Асимптотическое интегрирование сингулярно возмущенных систем дифференциальных уравнений с иррегулярной особой точкой тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ

I. АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННЫХ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ИРРЕГУЛЯРНОЙ

ОСОБОЙ ТОЧКОЙ

1.1. Некоторые вспомогательные утверждения, результаты и обозначения

1.2. Асимптотическое расщепление однородной системы линейных дифференциальных уравнений

1.3. Расщепление неоднородной системы на подсистемы меньшей размерности

1.4. Построение решений для системы линейных дифференциальных уравнений

1.5. Случай дробного ранга иррегулярной особой точки

П. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ИРРЕГУЛЯРНОЙ

ОСОБОЙ ТОЧКОЙ В БАНАХОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ.

2.1. Предварительные замечания.

2.2. Расщепление однородного уравнения.

2.3. Асимптотические оценки приближенного расщепления

2.4. Расщепление неоднородного дифференциального уравнения.

2.5. Построение частных решений неоднородного уравнения.

2.6. Построение решений цри наличии кратных собственных значений

2.7. Случай сходимости решений

На первых исторических этапах изучения дифференциальных уравнений основной целью являлось получение точного решения через элементарные функции. Но это оказалось возможным лишь в частных случаях. Большинство задач, с которыми сталкиваются физики, инженеры и специалисты в области прикладной математики имеет ряд существенных особенностей, которые не позволяют получать точные аналитические решения. В этих случаях для получения информации о решениях дифференциальных уравнений вынуждены прибегать к различным приближенным методам интегрирования. Среди приближенных методов интегрирования дифференциальных уравнений наряду с численными методами важное место занимают асимптотические методы возмущений, о чем свидетельствует эффективное применение их при решении многих задач в различных областях физики, математики, механики [5,8,35,38, М].

В основу методов возмущений положены асимптотические разложения по большим или малым значениям параметра или координаты. Согласно этим методам решение задачи представляется несколькими членами асимптотического разложения. И, хотя, во многих случаях эти разложения являются расходящимися, тем не менее приближенное решение оказывается весьма пригодным для практических расчетов, выяснения качественных особенностей, а так же для получения асимптотик и анализа особых точек.

Развитие асимптотических методов в теории дифференциальных уравнений происходит по двум направлениям. Первое направление исследований связано с изучением решений дифференциальных уравнений при стремлении параметра /большого или малого/, входящего в уравнение или систему уравнений, к своему предельному значению. Последнее является предметом изучения регулярной и сингулярной теории возмущений по параметру, развитию которой посвящены работы Крылова Н.М., Боголюбова Н.Н. [47] , Митропольокого Ю.А.

5^] , Боголюбова Н.Н., Митропольокого Ю.А., Самоиленко A.M. [З] ? Тихонова А.Н. [б б] , Васильевой А. Б., Буту зова В.Ф.[9-;Ш], Федо-рюка М.В. [68] Ломова С.А. [52] Фещенко С.Ф,, Шкиля Н.И., Николенко Л.Д. [ 69] , Шкиля Н.И. и его учеников [63,79-8k], Маркуша й.й. [53] ^ Сотниченко Н.А., Фещенко С.Ф. [58"60], Вайнберга М.М. и Треногина В.А. [7] , Далецкого Ю.А.-, Крей-на С.Г.[2б-28^Вшпшса М.И. и Люстерника Л.А. [i\] , Като Т. [36], Найфэ А.Х-. [55] f Грачевой Г.С.[13"й] и др.

Второе направление исследований связано с изучением поведения решений дифференциальных уравнений в окрестностях особых точек /обычно это точки 0 или 00 / независимой переменной. В общей теории возмущений задачи этого направления относятся к разделу задач на возмущение по переменной. На обзоре литературы по этому направлению остановимся более подробно.

Так как в большинстве представляющих интерес уравнений с особенностями эти особенности имеют место при X = 00 , то в общей теории особых точек эту особенность принято помещать в точку X = . Тогда, в согласии с терминологией теории аналитических функций, поведение дифференциального уравнения на бесконечности определяется как поведение дифференциального уравнения при Z- 0 , полученного преобразованием Z = • iAJ

Мы будем рассматривать только такие дифференциальные уравнения в окрестности особой точки, тде оператор по переменной имеет полюс или асимптотическое степенное представление. Линейное уравнение, имеющее полюс в начале координат, может быть записано в виде где h - положительное целое, оператор B(Z) голоморфная при

Z=D функция. Для простоты можно потребовать только лишь, чтобы B(z) обладал асимптотическим разложением, справедливым в некотором секторе при X ~0. I

Преобразование X - переводит (I) в уравнение где (J= п-2 , а оператор либо голоморфная функция при Х= ^ , т.е. при достаточно больших /х/ скажем /х/ ^ Х0 , он имеет сходящееся разложение вида

J(x) = ^Jzsc'z , (3) г-о с 7 либо это разложение является для Л(х) асимптотическим в некотором секторе S . Число 2 = - ранг особой точки.

Согласно классификации особых точек, Z~~ i для обыкновенной точки, Z = Q для регулярной точки и положителен для иррегулярной особой точки.

Теория регулярной особой точки в конечномерном пространстве достаточно хорошо изучена /см., например [2,6,12, 39] / и обобщена на бесконечномерные пространства в работах

26-29, k5 -46].

Интерес представляет случай иррегулярной особой точки, о чем свидетельствует обилие работ, вышедших по данному вопросу

1-2,6, /5-20,37,39; 55, 77,85,86-90).

Идея исследования поведения решений линейных дифференциальных уравнений в окрестности иррегулярной собой точки с помощью асимптотических разложений принадлежит А.Пуанкаре [90] . Возникла она в связи с исследованием уравнения первого ранга с рациональными коэффициентами

P0 (Z) Wn+ P, (z) W (n'*}+ . + PJZ)W*0, (4)

PK(Z)^Czm°~m,no>0, t(O)*0 (5) ffJ'O с помощью преобразования Лапласа.

Дальнейшее развитие получила в работе Горна [89] . Горн установил, что уравнение Г! -го порядка целого ранга имеет П линейно независимых формальных решений в виде нормальных рядов (6)

1 т=о 7

ГД6 г-/ ]"> jl. - корни соответствующего характеристического уравнения; L = l,n и доказал асимптотическое свойство полученных решений на некотором фиксированном луче GLZCJ, Z = Ф.

