Некоторые прямые и обратные теоремы теории приближения в весовых и вариационных метриках

Али Мустафа Баггаш Гаафар

Некоторые прямые и обратные теоремы теории приближения в весовых и вариационных метриках тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Али Мустафа Баггаш Гаафар АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Махачкала МЕСТО ЗАЩИТЫ

2013 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.01 КОД ВАК РФ

Диссертация по математике на тему «Некоторые прямые и обратные теоремы теории приближения в весовых и вариационных метриках»

Автореферат диссертации на тему "Некоторые прямые и обратные теоремы теории приближения в весовых и вариационных метриках"

На правах рукописи

Али Мустафа Баггаш Гаафар

Некоторые прямые и обратные теоремы теории приближения в весовых и вариационных метриках

Специальность 01.01.01 — Вещественный, комплексный и функциональный анализ

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

17 ОКТ 2013

Воронеж — 2013

005535061

Работа выполнена в Дагестанском государственном университете Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор Рамазанов Абдул-Рашид Кехриманович, Дагестанский государственный университет, заведующий кафедрой математического анализа Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, доцент Лобода Александр Васильевич, Воронежский государственный архитектурно-строительный университет, профессор кафедры высшей математики

доктор физико-математических наук, профессор Ляхов Лев Николаевич, Воронежский государственный университет, профессор кафедры математического и прикладного анализа Ведущая организация: Кубанский государственный университет

Защита состоится 12 ноября 2013 года в 15часов 10 минут на заседании диссертационного совета Д 212.038.22 при Воронежском государственном университете по адресу: 394006, Воронеж, Университетская пл., 1, ауд. 333.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Воронежского государственного университета.

Автореферат разослан "20" сентября 2013 года

Ученый секретарь диссертационного

совета Д 212.038.22

Гликлих Ю.Е.

Общая характеристика работы

Актуальность темы. В диссертации рассматриваются оценки производных тригонометрических полиномов в равномерных и интегральных метриках со знакочувствительным весом, имеющие приложения в обратных теоремах теории приближения, и оценки скорости полиномиальных аппроксимаций функций в метриках Ф-варпаций Орлича через различные структурные характеристики.

Систематическому изучению аппроксимаций со знакочувствительным весом начало положили работы Е.П. Долженко и Е.А. Севастьянова.

Знакочувствительным весом на множестве Е С (—оо, +оо) называется упорядоченная пара р(х) = (р-{х),р+(х)) однозначных неотрицательных на этом множестве функций р+(х) и Р-{х).

Знакочувствительный вес р(х) называется непрерывным, ограниченным, суммируемым или периодическим, если таковыми соответственно являются обе функции р+(х) и р_(х). Если функция /(аг) и знакочувствительный вес р(х) определены на данном множестве Е, а функции /+('с) = тах{/(ж),0} и /~(х) = {-/(х))+ означают соответственно плюс-срезку и минус-срезку функции /(а;), то полагают

(/,Р)(х) = /+(х)р+(х) - /~{х)р-(х) и величина

называется р-нормой функции /(х) по множеству Е относительно знакочув-ствительного веса р(х). Для суммируемого на данном отрезке [а, Ь] знако-чувствительного веса р(х) интегральную р-норму измеримой на отрезке [а, 6]

функции fix) определим равенством

ll/fP = ll/lp.M = Ґ[/+(х)р+(х) + f-(x)pjx)]dx.

В случае ограниченного на множестве Е знакочувствительного веса р(х) легко показать, что р-норма | • \р е является сублинейным (т.е. неотрицательным, выпуклым и однородным) функционалом на множестве всех ограниченных на Е функций f(x).

При р-(х) = р+ (х) = 1, очевидно, равномерная р-норма |/|Рід любой ограниченной на множестве Е функции /(х) совпадает с ее обычной супремум-нормой ІІ/Ц = 11/Цв = sup{|/(x)| : х Є Е}, а интегральная р-норма ||/|р,[„.<>; любой суммируемой на отрезке [а, 6] функции }(х) совпадает с ее обычной интегральной нормой ||/||£ = J*\f(x)\dx.

Сублинейные функционалы D(f), для которых D(f) = 0 лишь при / = О, в качестве масштабных функций выпуклых тел ввел Г. Минковский. Такие функционалы в качестве несимметричных норм рассматривали М.Г. Крейн и A.A. Нудельман. Эти нормы соответствуют случаю р-нормы относительно непрерывных и строго положительных на данном отрезке Е = [а, 6] функций р-(х) и р+(х). В работах В.Ф. Бабенко и Н.Э. Симоновой. Б.В. Симонова изучен вопрос существования полинома наилучшего приближения для несимметричных интегральных метрик относительно знакочувствительного веса со строго положительными компонентами. В работах А.-Р.К. Рамаза-нова получены некоторые прямые и обратные теоремы теории приближения со знакочувствительным весом посредством полиномов и рациональных дробей, дана характеризация полинома наилучшего приближения непрерывной функции относительно произвольного знакочувствительного веса. В работах А.И. Козко изучены некоторые вопросы теории приближения относительно несимметричных норм, обобщающих р-нормы.

Оставались актуальными вопросы об оценках производных полиномов в интегральных р-метриках относительно произвольных суммируемых знако-чувствительных весов, а также об обратных теоремах теории приближения в метриках знакочувствительных весов, которые рассматриваются в первой главе работы.

Общеизвестна роль класса функций ограниченной вариации и класса абсолютно непрерывных функций в современном анализе. Л. Юнг, И. Музелак н В. Орлич ввели более общие классы функций, сохраняющих многие из важнейших свойств функций ограниченной вариации или абсолютно непрерывных функций.

Такие, классы функций определяются относительно т.н. допустимых функций Ф(и), которые считаются непрерывными, неубывающими и выпуклыми вниз на промежутке [0,+оо), причем Ф(0) = 0.

