Разрывные решения задач нелинейной теории упругих дислокаций тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

На правах рукописи л

№

Пустовалова Ольга Геннадиевна

Разрывные решения задач нелинейной теории упругих дислокаций

01.02.04 - механика деформируемого твердого тела АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Ростов-на-Дону 2008

003455674

Работа выполнена в Южном федеральном университете на кафедре теории упругости

Научный руководитель: кандидат физико-математических наук,

доцент Карякин Михаил Игоревич Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

доцент Еремеев Виктор Анатольевич кандидат физико-математических наук, доцент Дроздов Александр Юрьевич Ведущая организация Институт проблем машиноведения РАН,

г. Санкт-Петербург

Защита диссертации состоится «23» декабря 2008 года в 15 часов на заседании диссертационного совета Д 212.208.06 по физико-математическим наукам в Южном федеральном университете по адресу: 344090, г. Ростов-на-Дону, ул. Мильчакова 8а, факультет математики, механики и компьютерных наук, ауд.312.

С диссертацией можно ознакомится в зональной научной библиотеке Южного федерального университета по адресу: г. Ростов-на-Дону, ул. Пушкинская, 148.

Автореферат разослан «21» ноября 2008 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Боев Н.В.

Общая характеристика работы

Актуальность темы

В настоящее время дислокационные модели используются для теоретического описания многих явлений, происходящих в твердых телах на макро- и микро-уровне. К их числу относятся неупругость, внутреннее трение, пластическое течение, хрупкость, усталость, разрушение, рост кристаллов и др. Активно развивающаяся в последние годы теория дискли-наций используется при анализе свойств аморфных твердых тел, жидких кристаллов, а также таких биологических структур, как, например, древесина, белковые полимеры, конденсационные пленки белка, нематоидные структуры кожи человека.

Важную роль в создании и развитии дислокационных и дисклинацион-ных моделей сыграла теория дислокаций Вольтерра или теория упругих дислокаций, основывавшаяся изначально на линейной теории упругости. Вместе с тем в этой теории существует целый ряд проблем, требующих учета нелинейных эффектов.

Прежде всего, следует упомянуть тот факт, что вблизи оси дефекта деформации и напряжения, вычисляемые в линейной теории упругости, неограниченно возрастают, так что гипотезы линейной теории в этой области перестают быть применимыми. Кроме того, бесконечной является и энергия ядра дислокации, вычисляемая на основе линейной теории упругости. Возможность устранения сингулярности полей напряжений и энергии на оси дефекта в рамках нелинейной теории была впервые доказана Л.М.Зубовым (1986).

Другие причины, обуславливающие актуальность привлечения методов нелинейной теории упругости к теории дислокаций связаны, во-первых, с

необходимость решать задачи о равновесии и устойчивости тел, содержащих дефекты и испытывающих конечные деформации, а во-вторых, с моделированием ситуаций, когда величины характеристик дефектов (векторов Бюргерса, Франка) не являются малыми. Последний случай, например, связан с нано-механикой дисклинационных структур.

Одной из важных задач физики дислокаций является моделирование процессов, протекающих в ядре дефекта - области, близкой к его оси, - а также выяснение структуры этой области. Использованные для такого моделирования методы молекулярной динамики показали, в частности, что одним из вариантов этой структуры может быть полость. Возможность описания порообразования на оси дислокации в рамках континуального подхода на основе нелинейной теории упругости была впервые продемонстрирована М.И.Карякиным (1988).

С точки зрения теории упругости ядро дефекта представляет собой область высокой концентрации напряжений. Это означает, что при ее анализе важен учет микроструктуры материала. Другим фактором, свидетельствующим об актуальности учета микроструктуры в теории упругих дислокаций, является использование этой теории при описании нано-объектов. Одним из распространенных способов учета структуры материала в рамках континуальной механики является использование модели сплошной среды с моментыми напряжениями, или среды Коссера.

Из приведенного краткого обзора следует, что анализ решений задач нелинейной теории упругости, описывающих образование полости вокруг оси изолированного дефекта, в том числе на основе использования модели среды Коссера, является важной актуальной задачей современной механики сплошной среды.

Цель работы состоит в изучении возможности порообразования на оси нелинейно-упругого цилиндра, содержащего изолированный дефект (типа клиновой дисклинации или винтовой дислокации), определении ограничений на функцию удельной потенциальной энергии материала, допускающей образование полости, определение зависимости радиуса образующейся полости от параметров дефекта, исследование влияния учета моментных напряжений на возможность образования полостей. Методика исследования. В работе использовались тензорный аппарат механики сплошной среды, полуобратный метод теории упругости, вариационные принципы нелинейной механики, теория материальной симметрии, теория определяющих соотношений материалов со связями, методы компьютерной алгебры, численные методы решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений и нелинейных алгебраических уравнений и их систем.

Достоверность результатов, полученных в работе, основана на строгом аппарате нелинейной теории упругости. Основное уравнение для определения радиуса полости выведено двумя способами. Первый основан на непосредственном анализе краевой задачи о равновесии нелинейно-упругого цилиндра с изолированным дефектом и замене полого цилиндра сплошным с помощью предельного перехода в граничном условии, когда радиус полости в отсчетной конфигурации стремится к нулю. Второй способ связан с использованием вариационного принципа и основывается на анализе стационарных точек полной потенциальной энергии деформации, рассматриваемой как функция радиуса образующейся полости. Решения для среды Коссера сравнивались с аналогичными решениями для классической нелинейной теории упругости. В ряде частных случаев

проводилось сравнение найденных решений с результатами других авторов.

Научная новизна результатов работы Для произвольной модели материала получено общее уравнение для определения радиуса полости, образующейся вокруг оси цилиндра, содержащего изолированный дефект. Это уравнение позволяет, в частности, ответить на вопрос о возможности или невозможности порообразования для конкретной модели нелинейно-упругого материала. Получены необходимые условия возникновения полости в виде предельных соотношений для функции удельной потенциальной энергии. Исследовано влияние, оказываемое учетом моментных напряжений на возможность образования полости.

Практическая ценность. Разработанная схема определения возможности порообразования может быть использована при классификации нелинейно-упругих потенциалов, уточнения степени их пригодности для описания физически наблюдаемых явлений в твердых телах. Полученные результаты по моделированию дефектов в континууме Коссера могут быть использованы в работах по определению материальных параметров в определяющих соотношениях сред Коссера.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на конференции «Математические методы в современных и классических моделях экономики и естествознания» (Ростов-на-Дону, 2004 г.), на IX, X международных конференциях «Современные проблемы механики сплошной среды» ( Ростов-на-Дону, 2005 г., 2006 г.), на IV международной научной конференции «Актуальные проблемы механики деформируемого твердого тела» (г. Донецк, 2006), на международных конференциях Advanced Problems in Mechanics (Санкт-Петербург, 2006 г., 2007 г.), на конферен-

циях «Математическое моделирование, биомеханика и информационные технологии в современном университете» (2006 г. Ростов-на-Дону, 2007 п. Дивноморское), на семинарах кафедры теории упругости ЮФУ (РГУ). Публикации. По теме диссертации опубликовано 13 работ, в том числе две статьи [2] и [13] в журналах «Прикладная механика и техническая физика», 1995, «Вестник Южного Научного Центра РАН», 2008, которые входят в перечень ведущих рецензируемых научных журналов и изданий, рекомендованных ВАК РФ.

Структура, содержание и объем работы. Диссертационная работа состоит из ведения, трех глав, заключения, списка цитируемой литературы, включающего 128 наименований работ отечественных и зарубежных авторов, 13 рисунков, общим объемом 106 страниц машинописного текста.

Содержание работы

Во введении дан обзор работ, относящихся к теме диссертации, и кратко описано ее содержание.

