Нелинейный изгиб упругой пластинки с распределенными дисклинациями тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

На правах рукописи

Фам Тан Хунг

НЕЛИНЕЙНЫЙ ИЗГИБ УПРУГОЙ ПЛАСТИНКИ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ДИСКЛИНАЦИЯМИ

Специальность 01.02.04 - механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

8 ИЮН 2011

Ростов-на-Дону

2011

4849412

Работа выполнена на кафедре теории упругости факультета математики, механики и компьютерных наук Южного федерального университета.

Научный руководитель

доктор физико-математических наук, профессор

Зубов Леонид Михайлович

Официальные оппоненты

доктор физико-математических наук, старший научный сотрудник Юдин Анатолий Семенович

кандидат физико-математических наук, Шейдаков Денис Николаевич

Ведущая организация

Институт проблем машиноведения РАН

(Санкт-Петербург)

Защита диссертации состоится « 28 » июня 2011 г. в 16 — часов на заседании диссертационного совета Д 212.208.06 по физико-математическим наукам при Южном федеральном университете по адресу: 344090, г. Ростов-на-Дону, ул. Мильчакова, 8а, ЮФУ, факультет математики, механики и компьютерных наук, ауд. 211.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Южного федерального университета по адресу: 344006, г. Ростов-на-Дону, ул. Пушкинская, 148.

Автореферат разослан «24» мая 2011г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Боев Н. В.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Цель работы - на основе модифицированных уравнений Кармана исследовать прогибы, неустойчивость и послекритическое поведение пластинки с распределенными дисклинациями и другими источниками собственных напряжений.

Актуальность работы - плоское напряженное состояние двумерных структур, имеющих форму тонких пластинок и содержащих распределенные дефекты и другие источники несовместных деформаций, может оказаться неустойчивым. Это приводит к необходимости исследовать изгибные формы равновесия пластинок, возникающие после потери устойчивости. Задачи устойчивости и закритического поведения упругих пластинок, содержащих в плоском состоянии распределенные дефекты, до настоящего времени не были исследованы. Кроме того, значительный интерес представляет влияние плоского поля внутренних напряжений, обусловленных дефектами, на прогиб пластинок под действием поперечной нагрузки. Это влияние можно выявить только на основе нелинейных уравнений.

Сказанным определяется актуальность темы диссертации, посвященной нелинейному изгибу упругих пластинок с дислокациями и дисклинациями.

Методы исследования. В работе использованы вариационные методы, метод пристрелки, конечно-разностный метод, метод интерполяции для решения нелинейных алгебраических уравнений.

Достоверность полученных результатов в диссертационной работе обеспечивается совпадением решения нелинейных уравнений с аналитическим решением линейного слабого изгиба пластинки при малой поперечной нагрузке, а также с точным решением модифицированных уравнений Кармана в мембранном приближении. Кроме того в работе использовались два метода решения задачи о закритическом поведении пластинки с распределенными дисклинациями, результаты которых совпадают.

Научная новизна работы состоит в следующих результатах

1. Получен вариационный принцип равновесия пластинки с распределенными и изолированными дислокациями и дисклинациями.

2. Решена задача о влиянии распределенных клиновых дисклинаций в упругой круглой пластинке на её прогиб, обусловленный поперечной нагрузкой. Установлено, что прогиб пластинки увеличивается с увеличением плотности дисклинаций независимо от знака дисклинаций.

3. Найдено решение задачи о потере устойчивости круглой пластинки, причиной которой является плоское напряжённое состояние, обусловленное дисклинациями и боковым давлением. Показано, что критическое значение бокового давления уменьшается с увеличением плотности дисклинаций.

4. При отсутствии внешних нагрузок с помощью метода пристрелки и вариационного метода выполнен расчёт закритических изгибных форм равновесия пластинки с дисклинациями. Найдено несколько форм равновесия, существующих при достаточно большой плотности дисклинаций.

Практическая значимость работы. Полученные в диссертационной работе результаты могут найти приложения для описания механического поведения тонкопленочных наноструктур, поверхностных кристаллов, биологических мембран и других двумерных физических систем.

Структура работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Общий объем работы - 104 страниц.

Апробация работы. Основные результаты докладывалась на XIII и XIV международных конференциях «Современные проблемы механики сплошной среды» (Ростов-на-Дону, 2009, 2010), а также на Всероссийской конференции «Фундаментальные и прикладные проблемы современной механики» (Томск, 2011), на семинаре кафедры теории упругости ЮФУ (2011).

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 4 статьях, список которых приведен в конце автореферата. Из них статьи [3, 4] помещены в журналах из «Перечня ведущих рецензируемых научных журналов и изданий, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертации

на соискание ученой степени доктора и кандидата наук», утвержденного ВАК РФ.

В совместных работах научному руководителю Л. М. Зубову принадлежат постановки задач и рекомендации по выбору метода решения. Вывод разрешающих систем уравнений, разработка и реализация численных методов, численные результаты принадлежат автору диссертационной работы.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении содержится обзор работ по теме диссертации.

Дислокации и дисклинации играют значительную роль в механическом поведении поверхностных кристаллов, тонкопленочных наноструктур, клеточных мембран и других двумерных физических и биологических систем.

В рамках линейной теории упругости математическая теория дислокаций и дисклинаций возникла в работах Вольтерры, Вейнгартена и Сомильяны в начале 20-го столетия.

Развитие и становление линейной теории изолированных (дискретных) и непрерывно распределенных дислокаций связано с именами Дж. Эшелби, Е. Кренера, А. Зеегера, В. Гюнтера, Р. Де Вита, Ф. Набарро, Дж. Ная, В. Л. Инден-бома, А. Н. Орлова, А. М. Косевича, Дж. Хирт, Л. Лоте, А. Коттрела, Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшица, А. А. Вакуленко и др.

Нелинейная теория непрерывно распределенных дислокаций, основанная на представлениях дифференциальной геометрии, была развита Б. Билби, К. Кондо, Е. Кренером, И. А. Куниным, В. Л. Бердичевским и Л. И. Седовым и др.

Начиная с 1970-х годов большое распространение получили экспериментальные и теоретические исследования в области ротационных дефектов, названных дисклинациями. Если говорить об изолированном дефекте, то дискли-нация - частный случай дислокации Вольтерры, которая, вообще говоря, состоит из трансляционной дислокации и дисклинации и описывается двумя векторными параметрами - вектором Бюргерса и вектором Франка.

Теория дисклинаций разрабатывалась В. И. Владимировым, А. Е. Романовым, Р. Де Витом, В. А. Лихачевым, Д. В. Колесниковым, В. А. Осиповым, М. Ю. Гуткиным, И. А. Овидько и др. Нелинейная калибровочная теория дислокаций и дисклинаций развита Д. Эделен, А. Кадич, Д. Лагоудасом и др.

Современное состояние теории дислокаций и дисклинаций отражено в монографиях К. Теодосиу; В. И. Владимирова и А. Е. Романова; В. Е. Панина, В. А. Лихачева и Ю. В. Гриняева; А. Кадич и Д. Эделен; М. Ю. Гуткина и И. А. Овидько и др.

Нелинейная теория изолированных дислокаций и дисклинаций развита Л. М. Зубовым, М. И. Карякиным и др.

В современной континуальной теории дислокаций и дисклинаций недостаточно разработан случай двумерных систем, который имеет свои особенности. В частности, в силу того, что дефекты распределены не по объему, а по двумерному многообразию - поверхности, плотности дислокаций и дисклинаций в пластинках и оболочках являются векторными величинами, а не тензорами второго ранга, как в трехмерном случае. Кроме того, в двухмерных системах плотности дислокаций и дисклинаций не обязаны удовлетворять никаким дифференциальным уравнениям, в то время как в трехмерном теле, например, тензор плотности дислокаций должен быть соленоидальным.

В двумерном кристалле имеется дополнительная возможность снижения упругой энергии дисклинаций, связанная с потерей устойчивости деформированного тонкого слоя.

Развитие и становление нелинейной теории изгиба пластин связано с именами А. С. Вольмира, К. Y. Yeh, Е. Bromberg, И. И. Воровича, Н. Ф. Морозова, S. Way, С. П. Тимошенко, С. Войновского-Кригера, R. W. Dickey, Р. К. Sarker, В. P. Garfoot, П. А. Жилина, Л. И. Шкутина, H. Chien, Л. М. Зубова и др.

В первой главе диссертации формулируются модифицированные уравнения Кармана для упругой пластинки с распределенными дислокациями и дисклинациями.

В п. 1.1 дается вывод уравнения несовместности для плоского линейного тензора деформации.

В теории пластинок Кармана плоский тензор деформаций, отвечающий за растяжение срединной плоскости, задается выражением

где и - вектор перемещений в плоскости пластинки, V - плоский набла-оператор, е - плоский линейный тензор деформаций. Тензор е удовлетворяет хорошо известному из плоской линейной теории упругости уравнению совместности, которое в бескоординатной форме можно записать так

У-е-(У-е-£) = 0, (2)

е = М2-'2>1=-'зхЕ-Здесь е - дискриминантный тензор на плоскости, Е - трехмерный единичный тензор, ^ ()' = 1,2,3) - орты декартовых координат. При наличии в плоском состоянии пластинки распределенных дислокаций и дисклинаций уравнение (2) станет неоднородным и его следует называть уже уравнением несовместности. Вывести уравнение несовместности можно путем предельного перехода от дискретного набора дислокаций Вольтерры к непрерывному распределению дислокаций и дисклинаций.

Из определения тензора г вытекает равенство

Уи=£ + гое, (3)

со = -^¡з • (V х и) - угол поворота частицы пластинки вокруг орта ¡з.

Исключая из (1.3) вектор перемещений и, получим равенство У<у = у, у = У-е-£. (4)

Рассмотрим задачу определения поля поворотов со в многосвязной плоской области по заданному однозначному и дважды дифференцируемому полю тензора деформации е. Под многосвязной областью мы понимаем область, го-меоморфную кругу с круговыми отверстиями.

Из (1.4) находим (г = +х212 - радиус-вектор)

CO I

'(r)= Jy-i/r + iy(r0).