Обобщенной вариацией или Ф-вариацией по Орличу относительно допустимой функции Ф{и) функции f(x), определенной на данном отрезке [а, 6], называется следующая величина:

Уф (Л = Уф(/,М) = sup£> (|/(Xi) - /(Xi-l)l) , Т tt

где супремум берется по всем разбиениям Т : а — хо < Xi < ... < х,„ = b отрезка [а, 6] и m = 1,2,...

Если Уф(/, [а, Ь]) < оо, то говорят, что / € Уф [а, Ь] или, короче, /еУф. Если Уф , [a,b]J < оо при некотором У > 0, то пишут / G Уф [а, ft] или

/ € Уф*.

Функция f(x) называется Ф-абсолютно непрерывной на отрезке [а,Ь] и пишут / е ЛСф[я,Ь], если для любого е > 0 найдется такое S > 0. что

1П

X) Ф (| f(Xi) - /(xf_i)|) < £ ДЛЯ всякой конечной системы иеперекрывающих-i=1

1Г>

ся интервалов (сц, Pi) С [а, Ь] с $2 ~ а») <

1=1

В случае Ф(ы) = ир (р > 1) Ф-абсолютно непрерывные функции ранее рассматривал Лав. а в случае Ф(и) = и получаем обычные абсолютно непрерывные на данном отрезке [а, 6] функции f(x).

Для / 6 Уф = Уф [а, 6] норму можно ввести следующим образом:

\\fhv = ll/lkv.M = inf |у > 0 : Уф [а, < l|

п при этом два элемента /ь /2 £ Уф равны между собой, если Мх) - /2{х) = const (х б [а,Ъ]).

При 5 > 0 положим

V*(6, f) = V*(ô, /, [а, Ь]) = sup V Ф (|f(Xi) - /(ц-ОЮ,

где супремум берется по всем Т : а = х0 < Xi <■■■< хт = b

(то = 1,2,...), для которых |Г| = maxjxi - : i = 1,2,..., то} < S.

Б.И. Голубов ввел величину

W*(<5, /) = ИШ /, [а, 6]) = inf > 0 : (б, £ [а, 6]) < 1 j (S > 0)

и для классов Ф-абсолютно непрерывных функций относительно метрики Ф-вариаций Орлича получил критерии компактности. При допустимой функции Ф(?г) = и? (р > 1) эту величину ввела Л. Юнг, а в полиномиальных аппроксимациях периодических функций систематически использовали А.П. Те-рехин, С.С. Волосивец. Некоторые из свойств модуля Ф-абсолютной непрерывности \Уф(?>, /) в случае допустимых функций Ф(и) общего вида изучены А.-Р.К. Рамазановым.

Можно

показать, что любая непрерывная на данном отрезке [g, 6] функция f(x) принадлежит одному из классов Уф[а,Ь] С 6]. Естественно, возникает вопрос об оценке скорости приближения непрерывных функций полиномами по норме пространства 1ф[а,Ь] в случае допустимых функций Ф(и) общего вида. Такая оценка через модуль Ф-абсолютной непрерывности ЩЛ (первого порядка) была получена А.-Р.К. Рамазановым.

Оставалась открытой задача определения модулей Ф-абсолютной непрерывности высших порядков и оценки через них скорости полиномиальной аппроксимации непрерывных функций в Ф-метрике. Эта задача изучается во второй главе работы.

Цель работы. Для равномерных и интегральных полунорм относительно знакочувствительных весов получить аналоги неравенства С.Н. Бернштейна об оценке нормы производной полинома. Для полунорм относительно ограниченного знакочувствительного веса получить аналог обратной теоремы С.Б. Стечкина об оценке модуля непрерывности периодических функций.

Для метрики Ф-вариаций Орлича оценить скорость приближения функции через ее модули Ф-абсолютной непрерывности высших порядков.

Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми

и заключаются в следующем.

1. Для равномерных полунорм относительно знакочувствителытого веса с заданным колебанием получен аналог неравенства С.Н. Бернштейна об оценке нормы производной тригонометрического полинома. Доказана точность полученной оценки на классе тригонометрических полиномов каждого наперед заданного порядка и при каждом наперед заданном значении колебания веса.

2. Получена оценка (аналог неравенства Л. Зигмунда) для интегральной полунормы производной тригонометрического полинома относительно зна-кочувствительного веса с заданным интегральным модулем непрерывности веса.

3. Получена оценка (аналог обратной теоремы С.Б. Стечкина) модуля непрерывности ограниченной 27Г-периодической функции относительно зна-кочувствительного веса через скорость полиномиального приближения этой функции в метрике знакочувствнтельного веса.

4. Даны оценки наименьших полиномиальных уклонений в метрике Ф-вариаций Орлича через различные структурные характеристики приближаемой функции: модули Ф -абсолютной непрерывности, модули <1> - гладкости и смешанные модули непрерывности (в каждом случае — любого наперед заданного порядка).

Методы исследования. В работе применяются методы теории функций вещественной переменной и функционального анализа. В частности, для получения основных результатов применены интерполяционная формула М. Рисса, метод разделения полунепрерывных функций посредством непрерывных, а также известные числовые и функциональные неравенства. При этом особенности полунорм относительно знаконувствительньтх весов играют существенную роль в нестандартности получаемых результатов и подходов доказательства этих результатов.

антенн, теории фильтрации, квадратурных формулах, теоремах вложения, при оценках е-энтрошш и поперечников компактных классов функций.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на международных и всероссийских конференциях: Функционально-дифференциальные уравнения и их приложения (Махачкала, сентябрь 2011 г.), Научная инициатива, иностранных студентов и аспирантов российских вузов (Томск, апрель 2013 г.), Современная наука и молодежь (Махачкала, май 2013 г.); на ежегодных научных конференциях Дагестанского государственного университета (апрель 2012 г., апрель 2013 г.), на научном семинаре Отдела математики и информатики Дагестанского научного центра РАН под руководством проф. И.И. Шарапудннова.

