Асимптотическое поведение решений интегральных уравнений типа Вольтерра тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

129

На правах рукописи

Сокол Дмитрий Григорьевич

Асимптотическое поведение решений интегральных уравнений типа Вольтерра

01.01.01 математический анализ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Ростов-иа-Дону 2007

003052129

Работа выполнена на кафедре дифференциальных уравнений Кубанского государственного университета

Научный руководитель: доктор физико- математических наук,

доцент

Пулясв Василий Фёдорович

Официальные оппоненты: доктор физико математических наук,

профессор

Уртенов Махамет Али Хусеевич

кандидат физико-математических наук, доцент

Авспнкин Олег Геннадиевич

Ведущая организация: Воронежский государственный

университет

Защита состоится « 3 » апреля 2007 г. в 16 час. 50 мин. па заседании диссертационного совета К 212.208.ОС в Южном Федеральном университете по адресу: 344090, г. Ростов-на-Дону, ул. Мильчакова, 8а, факультет математики, механики и компьютерных наук Южного Федерального университета, ауд. 211.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Южного Федерального университета по адресу: г. Ростов-па-Допу, ул. Пушкинская, 148.

Автореферат разослан « _» февраля 2007 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета К 212.208.0G

Кряквии В.Д.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В диссертационной работе изучаются вопросы существования решений интегральных уравнений Вольтерра и их устойчивости в пространстве измеримых ограниченных в существенном функций, а также в наиболее интересных с точки зрения приложений его подпространствах: в пространстве функций, имеющих па бесконечности конечный (в частности, пулевой) предел по мере и в пространстве асимптотически периодических функций.

Основная часть результатов относится к линейным интегральным уравнениям Вольтерра и нелинейным уравнениям Вольтерра Гаммерштейна общего вида. Другая часть работы посвящена изучению линейных интегральных уравнений Вольтерра с периодическими ядрами. В этой части работы изучаются разрешимость и устойчивость уравнений с периодическими ядрами в указанных пространствах. Периодические ядра обобщают естественным образом ядра, зависящие от разности аргументов, а порождаемые ими уравнения имеют много общего с уравнениями типа свёртки. Уравнения с такими ядрами возникают в различных приложениях. Такими уравнениями, например, описываются разного рода модели в биологии, механике и других естественных науках. Исследование корректности соответствующих моделей включает в себя изучение условий существования решений в различных классах пространств, устойчивости и асимптотического поведения решений.

Подобные вопросы для других классов уравнений и пространств изучались многими авторами (Н.В. Азбслсв и его ученики, А.Б. Антонович, Ю.Г. Борисович, В.Р. Винокуров, В.Ф. Пуляев, Ю.Н. Смолин, З.Б. Цалюк). Интегральные уравнения с ядрами, зависящими от разности аргументов рассматривали в своих работах II. Винер и Э. Хопф, И.Ц. Гохберг и М.Г. Крейи, В.А. Дербенёв, Я.М. Ерусалимс-кий, И.К. Карапегянц, С.Г. Самко, И.Б. Симоненко, К).И. Черский и другие. Прикладные аспекты теории свёрточных уравнений, возникающих в динамических задачах теории упругости, подробно исследовались в работах В.А. Бабешко, И.И. Воровича и их учеников.

Цель работы. Основные цели диссертационной работы состоят в следующем:

1) нахождение условий допустимости различных пар функциональных пространств для интегральных операторов Вольтерра;

2) получение условий разрешимости интегральных уравнений в наиболее важных с точки зрения приложений и теории пространствах;

3) нахождение условий, обеспечивающих действие оператора суперпозиции в пространствах функций, имеющих на бесконечности нулевой или конечный предел по мере, и исследование разрешимости уравнений Вольтерра - Гамморштейна в этих пространствах;

4) исследование взаимосвязи допустимости и устойчивости для линейных интегральных уравнений Вольтерра;

5) исследование условий разрешимости и устойчивости уравнений с периодическими ядрами.

Методы исследования. В диссертационной работе, в основном, используются классические методы теории линейных операторов, функционального и гармонического анализа, а также результаты и подходы, развитые в работах В.Ф. Пуляева, З.Б. Цалюка. Принципиально важной при изучении интегральных уравнений с периодическими ядрами в пространстве измеримых ограниченных функций оказалась возможность сведения вопроса об обратимости операторов, порождающих эти уравнения, к обратимости элементов некоторой банаховой алгебры компактных операторнозначных функций.

Научная новизна. В диссертации получены следующие результаты:

найдены достаточные, а в ряде случаев необходимые и достаточные, условия допустимости для интегральных операторов и уравнений Вольтерра пар пространств функций, имеющих на бесконечности нулевой или конечный предел по мере;

- указаны необходимые и достаточные условия, обеспечивающие действие оператора суперпозиции в пространствах функций, имеющих на бесконечности нулевой или конечный предел по мерс. Получены условия разрешимости уравнения Вольтерра -Гаммерштейна в указанных пространствах;

- получены условия допустимости пар пространств асимптотически периодических по мере функций для линейных интегральных операторов и уравнений Вольтерра с периодическими ядрами.

- для интегрального уравнения в пространстве измеримых ограниченных в существенном функций установлена связь между устойчивостью и допустимостью;

- найдены необходимые и достаточные условия устойчивости линейных интегральных уравнений Вольтерра с периодическими ядрами.

Основные результаты работы являются новыми. Некоторые из утверждений, установленных для пространства измеримых функций, имеют аналоги в непрерывном случае.

Теоретическая и практическая значимость. Диссертационная работа носит теоретический характер. Полученные результаты можно использовать при изучении интегральных, интегро - дифференциальных вольтерровых уравнений и уравнений математической физики, а также при исследовании описываемых такими уравнениями математических моделей.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на научном ссмииаре кафедры дифференциальных уравнений Кубанского государственного университета (руководитель - профессор Цалюк З.Б.), на IV Северо - Кавказской региональной конференции «Функционально - дифференциальные уравнения и их приложения» (Махачкала, 1997), на Воронежских весенних математических школах «Современные методы в теории краевых задач» «Понт-рягинские чтения IX, XII» (Воронеж, 1998, 2001), на VII Международной конференции «Математика. Экономика. Экология. Образование.» (Ростов-па-Дону, 1999), на Международной конференции «Актуальные проблемы математики и механики» (Казань, 2000), на Международной научной конференции «Нелинейный анализ и функционально - дифференциальные уравнения» (Воронеж, 2000), на V Казанской Международной летней школе - конференции «Теория функций, её приложения и смежные вопросы» (Казань, 2001), на X Международной конференции «Математика, Экономика. Образование.» (Ростов-на-Дону, 2002), на III Всероссийской молодёжной научной школе - конференции «Лобачевские чтения - 2003» (Казань, 2003), на Воронежской зимней математической школе «Современные методы теории функций и смежные проблемы» (Воронеж, 2005).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1] - [12]. В работах [4], [9], выполненных совместно с

В.Ф. Пуляевым, ему принадлежит постановка задачи. Автору диссертации принадлежит выбор методов исследования и доказательства. В работах [10], [11] В.Ф. Пулпеву принадлежат постановка задачи и определение общих параметров исследования.

Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения, четырёх глав, разбитых па 9 параграфов, и списка литературы, содержащего 55 наименований. Объём работьг — 129 страниц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении даётся общая характеристика работы и приводятся основные результаты диссертации.

В первой главе получены достаточные, а в ряде случаев необходимые и достаточные, условия допустимости для операторов

(Rx)(t) = j K(t,s)x(s)ds, (1)

а

Ф x = <p(t,x(t)) (2)

nap пространств функций, имеющих на ^бесконечности нулевой или конечный предел по мере (пространства Со[а, оо) и Aq[o, оо) соответственно).

Утверждения подобного рода представляют самостоятельный интерес. Каждое условие допустимости пары пространств для интегрального оператора является также условием допустимости соответствующей пары для уравнения в терминах резольвенты. В то же время, наличие условий допустимости для операторов позволяет рассматривать соответствующие интегральные уравнения как операторные в соответствующих пространствах и применять для их исследования различные принципы неподвижной точки.

Здесь же получены условия допустимости указанных пар пространств для уравнения

i

x(t) = J K(t, s)v(s, x(s)) da + f(t). (3)

а

Определение. Функция x(t) имеет предел а С К" по мерс Лебега /i при t —» оо, если для любых чисел е > 0 и <5 > 0 найдётся такое Т ^ а, что выполняется неравенство: ¡i{t ^ Т : j\x(t) — a||R» ^ S} < е.

