О приближении алгебраическими многочленами в интегральной метрике с весами Чебышева-Якоби и Чебышева-Лагерра тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

тЗШЯЗйк ГОСЗША.РСТЗЕННЬЙ1 УЗЛЗЕКИТЯГ МЕНН. M.В. IOaOHOK&'I

механако - кагелатическсй (факультет

Ва дрзвах рукописи ШШШ СОТЕ ШРШЕЗЯА

Ш 517.5

О ШШИШЗИ АЖЕБРЖЧЕШЬЙ МНОГОШНШ В иНТЕГРАЛЬЗОй МЕТЕШЗ С ВБСЫ5 ЧЕШЁЕ1-ЯК0Ш й ЧЕШЕЁаЬЖГЕЕРЛ

/01.01.01 - кзтекатияесикй аяалгз /

автореферат'"

диссертации ка соискание ученой степени каЕдялата йзико-мзтематэтескга: наук

ЦОСЕЛ ВЗЗ

Работа выполнена на кафедре tsodiííi ¿ушский и аущсшонального еаалпза ыехшглк'о-витеиа'инесксго факультета Московского государственного университета ли. Л .В. Ломоносова

ЕаучшаД руководитель - доктор ддзиао-аахомажпесках наук»

профессор Ц.К. Потадоз С^дзадьные сгшонеаты : доктор йдзкко-латсаатдчесгиЕс наук,

ьро^ассор В Л. Еас^акоз, дсктор ^ишо-ште^йтаяесадд наук, профессор ГЛ. Яковлев

Надувая орган:оа1ця - Ыосхоаскаа госуяарстзеяаай институт сле.;трс;аой техаккл - ?ехнячеса»5й уняьерсатот

Эетта Едссэрчащд сосчоатса 2 апреля ЕйЗ года ü 15 чао. 05 ша. лз заседдщд caemasaiiposasaoro соьета Д.053.05.04 upa '¿осдсбсхоу государственном yauaegcssoTS вмедл Ü.5. Ломоносова со адресу : ESSS9, ГСП, £ocxKit Ленаасаав гори, ИГУ, мвханЕко-матеьияягескаа ^ахугыеу, аугрпгордя 16-24.

С дассертацаеД íjcscío сзнсясютьса в бдйддэтйлз цаггдшко-кателатаческото ёгкудьтета ШГ / 14 eras /. .' ¿зтерзферат разослан 2 карта 1£ЭЗ года.

Учезай секргтарь совкяаггпараваЗЕою ' совета ДЛ53.05Л4 upa ИГУ, apogee»:;

г .п. тшшып

РБПАЯ ХАШ1ЕР1СТШ РАБОТЫ Гиссерташя посвящена изучения некоторых водросоз итаблйкенкя алгебраическим многочленами купишь одном переменной, заданных на отрезке кла. полуоси.

Актуальность темы. Олна из основных задач теории приближений состоит в нахождении связей ¡»езду структурным свойствами функшй /диф^ренцаруемостыэ, условием Лишит к т.п./ и порядком стремления к нулю последовательности "её наилучшие приближений тригпнометригаескшш или алгебраическими иолннокагд.

Первые результаты з этом направления появились в начало века / flj - [4] /. 3 этих работах для непрерывных -периодических чуявши били доказаны прямая и обратная теорема теории приближений для модулей непрерывности степенного типа. В дальнейшем / [5J /, прямая к обратная теореш теории

[I] \JcCkt Pou.uLn- СЛ. - У. £л tenvtrotnu. ¿ы

¿ йЛегро&Мх*. entre о(¡

'fr^Pe. АсаЛ . Adcf^ue . - Í9üg.

[?J] ZeSe-igue К. Siu~ üi in.íé^ru£ei iiruta&¿>~tó jj ¡¡ЯП d£. 6a- facu.eíé cíes Sai . cU tlaU^eniit ' Toulo^e . - I-, Z5-H?. - У909.

