Построение точных решений одного класса двумерных интегральных уравнений Вольтерра с особенностями на границе области интегрирования тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

о

На правах рукописи

Раджабова Лутфия Нусратовна

Построение точных решений одного класса двумерных интегральных уравнений Вольтерра с особенностями на границе области интегрирования

01 01 01- математический анализ

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Душанбе 2008

003449139

Работа выполнена и Таджикском 1ехничееком университете им акад М С Осими

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Солдатов Александр Павлович,

доктор физико-математических наук, профессор Репин Олег Александрович

доктор физико-математических наук, профессор Усманов Нурулло

Ведущая организация: Самарский государственный университет

Защита состоится^^Т^^ в 11ч 00 мин на заседании диссертационного совета ДМ 047 007 01 при Институте математики Академии наук Республики Таджикистан но адресу 734063, г Душанбе, ул Айнп 299/1

С диссертацией можно ознакомится в библиотеке Института математики Академии наук Республики Таджикистан Автореферат разослан

Ученый секретарь диссертационного совета

Халилов Ш Б

Общая характеристика работы

Актуальность темы Изучение двумерных интегральных уравнений Вольтерра второго рода с фиксированными особыми или сильно особенными линиями теснейшим образом связано с теорией вырождающихся i нперболиче-скнх уравнений и с теорией гиперболических уравнений с сишулярнымн или сверхеишулярными коэффициентами Теории вырождающихся ишербшшче-еких и эллиптических уравнений посвящены работы выдающихся ученых А В Бицадзе, А И Нахушсва, М С Салахитдинова, ТД Джураева, Е II Моисеева,

Л Г Михайлова, 3 Д Усманова, М М Смирнова, В Ф Волкодавова, А И Ко-жапова, О И Репина, А П Солдатова, Н Р Раджабова, а также работы их учеников

Задача о нахождении непрерывных решений линейных гиперболических уравнений второго порядка с двумя граничными сингулярными линиями приводят к исследованию двумерных интегральных уравнений с фиксированными граничными особыми и сильно-особыми ядрами Как известно, если в интегральном уравнении

X

а(х)у(х) + J I\(x, t)ip(t)dt = f(x)

а

а(т) обращае!ся в нуль в какой-нибудь точке, то это уравнение называется интегральным уравнением третьего рода Это уравнение, при помощи замены неизвестной функции и(х) = а(х)<р(х), сводится к интегральному уравнению Вольтерра с граничной или внутренней неподвижной особой или сильноособой точкой в ядре

Аналогично, двумерное иитег ралыюе уравнение вида

х у

а(х, y)ip(z,y) + j Щх,у, t)<p(t,y)dt + JK2(x,y,s)<p(x,s)ds+

a b

х у

+ JdtJ АзО^т/ЛвММ)^ = /(*, У),

а Ь

где а(х, у) обращается в нуль на линиях х = а,у = Ь, можно свести к двумерному интегральному уравнению Вольтерра с граничными или внутренними неподвижным!1 особыми или сильно-особыми линиями в ядре

Проблеме исследования одномерных сингулярных интегральных уравнений и разработке вычислительных методов для таких уравнений посвящены работы ФД Гахова1, НИ Мусхслпшвили2, СМ Бслоцерковского3, И К Лнфанова3 Исследованию интегральных уравнений с ядром однородном степени-1 посвящены работы Л Г Михайлова5, В М Бнльмана6 Исследованию нового класса особого интегрального уравнения, которое появляется при исследовании эллиптических уравнений с сингулярной точкой и других задач, посвящена монография Л Г Михайлова7 Исследованию двумерных сингулярных интегральных уравнений с подвижной сингулярностью посвящены работы А Д Джураева8, Г Джангнбекова и их учеников

Исследованию одномерных интегральных уравнений вольтерровского типа с неподвижной особой или сильно-особой точкой, которые возникают при исследовании обыкновенных дифференциальных уравнений с сингулярной или сверхсингулярной точкой, посвящены работы Н Раджабова9

В данной работе исследуются не изучавшиеся ранее двумерные интегральные уравнения типа Вольтерра с фиксированными особыми и сильно-особыми граничными линиями в ядрах

Основной целью настоящей работы является изучение двумерных интегральных уравнений вольтерровского типа с особенностями на границе области интегрирования во всех возможных случаях, которые исследую 1ся впервые Особо важным является изучение модельного уравнения Этот случай исследован полностью Во всех возможных случаях решение найдено в явном виде При этом важную роль играет связь между коэффициентами уравнения В начале изучается случай, когда коэффициенты связаны между собой определенным образом, после изучается случай, когда коэффициенты не связаны между собой

Подробно исследуется случай, когда ядра интегрального уравнения зависят от переменной интегрирования Этот случай является интересным, так как он связан с немодельным гиперболическим уравнением второго порядка с двумя граничными сингулярными линиями

'Гахсш ФД Краевые задачи М Наука, 1977, 610с

^Муехетишвити Н И Сншутярные интегральные уравнения М Наука, Í968

'Белоцеркож кий С М , Чнфипон И К Численные методы в с шн уляриых ннгсчральных уравнениях М Наука 19SÓ 25Ь с

'Лифапст И К Мешдшшу шрммх им it i рн-'п.иых уравнений и чт кипыи экикримип н мак ма| н re-с кой фтнко аэродинамике теории упругсхтп и дифракции ноля М Янус, 1985, 520с

г>МихаПлов Л Г Интегральные уравнения * ядром однородным степени -1 Душанбе Доннш, 1%6, 47с

6Би ibMáii Б М Об шпесралышх уравнениях с переменными преде 1ами интегрирования, ядра которых имеют особенность типа однородной функции степени -1 7 В сб «Дифференциальные и инте1ральные уравнения с. сишуляриымн коэффициентами», Душанбе Дониш, 1%9 i 10 4it

7Мнхай юв Л Г Новый класс особых ингегральных уравнений и era применении к дифференциальным уравнениям с сингулярными коэс!>фициеигамп Душанбе Изд-во АН 'Гид.-к ССР, 1963

8Дж}раев \ Д Метода chhi уляриых интегральных уравнений М Наука, 1987

эРаджаГюи Н Обилие ин it i p^ui ьш>к ураимеммя ihhoii Оольлрра i киои и правом m ноднижиой 1ии-гулярной точкой в ядре ¡i Известия Академии наук Республики Тиджикис ган Отд t -мл хим и геологических наук, 2001, №1, с 3-19

В работе также исследуются некоторые наиболее интересные случаи обще! о двумерного интегрального уравнения с особенностями п сильными особенностями на 1ранице области интегрирования Данные исследования основаны на резулыагах, полученных для модельных двумерных интегральных уравнений с граничными фиксированными особыми и сильно-особыми ядрами, а также на результатах, полученных для немодельпых двумерных интегральных уравнений с граничными особыми и сильно-особыми ядрами, зависящих от переменной интегрирования

Дели и задачи исследования.

— Изучение и нахождение решений модельных двумерных интегральных уравнении типа Вольтерра с особенностями и сильными особенностями на границе области интегрирования

— Изучение и нахождение решении немодельных двумерных интегральных уравнений типа Вольтерра с особыми и сильно-особыми ядрами, зависящими от переменных интегрирования

— Изучение общих двумерных интегральных уравнений типа Вольтерра с особыми и сильно-особыми ядрами

— Приложение полученных результатов для модельных гиперболических уравнений с сингулярными линиями

Методика исследования. Используется метод, связывающий данное интегральное уравнение с соответствующим гиперболическим уравнением и представление главной части соответствующего гиперболического уравнения в виде произведения двух линейных дифференциальных операторов с сингулярными н сверхсишулярными коэффициентами

Научная новизна Все результаты, изложенные в диссертации, являются новыми Впервые исследованы модельные, немодельные, а также общие двумерные инте1ральные уравнения типа Вольтерра с особенностями и сильными особенностями на границе области, для которых получена полная картина разрешимости Установлено, что неоднородные интегральные уравнения типа Вольтерра с особыми и сильно-особыми пиниями всегда имеют решения и общее решение содержит четыре произвольные функции одной переменной в одном случае, две произвольные функций одной переменной в двух друшх случаях и выделяется случай, когда неоднородное уравнение имеет единственное решение

Для модельного 1иперболического уравнения с сингулярными линиями, па основе результатов, полученных для модельного интегрального уравнения с граничными особыми линиями в ядре, получено представление многообразия решений, исследованы задачи типа Дарбу и Коти

Практическая и теоретическая ценность Работа является теоретической Попученные результаты найдут применение в теории гиперболических уравнений с сингулярными и свсрхсппгулярнымп коэффициентами, а также

в теории вырождающихся шперболических уравнении Кроме roí о, предлагаемая методика может быть использована для дальнейшего развития теории многомерных интегральных уравнений вочьтерровского типа с особенностями нл границе и Biiyipn облает

Практическая ценность работы определяется прикладной значимостью интегральных уравнений вольтерровского типа и гиперболических уравнений в физике

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на

-научной конференции, посвященной 60-летию Т Собирова ''Дифференциальные уравнения и их приложения", 2000г, Душанбе

-научной конференции "Некорректные и неклассические задачи математической физики и анализа", сентябрь 2000г, Самарканд

-Международной научной конференции, посвященной 10-ой годовщине независимости Республики Таджикистан и 80-летию профессора М А Суб-ханкуловд "Методы теории функций и их приложения", май 2000г, Душанбе

- Всемирном конгрессе математиков ЮМ -2002, 20 — 28 августа 2002г, Пекин

- Конференции ISAAC по комплексному анализу, дифференциальным уравнениям и родственным проблемам 17-21 сентября 2002г, Ереван, Армения

-Международной научно -практической конференции "16 -ая сессия Шурой Оли Республики Таджикистан ", 27 — 28 октября 2003 г, Душанбе

-Международной научной конференции "Актуальные проблемы математики и ее приложения", июнь 2003г, Худжанд

-Международной научной конференции "Дифференциальные уравнения с частными производными и родственные проблемы анализа и информатики", 16 — 19 ноября 2004 г, Ташкент

-XII Международном симпозиуме "Методы дискретных особенностей в задачах математической физики" (МДОЗМФ-2005), 13 — 18 тоня 2005i Харьков -Херсон

-Международной научной конференции "Дифференциальные и шичпрдль-ные уравнения и смежные вопросы анализа", 8 — 10 ноября 2005i , Душанбе -Международной научно-теоретической конференции по качественным исследованиям дифференциальных уравнении и их приложении, посвященной 10 -летию РТСУ 17 - 14 мая 2005г, Душанбе

-семинарах кафедры "Математического анализа и теории функций" "Комплексный анализ и его приложения в теории дифференциальных уравнений с частными производными", 1992- 2008г, ТГНУ

-научном семинаре "Сингулярные интегральные уравнения", научный руководитель нроф И К Лпфапов факулыет ВМК МГУ, декабрь 2005г, Москва

-научном конференции "Математика и информационные технологии', посвященной 15-летию Независимости Республики Таджикистан, 27 октября 2006г, Душанбе

-Международной конференции, посвященной 100-легшо со дня рождения академика И Н Вскуа "Дифференциальные уравнения, теория функций и приложения", 28 мая -2 июня 2007 г, Новосибирск

-6-ом Конгрессе ISAAC, 13 — 18 августа 2007г, Средне - Восточный техническим университет Анкара, Турция

- Международной научной конференции "Актуальные вопросы математического анализа, дифференциальных уравнений и информатики", посвященной 70-летшо акад АН РТ 3 Д Усманова, 24 августа 2007г, Душанбе

- International Confeience «Inverse Problems modeling and Simulation», held on mav 26-30, 2008 at Qludcniz, Ferhive, Turkey

- Международной научной конференции «Дифференциальные уравнения и смежные проблемы», 24-28 июня 2008 г, Стерлитамак, РФ

Публикации. Основные результаты опубликованы в работах [1] — [33] Из работ, написанных совместно с Н Раджабовым, в диссертации изложены результаты, полученные непосредственно автором диссертации

