Обратные теоремы для приюлижения алгебраическими полиномами в хаусдорфовой метрике тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ НЕПРЕРЫВНОСТИ ФУНКЦИИ В

ТЕРМИНАХ ЕЕ НАИЛУЧШИХ ХАУСДОРФОВЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ

АЛГЕБРАИЧЕСКИМИ ПОЛИНОМАМИ.

§ I. Вспомогательные результаты.

§ 2. Теорема о непрерывности почти вскщу.

§ 3. Теорема о непрерывности

ГЛАВА П. ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ НЕПРЕРЫВНОСТИ ФУНКЦИИ В

ТЕРМИНАХ ЕЕ НАИЛУЧШИХ ХАУСДОРФОВЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ

ПОЛИНОМАМИ (КРИТИЧЕСКИЙ СЛУЧАЙ).

§ I. Тригонометрический случай.

§ 2. Алгебраический случай.

ГЛАВА Ш. О ПОВЕДЕНИИ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ.

§ I. Вспомогательные результаты

§ 2. Оценка наибольшего "выброса" в точке.

§ 3. Оценка меньшего из "выбросов" в точке

Работа посвящена изучению зависимости свойств ограниченных и, вообще говоря, неоднозначных функций от их скорости приближения алгебраическими полиномами в хаусдорфовой метрике.

Введем основные определения и обозначения (см. [I] - [5]). Пусть на плоскости xOij при o£ = c.on*>i>0 задана метрика

Если Е - подмножество плоскости, то через Ll(E,6,c>0 обозначим S -окрестность Е в смысле метрики .

Под хаусдорфовым Ы, -расстоянием между двумя компактами Е и Е2 плоскости xOij понимается величина

Н<4(Е1,Е1)-ц{е:Б=и(Е1.еДЕ1=а(Е1.£,4.

Дополненный график F(j) ограниченной (не обязательно однозначной) функции определяется как наименьшее замкнутое множество плоскости хОу , содержащее график этой функции и вместе с каждой парой точек содержащее вертикальный отрезок с концами в этих точках. Удобно считать, что график функции j совпадает с ее дополненным графиком F(|), (см. [4], с. 509), что всюду ниже и предполагается.

Хаусдорфовым о( -расстоянием между двумя ограниченными функциями | и (J , заданными на отрезке Д — [&, называется величина Rj)).

Обозначим через И^Е наименьшее уклонение функции

Л),Х6Д, от алгебраических полиномов степени не большей Ц, в d -метрике Хаусдорфа, а через Н^Е (f) и ) - наименьшее уклонение 2Jl -периодической функции |(х) на прямой (- ©о, оо~) 0т тригонометрических полиномов порядка не большего П соответственно в Ы. -метрике Хаусдорфа и в равномерной метрике. Поскольку где p=£o(/(&-ct), ср(х)«|[С6-а)я/2 +(6+*)/*], то при приближении алгебраическими полиномами в произвольной об -метрике Хаусдорфа достаточно рассматривать случай отрезка J = C-i, 1]. Пусть с.J,ot)«fcmriH^E^ff5),сf|fo()=E^Cf); 0W) - тэта-функция Якоби с параметром t-lK/K. где 4 К и 2lK - примитивные периоды функции 4ttU = 3ft(u,k); k(K) = ck(Ктдх{^;

0*1? ^Kj), H№ch(ift--f)); :

СО (5, |+), со(д, - модули непрерывности фушщий f и соответственно;

Л(8) = wttK{(0(S,f), «о(в,р.8}. ЛЛ-ЛШ; {<*'). зсГ-* X * / **

Хаусдорфово расстояние, как отметили Е.П.Долженко и Е.А.Севастьянов [5], "понятие существенно более наглядное, чем расстояние в равномерной метрике, поскольку близость двух функций в хаусдор-фовой метрике означает "визуальную" близость их графиков, их осциллограмм" . ^

О целесообразности рассмотрения хаусдорфова расстояния в случае .приближения разрывных функций говорится, например, в работах [7]»[I]»[21,[4] ,[8]. Первые результаты, касающиеся приближения функций в хаусдорфовой метрике посредством полиномов, были получены Ел.Сендовым около двадцати лет тому назад [9], [iOl, И,[2]. Им, в. частности, было доказано [i], что для любой ограниченной, не обязательно однозначной, функции |(х), Х€Д,||ГХ)|^М справедливо неравенство

H^CU^HAl-H^+cClAI.M)-^ (|Д| = 6-СО.