[3] Бернштейн C.H. О приближении непрерыБЯНх функций, полиномами // Соч.- Изд. АН СССР, 1Э52.- С. 8-10. [4j &céion Q. iííef сйс Jfnncifentng

jiziLger- ТилЛ-ирпел (Uurch. QCui&C raíúinczQ, JufiÁionui, ^г^ьбелии "W £r<¡poficmetriMAen,

aüc^&tnsf 0<-c£nan^ ¡J &r>dJSC&.rifl usioL 3naucjura¿ 8i)st*ta¿U>n, . - ^BttCn^ín.. - f9if.

[5] Стечкш С.Б. 0 порядке наилучших приближений непрерывных функций П Изв. АН СССР.- сер. ь/ятем.-т.19 .-1351 .-С.21»-242.

приближений для периодических функши: были доказаны в равномерной метрике для обоих модулей гладкости. А именно, для непрерывной 2Х -периодической функщи, у потовой четэез обозначено ее наилучшее приближение в равномерной метрике тригонометриескгши аолиноьнамй, в через из*(£ б)с -её k -ый модуль гладкости, доказана справедливость неравенств

' с, еж -< * Ц £ Cvt t) л'%ж А/

где положительные постоянные Ct % Ск не зависят от f и п ,

Наряду со случаем равномерной метрики изучался и в интегральных метриках вопрос о связях между структурными свойствами периодической ^ункиик ж скоростьо убывания последовательности её наилучших приближений тригонометрическими полиномами, в частности, также были доказаны пркилак и обратная теоремы теорта прнбликеней.

Аналогичные задачи рассматривались и для непериодических çyHKBEfi. Eœ .в начале вsîîs была установлена .существенная ра чинна кетлу пергодическкь и непериодическим случаями. В дальнейшем было показано, что при рассмотрении непериодических çyKKUEÈ уте нет таких se связей ыеяду их модулям гладкости и сх КЕЕлучзими нрнблиаенкяыг алгебраическими многочленами, и что аналогов с периодические случаен sweet иесто тогда, когда

мохуяь гладкости за«ея§н некоторым обобщенный ь-одулыг гладкостЕ /си.например, [б] - [s] /.

fg? ftitxian 2., Ъий V. MocLcËi of f^ooinctîv J лрепрсшт, p, /-W7.

В ряде работ такие обобщенные модули гладкости вводились с ломошыо оператора обобщенного сдвига.

В' связи с изложенным, актуальной является задача об отыскании новых обобщенных модулей гладкости, для которых справедливы прямая и обратная теоремы теории приближений. В первой главе диссертационной работы зводится такой обобщенный модуль гладкости с помощью нового оператора обобщенного сдвига, к для него доказаны аналоги неравенств /*/.

В прямых и- обратных теоремах теории приближений, полученных ранее для обобщенных модулей гладкости, заданных с помощью оператора обобщенного сдвиге, обычно тесно связаны вес рассматриваемых пространств и вид оператора. Поэтому естественно возникла задача о нахоаденот промежутков изменения веса пространств, в которых остается справедливыми прямая и обратная теоремы теории приближений для данного оператора. Эта задача реивется в ддссерташи как для нового, так к для двух введенных ранее операторов обобщенного сдвига. -

Цель работы. Целью работы является нахождение новых операторов обобщенного сдвига и выявление промежутков изменения веса пространств, в которых остаются справедливыми прямая и обратная теоремы теории приближении.

[7] Р.Х., Я *. Л Ж- ^^есгЬо^ оргМс^ сиги

Лс^ Слп<иЛц/ -ГШ. - Л. -р. /з -сР/.

[8] Потапов ИЛС. О приближения алгебраическими многочленами а интегральной метрике с весом Як оби // Вестник Московского . университета.- сер. штем., мех.-1983.-й 4.-С. 43-52.

Научная новизна. Все основные результата являются новыкя. Оки состоят в следушем:

X. Введён HOBtdi оператор обобщенного сдвига, ара шюови которого определен новый обобщенный модуль гладкости. Для нею доказаны срякая к обратная теоремы теории приближении в интегральных метриках с весака ЧебышёБа-Лагерра. 2. Для нового к двух введенных ранее операторов найдены промежутки кзмекенкя Ееса пространств, в которых остаются слраведяавики прямая и обратная теоремы теории приближений..

