Волны дислокаций в упруго-пластических телах

Савченко, Андрей Павлович

Волны дислокаций в упруго-пластических телах тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.07 ВАК РФ

Савченко, Андрей Павлович АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Краснодар МЕСТО ЗАЩИТЫ

2005 ГОД ЗАЩИТЫ

01.04.07 КОД ВАК РФ

Диссертация по физике на тему «Волны дислокаций в упруго-пластических телах»

Автореферат диссертации на тему "Волны дислокаций в упруго-пластических телах"

На правах рукописи

Савченко Андрей Павлович

ВОЛНЫ ДИСЛОКАЦИЙ В УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКИХ ТЕЛАХ

01.04.07 - Физика конденсированного состояния

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Краснодар 2005

Работа выполнена в Государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Кубанский государственный университет»

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Богатое Николай Маркович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Фомин Василий Васильевич

кандидат физико-математических наук, доцент Тумаев Евгений Николаевич

Ведущая организация: Кубанский государственный

технологический университет

Защита состоится 2005 г. в часов на

заседании диссертационного совета Д 212.101.07 при ГОУ ВПО «Кубанский государственный университет» по адресу:

350040, г. Краснодар, ул. Ставропольская, 149, ауд. 261.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке ГОУ ВПО «Кубанский государственный университет».

Автореферат разослан « ^У » ноября 2005 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета /^^/б^е«"'*^' Евдокимов А.А.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы

Большинство электрофизических свойств полупроводниковых материалов являются структурно-зависимыми, т.е. определяются степенью совершенства структуры кристалла. Дефекты в кристаллах могут образовываться в процессе роста под действием термических и механических напряжений в области пластичности. В зависимости от условий выращивания, формирующаяся структура может содержать как трансляционные, так и поворотные элементы деформации, взаимодействие которых во многом обуславливает макроскопическую неоднородность материала. В основе взаимодействия структурных дефектов в кристаллах лежат фундаментальные процессы, протекающие в кристаллической решетке.

Снижение плотности дефектов в кристаллах полупроводников позволит получать более качественные материалы, которые используются в различных отраслях современного промышленного производства, таких как радиоэлектроника, микроэлектроника, космические технологии и др. Основной задачей в этом направлении является повышение микроскопической и макроскопической однородности кристаллических структур.

Перспективным методом описания геометрии кристалла со структурными нарушениями является использование калибровочной теории. Методы калибровочной теории дефектов активно развиваются в современной научной литературе и дают качественные результаты при описании реальных кристаллов.

Проблема образования и распространения дефектов в кристаллической структуре, их влияние на характеристики среды и зависимость от различных внешних факторов изучаются уже давно, но единой теории структурных дефектов до сих пор не создано.

Таким образом, исследование распределения дислокаций в кристаллах методами калибровочной теории дефектов - актуальное направление физики конденсированного состояния.

Цель работы

Теоретическое исследование волн деформаций в упруго-пластической среде с дислокациями.

Задачи работы:

1. Вывод системы уравнений динамики упруго-пластической среды с дислокациями на основе калибровочной теории дефектов;

2. Расчет стационарного распределения дислокаций в объеме тела

3. Исследование собственных колебаний упруго-пластической среды с дислокациями;

4. Исследование образования и распространения вынужденных волн смещений и плотности дислокаций под действием колебаний температуры;

5. Анализ влияния колебаний температуры в зоне кристаллизации на распределение дислокаций при выращивании кремния методом Степанова.

Научная новизна

1. Выведено уравнение движения упруго-пластической среды с дефектами, частными предельными случаями которого являются уравнение движения упругой среды и уравнение Навье - Стокса.

2. Рассчитаны дисперсионные зависимости и соотношения между амплитудами плотности дислокаций и смещений для собственных колебаний упруго-пластической среды.

3. Выведены формулы, связывающие амплитуды вынужденных колебаний смещений и плотности дислокаций с амплитудой колебаний температуры.

4. Показана возможность аномального увеличения продольных смещений и плотности дислокаций.

Научная и практическая значимость

1. Калибровочная теория дефектов дополнена уравнениями, описывающими динамику упруго-пластических тел.

2. Полученные результаты проясняют волновую природу распространения деформаций и дислокаций в упруго-пластических телах.

3. Найденные закономерности распределения смещений упруго-пластической среды позволяют объяснить некоторые проявления сейсмической активности.

4. Раскрыт один из механизмов аномального увеличения плотности дислокаций при выращивании кристаллов.

Достоверность результатов

1. Использованные методы калибровочной теории дефектов хорошо апробированы в научной литературе.

2. Использованные методы теории колебаний широко используются и экспериментально подтверждены в физике конденсированного состояния, радиофизике, оптике, механике и др. областях.

3. Выведенные уравнения динамики упруго-пластической среды обобщают и при определенных значениях коэффициентов переходят в классические уравнения теорий упругости и движения вязкой жидкости.

4. Изучается волновой характер пластической деформации, подтвержденный фундаментальными исследованиями других авторов.

5. В расчетах влияния колебаний температуры на плотность дислокаций используются параметры реального ростового процесса.

Основные положения, выносимые на защиту

1. Уравнения движения упруго-пластической среды с дефектами.

2. Закономерности стационарного распределения дислокаций в объеме тела.

3. Дисперсионные соотношения для собственных колебаний упруго-пластической среды с дислокациями.

4. Зависимости между амплитудами плотности дислокаций и смещений для собственных колебаний упруго-пластической среды.

5. Зависимости амплитуд вынужденных колебаний смещений и плотности дислокаций от амплитуды колебаний температуры.

6. Решения уравнений динамики упруго-пластической среды с затухающими или нарастающими амплитудами колебаний смещений и плотности дислокаций.

Апробация работы

Основные результаты работы докладывались на

- научных семинарах кафедры общей физики и информационных систем Кубанского государственного университета;

- IX Всероссийской конференции молодых ученых-физиков, г. Красноярск 2004 г.;

- Международной научной конференции «Междисциплинарный уровень интеграции современных научных исследований» г. Анталия (Турция) 17-24 августа 2004г.;

- Всероссийской научной конференции молодых ученых и студентов «Современное состояние и приоритеты развития фундаментальных исследований в регионах», г. Краснодар, 22-24 сентября 2004 г.;

- IX Всероссийской научно-практической конференции «Наука. Экология. Образование», г. Анапа, 1-Зоктября 2004 г.;

- VII Всероссийском семинаре «Моделирование неравновесных систем -2004» г. Красноярск, 8-10 октября 2004 г.;

- VIII Всероссийском семинаре «Моделирование неравновесных систем -2005» г. Красноярск, 14-16 октября 2005 г.