Об актуальности задач хаусдорфовой аппроксимации говорит число работ, вышедших за последнее время (см., например, [ll]-[2l] и библиографию в [2]).

Однако хаусдорфова метрика дает преимущество в скорости приближения функций полиномами сравнительно с равномерной метрикой лишь в случае не очень больших скоростей убывания Н^Еа(|), Н -Е(|, J). На это обратили внимание Е.П.Долженко и Е.А.Севастьянов [5]. Они доказали, что если (Э(|, А, oi) = 4л2(р + оо где Qc|) = fmMi{lICxViCx7)!: х^х^д}, пя! 01 л

10 Н^Е^^д^Е^днН^ДдУежрСщСз+гЛ)^^,д,°0), т.е. что А} и И^Е - бесконечно малые одного порядка (при XI — о® ).

Ел.Сендову принадлежат также обратные теоремы о том, что если e ofl/rt) , то l^x") непрерывна на (а, 6) (но не обязательно на [&, Ь] ), а если Н^Е^^C-f, А) — О (i/n2) f то |(х) непрерывна на [&, Ц [i]. Е.П.Долженко и Е.А.Севастьянов [з]-[5] неожиданно обнаружили, что в полиномиальных приближениях в хаусдорфовой метрике имеет место так называемый "эффект констант". Именно, на структурные свойства приближаемой функции влияет не только порядок (при П— <*> ) малости величин Н^ Е"^ ) и Н^ЕД-М) - как в случае равномерных и интегральных приближений, - но и так сказать "постоянные множители". Так, если Н^Еаф ^с/oOt для всех достаточно больших П., то при с<И функция |(х) однозначна и непрерывна почти всюду, при с <Х/2 -всюду, а при L удовлетворяет условию Липшица - Гельдера с некоторым показателем ^ (О > О , причем при с О.

Аналогично, если Н^Е^ДМ!) ^ d(6-&)/(2с(пг) для всех достаточно больших YI , то при oL<X2/2 |(х) непрерывна на Ed, 6] , а при d< 1 удовлетворяет условию Липшица - Гельдера с показателем у (ol) > О , причем tf(cL) — i при d — О.

В настоящей работе исследуется отмеченный "эффект констант".

Цель работы - получение условий, достаточных для непрерывности приближаемой функции, в терминах ее наименьших уклонений Н^Е^С!»^) от алгебраических полиномов степени в о( -метрике Хаусдорфа, а также изучение поведения функции в точке в зависимости от величины C(|,J,oO.

Доказано, что, если CCfJ,oO=lE/i- 0<а' £ 1, то ос) однозначна и непрерывна почти всюду на отрезке [- CL, й! ] , а если с(|, 3, о/) =1 >/i- а2'/2 ъ/ , то |(х) непрерывна на интервале (-а,а) ; если о<а'<1 и К((, с'Л) = Urn ((лJHaff/tf то однозначна и непрерывна на [-а7, а'] . Изучается также поведение функции в точках разрыва. ■Построены примеры, доказывающие неулучшаемость формулируемых результатов. Основные,результаты диссертации являются новыми.

Результаты диссертации могут найти применения в математическом анализе, в частности в теории аппроксимации.

Результаты диссертации докладывались автором в МГУ на семинаре по теории "приближения и граничным свойствам функции под руководством профессора Е.П.Долженко и кандидата физ.-матем. наук Н.С.Вячеславова, на семинаре по теории функций действительного переменного доктора физ.-матем. наук В.А.Скворцова, доц. Л.А.Балашова и доц. Т.П.Лукашенко и в Калининском государственном университете на семинаре по теории функций под руководством профессора Л.Д.Иванова, а также во 2-й Саратовской зимней школе по теории функций и приближений в январе-феврале месяце 1984 года.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах Г23]

Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы из 26 названии. Общий объем диссертации Ю7 страниц. Во введении содержится краткий исторический очерк, приведены основные определения и обозначения, используемые в дальнейшем, и основные результаты диссертации. В главе I исследуется геометрия множества точек непрерывности функции |(х) (£.€ 3= [-1, i]) в зависимости от

1. Сеядов Бл. Некоторые вопросы теории приближений функций.и множеств в хаусдорфовой метрике. - Успехи матем.наук, 1969, 24,Ш 5, с. I4I-I78.