Будем использовать для этого предела обозначение: lim ж(£) = а.

Д->оо

Близкие классы пространств рассматривали С.Г. Самко и Н.К. Ка-рапетяпц.

Введём следующие пространства:

ВС"[а, оо) - пространство непрерывных ограниченных отображений х : [а,оо) —> R" с нормой ||х|| = sup ||a;(í)||Rn;

Cnía, oo) = {ar e BCn[o,oo) : lim x(t) = 0};

t—>oo

C?[o,oo) = {x e ВС"[a, oo) : lim x(t) = 0};

I—>oo

Aq [a. oo) = CJ[a, oo) © Rn.

Относительно структуры функций из Cg [a, oo) установлено следующее. __

Лемма 1.3. Пусть x(t) € C<"[a, оо), Т > а и е > 0. Тогда существуют такие функции хо(£) G Cól[a,oo) и x\(t) Е Сц[а, оо), что x(t) = Xo(í) +х¡(ft) и выполнены следующие условия:

1. x0(t) = x{t) при t € [а,Т];

2. n{t ^ а : xi(t) ф 0} < е;

3. ||*о|| < |М|, ЦиН < ||х||.

В первой главе предполагается, что вещественная п х п - матрица K(t,s) определена всюду в области а ^ t,s < оо, K(t,s) = 0 при s > t, при любом t > а суммируема по s на [a,í], и

t+l

lim [ \\K{t 4- h, s) — K(t, s)|| ds = 0. h->о J

а

Определение. Пара пространств (X, Y) называется допустимой для оператора А (уравнения Ах = у), если Л(Х) С Y (Vi/ G Y Эх е X Ах = у).

Для операторов (1) общего вида найдены достаточные условия, обеспечивающие допустимость пары ^CqKoo), Cq[ö, oo)j. Теорема 1.1. Пусть выполнены следующие условия:

1. эир

С^а

<1в < оо;

2. Для каждого Т > а Пт

/,-юо

{{Т- а)КЦ, а) йя ] — 0;

3. Для любого замкнутого множества Р с [а, оо) конечной меры и любого 6 > 0 существует такое То, зависящее от Р и 6, что

г > Т0: I ||Л'(М)1ЫоЛ <

со.

гп{то,1]

Тогда пара оо), С ,7 [а,оо) ^ допустима для оператора (1).

Аналогичное утверждение доказано также и для пары пространств оо), Ао'[а,оо)^ (теорема 1.5).

В случае пространства Су [а, оо) для операторов с неотрицательным ядром найдены необходимые и достаточные условия.

Теорема 1.2. Пусть ядро К(1,в) неотрицательно. Для допустимости пары ^Со[«,оо), Сд[а, оо)^ относительно оператора К необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие условия:

1. ,411р

I

5пР [ ц/ам)1К'

1>а .1

с1в < оо;

2. Для любого замкнутого множества Р С [а, оо) конечной меры и любого числа 6 > О

/М

I Зг

а: I ||

в)|| йв > б \ < оо.

ГП[а,4]

Для оператора суперпозиции (2), где функция ^(£,0 непрерывна, найдены необходимые и достаточные условия действия в пространствах С^1[п,оо) и Ац[а, оо).

Теорема 1.10. Для допустимости пары оо), оо)^

относительно оператора суперпозиции Ф необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия:

1. Для любого г > 0 существует такое С, что при любых £ е [а, оо) и £ б К" : ||£|| ^ г выполняется неравенство ||у(£,0И ^

2. Для любого <5 > 0 существует такое г = г(8) > 0, что

и<Ь> а : шах ||<л(£, 011 ^ < оо-

I ]

Теорема 1.11. Для допустимости нары ^Ао[«, оо), Ад [а, оо)^ относительно оператора суперпозиции Ф необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия:

1. Для любых г > 0 и £0 £ Шп найдется такое С — С(г, £0) > 0, что при всех £ € [а, оо) и £ € Ж" : — £о|| ^ г выполняется неравенство

2. Для любого € К'1 <рЦ,£0) € А„[а, оо);

3. Для любых 6 > 0 и ¿¡о 6 существует такое г — г(£о,<$) > 0,

что

/11 ( ^ а : шах 11^,0 - ¥>(1,Ы11 > <5 > < оо. I )

Условия допустимости пар пространств для операторов позволяют применить для исследования интегральных уравнений Вольтерра методы функционального анализа. Учитывая, что в рассматриваемых пространствах операторы Вольтерра могут быть вполне непрерывными лишь в исключительных случаях, применение методов неподвижной точки, основанных на компактности, здесь затруднено. Поэтому, один из наиболее результативных подходов заключается в применении к соответствующим уравнениям принципа сжатых отображений и его различных вариантов. Кроме того, при этом можно использовать также порядковые свойства положительных операторов.

В работе приведено одно из подобных утверждений. Под модулем матрицы (вектора) понимается матрица (вектор), составленная из модулей её элементов. Неравенства ме?кду матрицами (векторами) определяются покомпонентно.

Теорема 1.12. Пусть п х п - матрица K(t,s) удовлетворяет условиям теоремы 1.1 (1.5), а n-мерная вектор-функция </?(/., () = </>(')£ь •••>£«) ~~ условиям теоремы 1.10 (1.11), и существует такая непрерывная на [а, сю) матрица w(í), что

- ^ - v\ (Vi ^ «, G R").

Тогда, если

i

sup í ||A'(í,,s)|| j|w(s)||ds < оо, г^а J

а

и существует такое То ^ а, что i

J\K(t,s)\u(s)ds^B (Vt ^ Го),

То

где В — ti х п - матрица, собственные числа которой по модулю меньше 1, то уравнение (3) при любом свободном члене f(t) из Сд[«,оо) ^Aq[cí,oo)^ имеет и притом единственное решение x(t) £ Ср[а, оо)

(А[|[а,оо)).

Во второй главе изучаются линейные интегральные операторы Вольтерра и соответствующие им уравнения с ш- периодическим ядром K(t, s) (K(t +u>,s + и>) = K(t, s) при некотором w > 0).

В этой главе операторы и уравнения изучаются в пространстве функций, асимптотически периодических по мере. Здесь найдены условия, обеспечивающие действие интегрального оператора в указанном пространстве, и изучены свойства этого оператора. Кроме того, указаны условия, при которых решения интегрального уравнения являются асимптотически периодическими по мере.

Введём следующие подпространства пространства ВСп[о, оо):

Р"[я, оо) = {х G ВС>,со) : x(t + ш) = x(t)}-

аР>,сю) = Р£[а,оо)®С£[а,оо).

Функции, принадлежащие пространству аР"[о,оо), будем называть асимптотически и> - периодическими по мере.

Лемма 2.2. Для того чтобы непрерывная и ограниченная на [а, оо) функция х(1.) принадлежала пространству аР"[а, оо), необходимо и достаточно, чтобы последовательность сходилась номере на [а, оо) к некоторой непрерывной функции

Как известно, если для оператора Вольтерра с разностным ядром допустима пара (ВС"[0,оо), ВС"[0,оо)), то для него будут допустимыми и многие пары естественных подпрострапств пространства ВС"[0, оо). Частично этими свойствами обладают и операторы Вольтерра с периодическими ядрами.

Лемма 2.4. Если пара ^Сд[0,оо), аР"[0,оо)^ допустима для опе-

ратора Кх

= J К{1,а)х{з)й8, то и пара ^Со[0, оо), Сц[0, оо)^ также о

допустима для этого оператора.

Лемма 2.4 используется при доказательстве теоремы 2.2, в которой указаны необходимые, а также достаточные условия, обеспечивающие допустимость для линейного интегрального оператора К пары (¿Р£[0,оо), аР^0,оо)).

Теорема 2.2. Для допустимости пары ^аР"[0,оо), аР^[0,оо)^ относительно оператора К необходимо, чтобы выполнялись условия:

1. sup / ||/("(i,s)|| ds < оо;

sup f ||K(t, i>o J

2. Функции (pk(t) = J K(t,s)ex\) ds (i — k =

— oo

0,1,...) непрерывны на [0, оо) и lim ipk{t) — 0;

t—>00

Ul

3. lim f K{t,,s)sds^0.

i->oo J

0

Обратно, если выполнены указанные условия, и

4- Для любого замкнутого множества Р С [0, оо) конечной меры и любого 6 > О существует такое То, зависящее от Р и 8, что

/4 < « > Го : [ ЦЯ(М)||<*0 Д

то пара ^аР"[0, оо), аР"[0,оо)^ допустима для оператора К.

