnetic susceptibility measurements / A.M. Souza et. al. // Phys. Rev. B.-2008.-Vol.77.- 104402.

Для заметок

Заказ № 60/02/09 Подписано в печать 12.02.2009 Тираж 100 экз. Усл. п.л. 1,5

/j^N ООО "Цифровичок", тел. (495) 797-75-76; (495) 649-83-30 v'^'v'i www.cfr.ru ; e-mail:info@cfr.ru

Введение

1 Квантовая запутанность в спиновых системах и ее использование (литературный обзор).

1.1 Сепарабельные и запутанные состояния в квантовомеха-нических системах.

1.2 Меры запутанности

1.3 Свидетель запутанности.

1.4 Запутанность как ресурс в квантовых вычислениях и квантовой теории информации.

1.5 Запутанность в одномерных спиновых системах.

1.5.1 Модели

1.5.2 Запутанность спиновых систем в основном состоянии при температуре Т = 0.

1.5.3 Запутанность спиновых систем в термодинамическом равновесии (Т > 0).

1.6 Экспериментальные и теоретические результаты, основанные на использовании свидетеля запутанности.

2 Запутанность спиновых пар в альтернированной открытой цепочке ядерных спинов 5 = 1/2 с ХУ-гамильтонианом в условиях термодинамического равновесия

2.1 Альтернированная открытая цепочка ядерных спинов 5 =

1/2 с ХУ-гамильтонианом.

2.2 Редуцированная матрица плотности спиновой пары в альтернированной открытой цепочке ядерных спинов в =

1/2 с ХУ-гамильтонианом.

2.3 Запутанные состояния спиновых пар.

3 Возникновение запутанных состояний в системе дипольно связанных спинов при адиабатическом размагничивании

3.1 Матрица плотности спиновой системы в условиях адиабатического размагничивания во вращающейся системе координат.

3.2 Численный анализ запутанности в девятиспиновой цепочке в процессе адиабатического размагничивания во вращающейся системе координат.

3.3 Запутанность в плоском кластере из девяти спинов

4 Эволюция спиновой запутанности и свидетель запутанности в многоквантовых экспериментах ЯМР

4.1 Многоквантовая динамика ЯМР дипольно связанных спиновых пар при низких температурах.

4.2 Согласованность и свидетель запутанности в многоквантовых экспериментах ЯМР.

Выводы

Благодарности

Одним из наиболее удивительных явлений, существование которого предсказывает квантовая механика, является запутанность. Это понятие было введено Шредингером [1] для необычных квантовых корреляций, проявляющихся в мысленном эксперименте Эйнштейна, Подольского и Розена (ЭПР-эксперимент) [2]. В этом мысленном эксперименте авторы показали (на основе формализма квантовой механики) существование нелокальных квантовых объектов, состоящих из 2-х и более частей, что привело к скепсису относительно состоятельности самой квантовой механики. Путь к решению возникшего парадокса (ЭПР— парадокса) указал Белл [3]. Он предложил свои знаменитые статистические неравенства, которые выполняются для любой локальной теории и не выполняются для нелокальной теории. Таким образом, Белл перевел решение вопроса о справедливости квантовомеханического описания в область эксперимента [3]. Эксперименты поставленные для проверки неравенств Белла и выполненные до сих пор [4, 5, 6], находятся в согласии с предсказаниями квантовой механики. Таким образом, 11 запутанность11 стала физической реальностью, которая не может быть смоделирована любой "классической11 системой.

Новый всплеск интереса к проблеме запутанности возник с развитием квантовой теории информации [7, 8]. Запутанные состояния стали основным ингредиентом в таких явлениях как квантовая телепорта-ция [9], квантовая криптография [10], и т. д. Также согласно современным представлениям запутанность является основным источником ускорения в квантовых вычислениях и передаче данных [11]. Таким образом, стало ясно, что запутанность не только предмет философских дебатов относительно начал квантовой теории, но и новый квантовый ресурс для решения задач, которые не могут быть решены с помощью любого классического устройства [12]. Роль запутанности как ресурса стала импульсом к новым крупномасштабным как экспериментальным, так и теоретическим исследованиям этого явления [12,13]. В настоящее время из-за того, что теория запутанных состояний базируется на наиболее фундаментальных идеях квантовой механики, исследование запутанных состояний охватывает почти все области современной физики: атомную физику, квантовую оптику, химическую физику, спектроскопию ядерного и электронного магнитного резонанса, физику сверхпроводников и другие.