Еиркгоф [86 "87] обобщил результаты Горна для систем линейных дифференциальных уравнений первого порядка

W-(z)-^a^(z)mj } (7) aLi(z)=±aumz т) „ п-т

- УС -целое число.

Он показал, что систему (7) можно свести заменой переменных

OQ

- символ Кронекера, к канонической системе

ZVL'=^ PijWVi , (9) * О 1 тле Ри - полиномы степени не выше , для которой в слуа чае простых корней характеристического уравнения det На® - Щ11-0 Ш) существует Л линейно независимых формальных решений в виде нормальных рядов (6).

В отличие от Горна, Биркгоф доказал асимптотическую сходимость рядов (6) к истинным интегралам системы в некоторых угловых областях в 4 azgz ^ fm

Следует сказать, что метод Биркгофа мало пригоден для конкретного исследования, поскольку фактическое построение преобразующей матрицы (8) является весьма сложной задачей и практически осуществляемой только лишь для систем двух уравнений.

В 1946 г. вышла работа Н.П.Еругина [32] , в которой он разработал метод последовательных приближений для систем линейных дифференциальных уравнений с предельно постоянными коэффициентами

Jm t'm , km J(t) -J-const

77=0 f-+-ao и построил решения в случае простых корней характеристического уравнения в виде сходящихся родов по степеням некоторого параметра X , независящего от t.

С помощью метода последовательных приближений Еругина В.В.Хорошилов llk-lb] для систем (7) первого ранга (К!=0) при предположении, что среди характеристических чисел матрицы IJ CL ц II нет двух с одинаковыми действительными частями, поо строил фундаментальную систему решений в виде рядов, равномерно сходящихся для достаточно больших действительных значений не засимого переменного, и показал, что полученные ряды могут быть использованы для построения асимптотических разложений решений.

Этим же методом Л.И.Донская [30~3i] , обобщая результаты И.А.Лаппо-Данилевского [51] , получила фундаментальную матрицу для системы = YP(t) ~ (*dt* <*> (I2) где P(t) ~ 2 P<R t a P - вещественные постоянные матрицы третьего порядка, при любой канонической структуре И.

ОО

И.Н.Збойчик [ЗЗ'ЗЬ] для системы (12), где Р постоянные, а X искомая матрица второго порядка построил фундаментальное решение в окрестности иррегулярной особой точки, преимущество которого состоит в большой скорости сходимости. Полученные им асимптотические ряды сходятся с показательной скоростью, в то время как ряды, найденные Хорошиловым для таких систем сходятся со скоростью геометрической прогрессии.

Значительной вехой на пути развития теории асимптотического представлерия решения явились результаты К.Я.Латышевой [Ь8~50]. Она доказала, что всякое уравнение Г1 -го порядка n rln'Ln с полиномиальными коэффициентами в окрестности иррегулярной особой точки положительного ранга имеет фундаментальную систему формальных решений в виде нормальных и поднормальных рядов, а именно, в случае простых корней характеристического уравнения, уравнение (13) имеет решение в виде нормального ряда

J5^ di

Ге х бъ ' <") в котором ряд в правой части (14) сходится для /х/ ^ CL >03

U (Л) = —j- , р - ранг уравнения (I), j3 - постоянная; в случае же кратных корней характеристического уравнения в виде поднормального ряда

Х ' (15)

Вопрос о сходимости последних к истинным решениям К.Я.Латышевой не рассматривался. Полностью решить эту задачу для систем дифференциальных уравнений первого порядка удалось Д.П.Костомарову Ъ] . Он установил, что всякая система вида (7) положительного ранга имеет фундаментальную систему поднормальных решений и показал, что эти решения являются асимптотическими разложениями истинных решений не только на лучах CLZQZ'B , но и в некоторых угловых областях:.

К.Я.Латышева показала, что, если в X - 0 определяющее уравнение для (13) имеет кратные корни, то этим корням соответствует как решение поднормального вида, так и логарифмическое решение вида уг-е Xl2rZTaijXd(lnx) , (16)

П , 4 П . и обратила внимание на тот факт, что асимптотические логарифмические решения появляются и тоща, когда среди корней определяющего уравнения есть такие, которые отличаются на целое число. Последний результат нашел дальнейшее развитие в работах Н.И.Терещенко [б^~65] . Он установил признак появления логарифмических решений для уравнения (13) и для систем вида y'-tK(Je~J,t-'.*Jmt"'*-)f/, (17)

- 10 где у - Л -мерный вектор; J0 , Jt , . f Jm " постоянные квадратные матрицы, причем первые из них диагональны; /С - целое положительное число7. Вопрос о необходимых и достаточных условиях существования замкнутых решений для неоднородного уравнения

Ly. -e^a.JL-g), где ,„-l р * от» s

UJ-g)' исследовал ученик Н.И.Терещенко Ю.И.Сикорский [56-57] /такую же задачу для однородного уравнения полностью решила К.Я.Латышева/.

Оригинальное доказательство существования формальной логарифмически-экспоненциальной матрицы для линейной системы вида (2) - (3) дано в книге [39] американских математиков Э.А.Код-дингтона и НДевинсона. Так, ими доказано, что если . , Хп различные характеристические корни матрицы J0 Ф 0 , то формальная матрица - решение имеет вид

19) где Р - формальный степенной ряд по Z ~{ :

18) ф- Pz*ea,

P(z)-Hz% , det Р0фО, ад " (20)

R - диагональная матрица комплексных постоянных; Q. - матрица многочлен z+i «г

ЯеН^-*-Н, * ••• * с коэффициентами - комплексными диагональными матрицами

22) if 0. о

II)

Qr

Ь- f )(i-w,v.

О О . -С

В общем же случае, когда матрица Л0 имеет ратные характеристические корни формальная матрица-решения для (2) - (3) имеет вид

Ф - зе* , (23) где й диагональная матрица с диагональными элементами ^ , представляющими собой многочлен типа и h - целые; 5 - матрица, элементы которой «Sg - формальные выражения вида

Щи

7 - 72Ч У & lnmZ В формуле (25) Zy - постоянные; а (Гут

25) - формальные ряды:

-Hh

26) с постоянными коэффициентами 6TJmt .