Следующее утверждение является более общим по сравнению с теоремой 1.12 в линейном случае, в то же время, её доказательство существенно использует рассуждения этой теоремы.

Теорема 2.6. Пусть и) - периодическое ядро удовлетворя-

ет условиям 14 теоремы 2.2, и для некоторого натурального т существует такая п х п - матрица В, собственные числа которой по модулю меньше 1, что для всех < выполняется неравенство

I

i \Кт(1, а-)| (1.ч ^ Б, где Кт(1,я) — т-е итерированное ядро. Тогда о

пара оо), аР"[0, оо)^ допустима для уравнения

*(*) = I КЦ,я)х(а)<1з + №. (4)

а

В третьей главе уравнение (4) изучается в пространстве ограниченных измеримых функций. Несмотря на определённое сходство пространств непрерывных и измеримых ограниченных функций, в ряде задач обнару?киваются и существенные различия между ними. Так, например, в пространстве Ь) отсутствует «точечный функционал» (типа /(ж) = х(1о)). Это обстоятельство делает некоторые задачи, в частности, задачу о допустимости, более трудными в пространстве оо) по сравнению с пространством ВС"[а, оо).

В данной главе устанавливается связь между устойчивостью и допустимостью для уравнения (4) в пространстве измеримых ограниченных функций. Ранее подобные результаты были получены для случая пространства непрерывных функций в работах В.Ф. Пулясва.

Введём следующие обозначения:

L^0(a, b) — пространство измеримых ограниченных отобра?кений х : (а,Ь) —> К" с нормой ||х||, = vrai sup ||x(i)|| < оо;

t€(n,b)

C0L" (a,oo) = {з: € L£,(a,oo) : vrai lim x(t) = 0};

t —>00

A0L'i(a,oo) = CoI&(a,oo)©Rn.

Определение. Замкнутое подпространство X из 00) обла-

дает L-свойством, если единичный шар из X всюду плотен в некотором шаре (радиуса г) пространства L^(a,oo) относительно сходимос-

ь

ти, порождаемой полупормами рь(х) = J j|x(s)||ds (b > a).

a

Пусть rixri - матрица T(t, s) измерима на множестве a ^ s ^ t ^ 00,

при почти всех t суммируема по s на [a, i], и оператор Г определяется t

равенством Гх — J T(t,s)x(s)ds. Следующее утверждение является

а

существенным для дальнейших исследований.

Теорема 3.2. Пусть замкнутое подпространство X ujL£,(a, 00) обладает L-свойством, и пара (X, 00)) допустима для опера-

тора Г. Тогда оператор Г непрерывен и справедливо неравенство

t

vrai sup f [[r(f,ii)H<is = ЦГ(| < оо. (5)

(6[a,oo) J

а

Обратно, если для любого интегрального оператора Вольтерра, относительно которого допустима пара (X, L^(a,oo)), следует (5), то замкнутое подпространство X обладает L-свойством.

Доказательство данной теоремы использует методику, развитую в работах В.Ф. Пуляева и З.Б. Цалюка. Из теоремы 3.2 вытекает, что если X — замкнутое подпространство из L^a.oo), содер?кащее C0L^(a,00), то для допустимости пары (X, оо)) относительно

оператора Г необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие (5).

Обозначим через x/(t) решение уравнения (4), соответствующее свободному члену f(t).

Определение. Решение Xf0(t) называется устойчивым, если для любого е > 0 существует такое <5 > 0, что из (f(t) — fo{t)) G L^(a,oo) и IIf(t) - /0(t)||L < 5 следует (xf(t) - xfo(t)) £ l£(a,oo) и

cx>

\\xf{t)-xfo{t)\\b <£■

CO

Определение. Решение Xf0(t) называется асимптотически устойчивым, если оно устойчиво и из условия vrai lim [/(t) — /o(i)] — О слс~

f~>00

дует vrai lim [х/ (t) - Xf0(t,)} = 0.

Уравнение (4) называется устойчивым (асимптотически устойчивым), если устойчивы (асимптотически устойчивы) все его решения. Как и в случае непрерывных решений, из линейности уравнения следует, что оно устойчиво (асимптотически устойчиво) тогда и только тогда, когда пара (L£,(a,oo), L^(a, oo)) ((C0L£,(a, oo), C0L^,(a, oo))) допустима для этого уравнения. Это позволяет сформулировать критерии устойчивости и асимптотической устойчивости в терминах резольвенты. Для устойчивости (асимптотической устойчивости) уравнения (4) необходимо и достаточно, чтобы пара (LJj^a, oo), Lоо)) ((СоЬ^0(а, оо), СоЬ^(о, оо))) была допустима для оператора R, порождённого резольвентой этого уравнения.

Профессором З.Б. Цалюком было высказано предположение о том, что из устойчивости уравнения (4) и допустимости для оператора (1) пары (X, X), где X — замкнутое подпространство из L^(a,oo), обладающее L-свойством, следует допустимость этой пары и для уравнения (4). Нами обоснована справедливость этой гипотезы для подпространств СоЬ^(а,оо) и AoL^,(n, оо).

Теорема 3.8. Пусть ядро K(t,s) устойчиво и пара (CoL^(«, оо), CoL^(a,oo)) допустима для оператора К. Тогда пара (CoL^Q(a, оо), CoL^(a,oo)) допустима и для уравнения (4).

Теорема 3.9. Пусть ядро К (t, s) устойчиво и пара (AoL^0(a, оо), AoL^,(a, оо)) допустима для оператора К. Тогда пара (А0Ь^о(а, оо), AoL^«,оо)) допустима и для уравнения (4).

В четвёртой главе рассматриваются линейные интегральные операторы и уравнения Вольтерра с периодическими ядрами в пространстве измеримых асимптотически периодических функций. В отличие от результатов второй главы, где особенности пространства аР"[а. оо) позволили указать лишь достаточные условия допустимости для ин-

тегральпых операторов и уравнений, здесь найдены условия, являющиеся необходимыми и достаточными одновременно.

В задаче допустимости таких пар пространств для интегральных операторов имеются определённые преимущества по сравнению с пространствами непрерывных функций, что позволило получить завершённые результаты о допустимости этих пар пространств для интегральных операторов.

В то же время, измеримость функций в ряде задач вносит дополнительные трудности. Однако, накладывая на периодические ядра ряд естественных дополнительных требований, можно избежать возникающих при этом осложнений, с одной стороны, а с другой — применить для изучения соответствующих интегральных операторов и уравнений новые методы.

В первом параграфе уточнены условия действия операторов с периодическими ядрами в пространствах CoL^O, оо) и AoL^(0, оо).

Определим следующие подпространства оо):

PWI4(0,00) = {x(t) е I&(0,00) : x(t) = x(t + ш)}; аРы1&(0,00) = PWL'4(0,00) © C0Loo(0, сю).

Функции из aPwL£,(Q, 00) называются асимптотически ш-периодическими.

Лемма 4.1.

1. Если x(t) е aPwL'^(0,00) и x^(t) ••-- её и) - периодическая составляющая, то lim x(t + ku>) = x^(t) равномерно по t £ [0, оо) \ Е,

к—юо

где Е С [0, оо) и ц (Е) = 0.

Обратно, если x{t) € L", (0, сю) и равномерно по I € [0,ш] \ Е, где ц(Е) = 0, существует lim x(t + кш), то x(t.) € aPwL^(0,00).

к—>00

2. Для того чтобы измеримая, ограниченная в существенном на [0,оо) функция x(t) принадлеокала пространству aP(JL'^o(0,00), необходимо и достаточно, чтобы vrailim[x(i + ku) — £■(<)] = О

i—> CXD

равномерно относительно к 6 N.

Имеет место также и утверждение, устанавливающее связь между допустимостью пар пространств (CoLoo(0, 00), aPtl)L^)(0,00)) и (C0Loo(0,oo), C0Loo(0,oo)) для оператора К с периодическим ядром.

Лемма 4.2. Если пара (CoL00(0, оо), aPwL^o(0, оо)) допустима относительно оператора К, то и пара (CoL00(0,оо), CoL00(0,oo)) также допустима для этого оператора.

Леммы 4.1 и 4.2 используются при доказательстве теоремы 4.3, в которой указаны необходимые и достаточные условия действия линейного интегрального оператора (1) с периодическим ядром в пространстве аРшЬ^(0,оо).