(5)

Если область многосвязна, то выражение (5) дает, вообще говоря, многозначную функцию. Неоднозначность можно устранить, превратив область в од-носвязную путем проведения необходимого числа разрезов. При этом, как легко показать, значения со± на противоположенных берегах каждого разреза могут отличаться только на постоянную величину: аь - ах. = щ = const. Постоянные щ не зависят от выбора системы разрезов и выражаются через поле деформаций £ по формуле

где контур Г\ охватывает только одно к -тое отверстие.

Скачок поворота а при обходе ¿-того отверстия означает, что в теле содержатся клиновая дисклинация, мощность которой определяется углом Франка щ. Суммарный угол Франка системы из К изолированных дисклинаций в силу свойств криволинейных интегралов представляется в виде

где Г0 - замкнутый контур, охватывающей все контуры Гь т.е. все дисклина-ции, содержащиеся в области а. Предельный переход от дискретного набора дисклинаций к их непрерывному распределению осуществляется следующим образом. Сначала диаметры отверстий устремляются к нулю, так что область <х, ограниченная контуром Г0, становится односвязной. Затем контурный интеграл в (7) преобразуется в интеграл по площади, что дает

Суммарный угол Франка, т.е. суммарная мощность системы дисклинаций, содержащихся в любой области сг, равен интегралу от некоторой функции по площади этой области. Значит, эту функцию следует назвать плотностью дисклинаций /?:

(6)

(7)

(8)

/? = У-е-у. (9)

В задачах теории упругости плотность дисклинаций ¡5 считается заданной функцией, и уравнение (9) переписывается так

У-е-(У.е-£) = /?. (10)

Рассмотрим теперь другую задачу: определить в многосвязной области поле перемещений и(хь х2) по заданным однозначным и дифференцируемым полям тензора е и поворота со. Предложение об однозначности поворотов означает, что в теле отсутствуют дисклинации. Из (3) находим

и(г)=}(е-а*)-Л- + и(г0). (11)

Го

Необходимое и достаточное условие независимости криволинейного интеграла в (11) от выбора пути в односвязной области состоит в равенстве

У-е-£ = Уй>. (12)

Если область многосвязна, то функция и(г) вообще говоря, многозначна. Если многосвязную область превратить в односвязную путем проведения разрезов, то значения функции и± на противоположных берегах каждого разреза могут отличаться на постоянный вектор: и+-и_=Ь,.

Постоянные плоские векторы не зависят от выбора системы разрезов, называются векторами Бюргерса и выражаются через поля е и юпо формуле Ь4 =^(£-е&>)-</г. (13)

Г*

Суммарный вектор Бюргерса дискретного набора К изолированных краевых дислокаций, содержащихся в произвольной области а, согласно (13) определяется формулой

В = ЕЬ*=Е4(£-ей;),Л = (|(£~е'и)-£Л\ (14)

4=1 4=1 г, Г„

Переходя к непрерывному распределению дислокаций способом, примененным выше в случае дисклинационных дефектов, заменяем контурный интеграл (14) интегралом по площади:

в= Цу-е-(Е + е<0)с/сг. (15)

а

Обозначим подинтегральную функцию через а и назовем ее плотностью краевых дислокаций

а = у-У<у. (16)

Из (16) получим, считая плотность дислокаций а заданной функцией, У-е-(У-е-£) = У-е-а. (17)

Уравнение (10) выведено в предложении отсутствия дислокаций, а уравнение (17) - при отсутствии дисклинаций. Так как деформация в плоскости пластинки в теории Кармана описывается линейной теорией упругости, для построения уравнения несовместности в общем случае можно применить принцип суперпозиции. В итоге получим

У-е-(у-е-£) = //, (18)

= У-е-а + /?, (19)

где скалярная функция ¡л называется мерой несовместности.

Другим способом уравнение (18) было выведено в работе *). Причиной внутренних напряжений в пластинке могут быть не только дислокации и дисклинации, но и распределенные источники тепла. В этом случае мера несовместности выражается следующим образом *)

» = (20) к

Здесь / - коэффициент линейного расширения, 0 - плотность распределенных источников тепла, к-коэффициент теплопроводности.

В п. 1.2 введена система дифференциальных уравнений для функции прогиба и функции напряжений Эри.

Исходные соотношения теории Кармана гибких упругих пластинок можно представить следующим образом

У-Т = 0, У-(У-М + Т-У^) + ;? = 0, (21)

*) Л. М. Зубов. Уравнения Кармана для упругой пластинки с дислокациями и дисклина-циями // Доклады РАН. 2007. Т. 412. №3. С. 343-346.

10

Т = ^[(1 -г)Н + М = -£>[(1 -+ ^гЬ],

ри

Ъ = УУ1¥, й =

где Т - тензор мембранных усилий, М - тензор изгибающих и крутящих моментов, Ь - тензор изгиба-кручения, IV - прогиб пластинки, g - двумерный единичный тензор, р - поперечная нагрузка, Е - модуль Юнга, V- коэффициент Пуассона, к - толщина пластинки, £> - цилиндрическая жесткость.

Из (22) находим

Н = (£/г)"1[(1 + к)Т-^гТ]. (23)

Представим тензор усилий через функцию напряжений Эри /\ тождественно удовлетворяющую первому уравнению равновесия (21)

Т = -е-УУ^-е. (24)

Поставляя выражения (23) и (24) в (18) получим уравнение несовместности для гибких пластинок

ААР + Д(V)2 - И(V'V V/ • УУ Г)] = ЕЬц, (25)

где Д - двумерный оператор Лапласа.

Также подставляя во второе уравнение равновесия (21) определяющее соотношение для тензора М из (22) получим систему уравнений относительно прогиба пластинки IV и функции напряжений Г

ОАА1Г + Хг(УУГ-УУ1Г)-АЕА1Г = р. (26)

Система (25), (26) отличается от известных уравнений Кармана наличием правой части в (25), обусловленной учетом распределенных дислокаций и дие-клинаций.

Во второй главе исследовано равновесие многосвязной пластинки с дислокациями Вольтерры.

Рассмотрим многосвязную пластинку, содержащую дислокации Вольтерры. Граница области а состоит из внешнего замкнутого контура Г0 и контуров отверстий Г*. Решая задачу об определении поля перемещений и в многосвяз-

ной области по заданному однозначному тензорному полю 8, получим, что поле перемещений, вообще говоря, неоднозначно. Неоднозначность устраняется после превращения области в односвязную путем проведения разрезов. При пересечении каждого разреза вектор и испытывает скачок, описываемый формулой

где Ь^ - вектор Бюргерса, Ць = щц - вектор Франка для дислокации Вольтерры, отвечающей ¿-тому отверстию. Они выражаются через поле деформаций е по формулам

Предположим, что контуры отверстий свободны от внешних мембранных усилий. Тогда выполняются следующие граничные условия для функции Р:

В (29) А* - постоянные плоские векторы, Ск - скалярные постоянные, I -касательный вектор к боковой поверхности, гк - радиус-вектор некоторой точки внутри области, ограниченной контуром Тк. На контуре Г0 функция ^ и ее нормальная производная принимают заданные значения.

В п. 2.2 дана вариационная постановка задачи о деформации многосвязной пластинки. Из вариационного принципа стационарности потенциальной энергии получены уравнение равновесия упругой пластинки, уравнение совместности и интегральные соотношения (28). Рассмотрим многосвязную упругую пластинку, поверхность которой а ограничена простым замкнутым внешним контуром Го и простыми замкнутыми внутренними контурами Г* {к = 1,2...А"). Введем в рассмотрение удельную энергию гибкой пластинки П, выраженную через функции РиЖ

и+-и_=Ь4+д,хг = ЬА+^ге,

(27)

(28)

(29)

г Ск

+

где с = —г;-г.

2(1 + у)

Докажем, что система уравнений (25), (26) и интегральные соотношения (28) эквивалентны вариационному принципу:

81 = 5

Ц(Я-рШУа + ¿[(Ь, + ч,кгк ■ е) • А, + ¥кС,~\

= 0.

(31)

Поставляя (30) в функционал (31), получим

81= [[[-—ДДF--((Д^F)2-tr(VV^F•УVFF))\sFda-

О '

+ ВААШ - (ДIVД^ - и(VУ^ • V VIV)) - р)Шс/а +

К

(32)

К

■ с[у ■ 1(1 х

\5Ск.

Из выражения (32) следует, что условие стационарности функционала Ь эквивалентно уравнениям Кармана (25), (26) при /и = 0 и интегральным соотношениям (28)

Д^ + - И(УУ^ • УУЖ)] = 0,

- + = (33)

Ь4 = (|(е + е • г ® у) • ¿г.

г» г*

В п. 2.3 представлен вариационный переход от дискретного набора дислокаций и дисклинаций к их непрерывному распределению.

Третья глава посвящена сильному изгибу круглой упругой пластинки с распределенными дисклинациями. При помощи модифицированных уравнений Кармана решаются задачи с различными видами нагружения.

Граничные условия для защемленной пластинки в полярной системе координат следующие

IV(а) = О, IV'(а) = О, Ж'(0) = 0, Г"(0) = 0, F(a) = 0, Р'(а) = 0, Г(0) = 0, F"(0) = 0.

Здесь штрихом обозначена производная по переменной г, а- радиус пластинки.

В п. 3.1 описывается численный метод пристрелки для решения краевой задачи системы дифференциальных уравнений Кармана.

В п. 3.2 решается задача о влиянии распределенных с постоянной плотностью дисклинаций на прогиб круглой пластинки, нагруженной равномерным поперечным давлением. Для получения функции прогиба система дифференциальных уравнений Кармана (25) и (26) решается численным методом пристрелки. Разрешающие уравнения приводятся к безразмерному виду, т.е. представляют соотношения между безразмерными величинами. При этом радиальная координата, толщина и прогиб отнесены к радиусу пластинки, а внешнее давление отнесено к модулю Юнга. Для коэффициента Пуассона при расчетах принималось значение у =03.

Функция прогиба представлена на рис. 1. Из рис. 1 видно, что прогиб пластинки увеличивается с увеличением плотности дисклинаций независимо от знака дисклинаций. На рис. 2 дано сравнение полученных результатов с линейной теорией изгиба пластинки в случае отсутствии дисклинаций. При малой нагрузке полученные результаты совпадают с аналитическим решением линейной теории изгиба пластинок.