Кроме того, формальные определители матрицы S не обращаются в нуль для больших /z/^ 00 .На асимптотическую природу формальных решений (19) в действительном случае указывает теорема: Л

Пусть e PLtei6^L - произвольный вектор-столбец формальной матрицы-решения Ф" Pt*6* системы (2) - (3) для

Z~t. Тогда существует для всех достаточно больших t истинный вектор-решение % этой системы, такой, что оценка i iW-^m^l'Oit^'^e^) (27) имеет место для всех /77 = 0} 1,2,. . В частности,

Следует отметить, что полученный здесь результат также расцространяется на комплексный случай, т.е. решение ^ на самом деле имеет своим асимптотическим разложением в некотором секторе S Z - плоскости, не содержащем направлений

Re fU t-JLj)zrt]-0 U,} = 7,Hit+j), или тоже самое так называемых линий Стокса. Тем более в качестве сектора S можно взять любой сектор с раствором /см. [б] с. 79/.

Решение в виде (23) применять на практике оказалось неудобно. Неудобства связаны с трудностью нахождения матрицы S тем более решение в таком виде зависит от выбора многозначной функции Z .

В.Вазов [б] предложил в этом случае строить фундаментальное матричное решение для системы (2) в виде (19). Но такая методика нахождения решений линейных дифференциальных уравнений в случае 1фатных корней характеристического уравнения мало приемлема поскольку вычислять полином Q (X) задача не прос

-ifp тая, так как выражается здесь он через степени X , а не самого X и главный член его не может быть описан так просто, как в (19).

Результаты В.Вазова обобщены Э.Хилле для операторного уравнения (I) в банаховом цространстве{ 88].

Н.И.Шкиль [79~8Ь] , исследуя уравнения с медленно меняющимися коэффициентами, разработал свой метод построения асимптотического решения в случае ратных корней характеристического уравнения и в качестве иллюстрированного примера показал применимость этой методики для систем (2) в случае одной кор-дановой клетки.

Ученик Н.Й.Шкиля В.К.Григоренко [15] в своей кандидатской диссертации этим же методом построил решение в координатной форме для однородной системы (2) как с целым, так и с дробным положительным рангом в случаях, когда кратным корням характеристического уравнения соответствует несколько кратных элементарных делителей одинаковой и различной кратности. Позже в статье [18] им получены аналогичные результаты для неоднородной системы линейных дифференциальных уравнений с иррегулярной особой точкой целого ранга вида dW „г Z2J(Z)W+f(Z)C

Z*i dZ (28) где матрица J(Z) имеет представление (3), П -мерный вектор представляется формальным рядом f(Z)=±fsZ~S , (29)

5-0 > I—г

1С - действительное число, I = у-/ .

С.Ф.Фещенко в работах [69~7j] , относящихся к исследованию систем линейных дифференциальных уравнений с медленно меняющимися коэффициентами, получен весьма важный результат об асимптотическом расщеплении исходной системы линейных дифференциальных уравнений на подсистемы более низкого порядка.

Теория асимптотического расщепления, предложенная С.Ф.Фе-щенко для конечномерного случая была нетривиально обобщена на бесконечномерные пространства С.Г.Крейном и Ю.Л.Далецким [2б] , а также нашла успешное применение к системам уравнений других видов. Так, для систем вида (2) справедлива теорема /см. [б, с. 71-72]/:

Пусть 5 - отбытый сектор плоскости X с вершиной в начале и положительным центральным углом, не превосходящим Пусть J(x) есть (П* п) - матричная функция, голоморфная в S душ Х0 ^ \х\< и имеющая в S равномерное асимптотическое представление в виде степенного ряда

J(x)~ IE Л я", S. (зо) 2=0 '

Предположим, что собственные значения <л0 распадаются на две группы i,, К и ^п » так что

Xj Ф Xс s когда £>р . Тоща существует матричная функция голоморфная для Х€ S, Xi ^ /xj ^ , имеющая в «S асимптотическое разложение

Р(х) ~ Л Рг а="г, я —, * 0 (31) и такая, что преобразование Ч- P(x)z переводит дифференциальное уравнение

Х~*У'-Л(Х)У (32) в x~3z' = B(x)z , (33) где В (X) имеет блочно-диагональную форму

Bfx)-(B"(X) 0 ) ■

0 ь»[х)] (34)

Матрицы В(х) представляются асимптотическими степенными рядами: il -г при ос? t причем В/' имеет собственные значения Хр , а В0 -собственные значения Xp+i,.

Эта теорема дает возможность сводить задачу о нахождении асимптотического решения исходной системы дифференциальных уравнений к той же задаче для отдельных П скалярных уравнений в случае цростых корней характеристического уравнения и в случае кратных корней характеристического уравнения к той же задаче для нескольких подсистем низшего порядка, количество которых равно числу тождественно кратных корней. Причем посредством преобразования подобия можно добиться, чтобы матрицы подсистем имели жорданову каноническую форму с одним собственным значением, т.е. Вы (X) = + Нк, Л> /, 5 , где S кратность корня, а В*}(х)= В% 0 ВЦ в. © ВЦ , © -прямая сумма матриц, JR - единичная матрица, Нк - матрица сдвига;

Обобщая результаты В.Вазова, в статье [2^] И.В.Денисов показал, что при конечномерности операторов В0 ,. а в разложении B(Z) иррегулщшо сингулярного уравнения (I) в банаховом пространстве существует такая формальная замена переменных, которая уравнение (I) сводит к двум уравнениям того же вида, одно из которых конечномерно, а у второго оператор J0 нильпотентен.

В случае иррегулярной особой точки Н.А.Сотниченко [59] рассматривал расщепление линейных дифференциальных уравнений с медленно меняющимися коэффициентами вида dx <lsJI(%s)x , dt ' (36) где % = §fit 9 Д § - целые не отрицательные числа;

X - П -мерный вектор; J(T £ ) ~ (П* п) - матрица, ограниченная и голоморфная по комплексным переменным % и £ , при L 9 0</г/^£а Л и обладает разложением

37)

Построению решений системы (38) посвящена статья Г.П.Да-видюк [22] ^

Следует отметить, что система (36) в отличие от системы (2) имеет особенность не только по переменной, но и по параметру.

