Систолы в геометрии Карно-Каратеодори на группах Гейзенберга тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

Глава I. Высшая группа Гейзенберга

1.1 Координаты I и II рода.

1.2 Автоморфизмы группы #2п+

1.3 Равномерные решетки на Щп+г

Глава II. Метрики Карно-Каратеодори

2.1 Контактные структуры на H^n+i

2.2 Левоинвариантные метрики на (Щп+ъ и)

2.3 Кратчайшие в пространствах (#2п+ъ^')

2.4 Решение вариационной задачи

2.5 Свойства метрик К-К на Щп+х

2.6 Кривая Г£ и её свойства.

Глава III. Мера Хаусдорфа на (Н^п+ър)

3.1 Левоинвариантные меры на Нщ+х

3.2 Мультипликативная константа рп геометрии К-К.

Глава IV. Систолы на H2n+i

4.1 Систолы равномерных решеток и нильмногообразий на Щп+1

4.2 Систолы на (доказательство теоремы).

4.3 Исследование функции <т(х),х £ R на Щ.

4.4 Систолы на > 1 (доказательство теоремы).

I

Одним из новых направлений в современной геометрии является изучение метрических пространств с внутренней метрикой. Начало этих исследований было положено А.Д. Александровым. Познее изложение этих идей можно найти в обзоре [1]. Кроме того, этому, направлению посвящены следующие работы: [2], [3], [7], [11], [12], [18], [19], [20]. В этих работах был предложен новый подход к изучению геометрии пространств и многообразий, в котором требования дифференцируемости и гладкости заменяются условиями касающимися внутренней геометрии рассматриваемых пространств. К метрическим пространствам с внутренней метрикой относятся римановы многообразия, финслеровы пространства, а также пространства с метриками Карно-Каратеодори. Среди последних особый интерес представляют нильмногообразия с метриками Карно-Каратеодори (К-К). Геометрия К-К находит применение во многих задачах механики, вариационных задачах, в вопросах оптимального управления. Интересной характеристикой геометрии К-К является систолическая константа. Фактически эта константа появилась для римановых поверхностей в работах Лёвнера и П. Пу [31] в начале 50-х годов. Двадцать лет спустя, М. Бер-же формализовал и распропагандировал идеи Лёвнера и П. Пу дав общее определение систолических констант для римановых многообразий произвольной размерности. Изложение этих идей и большее количество ссылок можно найти в обзоре [26].

Определение 1. 1-систолой sys(Мп,р) (компактного) риманого многообразия (Мп,д) называется длина кратчайшей негомотопной нулю замкнутой геодезической.

Тогда систолическая константа ст определяется следующим образом:

Это определение легко обобщается на пространство с внутренними метриками.

Пусть (X,d) компактное метрическое пространство в котором задана некоторая непрерывная кривая 7(£) : [0,1] -» X. Тогда определена длина кривой 7: 1 m—1

WT) = SUP где xi,. , хт— произвольная последовательность точек кривой 7, занумерованных в порядке их расположения на кривой, а верхняя грань берется по всем таким последовательностям.

Метрика d называется внутренней, если для любых точек х,у £ X, выполняется равенство: d(x,y) = inf/rf(7), 7 где нижняя грань берется по всем кривым 7, соединяющим хну. Кратчайшей соединяющей х ту называется кривая, длина которой равна d(x,y).

Если п размерность по Хаусдорфу пространства X [24], то на X определена п мерная мера Хаусдорфа Щ порожденная метрикой d. Пусть D = D{n) — класс внутренних метрик хаусдорфовой размерности п, и конечной п мерной меры Хаусдорфа. Определим систолическую константу а следующим образом: ■ ^ = (2) где sys(X, d) есть, по определению, минимальная длина негомотопной нулю замкнутой петли на X.

В случае римановых многообразий, определение (2) совпадает с определением (1). На сегодняшний день, точно решенных систолических задач имеется только три.