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит пз введения, четырех глав и списка литературы, содержащего 62 источника Обьем диссертации составляет 334 страницы машинописного текста

Краткое содержание работы

Во введении дается краткий исторический обзор результатов по затрагиваемым проблемам, обосновывается актуальность темы и излагаются основные результаты диссертации

В первой главе в прямоугольнике D = {а < х < do, Ьо < У < Ь} рассматривается двумерное интегральное уравнение

а у а у

(1)

где Л,¡1,5 — заданные постоянные числа, а = const > 0, 0 = const > 0, /(т>1/) ~ заданная,U(т, у)- искомая функции Решение интегрального уравнения (1) будем искать в классе функций U(x,y) £ C{D), обращающихся в нуль на особых линиях Г1 = {а < z < ао, у = Ь}, Г2 = {х = а, bo < у < Ь} Причем будем предполагать, что искомая функция U(x,y) при %—> а имеет нуль порядка выше, чем а — 1 а при у —» b нуль порядка выше, чем 0 — 1 Отметим что в интегральном уравнении (1) двойной интеграл является перестановочным

В начале главы вводятся определения слабой особенности, особенности и сильной особенности для модельного двумерного интегрального уравнения вольтерровского типа

При а = 1, ,3=1 уравнение (1) назовем двумерным модельным интегральным уравнением вольтерровского типа с граничными фиксированными особыми ядрами

В случае, когда а > 1, ß > 1, уравнение (1) назовем модельным двумерным интегральным уравнением вольтерровского типа с фиксированными сильноособыми ядрами

В первом параграфе рассматривается двумерное модельное интегральное уравнение вольтерровского типа со слабыми фиксированными особенностями в ядрах

Во втором параграфе первой главы изучается модельное двумерное интегральное уравнение с граничными фиксированными особыми ядрами вида

"<*»>+*¡"^Ч^ЧткГ-В^^ с»

о у л у

Справедливы следующие утверждения

Теорема 1. Пусть в уравнении (2) А < 0, ц > 0, 5 — — Ад Тогда однородное уравнение (2) в классе C(D), обращающееся в нуль на Г] и Г2, имеет бесконечное число линейно-независимых решений Общее решение однородного уравнения содержит четыре произвольные функции одного переменного и выражается формулой

U(x, у) = (b-y)Vi(®) + (®-a)"Vi(») + (a—а)"А(Ь-у)"

Т

J(t- a)xip2(t)dt+

6

+

J(b-s)-^2{s)ds

= Khi Ых), Vi (у), ¥*(a), МУ)} . (3)

где ipj(¿), ipj(y), J = 1)2- произвольные непрерывные функции точек Ti и Г2 При этом функции (х), ipj(y) при х —* а, у —> b обращаются в нуль и их поведение определяется из асимптотических формул

ip¡(x) = 0[(я - а)е], е>0 при х -* а, (4)

Vi(y) = 0[(6-?/)£], £>0 при у-+Ъ, (5)

<¿>2(2,) =0[(х-а)^], где 5Х > |А| - 1 при х-* а, (6)

= 0[(Ь - у)71], где 7, > /t - 1 при у -> Ь (7) 8

Теорема 2 Пусть о уравнении (2) А < О, у. > О, 5 — —А//, /(г, у) 6 С(В) и на Г] и Г2 обращается в нуль и ее поведение определяется из аашпто-тичесьих форму 1

/(а, у) = 0[(х - а)5-], 62 > |Л| при х-* а,

/(х,у) = 0[{Ь-у)ъ\, 72>/: „ри у->ъ

Тогда неоднородное интегральное уравнение (2) всегда разрешимо и его общее решение содержит четыре произвольные функции одного переменного и даеты при помощи формулы

и{х,у) = ЯпЫ*), ¥>2(2), Му), Ыу)} + П1л{1(х,У)} =

= МдЫ*). ФЛу), Ф2(у)Л*,у)],

где интегральный оператор Кц дается при помощи формулы (3),

»>1 -/сх, „ - л/!Ы* + , / (1=1)'

а у

-х/гг^у^гг^ут*,,

у \x-aj ¿-а./ \b-sj 6 — 5

а V

произвольные функции <р3(г), Ф3(у), J = 1,2 удовлетворяют условиям (4), (5), (б), (7)

В случае, когда Л > 0 /1 < О, для уравнения (2) имеет место следующие утверждение

Теорема 3 Пусть в уравнении (2)А > 0, /х < 0, <5 = — Хр., /(а, у) € С(5), на Г1 и Г2 обращается в нуль и ее поведение опредемется из асимптотических формул

/(х,у) = 0[{х— о-У], е>0 при т —* о, /(я, у) = 0[(6-у)£], е>0 при у->Ь,

£ — достаточно малое положительное число

Тогда однородное интегральное уравнение (2) не имеет решения, ьроме нулевого, а неоднородное уравнение имеет единственное решение, которое дается при помощи формулы

и(х у) = Д„[Я*,!/)]

Следствие 1. При выполнении всех условий теоремы 2, любое решение уравнения (2) из класса С{5) на 1\ и Г2 обращаек'н в нуль и ею поведение при а —» о, у —> Ь определяется из асимптотических формул

и(.г, у) = 0[(т - а)'}, г > 0 при т- -» а (8)

Щх,у) = 0[(Ь-у)е], £>0 при у-»Ь (9)

Следствие 2 При выполнении всех условии ¡еоремы 3, любое решение уравнения (2) из класса С(Б) обращается в нуль на Г1 и Г2 с асимптотическими поведениями (8), (9)

Далее установлено, что в случае, когда А > 0, /г > 0, А < 0, ц < 0, интегральное уравнение (2) всегда имеет решение и общее решение неоднородного уравнение содержит две произвольные функции одного переменного

В том случае, когда коэффициенты уравнения не связаны между собой, решение интегрального уравнения (2) будем искать в классе С (Б), обращающегося в нуль на Г1, Гг и представимого в виде равномерно-сходящихся обобщенных рядов Справедливы следующие утверждения

Теорема 4. Пусть в уравнении (2) А < 0, /х > 0, 5\ = \ц + 5 Ф 0, 5\ < 0, функция /(х, у) представший в виде равномерно-сходящего обобщенного рядг вида

(10)

п—0

где /п(х) € С(Г1), в точке х = а обращаются в нунь с асимптотическими поведениями

Л1(г) = 0[(а;-аР"], 72" >

м.

п + 7

, п = 0,1,2,

Тогда любое, решение интегрального уравнения (2) из класса С{и), представимого в виде ряда

и(х,у) = (х-а)М (Ь-уТ^(Ь-У)'1+"ип(х), 7 > 0, (11) дается при помощи формулы

п=1

и(х,у) = (х-а)М(Ь-у)"

,»1=0

п + 7

+

п + 7 + /*Нй|-Л(п + 7))

71 + 7

(«+ 7)

/»(Х) + №1 \

, + 5 ш

< — а

/

где С„(п = 0,1,2, ) -произвольные постоянные, для которых существует предел

Сп+1 = С и (Ь - Ъ0)С < 1

1пп

П—»30

с„

Теорема 5 Пусть в уравнении (2) А < 0, fi > 0, ¿1 = Xß + 6 ф 0, ¿i > О, функция f(x, у) прсдстпвима в виде равномерно-сходящего ряда (10) где fn{x) € C(ri). в точъс х = а обращаются в т/ль с асимптотическими поведениями

fn(x) = Щх - и)% е>0 п = 0,1,2,

Тогда любое решение интегрального уравнения (2) uj масса C(D), предста-вимого в виде (11), дается форму ной

U(a , у) = (, - аПь - у)" f> - уП (^Р1) \ n + ^J J \х-а) t-a

а

Следствие 3. При выполнении всех условий теоремы 4, любое решение уравнения (2) в классе функций U{x,y), представнмых в виде (11), па Ti и Г2 обращается в нуль и его поведение определяется из следующих асимптотических формул

U(х, у) = 0[(а: - а)'А'] при х —» о,

V{x,y) = 0[(Ь — у)м+0] при у->Ъ

Следствие 4 При выполнении всех условий теоремы 5, любое решение уравнения (2) в классе функций U(x, у), представнмых в виде (11), на Fj и Г2 обращается в нуль с асимптотическими поведениями

U{x, у) = 0[(х - а)|А|+с] при х-* а,

и(х,у) = 0[(Ь-уУ+Ч при у^Ъ Замечание 1 Аналогичным образом уравнение (2) рассмотрено в случаях, когда А > 0, fi < 0, ¿л > 0 и А > 0, ц < 0, ¿1 < 0

В третьем параграфе изучается модельное двумерное интегральное уравнение вольтерровского типа, ядра которого имеют две 1раннчпыс фиксированные сильные особенпос1И

а у а у

(12)

при Q > 1, ß > 1

Решение уравнения (12) будем искать в классе функций U(x,y) € C(D), обращающихся в нуль на Ti и Г2 с асимптотическими поведениями

U(х, у) = 0[(r - a)Ä1], ¿1 > а - 1 при г —> я, 11

и(2,у) — 0[(& - у)~-!, "и > Р — 1, при у —> Ь

Справедливы еле. цчощие утверждения

Теорема 6 Пусть в уравнении (12) А < 0, /х > 0, 6 — —А/л Функция ¡(х,у) £ С (Б) па Г1 и Г 2 обращается в пуль с асимптотическими поведениями

/(г, у) = 0[еАа,"(т) • (ж - а)5'], ¿1 > а — 1, при х-* а, (13)

/{х, у) = (Ь - у)11], 7! > 0 - 1, при у —► Ь (14)

Тогда любое решение уравнения (12) из класса С(Й) представимо в виде

X

а Ь

V

т Ь

У (< - а)а 'У {Ь - в)?

О У

х Ь

У (4 - о)« у (6 - в)"

а У

= А«,3,9 [</>1(2), £2(2), ^(у). Н'2(¿/),/(з,у)] ,

7 = 1,2 — произвольные функции точек Г1 и Гг, обращающихся в нуль с асимптотическими поведениями

= 0[(х — а)5'], > а - 1 при х -* а, (15)

у2{х) = 0[еА^ы] при а-а, (16)

= 71 >¿-1 при </-»6, (17)

= 0[е-'ш'(!,)] при у -> Ь (18)

Следствие 5. При выполнении всех условий теоремы б, любое решение уравнения (12) из класса С(В) на Г1 и Гг обращается в нуль с асимптотическими поведениями

1/(х, у) = 0[(г - а)г>] при х^а, 6Х > а - 1, (19)

У(1,у) = 0[(6-уГ] при у^Ь, 71 >/3-1 (20)

При Л > 0, д < 0, 6 = —Ад еправе^ушва следующая

Теорема 7. Пусть в уравнении (12) А > 0, д < 0, <5 = —Ад, функция Лх,у) € С(Б), на Г1 и Г2 обращается в нуль с асимптотически ии поведениями

/(з,у) = 0[(х-а)^\ при з->а, (21)

Да,у) = 0 [(Ь-у)11] при у-*Ъ. (22)

Тогда уравнение (12) в массе С{р) имеет единственное решение, которое выраэ/сается формулой

и{х,у) = А'адэ[0,0,0,0,/(х,2у)].

