Теория кручения призматических упругих тел, содержащих дислокации тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

На правах рукописи

А

Губа Александр Владимирович

Теория кручения призматических упругих тел, содержащих дислокации

01 02 04 — механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ диссертации па соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Ростов-на-Дону — 2008

□0344Э137

003449137

Работа выполнена на кафедре теории упругости Южного федерального университета и в лаборатории механики активных материалов Южного научного центра РАН

Научный руководитель доктор физико-математических наук,

профессор

Зубов Леонид Михайлович

Официальные оппоненты- доктор физико-математических наук,

профессор

Фрейдин Александр Борисович

Защита диссертации состоится 28 октября 2008 г в 16 30 на заседании диссертационного совета Д 212 208 06 по физико-математическим наукам в Южном федеральном университете (ЮФУ) по адресу 344090, г Ростов-на-Дону, ул Мильчакова, 8а, факультет математики, механики и компьютерных наук ЮФУ, ауд 211

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке ЮФУ по адресу 344006, г Ростов-на-Дону, ул Пушкинская, 148

Автореферат разослан 25 сентября 2008 г.

кандидат физико-математических наук, доцент

Дроздов Александр Юрьевич

Ведущая организация Санкт-Петербургский государственный

политехнический университет (г Санкт-Петербург)

Ученый секретарь диссертационного совета

Н В Боев

Общая характеристика работы

Актуальность темы диссертации.

Дислокации являются распространенным элементом микроструктуры твердых деформируемых тел Наряду с другими дефектами кристаллической решетки, они в значительной мере определяют пластичность и прочность твердых тел Расчет полей напряжений и упругой энергии, создаваемых дислокациями, играет важную роль при объяснении ряда особенностей поведения реальных кристаллов, при анализе механизмов пластичности, ползучести, разрушения, а также роста кристаллов Имеющиеся в литературе решения задач теории упругости при наличии дислокаций относятся в основном к бесконечно протяженным телам, без учета границ Краевые задачи теории унруюсти для тел с дислокациями исследованы недостаточно

Важным частным случаем трансляционных дефектов являются винтовые дислокации Такие дефекты могут возникать в процессе роста нитевидных кристаллов (металлических «усов»), а также могут существовать в многосвязных цилиндрических конструкциях В частности, известно1, что винтовая дислокация Вольтерры, существующая в хиральных нанотруб-ках и обусловливающая их закручивание, существенно влияет на прочность этих трубок Краевые задачи кручения анизотропных призматических упругих тел, содержащих винтовые дислокации, до настоящего времени не были исследованы

Для описания ряда явлений при деформировании твердых тел с дислокациями определенную роль могут играть нелинейные эффекты В этой связи представляет интерес выяснить, как влияют винтовые дислокации на изменение длины упругого цилиндра при кручении, называемое эффектом Пойнтинга Решение данного вопроса требует применения нелинейной теории кручения призматического тела с дислокациями Кроме того, учет нелинейности при расчете энергии винтовой дислокации может приводить к результатам, качественно отличающимся от линейной теории упругости Этим определяется актуальность линейной и нелинейной теории кручения призматических упругих тел, содержащих винтовые дислокации

Цель работы состоит в исследовании новых задач кручения для упругих тел, содержащих изолированные и непрерывно распределенные дислокации

Ч II Мелъкер, Д А Корнилов // ФТТ 2005 Т 47, вып 5 С 979-985

Научная новизна диссертационной работы состоит в следующих результатах, полученных автором

1 Построена общая линейная теория кручения анизотропных призматических стержней, содержащих как изолированные, так и непрерывно распределенные винтовые дислокации Предложена модификация мембранной аналогии, учитывающая присутствие дислокаций

2 Решены задачи о дислокациях в тонкостенном стержне и прямоугольном брусе

3 Выведена эффективная формула для закручивания бруса, обусловленного заданным распределением дислокаций

4 Сформулирована двумерная нелинейная краевая задача, описывающая большие деформации кручения призматического тела с винтовыми дислокациями

5 Решена нелинейная задача о кручении и растяжении кругового цилиндра с осесимметричпым распределением винтовых дислокаций

6 Предложена модель несжимаемого нелинейно упругого материала, удовлетворяющего условию Адамара и обладающая тем свойством, что винтовая дислокация имеет конечную энергию не только в цилиндрическом теле, но и в неограниченной среде

Практическая значимость диссертационной работы Полученные результаты могут быть использованы для дальнейшего развития теории упругости тел, содержащих линейные дефекты, для механики разрушения, а также при постановке и решении сингулярных задач математической физики Развитие механики сред с дислокациями может оказаться применимым для описания поведения новых функциональных материалов, в частности, наноматериалов

Достоверность полученных результатов обеспечивается строгой математической постановкой краевых задач, применением математически обоснованных методов решения, использованием надежных и проверенных численных алгоритмов и программ, предельными переходами к известным случаям, сравнением результатов исследования с известными решениями и результатами, представленными в работах других авторов

Апробация работы Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на

• международной конференции «Математические модели и методы их исследования» (Красноярск, 1999),

• 1st Canadian Conference on Nonlinear Solid Mechanics (Victoria, British Columbia, Canada, 1999),

• второй научно-технической конференции «Проблемы машиноведения»

(Нижний Новгород, 2001),

• всероссийской конференции «Дефекты структуры и прочность кристаллов» (Черноголовка, 2002),

• XXXII International Summer School-Conference «Advanced Problems in Mechanics» (АРМ 2004) (Russia, St Potcrbburg, Repmo, 2004),

• международной школе-семинаре «Математическое моделирование и биомеханика в современном университете» (нос Абрау-Дюрсо, 2005),

• всероссийской школе-семинаре «Математическое моделирование, биомеханика и информационные технологии в современном университете» (Ростов-на-Дону, 2006)

В полном объеме диссертация докладывалась на семинарах кафедр теории упругости и математического моделирования РГУ, объединенного отдела физико-математических и технических проблем ЮНЦ РАН

На различных этапах данная работа поддерживалась грантами РФФИ (№№ 96-01-01283,96-01-01427,02-01-00529,05-01-1683), Президента РФ HIH-2113 2003 1, ФЦП «Интеграция» (Я0061/1358), выполнялась по госконтракту от 05 09 2005 № 02 04 445 11 7042 шифр РИ-112/001428

Публикации и вклад автора Основное содержание и результаты диссертации опубликованы в 10 работах Из них три статьи [4, 5, 7] помещены в журналах из «Перечня ве/(ущих рецензируемых научных журналов и изданий, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертации на соискание ученой степени доктора и кандидата наук», утвержденного ВАК РФ

В совместных работах научному руководителю профессору Л М Зубову принадлежат постановки задач и рекомендации по выбору метода решения Вывод разрешающих систем уравнений, разработка и реализация численных методов, численные результаты принадлежат автору диссертационной работы

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы Общий объем диссертационной работы составляет 105 страниц, включает в себя 27 рисунков и список литературы, содержащий 133 наименования

Содержание диссертации

Во введении обоснована актуальность темы диссертации, сформулированы цели работы, указаны научная новизна, научная и практическая значимость результатов работы, перечислены результаты, выносимые на защиту, приведены структура и содержание диссертации, указаны печат-

ные работы, в которых отражены основные результаты и определена доля участия автора в совместных публикациях

Основные результаты исследований по теории дислокаций в упругих телах принадлежат Г В Бережковой, А А Вакуленко, В И Владимирову, М Ю Гуткину, Л М Зубову, В Л Инденбому, А М Косевичу, И А Купину, А Н Орлову, И А Овидько, Ю Н Работпову, Л И Седову, К Ф Черныху, В Вольтсрре, Г Вейнгартену, К Сомильяне, Дж Эшелби, А Коттрелу, Р Де Виту, К Теодосиу, Дж Наю и другим

В развитие нелинейной теории упругости значительный вклад внесли Э Л Аэро, В Л Бидерман, М А Гузев, А Н Гузь, П А Жилин, Б А Жуков, Н В Зволинский, Л М Зубов, В И Кондауров, В А Левин, А И Лурье, Н Ф Морозов, В П Мясников, В В Новожилов, В А Пальмов, Г Н Савин, Л И Седов, Л А Толоконников, А Б Фрей-дин, К Ф Черных, Л И Шкутип, Дж Адкинс, С Антман, М Гартин, А Грин, Ж Можен, В Нолл, Р Огден, Р Ривлии, К Трусделл, А Эрин-ген, Дж Эриксен и другие

В первой главе решена задача о напряженном состоянии призматического анизотропного стержня, содержащего винтовые дислокации

В первом параграфе приведена система уравнений, описывающих кручение призматического тела из анизотропного материала, обладающего плоскостью упругой симметрии, ортогональной оси бруса Эта система уравнений может быть приведена к виду

Здесь с!1У и grad — плоские операторы дивергенции и градиента, Е — единичный тензор, е — дискриминантный тензор, ч— радиус-вектор точки поперечного сечения, и — угол закручивания, ги(х1,х2) — функция деплапа-ции, г = Т1з11 + 72з12 — вектор касательных напряжений, 7 = 71311 +7гзЬ — вектор сдвиговых деформаций, А = Ап^ + /(1112 + 1211) + гп'цЬ — тензор податливостей, к,1,т — упругие податливости, ¡1, ¡2,13 = 11 х Ь ~ координатные орты

Уравнения равновесия (1) тождественно удовлетворяются после введения функции напряжений Прандтля Р

Лут = О,

7 = Л т,

7 = grad т — ие г, е = -13 X Е, Г = £111 + 1212

(1) (2) (3)

т = е grad F,

(4)

а исключение функции деиланации ад из соотношения (3) приводит к уравнению совместности деформаций

сЬУ (О 7) = 2ш (5)

Из (2), (4) и (5) вытекает уравнение для функции напряжений

СЬУ (Ь grad = -2и, (6)

где Ь = -е А е = ГШ111 - ¿(^г + ¡211) + ^212

Краевое условия для функции Р1 на границе области а, занимаемой поперечным сечением стержня, выражает собой отсутствие нагрузки на боковой поверхности призматического тела и согласно (4) имеет вид

