Угловой погранслой в нелинейных сингулярно возмущенных дифференциальных уравнениях с частными производными тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

003494526

На правах рукописи

ДЕНИСОВ ИГОРЬ ВАСИЛЬЕВИЧ

УГЛОВОЙ ПОГРАНСЛОЙ В НЕЛИНЕЙНЫХ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ

С 1.01.03 -математическая физика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени достора физико-математических наук

Тула 2010

2 5 мдр 2010

003494526

Работа выполнена на кафедре алгебры, математического анализа и геометрии Тульского государственного педагогического университета имени Л.Н.Толстого

Научный консультант доктор физико-математических наук профессор

Бутузов Валентин Федорович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук профессор

Галкин Валерий Алексеевич

доктор физико-математических наук профессор Нестеров Андрей Владимирович

доктор физико-математических наук профессор Сафонов Валерий Федорович

Ведущая организация: Ярославский государственный университет имени П.Г.Демидова

Защита состоится « 22 » апреля 2010г. в « 15 » часов « 30 » минут на заседании диссертационного совета Д 501.002.10' при Московском государственном университете имени М.В Ломоносова по адресу: 119991, ГСП-1, Москва.. Ленинские горы, МГУ имеии М.ВЛомоносова, дом 1, строение 2, физический факультет, Северная физическая аудитория.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке физического факультета МГУ.

Автореферат разослан « » марта 20Юг.

Ученый секретарь диссе] доктор физико-математа

Грац Ю.В.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы.

Современная теория асимптотических разложений начинается с работы А. Пуанкаре 1886 г. [1], в которой было введено понятие асимптотического ряда. Понятие пограничного слоя и уравнений, описывающих течение в. зоне пограничного слоя, ввел JI. Прандтль в 1904 г. [2]. Теория асимптотического интегрирования стала целенаправленно развиваться, начиная с работ Л. Шлезингера (1907) [3] и Дж. Биркгофа (1908) [4].

К середине 20 века были получены многочисленные результаты по теории дифференциальных уравнений с малым параметром. Обширная библиография на эту тему приведена в книге В. Вазова [5]. Определяющими для последующего развития теории дифференциальных уравнений с малым параметром явились работы А.Н. Тихонова конца 40-х - начала 50-х годов [6-8]. В дальнейшем оформились основные направления теории: метод пограничных функций (М.И. Вишик, Л.А. Люстерник [9], В.А. Треногин [10], А.Б. Васильева, В.Ф. Бутузов [11-13] и др.), метод усреднения (H.H. Боголюбов, Ю.А. Митропольский [14-15], В.М. Волосов [16], М.М. Хапаев [17] и др.), методы типа ВКБ (В.П. Маслов [18], М.В. Федорюк [19] и др.), теория релаксационных колебаний (Л.С. Понтрягин [2], Е.Ф. Мищенко, Н.Х. Розов [21] и др.), метод регуляризации (С.А. Ломов [22] и др.), метод сращивания асимптотических разложений (А.М. Ильин [23] и др.). Различные направления теории сингулярных возмущений интенсивно развивались и за рубежом [24].

В 1957 г. была опубликована статья М.И. Вишика и Л.А. Люстерника [9], в которой был сформулирован общий подход к построению асимптотических разложений решений линейных сингулярно возмущенных уравнений с частными производными. Такие задачи

возникают в химической кинетике, синергетике, биологии, астрофизике, лазерной оптике. Были рассмотрены задачи в областях с гладкими границами:, и асимптотические разложения решений строились в виде суммы регулярной и погранслойной частей. В 1970-х годах В.Ф. Бутузов [25] применил метод погранфункций к задачам в областях с угловыми точками границы. Для линейных сингулярно возмущенных эллиптических уравнений была исследована задача Дирихле. Были построены асимптотические разложения решений в виде суммы регулярной, погранслойной и угловой частей.

Переход к нелинейным уравнениям оказался сопряженным с принципигшьными трудностями, касающимися, прежде всего, отсутствия методов решения нелинейных задач и получения необходимых оценок. Возникающих проблем удавалось избежать при рассмотрении задачи Неймана, но для эллиптических уравнений основной интерес представляет задача Дирихле. Задача асимптотического интегрирования нелинейных сингулярно возмущенных уравнений с частными производными является естественным обобщением рассмотренных ранее задач, представляет важное направление в теоретических исследованиях, имеет многочисленные приложения к модельным задачам и потому является актуальной.

Целью настоящей работы является развитие асимптотических методов решения нелинейных задач химической кинетики, широко используемых в математической физике, позволяющих эффективно исследовать значительный круг модельных задач, именно:

- разработка методов построения асимптотических приближений решений широкого класса нелинейных сингулярно возмущенных задач в областях с угловыми точками границы;

- развитие метода угловых погранфункций для указанного класса задач как эффективного средства построения асимптотических приближений;

- развитие метода барьеров (верхних и нижних решений) как эффективного средства доказательства существования решений нелинейных задач математической физики;

- развитие асимптотического метода дифференциальных неравенств доказательства теорем существования и оценки остаточных членов асимптотик, имеющих пограничные слои.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми.

Теоретическая и практическая значимость. Методы, разработанные в диссертации, ориентированы на исследование прикладных задач, в частности, задач химической кинетики. Работа носит теоретический характер:

- получены асимптотические разложения решений широкого класса нелинейных сингулярно возмущенных уравнений с частными производными в областях с угловыми точками границы.

- модифицирован метод угловых погранфункций и доказано, что этот метод эффективно применим к нелинейным сингулярно возмущенным эллиптическим и параболическим уравнениям с краевыми условиями 1-го рода в областях с угловыми точками границы;

- введено новое принципиальное понятие кусочно-гладких барьеров (верхних и нижних решений) для задач, определяющих угловые погранфункции;

- проведено сглаживание кусочно-гладких барьеров и доказано существование решений угловых погранслойных задач, возникающих при использовании метода угловых погранфункций для нелинейных сингулярно возмущенных уравнений с частными производными в областях с угловыми точками границы;

- модифицирован метод дифференциальных неравенств и с его помощью проведена оценка точности построенных асимптотических разложений решений сингулярно возмущенных краевых задач.

Апробация работы. Основные результаты диссертации неоднократно докладывались и обсуждались на семинаре под ру ководством проф. А.Б. Васильевой и проф. В.Ф. Бутузова (физический ф-т МГУ им. М.В. Ломоносова),, на Всесоюзной конференции по асимптотическим методам (Бишкек, 1991), на "Понтрягинских чтениях - VII" (Воронеж, 1996), на конференции, посвященной 90-летию со дня рождения академика А.Н. Тихонова (Обнинск, 1996), на меяодународной конференции "Теория приближений и гармонический анализ" (Тула, 1998), на Международной конференции «Информатизация образования — 2006» (Тула, 2006), на 3-й и 4-й международных конференциях "Математические идеи П.Л. Чебышева и их приложения к современным проблемам естествознания" (Обнинск, 2006, 2008), на Международной конференции "Тихонов и современная математика" (Москва, 2006), на международных конференциях "Современные проблемы математики, механики, информатики" (Тула, 2006, 2007) и других конференциях.

Публикации. Основные результаты, полученные автором и изложенные в диссертации, опубликованы в работах [32—41] (список литературы приведен в конце автореферата). Всего по теме диссертации опубликовало 32 работы., все они без соавторов.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, разделенных на 21 параграф, и заключения. Диссертация снабжена оглавлением и списком литературы из 90 наименований. Общий объем диссертации - 224 страницы.

Содержание работы.

Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, научная новизна полученных результатов, а также кратко изложено содержание и основные результаты работы.

В первой главе рассматривается одна из основных модельных задач химической кинетики - сингулярно возмущенная эллиптическая задача

£Г2Ди = у,е) (1)

в прямоугольнике П= ((х,д>)| 0<х<а,0<у <б} с краевыми условиями первого рода

и(х,у,£) = <р(х,у) (2)

на границе 80. прямоугольника О. Здесь £ - малый положительный

дг д2

параметр, Д = —г +—г - оператор Лапласа. Решение задачи (1), (2) дх ду

ищется в виде ряда по степеням е, состоящего из трех частей:

и(х,у,е) = й+П + Р, (3)

- регулярной, погранслойной и угловой. При жестких условиях на функцию <р(х,у) задача (1), (2) рассматривалась в диссертации В.Ф. Бутузова [25].

Результаты, представленные в данной главе, опубликованы в работах [32 - 34, 38, 41]. При построении асимптотики решения используется метод угловых пограничных функций В.Ф. Бутузова [13], в котором дополнительно учитываются новые члены асимптотического разложения, соответствующие нелинейным уравнениям. Вводится принципиальное понятие кусочно-гладки?: барьеров (верхних и нижних решений) для задач, определяющих угловые погранфункции. Строятся подходящие кусочно-гладкие барьеры, а затем проводится их сглаживание и доказательство существования решения: угловых погранслойных задач. Используются общие методы дифференциальных уравнений с частными производными.

Для обоснования построенной асимптотики используется развиваемый для нового класса задач асимптотический метод дифференциальных неравенств, предложенный в свое время H.H. Нефедовым для обоснования асимптотических разложений решений сингулярно возмущенных задач для обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных [26,27].

В_первом параграфе первой главы формулируются условия,

достаточные для получения регулярной и погранслойной частей асимптотшси решения задачи (1), (2). Считаются выполненными следующие условия.

Условие I. Функция F(u,x,y,e) является достаточно гладкой, а функция ф(х,у) - непрерывной.

Условие II. Уравнение F(u,x,y,0) = 0 в замкнутом прямоугольнике Q имеет решение и = йа(х,у).

Условие III. Производная /\(йГ0(х,у),.г,,|>,0)>0 в замкнутом прямоугольнике Q.

