Приближения в метрике Lp полиномами на системе попарно дизъюнктных отрезков тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

На правах рукописи

УДК 517.51

Г) -г С . 'I П i i й ч,\

Крашенинникова Юлия Викторовна

ПРИБЛИЖЕНИЯ В МЕТРИКЕ L ПОЛИНОМАМИ НА СИСТЕМЕ ПОПАРНО ДИЗЪЮНКТНЫХ ОТРЕЗКОВ

Специальность 01.01.01 - математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург 2000

Работа выполнена на кафедре математического анализа Российского государственного педагогического университета имени А.И.Герцена.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор Широков Н.А.

Официальные оппоненты: - доктор физико-математических наук,

ведущий научный сотрудник Петербургского отделения математического института РАН им. В.А. Стеклова Кисляков C.B.

- кандидат физико-математических наук, доцент Васин A.B.

Ведущая организация: Санкт-Петербургский государственный уни-

верситет

Защита диссертации состоится 22 ноября 2000 года в 16час.15мин. на заседании Диссертационного Совета К 113.05.14 по присуждению ученой степени кандидата наук при Российском государственном педагогическом университете имени А.И.Герцена по адресу: 191186, Санкт-Петербург, наб. р. Мойки, д.48, корпус 1, ауд.209.

С диссертацией можно ознакомиться в фундаментальной библиотеке РП им. А.И.Герцена.

Автореферат разослан "¿9

Ученый секретарь Диссертационного Совета

-2000 г.

ч _И.Б.Готская

biGf^/VO*

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Настоящая работа представляет собой исследование в области конструктивной теории функций.

Актуальность темы. Задачи об аппроксимации более сложных в конструктивном отношении объектов менее сложными играют важную роль почти во всех областях математики. Современная теория приближения представляет собой весьма обширную ветвь математического анализа и имеет дело главным образом с приближением отдельных функций и классов функций при помощи алгебраических многочленов или тригонометрических полиномов.

Целью данного исследования являлось получение конструктивных описаний классов функций в интегральной метрике. В 40-50-х годах усилиями таких математиков, как С.М.Никольский, А.Ф.'Гиман, В.К.Дзядьис была получена конструктивная характеристика классов Гельдера на отрезке с помощью взвешешплх полиномиальных приближений в равномерной метрике. Далее, естественным образом возник вопрос об отыскании условия,

позволяющего конструктивно описывать классы Гельдера в метрике

Н на отрезке (при г — О Н * суп, классы С.М.Никольского). В 70-

х годах этой проблемой занимались Г.К.Лебедь, М.К.Потапов и В.П.Моторный. Лебедь и Потапов выяснили структурные свойства класса

(Ар \ 0 <а <1), удовлетворяющего интегральному аналогу условия,

описывающего классы Гельдера в равномерной метрике. Была также выЛ С'+ог) и ('+«) 1 „ , „ явлена взаимосвязь классов А р и п р , 1 ь /? <; ао: При

0 1 ы (г+а) . (г+а) 1

< СС < 1 классы п р и Ар различны, а при <2=1 совпадают.

В.К.Мсггорным были предприняты попытки конструктивно описать классы

Н(г+«) „

р . Ему удалось оценить порядок роста величины наилучшего взвешенного приближения функций класса Н рГ+а) алгебраическими многочленами, однако эта оценка не давала возможности получения обратного утверждения. Исследования, проведенные Моторным, натолкнули на

мысль, что классы Н р при а Ф 1, по-видимому, вообще не допускают конструктивного описания с помощью обычных взвешенных полиномиальных приближений. Причина этого явления была вскрыта Е.М.Дынькиным при изучении более общих классов О.В.Бесова. Кроме того, как частный случай конструктивной характеристики классов Бесова

Вр д, Дынькин получил описание классов С.М.Никольского Н р =Вр<} с

л **

помощью условия, более сложного, чем для классов А р . Таким образом,

проблема конструктивного описания классов Н была частично разрешена.

Известно, что для того, чтобы функция /(х)еН 1ру р>1, необходимо и достаточно, чтобы /(*) почти всюду совпадала с интегралом от некоторой функции из . Это позволяет при р> 1 одновременно описывать классы Н и классы С.Л.Соболева ^, 1 — г 4-1. Изучением классов Соболева занимался Е.М.Дынькин. Им была получена конструктивная характеристика классов ^, 1 < р /¡>2 - целое, в терминах взвешенных полиномиальных приближений на отрезке и континууме, представляющем собой замыкание жордановой области с кусочно-лшшшцевой границей.

