Топологические переходы в теории гравитации тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. Описание квантовых топологических переходов с точки зрения математической модели пространства-времени в общей теории относительности.

§ I. Введение.

§ 2. Математическая модель пространства-времени в общей теории относительности.

§ 3. Действие как функционал топологии многообразия.

§ 4. Характеристические функции и топология многообразий.

§ 5. Описание топологических переходов.*.

§ 6. Некоторые соотношения для амплитуды вероятности топологического перехода.

§ 7. Выводы.

ГЛАВА II. Общий анализ классических моделей топологических переходов.

§ I. Введение.

§ 2. Топологическая структура классических моделей топологических переходов.

§ 3. Метрика и кривизна в окрестности топологических переходов.

§ 4. Сингулярности классических моделей топологических переходов.

§ 5. Скалярно-тензорный подход к построению теории топологических переходов.

§ 6. Выводы.

ГЛАВА III. Применение классических моделей топологических переходов в теории гравитации и космологии.69,

§ I. Введение.

§ 2. Космологическая сингулярность как топологический переход.

§ 3. Топологическая модель рождения планкеона.

§ 4. Выводы.

ГЛАВА. 1У. Космологическая сингулярность как тождественный топологический переход.

§ I. Введение.

§ 2. Задача продолжения решений через сингулярность.

§ 3. Продолжение космологической модели Фридмана через син- ; гулярность.

§ 4. Прямой вариационный метод продолжения решений через космологическую сингулярность.

§ 5. Продолжение решений через космологическую сингулярность и геодезическая полнота.

§ 6. Выводы.

Гипотеза топологических переходов, согласно которой топология пространственных сечений пространства-времени может зависеть от времени, была впервые выдвинута Уилером в связи с его программой геометродинамики [" 28, 44, 45 ] , согласно которой все наблюдаемые свойства вещества и полей, кроме гравитационного, должны объясняться геометрическими, в том числе топологическими, свойствами пространства-времени. Так, например, электрический диполь представляется в геометродинамике Уилера как "захват силовых линий'электрического поля топологией пространства" [ 44, 45 ] , что привело к появлению выражений типа "заряд без заряда", "масса без массы" и т.д. [ 44, 45 ] . Естественным следствием рассмотрения таких объектов, являющихся динамически неустойчивыми, явился вывод о нестатичности топологии пространства, который, в свою очередь, привел к предположению о пенообразной структуре пространства [ 28, 44, 45 ] или пространства- времени [ 70, 72] , в силу которого наблюдаемая топология пространства-времени является результатом усреднения по множеству квантовых фдуктуаций топологии на планковских расстояниях [ 3, 28, 44, 45, 70, 72 ] .

С гипотезой топологических переходов связана более поздняя гипотеза гравитационного вакуума К.П.Станюковича [39,40] , согласно которой гравитационный вакуум представляет собой "море" плотно упакованных частиц - планкеонов, каждая из которых является замкнутой микровселенной, спонтанно размыкающейся во внешнее пространство. Рождение планкеона и его размыкание во внешнее пространство являются топологическими переходами.

Наконец, в последнее время гипотеза топологических переходов получила дальнейшее развитие в связи с идеями о кванто вом рождении Вселенной [ 9, 25, 52, 53, 58, 83, 95, 96 ] , которые также могут быть интерпретированы как предположение о возникновении Вселенной в результате топологического перехода, хотя такая интерпретация и не является единственно возможной.

