Некоторые вопросы теории дифференциальных уравнений в исследовании передаточных линий тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Сборец Юлия Николаевна

НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ТЕОРИИ ДИФФЕРНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ИССЛЕДОВАНИИ ПЕРЕДАТОЧНЫХ ЛИНИЙ

01.01.02 - дифференциальные уравнения

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

ВОРОНЕЖ-2004

Работа выполнена на кафедре математического анализа Воронежского государственного университета.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор

Каменский Михаил Игоревич, Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор

Садовский Борис Николаевич, доктор физико-математических наук, профессор

Булгаков Александр Иванович Ведущая организация: Саратовский государственный

Университет

Защита состоится 28 сентября 2004 года в 15.40 на заседании диссертационного совета К212.038.05 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук в Воронежском государственном университете по адресу: 394006 г. Воронеж, Университетская пл., 1, ВГУ, математический университет.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Воронежского государственного университета.

Автореферат разослан августа 2004 года.

Ученый секретарь диссертационного совета

Гликлих Ю.Е.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Математические модели распространения сигнала в передаточных линиях и возникновения в них вынужденных колебаний изучались различными авторами (S.S.Ceron, O.Lopes, J.K. Hale, М.И.Каменский). При этом передаточные линии имеют как правило вид, определенный схемами, представленными на рисунках 1 и 2.

Рис. 1: Случай 1.

Рис. 2: Случай 2.

Здесь входным сигналом является напряжение Е(р. Естественно считать, что входной сигнал "зашумлен". В качестве математической модели шума при изучении обыкновенных стохастических уравнений М.А.Красносельский и А.В.Покровский предложили рассматривать функции, у которых вторая вариация относительно некоторой фиксированной последовательности разбиений равна константе. Такая модель позволяла

заметить "стохастические" эффекты, используя м

ходы детерминистского РОС. НАЦИОНАЛЬНА* Г БИБЛИОТЕКА i

Q9 Jfcff/j

3

анализа. Наиболее простой вид последовательности функций с постоянной второй вариацией дает последовательность

1 . г Гвшгг.

(1.1)

п п*

рассматриваемая на отрезке [0,7г] с разбиением О = {Л„}, задаваемыми точками Л„ = {^г : г = 1,2,..., 2п2}. Вторая вариация при этом равняется 2. Естественным поэтому является вопрос, приводятся ли такого типа возмущения входного сигнала Е в моделях схем 1 и 2 к эффектам, отмеченным М.А.Красносельским и А.В.Покровским. В диссертации рассматривались сигналы вида

в начальной задаче и

Е(Ь) = ЕЦ) + ееЩЕ1)

Е{Г) = т + ее(*/е2)

(1.2)

(1.3)

в задаче о вынужденных колебаниях, где е - периодическая функция и амплитуда периодического "шума" обратно пропорциональна корню квадратному из частоты. Последовательность (1.1) является частным случаем такого шума. После стандартного сведения указанных задач к дифференциальным уравнениям в банаховом пространстве эти уравнения имеют вид

и' = -е2Аи + еВ(т)е0 + е2/(т, е2т, и)

(1.4)

для начальной задачи и

и' = -£2Аи + еВ{т)ео + е2/(г, и)

(1.5)

для задачи о периодическом решении.

Эти решения не могут быть проанализированы стандартным методом принципа усреднения Н.Н.Боголюбова-Н.М.Крылова, т.к. в этих работах уравнение имеет вид

Поэтому актуальной является задача разработки методов исследования уравнений (1.4), (1.5) для ответа на вопрос о влиянии описанного выше шума на поведение ее решений.

Цель работы. Получить условия, при выполнении которых гарантируется близость решений уравнения (1.4) для задачи Коши к решениям усредненного уравнения. Также получить условия, при выполнении которых, существуют решения уравнения (1.5) в задаче о вынужденных колебаниях и эти решения устойчивы.

Методика исследования. Использовались методы исследования, основанные на теории топологического индекса, на теории вращения уплотняющих векторных полей, методы функционального анализа, спектральной теории операторов в банаховом пространстве.