Теорема. (Левнер, 1949, не опубликованная) Пусть Т2 — тор с римано-в ой метрикой д. Тогда: vol(T2, д) УЗ (sys(T2,0))2 " 2 ' причем равенство достигается тогда и только тЬгда, когда (Т2,д) — плоский экваториальный тор, то есть Т2 = R'2/G, где G — гексогоналъ-нал решетка в R2. •

Теорема. (Р.Ри [31]) Пусть на RP2 задана риманова метрика д. Тогда: vol(RP2, g) 2 (sys(RP2,^))2 / ^ причем равенство достигается тогда и только тогда, когда g — метрика постоянной кривизны.

Доказательство этих теорем можно найти в [7].

Теорема. (C.Bavard [25]) Пусть К2 — бутылка Клейна с римановой метрикой д. Тогда : vol(K2,ff) ^ 2у/2 (sys(K2,g))2 ^ тг

Таким образом, r(T2) = f, ""(К2) =

На этом точные результаты заканчиваются. Хорошая оценка снизу для ^(Sk), гДе — сфера с к ручками, получена М.Громовым [29]. Ему же принадлежит более общий результат, позволяющий выделить многообразия с положительной систолической константой [28].

Пусть (М, д) — замкнутое m-мерное многообразие с римановой метрикой д и ненулевой фундаментальной группой. Рассмотрим отображение

F:M-^K(tti(M),1), индуцирующее изоморфизм фундаментальных групп. Пусть F* — индуцированное отображение m-мерных гомологий,

F* ■ Нт(М, к) Нт(К(тп(М), 1), *), где к = Z, если М ориентируемо, и к .= Z2, если М неориентируемо.

Определение 2. (М.Громов) Многообразие М называется существенным, если F*([M]) ф 0, где [М] — фундаментальный класс М.

Примерами существенных многообразий являются Т2, RP2, К2, Sj, RP2t (проективная плоскость с.п — 1 пленками Мебиуса) , RPn, Тп, замкнутые многообразия, допускающие метрику неположительной кривизны 1

Теорема. (М.Громов [28]) Если М существенное многообразие, то а(М)> 0.

В случае, когда М ориентируемо, верно и обратное утверждение [б]. К результатам общего характера также относится работа И. Бабен-ко [6]:

Теорема. (И.Бабенко) Систолические константы а(М) являются гомотопическими инвариантами многообразия М.

В геометрической теории чисел и теории упаковок хорошо известны константы Эрмита решеток в Rn. п

Пусть g(x) — ^ 9ijXlxJ положительно определенная квадратичная форhj=1 ма над R, ж = (ж'1,. , хп). Тогда: » m(q) := inf q(x) = min q{x) zeZ", v ' arez", ; 1 хфО

Последний пример следует из теоремы Адамара-Картана, поскольку в этом случае многообразие имеет гомотопический тип к(7Г, 1)

Константой Эрмита jn называется следующая величина: т(д) т(д)

7„ = sup г д (det^)» max д detff)i

Эту задачу можно сформулировать следующим образом. Рассмотрим в R" всевозможные целочисленные решетки G = (/i,. ,/п), с п образующими, а также римановы метрики cjij. Расстоянием между элементами п решетки естественно считать величину p(g,h) = ( ^ dij^h^)1^'2, положим: i,j=1 m(G)= inf' p(g,h). g,heG дфь

Тогда:

7„)»{G!)=inf

9ij det(/b. ,fn) m O

Вычисление констант Эрмита является сложной задачей. На сегодняшний день известны константы Эрмита только до размерности п = 8, для п > 8 вопрос их поиска остается открытым. В настоящее время известны хорошие асимптотики этих констант [30].

Возникнув первоначально в алгебраической теории чисел как аналитическая величина, константы Эрмита имеют прямую интерпретацию в систолической геометрии. Рассмотрим класс плоских метрик на п мерном торе Tn = Rn/G, (где G— некоторая равномерная решетка в Rra) постоянного объема. Тогда m(G) = sys(T"), а 7n(G) = (cr(Tn))2.

Константы, аналогичные константам Эрмита в R", естественно возникают в любой геометрии постоянной кривизны, а также в однородных геометриях на некомпактных группах Ли с равномерными решетками. В этой работе рассматриваются систолические константы (или константы Эрмита) однородной геометрии К-К на группах Гейзенберга.