Исследованию обыкновенных линейных дифференциальных уравнений с малыми коэффициентами при старших производных в окрестности иррегулярной особой точки первого ранга посвящена работы М.М.Хапаева [72'73] . В них рассматривается уравнение вида z,$) £ рк (ZS) т(с'=0 (38) fz-m+i 1с~и где коэффициенты Pc(Z,s) являются аналитическими функциями по ё и Z в окрестности точек £=0 и Z = рс 5Ё В^ (s) Xs . (39)

Решается задача построения формального разложения решений уравнения (38) по степеням ё и устанавливается асимптотический характер этого разложения при <§ —0 .

Таким образом краткий исторический обзор работ по асимптотическому представлению решений для дифференциальных уравнений

7 -го порядка и систем линейных дифференциальных уравнений в окрестности иррегулярной особой точки позволяет сделать следующие выводы:

I. Основные исследования, проведенные раньше для дифференциальных уравнений Л -го порядка и систем линейных дифференциальных уравнений с иррегулярной особой точкой^выполнены в рамках конечномерного пространства.

2. Уравнения и системы уравнений с иррегулярными особенностями по переменной и сингулярными особенностями по малому параметру в литературе рассмотрены лишь частично в работах Н.А.Сот-ниченко и М.М.Хапаева. На необходимость исследования таких систем указывает ряд практических задач. Так, например, при расчете несимметричного изгиба круглых пластин постоянной толщины ( [35] с. 471-473) приходят к решению дифференциального уравнения /мы берем однородное/ йг*'" dz' /с (40) в котором 6) - функция изгиба, зависящая от радиуса Z круглой пластины, П - числа натурального ряда, т.е. при больших П - большой параметр.

Делим уравнения на 2^/7к , обозначая П 1 = £ - малый параметр, приходим к следующему дифференциальному уравнению ctz> г * й)г> ctz2 * (4I)

Уравнение (41) заменой

42) сводится к системе вида doc

S-fo- = Jfaz) х , (43) в которой

О {00

0 Old

О 0 0 1 zs z* ь г

Исходя из вышеизложенного, целью настоящей работы является:

- исследование систем линейных дифференциальных уравнений первого порядка, имеющих особенности как по независимой переменной, так и по малому параметру, то есть сингулярно возмущенных систем в случае иррегулярной особой точки;

- постановка общей задачи построения асимптотического предсталвения решения однородных и неоднородных линейных дифференциальных уравнений с иррегулярной особой точкой в банаховом пространстве.

Научная, новизна. Предложен подход к проблеме построения решений для сингулярно возмущенных дифференциальных уравнений с иррегулярной особой точкой в виде разложений по . степеням независимой переменной и малого параметра. Получены достаточные условия разложения таких решений в случае простых корней характеристического уравнения и указана схема их дальнейшего расширения в "резонансном" случае.

Для уравнений с иррегулярной особой точкой в банаховом пространстве построен алгоритм расщепления на уравнения как бы меньшей размерности, указаны оценки близости /77 -приближенных расщеплений к соответствующим точным, построены решения в виде асимптотических разложений в зависимости от поведения собственных значений главного оператора, а также вида правой части неоднородного уравнения;

- 19

Теоретическая и практическая ценность. Разработан новый аналитический алгоритм приближенного решения сингулярно возмущенных систем линейных дифференциальных уравнений с иррегулярной особой точкой. Найден явный вид коэффициентов разложений искомого решения по степеням малого параметра и независимой переменной. Полученные результаты могут быть использованы при решении прикладных задач строительной механики, физики, прикладной математики.

Предложен общий подход к проблеме асимптотического представления решений дифференциальных уравнений с иррегулярной особой точкой в банаховом пространстве, который позволил обобщить некоторые ранее известные результаты в конечномерном пространстве на бесконечномерные пространства. Это, несомненно, представляет определенный теоретический и практический интерес, учитывая возможность приложений к уравнениям с частными производными.

Структура и объем работы. Настоящая работа состоит из введения, двух глав, объединяющих 12 параграфов, библиографического списка, включающего 91 наименование литературных источников и содержит 136 страниц машинописного текста.

Первая глава посвящена асимптотическому разложению решений неоднородных систем линейных дифференциальных уравнений, имеющих сингулярные особенности по малому параметру и иррегулярные особенности по независимой переменной одновременно.

В параграфе I.I. приводятся некоторые вспомогательные результаты и утверждения, необходимые в дальнейшем.

В параграфе 1.2. рассматривается однородная сингулярно возмущенная система дифференциальных уравнений с иррегулярной особой точкой, соответствующая неоднородной системе. Устанавливается возможность формального расщепления исходной системы на подсистеш меньшей размерности. Доказывается асимптотический характер формального расщепления.

В параграфе 1.3. излагается процесс формального расщепления неоднородной системы на подсистемы меньшей размерности в "резонансном" и "нерезонансном" случаях.

В параграфе 1.4. строятся формальные общие решения однородной и неоднородной системы в случае простых корней характеристического уравнения и показывается их асимптотика.

В параграфе 1.5. рассматривается случай дробного ранга иррегулярной особой точки.

Вторая глава посвящена вопросам представления решений в виде асимптотических разложений по независимой переменной уравнения (2) в банаховом пространстве.

В параграфе 2.1. даются предварительные замечания, которые используются в дальнейшем.

В параграфе 2.2. производится расщепление уравнения (2) на уравнения как бы "меньшей" размерности.

Асимптотические оценки такого расщепления даются в параграфе 2.3.

Параграф 2.4. посвящен расщеплению неоднородного уравнения. Так как задача расщепления не решает вопроса построения решений при наличии кратных собственных значений, то изучению этого вопроса посЕящен параграф 2.6.

В параграфе 2.7. исследуется случай сходимости решений, построенных в параграфе 2.6.

