Вопросы калибровочной теории дислокаций и дисклинаций в кристаллах и квазикристаллах тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.18 ВАК РФ

Моск{^кий ордена Ленина, ордена Октябрьской Революции ^ ^Е&рдена Трудового Красного Знамени государственный

чь университет имени М.В.Ломоносова \—--

Физический факультет

На правах рукописи УДК 548.4

МУСИЕНКО Андрей Иванович

ВОПРОСЫ КАЛИБРОВОЧНОЙ ТЕОРИИ

ДИСЛОКАЦИЙ И ДИСКЛИНАЦИЙ В КРИСТАЛЛАХ И КВАЗИКРИСТАЛЛАХ

Специальность 01.04Л 8 — кристаллография, физика

кристаллов

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва — 1998

Работа выполнена на кафедре физики полимеров и кристаллов физически факультета Московского государственного университета им. М.В. Ломоносо!

Научные руководители: доктор физико-математических наук

профессор В.А. Копцик, доктор технических наук профессор Л.И. Маневич Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук

ведущий научный сотрудник В.А. Осипов,

кандидат физико-математических наук доцент П.И. Пронин Ведущая организация: Институт кристаллографии

им. A.B. Шубникова РАН

Защита состоится « Л ) » О Л 1998 г. в _ ча(

на заседании диссертационного Совета N 1 ( К 053.05.19 ) отделения физ! твердого тела физического факультета МГУ по адресу: 119899, ГСП, г. Мои В-234, Воробьевы горы, МГУ, физический факультет, ауд.

ш

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке физического факульт МГУ.

Автореферат разослан « 1998 г.

Ученый секретарь диссертационного Совета кандидат физико-математических наук ^ И.А. Никаноро

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы.

В настоящее время проблема поведения дислокаций и дисклинаций в сталлах и их взаимодействия с упругими полями становится все более уальной в связи с широким использованием кристаллов, содержащих ейные дефекты, во многих отраслях техники.

При построении динамической теории дислокаций [1] было обнаруже-что в этой теории существуют содержательные аналогии с электро-:амикой. В частности, дислокации можно рассматривать как аналог ктрических зарядов, поля механических напряжений и деформаций — аналоги напряженности и индукции электрического и магнитного пои т. д. В теории дислокаций были найдены аналоги всех эффектов, чествующих в электродинамике, в том числе релятивистских. Позже 1а продемонстрирована аналогия между теорией линейных дефектов зслокаций и дисклинаций ) и теорией гравитации. Дальнейшие иссле-ания показали, что эти аналогии объясняются калибровочной приро-: динамической теории линейных дефектов. Таким образом, наиболее гаое описание поведения дислокаций и дисклинаций в кристаллах и их лмодействия с различными полями можно дать только в рамках кали->вочного подхода.

В начале 80-х годов Кадич и Эделен [2] разработали калибровочную фию линейных дефектов в кристаллах. Эта теория использовалась для >ретического исследования ряда эффектов в реальных кристаллах: дис-ационного плавления [3], рассеяния электронов на топологических дейтах [4], а также для изучения вибрационных свойств кристаллов с локациями и дисклинациямй [5] и взаимодействия электромагнитно-поля с линейными дефектами [6]. В то же время предложенный Ка-г и Эделеном [2] вариант калибровочно-полевой теории дислокаций и жлинаций обладает рядом существенных недостатков. Материальным ■ранжианом в этой теории-является лагранжиан, описывающий безмас-

совое упругое поле в бездефектном континууме, тогда как в электрс намике материальным лагранжианом является дираковский лагравжг описывающий массивное электрон-позптронное поле без учета элект магнитного взаимодействия. Кадия и Эделен описывали вэанмодейст дефектов с упругими полями, заменяя частные производные в лагр жиане упругого поля на коварнантные. При этом в теории появлял новые постоянные — константы связи. Авторы [2] не смогли показа как эти константы связаны с известными характеристиками твердых 1 плотностью, модулями упругости и т. д. Анализ указанных выше ана гий с электродинамикой показывает, что материальным лагранжиав теории дислокаций должен быть лагранжиан, описывающий частице: добные объекты - дислокации, а не лагранжиан упругого поля в без, фектной среде. Поэтому в настоящей работе предлагается иной варка калибровочной теории дислокаций и дисклинаций.

До настоящего времени была недостаточно изучена проблема тео]

тилеского описания свойств линейных дефектов в кристаллах со ело

ными ( многоатомными ) решетками, т. е. в кристаллах, содержащ

более одного атома в элементарной ячейке. Единственная калибровс

ная теория дислокаций и дисклинаций в средах с микроструктурой бы

предложена Лагоудасом [7]. Она представляет собой модификацию те

рии Кадич и Эделена. В качестве материального лагранжиана Лагоуд

использовал лагранжиан упругого поля в континууме без микростру

туры, а в качестве калибровочной группы — группу "свернутого" сш

тения 50(3) > Т(3) <8 £0(3), где 1> — символ полупрямого произвел N

ния групп, ® — символ прямого произведения, повторенного N раз, N -N

число атомов в элементарной ячейке кристалла. Такой подход предст вляется неудачным, поскольку саму микроструктуру континуума ( дал в отсутствие дефектов ) автор [7] предлагает описывать с помощью к. либровочного формализма. Следовало бы сначала описать континуум микроструктурой, а затем учитывать взаимодействие дефектов с упр; гими полями, используя калибровочный подход.

Кроме того, до настоящего времени вообще отсутствовали какие-либ

левые теории, описывающие динамическое поведение линейных дефек-в в квазнкристаллах. Мало внимания также уделялось проблеме теоре-ческого описания влияния дислокаций на физические свойства кристал-з со сложными решетками. Поэтому нам представлялось целесообраэ-м сформулировать усовершенствованный вариант калибровочной теш дислокаций и дисклинаций в кристаллах со сложными решетками, а ¿же калибровочную теорию линейных дефектов в квазикристаллах, и зменить их к изучению физических свойств реальных кристаллов.

Целью работы является:

- построение калибровочной теории дислокаций п дисклинаций в кри-ьллах со сложными ( многоатомными ) решетками;

- построение калибровочной теории линейных дефектов в квазикри-ллах;

- численное моделирование методом молекулярной динамики пластиче-й деформации кристаллического полиэтилена для изучения основных >актеристик этого процесса и нахождения констант, необходимых для чета влияния дислокаций на колебательный спектр;

- применение построенной в работе калибровочной теории линейных )ектов в кристаллах со сложными решетками для расчета влияния дис-аций на колебательный спектр кристаллов полиэтилена.