Условие IV. Для системы — = г2, ^L = F(üü(x,y) + zi,x,y,Q),

dt dt

где х, у - параметры и точка (дг,у) принадлежит границе 8Q, прямые Zi = <p(x,y)-ü0(x,y) пересекают сепаратрисы, входящие в точку покоя (zpz2)-(0,0) при < —>оо.

Во втором параграфе первой главы проводится расщепление уравнения (1) и строится регулярная часть асимптотики. Для этого функция F(u,x,y,s) из уравнения (1) заменяется выражением, аналогичным (3):

F(u,x,y,s) = F+UF + PF. (4)

Формально равенство (4) оказывается неверным. Но погранфункции строятся так, что их влияние затухает экспоненциально (быстрее любой степени е) при удалении от соответствующей стороны или вершины прямоугольника П. Поэтому равенство (4) оказывается верным с точностью порядка при £ ~>0, где и - любое натуральное число. Это равенство следует рассматривать как один из шагов алгоритма построения асимптотики решения задачи (1), (2) в виде ряда по степеням е.

Выражения (3) и (4) подставляются в уравнение (1), которое разделяется на части: регулярную

е2А й = Т, (5)

погранслойную

г2ДП = ПР (6)

и угловую

е2АР = РР. (7)

Ре1улярная часть асимптотики ищется в виде ряда по степеням с

и(х,у,е) = ^£кщ(х,у). (8)

ы о

Функция представляется в таком же виде:

?=/■(«, х,у,е) = ^екГк(х, у), (9)

4=0

и разложения (8) и (9) подставляются в уравнение (5):

£2Д

.*=О ) к-О

\Ы О

Далее приравниваются коэффициенты при одинаковых степенях е и получается система уравнений для нахождения коэффициентов ряда (8): 0 = ?о (х,у), 0 = ?!(*,>>), Аик_г(х,у) = Тк(х,у), к> 2.

Корень первого уравнения и0 = и0(х,у) выбирается в соответствии с условием II. Из последующих уравнений рекуррентно определяются функции щ - щ (дс, у), к > 1.

В третьем параграфе первой главы строится погранслойная часть асимптотики. Необходимость введения погранслойиой части асимптотики вызвана тем, что регулярная часть асимптотики дает решение уравнения (1) только внутри прямоугольника О., но на границе ЗС1 функция «(л-,.^), вообще говоря, не совпадает с граничным значением <р(х,у). Для устранения невязок с граничным условием (2) в водится погранслойная часть асимптотики, которой соответствует уравнение (6). В соответствии с числом сторон прямоугольника П пограничная функция П разделяется на

(1) (2) (3) (4)

четыре типа слагаемых: П = П+ П+ П+ П. Каждое слагаемое играет роль только вблизи соответствующей стороны прямоугольника П. Для построения погранфункций вводятся растянутые переменные „ х у , а-х Ь—у £ £ £ £ Погранфункции ищутся в виде рядов по степеням е:

(1) « (1) (2) ® (2)

П(*,г;,й) = 2У Пь{х,т,), = ит.д.

Ы О к-0

(1) (2) О) (4) Аналогично,считается,что ГЦ*1 = ПF + ПF + ПjIГ + ПF, где

(1)

ПГ =

и>

Л и(х,у,£) + 11(х,1],£),х,у,£\-Р{Х,у,£)

(2)

(2)

л и{х,у,£) + Щ1;,у,£),х,у,£ \-Р(х,у,¿г)

И т. д.

В соответствии с числом сторон прямоугольника С1 уравнение (6) распадается на четыре уравнения. На стороне у = 0 невязки в граничных

(1) со

условиях призвана устранить функция П = П(х,77,£). При переходе от

переменных (л-,>•) к переменным (х,т}) прямоугольник Л при в—>0 растягивается до полуполосы 0 < * < а, 0 <>]<аэ. Задача для определения

(1)

функции По (х,т[) имеет вид

(О

а2 По Г (1)

£^=^1"о(*,о)+По,х,о,о| (10а)

(1) (О

По(х,0) = р(л',0) —й"0(х,0), По(*,оо) = 0, (10Ь)

где х играет роль параметра. Уравнение (10) эквивалентно системе из

(И

условия IV, в которой следует положить г, = Пч(х,?]), у-0, ( = г/. ■Условие IV выделяет решения задачи (10), для которых справедливы экспоненциальные оценки вида

(И

По(*,77)

< Се'"1, (11)

где С и к - некоторые положительные постоянные. Так как возможен переход с сепаратрисы на сепаратрису, то решение задачи (10) не единственно. Рассматривается единственное монотонное решение задачи (Ю).

(1)

Задачи для определения функций Пк(х,г]), к> 1, получаются

линеиными:

д!I2

У <1> \о>

«0(л:,0) + По,л-,0,0 \Ш+7Гк> (12а)

(О (О

Ш(0,77) = —мДх,0), Ш(дг,оо) = 0, (12Ь)

(к

где неоднородности лк рекуррентно выражаются через функции П> с индексами } <к и имеют экспоненциальные оценки вида (11), если оценки

(1) (О

такого вида имеют функции П/. Решение П*(х,//) задачи (12)

выписывается в явном виде. Если величина <з(х,0)-ы„(.г,0) не равна тождественно нулю, то решение имеет вид

00

Лх

"> , , "г

Пк(х,т}) = ~нк(х,0)Ф(х,7)Ф~ (дг,0)-Ф(дг,7)|Ф (дг,г) \Ф{х,а)жк{х,<у)с1а

о)

где Ф(х,77)-~—Если величина <р(х,§)-г70(х,0) = 0, то задача дт]

(О

упрощается, так как для задачи (10) решение По(х,?/) = 0, а коэффициент п)

при Ш(х,7/) в уравнении (12) оказывается постоянным и положительным: ^й0(*,С) + По,л-,0,0 ^ = ^'(¡7о(х,0),х,0,0) > 0.

(О

В любом случае для функций Ш(х,?7) справедливы

экспоненцианьные оценки вида (11). Аналогично определяются все

е>

остальные погранфункции Ш, ¿=2,3,4. Для этих функций справедливы

экспоненциальные оценки типа (11).

• В четвертом параграфе первой главы ставятся задачи для угловой

части асимптотики. Построение угловых пограничных функций доставляет

основные трудности. Все эти функции ищутся в виде рядов по степеням е:

(1) « . <0 (2) » , (2)

= Рк{£,ц\ />(<Г,7.,0 = 2У ИТ. д.

к=0 О

В угловой точке (0,0) задача для определения главного члена

о

•Р°(£>7) угловой части асимптотики ставится и области растянутых переменных £ > 0, ц > 0, нелинейная и имеет вид

0) ( (1) (2) (II \

ДЛ» = Л й0(0,0) + По(0,7) + По(^,0)+/,о(^-7),0,0,0 -

+ По(0,7),0,0,0^-^^й0(0,0) + По(<!;,С),0,0,0^, (13а)

(1) (1) (1) (2)

Ро(0,77) = -1Ъ>(0,77), Л(£0) = -По(&0), (13Ь)

(о

Р 0(^,77)->0 при £ + ?/-»со, (13с)

(О

где По, (=1,2, - пограничные функции, играющие роль вблизи

соответствующих сторон прямоугольника, (о

Для функций Рк(£,?/), к> 1, в области £ > О, ;/>0 получаются

линейные задачи

(о

(О (2) (I) \ (1) (I)

Д Рк = ^ |^а(0,0) + По(0,7) + По(£,0) + />о(4у>),0,0,(^ -рк+рк, (14а)

0) (¡) (1) (2)

Л(0,77) = -Ш(0,77), 0) = -Ш(£,0), (14Ь)

и)

0 при £ + 77-><ю, (14с)

где неоднородности удовлетворяют экспоненциальным оценкам вида

|Л(<Г,77)| (15)

(О (о

если подобным оценкам удовлетворяют функции Ро(£,7),...,/'*-|(£,/7). Здесь С и к - некоторые положительные числа.

(1)

Коэффициент в задаче (14) в зависимости от величины Р0(^,7) может принимать как положительные, так и отрицательные значения. Кроме этого, если на промежутке [н„(0,0);^(0,0)] производная Г\(к,0,0,0) принимает отрицательные значения, то коэффициент в задаче (14) будет принимать отрицательные значения в приосевых полосах О <4 <Р, 0 <г)<р определенной ширины р > 0.

Если величина р(0,0)-й0(0,0)г0, то решение задачи (13)

(и

Ро(4,г}) н 0 и коэффициент в задачах (14) посгоянен и положителен:

.( (,> <2> <■> К 0}+По(0,?7)+По(<?,0)+Ро(^77),0,0,0 1 = Р„ |кк0(0,0),0,0,0) > о.

В этс1М случае решения задач (14) выписываются в явном виде и для них получаются экспоненциальные оценки вида (15). Если величина р(0,0)-й"о(0,0) не равна тождественно нулю, то мы, вообще говоря, не можем знать, имеет или нет задача (13) решение и удовлетворяет ли решение, в случае существования, экспоненциальной оценке вида (15). Кроме этого, в задачах (14) коэффициент

(1) (2) (I)

0) + По(0,?7) + По(£,0) + /,о(£,77),0,0,0 I может в зависимости от

величины (?(0,0) принимать как положительные, так и отрицательные значения. Нас интересует установление условия V, при котором можно доказать следующие утверждения.

Утверждение 1. Если выполнены условия I — V, то задача (13) имеет (и

решение Ро(<,с,?/), удовлетворяющее экспоненциальной оценке вида (15).

Утверждение 2. Если выполнены условия I - V, то задачи (14) (о

имеют решения Рк(£,г)I, удовлетворяющие экспоненциальным оценкам вида (15).