Пусть J\f2n+1 = Hzn+i/G нильмногообразие [17], где Я2п+1— группа, порожденная матрицами вида: В

2п+1

1 а\ . . ап с\ >

0 1 . . 0 h , • аг-, Ь{, с G R, г = 1,. ,п

0 0 . . 1 Ьп

0 0 . . 0 и > которая называется (высшей) группой Гейзенберга размерности 2п + 1 и является связной, односвязной нильпотентной группой Ли, a G —г равномерная дискретная подгруппа (решетка) в #2n+i- Каждая решетка в Нщ+х с точностью до группового автоморфизма определяются некоторым набором натуральных параметров G = G(k\,. ,к„):

1 к\а\ 1 кпа

G(ku. ,кп) = < п^п о с\ h о V 1 di,bi,c е z, % — 1, п

Таким образом, каждое нильмногообразие Я = . , кп) также зависит от этого набора.

В качестве внутренних метрик рассматрим левоинвариантные метрики К-К [13] на #2п+ь которые индуцируют метрики на Л/*2п+1. Пусть Vh,h Е Щп+1 левоинвариантное поле 2п мерных гиперплоскостей, гладко зависящих от /г, такое что, векторное подпространство Ve, где е единица группы #2„+i порождает алгебру Ли L = Ь{Н2П+\)- (такое поле называется вполне него лоно мным распределением или контактной структурой

2 тг на #2„+1. На Ve задается норма |£| = ( ^ gijC^)1^2 посредством положиhj=1 тельно определенной квадратичной формы которая разносится левыми сдвигами в каждую точку пространства i?2n+i и задает левоинвариантную норму 2 на Уд. Кусочно непрерывно дифференцируемая кривая называется допустимой, если она касается распределения в каждой своей точке. По теореме Рашевского-Чжоу [22], [27], любые две точки в (Ягп+ъ ^л) соединимы допустимой кривой. Метрика К-К р определяется равенством: р(е, h) := inf

76 D(e,h) gij'MWWVW*, з) где D(e,h) класс допустимых кривых, соединяющих точки е и h в Н2П+1-Поскольку метрика р левоинвариантна, то аналогично определяется расстояние между любыми двумя точками.

Каждая метрика К-К с точностью до автоморфизма #2n+i зависит от набора параметров р = />(air.,«„)•> где а\ •. • ап = 1, oi{ Е R+.

Замечание 1. Класс метрик К-К не ограничивается приведенным выше определением. Задавал норму на Vh как функцию Т — Т{Ь) мы получим более широкий класс метрик— метрики Карно-Каратеодори-Финслера.

2выбор такой нормы продиктован аналогичной задачей поиска констант Эрмита для плоских торов в r"

Этот класс исчерпывает все внутренние метрики на H2n+i- Точнее, согласно работам В. Берестовского [9] и [10], однородные многообразия с внутренней метрикой — это в точности фактор-пространства H/G связных групп Ли Н по их компактным подгруппам G, снабженные не

На #2п+1 определена ненулевая 2n-f 2-мерная мера>Хаусдорфа порожденная метрикой р, которая наряду с обычной 2п +1-мерной Лебеговой мерой, является мерой Хаара, и поэтому отличается от последней на некоторую универсальную мультипликативную константу оценки которой приводятся в данной работе.

Группа автоморфизмов действует транзитивно на множестве всех решеток с характеристическим набором . , kn). Кроме того, группа автоморфизмов действует транзитивно и на множестве всех метрик К-К при фиксированном наборе параметров а = («!,. ,ап). Таким образом, мы получаем последовательность систолических констант а = a(ki,. ,кп), зависящих только от набора ,кп) в метрике К-К р = ра. Основная цель этой работы состоит в изучении этой последовательности.

Для трехмерной группы Гейзенберга Щ набор параметров (к\,. , кп) заменяется одним параметром к. Тогда систолические константы на Щ подчиняются следующей теореме [14]:

Теорема. Любая решетка единичного объема с максимальной систолой некоторым вращением вокруг оси Oz переводится в решетку вида: I. При k = 1: которой левоинвариантной метрикой Карно-Каратеодори-Финслера. Вопрос поиска а(ЛГ2п+1) по всем внутренним метрикам пока остается открытым.