п т = д¥1дв = 0, (7)

где п — единичная нормаль к да, в — текущая длина дуги плоской кривой да

Во втором параграфе да но обобщение теоремы Брсдта о циркуляции касательных напряжений при учете винтовых дислокаций и анизотропии материала Пусть поперечное сечение бруса а представляет собой многосвязную область, гомеоморфпую кругу с круговыми отверстиями Внешний контур области а обозначим Го, контуры отверстий — Г( (4 = 1,2, ,ДГ), а их площади — В силу (7) функция напряжений F однозначна в области а и принимает постоянные значения Со, С( па каждой из замкнутых кривых Го, Г( Тогда имеют место соотношения

Ь gradFcís + 6t-|-2шS( = 0, (¿=1,2, (8)

г,

Ь1 = £(-у—и>г е) ¿г = £ 7 ¿г — г, г,

Здесь п — нормаль, внешняя по отношению к области, занятой отверстием Соотношения (8) служат для определения неизвестных постоянных С( и являются обобщением теоремы Брсдта о циркуляции касательных напряжений, состоящим в учете анизотропии материала и винтовых дислокаций с векторами Бюргерса, параллельными образующей цилиндра и имеющими длину 6(

В следующем параграфе модифицирована мембранная аналогия Прапдт-ля для задачи кручения при учете дислокаций и анизотропии материала Представим себе весьма тонкую упругую пластинку (мембрану), в которой

создано однородное плоское напряженное состояние, описываемое тензором напряжений, с точностью до постоянного множителя совпадающим с тензором податливостей Ь из (6)

Так как удельная энергия деформации упругого тела -т 7 положительна, тензоры А и Ь положительно определенные, что влечет неравенства т > 0, к > О, тк — I2 > 0 Найдем спектральное разложение тензора

Ь = ¿16161 + ¿26262, и,2 = \{т + к)±+ 4/2,

(9)

11 сое <р + 12 вт \р, I

!¥> =

с12 =

-1х эт (/3 + 12 сое (р, 21

к — ¿1 к-т- у/(к - т)2 + 4/2 Здесь Ь\,Ь2 — положительные собственные значения, а с!х, — единичные ортогональные собственные векторы тензора Ь Согласно (9) напряженное состояние мембраны, соответствующее тензору Ь, можно осуществить путем натяжения Ь\ в направлении с! 1 и натяжения ¿2 в ортогональном направлении с1г Натянутая указанным способом мембрана закрепляется по контуру Г0 и нагружается поперечным равномерным давлением р, пропорциональным углу закручивания ш (рис 1)

штт

Рис 1 Мембрана, нагруженная равномерным давлением

Уравнение для прогиба мембраны и можно получить из уравнения изгиба предварительно напряженной пластинки, устремив к нулю ее цилиндрическую жесткость В результате для случая односвязной области получим краевую задачу, идентичную задаче для функции напряжений F

(11У (Ь grad и) = —р,

= 0

(10)

Для моделирования многосвязного цилиндрического тела без дислокаций к натянутой мембране в областях, ограниченных контурами Г(, приклеиваются жесткие горизонтальные диски, для которых допускаются только поступательные вертикальные перемещения (рис 2) После этого вся система нагружается равномерным давлением р Уравнениям (8) при = 0 в

мембранной аналогии соответствуют условия уравновешенности всех сил, приложенных к каждому диску

щщщ

щщ-

Рис 2 Мембрана с приклеенными лбсолюпю жм ¡кими дисками

Если в многосвязном цилиндре присутствуют дислокации, то согласно (8) к каждому диску следует приложить дополнительно сосредоточенную силу, совпадающую (с точностью до некоторого размерного множителя) с длиной вектора Бюргсрса, соответствующего данной дислокации (рис 3) Таким образом, существование винтовых дислокаций в многосвязпом цилиндре моделируется в мембранной аналогии сосредоточенными силами (¿1, приложенными к жестким дискам

а

щцщ

ЩЩ

Рис 3 Мембрана с жесткими дисками с приложенными к ним силами

Основное значение описашгой мембранной аналогии состоит в том, что с ее помощью можно наглядно представить себе решение краевой задачи (6)-(8) для функции напряжений F

В четвертом параграфе дана вариационная постановка задачи кручения призматических анизотропных тел с дислокациями

Доказано, что краевая задача (6)-(8) эквивалентна вариационной задаче о минимуме функционала

¡=1

+ Ьь)Си (И)

V = \у т=\т А г^^аАР Ь grad.F,

где V — удельная дополнительная энергия анизотропного тела в задаче кручения Функционал П определен на множестве дважды дифференцируемых функций напряжений, удовлетворяющих граничным условиям

= 0, Р

= Сг (4 = 1,2, , Лг) Постоянные С* (£ = 1, , Лг), от кото-

рых зависит функционал, заранее неизвестны и подлежат варьированию

В качестве примера использования сформулированного вариационного принципа аналитически решена задача о кручении тонкостенной трубы с сечением в виде двухсвязной области Также методом Ритца решена задача кручения пятисвязной трубы, сечение которой представляет собой тонкое круговое кольцо с двумя ортогональными диаметральными переборками

В следующем параграфе, с помощью вариационного принципа, осуществлен переход от многосвязного бруса с изолированными дислокациями к случаю одноевязного цилиндра с дискретным набором сосредоточенных дислокаций Для этого будем неограниченно уменьшать диаметры отверстий, стягивая каждый контур Г( (4 = 1, , Л*') к некоторой точке г( Длина вектора Вюргерса Ь( при таком предельном переходе остается неизменной Так как значения функции напряжений Р одинаковы во всех точках контура Г(, в пределе постоянные С\ (4 = 1, , Лг) совпадут со значениями функции напряжений в точках Г;, площади обратятся в нуль, и функционал (11) будет иметь следующее выражение

N

П[*Ч = = JJ{V - 2шР)йа - JJ (З'Рйа,

а (=1 а а

(12)

/Г =Х><5(г-г(), ¡=1

где <5(г — г() — дельта-функция двух переменных

В мембранной аналогии указанный предельный переход приводит к од-носвязной мембране, нагруженной не только равномерным давлением, но и сосредоточенными силами Ь(, приложенными в точках г(

0.

ТТП^ЩЩГГЕ^Ш

а

&

У¥Ш

Рис '1 Мембрана, нгиружешыи давлением р и сосредоточенными силами (¡1

Если число сосредоточенных дислокаций, расположенных на некоторой части области ст, весьма велико, то целесообразно перейти к непрерывному распределению дислокаций Для этого достаточно в выражении (12)

заменить обобщенную функцию р* на обычную и назвать ее плотностью винтовых дислокаций ¡3 Физический смысл плотности дислокаций состоит в том, что суммарный вектор Бюргерса В всех дислокаций, содержащихся в некоторой подобласти а' С сг, вычисляется по формуле

В

¡3 (1(7

Функционал дополнительной энергии П и вытекающее из вариационного принципа ОТ = 0 уравнение для функции напряжений при наличии непрерывно распределенных дислокаций имеют вид

П= (V-2шГ-^На,

(13)

(МЬ егайР) = -2ш-/3(х1,х2) (14)

В мембранной аналогии непрерывное поло дислокаций со1ласно (14) моделируется приложением переменной нормальной нагрузки, плотность которой пропорциональна плотности дислокаций /3

Риг 5 Мембрана, натуженная распределенными нафужами р ид

Заметим, что в той части области сг, где 0{х\,х2) ф 0, функция де-планации и>(х \,хг) не существует, так как уравнение совместности (5) не выполняется Это не мешает существованию упругих смещений в плоскости поперечного сечения, так что постоянная ш сохраняет свой смысл угла закручивания и при непрерывно распределенных винтовых дислокациях

Непрерывно распределенные дефекты могут существовать и в многосвязном цилиндрическом теле, содержащем дислокации Вольтерры Функционал дополнительной энергии для этого общего случая в силу (11), (13) записывается в форме

Г Г *

ЮТ = JJ(V-2u>F- рР)Ла - + Ъ^

Благодаря возможности считать плотность /3 обобщенной функцией, выражение (15) пригодно и при наличии сосредоточенных дислокаций

В качество примера решена задача кручения односвязного призматического тела при постоянной плотности дислокаций (/3 = /?о = const) и при отсутствии внешнего крутящего момента Она имеет единственное решение F = 0, ш = ~Ро/2 Таким образом, равномерное распределение винтовых дислокаций не создает напряжений в стержне с односвязным сечением, хотя и вызывает его закручивание

В шестом параграфе сформулированы некоторые общие теоремы теории кручения стержней, содержащих дислокации Пусть Р(хг, io) — решение краевой задачи при заданном угле закручивания w, заданной плотности ¡3{х 1,жг) дислокаций и заданных характеристиках дислокаций Вольтерра bt (t = 1, , N) Теорема типа Клапейрона выражается формулой

JJvda=±Mu + ±Y,btCt + \Jj PFdlT (16)

а 1 (Т

При помощи (16) и свойства положительности функции V доказывается теорема единственности решения задачи кручения упругого тела с дислокациями Теорема единственности остается в силе также для задачи с неизвестным углом закручивания ш, но с заданным крутящим моментом М

Рассмотрим два решения задачи кручения F' и F", т е два равновесных состояния бруса, отвечающих соответственно двум системам внешних условий f3',uj',b't и " На основе свойства симмехричности тензора

L доказывается теорема взаимности

N N

М'со" + J2 С[Ъ'1 + f f F'ff da = M"J + C't'b't + if F"f3'da (17) t=l {J i=i {J

При помощи теоремы взаимности найдено закручивание Эшелби, возникающее при наличии сосредоточенной в точке (£i, £2) дислокации с длиной вектора Бюргерса В Доказано, что для определения закручивания бруса, обусловленного заданным распределением дислокаций, достаточно решить стандартную задачу кручения этого бруса В частности, для орторопного (I = 0) бруса, сечение которого ограниченно эллипсом хЦа2 4- a:2/b2=l, закручивание Эшелби дается формулой