В настоящей работе классы функций рассматриваются на системе отрезков в комплексной плоскости. В теории приближений в комплексной плоскости весьма существенным является вопрос, какова общая природа множества, на котором имело бы смысл заниматься приближением функций. В 50-е годы С.Н.Мергсляном было установлено, что приближение возможно на компактах, дополнение которых не разбивает плоскость. Это дало принципиальную возможность получать прямые утверждения на несвязных множествах. С другой стороны, Н.А.Лебедевым и П.М.Тамразовым было показано, что и для обратных теорем условие связности множества несущественно. Однако большинство результатов в области конструктивной теории функций получено на континуумах, в то время как работ, оперирующих с несвязными множествами, достаточно мало, причем во всех этих работах исследования проводились в равномерной метрике.

В свете вышесказанного актуальными являются вопросы приближения функций в интегральной метрике на несвязных множествах.

Целью работы являлось описание классов функций, определяемых интегральной метрикой, на конечном множестве попарно дизъюнктных отрезков скоростью их взвешенных полиномиальных приближений.

Научная новизна работы состоит в следующих полученных результатах:

- впервые получено прямое описание класса непрерывных функций с суммируемой в Р-й степени первой производной в терминах скорости

взвешенных полиномиальных приближений в метрике на конечном множестве попарно дизъюнктных отрезков;

- впервые дана конструктивная характеристика классов С.Л.Соболева

, ^ — 2 - целое, на языке взвешенных полиномиальных приближений на конечном множестве попарно дизъюнктных отрезков.

Общая методика выполнения работы. При доказательстве утверждений применяются методы конструктивной и геометрической теории функций. Приближение многочленами функций из рассматриваемых классов основывается в работе на хорошем приближении многочленами ядра Коши. Построение приближающих многочленов производится с помощью полиномиальных ядер типа Джексона, а также с помощью многочленных ядер рассматривавшихся ранее В.К.Дзядыком, Н.А.Лебедевым, Н.А.Широковым, которые в настоящее время в теории многочленов Фабе-ра обладают, по сравнению с другими ядрами, наиболее сильными свойствами. Кроме того, в работе существенно используются граничные свойства кусочно-гладких континуумов и непрерывные продолжения функций с исходного множества на всю плоскость, в частности, псевдоаналнтическое продолжение.

Практическая и теоретическая ценность. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы для дальнейшего исследования полиномиальных приближений на несвязных множествах, а также для подготовки спецкурсов для старшекурсников и аспирантов по конструктивной теории функций.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на международной конференции студентов и аспирантов по фундаментальным наукам "Ломоносов-2000", МГУ, 2000 г.; Герценовских чтениях, РГПУ им. А.И.Герцена, 2000 г.

Публикации. Основные результаты диссертационной работы изложены в 3-х публикациях, список которых приведен в конце автореферата.

Структура н объем работы. Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения и списка цитированной литературы; изложена на 96 страницах, содержит 4 рисунка и список литературы из 45 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы исследования, сформулированы цели работы и основные положения, выносимые на защиту, дан

обзор литературы по истории вопроса, рассматриваемого в диссертации, приведена краткая характеристика работы.

В первой главе доказана возможность весового приближения в метрике алгебраическими многочленами непрерывных функций с суммируемой в Р-й степени первой производной на конечном множестве попарно дизъюнктных отрезков в комплексной плоскости. Полученная скорость приближения не зависит от степени приближающего многочлена и пригодна для описания в терминах скорости взвешенных полиномиальных приближений указанных пространств.

Прежде, чем сформулировать основные результаты, введем ряд о бога

значений. Пусть ^ = У^ ~ объединение конечного числа попарно непересекающихся отрезков в плоскости 2 — X + ¡у. Далее, пусть - функция Грина области (С/ Е с полюсом в бесконечности;

1к = {2Л еС/Е, в(г) = Щ1+И)}, Л > О

- линии уровня множества Е;

аег

ркЮ = дЩгХк), геЕ. (1)

Удалось установить справедливость следующего утверждения. Теорема 1.1. Пусть функция /00 непрерывна на множестве Е и

удовлетворяет условию f\z) е С5*). 1 ^ Рк 00» ^ = То-

гда при каждом натуральном П существует алгебраический многочлен Pn(z) степени не выше П, такой, что имеет место неравенство

т .