Одной из предпосылок появления гипотезы топологических переходов является то обстоятельство, что уравнения поля эйнштейновской теории гравитации, равно как и ее монометрических модификаций, являются локальными и не определяют топологию пространства-времени. Вследствие этого различные решения эйнштейновских уравнений поля реализуются на топологически неэквивалентных многообразиях [ 26, 44] , а отдельные решения могут быть реализованы сразу на нескольких, топологически неэквивалентных многообразиях. Это приводит к естественному предположению о возможности топологических флуктуаций на малых (план-ковских}расстояниях, вследствии чего функционал состояния квантовой теории гравитации должен зависеть не только от переменных, определяющих метрику пространства-времени, но и от переменных, определяющих его топологию, что приводит к рассмотрению топологии пространства-времени как одной из динамических переменных квантовой теории [з, 28, 45, 72 ^ . Более того, такое рассмотрение в квантовой теории является не только естественным, но и необходимым [ 3, 28, 44, 45, 72 J , поскольку от топологии пространства-времени зависят некоторые физические свойства микро и макромира. Так,например, некоторые топологические инварианты пространства и пространства-времени могут быть интерпретированы в терминах сохраняющихся величин и симметрий физических систем [49, 59, 72, 94] , топология пространства оказывает влияние на некоторые физические эффекты [8, 12, 52, 72 ^ , может приводить к генерации массы частиц [ 61, 93 ] , спонтанному нарушению симметрии [ 73 ] или восстановлению спонтанно нарушенной симметрии ^61, • Наконец, от топологии пространства и пространства-времени в целом зависят некоторые крупномасштабные свойства Вселенной [24, 49, 51, 62, 94 ] .

Изложенное определяет актуальность проблемы построения теории, описывающей топологию пространства и, в частности, топологические переходы.

Первое рассмотрение свойств пространства-времени, содержащего топологические переходы, было проведено, по-видимому, Героком [ 64 ] , который показал, что пространство-время с компактными пространственно-подобными сечениями, содержащее топологические переходы, должно обладать причинными аномалиями, заключающимися в нарушении условий сильной и устойчивой причинности. Этот результат Герока и доказанные впоследствии более общие утверждения £ 80, 81] были интерпретированы как утверждения о невозможности топологических переходов в классической теории гравитации [ 3, 80 ] . По-видимому этим объясняется то обстоятельство, что классические модели пространства-времени с переменной топологией пространственных сечений до недавнего времени практически не рассматривались, - исключение составляют работы Йодзиса [ 97, 98] применившего теорию сферических перестроек Морса £ 29 , 30, 47 J , работы [78, 79 ] , посвященный исследованию вселенных Стефани, в которых пространственная кривизна является функцией времени и, в частности, может менять знак, что может быть интерпретировано как переход между открытой и закрытой вселенными, хотя существуют модели закрытых вселенных с отрицательной кривизной £ 63] ,

В работах £ 97, 98] содержатся ошибки, исправленные во второй главе диссертации. а также недавние работы Гуца [ 10, II ] , посвященные исследованию возможности нарушения связности физического пространства.

В квантовой теории гравитации, в противоположность классической, предположение о топологических переходах не только не приводит к каким-либо противоречиям или "неприятным" следствиям, вроде нарушения условий причинности, но представляется даже необходимым, как это уже отмечалось несколько выше. В частности, топологические переходы иногда рассматриваются как возможный путь решения проблемы сингулярностей пространства-времени [ 3, 28, 35 ] . При этом допускается, что в окрестности сингулярности классической модели могут меняться все топологические характеристики пространства-времени, включая его размерность [ 62, 70 ] . Однако обсуждению проблемы квантовых топологических переходов посвящено сравнительно небольшое число работ, большинство из которых носит эвристический характер, и только в нескольких работах сделана попытка получения численных оценок [ю, II, 70 ] и построены конкретные модели [ 33 ] , которые могут оказаться полезными при построении общей теории.

Диссертационная работа посвящена обсуждению проблемы топологических переходов частного вида, - мы будем рассматривать топологические переходы между многообразиями М1 и /V/, размерность которых либо совпадает и равна трем, либо одно из многообразий является трехмерным, а другое - пустым множеством. Последний случай соответствует моделям рождения или уничтожения Вселенной.