м-яМ-Ю <">

При а = Ь формула (18) переходит в извесгиое выражение для закручивания изотропного кругового цилиндра с сосредоточенной винтовой дислокацией

В седьмом параграфе исследовано поведение функционала потенциальной энергии прямоугольного бруса из ортотроппого материала в зависимости от расположения винтовой дислокации Показано, что при любых геометрических размерах и упругих модулях локальный минимум энергии достигается в случае, когда дислокация находится в центре поперечного сечения бруса Тем самым, показано, что центральное расположение дислокации устойчиво

Во второй главе рассмотрено обобщение некоторых результатов предыдущей главы на случай конечных деформаций

Здесь на основе точных трехмерных уравнений нелинейной теории упругости исследуется напряженно-деформированное состояние призматического бруса, содержащего винтовые дислокации, оси которых параллельны оси стержня Рассмотрены как изолированные дислокации Вольтерры в мно-госвязпых цилиндрах, так и винтовые дислокации, непрерывно распределенные по объему тела с заданной плотностью

В первом параграфе исходная пространственная задача нелинейной эла-стостатики сведена к двумерной краевой задаче для плоской области в форме поперечного сечения цилиндрического бруса

Система уравнений эластостатики упругого тела при отсутствии массовых сил состоит из уравнений

(11УБ = 0, (19)

Б = (Щ7^С = Р С, Р = 2(П¥/йС, (20)

С = С Ст, С = &га(1 Я, 11 = Хк1к (21)

Здесь С — градиент деформации, Хь (к = 1,2,3) — декартовы координаты деформированного тела (эйлеровы координаты), С — мера деформации Коши, %к — координатные орты, О — несимметричный тензор напряжений Пиолы, Р — симметричный тензор напряжений Кирхгофа, ИЛ(С) — удельная потенциальная энергия деформации упругого материала, сЬу и §га<1 — операторы дивергенции и градиента в лагранжевых координатах В качестве последних в дальнейшем будем использовать декартовы координаты отсчетной конфигурации тела х3 (я = 1,2,3)

Рассмотрим следующее двупараметрическое семейство деформаций ци-

линдрического тела

Xi = Х2) сояфхз —112(2:1,0:2) s\nipX3,

Х2 = Щ (Xi, Х2) COS фх3 + Щ (Xi, Х2 ) sin фхз, Х3 = Лтз + w(xi,x2), (Л, ф = const)

Предположения (22) о характере деформации призматического бруса приводят исходную пространственную задачу нелинейной эластостатики к двумерной нелинейной краевой задаче на сечении бруса Семейство деформаций (22) относится к классу полуобратных решений нелинейной теории упругости, приводящих к двумерным краевым задачам Геометрический смысл представлений (22) состоит в том, что поперечное сечение призмы, отстоящее от начала координат на расстояние хз, испытывает некоторую плоскую деформацию, задаваемую функциями щ,и2, конечный поворот вокруг оси стержня на угол фхз, поступательное перемещение вдоль оси на величину (Л — 1)хз и депланацию, описываемую функцией то

д д

Введя плоскии оператор градиента V = г^—--1- г2——, уравнения рав-

ах\ дх2

новесия (19) можно представить в инвариантном виде

ег = ii cos фхз + %2 sm фх3, ei = —sin фх3 + г2 cos фх3

При помощи (23) уравнения равновесия для напряжений Пиолы можно записать в любых криволинейных координатах, введенных в плоскости поперечного сечения бруса Уравнения должны быть дополнены краевыми условиями на боковой поверхности п D0|S(7 = 0 и интегральными соотношениями, исключающими возможность произвольного поворота вокруг орта %з и произвольного смещения вдоль этого орта

Решение полученной двумерной задачи позволяет точно удовлетворить уравнениям равновесия в объеме тела и граничным условиям на боковой поверхности

Во втором параграфе сформулировано уравнение совместности для задачи кручения, а также условие несовместности для тела с непрерывно распределенными дислокациям

V Do + фгз D0 е = О,

(23)

D0 = D = Dskis ® гк = D Q?,

*з=0

Qi = QJ"T = ® ei + г2 ® е2 + г3 ® г3, е = -Е х г3,

Ve Со г3 = /3

(24)

Здесь Р — плотность винтовых дислокаций, которая равна длине результирующего вектора Бюргерса всех дислокаций, содержащихся в единичной площадке области поперечного сечения тела а, Со = ® г^ = С

В третьем параграфе исследованы краевые условия на торцах цилиндра Они выполняются в интегральном смысле Сен-Венана Предполагается, что форма сечения стержня и распределение дислокаций обладают центральной симметрией, а по торцам стержень нагружен крутящим моментом и продольной силой, приложенной в центре сечения Здесь доказана

Теорема. Если плотность винтовых дислокаций удовлетворяет условию /3(х1,х2) ~ Р{—Х\,—Х2), то для однородного изотропного упругого тела двумерная краевая задача кручения призматического тела с винтовыми дислокациями в области, обладающей центральной симметрией, инвариантна относительно преобразований

х[ = —х\, х'2 = — х2, х'3 = Хз,

и[ = «2 = ~иь = -Си, з = -С2з

В четвертом параграфе получены энергетические соотношения, связывающие осевую силу Fз и крутящий момент Мз с функционалом энергии П

дЩф,Х) _дП(ф,Х)

3 эх ' 3 дф '

П0/>,Л) = JJ W[ua(xl,X2,ф,X),Ca2(xuX2,ф,X),ф,\} да

а

В следующем параграфе для нелинейной задачи кручения введены функции напряжений х, Фа/5) тождественно удовлетворяющие уравнениям равновесия (23)

дФ12 дФ22 п <ЭФП 9Ф21

^13 = —5---з—, ^32 = -5--г -5—

ОХ 1 ОХ 2 ОХ\ ОХ 2

В шестом параграфе даны формулировки некоторых вариационных принципов задачи кручения нелинейно упругого призматического тела с винтовыми дислокациями А именно, функционал типа Тонти для 5 + 1-связного цилиндра содержащего как непрерывно распределенные дислокации, так и

дислокации Вольтерры, им сот вид

ЩСар, Са3, С3а, X, Ф«/з, XI, Х2, Хя] =

Г1 ОХ2 ) +

(=1 У

Функционал тина Кастильяно задается выражением П2 [Фа/з, X, 033, хи Хв] =

(Ц

= и[У(Фа0, X, А«) - АДи] Ат-^ ЬШ - I\ Рх <1а

<7 О

Здесь V — удельная дополнительная энергия, являющаяся функцией тензора напряжений Пиолы и связанная с удельной потенциальной энергией деформации 1У преобразованием Лсжандра

К(Д,) = ИС£(О0) Соро) = сД7<Ш0

В третьей главе исследованы некоторые нелинейные задачи о равновесии кругового цилиндра с осесимметричным полем винтовых дислокаций Для несжимаемого изотропного материала определен относительный угол закручивания цилиндра при известном распределении дислокаций и нулевом крутящем моменте (закручивание Эшелби) Проанализировано влияние винтовых дислокаций на изменение длины кругового цилиндра в зависимости от относительного угла закручивания (прямой и обратный эффекты Пойнтинга)

Конечная деформация кручения кругового цилиндра дается формулами

Д = Д(г), Ф = <р + фг, г = \г

Поперечное сечение цилиндра, отстоящее от начала координат на расстояние 2, проворачивается на угол фг вокруг оси г, а любой цилиндр радиуса г остается после деформации круговым цилиндром и приобретает радиус Я(г)

Градиент деформации для осесимметричной задачи кручения имеет вид

а

С = В!ет ® ел + — еч> ® еФ + ® гз + фШз ® е$ + Агз <8 г3, (25)

er = i\ cos <p + %2 sin tp, e^ = — ii sin ip + г2 cos ip, gr — er cos xpz -f- e¡p sin ipz, e<¡, = — eT sin tpz -f- e¡p cos ipz, где Л — коэффициент осевого растяжения-сжатия вдоль оси г Здесь уравнение несовместности принимает вид

\í{rC^=P[rl (26)

и в случае полого цилиндра {гу < г < г о) общее решение уравнения (26) будет таким

UJmp

CW = - ¡3(p)pdp + B0

Sipz

I \

Постоянная Д> определяется через длину вектора Бюргерса Ь дислокации Вольтерры, обусловленной наличием полости 0 < г < г\, формулой

2тг

dip = b

Г=Го

¿TI

J

rC^z

О

Далее рассмотрен случай сплошного цилиндра радиуса го, такого, что дислокации распределены внутри поперечного сечения по некоторой круглой площадке радиуса 5 (0 < <5 < г0), центр которой совпадает с центром поперечного сечения

Плотность дислокаций /3(г) будем считать финитной функцией, значение которой на круге (0 < г < 5) равно постоянной величине /Зо> а вне этого круга Р(г) = О Тогда, добавляя к уравнению (26) условие отсутствия сосредоточенной дислокации на оси цилиндра, получим краевую задачу относительно осевого сдвига

^£ + Зе£ = /?(г), Ьт ад г = О,

аг г г—>о

решением которой будет кусочно-заданная непрерывная функция, характеризующая вклад винтовых дислокаций в напряженно-деформированное состояние упругого цилиндра

( при 0 < г < 6,

I ~2г~' ПрИ Г Г°

Рассмотрим класс несжимаемых материалов Условие несжимаемости материала с1е! С = \ЛмГС1 = 1 позволяет сформулировать краевую задачу

для определения функции Я(г) в случае сплошного цилиндра с непрерывно распределенными дислокациями

(А - фгС^г))

Ее решение имеет вид

ЯМ =

2.1пЛ_ при 0 < г <

Ш V ЗА

2(г2-6*) 2 (

Очевидно, кусочно-заданная функция Д(г) непрерывна на отрезке 0 < г < г0

В случае неогуковского материала получены аналитические формулы для крутящего момента и осевой силы С их помощью в первом параграфе проанализировано влияние винтовых дислокаций на изменение длины кругового цилиндра в зависимости от относительного угла закручивания Как известно, если кручение кругового цилиндра из неогуковского материала осуществляется крутящим моментом при нулевой продольной силе, то длина цилиндра увеличивается В диссертации показано, что если кручение цилиндра обусловлено распределением винтовых дислокаций при отсутствии продольной силы и крутящего момента, то длина цилиндра уменьшается Другими словами, эффект Пойнтинга, обусловленный винтовыми дислокациями, имеет обратный знак по сравнению с эффектом Пойнтинга, обусловленным крутящим моментом