Теоретическая и практическая ценность, работа носат теоретический характер. Полученные результат* когут накти применение в теории функций н вычислительной математике,

Адробашя диссертации. Результаты диссерташи докладывалась ш научной семинаре МГУ по теорги тригонометрических и ортогональных рядов под руководством член-корр. РАН ПЛ. УльтясЕй, проф. '¿.rl. Еотвцова, дои. ta.il. Дьяченко; на научной сеышгаре ИТ7 до теории приближений под руководством npoi- 15.К. Потапова; на ньучно-теоретиесщк конференциях молодых ученых ыехапюсо-штеьйагстеского факультета .МГУ в 1951 е 1992 годах; на научной республиканской конференции в . 2 Караганде в 19Э1 году, на У1-ОЙ Саратовской зимней сколе по тезрзЕ фузкпш в приближений в 1Э92 году."

Публгкаыга. Результата дксзертагаа опубликованы в трех paic-raz, спксон которых вркведгн в конце автореферата.

Структура к обьеи дкссертагон. Диссертация состоят из введения, трех глав, ез которых - дерзая разбита на пять параграфов, вторая z третья глава разбкти на четыре параграфа, сапска литература, кгхзчаопепз s сейя 46 наименований.

3 ыэдой главе проставлена сзся нумерашя мате;ата^чсяят утзерртаеаий. Объем диссертации - 101 натанопасаая страница.

' соляРГЛЭТЗ ПССЕРГАЕГЛ.

Во введен.а даётся краткий обзор ранее известных результатов по теме янссерташм и длрмуляруотся основные результаты работы.

3 перзой главе рассматриваются лебеговы пространства адтшвй, заданных на долуоси [о, <*=) и интегрируемых с весами Чебышёва-Лагерра.

Обозначим через 2а.3 - .чночсество аункхгш, измеримых из полуоси [о, <*) и таких, что 1г&)ЦР.р < ■*> . где

/ a ~1 г**)" f"p ^ ** .

I Sup xsfaZ ] fte)* * X ZI , f = « " / j' oo

1Щ.

Введём оператор обобщенного сдрнга по правилу: S3 d. -- c, i, Z, ... , L О, Z. Z P . О i Z * я t

R = x + i + cosy.

'ем / = ^^

№ '

Обозначим через Еп ' наилучшее приближен де функции {(я) алгебраическим;! ыногочленаш степена не ште,

чем (и-/) в метрике пространства , т.е.

'л

Введём обобщенный модуль непрерывности ио правилу:

P-fi as&st?

Для этого модуля имеет шесто следуоиая

Теореш Г. Пусть . Jspf?0-, ¿= о,{,£,..., fi - некоторое

число из промежутка

¿-£ < fi< ¿-i+t прд i < p < oo ,

■ <1 - {< Jb С* при il

ci é fi < cL-hi При

Тогда для функций fife) £ имеют место следующие неравенства. • .

. С,£$ ^ ££ h^P-P '

rue положительные постоянные Ç и Сл не зависят от / и

Из теореш I вытекает утверждение о совпадении некоторых классов функций. Однако, с использованием опенок нормы оператора, получена теорема о совпадения классов в более широких интервалах, чем это следует из теореш I.

Обозначь через Е(р,р,Л) класс аднкшш -ffa) е Хр-А , удовлетворяодях условию Е-пС^рф £ С п.—* t гле с -некоторая постоянная,, не зависящая от п. , п. = Z , -. ■ •

Обозначим через Н.(класс аднкши f(x) е > удовлетворяющих условна - (f> Х)Нр,р £ JliX,

где JU _ некоторая постоянная, не зависяпая от , 0$ Kit.

.Теорема 2. Пусть / *<■р £ °° , оС = о, {, z . Тогда для любых р , удовлетворяющих условию

d.-J-<5<ZJ.-~t2 am 4 < Р< ,

г ' г

сС -{</>£ 2°С пря Р = {>

$ fi < + Z при р ~ »»

и {О; + А.< *

классы функшй сошадают между собой а

совпадают с классом' 4ункида • Е(р>Р>л).