-,—.—I—■—I—■—7 '^ о-1—.—г—'—.—'—I—•—I

0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0

- р=-0.2---0.1 -0 -0.1

— 0.2

- ¡1 =-0.2---0.1 -0-0.1

— 0.2

Рис. 1. Влияние дислинаций на прогиб защемленной пластинки.

Результаты, изображенные на рис. 1 и рис. 2, получены при Ь = 0.1.

В п. 3.3 рассматривается задача об устойчивости пластинки под действием продольной нормальной нагрузки и содержащей равномерно распределенные дисклинации.

р = 0.00001

Линейный изгиб ■

■ Нелинейный

Линейный изгиб •

■ Нелинейный

Рис. 2. Прогиб опертой пластинки при отсутствии дисклинаций.

Предположим, что поперечная нагрузка р равна нулю, а силы, приложенные к границе пластинки, лежат в ее плоскости. Тогда система уравнений Кармана (25), (26) имеет решение IV = 0, которое соответствует плоскому напряженному состоянию. Это состояние описывается уравнением (25), а уравнение (26) удовлетворяется тождественно.

При некоторых значениях меры несовместности ¡л и контурных нагрузок сг0 плоское напряженное состояние пластинки может стать неустойчивым и сменяется изогнутой формой равновесия. Для исследования устойчивости плоского напряженного состояния применим бифуркационный метод.

В разд. 3.3.1 рассматривается осесимметричная неустойчивость пластинки. Плоское состояние описывается следующей краевой задачи для функции

т-

с/г2 г с1г

+

= ЕИр,

с!г г с!г __ = 0, Г'(а) = -асг0.

Решение этой краевой задачи имеет вид

(35)

Тензор мембранных усилий в докритическом состоянии представляется следующим образом

Т = <тгегег + + тГ1р (е^, + ере,),

1 (37)

аг=-Г, а9=Г, т = 0. г

Из (25), (26), (36), (37) следует линеаризованное уравнение равновесия пластинки

ЛДАЖ-1г(Т-УУЖ) = 0. (38)

Уравнение (38) вместе с граничными условиями шарнирного опирания или жесткого защемления края пластинки образует линейную однородную краевую задачу, которая всегда имеет тривиальное решение IV = 0. Исследование устойчивости плоского состояния пластинки заключается в отыскании критических значений нагрузки сг0, при которых указанная однородная задача имеет нетривиальное решение. Для численного решения задачи устойчивости применяется конечно-разностный метод.

Рис. 3. Зависимость критического значения сто от плотности дисклинаций.

На рис. 3 приведена зависимость критических значений бокового давления от плотности дисклинаций ц для защемленной и шарнирно опертой пластинок. Критическое значение пластинки уменьшается с увеличением плотности дисклинаций независимо от знака дисклинаций.

В разд. 3.3.2. исследована неосесимметричная неустойчивость пластинки. Решение для функции прогиба представляем следующим образом

¡У(г,<р) = -м>(г)со5(т<р), т = 0,1,2... (39)

Уравнение равновесия (38) в силу (39) принимает вид

й{\ + 2тг)

'£»(1 + 2 т2)

.Ег.

г

IV +

£>(/и4-4>И2)

(40)

и>=0.

Для того чтобы найти граничные условия в центре пластинки, сначала разложим функцию п(г) в ряд Тейлора в точке г = 0, а затем подставим это выражение в (40) и устремим г к нулю. Получим: т = 0, м/(0) = 0, м/"(0) = 0,

т = 1, и>(0) = 0, 1/(0) = 0, (41)

т = 2, 1^(0) = 0, и/(0) = 0.

Аналогично случаю осесимметричной неустойчивости пластинки, решая краевую задачу (40) с граничными условиями, получены критические значения при различных значениях т. На рис. 4 изображены зависимости критического давления <т0 от плотности дисклинаций для защемленной пластинки.

Рис. 4. Зависимость критического значения бокового давления от плотности дисклинаций для защемленной пластинки.

Рис. 5. Критическое значение бокового давления пластинки со свободным краем при

Интересен случай потери устойчивости круглой пластинки со свободным краем. Решение такой краевой задачи при т = 2 проиллюстрировано на рис. 5. В этом случае критическое значение а0 увеличивается с увеличением постоянной плотности дисклинаций. Если боковое давление отсутствуют, то пластинка теряет устойчивость при отрицательной плотности дисклинаций.

В п. 3.4 исследовано закритическое поведение пластинки с дисклинация-ми. Предполагается, что пластинка содержит равномерно распределенные дис-клинации и свободна как от поперечной, так и боковой нагрузок. Если мера несовместности /и превышает критическое значение, то система дифференциальных уравнений (25), (26) имеет не только решение {V = 0, но и нетривиальное решение. Для исследования закритического поведения пластинки применим численный метод пристрелки, состоящий в отыскании нетривиальных решений нелинейной системы уравнений (25), (26). Рис. 6 изображает прогиб пластинки после потери устойчивости при И = 0.1.

На рис. 7 представлены компоненты усилий в изгибном состоянии и дано сравнение с усилиями плоского состояния. Переход пластинки из плоского состояния в изогнутую форму уменьшает величину внутренних напряжений.

Для тонкой пластинки с толщиной /г = 0.01 результаты приведены на рис. 8-9. Из рис. 9 видно, что для тонкой пластинки напряжения в плоском состоянии значительно больше, чем напряжения изгибного состояния.

{--Изгнбкое состояние.......... Плоское состояние | |--Изпхбнос состякие Плоское состояние [

Рис. 7. Сравнение изгибного состояния с плоского состояния защемленной пластинки.

Рис. 8. Закритическое поведение тонкой пластинки.

Рис. 9. Сравнение изгибного состояния с плоским состоянием тонкой защемленной пластинки.

На рис. 3.10 представлен прогиб опертой пластинки после потери устойчивости для различных толщин. Из рис. 10 видно, что при малой толщине пластинки результаты соответствуют точному решению для мембраны, полученному в работе, цитированной на стр. 10.

При достаточно большой плотности дисклинаций у тонкой пластинки существует несколько форм равновесия в закритической стадии. Эти решения изображены на рис. 11.

Рис. 10. Прогиб опертой пластинки с различ- Рис. 11. Прогиб тонкой опертой пластинки в ными толщинами при ¡л - 0.002. закритической стадии при ¡л = 0.1.

В п. 3.4 послекритическое поведение пластинки с распределенными дис-клинациями исследовано при помощи вариационного метода Ритца. Предположим, что поперечная нагрузка равна нулю, а на контуре пластинки действует равномерное давление с интенсивностью оь. В силу того, что вариационный принцип эквивалентен системе модифицированных уравнений Кармана (25) и (26), вместо того, чтобы решать эту систему, мы можем использовать метод Ритца для определения функции прогиба и функции напряжений Эри. Решение аппроксимируем следующим образом

Г = АГ0(г), Ж=ВЖ0(г), (42)

где функция /ч,(г) - решение краевой задачи (35), а функция Щ(г) - нетривиальное решение краевой задачи:

ди^ + = (43)

К(0) = 0, ГГ0"(0) = 0, Щ,(а) = 0, IV'(а) = 0. (44)

Вариационный принцип в случае отсутствия поперечной нагрузки имеет

вид

ЗЬ(\¥(г),Р{г)) = 5 ||(П + цРуа = 0,

(45)

1=]Ш ^^а—АВ2 ]](УГ0-е--е-УГ0)</<7+

2Е1т 12

Условия обращения в нуль производных функционала Ь по А и В дает систему уравнений относительно А и В. Эта система имеют две решения. Исключая случай В = 0 и подставляя Вф 0 в (42), получим прогиб пластинки после потери устойчивости. На рис. 12 показаны формы выпучивания пластинки при различных значениях плотности дисклинаций.

Защемленная пластинка

Ц= 0.314

-0.1

0.1

| Метод пристрелки-Метод Ритца |

Рис. 12. Осесимметричное послекритичсскос Рис'13' Осесимметричное послекритическое

поведение защемленной пластинки при от-

поведение защемленной пластинки.

сутствии внешних давлении.

При отсутствии внешних нагрузок, на рис. 13 приведено сравнение результатов метода Ритца с методом пристрелки. Они хорошо совпадают.

В п. 3.6 рассмотрена задача неосесимметричного изгиба пластинок с распределенными дисклинациями (отсутствуют внешние давления) после потери устойчивости. Для неосесимметричной задачи изгиба пластинки применим вариационный метод. Аппроксимируем решение следующим образом

= Вм>й{г)со$,т(р, «г = 0,1,2..., (46)

где щ(г) - решение уравнения

Бы,

о ' _ —+аг ' „I ..2 |"0

-¡-а. к:=о.

г\г

(47)

Функция напряжений Эри в этом случае задается так р{г,<р) = АРа{г,<р). где функция Ра(г,<р) получена из краевой задачи

[(АЖ0)2 = Екм,

Г0(а) = Ъ'(а) = 0.

Аналогично осесимметриному случаю, при помощи вариационного метода получены изгибные формы равновесия пластинки. На рис. 14 приведены формы выпучивания пластинки при различных значениях т с соответствующими значениями плотности дисклинаций.

(48)

(49)

т=1, ц=0.6282

ш --2, (1=1.258

ИШ^'"'

■щр

ШИШ

шшшшшшжш

Рис. 14. Неосесимметричные формы выпучивания защемленной пластинки.

ш=1. (Д-0.4633

Ш=2, Ц = -0 10? 1

Ш

Рис. 15. Неосесимметричные формы выпучивания пластинки со свободным краем.

Для пластинки со свободным краем, неосесимметричная форма равновесия представлена на рис. 15. При этом, при т = 2 найдено закритическое поведение пластинки при отрицательной плотности дисклинаций.

В главе 4 изучен осесимметричный изгиб нелинейно упругой кольцевой пластинки с распределенными и изолированной дисклинациями. Кольцевая пластинка имеет внешний радиус а и внутренний радиус Ь, содержащей в плоском состоянии непрерывно распределенные и изолированную дислинации. Уравнения равновесия и несовместности взяты из (25), (26).

В п. 4.1 сформулированы краевые условия для кольцевой пластинки. Граничные условия для прогиба и функции напряжений Эри на внешнем контуре взяты такие же, как в случае сплошной пластинки. Граничные условия на внутреннем контуре таковы

= 0, (50)

г=Ь

= -г• е• А + С, — А, (51)

дп |Г1

где Г] - внутренний контур кольцевой пластинки. Постоянные А и С заранее неизвестны, дополнительными уравнениями для их определения служат интегральные соотношения

Ь, = с|(£ + е-г®у)-£/г, у/1=(^ч-(к. (52)

Г, г,

Тензоры у и е выражаются через функцию прогиба и функцию напряжений Эри.

