Некоторые вопросы теории суммирования рядов Фурье-Лагерра тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ
|
Бурмистрова, Мария Дмитриевна
АВТОР
|
||||
|
кандидата физико-математических наук
УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
|
||||
|
Москва
МЕСТО ЗАЩИТЫ
|
||||
|
2008
ГОД ЗАЩИТЫ
|
|
01.01.01
КОД ВАК РФ
|
||
|
|
||||
Московский государственный университет им М В Ломоносова Механико-математический факультет
На правах рукописи УДК 517 5
Бурмистрова Мария Дмитриевна
НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ТЕОРИИ СУММИРОВАНИЯ РЯДОВ ФУРЬЕ-ЛАГЕРРА
01 01 01 - математический анализ
АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук
003449172
Москва, 2008
003449172
Работа выполнена на кафедре высшей математики — 2 Московского государственного института электронной техники (технического университета)
Научный руководитель
кандидат физико-математических наук, доцент С Г Кальней
Официальные оппоненты
доктор физико-математических наук, профессор М И Дьяченко, кандидат физико-математических наук, Р С Лариончиков
Ведущая организация
Московский технический университет связи и информатики
Защита диссертации состоится 31 октября 2008 года в 16 часов 45 минут на заседании диссертационного совета Д501 001 85 при Московском государственном университете им М В Ломоносова по адресу 119991, ГСП-1, Москва, Ленинские горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 16-24
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (главное здание, 14 этаж)
Автореферат разослан 30 сентября 2008 года
Ученый секретарь диссертационного Совета Д 501 001 85 при МГУ, доктор физико-математических наук, профессор
И H Сергеев
Актуальность темы. Ортогональные многочлены и ряды Фурье по ним имеют широкое применение в различных областях математики, математической физики, в задачах обработки информации, при решении дифференциальных и интегральных уравнений и в других задачах Одной из основных проблем теории рядов Фурье по ортогональным многочленам, как и в целом теории ортогональных рядов, является исследование условий их сходимости и суммируемости Сходимость и суммируемость рядов Фурье изучаются как для произвольных систем ортогональных многочленов, так и для конкретных систем ортогональных многочленов В частности, большое теоретическое и практическое значение имеет исследование вопросов суммируемости разложений Фурье по классическим ортогональным многочленам Якоби, Jlareppa, Эрмита, тесно связанным с решением краевых задач математической физики
Особый интерес представляют ряды по многочленам Лагерра и Эрмита, ортогональным на бесконечном промежутке Неограниченность промежутка вносит существенные сложности в исследование указанных выше вопросов В нашей работе изучается задача о суммировании рядов Фурье-Лагерра линейными методами
Рядом Фурье-Лагерра называется разложение
00
/(*)-о)
т=О
где (7), СО — 1, - ортонормированные многочлены Лагерра,
00
ат = j tae ! f{t}i?m {t}dt - коэффициенты Фурье-Лагерра О
Вопросам сходимости ряда (1) к разлагаемой функции посвящено много исследований В них, в основном, изучалась сходимость рядов Фурье-Лагерра интегрируемых функций в весовых пространствах Лебега и поточечная сходимость в случае непрерывных и дифференцируемых функций Наибольший вклад в исследование задачи о сходимости ряда (1) в среднем в пространствах интегрируемых с различными весами функций внесли X Поллард1, Р Аскей и С Вейнгер2, Б Макенхоупт3 Ряд результатов о поточечной сходимости рядов Фурье-Лагерра изложены в монографиях Г Сеге «Ортогональные многочлены», П К Суетина «Классические ортогональные многочлены» Приближение алгебраическим многочленами
дифференцируемых функций на [0,+со) с весом Лагерра в 'ta изучалось А
1 Pollard H The mean convergence of orthogonal series II Transactions of the American Mathematical Society, 1948, v 63, p 355-367
2 Askey R. and Wamger S Mean convergence of expansions m Laguerre and Hermite series. Amer J Math, 1965, v 87, p 695-708
3 Muckenhoupt B Mean convergence of Hermite and Laguerre series 1,11 Trans Amer Math Soc,1970,v 147, Pj. 419-460 \
X. Бабаевым, В К Лащеновым, М К Потаповым, С К Танкаевой, В М Федоровым и другими математиками
Однако известно, что существуют непрерывные, и, более того, дифференцируемые функции, ряд Фурье-Лагерра которых расходится в заданной точке. Также существуют функции, ряд Фурье-Лагерра которых расходится по норме пространства интегрируемых с весом функций Возникает вопрос о тех методах, которыми можно его суммировать В диссертации рассматриваются линейные методы суммирования, задаваемые
треугольными матрицами Л = |/1^| (т — 0,1, ; я = 0,1, .;
при т>п + 1^ Каждая такая матрица определяет последовательность многочленов
т:(/,х,А)=£л1\1ат(х), (2)
от=О
называемых линейными средними ряда Фурье-Лагерра
Говорят, что ряд (1) суммируется в точке Х0 методом, задаваемым
матрицей А, если —> /\хо) при п —> оо Метод,
задаваемый матрицей А, называется регулярным в точке Х0 на пространстве
О функций, заданных на если для любой функции / е (7 ряд (1)