Следствие 6 При выполнении всех вышеуказанных условий теоремы 7, любое решение уравнения (12) из класса С(£>) на Г1 и Г2 обращается в нуль с асимптотическими поведениями

и(х, у) = 0[(х - о)6'], где 61 > а - 1 при х-* а, (23)

и(з,у) = 01(Ь-у)ъ], где 72 >/3-1 при у - Ь (24)

Усыновлено, что А > 0, д > 0, 5 = —Ад и А < 0, д < 0, 5 = —Ад общее решение неоднородного уравнения (12) содержит две произвольные функции одной переменной

Теорема 8. Пусть в уравнении (12) А > 0, д > 0, 6 = —Ад, функция /(а.,?/) € С{р) и на Г1 и Г2 обращается в нуль с асимптотич/ сними поведениями (21) при х —* а и (14) при у —> Ь Тогда любое решение уравнения (12) из класса С{Б) представимо в виде

и(х,у) = А"„дд[р1(:г), ^2(1), 0,0, /(т, у)],

где ¥>/а.), ^ = 1,2- произвольные функции ьлисси С(Гх) с асимптотическими поведениями (15) и

= 0[(х — а)"®1], > а — 1 при х —* а

Следствие 7. При выполнении всех условий теоремы 8, любое решение уравнения (12) из класса С (О) на Г] и Г2 обращается в нуль с ашмнгошческимн поведениями (23) при х —> а и

Щх,у) = ЩЬ-уУ>}, 71 >/3-1 при у->Ь

Пусть в уравнении (12) = 6 + Ад ф 0 В этом случае решение интегральною уравнения (12) будем искать в виде равномерно-сходящихся функциональных рядов

Теорема 9 Пусть в интегральном уравнении (12) А < 0, /л > 0, ¿1 < О, фупщхт /(х,у) б об пасти Б представим/) в виде равномерно-сходящегося ряда

со

Да,у) = £е-^-ММ-^у) (25)

п=О

/п(у) £ С(Г2) и е точке у = Ь обращаются в нуль с асимптотическими поведениями

Ш = о

■

е п + 7

(ь-у)

т

72 >0-1, " = 0,1,2,

при ])

Тогда однородное интегральное уравнение (12) в классе функций и(х,у), представимых в виде

(26)

п=0

ичеет бесконечное число линейно-независимых решений вида и„(х, у) = = 0,1,2,

Неоднородное интегральное уравнение в классе функций, представалшх в виде (26), всегда разрешимо и представимо в виде

ос ?

Т1=0

ь

п + 7 — А

71 + 7

(Ь-ьУ

г1.в

где С®- произвольные постоянные, удовлетворяющие уоювиям

1ш1 = С, С е-"«М < 1

"-00 1ч!|

Следствие 8 При выполнении всех условий теоремы 9, любое решение уравнения (12) из класса функции, представимых в виде (26), на Г1 и Г2 обращается в нуль с асимптотическими поведениями

{/(х,7/) = 0[е-(7+|А1Х(:')], при х^а, и{х,у) = 0[е-^<-у)}, при у->6

Теорема 10 Пусть в интегральном щхюиснии (12) А < 0, ц >, <5] О, ¿1 > 0, функция }{х,у) в области Ю vpedcmaeu.ua в виде равномерно-сходящегося ряда (25), где /,?(у) 6 С(Г2) Тогда интегральное уравнение (12) в классе функций и (г,у), представимых в виде (26), имеет единственное решение, которое выражается формулой

9 . _ (n + 7)/x + ¿! f JnW n + 7 J (Ь-а)"

n=0

(n+¿i f ñ(s)

Замечание 3. Уравнение (12) изучено для всех остальных значений A, ¿t, ¿i и утверждения, аналогичные теоремам 9,10, получены, когда А > 0, /¿ < О, ¿i < О, А > 0, (i < 0, 5г > О, А < 0, /i < О, ¿i < О, А < О, ц < 0, ^ > О, А > 0, ц > О, ¿i < О, А > 0, ц > О, ¿i > О

Замечание 4 Из полученных решении для уравнении (2) и (12) при 5 = — следует, что поведение частного решения неоднородных уравнений (2) и (12) на особых линиях Г] и Гг совпадают с поведением правой части уравнения, то есть функции f(x,y) на Ti и Гг, а поведение решения однородною уравнения на Ti и зависит от поведения произвольных функций, присутствующих в общих решениях однородного уравнения

В §4-§9 первой главы исследованы модельные двумерные интегральные уравнения вольтерровского типа при

а < 1, ¡3 = 1, а = 1, (3 < 1, а > 1, ¡3 < 1, а < 1, /3 > 1, а = 1, > 1, а > 1, /3 = 1

для всех возможных значений А, fJ., S

Во второй главе в области D исследуется немодельное двумерное интегральное уравнение с граничными особыми и сильно-особыми ядрами, зависящими от переменных интегрирования вида

f A(t)U(t,y) ÍWM,,, f dt

aya

Ь C(t,s)U(t,s)

[1

J (b-s)»

y

'-ds = f(x,y), (27)

где Л(.т), В (у), С(х,у), /(г, у)-заданные функции соответственно на Гь Г 2 и D, а = constant > 0, [3 = constant > 0, U(x,y)~ искомая функция

Как и для уравнения (1), решение интегральною уравнения (27) будем искать в массе функций U(x,y) € C(D), обращающихся в нуль на особых линиях Г] п Г2 соответственно с порядком выше, чем (о — 1) при х —> а п выше, чем /3—1 при у —» Ь

В первом параграфе вюрой главы рассматривается немоделыюе двумерное ишегральиое уравнение (27) со слабой особенностью по обеим переменным

Во втором параграфе второй главы рассматривается номодольнос двумерное интегральное уравнение с граничными особыми ядрами вида

u{Xty)+fm^dl_[№Mds+fJL/C(M)U(,,S)

J t-a J b- ь J t-a J b-s

n у ay

(28)

Справедливы следующие утверждения

Теорема 11. Пусть в уравнении (28) А(х) 6 C(fi), В(у) е С(Г2) и в окрестности точек х = а, у — b удовлетворяют условию Гелъдера, А(а) < О, В(Ь) > 0, С(х,у) = —А(а)В(у) Тогда однородное уравнение (28) в классе C(D), обращающемся в нуль на Гх и Г^, имеет бесконечное число линейно-независимых решений Общее решение однородного уравнения содержит четыре произвольные функции одного переменного и дается при помощи формулы

Un{*,v) = e-W*M (Ь-у)в<"> nW + e-WM-WM (b-y

ь

J e«W (b - s)-B(iVi(s)rfe + (a - а)" Ца)Ф2{у)+

у

х

+e-W\(r)-WM {х _ a)-A(a){b _ у)В(Ь) J еУГЩ _ a)m^t)dt =

а

= tftfMa), ^i(y), <Р2(х), Му)}, (29)

где tpj(x), ipj(y), J = 1,2 произвольных непрерывные фупьции точек Tj и Гг обращающееся в пуль при х —> а, у —» b со следующими асимптотическими поведениями

<Pi(x) = 0[(a: - а)-], е > 0 при х —> а,

ФЛу) = ~ У)7'], где у, > В{Ь) - 1 при у -> Ь, . .

<р2(х) = 0[(г - о)5'], 5г > |Л(а)| - 1 при х, -» а,

Фг(у) = 0[(Ь - у)£], е > 0 при у b

Теорема 12. Пусть в уравнении (28) А(х) € С(Г[), В{у) е С(Г2) и в окрестности точек г = а, у = b удовлетворяют уаювию Гельдера, А(а) <

0, B(b) > 0, С(х,у) = -А(х)В(у), Да, у) 6 C(D) и на Г! а Г2 обращается в пуль, ее поведение на Ti и Г2 определяется из асимптотических формул

/(з,(/) = 0[(з -и)Ч $2>И(«)1 пРи з^а, f(x, у) = 0[(6 - у)72], 72 > В{Ъ) при у —*Ь Тогда неоднородное интегральное уравнение (28) всегда разрешимо и его общее решение содержит четыре произвольные функции одного переменного и дается при помощи формулы

U(x,y) = iq>,(т) Ш, Ш\ + ptf{f(x,y)} =

= М'^Мх), ip2(x), My), My), f(t,y)], где интегральный оператор К^ дается при помощи формулы. (29), а интегральный оператор Pff при помощи формулы

Kill (Г, У)) = /(*,»)-/ e^W-^ W (t^Lj Aia) Mf(t, y)dt-

a

ч у

\b~sj b-sj \t - a J t—n

а

произвольные функции pj(x), ipj(y) удовлетворяют уаювиям (30) В случае А{а) >0, В{Ь) < 0 для уравнения (28) имеем Теорема 13. Пусть в уравнении (28) функции Л(х), В{у) удовлетворяют всем условиям теоремы 11, кроме условий Л(а) < 0, В(Ь) > 0 Пусть А(а) > 0, В(Ь) < 0 Тогда однородное интегральное уравнение (28) в классе C(D) не имеет решения, кроме нулевого

Теорема 14 Пусть в уравнении (28) А(х) е С{fj), B{ij) е С^Г;), и о окрестности точек х = а, у = b удовлетворяют условию Гельдера, Л(о) > О, В{Ь) < 0. С(х, у) - -А(х)В(у), Да:, у) € C{D) и на Гь Г2 обращается в нуль и ее поведение определяется из асимптотических формул

f(x, у) = 0[(а — а)£], е>0 при х —* а,

f(j,y) = 0[{b-y)e}, е>0 при у b

Тогда интегральное уравнение (28) имеет единственное решение, которое выражается формулой

U(r,y) = P?llf(x,y)} 17

Слсдеизис 9. При выполнении всех условии теоремы 12, любое решение уравнения (28) из класса C(D), на Г] и Г2 обращаются в нуль, причем его поведение при х —> а и у —» Ь определяется из следующих асимптотических формул

U(x, у) = 0[(х - а)£], е > 0 при т -* а, (31)

U(x,y) = 0{{b-y)e], £>0 при у-+Ь (32)

Следствие 10. При выполнении всех условий теоремы 14, любое решение уравнения (28) из класса C(D) также обращается в нуль на н Г2 с асимп-ютическими поведениями (31), (32)

Теперь исследуем уравнение (28) в случае С(х,у) + А(х)В(у) Ф 0 Используя метод, подобный методу регуляризации для одномерных сингулярных интегральных уравнений, данное уравнение представим в виде

а у

C(t,b) + A{t)B(s)ds = м«ъЫх1 (g)> My)i My)t f(x y)] о — s

При А(а) < 0, В(Ь) > 0 справедливо следующее утверждение

Теорема 15. Пусть в уравнении (28) А{х) € C(fi), В{у) 6 С(Г2), С{х,у) е C(D), А(а) < 0, В(Ь) > 0, Сх{х,у) = С(х,у) + А(х)В(у) ф 0, Л(з), В (у) соответственно в окрестности точек х = а и у = Ь удовлетворяют уиювию Гельдера, функция С\(х,у) на Ti и Г2 обещается в нуль с асимптотическими поведениями

С\{х,у) = 0[(ж - а)"], £>0 при та,

Ci{x,y) = 0[{b-yy}, £>0 при у -+Ь

Функция f(x,y) G C(D) и на Ti, Г2 обращается в нуль с асимптотическими поведениями

f(x,y) — 0[(а — а)'5'1]. 6^>\А(а)\, при a -»в,

f(x, у) = 0[(b - у)74], 74 > B(b) при у b

Тогда интегральное уравнение (28) всегда разрешимо и его общее решение содержит четыре произвольные функции точек Tj, Г2 и дается формулой

U(x, у) = (х- а) ^ (6 - у)вW е-^М-^АМ

х ъ

F3{x:y)- J dt J Ги(х,у, t,s)F3{t,s)ds , (33)

а у

где

F3(x, у) = (г — а)-1л<">1 (Ь - у)~в• еи AM. Л/П[^1(а.), ip2(x), ФЛу), My), f{x,y)},

Гг,2(х'У> t>s) резольвента, интегрального уравнения

X

Ь

о — s

а

у

причем

1?!(х, у) = (х - а)-'л(а)| (Ь - U(x,y),

>Pj(x), y>j(y), j = 1,2 — произвольные функции соответственно точек Ti и Г2, удовлетворяющие условиям

ip,{x) = 0[(х - а)*3], 83 > |Л(а)|, j = 1,2 при х -* а,

t/>j(y) = 0[(Ь - у)*], ъ>В(Ь) j = 1,2 при у^Ъ. Причем любое решение вида (33) из класса C{D) 11а Г\ и Гг обращается в

Таким же образом уравнение (28) исследовано при С\{х,у) ф 0, юлда А{а) > О, В{Ъ) > 0, А(а) < О, В{Ь) < О, А(а) > О, В(Ь) < 0 Причем при А(а) > О, В(Ь) > 0, А(а) < О, В(Ь) < 0 общее решение неоднородного уравнения содержит две произвольные функции одного переменного, при А(а) > О, В(Ь) < 0 решение единственно

В третьем параграфе второй главы в области D рассматривается немодельное двумерное интегральное уравнение (27) с граничными сильно-особыми ядрами вида

нуль с асимптотическими поведениями

U{x, у) = 0[(х - а)|л(а>] при х -* а, U(x,y) = 0[(b-y)BW\ при у

U(x,y) + J

а

х

A(t)U(t,y)

(t — а)а

ь

(34)

у

Справедливы следующие утверждения

Теорема 16 Пусть в уравнении (34) а > 1, ß > 1, А(х) 6 C(ri) и в окрестности точки х = а удовлетворяет условию

|Л(л) — Л(а)| < М\{х — a)s', где d"i>a-l,

В (у) € С(Гг) и в окрестности точки у = Ь удовлетворяет условию

|В(Ь)-Я(?/)| <М2(Ь-у)Л где 71 >0-1

Дсыее, пусть С(х,у) = -А(х)В(у), А(а) < О, В{Ь) > 0 Тогда однородное уравнение (34) в классе C(D), обращающемся в нуль на Tj и Г2, имеет бесконечное число линейно-независимых решений Общее решение однородного уравнения содержит четыре произвольные функции одного переменного и дается при помощи формулы

ь

JgBM-fl,)+№*(.)