Научная новизна работы.

В результате проведенных исследований впервые:

- предложена калибровочная теория, описывающая в континуальном :ближении поведение дислокаций , дисклинаций и упругих полей в хри-ллах со сложными ( многоатомными ) решетками, построен лагран-ш взаимодействия дефектов с упругими полями, найдены основные внения теории;

- предложена калибровочная теория, описывающая в континуальном ближении поведение дислокаций, дисклинаций и упругих полей в ква-ристаллах;

- проведено моделирование движения дислокаций в двумерном мо клинном монокристалле полиэтилена методом молекулярной динамик: целью поучения механизма пластической деформации полимерных к; сталлов, подтверждены теоретические предсказания величины напря; ния диссоциации дислокационных дпполей, по результатам моделиро ния рассчитаны величины, характеризующие движение дислокаций ( : фективная инертная масса дислокаций, эффективная вязкость );

- результаты предложенной в работе теории использоваяы для в чения влияния дислокаций на колебательный спектр кристаллов со слс ными решетками;

- проведены расчеты вибрационных спектров для кристалличесю полиэтилена, содержащего краевые дислокации с вектором Бюргерса, : раллельным осям полимерных цепей.

Практическая значимость работы.

Работа носит теоретический характер. Построенные в работе ка: бровочные теории дислокаций и дисклннаций в кристаллах со сложг ми (многоатомными) решетками и в квазикристаллах позволяют oi сывать любые динамические процессы, происходящее с дислокациям! дисклинацмями в кристаллах со сложными решетками и в квазшсрист; лах, включая взаимодействие с любыми полями. Эти результаты moi * иметь применение при решении широкого спектра задач материала денил. Результаты молекулярно-динамического моделирования движеЕ краевых дислокаций в кристаллах полиэтилена могут быть использова при дальнейшем изучении процессов пластической деформации полио: лена и других полимерных кристаллов. В настоящей работе они исполь; вались для расчета влияния краевых дислокаций на колебательный спек кристаллов полиэтилена. Эти результаты могут применяться, в част] сти, в дефектоскопии для определения плотности дислокаций в о браг по его вибрационным спектрам.

Апробация работы.

Основные результаты диссертации докладывались на Международ-й конференции аспирантов и студентов "Ленинские горы-95" ( Москва, 95 г. ), на Петербургских чтениях по проблемам прочности ( Санкт-?тербург, 1996 г. ), на Международной конференции "Микромеханизмы астичности, разрушения и сопутствующих явлений" ( Тамбов, 1996 г.), , III Международной конференции "Кристаллы: рост, свойства, реаль-я структура, применение" (Александров, 1997 г.), на V Международной нференции "Математика. Компьютер. Образование" ( Дубна, 1998 г. ), , научной конференции Института химической физики им. H.H. Семено-

РАН ( Москва, 1998 г. ), на семинарах кафедры молекулярной физикп физических измерений физического факультета МГУ и Института хи-гческой физики им. H.H. Семенова РАН.

Публикации.

Основные научные результаты диссертации опубликованы в 9 печат-IX работах, одна работа принята к публикации, одна работа направлена течать. Список публикаций приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации.

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, выводов и иска литературы. Общий объем работы составляет 90 страниц, в том еле 8 рисунков и список литературы, включающий 140 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы диссертационного иссле-вания, сформулирована цель работы, обозначен круг рассматриваемых просов, кратко изложено содержание диссертации.

В первой главе сформулированы калибровочная теория дислокаций

и дисклинаций в кристаллах со сложными ( многоатомными ) решетка: и калибровочная теория линейных дефектов в квазикристаллах.

В разделе 1.1 приведен обзор литературы и состояния исследований теме диссертации, рассмотрены аналогии между динамической теори дислокаций и дисклинаций и фундаментальными теориями поля ( элс тродинамикой, теорией гравитации ), дан критический анализ пред! гавшихся ранее калибровочных теорий линейных дефектов в кристалл? Отмечены недостатки теорий Кадич и Эделена [2] и Лагоудаса [7].

Раздел 1.2 посвящен построению калибровочной теории дислокацш дисклинаций в кристаллах со сложными ( многоатомными ) решеткам При формулировке теории использовались пространственно-временн) 4-мерные обозначения, что позволило учесть релятивистские эффект связанные с конечностью скоростей звука, и представить все результат в компактной форме. Эти эффекты по своей природе совершенно ана.т гичны эффектам специальной теории относительности. К ним относятс в частности, зависимость полной энергии дислокации от ее скорости, "х ренцевское" ( с заменой скорости света на скорость звука ) сокращен ширины движущейся дислокации, радиационное трение, действующее : ускоренно движущуюся дислокацию, сила Лоренца, действующая на дв жущуюся дислокацию со стороны упругого поля и т. д.

Для построения калибровочной теории линейных дефектов в сред; с микроструктурой наиболее удобна модель многоатомного кристалл предложенная М. Борном. В этой модели кристалл, содержащий N атом* в элементарной ячейке, рассматривается как совокупность N вложеннь друг в друга взаимопроникающих подконтинуумов. Это позволяет вв сти в каждой точке континуума вектор смещения частиц среды и; , г, г = 1,2,..., ЪЫ. Первые 3 компоненты вектора описывают смещения 1-; подконтинуума, следующие 3 — 2-го и т. д. Каждый подконтинуум явл ется безграничной анизотропной сплошной средой.