Методы ЯМР [14] оказались наиболее эффективными для экспериментальной реализации квантовых вычислений [8, 15, 16] из-за хорошо развитых методов управления и контроля с помощью резонансных импульсов ВЧ поля, а также благодаря хорошей изоляции спиновых степеней свободы от других, что приводит к большим временам деко-геренизации [14]. Именно на основе ЯМР в жидкости был построен первый семикубитный квантовый компьютер, реализовавший на практике основные квантовые алгоритмы [17, 18]. Однако, квантовые вычисления на основе ЯМР в жидкости оперируют с псевдочистыми состояниями [19], которые в условиях, в которых проводились жидкофазные эксперименты ЯМР (при комнатной температуре) являются незапутанными [20, 21]. Отсутствие запутанности в таких экспериментах вызывает сомнение в возможностях этого метода для реализации преимуществ квантовых компьютеров по сравнению с классическими. К тому же оказалось, что в жидкофазном ЯМР едва ли можно организовать квантовый компьютер, в котором число кубитов значительно больше 10 [22].

Новые перспективы в развитии теории квантовой информации на основе методов ЯМР открывают твердотельные системы при низких температурах. Важные результаты получены в однородных одномерных моделях [13, 23, 24, 25] (цепочки, кольца), когда гамильтониан многочастичной системы можно точно диагонализовать. В то же время однородные системы не позволяют решить вопрос адресации куби-тов. Запутанность в них возникает лишь между соседними спинами и передача квантовых состояний возможна лишь в коротких цепочках, содержащих не более трех спинов [26]. Ситуация существенно меняется при использовании неоднородных спиновых систем. В одномерном случае такие системы представляют собой те же цепочки и кольца, в которых, однако, расстояния между ближайшими спинами различны. Важное значение имеет также неоднородное магнитное поле, которое позволяет организовать адресацию кубитов [27]. Одной из простейших неоднородных систем является альтернированная цепочка спинов 1/2, ХУ-гамильтониан которой удалось диагонализовать [28, 29]. Знание спектра ХУ-гамильтониана альтернированной цепочки позволило установить, что в таких цепочках удается точная или с высокой вероятностью передача квантовых состояний между различными кубита-ми [29, 30]. Таким образом, исследование запутанности в альтернированной цепочке является важной и актуальной задачей.

Целью настоящей работы является исследование запутанных состояний и их свойств в неоднородных системах ядерных спинов 1/2, а также развитие методов ЯМР, с помощью которых можно проследить за возникновением и эволюцией запутанных состояний в эксперименте.

Диссертационная работа состоит из введения, 4 глав и выводов.

Выводы

1. Разработаны аналитические и численные методы получения редуцированной матрицы плотности произвольной подсистемы многоспиновой системы взаимодействующих спинов. Соответствующие алгоритмы реализованы с помощью специальных компьютерных программ.

2. Получены зависимости запутанности спиновых пар в альтернированной цепочке от длины цепочки, температуры, отношения констант спин-спинового взаимодействия и положения пары внутри цепочки. Установлен осциллирующий характер запутанности в парах, находящихся вблизи концов альтернированной цепочки.

3. Показано, что в одномерных и двухмерных спиновых кластерах в процессе адиабатического размагничивания во вращающейся системе координат возникают запутанные состояния между различными подсистемами в кластерах. Температура, при которой возникает запутанность, зависит от размерности кластера, но примерно одинакова для его любых подсистем.

4. Предложен метод для экспериментального наблюдения возникновения запутанности в многоквантовом эксперименте ЯМР. Введен свидетель запутанности на основе экспериментально наблюдаемой интенсивности многоквантовой когерентности второго порядка. Показано, что запутанное состояние отделено от сепарабельных состояний барьером, зависящим от температуры и внешнего магнитного поля.

Благодарности

Автор выражает искреннюю признательность своему научному руководителю, за его профессиональное и мудрое руководство, терпение и возможность творческого самовыражения, сотрудникам лаборатории, за их советы и помощь и всем тем, кто помогал в процессе подготовки диссертации и сделал жизнь и работу интересной и полной.