у

х

+ eA(a)u2(x)-Wl{X)-B{b)^(y)-U%(y) J eW 4{t)-A(a)^t) =

а

= Kaß[<P\(x) V2&), Ыу)> 'фгЫ], (35)

где <Pj{x), ф3(у), j = 1,2 — произвольные непрерывные функции точек Tj и Г2 При этом функции <Pj(x), ipj(y) при х —> а, у —> Ь обращаются в нуль и их поведение определяется из асимптотических формул

<Р\{х) = 0[(а - а)"5'], <5i > а - 1 при х -» а,

Му) = ЩЪ-уУе-в^ьЫ] при у^ъ, . ,

<Рг{х)=0{{х-аУеА^Щ при х а, У '

ЫУ) = 0[(Ь - У)71], 7i > /3 - 1 при у^Ь

Теорема 17. Пусть в уравнении (34) а > 1, ß > 1, функции А(х), В(у), С{г,у) удовлетворяют всем условиями теоремы 16, f{x,y) € C{D), на Гь Г2 обращается в нуль и ее поведение при а —► а, у —> Ь определяет/я из асимптотических формул

/(х,у) = о(еЛ(п)^М (x-a)s*y где S2 > о - 1,

f(z, у) = 0 (Ь- у)72), где та > 0 - 1

Тогда неоднородное интегральное уравнение (34) всегда разрешимо, его общее решение содержит четыре произвольные функции одного переменного и дается при помощи формулы

и(г,у) = ка,вЫт), Мг), МУ\ ЫУ)) + РМъу)] =

= i(a), ip2(z), ^i(v), ip2(y), f{z,y)},

где интегральный оператор Kaj дается при помощи формулы (35), а интегральный оператор Р„ ¡i[f{z,y)] при помощи \формулы

j

РаММ] = Я*,У) - J

а

Ь

+ e-BW^b[y)-wb%) J СВ1Ь)Л1,)+\У?Ы sjds_

У

{b - s)"

У

x /

произвольные функции <fj(x), i>j(y), J = 1,2 удовлетворяют условиям (36) Теорема 18. Пусть в уравнении (34) функции А(х), В(у), С(х,у) удовлетворяют всем условиям теоремы 16, кроме условий А(а) < О, В(Ь) > О Пусть А(а) > О, В(Ь) < О Тогда однородное интегра.гьное уравнение (34) в классе C(D) не имеет решения, кроме пулевого

Теорема 19 Пусть в уравнении (34) <функции А(х), В(у), С(х,у) удовлетворяют всем условиям теоремы. 18 Кроме того, пусть f(x,y) € C(D) и ее поведение при х —> а, у —> Ь определяется из асимптотических формул

f{x, у) = 0 ((а: - a)¿2) , где 62>а- 1,

1{х,у) = 0((Ь-у)Ъ), где Ъ>в-1

Тогда неоднородное интегральное уравнение (34) в классе C(D) имеет единственное решение, которое дается при помощи формулы

U(x,y) = Л/о,/з[0,0,0,0, /(а, у)]

Аналогичным образом установлено, что при Л(а) > О, В(Ь) > 0, Л(а) < О, В(Ь) < 0 общее решение неоднородного уравнения содержит две произвольные функции одной переменной

Исследование случая, когда в уравнении (34) С(х,у) —А(х)В(у) Используя метод, подобный методу регуляризации дня одномерных сингулярных интегральных уравнений, для уравнения (34) будем иметь

Теорема 20 Пустпь в уравнении (34) функции А{г) € C(ri), В{у) € С(Г2), Л(а) > О, В{Ъ) < 0, С(х,у) € C(D), С,{х,у) = С(х.у) + А{х)В(у) ф О, Ci(x, у) на Г] и Гг обращается в нуль с асимптотичегъшш поведениями

Ci (г., у) = 0[(х — а)1*1], бх > а — 1 при х —> а,

Ci(.T,y) = 0[(b-y)71], 7i >Р-1 vpu У^Ь

Функция

i'i(y), Ф2{у), f{x,y)\ = Eail3[pi{x),ip2{x)^)l{y),ii2{y)J{x,y)} (37) на Г~1 и Г2 обращается в нуль с асимптотическими поведениями

F{x,y) = 0[е-л(я)ы°(1) (х-а)% 62 > а - 1, при х -> а

F(x,y)= Q[eB^(y) (6-2/П, 72 >13-1 при у-* Ъ

Функции А{х), В(у) в окрестности точек х = а, у = Ъ удовлетворяют условиям

Л(х)-Л(а) = 0[(х-а)а1], ^ > а — 1,

В(Ь)-В(у) = 0{Ь-у)ъ], Ъ >Р-1

Тогда задача о нахождении решения уравнения (34) в классе функций U(x,y), обращающихся в нуль на Tj и Гг соответственно с порядками больше, чем (а — 1) и {¡3 — 1), эквивалентна задаче о нахождении решения уравнения

а У

где

в классе функций, обращающихся в нуль на Г[ и Гг с асимптотическими поведениями

д{х,у) =0[е-4Мш"М (¡г-а)*], 62 > а - 1 при х -> а,

#(х,у) = 0[ев{ь)ш^у)-(b-y)*}, 72>/?-1 при у -» b

Теорема 21. Пусть функции А{х), В(у), С(х, у) удовлетворяют всем условиям теоремы 20 Тогда уравнение (34) имеет единственное решение, которое дается при помощи формулы

U(x, у) = «¿(•WM-WtfM-{£;f>)j(o, 0,0,0, /(г, у))-

х ь )

- J dt J Г aj3(x,y, t,s)EaA0,Q,0,Q, f(t,s))ds I = T^[f(x, y)\,

ay J

где функция Eajj{0,0,0,0, f(x, у)) определяется формулой (37), Га/Д.т, y, t, s) -резольвента двумерного интегрального уравнения Вольтерра со слабой особенностью (38) Причем данное решение на Tj и Гг обраащется в нуль с асимптотическ ими поведениями

U(x, у) = 0[(х — а)1*2], ¿2 > а — 1 щч з—> а,

U(x,y) = 0{(b-yp], 72 >/3-1 при у —> Ь

Аналогичным образом уравнение (34) исследовано также при С\(х,у) ф 0 в случаях А(а) < 0, В(Ь) > 0, А(а) > 0, В(Ъ) > 0, Л(о) < 0, В(Ь) < 0 Причем при А(а) > О, В(Ъ) > 0, А(п) < 0, В(Ь) < 0 общее решение неоднородного уравнения содержит две произвольные функции одной переменной, при А(а) < 0, В(Ь) > 0 общее решенне содержит четыре произвольные функции одной переменной

В §4-§9 изучается немодельное интегральное уравнение (28) в случаях когда а < 1, /3 = 1, а = 1, ¡3 < 1, а > 1, ¡3 < 1, а < 1, /3 > 1, а = 1, ¡3 > 1, а > 1, ¡3 = 1 для всех возможных значений А(а), В(Ь)

В третьей главе в области D исследуется общее двумерное интегральное уравнение с граничными особыми и сильно-особыми ядрами вида

и{х>у) +J —(TWa—d " J —(b^ly—ds+

« V

+ J J-(ьг^з-db = »>■

« ii

где K\(x,y,t), А2(я,(/,б), K3(x,y,t,s)~ заданные непрерывные функции, причем Кх{а Ь,а) ф 0, K2(a,b,b) ф 0, Ki(a,b,a,b) ф О, /(а,у) 6 C(D) — заданная функция в области D

Как и для уравнений (1) и (27), решение уравнения (39) будем искать в классе функций U(х, у) £ C(D), обращающихся в нуль на особых линиях Г] и Г2, причем искомая функция U(ж, у) при х —* а и у —♦ b имеет соответственно нули порядка выше, чем (а — 1) и (¡3 — 1)

В первом параграфе третьей главы рассматривается общее двумерное интегральное уравнение со слабой особенностью по обеим переменным

Во втором параграфе третьей главы изучается общее двумерное интегральное уравнение с граничными особыми ядрами, го есть изучается уравнение

(39) ири а = 1, /3=1 Данное уравнение изучается в следующих вогможныч случаях Л = Kj (а, Ь, а) < 0, /i = К2(о, b,b) > 0,6 = К3 (a, b, a, b) = — Л/х, А > О, ц < О, 5 = —A/i, А > 0, /л > О, 8 = -A/i, А < О, ц < О, S = -Ац, 5 ф -А/л, А(а) = A'i(a,Ь,а) > О, ß(6) = К2{а,Ь,Ъ) < О, Ci(i,s) = С(/, s)+>l(/)ß(s) ^ О где C(f,s) = K3(a,ö,i,s) ^ О, 4(t) = Ki(a,M) ф О, B(s) = К2{a,b,s) ф О, А(а) < О, В{Ь) > О, 5 ф -Л/i, <7i(f,s) ф О, А(а) > О, В(Ъ) > О, 5 ф -A/i, C\(t,s) ф О, Л(а) < О, B(ö) <0, 6ф -A/i, Ci(i,s)^0

Используя метод, подобный методу регуляризации для одномерных i ин-гулярных интегральных уравнений, для уравнения (39) при А < 0, /i > О, б -"• —A/i будем иметь

Теорема 22. Пусть в уравнении (39) vpu а = 1, /3=1, А = Ki(a, b, а) < О, /i = К2(a,b,b) > 0, 5 = K3(a,b,a,b) = —A/i , f(x,y) € C(D), в точке (х,у) = (a,b) обращается в нуль и при х —» я, у —> 6 для нее справедлива оценка

|/(1,у)|<Н1(а;-а)*(Ь-у)'*, где * > |А| , 7i > I*

Функции Ki(x,y,t), K2(x,y,s), Kz(x,y,t,s) соответственно по своим пе-рементлм являются непрерывными для всех (х,у) € D и (t,s) из той эюе области Кроме того, допустим, что разности I\\(x,y,t) — K\(a,b,a), K2(x,y,s) - K2{a,b,b), K^(x,y,t,s) - K'i(a,b,a,b) при x -> «, y—+b,t-+a,s—*b обращаются в нуль и для них справедлива оценка

\Кх(х, у, t) - К\(а, b,a)l < Н2{х - a)*1 (b - у(< - a)*,

5) - Л'г(а, й, 6)| < Я3(х - а)*'(Ь - ур(Ь |/f3(a,У,t,з) - А'з(о,Ь, а, 6)| < Я4(х - af (b - г/Г1 (f - - а)*),

где <5, > |A|, й2 > 0, 7i > /г 72 > 0 Тогда задача о нахождении общего решения двумерного интегрального уравнения (39) эквивалентна задаче о нахождении решения двумерного интегрального уравнения вольтерровского типа со слабыми особенностями

и{ jNl{x,y,t)U{t,y)dt+ f N2(,.,y >)UM ds+

J t-a J b-s

а у

(40,

<1 у

где. Ni(x,y,t), N2(x,y, s), N$(x,у, t, s)- известные функции, непрерывные no переменным {г,у), имеющие нуль порядка больше, чем г > 0 по переменным

Р{? ,у) = {Ь- y)>W->) + j^L + /с - -)XMt)dt+

а

У "

У а У

= Mi,i[v?i(x), ^(т), V>2(y), /(*■ у)],

произвольные функции 1Р\{х),^р2(х),-фх(у),'ф2{у) при х —> а и у —*Ь удовлетворяют условиям

^i(x) = 0 ((х - ~*У) , е > 0 при х —► а,

<р2(х) = 0 ((х- а)6') , ¿1 > |А| при х —> а.