Теорема 4.3. Для того чтобы пара (аР^Ь^ДО, оо), аРыЬ^(0, оо)) была допустима относительно оператора К, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие условия: t

1. vrai sup I H/i^i, s)|| ds < оо; te[o,oo) J

2. Для любого измеримого А С [0,иЛ vrai lim / К (t., s) ds = 0;

t—>oo J

Л

оо „

3. Для любого измеримого А С [0,u>] ряд ^^ / K{t + iuj,s)ds схо-

i=o {

дится равномерно по t G [0,w] \ Е, где ц(Е) = 0.

Во втором параграфе интегральные уравнения Вольтерра изучаются при некоторых дополнительных условиях на периодические ядра. Так как ядра, зависящие от разности аргументов, удовлетворяют этим условиям, то соответствующие ограничения можно считать естественными.

К рассматриваемому классу операторов с периодическими ядрами применяется некоммутативный вариант теоремы Випера об обратимости операторов, а именно —- теорема Бохиера Филлипса.

Предварительно изучается алгебра операторпозначных функций, позволяющая свести вопрос об обратимости операторов I — К в различных функциональных пространствах к обратимости соответствующих элементов этой алгебры.

Рассмотрим интегральные операторы Вольтерра

t

( Lx) (t) = J L(t, s)x(s) ds (0 < t ^ u>),

ядра L(t, s) которых измеримы по совокупности переменных в области О ^ s ^ t < w, (L{t,s) = 0 при s > t), при п. в. t суммируемы по s на (О, ¿), и удовлетворяют условиям:

vrai sup /.e(o,oi)

с

/ \\L(t,s)\\

ds < oo

/

lim

Л-У+О

vrai sup te(o,u)

\ max{0, t—h}

\

S)|| ds

0.

/

Пусть П0 — наполненная банахова алгебра с единицей всех операто-

t

= |A| + vraisup / ||L(i,s)|| ds, no te(a,w) J

ров вида XI + L с нормой

AI + L

— наполненная банахова алгебра операторов вида XI + Р с нормой

XI + Р

гольма

= |А| + vrai sup [ ||P(i,e)|| ds, о

w

(p*) (t) = J P(t,s)x(s)ds,

где P ••— операторы Фред-

ядра P(t,s) которых измеримы

по совокупности переменных на множестве {0 ^ s ^ w,0 ^ t ^ w} , при п. в. t суммируемы по s на (0,w), и

ш

||Р||= vrai sup [ ||P(i,«)ll

¿6(0,w) j

ds < oo.

Обозначим через Р банахову алгебру абсолютно сходящихся рядов

оо оо

№ = Е ОнС" (£ € Г>г = {£ е С : ^ 1}) с нормой ||/|| = £ |а„|,

п=0 п=0

а через Ех — банахову алгебру операторнозначных функций х(-) =

оо ^

х(£) — /(01+ X) определенных на замкнутом единичном круге

п=0

И1, с нормой

п=О

Ew + Ew.

«=0

где / е F, Рп — интегральные операторы из алгебры iîi, удовлетворяющие условию

оо оо Ч.

У) И = У" vrai sup / ||P„(i,s)H ds < оо.

n=0 n=0 <е(0'ы) J

В силу теоремы Бохнера - Филлипса элемент х(-) 6 Рг обратим, если значения функции при любом обратимы в

Через Р0 обозначим замкнутую подалгебру алгебры Р1 оператор-

оо „ _

позначных функций вида ж(-) = = с! + £ где Ьп — ин-

п=О

тегральные операторы, причём Lq е fl0. Элемент cl + из F0

n=0

обратим в Fi, если при любом £ g D1 операторы cl + ÇnLn обрати-

п-о

мы как элементы алгебры Пг, причём обратный элемент принадлежит алгебре Fo-

Пусть п х п - матрица D(t, s) определена в области — оо < s ^ t < оо (D(t,s) = 0 при s > t.), измерима по совокупности переменных, при почти всех t суммируема по s на (0,£), и выполнены условия:

Dit + и, s + w) = D(t, s) при некотором w > 0; (6)

оо w

||Z)||0 = Vivrai sup / ||£>(i,s - nw)|| ds < oo; (7)

^o J

о

( t

lim

/г->+о

vrai sup

\ max{0,£—/t}

J ||D(M)|| ds\ =0. (8)

Обозначим через Ао банахову алгебру всех операторов вида с! + Е>, где ¿> — операторы Вольтерра, и>- периодические ядра которых удовлетворяют условиям (6) - (8), с нормой | с/ + о\ — |с| + ||О||0.

Ка?кдому оператору с1 + И из Ао поставим в соответствие элемент

оо 1Г

с1 + из Го, где (рох) (<) = / D(t,s)x(s)ds (0 ^ I <: ш),

-П

(pnx} (t) - J D(t, s - riw)x(s) ds (n ^ 1, 0 ^ t ^ w).

0

Обозначим это отобра?кснис через Ф. Оказывается, что Ф —■ изометрический изоморфизм банаховых алгебр Ао и F0, что даёт возмогк-ность использовать утверждение об обратимости в Fo для получения условий обратимости интегральных операторов из алгебры^А0.

Теорема 4.7. Для обратимости оператора cl + D в алгебре Ао необходимо и достаточно, чтобы операторнозначиая функция

оо ^

cl + Z С1°п была обратима при любом £ € D1 в пространстве

п=0

Операторы из алгебры Ао переводят пространство 1^,(0,00) в L^(0,oo), что влечёт допустимость для операторов из алгебры Ао пары (аРшЬ^,(0,оо), aP^L^O,оо)), а следовательно, и пары (О, оо)).

оо

Введём операторнозпачпую функцию К(£) — inKn, где операнд О

и/

торы Кпх = JK(t,s —nuj)x(s)ds : 1^(0,0)) t~> w), и применим

о

полученные результаты к исследованию устойчивости линейных интегральных уравнений Вольтерра

t

®(t) = J K(t,s)x{s)ds + f(t) (9)

о

с периодическим ядром.

Теорема 4.8. Если операторнозначиая функция I — К(£) обратима при всех £ е D1, то уравнение (9) асимптотически устойчиво. При этом пара (аР^Ь^ДО, оо), аРшЬ^о(0, оо)) допустима для этого уравнения.

В случае локально компактных операторов справедливо и обратное утверждение. __

Теорема 4.9. Пусть оператор К локально компактен в 1^(0, оо), и уравнение (9) устойчиво. Тогда операторнозначиая функция I — К(£) обратима при всех £ £ D1.

Публикации по теме диссертации

1. Сокол Д.Г. Существование решений интегральных уравнений Вольтерра, имеющих на бесконечности нулевой предел по мерс // Вестник студенческого научного общества. Краснодар, 1997. С. 18-20.

2. Сокол Д.Г. О допустимости для интегральных операторов Вольтерра пары пространств функций, имеющих на бесконечности нулевой предел по мере // Вопросы функционального анализа и математической физики: Матер, науч. конф. Баку, 1999. С. 423.

3. Сокол Д.Г. О допустимости некоторых пар пространств для интегральных операторов и уравнений // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2000. №1. С. 135-137.

4. Пуляев В.Ф., Сокол Д.Г. О допустимости некоторых пар пространств для интегральных операторов и уравнений Вольтерра. Краснодар, 2000. 35 с. Деп. в ВИНИТИ 28.03.2000, №814 - В00.

5. Сокол Д.Г. О допустимости некоторых пар пространств для интегральных операторов и уравнений Вольтерра // Тр. математического центра им. Н.И. Лобачевского. Казань, 2000. Т. 5. С. 193-194.

6. Сокол Д.Г. О допустимости пары пространств асимптотически (¿-периодических по мере функций для интегральных операторов и уравнений Вольтерра. Краснодар, 2001. 30 с. Деп. в ВИНИТИ 04.06.2001, №1402 - В2001.

7. Сокол Д.Г. О разрешимости интегрального уравнения Вольтерра в пространстве асимптотически w-периодических по мере функций // Тр. математического центра им. Н.И. Лобачевского. Казань, 2001. Т. 8. С. 215 -216.

8. Сокол Д.Г. О разрешимости устойчивых интегральных уравнений Вольтерра в пространстве функций, стремящихся к нулю на бесконечности // Тр. математического центра им. Н.И. Лобачевского. Казань, 2003. Т. 21. С. 189 -191.