Результаты диссертации также неоднократно докладывались на научном семинаре кафедры математического анализа Дагестанского государственного университета.

Публикации. Содержание диссертации опубликовано в 8 работах [1]-[8]. Работы [1], [3]-[6] опубликованы в журналах из перечня рецензируемых научных журналов и изданий, рекомендованных ВАК Минобрнауки РФ. В совместных работах [1]-[4] научному руководителю А.-Р.К. Рамазанову принадлежит постановка задач и общее руководство работой, в работе [4] В.Г. Ма-гомедовой принадлежит выбор методики исследований. Автору диссертации принадлежит реализация методик с доказательством соответствующих результатов.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, двух глав, разбитых на восемь параграфов, и списка литературы.

Объем работы составляет 95 страниц, библиография — 48 наименований.

Содержание работы

Во введении дается общая характеристика работы, излагается история вопроса и приводится обзор результатов диссертации по главам и параграфам.

В параграфе 1.1 приводятся основные определения и обозначения, касающиеся равномерных и интегральных метрик относительно знакочувствитель-ных весов.

В параграфе 1.2 получен один аналог неравенства С.Н. Бернштейна об

оценке производной полинома для супремум-нормы со знакочувствительнътм весом. В этих оценках в общем случае ограниченного 27г-периодического зна-кочувствителыюго веса р(х) — (р-(х),р+(х)) важную роль играет следующая характеристика, введенная Е.П. Долженко и Е.А. Севастьяновым.

Свободой системы "Знакочувствительный вес р(х) — Множество тригонометрических полиномов т„ порядка п" называется величина

Используется также полное колебание веса П(р) = тах{П(р_), Г2(р+)}, где П(рт) = вир {|р=р(ж) - рТ(у)| : х, у € (-оо, +оо)} .

Имеет место следующая

Теорема 1.1. Для ограниченного 2-кпериодачсского зилкочувствитель-ного веса. р(х) = (р-(х),р+(х)) и любого тригонометрического полинома, Тп(х) порядка п (п = 0,1,... ) с действительными коэффициентами при любых возможных значениях полного колебания веса 0 ^ П = П(р) < оо и любых возможных значениях свободы системы "Знакочувствительный вес р(х) — Множество тригонометрических полиномов т„ порядка п" 0 < IV = И (р,тп) < оо выполняется неравенство

Точность полученной оценки (1) вытекает из следующего утверждения.

Теорема 1.2. Пусть даны числа 0 < П < со и 0 < IV < оо. Тогда при любом заданном п (п = 1,2,...) существует ограниченный 2тт -псриодичсскин знакочувствительный вес р(х) = (р^(х),р+(х)) и тригонометрический полином Т„ е тп такие, что Я(р) = О, IV(р, т„) = IV и выполняется равенство

Отметим, что отдельно показана точность оценки (1) в случае ограниченных знакочувствительных весов р(х), для которых IV = Ш(р,тп) = оо (п = 1,2,...) или для которых П = Г2(р) = 0; для ограниченных знакочувствительных весов р(х) всегда IV(р, тп) > 0 и П(р) < оо.

\ГП\Р ^ п(1 + ЯМГ) тах{|Гп|р,1 - Т„|р} .

(1)

\Т'Х = п(1 + Ш') тах{|Тп|р, | - Тп|р} .

В параграфе 1.3 получены оценки производных тригонометрических полиномов в интегральной метрике со знакочувствительным весом.

Как известно, для данной 27г-периодической функции д(х) равномерный и интегральный модули непрерывности определяются при <5^0 соответственно равенствами

ш(5,д) = cj(6,g)Lo° = = sup {sup vrai {Ig(x + h) - g(x)\ : 0 < x ^ 2л) : 0 ^ h ^ <5} ;

= sup|Qf \д(х + к)-д(х)\Чх^ : 0 ^ h ^ ¿j, 1 < r < oo.

Равномерный и интегральный модули непрерывности данного 27Г-периоднческого знакочувствительного веса р(х) = (р-(х),р+(х)) определяются при S ^ 0 соответственно следующими равенствами:

и{б,р) =w(S,p)Lос = max (w(¿,p_), ш(5,р+)} ,

u{S,p)Lr = max{w(ó,p-)Lr,w(fi,p+)Lr} . Будем придерживаться также обозначений

\\fhr=(Jo |/(s№) l^r<oo; \\f\\L<x. = vrai sup {|/(ж)| :x£ (—oo,+oo)} . Тогда имеет место

Теорема 1.3. Для 2тт-периодического знакочувствительного веса. р(х) = (р-(х),р+(х)) с ||p±||¿, < oo (1 ^ г ^ оо) и любого тригонометрическо-

го полинома. Tn(x) = üq + J2 cos кх + b¡: sin кх порядка n (n = 3,4,...)

fc=i

с действительными коэффициентами ao, a^, b¡¿ (к = 1.2,..., n) выполняется неравенство

И, < птах {||Тп|р, || - Тп\р} + МШ (ïp)^ (ЦГ+IU, + ||T-¡|¿,) ,

11 2 1

где - + - = 1, M = — nlnn + Хпп, - < А„ < 3.

г s 7t¿ 3

Следствие. В условиях теоремы 1.3 при любом к = 1,2,... выполняется неравенство

max {||7f >|р> II - Tf'lp} < пк max {||Гп|р, || - Тп\р} +

+2Mknk~lú) (—,p) Ш\L-\n / v

(значения параметров M. r, s те же, что и в теореме 1.3).

В параграфе 1.4 получена одна обратная теорема теории приближения периодических функций с ограниченным знакочувствительным весом.

Для определенной на, отрезке А функции д(х) и числа с положим А(д ) с) = {i € А : д{х) > с}; аналогично определяются множества А(д > с). Д(<? < с). А{д < с).