В первой главе диссертации мы покажем, что зависимость интеграла действия классической теории поля от топологии многообразия может быть выражена через систему характеристических функций нерва локально конечного неприводимого покрытия многообразия, причем связь между локально-конечными неприводимыми покрытиями определенного типа и системами характеристических ' функций их нервов является взаям/но-однозначной. Тем самым будет показано, что система характеристических функций нервов неприводимых покрытий дает одно из возможных, решений проблемы выбора переменных, описывающих топологию многообразия, которые должны быть введены в функционал состояния квантовой теории. Мы покажем также, что система характеристических функций позволяет описывать топологические переходы с помощью конечных или счетных последовательностей элементарных преобразоват-ний этой системы,что создает предпосылки для введения амплитуды вероятности квантового топологического перехода с помощью процедуры, аналогичной фейнмановской процедуре сумиро-вания по историям. Мы рассмотрим некоторые общие свойства амплитуды вероятности квантового топологического перехода и покажем, что квантовые топологические переходы должы быть связаны с существованием некоторого нелокального взаимодействия, определенного на пространстве систем характеристических функций или, что эквивалентно, на пространстве 3-мерных многообразий. з

Поэтому квантовые топологические переходы М1 Мх общего вида, т.е. переходы между произвольными трехмерными многообразиями М* и не имеют классического аналога. Это следует также из того, что для произвольной пары трехмерных многообразий нельзя построить четырехмерное многообразие с краем, границей которого являлось бы несвязное объединение данных трехмерных многообразий.

Однако топологические переходы частного вица, которые могут рассматриваться как переходы между непересекающимися пространственно-подобными сечениями некоторого четырехмерного многообразия п , допускают классическое описание.

Общие свойства некоторого подкласса моделей топологических переходов, допускающих классическое описание, анализируются во второй главе диссертации, в которой излагается общая схема построения классических моделей топологических переходов между многообразиями, которые могут быть реализованы как поверхности уровня некоторой гладкой функции на четырехмерном 1 многообразии М , описывается структура пространства-времени таких моделей, а также структура тензора кривизны и син-гулярностей, Кроме того мы покажем, что описываемая схема построения классических моделей топологических переходов может служить основой для построения скалярнб-тензорной теории гравитации, описывающей топологические переходы. В качестве примеров будут приведены три варианта уравнений такой теории, один из которых сводится к эйнштейновской теории гравитации.

В третьей главе диссертации рассматриваются конкретные модели топологических переходов: модели рождения открытой и закрытой Вселенной, модель топологического перехода между открытой и закрытой Вселенными и модель рождения планкеона. Подробно исследованы модели рождения закрытой однородной изотропной Вселенной и модель рождения планкеона. В последнем случае вычислено, в первом приближении, возмущение метрики вростран-ства-времени, вызванное рождением планкеона на фридмановском фоне. Показано также, что начальная стадия расширения устойчивой относительно малых возмущений общего вида модели рождения однородной изотропной вселенной с топологией трехмерной сферы является линейной, переходящей, для некоторого частного класса моделей, в экспоненциальную ( деситтеровскую ) стадию.

Четвертая, заключительная глава диссертации посвящена обсуждению возможности интерпретации космологической сингулярное

-КЭти как тождественного топологического перехода и связанной с такой интерпретацией процедуры продолжения уравнений поля и их решений через космологическую сингулярность. Мы докажем существование решений, формально продолжаемых через космологическую сингулярность с сохранением направления стрелы времени и приведем примеры такого продолжения. Кроме того, мы покажем, что продолженный через космологическую сингулярность решения геодезически полны, что приводит к естественному выделению двух классов сингулярностей пространства-времени, - локальных и нелокальных сингулярностей, - каждый из которых допускает независимое определение. Мы покажем также, что такое деление не противоречит известным теоремам о существовании сингулярностей.

Актуальность работы обусловлена актуальностью проблемы описания топологических переходов в теории гравитации и отсутствием конструктивного подхода к построению теории топологических переходов.

Цель работы состоит в нахождении конструктивного подхода к построению теории некоторого подкласса топологических переходов, и его применение к решению актуальных проблем теории гравитации и космологии.