Ei

к=iXb

/<*)-ад

Pv№

Pt

Щйс

(2)

где постоянная С зависит от функции /, множества Е и не зависит от П.

Особенностью данного результата является то, что он установлен для

случая, когда иа каждом из отрезков задан свой класс непрерывных функций /: е£Л<>*).

В п. 1.1 первой главы приведены предварительные определения и обозначения. Далее, в п.1.2 множество £ достраивается до кусочно-гладкого континуума (точнее, семейства континуумов) без внут-

ренних точек с внешними к М углами, равными 2я", тг / 2, 2Л"/ т, и получен ряд граничных свойств континуума Л/, необходимых нам в дальнейшем. В п. 1.3 построено покрытие исходного множества Е системой интервалов, учитывающее положение точки 2 &Е относительно угловых точек континуума М, и доказано вспомогательное утверждение, использующее метрическое свойство этого покрытия.

В п. 1.4 исходная функция / непрерывно продолжается с исходного

множества Е до некоторой функции /о с компактным носителем на плоскости. Свойства построенного продолжения позволяют применить к

/о формулу Коши-Грина и получить представление функции / на множестве Е с помощью ядра Коши.

Пункт 1.5 посвящен выбору вспомогательного приближающего полинома ( deg/)„fM;zj< п, зависящего от конкретного континуума из семейства . А в п. 1.6 получена поточечная оценка приближения функции / вспомогательными полиномами Рп(.М\2) на

отрезке к = 1

Наконец, в п. 1.7 приведен окончательный вид приближающего полинома Рп(/;Е;г), йсоР„(/;Е;г)< п+т, не зависящего от выбора континуума из семейства М{Е',21,...,2т) , и проведен завершающий этап доказательства теоремы 1.1.

Пусть <р(г): (С/Л/-» С/и, <р(со) = оо _ (р\оо) > 0 - конформное отображение внешности континуума М на внешность единичного круга О ;

¿А={г;:еС/М,|^)|=1 + А}, И> О,

- линии уровня континуума М;

def

ph{M\z) = dist(z,ZA), zeE.

Сначала показано, что вспомогательные полиномы Р„ г) позволяют описать в интегральной метрике функцию / на отрезке к = 1,с весом \ если непрерывная функция / удовле-

творяет условию /Чг) е ^С5*), 1<Рк < к = 1,...,»!, ТО ДЛЯ любого натурального П имеет место неравенство

J

f(z)-Pn(M-z)Pk

pVn(M\z)

ci, k = l,...,m.

Полученная оценка приближения не зависит ни от П, ни, что весьма существенно, от выбора континуума из семейства ,...,Zm) .Далее,

с помощью вспомогательных конструкций и связи между весовыми характеристиками Phi.2) и Ph(.M\z), Z еЕ, установленной в п. 1.2, удается показать, что многочлены

\ 0, п = \,...,т,

degPn(z)< П, П — 1,2,..., удовлетворяют условию (2), что и завершает доказательство теоремы 1.1.

Во второй главе работы предметом изложения являются классы С.Л.Соболева

W', /> 2 - целое. Получена следующая конструктивная характеристика классов С.Л.Соболева на конечном множестве попарно дизъюнктных отрезков.

Теорема 2.1. Функция f(z), суммируемая с квадратом на множестве Е принадлежит классу , / ^ 2 - целое, тогда и только тогда, когда существует последовательность алгебраических многочленов

{Р2п }, такая, что degP2„(z) £ 2", п = 0,1,..., и

\ ¿1Л*) - Рг Рг- (*)~2'Н<«>,

В л=0

где расстояние Р2-« определено в (1).

Так как поведение расстояния (г) до линии уровня I- д множества Е при 2 6 = [ак ,Ьк 0 < Л < 1, характеризуется соотношением

где С],С2 - постоянные, не зависящие от Л и 2, то достаточность условия (4) следует непосредственно из конструктивной характеристики классов

, 1<р<*>, /> 2 - целое, на отрезке, полученной Е.М.Дынькиным,

при Р — 2. Таким образом, интерес представляет доказательство необходимости условия (4), чему и посвящена вторая глава работы.

В п.2.1 приводятся необходимые сведения о классах рассматриваемых областей, функций и некоторые вспомогательные результаты, используемые в дальнейшем.