Научная новизна. Основные результаты работы являются новыми. В числе их отметим следующие: если среднее быстро осциллирующего слагаемого равно нулю, то, несмотря на разницу порядков малого параметра перед быстро осциллирующими членами, в начальной задаче на конечном отрезке и в задаче о вынужденных периодических колебаниях этой составляющей можно пренебречь. При этом близость решений в задаче Коши гарантируется на промежутке порядка частоты.

Практическая и теоретическая значимость. Основные результаты носят

теоретический характер. Результаты могут быть применены при исследовании передаточных линий.

Апробация работы и публикации. Основные результаты опубликованы в работах [1] - [5] и являются новыми. Из совместной работы [1] в диссертационную работу вошли только принадлежащие автору результаты. Они докладывались на Воронежских весенних математических школах в 2000, 2002, 2004 годах, на семинаре проф. Покорного Ю.В. при Воронежском гос.университете в 2003 году, на семинаре проф. Садовского Б.Н. в 2004 году.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, двух примеров и списка литературы. Объем диссертации 92 страницы. Библиография содержит 30 наименований. Текст иллюстрируют два рисунка.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Первая глава (Введение) посвящена описанию дифференциальных уравнений, возникающих в задаче о распространении сигнала в передаточной линии с распределенными параметрами в случае, когда на вход подается Т - периодический сигнал с нулевым средним и с амплитудой, обратно пропорциональной корню квадратному из частоты. Если предположить, что единичный участок цепи имеет обычные распределенные параметры : индуктивность Ь, емкость С, активное сопротивление Я, коэффициент утечки О, то приведенная выше система может быть описана следующей системой дифференциальных уравнений:

(2.9)

где г(£,х) - ток, - напряжение в момент времени £ и в точке х пере-

даточной линии.

Для Случая 1 краевые условия имеют вид

Соответственно, оператор А в уравнении (1.4) имеет вид

где

(2.11)

(2.12)

(5.23)

и областью определения оператора А является множество D(A) = {М,Ь) еН :<р,ф€ Н1 [0, <¿], V'(O) + Ло<р(0) = О ,Ь = ф(1)}.

Для Случая 2 краевые условия имеют вид:

E(t) = v(t,0) + Roi(t,0),

Оператор А в этом случае в уравнении (1.4) имеет вид

(5.56)

(5.57)

где

и областью определения оператора А является множество

= {(V», АЬ)еН:<р,ф& Н% ¿1, ^(0) + Ло<^(0) = 0,

ь=<р(1),тФ=т}-

Для системы (2.9)-(2.10) начальная задача определяется начальными условиями:

В задаче о периодических решениях требуется найти условия, при которых существуют решения г, V - периодические по первой переменной.

Во Второй главе даны формулировки основных результатов диссертации, сформулированные в терминах уравнения (1.4). Для задачи Коши начальное условие имеет вид:

¿(0,1) = г0(х),

(2.13)

г;(0,х) = г;0(а;).

(2.14)

и(0) = щ.

(1.6)

Выпишем усредненное уравнение:

и' = -Аи 4- /о(т,и),

(2.3)

где функция определяется формулой

т

о

Теорема 2.1 Пусть выполнены следующие условия:

А\). Функция /(£,£2£, и) - периодична по первым двум координатам, непрерывна по совокупности переменных и ограничена на ограниченных множествах.

1А2). Оператор —А порождает сильно непрерывную полугруппу е~м. Аз). Резольвента оператора —А на векторе ео обладает свойством:

А4). Функция В({)ео имеет разложение вряд Фурье с коэффициентами

1Сп такими, что Со = О и ряд V"4 сходится. Л5). Выполнено неравенство

х(/([0,Т] х [О, Г] х П)) < адп),

где х - мера некомпактностиХаусдорфа, к - константаР - ограниченное множество.