Для веса р(х) = (р_(ж),р+(а;)), заданного на отрезке Д, и числа е > О определим множества Д+= Д+(е) = А(р+ ^ г), Д_= Д-(е) = Д(р- ^ с), а через Де обозначим пересечение их замыканий Д_ П Д+.

Если функция f(x), х G Д, при заданном е > 0 ограничена сверху на множестве Д_ и снизу на Д+. то положим

М(а, ß) = sup {/(ж):а:€ [а, ß]ПД_}, т(а, ß) = inf {f(x) :1£[а,/3]ПД+} и определим функции М_(х,е) = Y\m^M{x — 5,х + 6), х £ Д_; т+(х,£) = lim т(х — 5,х + S), х € Д+.

Для ограниченных на отрезке Д веса р{х) = (р-(х).р+(х)) и функции f(x) определим относительно чисел е семейство модулей непрерывности, полагая и>€(f,p,S) = sup(M-(x,e) - т+(у,е))+, где супремум берется при - у| < 5 (S ¡í 0) по всем х е Д_ и у е Д+. Считаем величину w£(/,p, 5) доопределенной нулем при 8 € [0, d), если (Ш(Д_,Д+) = d > 0, причем равной нулю тождественно, если хотя бы одно из множеств Д_ и Д+ пусто.

Пусть ft = {а>г(<5)} — семейство таких функций, что при каждом е > 0 функция ш£(5) является модулем непрерывности, а при каждом S > 0 она не возрастает по е > 0. причем для заданного отрезка Д при всех достаточно малых £ > 0 величина ws(h — а) < 1.

Теорема 1.4. Если для 2-к-периодической ограниченной функции f(x) при каждом п = 0,1,... найдется е(п) > 0 такое, что для каждого £ G (0, е(п)) существует тригонометрический полипом Тп(х) порядка не выше п я функция uj£(ö), для которых при А = [0,2л-] и некоторой константы С = const > 0 выполняются неравенства

IТп - /\рА < ,

f(x) $г Tn(x) - Сш

f(x) < Тп{х) + Си;

х е Д_,

х 6 Д+,

то для каждого 8 > 0 найдется е(5) > 0 такое, что для всех е £ (0, е(б)) выполняется неравенство

где С\ = max{16C, 64CWтах{1, ||р||д}}, W = W(р,тп)' — свобода системы "Знакочувствительный вес р(х) — Множество тригонометрических полиномов т„ порядка, п".

Во второй главе даны оценки наименьших полиномиальных уклонений в метрике Ф-вариаций Орлича. т.е. в случае непрерывных на. отрезке [а, 6] функций f(x) величины V&En(f, [а, Ь]) = inf ||/ — Р||фу,[о,ь] (инфимум берется по множеству всех алгебраических полиномов Р(х) степени не выше п (п = 0,1,... ) с действительными коэффициентами) и в случае 27г-периоди-ческих непрерывных функций f(x) величины V$En(f) = inf ||/ — <3||$V,[-ir.7r) (инфимум берется по множеству всех тригонометрических полиномов Q(x) порядка не выше п (п = 0,1,...) с действительными коэффициентами) через различные структурные характеристики приближаемой функции: модули Ф-абсолютной непрерывности, модули Ф-гладкости и смешанные модули непрерывности. Если одни из этих характеристик нужны в различных вопросах анализа, в частности, теоремах вложения как сравнительно простые для нахождения или оценки структурные характеристики непрерывных функций, то другие играют важную роль, например, при разбиении непрерывных функций на компактные классы в пространстве функций обобщенной вариации по Орличу. а также для оценки s-энтропии пли поперечников таких классов.

В параграфе 2.1 приводятся основные определения и обозначения, касающиеся метрики Ф-вариаций Орлича.

В параграфе 2.2 получены оценки наименьших полиномиальных уклонений непрерывных функций в метрике Ф-вариаций Орлича через модули Ф-абсолютной непрерывности высших порядков.

Пусть Ф(и) — данная допустимая функция, функция / Є V¿[a,b], г —

данное натуральное число, Arh{f,x) = ¿(-l)r~fcCrfc/(* + kh) - конечная

к=О

разность порядка г с шагом /і.

Определим модуль Ф-абсолютной непрерывности порядка г функции f(x) при (5^0 следующим равенством: W¡¿ \б, /) = /, [а, !>]) =

= sup inf jw > 0 : 8ир|^Ф ^ |Afc(/,ií) - A/,(/>z¿-i)l) < 1 j і

здесь внутри фигурных скобок супремум берется по всем разбиениям а = zo < xi < • • • < хт = Ь (т = 1,2,...) таким, чтобы при каждом шаге h с |Л| < S разности Arh(f, x¡) (i = 0,1,2,..., т) имели смысл; внешний супремум берется по всем таким значениям шага, h, что |/i| ^ д.

Для 27г-периодической функции / Є Уф - V¿[—л",7г] ее модуль Ф-абсолютной непрерывности w£\ó,f) = w£\5,f, [—тг, 7г]> порядка г = 1,2,... определяется вполне аналогично.

Теорема 2.1. Если для данной допустимой функции Ф (и) 2тт-периодическая функция / Є то при всех натуральных n > г выполняется неравенство

V»En(f) < MrWÍr) (-Jj ;

здесь коэффициент Mr > 0 не зависит от п и /. но может зависеть от г. причем Ml < 14 (I)7 (при г = 1), а при г 2

Следующее утверждение дает оценку наименьших уклонений непрерывной на отрезке [—1,1] функции f(x) от алгебраических полиномов степени не выше 71 (п > 2) через модуль Ф-абсолютной непрерывности второго порядка индуцированной функции ip(t) = /(cosí) {<р = Snd/); результат легко распространяется на произвольный конечный отрезок [а, Ь].

Теорема 2.2. Если для допустимой функции Ф(ы) функция f Є І'ф [—1,1], то при всех натуральных п > 2 выполняется неравенство

V*En(f, [-1,1]) < liwf Qndfj .

