Передаточная матрица системы линейных дифференциальных уравнений с особой точкой тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА I. Определение и свойства параметрической передаточной матрицы для системы линейных дифференциальных уравнений с полиномиальными коэффициентами

§ I. Преобразование Меллина

§ 2. Операционный метод решения уравнения Эйлера

§ 3. Приведение системы линейных дифференциальных уравнений с регулярной особой точкой к системе уравнений Эйлера

§ 4. Передаточная матрица системы линейных дифференциальных уравнений с регулярной особой точкой.

§ 5. Свойства передаточной матрицы.

§ 6. Передаточная матрица системы дифференциальных уравнений п - го порядка

ГЛАВА П. Построение решения системы линейных дифференциальных уравнений в окрестности регулярной особой точки.

§ I. Построение передаточной матрицы в виде степенного ряда.

§ 2. Сопряженное уравнение для передаточной матрицы

§ 3. Метод разностных уравнений.

§ 4. Обобщенные уравнения Эйлера

§ 5. Исследование устойчивости осесимметричной колонны с переменным поперечным сечением.

ГЛАВА Ш. Построение решения системы линейных дифференциальных уравнений с иррегулярной особой точкой.

§ I. Передаточная матрица системы линейных дифференциальных уравнений о иррегулярной особой точкой.

§ 2. Передаточная матрица системы m линейных дифференциальных уравнений п - го порядка

§ 3. Метод решения системы разностных уравнений. III

§ 4. Построение передаточной матрицы с помощью матричных цепных дробей.

ВЫВОДЫ.

Актуальной темой является теория и приложение операторных методов для решения и исследования свойств решений систем линейных дифференциальных уравнений. Наибольшее число работ этого направления посвящено исследованию линейных стационарных систем, в первую очередь, линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, которые исследовались в работах: А.И.Боголюбова [96] » Г.Бейтмана и А.Эрдеи [4], Р.Беллмана, Ю.А.Брычкова, А.П.Прудникова, В.С.Шишова [б] > Я.В.Быкова, Т.Дж.Бромвича, М.Е.Ващенко-Захар-ченко, Б.Ван-дер-Поля и Х.Бремера [16] » Н.Винера [18] » Ф.'Р.Гант-махера [20] , М.Ф.Гарднера, Дж.П.Бернса, Г.Деча [24] , В.А.Диткина, А.П.Прудникова [26] , Х.Корслау и Д.Егера [37] , А.Т.Кузина, А.И. Крылова, П.С.Лапласа, М. А.Лаврентьева И Б.В.Шабата [40] , В.И.Левина и Б.А.Фукса [84] , Ж.Лере [42] , А.И.Лурье [43] » А.В.Лыкова, И.М.Макарова и Б.М.Менского [45,46] , Я.Микусинского, В.В.Солодов-никова [67] , Е.Титчмарша [71] , О.Хевисайда [96] , Ф.А.Шелковнико-ва, К.Г.Такайшвили [90] , И.М.Хиршмана, Д.В.Уиддера [86] , Р.Я.Шос-така [92] , И.З.Штокало [96] , Л.Берга [97] и многих других.

Издавна делались отдельные попытки применить операционные методы для решения и исследования свойств решений системы линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами или переменными отклонениями аргумента. Начиная с работа И.З.Штокало [93-96], Л.А.Заде [120» 121] начался новый этап в развитии операционного исчисления. Одно из основных понятий - передаточная функция ( а для системы уравнений - передаточная матрица) было обобщено для линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами. Развитию этого направления посвятили свои работы Г.Д Анжело [Г] , А.Т. Барабанов [23] » К.Г.Валеев [8-12] , Л.А.Заде, Ч.Дезоер [34] ,

Я.С.Ицхоки [36] $ В.П.Маслов [48] , А.Ф.Михайлов» Е.Д.Теряев,

B.П.Булеков, Г.Ю.Данков, Л.М.Саликов» Т.А.Степанянц, Л.С.Диканова [52-54] , В.М.Пономарев [58] , Е.Н.Розенвассер [61] , Б.Е.Рудницкий [63] » А.В.Солодов, Ф.С.Петров [61,66]» В.В.Солодовников, Ю.И.Бородин, А.Б.Иоаннискан [68], С.Файзиев [74-82], А.Г.Шевелев [89],

C.В.Шильман [91] , Й.З.Штокало [93-96] , И.Патри [114], Г.А.Хеге-мьер [118], Л.А.Заде [120,121] и многие другие.