Лб). Задача (2.3), (1.6) имеет единственное решение и* на отрезке

М-

Тогда задача (1.4), (1.6) имеет решение Щ на отрезке [0,а!/е2] и выполнено соотношение

Теорема 2.2 Пусть выполнены условия ^г)-^) Теоремы 2.1. Пусть также выполняются дополнительные условия:

Функция - периодична по первой координате, непрерывна

по совокупности переменных и ограничена на ограниченных множествах. Выполнено неравенство

гдеX -меранекомпактностиХаусдорфа, к - константа, П - ограниченное множество.

Вз).Для любой ограниченной последовательности {т/л} " {¿п} : ¿п ¿0 выполнено неравенство:

где константа а > 0 удовлетворяет неравенству £ < 1.

В4). и* - изолированная неподвижная точка оператора А-1 /о,

£5). Индекс неподвижной точки и* оператора Л-1/о отличен от нуля:

Тогда каждому заданному г > 0 соответствует такое е > О, что при £ € (О,£о) задача (1.5) имеет по крайней мере одно Т-периодическое решение е), для которого справедлива оценка:

При исследовании устойчивости решения предполагается, что вы-

полнены условия:

2)1). Функция и) - Т-периодична по первой координате, непрерывно дифференцируема по второй переменной и выполнено соотношение

где К Е,& /¿„- производная Фреше усредненного оператора /о, которая существует в силу условия Их).

Теорема 2.3 Пусть выполнены условия Лг).-^). Теоремы 2.1 и условия В^-В^). Теоремы 2.2. Пусть также выполнены условия .Ох),!^)-

Тогда каждому заданному г > 0 соответствует такое £ц > 0, что при £ £ (0,£о) уравнение (1.5) имеет единственное Т-периодическое решение причем

Если все точки спектра оператора М лежат в левой полуплоскости, то решение ие - экспоненциально устойчиво. Если хотя бы одна точка спектра оператора М лежит в правой полуплоскости, то решение неустойчиво.

Частным случаем абстрактных теорем являются следующие теоремы для уравнений (2.9), (2.10).

Теорема 2.4 Пусть Е(Ь) = Е{Ъ) +£е(^£2), где Е - непрерывная функция на отрезке [0,й], е - непрерывно дифференцируемая Т- периодическая функция, такая, что функция е' имеет разложение в ряд Фурье с коэффициентами такими, что ряд сходится.

Пусть система (2.9)- (2.10) с Е{Ь) — Е({) и начальными условиями (2.13)-(2.14) имеет единственное решение (г,г>), определенное на отрезке [0, й]. Тогда при достаточно малых е система (2.9)- (2.10) с начальными условиями (2.13)-(2.14) имеет решение (г£,ИЕ), определенное на отрезке

Теорема 2.5 Пусть Е{£) = т + ее^/е2), где функция е та же, что и в Теореме 2.4 и т - константа.

С\). Пусть система (2.9) - (2.10) при Е(£) = т имеет стационарное решение (г°, V0).

Сг). Пусть также система уравнений в частных производных

не имеет ненулевых решений.

Тогда при достаточно малых £ система (2.9) - (2.10) имеет периодическое решение такое, что

Основным условием близости решений рассматриваемой задачи к решениям усредненного уравнения является характер поведения резольвенты оператора —А на векторе ео при д —* оэ (см.условие Лз). Теоремы 2.1).

Сходимость к нулю соответствующего интегрального члена гарантируется следующей леммой.

Лемма 2.1 Пусть —А - производящий оператор сильно непрерывной полугруппы линейный операторов, действующих в банаховом пространстве Е такой, что для резольвенты оператора —А и некоторого элемента выполнено условие

Тогда, если Ь^в) = В(з)ео, где i?(s) - Т-периодическая функция, имеющая разложение в ряд Фурье с коэффициентами Сп такими, что со = О

Частным случаем Леммы 2.1 при £ = 2, S — 1 является следующая Лемма:

Лемма 2.2 Пусть —А - производящий оператор сильно непрерывной полугруппы линейных операторов, действующих в банаховом пространстве Е, такой, что для резольвенты, оператора —А и некоторого элемента ео£ Е выполнено условие А з). Теоремы 2.1.