Второй параграф содержит задачу об изолированной дислокации в полом цилиндре Здесь рассмотрено влияние радиуса полости на основные характеристики напряженно-деформированного состояния, эффект Пойнтинга и закручивание Эшелби

Четвертая глава диссертации посвящена изучению влияния физической и геометрической нелинейности на энергию дислокации в неограниченном упругом теле Известно, что в рамках линейной теории упругости энергия дислокации, приходящаяся на единицу ее длины, бесконечна по двум причинам из-за расходимости интеграла энергии на оси дефекта и расходимости его на бесконечном удалении от оси дефекта Ранее2

2ЯнЬо« Ь М ШпЬпыг Ихеогу оГ «Ь&ккОДюпз ап(1 йвсипаигаъ т е^ис ЬосЬсч Вегкп, ПасМЬсг®, Л'еи'-'Уогк а! &ршщсг-\гг1<ц; 1997 205 р

был указан класс нссжимасмых упругих материалов, для которых энергия винтовой дислокации имеет конечное значение в полуограниченном теле — цилиндре, ось которого совпадает с осыо дислокации Здесь предложена модель несжимаемого нелинейно упругою материала, удовлетворяющего условию Адамара и обладающая тем свойством, чю винтовая дислокация имеет конечную энергию не только в цилиндрическом теле, по и в неограниченной среде

В первом параграфе рассмотрена изолированная винтовая дислокация в неограниченной среде Пусть г, </?, л — цилиндрические координаты в от-счетной конфигурации упругого тела, а, Л,Ф, Z — цилиндрические координаты в деформированном состоянии, с которыми ассоциирован ортонорми-рованный векторный базис ед, вф, ег Образование изолированной винтовой дислокации сопровождается следующей изохорической деформацией

Д = г, Ф = <р, г = г + (27)

где Ь — длина вектора Бюргерса

Модель упругой несжимаемой изотропной среды зададим при помощи функции удельной потенциальной энергии деформации IV

IV = //(Ух - 3)а, Ух = 1г V, Ух € [3, оо) (28)

Здесь Ух — первый инвариант правого тензора искажении V = (Ст С)1/2, ¡1 и а — положительные постоянные

Механические свойства упругого материала, определяемого функцией энергии (28), можно проиллюстрировать построением диаграммы простого растяжения стержня В этом случае Ух = (1+<5)+2(1+<5)_1//2, а зависимость продольной силы Р от осевого удлинения <5 дается формулой

Р(5) = а(5-2 + (1--1 __)

На рис 6 представлены графики зависимости Р(А) (Л = 1 + д) при различных параметрах а

Для уравнения состояния (28) построена асимптотика напряжений в задаче о винтовой дислокации в пространстве при Я —> 0 и Я —> оо

при Д 0 ап(Я) ~ Да~\ сгд(Д) ~ Яа'\ а2(Я) ~ 1Га, т2Ф(Л) ~ Я1_а,

при Л —> оо аЕ{Я) ~ Я~2а, о-ф(Д) ~ аг{Я) ~ Д"2а,

т2ф ~ Л1"20

Рис б Зсшисичосгь силы Р ог удлинения А

В дальнейшем предполагается, что 1 < а < 2 Тогда, согласно (29), все напряжения затухают на бесконечности и имеют сингулярность на оси дислокации

Второй параграф четвертой главы посвящен анализу энергии винтовой дислокации Энергия дислокации, приходящаяся на единицу ее длины, определяется соотношением

оо

П = 2ж J W(R)R dR о

Для деформации (27) имеем

Тогда получим

ОО а

П = Cij + pdp, Ci = CftV^-3, p = 4тгЛ/6 (30)

о

Если 1 < а < 2, то интеграл в (30) сходится

Также рассмотрен более общий случай деформации при учете кручения и осевого растяжения-сжатия

В последнем параграфе показано, что упругий потенциал W{J{) удовлетворяет условию Адамара при а > 1

Основные результаты работы

1 В рамках линейной теории упругости исследована задача Сен-Венапа о равновесии анизотропного призматического стержня, нагруженного крутящим моментом и содержащего как изолированные, так и непрерывно распределенные винтовые дислокации, оси которых параллельны оси стержня Мембранная аналогия Прандтля распространена на случай присутствия дислокаций Сформулированы и доказаны общие теоремы линейной теории кручения стержней, содержащих дислокации

2 Найдены решения задач о равновесии тонкостенных многосвязных стержней, содержащих винтовые дислокации, и задачи о дислокации в стержне прямоугольного сечения Путем анализа энергии изолированной дислокации в зависимости от ее расположения в прямоугольном брусе установлено, что центральное положение винтовой дислокации устойчиво

3 Для анизотропного бруса произвольного поперечного сечения выведена эффективная формула, определяющая угол закручивания стержня, обусловленный заданным распределением дислокаций

4 Построена нелинейная теория кручения призматических упругих тел с винтовыми дислокациями Исходная трехмерная задача нелинейной теории упругости сведена к двумерной краевой задаче для плоской области в форме поперечного сечения стержня

5 Получено решение задачи о больших деформациях кручения и растяжения кругового цилиндра с осесиммстричным распределением винтовых дислокаций Проанализировано влияние дислокаций на эффект Пойнтин-га

6 Предложена модель несжимаемого нелинейно упругого материала, удовлетворяющего условию Адамара и обладающая тем свойством, что винтовая дислокация имеет конечную энергию не только в цилиндрическом теле, но и в неограниченной среде

Публикации по теме диссертации

[1] Губа А В, Зубов Л М О равновесии анизотропных призматических тел, содержащих винтовые дислокации // Международная конф «Математические модели и методы их исследования» (18-24 авг 1999, Красноярск) Тезисы докладов Красноярск 1999 С 84

[2] GubaA V, Zubov L М On energy of bcrew dislocation m nonlinear elastic medium // Proceedings of 1st Canadian Conference on Nonlinear Solid

Mechanics (June 1G-20, 1999, Victoria, British Columbia, Canada) Ed EM Croitoro Vol 2 Pp 719-725

[3] Зубов JI M, Губа ABO кручении упругого цилиндра с непрерывно распределенными дислокациями // Проблемы машиноведения Вторая научно-техн конференция Тезисы докладов Н Новгород 2001 С 39

[4j Губа А В Винтовая дислокация в нелинейно упругой среде // Известия ВУЗов Северо-Кавказский регион Естественные науки 2001 Спецвыпуск «Математическое моделирование» С 59-60

[5] Губа А В , Зубов Л М О кручении призматических упругих тел, содержащих винтовые дислокации // ПММ 2002 Т 66 Вьш 2 С 316324

[6] Зубов Л М, Губа А В Некоторые задачи кручения призматических упругих тел с дислокациями // Всероссийская конференция «Дефекты структуры и прочность кристаллов» (Тезисы докладов) Черноголовка 2002 С 204

[7] Зубов Л М, Губа А В Нелинейная теория кручения призматических упругих тел, содержащих винтовые дислокации // Известия ВУЗов Северо-Кавказский регион Естественные науки 2003 Спецвыпуск «Нелинейные проблемы механики сплошных сред» С 212-222

[8j Guba А V, Zubov L М Torsion of Prismatic Elastic Bodies Containing Screw Dislocations// Abstracts of XXXII International Summer School-Conference «Advanced Problems in Mechanics» (АРМ) Russia, St Petersburg (Repino), June 24-July 1, 2004 P 52

[9] Губа А В Исследование высокозластичных призматических тел с винтовыми дислокациями // Труды Международной школы-семинара «Математическое моделирование и биомеханика в современном университете» Абрау-Дюрсо 2005 С 5-6

[10] Губа А В Влияние винтовых дислокаций на напряженно-деформированное состояние цилиндрических упругих тел // Тезисы докладов всероссийской школы-семинара «Математическое моделирование, биомеханика и информационные технологии в современном университете» Ростов-на-Дону 2006 С 18-19

Печать цифровая Бумага офсетная Гарнитура «Тайме» Формат 60x84/16 Объем 1,0 уч -изд -л Заказ № 894 тираж 100 зкз Отпечатано в КМЦ «КОПИЦЕНТР» 344006, г Ростов-на-Дону, ул Суворова, 19, тел 247-34-88

Введение

Глава 1. Линейная теория кручения анизотропного бруса с винтовыми дислокациями

1.1. Основные соотношения теории кручения анизотропного бруса

1.2. Обобщение теоремы Бредта (о циркуляции касательных напряжений)

1.3. Мембранная аналогия при наличии дислокаций.

1.4. Вариационный принцип.

1.5. Сосредоточенные и непрерывно распределенные дислокации

1.6. Общие теоремы теории кручения стержней, содержащих дислокации

1.7. Энергия дислокации в стержне прямоугольного сечения

Глава 2. Нелинейная теория кручения призматических упругих тел, содержащих винтовые дислокации

2.1. Приведение проблемы кручения к двумерной нелинейно краевой задаче.

2.2. Уравнения совместности и винтовые дислокации.

2.3. Краевые условия на торцах бруса.

2.4. Энергетические соотношения для продольной силы и крутящего момента.

2.5. Функции напряжений в нелинейной проблеме кручения призматического тела с винтовыми дислокациями.

2.6. Вариационные постановки нелинейной задачи кручения упругих тел, содержащих винтовые дислокации

Глава 3. Некоторые задачи о равновесии кругового цилиндра с осесимметричным полем винтовых дислокаций

3.1. Конечная деформация сплошного кругового цилиндра с распределенными дислокациями.