Для достижения поставленной цели необходимо исследовать естественные, с точки зрения стандартной математической модели пространства-времени в общей теории относительности, способы описания топологических переходов и возможности их использования для построения теории. В связи с этим ставятся две основных задачи. Во-первых, ставится задача представить в формальном виде зависимость функционала действия классической теории поля от топологии пространства с целью выделения переменных, которые могли бы быть введены в функционал состояния квантовой теории о помощью фейнмановской процедуры суммирования по историям. Во-вторых, ставится задача исследования классических моделей топологических переходов как аналогов соответствующих квантовых моделей и рассмотрения возможности построения чисто классической теории топологических переходов, квантование которой позволило бы получить квантовую теорию топологических переходов некоторого класса. Одновременно ставится задача построения конкретных моделей топологических переходов, в том числе моделей, позволяющих интерпретировать космологическую сингулярность как нетривиальный топологический переход. Кроме того, представляет интерес выяснение возможности альтернативной точки зрения на космологическую сингулярность, т.е. возможности ее интерпретации как тождественного топологического перехода.

Научная новизна работы состоит в следующем:

- впервые в явном формализованном виде представлена зависимость функционала действия классической теории поля от топологии пространства-времени, что позволило установить связь квантовых топологических переходов общего вида с существованием поля нелокального взаимодействия, определенного на множестве трехмерных многообразий; впервые детально исследованы некоторые общие свойства пространства-времени классических моделей топологических пере- . ходов, в том числе структура тензора кривизны и структура и тип связанных с топологическими переходами сингулярностей пространства-времени;

- впервые сформулирован . конструктивный подход к динамическому описанию топологических переходов путем построения классической скалярно-тензорной теории топологических переходов, получен общий вид и рассмотрены три примера уравнений такой теории; впервые построены классические модели рождения вселенной и модель рождения планке она (рождения и слияния двух вселенных) как примеры топологических переходов и показано, что расширение устойчивой относительно малых возмущений модели рождения однородной изотропной вселенной с топологией трехмерной сферы начинается с линейной стадии, переходящей, для некоторого класса моделей, в стадию экспоненциального ( деситте-ровского ) расширения;

- впервые доказана возможность рассмотрения космологической сингулярности как тождественного топологического перехода, исследованы некоторые общие вопросы, связанные с такой интерпретацией, и приведены конкретные примеры.

Теоретическое и практическое значение работы. Основные результаты работы могут найти широкое применение в различных областях классической и квантовой теории гравитации и космологии. Полученные варианты уравнений скалярно-тензорной теории топологических переходов могут быть использованы для построения модельных вариантов квантовой теории топологических переходов, а дальнейшее развитие разработанных методов описания топологических переходов должно привести к построению сначала классической, а затем и квантовой теории топологических переходов. При этом может быть использована полученная в работе явная зависимость интеграла действия классической теории поля от топологии пространства и вытекающий из этой зависимости способ описания топологических переходов общего вида. Кроме того, изложенный подход позволяет интерпретировать некоторые типы скалярно-тензорных теорий гравитации как скалярно-тензорные теории топологических переходов. Методы построения классических моделей топологических переходов могут быть использованы как дои построения новых, топологически нетривиальных, моделей пространства-времени, так и душ интерпретации уже известных сингулярных моделей, что было продемонстрировано на приI мерах однородных изотропных моделей Вселенной и модели розде-ния планкеона. Наконец, методы, развитые при рассмотрении космологической сингулярности как тождественного топологического перехода могут найти широкое применение при классическом исследовании околосингулярного состояния.

Апробация диссертации. Содержание диссертации отражено в 12 публикациях. Кроме того, основные результаты диссертации были изложены на Всесоюзном симпозиуме "Новейшие проблемы гравитации", Москва, 1973 г., на 5-й и 6-й Советских гравитационных конференциях, Москва, 1981 и 1984 г.г., на Втором всесоюзном рабочем совещании "Гравитация и объединение фундаментальных полей", Киев, 1982 г., на 10-й международной гравитационной конференции, Падуя, 1983 г., на Республиканской конференции "Квантовая гравитация и калибровочные поля", Москва, 1983 г., а также на научных семинарах ВНИЦПВ, физического и механико-математического факультетов МГУ им. М.В.Ломоносова, кафедры физики математического факультета 1ЛШИ им. В.И.Ленина.