Выделим в изучаемом полиатомном кристалле одиночную дислок цию. Мы можем построить контур Бюргерса, двигаясь только по ат мам 1-й подрешетки, и найти вектор Бюргерса Ь х , характеризуюсь

дислокацию в этой подрешетке. Аналогично построим вектор Бюргерса, двигаясь только по атомам 2-й подрешетки, и найдем вектор Бюргерса hi ит. д. Тогда дислокацию в многоатомном кристалле мы можем характеризовать вектором Бюргерса Ъi, где г = 1,..., 3N. Аналогичные рассуждения справедливы п для дисклинаций, что позволяет ввести SN-мерный вектор Франка , г = 1,..., 3N и тензор Франка О „у = и>г . Здесь n,i = 1,...,32V; j = 1,2,3, enij — обобщенный тензор Леви-Чивиты, определенный следующим образом: при г = а, а + 1, а + 2, где а (mod 3) = 1; п = а,а+1,а+2 и тензор ё„у принимает те же значения, что и обычный 3-мерный тензор Леви-Чивиты при n,i = 1,2,3. Для каждого подконтинуума мы можем записать уравнение, характеризующее несовместность. Используя введенные обозначения, все эти уравнения можно объединить в одно 4-мерное уравнение. Для среды без дисклинаций оно имеет вид:

'дд да ип (хь) - дадд ип (хь ) = е giah J' n h (x b) , (1)

где n = 1,... ,3N; a,b,g,h,i = 0,1,2,3, dT = e giah — 4-мерный тензор Леви-Чивиты, 4-мерный тензор плотности потока дислокаций

Jinh{xb) = ribnVh8{ хь-хь°), (2)

г1 — единичный вектор, касательный к линии дислокации в хь° ) Ъп — вектор Бюргерса, Vh = (1, V), V — 3-мерньш вектор скорости движения дислокации, 8(хъ — х ь°) — дельта-функция Дирака, х ь° — координаты дислокационной линии.

Используя уравнение (1) и определение функции Грина, получаем формулы, выражающие упругие поля линейных дефектов в кристалле с многоатомной решеткой через функцию Грина основных уравнений теории упругости изучаемого континуума с микроструктурой. Заменим каждую дисторсию в лагранжиане, описывающем упругие поля в бездефектном континууме с микроструктурой, на сумму дисторсии, созданной внешним упругим полем, и дисторсий, порожденных линейными дефектами. Преобразовав получившееся выражение, найдем лагранжиан вэаимо-

действия упругих полей с дефектами

Ьт1 = -Вдг}Кд1\ (

где 4-мерный тензор тока дефектов

К™ {ха) = е^ь (/0 ' ь [хл ) + Па " ь ){хт-

(

-г,)) + |/Й" V! ё 6{х а-х'л ,

г = 1,...,31^; а,Ъ,<1,},д,з,т,1 = 0,1,2,3; — тензорный потенциа 4-мерный тензор плотности потока дискгшнащш

хг — координаты точки приложения вектора Франка к дисклинационнс линии, х 1° — координаты дисклинационной линии, (¿/'6< — элемент пл* щади, лежащий в плоскости, образованной ортами е' и е4, Б — повер: ность образования днсклнвации. Четырехмерный тензор механическг. напряжений связан с тензорным потенциалом соотношением

а1} = 3 * В^ . ((

В результате варьирования лагранжиана среды с дефектами по те! . зорному потенциалу и по координатам дефектов найдены уравнения, ош сывающие эволюцию упругих полей в присутствии дислокаций и дискл: наций ( аналог уравнений Максвелла в электродинамике ) и силы, де! ствующие на линейные дефекты со стороны упругих полей ( аналог си Кулона и Лоренца в электродинамике ). Эти уравнения учитывают взг имодействие дислокаций и дисклинаций не только с акустическими, но с оптическими фононными модами. В частном случае кристалла с одни) атомом в элементарной ячейке они сводятся к уравнениям, найденньп ранее Косевичем [1] для дислокаций и другими авторами — для дискли наций. Обосновано использование группы 30(ЗЛГ) О Т(ЗЛГ) в качеств калибровочной, где N — число атомов в элементарной ячейке кристалла

В результате применения второй теоремы Нетер найдены законы сохранения для тензоров плотности потока дислокаций и дисклинаций, являющиеся следствием симметрии системы относительно калибровочных преобразований. Они совпадают с законами, полученными ранее другими авторами топологическими методами.

В разделе 1.3 построена калибровочная теория дислокаций и дисклинаций в квазикристаллах ( называемых также апериодическими кристаллами ). Открытые в 1984 г. квазикристаллы представляют собой особый класс твердых тел. Они отличаются от обычных кристаллов отсутствием трансляционной симметрии при наличии дальнего ориентационного порядка. В работе использовано континуальное описание апериодических кристаллов. В этом подходе ¿-мерный квазикристалл рассматривается как анизотропная сплошная среда с квазикристаллической симметрией, в каждой точке которой задан вектор смещения частиц континуума и ¿, г = 1,..., (I и фазонная переменная ту — 1, 2,..., г ~ где г — ранг квазикристаллической обратной решетки, то есть наименьшее число целочн-сленно независимых векторов в любом наборе, генерирующем решетку. Природу фазонной переменной легче всего объяснить с помощью проекционной модели квазикристалла. Согласно этой модели квазикристалл можно рассматривать как результат проецирования атомов некоторой полосы В г-мерного кубического кристалла ( так называемого пракри-сталла ) на ¿-мерную гиперплоскость Н, образующую иррациональный угол с кристаллографическими плоскостями пракристалла и параллельную В. Обычные г-мерные смещения атомов пракристалла проецируются на гиперплоскость Н. Компоненты этих смещений, параллельные Н, переходят в обычные ( так называемые "фононные" ) смещения атомов квазикристалла, а компоненты, нормальные Н, определяют значения фа-зонных переменных. Другими словами, фазонная волна представляет собой волну перестроек атомной структуры квазикристалла. Дефекты в квазикристалле являются проекциями дислокаций и дисклинаций, существующих в пракристалле, на гиперплоскость Н. Из теории гомотошш следует, что в пракристалле, а, следовательно, и в апериодическом кри-

сталле, не существует других топологических дефектов.

При построении калибровочной теории дислокаций и дисклинаций : квазикристаллах использована методика, развитая в разделе 1.2 для фор мулировкн калибровочной теорией линейных дефектов в кристаллах многоатомными решетками. Это оказывается возможно вследствие то го, что фазонные моды в апериодических кристаллах являются анало гом оптических фононных мод в кристаллах с многоатомными решетка ми — фазонные переменные описывают внутренние степени свободы ] квазикристаллах, появляющиеся вследствие их своеобразной внутренне! структуры.

Введем г-мерный вектор смещений частиц квазикристаллическогс континуума иПервые (I компонент вектора — это обычные ( "фонон-ные" ) смещения, а остальные (г — — фазонные переменные. Используй представление о г-мерных смещениях, можно повторить рассуждения предыдущего раздела. Все уравнения, полученные в разделе 1.2, остаются I силе и в случае квазикристалла, но те индексы, которые в разделе 1.2 былг 4-мерными, станут (й-Ы)-мервыми, а Л'-мерные — г-мерными, где N — число атомов в элементарной ячейке многоатомного кристалла. Фундаментальной группой пракристаяла с дислокациями и дисклинациями является группа 50(г) > У(г), следовательно, она является и фундаментальной группой квазикристалла. Поэтому калибровочной группой данной теории в наиболее общем случае должна быть группа в О (г) > Т(г).