Изучение классов С.Л.Соболева производится в работе с помощью

псевдоаналитического продолжения функций

построение,

которого приводится в п.2.2. В п.2.3 дано прямое описание класса ^ С^) на континууме М. с помощью псевдоаналитического продолжения.

Лемма 2.1. Пусть функция /(?) е , / > 0 - целое. Тогда

допускает псевдоаналитическое продолжение , такое, что

где

И я

^Шсщмг

к

< с.

2,

_1 {то .,&<£>) ^ • ^ ,

2 е М, Ц > 0, - сектор Н.Н.Лузипа для континуума М и с2 > 0 -

постоянная, зависящая от свойств класса и геометрических характеристик рассматриваемых множеств.

В п.2.4 приводятся необходимые свойства континуума М и напоминаются некоторые результаты В.К.Дзядыка, касающиеся приближения ядра Коши многочленными ядрами

Пункт 2.5 посвящен доказательству теоремы 2.1. Доказательство проводится в два этапа. Сначала получена оценка приближения псевдоаналитического продолжения Е вспомогательными полиномами Р^ С^'2),

построенными, отправляясь от многочленных ядер К 2„ , на континууме М, которая вкупе с леммой 2.1 позволяет дать прямое описание класса ^(Е) в интегральной метрике с весом Рн(№\2) (см. (3)): если - целое, то существует последовательность вспомогательных многочленов Ай^Р^(2) ^ 2"; п = ОД,...; такая, что

- Рг (М;7)|1 рг.п {М-г)~21 \dz\Z съ _

Е

где положительная постоянная с3 не зависит от выбора континуума из

семейства М{Е\21,...,2т) .

Далее, с использованием конструкции, подобной той, что рассматривалась при доказательстве теоремы 1.1, по полиному Р2» (А/; 2) строится окончательный вариант приближающего полинома независя-

щего от выбора континуума из семейства М(Е\2\,...,2т) , и доказывается, что последовательность {Р2П(/}о удовлетворяет неравенству (4).

Степень полинома Р фактически не превосходит 2" +т1. Од-

нако, как и в главе 1, легко показать, что всегда найдется последовательность приближающих многочленов {^2"'}0> ^^ > удовлетворяющая условиям теоремы 2.1.

В заключении представлены основные результаты и выводы диссертации.

Осповпое содержание диссертации изложено в следующих работах:

1. Крашенинникова Ю.В., Широков H.A. Аппроксимация полиномами в метрике Lp на дизъюнктных отрезках, Зап. научн. семии. ПОМИ, 270, 2000, 64-90.

2. Крашенинникова Ю.В. Приближение полиномами функций из классов Wp на конечном множестве дизъюнктных отрезков, 45-студенче-ская научная конференция по итогам работы СНО ин-та в 1999-2000 гг., ПГПИ, 2000, 139.

3. Крашенинникова Ю.В., Широков H.A. Аппроксимация полипомами в метрике Lp На дизъюнктных отрезках, Материалы международной конференции студентов и аспирантов по фундаментальным наукам "Ломоно-сов-2000", МГУ, вып.4, 2000, 332.

Отпечатано в ООО «АкадемПринт» СПб, ул. Миллионная,19 т. 315-11-41. Подписано в нечатъ16.10.2000 Тираж 100 экз.

STATE INSTITUTE OF THEORETICAL PHYSICS AND

ASTRONOMY

rr3 C.l 'L 1 OB 2000

Auära Kyniene

THE SYMMETRY WITH RESPECT TO A QUARTER OF THE ELECTRONIC SHELL FOR THE QUANTITIES RELATED WITH THE GROUND STATE OF AN ATOM

cpWf^

Summary of PhD Thesis Physical Sciences, Physics (P002)

Vilnius, 2000

The thesis lias been accomplished in 1994-1999 at the State Institute of Theoretical Physics and Astronomy.

The Institute is entitled to give a doctorate with the Vilnius Pedagogical University and the Vilnius University, following Resolution No. 739 adopted by the Government of Republic of Lithuania, October 7, 1992.