V'i(y) = о ((ь ■ -УУ) , £ > 0 при у -*Ъ,

ЫУ) = о ((6 - ■УУ") - ">1 > д при у-*Ь

Теорема 23. Пусть функция f(x,y), лфа Ал (г, у, £), К2(х,у, s), Kj(x,y, t,s), произвольные функции <pi(x),ip2(x), Ф\{у),фг{у) удовлетворяют всем условиям теоремы 22 Тогда интеграшюе г/равнение (39) в классе C{D), имеющее пуль порядка больше, чем £ на Ti и Г2, всегда разрешимо Общее решение содержит четыре произвольные функции одного переменного и выражается формулой

х Ь

U(x,y) = P(x,y)- J rl(x,y,t)P(t,y)dt- J T2(x,y,s)P{x,s)ds-

а у

х b

-Jdt Jr^T,y,t,s)P(tti)ds, « у

где Г\(х, у, t), Г2(х, у, s), Гз(х, у, t, s) являются резольвентами интегрального г/равнения со слабой особенностью (40)

Следствие 11. При выполнении всех условий георсмы 23, любое решение уравнения (39) из класса C(D) на Гь Г2 обращае1Ся в нуль и его поведение при l —> а, у —> 6 определяем из асимптотических формул

U(х, у) = 0 ((х - а)г) , е > 0 х -> а,

U{x,v) = 0 ((Ь-у)£) , £>0 у^Ь

Аналогичным образом уравнение (39) исследовано при А > 0, /î<0, ô = —Л//, Л < 0, /х < 0, 5 = —Xfi, А > 0,/í > 0, (5 = причем при Л > О, // < 0 уравнение (39) имеет единственное решение, при А > 0, р. > О, А < 0, ц < 0 общее решение неоднородного уравнение содержит две произвольные функции одной переменной

В случае, когда S ф — A/t, используя метод, подобный методу регуляризации для одномерных сингулярных уравнений, для ура внения (39) будем иметь

Теорема 24. Пусть в уравнении (39) при а = 1, /3=1 К\(а,b,t) = .4(i), K2{a,b,s) = B(s), K3{a,b,t,s) = C(t,s), причем Ci(t,s) = C(f,s) + A(t)B(s) Ф 0, A(a) = K\(a,b,a) < 0, B(b) = K2(a,b,b) > 0 Функция f{b,y) € C{D), в точке {x,y) = (a,b) обращается в пуль и для нее при х —> а, у —> b справедлива оценка

If(x,y)\ < Н5(х - а)*(Ь - у), 66 > \А(а)\ , 7е > В(Ь)

Функции Ki(x,y,t), К2(х,у, s), K3(x,y,t,s) соответственно по своим переменным являются непрерывными дм всех (х,у) € D и (t,s) из той же области Кроме того, допустим, что разности K\(x,y,t) — К\(а, b, t), K2(x,y,s) - K2(a,b,s), K3(x,y,t,s) - K3(a,b,t,s) при x -» a, y-*b, t-*a, s —* b обращаются в нуль и для них справедлива оценка

¡Ki(x,у, t) - Ki(a,b, t)\ < H6(ar - a)*'(b - y(t - af |K2(r, y, s) - K2(a, b,s)I < П7(х - a)s°(b - g)^(b - sY, |Кз(®, y, t, s) - Кз(о, b, t, s)| < H8(z - a?°(b - y)i»(t - afib - sf,

где (56 > И(а)|, y6 > B(b), e > 0, a также A(t) G C(fi), В (s) e С(Г2) и соответственно в окрестности точек t = а, s = 6 удовлетворяют условию Гельде]м, Ci(í,y) = C{t,s) + A(t)B(s) € (D) и при t —» а, s —» b для нее справедлива оценка

\C(t, s) + Л(«)В(в)| < Hg(t - a)e(b - s)'

Тогда задача о нахождении общего решения двумерного интегрального уравнения (39) эквивалентна задаче о нахождении решения двумерного интегрального уравнения вольтерровского типа со слабыми особенностями

' Щх, у, t)û(t,у) ^ [ f R2(x,y,s)tf(x,s) d_ | j dt

t - a J b — s J t- a

aya

JR3 {x,y^Cl{t,s)ds = FÁxyl (41)

У

¿(*,v) + j

?д<'

д{ъ, у) = (х- а)л^(Ь - y)-W)ew\w+\vfa) v)i

<Л Ri(xiy->b)> Ri(x,y,t,f>) известные функции, непрерывные по перели'нпым (х, у) и имеющие нуль порядка выше, wkai s по переменном х,у и t,s

причем произвольные функции <р3{х), ipj(y), J = 1,2 при х —> а, у Ь, удовлетворяют условиям

V>j{x) = 0[(а -а)67] , ¿7>|Л(а)|, j = 1,2 при х а,

^Ы=0[(6-уГ], 77>ß(6), j = 1,2 при 2/^Ь

Теорема 25 Пусть функция f(x, у), ядра К\(х, у, t), Л^а, у, б), , у, t, s), произвольные функции <Р){х), ^(у), J = 1,2 удовлетворяют вселг условиям теоремы 24 Тогда интегральное уравнение, (39) в шассе функций и(х,у) G C(D), имеющих нуль порядка

U{x, у) = О [(* - а)|Л(п)|1 , при х - а,

U(x,y) = 0[(b-y)BW} , при у -*Ь,

на Г) и всегда разрешимо Общее решение содержит четыре произвольные функции одного переменного и выражается формулой

U(x,y) = (х- - _ JГ„(т,у,<)

l> i ь 1

F2{t,y)dt-jr2l{T,y,s) F2(x,s)ds — JdtjT3i(x,y,t,b)F2{t,b)dAt

У ay )

где Гц(.г, у, t), Гг^х, у, s), Гз1(х, у, t, s) - являются резолъвенталш двг/мерно-го интегрального уравнения вольтерровского типа со слабой особенностью (4i;

Уравнение (39) при а = 1, ß — 1 исследовано и в случаях А(а) > О, В{Ь) < 0, Ci(t,s) = C(t,s) + A(t)B(s) ф 0, А(а) < О В{Ь) < 0, Ci(t,s) = C{t,s) + A(t)B(<s) фОп Л(а) > 0, B(b) > 0, C\{t,s) = C{t,s)+A(t)B(e) ф О

27

В 1р<мьем параграфе третье» главы ш\ чаегея общее двумерное ипгеграпь-нос уравнение с граничными сильно-особыми ядрами

Щх'у) + } -(« - а)" * - !-(^-

+ У У -(^-Л = Л*. У) (39)

а у

при а > 1, /? > 1 Данное уравнение изучается в следующих случаях А = Кх(а,Ь,а) < 0, ц=К2{а,Ь,Ь) >0,6 = К3(а,Ь,а,Ь) = -А/х, А > 0, ц < О, 3 = -А/х, А > 0, ц > 0, 6 — -\ц, А < 0, /4 < 0, <5 =

Используя метод, подобный методу регуляризации для одномерных сингулярных уравнении, задачу о нахождении решения интегрального уравнения (39) сводим к задаче о нахождении решения интегрального уравнения типа Вольтерра со слабой особенностью Отметим, что при А > 0, /^ > 0, <5 = —Ац, А<0, ц < 0, 6 = —А/1 общее решение уравнения (39) содержит две произвольные функции одной переменной и при Л > 0, (м < 0, 5 = — А/г двумерное интегральное уравнение с граничными сильно-особыми ядрами (39) имеет единственное решение

Справедливы следующие утверждения Теорема 26. Пусть в уравнении (39) А = К\(а, Ь, а) < О, /( = К2(а,Ь,Ь) > 0, Кз(а, Ь, а, Ь) = <5 = —А/х,/(¡г, у) 6 С(В), в точке (х,у) = (а, Ь) обращается в нуль и при х —* а, у —> Ь удовлетворяет условию

|/(х,у)\ < Н 1(х-а)Ь(Ь-у)ЪеЬ*Ы-'»гы,

где ¿1 > а - 1, 71 > ¡3 - 1 Функции К^{з,у,1), К2{з,у,з), К3(з,у,г,з) (оответгтвенно по своим переменным явмются непрерывными дм всех (х, у) е 5 и (¿, в) из той э/се области Кроме того допустгш, что разности К-у (х, у, г) - Кг(а, Ь, а) К2{х, у, в) - К2(а, Ь, Ь), К3(х, у, г, в) - А'3(а, Ь, а, Ь) при ? —> а, у —> Ь, Ь —> а, 5 —> Ь обращаются в пуль и для них справедливы оценки

|А', (г, у, I) - К\(а, Ъ,а)| < Н2(х - а)6>(Ь - -|К2{з ,у,з)- К2(а, Ь,Ь)\ < Н3(х - а)*(Ь - у)^(Ь - в)^*«*)-^у). | А"3(г, у,«, 5) - А'з(а, Ь, а,Ь)\< Н4(х - а)4' (6 - уТ (*- о)*(Ь- вр^'Ь^М

где 5] > о — 1, 71 > /3 — 1, 62 > а — 1, 72 > Р — 1 Тогда задача о иахоэ/сде-нии общего решения двумерного интегрального уравнения (39) эквивалентна

задаче о iia.ro ж де пи и решении двумерного интегрального щшвнения волыпер-ровгкого типа со слабыми особенностями

I ь

+у г^у —(^р—*=(42)

а У

где Д^!(д:, у, I), 7^2(-"с, 2/, й), N1(2:, у, в) - известные функции, непрерывные по переменным (х, у) и имеюш,ие нуль порядка больше, чем а — 1 и /3 — 1 соответственно по переменнглм < и в,

X Т

а а

(6 - 8у

У

ь

(«-а)" У (6-5)"

а У

где произвольные функции ф\{х), <р2(х), ф\{у), ф2(у) пРи 3 ~~' а и г/ —> 6 удовлетворяют угловиям

= 0 ((т - а)г') , где ^ > а - 1 при х —> а, у>2(х) = О (еАь,°(т)) при х — а,

=0 ((6-(/)71), где 71 >/3-1 при у¿>, ■сЬ2 (у) = 0 при у Ь

Теорема 27. Пусть функция /(я, у), ядра, К\(х,К2(х,у,з), Къ(х,у,1,в), произвольные функции ¡Р1(х), <р2(х), ф1{у),ф2{у) удовлетворяют всем условиям теоремы 28 Тогда интегральное уравнение (39) в классе С (И), имеющее нуль порядки больше чем а — 1 и /3 — 1 соответственно на Г1, Гг, всегда

разрешимо Общее решение содержит чгтыре произвольные функции одного переменного и выражается формулой

х Ь

U(x,y) = Paß(x,y) - J Г1 (х, у, t)Py)dt - Jr2(x,y, s)Paß(x, s)ds-

X 0

~ J dt /

а у

где Г^х, у, I), Гг(х, у, а), Гз (х,у,1,з) явмются резольвентами интегрального уравнения со слабой особенностью (42)

Следствие 12. При выполнении всех условий теоремы 27, любое решение уравнения (39) из класса С (И), на Г1 и Г 2 обращается в нуль Причем его поведение при х —* а, у —* Ь определяется из асимптотических формул

U(x, у) = 0 ((х - а)*3) , ¿з > а - 1 при

а,

U{x,y) = 0 ((6 — у)7') , 7з > а - 1 при у —> b В четвертой главе приводится приложение полученных результатов главы 1 для модельного гиперболического уравнения с сингулярными линиями