Публикации

По теме диссертации опубликовано 9 работ, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации

Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения и содержит 102 страницы, включает 20 рисунков и список литературы из 95 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы исследования, сформулированы цели и задачи исследования, кратко изложена структура работы.

Первая глава носит обзорный характер. В ней дана геометрическая классификация структурных дефектов, рассмотрены существующие подходы к описанию дефектов в твердом теле. Отмечено, что классические теории упругости и пластичности не полностью описывают динамику дефектов в кристаллах.

Обоснован выбор методов исследования. Для описания геометрии дефектного кристалла предложено использовать калибровочную теорию, основанную на геометрии аффинной связности.

Сформулированы основные направления исследования. В литературе отмечается волновой характер пластической деформации. При анализе работ по данной теме, сделан вывод о недостаточной исследованности характеристик свободных колебаний упруго-пластической среды с дефектами. Колебания температуры влияют на смещения среды и плотность дислокаций. Это влияние

описано в ряде экспериментальных работ, но математической модели этой зависимости не построено.

Во второй главе построена модель упруго-пластического тела с дислокациями на основе калибровочной теории дефектов. Упругий континуум с дефектами отображается в 4-мерное подпространство расслоенного пространства Ь4 5. В 5-мерном слое Ь5 задано поле объекта аффинной связности

являющегося одновременно калибровочным полем. Компоненты характеризуют поворотные деформации среды и соответствуют ротационным дефектам. Компоненты 0р(|) = Ар^ соответствуют трансляционным дефектам

- дислокациям. Считается, что латинские индексы пробегают значения 1, 2, 3, греческие - 0,1,2, 3, греческие в скобках - 0,1,2,3,4.

В 4-мерном подпространстве пространства Ь5 компоненты тензора <р(а) преобразуются под действием элементов группы Ли неоднородных калибровочных преобразований следующим образом:

ф<»> =ф(0> =х°,ф(П = м" '(ОФ» + т(! >, Ф<4 > = ф(4) =1. (1) Тензор плотности дефектов имеет вид:

Р^а> =*8п(8)е^ КгР>(а)(4)Ф® /2, (2)

где - полностью антисимметричный тензор Леви-Чивитта; Лгр- тензор кривизны пространства Ь5.

Получены уравнения динамики упруго-пластической среды со структурными дефектами. В случае изотропного континуума они имеют более простой вид:

(>. + ц)д/0тит) + цД^-рс2д20и} -рс(0ш +90А2тхгаё^) +

+ ^(0тт + А|;тхтёпк - ЗаТ) + (3)

+ ^(©у+0^+АГтхт8п]+А?тхтдш-2буаТ) = О,

где X и ц - коэффициенты Ламэ, и, = ф, - х, - малые смещения среды, р -плотность среды, с - скорость света, а - коэффициент теплового расширения кристалла, 5,, - символ Кронекера.

В случае отсутствия дефектов и пластических деформаций Ар^ = О,

©р, = 0, тогда уравнения (3) переходят в уравнения движения упругой среды. Температурные напряжения играют роль вынуждающих сил. Если коэффициенты упругости X и ц являются функциями скорости деформаций, то уравнения (3) переходят в уравнения динамики вязкой жидкости Навье -Стокса, где коэффициенты связности 0и дают вклад в статическое давление, а в качестве массовых сил выступают слагаемые, содержащие коэффициенты ©о,.

В результате решения уравнения (3) получены 3 типа волн смещений в твердом теле:

- непрерывно возрастающие (убывающие) по амплитуде волны;

- незатухающие волны деформации;

- стоячие волны, образующиеся при критическом значении волнового числа.

Дисперсионные соотношения содержат характеристики дефектов, которые должны определяться из дополнительных уравнений. Сделан вывод о необходимости дополнения уравнений динамики среды уравнениями динамики дефектов.

В калибровочной теории поле распределения дефектов описывается объектами

Е»(к)=-НцР*к), Н*к) =?<№>, (4)

где е5у-тензорная плотность.

Дополним уравнение динамики среды уравнениями динамики дефектов еаЬсдьН(к) =3()Еа(1с) __1_ааЬ5(к) 2$2

^^(к) =_а()На(к)

^Е*к>=-—рс2 0оиоо

где в2 - константа, характеризующая пластические свойства среды.

Уравнения (3) и (5) составляют математически замкнутую систему уравнений, полностью описывающую поведение упруго-пластической среды с дефектами.

Выведена система уравнений для плотности дислокаций. Для уменьшения количества неизвестных предложен переход от переменных (4) к полевым переменным 0ь<к).

2 дкр дх ° 2 5хр 5х

--Ье'кРак[^б<8)(©,г-ЗаТ + Эгиг)+ (6)

¿в 2

+ ц(0<°> + 5р(П5(8>*0<г> + йри<3) + 8р(П8">'а/г> _ 2аТ8р))];

а0^вц=-—рс2а0ик (7)

Уравнение (6) имеет структуру уравнения Даламбера. Его решение указывает на волновую природу распространения деформаций и дислокаций в упруго-пластических телах. Решения уравнений (3), (6), (7) описывают связь процессов образования волн деформаций и дислокаций в упруго-пластической среде.

Поверхностная плотность дислокаций с компонентой вектора Бюргерса Ь(*\ пересекающих поверхность тела с нормалью в направлении г, определяется формулой:

Скалярные компоненты Ыц не образуют тензор, суммирования по индексу

к в правой части формулы (8) нет.

В третьей главе приведены результаты теоретических исследований волн плотности деформаций в упруго-пластической среде с дефектами.

В разделе 3.1 исследуется стационарное распределение дислокаций в кристалле с заданными плотностями дефектов на гранях. Получены следующие типы распределения дислокаций вдоль выделенной оси: монотонно убывающие решения, существующие как для краевых, так и для винтовых дислокаций (рис. 1); два типа убывающих решений с осцилляциями - только для винтовых дислокаций (рис. 2); гармонические незатухающие решения -только для краевых дислокаций.

Рассчитаны коэффициенты затухания в кремнии для монотонно убывающего распределения краевых дислокаций - «^=1,45 мкм-1, винтовых дислокаций - ств=2,76 мкм-1, для осциллирующих затухающих решений -Ч/=1,38 мкм-1. Длина волны незатухающего решения для краевых дислокаций в кремнии А,=6,8 мкм.