Gi = {/i= h= (О'1^)' /а= (0,0,1)|, при этом o-(l) = • , где t — корень уравнения \lint = sint/2

1 2'

II. При 2 ^ k ^ 10:

Gk =

0.05

12 х

Рис. 1.

1— cost где t — корень уравнения ts[nt — ^д.

III. При к > 10 решеток с максимальной систолой бесконечно много (не переводящихся друг в друга некоторым вращением вокруг оси Oz). Одна из них имеет вид гексагональной решетки (см. II), при этом 7 = к -щ 16тг2 '

Поведение функции а (к), к G R можно увидеть на рис. 1. Для п мерной группы Гейзенберга i?2n+i большое количество решеток не позволяет получить результат той же точности что и для Щ [16].

Теорема. В классе решеток G(ki,. , kn) единичного объема, имеют место оценки:

1) max sysG(l, 1, ks,. , kn) = sysG(l, 1,. , 1), причем sysG(l,., 1) < y/n.

4) n-l

2) max sysG(l, k2,. , kn) = sysG(l,2,. ,2) = £q • 2 ^, где e^ =

1 ,k2,.,kn), k2>l

1,78 с точностью второго знака после запятой.

3) max sysG(Jki,. ,kn) = sysG(fcb. M). = фг) • Ш ■ h 2"Ч где ki,.,kn) h>i ki = 2,. , 10, а значения e^ приведены в таблице.

4) max sysG(&i,. ,k„) = 2л/тт • ll-^ h,.,kn) h> 10

Таблица 1.

A? - k\ ' . * Jbfi cr(fci,. ,kn)/fj,n min (<т//лп) к > 1, fci = k2 = 1 к < fdM < f . k ^ ^ V 4 / — (0.32)"+1 < < (0.43)n+1 к > 2n~1, = 1 (i)2n+2 . k — | • (0.63)и+1 f)n+l ■ (±?n+2 ■ k' 1.23 | • (0.57)и+1 к > 3n, fci = 3 (£Y+1 ■ &2n+2 ■ к • 1.11 | •(0.70)n+1 к > 4", h = 4 (f)n+1-&n+2-k 1.07 | •(0.76)n+1 /—\ ii+1 (f) • (i)2K+2 • Л • 1.04 | • (0.80)ra+1 к > 6й, fci = 6 1.03 | • (0.82)"+1

1.02 | • (0.83)n+1

8n, fci =8 ЬУ" ■ (i)2n+2' * 1.02 | ■ (0.83)w+1 к > 9n, fci = 9 (^Г' (i)2"+2 •* 1.01 1 ■ (0.85)n+1 к > 10", fci = 10 (£)n+L ■ (^)2n+2' к 1.01 To ■ (0-85)n+1 ^ lln, kx = 11 Шп+1-к — . 1V-(o.8sr+1

Значения оснований в последнем столбце приведены с точностью до второго знака после запятой.

Для наглядности, значения систолических констант для каждого набора (fci,. ,кп) приведены в таблице 1

Выбрав наименьшее значение а = а (кг,. , кп) по всем наборам (кг,. ,кп), получим следующую теорему [15]:

Теорема. Систолическая константа нилъмногообразия ДГ2п+1 = H2n+i/G с метрикой К-К ра допускает оценки:

1)п=1: сг(ЛГ3) = ^ • Мь ■

2)п>1: (^тт • fin < а(М2п+\Ра) < : (ЙТУ ^ ^ {п+1)вп > где . I

1 Г /sinА " cos£ sin£ — tcost = 2 J{—) -Г--?-* (6) 0

1. Александров А.Д., Берестовский В.Н., Николаев И.Г. Обобщенные ри-мановы пространства // Успехи мат. наук. 1986. Т. 41, вып. 3, С. 8-11.

2. Alexandrow A.D. Uber eine Verallgemeinerung der riemannschen Geome-trie// Schriftenreihe der Institute fur Mathematic. 1957. Hf. 1, S. 33-84.

3. Александров А.Д. Одна теорема о треугольнике в метрическом пространстве и некоторые её приложения// Труды Мат. ин-та им. В.А. Стеклова АН СССР. 1951. Т. 38, С. 5-23.

4. Арнольд В.И. Математические методы классической механики. М., 1979.