3.2. Случай полого цилиндра

Глава 4. Влияние физической и геометрической нелинейности на энергию дислокации в неограниченном упругом теле

4.1. Изолированная винтовая дислокация в неограниченной среде

4.2. Энергия винтовой дислокации

4.3. Условие Адамара.

Понятие о дислокациях как о специфических дефектах атомно-кристалли-ческой структуры является одним из важнейших в физике твердого тела п в физическом материаловедении. Хотя в основном теория дислокаций занимается механическими свойствами, она способствует более глубокому пониманию и некоторых других свойств твердых тел, например таких химических явлений, как диффузия и химические реакции в кристаллах, рост кристаллов, поверхностный катализ пли таких физических характеристик, как время жизни носителей в полупроводниках, фотопластическпй эффект в полупроводниках, коэрцитивная сила в магнетиках, электрическая прочность диэлектриков, эффект разупрочнения металлов при фазовом переходе в сверхпроводящее состояние и т. д. Совокупность полученных к настоящему времени данных показывает, что дислокации являются непременной составляющей структуры всех реальных кристаллов. Гипотеза о дислокациях как дефектах кристаллической решетки, определяющих механические свойства кристаллов, превратилась в подтвержденный экспериментами реальный факт.

Многочисленные теоретические и экспериментальные исследования [1] убедительно доказали существенное влияние дислокаций как на механические, так pi на электрические, магнитные, тепловые и оптические характеристики твердых тел. Дислокации играют значительную роль в механическом поведении поверхностных кристаллов, тонкопленочных наноструктур, биологически мембран и других двумерных физических систем. Теория дислокаций является важной и существенной частью механики деформируемых твердых тел.

Вероятно, можно считать, что предположение о существовании дислокаций возникло в XIX веке, когда было выяснено, что пластическая деформация металлов происходит с образованием полос или «пачек» скольжения, в связи с возникновением которых одна часть образца сдвигается относительно другой (см. 1). Решающую роль здесь играют линейные дефекты особого типа, называемые дислокациями. скольжения

Рис. 1. Скольжение в кристалле, обусловленное движением винтовой дислокации.

Исследуя напряженно-деформированное состояние однородной изотропной среды, ученые рассматривали упругие свойства цилиндра с разрезом, деформируемого различными способами (см. рис. 2)

Дислокации непосредственно связаны с такими процессами, как деформационное упрочнение и рост кристаллов. Известно, что для стерженя из мягкого металла серия сгибаний и разгибаний приводит к разрушению.

Рис. 2. Дислокации Вольтерры: а - краевая, б - винтовая.

В металле при каждом сгибании-разгибании образуются дислокации. Когда их число становится достаточно велико, металл теряет способность к пластической деформации при дальнейшем воздействии [2].

Решение проблемы роста кристаллов было получено лишь после того, как была принята во внимание возможность существования винтовых дислокаций. Предположим, что мы выращиваем большой кристалл, поместив маленький кусочек кристалла в пары соответствующего вещества. Атомам пара легче всего занять те узлы решетки, которые окружены уже заполненными узлами. Поэтому атом сравнительно непрочно связан с плоской поверхностью идеального кристалла (За). Более сильной оказывается связь со ступенькой, образованной двумя плоскостями (36), а наибольшую величину сила связи имеет, когда атом расположен в углу (Зв). Если в кристалле имеется винтовая дислокация (Зг), то при добавлении атомов локально плоская структура может образовывать бесконечную спираль вокруг дислокации.

Рост кристалла таким способом происходит значительно быстрее, т. к. при этом не требуется образования зародыша новой плоскости, как на (За).

Рис. 3. Рост нитевидного кристалла.

При описанном выше способе роста могут образовываться очень длинные тонкие нитевидные кристаллы, которые навиваются на одну винтовую дислокацию и тем самым продолжают ее на очень большую длину. Такие кристаллы могут содержать только одну дислокацию (саму затравочную винтовую дислокацию) и обнаруживают прочность, сравнимую с предсказываемой в модели идеального кристалла.

В рамках линейной теории упругости математическая теория дислокаций возникла в работах В. Вольтерры [130], Г. Вейнгартена, К. Сомильяны и А. Лява [81] в начале XX столетия.

Развитие и становление линейной теории изолированных (дискретных) и непрерывно распределенных дислокаций (т.е. чисто трансляционных дефектов) связано с именами Дж. Эшелби [115, 121, 122, 123], Е. Кренера [69], А. Зеегера [36, 37], В. Гюптера, Р. Дс Вита [12], Ф. Набарро, Дж. Ная, Дж. Лоте [105], К. Теодосиу [98], А. А. Вакуленко [9. 10], В. Л. Инденбома, А. М. Косевича [65, 66], А. Н. Орлова, А. Коттрела [68, 67], Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшица [73] и другими.

Нелинейная теория непрерывно распределенных дислокаций, основанная на представлениях дифференциальной геометрии, была развита Б. Бил-би, В. Л. Бердичевским [5, 6], К. Кондо, Е. Кренером, И. А. Куниным [72], Л. И. Седовым [93] п другими.

Существенные результаты по теории дислокаций в упругих телах получены Г. В. Бережковой [7], В. И. Владимировым, М. Ю. Гуткиным [21 - 25], В. А. Еремеевым [29 - 34], Л. М. Зубовым [44, 47, 48, 60, 131, 132], М. И. Ка-рякипым [55, 63], И. А. Овпдько, Ю. Н. Работновым [92], Т .Судзукп [95], Ю. А. Устиновым [101], К. Ф. Черныхом [107 - 111] и другими (см., например, [4], [8], [11], [77], [78], [97], [106], [113]).

Значительный вклад в развитие нелинейной теории упрз^гости внесли Э. Л. Аэро [3], В. Л. Бндерман, А. Н. Гузь [20], М. А. Гузев [85], Е. А. Гур-вич [26, 27], В. А. Еремеев, П. А. Жилин [13], Б. А. Жуков [35], Н. В. Зво-линский, Л. М. Зубов [38 - 42, 49, 56 - 59], А. М. Кривцов [70, 71, 127], В. И. Кондауров [64], В. А. Левин [74, 75], A. PI. Лурье [80, 79], В. В. Новожилов [87], В. А. Пальмов [89, 90], Г. Н. Савин, Н. Ф. Морозов [83], В. П. Мясников [86], Л. И. Седов, Л. А. Толоконников, А. Б. Фрейдпн [102, 103, 104, 124], К. Ф. Черных, Л. И. Шкутин [112], Дж. Адкинс [14], С. Ант-ман, М. Гартин, А. Грин [14], Ж. Можен, В. Нолл [129], Р. Огден [128], Р. Ривлин, К. Трусделл [100], А. Эрипген [117], Дж. Эриксен [114, 118, 119, 120] и их ученики.

Современное состояние теории дислокаций отражено в монографиях [22, 23], [98], [61], [91],[116], нелинейная теория изолированных дислокаций изложена в книге [131].

Понятие изолированного дефекта (дислокации Вольтерры) в нелинейно упругой среде введено в [45, 46]. Более подробно дислокации Вольтерры в плоской нелинейной теории упругости изучены в работе [54].

Точные решения сингулярных задач о винтовой дислокации в бесконечной среде в строгой нелинейной постановке впервые найдены Л. М. Зубовым в [46]. Эти решения показывают, что точный учет нелинейности качественно меняет характер сингулярности напряжений на оси дислокации и дисклинации по сравнению с линейной теорией упругости.

В [28] предложен способ перехода от дискретного набора дислокаций к их непрерывному распределению в плоской задаче нелинейной теории. Дано дифференциально-геометрическое истолкование плоской среды с распределенными дефектами.

Линейная теория кручения призматических упругих стержней, содержащих винтовые дислокации, оси которых параллельны оси стержня исследуется в [15], рассмотрены как сосредоточенные (изолированные), так и непрерывно распределенные винтовые дислокации.

Работы [43, 50, 133] содержат решение нелинейных задач Сен-Венана о кручении призматических тел при больших деформациях.

Нелинейное поведение призматических тел с винтовыми дислокациями, параллельными оси стержня, иследовано в [53].

Для проведения численных расчетов в диссертационной работе использовались методы и подходы [62, 84, 88, 96].

Дислокации являются распространенным элементом микроструктуры твердых деформируемых тел. Наряду с другими дефектами кристаллической решетки, они в значительной мере определяют пластичность и прочность твердых тел. Расчет полей напряжений п упругой энергии, создаваемых дислокациями, играет важную роль при объяснении ряда особенностей поведения реальных кристаллов, при анализе механизмов пластичности, ползучести, разрушения, а также роста кристаллов. Имеющиеся в литературе решения задач теории упругости при наличии дислокаций относятся в основном к бесконечно протяженным телам, без учета границ.

Краевые задачи теории упругости для тел с дислокациями исследованы недостаточно.

Важным частным случаем трансляционных дефектов являются винтовые дислокации. Такие дефекты могут возникать в процессе роста нитевидных кристаллов (металлических «усов»), а также могут существовать в многосвязных цилиндрических конструкциях. В частности, известно [82], что винтовая дислокация Вольтерры, существующая в хиральных пано-трубках и обусловливающая их закручивание, существенно влияет на прочность этих трубок.

Краевые задачи кручения анизотропных призматических упругих тел, содержащих винтовые дислокации, до настоящего времени не были исследованы.

Для описания ряда явлений при деформировании твердых тел с дислокациями определенную роль могут играть нелинейные эффекты. В этой связи представляет интерес выяснить, как влияют винтовые дислокации па изменение длины упругого цилиндра при кручении, называемое эффектом Пойнтинга. Решение данного вопроса требует применения нелинейной теории кручения призматического тела с дислокациями. Кроме того, учет нелинейности при расчете энергии винтовой дислокации может приводить к результатам, качественно отличающимся от линейной теории упругости.

Этим определяется актуальность линейной и нелинейной теории кручения призматических упругих тел, содержащих винтовые дислокации.