Решению различных задач о дислокациях в нелинейно-упругих телах посвящены работы 3. Веселовски, В.А. Еремеева, А. Зегера, A.A. Зеленина, J1.M. Зубова, М.И. Карякина, A.M. Косевича, Е. Никитина В.А. Стрельцова, К. Теодосиу, В.В. Токия, Ф. Цемелы, В.Т. Шматова и др. Точные решения таких задач найдены лишь в исключительных случаях; в основном это относится к несжимаемым материалам. Для сжимаемых материалов известны только два точные решения в задачах о клиновой дисклинации — для полулинейного материала и упрощенного варианта материала Блейтца и Ко.

Структура ядра дислокации (область, тесно примыкающей к ее оси)

оказывает достаточно сильное влияние на многие физически важные характеристики, среди которых скорость движения дислокаций, зависимость предела текучести от температуры, эффект аннигиляции позитронов и т.д. Поэтому изучение этой области является важной актуальной задачей, в том числе и при использовании моделей нелинейной теории упругости для ее описания. М.И. Карякин (1989) впервые показал возможность образования полости вокруг оси винтовой дислокации в цилиндре из сжимаемого материала. Для частных моделей несжимаемых нелинейно-упругих материалов возможность существования решений, описывающих образование полости вокруг оси дефекта, была показана в работе В.А. Еремеева, Л.М. Зубова, М.И. Карякина, Н.Я. Чернеги (1992).

Кавитация и рост полостей в твердых телах (резиноподобных материалах) был экспериментально обнаружен А. Н.Гентом и П.Б. Линдли (1958). Основоположником теории т.н. «разрывных» решений нелинейной теории упругости, соответствующих образованию полостей при всестороннем растяжении, считают Дж. Болла. В работах А.И. Михайлина, А.Е. Романова, М. Боуаша, И.Н. СойегШ при моделировании кристаллических дисклина-ций методами молекулярной динамики установлено, что ядро дисклинации может выступать как сток, на котором при достижении критической концентрации вакансий зарождается пора.

Поскольку окрестность оси дисклинации представляет собой область высокой концентрации напряжений, учет эффектов микроструктуры при ее изучении в рамках континуальной механики представляется весьма актуальным. Простейшим способом учета структуры в рамках теории упругости является использование среды с моментыми напряжениями.

Механика микрополярной среды (континуума Коссера) получила зна-

читальное развитие в основополагающих работах Э.Л. Аэро, В.И. Ерофеева, П.А. Жилина, В.Т. Койтера, Р.Д. Миндлина и Г.Ф. Тирстена, В. Новацкого, В.А. Пальмова, P.A. Тупина, Л.И. Шкутина, К. Эрингена. Некоторые вопросы механики деформируемого твердого тела с применением теории микрополярной среды были решены учеными ростовской школы — JI.M. Зубовым, В.А. Еремеевым, М.И. Карякиным, A.A. Зелениной, Д.Н. Шейдаковым.

В первой главе, на примере задач о клиновой дисклинации и винтовой дислокации, показано, что учет физической и геометрической нелинейности в задачах о равновесии упругого тела, содержащего изолированный дефект, может приводить к качественно новым результатам по сравнению с линейной теорией. Одним из таких результатов является возможность существования решения, описывающего образование полости в сплошном теле вдоль оси дефекта.

Данное явление изучено в работе на примере задачи о клиновой дисклинации, образование которой в цилиндре описывается полуобратным представлением

R = R(r), Ф = ахр, Z = z. (1)

Здесь r,tp,z — цилиндрические координаты в отсчетной конфигурации недеформированного тела; — цилиндрические координаты в де-

формированном состоянии; аз — положительная постоянная. При аз < 1 в цилиндр, предварительно разрезанный полуплоскостью Lp = 0, вводится клин с углом раствора 2тт(1 — аз). Если аэ > 1, то из цилиндра извлекается сектор 27газ-1 < <р < 27т, края соединяются. Радиальные перемещения точек цилиндра описываются функцией R(r). Градиент деформации, со-

ответствующий (1), имеет вид

Д

С = Д'егед + аз—врвф + егег, (2)

где ег, е^, ег и ед, вф, ег — орты цилиндрических координат в отсчетной и актуальной конфигурациях соответственно; штрих здесь и ниже обозначает дифференцирование по переменной г. Из условия несжимаемости

скЛС = 1, (3)

находится функция

Я(г) = у/(т* + А2)/ее. (4)

Регулярному решению, оставляющему сплошной цилиндр сплошным, соответствует нулевое значение константы А. Для разрывного решения, описывающего образование полости на оси дефекта, эта константа пропорциональна радиусу образующейся полости:

А = у/Ш1{0).

Пусть задан упругий потенциал \¥{С) несжимаемого материала. Обозначим через Э производную д\У/дС. Тогда определяющее соотношение для тензора напряжений Пиолы О примет вид

Б = -рС~т + в (5)

(р — функция давления).

Для данной задачи векторное уравнение равновесия сНуЮ = 0 сводится к одному соотношению

= + (6)

где Бгц = ег ■ Б ■ ед, = е^ ■ Э • е$ — компоненты тензора Я. Краевыми условиями в случае разрывного решения служат условия отсутствия

напряжений на внешней поверхности цилиндра и на поверхности образовавшейся полости. В терминах отсчетной конфигурации краевое условие на поверхности образующейся полости запишется в виде предельного соотношения

lim Д-д(го) = 0, (7)

го—»0

а на внешней поверхности цилиндра в виде

А-д(п) = 0 (8)

Условию (7) можно придать вид

lim (р(г0) - Я'ЫЯдЫ) = 0. (9)

го—»0

С помощью уравнения (6) и краевых условий (8), (9) получаем следующий вид уравнения для определения радиуса полости в задаче о дискли-нации

Г1

о

Соотношения (1) описывают плоскую деформацию сплошной среды. Поэтому без ограничения общности можно считать упругий потенциал W функцией лишь величины Д — первого инварианта меры деформации Ко-ши G. Анализируя сходимость интеграла (10) в точке г = 0, получаем необходимое условие существования разрывных решений:

W < const l{-0, I\ —> оо, f3> 0. (И)

Если упругий потенциал зависит от левого тензора искажений U, то необходимое условие примет вид

W < const jl~a, ji -> оо а > 0, (12)

Рис. 1: Зависимость радиуса полости от параметра дисклинации. Материал (14), т = 1

здесь обозначено ji — tr(U).

Возможность образования полостей проанализирована для потенциалов, представленных следующими соотношениями

W = /i(A-3)", (13)

W = 2ptr(Um -I)/m2, (14)

W = ~\n[l-ß(I1-S)]. (15)

Для потенциала (13) установлено, что разрывные решения могут существовать лишь при v < 1. Материалы вида (13) удовлетворяют неравенству Адамара при всех значениях параметра v ^ 0,5. Это означает, что возникновение решений с полостями не является следствием нарушения неравенства Адамара.

Необходимым условием существования решений с полостями для материала (14) является соотношение — 2 ^ т < 2. На рис.1 представлен график зависимости радиуса полости от параметра дисклинации для частного случая потенциала (14), когда m = 1 — материал Бартенева-Хазановича.

На примере потенциала Гента (15) (он используется для описания поведения резиноподобных (0.005 ^ ß ^ 0.05) и биологических материалов

Рис. 2: Зависимость радиуса полости от параметра дислокации. Материал (14).

(0.4 ^/3^3)) было показано, что условие (11) является только необходимым, а не достаточным. Очевидно, что условие (11) выполняется для любого материального параметра ¡3. Вместе с тем в работе показано, что при 0 ^ Р ^ 3 полость не образуется.

Другим примером дефекта, рассмотренным в первой главе, является винтовая дислокация, описываемая полуобратным представлением

Д = Д(г), ф = г = ^ + (16)

Здесь Ъ — длина вектор Бюргерса. Константу а = Ъ/2-к будем называть параметром дислокации.

Градиент деформации, соответствующий (16), имеет вид

И и

С = Я'еге д + — е,,еф + + е2ег, (17)

Из условия несжимаемости (3) находится функция

Д(г) = у/ г2 + А2. (18)

В работе показано, что и в данном случае уравнение для определения радиуса потенциальной полости имеет вид (10).