В параграфе 2.3 для непрерывных функций получена оценка модуля Ф-абсолютной непрерывности данного произвольного натурального порядка г через модуль Ф-гладкости порядка г. При определенных ограничениях получена также оценка модуля Ф-гладкости порядка г через обычный равномерный модуль гладкости порядка г. Эти оценки посредством теорем 2.1 и 2.2 позволяют получить оценки наименьших полиномиальных уклонений V$En(f, [а, 6]) и V$En(f) через модули Ф-гладкостн и модули гладкости (порядков г).

Пусть Ф(и) — данная допустимая функция, f(x) непрерывна на некотором отрезке [а, 6] или является 2тг-периодической непрерывной (и тогда считаем [а, 6] = [ 7г, 7г]). Модулем Ф-гладкости порядка г (г = 1,2,...) функции f(x) назовем величину

ИЪ.г№ /) = sup W*(\h\, ДJ"1/) (6 ^ 0).

Теорема 2.3. Пусть для данной допустимой функции Ф(и) непрерывная функция / €

на данном отрезке [а, 6] или на отрезке [—тг, тг] в случае '2л-периодической функции f(x). Тогда при каждом г = 1,2,... и всех 6^0 выполняется неравенство

wir}(S,f) < 2W*X{8J).

Теорема 2.4. Пусть функция д(х) непрерывна на отрезке [0, 6] (6 > 0), дифференцируема г раз (г = 1,2,...)

на (0, 6), |</г'(:т)| не возрастает, д^{х) сохраняет знак и является суммируемой на [7, Ь] при любом 0 < у < Ь,

отношение-д ...-не убывает относительно t е (0,Ъ - х)

ф-1 (|)

при каждом фиксированном х £ (0,6). Тогда И ф]Г (<$,<?) < M^'jf'^, где

Ф 1(о)

М = тах{1,6}, 0 < S ^ -.

В параграфе 2.4 для 2 тг-периодических непрерывных функций введена более простая по структуре характеристика, чем модули Ф-абсолютной непрерывности и модули Ф-гладкости, а именно смешанные модули непрерывности. Получена также оценка модулей Ф-гладкости данной 2тг-периодической непрерывной функции через ее смешанные модули непрерывности.

Пусть функция f(x) является непрерывной 2тг-периодической и пусть г — данное натуральное число, a h и г — любые действительные числа. Рассмотрим смешанную конечную разность вида

Тогда смешанным модулем непрерывности порядка (1,г) функции f(x) назовем величину

wi,r(/,5) = 8ир{|Д1ДИЛ*)1 : Н} < S'x е I-т^]} ,6><>-

Теорема 2.5. Пусть для длиной допустимой функции Ф(м) непрерывная 2тт-периодическая функция f € п пусть г — данное натуральное число.

Если отношение ^'^/'f} представляет собой неубывающую функцию при ф-1{6)

6 > 0, то имеет место неравенство

W^J)^^^- (S> 0).

Публикации автора по теме диссертации

[1] Али М.Б. Г. Оценка производной тригонометрических полиномов в интегральной метрике со знакочувствительным весом / А.-Р. К. Рамазанов. М. Б. Г. Али // Вестн. Дагестанского гос. унив. Естеств. науки. 2011. Вып. 1. С. 51-54.

[2] Али М. Б. Г. Оценка производной полиномов в интегральной метрике с весом / А.-Р. К. Рамазанов, М. Б.Г.Али // Материалы V Междунар. копф. "Функц.-диф. ур-я и их приложения". Махачкала. 2011. С. 201-203.

|3| Али М. Б. Г. Об одной обратной теореме теории приближения со мпикочувгтвитель-ным весом / А.-Р. К. Рамазанов, М.Б. Г. Али // Вестн. Дагестанского гос. унив. Естеств. науки. 2012. Вып. Г.. С. 81-85.

[4] Али М.Б.Г. Оценка скорости полиномиальных аппроксимаций функций в вариационных метриках через различные структурные характеристики / А.-Р. К. Рамазанов, В.Г.Магомедова, М. Б.Г.Али // Вестн. Дагестанского гос. унив. Естеств. науки. 2013. Вып. 1. С. 68-79.

[51 Али М.Б.Г. Оценки интегральных полунорм производных тригонометрических полиномов относительно знакочувствительного веса/ М.Б. Г. Али // Журн. В мире научных открытий. Серия Математика. Механика. Информатика. Красноярск, №6 (42), 2013. С. 83-99.

|6] Али M. Б. Г. Оценки полиномиальных приближений в метриках вариаций через модули гладкости/ М. Б. Г. Али // Журн. Мониторинг. Наука п технологии. Махачкала, 2013. №2 (15). С. 94-98.

[7] Али М. Б. Г. К обратной теореме теории приближения: аналог теоремы С.Б. Стечки-на/ М.Б.Г.Али // Матер. VI Всероссийской научно-практической конф. "Научная инициатива иностранных студентов и аспирантов российских вузов". Томск, 2013. С. 46-48.

(8) Али М. Б. Г. Оценки полиномиальных уклонений через модули Ф-абсолютной непрерывности высших порядков / М. Б. Г. Али // Матер. Междунар. молодежной научной конф. "Современная наука и молодежь". Махачкала, 2013. С. 284-285.

Работы [1], [3]—[G] опубликованы в журналах из перечня рецензируемых научных журналов и изданий, рекомендованных ВАК Ыинобрнауки РФ.

Подписано в печать 18.09.2013 г. Формат 60x84 1/16. Бумага офсетная. Усл. печ. л. 1,0. Тираж 100 экз.