При исследовании конкретных задач было выяснено, что успех применения операционных методов во многом зависит от аналитических свойств решений системы линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами. Созданию теории линейных дифференциальных уравнений посвящено огромное число работ отечествннных, зарубежных и иностранных ученых, рассмотреть которое полностью невозможно. Над задачами возникающими в теории линейных дифференциальных уравнений работали: Н.В.Азбелов, А.А.Андронов, Г.д Анжело [I] $ А.Г.Баранов [2»3] » Н.Н.Боголюбов, К.Г.Валеев[8-12] , И.М.Гельфанд, В.В.' Голубев [21] , Ф.Р.Гандмахер [20] , Л.А.Гусарова, М.С.Горнштейн [22,23] , Ю.Л.Далецкий, Б.П.Демидович, Н^П.Еругин [28-33], Л.Заде, Ч.Дезаер [34] , Э.А.Коддингтон и И.Левинсон [38] , ЮР.Коваленко» Н.Е.Кочин, Н.Н.Красовский, М.Г.Крейн, С.Г.Крейн, К.Я.Латышева, Н.Й.Терешенко [41] , А.М.Ляпунов [44], А.Ф.Леонтьев, В.Б.Лидский, Н^М.Матвеев [49,50] , Й.Г.Малкин, В.М.Миллионщиков, А.Д.Мншкис, Ф^А.Михайлов [54] , Д.Д.Мардухай-Болтовский [55,56] , М.Г.Нейгауз, Ю.И.Неймарк, В.В.Немыцкий, С.Б.Норкин, К.П.Персидский, А.Пуанкаре [59,117], Р.Риман [60] , И.М.Раппопорт, Е.Н.Розенвассер [60,61] , А.В.Солодов [65] , Н.И.Симонов [64] , В.М.Сторжинский, В.В.Степанов, Н.И. Терещенко [69,70] , А.И.Тихонов, Е.Т.Уиттекер и Г.Н.Ват-сон [72] , СаФ. Фешенко, Н.Й.Шкиль, А.Д.Николаенко [73] , Ф.Харт-ман [853 » Н.Г.Четаев, Л.Чезари [88] , С.Н.Шиманов, Й.З.Штокало [93-£6] , Л.Э.Эльсгольц, В.А.Якубович, Г.Д.Биркгоф [98] , Г.Фробениус fГ01~103] » Л.Фукс [104,105] , Г.Гамбургер [106] , Л.Хеффтер [Г07], Хельге фон Кох [109]Г.ВЛилл [НО] , И.Горн [III], 0.Перрон [Г15] , Л.ё.Томе [119] и многие другие.

Наиболее эффективные результаты были получены для линейных дифференциальных уравнений с полиномиальными, экспоненциальными или периодическими коэффициентами, В этих же случаях оказываются эффективными и операционные методы [8—12], [52-54] , [61,62] ,[65,66] , [91],[93-96] , которые строились, в основном, на основе преобразования Лапласа. В нашей работе операционное исчисление строится на основе преобразования Меллина.

Целью работы является развитие метода передаточной функции для системы линейных дифференциальных уравнений с полиномиальными коэффициентами в окрестности регулярной или иррегулярной особой точки, введении понятия передаточной матрицы, которое позволяло бы находить частное решение неоднородной системы и общее решение одноо родной системы.

Развитие теории линейных дифференциальных уравнений с полиномиальными коэффициентами наиболее активно осуществлялось в конце прошлого века. В цикле работ Г.Фробениус [I0I-I03] разработал способ построение решение в окрестности регулярной особой точки в виде степенных рядов со степенимг множителем. В случае кратных корней в решении появились логарифмические функции. Эти результаты получили обобщение в работах Л.Фукса [104,105] , Г.Д.Биркгофа [98], О.Дункеля [99] , X.Гамбургера [106] , Й.Горна [III], Шафхейтлина [118] . Аналогичные результаты были получены при построении решений в окрестности иррегулярной особой точки. Однако в последнем случае возникли принципиальнш затруднения, связанные с расходимостью степенных рядов. В работах А.Пуанкаре [59,117] бьщ дан новый взгляд на проблему построение решений, для чего были введены в рассмотрение асимптотические ряды. Построению решений в окрестности иррегулярной особой точки с помощью асимптотических рядов били посвящены работы Гамбургера [106] » Й.Горна [III], Л.В.Томе [119] * Горнштейна [22,23] К.Я.Латышевой, Н.И.Терещенко [41] , Э.А.Коддингтона и Н.Левинсона [88] , Ф.Хартмана [85] .