Сравнение полной потенциальной энергии деформированного цилиндра, которая вычисляется по формуле

для разрывного и регулярного решений показало, что энергия цилиндра с полостью всегда меньше, чем энергия сплошного цилиндра. Поэтому с энергетической точки зрения можно говорить о предпочтительности разрывного решения.

Вторая глава посвящена учету микроструктуры материала в задачах о равновесии нелинейно-упругих тел с клиновой дисклинацией. Учет структуры материала осуществлен в рамках механики сплошной среды на основе модели континуума Коссера, каждая частица которого имеет степени свободы абсолютно твердого тела. Положение частицы в деформированной конфигурации определяется радиус-вектором К и собственно ортогональным тензором Н, называемым тензором микроповорота. Упругий потенциал V/ является функцией двух тензоров второго ранга — меры деформации У и тензора изгибной деформации Ь. Тензоры У и Ь определяются соотношениями

I — единичный тензор.

Задача о клиновой дисклинации в среде Коссера исследовалась с использованием представления (1) и полуобратного представления для тензора микроповорота

Н = cosх(г)(егея + eve$) + sinx(r)(ere$ - е^ед) + e2ez. (22)

(19)

Y = С • Нт, V Н ■ Нт = -L х I,

(20) (21)

Здесь функция х(г) описывает собственный поворот частицы среды (вокруг вектора ег), не связанный с деформацией.

Тензоры Y, L, соответствующие (1), (22) имеют вид

R.

Y = ñ' cos x(r)erer + аз— cos (23)

J2 ^

+аз— sin х(г)е^ег - Д sin хИе^ + е2е2, (24)

L = x'{r)erez + (25)

Уравнения равновесия в континууме Коссера и граничные условия для данной задачи имеют вид:

V ■ (Т* ■ Н) = о, У-(М*-Н) + (Ст-Т*-Н)х =0, (26)

п • Т* • Н = 0, (27)

п • М* • Н = 0, (28)

здесь

m, dW А „ dW

Т =- М =-

5Y' 3L'

Функция изменения радиуса цилиндра совпадает с (4). В случае псевдокон-тиннума Коссера на материал наложено условие стесненности кручения

V* = 0. (29)

В псевдоконтинууме Коссера функция х(г) находится из условия (29), в случае континуума Коссера — из уравнений равновесия (26). В работе показано, что для клиновой дисклинации х(г) = 0 и в том и другом случае.

Напряженно-деформированое состояние несжимаемого цилиндра с клиновой дисклинацией было изучено для потенциалов вида

Ш = + , Е = У — I, (30)

¿1 А ¿А

(31)

W = 2цtvE + ^tx¿L + ^■tI¿{L■Li) + ^—^tvL2. (32)

а <ь &

Все рассмотренные потенциалы имеют структуру

]У = ]Уг(У) + \Уь{Ь). (33)

Решение задачи для потенциала, не удовлетворяющего условию (33), например, содержащего слагаемые вида

ак(Е-Ь), Ы;г(Е • Ьт), (34)

приводит к противоречию — из уравнений равновесия (26) и условия несжимаемости (3) следуют два различных представления для функции Д(г). Это означает, что если в упругий потенциал входят слагаемые вида (34), полуобратное представление (1), (22) нельзя использовать для решения задачи о равновесии цилиндра с изолированной дисклинацией. Этот же результат в работе получен и для сжимаемой среды Коссера.

Для получения уравнения для определения радиуса полости находились стационарные точки полной потенциальной энергии деформации (19), рассматриваемой как функция радиуса потенциальной полости А

<Ш п Г дУ\>

Т7 = 27Г

6А

Г1

1 г~ихЛг= <35>

= 2тг [

Jo

ту _ ду д\у дь

ЗУ ° ~дА + Ж ®дА Так как х(г) = 0> т0 формула (36) примет вид

гАг = 0.

Ь =

зэ — 1

(36)

следовательно тензор Ъ не зависит от А, а значит

6П п Г1 Г9>У дУ ал = Уо [дУ®дА_

Из (37) следует, что уравнение для определения радиуса потенциальной полости совпадет с уравнением (10), выведенным в первой главе. Следовательно, для клиновой дисклинации учет микроструктуры материала на основе использования континуума Коссера не влияет на образование полости и ее геометрические характеристики.

В третьей главе рассмотрены задачи о равновесии нелинейно-упругого цилиндра с винтовой дислокацией в рамках механики псевдоконтинуума Коссера для потенциалов вида (30), (31) на основе полуобратных представлений (16) и

Н = егел + соБх(?")(е^еф + еге2) + апх(г){^е2 - егеФ). (38) В псевдоконтинууме Коссера функция х(г) находится из условия (29)

гс!г.

(37)

Х{г) = аг^ -

(39)

'г + В, к '

Мера деформации У и тензор изгибной деформации Ь определяются из (20), (21)

У = Я'егег + - [Я соэхМ + аэтхМ] е^е^Ч-

+ -(асозх(г) - Дапх(г))е1Рег+

+ вт + сое х(г)е2ег,

... 8ШУ(Г) СОБ х(^) — 1

Ь = х {г)егег Н---—е^е^ -I--еие2.

С помощью соотношения (35), обозначив

дУ

= Б • Н1

(42)

(43)

получим уравнение для определения радиуса потенциальной полости в случае винтовой дислокации для несжимаемого псевдоконтинуума Коссера

Г п „ (Я-* а \

-5«

уг

11 , Д/

~Х,Л + ~

Г г

сое х БШ х + ^ сое2 х J + 52ф х,А J с1г+

Г1

+ 2тг / (г х;д Мгн + х,л Мчл) с\г = 0. ио

На рис. 3 представлен типичный график зависимости радиуса образу-

0.5

0.001 0.15

Рис. 3: Зависимость радиуса полости от параметра дислокации. Материал (30), а = 1.

ющейся полости от мощности дислокации. Сплошная линия соответствует отсутствию моментных напряжений, когда (30) переходит в потенциал

А 0.02

0.01 О

0.0151 0.0584 С1

Рис. 4: Зависимость радиуса образующейся полости от параметра дислокации о. Материал (30), а = 1.4, 7)1 (х = 0,01. Сплошная линия соответствует отсутствию момент-ных напряжений. При учете моментных напряжений (пунктирная линия) в диапазоне 0.0151 < а < 0.0584 полость не образуется.

Бартенева-Хазановича. Из графика видно, что учет моментных напряжений приводит к уменьшению радиуса образующейся полости вплоть до полного отсутствия этой полости. При этом, как и в классической нелинейной теории упругости, энергия цилиндра с полостью, в случае ее существования, меньше энергии сплошного цилиндра

В то же время в работе показано, что влияние учета моментных напряжений на порообразование вокруг оси винтовой дислокации не является однозначным. В частности для потенциала (30) при а = 1.4 (рис. 4) учет моментных напряжений может приводить как к уменьшению, так и увеличению радиуса полости. Это же относится и к энергии цилиндра с дислокацией. В области достаточно малых значений параметра дислокации существуют интервалы, в которых разрывное решение хотя и существует, но энергетически невыгодно. При увеличении параметра дислокации энергетическая предпочтительность разрывного решения восстанавливается.

Основные результаты

1. В рамках нелинейной теории упругости для несжимаемых сред сформулировано уравнение для определения радиуса полости, которая может образовываться вокруг оси клиновой дисклинации или винтовой дислокации.

2. Получены необходимые условия возникновения полости в виде предельных соотношений для функции удельной потенциальной энергии.

3. Показано, что состояние с полостью (в случае ее существования) является энергетически более выгодным.

4. Установлено, что для клиновой дисклинации учет микроструктуры материала на основе использования континуума Коссера не влияет на образование полости и ее геометрические характеристики.