—т—|

-60 -56 -52 -48 -44 -40 -36

у, мкм

Рис.1. Плотность краевых дислокаций N0 на поверхности (100) кристалла для граничных значений 1 -N00 = 1016 м'2; 2 -N00 = 1014 м"2; 3 - Мм = 10|2м"2

Характерное расстояние изменения плотности дислокаций в рассмотренном случае 1~1 мкм для краевых дислокаций в кремнии при величине скалывающего напряжения тс=75 108 Н м"2.

1,5-10

1-10

5-10

ndX

-5-10

-1-10

Рис.7. Плотность винтовых дислокаций на поверхности (100) кристалла

(Ndo=1012m-2)

В разделе 3.2 исследованы собственные колебания упруго-пластической среды с дислокациями, которые описываются уравнениями (3), (6), (7) при Т = const. Получено дисперсионное соотношение для продольных волн смещений упруго-пластической среды

00 =

к2 с2

Х + 2ц-

(9)

Р s2 к s2 +Х + ц

где к - волновое число.

Упругому состоянию среды соответствует s2 -» В этом случае coi стремится к классическому выражению túie(k). Частота coi не равна нулю при к —> 0:

(о,(0) = с

ц(ЗЯ, + 2ц)

(Ю)

82(Я. + Ц) однако со: (к) —> <а1е(к) при к —> чс

Значения со^к) фО, СО|(0)) достигаются при к2<0. Следовательно, в этом диапазоне частот распространяющиеся продольные волны смещений не существуют, а колебания среды затухают или нарастают в пространстве.

Амплитуда волн поверхностной плотности дислокаций выражена через амплитуду иг смещений среды.

(И)

и2Мс2 , рс2 2ё(к в2 +А. + ц) к\ где й - период решетки.

Для поперечных волн смещений и,(у, 1) получено дисперсионное уравнение:

р(2к в2 + ц)

При 82-» оо оз,(к) -х»,е(к), где со,е(к) - классическое дисперсионное соотношение для свободных поперечных волн деформации в упругой среде. При к -» 0 ш,(к) -» 0, при к -» аю,(к) -» ю,с(к).

Амплитуды волн поверхностной плотности дислокаций равны

_и,к 2цк(рс2+к282) , рс2 (к252+И)

2А (2к в2 + ц)(к +Л, + ц) кя2 (к282 + А./2 + ц) Щс +2цк(рс'+к',2) 2_ X

М кв2 2к в2 к2я2+>, + ц

к2-

1 + -

®2

(15)

с! 2^2 + ц кя2

Таким образом, существует связь между амплитудами колебаний плотности дислокаций и смещений. Волны плотности дислокаций в упруго-пластической среде распространяются в том же направлении, что и волны смещений. Волновое число к определяется дисперсионными соотношениями (9) для продольных и (12) для поперечных волн смещений.

С продольными волнами смещений связаны краевые дислокации, имеющие вектор Бюргерса и линии, перпендикулярные направлению распространения волны смещений. Колебания поверхностной плотности дислокаций и смещений происходят в противофазе. В частотном диапазоне Ю[(к) £0, Ш|(0)) возникают колебания среды, затухающие или нарастающие в пространстве. Затухание или нарастание колебаний для поперечных смещений в данной модели отсутствует.

С каждым направлением поляризации поперечных волн смещений связаны два типа краевых дислокаций: первый тип имеет векторы Бюргерса перпендикулярные, а второй тип - параллельные направлению распространения волны смещений. Направление линий дислокаций второго типа перпендикулярно плоскости поляризации. Фаза волн плотности дислокаций первого типа совпадает с фазой поперечной волны смещений, фаза плотности дислокаций второго типа отличается от нее на я.

В разделе 3.3 рассмотрены вынужденные колебания упруго-пластической среды с дислокациями. Колебания температурного поля играют роль вынуждающей силы. Получены следующие зависимости амплитуд продольных волн смещений и2 и плотности дислокаций от амплитуды колебаний температуры Т0:

II -„т Ц3^ + 2ц)(к282 +ц)

и2 = иТо т—- у 2-гГ' (16)

^2 +А, + цДЮ| -со )р

где со - частота вынуждающей силы. Резонанс вынужденных колебаний возникает при со = соь

2а(к2Б2 + X + ц) в2 р (к282 + X + цХ<0] - ш )

Для поперечных волн смещений и/у, I) получены аналогичные зависимости

+ (ЗХ + 2ц)Ю2 (1

(гк^+^ + ЗмХи.е2-®2) (С0,2-С02)р

d(2k s2 +А, + 2ц)(соК — со )s2 аТ0кЯ, (рс2+к2в2)ц ^ (ЗА, + 2ц)со2

(19)

гдеа>«с =-ттт

N32=-НЧ-5- 3 +-5-- -5-Г . (20)

(cot - to )s2 d(2k s2 + ц)р (2k2s2 + X + 2n)(a>te - со2)

2 _ c2(k2s2 + mX^2s2 + ^ + M) s2(k2s2 Ч-А./2 + ц)

Сделан вывод, что гармонические колебания температуры в упруго-пластической среде сопровождаются распространением волн смещений и плотности дислокаций, амплитуды которых пропорциональны амплитуде колебаний температуры, а направление совпадает с направлением движения температурной волны. Волны смещений имеют одну продольную и две поперечные моды.

Вынужденные волны плотности дислокаций первого типа имеют одну резонансную частоту, а смещений среды и плотности дислокаций второго типа - две, из которых первая равна частоте собственных колебаний.

В четвертой главе исследована связь колебаний и структуры упруго-пластической среды.

В разделе 4.1 рассмотрены колебания упруго-пластической среды, для которых к2<0. В общем случае колебания смещений имеют вид

и(У> t) = Uo- ехр { ку } cos(cot) (21)

При значениях волнового числа к = i-к, где

0<к2< Ш±Ш (22)

]js2(X + 2n)

возникают колебания, которые затухают (нарастают) в пространстве. Положительные значения к описывают нарастание смещений в упруго-пластическом слое, а отрицательные значения - затухание.

Решена задача о распространении продольных смещений в упруго-пластическом слое толщиной W, на поверхности которого заданы начальные смещения в направлении оси У декартовой системы координат.

Проведена оценка значений коэффициента усиления колебаний. Поскольку теория рассматривает только малые смещения, то амплитуда колебаний и = и0-ехр{ку} на выходе из слоя должна удовлетворять неравенству

— «1. (23)

На параметр к накладывается дополнительное ограничение

1 . w

к«—1п — . (24)

и0

При ио = 1 см, = 1 км, амплитуда смещений на выходе и = 100 м. Следовательно, малые вынуждающие смещения при прохождении через протяженные упруго-пластические слои могут значительно усиливаться. Если в качестве упруго-пластической среды рассмотреть слои земной породы, то найденные закономерности позволяют объяснить некоторые проявления сейсмической активности.