В силу того, что функция Е не зависит от <р, то вектор А в (51) равен нулю. Тогда граничные условия (51) переписывается так

F(¿>) = C, Г(А) = 0. (53)

Рассмотрим случай, когда изолированный дефект является клиновой дис-кяинацией с заданным углом Франка щ. Тогда Ь1 = 0.

Подставляя у и е в интегральные соотношения (52), получим, что первое

уравнение удовлетворяется тождественно, а второе имеет вид

23

ГЧ-0"

=0,

ш" IV' г г

ЕИу/] 2 л

Соотношение (54) служит для определения неизвестной постоянной С в краевых условиях (53).

В п. 4.2 решена задача о влиянии дисклинаций на прогиб кольцевой пластинки, нагруженной равномерным поперечным давлением р. Прогибы кольцевой пластинки изображены на рис. 16 (внешний контур пластинки защемлен). Из рис. 16 видно, что распределенные и изолированная дисклинации увеличивает прогиб кольцевой пластинки независимо от знака дисклинации. Для расчета взято значение параметра Ь = 0.1.

р = 0.001

0.1 0.2 0,3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

■ ц=-а.2---0-1

■ 0.1 ■

■0.2

---0.2---0 1 ■

■ 0.1 '

■0.2

р = 0.001

0.1 0.2 0.3 0.4 05 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

Рис. 16. Влияние распределенных и изолированной дисклинаций на прогиб кольцевой пластинки.

В п. 4.3. изучена осесимметричная неустойчивость кольцевой пластинки, нагруженной по внешнему контуру боковым давлением оь. На рис. 17 изображена зависимость критического бокового давления от плотности распределенных дисклинаций /¿и от мощности щ изолированной дисклинации.

24

Рис. 17. Зависимость критических значений бокового давления от дисклинаций (слева- внешний контур пластинки защемленный; справа-опертый).

В п. 4.4. исследовано закритическое поведение кольцевой пластинки с дисклинациями. Рассмотрена кольцевая пластинка, содержащая в плоском состоянии распределенные и изолированную дисклинации, и свободная от внешних нагрузок. Если плотность распределенных клиновых дисклинаций и угол Франка щ превышают критические значения, найденные в п. 4.3, то уравнения Кармана имеют не только тривиальное решение № = 0, но и нетривиальное решение. На рис. 18. изображается прогиб пластинки (внешний контур защемлен) в закритической стадии.

Рис. 18. Изгибные формы кольцевой пластинки в закритической стадии (внешний контур

пластинки защемлен).

Для тонкой кольцевой пластинки с толщиной к = 0.01 при достаточно большой мощности распределенных и изолированной дислинаций получено несколько форм равновесия пластинки в закрической стадии. Эти формы изображены на рис. 19.

0.02- .----— ---г

-0.02 ■ -0.04-0.06 ■ ' о!з - - '" >* ' -йй^тй вя 1

-0.08-0.10 - / ^=0.1,^ = 0

-0.12-

-0.14-

- Первое решение Четвертое .....Второе---Третье -Пятое

^=0,1^ = 0.01 л

' 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 Второе---Третье |

- Первое решение •

Рис. 19. Прогибы тонкой защемленной пластинки в закритической стадии.

РЕЗУЛЬТАТЫ, ВЫНОСИМЫЕ НА ЗАЩИТУ

1. Сформулирован вариационный принцип равновесия нелинейно упругой многосвязной пластинки, содержащей изолированные дислокации и дис-клинации. Путем предельного перехода от дискретного набора изолированных дефектов к их непрерывному распределению в функционале энергии выведены модифицированные уравнения Кармана сильного изгиба пластинки с непрерывно распределенными дислокациями и дисклинациями.

2. Путем численного решения нелинейных модифицированных уравнений Кармана исследовано влияние распределенных дисклинаций или источников тепла на прогибы и напряженное состояние круглой гибкой пластинки, нагруженной поперечным давлением. Выявлен нелинейный эффект увеличения прогиба из-за наличия дисклинаций.

3. Решены задачи устойчивости и послекритического поведения круглой пластинки, содержащей непрерывно распределенные дисклинации и нагруженной контурным давлением, действующим в плоскости пластинки. Найдены осе-симметричные закритические формы изгиба пластинки, обусловленные дисклинациями и существующие при отсутствии внешних нагрузок. Установлено, что переход пластинки из плоского состояния в изогнутую форму уменьшает величину внутренних напряжений.

4. Вариационным методом Ритца найдена неосесимметричная форма равновесия гибкой круглой пластинки, обусловленная равномерно распределенными дисклинациями.

5. В случае кольцевой формы плиты исследовано влияние как непрерывно распределенных, так и изолированной дисклинаций на изгиб, устойчивость и послекритическое поведение пластинки.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Фал 1 Т. X. Большие прогибы круглой пластинки с распределенными дис-клинациями // Труды XIII Международной конференции «Современные проблемы механики сплошной среды». Ростов-на-Дону. Изд-во ЮФУ. 2009. Т. 1.С. 209-212.

2. Фам Т. X. Осесимметричный изгиб нелинейно упругой кольцевой пластинки с распределенными дисклинациями // Труды XIV Международной конференции «Современные проблемы механики сплошной среды». Ростов-на-Дону. Изд-во ЮФУ. 2010. Т. 2. С. 299-303.

3. Зубов JI. М. Фам Т. X. Сильный изгиб круглой пластинки с непрерывно распределенными дисклинациями // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2010. №4. С. 28-33.

4. Зубов Л. И., Фам Т. X. Осесимметричный изгиб нелинейно упругой кольцевой пластинки с распределенными дисклинациями // Экологический вестник научных центров ЧЭС. 2010. №4. С. 36-43.

Подписало в печать 20.05.20! 1 г. Формат 60x84 У]6. Ус ; печ. д 1,0 Уч. -изд. л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ № 1764, Типография Южного федерального университета 344090, г. Ростов-на-Дону, пр. Стачки, 200/1, тел (863)247-80-51.

Введение.

Глава 1. Модифицированные уравнения Кармана.

1.1. Уравнение несовместности для плоского линейного тензора деформации.

1.2. Уравнения равновесия и несовместности для гибких пластинок.

Глава 2. Равновесие многосвязной пластинки с дислокациями Вольтерры.

2.1. Постановка задачи о равновесии гибкой многосвязной пластинки с изолированными дефектами.

2.2. Вариационная постановка задачи о деформации многосвязной пластинки.

2.3. Вариационный метод перехода от дискретного набора дислокаций и дисклинаций к их непрерывному распределению.

Глава 3. Сильный изгиб круглой пластинки с распределенными дисклинациями и поперечной нагрузкой.

3.1. Численный метод решения краевой задачи изгиба пластинки.

3.2. Влияние дисклинаций на прогиб круглой пластинки, нагруженной равномерным давлением.

3.3. Устойчивость плоского напряженного состояния пластинки с распределенными дисклинациями.

3.3.1. Осесимметричная неустойчивость пластинки.

3.3.2. Неосесимметричная неустойчивость пластинки.

3.4. Закритическое поведение пластинки с внутренними напряжениями.

3.5. Послекритическое поведение при осесимметричном выпучивании упругой пластинки с распределенными дисклинациями.

3.6. Неосесимметричное послекритическое поведение пластинки с распределенными дисклинациями.

Глава 4. Осесимметричный изгиб нелинейно упругой кольцевой пластинки с распределенными дисклинациями.

4.1. Граничные условия.

4.2. Влияние дисклинаций на прогиб кольцевой пластинки, нагруженной равномерным поперечным давлением.

4.3. Устойчивость плоского напряженного состояния кольцевой пластинки с дисклинациями.

4.4. Закритическое поведение кольцевой пластинки с внутренними напряжениями.

В рамках линейной теории упругости математическая теория дислокаций и дисклинаций возникла в работах В. Вольтерры [131], Г. Вейнгартена [141], А. Лява [64] и К. Сомильяны в начале 20-го столетия.

Развитие и становление линейной теории изолированных (дискретных) и непрерывно распределенных дислокаций, т.е. чисто трансляционных дефектов связано с именами Дж. Эшелби [83, 98, 99, 100], Э. Кренера [58], А. Зеегера [23, 24], Р. Де Вита [19], В. Л. Инденбома и А. Н. Орлова [46], А. М. Косевича [53, 54], Дж. Хирта и Л. Лоте [80], А. Коттрела [55, 56], Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшица [60], А. А. Вакуленко [5], А. А. Вакуленко и И. Ю. Ка-дашевич [6] и др.

Нелинейная теория непрерывно распределенных дислокаций, основанная на представлениях дифференциальной геометрии, была развита Б. Билби [86, 87], К. Кондо [113], Э. Кренером [58], И. А. Куниным [59], В. Л. Берди-чевским и Л. И. Седовым [2] др.

Начиная с 1970-х годов большое распространение получили экспериментальные и теоретические исследования в области ротационных дефектов, названных дисклинациями. Если говорить об изолированном дефекте, то дисклинация — частный случай дислокации Вольтерры, которая, вообще говоря, состоит из трансляционной дислокации и дисклинации и описывается двумя векторными параметрами — вектором Бюргерса и вектором Франка.

Теория дисклинаций разрабатывалась А. Е. Романовым [123], В. И. Владимировым и А. Е. Романовым [8], А. Л. Колесниковой и А. Е. Романовым [50, 124], Р. Де Витом [19], В. А. Лихачевым [61, 62], Д. В. Колесниковым и В. А. Осиповым [49], М. Ю. Гуткиным и И. А. Овидько [15, 16, 17, 18] и др. Нелинейная калибровочная теория дислокаций и дисклинаций развита Д. Эделеным [96, 97], А. Кадич и Д. Эделеным [47] и др.

Современное состояние теории дислокаций и дисклинаций отражено в монографиях К. Теодосиу [75], В. И. Владимирова и А. Е. Романова [8], В. Е. Панина, В. А. Лихачева и Ю. В. Гриняева [71], А. Кадич и Д. Эделена [47],

Б. в. В. Ес1е1еп и Б. Lagoudas [97], М. Ю. Гуткина и И. А. Овидько [16, 17], в обзорной статье А. Е. Романова [123].