5. Для несжимаемого нелинейно-упругого континуума Коссера показано, что для винтовой дислокации влияние учета микроструктуры не является однозначным. Как правило, этот учет приводит к уменьшению радиуса полости вплоть до полного ее устранения. В то же время существуют модели материалов и диапазоны материальных и геометрических параметров, когда радиус полости в среде Коссера превосходит аналогичное значение классической теории упругости.

Список работ, опубликованных по теме диссертации

[1] Карякин М.И., Пустовалова О.Г. Образование полости вокруг оси клиновой дисклинации в несжимаемых материалах // Механика деформируемых тел Межвузовский сборник. Ростов н/Д. Изд-во ДГТУ. 1994. С. 75-78.

[2] Карякин М.И., Пустовалова О.Г. О сингулярных решениях задач нелинейной теории упругих дислокаций // ПМТФ. 1995. Т.36. N 5. С.173-180.

[3] Карякин М.И., Пустовалова О.Г., Резниченко А.А. Деформирование нелинейно-упругого цилиндра с внутренними напряжениями //Современные проблемы механики сплошной среды. Труды V Международной конференции. Ростов-на-Дону, 14-18 октября 2002 года. Т. 2. Ростов-на-Дону: Новая книга, 2003. С. 109-112.

[4] Пустовалова О. Г. О макроскопическом проявлении внутренних напряжений в нелинейно-упругом цилиндре // Материалы научно-практической конференции РГЭУ «РИНХ» «Математические методы в современных и классических моделях экономики и естествознания», 24-25 ноября 2004г. г.Ростов-на-Дону изд-во «ТАНА», 2004. С. 25-27.

[5] Карякин М.И., Пустовалова О.Г. Образование полости на оси изолированного дефекта в псевдоконтинууме Коссера // Современные проблемы механики сплошной среды. Труды Международной конференции, посвященной 85-летию со дня рождения академика РАН

И.И. Воровича. Ростов-на-Дону, 11-15 октября 2005 г. Т. 2. Ростов-на-Дону: Изд-во «ЦВВР», 2006. С. 142-145.

[6] Пустовалова О.Г. Учет моментных напряжений в задаче о винтовой дислокации // Труды аспирантов и соискателей РГУ. Ростов-на-Дону: Изд-во Терра Принт, 2006 г. Т. XII. С. 31-32.

[7] Карякин М.И., Пустовалова О.Г. Учет моментных напряжений в сингулярных задачах нелинейной теории упругости // Актуальные проблемы механики деформируемого твердого тела. Материалы IV Международной научной конференции, посвященной памяти академика А.С.Космодамианского. Донецк-Мелекино, 12-14 июня 2006 г. Донецк: Изд-во «Юго-Восток», 2006 г. С. 73-75.

[8] Карякин М.И., Пустовалова О.Г. Об учете структуры материала при континуальном описании дефектов кристаллической решетки // Материалы 2-й Всероссийской конференции «Математическое моделирование, биомеханика и информационные технологии в современном университете», Ростов-на-Дону: Изд-во Терра Принт, 2006 г. С. 28.

[9] Карякин М.И., Пустовалова О.Г. On The Microstructure Account In The Problems Of Holes Formation Near Defects In Nonlinear Elastic Bodies // XXXIV Summer School - Conference "Advanced Problems in Mechanics" June 25 -July 1, 2006, St.Petersburg (Repino), Russia. Book of abstracts. IPME, 2006. P. 46.

[10] Пустовалова О. Г. Исследование макрозакручивания несжимаемого цилиндра с клиновой дисклинацией в псевдоконтинууме Коссера // Современные проблемы механики сплошной среды. Труды X Между-

народной конференции. Ростов-на-Дону. Издательство ООО ЦВВР, Ростов - Дону, 2007. Т.2. С. 240 - 244.

[11] Карякин М.И., Пустповалоеа О.Г. Об учете моментных напряжений в задачах нелинейной теории упругих дислокаций // Материалы 3-й Всероссийской конференции «Математическое моделирование, биомеханика и информационные технологии в современном университете», Ростов-на-Дону: Изд-во Терра Принт, 2007 г. С. 47-48.

[12] Карякин М.И., Пустовалова О.Г. On The Cavitation Along The Screw Dislocation Line In The Cosserat Continuum // XXXIV Summer School-Conference «Advanced Problems in Mechanics» 20 - 28 June 1, 2007, St.Petersburg (Repino), Russia. Book of abstracts. IPME, 2007. P.59-60.

[13] Карякин М.И., Пустовалова О.Г. О кавитации на оси клиновой дис-клинации в нелинейно-упругом цилиндре // Вестник Южного Научного Центра РАН, 2008. Т.4, № 1. С. 16-23.

Печать цифровая. Бумага офсетная. Гарнитура «Тайме». Формат 60x84/16. Объем 1,0 уч.-изд.-л.

Заказ № 1052. Тираж 100 экз. Отпечатано в КМЦ «КОПИЦЕНТР» 344006, г. Ростов-на-Дону, ул. Суворова, 19, тел. 247-34-88

Введение

Глава 1.

Кавитация на оси изолированного дефекта в нелинейно-упругом цилиндре

§1. Равновесие нелинейно-упругого цилиндра с клиновой дисклинацией. Понятие разрывного решения.

§2. Анализ возможности порообразования на оси клиновой дисклинации.

§3. Разрывные решения задачи о винтовой дислокации.

§4. Энергетический подход к выводу уравнения для радиуса полости

Глава 2.

Учет микроструктуры в задаче о клиновой дисклинации

§1. Основные сведения о континууме Коссера

§2. Клиновая дисклинация в несжимаемой нелинейно-упругой среде Коссера.

§3. Использование модели псевдоконтинуума Коссера для анализа задачи о клиновой дисклинации

§4. Изолированная дисклинация в несжимаемом континууме

Коссера.

§5. Об отсутствии собственного поворота частиц, вызванного дисклинацией

§6. О влиянии учета моментных напряжений на порообразование вокруг оси клиновой дисклинации.

Глава 3.

Винтовая дислокация в несжимаемом псевдоконтинууме Коссера

§1. Уравнение для определения радиуса возможной полости вокруг оси винтовой дислокации в псевдоконтинууме Коссера

§2. Анализ равновесия цилиндра с винтовой дислокацией для несжимаемого псевдоконтинуума Коссера

В настоящее время дислокационные модели используются для теоретического описания многих явлений на макро- и микро- уровнях. Теория дислокаций применяется для объяснения как физических так и химических явлений и процессов, например, неупругость, внутреннее трение, пластическое течение, хрупкость, усталость, разрушение, рост кристаллов, поверхностный катализ, диффузия и химические реакции в кристаллах, время жизни носителей в полупроводниках, коэрцитивная сила в магнетиках, электрическая прочность диэлектриков и т.д. Дислокационные представления используются для создания различных макроскопических моделей поведения твердого тела, например, для построения определяющих соотношений упруго-пластических тел [6].

В работе [15], посвященной укладке ДНК в хромосомах, показано, что процесс расщепления хромосомы при делении клетки связан с движением винтовых дислокаций.

Активно развивается в последние годы и теория дисклинаций (поворотных дислокаций), возможность существования которых в конденсированных средах длительное время игнорировалось. В работах М. Kleman, J.F. Sadoc [105, 106], В.А. Лихачева [48], N. Rivier, D.M. Duffy, [119], J. P. Sethna, N.D. Mermin, D.C. Wright [122], D.R. Neilson [115], посвященных исследованию структуры и свойств аморфных тел, авторы развивают подходы, связывающие топологический беспорядок в аморфных телах с наличием характерных элементов структуры - дисклинаций. Дисклинации разбивают аморфное тело на области, в которых в значительной степени сохраняется кристаллический порядок.

Дисклинационый подход применяется для изучения жидких кристаллов, а также таких биологических структур, как белковые полимеры [84], конденсационные пленки белка [63], нематоидне структуры кожи человека [104], древесина [107, 108].