Утверждение 3. Если выполнены условия I - V, то для достаточно малых £ задала (1), (2) имеет решение и(х,у,£), для которого ряд

Г/

г*

¿■О

(1) (2) (3) (4)

ик (х, у) + Пк(х,^) + Пк(^,у) + Пк (х, п.) + т (£, у) +

(О (2) (3) (4)

+Р| (Ш + ,?7.) + +

(16)

является асимптотическим разложением при £ -> 0 в замкнутом прямоугольнике О, то есть для всех точек (х,.у) е <Г2 максимум тах|и(х,у,£) - 1Г„(х,у,£)| < ссм-,

где и„{х,у,е) - я-я частичная сумма ряда (16), с - некоторая положительная постоянная.

Если предположить разрешимость задач (13) и (14), то доказательство последнего утверждения все равно останется проблемой.

и)

Это связано с тем, что, не зная величины Ро(£,т]), мы не можем знать

/ (0 (2) ш \

явного вида коэффициента и0(0,0) + По(0,7) + По(^,0) + Ро(^,7),0,0,0

в задаче (14), который может оказаться как положительным, так и отрицательным.

В пятом параграфе первой главы находится угловая часть асимптотики решения при выполнении следующего условия.

<1)

Условие (А). Задача (13) имеет решение Ро{^,г]),

удовлетворяющее экспоненциальной оценке вида (15).

При выполнении условия (А) найдется положительное число р

такое, что в области £>р, т]>р значения производной на полном

.( I» (2> <"

нулевом приближении /■„ I м0(0,0) + По(0,^) + По(^,0) + Ро(^,т;),0,0,0 ,

где у - некоторое положительное число. Однако в приграничных полосах О <£</?, О<ц<р знак производной может быть отрицательным. Поэтому задачи (14) не всегда будут иметь решения, удовлетворяющие экспоненциальным оценкам вида (15). В связи с этим к условию (А) нужно добавить дополнительное условие (В), которое вместе с условием (А) сформирует условие V, достаточное для доказательства утверждения 2. Сначала предполагается выполненным следующее условие.

Условие (В)). В о всей области Я2 =={(£,>0, ?/>0} значения производной на полком нулевом приближении

( <У> (2) (1) Л

р'„I «о(О.О) + По(О^) + По(£ ,0) + />«,(<?,?), о,о,о1 >у2,

где у - некоторое положительное число.

Для доказательства утверждения 2 применяется метод верхних и нижних решений (барьеров), который заключается в том, что задача

цг) = ьг-дг) = 0 в области Д (17а)

2 = А на границе дО (17Ь)

имеет решение 2, заключенное в промежутке если в области

£> выполняются неравенства

Д7+)=дг+-/(.г+)<0, 1(г_)==д2-/(г)>0,

а на границе дИ выполняются неравенства 2_<И< ,7+.

Если выполнены условия I - IV, (А.) и (В|), то для задач (14) барьеры имеют вид

<" , <2> ,, > ,, ч

,?) ^Ш^/К"5 -Ш^О)^"1 -йк(0,0ук^"] (18)

где г и к - некоторые положительные числа.

, Если условие (В|) не выполняется, то функции вида (18) уже не подходят на роль барьерных. Более того, верхнее и нижнее решения задачи (14) не удается построить сразу в ввде одной глздеой функции. Далее задача рассматривается в предположении, что выполнено следующее условие.

Условие (В2). В области £ > р, т}> р значения производной на полном нулевом приближении

, ( 1 ■> <2> (1> ^ I «„(0,0) + П«(0,?;) + П0(^0)+Р0^^),0,0,01>/г,

где у - некоторое положительное число, а в приграничных полосах О <%<р, 0<т]<р области II2 значения производной

У (1) (2) (I) \

г/п(0,0) + По(0,/;) + Пп(^,0) + /,о(^,7;),0,0)0 |>-/г, где положительное

число р удовлетворяет условию рр<ж!2.

С учётом знака производной на полном нулевом приближении область К* разбивается на части О0 = ?;>/>],

Ц 0<г}<р] и 02={(£,77)|0<£<р, /?>£}. В каждой из

подобластей строятся свои гладкие барьеры задачи (14), подчиненные дополнительным условиям. Именно, вводится следующее понятие.

Определение. Функции и .?_(£,?/) называются кусочно-

гладкими соответственно верхним и нижним решениями (барьерами) задачи (17), если

1) функции и ]) непрерывны в замкнутой области £>;

2) существует разбиение области О на конечное число подмножеств, на внутренности каждого из которых функции 2+(£,г]) и удовлетворяют неравенствам

3) на границе ёй выполняются неравенства 2_<к<2^. Доказательство существования решения задачи (14) распадается на

два этапа: сначала строятся подходящих кусочно-гладкие барьеры, а затем для построенных барьеров проводится процедура сглаживания.

В подобласти О0 на роль барьеров подходят функции вида (18), где г и к - некоторые положительные числа. В подобласти О, барьеры имеют вид

//) = -Ш(0,//К* -ти&оу"' -¡7Д0,0)<Г^> ±Кч)е-*, (19) где функция /»(?;) = + ——, т/е [0,р], число р, берется из

2 Р1

промежутка р<рк< —+ — J, Л - некоторое положительное число.

В подобласти О, барьеры имеют вид

г±(£,г>) = -ГЬ(0,//)е~А' - Пк(^,0)е'"' -¡ГДО.О).?-«"" ± М&е*4. (20) С целью сглаживания построенных кусочно-гладких верхнего и нижнего решений задачи (14) вводятся обозначения для общей части границ подобластей П0, О, и

г02 = = Р> П * р) и Гц = = п, 0 < ?/ й р) • функции

не являются гладкими на линиях Г0|, Гм и Г12. При этом все три линии сходятся в одной точке (р,р). Поэтому известные методы сглаживания [29-31] неприменимы и приходится поступать следующим образом. Сначала рассматривается линия ГП1. По разные стороны от этой линии значения функций 2±(Е„г\) задаются различными аналитическими выражениями, и сглаживать нужно функцию

/7(77), если 0<г]<р ге~кп, если т}>:р

Однако сглаживается не эта, а несколько иная функция. При построении барьеров допускается определенная свобода выбора параметров. Вместо параметра р можно взять положительное число г,

чуть меньшее, чем р, и такое, что в области й0 = {(¿',»7)>т> т1>т}> в°/ (I) (2) (1) Л первых, производная /Ч м0(0,0)+По(0,Т7) + По(£0) + /'о(<?,77),0,0,0 все

ещё положительна, и, во-вторых, функции 7) все еще являются барьерами задачи (14). Вводится новый достаточно малый положительный параметр аг, и рассматривается непрерывная функция

-й(7), если 0 <г]<р

если Ц^р

где Л,, = ге'*14. Доказынается, что существуют положительные числа <50, <5 и положительная функция у„(;;), т} е (р - 2оа, р + 23), такие, что функция

—h(t)\ если 0<т,!<р-25а Л

v0(7), если p-2Sa<rj<р + 28 те-'", если р + 25 <г! <оо

дважды непрерывно дифференцируема и на промежутке ц<г(р-23а,р + 23) удовлетворяет условию

у;07) + *1ув(»;)*0. (21)

Далее рассматривается новое разбиение области К* на части

Ъ<г1<р-280},ап={($,11)\г;>г1, р-28а<г1<р + 2д}, «м = {(£//) |<Г>Р + 2д, т]>р + 23},

= {(4,ф-23й<4<р + 2б,т1>4}, = {{4,г])|0<4<Р~25«, 7>#} и кусочно-гладкие функции

§±(<?,?/) = -Ш(0,/7)е-* - П*(£0)<Гм' - иДО.О)^^"1 ± ■> если (£,?;) еОи

а

П(Л)е~к>{> если

если (.^еОз* • если {4,г])еО,п

если (4,т})еПи

а

При выборе достаточно большого положительного коэффициента д функции §±(£,77) являются кусочно-гладкими барьерами задачи (14).

Гладкость функций §± нарушается только на линии

Гд = {(£,£)|0 <р + 2<5]. Доказывается, что при пересечении линии Гу в. направлении нормали к ней производная функции §+(£,77) по направлению этой нормали испытывает отрицательный скачок. Это позволяет применить результаты работ [29 - 31] и сгладить верхнее кусочно-гладкое гладкое решение задачи (14) на линии Гг. Сглаживанием

функции &-(£,/;) = -§4.(^,7) получается нижнее решение задачи (14). Так: как для функций выполняются экспоненциальные оценки вида

(15), то задача (14) имеет решение Z(£,t/) с экспоненциальной оценкой вида (15).

В шестом параграфе первой главы доказывается утверждение 3, если в качестве условия V принято следующее.

Условие V,. Для каждой угловой точки прямоугольника Q выполнено условие типа (А) и одно из условий типа (В).

Для доказательства утверждения 3 используется модифицированная схема метода дифференциальных неравенств, предложенная ранее H.H. Нефедовым [26,27].

В_седьмом параграфе первой главы рассматривается случай

монотонного поведения функции /<"(«,0,0,0) на промежутке от м„(0,0) до <z>(0,0). В качестве дополнительного принимается следующее условие.

Условие (Cj). Граничное значение £>(0,0) таково, что производная F'(«,0,0,0)>0 для всех значений и, взятых из промежутка от йа =«„(0,0) до (р — $>(0,0),

Для определенности считается, что ^-н„>0. Кроме этого, определяется класс функций {£],<р}.

Определение. Функция F(u)= F(u,0,0,0) принадлежит классу {Fi,<p\, если для любых значений s и t, взятых из промежутка [0, р-ц,], выполняются два условия:

1) неравенство /

st

либо

F

<Р~" о

st

1 —

<Р~и о)

u0 + s + t--—+ Q 1-11-

<Р~Щ

F(«n+i)-[l--~rjF(1T0 + 5)>0, (22)

F(u0 + t)~ I--г- F(u,+s)>0,

<Р~и о.