9. Пуляем В.Ф., Сокол Д.Г. О взаимосвязи допустимости и устойчивости линейных интегральных уравнений Вольтерра // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2003. №3. С. 14-16.

10. Пуляев В.Ф., Сокол Д.Г. Интегральные уравнения с периодическими ядрами в пространстве измеримых функций. Краснодар, 2005. 33 с. Дсп. в ВИНИТИ 20.07.2005, №1063 В2005.

11. Пуляев В.Ф., Сокол Д.Г. О взаимосвязи допустимости и устойчивости для линейных интегральных уравнений Вольтерра. Краснодар, 2005. 32 с. Деп. в ВИНИТИ 20.07.2005, №1064 - В2005.

12. Сокол Д.Г. О разрешимости интегрального уравнения Вольтерра с периодическим ядром в Loo(R+) // Современные методы теории функций и смежные проблемы: Матер. Воронежской зимней математической школы. Воронеж, 2005. С. 215-216.

Участие в конференциях (тезисы докладов по теме диссертации)

13. Сокол Д.Г. О существовании решений, стремящихся по мере к пулю, у интегральных уравнений типа Вольтерра // Функционально - дифференциальные уравнения и их прило?кепия: Тез. докл. 4 Сев.-Кавк. регион, конф. Махачкала, 1997. С. 81.

14. Пуляев В.Ф., Сокол Д.Г. О допустимости некоторых пар пространств для интегральных операторов и уравнений Вольтерра // Воронежская весенняя математическая школа «Современные методы в теории краевых задач» «Поитрягинские чтения - 9»: Тез. докл. Воронеж, 1998. С. 165.

15. Сокол Д.Г. О допустимости некоторых пар пространств для интегральных операторов и уравнений Вольтерра // Математика. Экономика. Экология. Образование: Тез. докл. 7 Международной конф. Ростов н/Д, 1999. С. 37-38.

16. Сокол Д.Г. О допустимости одной пары пространств для оператора суперпозиции // Нелинейный анализ и функционально-дифференциальные уравнения: Тез. докл. Международной науч. конф. Воронеж, 2000. С. 180-181.

17. Пуллев В.Ф., Сокол Д.Г. О допустимости пары пространств асимптотически ш-периодических по мере функций для интегрального оператора Вольтерра // Воронежская весенняя математическая школа «Современные методы в теории краевых задач» «Понтрягинскис чтения - 12»: Тез. докл. Воронеж, 2001. С. 127-128.

18. Пуляев В.Ф., Сокол Д.Г. Об обратимости периодических операТоров и асимптотическом поведении решений уравнений Вольтерра // Математика. Экономика. Образование: Тез. докл. 10 Ме?кдунородной конф. Ростов и/Д, 2002. С. 80-81.

Сокол Дмитрий Григорьевич

АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ РЕШЕНИЙ ИН ТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ТИПА ВОЛЬТЕРРА

Автореферат

Подписано в печать 22.02.2007. Формат 60 х 84 .

Бумага тип. №1. Усл. неч. л. 1,2. Тираж 100 экз. Заказ №34,

Типография КубГУ 350063, г. Краснодар, ул. Октябрьская, 25.

Введение

Глава 1. Допустимость пар пространств функций, имеющих нулевой или конечный предел по мере при t —> оо для интегральных операторов и уравнений Вольтерра

§ 1.1. Линейные интегральные операторы.

§ 1.2. Линейные интегральные уравнения Вольтерра

§ 1.3. Оператор суперпозиции и нелинейное уравнение

Глава 2. Линейные интегральные операторы Вольтерра и уравнения с периодическими ядрами в пространстве асимптотически периодических по мере функций

§ 2.1. Пространство асимптотически периодических по мере функций.

§2.2.Допустимость пары оо),аР"[а, оо)^ для интегральных операторов и уравнений Вольтерра

Глава 3. Взаимосвязь допустимости и устойчивости для линейных интегральных уравнений Вольтерра в пространстве измеримых ограниченных функций

§3.1. Алгебра интегральных операторов Вольтерра и Lсвойство подпространств из оо).

§3.2. Взаимосвязь допустимости и устойчивости для уравнения Вольтерра.

Глава 4. Интегральные уравнения с периодическими ядрами в пространстве измеримых функций

§4.1. Асимптотически периодические решения линейных интегральных уравнений Вольтерра.

§4.2.Устойчивость линейных интегральных уравнений с периодическими ядрами

Настоящая диссертация посвящена изучению вопроса допустимости некоторых пар пространств для линейных интегральных операторов Вольтерра t

Кх) (t) = J K(t,s)x{s)ds, а а также изучению асимптотики решений линейных и нелинейных интегральных уравнений t а и t

X(t) = J K(t,s)<p(s,x(s)) ds + f(t). a

Результаты диссертации докладывались и обсуждались на научных семинарах кафедры дифференциальных уравнений Кубанского государственного университета (руководитель — профессор Цалюк З.Б.); на IV Северо - Кавказской региональной конференции «Функционально -дифференциальныеуравнения и их приложения», Махачкала, 1997; на Воронежской весенней математической школе «Современные методы в теории краевых задач» Понтрягинские чтения - IX, Воронеж, 1998; на VII Международной конференции «Математика. Экономика. Экология. Образование», Ростов-на-Дону, 1999; на конференции «Вопросы функционального анализа и математической физики», Баку, 1999; на конференции «Труды математического центра им. Н.И. Лобачевского», Казань, 2000; на Международной конференции «Нелинейный анализ и функционально - дифференциальные уравнения», Воронеж, 2000; на Воронежской весенней математической школе «Современные методы в теории краевых задач» Понтрягинские чтения - XII, Воронеж, 2001; на конференции «Труды математического центра им. Н.И. Лобачевского», Казань, 2001; на X Международной конференции «Математика. Экономика. Образование», Ростов-на-Дону, 2002; на конференции «Труды математического центра им. Н.И. Лобачевского», Казань, 2003; на Воронежской зимней математической школе «Современные методы теории функций и смежные проблемы», Воронеж, 2001.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [38] -[55]. В работах [38], [39], выполненных совместно с В.Ф. Пуляевым, ему принадлежит постановка задачи. Автору диссертации принадлежит выбор методов исследования и доказательства. В работах [40], [41] В.Ф. Пуляеву принадлежат постановка задачи и определение общих параметров исследования.

В первой главе исследуются вопросы действия операторов и уравнений в пространстве функций, имеющих на бесконечности конечный (в частности, нулевой) предел по мере Лебега (пространства Ар [а, оо) и С?о[а, оо) соответственно). Подобные утверждения интересны тем, что каждое условие допустимости для оператора в терминах ядра автоматически даёт соответствующее условие допустимости в терминах резольвенты для уравнения. С другой стороны, наличие этих условий позволяет рассматривать интегральные уравнения как операторные и применять при их исследовании соответствующие методы функционального анализа (напр., различные принципы неподвижной точки).

Для линейных интегральных операторов Вольтерра общего вида получены достаточные условия допустимости пары пространств функций, имеющих нулевой предел по мере.

Теорема 1.1. Пусть выполнены следующие условия: J а

2) для каждого Т > а

3) для любого замкнутого множества F С [а, оо) конечной меры и любого 5 > 0 существует такое То, зависящее от F и 5, что

Тогда пара оо); Сц[а, оо)J допустима для оператора К.

В случае пространства функций, имеющих конечный предел по мере также удалось получить лишь достаточные условия. Теорема 1.5. Пусть выполнены следующие условия: t

1) \\К\\ = sup [ \\K(t, 5)|| ds < 00; t^a J a

2) для каждого T > а функция т

J (Т — s)K(t, s) ds a имеет конечный предел no мере при t -> 00;

3) для любого замкнутого множества F С [а, оо) конечной меры и любого 5 > 0 существует такое То, зависящее от F и 5, что

4) функция t

J K(t, s) ds a имеет конечный предел no мере при t —> 00.

Тогда пара оо), Aq[«, 00)j допустима для оператора К.

Для операторов с неотрицательным или разностным ядром в случае пространства функций, имеющих нулевой предел, удалось указать необходимые и достаточные условия (теоремы 1.2 и 1.3). Аналогичное утверждение доказано и для скалярных операторов с вырожденным ядром (теорема 1.4).

Подобные задачи для других пространств исследовались многими авторами (Цалюк З.Б., Дербенёв В.А., Пуляев В.Ф., Азбелев Н.В. и др.). Оператор суперпозиции

Фж изучался такими авторами, как, например, Немыцкий В.В., Красносельский М.А., Антоневич А.Б. и др. в различных пространствах.