Отпечатано в типографической лаборатории факультета журналистики ВГУ 394068, Воронеж, Хользунова, 40-а Тел. (473) 274-52-71

Текст научной работы диссертации и автореферата по математике, кандидата физико-математических наук, Али Мустафа Баггаш Гаафар, Махачкала

Дагестанский государственный университет

па правах рукописи

04201363115

Али Мустафа Баггаш Гаафар

Некоторые прямые и обратные теоремы теории приближения в весовых и вариационных метриках

специальность 01.01.01 — вещественный, комплексный и функциональный анализ

Диссертация па соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель д.ф.-м.и. Рамазанов А.-Р.К.

Махачкала 2013

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение.............................. 3

Глава 1. Оценки производных полиномов в метриках

со знакочувствительным весом ........... 21

1.1. Знакочувствителъный вес. Основные определения и обозначения ........................... 21

1.2. Один аналог неравенства С.Н. Бернштейна об оценке производной полинома для супремум-нормы со знакочувствительным весом...................... 24

1.3. Оценки производных тригонометрических полиномов в интегральной метрике со знакочувствительным весом . . 36

1.4. Об одной обратной теореме теории приближения с ограниченным знакочувствительным весом .......... 48

Глава 2. Оценки полиномиальных приближений в метриках вариаций через различные структурные характеристики функций ................. 57

2.1. Основные понятия и обозначения............. 58

2.2. Оценки через модули Ф-абсолютной непрерывности . . 63

2.3. Оценки через модули Ф-гладкости ............ 73

2.4. Оценки через смешанные модули непрерывности .... 83

Список литературы....................... 91

Введение

Актуальность темы. В диссертации рассматриваются оценки производных тригонометрических полиномов в равномерных и интегральных метриках со знакочувствительным весом, имеющие приложения в обратных теоремах теории приближения, и оценки скорости полиномиальных аппроксимаций функций в метриках Ф-вариаций Орлича через различные структурные характеристики.

К возникновению и развитию нового направления теории приближения функций в метриках со знакочувствительным весом привели, в частности, нестандартные задачи о приближении данной функции другими функциями с различной степенью точности и различным знаком уклонения на разных участках области приближения. В качестве примера приведем актуальную проблему аппроксимации диаграммы направленности антенны с высокими требованиями к погрешности приближения снизу на участке главного лепестка, умеренными требованиями к погрешности приближения сверху на участках ближних боковых лепестков и незначительными требованиями к абсолютной погрешности на дальних лепестках. Аналогичные задачи возникают также в теории фильтрации, квадратурных формулах. Аппроксимациями со знакочув-свительным весом как частные случаи охвачены аппроксимации с обычным весом, одностронние и кусочно-односторонние аппроксимации, аппроксимации с интерполяцией в наперед заданных точках.

Систематическому изучению аппроксимаций со знакочувствительным весом начало положили работы Е.П. Долженко и Е.А. Севастьянова ([13]-[17], [31|).

В частности, для этих аппроксимаций ими введены основные понятия и изучены вопросы существования, единственности и устойчивости элемента наилучшего приближения.

Знакочувствительным весом на множестве Е С (—оо, +оо) называется упорядоченная пара р(х) = (р^(х),р+(х)) однозначных неотрица-

тельных на этом множестве функций р+(х) и р~(х).

Знакочувствительный вес р(х) называется непрерывным, ограниченным, суммируемым или периодическим, если таковыми соответственно являются обе функции р+(х) и р~(х).

Если функция /(х) и знакочувствительный вес р{х) определены на данном множестве Е С (—оо, +оо), а функции

/+(£) = тах{/(х),0} и Г(х) = (-/(*))+

означают соответственно плюс-срезку и минус-срезку функции /(х). то полагают

и,р)(х) = /+(х)р+(х) - Г(х)р_(х)

и величина

\1\Р=и\Р,Е = вирШр)(х)\:хеЕ} называется р-нормой функции /(х) по множеству Е относительно зна-кочувствительного веса р{х).

Для суммируемого на данном отрезке [а,Ь] С (—оо,+оо) знакочув-ствителыюго веса р(х) интегральную р-норму измеримой на отрезке [а, 6] функции ${х) определим равенством

11/1? = \\fUM = [ [/+(х)р+(х) +Г(х)р-{х)]вл\

^ а

величина ||/|р конечна, если функции-срезки /+(ж) и ¡~{х) суммируемы на отрезке [а, Ъ] относительно весовых функций р+(х) и р-(х) соответственно.

В случае ограниченного на множестве Е знакочувствительного веса р{х) легко показать, что £>-норма | • ^ является сублинейным (т.е. неотрицательным, выпуклым и однородным) функционалом на множестве всех ограниченных на Е функций /(х).

При р~(х) = р+(х) = 1, очевидно, равномерная р-ко\ш& \/\РгЕ любой ограниченной на множестве Е функции f(x) совпадает с ее обычной супремум-нормой

№\Е = *ир{\Пх)\:хеЕ},

а интегральная р-норма \\/\Р;[а,ь} любой суммируемой на отрезке [а, Ь] функции /(х) совпадает с ее обычной интегральной нормой

Сублинейные функционалы -D(/), для которых D(f) = 0 лишь при / = 0, в качестве масштабных функций выпуклых тел ввел Г. Мин-ковский ([37]). Такие функционалы в качестве несимметричных норм рассматривали М.Г. Крейн и A.A. Нудельман ([22]). Эти нормы соответствуют случаю р-нормы относительно непрерывных и строго положительных на данном отрезке Е = [а, Ь] функций р~(х) и р+(х).

В работах В.Ф. Бабенко ([1]) и И.Э. Симоновой, Б.В. Симонова ([32]) изучен вопрос существования полинома наилучшего приближения для несимметричных интегральных метрик относительно знакочувствитель-ного веса со строго положительными компонентами.

В работах А.-Р.К. Рамазанова ([23] [30]) получены некоторые прямые и обратные теоремы теории приближения со знакочувствительным весом посредством полиномов и рациональных дробей, дана характери-зация полинома наилучшего приближения непрерывной функции относительно произвольного знакочувствительного веса.