The Doctorate Committee:

Chairman and scientific adviser:

Romualdas KARAZIJA, Dr. hab.(Institute of Theoretical Physics and Astronomy, Physical Sciences, Physics, P002);

Members:

Kazimieras PYRAGAS, Dr. hab., Prof. (Vilnius Pedagogical University, Physical Sciences, Physics, P002) from 1996 11 15; Zenonas RUDZIKAS, Dr. hab., Prof.(Institute of Theoretical Physics and Astronomy, Physical Sciences, Physics, P002); Sigitas KUCAS, Dr. (Institute of Theoretical Physics and Astronomy, Physical Sciences, Physics, P002);

Arvydas UDRIS, Dr.(Vilnius Pedagogical University, Physical Sciences, Physics, P002);

Raimundas DAGYS, Dr. hab., Prof.(Institute of Semiconductor Physics, Physical Sciences, Physics, P002) from 1994 09 30 until 1990 11 15;

Official reviewers:

Bronislovas KAULAKYS, Dr. hab. (Institute of Theoretical Physics and Astronomy, Physical Sciences, Physics, P002); Kazimieras GLEMZA, Dr. (Vilnius University, Physical Sciences, Physics, P002);

The thesis is scheduled to be maintained at the State

Institute of Theoretical Physics and Astronomy. Address: Goätauto 12, 2600 Vilnius, Lithuania. Tel. 62 09 47, Fax. 22 53 61.

The thesis summary is posted on

ÄMM0J

Copies of the entire thesis are exposed at the library of the State Institute of Theoretical Physics and Astronomy,

TEORINES FIZIKOS IR ASTRONOMIJOS INSTITUTAS

AuSra Kyniene

DYDZIIJ, SUSIJUSIIJ SU ATOMO PAGRINDINE BUSENA, SIMETRIJA ICETVIRCIO SLUOKSNIO

ATZVILGIU

Daktaro clisertacijos santrauka Fiziniai mokslai, Fizika (P002)

Vilnius, 2000

Darbas atlikías 1994-1999 metáis Teorinés fizikos ir astronomijos institute. Doktorantüros teisé suteikta kartu su Yilniaus pedagoginiu univcrsitctu ir Viltiiaus univcrsitctu 1992.10.07 Lietuvos Rcspublikos Vyriausj-bés nu-tarimu Nr. 739.

Doktorantüros komit ctas:

pirmininkas ir darbo vadovas:

hábil, dr. Romuaidas KARAZIJA (Teorinés fizikos ir astronomijos instituías, fiziniai mokslai, fizika, P002);

nariai:

prof. hábil, dr. Kazimieras PYRAGAS (Vilniaus pedagoginis uni-vorsitetas. fiziniai mokslai, fizika, P002) nuo 199G 11 15; prof. hábil, dr. Zenonas RUDZIKAS (Teorinés fizikos ir astronomijos instituías, fiziniai mokslai, fizika, P002);

dr. Sigitas KUCAS (Teorinés fizikos ir astronomijos instituí as, fiziniai mokslai, fizika, P002);

dr. Arvydas UDRIS (Vilniaus pedagoginis universiteías, fiziniai mokslai, fizika, P002);

prof. hábil, dr. R.aimundas DAGYS (Puslaidininkiij fizikos instituías, fiziniai mokslai, fizika, P002) nuo 1994 09 30 iki 1996 11 15;

oponentai:

hábil, dr. Bronislovas KAULAKYS (Teorinés fizikos ir astronomijos instituías, fiziniai mokslai, fizika, P002);

dr. Kazimieras GLEMZA (Vilniaus universitetas, fiziniai mokslai, fizika, P002);

Disertacija bus ginama viesame doktorantüros komiteto posédyje, kuris jvyks 2000 m. men. ff. d./^val. Teorinés .fizikos ir asíronomijos

insíituto saléje.

Adresas: GoStauto 12, 2600 Vilnius, Lietuva. Tel. 62 09 47, faksas 22 53 61.

Disertacijos sanírauka iSsiysta . m. .. mén.^r'd.

Su disertacija galima susipazinti Teorinés fizikos ir astronomijos instituto bibliotekoje.

Reziumé

Siamo darbe yra pat.cikta atominiij dydzii}, susijusiij su átomo pagrindine büsena, papildomos siraetrijos nuosckli teorine interpretacija. Siam tikslui pasickti yra taikomas spin-poliarizuotas modelis. Nustatyti nauji dydziai, kuricms galioja papildoina siinetrija. Parodyta, kad nagrincjamos simetri-jos nepazeidzia pagrindiniai koreliaciniai efcktai. Gautos naujos algebrinés iäraiSkos dydziams, susijusiams su átomo ar joño pagrindine büsena, kurios atskleidzia sfjrySius tarp ti] dydziij ir jgalina supaprastinti jij skaiciavimus.