1. Шредингер Б. Современное состояние квантовой механики // Успехи химии.-1936.-Т.5-3, С. 390-442.

2. Можно ли считать, что квантово-механическое описание физической реальности является полным? / Эйнштейн А., Подольский Б., Фок В.А. и др. // УФН.-1936.-Т. 16-4, С. 436-457.

3. Bell J. S. On the Einstein Podolsky Rosen paradox // Physics.-1964-Vol. 1, No. 3- P. 195-200.

4. Aspect A., Grangier P., and Roger G. Experimental Tests of Realistic Local Theories via Bell's Theorem // Phys. Rev. Lett.-1981.-Vol.47,-P.460-463.

5. Aspect A., Grangier P., and Roger G. Experimental Test of Bell's Inequalities Using Time—Varying Analyzers // Phys. Rev. Lett.-1982.-Vol.49.-P.1804-1807.

6. New High-Intensity Source of Polarization-Entangled Photon Pairs / Kwiat P., Mattle K., Weinfurter H. et. al. // Phys. Rev. Lett.-1995.-Vol. 75.-P. 4337-4341.

7. Нильсен M., Чанг И. Квантовые вычисления и квантовая информация. -М.: Мир, 2006.-824с.

8. Валиев К. А. Квантовые компьютеры и квантовые вычисления // УФН.-2005.-Т. 175.-С. 3-39.

9. Teleporting an unknown quantum state via dual classical and Einstein-Podolsky-Rosen channels / Bennett С. H., Brassard G., Crepeau C. et. al. // Phys. Rev. Lett.-1993.-Vol.70.-P. 1895-1899.

10. Бауместер Д. и др. Физика квантовой информации / Бауместер Д., Экерт А., Цайлингер А,- М.: Постмаркет, 2002. -376с.

11. Chung Н. The Study of Entangled States in Quantum Computation and Quantum Information Science: PhD thesis // arxiv: quant-ph/08.08.1546.

12. Quantum entanglement / Horodecki R., Horodecki P., Horodecki M. et.al. // arxiv:quant-ph/0702225.

13. Entanglement in many-body systems / Amico L., Fazio R., Osterloh A. et.al. // Rev. Mod. Phys.-2008-Vol.80.-P. 517-576.

14. Эрнст P. P. и др. ЯМР в одном и двух измерениях / Эрнст Р. Р., Боденхаузен Дж., Вокаун А.- М.: Мир, 1990.-709 с.

15. Кокин А. А. Твердотельные квантовые компьютеры на ядерных спинах.-Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004.-204 с.

16. Валиев К.А., Кокин А.А. Квантовые компьютеры: надежды и реальность.- Москва-Ижевск: Регулярная и хаотическая динамика, 2004.-320 с.

17. Jones J. NMR Quantum Computation // arxiv:quant-ph/0009002.

18. Vandersypen L. M. K. and Chuang I. L. NMR techniques for quantum control and computation // Rev. Mod. Phys.-2004.-Vol. 76.-P. 10371069.

19. Cory D. G., Fahmy A. F., Havel T. F. Ensemble quantum computing by NMR spectroscopy // Proceedings of the National Academy of Sciences.-1997.-Vol.94.-P. 1624-1629.

20. Separability of Very Noisy Mixed States and Implications for NMR Quantum Computing / Braunstein S. L., Caves С. M., Jozsa R. et. al. // Phys. Rev. Lett.-1999.-Vol. 83, P. 1054-1057.

21. NMR Quantum Information Processing and Entanglement / Laflamme R., Cory D.G., Negrevergne C. et. al. // arxiv: quant-ph/0110029.

22. Warren W., Gershenfeld N., Chuang I. The Usefulness of NMR Quantum Computing // Science.-1997.-Vol. 277.-P. 1688-1690.

23. Osborne T. J., Nielsen M. A. Entanglement in a simple quantum phase transition // Phys. Rev. A.-2002.-Vol. 66.-032110.

24. Scaling of entanglement close to a quantum phase transition / Osterloh A., Amico L., Falci G. et. al. // Nature (London).-2002.-Vol.416.-P. 608-610.