Основные результаты работы состоят в следующем:

I) В явном формализованном виде представлена зависимость интеграла действия классической теории поля от топологии пространства, что позволило, во-первых, сформулировать общий подход к описанию квантовых топологических переходов с помощью фейнмановской процедуры суммирования по историям и обсудить" ряд вопросов, связанных с таким описанием, а во-вторых, формально показать, что топологические переходы общего вида связаны с существованием поля нелокального взаимодействия, определенного на пространстве трехмерных многообразий и удовлетворяющего принципу частичной суперпозиции состояний.

2) Исследованы структура и некоторые свойства пространства-времени классических моделей топологических переходов, являющихся аналогом квантовых, в том числе: свойства метрики пространства-времени, структура тензора кривизны, структура и тип сингулярностей, связанных с топологическими переходами. Показано, что использованный метод описания классических моделей топологических переходов ведет к скалярно-тензорной теории топологических переходов, получены общие уравнения такой теории и рассмотрены частные случаи.

3) Построены конкретные модели топологических переходов, - модели рождения открытой и закрытой вселенных, модель топологического перехода между открытой и закрытой вселенными и модель рождения планкеона, - которые демонстрируют применимость общего метода построения классических моделей топологических переходов как для интерпретации уже известных моделей пространства-времени, так и для построения новых, топологически нетривиальных, моделей пространства-времени, решающих неко-' торые принципиальные проблемы теории гравитации и космологии.

4) Доказана возможность интерпретации космологической сингулярности как тождественного топологического перехода, приведены примеры и исследованы некоторые следствия такой интерпретации: геодезическая полнота, деление сингулярностей на локальные и нелокальные, связь с теоремами о существовании сингулярностей и с классификацией сингулярностей пространства -времени.

При этом показано, что геодезическая полнота проделженных через сингулярность решений не противоречит теоремам о существовании сингулярностей, уточнена введенная Эллисом и Шмидтом классификация сингулярностей.

1. Арнольд В.Й., Варченко А.Н., Гусейн-Заде С.М. Особенности дифференцируемых отображений. М.: Наука, 1982. - 304 с.

2. Бейлинсон М.М. Нахождение керровских конгруэнции алгебраическими методами в теории отображений псевдоримановых пространств на римановы. Известия вузов. Сер. физика,1982, ■Я I, с. 50-53.

3. Брилл Д., Гоуди Р. Квантование общей теории относительности. В кн.: Квантовая гравитация и топология. М.: Мир, 1973, с. 66-179.

4. Владимиров.Ю.С. Системы отсчета в теории гравитации. М.: Энергоиздат, 1982. 256 с.

5. Герок Р. Сингулярности в общей теории относительности. -В кн.: Квантовая гравитация и топология. М.: Мир, 1973, с. 27-65.

6. Герценштейн М.Е., Константинов М.Ю. 0 продолжении решений -уравнений общей теории относительности через особенности.- В кн.: Проблемы теории гравитации и элементарных частиц, вып. 6, М.: Атомиздат, 1975, с. 23-31.

7. Герценштейн М.Е., Константинов М.Ю. Прямой вариационный метод исследования продолжаемости решений через сингулярность в общей теории относительности. Известия вузов. Сер. физика, 1977, № 10, с. 7-13.

8. Гончаров Ю.П. Эффект Казимира в "ящике" с нетривиальной топологией. Известия вузов. Сер. физика,1983,№ 8,с.85-89.

9. Грищук Л.П., Зельдович Я.Б. Полные космологические теории.- В кн.: Квантовая гравитация. Труды II семинара "Квантовая теория гравитации. Москва, 13-15 октября 1981г.". М.: 1982, с. 39-47.

10. Гуц А.К. Изменение топологии физического пространства взамкнутой Вселенной. Известия вузов. Физика, 1982, № 5, с. 23-26.

11. Гуц А.К. Нарушение связности физического пространства. -Известия вузов. Сер. физика, 1983, 18, с. 3-6.

12. Де Витт Б.С. Квантовая гравитация: новый синтез. В кн.: Общая теория относительности. М.: Мир, 1983, с. 296-362.

13. Зельдович Я.Б., Новиков И.Д. Строение и эволюция Вселенной, М.: Наука, 1975, 735 с.