Тогда, если b(s) = B[s)eо, где B(s) - Т-периодическая функция, имеющая разложение в ряд Фурье с коэффициентами с^ такими, что Cq = О

gti-A + gi^eo —> 0. (2.7)

00

О

при равномерно относительно

и ряд

сходится, то выполнено соотношение

О

при £ О равномерноотносительноЬ £ [О, ¿/е2].

Для доказательства устойчивости вынужденных периодических колебаний используется теория возмущений уплотняющих операторов. Для ее применения установлена

Лемма 2.3 Пусть выполнены условия Лг)-^) Теоремы 2.1, условия ДО^г) Теоремы 2.2, и пусть операторы сдвига К(£п) по траекториям уравнения (1.5) за время \\/£§Т определены на некотором множестве

Тогда существует константа д < 1 такая, что для любой ограниченной последовательности{хп} С И при £п—* О выполнено неравенство

где х -мера некомпактности Хаусдорфа, П С Е.

Во Третьей главе приводятся нужные для доказательств сведения из теории мер некомпактности и теории топологического индекса.

В Четвертой главе приводятся доказательства основных результатов. В Пятой главе более подробно рассматриваются Примеры, описываемые Схемами 1 и 2, и доказываются Теоремы 2.4 и 2.5.

ОСЕ.

(2.8)

Список литературы

[1] Каменский М.И. О процедуре усреднений для уравнений передаточных линий /М.И.Каменский , Ю.Н.Сборец//Нелинейный анализ и функционально-дифференциальные уравнения. - Воронеж.-2000, -С.118.

[2] Сборец Ю.Н. Об одном варианте принципа усреднения для уравнения с некомпактной полугруппой /Ю.Н.Сборец//Труды математического факультета. -Воронеж:ВорГУ.- 2001.- Выпуск 5. - С.171-186.

[3] Сборец Ю.Н. О резольвенте производящего оператора для уравнений передаточных линий /Ю.Н.Сборец// Труды математического факультета. - Воронеж:ВорГУ, - 2002. - Выпуск 7. - С. 119-126.

[4] Сборец Ю.Н. Об одном свойстве резольвенты операторов, возникающих в теории передаточных линий /Ю.Н. Сборец// Современные методы в теории краевых задач. - Материалы Воронежской математической школы. - Воронеж.- 2002. - С. 139.

[5] Сборец Ю.Н. Об устойчивости периодических режимов передаточных линий /Ю.Н.Сборец// Труды математического факультета. -Воронеж:ВорГУ.- 2003.- Выпуск 58. - С.93-101.

Заказ № 512 от 10.06 2004 г. Тир. экз. Лаборатория оперативной полиграфии ВГУ

А 47 6 9

1 Введение.

2 Формулировка основных результатов работы.

3 Сведения из теории мер некомпактности и теории топологического индекса.

4 Доказательство основных результатов.

5 Примеры.

5.1 Пример 1 (Случай, описываемый схемой 1.1. Доказательство теорем 2.4, 2.5 для этого случая).

5.2 Пример 2 (Случай, описываемый схемой 1.2. Доказательство теорем 2.4, 2.5 для этого случая).

Актуальность темы. Математические модели распространения сигнала в передаточных линиях и возникновения в них вынужденных колебаний изучались различными авторами (см.[9],[29] и имеющуюся там библиографию). При этом передаточные линии имеют как правило вид, определенный схемами, представленными на рисунках 1.1 и 1.2.

Случай l.Ha левом конце схемы (см. 1.1) находится вход (входным сигналом является функция E(t)), на правом конце находится нелинейность с вольтамперной характеристикой, задаваемой функцией д класса С1, действующей из R1 в R1. Параллельно этой нелинейности стоит конденсатор емкости Ci.

Lax Ra х

МШЧ h

GCJC f С ах

С,

Рис. 1.1: Случай 1.

Случай 2.На левом конце схемы (см. 1.2)находится вход (входным сигналом является E(t)), на правом конце находится нелинейность с ампервольтной характеристикой, задаваемой функцией д класса С1, действующей из R1 в R1. Последовательно этой нелинейности стоит катушка индуктивности L\.