25. Wang X. Thermal and ground-state entanglement in Heisenberg XX qubit rings // Phys. Rev. A.-2002.-Vol.66.- 034302.

26. Perfect State Transfer in Quantum Spin Networks / Christandl M., Datta N., Ekert A. et. al. // Phys. Rev. Lett.-2004.-Vol. 92.- 187902.

27. Доронин С.И., Пырков А.Н., Фельдман Э.Б. Запутанность в альтернированных открытых цепочках ядерных спинов s=l/2 с XY-гамильтонианом // Письма в ЖЭТФ.-2007.-Т. 85.-С. 627-631.

28. Fel'dman Е. В., Rudavets М. G. Exact results on spin dynamics and multiple quantum NMR dynamics in alternating spin-1/2 chains with XY-Hamiltonian at high temperatures // Письма в ЖЭТФ.-2005.-Т. 81.-C. 54.

29. Кузнецова Е.И., Фельдман Э.Б. Точные решения в динамике альтернированных открытых цепочек спинов s = 1/2 с XY-гамильтонианоми и их применение к задачам многоквантовой динамики и квантовой теории информации // ЖЭТФ. -2006.-Т. 129.-С. 1006-1017.

30. Kuznetsova Е. I. and Zenchnk A. I. High-probability quantum state transfer in an alternating open spin chain with an XY Hamiltonian // Phys. Lett. A.-2008.-Vol. 372.-P. 6134.

31. Доронин С. И., Пырков А. Н., Фельдман Э. Б. Запутанность спиновых пар в альтернированной открытой цепочке ядерных спинов s=l/2 с XY-гамильтонианом // ЖЭТФ.-2007.-Т. 132.-С. 10911099.

32. Long-distance entanglement and quantum teleportation in XX spin chains / Campos Venuti L. et. al. // Phys. Rev. A.-2007.-Vol.76.-052328.

33. Entanglement of systems of dipolar coupled nuclear spins at the adiabatic demagnetization / Doronin S.I., Fel'dman E. В., Kucherov M. M., Pyrkov A. N. // Journal of Physics: Condenced Matter.-2009.-Vol.21.-025601.

34. Fel'dman E.B., Pyrkov A.N. Evolution of spin entanglement and an entanglement witness in multiple-quantum NMR experiments // Письма в ЖЭТФ.-2008.-Т. 88.-C. 454.

35. Годен M., Волновая функция Бёте. -М.: Мир, 1987.-352 с.

36. Preskill J. Course Information for Physics 219/Computer Science 219 Quantum Computation (Formerly Physics 229), (2000).

37. Дирак П. Принципы квантовой механики. -М: Наука, 1979.-481 с.

38. Бом Д. Квантовая теория. -М.: Гос.изд-во физ.-мат.литературы. -1961.-732 с.

39. Werner R. F. Quantum states with Einstein-Podolsky-Rosen correlations admitting a hidden-variable model // Phys. Rev. A.-1989.-Vol.40.-P. 4277.

40. Mixed-state entanglement and quantum error correction / С. H. Bennett et. al. // Phys. Rev. A.-1996.-Vol. 54.-P. 3824.

41. Vedral V. and Plenio M. B. Entanglement measures and purification procedures // Phys. Rev. A.-1998.-Vol. 57.-P. 1619.

42. Wootters W. K. Entanglement of formation and concurrence // Quant. Inf. Comp.-2001.-Vol. l.-P. 27-44.

43. Vedral V. The role of relative entropy in quantum information theory // Rev. Mod. Phys.-2002.-Vol. 74.-P. 197.

44. Concentrating partial entanglement by local operations / С. H. Bennett et. al. // Phys. Rev. A.-1996.-Vol.53.-P. 2046.

45. Wootters W. K. Entanglement of Formation of an Arbitrary State of Two Qubits // Phys. Rev. Lett.-1998.-Vol. 80.-P. 2245-2248.

46. Хорн P., Джонсон Ч. Матричный анализ.-М.: Мир, 1989.-656 с.

47. Rains Е. М. Rigorous treatment of distillable entanglement // Phys. Rev. A.-1999.-Vol.£50.-P. 173; Bound on distillable entanglement // Phys. Rev. A.-1999.-Vol. 60.-P. 179.