<Р~Щ )

(23)

где число С+ б (0, и: - <р), число и производная F'(a)>0 на

промежутке [м0, щ ];

2) неравенство

F либо

st

<р-ц

О J

-1

V <Р-и«.

F(t70+/)- 1--i--br(i70+i)<0, (24)

st

F aQ + s + t----C

l <Р~Щ

<P~u с

1--F(h0 +1) - 1--W + s) < 0,

<p~u0

(25)

где число Се(0,йа-и,), число м,<«0 и производная F'(н)>0 на промежутке [к,, <р\.

В качестве условия V принимается условие (С)) и принадлежность функции /•■(«) классу [Р^/р]. Методом верхних и нижних решений доказывается утверждение 1. В качестве барьерных подходят функции

0) (2)

вида P±{4>rl) =

где С>0, «->0 - некоторые

?'-« о

постоянные.

Принадлежность функции ^(и) классу {Ру,<р} является достаточным, но не является необходимым условием для доказательства утверждения 1. Можно определить другие классы функций, обеспечивающие доказательство этого утверждения.

Определение. Функция принадлежит классу {Рг,<р), если

для любых значений л и *, взятых из промежутка [0,^-мо], выполняются два условия:

1) неравенство (22), либо (23);

2) неравенство

+ 5 +1 - - Г(й0 + F(tГ0 + г)-(^Г".2 [а2г(г) + <2г(л)] 5 О вместо неравенства (24), либо

2ч/л7 - с_) - f(í70 + л) - f(й0 + /) - (5,г)"3'2 [/г(0 + <2ф)] < 0,

где функция г{м:) = |/;,(н0 + и)йи -+ ту), вместо неравенства (25).

о

В качестве условия V можно принять выполнение условия (С^ и принадлежность функции Р(и) классу {Р1>(р} • Для доказательства утверждения 1 строятся барьеры вида

(I) (2)

<Р~и о

/"> /« > РЛ{, п) = -2 V По(0,г/)По(£,0) - Се"««»,

где С > 0,, к > 0 - некоторые постоянные.

В восьмом параграфе первой главы устанавливаются методы проверки принадлежности функции ^(к) некоторому классу {/•",(£>}. Изложение построено в соответствии со следующим планом:

1) изучение неравенств (22), (23) и их связь с некоторыми «традиционными» свойствами функций;

2) выполнение неравенств (22), (23) для многочленов;

3) пример функции, удовлетворяющей условию (С^, но не принадлежащей ни классу , ни классу {Рг,<р\;

4) изучение неравенств (24), (2.5) и их выполнение для квадратичных функций;

5) выполнение неравенств (24), (25) для кубических функций;

6) построение барьеров в случае квддратичной функции /<"(«);

7) выводы.

В девятом пара!графе первой глапы рассматривается случай немонотонного поведения функции F(u,0,0,0) на промежутке от й0(0,0) до <о(0,0). В качестве дополнительного принимается следующее условие.

Условие (С-,). Функция 0,0,0) является квадратичной по переменной и: /-'(и,0,0,0) = -А(и-а)(и - 0), где А> 0, а корни а -щ(0,0) < Р. Граничное значение ^ = ^(0,0) находится правее вершины параболы р(и,0,0,0)

а + /? ^а + р

Р~а

где <рп - некоторое число из промежутка 0<<р0< —.

Доказывается утверждение 1, в котором под условием V понимается условие (С2). Для доказательства область Я2 разбивается на подобласти Г10, П, и 0.г, граница которых - число р определяется при доказательстве. В каждой из подобластей строятся свои гладкие барьеры задачи (13). Верхний кусочно-гладкий барьер имеет вид

' ге"^, если (£,г])е О0 = . сй+0/)е"*, если (£,7/)еЦ, если (<^)еП2

где о 0, к > 0 - некоторые постоянные, функция

Ш ~[Р3 +(Л -р?}~ <щ\п - Р)1 ,

а > 0 - некоторая постоянная. Нижний кусочно-гладкий барьер имеет вид

_|'е-*(#+*>, еспи

= ' -Ь-(Т})е"*» если (£,ц\е, -К(Е,УК\ если

где к > 0 - некоторая постоянная, функция

А-0?) = -^[р3 + (»7 •" Р?]~ ап\п - р)2 + К,

а>0, ^ > О - некоторые постоянные. Процесс сглаживания барьеров проводится методами, рассмотренными выше.

В конце первой главы делается вывод, что в качестве условия V можно взять следующее.

Условие V. Для каждой угловой точки прямоугольника £1 выполнено хотя бы одно из трех условий:

1) условие типа (А) и одно из условий типа (В);

2) условие типа (С() и условие принадлежности функции F какому-либо классу типа

3) условие типа (С2).

Вторая глава диссертации посвящена параболической задаче

д7и ди

= F(И, X, !,£■)

(26)

в прямоугольнике £1 = {(.т,0|0<х<1,0<<<Г} с начальным условием

цОДеЬрОг.О), 0<*<1, (27)

и краевыми условиями первого рода

и(0,(,е) = 9(0,0, «(1,(,е) = <р(1,0, 0 < г < Г.

В первом параграфе второй главы проводится постановка задачи. ES решение ищется в виде ряда по степеням s, состоящего из следующих частей:

u(x,t,e) = П + (П + Q + Q') + (Р + Р'). (29)

Здесь ü - регулярная часть асимптотики, П, Q и Q' - пограничные функции, играющие роль вблизи сторон прямоугольника О. соответственно t- 0, д: = 0 и jc = 1, Р и Р' - угловые пограничные функции, играющие роль вблизи вершин прямоугольника Q соответственно (0,0) и (1,0). Формулируются условия, достаточные для получения регулярной и погранслойной частей асимптотики решения.

Условие I. Функции а(х, f)>0 и F(u,x,t,£) являются достаточно гладкими, а функция и <p(x,t) - непрерывной.

Условие II. Уравнение F(u,x,t, 0) = 0 в замкнутом прямоугольнике Q имеег решение u = ua(x,t).

Условие III. Производная Г'(г70(*,/),х,/,0)>0 в замкнутом

прямоугольнике П.

Условие IV. Начальная задача

^- = ~F(ü0(x,0) + П„,х,0,0), П„ (х, 0) = (р{х,0) - н0 (х, 0), (30) ат

с параметром хе[0,1] имеет решение П„(х,г), г>0, и удовлетворяет условию П0(х,оо) = 0.

Условие V. Для систем

a(i,t)^ = F(nil(i!t) + zlJ,t,0), ау ау

где / = 0, или 1, а t играет роль параметра, прямые z, = <p(i,t)-ü0(ij) пересекают сепаратрисы, входящие в точку покоя (г,,г2) = (0,0) при f —>со.

Во втором параграфе второй главы проводится расщепление уравнения (26) и строится регулярная часть асимптотики. Для этого функция F(u,x,t,s) заменяется выражением, аналог ичным (29):

f(u,x,c,e) ~~f + (nf + qf + q'f) + (pf + P'f) . (31)

Выражения (29) и (31) подставляются в уравнение (26), которое разделяется на части: регулярную, погранслойные и угловые. Регулярная часть асимптотики строится в виде ряда

u(x,t,£) = f^ckut(x,t). (32)

В третьем параграфе второй главы строятся погранслойные части асимптотики. Для этого вводятся растянутые переменные

X у 1 X /

EES Погранфункции строятся в виде ряд о» по степеням е:

<Ю СП со

Ы> к---0 к= О

. Задача для определения функции П0 (х, г) имеет вид

-^ = F(«70(*,0) + n0,*>0,0), По(х,0) = .К.«,0)-«о(л:,0) (33)

и в силу условий III, IV имеет монотонное решение, для которого справедлива экспоненци альная оценка вида

|П0(х,г)| <Се-", (34)

где С и к - некоторые положительные постоянные. Последующие функции Пк(х,т), к>1, определяются как решения линейных задач

= К{"оМ) + П0,*ДО)П, + як, П,(л-,0) = -«Дх,0) (35)

от

и удовлетворяют экспоненциальным оценкам вида (34). Задача для определения функции Q0(4,t) имеет еэд

a(0,t) Щ- = F(«ö(0,0 + &,0,i,0), (36)

a(o,o=«>(o,o-si(o,o, ä(®.o=o, сз7>

и в силу условий III, V имеет монотонное решение, для которого справедлива экспоненциальная оценка вида

\Q0(f,t)\<Ce-«, (38)

где Сил:- некоторые положительные постоянные. Последующие функции б*(£0> Л > 1, определяются как решения линейных задач

а(0,0=-«до,о, а(«,о=о

и удовлетворяют экспоненциальным оценкам вида (38). Аналогично определяются погранфункции ö*(£>0 с оценками вида

Таким образом, погранслойная часть асимптотики определяется полностью.

В четвертом параграфе второй главы ставятся задачи для угловой части асимптотики. Функции Р и Р' ищутся в виде рядов по степеням £:

Ы1 к-о

В угловой точке (0,0) задача для определения главного члена p.t (<!;, г) угловой части асимптотики ставится в области растянутых переменных £ > 0 , г > 0, нелинейная и имеет вид Я2Р ЯР

a(0,0)^f - ^ = F(«„(0,0)+П0(0,г) + &(£<)) + />(£,0,0,0,0) -

tff Зг

-^(^(0,0) + П0(0,г),0,0,0) - F(t70(0,0) + &(£<», 0,0,0), (39а)

/>(0,г) = -Пв{0,г), Р„(£0) = -&(£,0), (39b)

при <f + г-»оо. (39с)

Для функций Рк{£,г), к>1, в области </>0, г > С1 получаются линейные задачи

й2 р яр

а(о,о)-—± - Н*. =р: («„(0,0)+П„(0,г)+&(£0)+/> (£0,0,0,0) Рк+Ик,

ос, от

(40а)

РДО,г) = -ПДО,т), 0) = -й(г,0>, (40Ь)

О->0 при £ + г -»оо, (40с)

где неоднородности удовлетворяют экспоненциальным оценкам вида

|*Ь(£фС<Г«+г\ (41)

если подобным оценкам удовлетворяют функции Р0(£,г).....РкА(%,т).