В первом параграфе четвертой главы на основе результатов, полученных для уравнения (2), находятся многообразия решений уравнения

дЧ д au | л du | 6 u=r f{x,у)

дхду b — удх х — аду (х — а)(Ь — у) (х — а)(Ь — у)

в случае, когда S = — А/t и А > 0, д > О, А < О, д < О, А < 0, д > О, А > 0, д < О

Полученные интегральные представления даю! возможность для уравнения (43) ставить и исследовать задачи типов Дарбу

Через C2(D) обозначим класс функций U(x,y) & CX{D), для которых Uxy(x,y) е C(D)

Теорема 28. Пусть в уравнении (43) А < 0, д < 0, 8 = —Ад, /(а,у) € C(D), f(a,y) — 0,/(з,6) = 0 с асимптотическими поведениями

/(х,у) = 0[(х-а)л'(Ь-2/)71], ¿1>|А|, 7i > |д| Тогда любое решение уравнения (43) из класса C2(D) предапавимо в виде

U(x,y) = Khlly1(x),Mx)M),My)} + Tl(r?l(f))> И)

где

ь

Ki,i[<pi(x),ip2(x),i!i{y),i>2{y)] = (х - а)|А|

ЫУ) + / I— M*)d-

+

л

а

У

^(х), ф3(у)1 3 — 1,2 - произвольные непрерывные фг;нкции точек Г] и Г2, причел« € СНГ,), ЫУ) £ Сг(Г2), <р2(х) € С(ГО, ^(у) € С(Г2) обращаются в нуль на Г1 и Г2 с асимптотическими поведениями

(х) = 0[(з: - а)е], е > 0 при х —> а,

^1(2/) =0[(Ь-2/)Ч, £>0 при у -* Ь,

4>2{х) = 0[(х - а)г'], > |А| при х—ю,

Ыу) = 0[(Ь - у)71], 71 > И при у->Ь

При этом решение вида (44) '¿я Г\ и Г2 обращается в нуль с асимптотическими поведениями

и(,у) = 0[(х - а)г], е>0 при х -» а,

и(х,)=0[(Ъ-уУ}, £>0 при у —> Ь

Для гиперболического уравнения (43) ставятся и исследуются задачи типа Дарбу

Задача В\ Требуется найти решение уравнения (43) из класса С2(£>) по граничным условиям

— заданная непрерывная функция точек Г2

Задача £>2 Требуется найги решение уравнения (43) из класса С2(23), но граничным условиям

[(Ь-ууи{х,у)]у=ь = А(х), \(х-а)хРУ(и)]Т=а = В(у),

(Щ)

где РЦ = —--т———, А(х)~ заданная непрерывная функция точек Г], В(у)

где Рд =

я +-,

о з — а

д А

№2)

Теорема 29 Пусть в yjxieuetiuu (43) параметры и правая часть удовлетворяют условиям одной из теорем 28, 4 1 2, 4 1 3 или 4 14 В условиях (D}) и (D\) Л(х) € С1 (Г]), В(у) е С^Гг) Причем при выполнении условий теоремы 28 А(а) = 0 с асимптотическим поведением

А{х) = 0[(я; — а)£], е > 0 при х —* а,

В(Ь) = 0 с асимптотическим поведением

В{х) = 0[(Ь- уУ\, е>0 при у-*Ь

Тогда задача D\ имеет единственное решение, которое при А < 0, д < О выражается формулой

U(x,y) = (х- а)^В(у) + (Ъ- у)ША(х) + Т* (2*(/)),

а в остситшх случаях формулой

U(x} у) = (х- а)-*В{у) + {Ъ- у)-"А(х) + (7*(/))

Теорема 30. Пусть в уравнении (43) параметры А, /¿, S и правая часть f(T,y) удовлетворяют условиям одной из теорем 28,412 —414 В условиях (D\) и (£>]) Ai(x) е C'(ri), Bi(y) 6 С^Гг), причем при выполнении условий теоремы 28 Л^а) = 0 с асимптотическим поведением

Ai(x) = 0[(a. — а)г] , е > 0 при х —> а,

Вi(b) = 0 с асимптотическим поведением

Bi(y) = 0[{Ь - у)е) , £>0 при у

Тогда задача D2 имеет единственное решение, которое при А < 0, ц < О выражается формулой

U{r,,y) = (г - а)^Вх{у) + (Ь- yJ^UiCr) + I? (ГД/)),

а е остальных случаях выражается формулой

U(x, у) = {т- a)~xBi(y) + (Ъ- уГ'Мх) + Гат (7*(/))

Во в юром параграфе четверюи главы изучается дифференциальное уравнение (43) при 5 ф —\ц, А < 0, д < О

В третьем параграфе четвертой главы рассматривается дифференциальное уравнение (43) при <5 ф —Afi, ц > О, А > О

В четвертом параграфе четвертой главы исследуется дифференциальное уравнение (43) при 6 ф —Ад, А > 0, р < О

В пятом параграфе четвертой главы рассматривается уравнение (43) при 6 ф -Ад, А < 0 , д > О

Теорема 31 Пусть в уравнении (43) X < 0, ц > О, ¿1 = <5 + Ад > О, /(г, у) € С (Б) и представима в виде равномерно - сходящегося функционального ряда

(45)

п=0

/п(у) € С(Г2), т —Ос асимптотическгши поведениями

Ш = 0[(Ь-У)<], 7I1 , +Д

п + 7 — д

Тогда любое решение уравнения (43) в классе функций II(х, у), представимых в виде

и(х,у) = £(х-а)п+1 ип(у), где 7 > И ,

п=0

выраэ!сается формулой

00

и{х,у) = £(а - а)""1"7 [(Ь - с.Ап-

(46)

п—О

п + 7

Г-НУ и-.

/„(в)

Ь-в

гс?е С,^ — произвольные постоянные, удовлетворяющие условию

Ьт

п—><Х

К_

I С*

л+1

В, (а0 - а) • В < 1

Причем это решение принадлежит классу С (Б) П С1у{0)

В шестом параграфе четвертой главы па основе полученных многообразии решений уравнения (43), в зависимости от знаков А, д и ¿х = <5+Ад, ставятся и исследуются различные задачи типов Коши Например

Задача Требуется найти решение уравнения (43), представимое в виде (46), при А < 0, д > 0, ¿1 > 0, по граничным условиям

ш = 0,1,2,3, , {Кь)

где заданные посхоянные

Теорема 32 Пусть коэффициенты и правая часть щпвнения (43) удовлетворяют. условхьям теоремы 31, постоянные А^ в условиях (К$) удовлетворяют условию

1нп

Ви В1(ао-о)<1

п^оо (п + 1)|Л5|

Тогда задача Кц имеет единственное решение, которое выражается формулой

Г ¿1

т

п>

и(х,у) = ^Г(х-аУ^

п—0

п + 7

1_/Л-уу

г-и;

■ + 7 -

6-е

¿в

В седьмом параграфе четвертой главы найдено многообразие решений уравнения (43) при ¿1 = 5 + Хц / 0, в классе функций, представимых в виде

п—0

Публикации по теме диссертации

1 Раджабова Л Н Некоторые случаи для одного класса пшенных уравнений третьего порядка с ciiHiy шрной точкой // ДАН Республики Таджн-Kiiciан, Душанбе 1999 г 17 №4 с 41-49

2 Раджабова Л Н Интегральное нредсывлепие для одною класса -шлейных уравнений со сверхсингулярной точкой // Труды Международного симпозиума "Методы дискретных особенностей в задачах математической физики" (МДОЗ МФ -2000) Орел, 2000 28 мая - 2 июня, с 370-373

3 Rajabova L N The explicit Representation of Manifold solutions foi a third ordei equation with supei singular point Boundmy Value Problems, Integral Equations and Related Problems, World Scientific, New Jersey, London, Hong Gong, 2000 P, 150-154

4 Раджабова Л H К теории днфференциалыю1 о уравнения третьего порядка со сверхсннгулярной точкой / Тезисы докладов научной конференции "Некорректные и неклассические задачи математической физики и анализа" Самарканд, 2000, с 72

5 Раджабова Л Н Интегральные представления для одного случая дифференциального уравнения третьего порядка со сверхсннгулярной точкой / Тезисы докладов международной конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения" Душанбе, 2002, с 73-74

6 Rajabova L About class two dimensional linear Volteira type integral Equation with boundary fixed singular Kernels ISAAC Confcicnce on Complex Analysis, Diffeiential Equation and Related Topics (17-21 Septembei 2002, Yerevan, Armenia), P 52-53 (Rajabov N )

7 Раджабова Л H Об одном случае дифференциального уравнения третьего порядка с сингулярной точкой // Материалы международной научной конференции, посвященной 10-ой юдовщпне независимости Республики Таджикистан и 80-леппо профессора М А Субхонкулова "Меходы leopnn функции и их приложения' Душанбе, 2000, с 35-36

8 Rajabova L On explicit Solution to a class of two Dimensional Volteira Tvpe Linear Equation with Fixed Boundary Singular Kernels Abstiacts of Shoit Communications and Post Sessions, I CM-2002, 20-28 Beijing, 2002, Higliei Education Pi ess, p 229 (Rajabov N )

9 Раджабова Л H К теории одного класса двумерного интегрального уравнения, когда ядро имеет граничные особые точки // Материалы международной паучпо-иракшчсской конференции "16-я сессия Шуроп Оли

с JJ

Республики Таджикистан (12 созыва) и ее историческая значимость в развитии науки и образования" Душанбе, 27-28 сентября 2002, с 186-187

10 Раджабова Л Н Об одном классе двумерных линейных интегральных уравнений Вольтерровского типа с фиксированными граничными сингулярными ядрами / Материалы Международной школы-конференции "Обратные задачи, теория и приложения" Ханты-Мансииск Россия, август, 11-19, 2002, с 67-69 (Раджабов Н )

11 Раджабова Л Н Явное решение одного класса двумерного линейного интегрального уравнения вольтерровского типа с двумя граничными сингулярными линиями /, Международная научная конференция "Дифференциальные уравнения и их приложения" Самара, 2002, с 286-288

12 Rajabova L An explicit to a class of a two dimensional Volterra type Integral Equation with week singular kernels // Conference materials IX -International Scientific Kravclmk Conference Keiv, 16-19 May, 2002, p 171 (Rajabov N)

13 Rajabo\a L , Ronto M , Rajabov N On some two dimensional Volterra type linear integial equation with super -smgulanty // Mathematical Notes Miscolc, 2003, v4, №1, p 65-76

14 Раджабова Л H Исследование одного класса двумерного интегрального уравнения с фиксированными сингулярными ядрами, связанное с гиперболическим уравнением / ДАН России, 2003, т391, №1, с 20-22 (Раджабов Н)

15 Раджабова Л Н Явное решение одного класса двумерного немодельного интегрального уравнения Вольтерровского типа с двумя еннгулярньшн линиями // Материалы международной научной конференции "Актуль-ные проблемы математики и ее приложения" Худжанд, 2003 с 107-110 (Раджабов Н)

16 Раджабова Л II Явное решение одного класса немоделыюго двумерного интегрального уравнения Вольтерровского типа с одной сверхсингулярной и одной сингулярной граничной линией // Труды международной научной конференции по дифференциальным и интегральным уравнениям с сингулярными коэффициентами Душанбе, 25-28 октября 2003, с 131-134 (Раджабов Н)

17 Раджабова ПН Явное решение одного класса немоделыюго интегрального уравнения Вольтерровского типа с одной сингулярной и одной слабосингулярной линией // Труды международной конференции "Дифференциальные уравнения с частными производными п родственные проблемы

анализа и информатики" Ташкент, 16-19 ноября 20041 , том 4, с 78-80

18 Раджабова ЛН К теории одного класса двумерною псмодсльною интегрального уравнения волыерровскою пша со свсрчсншуляриымн ¡ра-ничнымн линиями в ядрах // ДАН России, 2005, юм 400, №5, с 602-605 (Раджабов Н )