В разделе 1.4 проведено сопоставление подходов расслоенных пространств и позиционной цветной симметрии. Показано, что развитые в работах В.А. Копцика [8] методы позиционной цветной симметрии могут использоваться для описания симметрии пространств, в которых заданы калибровочные поля. Потенциал калибровочного поля можно рассматривать как дополнительную негеометрическую координату. Группой симметрии нашего многомерного пространства является подгруппа группы сплетения Р тг (3 группы О с группами Р :

С?*" С Р гиг в = (Р91 х Р3г х ...Р» х ...) > <3, (7)

\це С? — обычная ( классическая ) пространственная группа симметрии. 3 простейшем случае однородного изотропного пространства в качестве 7 можно выбрать евклидову группу б? = 50(3) С> Т(3). В качестве Р ;ля скалярного потенциала можно в наиболее общем случае расположения зарядов взять группу всех действительных чисел. Операторы группы О™ имеют вид

<р?^...р?\..|<7г>еР™г<?. (8)

Классическая часть оператора (8) <?,■ действует на геометрические ко-эрдинаты точек г;- = д^, а нагрузка р\', принадлежащая позиции д, цействует на физическую характеристику материальной точки, т. е. на потенциал если д^ = г*, то р^1р(г,) =

Во второй главе изложены результаты моделирования движения дислокаций в двумерном моноклинном монокристалле полиэтилена (ПЭ) методом молекулярной динамики.

Как известно, в обычных ( неполимерных ) кристаллах величина предела текучести г г определяется высотой барьера Пайерлса. В работе В.В.Гинзбурга и Л.И. Маневича [9] было показано, что в сильно анизотропных кристаллах предел текучести для краевых дислокаций с вектором Бюргерса, параллельным осям полимерных цепей, равен

г4 = ( 2С/А)ехр(-2тг/А), . (9)

где С - модуль сдвига, Л = 2(0/Е) Е - модуль растяжения ( модуль Юнга ). В сильно анизотропных полимерных кристаллах, где С? <С -Е, А <С 1, предел текучести оказывается настолько мал, что им молено пренебречь. В таком случае основным механизмом развития процесса пластической деформации должна быть диссоциация дислокационных диполей, т. е. пар дислокаций с равными по модулю, но противоположными по знаку векторами Бюргерса. Изучение этого явления явилось основной целью данной главы.

Для исследования пластической деформации полимерных монокристаллов использовалась ранее разработанная Н.К. Балабаевым и соав-

торами [10] мояекулярно-динамическая модель моноклинного кристалл; ПЭ. В данной работе в эту модель были введены краевые дислокации ( вектором Бюргерса, параллельным осям полимерных цепей. Эта модел] передает структурные свойства ПЭ и хорошо воспроизводит эксперимея тальную зависимость параметров элементарной ячейки ПЭ от темпера туры. Рассматриваемая модель представляла собой двумерную кристаллическую структуру, сложенную по параллельных молекул ПЭ. Моделировалось сечение трехмерного моноклинного кристалла ПЭ по кристаллографической плоскости (110) ( в принятой установке ось ъ параллельна осям полимерных цепей ). На систему налагались периодические граничные условия. Группы СН2 в молекуле ПЭ моделировались объединенными атомами с массами т = 14 а. е. м. Расчетная ячейка содержала до 5 • 10 4 объединенных атомов. Длины валентных связей I считались фиксированными: I = 0,153 нм. Динамическое поведение молекулярной системы описывалось в рамках классической механики.

В кристалле моделировалось несколько дислокационных диполей. После начала счета кристалл в течение некоторого времени релаксировал в ненагруженном состоянии. Затем к нему прикладывали внешнее сдвиговое напряжение т. Численный эксперимент подтвердил теоретические предсказания величины напряжения диссоциации дислокационного диполя, состоящего из двух краевых дислокаций с векторами Бюргерса, параллельными оси полимерной цепи. Это позволяет сделать вывод, что диссоциация дислокационных диполей указанного типа является основным механизмом пластической деформации полимерных кристаллов.

Ширина дислокации, согласно модели Пайерлса, равна = 2А"1. В ходе вычислительного эксперимента значения ширины наблюдаемых дислокаций стремились к величинам, превышающим гср в 3 - 4 раза. Тот факт, что модель Пайерлса предсказывает заниженные по сравнению с реально наблюдаемыми значения ширины дислокаций, неоднократно отмечался при исследовании дислокаций в неполпмерных кристаллах.

Р, Ю-73 н

0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 2,2 v, 10 3 м/с

Рис. 1. Зависимость силы динамического торможения Р от скорости дислокации v.

а, 10« м/с2

Я, 10-« н

Рис. 2. Зависимость ускорения дислокации а от силы И, действующей на дислокацию.

Получено подтверждение теоретически предсказанной пропорцис нальности между диссипативной силой, действующей на движущуюся дне локацию, и скоростью дислокации Г = В v, где В - эффективная вязкость Найдено среднее значение эффективной вязкости В = 5,2 Ю-18 Нс/м Один из типичных графиков Г ( V ) приведен на рис. 1. Получено подтвер ждение справедливости второго закона Ньютона для дислокаций. Один и; типичных графиков зависимости ускорения дислокации а от силы Г, дей ствующей на дислокацию, приведен на рис. 2 для случая У = 21Ь, 2 = 0 где у = 1/! -3/2, £ = - г2; (У1,2 1),(У2,22) — координаты дислокаций Ь = 0,451 нм — расстояние между соседними полимерными цепями. Е этом случае инертная масса дислокации равна т = 4,77 10 ~24 г = 2,86 т р, где т р — масса протона.

В третьей главе результаты предложенной в первой главе калибровочной теории линейных дефектов в кристаллах со сложными решетками использованы для изучения влияния дислокаций на колебательный спектр кристаллов с многоатомными решетками. Для этого необходимо решить систему, состоящую из уравнений, описывающих эволюцию поля механических напряжений в присутствии движущихся дислокаций, и уравнений движения дислокаций. Каждое из этих уравнений представляет собой второй закон Ньютона для струны массы т, на которую действуют сила Пича-Келера со стороны упругих волн и дисснпативная сила, пропорциональная скорости дислокации. Плотность дислокаций считается непрерывной функцией координат. В таком подходе можно исследовать влияние дислокаций на распространение упругих волн, длина которых велика по сравнению со средним расстоянием между дислокациями.