Диссертация состоит из четыре глав, списка литературы и приложения, в котором предложен список обозначений, используемых в работе. В первой главе рассматривается задача о напряженном состоянии призматического анизотропного стержня, содержащего винтовые дислокации, оси которых параллельны оси стержня. Сначала исследуется кручение анизотропного упругого бруса с многосвязным поперечным сечением в предположении об однозначности напряжений и деформаций, по при отказе от требования однозначности функции депланацпн. Краевая задача сформулирована относительно функции напряжений Прандтля, которая, в отличие от функции депланации, является однозначной в многосвязной области. Дана вариационная постановка краевой задачи для функции напряжений. Из полученного вариационного принципа выводится формулировка краевой задачи кручения при наличии сосредоточенных или непрерывно распределенных дислокаций. Предложена модификация мембранной аналогии для проблемы кручения, учитывающая присутствие дислокаций. Сформулированы общие теоремы теории кручения стержней, содержащих дислокации. Выведена эффективная формула для угла закручивания бруса, обусловленного заданным распределением дислокаций. Решены задачи о дислокациях в тонкостенном стержне п прямоугольном анизотропном брусе.

Во второй главе на основе точных трехмерных уравнений нелинейной теории упругости исследуется напряженно-деформированное состояние призматического бруса, содержащего винтовые дислокации, оси которых параллельны оси стержня. Рассмотрены как изолированные дислокации Вольтерры в многосвязных цилиндрах, так и винтовые дислокации непрерывно распределенные по объему тела с заданной плотностью. Исходная пространственная задача нелинейной эластостатики сведена к двумерной краевой задаче для плоской области в форме поперечного сечения цилиндрического бруса. Решение полученной двумерной задачи позволяет точно удовлетворить уравнениям равновесия в объеме тела и граничным условиям на боковой поверхности. Краевые условия на торцах бруса выполняются в интегральном смысле Сен-Венана [94]. Предполагается, что форма сечения стержня и распределение дислокаций обладают центральной симметрией, а по торцам стержень нагружен крутящим моментом и продольной силой, приложенной в центре сечения. Даны различные формулировки двумерной задачи на сечении бруса, отличающиеся друг от друга выбором неизвестных функций. Указаны вариационные постановки двумерной краевой задачи. Общая теория проиллюстрирована количественными и качественными результатами решения задачи о кручении и растяжении кругового цилиндра с осесимметричным распределением винтовых дислокаций.

В третьей главе исследованы некоторые нелинейные задачи о равновесии кругового цилиндра с осесимметричным полем винтовых дислокаций. Для несжимаемого изотропного материала определен относительный угол закручивания цилиндра при известном распределении дислокаций и нулевом крутящем моменте (закручивание Эшелби).

В случае неогуковского материала получены аналитические формулы для крутящего момента и осевой силы. С их помощью проанализировано влияние винтовых дислокаций на изменение длины кругового цилиндра в зависимости от относительного угла закручивания. Как известно, если кручение кругового цилиндра из неогуковского материала осуществляется крутящим моментом при нулевой продольной силе, то длина цилиндра увеличивается. Показано, что если кручение цилиндра обусловлено распределением винтовых дислокаций при отсутствии продольной силы и крутящего момента, то длина цилиндра уменьшается. Другими словами, эффект Пойнтинга, обусловленный винтовыми дислокациями, имеет обратный знак по сравнению с эффектом Пойнтинга, обусловленным крутящим моментом. Рассмотрена задача об изолированной дислокации в полом цилиндре и влияние радиуса полости на основные характеристики напряженно-деформированного состояния, эффект Пойнтинга и закручивание Эшелби.

Четвертая глава посвящена задаче о винтовой дислокации в упругом теле с учетом геометрической и физической нелинейности. Основное внимание уделено вычислению энергии дислокации. В рамках линейной теории упругости энергия дислокации, приходящаяся на единицу ее длины, бесконечна по двум причинам: из-за расходимости интеграла энергии на оси дефекта и расходимости его на бесконечном удалении от оси дефекта. В [46] был указан класс несжимаемых упругих материалов, для которых энергия винтовой дислокации имеет конечное значение в полуограниченном теле — цилиндре, ось которого совпадает с осью дислокации. Здесь предложена модель несжимаемого нелинейно упругого материала, удовлетворяющего условию Адамара и обладающая тем свойством, что винтовая дислокация имеет конечную энергию не только в цилиндрическом теле, но и в неограниченной среде.

В заключении предлагаются основные результаты, полученные в диссертационной работе.

Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на: международной конференции «Математические модели и методы их исследования» (Красноярск, 1999); 1st Canadian Conference оп Nonlinear Solid Mechanics (Victoria, British Columbia, Canada, 1999); второй научно-технической конференции «Проблемы машиноведения» (Нижний Новгород, 2001); всероссийской конференции «Дефекты структуры и прочность кристаллов» (Черноголовка, 2002); XXXII International Summer School-Conference «Advanced Problems in Mechanics» (АРМ). (Russia, St. Petersburg, Repino, 2004); международной школе-семинаре «Математическое моделирование и биомеханика в современном университете» (пос. Абрау-Дюрсо, 2005); всероссийской школе-семинаре «Математическое моделирование, биомеханика и информационные технологии в современном университете» (Ростов-на-Дону, 2006).

В полном объеме диссертация докладывалась на семинарах кафедр теории упругости и математического моделирования Ростовского госуниверситета (ныне Южный федеральный университет), объединенного отдела физико-математических и технических проблем Южного научного центра РАН.

На различных этапах данная работа поддерживалась грантами РФФИ (№№96-01-01283, 96-01-01427, 02-01-00529, 05-01-1683), Президента РФ НШ-2113.2003.1, ФЦП «Интеграция» (Я0061/1358), выполнялась по госконтракту от 05.09.2005 №02.04.445.11.7042 шифр РИ-112/001428.

По теме диссертации опубликованы 10 работ: [15] - [19], [51] - [53], [125], [126]. Из них три статьи [15, 17, 53] помещены в журналах из «Перечня ведущих рецензируемых научных журналов и издании, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертации на соискание ученой степени доктора и кандидата наук», утвержденного ВАК РФ.

В совместных работах научному руководителю профессору JI. М. Зубову принадлежат постановки задач и рекомендации по выбору метода решения. Вывод разрешающих систем уравнений, разработка и реализация численных методов, численные результаты принадлежат автору диссертации.

Автор выражает глубокую благодарность научному руководителю профессору Леониду Михайловичу Зубову за внимание и огромную помощь в работе и считает также своим приятным долгом поблагодарить коллективы кафедры математического моделирования и кафедры теории упругости ЮФУ: А. В. Белоконя, О. А. Беляк, А. О. Ватульяна, С. В. Дере-зина, В. А. Еремеева, М. И. Карякина, А. М. Колесникова, Н. В. Курбатову, А. В. Наседкина, К. А. Надолина, А. В. Соколова, А. Н. Соловьева, А. С. Скалиуха, Ю. А. Устинова за успешное сотрудничество и всестороннюю поддержку.

Основные результаты диссертационной работы

1. В рамках линейной теории упругости исследована задача Сен-Венана о равновесии аппзотропиого призматического стержня, нагруженного крутящим моментом и содержащего как изолированные, так и непрерывно распределенные винтовые дислокации, оси которых параллельны оси стержня. Мембранная аналогия Прапдтля распространена на случай присутствия дислокаций. Сформулированы и доказаны общие теоремы линейной теории кручения стержней, содержащих дислокации.

2. Найдены решения задач о равновесии тонкостенных многосвязных стержней, содержащих винтовые дислокации, и задачи о дислокации в сгержис прямоугольного сечения. Путем анализа энергии изолированной дислокации в зависимости от ее расположения в прямоугольном брусе установлено, что центральное положение винтовой дислокации устойчиво.

3. Для анизотропного бруса произвольного поперечного сечения выведена эффективная формула, определяющая угол закручивания стержня, обусловленный заданным распределением дислокаций.

4. Построена нелинейная теория кручения призматических упругих тел с винтовыми дислокациями. Исходная трехмерная задача нелинейной теории упругости сведена к двумерной краевой задаче для плоской области в форме поперечного сечения стержня.

5. Получено решение задачи о больших деформациях кручения и растяжения кругового цилиндра с осесимметричным распределением винтовых дислокаций. Проанализировано влияние дислокаций на эффект Пойнтин-га.

6. Предложена модель несжимаемого нелинейно упругого материала, удовлетворяющего условию Адамара и обладающая тем свойством, что винтовая дислокация имеет конечную энергию не только в цилиндрическом теле, но и в неограниченной среде.

Заключение

1. Актуальные вопросы теории дислокаций. М.: Мир, 1968. 312 с.

2. Ашкрофт Н., Мерин Н. Физика твердого тела. Том 2. М.: Мир, 1979. 424 с.

3. Белл Дж. Экспериментальные основы механики деформируемых твердых тел. Ч. 2. Конечные деформации. М.: Наука, 1984. 413 с.

4. Бердичевский В. Л. Динамическая теория непрерывно распределенных дислокаций. Связь с теорией пластичности // ПММ, 1967. Т. 31 №6. 981-1000.

5. Бердичевский В. Л. Вариационные принципы механики сплошной среды. М.: Наука, 1983. 448 с.

6. Береснскова Г. В. Нитевидные кристаллы. М.: Наука, 1969. 158 с.

7. Бойко В. С., Гарбер Р. И., Косевич А. М. Обратимая пластичность кристаллов. М.: Наука, 1991. 280 с.

8. Вакуленко А. А. Связь микро- и макросвойств в упругопластических срсдах// Итоги науки и техники. Сер. Механика деформируемого твердого тела. М.: ВИНИТИ, 1991. Т. 22. С. 3-54.

9. Вакуленко А. А., Кадашевич И. Ю. Эффект Баушингера и аналогичные по микроприроде эффекты при деформации металлов // Изв. вузов. Северо-Кавказ. регион. Естеств. науки. 2000. Спецвыпуск «Нелинейные проблемы механики сплошных сред». С. 16-23.

10. Ван Бюрен X. Дефекты в кристаллах. М.: Изд-во ИЛ, 1962. 584 с.

11. Вит де Р. Континуальная теория дисклинаций. М.: Мир, 1977. 208 с.