2. Сендов Бл. Хаусдорфовые приближения. София, 1979, 372 с.

3. Долженко Е.П., Севастьянов Е.А. 0 приближениях функций в .хаусдорфовой метрике. Докл. АН СССР, 1976, 226, № 4, с.768-770.

4. Долженко Е.П., Севастьянов Е.А. 0 приближениях функций в хаусдорфовой метрике посредством кусочно монотонных (в частности, рациональных) функций. Матем.сб., 1976, 101, №4, с.508-541.

5. Долженко Е.П., Севастьянов Е.А. О зависимости свойств функций от скорости их приближения полиномами. Изв. АН СССР, сер.матем., 1978, 42, .Г2, с. 270-304.

6. Петрушев П., Ташев Сп. Некоторые.обратные теоремы в метрике Хаусдорфа. Докл. БАН, 1976, 29, В 12, с. I72I-I724.

7. Колмогоров А.Н. О сходимости А.В.Скорохода. Теория вероятностей и ее примен., 1956, I, $ 2, с. 239-247.

8. Сендов Бл. Аппроксимация-относительно хаусдорфова расстояния. -Матем.заметки, 1968, № 4, с. 481-494.

9. Сендов Бл. Аппроксимиране на функции с алгебраични полинош по отношение на една метрика, от хаусдорфски тип. Годишник Соф. унив. Физ.-мат.фак.,.1962, 55, с. 1-39.

10. Сендов Бл.Върху най-доброто приближение с алгебраични полиноми по отношение на хаусдорфово расстояние. Годишник Соф. унив. Физ.-мат.фак., 1963, 56, с. 195-207.

11. Сендов Бл., Попов В.А. Приближение функций многих переменных алгебраическими многочленами в метрике Хаусдорфа. Годишник Соф. унив. Мат.фак., 1970, 63, с. 61-76.

12. Попов В.А. Об обратной задаче теории приближения в метрикеХаусдорфа. Годишник Соф.унив. Мат.фак., 1972, 65,с.201-204.

13. Сендов Бл. и Попов В.А. Точная асимптотика наилучшего приближения алгебраическими и тригонометрическими многочленами в метрике Хаусдорфа. Матем.сб., 1972, 89, & I, с. 138-147.

14. Веселинов В.М. О точном порядке приближения функций полиномами С.Н.Бернштейна в метрике Хаусдорфа. Матем.заметки, 1972, J£ 5, с. 501-510.

15. Senblov' В>1., Popov V. A. On. cl ^enezahzatioti о| JacKSon's tkeo-гет,best apf"2-oxom,at6ofi.- н J. Арргох.Tkecnij11, 73 ,9,yf2, Ю2-Ш.

16. Боянов Г.П. 0 приближении функций класса L i р oi относительно хаусдорфова расстояния. Докл. БАН, 1974, 27, В 12, с.1629--1632.

17. Веселинов В.М. Наилучшее взвешенное приближение многочленами в хаусдорфовой метрике. Докл. БАН, 1975, 28, № 8, с. I0I9-I02I.

18. Веселинов В.М. Обратные теоремы для хаусдорфова приближения функций линейными операторами. Докл. БАН, 1976, 29, lb 2, с. 159-162.

19. Аксенов В.В. 0 порядке приближения функций линейными операторами.- "Применение функц. анализа в теории приближений", Калинин, 1981, с. 7-14. . .

20. Ахиезер Н.И. Элементы теории эллиптических функций. Москва, Наука, 1975, с. 304.

21. Ермаков А.И. Наилучшие хаусдорфовы приближения алгебраическими полиномами и непрерывность функции. Матем.заметки, 1980, № 6, с. 843-858.

22. Ермаков А.И. О достаточных условиях непрерывности функции в терминах ее наилучших хаусдорфовых приближений полиномами.- Рукопись деп. в ВИНИТИ АН СССР 21 июля 1981 г. JS 3639-81 Деп.

23. Ермаков А.И. О хаусдорфовых приближениях разрывных функций алгебраическими полиномами. Рукопись деп. в УкрНШНТИ 29 октября 1984 г. В 1792 УК-84 Деп., 21 с. .

24. Ермаков А.И. Количественная характеристика разрыва функции в связи с величиной ее наименьших хаусдорфовых уклонений от алгебраических полиномов. Теория функций и приближений. Труды 2-й Саратовской зимней школы. Саратов, 1985 г. (в печати).