Нелинейная теория изолированных дислокаций и дисклинаций развита Л. М. Зубовым, М. И. Карякиным и др.

В современной континуальной теории дислокаций и дисклинаций недостаточно разработан случай двумерных систем, который имеет свои особенности. В частности, в силу того, что дефекты распределены не по объему, а по двумерному многообразию — поверхности, плотности дислокаций и дисклинаций в пластинках и оболочках являются векторными величинами, а не тензорами второго ранга, как в трехмерном случае. Кроме того, в двумерных системах плотности дислокаций и дисклинаций не обязаны удовлетворять никаким дифференциальным уравнениям, в то время как в трехмерном теле, например, тензор плотности дислокаций должен быть соленоидальным.

В работах [32, 33] введено понятие изолированного дефекта - дислокации Вольтерры в нелинейно упругой среде. Получено обобщение известной теоремы Вейнгартена на случай конечных деформаций. Показано, что векторы Бюргерса и Франка изолированного дефекта выражаются через поле тензора конечных деформаций при помощи не обычного, а мультипликативного криволинейного интеграла. В [26, 33] впервые найдены в строгой нелинейной постановке точные решения сингулярных задач о клиновой дисклинации и винтовой дислокации в бесконечной среде. Эти решения показывают, что точный учет нелинейности качественно меняет характер сингулярности напряжений на оси дислокации и дисклинации по сравнению с линейной теорией упругости. В частности, установлено, что для широкого класса нелинейно упругих материалов энергия винтовой дислокации оказывается конечной, в то время как в линейной теории упругости она бесконечна. В работе [37] изучены дислокации Вольтерры в плоской нелинейной теории упругости. В плоской задаче удалось избежать использования мультипликативных интегралов и записать выражения векторов Бюргерса и Франка через обычные контурные интегралы. В статьях [25, 38, 45] на основе трехмерных линеаризованных уравнений предварительно напряженной среды исследовано влияние изолированных дислокаций и дисклинаций на распространение волн деформации и устойчивость равновесия упругого тела. В статье [21] решены сингулярные задачи нелинейной теории упругости об образовании цилиндрических полостей вокруг оси клиновой, дисклинации и винтовой дислокации. В работе [39] найдено точное решение задачи о краевой дислокации в нелинейно-упругой среде, которое удалось построить при помощи комплексных потенциалов нелинейной теории упругости для гармонического (полулинейного) материала. В [36] построена теория изолированных дислокаций и дисклинаций в упругих средах, обладающих моментными напряжениями и испытывающих большие деформации. Доказано существование дефектов типа дислокации Вольтерры в нелинейно упругом континууме Коссера. В «рамках моментной нелинейной теории упругости найдены точные решения задач о винтовой дислокации и клиновой дисклинации.

Описанные выше результаты по нелинейной теории изолированных дефектов подытожены в докладе [137] и подробно изложены в монографии [135].

Теория изолированных дислокаций в нелинейно упругих оболочках типа Лява и типа Коссера представлена в [28]. Здесь введено понятие дислокации Вольтерры в многосвязной оболочке, получены выражение векторов Бюргерса и Франка через поле тензоров метрических и изгибных деформаций. В [20] предложен способ перехода от дискретного набора дислокаций и дисклинаций к их непрерывному распределению в плоской задаче нелинейной теории. Дано дифференциально-геометрическое истолкование плоской среды с распределенными дефектами. Доказано, что риманова кривизна двумерного пространства метрической связности, моделирующего упругую среду с дефектами в случае плоской деформации, пропорциональна плотности клиновых дисклинаций. В работах [31, 43, 44, 136] представлены варианты линейных и нелинейных математических моделей упругих оболочек с непрерывно распределенными дислокациями и дисклинациями. Статья [14] посвящена линейной теории кручения призматических упругих стержней, содержащих винтовые дислокации, оси которых параллельны оси стержня. Рассмотрены как сосредоточенные (изолированные), так и непрерывно распределенные винтовые дислокации. Предложена модификация мембранной аналогия проблемы кручения, учитывающая присутствие дислокаций. Выведена эффективная формула для угла закручивания бруса, обусловленного заданным распределением дислокаций. Решен ряд задач о винтовых дислокациях в стержнях различных поперечных сечений. Нелинейное поведение призматических тел с винтовыми дислокациями, параллельными оси стержня, исследовано в [35]. В [27, 30, 110] результаты работ [20, 21] распространены на случай упругой среды с моментными напряжениями. В [48] найдено точное решение задачи об изгибе круглой мембраны, обусловленном клиновой дисклинацией, сосредоточенной в центре мембраны.

В [34] предложена модификация уравнений Кармана для гибких упругих пластинок, учитывающая наличие плоского поля дислокаций и дискли-наций, а также других источников собственных напряжений. В случае весьма тонкой пластинки (мембраны), свободной от внешних нагрузок, исследована задача об ее изгибе вследствие релаксации внутренних напряжений, обусловленных дефектами. Эта задача сведена к уравнению Монжа-Ампера. Найдено несколько точных решений о форме поверхности мембраны, содержащей распределенные дисклинации. Нелинейное влияние дислокаций и дисклина-ций на изгиб мембран и пластинок исследовалось также в работах [94, 127].

В работе [125] приводится анализ и корректировка некоторых известных решений, которые даёт калибровочная теория дефектов. Так, показано, что решения Кадич и Эделена [47] убывают экспоненциально вдали от источника, в то время как классические решения убывают как —. Утверждается, г что для краевой дислокации пока не существует приемлемого решения и в рамках калибровочной теории. М. Лазар в работе [114] получил некое решение, используя аппроксимацию функций напряжений. В рамках теории Кадич и Эделена задача о краевой дислокации вообще не имеет решения. Авторами [114] в рамках калибровочной-теории решена задача о взаимодействии двух винтовых дислокаций.

Вфаботе [124] представлено введение в теорию дисклинаций, а1 также обзор некоторых последних достижений в рамках дисклинационного подхода в физике и механике твёрдотельных структур.

В работе [50] даётся приложение теории дисклинаций к двумерным углеродным наноструктурам — фуллеренам. Отмечается; что уже в самом» начальном периоде развития дисклинационного подхода была рассмотрена возможность появления дисклинаций в двумерных кристаллах, что было инициировано наблюдениями особенностей структуры вирусов и биологических мембран. Появление в шестизвенном монослое пятизвенных колец соответствует введению положительных клиновых дисклинаций. Показывается, как напряжения и искажения вблизи локализованного пятизвенного кольца в плоском графитовом слое могут быть рассчитаны с использованием результатов теории дисклинаций. Из этих результатов следует, что введение дисклинаций в твердое тело приводит к чрезвычайно высокой плотности упругой энергии. В трёхмерном твердом теле упругая энергия может быть понижена только в результате введения дополнительных экранирующих дефектов, например, дисклинаций противоположного знака. В двумерном кристалле имеется дополнительная возможность снижения упругой энергии дисклинаций, связанная с потерей устойчивости деформированного тонкого слоя. В этом случае происходит выпучивание графитового слоя с образованием конической поверхности. Появление в шестизвенном монослое семизвенных колец соответствует введению отрицательных клиновых дисклинаций. Релаксация упругой энергии отрицательных дисклинаций происходит при этом путем преобразования плоского монослоя в седловидный.

Авторы [50] предполагают, что теоретически возможно введение более мощных положительных и отрицательных дисклинаций в графитовый монослой, а значит, появление соответственно четырех-, трех-, восьми- и девятизвенных колец. Отмечается, что многозвенные углеродные кольца часто рассматриваются при моделировании процессов зарождения фуллеренов.

Для всего семейства углеродных наноструктур (УНС) базовой структурой является графитовая плоскость (графен). Другие типы углеродных наноструктур, такие как фуллерены, открытые и закрытые нанотрубки, нанокону-сы и нанохорны, могут рассматриваться как модификация базовой структуры, полученная введением в неё топологических дефектов (дисклинаций) [49]. Однослойная углеродная наноструктура состоит из атомов углерода, каждый из которых соединен с тремя другими (таким образом, локально решётка УНС представляет из себя двумерную шестиугольную решётку); помимо шестиугольных колец УНС может содержать и другие, например, пятиугольные и семиугольные кольца; УНС имеет один атомный слой, которому можно сопоставить поверхность с определённой метрикой. Любая УНС может быть описана как искривлённая двумерная поверхность с топологическими дефектами — дисклинациями, соответствующими пятиугольникам и семиугольникам.

Авторы [49] отмечают, что калибровочная теория дисклинаций не может быть использована вблизи ядра дисклинации, хотя это ограничение для релаксирующей из-за изгиба двумерной поверхности, является, по-видимому, более слабым.

Углеродные наноконусы — это УНС, образованные введением в графитовую плоскость от одной до пяти близко расположенных положительных дисклинаций (пятиугольных колец). Такое число дисклинаций приводит к появлению структуры с почти конической геометрией, у которой положительная гауссова кривизна сосредоточена вблизи вершины, а при удалении от вершины она стремится к нулю. Изначально в работе [49] предполагается, что поверхность будет представлять собой одну из частей двухполо'стного гиперболоида. В случае пяти дисклинаций наноконусы имеют специальное название — нанохорны. Для нанохорнов реализуется геометрия гиперболоида.

Введение положительных дисклинаций приводит, к релаксации графитовой плоскости и появлению положительной кривизны. Однако помимо простых выпуклых структур могут существовать и структуры с отрицательной гауссовой кривизной; Такие структуры наблюдались впервые при синтезе одностеночных углеродных нанотрубок. Поверхность с отрицательными дисклинациями с хорошей точностью является однополостным гиперболоидом (в специальном случае чётного количества дисклинацищ расположенных симметрично).

Фуллеренами. называются УНС сферической или сфероидальной формы, содержащие на поверхности ровно 12 пятиугольников. Сферические фуллерены имеют икосаэдральную симметрию, тождественно преобразующую решётку фуллеренов в себя при повороте вокруг любого из двенадцати дефектов.

Нелинейная теория изгиба пластин разработана в работах А. Föppl [102], Th. Karman [108, 109], J. J. Vincent [130], S. Way [139], L. X. Gox [93], W. Z. Chien [90, 91, 92], S. Levy [118], К. О. Friedrichs и J. J: Stoker [103, 104] и др.