12. Грекова Е. Ф., Жилин П. А. Уравнения нелинейных упругих полярных сред// Изв. вузов. Северо-Кавказ. регион. Естеств. науки. 2000. Спецвыпуск «Нелинейные проблемы механики сплошных сред». С. 24-46.

13. Грин А., Адкинс Д. Большие упругие деформации и нелинейная механика сплошной среды. М.: Мир, 1965. 455 с.

14. Губа А. В., Зубов JI. М. О кручении призматических упругих тел, содержащих винтовые дислокации // ПММ, 2002. Т. 66. Вып. 2. С. 316324

15. Губа А. В., Зубов Л. М. О равновесии анизотропных призматических тел, содержащих винтовые дислокации // Международная конф. «Математические модели и методы их исследования» (18-24 авг. 1999, Красноярск). Тезисы докладов. Красноярск. 1999. С. 84.

16. Губа А. В. Винтовая дислокация в нелинейно упругой среде // Изв. ВУЗов. Северо-Кавказ. регион. Естеств. науки. 2001. Спецвыпуск «Математическое моделирование». С. 59-60.

17. Губа А. В. Исследование высокоэластичных призматических тел с винтовыми дислокациями // Труды Международной школы-семинара «Математическое моделирование и биомеханика в современном университете». Абрау-Дюрсо, 2005. С. 5-6.

18. Гузь А. Н. Основы трехмерной теории устойчивости деформируемых тел. К.: Вища школа, 1986. 511 с.

19. Гутшн М. Ю. Овидько И. А. Дефекты и механизмы пластичности в наноструктурных и некристаллических материалах. СПб.: «Янус», 2001. 180 с.

20. Гуткин М. Ю. Овидько И. А. Физическая механика деформируемых наноструктур. Т. 1. Нанокристаллические материалы. СПб.: «Янус», 2003. 194 с.

21. Гуткин М. Ю., Овидько И. А. Физическая механика деформируемых наноструктур. Т. 2. Нанослойные структуры. СПб.: «Янус», 2005. 352 с.

22. Гуткин М. Ю. , Овидько И. А. Зарождение дислокационных петель и пластическая деформация нанокристаллических материалов // Изв. РАН. МТТ, 2007. №2. С. 123-136.

23. Гуткин М. Ю., Шейнерман А. Г. Упругое поведение винтовой дислокации в стенке полой нанотрубки // ФТТ, 2007. Т. 49. №9. С. 15951602.

24. Гурвич Е. А. Условие Адамара в нелинейной теории упругости // Изв. АН СССР. МТТ. 1979. № 1. С. 45-51.

25. Гурвич Е. А., Лурье А. И. К теории распространения волн в нелинейно-упругой среде (эффективная проверка Условия Адамара) // Изв. АН СССР. МТТ. 1980. № 6. С. 110-116.

26. Дерезин С. В., Зубов Л. М. Уравнения нелинейно упругой среды с непрерывно распределенными дислокациями и дисклинациями //' Доклады РАН. 1999. Т. 366. Ш. С. 762-765.

27. Еремеев В. А. Равновесие двухфазного цилиндра, содержащего дислокацию, с учетом моментных напряжений // Труды 3 Межд.конф. «Современные проблемы механики сплошной среды». Т.1. Ростов н/Д: МП «Книга». 1997. С. 134-137.

28. Еремеев В. А. Моделирование фазовых превращений в нелинейно упругих телах с распределенными дислокациями// Тез. докл. XIII Петербургских чтений по проблемам прочности. 12-14.03.2002. Санкт-Петербург. С. 77.

29. Еремеев В. А., Зубов Л. М. Некоторые проблемы устойчивости трехмерных нелинейно упругих тел// Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 1999. М. С. 42-46.

30. Еремеев В. А., Зубов Л. М., Карякин М. И., Чернега Н. Я. Образование полостей в нелинейно-упругих телах с дислокациями и дисклинациями. // Доклады РАН. 1992. Т. 326. № 6.

31. Еремеев В. А., Карякин М. И., Чернега Н. Я. Сингулярные решения нелинейной теории упругости //Вопросы физики и механики материалов (Под ред. Лихачева В. А.), Новгород, 1992. С. 57-68.

32. Еремеев В. А., Никитин Е. С. Фазовые превращения в упругих телах с дислокациями и дисклинациями // Доклады АН (Россия). 1995. Т. 345. №2.

33. Жуков Б. А. Нелинейные эффекты в концентрации напряжений около отверстий в резиноподобпых материалах. Волгоград: Перемена, 2002. 104 с.

34. Зегер А. Некоторые нелинейные упругие эффекты вблизи дислокации // Дислокации и механические свойства кристаллов. М.: Изд-во ИЛ, 1960. С. 353-356.

35. Зеегер А., Весоловски 3. Анализ винтовых дислокаций с помощью конечной упругости // Физика прочности и пластичности. М.: Металлургия, 1972. С. 19-31.

36. Зубов Л. М. Принцип стационарности дополнительной работы в нелинейной теории упругости // ПММ. 1970. Т. 34. Вып. 2. С. 241-245.

37. Зубов Л. М. Вариационные принципы нелинейной теории упругости // ПММ. 1971. Т. 35. Вып. 3. С. 406-410.

38. Зубов Л. М. Вариационные принципы нелинейной теории упругости. Случай наложения малой деформации на конечную // ПММ. 1971. Т. 35. Вып. 5. С. 848 852.

39. Зубов Л. М. О представлении градиента перемещений изотропного упругого тела через тензор напряжений Пиола // ПММ, 1976. Т. 40. Вып. 6. С. 1070-1077.

40. Зубов JI. М. Методы нелинейной теории упругости в теории оболочек. Ростов н/Д: Изд-во РГУ, 1982. 144 с.

41. Зубов Л. М. Теория кручения призматических стержней при конечных деформациях // Доклады АН СССР, 1983. Т. 270, №4. С. 827-831.

42. Зубов Л. М. Теория изолированных дефектов в нелинейно упругих телах // Вопросы нелинейной механики сплошной среды. Таллин: Валгус, 1985. С. 73-87.

43. Зубов Л. М. О дислокациях Вольтерра в нелинейно упругих телах // Доклады АН СССР, 1986. Т. 287. №3. С. 579-582.

44. Зубов Л. М. Теория дислокаций Вольтера в нелинейно-упругих телах // Изв. АН СССР. МТТ, 1987 №5. С. 140-147.

45. Зубов Л. М. Нелинейная теория изолированных дислокаций и дис-клинаций в упругих оболочках // Изв. АН СССР. МТТ. 1989. № 4. С. 139-145.

46. Зубов Л. М. Непрерывно распределенные дислокации и дисклинации в упругих оболочках // Изв. РАН. МТТ. 1996. № 6. С. 102-110.

47. Зубов Л. М. Полуобратные решения нелинейной теории упругости, приводящие к двумерным краевым задачам // Доклады РАН. 2000. Т. 374. №6. С. 765-767.

48. Зубов Л. М. О прямом и обратном эффектах Пойнтинга в упругих цилиндрах // Доклады РАН. 2001. Т. 380. №2. С. 194-196

49. Зубов Л. М., Губа А. В. О кручении упругого цилиндра с непрерывно распределенными дислокациями // Проблемы машиноведения. Вторая научно-техн. конференция. Тезисы докладов. Н. Новгород, 2001. С. 39.

50. Зубов Л. М., Губа А. В. Некоторые задачи кручения призматических упругих тел с дислокациями // Всероссийская конференция «Дефекты структуры и прочность кристаллов» (Тезисы докладов). Черноголовка, 2002. С. 204.

51. Зубов Л. М., Губа А. В. Нелинейная теория кручения призматических упругих тел, содержащих винтовые дислокации // Изв. ВУЗов. Северо-Кавказ. регион. Естеств. науки. 2003. Спецвыпуск «Нелинейные проблемы механики сплошных сред». С. 212-222.

52. Зубов Л. М., Карякин М. И. Многозначные смещения и дислокации Вольтерра в плоской нелинейной теории упругости // ПМТФ. 1987. №6. С. 146-152.

53. Зубов Л. М., Карякин М. И. Дислокации и дисклинации в нелинейно упругих телах с моментными напряжениями // ПМТФ. 1990. №3. С. 160-167.

54. Зубов Л. М., Рудев А. Н. Эффективный способ проверки условия Адамара для нелинейно-упругой сжимаемой среды // ПММ. 1992. Т. 56. Вып. 2. С. 296-305.

55. Зубов Л. М., Рудев А. Н. О признаках выполнимости условия Адамара для высокоэластичных материалов // Изв. РАН. МТТ. 1994. № 6. С. 21-31.

56. Зубов Л. М., Рудев А. Н. Об условиях существования продольных воли в анизотропной нелинейно-упругой среде // Докл. АН (Россия). 1994. Т. 334. № 2. С. 156-158.

57. Зубов Л. М., Рудев А. Н. О необходимых и достаточных признаках эллиптичности уравнений равновесия нелинейно-упругой среды //ПММ. 1995. Т. 59. Вып. 1. С. 209-223.

58. Зубов Л. М., Филиппова Л. М. Теория оболочек с непрерывно распределенными дислокациями // Докл. АН (Россия). 1995. Т. 344. № 5. С. 619-622.

59. Кадич А., Эделен Д. Калибровочная теория дислокаций и дисклина-ций. М.: Мир, 1987. 168 с.

60. Канторович, Л. В., Крылов В. И. Приближенные методы высшего анализа. JL: Физматгиз, 1962. 708с.

61. Карякин М. И. Изолированная винтовая дислокация в сжимаемом нелинейно-упругом теле /Ростовский ун-т. Ростов н/Д, 1988. 11 с. Деп. в ВИНИТИ 27.10.88, №7715-В88.

62. Кондауров В. И., Фортов В. Е. Основы термомеханики конденсированной среды. М.: Изд-во МФТИ, 2002. 336 с.

63. Косевич А. М. Дислокации в теории упругости. Киев: Наукова думка, 1978. 219с.