Решение системы было получено для кристалла ПЭ. Рассматривалось влияние на фононный спектр краевых дислокаций с вектором Бюргерса, параллельным осям полимерных цепей. При проведении расчетов использовались значения эффективной вязкости и эффективной инертной массы дислокаций, найденные во второй главе по результатам молекулярно-динамического моделирования. Установлено, что такие дислокации не

шияют на конформационяые оптические моды, но влияют на акустиче-;кие, а также на моды смешанной поляризации, содержащие акустиче-;кую и конформационную компоненты. Найдена форма колебательного гпектра ПЭ, содержащего дислокации указанного типа.

Для поперечной акустической моды с вектором поляризации э = (0, е 2,0) и волновым вектором к = (0,0, ^з) учет влияния дислокаций приводит к следующему дисперсионному соотношению:

й32 = ^2/(а232з - дс?И), (ю)

где ДС(ш) — поправка к модулю упругости, обусловленная влиянием дислокаций. Она равна

АС(ш) = -Ъ2пС 222гзсо56(т2и>2+ В2)'1?2 , (11)

и

где 6 = агс1д(В/ти), Сгггг — 1,95 ГПа. Пусть плотность дислокаций п = 1010 см-2. В таком случае среднее расстояние между прямолинейными дислокациями имеет порядок ¿ = 10 ~7 ы. Таким образом, данное рассмотрение применимо только для волн, длина которых Л 10 ~7 м. Учитывая, что плотность ПЭ при температуре 50 К равна р — 1127 кг/м3, а модуль упругости Сгзгз = 3,30 ГПа, рассчитанной выше поправкой к модулю упругости можно пользоваться ( для данной моды ) только при частотах ш <С 1011 рад/с = 0,5 см-1. Таким образом, взаимодействие поперечных звуковых волн с дислокациями уменьшает их групповую скорость на несколько процентов.

В заключении подведены итоги работы, отмечены возможности применения полученных результатов, очерчен круг задач, требующих дальнейших исследований.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ, ВЫНОСИМЫЕ НА ЗАЩИТУ

1. Предложена калибровочная теория, описывающая в континуальном приближении поведение дислокаций, дисклинаций и упругих полей в кри-

сталлах со сложными ( многоатомными ) решетками. Обосновано и< пользование группы SO{ЗN) > Т(ЗАГ) в качестве калибровочной, гз N — число атомов в элементарной ячейке кристалла, > — символ пс лупрямого произведения групп. Теория сформулирована в четырехмер ных пространственно-временных обозначениях, которые позволяют опе сывать эффекты, связанные с конечностью скоростей звука, и предста влять уравнения в компактной форме.

2. Найдены формулы, выражающие упругие поля дислокаций и дис клинаций ( отвечающие как акустическим, так и оптическим фононньп* модам) через функцию Грина основных уравнений теории упругости по лиатомного кристалла. Построен лагранжиан взаимодействия дефекто! с упругими полями, найдены основные уравнения калибровочной теории

3. Предложена калибровочная теория, описывающая в континуальное приближении поведение дислокаций, дисклинаций и упругих полей в ква-оикристаллах. Обосновано использование группы Б О (г) [> Т(г) в качестве калибровочной, где х — ранг квазикристаялической обратной решетки. Построен лагранжиан взаимодействия дефектов с упругими полями, найдены основные уравнения теории.

4. Для изучения механизма пластической деформации полимерных кристаллов проведено моделирование двпжения дислокаций в двумерном моноклинном монокристалле полиэтилена методом молекулярной динамики. Численный эксперимент подтвердил теоретические предсказания величины напряжения диссоциации дислокационного диполя, состоящего из двух краевых дислокаций с векторами Бюргерса, параллельными оси полимерной цепи. Это позволяет сделать вывод, что диссоциация дислокационных диполей указанного типа является основным механизмом пластической деформации полимерных кристаллов.

5. По результатам моделирования была рассчитана эффективная инертная масса дислокаций. Получено подтверждение теоретической пропорциональности между диссипативной силой, действующей на движущуюся дислокацию, и скоростью дислокации, измерена величина эффективной вязкости.

6. Результаты предложенной в работе теории использованы для изу-1СНИЯ влияния дислокаций на колебательный спектр кристаллов со сложными решетками. Расчеты спектров проведены для кристаллического по-гиэтилена. Рассматривалось влияние на фононный спектр краевых дис-гокацгш с вектором Бюргерса, параллельным осям полимерных цепей, установлено, что такие дислокации не влияют на конформационные опти-1еские моды, но влияют на акустические, а также на моды смешанной по-[яризации, содержащие акустическую и конформацнонную компоненты. Зайдена форма колебательного спектра полиэтилена, содержащего дислокации указанного типа.

Основные научные результаты диссертации изложены в следующих >аботах:

1. Мусиенко А.И., Копцик В.А. Новый вариант калибровочной теории шнейных дефектов в кристаллах. // Кристаллография. - 1995. - Т. 40. -i 3. - С. 438 - 445.

2. Мусиенко А.И., Копцик В.А. Калибровочная теория дислокаций и деклинаций в кристаллах с многоатомными решетками. // Кристаллография. - 1996. - Т. 41. - N 4. - С. 586 - 590.

3. Мусиенко А.И. Калибровочная теория дислокаций и дисклинаций в :вазикристаллах. // Труды III Международной конференции "Кристаллы: юст, свойства, реальная структура, применение". Том 2. - Александров, 997. - С. 193 - 210.

4. Мусиенко А.И., Балабаев Н.К., Маневич Л.И. Молекулярно- динами-[еское моделирование пластической деформации кристаллов полиэтиле-ta. // Труды V Международной конференции "Математика. Компьютер. )бразование." - Москва, 1998. ( принята к публикации).

5. Мусиенко А.И. Влияние дислокаций на колебательный спектр кри-таллпческого полиэтилена. // Высокомолек. соед. (направлена в печать ).

6. Мусиенко А.И. Калибровочная теория дислокаций и дисклинаций в ристаллах с многоатомными решетками. // Микромеханизмы пластич-

ности, разрушения и сопутствующих явлений. Тезисы докладов Межд народной конференции. 24 - 28 июня 1996 г. - Тамбов, 1996. - С. 39.