Описана взаимосвязь нарастающих продольных колебаний упруго-пластической среды с ее структурой. Распространение нарастающих продольных колебаний в положительном направлении оси У сопровождается увеличением плотности краевых дислокаций следующих ориентации:

- с вектором Бюргеса, направленным в положительном направлении оси X с линией дислокации параллельной оси Ъ\

- с вектором Бюргеса, направленным в отрицательном направлении оси Ъ с линией дислокации параллельной оси X.

В разделе 4.2 исследована связь процесса распространения поперечных волн смещения вдоль оси У со структурными изменениями в кристалле. При смещении среды в положительном направлении оси X возрастает плотность дислокации с вектором Бюргерса, направленным вдоль оси У и линией дислокации, параллельной оси Ъ. В соответствии с изменением фазы колебаний, знак вектора Бюргеса меняется, т.е. меняется ориентация дислокаций.

В разделе 4.3 исследовано влияние колебаний температуры на кромке формообразователя на образование дислокаций растущего кристалла в процессе вытягивания кристалла кремния методом Степанова.

В экспериментальных работах установлено, что колебания температуры вблизи торца формообразователя при выращивании кремниевого профиля методом Степанова имеют выраженный периодический характер. Аналогичная закономерность отмечена при выращивании кремния по Чохральскому. Согласно литературным данным в спектре колебаний температуры наблюдались аномальные гармоники с амплитудой колебаний Т0 = 10-20 К и частотой согар = 0,3-0,6 с~\

В области пластичности минимальная частота незатухающих собственных продольных колебаний Ю|(0) ~ 10" с"1. Так как экспериментальные частоты Юехр^ Ю|(0), то они соответствуют затуханию (нарастанию) колебаний среды и плотности дислокаций в области пластичности.

В диапазоне от температуры плавления Тпл до Тпл-100 К, кристалл можно рассматривать как упруго-пластическую среду. При вытягивании ленты со средней скоростью температурный градиент равен 200 К • см"1, тогда размер области пластичности w < 0,5 см.

Изменение высоты мениска h расплава в формообразователе, вызванное колебаниями температуры

Ah = h-aTo, (25)

Коэффициент теплового расширения для кремния ак = 6-10"6 К-1. Согласно литературным данным, при выращивании кремния средняя высота мениска h = 0,05 см, тогда на фронте кристаллизации возникают продольные смещений с амплитудой Uo = 1,2-Ю-6 см. Проходя сквозь область пластичности, амплитуда смещений нарастает по экспоненциальному закону и при высоте слоя w = 0,1 см достигает величины

U= Ю^см.

Такие смещения могут приводить не только к образованию структурных дефектов, но и к растрескиванию и отрыву растущего кристалла. Следовательно, колебания температуры на кромке формообразователя могут явиться одной из причин нестабильного роста кристалла.

Согласно (11), продольные смещения среды в области пластичности сопровождаются колебанием плотности дислокаций. В рассмотренном случае амплитуда колебаний плотности дислокаций достигает значения ND = 1014 см"2. В области пластичности плотность дислокаций может либо нарастать, либо затухать. По мере вытягивания кристалла, образовавшиеся дислокации выходят из области пластичности и «застывают» в кристаллической решетке, образуя периодическую дислокационную структуру выращенного кристалла. Следовательно, колебания температуры на кромке формообразователя - одна из причин формирования распределения дислокаций в кристалле.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. Получены уравнения динамики упруго-пластической среды с дефектами. При отсутствии дефектов и пластических деформаций они переходят в уравнения движения упругой среды. Если коэффициенты упругости являются функциями скорости деформаций, то уравнения переходят в уравнения движения вязкой жидкости Навье - Стокса. Коэффициенты связности в этом случае дают вклад в статическое давление.

2. Выведено волновое уравнение для плотности дислокаций, имеющее структуру уравнения Даламбера. Его решение указывает на волновую природу распространения деформаций и дислокаций в упруго-пластических телах.

3. Получены следующие типы стационарного распределения дислокаций в кристалле при заданных плотностях дефектов на гранях:

- монотонно убывающие решения существуют как для краевых, так и для винтовых дислокаций;

- убывающие решения с осцилляциями - только для винтовых дислокаций;

- гармонические незатухающие решения - только для краевых дислокаций.

4. Получены дисперсионные соотношения для собственных поперечных и продольных колебаний упруго-пластической среды с дислокациями. В упругом пределе они переходят в классические уравнения дисперсии. Частота продольных волн в упруго-пластической среде не равна нулю при бесконечно большой длине волны. В частотном диапазоне а>1(к) фО, М|(0)) возникают колебания среды, затухающие или нарастающие в пространстве.

5. Для собственных колебаний упруго-пластической среды получены соотношения между амплитудами смещений и плотности дислокаций.

6. Выведены формулы зависимости амплитуд вынужденных колебаний смещений и плотности дислокаций от амплитуды колебаний температуры.

7. Показана возможность аномального увеличения продольных смещений под действием колебаний плотности дислокаций упруго-пластической среды. Это позволяет объяснить некоторые проявления сейсмической активности.

8. Проанализировано влияния колебаний температуры в зоне кристаллизации на распределение дислокаций при выращивании кремния методом Степанова. Раскрыт один из механизмов аномального увеличения плотности дислокаций при выращивании кристаллов.

СПИСОК ОПУБЛИКОВАННЫХ РАБОТ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Богатов Н.М., Савченко А.П. Калибровочная теория распределения дислокаций // Экологический вестник научных центров Черноморского Экономического Сотрудничества. 2004. №1. С. 76-81.

2. Богатов Н.М., Савченко А.П. Колебания упруго-пластической среды // Успехи современного естествознания. 2004. №7. С. 36-37.

3. Богатов Н.М., Савченко А.П. Волны деформации в упруго-пластических телах // Экологический вестник научных центров Черноморского Экономического Сотрудничества. 2005. № 2. С. 78-82.

4. Савченко А.П. Калибровочная теория распределения дислокаций // Матер. IX Всерос. науч. конф. студентов-физиков и молодых ученых: Сб. тезисов. Информационный бюллетень. Екатеринбург: Ассоциация студентов-физиков России. 2003. Т. 1. С. 205-207.

5. Богатов Н.М., Савченко А.П. Волны упруго-пластической деформации в калибровочной теории дефектов // Наука. Экология. Образование: Матер. IX Всерос. науч.-практ. конф., Краснодар: Наука Кубани, 2004. С. 204-206.