Обычно дисклинации используются для описания структуры и свойств трехмерных объектов, однако уже в самый начальный период развития дисклинационного подхода была рассмотрена возможность появления дис-клинаций в двумерных кристаллах [114], что было инициировано наблюдениями особенностей структуры вирусов и биологических мембран [97].

Дисклинационная теория используется для исследования тонких графитовых трубок. Так, в работе [42] обсуждаются возможности применения' дисклинационного подхода при описании структуры и свойств фуллеренов используются положительные клиновые дисклинации мощности 7г/3. ' Существуют различные способы теоретического описания дислокаций в кристаллах. Среди них: модели Френкеля-Конторовой и Пайерлса [59, 68], ^ континуальная теория дефектов [8, 47, 57, 58, 77], калибровочная теория дислокаций и дисклинаций [28] и др. Важнейшей частью используемого при этом математического аппарата является теория упругих дислокаций (дислокаций Вольтерра), созданная в работах В.Вольтерра [126] и А. Лява [52] и основанная на линейной теории упругости.

Упругим моделям дислокаций и дисклинаций посвящены книги Р. де Вита [8], A.M. Косевича.[43], К. Теодосиу [65] и др. Несмотря на весьма широкую область применимости линейных моделей, в теории упругих дислокаций существует целый ряд проблем, требующих учета нелинейных эффектов.

Прежде всего, следует упомянуть тот факт, что вблизи оси дефекта деформации и напряжения, вычисляемые в линейной теории упругости, неограниченно возрастают, так что гипотезы линейной теории в этой области перестают быть применимыми. Кроме того, бесконечной является и энергия ядра дислокации, вычисляемая на основе линейной теории упругости. Возможность устранения сингулярности полей напряжений и энергии на оси дефекта в рамках нелинейной теории была впервые доказана Л.М.Зубовым (1986).

Другие причины, обуславливающие актуальность привлечения методов нелинейной теории упругости к теории дислокаций связаны, во-первых, с необходимость решать задачи о равновесии и устойчивости тел, содержащих дефекты и испытывающих конечные деформации, а во-вторых, с моделированием ситуаций, когда величины характеристик дефектов (векторов Бюргерса, Франка) не являются малыми. Последний случай, например, связан с нано-механикой дисклинационных структур.

Решению различных задач о дислокациях в нелинейно-упругих телах посвящены работы 3. Веселовски, Б. К. Д. Гэролы, А. Зегера, A.A. Зеленина, JI. М. Зубова, М. И. Карякина, 3. Кнесла, А. М. Косевича, В. А. Стрельцова, К. Теодосиу, В. В. Токия, Ф. Цемелы, В. Т. Шматова и др. Точные решения таких задач найдены лишь в исключительных случаях; в основном это относится к несжимаемым материалам [19, 23]. Для сжимаемых материалов известны только два точные решения в задачах о клиновой дисклинации — для полулинейного материала [21] и упрощенного варианта материала Блейтца и Ко [29]. В работе [12] построено аналитическое представление для решения задачи о краевой дислокации с использованием потенциалов для полулинейного материала.

Общепризнанно влияние, которое оказывает структура ядра дислокации — области, тесно примыкающей к ее оси, где линейная теория упругости неприменима — на многие физически важные характеристики, среди которых скорость движения дислокаций, зависимость предела текучести от температуры, эффект аннигиляции позитронов и т.д. [85, 123].

Одной из важных задач физики дислокаций, поэтому, является моделирование процессов, протекающих в ядре дефекта, а также выяснение его структуры области. Использованные для такого моделирования методы молекулярной динамики показали, в частности, что одним из вариантов этой структуры может быть полость.Существуют различные «упругие» модели ядра — полость, полость с жидкостью, модель линейного расширения, включение другой фазы и т.д. [45, 46, 68, 123]. Для создания модели, учитывающей нелинейно-упругие свойства среды, необходим анализ поведения упругих полей дислокации вблизи её оси.

Возможность описания порообразования на оси дислокации в рамках континуального подхода на основе нелинейной теории упругости была впервые продемонстрирована М.И.Карякиным (1988).

Поскольку окрестность оси дефекта представляет собой область высокой концентрации напряжений, учет эффектов микроструктуры при ее изучении в рамках континуальной механики представляется весьма актуальным. Еще одним фактором, свидетельствующим об актуальности учета микроструктуры в теории упругих дислокаций, является использование этой теории при описании нано-объектов [82]. Простейшим способом учета структуры в рамках теории упругости является использование модели среды с моментыми напряжениями.

В работе [81] братья Эжен и Франсуа Коссера описали модель сплошной среды, каждая точка которой обладает шестью степенями свободы, как у твердого тела. Наряду с обычным полем напряжений в микрополярной среде присутствуют также и моментные напряжения. Механика микрополярной среды (континуума Коссера) получила значительное развитие в основополагающих работах Э.Л. Аэро и Е.В. Кувшинского [4], В.И. Ерофеева [13], П.А. Жилина [16], В.Т. Койтера [41], В. Новацкого [116], В.А. Паль-мова [56], Р.А. Тупина [67], Л.И. Шкутина [72], К. Эрингена [76].

Модель микрополярной среды (континуума Коссера) нашла значительные приложения в механике твердого тела и жидкости. Например, она использовалась для исследования и описания жидких кристаллов Э.Л. Аэро [2], Дж. Эриксеном [75]. На основе теории континуума Коссера в работах Э.Л. Аэро [3] и К. Эрингена [88] были построены модели микрополярных жидкостей. Кроме того, идеи Коссера получили значительное развитие в. теории пластин, оболочек и стержней, а так же нашли применение при решении прикладных задач по моделированию гранулированных и сыпучих сред, композитов, геоматериалов, нано-структур.

Некоторые вопросы механики деформируемого твердого тела с применением теории микрополярной среды были решены учеными ростовской школы — Л.М. Зубовым, В.А. Еремеевым, М.И. Карякиным, А.А. Зелениной, Д.Н. Шейдаковым [11, 17, 20, 70, 71].

Понятие кавитации (образование полости) обычно применяют в теории жидких сред. Однако, ряд экспериментальных и теоретических работ показал [78, 92, 93, 125], что зарождение полостей и, возможно, последующее их развитие характерно и для твердых тел.

Явление кавитации и роста полости в резиноподобных материалах наблюдалось уже достаточно давно. В работах A.N. Gent и P.B. Lindley [93], M.L. Williams и R.A. Schapery, [127] экспериментально было показано, что в резиновых образцах, подверженных трехосному напряженному состоянию возникают полости. С ростом нагрузки полости растут вплоть до полного разрыва образца. Позднее это явление было подтверждено экспериментальными изучениями [83, 103].

Теоретические решения с полостью в [78, 124] называют разрывными. J.M. Ball [78] предложил математический анализ условий устойчивости для случая сферической полости при гидростатической нагрузке. Он показал, что для некоторого класса определяющих соотношений существует бифуркационное решение, которое соответствует образованию полости. Для неогуковского материала теоретическое значение критического напряжения, соответствующее кавитации, совпало с экспериментальными результатами работы [93]. Альтернативное объяснение кавитации, такое как рост полости с изначально нулевым радиусом, было дано в [98]. Вопросам порообразования посвящены также более поздние работы [99], [103]. В работах [53, 86] при моделировании кристаллических дисклинаций методами молекулярной динамики установлено, что ядро дисклинации может выступать как сток, на котором при достижении критической концентрации вакансий зарождается пора.

Из приведенного краткого обзора следует, что анализ решений задач нелинейной теории упругости, описывающих образование полости вокруг оси изолированного дефекта, в том числе на основе использования модели среды Коссера, является важной актуальной задачей современной механики сплошной среды.

Цель работы состоит в изучении возможности порообразования на оси нелинейно-упругого цилиндра, содержащего изолированный дефект (типа клиновой дисклинации или винтовой дислокации), определении ограничений на функцию удельной потенциальной энергии материала, допускающей образование полости, определение зависимости радиуса образующейся полости от параметров дефекта, исследование влияния учета моментных напряжений на возможность образования полостей.