Нами указаны необходимые и достаточные условия действия такого оператора в пространствах С[)[а,оо) и Agfa,оо).

Теорема 1.10. Для допустимости пары (с$[а, оо), Сд[а, оо)^ относительно оператора суперпозиции Ф необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия:

1) для любого г > 0 существует такое С = С(г) > 0; что при любых t Е [а, оо) и £ Е Rn : ||£|| ^ г выполняется неравенство

Ы t,0HC;

2) для любого S > 0 существует такое г = г($) > 0, что alt> a: max ||<0(£,£)|| ^ 5 > < оо.

I J

Теорема 1.11. Для допустимости пары ^Aq[<2,оо), Ад[а,оо)^ относительно оператора суперпозиции Ф необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия:

1) для любых г > 0 и £о £ найдется такое С = С(г, £о) > 0, что при всех t £ [а, оо) и £ £ Rn : ||f — £о|| ^ г выполняется неравенство М

2) для любого £0 € <p(t, 6) £ AJ[а, оо);

3) для любых 5 > 0 и £о £ существует такое г = г(£о, Я) > 0, что filt^a: max \\(p(t,Q - II > 5 \ <

L IK-&IK»- )

В рассматриваемых пространствах С д[а, оо) и Ад [а, оо) операторы Вольтерра могут быть вполне непрерывными лишь в исключительных случаях, что делает достаточно затруднительным применение методов неподвижной точки, основанных на компактности. Однако, при этом остаётся возможным использование принципа сжатых отображений и порядковых свойств положительных операторов, что и иллюстрирует следующее утверждение, описывающее достаточные условия разрешимости нелинейного интегрального уравнения t x(t) = J K(t}s)ip(s,x(s)) ds + f(t) a в пространствах Cpfa, оо) и Ag[a, оо).

Теорема 1.12. Пусть п х п - матрица K(t,s) удовлетворяет условиям теоремы 1.1 (1.5), а n-мерная вектор-функция (p(t,£) = Ф^Лъ • • • Лп) — условиям теоремы 1.10 (1.11), и существует такая непрерывная на [а, оо) матрица uj(t), что 0 ~ 4>(t,v) | < ь>№ ~ V\ (V* £ a v е R").

Тогда, если t sup f \\K(t,s)\\ ||w(s)|| ds < oo, t^a J a и существует такое Tq ^ а, что t

J \K{t,s)\u{s)ds^B (W^To),

T0 где В — nxn - матрица, собственные числа которой по модулю меньше 1, то уравнение t x(t) = J K{t,s)<p(s,x{sj] ds + f(t) a при любом свободном члене f(t) из Cg[a, оо) имеет и притом единственное решение x(t) £ Cg[a, оо) ^Ао(а, оо)^.

Следует отметить, что условия, наложенные на ядро в этом утверждении, фактически означают его устойчивость.

Во второй главе рассматриваются задача допустимости для линейного интегрального оператора Вольтерра с периодическим ядром пары пространств асимптотически а;-периодических по мере функций (аР"[а, оо)) и вопрос о разрешимости соответствующего линейного интегрального уравнения в указанном пространстве.

Интегральные операторы и уравнения с периодическими ядрами изучались многими авторами ([21], [31], [35], [37] и др.). Подобные исследования в близких классах функций проводили, например, Кара-петянц Н.К. и Самко С.Г. ([17]). Асимптотика решений линейных интегральных уравнений изучалась, в частности, в работах [23], [24], [8] - [13] и др.

Во второй главе установлен критерий принадлежности функции пространству асимптотически о;-периодических по мере функций.

Лемма 2.2. Для того чтобы непрерывная и ограниченная на [а, оо) функция x(t) принадлежала пространству аР"[а, оо), необходимо и достаточно, чтобы последовательность {x(t-\-ku)} сходилась по мере на [а, оо) к некоторой непрерывной на [а, оо) функции y(t).

Оказывается, что в этом случае функция y(t) является а;-периодической составляющей функции x(t).

Установлено также, что если x(t) — асимптотически о;-периодическая по мере функция, то равномерно относительно к € N.

Нами найдены также условия, обеспечивающие действие линейного интегрального оператора в пространстве аР"[а, оо).

Теорема 2.2. Для допустимости пары ^aP™[0, оо), aP"[0, oo)J относительно оператора К необходимо, чтобы выполнялись условия:

Km [x(t + кш) - x{t)} = О

-00 непрерывны на [0,оо) и lim (pk(t) — 0; t-l 00 ш

5; lim J K(t,s)sds^0. о

Обратно, если выполнены указанные условия, и

4) для любого замкнутого множества F С [0, оо) конечной меры и любого S > О существует такое Tq, зависящее от F и 8, что

JoT0: J \\K(t,s)\\ds>51 <оо, FD[T0:t] J то пара ^aP"[0,оо), aP"[0,oo)^ допустима для оператора К.

Известно, что если для оператора Вольтерра допустима пара (ВСп[а,оо), ВСп[а,оо)), то для него будут допустимыми и многие пары естественных подпространств пространства ВС"[а, оо). В некотором смысле, этим свойством обладают и операторы Вольтерра с периодическими ядрами: допустимость для оператора К пары ^аР"[0,оо), аР"[0,оо)^ влечёт за собой допустимость для него и пары ^Cq[0, оо),

Cq[0, оо)^. Показано также (теорема 2.3), что необходимым и достаточным условием действия оператора с разностным ядром в пространстве аР"[а, оо) является суммируемость на [а, оо) его ядра. Более того, в этом случае линейный интегральный оператор К переводит пространство асимптотически о;-периодических по мере функций в пространство асимптотически о>-периодических функций.

Указаны условия в терминах резольвенты (теоремы 2.4 и 2.5), при которых решения линейного интегрального уравнения Вольтерра являются асимптотически о;-периодическими по мере функциями.

Следующее утверждение является более общим по сравнению с теоремой 1.12 в линейном случае. На практике данное утверждение применяется в основном при малых ш, в частности, при т = 1.

Теорема 2.6. Пусть ядро K(t:s) удовлетворяет условиям 1-4 теоремы 2.2, и для некоторого натурального т существует такая пхп -матрица В, собственные числа которой по модулю меньше 1, что для всех t ^ 0 выполняется неравенство t о

J\Km(t,s)\ О

Тогда пара ^аР"[0, оо), аР^[0, оо)^ допустима для уравнения t x(t) = J K(t,s)x(s) ds + f(t). a

В первых двух главах настоящей работы изучались интегральные операторы и уравнения в некоторых подпространствах пространства непрерывных функций. Полученные при этом условия являлись, как правило, достаточными. В главах 3 и 4 аналогичные задачи решаются в пространстве измеримых ограниченных в существенном функций (L^(a, оо)) и различных его подпространствах.

В силу специфики пространства L^a, оо), некоторые задачи здесь представляются более трудными, чем в пространстве BCn[a, оо). С другой стороны, рассматривая линейные интегральные операторы и уравнения в подпространствах измеримых ограниченных в существенном функций, имеющих на бесконечности конечный (AoL^(a, оо)) или нулевой (CoL^(a, оо)) предел, оказалось возможным указать условия допустимости таких пар пространств, которые являются необходимыми и достаточными одновременно.

Теорема 3.3. Для того чтобы пара (CoL^(a,оо), CoL^(a,оо)) была допустима относительно оператора К, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие условия: t

1) vraisup / \\K(t, s)|| ds = Г < оо; te[o,oo) J a

2) для любого измеримого ограниченного множества А С [а, оо) vrailim / Kit, s) ds = 0. f-> 00 J 4 ' A

Теорема 3.4. Для того чтобы пара (AoL£,(a, оо), AoL^(a,оо)) была допустима относительно оператора К, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие условия: t ij vrai sup / \\K(t, s)|| ds = Г < оо; б[а,оо) J

2) для любого измеримого ограниченного множества А С [а, оо) существует конечный предел lilim / K(t,s)ds; -+00 J

3) существует конечный предел vrai. оо А vrai lim t-> 00 t im / K(t,s)ds.

3 J

Кроме того, установлена взаимосвязь между допустимостью этих пар пространств для уравнения и устойчивостью (асимптотической устойчивостью) ядра (теоремы 3.5 и 3.6). Теорема 3.5. Ядро K(t, s) уравнения t устойчиво на [а,оо) тогда и только тогда, когда пара оо),

L^(a, оо)) допустима для этого уравнения.