48. Horodecki M., Horodecki P., and Horodecki R. Mixed-State Entanglement and Distillation: Is there a Bound Entanglement in Nature? // Phys. Rev. Lett.-1998.-Vol.80.-P. 5239.

49. Evidence for bound entangled states with negative partial transpose / DiVincenzo D. P., Shor P. W., Smolin J. A. et. al. // Phys. Rev. A.-2000.-Vol.61.- 062312.

50. Quantifying Entanglement •/ Vedral V. et. al. // Phys. Rev. Lett.-1997.-Vol. 78.-P. 2275.

51. Horodecki M., Horodecki P., Horodecki R. Separability of mixed states: necessary and sufficient conditions // Phys. Lett. A.-1996.-Vol.223.-P.l-8.

52. Peres A. Separability Criterion for Density Matrices // Phys. Rev. Lett.-1996.-Vol.77.-P. 1413-1416.

53. Vidal G. and Werner R. F. Computable measure of entanglement // Phys. Rev. A.-2002.-Vol. 65.-032314.

54. Plenio M.B. Logarithmic Negativity: A Full Entanglement Monotone That is not Convex // Phys. Rev. Lett.-2005.-Vol. 95.- 090503.

55. Plenio M. and Virmani S. An introduction to entanglement measures // Quant. Inf. Comp.-2007.-Vol. 7.-P.1-51.

56. Optimization of entanglement witnesses / Lewenstein M., Kraus В., Cirac J. I. et.al. // Phys. Rev. A.-2000.-Vol. 62.- 052310.

57. Giihne O. Characterizing Entanglement via Uncertainty Relations // Phys. Rev. Lett.-2004.-Vol.92.- 117903.

58. Weisniak M., Vedral V., Brukner C. Magnetic susceptibility as atmacroscopic entanglement witness // New. J. Phys.-2005.-Vol.7.-258.

59. Алдошин С. M., Фельдман Э. Б. и Юрищев М. А. Квантовая за-путаность в нитрозильных комплексах железа // ЖЭТФ.-2008.-Т.134.-С.940.

60. Terhal В. М. Bell' inequalities and the separability criterion // Phys. Lett. A.-2000.-Vol.271.-P.319-326.

61. Eisert J., Brandao F. G. S. L. and Audenaert К. M. R. Quantitative entanglement witnesses // New J. Phys.-2007.-Vol.9.- 46.

62. Giihne 0. and Ltitkenhaus N. Nonlinear entanglement witnesses, covariance matrices and the geometry of separable states // arxiv: quant-ph/0612108

63. Манин Ю. И. Вычислимое и невычислимое.- М.: Кибернетика, 1980.-128 е.

64. Shor P. Polynomial-Time Algorithms for Prime Factorization and Discrete Logarithms on a Quantum Computer // arxiv: quant-ph/9508027.

65. Grover L. K. Quantum Mechanics Helps in Searching for a Needle in a Haystack // Phys. Rev. Lett.-1997.-Vol.79.-P.325 328.

66. Jozsa R. and Linden N. On the role of entanglement in quantum computational speed-up // Proc. Roy. Soc. Lond. A.-2003.-V61.459.-P. 2011.

67. Aharonov D. and Ben-Or M. Polynomial simulations of decohered quantum computers. In IEEE Symposium on Foundations of Computer Science, 46-55 (1996).

68. Preskill J. Reliable quantum computers // Proc. Roy. Soc. Lond. A.-1998.-Vol. 454.-P. 385.

69. Bennett C. H. and Wiesner S. J. Communication via one- and two-particle operators on Einstein-Podolsky-Rosen states // Phys. Rev. Lett.-1992.-Vol.69.-P. 2881.

70. Barenco A. and Ekert A. Dense Coding Based on Quantum Entanglement // J. Mod. Opt.-1995.-Vol.42.-P. 1253-1259.

71. Bose S., Plenio M. B., Vedral V. Mixed state dense coding and its relation to entanglement measures //J. Mod. Opt.-2000.-Vol. 47.-P. 291-310.

72. Dense coding with multipartite quantum states / Bruss D. et. al. // arxiv: quant-ph/0507146.

73. Ekert A. K. Quantum cryptography based on Bellas theorem // Phys. Rev. Lett.-1991.-Vol. 67.-P.661.

74. Experimental quantum teleportation / Bouwmeester D., Pan J-W, Mattle K. et. al. // Nature.-1997.-Vol.390.-P. 575-579.