Содержание работы изложено в трёх главах.

В первой главе, на примере задач о клиновой дисклинации и винтовой дислокации, показано, что учет физической и геометрической нелинейности в задачах о равновесии упругого тела, содержащего изолированный дефект, может приводить к качественно новым результатам по сравнению с линейной теорией. Одним из таких результатов является возможность существования разрывного решения, описывающего образование полости в сплошном теле вдоль оси дефекта. Сформулировано интегральное соотношение, служащее как для анализа возможности существования разрывного решения, так и для определения зависимости радиуса образующейся полости от характеристик дефекта. Для конкретных семейств нелинейно-упругих потенциалов определены интервалы изменения параметров материала, при которых существует разрывное решение, и проведены расчеты параметров образующихся полостей.

Вторая глава посвящена учету микроструктуры материала в задачах о равновесии нелинейно-упругих тел с клиновой дисклинацией. В ней содержатся основные сведения о континууме Коссера, определяющих соотношениях и уравнениях равновесия для этой среды. Приводятся результаты решения ряда задач о равновесии нелинейно-упругого цилиндра с клиновой дисклинацией. Изучено влияние учета моментных напряжений на возможность порообразования вокруг оси нелинейно-упругого цилиндра с клиновой дисклинацией с использованием различных моделей нелинейной теории упругости.

В третьей главе рассматриваются задачи о равновесии нелинейно-упругого цилиндра с винтовой дислокацией в рамках механики континуума Коссера. В случае несжимаемого псевдоконтинуума Коссера выявлены условия для определяющего соотношения, при которых возможно образование полости. Для различных моделей материалов численно исследовано влияние характеристик сред Коссера на образование полости.

По теме диссертации опубликовано 13 работ [30]-[40], [60], [61], в том числе две статьи [31] и [40] в журналах «Прикладная механика и техническая физика», 1995, «Вестник Южного Научного Центра РАН», 2008, которые входят в перечень ведущих рецензируемых научных журналов и изданий, рекомендованных ВАК РФ. В работах [30], [31] Карякину М.И. принадлежат постановки задач и рекомендации по выбору метода решения, Пустоваловой О.Г. принадлежат решение краевых задач о напряженно-деформированном состоянии нелинейно-упругого цилиндра, получение уравнения для определения потенциального радиуса полости, разработка и реализация численного метода, численные результаты. В работе [32] Карякину М.И. принадлежит постановка задачи и рекомендации по выбору метода решения, результаты для материала Блейтца и Ко, Пустоваловой О.Г. принадлежат результаты, полученные для несжимаемых материалов, Резниченко A.A. принадлежат результаты для полулинейного материала. В работах [33], [34]-[39] Карякину М.И. принадлежат постановки задач и рекомендации по выбору метода решения, Пустоваловой О.Г. принадлежат решение краевых задач, разработка и реализация численного метода, численные результаты. В работе [40] Карякину М.И. принадлежат постановки задач и рекомендации по выбору метода решения, результаты для задач с учетом поверхностного натяжения и результаты задач для сжимаемых материалов, Пустоваловой О.Г. принадлежат результаты задач для несжимаемых материалов в среде псевдоконтинуума Коссера.

Автор выражает глубокую благодарность научному руководителю, доценту кафедры теории упругости факультета математики, механики и компьютерных наук ЮФУ Михаилу Игоревичу Карякину за внимание и большую помощь в работе.

Основные результаты, полученные в диссертации, сводятся к следующему.

1. В рамках нелинейной теории упругости для несжимаемых сред сформулировано уравнение для определения радиуса полости, которая может образовываться вокруг оси клиновой дисклинации или винтовой дислокации.

2. Получены необходимые условия возникновения полости в виде предельных соотношений для функции удельной потенциальной энергии.

3. Показано, что состояние с полостью (в случае ее существования) является энергетически более выгодным.

4. Установлено, что для клиновой дисклинации учет микроструктуры материала на основе использования континуума Коссера не влияет на образование полости и ее геометрические характеристики.

5. Для несжимаемого нелинейно-упругого континуума Коссера показано, что для винтовой дислокации влияние учета микроструктуры не является однозначным. Как правило, этот учет приводит к уменьшению радиуса полости вплоть до полного ее устранения. В то же время существуют модели материалов и диапазоны материальных и геометрических параметров, когда радиус полости в среде Коссера превосходит аналогичное значение классической теории упругости.

Заключение

1. Актуальные вопросы теории дислокаций. М.: Мир, 1968. 312 с.

2. Аэро Э.Л., Булыгин А.Н. Гидромеханика жидких кристаллов // Итоги науки и техники. Гидромеханика. Т. 7. М.: ВИНИТИ, 1973. С. 106-213.

3. Аэро Э. Л., Булыгин А. Н. Кувшинский Е. В Асимметрическая гидромеханика // ПММ. 1965. Т. 29. № 2. С. 297-308.

4. Аэро Э. Л., Кувшинский Е. В Основные уравнения теории упругости сред с вращательным взаимодействием частиц // ФТТ. 1960. Т. 2. № 7. С. 1399-1409.

5. Бережкова Г. В. Нитевидные кристаллы. М.: Наука, 1969. 158 с.

6. Вакуленко А. А. О связи микро- и макромоделей упругопластического тела // Исследования по упругости и пластичности. Л: ЛГУ, 1974. Вып. 10. С. 3-37.

7. Ван Бюрен Дефекты в кристаллах. М.: ИЛ, 1962. 584 с.

8. Вит Р. Континуальная теория дислокаций. М.: Мир, 1977. 208 с.

9. Владиморов В. И., Романов А. Е. Дисклинации в кристаллах. Л.: Наука, 1986. 224 с.

10. Еремееев В.А., Зубов Л.М. Об устойчивости упругих тел с момент-ными напряжениями // Изв. РАН. МТТ, 1994. № 3. С. 181-190.

11. Еремееев В.А., Зубов Л.М., Карякин М.И., Чернега Н.Я. Образование полостей в нелинейно-упругих телах с дислокациями и дисклина-циями // Докл. РАН. 1992. Т. 326, № 6. С. 968-971.

12. Еремеев В. А., Никитин Е. С. Фазовые превращения в упругих телах с дислокациями и дисклинациями // Доклады АН (Россия), 1995. Т. 345. № 2.

13. Ерофеев В. И. Волновые процессы в твердых телах с микроструктурой // М.: МГУ, 1999. 328 с.

14. Жигилей Л. В., Михайлин А. И., Воманов А. Е. Моделирование двумерных дисклинаций методами молекулярной динамики // Физ. металлов и металовед. 1988. Т. 66. Вып. 1. № 6. С. 65-72.

15. Жидкокристаллический порядок в полимерах. Под ред. А. Блюм-штейна. М.: Мир, 1981.

16. Жилин П. А. Основные уравнения некласической теории упругих оболочек // Труды Ленинград, политехи, института. 1982. № 386. С. 29-46.

17. Зеегер А. Некоторые нелинейно-упругие эффекты вблизи дислокации // Дислокации и механические свойства кристаллов. М.: ИЛ, 1960. С. 353-356.

18. Зеегер А., Веселовски 3. Анализ винтовых дислокаций с помощью конечной теории упругости // Физика прочности и пластичности. М.: Металлургия, 1972. С. 19-31.

19. Зубов Л. М. Вариационные принципы и инвариантные интегралы для нелинейно упругих тел с моментными напряжениями // Изв. АН СССР. МТТ. 1990. № 6. С. 10-16.

20. Зубов Л. М. Изолированная дисклинация в нелинейно-упругом сжимаемом теле // Изв.АН СССР. МТТ. 1986. № 1. С. 69-73.

21. Зубов Л. М. Теория изолированных дефектов в нелинейно-упругих телах // Вопросы нелинейной механики сплошной среды. Таллин: Валгус, 1985. С. 73-87.