14. Зельдович Я.Б., Соколов Д.Д., Старобинский А.А. Некоторые вопросы геометрии в целом в общей теории относительности. В кн.: Всесоюзная научн. конф. по неевклидовой геометрии "150 лет геометрии Лобачевского", Казань, 1976. М.: ВИНИТИ, 1977, с. 122-133.

15. Константинов М.Ю. 0 продолжении решений уравнений ОТО через особенности. В кн.: Тезисы докл. всесоюзн. симпозиума "Новейшие проблемы гравитации", 18-20 июня 1973г., М, 1973, с. 136-137.

16. Константинов М.Ю. Возможный подход к описанию топологических переходов в квантовой теории гравитации. Известия вузов. Сер. физика, 1983, Л 4, с. 55-59.

17. Константинов М.Ю. Простейшие классические модели топологических переходов в общей теории относительности. Известия вузов. Сер. физика, 1983, № 12, с. 42-46.

18. Константинов М.Ю. Возможный подход к описанию топологических переходов в квантовой теории гравитации. В кн.: Космические исследования на Украине. Вып. 17. Киев.:Наук, думка, 1983, с. 78-79.

19. Константинов М.Ю. Некоторые вопросы исследования локальных t—:-сингулярностей пространства-времени.- там же, с. 53-54.

20. Константинов М.Ю. Классические модели топологических переходов в общей теории относительности. В кн.: Тезисы-докладов 6-й Советской гравитационной конференции. Москва. 1984Л.:УДН, 1984, с. 64-65.

21. Константинов М.Ю. Скалярно-тензорный формализм в классической теории топологических переходов. там же, с. 66-67.

22. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория поля. М., Наука, 1973,- 504 с.

23. Мельников В.Н. 0 квантовых эффектах в космологии. Доклады АН СССР, 1979, т. 246, & 6, с. I35I-I354.

24. Мизнер Ч., Торн К., Уилер Дд. Гравитация, т. I. М.: Мир, 1977. 474 с.

25. Мизнер Ч., Торн К., Уилер Дж. Гравитация, т. 2. М.: Мир, 1977. 525с.

26. Мизнер Ч., Торн К., Уилер Дж. Гравитация, т. 3. М.: Мир, 1977. 510 с.

27. Милнор Дж. Теория Морса. М.: Мир, 1965, 184 с.

28. Милнор Дж., Уоллес А. Дифференциальная топология. Начальный курс. М.: Мир, 1972, - 277 с.

29. Мицкевич Н.В. Отображение псевдоримановых пространств на римановы в общей теории относительности. В кн.: Гравитация и теория относительности. Вып. 19, Казань.: КГУД983.- с. II5-II9.

30. Пенроуз Р. Структура пространства-времени. М.:Мир, 1972. - 182 с.

31. Пономарев В.Н. О топологических переходах в квантовой космологии. В кн.: Тезисы докладов всесоюзн. конф.: "Современные теоретич. и эксперим. проблемы теор. относит, и гравитации", Москва, МГУ, ишь 1981г. М.: Изд-во Московского ун-та, 1981, с. 240.

32. Постников М.М. Введение в теорию Морса. М.: Наука, 1971.- 568 с.

33. Сарданашвили Г.А., Янчевский В.П. Пространственно-временные слоения в теории гравитации. Известия вузов. Сер. физика, 1982, № 9, с. 20-23.

34. Сахаров А.Д. Космологические модели Вселенной с поворотом стрелы времени. ЖЭТВ, 1980, т. 79, № 3, с. 689-693. .

35. Соколов Д.Д., Старобинскии A.A. 0 структуре тензора кривизны на конических.особенностях. Докл. АН СССР, 1977, т. 234, № 5, с. I043-1046.

36. Станюкович К.П. Гравитационное поле и элементарные частицы. М.: Наука, 1965,

37. Станюкович К.П., Мельников В.Н. Гидродинамика, поля и константы в теории гравитации. М.: Энергоатомиздат, 1983, 256 с.

38. Старобинский A.A. Эволюция малых возмущении изотропных космологических моделей с однопетлевыми квантовыми гравитационными поправками. Письма в ЮТ®, т. 34, № 8, с. 460-463.