Здесь С и а: - некоторые положительные числа. Задачи для погранфункций к>0, ставятся аналогично.

Как и в эллиптическом случае нас интересует установление дополнительного теперь уже условия VI, при котором можно доказать следующие утверждения.

Утверждение 4. Если выполнены условия I - VI, то задача (39) имеет решение Р0{£,т), удовлетворяющее экспоненциальной оценке вида (41).

Утверждение 5. Если выполнены условия I - VI, то задачи (40) имеют решения Рк{^,т), удовлетворяющие экспоненциальным оценкам вида (41).

Утверждение 6. Если выполнены условия I - VI, то для достаточно малых е задача(26) - (28) имеет решение и(х,1,е), для которого ряд

|у [«,(*,*)+п,(л-,г) + йМА+а<6,0+ВД.О+№.0] (42) к--0

является асимптотическим разложением при ■£—>0 в замкнутом прямоугольнике П, то есть для всех точек (.г,/) е £1 максимум

тах|ы(х,*,г) - !/„(*,< се'"1, где ип(х,(,е) - п-я частичная сумма ряда (42), с - некоторая положительная постоянная.

В отличие от эллиптического случая для параболических задач отсутствует симметрия относительно вхождения независимых переменных, поэтому требуются отдельные, хотя и аналогичные, исследования.

В пятом параграфе второй главы находится угловая часть асимптотики при дополнительных условиях типа (А) и (В). Если выполнены условия I - V, (А) и (В|), то для доказательства утверждения 5 строятся барьеры ввда

2±(£т) = -ПД0,ф-« -Ш^ОК" -йП0,0)е-^+г)±<-е-^+г), (43) где г и к - некоторые положительные числа.

Если условие (ВО не выполняется, то ставится условие типа (В2). С учётом знака производной (м0(0,0) + П£.(0,г) + <20(£,0) + /><,(<,-,г),0,0,0) область К^ ={(£,!)(£>0, г>о} разбивается на части П0, П, и П2. В каждой из подобластей строятся свои гладкие барьеры задачи (40). В подобласти П„ на роль барьеров подходят функции вида (43). В подобласти Л, барьеры имеют вид

2±(^г) = -П,(0,гК^ -й(£0)в"" -й-Д0,0)е-*«+" ±И(т)е*, (44)

где И(т) = Л5—г е[0,р], 8 • некоторое число из 2Д

промежутка (0,1). В подобласти Г32 барьеры имеют вид

2± (£ г) = -П, (0, т)ё"* - а (£ 0)е~" - щ (0,0)е" ± . (45)

Далее проводится сглаживание построенных кусочно-гладких барьеров и доказывается существование решения задачи (40) с экспоненциальной оценкой вида (41).

В шестом параграфе второй главы доказывается утверждение 6, если в качестве дополнительного условия VI принято следующее.

Условие УЬ. Для каждой угловой точки (0,0) и (1,0) прямоугольника 12 выполнено условие типа (А) и одно из условий типа (В).

В_седьмом параграфе второй главы рассматривается случай

монотонного поведения функции ;Г(«,0,0,0) на промежутке от к0(0,0) до ^(0,0). Определение класса {Рг,<р} претерпевает изменения.

Определение. Функция F(м) = F(l<,0,0,0) принадлежит классу {Р2,<р}, если для любых значений ^ и (, взятых из промежутка [0,<р~й0], выполняются два условия:

1) неравенство (22), либо (23);

2) неравенство

F(й0+s + í-2^/tf)-F(ti0 + s)-F(¿¡'0-и)-

_л-,/2гЭ/2

50,

<0.

.у |/г(и0 + и) йи - х1Р(ип + е)~ (Р^щ +

_ о

либо / + 5 + Г - - с) - + 5) - Р(щ +1) -

I

о

Методами, аналогичными эллиптическому случаю, доказывается утверждение 4.

В_восьмом параграфе второй главы рассматривается случай

немонотонного поведения функции /7(«,0,0,0) на промежутке от йо(0,0) до <?>(0,0). Доказывается утверждение 4, в котором под условием VI понимается условие (С2). Для этого область К* разбивается на подобласти О0, П, и С1г, граница которых - число р определяется при

где с > 0, л- > О - некоторые постоянные, АДг) = -------+ г

доказательстве. В каждой из подобластей строятся свои гладкие барьеры задачи (39). Верхний кусочно-гладкий барьер имеет вид

ге"ЛГ({+г), если (£г)бП0 сИ+{т)е~^, если (£,г)еЦ, сЛ+ {¿;)е~", если е 02

0,8 г3 0,9 г2 3 Р3

Нижний кусочно-гладкий барьер имеет вид

если (£,г)еС\ -1}_(т)е~*{, если (£,г)еО,, ~/1_Юе~", если (£г)еОг

где к > 0 - некоторая постоянная, функция

Ш = -М>3 + (г - р)3] - аг2(г - />)2 + ¡р

а>0, ^>0 - некоторые постоянные. Процесс сглаживания барьеров проводится методами, рассмотренными выше.

В конце второй главы делается вывод, что в качестве условия VI можно взять следующее.

Условие VI. Для угловых точек (0,0) и (1,0) прямоугольника П выполнено хотя бы одно из трех условий:

1) условие типа (А) и одно из условий типа (В);

2) условие типа (С)) и условие принадлежности функции Р какому-либо классу типа {Р,ф).

3) условие типа (С2).

В третьей главе диссертации рассматриваются другие эллиптические и параболические задачи.

В первом параграфе третьей главы рассматривается эллиптическое уравнение

£гАи - £аА(х,у)— = F(ы,x,y,£) ду

в прямоугольнике 0.~{(х,у)\0<х<а,$<у<Ь}с краевыми условиями первого рода на границе Ш: и{х,у,£) = ф(х,у). Здесь а - положительный действительный параметр. Если а>1, то погранслойная структура

Вы

решения - такая же, как без слагаемого еаА{х,у)—. Если 0<а<1, то

можно построить только 0-е и 1-е приближения решения задачи. Это связано с тем, что задачи для определения угловых погранфункций (1) о1 (о

Рк(4<Ф содержат производные —-Рк-которые не ограничены в

окрестности угловой точки. Это не позволяет продолжить итерационный

процесс определения функций Рк{£,т}) дальше первого шага.

Во втором параграфе третьей главы в прямоугольнике О = {(*,') 10 < х < 1,0 < (< Г} рассматривается параболическая задача

Строится только 0-е и 1-е приближения решения задачи. Это связано с тем, что в задаче для определения функции у2(х,1) начальное и граничные условия оказываются несогласованными в угловых точках (0,0) и (1,0). Вследствие этого функция у2(х,Г) будет негладкой, а производные

д\ Ш.

—у и —*• - неограниченными в окрестностях этик точек. ох 81

В четвертой главе диссертации рассмотрены некоторые приложения.

дц

(О

В первом параграфе четвертой главы рассмотрены уравнения химической кинетики и другие приложения.

Во втором параграфе четвертой главы строится конкретный пример краевой задачи типа (1), (2) в случае немонотонного поведения функции /<(«):

£2Ди = -И(И — 2) в квадрате О = {(х,У)| 0 < х < 1,0 < у < 1},

и(х,у,£) = 1,075

на границе 8С1 прямоугольника Граничное значение ф = 1,075 находится правее вершины параболы /г(гм = -н(м-2). Решение задачи ищется в виде (3). Для регулярной и погранслойной частей асимптотики выписываются члены 0-го и 1-го порядков. Именно, иа(х,у) = й^х^у) = 0,

(1) (2) (3) (4)

По(х,?7) = 1*07). По(¿¡,у) = п(£), По(х,//.) = "'('?.), По(£,у) = 1е(£). где \20схр(-Щ ¿3-^1925

--1-в = ~у=—, - ■ -,

[1--0ехр(-^7)] ^ +

(I) (2) (3) (4)

П.(*,</) = Пх&у) = Щх,п.) = П.(£, у) = 0.

(I)

Главный член Рв = Ро(£,т]) угловой части асимптотики определяется из задачи

ДР0 = -/>2 - 2 (К»7) + ЫпМ£). (46а)

^(0,7)=-^), Р0(#,0) = (46Ь)

¡'„(^Л)->0 при (4бс)

Область ^>0, 7>0 разбивается на части С20 = {(£,7))£>Л 7>р}> П1={(^,7)1^>7, 0<7<р} и П2={(^,7)|0<^<р, 7>^}, где

j—

p = —-Inf = 1,065... (f ~[з-сг + >]9-6сг}в(Т~\ <r = 0,14j. Решение задачи (46) расположено между барьерами Z±(£,/j):

0,44е~"'|51<,'г1, если ,7) = 1,32р-\(п)е^1Н, если l,32p-2A+(fK°J\ если (f„7)6Q2

где h+(rj) = ^-Tj3-r!2+prj,n Зр

' если (£,т?)eQ0

-fe 07)e~°,l5i> если (^Oc-Q,, -h_(4)e"'{i\ если (¿у;')<=П2

где И (л) = —/73 -т]2+рп + 6, г = Ь (р)епър = 7,433...