В работах А.И. Козко ([18]—[21]) изучены некоторые вопросы теории приближения относительно несимметричных норм, обобщающих р нормы.

Оставались актуальными вопросы об оценках производных полиномов в интегральных р-метриках относительно произвольных суммируемых знакочувствительных весов, а также об обратных теоремах теории приближения в метриках знакочувствительных весов.

Общеизвестна роль класса функций ограниченной вариации и класса абсолютно непрерывных функций в современном анализе. JI. Юнг ([40]), И. Музелак и В. Орлич ([38]) ввели более общие классы функций, сохраняющих многие из важнейших свойств функций ограниченной вариации или абсолютно непрерывных функций.

Такие классы функций определяются относительно т.н. допустимых функций Ф(и), которые считаются непрерывными, неубывающими и выпуклыми вниз на промежутке [0, -Ьоо), причем Ф(0) = 0.

Обобщенной вариацией или Ф-вариацией по Орличу относительно допустимой функции Ф(п) функции f(x), определенной на данном отрезке [а, 6], называется следующая величина:

771

Уф(Л = [а, Ъ]) = sup V Ф (I ДО - Яач-i)|),

где супремум берется по всем разбиениям

Т := а = Xq < Х\ < ■ • ■ < xm = b

отрезка [а, Ь] и т = 1, 2,...

Если [а, Ь]) < оо, то говорят, что функция f(x) имеет конечную

Ф-вариацию на отрезке [a, b] и пишут / G Уф [а, Ь] или f Е Уф (когда из контекста ясно, о каком отрезке [а,Ь] идет речь).

Если Уф i^y, [a, b]j < оо при некотором У > 0, то пишут / G Ъ] или / G V^.

Функция f(x) называется абсолютно непрерывной относительно допустимой функции Ф(и) или Ф-абсолютно непрерывной на отрезке [а, Ь\ и пишут / G АСф[а, Ь], если для любого £ > 0 найдется такое <5 > 0, что

tri i=i

для всякой конечной системы неперекрывающихся интервалов

(.аг, ß%) с [а, 6] с X) Ф(А - < ¿=1

В случае Ф(и) = ир (р > 1) Ф-абсолютно непрерывные функции ранее рассматривал Лав ([36]), а в случае Ф(п) = и получаем обычные абсолютно непрерывные на данном отрезке [а, Ь] функции f(x).

В пространстве V^ = Уф[а.Ь] норму можно ввести следующим образом: для f Е Уф полагаем

WfUv = 11/IUv.M = inf > 0 : Уф (I, [а,Ь]) < 1 j

и при этом два элемента /1, /2 Е V^ равны между собой, если fi(x) — /2(2) = const (х Е [а,Ь]).

В силу выпуклости Ф(и) на [0, +оо) пространство V£ с нормой || • \\фу полное, но, вообще говоря, несепарабельное ([38]).

Метрика в порожденная нормой || • \\фу, называется метрикой Ф-вариаций Орлича.

При 6 > 0 положим

v*(6, /) = V*(6, /, [а, 6]) = sup V Ф (1/(10 - f{xi-i)\),

iwfcf

где супремум берется по всем конечным разбиениям Т : а = хо < Х\ < • • • < xm = b (га = 1, 2,...), для которых

|Т| = maxjx,; — £¿-1 : i = 1, 2,..., т} ^ 5.

Считаем, что

УФ(0,/)= lim (SJ).

ö—>+О

Б.И. Голубов ([10]) ввел величину

w*(6, f) = /, [а, 6]) = Inf |V > 0 : (б, [а, 1 j (5 ^ 0)

и для классов Ф-абсолютно непрерывных функций относительно метрики Ф-вариаций Орлича получил аналоги критериев компактности М. Рисса и А.Н. Колмогорова. При допустимой функции Ф(и) — ир (р > 1) эту величину ввела J1. Юнг ([39]), а в полиномиальных аппроксимациях периодических функций систематически использовали А.П. Тере-хин ([33], [34]), С.С. Волосивец ([3], [4]). Некоторые из свойств модуля Ф-абсолютной непрерывности в случае допустимых функций

Ф(и) общего вида изучены А.-Р.К. Рамазановым ([25]).

Можно показать, что любая непрерывная на данном отрезке [а, Ь] функция f(x) принадлежит одному из классов Уф [а. Ь] С V£[a,b]. Естественно, возникает вопрос об оценке скорости приближения непрерывных функций полиномами по норме пространства V£[a,b] в случае до-

пустимых функций Ф(и) общего вида. Такая оценка через модуль Ф-абсолютной непрерывности №'ф(5,/) (первого порядка) была получена А.-Р.К. Рамазановым ([26]).

Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми и заключаются в следующем.

1. Для равномерных полунорм относительно знакочувствительного веса с заданным колебанием получен аналог неравенства С.Н. Бернштейна об оценке нормы производной тригонометрического полинома. Доказана точность полученной оценки на классе тригонометрических полиномов каждого наперед заданного порядка и при каждом наперед заданном значении колебания веса.

2. Получена оценка (аналог неравенства А. Зигмунда) для интегральной полунормы производной тригонометрического полинома относительно знакочувствительного веса с заданным интегральным модулем непрерывности веса.

3. Получена оценка (аналог обратной теоремы С.Б. Стечкина) модуля непрерывности ограниченной 27Г-периодической функции относительно знакочувствительного веса через скорость полиномиального

приближения этой функции в метрике знакочувствительного веса.

4. Даны оценки наименьших полиномиальных уклонений в метрике Ф-вариаций Орлича через различные структурные характеристики приближаемой функции: модули Ф-абсолютной непрерывности, модули Ф-гладкости и смешанные модули непрерывности (в каждом случае — любого наперед заданного порядка).