5. Бабенко И.К. Замкнутые геодезические, асимптотический объем и характеристики группового роста// Изв. АН СССР. Сер. мат. 1988. Т. 52. № 4. С. 701-702.

6. Бабенко И.К. Асимптотические инварианты гладких многообразий// Изв. АН СССР. Сер. мат. 1992. Т. 56. № 4. С. 707-751.

7. Введение римановой структуры в некоторых метрических пространствах// Сиб. мат. журн. 1975. Т. 16. № 4. С- 651-661.

8. Берестовский В.Н. Геодезические неголономных левоинвариантных внутренних метрик на группе Гейзенберга и изопериметриксы плоскости Минковского// Сиб. мат. журн. 1994. Т. 35. № 1. С. 3-11.

9. Берестовский В.Н. Однородные многообразия с внутренней метрикой. I// Сиб. мат. журн. 1988. Т. 29. № 6. С. 17-29. ,

10. Берестовский В.Н. Однородные многообразия с внутренней метрикой. II// Сиб. мат. журн. 1989. Т. 30. № 2. С. 14-28.

11. Berestovskii V.N. and Vershik A.M. Manifolds with Intrinsic Metric, and Nonholonomic Spaces// Advances in soviet mathematics. 1992. V. 9. P. 253-267.

12. Бураго Ю.Д., Громов M.JL, Перельман Г.Я. Пространства А .Д. Александрова с ограниченными снизу кривизнами// Успехи, мат. наук. 1992. Т. 47. вып. 2. С. 3-51.

13. Вершик A.M., Гершкович В.Я. Неголономные динамические системы. Геометрия распределений и вариаицонные задачи // Итоги науки и техн. Сер: Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. ВИНИТИ. М. 1987. Т. 16. С. 5-221.

14. Донцов В.В. Систолы равномерных решеток на группе Гейзенберга с метриками Карно—Каратеодори// Фундаментальная и прикладная математика. 2000. Т. 6. № 2.

15. Донцов В.В. Систолы нильмногообразий с метриками Карно— Каратеодори// Записки научных семинаров ПОМИ. Т. 266.

16. Мальцев Л.И. Об одном классе однородных пространств // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1949. Т. 13, № 1. С. 9-32.

17. Николаев И.Г. Параллельный перенос и гладкость метрики пространств с ограниченной кривизной// ДАН СССР. 1980. Т. 250, № 5. С. 1056-1058.

18. Николаев И.Г. О параллельном переносе векторов в пространствах с двусторонне ограниченной по А.Д. Александрову кривизной// Сиб. мат. журн. 1983. Т. 24.№ 1. С. 130-145.

19. Николаев И.Г. О гладкости метрики пространств с двусторонне ограниченной по А.Д. Александрову кривизной// Сиб. мат. журн. 1989. Т. 24. № 2. С. 114-132.

20. Понтрягин Л.С. Непрерывные группы.

21. Рашевский П.К. О соединимости любых двух точек вполне неголоном-ного пространства допустимой линией// Уч. зац. пед. ин-та. им. Либ-кнехта. Сер. физ. мат. наук. 1938. № 2, С. 83-94

22. Роджерс К. Укладки и покрытия. М., 1968.62

23. Федерер Г. Геометрическая теория меры. М., Наука. 1987.

24. Bavard С. Inegalites isosystoliques conformes pour la bouteille de Klein// Geometriae Dedicata. 1988. P. 146-166.i

25. Berger M. Systoles et applications selon Gromov // Expose 771. Semi-naire N. Bourbaki. Asterisque 216, pp. 279-310. Societe Mathematiques de .France.

26. Chow W.L. Systeme von linearen partiellen differential gleichungen erster ordnung// Math. Ann. 1939. 117, P. 98-105.

27. Gromov M. Filling riemannian manifolds// J. Diff. Geom. 1983. V. 18, № 1. P. 1-147.

28. Gromov M. Systoles and intersystolic inequalities// preprint IHES. 1992.

29. Oesterle J. Empilements de spheres// Asterisque. Seminaire Bourbaki. 189190. 1990. 375-398.

30. Pu P. Some inequalities in certain nonorientable manifolds// Pacific J. Math. 1952. 2, P. 55-71.