Lax Rax

-таюм н

GaX%

С AX ы

Рис. 1.2: Случай 2.

Здесь входным сигналом является напряжение E(t). Естественно считать, что входной сигнал "зашумлен". В качестве математической модели шума при изучении обыкновенных стохастических уравнений М.А.Красносельский и А.В.Покровский (см. [14]) предложили рассматривать функции, у которых вторая вариация относительно некоторой фиксированной последовательности разбиений равна константе. Такая модель позволяла заметить "стохастические" эффекты, используя методы детерминистского анализа. Наиболее простой вид последовательности функций с постоянной второй вариацией дает последовательность

1 • t /in

-sin-о, (1.1) п пг рассматриваемая на отрезке [0,7г] с разбиением $ = {Лп}, задаваемыми точками Ап = {^2 : г = 1,2, .,2п2}. Покажем, что ее вторая вариация равна константе. Вычислим квадратичную вариацию последовательности функций 1.1 на промежутке [О.тг]: ф2

1 ■ t п о — sin —; 0; 7г; ^ lim

П—>00 ' J

0<СТ?<7Г п п2

1 т 1 . (г — 1)7Г 2 sin —---smп 2 п 2

2n2 о = lim —= 2. п—>оо П

Естественным поэтому является вопрос, приводятся ли такого типа возмущения входного сигнала Е в моделях схем 1.1 и 1.2 к эффектам, отмеченным М.А.Красно-сельским и А.В.Покровским. В диссертации рассматривались сигналы вида

E{t) = E{t)+£e{t/e2) (1.2) в начальной задаче и

E{t) = т + ee{t/e2) (1.3) в задаче о вынужденных колебаниях, где е - периодическая функция и амплитуда периодического "шума" обратно пропорциональна корню квадратному из частоты. Последовательность (1.1) является частным случаем такого шума. После стандартного сведения указанных задач к дифференциальным уравнениям в банаховом пространстве Е = L/2 х L2 х R1 эти уравнения имеют вид и' = —е2Аи + еВ(т)ео + e2f(r, е2т, и) (1.4) для начальной задачи и и = —£'

2Аи + еВ(т)е0 + e2f(r, и)

1.5) для задачи о периодическом решении, е0 - некоторый вектор из пространства Е. Начальное условие для уравнения (1.4) имеет вид

Эти решения в отличие от работ [9], [29] не могут быть проанализированы стандартным методом принципа усреднения Н.Н.Боголюбова-Н.М.Крылова, т.к. в этих работах уравнение имеет вид

Различные варианты принципа усреднения для таких уравнений или уравнений подобного типа, исследовались в [3],[4], [5], [6], [15], [16], [17], [26], [29]. Поэтому актуальной является задача разработки методов исследования уравнений (1.4), (1.5) для ответа на вопрос о влиянии описанного выше шума на поведение ее решений. Подобная задача изучалась в работе S.S.Ceron, О.Lopes (см. [25]). Результатами этой работы были условия, накладываемые на распределенные параметры (индуктивность, емкость, активное сопротивление, коэффициент утечки).

Цель работы. Получить условия, при выполнении которых гарантируется близость решений уравнения (1.4) для задачи Коши к решениям усредненного уравнения. Также получить условия, при выполнении которых, существуют решения уравнения (1.5) в задаче о вынужденных колебаниях и эти решения устойчивы.

Методика исследования. Использовались методы исследования, основанные на теории топологического индекса, на теории вращения уплотняющих векторных полей, методы функционального анализа, спектральной теории операторов в банаховом пространстве.

Научная новизна. Основные результаты работы являются новыми. В числе их отметим следующие: если среднее быстро осциллирующего слагаемого равно нулю, то, несмотря на разницу порядков малого параметра перед быстро осциллирующими членами, в начальной задаче на конечном отрезке и в задаче о вынужденных перим(0) = щ.

1.6) и' = —еАи + ef(t, и).