3/>

(2) (3) (4)

Угловые погранфункции /'о, /'о и /'о имеют аналогичные

0)

оценки. Для определения погранфункции Р\,1-1,2,3,4, получаются

(I) (2) (3) (4)

линейные задачи, из которых Л = Л = Л = Л = 0.

В заключении суммируются основные результаты.

Автор выражает глубокую признательность профессору Бутузову Валентину Федоровичу за постоянное внимание к работе и плодотворные обсуждения.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Poincare Н. Acta Math., 8 1886,295 - 344.

2. Prandtl L. Uber Flussiglceitsbeneegung bei sehr kleiner Reibung.-Verhandl d. III, Inter Mathem. Kongress, Heidelberg, 1904, 71-75.

3. Schlesinger L., Uber asymptotische Darstellungen der Losungen linearer Differential systeme als Funktionen eines. Parameters, Math. Ann., 63 (1907), 277-300

4. Birkhoff G.D. On the asymptotic character of the solutions of certain linear differential equations containing a parameter. - Trans. Amer. Math. Soc., 1908, v. 9, 219-231.

5. Вазов В. Асимптотические разложения решений обыкновенных дифференциальных уравнений. — М.: Мир, 1969. - 464 с.

6. Тихонов А.Н. О зависимости решений дифференциальных уравнений от малого параметра И Матем. сб. 1948,22 (64), № 2. С. 193 - 204.

7. Тихонов А.Н. О системах дифференциальных уравнений, содержащих параметры // Матем. сб. 1950,27 (69), № 1. С. 147 - 156.

8. Тихонов А.Н. Системы дифференциальных уравнений, содержащие малые параметры // Матем. сб. 1952,31 (73), № 3. С. 575 - 586.

9. Вишик М.И., Люстерник Л.А. Регулярное вырождение и пограничный слой для линейных дифференциальных уравнений с малым параметром // УМН. 1957. Т.12,№ 5. С. 3 -122.

Ю.Треногин В.А. Развитие и приложения асимптотического метода Люстерника - Вишика // УМН. 1970. Т.25,№4. С. 121 - 156.

П.Васильева А.Б. Асимптотика решений некоторых задач для обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений с малым параметром при старшей производной // УМН. 1963. Т.18, № 3. С. 15 -86.

12. Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений. - М.: Наука, 1973.

13. Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Асимптотические методы в теории сингулярных возмущений. - М.: Высшая школа, 1990.

14. Митропольский Ю.А. Метод усреднения в нелинейной механике. -Киев: Наукова думка, 1971.

15. Боголюбов H.H., Митропольскнй Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. - М.: Наука, 1974.

16.Волосов В.М., Моргунов Б.И. Метод осреднения в теории нелинейных колебательных систем. - М.: Изд-во МГУ, 1971.

17.Хапаев М.М. Асимптотические методы и устойчивость в теории нелинейных колебаний.

18.Маслов В Л. Комплексный метод ВКБ в нелинейных уравнениях. - М.: Наука, 1977.

19.Федорюк М.В. Асимптотические методы для линейных дифференциальных уравнений. - М.: Наука, 1983.

20.Г1онтрягин JI.C. Асимптотическое поведение решений систем дифференциальных уравнений с малым параметром при высших производных// Изв. АН СССР, сер. матем. 21, № 5 (1957), С. 605 - 626.

21. Мищенко Е.Ф., Розов Н.Х. Дифференциальные уравнения с малым параметром и релаксационные колебания. - М.: Наука, 1975.

22. Ломов С.А. Введение в общую теорию сингулярных возмущений. - М.: Наука, 1981.

23. Ильин A.M. Согласование асимптотических разложений решений краевых задач. - М.: Наука, 1989.

24. Fife P.C. Semilinear elliptic boundary value problems with small parameters H Arch. Rational Mech. Anal. 52 (1973). P. 205 - 232.

25.Бутузов В.Ф. Дисс.... д-ра физ.-мат. наук.

26. Нефедов H.H. Метод дифференциальных неравенств для некоторых сингулярно возмущенных задач в частных производных // Дифференц. уравнения. 1995. Т.31. № 4. С. 719-723.

27. Нефедов H.H. Метод дифференциальных неравенств для некоторых классов нелинейных сингулярно возмущенных задач с внутренними слоями // Дифференц. уравнения. 1995. Т. 31. № 7. С. 1132-1139.

2.8. Pao C.V. Nonlinear Parabolic and Elliptic Equations. New York: Plenum, 1992.

29. Amann H. On the Existence of Positive Solutions of Nonlinear Elliptic Boundary Value Problems // Indiana Univ. Math. J. 1971. Vol.21, № 2. P. 125- 146.

30. Amann H. // In Nonlinear Analysis /Ed. by L. Cesari et al. - New York, 1978. P. 1 - 29.

3I.Sattinger D.H. Monotone Methods in Nonlinear Elliptic and Parabolic Boundary Value Problems // Indiana Univ. Math. J. 1972. V. 21. № 11. P. 979 - 1000.

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

32. Денисов И.В. Асимптотическое решение иррегулярно сингулярного уравнения в банаховом пространстве // Успехи математических наук. 1982. Т.37, №5. С. 181 -182.

33. Денисов И.В. Дифференциальные уравнения с конечномероморфным операторным коэффициентом в банаховом пространстве // Доклады АН СССР. 1985. Т.282, № 6. С. 1289 - 1293.

34. Денисов И.В. Квазилинейные сингулярно возмущенные эллиптические уравнения в прямоугольнике // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1995. Т.35. №11. С. 1666- 1678.

35. Денисов И.В. Первая краевая задача для квазилинейного сингулярно возмущенного параболического уравнения в прямоугольнике // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1996. Т.36. №10. С. 56 - 72.

36. Денисов И.В. Оценка остаточного члена в асимптотике решения краевой задачи // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1996. Т.36. №12. С. 64 - 67.

37. Денисов И.В. Первая краевая задача для линейного параболического уравнения в пространстве R"+l // Дифференц. уравнения. 1998. Т.34, №12. С. 1616- 1623.

38. Денисов И.В. Задача нахождения главного члена угловой части асимптотики решения сингулярно возмущенного эллиптического уравнения с нелинейностью // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1999. Т.39. №5. С. 779 - 791.

39. Денисов И.В. Угловой погранслой в нелинейных сингулярно возмущенных эллиптических уравнениях // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2001. Т.41. №3. С. 390 - 406.

40. Денисов И.В. Угловой погранслой в немонотонных сингулярно возмущенных краевых задачах с нелинейностями // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2004. Т.44, №9. С. 1674 - 1692.

41. Денисов И.В. Угловой погранслой в нелинейных сингулярно возмущенных эллиптических задачах // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2008. Т.,48. № 1.С. 62-79.

Изд. лиц. ЛР № 020300 от 12.02.97. Подписано в печать 9.03.2010. Формат бумаги 60x84 1/16. Бумага офсетная. Усл. печ. л. 2,2. Уч.-изд. л. 1,9. Тираж 100 экз. Заказ 002.

Тульский государственный университет. 300600, г. Тула, просп. Ленина, 92.

Отпечатано в Издательстве ТулГУ 300600, г. Тула, просп. Ленина, 95.

0.1 Введение

1 Эллиптическая задача

1.1 Постановка задачи.

1.2 Расщепление уравнения. Регулярная часть асимптотики

1.3 Погранслойная часть асимптотики

1.4 Угловая часть асимптотики. Основные проблемы

1.5 Решение задачи при условии существования нулевого приближения

1.6 Оценка остаточного члена

1.7 Существование главного члена угловой части асимптотики в монотонном случае.

1.8 Функции класса {F, ф}

1.9 Существование главного члена угловой части асимптотики в немонотонном случае.

2 Параболическая задача

2.1 Постановка задачи.

2.2 Расщепление уравнения: Регулярная часть асимптотики

2.3 Погранслойная часть асимптотики

2.4 Угловая часть асимптотики. Основные проблемы

2.5 Решение задачи при условии существования нулевого приближения

2.6 Оценка остаточного члена

2.7 Существование главного члена угловой части асимптотики в монотонном случае.

2.8 Существование главного члена угловой части асимптотики в немонотонном случае.

3 Другие эллиптические и параболические задачи

3.1 Другие эллиптические задачи

3.2 Другие параболические задачи.

Актуальность темы. Современная теория асимптотических разложений начинается с работы Пуанкаре 1886 г. (см. [56]), в которой было введено понятие асимптотического ряда. Понятие пограничного слоя и уравнений, описывающих течение в зоне пограничного слоя, ввел JL Прандтль в 1904 г. (см. [57]). К середине 20 века были получены многочисленные результаты по теории дифференциальных уравнений с малым параметром. Обширная библиография на эту тему приведена в книге В. Вазова (см. [9]). Определяющими для последующего развития теории дифференциальных уравнений с малым параметром явились работы А.Н. Тихонова конца 40-х - начала 50-х годов (см. [42]—[44]). В дальнейшем оформились основные направления теории: метод пограничных функций (М.И. Вишик, JI.A. Люстерник, В.А. Треногин, A.B. Васильева; В.Ф. Бутузов и др., см. [14], [47], [11] - [13]), метод усреднения (H.H. Боголюбов, Ю.А. Митропольский, В.М. Волосов, М.М. Хапаев и др., см. [4], [32], [16], [49]), методы типа ВКБ (В.П. Маслов, М.В. Федорюк и др., см. [29], [48]), теория релаксационных колебаний (JI.C. Понтрягин, Е.Ф. Мищенко, Н.Х. Розов и-др., см. [39], [33]), метод регуляризации (СА. Ломов и др., см. [28]), метод сращивания асимптотических разложений (А.М. Ильин PI др., см. [18]). Различные направления теории сингулярных возмущений интенсивно развивались и за рубежом (см. [53]).