64. Косевич А. М., Токий В. В., Стрельцов 3. А. Дислокации и точечные дефекты в гидростатически сжатом кристалле // Физ. металлов и металловед, 1978. Т. 45, №16. С. 1135-1144.

65. Коттрел А. X. Дислокации и пластическое течение в кристаллах. М.: Металлургиздат, 1958. 268 с.

66. Коттрел А. X. Теория дислокаций. М.: Мир, 1969. 96 с.

67. Кренер Э. Общая континуальная теория дислокаций и собственных напряжений. М.: Мир, 1965. 103 с.

68. Кривцов А. М. К теории сред с микроструктурой // Труды СПбГТУ. 1992. №443. С. 9-17.

69. Кривцов А. М. Изотропная часть нелинейных определяющих уравнений идеальной кристаллической решетки // Труды СПбГТУ. 1995. №458. С. 132-140.

70. Кунин И. А. Теория упругих сред с микроструктурой. М.: Наука, 1975. 416с.

71. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика: в 10-ти т. Т. VII. Теория упругости. М.: Наука, 1987. 248 с.

72. Левин В. А. Многократное наложение больших деформаций в упругих и вязкоупругих телах// М.: МАИК Наука. Физматлит. 1999. 224 с.

73. Лехницкий С. Г. Теория упругости анизотропного тела. М.: Наука, 1977. 416с.

74. Лихачев В. А., Волков А. Е., Шудегов В. Е. Континуальная теория дефектов. Л.: Изд-во ЛГУ, 1986. 232с.

75. Лихачев В. А., Хайров Р. Ю. Введение в теорию дисклинаций. Л.: Изд-во ЛГУ, 1975. 183с.

76. Лурье А. И. Нелинейная теория упругости. М.: Наука, 1980. 512 с.

77. Лурье А. И. Теория упругости. М.: Наука, 1970. 940 с.

78. Ляв А. Математическая теория упругости. М., Д.: ОНТИ, 1935. 647 с.

79. Мелькер А. И., Корнилов Д. А. Молекулярно-динамическое исследование разрушения однослойных углеродных нанотрубок при растяжении // ФТТ. 2005. Т. 47, вып. 6. С. 979-985

80. Морозов Н. Ф. Математические вопросы теории трещин. М.: Наука, 1984. 256 с.

81. Мусхелишвили Н. И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М.: Наука, 1966. 707 с.

82. Мясников В. П., Гузев М. А. «Скрытые» параметры модели упругой сплошной среды // Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. 2000. Спецвыпуск «Нелинейные проблемы механики сплошных сред». С. 116-126.

83. Мясников В. П., Гузев М. А., Ушаков А. А. Структурное описание материалов // Известия вузов. Северо-Кавказ. регион. Естеств. науки. 2003. Спецвыпуск «Нелинейные проблемы механики сплошных сред». С. 256-265.

84. Новожилов В. В. Основы нелинейной теории упругости. М.: Гостех-издат, 1948. 211 с.

85. Оден Дж. Конечные элементы в механике сплошных сред. М.: Мир, 1976. 464 с.

86. Палъмов В. А. Основные уравнения теории несимметричной упругости // ПММ. 1964. Т. 28. Вып.З. С. 401-408.

87. Палъмов В. А. О напряжениях, возникающих при затвердевании материалов // Инж. журн. Мех. тв. тела. 19G7. №4. С. 80-85.

88. Панин В. ЕЛихачев В. А., Гриняев Ю. В. Структурные уровни деформации твердых тел. Новосибирск: Наука, 1985. 230 с.

89. Работное Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела. М.: Наука, 1988. 712 с.

90. Седов Л.И. Механика сплошной среды: в 2-х т. Т. 1. М.: Наука, 1983. 528 с.

91. Сен-Венаи Б. Мемуар о кручении призм. Мемуар об изгибе призм. М.: Физматгиз, 1961. 518 с.

92. Судзуки Т., Есинага X., Такеути С. Динамика дислокаций и пластичность М.: Мир, 1989. 296 с.

93. Сьярле Ф. Математическая теория упругости. М.: Мир, 1992. 471 с.

94. Татарченко В. А. Устойчивый рост кристаллов. М.: Наука, 1988. 240 с.

95. Теодосиу К. Упругие модели дефектов в кристаллах. М.: Мир, 1985. 352 с.

96. Тимошенко С.П., Войновский-Кригер С. Пластинки и оболочки. М.: ГИФМЛ, 1963. 636 с.

97. Трусделл К. Первоначальный курс рациональной механики сплошной среды. М.: Мир, 1975. 592 с.

98. Устинов Ю. А. Задачи о дислокациях в упругом кольце // Докл. РАН. 1997. Т. 354. №5, С. 619-622

99. Фрейдин А. Б. // Прочность и разрушение материалов и конструкций. Под ред. Морозова Н. Ф. Исследования по упругости и пластичности. 1999. Вып. 18. С. 266-290.

100. Фрейдин А. Б. О равновесии фаз изотропного нелинейно-упругого материала // Изв. вузов. Северо-Кавказ. регион. Естеств. науки. 2000. Спецвыпуск «Нелинейные проблемы механики сплошных сред». С. 150-168.

101. Фрейдин А. Б., Шарипова Л. Л. Равновесные двухфазные деформации и зоны фазовых переходов в приближении малых деформаций // Изв. вузов. Северо-Кавказ. регион. Естеств. науки. 2003. Спецвыпуск «Нелинейные проблемы механики сплошных сред». С. 291-298.

102. Хирт Дле., Лоте Л. Теория дислокаций. М.: Атомиздат, 1972. 600 с.

103. Черепанов Г. П. Механика хрупкого разрушения. М.: Наука, 1974. 640 с.

104. Черных К. Ф. Нелинейная теория упругости в машиностроительных расчетах. М.: Машиностроение, 1986. 336 с.

105. Черных К. Ф. Введение в анизотропную упругость. М.: Наука, 1988 с.

106. Черных К. Ф. Введение в физически и геометрически нелинейную теорию трещин. М.: Наука, 1996. 288 с.

107. Черных К. Ф. Нелинейная сингулярная упругость. Ч. 1. Теория. СПб: 1999. 276 с.

108. Черных К. Ф., Литвиненкова 3. Н. Теория больших упругих деформаций. Л.: ЛГУ, 1988. 256 с.

109. Шкутин Л. И. Механика деформаций гибких тел. Новосибирск: Наука, 1988. 123 с.

110. Шматов В. Т. Дислокации в упруго-нелинейной среде // Физ. металлов и металловед, 1978. Т. 46, вып.6. С. 1285-1296.

111. Эриксен Дж. Исследования по механике сплошных сред. М.: Мир, 1977. 246 с.

112. Эшелби Док. Континуальная теория дислокаций. М.: ИЛ, 1963. 247 с.

113. D.G.B. Edelen and D.C. Lagoudas Gauge Theory and Defects in Solids. Amsterdam. North-Holland, 1989.

114. Eringen A. C. On differential equations of nonlocal elasticity and solutions of screw dislocations and surface waves //J. Appl. Phys. 1983. V. 54 №9. P. 4703-4710.

115. Eriksen J. L. Some phase transitions in crystals // Arch. Rat. Mech. Anal. 1980. Vol. 73. № 2. P. 99-124.

116. Eriksen J. L. Twinning of crystals / Metastability and incompletely posed problems. Ed. S.S.Antman, J.L.Eriksen, D.Kinderleher, I.Muller. IMA Vol. Math. Appl. 1987. Vol. 3. P. 77-93.

117. Eriksen J. L. Weak martensitic transformations in Bravais lattices// Arch. Rat. Mech. Anal. 1989. Vol. 107. P. 23-36.

118. Eshelby J. D. The force on an elastic singularity// Phil. Trans. Royal. Soc. London. A244. P. 87-112.

119. Eshelby J. D. The elastic energy-momentum tensor //J. Elasticity. 1975. Vol. 5. № 4. P. 321-335.

120. Eshelby J. D. Boundary problems // Dislocations in Solids. Amsterdam e.a. 1979. Vol. 1. P. 223-342.

121. Freidin A., Sharipova L. On a model of heterogeneous deformation of elastic bodies by the mechanism of multiple appearance of new phase layers // Meccanica, (2006). 41. P.321-339

122. Guba A. V., Zubov L. M. On energy of screw dislocation in nonlinear elastic medium // Proceedings of 1st Canadian Conference on Nonlinear Solid Mechanics (June 16-20, 1999, Victoria, British Columbia, Canada). Ed. E. M. Croitoro. Vol. 2. Pp. 719-725.

123. Guba A. V., Zubov L. M. Torsion of Prismatic Elastic Bodies Containing Screw Dislocations// Abstracts of XXXII International Summer School-Conference «Advanced Problems in Mechanics» (АРМ). Russia, St.Petersburg (Repino), June 24-July 1, 2004. P. 52

124. Krivtsov A. M. Constitutive Equations of the Nonlinear Crystal Lattice. ZAMM. angew. Math. Mech. 1999, 79 (S2), 419-420

125. Ogden R. W. Non-linear elastic deformations. Mineola, New York: Dover publications, Inc. 1997.

126. Truesdell C., Noll W. The nonlinear field theories of mechanics. In Handbuch der Physik. III/3. (ed. S. Fliigge), Berlin: Springer, 1965.

127. Volterra V. Sur l'equilibre des corps elastiques multiplement connexes // Annales de l'Ecole Norm. Sup. Ser. 3. 1907. V. 24, №3. P. 401-517.

128. Zubov L. M. Nonlinear theory of dislocations and disclinations in elastic bodies. Berlin, Heidelberg, New-York et al: Springer-Verlag. 1997. 205 p.

129. Zubov L. M. Nonlinear theory of isolated and comtinuosly distributed dislocations in elastic shells // Archives of Civil Engineering. 1999. XLV. № 2. P. 385-396.

130. Zubov L. M., Bogachkova L. U. The Theory of Torsion of Elastic Noncircular Cylinders Under Large Deformations // Trans. ASME Journal of Applied Mechanics. 1995. Vol. 62. No. 2. P. 373-379.