7. Мусиенко А.И. Калибровочная теория дислокаций и дисклинаций кристаллах с многоатомными решеткамп. // III Международная школ семинар "Эволюция дефектных структур в конденсированных средах Программа и сборник тезисов докладов. 28 августа - 3 сентября 1996 г. Барнаул, 1996. - С. 25 - 26.

8. Мусиенко А.И. Калибровочная теория дислокаций и дисклинащ в квазикристаллах. // Тезисы докладов III Международной конференц! "Кристаллы: рост, свойства, реальная структура, применение". 20 - 24 о: тября 1997 г. - Александров, 1997. - С. 22 - 25.

9. Балабаев Н.К., Маневич Л.И., Мусиенко А.И. Молекулярн динамическое моделирование пластической деформации кристаллов пол] этилена. // Тезисы докладов V Международной конференции "Математ] ка. Компьютер. Образование." 26 - 30 января 1998 г. - Москва, 1998. С. 18.

10. Мусиенко А.И., Маневич Л.И., Балабаев Н.К. О механизме пласт] ческой деформации кристаллического полиэтилена. // Научная конферез ция Института химической физики им. H.H. Семенова РАН. 14-23 алрел 1998 г. Тезисы докладов. - Москва, 1998. - С. 68.

11. Мусиенко А.И., Маневич Л.И. Влияние дислокаций на колебателз ный спектр кристаллов полиэтилена. // Научная конференция Институт химической физики им. H.H. Семенова РАН. 14-23 апреля 1998 г. Тезис; докладов. - Москва, 1998. - С. 68-69.

ЦИТИРУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

1. Косевич A.M. // УФН - 1964. - Т. 84. - С. 579-609.

2. Кадич А., Эделен Д. Калибровочная теория дислокаций и дисклинг ций. - М.: Мир, 1987. - 168 с.

3. Kleineit H. Gauge Fields in Condensed Matter, vol. 1 and 2. -Singapore: World Scientific, 1989. - 1473 p.

4. Osipov V.A. // Phys. Lett. A - 1993. - V. 175. - P. 65-68.

5. Osipov V.A. // J. Phys.: Condens. Matter. - 1995. - V. 7. - P. 89-99.

6. Пронин П.И., Смирнов Н.Э. // Физическая мысль России. - 1996. -N 3/4. - С. 17-52.

7. Lagoudas D.C. // Int. J. Engng. Sci. - 1989. - V. 27. - P. 237-249.

8. Koptsik V.A. // Comput. Math. Applic. - 1988. - V. 16. - P. 407-424.

9. Гкнзбург В.В., Маневич Л.И. // Высокомолек. соед. А. - 1992. -Т. 34. - С. 91-97.

10. Балабаев Н.К., Гендельман О.В., Мазо М.А., Маневич Л.И. // Журн. физ. химии. - 1995. - Т. 69. - С. 24-27.



Московский ордена Ленина, ордена Октябрьской Революции и ордена Трудового Красного Знамени государственный университет имени

М.В .Ломоносова

Вопросы калибровочной теории дислокаций и дисклинаций в кристаллах и квазикристаллах.

( Специальность 01.04.18 — кристаллография, физика

кристаллов)

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научные руководители: доктор физ.-мат. наук, профессор

В.А. Копцик, доктор технических наук, профессор

Л.И. Маневич

Физический факультет Кафедра физики полимеров и кристаллов

На правах рукописи УДК 548.4

Мусиенко Андрей Иванович

Москва — 1998

ОГЛАВЛЕНИЕ

Стр.

Введение.......................................................................................................... 3

Глава 1. Калибровочные теории дислокаций и дисклинаций в

кристаллах со сложными (многоатомными) решетками и в квазикристаллах...............................................................................15

1.1. История вопроса...................................................................... 15

1.2. Калибровочная теория дислокаций и дисклинаций в кристаллах со сложными (многоатомными) решетками....... 26

1.3. Калибровочная теория дислокаций и дисклинаций в квазикристаллах........................................................................ 36

1.4. Сопоставление подходов расслоенных пространств и позиционной цветной симметрии.......................................... 51

Глава 2. Молекулярно-динамическое моделирование

пластической деформации кристаллов полиэтилена................... 54

2.1. Методика моделирования динамики кристалла полиэтилена, содержащего дислокации................................ 54

2.2. Характеристики процессов диссоциации и ассоциации дислокационных диполей ( по результатам моделирования )..................................................................... 59

Глава 3. Влияние дислокаций на колебательные спектры

кристаллов со сложными решетками........................................... 65

3.1. Применение результатов калибровочной теории дислокаций к расчету колебательных спектров кристаллов со сложными решетками, содержащих дислокации............................................................................. 65

3.2. Влияние дислокаций на колебательный спектр кристаллов полиэтилена........................................................ 69

Заключение..................................................................................................... 76

Выводы...................................................................................................... 79

Литература...................................................................................................... 81

Введение

Различные дефекты кристаллической структуры присутствуют во всех твердых телах. Поэтому изучение влияния дефектов на физические свойства кристаллов является весьма актуальной задачей. Важный класс дефектов образуют линейные дефекты — дислокации и дисклинации, играющие большую роль в процессах пластической деформации и разрушения.

К настоящему времени теоретические и экспериментальные свойства дислокаций и дисклинаций изучены достаточно подробно [1-8]. Была разработана симметрийная классификация линейных дефектов, основанная на том факте, что эти дефекты представляют собой локальные нарушения симметрии кристаллической решетки. Так, дислокации нарушают трансляционную симметрию, а дисклинации — точечную. Поэтому линейные дефекты классифицируют по нарушенным элементам пространственной группы симметрии кристалла: для дислокаций это векторы трансляций ( векторы Бюр-герса), для дисклинаций — оси поворота, для диспираций ( в несим-морфных кристаллах ) — винтовые оси. В некоторых случаях для классификации дефектов необходимо применять методы цветной симметрии [9-13]. В работах В.А. Копцика [12, 13] эти методы использованы для классификации дефектов в кристаллах, а в работах Понда [14, 15] — для классификации линейных дефектов на межзе-ренных и межфазных границах в поликристаллах. Такие дефекты классифицируются комбинациями элементов симметрии соприкасающихся кристаллитов с учетом их взаимной ориентации. Атомы одного из зерен можно условно считать "белыми", а другого — "черными". Оператор цветной симметрии 1' "перекрашивает" белые атомы в черные и наоборот. Таким образом, оказывается возможным использовать комбинированные операторы, включающие

обычные кристаллографические операции симметрии и операцию 1', для классификации дислокаций и дисклинаций на границах раздела.