Апробация работы. Основные результаты работы изложены в пяти статьях автора [2i~23, 61 ~ 62] и докладывались на научно-технических конференциях Киевского инженерно-строительного института /1980, 1981, 1983 г.г./, на научной конференции аспирантов и молодых ученых Киевского государ

- 21 ственного педагогического института им. А.М.Горького /1980/. По материалам диссертации делались доклады:

- на научном семинаре по дифференциальным уравнениям кафедры высшей математики Киевского пединститута им. А.М.Горького /руководитель член-корр. АПН СССР, профессор Н.И.Шкиль/;

- на республиканском семинаре по дифференциальным уравнениям Киевского государственного университета им. Т.Г.Шевченко /руководитель член-корр. АН УССР, профессор А.М.Самойленко/;

- на научно-технических семинарах кафедры высшей математики Украинского института инженеров водного хозяйства /г. Ровно, 1982 - 1983 г.г./.

I. АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННЫХ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ИРРЕГУЛЯРНОЙ ОСОБОЙ ТОЧКОЙ

Рассмотрим систему вида tsJ(tj)x+f(t,S)ew(t'!) (i.i) где J (t, (Л* П) - матрица, функция

IM h ж д - целые неотрицательные числа, «X и -мерные векторы, £ - малый параметр, ^ - действительное число,

L-fT.

Относительно матрицы Jl(t} 8J и вектора f(t,£) предполагаем следующее:

1. Матрица l(tfi) и вектор Jit, &) ограничении голоморфны по комплексному переменному teS={ltl>Xa,/azgtl* fij ц.з) и малому параметру

D< s,, lazg ё/^uj (i.4)

2. Матрица Jl(tfs) и вектор J(t9 g) допускают асимптотическое разложение j(ti)-±ш", mt" (i.5) равномерное в Э/g с голоморфными коэффициентами

Ш-% lKss , i (s) -1 «.б)

- 23

Для системы (I.I) будем решать задачу Коши. При этом могут представиться два случая:

I/ "резонансный" - значение L)) равно одному из корней характеристического уравнения detllJm-XElhO , (i.7)

2/ "нерезонансный" - значение I$ не равно корням уравнения (1.7).

При построении асимптотических решений систем линейных дифференциальных уравнений мы будем пользоваться векторно-матричным способом. Поэтому изложим некоторые, необходимые в дальнейшем, сведения из теории линейной алгебры.

I.I. Некоторые вспомогательные утверждения, результаты и обозначения

Прежде всего условимся относительно обозначений. Матрицы и линейные операторы будем обозначать большими буквами, векторы -маленькими. В частности, единичную матрицу будем обозначать через Е . Из теории линейной алгебры [12] известно, что всякую квадратную матрицу с постоянными элементами можно привести к канонической форме. При этом каноническая форма определяется поведением элементарных делителей, соответствующих корням характеристического уравнения det I/J-IEfl= 0, d.i.i) которые принято называть характеристическими числами или собственными значениями матрицы JI

Пусть уравнение (I.I.I) имеет i^p^ 0 различных корней JL> кратности которых соответственно равны /Су,., £р.

Если корню Xj l^p) соответствует лишь простые элементарные делители, то существует такая неособенная матрица В , что матрица

- 24

В'JB = W

1.1,2) имеет структуру w

V, О 0. D

О 9t 0.0 • # ••• • •• •«•

ODD. ft

I.I.3) где Wj - диагональная матрица порядка /С • , имеющая вид:

Wj-ljE. (i.i.4)

Этот случай называют случаем простых корней характеристического уравнения.

Если же корню Xj соответствует один или несколько кратных элементарных делителей, то матрица J приводится к виду (1,1.2), (I.I.3), где матрицы Tffj имеют вид жордановых клеток, то есть

Щ = V

• Щ, 0 . 0

D Щг . 0

• 0 0 0 • • • ••• 00 0 0 . щ sj

V) матрица J имеет вид

I.I.5)

I.I.6)

3

О 1 о . о

О О 1 .о о 'о "о У 0 0 о . о

I.I.7)

Zv - кратности элементарных делителей соответствующих кратному корню Xj .

Всякая неособенная матрица J(det J+D) имеет обратную.

- 25 - ,

Будем обозначать ее, как обычно, через Л . В случае, когда матрица Л особенная jdei J=О/ будем использовать обобщенно обратную /псевдообратную/ матрицу Л в Ц . Определение и вычисление псевдообратной матрицы смотри, например, в [l2, с. 32-40, 265-266] ; [б7] .

Рассмотрим теперь уравнение вида

Вх = Ь , (I.I.8) в котором X и 6 - П -мерные векторы, В~(П*п) - матрица, det В~ 0. Элемент У назовем нулем матрицы 5 , если он является решением уравнения

Вх=0 (I.I.9)

Множество Л/(в) всех нулей матрицы В назовем подпространством матрицы D . Аналогично множество подпространством матрицы В * / 5* - сопряженная матрица к & /: feM(B*), B't-D} .

Тогда для разрешимости уравнения (1,1.9) необходимо и достаточно [7, с. 336-337; 59, с. 5-6J , чтобы для любого feJJ(B') 6) = 0. (i.i.io)

Здесь ( ) - скалярное произведение векторов F и 6.

Если - базис в базис в Л (В*) , то условие разрешимости (1.1.10) можно записать i'l,>С (I.I.II)

При условии разрешимости общее решение однородного уравнения (I.I.8) можно представить в виде я x^^LCiV- , (i.i.12) где Сi - произвольные числа.

Тогда решение уравнения (I.I.7) можно записать формулой л- H6 + itc£V>£ , (I.I.I3)

L=i L 1 > где Н - обобщенно обратная матрица для матрицы В.

В дальнейшем нам понадобиться также разрешимость уравнений вида

LX = 0 (i.i.i4) и

LI - В , (i.i.i5) в которых линейный оператор

LX =ЛХ~ХЛ , (I.I.I6) где А и X - (П * fl) матрицы, причем

А - dtag(X„., А.) ал.т

Так как согласно леммы [б9, с. 8-ю] /7 матриц

4>R = cLlag(0,.J,i,0,.,0),

А. - 1, П где £ указывает порядок расположения единицы по диагонали, образуют нуль-пространство оператора L , то общее решение уравнения (I.I.I4) можно представить в виде п

X - ^-ФсС; (I.I.I9) где Cl - произвольные числа.

Аналогично для уравнения (I.I.I5) выполняются условия разрешимости типа (I.I.I0), то общее решение (I.I.I5) можно записать в виде формулы подобной формуле (I.I.I3).

- 27

Основные результаты диссертационной работы получены и состоят в следующем.