В 1957 г. была опубликована статья М.И. Вишика и Л.А. Люстерника (см. [14]), в которой был сформулирован общий подход к построению асимптотических разложений решений линейных сингулярно возмущенных уравнений с частными производными. Такие задачи возникают в химической кинетике, синергетике, биологии, астрофизике, лазерной оптике. Были рассмотрены задачи в областях с гладкими границами, а асимптотические разложения решений строились в виде суммы регулярной и погранслойной частей. В 1970-х годах В.Ф. Бутузов (см. [5]) применил метод погранфункций к задачам в областях с угловыми точками границы. Для линейных сингулярно возмущенных эллиптических уравнений была исследована задача Дирихле. Были построены асимптотические разложения решений в виде суммы регулярной, погранслойной и угловой частей.

Переход к нелинейным уравнениям оказался сопряженным с принципиальными трудностями, касающимися, прежде всего, отсутствия методов решения нелинейных задач и получения необходимых оценок. Возникающих проблем удавалось избежать при рассмотрении задачи Неймана, но для эллиптических уравнений основной интерес представляет задача Дирихле. Задача асимптотического интегрирования нелинейных сингулярно возмущенных уравнений с частными производными является естественным обобщениS ем рассмотренных ранее задач, представляет важное направление в теоретических исследованиях, имеет многочисленные приложения к модельным задачам и потому является актуальной.

Цель работы:

1. Получение асимптотических разложений решений нелинейных сингулярно возмущенных уравнений с частными производными в областях с угловыми точками границы.

2. Развитие метода угловых погранфункций.

3. Развитие метода барьеров (верхних и нижних решений).

4. Модификация метода дифференциальных неравенств.

Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:

1. Получены асимптотические разложения решений широкого класса нелинейных сингулярно возмущенных уравнений с частными производными в областях с угловыми точками границы.

2. Модифицирован метод угловых погранфункций и доказано, что этот метод эффективно применим к нелинейным сингулярно возмущенным эллиптическим и параболическим уравнениям с краевыми условиями 1-го рода в областях с угловыми точками границы.

3. Введено новое принципиальное понятие кусочно-гладких барьеров (верхних и нижних решений) для задач, определяющих угловые погранфунк-ции.

4. Проведено сглаживание кусочно-гладких барьеров и доказано существование решений угловых погранслойных задач, возникающих при использовании метода угловых погранфункций для нелинейных сингулярно возмущенных уравнений с частными производными в областях с угловыми точками границы.

5. Модифицирован метод дифференциальных неравенств и с его помощью проведена оценка точности построенных асимптотических разложений решений сингулярно возмущенных краевых задач.

6. Изучены новые достаточно широкие классы </?} функций, удовлетворяющих функциональным неравенствам, достаточным для применения метода угловых погранфункций. Доказано, что этим классам принадлежат многие "традиционные" классы функций.

Предложенные методы позволяют исследовать достаточно широкие классы сингулярно возмущенных краевых задач в областях с угловыми точками границы, что является новым направлением исследования нелинейных дифференциальных уравнений с частными производными. Тем самым решена крупная научная проблема асимптотического интегрирования нелинейных сингулярно возмущенных уравнений с частными производными в областях с угловыми точками границы.

Общая методика исследования. В диссертации используются общие методы дифференциальных уравнений с частными производными, метод пограничных функций, метод верхних и нижних решений (барьеров), метод дифференциальных неравенств.

Апробация работы и публикации. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на семинаре под руководством проф. А.Б. Васильевой и проф. В.Ф. Бутузова (физический ф-т МГУ им. М.В. Ломоносова), на Всесоюзной конференции по асимптотическим методам (Бишкек, 1991), на "Понтрягинских чтениях - VII"(Воронеж, 1996), на конференции, посвященной 90-летию со дня рождения академика А.Н. Тихонова (Обнинск, 1996), на международной конференции "Теория приближений и гармонический анализ"(Тула, 1998), на Международной конференции "Информатизация образования - 2006"(Тула, 2006), на 3-й и 4-й международных конференциях "Математические идеи П.Л. Чебышева и их приложения к современным проблемам естествознания"(Обнинск, 2006, 2008), на Международной конференции "Тихонов и современная, математика"(Москва, 2006), на международных конференциях "Современные проблемы математики, механики, информатики "(Тула, 2006, 2007) и других конференциях.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [59] - [81]. Всего по теме диссертации опубликовано 32 работы.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, разделенных на 21 параграф, и заключения. Диссертация снабжена оглавлением и списком литературы из 90 наименований. Общий объем диссертации — 224 страниц.

Заключение

Суммируем основные результаты, полученные в диссертации. В первой главе формулируются условия I - V и доказываются следующие утверждения. Теорема 1. Если выполнены условия I - V, то задача (0.4) имеет реше-(1) ние Ро (£,??), удовлетворяющее экспоненциальной оценке вида (0.6).

Теорема 2. Если выполнены условия I - V, то задачи (0.5) имеют ре-(1) имения Рк (£, ?7), удовлетворяющие экспоненциальным оценкам вида (0.6).

Теорема 3. Если выполнены условия I - V, то для достаточно малых е задача (0.1), (0.2) имеет решение и(х,у,е), для которого ряд (0.3) является асимптотическим разложением при е —> 0 в замкнутом прямоугольнике то есть та х|и-[/п|<С£п+1, п где С > 0 - некоторая постоянная, а 1/п - п-я частичная сумма ряда (0.3).

Условия I - IV накладываются для разрешимости нелинейных регулярной и погранслойных задач, а условие V требуется для разрешимости задач (0.4), (0.5). Для формирования условия V рассматриваются разные возможности. Это могут быть, например,

1) условие (А) и одно из условий (В) (см. параграф 1.5);

2) условие (С\) и условие принадлежности функции Р какому-либо классу типа {Р, ф] (см. параграф 1.7);

3) условие (Сг) (см. параграф 1.9).

Во второй главе аналогичные результаты получаются для параболической задачи (0.7) - (0.9).

В третьей главе развитый метод дает возможность построить асимптотику решений других эллиптических и параболических задач.

1. Белоносов B.C., Зеленяк Т.И. Нелокальные проблемы в теории квазилинейных параболических уравнений. Новосибирск: Изд-во НГУ, 1976.

2. Бернштейн С.Н., Петровский И.Г. О первой краевой задаче (задаче Дирихле) для уравнений эллиптического типа и о свойствах функций, удовлетворяющих этим уравнениям // УМН. Вып. VIII. 1941. С. 8 31.

3. Бицадзе A.B. Уравнения математической физики. 1976.

4. Боголюбов H.H., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний . М.: Наука, 1974.

5. Бутузов В.Ф. Сингулярно возмущенные задачи с угловым пограничным слоем. Дисс. . д-ра физ.-мат. наук, 1975.

6. Бутузов В.Ф. Асимптотика решения разностного уравнения с малыми шагами в прямоугольной области //Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1972. Т.12. № 3. С. 582 597.

7. Бутузов В.Ф. Угловой погранслой в смешанных сингулярно возмущенных задачах для гиперболических уравнений // Матем. сб. 1977. 104 (146). № 3 (11). С. 460 485.

8. Бутузов В.Ф. Угловой погранслой в сингулярно возмущенных задачах с частными производными // Дифф. уравнения. 1979. 15. № 10. С. 1848 -1862.

9. Вазов В. Асимптотические разложения решений обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1969.

10. Васильев В.М., Вольперт А.П., Худяев С.И. О методе квазистационарных концентраций для уравнений химической кинетики //Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1973. Т. 13. № 3. С. 683 697.

11. Васильева А.Б. Асимптотика решений некоторых задач для обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений с малым параметром при старшей производной // УМН. 1963. Т.18, № 3. С. 15 86.

12. Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений. М.: Наука, 1973.

13. Васильева A.B., Бутузов В.Ф. Асимптотические методы в теории сингулярных возмущений. М.: Высшая школа, 1990.

14. Вишик М.И., Люстерник JI.A. Регулярное вырождение и пограничный слой для линейных дифференциальных уравнений с малым параметром // УМН. 1957. Т.12, № 5. С. 3 122.

15. Вишик М.И., Мышкис А.Д., Олейник O.A. Дифференциальные уравнения с частными производными. В книге: Математика в СССР за сорок лет. Т. 1. Физматгиз, 1959. С. 604 628.

16. Волосов В.М., Моргунов Б.И. Метод осреднения в теории нелинейных колебательных систем . М.: Изд-во МГУ, 1971.

17. Гилбарг Д., Трудингер Н. Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка. М.: Наука, 1989.

18. Ильин A.M. Согласование асимптотических разложений решений краевых задач. М.: Наука, 1989.

19. Ильин A.M., Калашников A.C., Олейник O.A. Линейные уравнения второго порядка параболического типа // УМН. Т. XVII, Вып. 3 (105). 1962. С. 3 146.

20. Кигурадзе И.Т., Чантурия Т.А. Асимптотические свойства решений неавтономных обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1990.

21. Коддингтон Е.А., Левинсон Н. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: ИЛ, 1958.

22. Клоков Ю.А. Краевые задачи с условием на бесконечности для уравнений математической физики. Рига: Рижский ин-т инженеров граждан, воздушного флота им. Лен. комсомола, 1963.

23. Кострикин А.И. Введение в алгебру. Часть I. Основы алгебры. М.: Физ-матлит, 2001.

24. Курант Р. Уравнения с частными производными. М.: Мир, 1964.

25. Ладыженская O.A., Солонников, Уральцева H.H. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967.

26. Ладыженская O.A., Уральцева H.H. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М.: Наука, 1973.

27. Ландис Е.М. Уравнения второго порядка эллиптического и параболического типов.

28. Ломов С.А. Введение в общую теорию сингулярных возмущений. М.: Наука, 1981.