Но сравнительно недавно было установлено [16-18], что при классификации дислокаций и дисклинаций в кристаллах можно использовать более общие методы теории гомотопий. В этом подходе линейные дефекты ( по математической терминологии — особенности ) классифицируются элементами первой гомотопической группы ( ее часто называют фундаментальной группой ) 7Гг(М), где М — пространство вырождения ( в литературе его также называют пространством изменения параметров порядка, пространством внутренних состояний, а в теории поля — вакуумным многообразием ). В кристаллах параметром порядка является смещение атомов относительно их равновесных положений. Сдвиг на период совмещает кристаллическую решетку с собой, поэтому смещение на период должно рассматриваться как нулевое. Отсюда следует, что пространство вырождения М в случае реального кристалла с дислокациями представляет собой трехмерный тор Г3, т.е. тор в четырехмерном пространстве, поверхность которого является трехмерной. 7Г1(Г3) = 2 х Z х ¿Г, где Z — множество всех целых чисел. Таким образом, дислокация характеризуется тремя целыми числами: 711,712,^3, определяющими компоненты вектора Бюргерса Ь = 71 ха 1 + 7г2а2 + тгза3, где а.{ — параметры кристаллической решетки. При переходе к континуальному приближению первая гомотопическая группа становится непрерывной группой трансляций в трехмерном пространстве Т(3). Если кристалл наряду с дислокациями содержит дисклинации, то 7Г х (М) изоморфна вО(3) > Т(3), где > — символ полупрямого произведения групп.

Эти работы позволили осознать топологическую природу дислокаций и дисклинаций. Аналогичные топологические дефекты, классифицируемые гомотопическими группами, существуют в раз-

личных конденсированных средах. Среди них дисклинации в жидких кристаллах [16-18], квантованные вихри в сверхтекучем жидком гелии [18, 19], магнитные вихри Абрикосова в сверхпроводниках [20], солитоны в магнетиках [21] и т. д. Такую же топологическую природу имеют монополи [22, 23], солитоны и инстантоны [24, 25], активно изучаемые в современной теории поля.

Все реально существующие топологические особенности характеризуются одним или несколькими дискретными числами — топологическими зарядами. Для дислокаций это вектор Бюргерса, для дисклинаций — индекс Франка, для вихрей в сверхпроводниках — число квантов магнитного потока и т. д. Топологические особенности являются стабильными объектами, поскольку их устойчивость обеспечивается законами сохранения топологических зарядов. Эти законы в свою очередь следуют непосредственно из основных аксиом топологии. Поэтому топологические дефекты не могут исчезать или распадаться сами по себе. Их исчезновение возможно при выходе на поверхность или при встрече с другим дефектом, обладающим топологическим зарядом, равным по модулю, но противоположным по знаку заряду первого дефекта. В этом случае оба дефекта аннигилируют, а их энергия излучается в виде волн. Природа этих волн определяется природой тех полей, которые существовали вокруг дефекта: в случае дислокаций это упругие поля, поэтому энергия излучается в виде упругих волн. Это излучение полностью аналогично излучению, наблюдаемому в электродинамике при аннигиляции электрона и позитрона, и наблюдалось экспериментально [26].

С другой стороны, известно, что в физике законы сохранения следуют из теоремы Нетер. Это относится и к законам сохранения топологических зарядов. Каждый из этих законов связан с одной из симметрий физической системы, а именно — с симметрией, описываемой первой гомотопической группой ( в континуальном приближении ). Для дислокаций это трансляционная симметрия.

Аналогия между перечисленными выше топологическими объектами не исчерпывается их симметрийной классификацией. Общность топологической природы должна определять общность физических свойств и, следовательно, общность их теоретического описания. Адекватное описание этих свойств дает калибровочная теория поля. Тесная связь топологической классификации особенностей и их калибровочно-полевого описания продемонстрирована в книге Умэдзавы и соавторов [27] на примере конденсированных сред и в работе М.Б. Менского [28] в рамках более общего теоретико-полевого подхода. В [28] показано, что калибровочная группа является представлением фундаментальной. В [27] рассмотрение основано на том, что топологические дефекты образуются в результате конденсации голдстоуновских бозонов с бесщелевым энергетическим спектром. Эти дефекты создают самосогласованный потенциал, оказывающий влияние на состояния бозонов. В случае дислокаций в кристаллах такими голдстоуновскими бозонами являются фононы.

Сплошные среды, свободные от дислокаций и дисклинаций, представляют собой многообразия с евклидовой геометрией. Появление линейных дефектов означает, что геометрия среды становится неевклидовой, а топология — нетривиальной. Теперь смещение частиц среды становится многозначной функцией координат: при обходе по замкнутому контуру вокруг дислокации оно меняется на величину вектора Бюргерса. Смещение вокруг прямолинейной винтовой дислокации, параллельной оси г, в изотропной среде описывается формулой [3]:

иг = -агЫд-, (В Л)

27Г X

где Ь — вектор Бюргерса. Из этой формулы следует, что смещение в определенной точке континуума зависит от выбора системы координат. В этом проявляется неоднозначность смещения, непо-

средственно следующая из топологии многообразия. С точки зрения калибровочно-полевого подхода эта неоднозначность имеет ту же природу, что и неоднозначность векторного потенциала А ^ в электродинамике.

В этом случае на многообразии можно определить коэффициенты связности Тгы [29]. Пусть значение некоторого вектора в точке х г есть Аг, а в соседней точке хг -\-йхг он равен Аг + йА \ Подвергнем вектор А1 бесконечно малому параллельному переносу в точку хг + с1хг. Параллельным переносом в неевклидовой геометрии считается перенос по геодезическим. В случае кристалла с дефектами роль геодезических играют линии, построенные на трансляционных векторах решетки [30]. Изменение вектора при этом переносе обозначим 8 А1. Тогда разность И А1 между обоими векторами, находящимися теперь в одной точке, равна

ВА{ = <Мг - ЬА{ , (Б.2)

где

6А* = -Т*ыАь<1хг . (Б.З)

В пространстве с евклидовой геометрией все Г гы = 0.