6. Богатов Н.М., Савченко А.П. Расчет плотности дислокаций методами калибровочной теории в твердом теле // Современное состояние и приоритеты развития фундаментальных исследований в регионах: Матер. Всерос. науч. конф. молодых ученых и студентов. Т.1. Экология и природопользование. Биология и медицина. Краснодар, 2004. С. 81-83.

7. Богатов Н.М., Савченко А.П. Моделирование колебаний в упруго-пластической среде с дефектами // Моделирование неравновесных систем-2004: Матер. VII Всероссийского семинара. Красноярск: ИВМ СО РАН. 2004. С. 11-12.

8. Богатов Н.М., Савченко А.П. Образование дислокаций волнами температуры в упруго-пластических телах // Моделирование неравновесных систем-2005: Матер. VIII Всероссийского семинара. Красноярск: ИВМ СО РАН. 2004. С. 12-14.

9. Богатов Н.М., Савченко А.П. Волны температуры и деформаций в упруго-пластических телах // Журнал проблем эволюции открытых систем. 2005 (в печати).

«24069

РНБ Русский фонд

2006-4 26189

Бумага тип. №2. Печать трафаретная. Формат 60x84 '/16. Тираж 100 экз. Заказ № 81.

Отпечатано в типографии ЦУПРМС 350040, г. Краснодар, ул. Ставропольская, 149

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Савченко, Андрей Павлович

4» ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. ДЕФОРМАЦИОННЫЕ ДЕФЕКТЫ В ТВЕРДЫХ ТЕЛАХ.

1.1. Классификация структурных дефектов в твердых телах.

1.2. Классическая теория упругости в применении к описанию дефектов.

1.3. Теория пластичности и упруго-пластические теории в применении к описанию дефектов.

1.4. Основные определения неевклидовой геометрии.

1.5. Геометрические теории твердых тел с дефектами.

1.6. Выводы к главе 1.

ГЛАВА 2. КАЛИБРОВОЧНАЯ ТЕОРИЯ ДИСЛОКАЦИЙ.

2.1. Геометрические основы калибровочной теории дефектов.

2.2. Основные уравнения калибровочной теории дефектов.

2.3. Уравнения движения среды.

2.4. Вынужденные колебания смещений упруго-пластической среды с дефектами.

2.5. Уравнения динамики дефектов.

2.6. Система уравнений динамики дислокаций.

2.7. Выводы к главе 2.

ГЛАВА 3. ВОЛНЫ ДИСЛОКАЦИЙ В УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКОЙ

СРЕДЕ.

3.1. Стационарное распределение дислокаций в объеме кристалла.

3.2. Собственные колебания упруго-пластической среды с дислокациями

3.3. Вынужденные колебания смещений и дислокаций упруго-пластической среды.

3.4. Выводы к главе 3.

ГЛАВА 4. СВЯЗЬ КОЛЕБАНИЙ И СТРУКТУРЫ

УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКОЙ СРЕДЫ.

1 4.1. Затухающие и нарастающие колебания упруго-пластической среды.

4.2. Связь направления смещений и ориентации дислокаций.

4.3. Влияние колебаний температуры на процесс выращивания кристалла из расплава.

4.4. Выводы к главе 4.

Введение диссертация по физике, на тему "Волны дислокаций в упруго-пластических телах"

Актуальность проблемы

Таким образом, исследование распределения дислокаций в кристаллах методами калибровочной теории дефектов - актуальное направление физики конденсированного состояния. Цель работы

Теоретическое исследование волн деформаций в упруго-пластической среде с дислокациями.

Для достижения поставленной цели в диссертационной работе решались следующие задачи:

2. Расчет стационарного распределения дислокаций в объеме тела

3. Исследование собственных колебаний упруго-пластической среды с дислокациями;

Научная новизна

4. Показана возможность аномального увеличения продольных смещений и плотности дислокаций.

Научная и практическая значимость

1. Калибровочная теория дефектов дополнена уравнениями, описывающими динамику упруго-пластических тел.

4. Раскрыт один из механизмов аномального увеличения плотности дислокаций при выращивании кристаллов.

Достоверность результатов

1. Использованные методы калибровочной теории дефектов хорошо апробированы в научной литературе.

Основные положения, выносимые на защиту

1. Уравнения движения упруго-пластической среды с дефектами.

2. Закономерности стационарного распределения дислокаций в объеме тела.

3. Дисперсионные соотношения для собственных колебаний упруго-пластической среды с дислокациями.

Апробация работы

Основные результаты работы докладывались на

- научных семинарах кафедры общей физики и информационных систем Кубанского государственного университета;

- IX Всероссийской конференции молодых ученых-физиков, г. Красноярск 2004 г.;

- IX Всероссийской научно-практической конференции «Наука. Экология. Образование», г. Анапа, 1-Зоктября 2004 г.;

- VII Всероссийском семинаре «Моделирование неравновесных систем - 2004» г. Красноярск, 8-10 октября 2004 г.;

- VIII Всероссийском семинаре «Моделирование неравновесных систем - 2005» г. Красноярск, 14-16 октября 2005 г.

Публикации

По теме диссертации опубликовано 9 работ, 2 из которых вышли в изданиях, рекомендуемых ВАК: (Экологический вестник научных центров Черноморского Экономического Сотрудничества (ЧЭС)).

Структура и объем диссертации

Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения и содержит 103 страницы, включает 20 рисунков и список литературы из 95 наименований.

Заключение диссертации по теме "Физика конденсированного состояния"

ВЫВОДЫ К ГЛАВЕ 4

1. Рассмотрены затухающие (нарастающие) в пространстве колебания упруго-пластической среды. Решена задача о распространении продольных смещений в слое толщиной \У, на поверхности которого заданы начальные смещения. При X = 5,09-Ю11 Н/м2, ц =5,31-Ю11 Н/м2 и б2 = 0,15 Н максимальное значение коэффициента усиления колебаний К = 2,42-106 м"1

2. Определено, что распространение нарастающих продольных колебаний в положительном направлении оси У сопровождается увеличением плотности краевых дислокаций следующих ориентаций:

- вектор Бюргерса Ь ориентирован в положительном направлении оси X, направляющий вектор / линии дислокации — в положительном направлении оси Ъ\ вектор Бюргерса Ь ориентирован в положительном направлении оси Ъу направляющий вектор / линии дислокации — в отрицательном направлении оси X.

3. Показана возможность аномального увеличения продольных смещений под действием колебаний плотности дислокаций упруго-пластической среды. Это позволяет объяснить некоторые проявления сейсмической активности.