Теорема 3.6. Ядро K(t,s) уравнения асимптотически устойчиво на [а, оо) тогда и только тогда, когда пара (CoL^(a, оо), CoL^(a, оо)) допустима для этого уравнения.

Ранее подобные результаты были получены в случае пространства непрерывных функций.

Имеет место гипотеза (автором которой является профессор Ца-люк З.Б.) о том, что из устойчивости интегрального уравнения и допустимости пары (X, X), где X — замкнутое подпространство из L^a, оо), обладающее L-свойством, для оператора следует допустимость этой пары и для интегрального уравнения. Нам удалось доказать справедливость этого предположения для подпространств CoL£>(a, оо) и A0L^(a,oo).

Теорема 3.8. Пусть ядро K(t,s) устойчиво и пара (CoL^,(a,оо), CoL^(a,оо)) допустима для оператора К. Тогда пара (CoL^(a,оо),

CoL^(a, оо)) допустима и для уравнения t x(t) = j K(t,s)x(s) ds + f(t). a

Теорема 3.9. Пусть ядро K(t,s) устойчиво и пара (AoL^(a,оо), AoL^(a,оо)) допустима для оператора К. Тогда пара (AoL^(a,оо), AoL^(a, оо)) допустима и для уравнения.

Доказательство этих утверждений существенно использует результаты, полученные в работе [27].

В четвёртой главе рассматриваются линейные интегральные операторы и уравнения Вольтерра с периодическими ядрами. В отличие от результатов второй главы, где особенности пространства аР"[а, оо) позволили указать лишь достаточные, близкие к необходимым условия допустимости для интегральных операторов и уравнений, здесь найдены условия, являющиеся необходимыми и достаточными.

В первом параграфе уточнены результаты теорем 3.3 и 3.4 для оператора с периодическим ядром (теоремы 4.1 и 4.2) и сформулирован критерий принадлежности пространству измеримых асимптотически и) - периодических функций (aPwL^(0, оо)). Лемма 4.1.

1) Если x(t) 6 аРД^ДО, оо) и x^t) — её ш - периодическая составляющая, то lim x(t + кш) = Xu{t) fc—► 00 равномерно no t G [0, оо) \ E, где E С [0, оо) up (E) = 0.

Обратно, если x(t) € L^(0,oo) и равномерно no t G [0,w] \ E существует lim x(t + kuS), k-Ь oo mo x(t) £ аР^Д^Доо).

2) Для того чтобы измеримая, ограниченная в существенном на [0, оо) функция x(t) принадлежала пространству aPu)L^o(0, оо), необходимо и достаточно, чтобы vrai lim [x(t + кш) — x(t)] = О t-too равномерно относительно к Е N.

Приведены также необходимые и достаточные условия действия линейного интегрального оператора в пространстве aPwL^o(0, оо)

Теорема 4.3. Для того чтобы пара (аРы1£(0,оо), aPwL^(0,оо)) была допустима относительно оператора К, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие условия: t

1) vraisup / \\K(t, s)|| ds < оо; ге[о,оо) J о

2) для любого измеримого множества А С [0, а»] vrailim / Kit, s) ds — 0; t-юо J A

3) для любого измеримого множества А С [0, uj] ряд

00 „ K(t + ш, s) ds i=o{ сходится равномерно not Е [0, а;] \ Е, где р{Е) — 0.

Кроме того, доказано (лемма 4.2), что из допустимости пары (CoL^(a, оо), aPwL£,(0, оо)) для интегрального оператора следует также и допустимость для него пары (CoL£,(a,оо), CoL£,(a, оо)). Данное утверждение является аналогом леммы 2.4, доказанной во второй главе для схожих пространств непрерывных функций. Приведённая в конце первого параграфа теорема 4.6 о существовании у интегрального уравнения с периодическим устойчивым ядром измеримого асимптотически о;-периодического решения является логическим продолжением теорем 1.12 и 2.6. Эти факты свидетельствуют об определённой «родственности» пространств аР"[а, оо) и аРш1£>(0, оо).

Переход от пространства аР"[а, оо) к aPJL^O, оо) дал некоторые преимущества в задаче допустимости для операторов и позволил получить логически завершённые результаты. При этом, как говорилось выше, появились определённые трудности, компенсировать которые удалось усилением требований к ядру.

Во втором параграфе рассматриваются линейные интегральные уравнения Вольтерра, ядра которых удовлетворяют дополнительным, более жёстким по сравнению с предыдущими случаями условиям. Оказалось, что линейные интегральные операторы с такими ядрами образуют наполненную банахову алгебру, что указывает на своего рода естественность новых требований к ядру.

Далее вводится банахова алгебра абсолютно сходящихся рядов (см., напр., [19]) и определяется банахова алгебра операторнозначных функций, после чего становится возможным свести вопрос об обратимости линейных интегральных операторов к обратимости элементов данной алгебры. При этом используется один из некоммутативных вариантов теоремы Винера, опубликованный в работе [36] и известный как теорема Бохнера - Филлипса. Опишем условия, при которых справедлива эта теорема.

Пусть F — некоторая коммутативная банахова алгебра с единицей комплекснозначных функций f(t), определённых на множестве Г, с операциями поточечного сложения и умножения. Норму в F обозначим через |/|. Пусть X — банахова алгебра (вообще говоря, некоммутативная), с единицей е и нормой ||ж||, Y — банахова алгебра функций £(•) = x(t) из Т в X с операциями поточечного сложения и умножения и нормой ||®(.)||, обладающая следующими свойствами:

1. Если xh ., хп е X, fi(t),., fn(t) G F, то функция

Xlfli-) + • • • + xnfn{-) (1) принадлежит Y.

2. Для любых х 6 X и f(t) £ F справедливо равенство

IW(-)II = HI/I

3. Линейные комбинации вида (1) всюду плотны в Y.

4. Если х(-) = x\f\(-) + + xnfn(-), то для каждого непрерывного гомоморфизма M(f) : F и- С1 выполняется неравенство i мс/о + .-. + ^мсджиоц.

На основании свойств 3 и 4 каждый определённый на F непрерывный гомоморфизм М однозначно продолжается до непрерывного гомоморфизма М(ж(-)) из Y в X, и при этом выполняется равенство

М (xf(-)) = xM(f). Назовём М генерированным гомоморфизмом.

Теорема 0.1. Если для каждого генерированного гомоморфизма М элемент М(ж(-)) из X имеет левый обратный в X, то элемент ж(-) 6 Y имеет левый обратный.

Замечание. Если в X ввести умножение а * b = b • а, а в Y — х(') * у(') = у(') ' x(')i то Ддя алгебр X' и Y' с новым умножением условия 1-4 теоремы будут выполнены. Генерированные гомоморфизмы, построенные по новым и старым алгебрам, совпадут, а левая обратимость элементов в алгебрах X' и У совпадает с правой обратимостью в алгебрах X и Y.

Отсюда вытекает следующее утверждение.

Теорема 0.1'. Если для каждого генерированного гомоморфизма М элемент М (ж(-)) из X имеет правый обратный в X, то элемент х(-) € Y имеет правый обратный.

1. Александров П.С. Введение в теорию множеств и общую топологию. М., 1977. 368 с.

2. Антоневич А.Б., Рывкин В.Б. О нормальной разрешимости задачи о периодических решениях линейного дифференциального уравнения с отклоняющимся аргументом // Дифференциальные уравнения. 1974. Т. 10. №8. С. 1347-1353.

3. Антоневич А.Б. Эллиптические псевдодифференциальные операторы с конечной группой сдвигов // Изв. АН СССР. Сер. Математика. 1973. Т. 37. №3. С. 663-675.

4. Антоневич А.Б. Условия обратимости операторов с выпуклой рационально независимой системой сдвигов // Докл. АН СССР. 1981. Т. 256. №1. С. 11-14.

5. Балакришнан А. Введение в теорию оптимизации в гильбертовом пространстве. М., 1974. 260 с.

6. Борисович Ю.Г., Турбабин А.С. К задаче Коши для линейных неоднородных дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом // Докл. АН СССР. 1969. Т. 185. №4. С. 741-744.

7. Винокуров В.Р., Смолин Ю.Н. Об асимптотике уравнений Вольтерра с почти периодическими ядрами и запаздываниями // Докл. АН СССР. 1971. Т. 201. №4. С. 771-773.

8. Винокуров В.Р. Об устойчивости решения системы интегральных уравнений Вольтерра второго рода // Изв. вузов. Математика. 1959. №1 (8). С. 23-24.