75. Experimental Realization of Teleporting an Unknown Pure Quantum State via Dual Classical and Einstein-Podolsky-Rosen Channels / Boschi D. et. al. // Phys. Rev. Lett.-1998.-Vol. 80.-P. 1121.

76. Nielsen M. A., Knill E., Laflamme R. Complete quantum teleportation using nuclear magnetic resonance // Nature.-1998.-Vol.396.- P. 52-55.

77. Ландау JI. Д., Лифшиц Е. М. Статистическая физика.-М.: Физ. Мат. Лит., 2002.-Ч. 1-2.

78. Fel'dman Е. В., Bruschweiler R., Ernst R. R. From regular to erratic quantum dynamics in long spin 1 /2 chains with an XY Hamiltonian // Chem. Phys. Lett.-1998.-Vol. 294.-P. 297-304.

79. Multiple-quantum dynamics in solid state NMR / J. Baum, M. Munowitz, A.N. Garroway et. al. // J. Chem. Phys.-1985.-Vol. 83.-P. 2015.

80. Доронин С. И., Максимов И. И., Фельдман Э. Б. Многоквантовая динамика одномерных систем ядерных спинов в твердых телах // ЖЭТФ.-2000.-Т.118.-С. 687.

81. Thermal concurrence mixing in a one-dimensional Ising model / D. Gunlycke, S. Bose, V. Kendon et. al. // Phys. Rev. A.-2001.-Vol.64.-042302.

82. Supercomputer analysis of one-dimensional multiple-quantum dynamics of nuclear spins in solids / Doronin S. I., Fel'dman E. В., Guinzbourg I. Ya. et. al. // Chem. Phys. Lett.-2001.-Vol.341.-P. 144.

83. Гинзбург И. Я., Доронин С. И., Максимов И. И. Моделирование многоквантовой динамики системы ядерных спинов в твердых телах на суперкомпьютере // Мат. Моделирование.-2002.-Т. 14.-С. 3-16.

84. Arnesen M., Bose S., and Vedral V. Natural Thermal and Magnetic Entanglement in the ID Heisenberg Model / / Phys. Rev. Lett-2001.-Vol. 87.- 017901.

85. O'Connors K. and Wootters W. K. Entangled rings // Phys. Rev.1. A.-2OOI.-V0I. 63.-052302.

86. Tribedi A., Bose I. Entanglement and fidelity signatures of quantum phase transitions in spin liquid models // Phys. Rev. A.-2008.-Vol. 77.-032307.

87. Multipartite Entanglement Signature of Quantum Phase Transitions / Thiago R. de Oliveira et. al. // Phys. Rev. Lett.-2006.-Vol.97.-170401.

88. Lian-Ao Wu, Marcelo S. Sarandy, Daniel A. Lidar Quantum Phase Transitions and Bipartite Entanglement // Phys. Rev. Lett.-2004.-Vol. 93.-250404.

89. Quantum Phase Transitions in Matrix Product Systems / Wolf M.M., Ortiz G., Verstraete F., et. al. // Phys. Rev. Lett.-2006.-Vol.97.-110403.

90. Dynamics of entanglement in one-dimensional spin systems / Amico L., Osterloh A., Plastina F. et. al. // Phys. Rev. A.-2004.-Vol.69.-022304.

91. Sachdev S. Quantum phase transitions.-Cambridge: Cambridge University Press, 1999.-373 p.

92. Nielsen M. A. Quantum information theory, Ph.D. thesis (University of New Mexico, 1998). // arxiv: quant-ph/0011036.

93. Wang X. Boundary and impurity effects on the entanglement of Heisenberg chains // Phys. Rev. E.-2004.-Vol.69.- 066118.

94. Distributed entanglement / Coffman V. et al. // Phys. Rev. A.-2000.-V0I.6L- 052306.

95. Witnessing macroscopic entanglement in a staggered magnetic field / Hide J., Son W., Lawrie I. et. al. // Phys. Rev. A.-2007.-Vol. 76.022319.

96. Entangled quantum state of magnetic dipoles / Ghosh S., Rosenbaum T. F., Aeppli G. et. al. // Nature.-2003.-Vol.425.-P. 48-51.