Методы исследования. В работе применяются методы теории функций вещественной переменной и функционального анализа. В частности, для получения основных результатов применены интерполяционная формула М. Рисса, метод разделения полунепрерывных функций посредством непрерывных, а также известные числовые и функциональные неравенства. При этом особенности полунорм относительно знакочувствительных весов играют существенную роль в нестандартности получаемых результатов и подходов доказательства этих результатов.

Теоретическая и практическая ценность. Результаты работы носят теоретический характер. Они могут быть использованы в теории приближения функций для получения новых прямых и обратных теорем, в теории антенн, теории фильтрации, квадратурных формулах, теоремах вложения, при оценках ^-энтропии и поперечников компактных классов функций.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на международных и всероссийских конференциях: Функционально-дифференциальные уравнения и их приложения (Махачкала, сентябрь 2011 г.), Научная инициатива иностранных студентов и аспирантов российских вузов (Томск, апрель 2013 г.), Современная наука и молодежь (Махачкала, май 2013 г.); на ежегодных научных конференциях Дагестанского государственного университета (апрель 2012 г., апрель 2013 г.), на научном семинаре Отдела математики и информатики Дагестанского научного центра РАН под руководством проф. И.И. Шарапудинова.

Публикации. Содержание диссертации опубликовано в работах [41]-[48], из которых 5 работ являются публикациями в журналах из перечня рецензируемых научных журналов и изданий, рекомендованных ВАК Минобрнауки РФ. В совместных работах [41]-[44] научному руководителю А.-Р.К. Рамазанову принадлежит постановка задач и общее руководство работой, в работе [44] В.Г. Магомедовой принадлежит выбор методики исследований. Автору диссертации принадлежит реализация методик с доказательством соответствующих результатов.

Объем работы составляет 95 страниц,, библиография — 48 наименований.

Содержание работы

Первая глава посвящена оценкам равномерных и интегральных полунорм производных тригонометрических полиномов относительно зна-кочувствительного веса, а также обобщению на метрики зиакочувстви-тельного веса одного результата С.Б. Стечкина по обратным теоремам теории приближения периодических функций.

В параграфе 1.1 приводятся основные определения и обозначения, касающиеся равномерных и интегральных метрик относительно знако-чувствитсльных весов.

В параграфе 1.2 получен один аналог неравенства С.Н. Бернштейна об оценке производной полинома для супремум-нормы со знакочувстви-тельным весом.

В этих оценках в общем случае ограниченного 27г-периодического

знакочувствительиого веса р(х) = (р-(х),р+(х)) важную роль играет следующая характеристика, введенная Е.П. Долженко и Е.А. Севастьяновым ([13]).

Свободой системы "Знакочувствительный вес р(х) — Множество тригонометрических полиномов тп порядка п" называется величина

где тп — множество всех тригонометрических полиномов порядка не выше п (п = 0,1,...).

Оценка р-нормы производной тригонометрического полинома в случае ограниченного 27г-периодического веса р(х) = (р-(х),р+(х)) получена с использованием полного колебания веса, которое определяется равенством

О (р) = та х{П(р_),П(р+)},

где, как обычно,

П(р-) = 8ир{|р_(ж) -р-(у)| :х,уе (-оо,+оо)} ,

П(р+) = зир{|р+(х) -р+(у)I :х,уе (-оо,+оо)} .

Ниже условимся считать также, что 0 • оо = 0. - = оо при с > 0.

Имеет место следующая

Теорема 1.1. Для ограниченного 2-тг-периодического знакочувствительиого веса р(х) = (р-(х),р+(х)) и любого тригонометрического полинома Тп(х) порядка п (п = 0,1,...) с действительными коэффициентами при любых возможных значениях полного колебания веса 0 ^ = ^(р) < оо и любых возможных значениях свободы системы "Знакочувствительный вес р{х) — Множество тригонометрических полиномов тп порядка п" 0 < = \¥(р,тп) ^ оо выполняется неравенство

\Т'П\р < п( 1 + тах {\ТП\Р, | - Тп\р} . (0.1)

Точность полученной оценки (0.1) вытекает из следующего утверждения.

Теорема 1.2. Пусть даны числа 0<П<оои0<1У< оо. Тогда при любом заданном п (п = 1,2,...) существует ограниченный 27Г-периодический знакочувствитсльный вес р(х) = (р_(х),р+(х)) и тригонометрический полином Tn G тп та кие, что

ОД = П, W(p,rn) = W

и выполняется равенство

к\р = n(l + nw) max {|Tn|p, | - Tn\p} .

Отметим, что отдельно показана точность оценки (0.1) в случае ограниченных знакочувствительных весов р(х), для которых W = W(p, тп) =

00 (n = 1, 2,... ) или для которых Q = Q(p) = 0; для ограниченных знакочувствительных весов р(х) всегда W(p,Tn) > 0 и П(р) < оо.

Как известно, для данной 27г-периодической функции д{х) равномерный и интегральный модули непрерывности определяются при <5^0 соответственно равенствами

u(6,g) = u(8,g)L™ = = sup {sup vrai {|g{x + h) — g{x) | : 0 ^ x ^ 27г} : 0 ^ h ^ 6} ; cu(S,g)Lr = sup | (^J \g(x + h) - g(x)\rdx^j

1 < r < oo.

Равномерный и интегральный модули непрерывности данного 27г-периодического знакочувствительного веса,р(х) = (р_(х),р+(х)) определяются при S ^ 0 соответственно следующими равенствами:

uj(S,p) = u(ô,p)l°° = max{u;(£,p_),u;(£,p+)} ,

uj(S,p)Lг = m&x{cj(ô,p-)Lr,u(6,p+)Lr} .

Как и выше, в случае 27г-периодической функции f(x) и знакочув-ствительного веса р{х) = (р-(х),р+(х)) для обычной супремум-нормы и равномерной р-нормы будем придерживаться соответственно обозначений

\\f\\=sup{\f(x)\:xe(-oo,+oo)},

\f\p = sup {f+(x)p+(x) + f-(x)p-(x) : x e (-00, +00)} ,

а дл