9. Винокуров В. Р. Об ограниченности решения системы интегральных уравнений Вольтерра с периодической матрицей // Учен. зап. Уральского ун-та. 1960. Вып. 23. №2. С. 3-9.

10. Винокуров В.Р. Об ограниченных решениях и предельных циклах системы интегральных уравнений Вольтерра // Учен. зап. Орского пед. ин-та. 1963. Вып. 5. С. 32-37.

11. Винокуров В.Р. Об интегральных уравнениях Вольтерра с бесконечным промежутком интегрирования // Дифференциальные уравнения. 1969. Т. 5. № 10. С. 1894-1898.

12. Винокуров В.Р. Предельные циклы системы уравнений Вольтерра // Изв. вузов. Математика. 1974. №9. С. 18-26.

13. Ворович И.И., Вабешко В.А. Динамические смешанные задачи теории упругости для неклассических областей. М., 1979. 320 с.

14. Дербенёв В.А., Пуляев В.Ф. Структура резольвенты и устойчивость линейных интегральных и интегро-дифференциальных уравнений // Изв. СКНЦ ВШ. Естеств. науки. 1992. №1-2. С. 7-14.

15. Канторович JI.B., Акилов Г.П. Функциональный анализ. 2-е изд., перераб. М., 1977. 744 с.

16. Карапетянц Н.К., Самко С.Г. Об одном классе интегральных уравнений типа свёртки и его приложении // Изв. АН СССР. Сер. Математика. 1971. Т. 35. №3. С. 714-726.

17. Карапетянц Н.К., Самко С.Г. О дискретных операторах Винера -Хопфа с осциллирующими коэффициентами // Докл. АН СССР. 1971. Т. 200. №1. С. 17-20.

18. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. 2-е изд., перераб. М., 1976. 544 с.

19. Красносельский М.А., Забрейко П.П., Пустылъник Е.И., Соболевский П.Е. Интегральные операторы в пространствах суммируемых функций. М., 1966. 500 с.

20. Кузнецов В.В. Спектральный анализ периодических операторов: Дис. . канд. физ.-мат. наук. Воронеж, 1996. 121 с.

21. Натансон И.П. Теория функций вещественной переменной. 3-е изд. М., 1974. 480 с.

22. Пуляев В.Ф., Цалюк З.Б. Об асимптотически ^-периодических решениях интегральных уравнений Вольтерра // Дифференциальные уравнения. 1974. Т. 10. №6. С. 1103-1110.

23. Пуляев В.Ф., Цалюк З.Б. К вопросу о допустимости некоторых пар пространств для линейных операторов и уравнений Вольтерра // Дифференциальные уравнения. 1983. Т. 19. №4. С. 684-692.

24. Пуляев В.Ф., Цалюк З.Б. Об асимптотическом поведении решений интегральных уравнений Вольтерра в банаховых пространствах // Изв. вузов. Математика. 1991. №12. С. 47-55.

25. Пуляев В.Ф. О допустимости некоторых пар пространств относительно линейных интегральных уравнений Вольтерра // Дифференциальные уравнения. 1984. Т. 20. № 10. С. 1800-1805.

26. Пуляев В.Ф. О спектре линейных непрерывных операторов. // Изв. СКНЦ ВШ. Естеств. науки. 1985. №4. С. 25-28.

27. Пуляев В.Ф. Ограниченные и почти периодические решения линейных интегральных уравнений. I // Дифференциальные уравнения. 1989. Т. 25. №10. С. 1787-1798.

28. Пуляев В.Ф. Ограниченные и почти периодические решения линейных интегральных уравнений. II // Дифференциальные уравнения. 1990. Т. 26. №8. С. 1423-1432.

29. Рудин У. Функциональный анализ. М., 1975. 445 с.

30. Симонов П.М., Чистяков А.В. О разрешимости периодических уравнений // Вестник Пермского ГТУ. Матем. и прикл. матем. 1994. №1. С. 61-71.

31. Цалюк З.Б. Об устойчивости уравнений Вольтерра // Дифференциальные уравнения. 1968. Т. 4. №11. С. 1967-1979.

32. Цалюк З.Б. О допустимости некоторых пар пространств для интегральных операторов и уравнений Вольтерра // Дифференциальные уравнения. 1977. Т. 13. №11. С. 2096-2098.

33. Цалюк З.Б. Линейные интегральные уравнения Вольтерра. Краснодар, 1980. 71 с.

34. Becker L.C., Burton Т.A., Kriszin Т.К. Floquet theory for a Volterra equation // J. London Math. Soc. 1988. Vol. 2. №37. p. 141-147.

35. Bochner S., Phillips R.S. Absolutely convergent fourier expansions for non-commutative normed rings // Annals of Mathematics. 1942. Vol. 43. №3. P. 409-418.

36. Grossman S.J. Periodicite finaly des systemes integro-differentiels de Volterra // Rev. Roum. Math. Pures et Appl. 1973. Vol. 18. №5. P. 665-671.

37. Пуляев В.Ф., Сокол Д.Г. О допустимости некоторых пар пространств для интегральных операторов и уравнений Вольтерра. Краснодар, 2000. 35 с. Деп. в ВИНИТИ 28.03.2000, №814 В00.

38. Пуляев В.Ф., Сокол Д.Г. О взаимосвязи допустимости и устойчивости линейных интегральных уравнений Вольтерра // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2003. №3. С. 14-16.

39. Пуляев В.Ф., Сокол Д.Г. Интегральные уравнения с периодическими ядрами в пространстве измеримых функций. Краснодар, 2005. 33 с. Деп. в ВИНИТИ 20.07.2005, № 1063 В2005.

40. Пуляев В.Ф., Сокол Д.Г. О взаимосвязи допустимости и устойчивости для линейных интегральных уравнений Вольтерра. Краснодар, 2005. 32 с. Деп. в ВИНИТИ 20.07.2005, №1064 В2005.

41. Сокол Д.Г. Существование решений интегральных уравнений Вольтерра, имеющих на бесконечности нулевой предел по мере // Вестник студенческого научного общества. Краснодар, 1997. С. 1820.

42. Сокол Д.Г. О допустимости для интегральных операторов Вольтерра пары пространств функций, имеющих на бесконечности нулевой предел по мере // Вопросы функционального анализа и математической физики: Матер, науч. конф. Баку, 1999. С. 423.

43. Сокол Д. Г. О допустимости некоторых пар пространств для интегральных операторов и уравнений // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2000. №1. С. 135-137.

44. Сокол Д. Г. О допустимости некоторых пар пространств для интегральных операторов и уравнений Вольтерра // Тр. математического центра им. Н.И. Лобачевского. Казань, 2000. Т. 5. С. 193-194.

45. Сокол Д.Г. О допустимости пары пространств асимптотически ы-периодических по мере функций для интегральных операторов и уравнений Вольтерра. Краснодар, 2001. 30 с. Деп. в ВИНИТИ 04.06.2001, №1402 -В2001.

46. Сокол Д. Г. О разрешимости интегрального уравнения Вольтерра в пространстве асимптотически ^-периодических по мере функций // Тр. математического центра им. Н.И. Лобачевского. Казань, 2001. Т. 8. С. 215-216.

47. Сокол Д.Г. О разрешимости устойчивых интегральных уравнений Вольтерра в пространстве функций, стремящихся к нулю на бесконечности // Тр. математического центра им. Н.И. Лобачевского. Казань, 2003. Т. 21. С. 189-191.

48. Пуляев В.Ф., Сокол Д.Г. Об обратимости периодических операторов и асимптотическом поведении решений уравнений Вольтерра // Математика. Экономика. Образование: Тез. докл. 10 Международной конф. Ростов н/Д, 2002. С. 80-81.

49. Сокол Д.Г. О существовании решений, стремящихся по мере к нулю, у интегральных уравнений типа Вольтерра // Функционально дифференциальные уравнения и их приложения: Тез. докл. 4 Сев.-Кавк. регион, конф. Махачкала, 1997. С. 81.

50. Сокол Д. Г. О допустимости некоторых пар пространств для интегральных операторов и уравнений Вольтерра // Математика. Экономика. Экология. Образование: Тез. докл. 7 Международной конф. Ростов н/Д, 1999. С. 37-38.

51. Сокол Д.Г. О допустимости одной пары пространств для оператора суперпозиции // Нелинейный анализ и функционально-дифференциальные уравнения: Тез. докл. Международной науч. конф. Воронеж, 2000. С. 180-181.