29. Маслов В.П. Комплексный метод ВКБ в нелинейных уравнениях. М.: Наука, 1977.

30. Математическая энциклопедия. М.: Изд. "Сов. энц."

31. Миранда К. Уравнения с частными производными эллиптического типа. М.: ИЛ, 1957.

32. Митропольский Ю.А. Метод усреднения в нелинейной механике. Киев: Наукова думка, 1971.

33. Мищенко Е.Ф., Розов Н.Х. Дифференциальные уравнения с малым параметром и релаксационные колебания. М.: Наука, 1975.

34. Нефедов H.H. Метод дифференциальных неравенств для некоторых сингулярно возмущенных задач в частных производных// Дифференц. уравнения. 1995. Т.31. № 4. С. 719 723.

35. Ниренберг Л. Лекции по нелинейному функциональному анализу. М.: Мир, 1977.

36. Олейник O.A. Об уравнениях эллиптического типа // Матем. сб. 1952, 31, № 1. С. 104 117.

37. Петровский И.Г. Лекции об уравнениях с частными производными. М.: Физматгиз, 1961.

38. Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1970.

39. Понтрягин Л.С. Асимптотическое поведение решений систем дифференциальных уравнений с малым параметром при высших производных // Изв. АН СССР, сер. матем. 21, № 5 (1957), С. 605 626.

40. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1965.

41. Соболев С.JI. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. JL: Изд. ЛГУ, 1950.

42. Тихонов А.Н. О зависимости решений дифференциальных уравнений от малого параметра // Матем. сб. 1948, 22 (64), № 2. С. 193 204.

43. Тихонов А.Н. О системах дифференциальных уравнений, содержащих параметры // Матем. сб. 1950, 27 (69), № 1. С. 147 156.

44. Тихонов А.Н. Системы дифференциальных уравнений, содержащие малые параметры // Матем. сб. 1952, 31 (73), № 3. С. 575 586.

45. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1977.

46. Тихонов А.Н., Васильева А.Б., Свешников А.Г. Дифференциальные уравнения. М.: Физматлит, 2002.

47. Треногин В.А. Развитие и приложения асимптотического метода Люст-ерника Вишика // УМН. 1970. Т.25, № 4. С. 121 - 156.

48. Федорюк М.В. Асимптотические методы для линейных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1983.

49. Хапаев М.М. Асимптотические методы и устойчивость в теории нелинейных колебаний.

50. Хартман. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1970.

51. Amann Н. On the Existence of Positive Solutions of Nonlinear Elliptic Boundary Value Problems // Indiana Univ. Math. J. 1971. Vol.21, № 2. P. 125 146.

52. Amann H. //In Nonlinear Analysis /Ed. by L. Cesari et al. New York, 1978. P. 1 - 29.

53. Fife P.C. Semilinear elliptic boundary value problems with small parameters // Arch. Rational Mech. Anal. 52 (1973). P. 205 232.

54. Hille E. Linear differential equations in Banach algebras. Proc. International Symposium on Linear Spaces, 1960. P. 263 273.

55. Miller J.B. Solution in Banach algebras of differential equations with irregular singular point // Acta Math. 1963. V.110. P. 209 231.

56. Poincare H., Acta Math., 8 1886), 295 344.

57. Prandtl L. Uber Flussigkeitsbeneegung bei sehr kleiner Reibung.-Verhandl d. III, Inter Mathem. Kongress, Heidelberg, 1904, 71 75.

58. Sattinger D.H. Monotone Methods in Nonlinear Elliptic and Parabolic Boundary Value Problems // Indiana Univ. Math. J. 1972. V. 21. № 11. P. 979 1000.

59. Денисов И.В. Об асимптотическом разложении решения сингулярно возмущенного эллиптичексого уравнения в прямоугольнике. Сб. "Асимптотические методы теории сингулярно возмущенных уравнений и некорректно поставленных задач". - Бишкек: Илим, 1991. С. 37.

60. Денисов И.В. Квазилинейные сингулярно возмущенные эллиптические уравнения в прямоугольнике // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1995. Т.35. № 11. С. 1666 1678.

61. Денисов И.В. Об угловом погранслое в асимптотике решения сингулярно возмущенного параболического уравнения. Сб. "Современные методы в теории краевых задач "Понтрягинские чтения VII". - Воронеж, ВГУ, 1996. С. 65.

62. Денисов И.В. Об асимптотических решениях сингулярно возмущенных параболических уравнений с нелинейностями. Сб. "Теория и приложения методов малого параметра". Обнинск: ОИАЭ, 1996. С. 32.

63. Денисов И.В. Первая краевая задача для квазилинейного сингулярно возмущенного параболического уравнения в прямоугольнике // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1996. Т.36. № 10. С. 56 72.

64. Денисов И.В. Оценка остаточного члена в асимптотике решения краевой задачи // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1996. Т.36. № 12. С. 64 67.

65. Денисов И.В. О классах функций, определяемых функциональными неравенствами. Сб. "Материалы научно практической конференции проф. - преп. состава и аспирантов ТГПУ им. Л.Н. Толстого. Апрель 1997 г. Тула: Изд-во ТГПУ им. Л.Н. Толстого, 1998. С. 63 - 64.

66. Денисов И.В. Метод угловых погранфункций для сингулярно возмущенных эллиптических уравнений с нелинейностями. Сб. "Теория приближений и гармонический анализ: Тезисы докладов международной конференции". - Тула: ТулГУ, 1998. С. 88 - 89.

67. Денисов И.В. Первая краевая задача для линейного параболического уравнения в пространстве //Дифференц. уравнения. 1998. Т.34, № 12. С. 1616 1623.

68. Денисов И.В. Задача нахождения главного члена угловой части асимптотики решения сингулярно возмущенного эллиптического уравнения с нелинейностью // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1999. Т.39. № 5. С. 779 791.

69. Денисов И.В. О классах функций, определяемых функциональными неравенствами // Известия Тульского государственного университета. Серия "Математика. Механика. Информатика". 2000. Т.6. Выпуск 1. С. 79 84.

70. Денисов И.В. Угловой погранслой в нелинейных сингулярно возмущенных эллиптических уравнениях // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2001. Т.41. № 3. С. 390 406.

71. Денисов И.В. Угловой погранслой в немонотонных сингулярно возмущенных краевых задачах с нелинейностями //Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2004. Т.44, № 9. С. 1674 1692.

72. Денисов И.В. Нелинейный угловой погранслой. // Информатизация образования 2006: Материалы Междунар. науч.-метод. конф.: В 3 т. -Тула: Изд-во Тул. гос. пед. ун-та им. Л.Н.Толстого, 2006. Т.2. С. 126 -130.

73. Денисов И.В. Угловой погранслой в нелинейных задачах. // Математические идеи П.Л. Чебышева и их приложение к современным проблемам естествознания. Междунар. конф. Тезисы докладов. Обнинск, 14 18 мая 2006 г. С. 53 - 54.

74. Денисов И.В. Угловой погранслой в нелинейных сингулярно возмущенных эллиптических уравнениях // Соврем, проблемы матем., механики, информатики: Материалы Междунар. науч. конф., Тула: Изд-во ТулГУ, 2006, С. 43 46.

75. Денисов И.В. Угловой погранслой в нелинейных сингулярно возмущенных эллиптических уравнениях, содержащих младшие производные // Материалы междунар. науч. конф. "Соврем, проблемы матем., механики, информатики". Тула: Изд-во ТулГУ, 2007, С. 33 34.

76. Денисов И.В. Угловой погранслой в нелинейных сингулярно возмущенных эллиптических задачах // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2008. Т.48. № 1. С. 62 79.

77. Денисов И.В. Об асимптотическом решении дифференциальных уравнений, не разрешенных относительно производной в банаховом пространстве. МГПИ им. В.И. Ленина. Москва, 1981. Деп. в ВИНИТИ 13 апр. 1981 г. № 1651-81 (РЖМат, 1981, № 8Б207).

78. Денисов И.В. Об асимптотическом решении линейных дифференциальных уравнений с иррегулярной особой точкой. Тул. гос. пед. ин-т. Тула, 1982. Деп. в ВИНИТИ 3 февр. 1982 г. № 491-82 (РЖМат, 1982, № 5Б287).

79. Денисов И.В. Асимптотическое решение иррегулярно сингулярного уравнения в банаховом пространстве // УМН. 1982. Т.37, № 5. С. 181 182.

80. Денисов И.В. Сингулярные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. Диссертация на соискание ученой степени канд. физ.-мат. наук. М.: МГПИ им. В.И. Ленина, 1982.

81. Денисов И.В. Об асимптотическом решении дифференциальных уравнений в банаховом пространстве, неразрешенных относительно производной. Сб. "Вычислительная математика и математическая физика". М.: МГПИ им. В.И. Ленина, 1982. С. 77 - 84.

82. Денисов И.В. О количестве срезаний для сингулярного уравнения. // Приближенные методы исследования дифференциальных уравнений и их приложения. Межвузовский сборник. Вып. 5. Куйбышев: КГУ, 1982. С. 45 - 46.

83. Денисов И.В. Дифференциальные уравнения с иррегулярно особой точкой в банаховом пространстве. Тул. гос. пед. ин-т. Тула, 1984. Деп. в ВИНИТИ 5 марта 1984 г. № 1301-84.

84. Денисов И.В. О величине подсектора в теореме Тэрритина. Воронеж, гос. ун-т. Воронеж, 1983. Деп. в ВИНИТИ 3 июля 1984 г. № 4585-84

85. Денисов И.В. Дифференциальные уравнения с конечномероморфным операторным коэффициентом в банаховом пространстве // Доклады АН СССР. 1985. Т.282, № 6. С. 1289 1293.