Другое направление теории связано с построением показательной подстановки, получаемой в результате обхода особой точки. Это направление берет развитие с работ Л.Фукса [104,105] А.Пуанкаре [59, 117, 72] , Р.Римана [60], Г.Флоке и получило в СССР развитие в работах И.А.Лаппо-Данилевского, В.И.Смирнова, Н.П.Еругина [28-33]

При построении решения в виде рядов Лорана со степенными множителями приходят к бесконечной системе линейных алгебраических уравнений, решение которых можно получить в виде бесконечных определителей. Это направление, начатое в работе Г.В.Хилла [110]» было обосновано А.Пуанкаре [59,72] и получило наибольшее развитие в работах Хельге-фон-Коха [109] .

Данная работа примыкает к этому направлению, так как использует известное аналитическое представление фундаментальной матрицы решений в окрестности особой точки.

Научная новизна настояцей диссертации заключается в развитии теории параметрической передаточной матрицы для линейных дифференциальных уравнений с полиномиальными или аналитическими коэффициентами на основе интегрального преобразования Меллина. При построении общей теории передаточной матрицы возникли принципиальные.затруднения, связанные с неограниченностью или несуществованием коэффициентов системы линейных дифференциальных уравнений. При использовании известных-рекомендаций о замене неограниченных коэффициентов [52»53»61',62] ограниченными можно построить передаточную матрицу W (эс,р) голоморфную по переменной р в некоторой полуплоскости Rep >6^ . Но она оказалась неудобной в вычислительном отношении и с более сложным аналитическим представлением, чем передаточная матрица W(5c,p) голоморфная по переменной р б некоторой полуплоскости Rep <-(Г0 . Эта матрица» названная левой передаточной матрицей, 0ыла аналитически продолжена на. всю комплексную плоскость р и оказалась мероморфной матрицей, имеющей полюсы в любой полуплоскости Rep >60 . Еще более сложные результаты получились при построении передаточной матрицы для системы линейных дифференциальных уравнений в окрестности иррегулярной особой точки»

В диссертации дано принципиально новые понятия передаточной матрицы Woc,p) , не связанное с голоморфностью в полуплоскости Rep > б"0 или Rep <-60, а связанное с однозначной зависимостью от переменной х • Было впервые показано, что построение матрицы \Д/(а,р) можно свести к решению системы линейных разностных уравнений, что было осуществлено с помощью метода S - рядов. Разработаны оригинальные методы построения передаточной матрицы в виде матричных степенных рядов по переменной х для регулярной особой точки. Для иррегулярной особой точки в наиболее простом и одновременно наиболее важном случае был предложен метод построения с помощью матричных непрерывных дробей. Предложенные алгоритмы численного построения решения могут быть легко запрограммированы для ЭВМ. В диссертации решены, численные примеры»

Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы, •

- ISI -ВЫВОДЫ'

1. В диссертации разработан операционный метод решения системы линейных дифференциальных уравнений Эйлера на основе интегрального преобразования Меллина.

2. Для системы линейных дифференциальных уравнений с регулярной особой точкой введены понятия левой и правой передаточных матриц» доказаны теоремы существования и единственности, изучены аналитические свойства передаточных матриц.

3. Разработан операционный метод построение решение неоднородной системы линейных дифференциальных уравнений в окрестности регулярной особой точки на основе использования левой передаточной матрица

4. Разработан операционный метод решения неоднородной системы линейных дифференциальных уравнений п - го порядка в окрестности регрярной особой точки.

5. Предложены способы построения левой передаточной матрицы W(a?,p)C использованием степенных разложений по степеням х » решением матричных интегральных уравнений, сведением к бесконечной системе линейных алгебраических уравнений, решением разностного сопряженного уравнения, решением разностного уравнения для отыскания изображения решения.

6. Для системы обобщенных уравнений Эйлера найдена девая передаточная матрица, навденн необходимые и достаточные условия существования полиномиального решения.

7". Введено понятие передаточной матрицы для системы линейных г дифференциальных уравнений в окрестности иррегулярной особой точки, доказаны теоремы существования и единственности передаточной матрицы, изучены аналитические свойства передаточной матрицы.