39. Толмен Р. Относительность, термодинамика и космология. -М.: Наука, 1974, 520 с.

40. Уилл K.M. Теория гравитации и эксперимент. В кн.: Общая теория относительности. М.: Мир, 1983, с. 11-86.

41. Уилер Дж. Гравитация, нейтрино и Вселенная. М.: ИЛ, 1962. 403 с.

42. Уилер Дж. Предвиденье Эйнштейна. М.: Мир, 1970. 112 с.

43. Фейнман Р., Хибс А. Квантовая механика и интегралы по траекториям. М.: Мир, 1968. 382 с.

44. Фоменко А.Т. Дифференциальная геометрия и топология. Дополнительные главы. М.: МГУ, 1983. 216 с.

45. Хилтон П., Уайли С. Теория гомологий. М.: Мир,1966.-452с.

46. Хокинг С., Эллис ДЖ. Крупномасштабная структура пространства-времени. М.: Мир, 1977, 431 с.

47. Шабат Б.В. Введение в комплексный анализ. М.: Наука, 1969. - 576 с.

48. Akama K., Terazawa H. Pregeometric origin of the big bang.-Gen, Helat. and Gravit,, 1983; v. 15, N 3, p. 201-207.

49. Bonnor W.B., Vickere P.A. Junction conditions in general relativity.- Gen. Relat. and Gravit., 1981, v. 13, N 1,p.29-36.

50. Bosshard B. On b-boundaries of spetial space-time models.-Gen. Relat. and Gravit., 1979,v. 10, N 12, p. 963-966.

51. Brout R., Englert F., Gunzig E. The creation of the universe as a quantum phenomenon.- Ann. Phys.(USA), 1|f8, v.115,N 1, p. 78-106.

52. Clarke C.J.S. Magnetic charge, holonomy and characteristic classes: illustrations of the methods of topology in relativity.- Gen. Relat. and Gravit., 1971,v. 2, N. 1,p. 43-51.

53. Clarcke C.J.S., Boundary definitions.- Gen. Relat, and Gravitations, 1979, v. 10, N 12,p. 977-980.

54. Denardo G., Spallucci E. Dinamical mass generation in £> X-R Nucl. Phys,, 1980, v. B169, N 5-6,p. 514-526.

55. Ellis G.F.R., Schmidt B.G. Singular space-times.- Gen, Relat, and Gravit,, 1977,v. 8, IT 11,p. 915-953.

56. Fagundes H.V. Compactification of Friedman's hyperbolic model,-Phys. Rev. Lett., 1983, v. 51, N 6, p. 517-518.

57. Geroch R. Topology in general relativity.- J. Math. Phys., 1967, v. 8, N 4, P. 782-786.

58. Geroch R. What is a singularity in general relativity.- Ann. Phys.(U.Y.), 1968, v.48, N 3, p. 526-540.

59. Geroch R. Local characterization of singularities in general relativity.- J.Math. Phys., 1968,v. 3, p. 450-465.

60. Geroch R. Some recent works on global properties of spacetimes. in: Actes Congr. int. mathématiciens, 1970, v. 3, Paris, 1971, p. 41-45.

61. Geroch R., Horowitz G.T. Global structure of spacetimes.-in: General Relativity. An Einstein Centenary Survey, Cambridge U.P., 1979, p. 212-293.

62. Geroch R., Chan-bin Liang. Singular boundaries of space-times.-J. Math. Phys., 1982, v. 23, H 3,p. 432-435.

63. Hawking S. W. Spacetime foam.- Nucl. Phys., 1978, v. B144,t1. N. 2-3, p. 349-362.

64. Heller M. Szydlowski M. Tolman's cosmological models.- Astro-phys. and space sci., 1983, v. 90, H 2, p. 327-335.

65. Isham C.J. Quantum gravity- An overv^iw.-in: Quantum Gravity 2: 2nd Oxford Symp., Apr.,1980.- Oxford, 1981, p. 1-62.

66. Isham C.J. Space-time topology and spontaneous symmetry breaking.- J.Phys. A: Math, and Gen., 1981,v. 14, N 11,p. 29432956.