В дифференциальной геометрии также вводится тензор кручения пространства, представляющий собой антисимметризованную часть связности:

Г^Г'ы-Г^. (В А)

В кристалле с дислокациями этот тензор связан с тензором потока дислокаций соотношением

= (Б. 5)

где

3 *п\х с) = т х6{х с - х») , (Б.6)

е >у<ре\ ~ 4-мерный тензор Леви-Чивиты, т ^ - единичный вектор, касательный к линии дислокации, Ьп - вектор Бюргерса,

Vх — (1,\^"/а), V - 3-мерный вектор скорости движения дислокации, а = (с 1212 /р) 1//2, - тензор упругих коэффициентов, р - плотность вещества, в котором находятся рассматриваемые дислокации, б(х { — ж®) - дельта-функция Дирака, - координаты дислокационной линии.

С другой стороны, в теории гравитации показано, что частицы с полуцелым спином также являются источниками кручения. Связь тензора плотности спина 5 Л ^ с кручением описывается формулой [31]:

(В.7)

Здесь = — ньютоновская гравитационная постоянная,

5 л = ихв¡¿у — 4-вектор скорости частицы, 5^ — антисимметричный тензор. Его пространственные компоненты образуют 3-вектор б % = (5 23,5 31,512), равный в системе покоя частицы 3-мерной плотности внутреннего момента импульса.

Этот факт является одним из проявлений аналогии между теорией дислокаций и теорией гравитации, рассматривавшейся, в частности, в работах Хеля и соавторов [32, 33]. Кристалл с дислокациями представляет собой многообразие с кручением, а плотность дисклинаций, в свою очередь, пропорциональна кривизне этого многообразия. В теории гравитации масса (а точнее, симметричная часть тензора энергии-импульса) является источником кривизны, а полуцелый спин - кручения. Тензор упругих деформаций (симметричная часть тензора дисторсий) оказывается аналогом метрического тензора. Из уравнений (В.2-3) следует, что при переходе к неевклидовой геометрии частные производные в лагранжиане физической системы —{ = д ¡А г- заменяются на ковариантные ( удлиненные )

V 1А{ = д1А{ + Т\1Ак. {В. 8)

Таким путем вводится взаимодействие в теории гравитации и так

же оно должно вводиться в калибровочной теории дислокаций и дисклинаций, поскольку геометрические и топологические свойства сплошной среды с линейными дефектами оказываются такими же, как и у пространства, в котором находятся частицы, обладающие полуцелым спином и массой.

В современной физике является общепризнанным тот факт, что теории электромагнитных, сильных и слабых взаимодействий являются калибровочными, хотя калибровочная природа теории гравитации пока остается предметом дискуссий [34]. Ковариантная производная (В.8) является частным случаем более общей формы удлиненной ( или компенсирующей ) производной, используемой в различных калибровочных теориях

= (Б. 9)

где 1т — генераторы калибровочной группы, А™ — калибровочные потенциалы. Взаимодействие материальных полей с внешним калибровочным полем описывается заменой частных производных в лагранжиане материальных полей ( так называемом материальном лагранжиане ) на ковариантные вида (В.9). В электродинамике таким материальным лагранжианом является дираковский лагранжиан электрон-позитронного поля.

Вполне естественно, что теория линейных дефектов обнаруживает глубокие аналогии не только с теорией гравитации, но и с другими калибровочными теориями, в частности, с электродинамикой. Плотность дислокаций является аналогом плотности электрических зарядов, а упругие деформации и механические напряжения — аналогом напряженности и индукции электромагнитного поля. Эта аналогия будет продемонстрирована в следующей главе. Сопоставляя эту аналогию с упомянутой выше гравитационной, мы можем сделать вывод, что калибровочная теория дислокаций в наиболее общем виде (когда тензоры дисторсий и механических на-

пряжений не являются ни симметричными, ни антисимметричными) аналогична единой теории электромагнетизма и гравитации, предложенной Эйнштейном [35]. Эта теория известна как теория с несимметричной метрикой.

Значительный интерес представляет также существование в теории дислокаций и дисклинаций релятивистских эффектов, аналогичных эффектам специальной теории относительности. В качестве примеров можно назвать дислокационную силу Лоренца, действующую на движущуюся дислокацию со стороны упругого поля, радиационное трение, действующее на ускоренно движущиеся дислокации, "лоренцевское" сокращение ширины движущейся дислокации и т. д. Наиболее полные обзоры этих и других дислокационных релятивистских эффектов можно найти в работах [3, 36]. В теории линейных дефектов вместо скорости света в формулы входят скорости звука. Причиной появления в теории таких эффектов является конечность скоростей звука, учет которой приводит к появлению лоренцевских корней в выражении для классической функции Грина основных уравнений теории упругости [37]. Поэтому лоренцевской зависимостью от скорости обладают только величины, выражающиеся через функцию Грина: поля, созданные дефектами, силы взаимодействия между дефектами и т. д. Все остальные величины, в том числе параметры решетки, при этом никаким преобразованиям не подвергаются.

Поскольку в твердых телах даже в изотропном случае существуют не только поперечные, но и продольные звуковые волны, в теории дислокаций в определенных случаях могут появляться выражения, содержащие лоренцевские корни разного вида: — V 2/с \ , А — 1,2. Например, в случае прямолинейной краевой дислокации в изотропном континууме, параллельной оси ъ с вектором Бюргер-са = (6,0,0), движущейся со скоростью V в направлении оси х,

смещения частиц среды описываются следующими формулами [36]: «1(®,ЗМ) = Ьс 2/(ти;2)[агсеё(2,(1 -у2/с2) ^/{х -

(ВДО)

+(*2/(2с2) - 1)ак*8(у(1 -v2|c\) У2/(х - г;«))], и2(х,у^) = Ьс2/(2™2)[(у2/(2с2) - l)(l-v2/c2)-^Ы((x-vt)2/(l-

-vl/cl) + y2) + (l-v 2/с\) 1п((* - Ы) 2/(1 + 2)].

(Б.11)

Здесь с 1 = (¡х/р)1!2 — скорость поперечных звуковых волн, с 2 — [(Л + 2/х)/уо] 1!2 — скорость продольных звуковых волн, Л и ¡л — коэффициенты Ламэ. Такие выражения уже не являются инвариантными относительно локальных преобразований Лоренца. Лоренц-инвариантными формулы теории дислокаций могут быть только в некоторых частных случаях: например, в случае прямолинейной дислокации в изотропном теле с вектором Бюргерса, параллельным линии дислокации. По этой причине многие авторы (например, Уиртманы [36] ) говорят, что аналогия со специальной теорией относительности полностью нарушается