Уравнения равновесия нелинейной упругой пластинки впервые даны в работах [109]. После этого S. Way успешно применил эти уравнения для решения задачи об изгибе круглых пластин под действием равномерного давления методом степенных рядов. Дальше в работе [118] S. Levy получил решение задачи об изгибе опертой прямоугольной пластины при равномерной нагрузке по методу двойных тригонометрических рядов.

Нелинейная задача осесимметричного выпучивания пластины при радиальном сжатии, впервые сформулирована в [103] на основе системы уравнений Кармана. Решение задачи было найдено методом разложения в степенные ряды по независимой переменной.

Развитие и становление нелинейной теории изгиба пластин связано с именами А. С. Вольмира [9,10], К. Y. Yeh [133], Е. Bromberg [88], И. И. Во-ровича [11, 12], В. Н. Крачуна и Н. Ф. Морозова [57], Н. Ф. Морозова [65, 66,

67, 68], S. Way [139], С. П. Тимошенко, С. Войновского-Кригера [77], R. W. Dickey [95], Р. К, Sarker [126], В. P. Garfoot [105], П. А. Жилина [22], H. Ghien [89]; Jli M. Зубова [34] и других.

В книге [76] рассматриваются задачи о больших прогибов тонких пластин. Эти задачи решаются на основе теории Кармана разными методами.

В работе [51] решается задача' о больших прогибах равномерно нагруженной круглой пластины с жестко заделанными краями методом конечных разностей повышенной точности и методом коллокации.

В работе [13] рассматривается задача о больших прогибах круглой защемленной пластины при помощи применения метода наименьших квадратов. При этом предполагается, что изгиб является симметричным.

В работе [22] XI: А. Жилин исследовал осесимметричный изгиб круглой пластинки при больших перемещениях. Он построил асимптотическое решение краевой задачи для круглой защемленной пластинки под действием поперечного давления. Он показал, что задача разбивается на безмоментную и краевой эффект.

Современное состояние нелинейной теории пластин отражено в статьях: Ь. S. Ma, T. J. Wang [120], J. H. Не [106], Л. И. Шкутина [82], X. Z. Wang [138], Y. H. Su, S. M. Spearing [128, 129], M. D. Williams, B. Griffm, B; Homei-fer [140].

Задача о нелинейном осесимметричном изгибе функционально-градиентной пластинки при механических, тепловых и комбинированных температурно-механических воздействиях исследована в [120] на основе классической нелинейной теории пластин Кармана. Механические и температурные свойства функционально-градиентных материалов предполагаются непрерывно-меняющимися по толщине пластины. Авторы выводят определяющие уравнения задачи, а затем метод стрельбы используется для численного решения уравнений.

В работе [82] решается задача осесимметричного выпучивания ради-ально-сжатой пластины. Нелинейные краевые задачи осесимметричного выпучивания пластины сформулированы для систем шести обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, которая решена методом стрельбы с контролируемой точностью. Автор также нашел критические значения сжимающего усилия и формы меридиана пластины в выпученных состояниях.

Плоское напряженное состояние двумерных структур, имеющих форму тонких пластинок и содержащих распределенные дефекты и другие источники несовместных деформаций, может оказаться неустойчивым. Это приводит к необходимости исследовать изгибные формы равновесия пластинок, возникающие после потери устойчивости. Задачи устойчивости и закритического поведения упругих пластинок, содержащих в плоском состоянии распределенные дефекты, до настоящего времени не были исследованы. Кроме того, значительный интерес представляет влияние плоского поля внутренних напряжений, обусловленных дефектами, на прогиб пластинок под действием поперечной нагрузки. Это влияние можно выявить только на основе нелинейных уравнений.

Сказанным определяется актуальность темы диссертации, посвященной нелинейному изгибу упругих пластинок с дислокациями и дисклинация-ми.

Содержание работы изложено в четырех главах.

В первой главе формулируются модифицированные уравнения Кармана для упругой пластинки с распределенными дислокациями и дисклинация-ми.

В п. 1.1 дается вывод уравнения несовместности для плоского линейного тензора деформации. При наличии в плоском состоянии пластинки распределенных дислокаций и дисклинаций уравнения несовместности получены путем предельного перехода от дискретного набора дислокаций Вольтер-ры к непрерывному распределению дислокаций и дисклинаций.

В п. 1.2 выведена система дифференциальных уравнений для функции прогиба и функции напряжений Эри.

Во второй главе рассматривается равновесие многосвязной пластинки с дислокациями Вольтерры.

В п. 2.1 исследуется задача о равновесии многосвязной пластинки с изолированными дефектами. Получены интегральные соотношения для определения вектора Бюргерса и угла Франка дислокации Вольтерры через тензор линейных деформаций.

В п. 2.2 дана вариационная постановка задачи о деформации многосвязной пластинки. Из вариационного принципа минимума потенциальной энергии получены уравнения совместности и равновесия упругой пластинки с дислокациями и дисклинациями и интегральное соотношение для вектора Бюргерса и угла Франка.

В п. 2.3 представлен вариационный переход от дискретного набора дислокаций и дисклинаций к их непрерывному распределению.

Третья глава посвящена изгибу круглой упругой пластинки с распределенными дисклинациями. На основе уравнений Кармана, полученных в разд. 1.2 решаются задачи нелинейного изгиба круглой пластинки с различными видами нагружения.

В п. 3.1 описывается численный метод пристрелки для решения краевой задачи системы дифференциальных уравнений Кармана.

В п. 3.2 решается задача о сильном изгибе круглой пластинки с дисклинациями под действием поперечной нагрузки. Установлено, что прогиб пластинки увеличивается с увеличением плотности дисклинаций независимо от знака дисклинаций.

В п. 3.3 рассматривается задача об устойчивости пластинки, содержащей дисклинации под действием боковой нормальной нагрузки. Для исследования устойчивости плоского напряженного состояния применен статический бифуркационный метод. Задача состоит в отыскании критического значения бокового давления и также плотности дисклинаций, при которых пластинка потеряет устойчивость.

В п. 3.4 исследуется закритическое поведение пластинки с дисклина-циями. Поверхность пластинки свободна от напряжений. Если плотность дисклинаций превышает критическое значение, то кроме решения Ж = 0, имеется другое, в котором прогиб Ж отличен от нуля. При достаточно большой плотности дисклинаций найдено несколько форм равновесия пластинки, которые могут существовать в закритическом состоянии.

В п. 3.5, 3.6 задачи о закритическом поведении при осесимметричной и неосесимметричной пластинки решаются методом Ритца. Показано, что результаты, полученные методом Ритца, хорошо согласуются с результатами, полученными методом пристрелки в осесимметричной задаче.

Четвертая глава посвящена осесимметричному изгибу нелинейно упругой кольцевой пластинки. Кольцевая пластинка содержит не только распределенные дисклинации, но и изолированную дисклинацию с заданным углом Франка.

В п. 4.1 выведены граничные условия для кольцевой пластинки, учитывающие наличие изолированной дисклинации.

В п. 4.2 исследовано влияние дисклинаций на прогиб кольцевой пластинки, нагруженной равномерным поперечным давлением. Показано, что распределенные и изолированная дисклинации увеличивают прогиб пластинки.

В п. 4.3 решается задача об устойчивости кольцевой пластинки-с дис-клинациями бифуркационым методом. Критическое значение бокового давления уменьшается при увеличении плотности дисклинаций независимо от ее знака. Присутствие изолированной дисклинации также уменьшает критическое значение внешних нагрузок.

В п. 4.4 исследовано закритическое поведение кольцевой пластинки с внутренними напряжениями, обусловленными распределенными и изолированной дисклинациями. Аналогично случаю сплошной пластинки, для кольцевой пластинки при отсутствии внешних нагрузок найдены формы выпучивания в закритической стадии.

В заключении формулируются основные результаты, полученные в диссертационной работе.

Основные результаты диссертационной работе докладывались на XIII и XIV международных конференциях «Современные проблемы механики сплошной среды» (Ростов-на-Дону, 2009, 2010); а также на Всероссийской конференции «Фундаментальные и прикладные проблемы современной механики» (Томск, 2011).

Результаты диссертации опубликованы в 4 статьях, список которых приведен в конце автореферата. Из них статьи [3, 4] помещены в журналах из «Перечня ведущих рецензируемых научных журналов и изданий, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертации на соискание ученой степени доктора и кандидата наук», утвержденного ВАК РФ

По теме диссертации опубликованы статьи [41, 42, 78, 79]. Из них статьи [41, 42] помещены в журналах из «Перечня ведущих рецензируемых научных журналов и изданий, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертации на соискание ученой степени доктора и кандидата наук», утвержденного ВАК РФ.

В совместных работах научному руководителю Л. М. Зубову принадлежат постановки задач и рекомендации по выбору метода решения. Вывод разрешающих систем уравнений, разработка и реализация численных методов, численные результаты принадлежат автору диссертационной работы.

Основные результаты диссертационной работы

1. Сформулирован вариационный; принцип равновесия нелинейно упругой многосвязной пластинки, содержащей изолированные дислокации и дисклинации: Путем; предельного перехода от дискретного набора изолированных дефектов к их непрерывному распределению в: функционале энергии выведены модифицированные уравнения Кармана сильного изгиба пластинки с непрерывно распределенными дислокациями и дисклинациями;

2. Путем численного решения нелинейных модифицированных уравнений Кармана исследовано влияние распределенных дисклйнаций или источников тепла на прогибы и напряженное состояние круглой гибкой пластинки, нагруженной поперечным давлением. Выявлен нелинейный эффект увеличения прогиба из-за наличия дисклинаций.

3. Решены задачи устойчивости и послекритического поведения круглой пластинки, содержащей непрерывно распределенные дисклинации и нагруженной контурным давлением, действующим в плоскости пластинки. Найдены; осесимметричные закритические формы изгиба пластинки;, обусловленные дисклинациями и существующие при отсутствии внешних нагрузок. Установлено, что переход пластинки из плоского состояния в изогнутую форму уменьшает величину внутренних напряжений. .

4. Вариационным методом Ритца найдена неосесимметричная форма равновесия гибкой круглой пластинки, обусловленная равномерно распределенными дисклинациями.