97. Brukner C., Vedral V., Zeilinger A. Crucial role of quantum entanglement in bulk properties of solids // Phys. Rev. A.-2006.-Vol.73.-012110.

98. Berger L., Friedberg S. A., Schriempf J. T. Magnetic Susceptibility of Cu(N03)22.5H20 at Low Temperature // Phys. Rev.-1963.-Vol. 132.-P. 1057-1061.

99. Triplet Waves in a-Quantum Spin Liquid / Xu G., Broholm C., Reich D. et. al. // Phys. Rev. Lett.-2000.-Vol.84.-P. 4465-4468.

100. Vertesi Т., Bene E. Thermal entanglement in the nanotubular system Na2V307 // Phys. Rev. B:-2006.-Vol.73.- 134404.

101. Experimental determination of thermal entanglement in spin clusters using magnetic susceptibility measurements / A.M. Souza et. al. // Phys. Rev. B.-2008.-Vol.77.- 104402.

102. Experimental observation of quantum entanglement in low-dimensional spin systems / Rappoport T. G., Ghivelder L., Fernandes J. C. et. al. // Phys. Rev. B.-2007.-Vol.75.- 054422.

103. Bi-nuclear nitrosyl iron complex with 2-mercapto-imidazolyl: Synthesis, structure and magnetic properties / N. A. Sanina, S. M. Aldoshin, T. N. Rudneva et. al. // J. Mol. Struct.-2005.-Vol. 752.-P. 110.

104. Синтез, строение и NO- донорная активность парамагнитного комплекса Fe2(SC3H5N2)2(NO)4] как модели нитрозильных [2Fe28.-белков / Н. А. Санина, Т. Н. Руднева, С. М. Алдошин и др. // Известия АН. Серия xhm.-2007.-N. 1.-С. 28.

105. Bleaney В. and Bowers К. D. Anomalous Paramagnetism of Copper Acetate // Proc. Roy. Soc. (London) A.-1952.-Vol. 214.-P. 451-465.

106. Карлин P. Магнетохимия: Перевод с англ./ Под ред. В. В. Зелен-цова, М.: Мир, 1989.-399 с.

107. Lieb Е., Schultz Т., and Mattis D. Two Soluble Models of an Antiferromagnetic Chain // Ann. Phys. (N. Y.)-1961.-Vol. 16.-P. 407466.

108. Cruz H. B. and Gonsalves L. L. Time-dependent correlations of the one-dimensional isotropic XY model. // J. Phys. C: Solid State Phys-1981.-Vol. 14.-P. 2785.

109. Сликтер Ч. Основы теории магнитного резонанса.-М.: Мир, 1981.448 с.

110. Абрагам А., Гольдман М. Ядерный магнетизм: порядок и беспорядок,- М.: Мир, 1984.-Т. 1-2.

111. Feldman К. Е. Exact diagonalization of the XY-Hamiltonian of open linear chains with periodic coupling constants and its application // J. Phys. A: Math. Gen.-2006.-Vol. 39.-P. 1039.

112. Гольдман M. Спиновая температура и ЯМР в твердых телах. М.: Мир, 1972,- С. 342.

113. Е. В. Fel'dman, S. Lacelle Multiple quantum nuclear magnetic resonance in one-dimensional quantum spin chains //J. Chem. Phys-1997.-Vol.107.-P.7067.

114. W. K. Rhim, A. Pines, and J. S. Waugh, Time-Reversal Experiments in Dipolar-Coupled Spin Systems // Phys. Rev. B.-1971.-Vol.3.-P. 684-696.

115. Fel'dman E. B., Maximov I.I. Multiple Quantum Dynamics in Linear Chains and Rings of Nuclear Spins in Solids at Low Temperatures // J. Magn. Rfison.-2002.-Vol.157.-P. 106.

116. Cho G. and Yesinowski J. P. H and 19F Multiple-Quantum NMR Dynamics in Quasi-One-Dimensional Spin Clusters in Apatites //J. Phys. Chem.-1996.-Vol. 100.- 15716.

117. Doronin S. I. Multiple quantum spin dynamics of entanglement // Phys. Rev. A.-2003.-Vol. 68.- 052306.