4. Исследована связь процесса распространения поперечных волн смещения вдоль оси У со структурными изменениями в кристалле. При смещении среды в положительном направлении оси X возрастает плотность дислокации с вектором Бюргерса, направленным вдоль оси У и линией дислокации, параллельной оси Z. В соответствии с изменением фазы колебаний, знак вектора Бюргерса меняется, т.е. меняется ориентация дислокаций.

5. Проанализировано влияния колебаний температуры в зоне кристаллизации на распределение дислокаций при выращивании кремния методом Степанова. Теоретическое значение коэффициента усиления продольных колебаний в пластичном кремнии к,ф = 4,5*103 м-1. Показано, что продольные смещения фронта кристаллизации могут приводить не только к образованию структурных дефектов, но и к растрескиванию и отрыву растущего кристалла. Колебания температуры на кромке формообразователя могут явиться одной из причин нестабильного роста кристалла.

Раскрыт один из механизмов аномального увеличения плотности дислокаций при выращивании кристаллов. Показано, что при выращивании кремния амплитуда колебаний плотности дислокаций в направлении роста достигает = 1014 см"2.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Проблема образования и распространения дефектов в кристаллической структуре, их влияние на характеристики среды и зависимость от внешних факторов изучаются уже давно. В ряде работ отмечался волновой характер распространения дефектов и пластической деформации, однако детально характеристики таких колебаний и их связь со структурой среды не изучались.

В ходе исследования получены уравнения динамики упруго-пластической среды с дефектами. При отсутствии дефектов и пластических деформаций они переходят в уравнения движения упругой среды. Если коэффициенты упругости являются функциями скорости деформаций, то уравнения переходят в уравнения движения вязкой жидкости Навье — Стокса. Коэффициенты связности в этом случае дают вклад в статическое давление.

Выведено волновое уравнение для плотности дислокаций, имеющее структуру уравнения Даламбера. Его решение указывает на волновую природу распространения деформаций и дислокаций в упруго-пластических телах.

Произведен расчет распределения плотности дислокаций в объеме кристалла при заданных плотностях дефектов на гранях. Получены следующие типы стационарного распределения дислокаций вдоль выделенной оси:

- монотонно убывающие решения существуют как для краевых, так и для винтовых дислокаций;

- убывающие решения с осцилляциями - только для винтовых дислокаций;

- гармонические незатухающие решения — только для краевых дислокаций.

Получены дисперсионные соотношения для собственных поперечных и продольных колебаний упруго-пластической среды с дислокациями. В упругом пределе они переходят в классические уравнения дисперсии. Частота продольных волн в упруго-пластической среде не равна нулю при бесконечно большой длине волны. В частотном диапазоне а>1(к)е[0, со^О)) возникают колебания среды, затухающие или нарастающие в пространстве.

Для собственных колебаний упруго-пластической среды получены соотношения между амплитудами смещений и плотности дислокаций.

Выведены формулы зависимости амплитуд вынужденных колебаний смещений и плотности дислокаций от амплитуды колебаний температуры.

Показана возможность аномального увеличения продольных смещений под действием колебаний плотности дислокаций упруго-пластической среды. Это позволяет объяснить некоторые проявления сейсмической активности.

Проанализировано влияния колебаний температуры в зоне кристаллизации на распределение дислокаций при выращивании кремния методом Степанова. Раскрыт один из механизмов аномального увеличения плотности дислокаций при выращивании кристаллов.

Список источников диссертации и автореферата по физике, кандидата физико-математических наук, Савченко, Андрей Павлович, Краснодар

1. N. Miyazaki, A. Kumamoto, С. Harada Dislocation density analysis of GaAs bulk single crystal during ingot annealing process (comparison among several computational methods) // J. of Crystal Growth. 2004. V. 271. № 3-4, 15. P. 358-367.

2. Yonenaga I., Itoh S., Goto T. Dislocation mobility and photoluminescence of plastically deformed GaN // Physica B: Condensed Matter. 2003. V. 340-342, P. 484-487.

3. Beckman S.P., Chrzan D.C. Structures of glide-set 90° partial dislocation cores in diamond cubic semiconductors // Physica B: Condensed Matter. 2003. V. 340-342. P. 990-995.

4. Павлов П.В., Хохлов А.Ф. Физика твердого тела. М.: Высшая школа, 1985.-368 с.

5. N. Miyazaki, A. Kumamoto, С. Harada Dislocation density analysis of GaAs bulk single crystal during ingot annealing process (comparison among several computational methods) // J. of Crystal Growth. 2004. V. 271. № 3-4, P. 358367.

6. H.J. Muller, C. Funke, M. Rinio, S. Scholz Multicrystalline silicon for solar cells // Thin Solid Films. 2005 (в печати).

7. Эшелби Дж. Континуальная теория дислокаций. М.: ИЛ. 1963. — 248 с.

8. Косевич A.M. Динамическая теория дислокаций. // УФН. 1964. Т. 84. Вып. 4. С. 579 609.

9. Фридель Ж. Дислокации. М.: Мир, 1967. 643 с.

10. И. Косевич A.M. Дислокации в теории упругости. Киев: Наукова думка. 1978. 220 с.

11. Бюрен В. Теория дислокаций / Пер. с англ. М.: Мир, 1965. 240 с.

12. Harutyunyan V.S., Torossyan A.R., Aivazyan А.Р. Deformations, subgrain structure, dislocation arrangement and transition layer formation in Cu/Al coating deposited by mechanochemical technique //App. Surf. Science. V. 222. № 1-4. P. 43-64.

13. Bonnet R. Elastic field of a straight dislocation parallel to interfaces: a new approach // C. R. Physique. 2003. V. 4. № 8. P. 961-966.

14. Gutkin M.Y., Romanov A.E. Straight edge dislocation in a thin two-phase plate. Elastic stress field. Phys. Stat. Sol. (a). 1991. V. 125. P. 107-124.

15. Wenzelburger J. A kinematic model for continuous distributions of dislocations // J. of Geometry and Phys. 1998. V. 24, № 4. P. 334-352.

16. Коттрел А. Дислокации и пластическое течение в кристаллах. М.: Мир, 1958.-280 с.

17. Бернер Р., Кронмюллер Г. Пластическая деформация монокристаллов. М.: Мир, 1969. 272 с.

18. Yonenaga I., Taishi Т., Huang X., Hoshikawa К. Dislocation-impurity interaction in Czochralski-grown Si heavily doped with В and Ge // J. of Crystal Growth. V. 275. № i2. p. 501-505.