8.1 Разработан операционный метод построения решения неоднородной системы линейных дифференциальных уравнений в окрестности иррегулярной особой точки на основе использования передаточной матрицы.

9. Разработан способ построения передаточной матрицы для системы линейных дифференциальных уравнений с иррегулярной особой точкой на основе использования S - рядов.

10. Для специальной системы линейных дифференциальных уравнений с иррегулярной особой точкой разработан метод построения передаточной матрицы с использованием непрерывных дробей.

1. Д^Анжело Г. Линейные системы с переменными параметрами. -М.: Машиностроение, 1974. - 288 с.

2. Барабанов А.Т. Теория линейных нестационарных систем с особой точкой. Устойчивость систем. Автоматика и телемеханика. 1969, № 6.

3. Барабанов А.Т. Методы исследования систем с переменными коэффициентами. В кн.: Методы исследования нелинейных систем автоматического управления. - М.: Наука, 1975, с. 318-409.

4. Бейтмеи Г. и Эщейи А. Таблицы интегральных преобразований. Преобразование Фурье, Лапласа, Меллина. М.: Наука, 1969.344 с.

5. Беляев Н.М. Сопротивление материалов. М.: Наука, 1976. - 608 с.

6. Брычков Ю.А., Прудников А.П., Шипов B.C. Операционное исчисление. В кн.: Математический анализ. (Итоги науки и техники). - М.: ВИНИТИ, 1979, т. 16, с. 99-130.

7. Быяов Б.Ф., Виноград Р.Э., Гробман Л.М., Немыцкий В.В. Теория показателей Ляпунова. М.: Наука, 1966. - 576 с.

8. Валеев К.Г. 0 решении и характеристических показателях решений некоторых систем линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами. ПММ, ХНУ, 4, I960, с. 585602.

9. Валеев К.Г. Об одном методе решения системы линейных дифференциальных уравнении с синусоидальными коэффициентами. -Радиофизика, I960 , 3, № 6, с. II13-1126.

10. Валеев К.Г. 0 линейных дифференциальных уравнениях с экспоненциальными коэффициентами и стационарными запаздываниями аргумента. Регулярный случай. ПММ, ХХУ1, I? 3, 1962, с. 449454

11. Валеев К.Г. О построении решения системы линейных дифференциальных уравнений в окрестности регулярной особой точки.-Математика, 1963, f- 3 (34), с.19-22

12. Валеев К.Г. Построение параметрической передаточной матрицы для системы линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами. В кн.: Мат.физика, 1977, вып.21, с.10-13

13. Валеев К.Г., Финин Г.С. Построение функций Ляпунова. -Киев, Наук.думка, 1981. 412 с.

14. Валеев К.Г., Файзиев С. Существование экспоненциально-полиномиальных решений одного линейного дифференциального уравнения. В.сб.: Исследование по обыкновенным дифференциальным уравнениям. СамГУ, 1982, с.94-98

15. Вазов В. Асимптотические разложения решений обыкновенных дифференциальных уравнений. м.: Мир, 1968, - 464 с.

16. Ван-дер-Поль Б., Бреммер X. Операционное исчисление на основе двустороннего преобразования Лапласа. М.: Изд-во иностр. лит., 1952. - 566 с.

17. Винер Н. Интеграл Фурье и некоторые его приложения. -M.: Физматгиз, 1963, 256 с.

18. Винер Н., Пэли Р. Преобразование Фурье в комплекснойобласти. M.S Наука, 1964. - 267 с.

19. Вулих Б.З. Введение в функциональный анализ. M.: Наука, 1967. - 415 с.

20. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. Гостехиздат, 1954. -491 с.

21. Голубев В.В. Лекции по аналитической теории дифференциальных уравнений. M.-JI.: Гостехиздат, 1950. - 436 с.

22. Горнштейн М.С. Регулярные интегралы линейных дифференциальных уравнений в иррегулярной особой точке. Мат. сб., т.1 (43), № 3, 1936. с.395-401.

23. Горнштейн М.С. Интегралы линейных дифференциальных уравнений, содержащее конечное число членов. Мат.сб., 42, 1935, с.583-592.

24. Деч-Г. Руководство к графическому применению преобразования Лапласа и zf-преобразования. М.: Наука, 1971. -288 с.

25. Диткин В.А. и Прудников А.П. Интегральные преобразования и операционное исчисление. М.: Физматгиз, 1961. - 524 с.