Для сингулярно возмущенных систем линейных дифференциальных уравнений с иррегулярной особой точкой

- впервые исследован вопрос асимптотического расщепления исходной системы на подсистемы меньшей размерности;

- построено общее решение в случае простых корней характеристического уравнения;

- исследованы явления "резонанса" и "нерезонанса";

- рассмотрен случай дробного ранга иррегулярной особой точки.

Для линейных дифференциальных уравнений с иррегулярной особой точкой в банаховом пространстве

- построен алгоритм расщепления исходных уравнений на уравнения как бы "меньшей" размерности;

- установлены оценки близости приближенных расщеплений к соответствующим точным;

- изучен вопрос построения асимптотического представления решения неоднородного уравнения, когда неоднородность показательно-степенного характера;

- построены частные решения однородного уравнения в случае изолированного кратного собственного значения замкнутого оператора главной части, исследован воцрос их сходимости.

Найден явный вид всех коэффициентов асимптотического представления искомых решений. J

- 126 -ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. АБГАРЯН К.А. Матричные и асимптотические методы в теории линейных систем. М.: Наука, 1973. - 432 с.

2. АЙНС Э.Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения. -Харьков: Научн.-техн. изд-во Угфаины, 1939. 717 с.

3. БОГОЛЮБОВ Н.Н., МИТРОПОЛЬСКИЙ Ю.А., САМОЙЛЕНКО A.M. Метод ускоренной сходимости в нелинейной механике. Киев: Наукова думка, 1969. - 247 с.

4. БОГОЛЮБОВ Н.Н., МИТРОПОЛЬСКИЙ Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1974. - 503 с.

5. БРЕЙН Н.Г. Асимптотические методы в анализе. М.:. Изд-во иностр.лит., 1961. - 247 с.

6. ВАЗОВ В. Асимптотические разложения решений дифференциальных уравнений. -М.: Мир, 1968. 464 с.

7. ВАЙНБЕРГ М.М., ТРЕНОГЙН В.А. Теория ветвления решений нелинейных уравнений. М.: Наука, 1966. - 527 с.

8. ВАН-ДАЙК М. Методы возмущений в механике жидкости. -М.: Мир, 1967. 527 с.

9. ВАСИЛЬЕВА А.Б., БУТУЗОВ В.Ф. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений. М.: Наука, 1973. - 272 с.

10. ВАСИЛЬЕВА А.Б., БУТУЗОВ В.Ф. Сингулярно возмущенные уравнения в критических случаях. М.: Изд-во Москов. у-та, 1978. - 106 с.

11. БИПИК М.И., ЛЮСТЕРНИК Л.А. Решение некоторых задач о возмущении в случае матриц и самосопряженных и несамосопряженных дифференциальных уравнений. Успехи мат.наук, I960, Т. 15, вып. 3, с. 3-80.- 128

12. ГАНТМАХЕР Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1967.576 с.

13. ГРАЧЕВА Г.С. Об асимптотическом представлении решений дифференциальных уравнений с большим параметром. Киев, 1978.- 40 с. (Препринт/ Ин-т мат. АН УССР; Р78.36).

14. ГРАЧЕВА Г.С. Об асимптотическом представлении решения одного дифференциального уравнения с замкнутым оператором. Резонансный случай. В кн.: Оператор.методы в нелинейном анализе: Сб. статей. Воронеж, 1982, с. 37-44.

15. ГРИГ0РЕНК0 В.К. Об асимптотическом разложении решений систем линейных дифференциальных уравнений. Дис. . канд. физ.-мат. наук. - Киев, 1971. - 213 с.

16. ГРИГОРЕНКО В.К. О формальных решениях систем дифференциальных уравнений дробного ранга с иррегулярной особой точкой. Докл. АН УССР, сер. А, 1972, № 7, с. 593-598.

17. ГРИГОРЕНКО В.К. Асимптотическое представление решений линейного дифференциального уравнения в случае кратных корней характеристического уравнения. Укр.мат.журн., 1977, Т.29, № 2, с. 249-254.

18. ГРИГОРЕНКО В.К. Об одной неоднородной системе линейных дифференциальных уравнений с иррегулярной особой точкой. -Укр.мат.журн., 1980, Т. 32, № 6, с. 737-745.

19. ГРИГОРЕНКО В.К. 0 решениях неоднородных систем линейных дифференциальных уравнений с иррегулярной особой точкой. -Вестн. Киев, у-та, сер. мат. и мех., 1980, вып. 22, с. 14-23.

20. ГРИГОРЕНКО В.К. Редукция системы линейных дифференциальных уравнений с иррегулярной особой точкой. В кн.: Приближ. методы мат.анализа: Сб.научн.тр. Киев, 1980, с. 46-53.

21. ДАВИДЮК Г.П. К вопросу построения решений в случае кратных корней характеристического уравнения. В кн.: Приближ.мето-ды мат.анализа: Сб. научн.тр. Киев, 1981, с. 31-36.

22. ДАВИДЮК Г.П. Интегрирование систем дифференциальных уравнений с медленно меняющимися коэффициентами и иррегулярной особой точкой. В кн.: Приближ.методы мат.анализа: Сб. научн. тр. Киев, 1980, с. 53-56.

23. ДАВИДЮК Г.П. Построение решений для систем линейных дифференциальных уравнений с особенностями по переменной и по малому параметру. Киев, 1982. - 23 с. - Рукопись предст. Киев, инж.-строит.инс-том. Деп. в УкрНИИНТИ 7 апр. 1983 г., № 263 У-Д83.

24. ДЕНИСОВ И.В. Асимптотическое решение иррегулярно сингулярного уравнения в банаховом пространстве. Успехи мат.наук, 1982, Т. 37, вып. 5, с. I8I-I82.

25. ДЕНИСОВ И.В. Об асимптотическом решении дифференциальных уравнений, не разрешенных относительно производной, в банаховом пространстве. М., 1981. - 17 е., - Рукопись предст. Мос-ков.пед.инс-том. Деп. в ВИНИТИ 13 апр. 1981 г., № 1651-81Деп.

26. ДАЛЕЦКИЙ Ю.Л., КРЕЙН М.П. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. М.: Наука, 1970, - 534 с.