5. В случае кольцевой формы плиты исследовано влияние как непрерывно распределенных, так и изолированной дисклинаций на изгиб,. устойчивость и послекритическое поведение пластинки.

Заключение

1. Аитова Ф. С. Большие прогибы гибких пластинок опертых на гибкие нерастяжимые ребра // Исслед. по теор. пластин и оболочек. Изд-во. Казанского ун-та. Казань. 1966. №4. С. 242-252.

2. Бердичевский В. Д Седов Л. И. Динамическая теория непрерывно распределенных дислокаций. Связь с теорией пластичности //ПММ. 1967. Т. 31. №6. С. 981-1000.

3. Бердичевский В. Л. Вариационные принципы механики сплошной среды. М.: Наука, 1983. 448с.

4. Бережкова Г. В. Нитевидные кристаллы. М.: Наука, 1969. 158с.

5. Вакуленко А. А. Связь микро- и макросвойств в упругопластнческих средах // Итоги науки и техники. Сер. Механика деформируемого твердого тела. М.: ВИНИТИ, 1991. Т. 22. С. 3-54.

6. Вакуленко А. А., Кадашевич И. Ю. Эффект Баушингера и аналогичные по микроприроде эффекты при деформации металлов // Изв. вузов. Се-веро-Кавказ. регион. Естеств. науки. 2000. Спецвыпуск «Нелинейные проблемы механики сплошных сред». С. 16—23.

7. Васидзу К. Вариационные методы в теории упругости и пластичности. М.: Мир, 1987. 542с.

8. Владимиров В. И., Романов А. Е. Дисклинации в кристаллах. JL: Наука, 1986.224с.

9. ВолъмирА. С. Гибкие пластины и оболочки. М.: Гостехиздат, 1956. 419с.

10. Волъмир A.C. Устойчивость деформируемых систем. М.: Наука, 1967. 984с.

11. Ворович И. И. О поведении круглой плиты после потери устойчивости // Учен. зап. Ростов, ун-та. 1955. Т. 32. Вып. 4. С. 55-60.

12. Ворович И. И. О поведении пластин произвольной формы после потери устойчивости. В кн.: Проблемы механики твердого деформированного тела. JL: Судостроение. 1970. С. 113-119.

13. Ганиев Н. С. Применение метода наименьших квадратов к нелинейной задаче изгиба круглой пластины постоянной и переменной толщины // Исслед. Теор. Пластин и оболочек. Изд-во Казанского ун-та. Казань. 1970. Вып. 6-7. С. 207-212.

14. Губа А. В., Зубов Л. М. О кручении призматических упругих тел, содержащих винтовые дислокации // ПММ. 2002. Т. 66. Вып. 2. С. 316-324.

15. Гуткин М. Ю., Овидъко И. А. Дефекты и механизмы пластичности в на-ноструктурных и некристаллических материалах. СПб.: «Янус», 2001. 180с.

16. Гуткин М. Ю., Овидько И. А. Зарождение дислокационных петель и пластическая деформация нанокристалличсских материалов // Изв. РАН. МТТ. 2007. №2. С. 123-136.

17. Гуткин М. Ю., Овидъко И. А. Физическая механика деформируемых наноструктур. Т. 1. Нанокристаллические материалы. СПб.: «Янус», 2003. 194с.

18. Гуткин М. Ю., Овидько И. А. Физическая механика деформируемых наноструктур. Т. 2. Нанослойные структуры. СПб.: «Янус». 2005. 352с.

19. Де Вит Р. Континуальная теория дисклинаций. М.: Мир, 1977. 208с.

20. Церезин С. В., Зубов Л. М. Уравнения нелинейно упругой среды с непрерывно распределенными дислокациями и дисклинациями //Доклады РАН. 1999. Т. 366. № 6. С. 762-765.

21. Еремеев В. А., Зубов Л. М., Карякин М. И., Чернега Н. Я. Образование полостей в нелинейно-упругих телах с дислокациями и дисклинациями // Доклады РАН. 1992. Т. 326. № 6. С. 968-971.

22. Жилин П. А. Осесимметричный изгиб гибкой круглой пластинки при больших перемещениях // Изв. АН СССР. МТТ. 1984. №3. С. 138-144.

23. Зеегер А. Некоторые нелинейные упругие эффекты вблизи дислокации // Дислокации и механические свойства кристаллов. М.: Изд-во ИЛ, 1960. С. 353-356.

24. Зубов Л. М. Континуальная» теория, дислокаций и дисклинаций в нелинейно упругих микрополярных средах // Изв. РАН. МТТ. 2011. № 3. С. 18-28. ' •■''.'■■ ■■ '

25. Зубов Л. М. Нелинейная, теория изолированных дислокаций и дисклинаций в упругих оболочках // Изв. АН СССР. МТТ. 1989;.№4. С. 139-145.

26. Зубов Л. М Нелинейная теория упругих оболочек с непрерывно распределенными дислокациями // Изв. РАН. МТТ. 2001. №2. С. 139-147.

27. Зубов Л. М. Непрерывно распределенные дислокации и дисклинации в нелинейно-упругих микрополярных средах // Доклады РАН. 2004. Т. 396: № Г. С.52—55:

28. Зубов Л. М. Непрерывно распределенные дислокации и дисклинации в упругих оболочках // Изв. РАН. МТТ. 1996. № 6.С. 102-110.

29. Зубов Л. М. О дислокациях Вольтерра в нелинейно упругих телах // Доклады АН СССР. 1986. Т. 287. № 3. С. 579-582.

30. Зубов Л. М. Теория дислокаций Вольтерра в нелинейно-упругих телах // Изв. АН СССР. МТТ. 1987. № 5. С. 140-147.

31. Зубов Л. М. Уравнения Кармана для упругой пластинки с дислокациями и дисклинациями//Доклады РАН; 2007. Т. 412. № 3. С. 343-346:

32. Зубов Л> М:, Корякин М: И Многозначные смещения и дислокации; Вольтерра в плоской нелинейной* теоришупругости.// ПМТФ. 1987. № 6. С. 146-152.

33. Зубов Л. Mi, Моисеенко С. И О влияниш винтовой дислокации на; распространение волн в упругом цилиндре //ПМТФ: 1984'. №2. С. 140-1441

34. Зубов Л. М., Фам Т. X Сильный, изгиб круглой пластинки с непрерывно распределенными дисклинациями. // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2010. №4. С. 28-33.

35. Зубов Л. М, Филиппова Л. М. Континуальная теория дислокаций в нелинейно-упругих мембранах // Современные проблемы механики сплошной среды. Труды 2-й международной конференции. Т. 2. Ростов-на-Дону. МП «Книга». 1996. С. 77-81.

36. Зубов Л. М, Чернега Н. Я. О влиянии винтовой дислокации на устойчивость упругого цилиндра // Фундаментальные и прикладные проблемы механики деформируемых сред и конструкций. Н. Новгород. Изд-во. унта. 1995. Вып. 2. С. 178-186.

37. Инденбом В. Л., Орлов А: Н. Физическая теория пластичности'и прочности // УФН: 1962. Т. 26. С. 559-591'.

38. Кадич А., Эделен Д. Калибровочная теория дислокаций и дисклинаций. М.": Мир, 1987. 168с.

39. Корякин М. И. Равновесие и устойчивость круговой» пластинки, с клиновой дисклинацией»// ПМТФ: 1992. № 3. С. 157-163.

40. Колесников Д. В:, Осипов В! А. Теоретико-полевой подход к описанию электронных свойств углеродных наноструктур // Физика элементарных частиц и атомного ядра. Т. 40. Вып. 4. 2009. С. 967-1011.

41. Колесникова А. Л., Романов А. Е. О дисклинационном подходе при; описании структуры фуллеренов // ФТТ. 1998. Т. 40. № 6. С. 1178 -1180:

42. Корнишин М. С. Нелинейные задачи теории пластин и пологих оболочек и методы их решения. М1: Наука, 1964. 192с.

43. Корнишин М. С., Столяров Н. Н., Дедов Н. И: Большие прогибы прямоугольных в плане пластин и пологих оболочек из нелинейно упругого материала// Исслед. по теор. пластин и оболочек. Изд-во Казанского унта. Казань. Вып. 9. 1972. С. 157-168.

44. Косевич А. М. Дислокации в теории упругости. Киев: Наукова думка, 1978.219с.

45. Косевич А. М., Токий В. В., Стрельцов 3. А. Дислокации и точечные дефекты в гидростатически сжатом кристалле // Физ. металлов* и металловед. 1978. Т. 45. №16. С. 1135-1144.

46. Коттрел А. X. Дислокации и-пластическое течение в кристаллах. М.: Металлургиздат, 1958. 268с.

47. Коттрел А. X. Теория дислокаций. М.: Мир, 1969. 96с.

48. Крачун В. Н., Морозов Н. Ф. О неустойчивости симметричного решения круглой симметрично загруженной пластины, свободной от усилий на контуре // Изв. вузов. Матем. 1967. №11. С. 31-34.

49. Кренер Э. Общая континуальная теория дислокаций и собственных напряжений. М.: Мир, 1965. 103 с.

50. КуниыИ. А. Теория упругих сред с микроструктурой. М.: Наука, 1975.i416с.

51. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика: в 10-ти т. Т. VII. Теория упругости. М.: Наука, 1987. 248с.

52. Лихачев В. А:, Волков- А. Е., Шудегов В. Е. Континуальная.теория* дефектов. Л.: Изд-во.ЛГУ, 1986. 232с.

53. Лихачев В. А., Хайров Р. Ю. Введение втеорию дисклинаций. JI.: Изд-во. ЛГУ, 1975. 183с.

54. Лурье А. И. Теория упругости. М.: Наука, 1970. 939с.

55. ЛявА. Математическая теория упругости: М.,Л.: ОНТИ, 1935. 647с.

56. Морозов Н. Ф. Исследование круглой симметрично сжимаемой-пластинки при большой краевой нагрузке // Изв.- вузов. Матем. 1963. № 3; С. 9598.

57. Морозов Н. Ф. К вопросу о существовании несимметричного решения в. задаче о больших прогибах круглой пластинки, загруженной симметричной нагрузкой //Изв. вузов. Матем. 1961. №2. С. 126-129

58. Морозов Н.Ф. К нелинейной теории тонких пластин // ДАН СССР. 1957. Т. 114. №5. С. 968-971.