67. Ivanenko D., Sardanashvily G, Foliation analysis of gravitational singularities.- Phys. Lett., 1982,v. A91,N 7,p. 341344.

68. Kennedy G. Topological symmetry restoration.- Phys.Rev. D: Part, and Fields, 1981,v. D23, N 12, p. 2884-2900.

69. Konstantinov M.Yu. Towards the description of the topological transitions in quantum gravity.- in: 10th Int. Conf. Gen.

70. Relat. and Gravit., Padova, 4-9 July 1983. Contrib. Pap. Vol. 2., Roma, 1983, p. 1107-1109.

71. Konstantinov M.Yu. Classical models of the topological transitions in general relativity.- in: 10th Int. Conf. Gen. Relat. and Gravit., Padova, 4-9 July 1983. Contrib. Pap. Vol. 2., Roma, 1983, p. 1110-1112.

72. Krasinski A. The universe with vising topology of spatial slices. in: 10th Int. Conf. Gen. Relat. and GravitPadova, 4-9 July 1983. Contrib. Pap. Vol. 2., Roma, 1983, p. 841-843.

73. Krasinski A. On the global geometry of the Stephani universe.-Gen. Relat. and Gravit., 1982, v. 14, N 5, p. 509-514.

74. Lee C.W. Topology change in general relativity.- Proc. Roy. Soc. London, 1978, v. A364, N 1718, p. 295-308.

75. Lee C.W. The topology of geodesically complete space-times.-Gen. Relat. and Gravit., 1983, v. 15, N 1,p. 21-30.

76. Lewis S.M. Three-dimensional Regge quantum gravity and 6j sim-bols.- Phys. Lett., 1983, v. B122, N 3-4, p. 265-267.

77. Melnikov V.N., Orlov S.V. Nonsingular cosmology as a quantum vacuum effect.- Phys. Lett., 1979, v. A70, N 4, p. 263-265.

78. Parker P.E. Distributional geometry.- J. Math. Phys., 1979, v. 20, N 7, p. 1423-1426.

79. Robson E.H. Junction conditions in general relativity theory.-Ann. Inst. H. Poincare', 1972, v. A16, N 1, p. 41-50.

80. Schmidt B.G. Remarks about modifications of the b-boundary definition.- Gen. Relat. and Gravit., 1979, v.10, N 12,p.981-982.

81. Seifert H.-J. Thei causal boundary of spacetime.- Gen. Relat. and Gravit., 1971, v.1, N 3,p. 247-2§9.

82. Singh Т., Rai L.N. Scalar-tensor theories of gravitation:foundations and prospects.- Gen. Relat. and Gravit., 1983» v. 15, И 9, p. 875-902.

83. Taub А.Н. Remarks on the symposium on singularityesGen. Relat. and Gravit.,1979, v. 10, N 12, p. 1009.

84. Taub A.H. Space-times with the distribution valued curvature tensors.- J. Math. Phys., 1980, v. 21, N 6, p. 1423-1431.

85. Thorne K.S., Lee D.L.,Lightman A.P. Foundations for a theoryof gravitation theories.- Phys. Rev. D: Part, and Fields, 1973, v. D7, N 12, p. 3563-3578.

86. Toms D.J. Casimir effect and topological mass.- Phys. Rev. D:

87. Part, and Fields, 1980, v. D20, N 4,p. 928-932.

88. Unwin S.D. On cosmology, topology and field theory.- Gen. Relat. and Gravit., 1982, v. 14, N 5, p. 509-514.

89. Vilenkin A. Bith of inflationary universes.- Phys.Rev. D: Part, and Fields, 1983,v. 27, И 12, p. 2848-2855.

90. Vilenkin A. Creation of universe from nothing.- in: 10th Int. Conf. Gen. Relat. and Gravit., Padova, 4-9 July 1983. Contrib. Pap. Vol. 2., Roma, 1983, p. 841-843.

91. Yodzis P. Lorentz cobordism.- Commun.Math. Phys.,1972,v.26, N 1, p. 39-52.

92. Yodzis P. Lorentz cobordism II.- Gen. Relat.and Gravit.,1973, v. 4, N 4,p. 299-307.