22. Зубов Л. М. Теория дислокаций Вольтерра в нелинейно-упругих телах // Изв.АН СССР. МТТ. 1987. № 5. С. 140-147.

23. Зубов Л. М. О дислокациях Вольтерра в нелинейно-упругих телах // Доклады АН СССР. 1986. Т. 287. № 3. С. 579-582.

24. Зубов Л.М., Карякин М. И. Тензорное исчисление. М.: Вузовская книга, 2006. 120 с.

25. Зубов Л. М., Карякин М. И. Дислокации и дисклинации в нелинейно-упругих телах с моментными напряжениями // ПМТФ. 1990. № 3. С. 160-167.

26. Зубов Л.М., Рудев А.Н. Об особенностях потери устойчивости нелинейно-упругого прямоугольного бруса // ПММ. 1993. Т. 57, вып. 3. С. 65-83.

27. Кадич А., Эделен Д. Калибровочная теория дислокаций и дисклина-ций. М.: Мир, 1987. 168 с.

28. Карякин М. И. О напряжениях, создаваемых изолированной дискли-нацией в нелинейно-упругом теле // Изв. СКНЦ ВШ. Ест. науки. 1988. № 1. С. 58-63.

29. Карякин М. И., Пустовалова О. Г. Образование полости вокруг оси клиновой дисклинации в несжимаемых материалах // Механика деформируемых тел Межвузовский сборник. Ростов н/Д. Изд-во ДГТУ. 1994. С. 75-78.

30. Карякин М. И., Пустовалова О. Г. О сингулярных решениях задач нелинейной теории упругих дислокаций // ПМТФ. 1995. Т. 36. № 5. С. 173-180.

31. Карякин M. И., Пустовалова О. Г. О кавитации на оси клиновой дис-клинации в нелинейно-упругом цилиндре // Вестник Южного Научного Центра РАН. 2008. Т. 4. № 1. С. 16-23.

32. Койтер В. Т. Моментные напряжения в теории упругости // Механика. Сб. перев. 1965. № 3(91). С. 89-112.

33. Колесникова А. Л., Романов А. Е. О дисклинационном подходе при описании структуры фуллеренов // Физика твердого тела. 1998. Т .40. № 6.

34. Косевич А. М. Дислокации в теории упругости. Киев: Наук, думка, 1978. 219 с.

35. Косевич A.M., Токий В. В., Стрельцов В. А. Дислокации и точечные дефекты в гидростатическом сжатом кристалле // Физ. металлов и металовед. 1978. Т. 45 № 6. С. 1135-1144.

36. Коттрел А. X. Дислокации и пластическое течение в кристаллах // М.: Металлургиздат, 1958. 268 с.

37. Коттрел А. X. Теория дислокаций. М.: Мир, 1969. 96 с.

38. Кренер Э. Общая конттинуальная теория дислокаций и собственных напряжений. М.: Мир, 1965. 104 с.

39. Лихачев В. А., Волков А.Е., Шудегов В.Е. Континуальная теория дефектов. ЛГУ, Л. 1986. 420 с.

40. Лихачёв В. А., Хайров Р. Ю. Ввеление в теорию дисклинаций. Л.: ЛГУ, 1975. 183 с.

41. Лурье А. И. Теория упругости. М.: Наука, 1970. 939 с.

42. Лурье А. И. Нелинейная теория упругости. М.: Наука, 1980. 512 с.

43. Ляв А. Математическая теория упругости. М.,Л.: ОНТИ, 1935. 674 с.

44. Михайлин А. И., Романов А. Е. Аморфизация ядра дисклинации // ФТТ. 1986. Т. 28, вып. 2. С. 601-603.

45. Мусхелишвили Н. И. Некоторые основные задачи математической теории упругости // М.: Наука. 1966. 707 с.

46. Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир, 1975. 872 с.

47. Палъмов В. А. Основные уравнения теории несимметричной упругости // ПММ. 1964. Т. 28. Вып. 3. С. 401-408.

48. Повстенко Ю. 3. Конттинуальная теория дислокаций и дисклинаций в двумерной среде // ПММ. 1985. Т. 49. вып. 6. С. 1026-1031.

49. Подстригай Я. С.¡Повстенко Ю. 3. Некоторые вопросы использования тензорного анализа в механике сплошных сред // Приклад, мех. 1984. Т. 20. № 11. С. 92-98.

50. Предводителев A.A., Тяпунина H.A., Зиненкова Г.М., Бушуе-ва Г. В. Физика кристаллов с дефектами. М.: МГУ, 1986. 240 с.

51. Пустовалова О. Г. Учет моментных напряжений в задаче о винтовой дислокации // Труды аспирантов и соискателей РГУ. Ростов-на-Дону: Изд-во Терра Принт, 2006 г. Т. XII. С. 31-32.

52. Работное Ю. П. Механика деформируемого твердого тела. М.: Наука, 1979. 774 с.

53. Panuc Е. Свойства и виды симметрии твердотельной кластерной фазы белка // Журнал технической физики, 2001. Т. 71, Вып. 10.

54. Седов JI. И. Введение в механику сплошной среды. М.: Физматгиз, 1962. 284 с.

55. Теодосиу К. Упругие модели дефектов в кристаллах. М.: Мир, 1985. 352 с.

56. Трусделл К. Первоначальный курс рациональной механики сплошных сред. М.: Мир, 1975.

57. Ту пин Р. А. Теории упругости, учитывающие моментные напряжения // Механика. Сб. перев. 1965. № 3(91). С. 113-140.

58. Хиртп Дж., Лоте И. Теория дислокаций. М.: Атомиздат, 1972. 600 с.

59. Черных К.Ф. Нелинейная теория упругости в машиностроительных расчетах. Л.: Машиностроение, 1996.

60. Шейдаков Д.Н. Об устойчивости сжатой упругой трубы при раздувании в рамках модели микрополярной среды // Труды VIII Международной научно-технической конференции по динамике технологических систем. Ростов-на-Дону, 10-12 октября 2007 г. Т. 2. С. 93-98.

61. Шейдаков Д.Н. Влияние внутреннего давления на устойчивость растянутой трубы из микрополярного материала // Труды XI международной конференции «Современные проблемы механики сплошной среды». Ростов-на-Дону, 26-29 ноября 2007 г. Т. 2. С. 215-219.

62. Шкутин Л. И. Нелинейные модели деформируемых моментных сред // ПМТФ. 1980. № 6. С. 111-117.

63. Шкутин JI. И. Механика деформаций гибких тел // Новосибирск: Наука, 1988. 128 с. С. 111-117.

64. Шматов В. Т. Дислокации в нелинейно-упругой среде // Физ. металлов и металловед, 1978. Т. 46. вып. 6. С. 1285-1296. Вып. 10. С. 3-37.

65. Эриксен Дж. Статика жидких кристаллов // Исследования по механике сплошных сред. М.: Мир, 1997. С. 46-123.

66. Эринген А. К. Теория микрополярной упругости // Разрушение. Т. 2. М.:Мир, 1975. С. 646-751

67. Эшелби Дж.Д. Континуальная теория дислокаций. М.: ИЛ, 1963. 247 с.

68. Ball J. M. Discontinuous equilibrium solutions and cavitaton in nonlinear elasticity // Phil. Trans. R. Soc. Lond. 1982. № 306. P. 557-611.

69. Ball J. M., Schaferr Bifurcation and stability of homogeneous equilibrium configurations of an clastic body under dead-load tractions // 1985. № 147. P. 324-342.

70. Blatz P. J, Ko W.L. Application of finite elastic theory to the deformation of rubbery materials // Soc. Rheology 1962, № 6 P. 223-251.

71. Cesserai, E. et F. Theorie des corps deformables // E. Cosserat et F. Cosserat. Paris, 1909. 226 pp. (Appendix, pp. 953-1173 of Chwolson's Traite de Physicue. 2nd éd., Paris).