1.7) одических колебаниях этой составляющей можно пренебречь. При этом близость решений в задаче Коши гарантируется на промежутке порядка частоты.

Практическая и теоретическая значимость. Основные результаты носят теоретический характер. Результаты могут быть применены при исследовании передаточных линий.

Апробация работы и публикации. Основные результаты опубликованы в работах [10], [21] - [24] и являются новыми. Из совместной работы [10] в диссертационную работу вошли только принадлежащие автору результаты. Они докладывались на Воронежских весенних математических школах в 2000, 2002 и 2004 года, на семинаре проф. Покорного Ю.В. при Воронежском гос.университете в 2003 году, на семинаре проф. Садовского Б.Н. при Воронежском гос.университете в 2004 году.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, двух примеров и списка литературы. Объем диссертации 92 страницы. Библиография содержит 30 наименований. Текст иллюстрируют два рисунка.

1. Ахмеров, P.P. Меры некомпактности и уплотняющие операторы / Р.Р.Ахмеров, М.И.Каменский, А.Е.Родкина, А.С.Потопов, Б.Н.Садовский.- Новосибирск: Наука,- 1985. - 265с.

2. Боголюбов, Н.Н. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний/Н.Н.Боголюбов, Ю.А.Митропольский,-М.:Наука, 1974. - 503с.

3. Волосов, В.Н. Асимптотические методы исследования нелинейных волн в стратифицированной среде с приложениями к теории внутренних волн в океане /В.Н.Волосов. Москва: Изд-во Моск. ун-та, - 1972. - 131с.

4. Гребеников, Е.А. Метод усреднения в прикладных задачах /Е.А.Гребеников. -М.: Наука, 1986. - 256с.

5. Громяк, М.И. Обоснование одной схемы усреднения для гиперболических систем первого порядка /М.И.Громяк//Доклады АН УССР Сер. А, 1984. - т.6. - С.5-7.

6. Далецкий, Ю.Л. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве /Ю.Л.Далецкий, М.А.Крейн. М.: Наука, - 1970. - 534с.

7. Забрейко, П.П. К обоснованию метода Боголюбова Крылова для обыкновенных дифференциальных уравнений /П.П.Забрейко, Ледовская // Дифференциальные уравнения. - 1969.- Т.5.- No2.- С.823-834.

8. Каменский, М.И. О принципе усреднения для квазилинейных параболических уравнений с запаздыванием / М.И.Каменский// Доклады РАН. 1994. - т.334, №3. - С. 304 - 306.

9. Каменский, М.И. Об исследовании устойчивости периодических решений для нового класса систем квазилинейных уравнений в банаховом пространстве / М.И.Каменский// Доклады РАН. 1996. - т.353, №1. - С. 13 - 17.

10. Каменский, М.И. О процедуре усреднений для уравнений передаточных линий /М.И.Каменский , Ю.Н.Сборец//Нелинейный анализ и функционально-дифференциальные уравнения. Воронеж.-2000, - С. 118.

11. Красносельский, М.А. Интегральные операторы в пространствах суммируемых функций /М.А.Красносельский, П.П.Забрейко, Е.И.Пустыльник, П.Е.Соболевский // Москва: Наука, 1966. - 500с.

12. Красносельский, М.А. О принципе усреднения в нелинейной механике /М.А.Красносельский, С.Г.Крейн// Успехи Математических наук. 1955. - т.10, №3(65). - С. 147 - 152.

13. Красносельский, М.А. Оператор сдвига по траекториям дифференциальных уравнений /М.А.Красносельский. М.:Наука,- 1966. - 331с.

14. Красносельский, М.А. Системы с гистерезисом /М.А.Красносельский, А.В.Покровский.-М: Наука, 1983. - 271 с.

15. Митропольский, Ю.А. Асимптотические методы исследования квазиволновых уравнений гиперболического типа /Ю.А.Митропольский,Г.П.Хома, М.И.Громяк. Киев: Наукова думка, - 1991. - 231с.

16. Моисеев, Н.Н. Асимптотические методы нелинейной механики/Н.Н.Моисеев. -М.: Наука, 1971. - 400с.