19. K. Michael, O. Kanert, R. Kbchler, J. Th. M. De Hosson In-situ NMR study of dislocation motion in Ca-H--doped NaCl crystals // Solid State Communications. 2004. V. 129. № 11. P. 727-731.

20. A. Giannattasio, S. Senkader, S. Azam, R. J. Falster, P. R. Wilshaw The use of numerical simulation to predict the unlocking stress of dislocations in Cz-silicon wafers // Microelectronic Engineering. 2003. V. 70. № 1. P. 125-130.

21. Schafler E., Zehetbauer M., Ungàr T. Measurement of screw and edge dislocation density by means of X-ray Bragg profile analysis // Materials Science and Engineering A 2001. V. 319-321. P. 220-223.

22. Pantea C., Gubicza J., Ungur T., Voronin G.A., Nam N.H., Zerda T.W. High-pressure effect on dislocation density in nanosize diamond crystals // Diamond and Related Mat. V. 13. № 10. P. 1753-1756.

23. Kaya M., Atici Y. Studies of lattice mismatch and threading dislocations in GaAs/Si grown by MBE // Superlattices and Microstructures. 2004. V. 35. № 1-2. P. 35-44.

24. Xin X. J., Koll , Wagoner R. H. Boundary element method with internal stresses for the investigation of dislocation-boundary interactions // Materials Science and Engineering (a) V. 309-310. P. 520-523.

25. Xiao J., Yin Sh., Shao M., Zhang X. Observation of dislocation etch pits in a sapphire crystal grown by Cz method using environmental SEM // J. Cryst. Growth. V. 266. № 4. P. 519-522.

26. Roy A., Acharya A. Finite element approximation of field dislocation mechanics // J. Mech. and Phys. Sol. 2005. V. 53. № 1. P. 143-170.

27. Lazar M. Wedge disclination in the field theory of elastoplasticity // Phys. Lett. 2003. V. 311. № 4-5. P. 416-425.

28. Huang L., Breese M.B.H., Teo E.J. Characterisation of 60° misfit dislocations in SiGe alloy using nuclear microscopy // Nuclear Instruments and Methods in Physics Research Section B: Beam Interactions with Materials and Atoms, 2005. V. 245. P. 312-315.

29. Taishi T., Huang X., Yonenaga I., Hoshikawa K. Behavior of the edge dislocation propagating along the growth direction in Czochralski Si crystal growth // J. Crystal Growth. V. 269. P. 216-217.

30. Рашевский П.К. Риманова геометрия и тензорный анализ. М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1953. -635 с.

31. Коноплева Н.П., Попов В.Н. Калибровочные поля. М., 1980. 240 с.

32. Кузьмичев В.Е. Законы и формулы физики. Киев: Наукова думка, 1989. 864 с.

33. Богатов Н.М. Калибровочная теория структурных дефектов и термических напряжений // Кристаллизация и свойства кристаллов. Межвузовский сборник. Новочеркасск: НПИ. 1993. С. 90 98.

34. Гузев М.А. Влияние дефектной структуры на геометрию свободной поверхности // ДАН. 1997. Т. 355. №3. С. 473^75.

35. Гузев М.А., Мясников В.П. Термомеханическая модель упруго-пластического материала с дефектами структуры // МТТ. 1998. №4. С. 156-172.

36. Мясников В.П., Гузев М.А. Аффинно-метрическая структура упруго-пластической модели сплошной среды // Труды МИАН. М., 1998. Т. 223. С. 30-37.

37. Гузев М.А. Применение калибровочного формализма Янга-Миллса для описания структур в сплошной среде // ДАН. 1997. Т. 355. №3. С. 336338.

38. Кадич А., Эделен Д. Калибровочная теория дислокаций и дисклинаций. М.: Мир. 1987. 168с.

39. Deng К. М., Не Z.X., Lung C.W., Wang K.L., Yang J.L. A new gauge field theory of a continuum with dislocations and disclinations // International Journal of Engineering Science. 1991. V. 29. № 1. P. 81-86.

40. Edelen D. A correct, globally defined solution of the screw dislocation problem in the gauge theory of defects // International Journal of Engineering Science. 1996. V. 34. № 1. P. 81-86.

41. Kleinert H. Gauge theory of time-dependent stresses and defects: quantum defect dynamics. // J. Phys. A: Math and Gen. 1986. V.19. № 10. P. 1855 -1862.

42. Reizer M.Yu. Gauge invariance and the electron-electron interaction in a normal metal. // Phys. Rev. B. 1991. V. 44. № 11. P. 5476 5481.

43. Меньшенин B.B. Калибровочная теория магнитоупругих взаимодействий в ферромагнетиках. // ФТТ. 1991. Т. 33. № 5. С. 1518 -1523.

44. Спектр возбужденных состояний и вихревое механическое поле в деформируемом кристалле./ Панин В.Е., Гриняев Ю.В., Егорушкин В.Е., Бухбиндер И.Л. и др. // Известия вузов. Физика. 1987. Т. 30. № 1. С. 34 -51.

45. Панин В.Е. Волновая природа пластической деформации твердых тел. // Известия вузов. Физика. 1990. Т. 33. № 2. С. 4 18.

46. Гриняев Ю.В., Чертова Н.В. Калибровочные теории пластической деформации в механике сплошных сред. // Известия вузов. Физика. 1990. Т. 33. № 2. С. 36 50.

47. Kiselev S.P. The mathematical modeling of high-speed impact of plates based on the continual gauge theory of defects with dissipation of energy // International J. of Impact Engineering. 2004. V. 30. № 8-9. P. 939-956.

48. Кунин И.А. Теория упругих сред с микроструктурой. М.: Наука. 1975. -416 с.

49. Образование дислокаций в совершенных монокристаллах под действием напряжений./ Мильвидский М.Г. Освенский В.Б., Сахаров Б.А., Шифрин С.С. // ДАН СССР. 1972. Т. 207. № 5. С. 1109 1111.

50. Освенский В.Б., Шифрин С.С., Мильвидский М.Г. Закономерности размножения дислокаций в полупроводниках при высокихтемпературах. // Изв. АН СССР. Сер. физическая. 1973. Т. 37. № 11. С. 2356-2361.

51. Никаноров С.П. Упругость, неупругость и силы связи в кристаллах типа AnB8n. // Изв. АН СССР. Сер. физическая. 1973. Т. 37. № 11. С. 2384 -2391.

52. Корженевский A.JL, Лужков А.А. О фазовых переходах в нелинейно-упругих твердых телах. // ФТТ. 1991. Т. 33. В. 7. С. 2109 2115.