27. ДАЛЕЦКИЙ Ю.Л., КРЕЙН С.Г. О дифференциальных уравнениях в гильбертовом пространстве. Укр.мат.журн., 1950, Т. 2, № 4, с. 71-91.

28. ДАЛЕЦКИЙ Ю.Л. О некоторых уравнениях с замкнутыми операторами. Изв.Киев.политехи, ин-та, 1956, Т. 19, с. 157-177.

29. ДАЛЕЦКИЙ Ю.Л., K0P0EK0BA И.К. Про деяке диференщальне операторне р1вняння з регулярною особливою точкою. Допов. АН УРСР. Сер. А, 1968, № II, о. 972-977.- 130

30. ДОНСКАЯ Л.И. 0 структуре решений систем трех линейных дифференциальных уравнений в окрестности иррегулярно-особой точки. Докл. АН СССР, 1951, Т. 80, $ 3, с. 321-324.

31. ДОНСКАЯ Л.И. Построение решений линейной однородной системы дифференциальных уравнений в виде равномерно сходящихся рядов в окрестности вррегулщиюй особой точки: Автореф. дис. . канд.физ.-мат. наук. Ленинград, 1952. - 4 с.

32. ЕРУ1Ж Н.П. Приводимые системы. Тр.мат. ин-та им. В.А.Стеююва, 1946, Т. 13, 96 с.

33. ЗБОЙЧИК И.Н. 0 представлении решения системы лин.диф. уравнений в. оедестности.иррегулярной особой точки. Диф.уравне-ния. - 1967, Т. 3, № 4 ; с. 601-618.

34. ЗБОЙЧИК И.Н. Асимптотическая эквивалентность линейных систем в окрестности иррегулярной особой точки: Автореф. дис. . кацц. физ.-мат наук. Минск, 1969, - 6 с.

35. КАН С.Н. Строительная механика оболочек. М.: Машиностроение, 1966. - 508 с.

36. KAT0 Т. Теория возмущений линейных операторов. М.: Мир, 1972. 740 с.

37. К0ПС0Н Э.Т. Асимптотические разложения. М.: Мир, 1966. 195 с.

38. КАШ Я.Ф. Некоторые воцросы методов разложения по параметру. Киев: Hayкова думка, 1980. - 168 с.

39. К0ДДИНГТ0Н Э.А., ЛЕВИНС0Н Н. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Изд-во иностр.лит., 1968. -- 474 с.

40. КОСТОМАРОВ Д.П. Об асимптотическом поведении решений систем линейных дифференциальных уравнений первого порядка в- 131 о£фестности иррегулярно-особой точки. Автореф. дис. . канд. физ.-мат.наук. М., 1955, - 8 с.

41. КОСТОМАРОВ Д.П. Формальные решения систем линейных дифференциальных уравнений в виде нормальных и поднормальных рядов. Докл. АН СССР, 1956, Т. 108, Л 6, с. I0II-I0I3.

42. КОСТОМАРОВ Д.П. Об асимптотическом поведении решений систем линейных дифференциальных уравнений первого порядка в окрестности иррегулярной особой точки. Докл. АН СССР, 1956, Т. ПО, № 6, с. 918-921.

43. КОСТОМАРОВ Д.П. Формальные системы линейных дифференциальных уравнений и их решения в виде нормальных и поднормальных рядов. Мат. сб., 1958, т. 44, 2, с. 137-156.

44. КОУЛ Д. Методы возмущений в прикладной математике. -М.: Мир, 1972. 274 с.

45. КРЕЙН С.Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. М.: Наука, 1967. - 464 с.

46. КРЕЙН С.Г. Линейные уравнения в банаховом пространстве. М.: Наука, 1971. - 104 с.

47. КРШГОВ Н.М., БОГОЛЮБОВ Н.Н. Введение в нелинейную механику. Киев: Изд-во АН УССР, 1937. - 366 с.

48. ЛАТЫШЕВА К.Я. Нормальные решения линейных дифференциальных уравнений с полиномиальными коэффициентами: Дис. . д-ра физ.-мат. наук. Киев, 1952, 242 с.

49. ЛАТЫШЕВА К.Я., ТЕРЕЩЕНКО Н.И. Лекции по аналитической теории дифференциальных уравнений и их приложения. Киев: Изд-во ин-та мат. АН УССР, 1970. - 393 с.

50. ЛАТЫШЕВА К.Я., ТЕРЕЩЕНКО Н.И., ОРЕЛ Г.С. Нормально-регулярные решения и их приложения. Киев: Вшца школа, 1974,135 с.

51. ЛАШО-ДАНИЛЕВСКИЙ И.А. Применение функций от матриц к теории линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Гостехиздат, 1957, - 456 с.

52. ЛОМОВ С.А. Введение в общую теорию сингулярных возмущений. М.: Наука, 1981. - 400 с.

53. МАРКУШ I.I. Розвиток асимптотичних метод1в у теорП диференц1альних р1внянь. Ужгород: Вид-во Ужгород, ун-ту, 1975,- 224 с.

54. МИТРОПОЛЬСКИЙ Ю.А. Проблемы асимптотической теории нестационарных колебаний. М.: Наука, 1964, 432 с.

55. НАЙФЭ А.Х. Методы возмущений. М.: Мир, 1976,- 455 с.

56. СИКОРСКИЙ Ю.И. Нормальные решения линейных однородных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами: Автореф. дис. . канд. физ.-мат.наук. Киев, 1972. - 13 с.

57. СИКОРСКИЙ Ю.И., ТЕРЕЩЕНКО Н.И. Об условиях существования замкнутых решений линейного неоднородного дифференциального уравнения с полиномиальными коэффициентами. Укр.мат.журн., 1973, Т. 25, № 4, с. 558-563.

58. С0ТНИЧЕБК0 Н.А., Фещенко С.Ф. Об асимптотическом решении для дифференциального уравнения в банаховом пространстве при наличии конечной системы кратных собственных значений. -Укр.мат.журн., 1976, Т. 28, & 5, с. 655-663.

59. С0ТНИЧЕНК0 Н.А., ФЕЩЕНКО С.Ф. Асимптотическое интегрирование дифференциальных уравнений. Киев, 1980. - 488 с. (Препринт /Ин-т мат. АН УССР; Р80.3).