17. Рубаник, В.П. Колебания квазилинейных систем с запаздыванием /В.П.Рубаник. М.: Наука, - 1969. - 287с.

18. Садовский, Б.Н. Несколько замечаний об уплотняющих операторах и мерах некомпактности /Б.Н.Садовский// Труды математического факультета. Во-ронеж:ВорГУ,1970. - Выпуск 1. - С.112-124.

19. Садовский, Б.Н. Применение топологических методов в теории периодических решений нелинейных дифференциально-операторных уравнений нейтрального типа /Б.Н.Садовский// Доклады АН СССР. 1971. - т.200, №5. - С.1037-1040.

20. Садовский, Б.Н. Предельно компактные и уплотняющие операторы /Б.Н.Садовский// Успехи Математических наук. -1972.-т.27,№1.-С.81-146.

21. Сборец, Ю.Н. Об одном варианте принципа усреднения для уравнения с некомпактной полугруппой /Ю.Н.Сборец//Труды математического факультета. -Воронеж:ВорГУ- 2001.- Выпуск 5. С.171-186.

22. Сборец, Ю.Н. О резольвенте производящего оператора для уравнений передаточных линий /Ю.Н. Сборец// Труды математического факультета. Воро-неж:ВорГУ, - 2002. - Выпуск 7. - С.119-126.

23. Сборец, Ю.Н. Об одном свойстве резольвенты операторов, возникающих в теории передаточных линий /Ю.Н.Сборец// Современные методы в теории краевых задач. -Материалы Воронежской математической школы.-Воронеж.-2002.-С.139.

24. Сборец, Ю.Н. Об устойчивости периодических режимов передаточных линий /Ю.Н.Сборец// Труды математического факультета. -Воронеж:ВорГУ.- 2003.-Выпуск 58. С.93-101.

25. Ceron, S.S. а Contractions and attractors for dissipative semilinear hiperbolic equations and sistems /S.S.Ceron , O.Lopes // Ann. Mat. Рига Appl. -1991. - C.193-206.

26. Couchouron, J.F. An abstract topological point of view and a general averaging principle in the theory of differential inclusions / J.F.Couchouron , M.Kamenskii // Nonlinear Anal. 2000. - 42. - C.625-651.

27. Hale, J.K. Asymptotic Behavior of Dissipative Sistems /J.K. Hale // Math. Surreys Monogr. 25, Amer. Math. Soc.,Providence. 1988. - 350 p.

28. Kamenskii, M. Condensing multivalued Maps and Semilinear Differential inclusions in Banach Spaces /M.Kamenskii, V.Obukhovskii, P.Zecca. S.I.] : Walter de Gruyter, 2001.- 345 p.

29. Kamenskii, M. Applications des oparateus condesants au problames des solutions periodiques pour les equations paraboliques qasi-lineires /M.Kamenskii // C.R. Acad.Sci.Paris Ser.I.Math. 1994. - C.719 - 722.

30. Miyadera, J. On one-parameter semi-groups of operators /J.Miyadera //J. Math. Tokyo 1. 1951.- 230 p.Список обозначений.

31. Е банахово пространство с нормой || • ||.

32. В (и, г) шар с центром в точке и с радиусом г.3. о (А) спектр оператора А.4. е(-) непрерывная функция, действующая из R1 в R1.

33. В единичный шар в банаховом пространстве Е.

34. D(f) область определения оператора /, действующего из Е\ в7. •. целая часть вещественного числа.

35. С(0,Ь.,Е) пространство непрерывных функций х : [О, Ъ] —» Е с нормой1М1со,ь. = max ||х||. teio,6j

36. Если ^ С С(0,Ь.,Е), то для t е [0,6] Q(t) множество в Е значений функций из множества П.10. рх, Г2. расстояние в пространстве Е между точкой х G О и множеством Г2 С Е.

37. Если U С Е, то dU граница множества U.

38. Н гильбертово пространство.13. / тождественный оператор.14. I единичная функция.15. 2е множество всех подмножеств пространства Е.