26. Диткин В.А. и Прудников А.П. Операционное исчисление. М.: Высш. школа, 1975. - 407 с.

27. Диткин В.А. и Кузнецов П.И. Справочник по операционному исчислению. М.:Л.: Гостезиздат, 1951. - 255 с.

28. Еругин Н.П. Показательная подстановка иррегулярной системы линейных дифференциальных уравнений. 1937, 17, Докл. АН СССР.

29. Еругин Н.П. О показательной подстановке в системах линейных дифференциальных уравнений (Проблема Пуанкаре). Мат. сб., 3 (45), 1938, с.

30. Еругин Н.П. Приводимые системы. Тр. Мат. ин-та им. В.А. Стеклова, т.23, 1946. - с.92.

31. Еругин Н.П. Метод Лаппо-Данилевского в теории линейных дифференциальных уравнений. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1956. я- 108 с.

32. Еругин Н.П. Решение в конечной форме однородных линейных дифференциальных уравнений с полиномиальными коэффициентами. Науков1 записки ЕДУ, Мат.зб., В> 8, 1956, № 9, 1957

33. Еругин Н.П. Линейные системы обыкновенных дифференци~ алъных уравнений. Минск: Изд-во АН БССР, 1963. - 272 с.

34. Заде Л., Дезоер Ч. Теория линейных систем. М.: Наука, 1970. - 704 с.

35. Земанян А.Г. Интегральные преобразования обобщенных функций. М.: Наука, 1974. - 400 с.

36. Ицхоки Я.С. Приближенный метод анализа переходных процессов в сложных линейных цепях. М.: Советское радио, 1967. -176 с.

37. Карслоу X. и Егер Д. Операционные методы в прикладной математике. М.: Изд-во иностр.лит., 1948, - 292 с.

38. Коддингтон Э.А. и Левинсон Н. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Изд-во иностр.лит., 1956. «476 с.

39. Крылов В.И., Скобля Н.С. Методы приближенного преобразования Фурье и обращения преобразования Лапласа. ~ М.: Наука, 1974. 224 с.

40. Лаврентьев М.А. и Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Физматгиз, Л., 1958. 678 с.

41. Латышева К.Я., Терещенко Н.И. Лекции по аналитической теории дифференциальных уравнений и их приложения. Киев: Изд-во ин-та Мат. АН УССР, 1970. - 394 с.

42. Лере 1. Обобщенное преобразование Лапласа. М.: Мир, 1969. - 168 с.

43. Лурье А.И. Операционное исчисление в приложениях к задачам механики. Л.,И.: ОНТИ, 1938. 224 с.

44. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения. -M. Д.: Гостехиздат, 1950

45. Макаров И.М., Менский Б.М. Таблица обратных преобразований Лапласа и обратных Е преобразований. - М.: Высшая школа, 1978. - 248 с.

46. Макаров И.М., Менский Б.М. Линейные автоматические системы. 2-е изд. М.: Машиностроение, 1982. - 504 с.

47. Мартыненко B.C. Операционное исчисление. Киев: Вища школа, 1973. - 260 с.

48. Маслов В.П. Операционные методы. М.: Наука, 1973. -544 с.

49. Матвеев Н.М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Высшая школа, 1967. - 564 с.

50. Матвеев Н.М. Дифференциальные уравнения. Л.: Изд.ЛГУ, 1963. - 416 с.

51. Миллионщиков В.М. Асимптотика решений линейных систем с малыми возмущениями. ДАН СССР, 162, № 2, 1965, с.266-268

52. Шхайлов Ф.А., Теряев Е.Д., Булеков В.П., Данков Г.Ю., Саликов A.M., Степаньянц Г.А. Динамика нестационарных линейных систем. М.: Наука, 1967. - 368 с.

53. Михайлов Ф.А., Теряев Е.Д., Булеков В.П., Саликов Л.М., Диканова Л.С. Динамика непрерывных линейных систем с детерминированными и случайными параметрами. М.: Наука, 1971. - 487 с.

54. Михайлов Ф.А. Анализ и синтез нестационарных линейных систем. М.: Машиностроение, 1977. - 296 с.

55. Мордухай-Болтовской Д.Д. Об интегрировании в конечном виде линейных дифференциальных уравнений. Известия Варшавского университета, 343 с.