Зо второй глазе, в тола же пространстве , найдены

промежутка изменения веса /параметра ft /, в которых сохраняются прямая д обратная теоремы теорги приближений для обобщенного ыопуля непрерывности, определяемого оператором Ватссяа-Лагзрра / [9] /. ■

Этот оператор обобщенного сдвига определяется следушам образом:

[9] V/aisoa СЛ. Jaalk tr note ¿л Xaouerrt co?unorr.ia £) jj У- Xondon JJ.o.i.i. Sac /939. - rt. - p. 19 - ZZ .

' 'х) о

хяе

иг*)- 7~ --< ■ УА/—

Г(%) - Эйлеров интеграл второго рода, Я = х + & + ¿¡/ТГсму ■

Обобшеннни модуль непрерывности вводится следующие ооразо«:

¿7 (I /, ¿)р = Ц - Т£ (?. -х)Ц .

■ " о* £ ' '

Для этого модуля непрерывности получена / [ю] У Теорема А. Дусть 0 . Тогда для

4уншзяи {(гх)еХ^ имеют место следующие неравенства

С{$ ¿3 Г/.я - ЕА(Г)р^ ,

где положительные постоянные С{ и не зависят от / и л. Как видим, в теореме к иарааетр обобщенного модуля непрерывности совпадает с параметром веса пространств. Б диссертационной работе показано, что пржшя и обратная теоремы теории приближений остаются справедливыми и при Езыеаенаи веса в некоторых граяшах, а именно, справедлива Теорема 3. Пусть 00 , с¿5С, ^ - некоторое

число из промежутка

[ю] Фёдоров В.Ы. Некоторые вопросы теории приближенна.: Засс. ... канд. <£аэ„-ыат. наук.- !Л., 6Д17.- 1383.- 127 стр.

- { < е> ч< ¿<1 при р = /,

О ^ р < * / ПрИ р = » ■

Тогда, для функции теът место следующие

неравенства

* - г/. < £ £

где положительные иостоянные С4 и не зависят от /ал. При й = оС теорема 3 совпадает с теоремой. А. 3 зтои главе получена танде теорема о совпадении соответствующих классов функции 2 г .

3 третьей главе рассматривается пространство Функций, измеримых ка отрезке 1, У] а таких, что М{х)Цр,А.л < °° . где

* л *

1 «у «*■« \{ыа-ал)Ча*)х\, /> = <*-

I

fj.

Рассмотрим оператор обобщенного сдззага > А

TÍ (Г-*)

введенный в работа / [ll] / следующим образом:

[ll] ¡ota-pc* M.K-, Jiodorov II. М., Traoue €а. Я.

JctrcCt de Сх mejor aproximad ion de funciones

üvisaraé€es en espacio cvn pazo jj

Rzv. cieñe. W- - ММ. -v.Z.- -

ГДЭ J7 - { I <Ъ ,

С£У в - ъинЯ, + COJ у> t/f-X* tin. &

¡//1-х COj J > tO! f У/ -X ' </Ul г COi f Z __,___"Z

I/ 1 ■* XCOiK. + ¿сиу ^

Обобщенный модуль непрерывности введем следующим образом:

5 f<r. л J -- <«Р р - V (t- •

¡Msi " r

Через Ел (^)prtL/Ji обозначим наилучшее приближение адшша ) алгебрааческшза многочленами степени не выше,

чем (.п-1) в ад&трике пространства Xpru,J . В работе [12] подучен следующий результат Теорема Б. Пусть р i , Ji у - J ■ Тогда для фушащ! шат место неравенства

■ * Ь £ ,

где положительные постоянные. и ^ не зависят от н л , л = 1,2., ...

[12] Потапов Ы-К., Фёдоров В.Ы. 0 георешх Джексона для обобщенного недудя гладкости // Трупы йгДН ССС?.-1985.- г. 172.-С. Э1-2~8.

- II -

Как видам, параметр веса рассматриваемых нростраастз Л принимает тть знтченае сС-0 , '¿амя показано, что имеет место более обпая теорема

Теорема 4. Пусть I Р £ 00 - Л > - / , - некоторое число из промежутка

i.