60. СОТНИЧЕНКО Н.А., ФЕЩЕНКО С.Ф. Асимптотическое расщепление систем линейных дифференциальных уравнений в частных производных. Киев, 1978. - 39 с. (Препринт /Йн-т мат. АН УССР; Р78.34).

61. СОТНЙЧЕНКО Н.А., ДАЕИДЮК Г.П. Линейные дифференциальные уравнения с иррегулярной особой точкой в банаховом пространстве. Докл. АН УССР, Сер. А, 1983, № 5, с. 18 - 21.

62. СТАРУН И.И. Об асимптотическом поведении решений систем линейных дифференциальных уравнений. Дис. . кацд. физ.-мат. наук. - Киев, 1970. - 195 с.

63. ТЕРЕЩЕНКО Н.И. Об асимптотических логарифмических решениях линейных однородных дифференциальных уравнений. Укр. мат.журн., 1958, Т.Ю, $ I, с. 82-83.

64. ТЕРЕЩЕНКО Н.И. О решениях некоторых систем линейных дифференциальных уравнений с особыми точками. Укр.мат.журн., 1958, Т. 10, & 2, с. 220-223.

65. ТИХОНОВ А.Н. 0 зависимости решений дифференциальных уравнений от малого параметра. Матем.сб., 1948, Т. 22, с. 193204.

66. ТУРБИН А.Ф. Формулы для вычисления полуобратной и псевдообратной матрицы. Журн. вычислит.мат. и мат.физики, 1974, Т.14, Л 3, с. 772-776.

67. ФЕЩОРКЖ М.В. Асимптотические методы в теории обыкновенных линейных дифференциальных уравнений. Матем.сб., 1969, Т. 79, № 4, с. 477-516.

68. ФЕЩЕНКО С.Ф., ШКЙЛЬ Н.И., НИКОЛЕНКО Л.Д. Асимптотические методы в теории линейных дифференциальных уравнений. -Киев: Наукова думка, 1966. 252 с.

69. ФЕЩЕНКО С.Ф. Об асимптотическом расщеплении системы линейных дифференциальных уравнений. Укр.мат.журн., 1955,1. Т. 7, В 2, с. 167-179.

70. ФЕЩЕНКО С.Ф. Об асимптотическом расщеплении систем линейных дифференциальных уравнений. Оценка погрешности. -Уод.мат.журн., 1955, Т. 7, J6 2, с. 443-452.

71. ХАПАЕВ М.М. Асимптотические разложения решений обыкновенных линейных дифференциальных уравнений с малыми коэффициентами при старших производных в окрестности иррегулярной особой точки. Докл. АН СССР, математика, I960, Т. 135, В 6, с. 1338 -1341.

72. ХАПАЕВ М.М. Асимптотика в окрестности иррегулярной особой точки решений обыкновенных линейных дифференциальных уравнений с малыми коэффициентами цри старших производных. Мат. сб. 1962, Т. 57 (99), вып. 2, с. 187-200.

73. ХОРОШИЛОВ В.В. 0 решениях систем линейных дифференциальных уравнений с иррегулярной особой точкой. Уч. зал. Ленинград, ун-та. Сер. мат., 1950, вып. 19, с. I8I-I97.

74. ХОРОШИЛОВ В. В. О решениях систем линейных дифференциальных уравнений с иррегулярно-особой точкой. Докл. АН УССР, 1950, Т.72, № 2, с. 241-242.

75. ХОРОШИЛОВ В. В. 0 решениях систем линейных дифференциальных уравнений с иррегулярно-особой точкой. Прикл.мат.и мех., 1951, Т. 15, вып. I, с. 37-54.

76. ЧЕЗАРЙ Л. Асимптотическое поведение и устойчивость обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1964. -478 с.

77. ШВАРЦМАН П.А. К аналитической теории линейных дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. Математ.исследования, 1969, Т. 4, вып. 3, с. 90-102.

78. ШКЕЛЬ M.I. Асимптотичн1 метода в диференц1йних р1в-няннях. Ки1в: Вища школа, 1971. 226 с.

79. ШКЕЛЬ МЛ., ГРИГОРЕНКО В.К. Про формалый розв"язки системи л1н1йних диференц1алъних р1внянь з 1ррегулярною особливою точкою. Донов. АН УРСР, сер1я А, 1972, Ш I, с. 29-33.

80. ШКИЛЬ Н.И. О некоторых асимптотических методах в теории линейных дифференциальных уравнений с медленно меняющимися коэффициентами. Дис. . д-ра физ.-мат. наук. - Киев, 1968.- 419 с.

81. ШКИЛЬ Н.И. Асимптотическое поведение линейных систем в случае кратных корней характеристического уравнения. Укр. мат.журн., 1962, Т. 14, В 4, с. 383-391.

82. ШКИЛЬ Н.И. Асимптотическое решение системы линейных дифференциальных уравнений в случае кратных корней характеристического уравнения. Изв.вузов, 1964, № 2 (39), с. 176-185.

83. ШК1ЛЬ M.I. Про асимптотичний розв"язок системи л1н1йних диференц1альних р1внянь у випадку кратних корен1в характеристичного р1вняння. Допов. АН УРСР, Сер. А, 1965, 16, с. 699-703.

84. ЭРДЕЙЙ А. Асимптотические разложения. М.: Физмат-гиз, 1962. - 127 с.36, BIRKHOFF G.D. On a sinpey type of irregular point.-Trans. Amer. Math. Soc., 1912, N 14,pp. 462-480.

85. BIBKHOFF G.D. Singular points of ordinary linear differential equations.- Trans.Amer. Math.Soc., 1909fN 10, pp.436-470.

86. HILL E. Linear differential equations in Banch algebras.- Proc. International Symposium on Linear Spaces, 1960, pp.263-273.

87. НОШ J. Uber das verhalten der Integrale linearen Differenzen und Differentialgleichungen fur grose Warte der Yeranderlichen. J.fur Math., 1910, N 138, ss. 159 - 191.

88. POINCARE H. Sur les integrales irregulierz des equations lineaires. Acta Math., N 8, ss. 295 - 344-•

89. Wasow W. On the analytic validity of formal sinpli-fications of linear differential equations, Funkcial Ekvac, 1967, N 10, p.p. 107 - 122.