72. Charlier J. C., Iijima S. Growth Mechanisms of Carbon Nanotubes //Carbon Nanotubes, Topics Appl. Phys. 80, SpringerVerlag Berlin Heidelberg, 2001. P. 55-81.

73. Chung D. T., Horgan C. 0., Abeyaratne R. The finite deformation of internally pressurized hollow cylinders and spheres for a class of compressible elastic materials // Int. J. Solids Structures. 1986, № 22. P. 1557 1570.

74. Das P., Roy J., Chakrabarti N., Basu S., Das U. Nematic textures in F-actin // Journal of Chemical Physics, V. 116, Is. 20. P. 9028-9035.

75. Dillon O. W. A continuum model of the dislocation core // Arch. Mech. 1977. V. 29. № 3. P. 365-375.

76. Doyama M., Cotterill R. M. J. Atomic configuration of disclination by computer simulation 11 Phil. Mag. A. 1984. V. 50. № 4. L7-L10.

77. Duesbery M. S. The mechanical properties of the dislocation core // Contemp. Phys. 1986. V. 27. № 2. P. 145-168.

78. Eringen A. C. Theory of micropolar fluids // J. Math.Mech. 1966. Vol. 16. № 1. P. 1-18.

79. Fried E., Todres R. E. Prediction of disclinations in nematic elastomers. // Proc. Natl. Acad. Sei. USA 2001. № 98. P. 14773-14777.

80. Fried E., Todres R.E. Disclinated states in nematic elastomers // J.Mech.Phys.Solids 2002. № 50. P. 2691-2716.

81. Gairola B. K. D. Nonliner elastic problems // Dislocations in solids. Amsterdam e.a. 1979. V. 1. P. 223-342.

82. Ganghoffer, J.F., Schultz, J., A new theoretical approach to cavitation in rubber // Rubber Chem. Tech. 1995. № 68. P. 757-772.

83. Gent, A.N., Lindley, P.B., Internal rupture of bonded rubber cylinders in tension // Proc. R Soc. Lond. 1958. № 249. P. 195-205.

84. Gent, A.N., Wang, C. Fracture mechanics and cavitation in rubber-like solids // J. Mater. Sci. 1991. № 26. P. 3392-3395.

85. Gent A N. Elastic instabilities in rubber // Int. J. Non-Linear Mech. 1995. № 40 P. 165-175.

86. Gent AN. A new constitutive relation for rubber // Rubber Chem. Technol. 1996., № 69. P. 59-61.

87. Harris W. F. The geometry of disclinations in crystals // Surf. Def. Prop. Sol. 1974. V. 3. P. 57-92.

88. Horgan, C.O., Abeyaratne, R. A bifurcation problem for a compressible nonlinearly elastic medium: growth of a micro-void //J. Elasticity 1986. № 16. P. 189-200.

89. Horgan C. O., Polignone D. A. Cavitation in nonlinear elastic solids: a review // Appl.Mech.Rev. 1995, № 48, P. 471-485.

90. Horganand C. O., Saccomandi G. A molecular-statistical basis for the Gent constitutive model of rubber elasticity //J. Elast. 2002. № 68. P. 167-176.

91. Horganand C. O., Saccomandi G. Constitutive models for compressible nonlinearly elastic materials with limiting chain extensibility // 2004. № 77. P. 123-138.

92. Hou, H.S., Abeyaratne, R. Cavitation in elastic and elastic-plastic solids // J. Mech. Phys. Solids 1992. № 1640, P. 571-722.

93. Hou, H.S., Zhang, Y. The effect of axial stretch on cavitation in an elastic cylinder // Int. J. Non-Linear Mech. 1992 № 25. P. 715-722.

94. Kemkemer R., Kling D., Kaufmann D., Gruler H. Elastic properties of nematoid arrangements formed by amoeboid cells // The European Physical Journal E Soft Matter. Springer Berlin/Heidelberg. 2000. V 1. № 2-3 /February.

95. Kleman M., Sadoc J. F. A tentative description of the crystallography of amorphous solids // J. Physique Lett. 1979. L. 569. № 40. P. 6

96. Kleman M., Oswald P. Columnar discotic mesophases: elasticity, dislocations, instabilities // J. Physique 1982. V. 43. № 3. P. 1389.

97. Kramer E. M., Joseph V. Defect coarsening in a biological system: The vascular cambium of cottonwood trees // Physical Review 2003. E 67. 041914.

98. Larson P. R. The Vascular Cambium // Springer New York, 1994.

99. Lev-Yadun S., Aloni R. Vascular differentiation in branch junctions of trees // Trees 1990. № 4. P. 49-54.

100. Meiboom S., Sethna J.P.,Anderson P.W., Brinkman W.F. Theory of the Blue Phase of Cholesteric Liquid Crystals // Phys.Rev.Lett. 1981. № 46. P. 1216-1219.

101. Mottram N. J., Hogan S. J. Disclination core structure and induced phase change in nematic liquid crystals // Philos. Trans. R. Soc. 1997. A 355 P. 2045-2064.

102. Mottram N. J., Sluckin T. J. Defect induced melting in nematic liquid crystals // Liquid Crystals 2000. № 27. P. 1259-1260.

103. Nabarro F.R.N. Theory of Cristall Dislocation // Clarendon Press. Oxford. 1967. P. 129.

104. Nabarro F.R.N. In: Fundamental Aspects of Dislocation Theory // Ed. J.A. Simmons, de Wit, and R. Bullough. NatBur. Stand.U.S., Spec. Publ. 1970. V. 317. № 1. P. 593.

105. Neilson D.R. Order, frustration, and defects in liquids and glasses // Phys. Rev. B. 1983. Vol. 28. № 10. P. 5515-5535.

106. Nowacki W. Theory of Asymmetric Elasticity. Oxford, New-York, Toronto et al: Pergamon-Press, 1986. P. 383.

107. Ogden R. W. Nonlinear Elastic Deformations // Ellis Horwood, Chichester, West Sussex, England, 1984. P. 532.

108. Podio-Guidugli P., Vergara Cafarelli G., Verga E.G. Discontinuous energy minimizers in nonlinear elastostatics: an example of J. Ball revisited // J. Elast. 1986. V. 16, № 1. P. 75-96.

109. Rivier N., Duffy D. M. Hydrodynamics of nematic liquid crystals in the presence of a continuous density of disclinations // J. Physique 1982. V. 43. № 2. P. 293.

110. Sackmann E. Biological Membranes Architecture and Function // Elsevier Science B.V. 1995. Handbook of Biological Physics. V. 1

111. Seeger A. Second-Order Effects in Elasticity // Plasticity and Fluid Lynamics. Macmillan, New York. 1964. p. 129.

112. Sethna J. P., Wright D. C., Mermin N. D. Relieving Cholesteric Frustration: The Blue Phase in a Curved Space //J. Phys. Rev. 1983. Lett. 51. № 24. p. 2198.

113. Shen J. Q., Lung C. W., Wang K.L. Dislocation core models and their positron annihilation effects // Phys. Stat. Sol. (b). 1986. V. 134. № 1. P. 97-102.

114. Sivaloganathan J. Uniqueness of regular and singular equilibria for spherically symmetric problems of nonlinear elasticity // Arch. Rational Mech. Anal 1986, № 96 P. 589-604

115. Steenbrink,A.C.,VanderGiessen,E. On cavitation, post-cavitation and yield in amorphous polymer-rubberblends // J.Mech.Phys. Solids 1999. № 2547, P. 843-876.

116. Volterra V. Sur l'equilibre des corps elastiques multiplement connexes // Annales de l'Ecole Norm.Sup. Ser. 3. 1907. V. 24. № 3. P. 401-517.

117. Williams, M.L., Schapery, R.A. Spherical flaw instability in hydrostatic tension // Int. J. Fracture Mech. 1965. № 1, P. 64-71.

118. Zadadzinski J. A. N., Meyer R. B. Molecular Imaging of Tobacco Mosaic Virus Lyotropic Nematic Phases // Physical Review 1986. Letters V. 56 № 6. P. 636-638.