19 Раджабова Л Н "Об одном общем интегральном уравнении типа Воль-терра с одной сингулярной п одной сверхсингулярпой линиями"// Труды XII Международного симпозиума "Методы дискретных особенностей в задачах математической физики" (МДОЗМФ -2005) Харьков-Херсон, 2005, с 303 -306

20 Раджабова Л Н Об одном общем интегральном уравнении типа Воль-терра с сингулярными линиями / Труды международной научно-теоретическои конференции по качественным исследованиям дифференциальных уравнений и их приложении, посвященной 10-летию РТСУ Душанбе, 12-14 мая 2005, с 96-98

21 Раджабова Л Н Об одном общем интегральном уравнении типа Вольтер-ра с одной сингулярной и одной сверхсингулярпой линиями /' Материалы международной научной конференции "Дифференциальные и интегральные уравнения и смежные вопросы анализа" Душанбе, 2005, с 153-156

22 Раджабова Л Н Об одном общем интегральном уравнении типа Вольгер-ра со сверхсингулярными линиями / Вестник национальною университета (научный журнал) Душанбе, 2005, №2, с 116-123

23 Раджабова Л Н Об одном классе гиперболического уравнения с сингулярными линиями // Вестник национального университета (научный журнал) Душанбе, 2006, №5, с 44-51

24 Раджабова Л Н К теории одного класса гиперболического уравнения с сингулярными линиями // ДАН РТ, 2006, т49 , №8, с 710-717

25 Раджабова Л Н Об одной классе модельного гиперболического уравнения с двумя ¡раничными особенными линиями // Материалы научной конференции "Математика и информационные технологии", посвященной 15-летию независимости Республики Таджикистан Душанбе, 27 октября 2006, с 66 -68

26 Раджабова Л Н Об одном общем двухмерном интегральном уравнении типа Вольтерра с особенностью и сильной особенностью на границе области // Тезисы международной конференции "Дифференциальные уравнения, теория функций п приложения" Новосибирск, 2007, с 458-459

27 Раджабова Л II Об одном общем дв\хмерпом ипieiрш1ыюм уравнении типа Вольтерра с особенностями на границе области // Вестник ТГНУ Серия естественных наук Душанбе, 2007, №3 (33), с 30-38

28 Lutfya Rajabova Theory of a elites of two - dimensional Voltena type integial equation with two &upei - singular lines // 6-th International ISAAC Congress, Middle East Technical Univeisity Ankara, Tuikey Abstracts 13-18 August 2007 pp 35-36

29 Раджабова JI H К теории одного класса общего двумерного интегрального уравнения типа Вольтерра с особенностями на границе области // Материалы международной научной конференции "Актуальные вопросы математического анализа, дифференциальных уравнений и информатики", посвященной 70-летию акад АН 3 Д Усманова Душанбе, 24-25 августа 2007, с 92-94

30 Раджабова Л Н О некоторых случаях одного двумерного интегрального уравнения типа Вольтерра с сильными особенностями на границе области // Материалы международной научной конференции "Актуальные вопросы математического анализа, дифференциальных уравнений и информатики", посвященной 70-летию акад АН 3 Д Усманова Душанбе, 24-25 августа 2007, с 94-97

31 Раджабова Л Н К теории одного класса двумерного транспонированного интегрального уравнения типа Вольтерра с двумя спльно-особенными линиями // Материалы III международной научно-практической конференции «Перспективы развития науки и образование в XXI веке» Душанбе, 2008, с 257-258 (Раджабов Н )

32 Rajabova L Investigation one class of two - dimensional conjugation integral equation with fixed singular kernels in connection with hypeibohc equation // Abstiacts of the International Confeience «Inveise Pioblenis modeling an Simulation» held on may 26-30, 2008 at Oludeniz, Fethiye, Tuikey, p lr>8—159 (Rajabov N )

33 Раджабова Л H К теории одного класса двумерного сопряженного интегрального уравнения вольтерровского типа с граничными фиксированными сингулярными ядрами // Труды международной научной конференции «Дифференциальные уравнения и смежные проблемы» Стерли-тамак, 24-28 июня 2008, том I, с 164-168

Сдано 11 08 08 Подписано в печать 13 08 08 Гарнитура Times Roman Бумага офсетная Печать офсетная Формат 60x84 Тираж 100 экз Заказ № 58 Цепа договорная

Отпечатано в типографии ООО «Ховарон»

ГЛАВА 1. ИССЛЕДОВАНИЕ МОДЕЛЬНОГО ДВУМЕРНОГО ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ С ГРАНИЧНЫМИ ФИКСИРОВАННЫМИ ОСОБЫМИ И СИЛЬНО-ОСОБЫМИ ЯДРАМИ

§1.1. Слабая особенность по обоим переменным.

§ 1.2. Особенность по обоим переменным.

§1.3. Сильная особенность по обоим переменным.

§ 1.4. Слабая особенность по первому переменному и особенность по второму перемененному.

§ 1.5. Особенность по первому переменному и слабая особенность по второму переменному.

§ 1.6. Сильная особенность по первому переменному и слабая особенность по второму переменному.

§ 1.7. Слабая особенность по первому переменному и сильная особенность по второму переменному.

§ 1.8. Особенность по первому переменному и сильная особенность по второму переменному.

§ 1.9. Сильная особенность по первому переменному и особенность по второму переменному.

ГЛАВА 2. ИССЛЕДОВАНИЕ НЕМОДЕЛЬНОГО ДВУМЕРНОГО ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ С ГРАНИЧНЫМИ ОСОБЫМИ И СИЛЬНО-ОСОБЫМИ ЯДРАМИ, ЗАВИСЯЩИМИ ОТ ПЕРЕМЕННОЙ ИНТЕГРИРОВАНИЯ.

§2.1. Слабая особенность по обоим переменным.

§ 2.2. Особенность по обоим переменным.

§ 2.3. Сильная особенность по обоим переменным.

§ 2.4. Слабая особенность по первому переменному, особенность по второму перемененному.

§ 2.5. Особенность по первому переменному и слабая особенность по второму переменному.

§ 2.6. Сильная особенность по первому переменному и слабая особенность по второму переменному.

§ 2.7. Слабая особенность по первому переменному, сильная особенность по второму переменному.

§ 2,8. Сильная особенность по первому переменному, особенность по второму переменному. •

§ 2.9. Особенность по первому переменному, сильная особенность по второму переменному.

ГЛАВА 3. ИССЛЕДОВАНИЕ ОБЩЕГО ДВУМЕРНОГО ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ С ГРАНИЧНЫМИ ОСОБЫМИ И СИЛЬНО-ОСОБЫМИ ЯДРАМИ.

§ 3.1. Слабая особенность по обоим переменным.

§ 3.2. Особенность по обоим переменным.

§ 3.3. Сильная особенность по обоим переменным.

ГЛАВА 4. ПРИЛОЖЕНИЕ МОДЕЛЬНОГО ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ С ГРАНИЧНЫМИ ОСОБЫМИ ЛИНИЯМИ В ЯДРЕ К ГИПЕРБОЛИЧЕСКОМУ УРАВНЕНИЮ С СИНГУЛЯРНЫМИ ЛИНИЯМИ.

§ 4.1. Интегральные представления, когда коэффициенты уравнения между собой связаны определенным образом.

§ 4.2. Представление многообразия решений при 8 ^ -Л.//, Л< 0, ц < О.

§ 4.3. Нахождение многообразия решений уравнения (4.1.1) при

Л> О, /и> 0, 3 Ф-Л[л.

§ 4.4. Нахождение многообразия решений уравнения (4.1.1) при л<0, Л. > 0, 3 ф -Ху,.

§ 4.5. Нахождение многообразия решений уравнения (4.1.1) при л>О, Л<0,

§ 4.6. Граничные задачи.

Актуальность темы. Изучение двумерных интегральных уравнений Вольтерра второго рода с фиксированными особыми или сильно-особыми линиями теснейшим образом связано с теорией вырождающихся гиперболических уравнений и с теорией гиперболических уравнений с сингулярными или сверхсингулярными коэффициентами. Теории вырождающихся гиперболических и эллиптических уравнений посвящены работы выдающихся учёных A.B. Бицадзе, A.M. Нахушева, М.С. Салахитдинова, Т.Д. Джураева, А.Г. Михайлова, З.Д. Усманова, М.М. Смирнова, В.Ф. Волкодавова, А.И. Кожанова, О.И. Репина, А.П. Солдатова, Н.Р.Раджабова, Е.И. Моисеева, а также работы их учеников.

Задача о нахождении непрерывных решений линейных гиперболических уравнений второго порядка с двумя граничными сингулярными линиями приводят к исследованию двухмерных интегральных уравнений с фиксированными граничными особыми и сильно-особыми ядрами.

Как известно, если в интегральном уравнении а(х) обращается в нуль в какой-нибудь точке, то это уравнение называется интегральным уравнением третьего рода. Это уравнение при помощи замены неизвестной функции оо(х)=а(х)(р(х), сводится к интегральному уравнению Вольтерра с граничной или внутренней неподвижной особой или сильно-особой точкой в ядре.

Аналогично, двумерное интегральное уравнение вида X а{х)ср(х) + jkO, t)(p{t)dt=f(x) а а(х,у)<р(х,у)+ JKj (х, у; t )cp(t ,y)dt+ |к 2(x,y;s)<p(x,s)ds+ а Ь х У а а Ь где а(х,у) обращается в нуль на линиях х =а, у = Ь, можно свести к двумерному интегральному уравнению Вольтерра с граничными или внутренними неподвижными особыми или сильно-особыми линиями в ядре.

Проблеме исследования одномерных сингулярных интегральных уравнений и разработке вычислительных методов для таких уравнений посвящены работы Ф.Д. Гахова, Н.И. Мусхелишвили, С.М. Белоцерковского, И.К. Лифанова, [4], [10], [11]. Исследованию интегральных уравнений с ядром однородном степени -1 посвящены работы Л.Г. Михайлова [17], Б.М. Бильмана [5]. Исследованию нового класса особого интегрального уравнения, которое появляется при исследовании эллиптических уравнений с сингулярной точкой и других задач посвящена монография Л.Г. Михайлова [18].

Исследованию двумерных сингулярных интегральных уравнений с подвижной сингулярностью посвящены работы А.Д.Джураева, [9] Г. Джангибекова и их учеников.

Исследованию одномерных интегральных уравнений вольтерровского типа с неподвижной особой или сильно-особой точкой, которые возникают при исследовании обыкновенных дифференциальных уравнений с сингулярной или сверхсингулярной точкой, посвящены работы Н. Раджабова [25].

В данной работе исследуются не изучавшиеся ранее двумерные интегральные уравнения с фиксированными особыми и сильно-особыми граничными линиями в ядрах.

Основной целью настоящей работы является изучение двумерных интегральных уравнений вольтерровского типа с особенностями на границе области интегрирования во всех возможных случаях, которые исследуются впервые. Особо важным является изучение модельного уравнения. Этот случай исследован полностью. Во всех возможных случаях решение найдено в явном виде. При этом важную роль играет связь между коэффициентами уравнения. В начале изучается случай, когда коэффициенты связаны между собой определенным образом, после изучается случай, когда коэффициенты не связаны между собой.

Подробно исследуется случай, когда ядра интегрального уравнения зависят от переменной интегрирования. Этот случай является интересным, так как он связан с немодельным гиперболическим уравнением второго порядка с двумя граничными сингулярными линиями.

В работе также исследуются некоторые наиболее интересные общие случаи общего двумерного интегрального уравнения с особенностями и сильными особенностями на границе области интегрирования. Данные исследования основаны на результатах, полученных для модельных двумерных интегральных уравнений с граничными фиксированными особыми и сильноособыми ядрами, а также на результатах, полученных для немодельных двумерных интегральных уравнений с граничными особыми и сильно-особыми ядрами, зависящих от переменной интегрирования.

Цели и задачи исследования:

- Изучение и нахождение решений модельных двумерных интегральных уравнений типа Вольтерра с особенностями и сильными особенностями на границе области интегрирования.