53. Городниченко O.K. Ротационный механизм пластической деформации в эпитаксиальных структурах арсенида галлия. // ФТП. 1991. Т. 25. В. 5. С. 947 950.

54. Макаров П.В. Микродинамическая теория пластичности и разрушения структурно-неоднородных сред. // Изв. вузов. Физика. 1992. Т. 35. № 4. С. 42 58.

55. Лихачев В.А., Малинин В.Г. Структурно-аналитическая теория прочности в многоуровневой постановке. // Изв. вузов. Физика. 1990. Т. 33. №2. С. 121-139.

56. Konoplich R.V., Selivanov E.V., Zhukov V.P. An exact solution in gauge theory of strait disclinations in an isotropic elastic medium. // Phys. Lett. A. 1992. V. 167. N 1. P. 75-78.

57. Bogatov N.M., Kryjniaia H.P. Simulation of structural defects and thermal tensions by gauge field theory. // Proceedings of 1997 International Semiconductor Device Research Symposium. Dec. 10-13. ISBN № 1880920-05-0. P.353-356.

58. Bogatov N.M., Kryjniaia H.P. Gauge field theory of structural defects and thermal tensions. // Phys. Stat. Sol. (b). 1998. V. 207. P. 317 321.

59. Osipov V.A. A monopole-like solution for static disclinations in continuum media. // Phys. Lett. A. 1990. V.146. № 1-2. C. 67 70.

60. Osipov V.A. Nonlinear elastic problems in dislocation theory: a gauge approach. // J. Phys. A. 1991. V. 24. N 14. P. 3237 3244.

61. Седов Л.И. Механика сплошной среды. T.l. M.: Наука. 1976. 536 с.

62. Егорушкин В.Е. Калибровочная динамическая теория дефектов в неоднородно деформируемых средах со структурой. Поведение границ раздела. // Известия вузов. Физика. 1990. Т. 33. N 2. С. 51 68.

63. Пугачев Я.И. Тезор конформного соответствия римановых пространств. // Изв. вузов. Физика. 1977. Т. 20. № 4. С. 115 120.

64. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория поля. М.: Наука. 1988. 512 с.

65. Valsakumar М.С., Sahoo D. Gauge theory of defects in elastic continuum. // Bull Mater. Sei. 1988. V.10. № 1-2. P. 3 44.

66. Рыков B.T. Основы механики сплошной среды. Краснодар, 2002. — 148 с.

67. Богатов Н.М., Савченко А.П. Колебания упруго-пластической среды // Успехи современного естествознания. 2004. №7. С. 36-37.

68. Богатов Н.М., Савченко А.П. Волны упруго-пластической деформации в калибровочной теории дефектов // Наука. Экология. Образование: Матер. IX Всерос. науч.-практ. конф., Краснодар: «Наука Кубани», 2004. С. 204-206.

69. Богатов Н.М., Савченко А.П. Моделирование колебаний в упруго-пластической среде с дефектами // Моделирование неравновесных систем-2004: Матер. VII Всероссийского семинара. Красноярск: ИВМ СО РАН. 2004. С. 11-12.

70. Фролов К.В., Панин В.Е., Зуев Л.Б. и др. Релаксационные волны при пластической деформации // Изв. вузов. Физика. 1990. Т.ЗЗ. №2. С. 19-35.

71. Шувалов Л.А., Урусовская A.A., Желудев И.С. и др. Современная кристаллография. Т.4. Физические свойства кристаллов. М.: Наука. 1981.-496 с.

72. Вайнштейн Б.К., Фридкин В.М., Инденбом В.Л. Современная кристаллография. Т. 2. Структура кристаллов. М.: Наука. 1979. 360 с.

73. Иоффе А.Ф. Физика полупроводников. М.: АН СССР, 1957.

74. Савченко А.П. Калибровочная теория распределения дислокаций // Матер. IX Всерос. науч. конф. студентов-физиков и молодых ученых: Сб. тезисов. Информационный бюллетень. Екатеринбург: Ассоциация студентов-физиков России. 2003. Т. 1. С. 205-207.

75. Богатое Н.М., Савченко А.П. Расчет плотности дислокаций методами калибровочной теории в твердом теле: Матер. Всерос. науч. конф. молодых ученых и студентов. Т.1. Экология и природопользование. Биология и медицина. Краснодар, 2004. С. 81-83.

76. Богатов Н.М., Савченко А.П. Калибровочная теория распределения дислокаций // Экологический вестник научных центров Черноморского Экономического Сотрудничества. 2004. №1. С. 76-81.

77. Панин В.Е., Гриняев Ю.В., Даншюв В.И. и др. Структурные уровни пластической деформации и разрушения. Новосибирск, 1990.

78. Богатов Н.М., Савченко А.П. Волны деформации в упруго-пластических телах // Экологический вестник научных центров Черноморского Экономического Сотрудничества. 2005. № 2. С. 78-82.

79. Богатов Н.М., Савченко А.П. Образование дислокаций волнами температуры в упруго-пластических телах // Моделирование неравновесных систем-2005: Матер. VIII Всероссийского семинара. Красноярск: ИВМ СО РАН. 2004. С. 12-14.

80. Богатов Н.М., Савченко А.П. Волны температуры и деформаций в упруго-пластических телах // Журнал проблем эволюции открытых систем. 2005 (в печати).

81. Шашков Ю.М. Выращивание монокристаллов методом вытягивания. М.: Металлургия, 1982. 312 с.

82. Проблема роста кристаллов. Сб. статей. М.: Мир, 1968. 391 с.

83. Чики З.И., Шульпина И.Л., Белокурова И.Н. Дефекты роста в кристаллах сплавов веБь // Изв. АН СССР. Сер. Физ. 1973. т. 37. № 1. с. 2345 -2348.

84. Регель А.Р., Глазов В.М. Структурные дефекты в расплавах полупроводников. // ФТП. 1983. Т. 17. В. 10. С. 1729 1747.

85. Актуальные проблемы материаловедения: Пер. англ. / Под ред. Э. Калдиса. М.: Мир, 1982. Вып. 1. 272 с.

86. Киттель Ч. Введение в физику твердого тела. М.: Просвещение, 1978. -312 с.

87. Шалимова К.В. Физика полупроводников. М.: Энергия, 1976. 284 с.

88. Горелик С.С., Дашевский И .Я. Материаловедение полупроводников и металловедение. М.: Металлургия, 1973. — 256 с.

89. Шайв Дж.Н. Физические свойства и конструкции полупроводниковых приборов. М.: Госэнергоиздат, 1963. 304 с.