¿p

¡

< cL < l л / " zp npa / < p < ao

-i < Z. 0í í 0 ' пра

0 $ oí < i при p ~ oa ,

Тогда для функций. имеют место

следуощие неравенства

где положительные постоянные Ct и С, не зависят от ¥ я /»■> При c¿=¿> теореш 4 совладает с теоремой В. В этой же главе получена теорема о совпадения классов функций, определяемых оператором обобщенного сдвига' T¿(f- ^•

При доказательстве прямой и обратной теорем теораа приближений применяется метод К-фунншоналов /[ТЗ]./. Так, например, в первой главе рассматривается класс р)

функций , у каждой аз которых производная

абсолютно непрерывна на каждом конечном отрезке /»» с (°< в функшя - * ^ € XF.I& .

К-фувкцяонал вводятся следулпим образом:

Ш - in? {ifrxhSMio.fi * fMtt&L fl /.

[13] 7. ?ee-tre J Meory of Uder petatean

c¿ r.cmed jpa.ces - - Xecíure neta. —

• i

¿itñji&Q,, 3 ,

- 12 - '

Далее доказывается теорема об "эквивалентности" обобщенного модуля непрерывно ста & л-4ункпиокалу.

Теореиа 5. Пусть ..., р - неьоторсе

число из промежутка

Л ~р при <<р<*о,

л-* < р * ><■ х-ра р -- -/ сС $ уЗ < сС / 1 дрд р - оо .

Тогда для функции /А^6«^} швеог ;..есто следуозиа нвраьвмства

¿г

где положительные постоянные С, л £ не зависят от / я ¿^й

Гле доказательства прямой теоремы также строятся некоторый алгебраический многочлен при помост обобтенно^ свертки функции и ядра, задаваемого на отрезке при помоги многочленов Чебыаёва-Якоби» а на полуоси лри помощи многочленов Чебышёва— Хдгерра. Используя "»нвлзалентность" обобщенного модуля недретаЕноста и К-фукйвяояала, показывается, что этот шогочлен дает-необходимую опенку в прямой теореме.

При доказательства обратной теоремы исподьзуотся неравенства типа Маркова-БериггтеЬна для иор« производных алгебраических ыногочлеяоь.

Ера доказательстве теорем о соэпадея.-ш классов цункад^ используотся теоремы об оценках соответствующих опера-торов обобпкнного сдвига в метриках рассматриваемых пространств. Так, например, во второй глазе получены оненли нор;«ы оператора Т, а именно, справедлива

- 13 -

Теорема Р. Пусть Ноэ , d -> Р , ' <Т _ хтбое число из промежутка D < 6 < + f . Пусть { < р < са

О I fi-J,<L-i t Р ъ - ¿Л/ I ;

при р = i

Со, -/< р i иы, t

$ ~ i j3-J.cC-, j3 ;

при р- <х>

Со, о i р < ¿ci.

Тогда

/¡Mlr,f< I* IMrn}

где достоянная С не зависят от $ и ¿г-. •

Автор выратаег своэ глубонув признательность научно^ руководителя профессору М.К. Потапову за постановку задач, постоянное вншание и еойэпь в работа.

ШМСМШ ПО ТЗЙЕ РЛССЕРТАШ

1. Танкаевг С.К. Об условиях совдаленхя некоторых классов функций, определяемых оператором Чебышёва-Лагерра // Теория приближения я Еложеняя ^уакиюнальншс-дросгрансгв; Республиканская науч. кона., Караганда, 20-22 июня 1аэ1 Аарапанда, 1991 /тез. докл./.- С. За.

2. Танкаева С.К.. 0 приближении алгебраическими многочленами функций, заданных на полуоси [О,00) . - , 1<»2.- 36

Леи. в ЖШ РАН 02.07.32, Л 2145- ВЭ2.

3. Таккаева С.К. 0 теоремах ркекоона на отрезке Е полуоси

[С, ос)

// Изв. АН республики Казахстан.-сер. фяз.-кат.- 1992.- * 5.- С. 45-4Э.