56. Мордухай-Болтовской Д.Д. Об интегрировании дифференциальных уравнений второго порядка. Известия Варшавского унта, I9II, т. 8, с. 1-24, т. 9, с. 25-47

57. Нафталевич А.Г. О применении метода итераций для решения разностного уравнения. Матем. сборник, 1962, т. 57 (99), вып. 2, с. I5I-I78

58. Пономарев В.М. Приближенный метод исследования систем автоматического регулирования с переменными параметрами. Изв. АН СССР. Энергетика и автоматика, № 5, 1962

59. Пуанкаре А. Новые методы небесной механики. М.: Наука, 1971. - 771 с.

60. Риман Б. Сочинения. М.,Л.: Г ИГ 131, 1948. - 542 с.

61. Розенвассер Е.Н. Периодически нестационарные системы управления. М.: Наука, 1973. - 512 с.

62. Розенвассер Е.Н. Показатели Ляпунова в теории линейных систем управления. М.: Наука, 1977. - 344 с.

63. Рудницкий Б.Е. Определение передаточных функций некоторых систем с переменными параметрами. Автоматика и телемеханика, I960, т. XXI, У? 12, с. 1565-1575

64. Симонов Н.И. Прикладные методы анализа у Эйлера. М.: Гостехиздат, 1957. - 167 с.

65. Солодов А.В. Линейные системы автоматического управления с переменными параметрани. М.: Физматгиз, 1962. - 324 с.

66. Солодов А.В., Петров Ф.С. Линейные автоматические системы с переменными параметрами.-М.: Наука, 197I. 620 с.

67. Солодовников В.В. Статистическая динамика линейных систем автоматического управления.-М.*. Физматгиз, I960.-656 с.

68. Солодовников В.В., Бородин Ю.И., Иоаннисиан А.Б. Частотные методы анализа и синтеза нестационарных линейных систем.-М,: Советское радио, 1972.-168 с.

69. Титчмарш Е. Введение в теорию интегралов Фурье.-М.:Л.: Огиз Гостехиздат, 1948.-480 с.

70. Уиттекер Е.Т., Ватсон Г.И. Курс современного анализа. В 2-х ч.-М.:Физматгиз, 1963, ч. 2.-515 е., М.: Физматгиз, 1962, чЛ, 343 с.

71. Фещенко С.Ф., Шкиль Н. И., Николаенко А.Д. Асимптотические методы в теории линейных дифференциальных уравнений.-Наукова думка, Киев, 1966.-251 с.

72. Файзиев С. Некоторые свойства одного сингулярного оператора в -Докл.АН УзССР, сер.А, 1973, № 2, с.5-7

73. Файзиев С. Оценка особого интеграла ы(осз=у -coT"0,sа

74. В сб.Вопросы вычислительного и прикладной математики.-Ташкент:-Ин-т кибернетики АН УзССР, 1972, вып.15, с.80-84

75. Файзиев С.,Ибадов М. Операторный метод решения линейного дифференциального уравнения с полиномиальными коэффициентами. Сб. Пути повышения эффективности строительства в свете реш.ХХУ1 съезда КПСС. Самарканд, 1982, с.101

76. Файзиев С. Операторный метод решения системы линейных дифференциальных уравнений с полиномиальными коэффициентами. Док- 140 лады АН Уз ССР, оерия А, 1984, ¥ 4

77. Файзиев С. Передаточная матрица системы линейных дифференциальных уравнений в окрестности иррегулярной особой точки.

78. Самаркандский ун-т, Самарканд, 1983. 13 е., рукопись деп. в

79. УзНИИНТИ 15 сентября 1983 г., № 107, Уз-Д83. Р1Мат, 1984, № 31. Б 312

80. Файзиев С. Построение параметрической передаточной функции для обобщенного уравнения Эйлера. Докл.АН УССР, сер.А, 1984, № 2, с.25-27

81. Файзиев С. Построение полиномиальных решений системы линейных дифференциальных уравнений. Укр.мат.журн., 1983, т. 35, В? 2, с.259-261

82. Файзиев С. Численно-аналитическое решение уравнения Эйлера. В сб.: Вопросы вычислительной и прикладной математики.-Ташкент: ин-т кибернетики АН УзССР, 1983, вып.72, с.149-155

83. Филиппов П.П. Колебания деформируемых систем. М.: Машиностроение, 1970. - 736 с.

84. Фукс Б.А. и Левин В.И. Функции комплексного переменного и их приложения. М.,Л.: Гостехиздат, 1951. - 308 с.

85. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения.-М.: Мир, 1970, « 720 с.

86. Хщшман И.И. и Уиддер Д.В. Преобразования типа свертки.

87. М.: Изд-во иностр. лит., 1958. 312 с.

88. Хованский А.Н. Приложение цепных дробей и их обобщений к вопросам приближенного анализа.-М.: Гостехиздат,1956. 204 с.- 141

89. Чезари Л. Асимптотическое поведение и устойчивость решений обыкновенных дифференциальных уравнений.- М.: Мир, 1964.477 с.

90. Шевелев А.Г. Некоторые свойства преобразования Лапласа для анализа автоматических систем с переменными параметрами. В сб.: "Сложные системы управления". Киев, 1968, № 4, с. 100106.

91. Шелковников Ф.А., Токайшвили К.Г. Сборник упражнений по операционному исчислению» М.: Высш. школа, 1976.- 184 с.

92. Шильман С.В. Метод производящих функций в теории динамических систем. М.: Наука, 1978. - 336 с.

93. Шостак Р.Я. Операционное исчисление. М.: Высш. мола, 1968. - 192 с.

94. Штокало И.З. Обобщение основной формулы символического метода на случай линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами. ДАН СССР, 1945, т.47, № I, с. 9-10.

95. Ы, Штокало И.З. Обобщение формулы Гивзайда на случай линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами. ДАН СССР, 1946, т. 51, & 5, с. 335-336.

96. Штокало И.З. Операционные методы и их развитие в теории линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами. Киев, Изд-во АН УССР, 1961. - 126 с.

97. Штокало И.З. Операционное исчисление. Киев: Наукова думка, 1972. 304 с.9?. 'Зача L. £inf й k?un(j ш die opeio(ic^£n?echnun^. -foe-itiY1: u/cssenschail, 1962. Z44c.

98. ЪЬНко^ Gr.2. A Simp С th'eel lycotlmen-lbbe Vt^ufocz bCnOjutet*? pc- factns. Awe?. JU&lh.

99. SOc . 19fO; 11. c. 199-202.9 9. DuviKQ.t 0. R&fluhoc? siyiyufal? pm'nlboj- ot horrwg&&иs бс'ъ&с/ъ di'JJey&n1.et? e^u&itoHS oJ- the Ji?s£ ovde?. <7Wr.

100. An?e?. Acacl. sqL. (19123&, o. 3K-390.100' GrU fo! ienxf 74.'e devtiyiceivevi StlVJctenytMqttAbbunjj&yi.unole? & nea^eri 21 fJeven-iSQliAt/hung&Yi &u?vU

101. R<uhm. j. Ju7 math. i%73, Т. , с. 214-гъ5.jo2. SfzotwLus G-. Uiet oU't ус$и£<я?еу?

102. J и ley at? olt? tin wit* 3 (ысЬииуен.j. Jl)'?. ynotM. 0.3/?-333.iui Gr. L/еёе? с/SecjuJJ det <Уч?е.с{ис. itti ti let I en de? fr'neata*0е/. <£. Ueiey fte (<& I tone*, l^efcMz.

103. НсгИ i bit* lew . d.Ju? mctJh.J&GC,,^. C. m-i£0,1. ШЙ , GS- С. ЪЪЧ-Ъ%5.

104. Л? m&M.JWSj -Г SO, 0. J5О-16&

105. Л5. а/Уо? nol Я)i/feten ytung.-%Q-? UY>: 24 . . „414. ^o/ltff У. Uie9 ofie. й'ютч&п r2)iff<iъол\i id Pа Pел ъйимавм mi I sinus1. Jo 7 rrU^ZM1. Jft. ttts,115. e ? ? e и 0. flge? &cdiun<jj2A7 Угн4 t<$i b'o net к oeJ-/i Z i ем i a*),

106. Ada maU. 19H, 34, 0. 139-J63.diQ. S^t'"c./?e?fa S. i/УЬ/е Su7 t/m Lnieqt&Zeotah'viz ■ -Atici Mall. T. ?

107. НУ. Я^ы'пшчо. Н. $ и? fes intent a fe* В*'z?о!ел e^uw-te&HS {л'^яок'-ге* .

108. Ada то ,4-Ь., ШС t о. 295-Ъ^Ч.

109. HI. Stbctfhuib'* (P. 1.U7 ФАео-гЬ de-гг?ел*о. п ^ yi&QtejP&t chvnej&n m>i{