- Изучение и нахождение решений не модельных двумерных интегральных уравнений типа Вольтерра с особыми и сильно-особыми ядрами, зависящими от переменных интегрирования.

- Изучение общих двумерных интегральных уравнений типа Вольтерра с особыми и сильно - особыми ядрами.

- Приложение полученных результатов для модельных гиперболических уравнений с сингулярными линиями.

Методика исследования. Используется метод, связывающий данное интегральное уравнение с соответствующим гиперболическим уравнением и представление главной части соответствующего гиперболического уравнения в виде произведения двух линейных дифференциальных операторов с сингулярными и сверхсингулярными коэффициентами.

Научная новизна. Все результаты, изложенные в диссертации, являются новыми. В первые исследованы модельные, немодельные, а также общие двумерные интегральные уравнения типа Вольтерра с особенностямии сильными особенностями на границе области, для которых получена полная картина разрешимости. Установлено, что неоднородные интегральные уравнения типа Вольтерра с особыми и сильно-особенными линиями всегда имеют решения и общее решение содержит четыре произвольные функции одной переменной в одном случае, две произвольные функций одной переменной в двух других случаях и выделяется случай, когда неоднородное уравнение имеет единственное решение.

Для модельного гиперболического уравнения с сингулярными линиями, на основе результатов, полученных для модельного интегрального уравнения с граничными особыми линиями в ядре, получено представление многообразия решений, исследованы задачи типа Дарбу и Коши.

Практическая и теоретическая ценность: Работа является теоретической. Полученные результаты найдут применение в развитии гиперболических уравнений с сингулярными и сверхсингулярными коэффициентами, а также в теории вырождающихся гиперболических уравнений. Кроме того, предлагаемая методика может быть использована для дальнейшего развития многомерных интегральных уравнений вольтеровского типа с особенностями на границе и внутри области.

Практическая ценность работы определяется прикладной значимостью интегральных уравнений вольтеровского типа и гиперболических уравнений в физике.

Апробация работы: Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на:

-научной конференции, посвященной 60-летию Т.Собирова «Дифференциальные уравнения и их приложения», Душанбе -2000.

-научной конференции «Некорректные и неклассические задачи математической физика и анализа» (Самарканд, сентябрь 2000).

-Международной научной конференции, посвященной 10-ой годовщине Независимости Республики Таджикистан и 80-летию профессора М. А. Субханкулова «Методы теории функций и их приложения». (Душанбе, май 2000).

-было представлено на Всемирном конгрессе математиков ICM -2002, Пекин, 20-28 августа 2002г.

- Конференции ISAAC по Комплексному Анализу, Дифференциальным уравнениям и Родственным проблемам. 17-21 сентября 2002, Ереван, Армения.

-Международной научно-практической конференции «16-ая сессия Шурой Оли Республики Таджикистан (12 созыва и её историческая значимость в развитии науки и образования)» 27-28 октября 2003 года.

-Международной научной конференции «Актуальные проблемы математики и её приложения», июнь 2003, Худжанд.

-Международной научной конференции «Дифференциальные уравнения с частными производными и родственные проблемы анализа и информатики» 1619 ноября 2004г. Ташкент.

-XII Международном симпозиуме «Методы дискретных особенностей в задачах математической физики» (МДОЗМФ -2005), Харьков -Херсон, 2005, 13-18 июня.

-Международной научной конференции «Дифференциальные и интегральные уравнения и смежные вопросы анализа» г.Душанбе, 8-10 ноября 2005г.

-Международной научно—теоретической конференции по качественным исследованиям дифференциальных уравнений и их приложений, посвященной 10 -летию РТСУ. Душанбе, 17-14 мая 2005г.

-семинаре кафедры «Математического анализа и теории функций» «Комплексный анализ и его приложения в теории дифференциальных уравнений с частными производными».

-научном семинаре «Сингулярные интегральные уравнения», научный руководитель проф. И.К. Лифанов, факультет ВМК МГУ.

-научной конференции «Математика и информационные технологии», посвященной 15-летию Независимости Республики Таджикистан, Душанбе, 27 октября 2006 г.

-Международной конференции, посвященной 100-летию со дня рождения академика И.Н. Векуа «Дифференциальные уравнения, теория функций и приложения», Новосибирск, 28 мая-2 июня 2007 г.

- 6-ом Конгрессе ISAAC, 13-18 августа 2007г., Анкара, Турция, Средне -Восточный Технический Университет.

- Международной научной конференции «Актуальные вопросы математического анализа, дифференциальных уравнении и информатики», посвященной 70-летию академика Академии наук Республики Таджикистан Усманова З.Д., Душанбе, 24 августа 2007 г.

- International Conference «Inverse Problems: modeling and Simulation»; held on may 26-30, 2008 at Qludeniz, Ferhiye, Turkey.

- Ill Международной научно-практической конференции «Перспективы развития науки и образования в XX веке», 22-24 мая 2008 года, ТТУ им. академика М.С. Осими Душанбе.

- Международной конференции Inverse Problems: modeling and Simulation; 26-30 мая 2008 года, Oludenis, Fethiye, Турция.

- Международной научной конференции «Дифференциальные уравнение и смежные проблемы» 24-28 июня 2008 года, г. Стерлитамак РФ.

Публикации. Основные результаты опубликованы в работах [28] -[54]. Из работ, написанных совместно с Н. Раджабовым, в диссертации изложены результаты, полученные непосредственно автором диссертации.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка литературы, содержащего 62 источника. Объем диссертации составляет 334 страниц машинописного текста.

1. Александров А .Я., Соловьев Ю.И. Пространственные задачи теории упругости. М.: Наука , 1978.

2. Алеев М.А., Науменко В.В., Науменко О.В. Численные и аналитические решения гиперсингулярного уравнения на круге // Труды XII Международного симпозиума «МДОЗМФ-2005», Харьков -Херсон, 2005, с.9-12.

3. Анфиногенов А.Ю., Лифанов И.К., Лифанов П.И. Некоторые двумерные гиперсингулярные интегралы и обобщение понятия сингулярного интеграла. // Труды IX Международного симпозиума «МДОЗМФ-2000», Орел, 29 мая 2 июня 2000, с. 44-47.

4. Белоцерковский С.М., Лифанов И.К. Численные методы в сингулярных интегральных уравнениях -М.: Наука 1985,-256.

5. ВекуаИ.Н. Обобщенные аналитические функции. Наука., М., 1988, с. 510.

6. Векуа И.Н. Новые методы решения эллиптических систем. ОГИЗ Гостехиздат. М., 1948, с. 296.

7. Гахов Ф.Д. Краевые задачи., Изд-во «Наука», М.: 1977, с. 640.

8. Джураев А.Д. Методы сингулярных интегральных уравнений. «Наука», М. 1987.

9. Лифанов И.К. Метод сингулярных интегральных уравнений и численный эксперимент в математической физике, аэродинамике, теории упругости и дифракции волн. М., ТОО «Янус», 1995, с. 520.

10. Лифанов И.К., Ненашев A.C. К обоснованию особого случая метода дискретных вихревых пар для гиперсингулярного интегральногоуравнения на отрезке, // Труды XII Международного симпозиума «МДОЗМФ-2005», Харьков-Херсон, 2005, с.201-204.

11. Лифанов И.К., Ненашев A.C. Гиперсингулярные интегральные уравнения и теория проволочных антенн. // Дифференциальные уравнения, 2005, т. 41., №1.

12. Li X. Closed form solution for a hupersingular integral equation of order (n+1) //Proceedings of the ISAAC Congress V.l, Kluwer, Dordrecht -Boston-London. 2000, p. 163-168.

13. Матвеев H.M. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. «Высшая школа», М., 1963, с. 546.

14. Михлин С.Г. Лекции по линейным и интегральным уравнениям. ГИФМЛ. М., 1959, с. 232.

15. Михлин С.Г. Многомерные сингулярные интегралы и интегральные уравнения. —М.: Физматгиз, 1962, с. 254.

16. Михайлов Л.Г. Интегральные уравнения с ядром однородным степени -1., Изд-во «Дониш», Душанбе, 1966, с. 47.

17. Михайлов Л.Г. Новый класс особых интегральных уравнений и его применения к дифференциальным уравнениям с сингулярными коэффициентами. Изд-во АН Тадж. ССР., Душанбе, 1963.

18. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. НаукаМ. 1968.

19. Мюнтц Г. Интегральные уравнения. ГТТИ. 1934.

20. Петровский Н.Г. Лекции по теории интегральных уравнений. УРСС, Москва, 2003, с. 120.

21. Прёсдорф 3. Некоторые классы сингулярных уравнений.-М: Мир, 1979 г.

22. Раджабов Н. Введение в теорию дифференциальных уравнений в частных производных со сверхсингулярными коэффициентами. Душанбе, 1992, с. 236.

23. Раджабов H. Общие интегральные уравнения типов Вольтерра с левой и правой неподвижной сингулярной точкой в ядре. // Известия Академии наук Республики Таджикистан; Отд. физ.-мат., хим. и геологических наук, №1, 2001, с.3-19.

24. Раджабов Н. Об одном интегральном уравнении вольтерровского типа // ДАН России, 2002, М. 383, №3, с. 314.

25. Раджабова JI.H. Некоторые случаи для одного класса линейных уравнении третьего порядка с сингулярной точкой // ДАН Республики Таджикистан. Душанбе, 1999, т.17.№4. с. 41-49.

26. Rajabova L.N. The explicit Representation of Manifold solutions for a third order equation with super singular point. Boundary Value Problems, Integral Equations and Related Problems, World Scientific, New Jersey, London, Hong Gong, 2000, p. 150-154.

27. Раджабова JI.H. К теории дифференциального уравнения третьего порядка со сверхсингулярной точкой // Тезиси докладов научной конференции «Некорректные и неклассические задачи математической физики и анализа». Самарканд, 2000, с.72.

28. Раджабова JI.H. Интегральные представления для одного случая дифференциального уравнения третьего порядка с сверхсингулярной точкой // Тезисы докладов международной конференции «Дифференциальные уравнения и их приложения». Душанбе, 2002, с.73-74.

29. Rajabova L. An explicit to a class of a two dimensional Volterra type Integral Equation with week singular kernels // Conference materials IX — International Scientific Kravchuk Conference: Keiv, 16-19 May, 2002, p. 171. (Rajabov N.)

30. Rajabova L., Ronto M., Rajabov N. On some two dimensional Volterra type linear integral equation with super -singularity // Mathematical Notes. Miscolc, 2003, v4, №1, p.65-76.

31. Раджабова JI. Исследование одного класса двумерного интегрального уравнения с фиксированными • сингулярными ядрами, связанное с гиперболическим уравнением // ДАН России, 2003, т.391, №1, с.20-22. (Раджабов Н.)

32. Раджабова Л. К теории одного класса двумерного немодельного ин-тегрального уравнения вольтерровского типа со сверхсингулярными гранич-ными линиями в ядрах //ДАН России, 2005, т. 400, №5, с. 602-605. (Раджабов Н.)

33. Раджабова JT.H. Об одном общем интегральном уравнении типа Вольтерра со сверхсингулярными линиями // Вестник национального университета (научный журнал). Душанбе, 2005, №2, с. 116-123.

34. Раджабова JI.H. Об одном классе гиперболического уравнения с сингулярными линиями // Вестник " национального университета (научный журнал). Душанбе, 2006, № 5, с. 44-51.

35. Раджабова JI.H. К теории одного класса гиперболического уравнения с сингулярными линиями // ДАН Республики Таджикистан.2006, т.49, № 8, с. 710-717.

36. Раджабова JI.H. Об одном общем двухмерном интегральном уравнении типа Вольтерра с особенностями на границе области // Вестник ТГНУ. Серия естественных наук. Душанбе, 2007, №3, (35), с. 30-38.

37. Lutfya Rajabova. Theory of a class of two dimensional Volterra type integral equation with two super - singular lines // 6-th International ISAAC Congress, Middle East Technical University. Ankara, Turkey. Abstracts. 13-18 August 2007, pp. 35-36.