59. Морозов Н. Ф. О приближениях Галеркина к решению нелинейной задачи о равновесии круглой симметрично загруженной пластины // Изв. вузов. Матем. 1967. №6. С. 97-100.

60. Нехотяев В. В., Рожков А. Н. Большие прогибы круглой пластины с отверстием // Исслед. по теор. пластин и оболочек, 15, Изд-во Казанского ун-та. Казань. 1980. С. 162-166.

61. Нехотяев В. В., Саченков А. В. Большие прогибы тонких упругих пластин // Исследования по теории пластин и оболочек. Изд-во Казанск. унта. Казань. 1972. С. 42-76.

62. Панин В. Е.} Лихачев В. А., Гриняев Ю. В. Структурные уровни деформации твердых тел. Новосибирск.: Наука, 1985. 230с.

63. Панов Ю. В., Феодосъев В. И. О равновесии и потере устойчивости пологих оболочек при больших прогибах // ПММ. 1948. Т. 7. №4. С. 389406.

64. Седов Л. И. Механика сплошной среды: в 2-х т. Т. 1. М.: Наука, 1983. 528с.

65. Съярле Ф., Рабье П. Уравнения Кармана. М.: Мир, 1983. 172с.

66. Теодосиу К. Упругие модели дефектов в кристаллах. М.: Мир, 1985. 352с.

67. Теория гибких пластинок. Перевод с китайского под редакцией Вольми-ра А. С. М.: Наука, 1956. 207с.

68. Тимошенко С. П., Войновский-Кригер С. Пластины и оболочки. М.: Наука, 1966. 636с.

69. Фам Т. X. Большие прогибы круглой пластинки с распределенными дис-клинациями // Труды XIII Международной конференции «Современные проблемы механики сплошной среды». Ростов-на-Дону. Изд-во ЮФУ. 2009. Т. 1. С. 209-212.

70. Фам Т. X. Осесимметричный изгиб нелинейно упругой кольцевой пластинки с распределенными дисклинациями II Труды XIV Международной конференции «Современные проблемы механики сплошной среды». Ростов-на-Дону. Изд-во ЮФУ. 2010. Т. 2. С. 299-303.

71. ХиртДж., Лоте Л. Теория дислокаций. М.: Атомиздат, 1972. —600с.

72. Черевацкий А. С., Мухамбетжанов С. Г. Выхлоп тонкой круговой пластины как элемента диска с начальной неправильностью формы // Проблемы прочности. 1987. №2. С. 29-32.

73. Шкутин Л. И\ Численный анализ осесимметричных форм выпучивания пластин при радиальном сжатии // ПМТФ. 2004. Т. 45. № 1. С. 107-114.

74. ЭшелбиДж. Континуальная теория дислокаций. М.: ИЛ; 1963. 247с.

75. Banerjee В. Large deflection of a semicircular plate under a uniform load // Bull. Acad. Polon. Sei. Ser. Scitech. 1967. V. 15, N. 3.

76. Banerjee M. M., Sarker P. K., Kapoor P. On the non-linear vibration of circular plates of variable tHickness elastically restrained along the edges // J. Sound. Vib., 1976. V. 74. Issue 4. P. 589-596.

77. Bilby B., Bullough'R. Continuous distributions of dislocations III // Proc. Roy. Soc. London. 1956. A236. P. 481-505.

78. Bilby B., Bullough R., Smith E. Continuous distributions of dislocations: a new application of the methods of non-Riemanian geometry // Proc. Roy. Soc. London. 1955. A231 P. 264-273.

79. Bromberg E. Non-linear bending of a circular plate under normal pressure // Comm. Pure. Appl. Math. 1956. V. 9. P. 633-659.

80. Chien H. Large deflection of circular plate under compound load // Appl. Math. Mech. (English edition). 1983. V. 4. N. 5. P. 791-804.

81. Chien W. Z. Large deflection of a circular clamped plate under uniform pressure // Chinese Journal of Physics. 1947. V. 7. P. 102-113.

82. Chien W. Z, Chen S. L. The solution of large deflection problem of thin circular plate by the method of composite expansion // Appl. Math. Mech. 1985. V. 6, N. l.P. 25-49.

83. Chien W.Z., Yeh K.Y. On the large deflection of a circular plate // Acta Scien-tia Sinica. 1954. Vol. 2. P. 405^136.

84. Cox H. L. Buckling of thin plates in compression. // ARC R&M. 1934. N. 1554.

85. Dervaux J., Ciarletta P., Ben Amar M. Morphogenesis of thin hyperelastic plates: A constitutive theory of biological growth in the Fôppl-von Karman limit. J. Mech. Phys. 2009. Sol. 57. P. 458-471.

86. Dickey R. W. Nonlinear bending of circular plates 11 SIAM J. Appl. Math. 1976. V. 30. N. l.P. 1-9.

87. Edelen D. G. B. A correct, globally defined solution of a screw dislocation problem in the gauge theory of defects // Int. J. En. Sci. 1996. V. 34. P. 8186.

88. Edelen D. G. B., Lagoudas D. C. Gauge theory and defects in solids. Amsterdam. North-Holland. 1988.

89. Eshelby J. D. Boundary problems // Dislocations in Solids. Amsterdam e.a. 1979. V. 1. P. 223-342.

90. Eshelby J. D. The force on an elastic singularity // Phil. Trans. Royal. Soc. London. 1951. A244. P. 87-112.

91. Eshelby J. D. The elastic energy-momentum tensor // J. Elasticity. 1975. V. 5. №4. P. 321-335.

92. Fife P. Nonlinear deflection of thin elastic plates under tension // Comm. Pure. Appl. Math. 1961. V. 14. P. 81-112.

93. Fóppl A. Vorlesungen über technische Mechanik. 1907. Bd. 5. S. 132-144.

94. Friedrichs K. O., Stoker J. J. Buckling of the circular plate beyond the critical thrust // J. Appl. Mech. 1942. V. 9. P. A7-A14.

95. Friedrichs K. O., Stoker J. J. The non-linear boundary value problem of the buckled plate // American Journal of Mathematics. 1941. V. 63. P. 839-888.

96. Garfoot B. P. Nonlinear symmetric bending of circular elastic plates // Journal of the Australian Mathematical Society (Series A). 1975. V. 19. P. 481-504.

97. He. J. H. A Lagrangian for von Karman equations of large deflection problem of thin circular plate // Applied Mathematics and Computation. 2003. V. 143. P. 543-549.

98. Juillard J., Colinet E. Modelling of nonlinear circular plates using modal analysis: simulation and model validation // J. Micromech. Microeng. 2006. V. 16. P. 448-456.

99. Karman Th. Festigkeitsprobleme im Maschinenbau. // Encyclopaedie der Mathematischen Wissenschañen. 1910. V. 4. N. 349. S. 314-385.

100. Karman Th., Sechler E. E., Donnell L. H. The strength of thin plates in compression// Trans. A.S.M.E. 1932. V. 54. P. 53-57.

101. Karyakin M. I., Zubov L. M. Theory of isolated and continuosly distributed disclinations and dislocations in micropolar media. In: H. Altenbach, G. A.

102. Lazar M. A nonsingular solution of the edge dislocation in the gauge theory of dislocations; // JlPhysiA: Math; Gen; 2003;'V. 36?.P: M15-W37C/

103. Bazan M:, McmgimG: A Defects im gradient micropolar* elasticity — I:rscrew dislocation!// J* Mech. Phys. Soil 2004; V;.52r P. 2263-2284;

104. EazmMI, MaugimG'i A, Aifantis E. G. Dislocations in^ second^strainigradient elasticity // Inti Ji Solids. Struct. 2006;.V. 43; PI 1787—1817

105. Liu R: Nonlinear bending ofcircular sandwich plate 11 J. Appl. Math. Mech. (English Edition). 1981. V. 2. N. 2. P: 173-190.

106. Ma L. S., Wang T. J. Nonlinear bending and post-buckling of a functionally graded circular plate under mechanical and thermal loadings // Int. J. Solids Struct. 2003. V. 40. P. 3311-3330.

107. Mihagawa Si Elastic fields of dislocations: and disclinations in am isotropic micropolar continuum // Appl. Eng. Sci. Lett. 1977. 5. P. 85-94.

108. Su Y. H, Chen K. S., Roberts D. C., Spearing S. M. Large deflection analysis of a pre stressed annular plate with a rigid boss ,under J. Micromech. Microeng. 2001. V. 11. P. 645-653.

109. Su Y. H, Spearing Si M. Nonlinear buckling of micro fabricated thin annular plates // Thin-Walled Structures. 2003. V. 42. N. 11. P. 1543-1565.

110. Vincent J. J. The bending of a thin circular plate // Phil. Mag. 1931. V. 12. P. 185-196.

111. Volterra V. Sur l'equilibre des corps e'lastiques multiplement connexes // Ann. de 1 'Ecole Norm. Sup: Ser. 1907. 3. V. 24. N.3.P. 401-517.

112. Yeo Mill., Lee W. K. Corrected solvability conditions for non-linear asymmetric vibrations ofa circular plate III. Sound. Vib: 2002. V. 257. P. 653-665.

113. Zubov L. M. Nonlinear theory of dislocations and disclinations in elastic bodies II Berlin, Heidelberg, New-York et al. Springer-Verlag. 1997. 205p.

114. Zubov L. M. Nonlinear theory of isolated and continuously distributed dislocations in elastic shells I I Archives of Civil Engineering. 1999. XLV. N. 2. P. 385-396.

115. Wang X. Z., Zhao Y. G., Ju X, et al. Unsymmetrical nonlinear bending problem of circular thin plate with variable thickness. // J. Appl. Math. Mech. (English Edition). 2005. V. 26. N. 4. P. 423^130.

116. Way S. Bending of circular plates with large deflection // ASME J. Appl. Mech. 1934. V. 56. P. 627-636.

117. Williams M. D., Griffin B., Homeijer B., Sankar B. V., Sheplak M. The nonlinear behavior of a post-buckled circular plate. Sensors. 2007. 6th IEEE Conference. P. 349-352.

118. Weingarten G. Sulle superficic di discontinuita nella teoria della elasticila dei corpi solidi // Atti Accad. Naz. Lincei. Rend., CI. Sci. fis., mat., natur. 1901. T. 5. P. 57-60.j