суммируется к ) этим методом в точке х0
Если О является подпространством пространства непрерывных на [0,оо) функций и для любой функции / е(? линейные средние ряда (1)
равномерно сходятся к / на [0,со), то метод Л будем называть равномерно регулярным на О (или просто регулярным)
Точка ? = О называется точкой Лебега функции /, если существует число А такое, что Ь
Д/(г)-Л|Л = о(Л), /г —» +0
о
В диссертации рассматриваются следующие задачи 1 При каких условиях на матрицу А соответствующий метод суммирования является регулярным в точке Хд или равномерно регулярным на некотором подпространстве пространства непрерывных функций9
со
2) Пусть ряд ат 1"т (х) является рядом Фурье-Лагерра некоторой
т=О
функции / и пусть его коэффициенты удовлетворяют условию монотонности или его обобщениям При каких дополнительных условиях на коэффициенты этот ряд сходится к функции f в метрике пространств интегрируемых с весом функций9
3) Пусть /еЬ/Кв)(0,оо) = |/:1/^(в) =|/(0|е^й<со|
и точка X = 0 есть точка Лебега функции / При каких условиях на матрицу А и, если потребуется, дополнительных условиях на поведение функции / на бесконечности, г"(/,0,А)->Л при п—>х> Здесь А -число из определения точки Лебега
Постановка данных задач берет начало в теории тригонометрических рядов Фурье, для которых эти задачи наиболее полно исследованы Существенные результаты для тригонометрических рядов были получены А Н Колмогоровым, С М Никольским, С Б Стечкиным, А В Ефимовым, С А Теляковским Для других ортонормированных систем указанные задачи изучены в меньшей мере, причем, из методов суммирования рассматривались, в основном, методы суммирования Чезаро В частности, для рядов Фурье-Лагерра в работах Г Сеге, Э Г Когбетлянца, К Маркетта, А Л Поиани и других математиков были получены условия сходимости средних Чезаро в точке X = 0, а также в некоторых весовых пространствах Лебега Для произвольных линейных методов суммирования значительные результаты были получены С Г Кальнеем в случае рядов Фурье-Якоби, Б П Осиленкером в случае рядов по ортонормированным с весом на конечном отрезке системам полиномиального вида Для рядов Фурье-Лагерра произвольные линейные методы суммирования рассматривались в работе Дж Гаспера и В Требельса4 Ими была получена оценка снизу функции Лебега-Лагерра линейных средних
Хорошо известно, что исследование сходимости и суммируемости линейных средних ортогонального ряда тесно связано с изучением задачи об ограниченности соответствующей функции Лебега Постановка задачи о нахождении эффективных условий ограниченности функции Лебега метода суммирования берет начало от известной работы С М Никольского5 Далее С Б Стечкин, А В Ефимов, С А Теляковский и другие математики получили различные необходимые и достаточные условия ограниченности констант Лебега для тригонометрических рядов, выраженные через
4 Gasper О , Trebels W A lower estimate for the Lebesgue constants of linear means of Laguerre expansions Res Math 1998, v 34, p 91-100
5 Никольский С M О линейных методах суммирования рядов Фурье, Изо АН СССР, сер матем, 1948, т
12, с 259-278
коэффициенты матрицы Л, их первые разности ЛЯ^ = Л^ - Л^ и
вторые А= А ^АЛ^ | В случае рядов по другим ортогональным
системам задача об ограниченности функции Лебега также изучалась, хотя и в меньшей мере Некоторые условия ограниченности функции Лебега в случае рядов Фурье по многочленам, ортогональным на конечном промежутке, могут быть получены из работ Б П Осиленкера6 Для
суммирования рядов Фурье по многочленам Якоби Р^'^ (х), С Г
Кальнеем7 была доказана теорема, аналогичная теореме С М Никольского В нашей диссертации рассматривается задача об ограниченности функции
00
т=О
dt Нами показано, что из условий
ограниченности данной функции следуют достаточные условия регулярности линейных средних рядов Лагерра для некоторых классов непрерывных функций
Задача о сходимости в метрике Ь тригонометрических рядов с коэффициентами, удовлетворяющими различным обобщениям условия монотонности исследовалась А Н Колмогоровым, Е Хилле и Я Д Тамаркиным, С А Теляковским, Г А Фоминым и другими авторами Ряд классических результатов отражен в монографиях А Зигмунда «Тригонометрические ряды» и Н К Бари «Тригонометрические ряды» Для рядов Фурье-Якоби подобная задача рассматривалась С Г Кальнеем
Задача о суммируемости в точках Лебега для тригонометрических рядов Фурье изучалась С М Никольским, А В Ефимовым и другими математиками Для рядов Якоби данная задача для чезаровских средних рассматривалась в монографии Г Сеге «Ортогональные многочлены», а для более широкого класса методов суммирования - в работах С Г Кальнея8
Цель работы. Целью диссертации является получение эффективных условий ограниченности функции Лебега-Лагерра и, на их основе, необходимых и достаточных условий сходимости линейных средних рядов Фурье-Лагерра, выраженных через коэффициенты матрицы А, изучение задачи о сходимости линейных средних (2) в точках Лебега, а также задачи о сходимости рядов Фурье-Лагерра с квазимонотонными коэффициентами
'ОсиленкерБ П Оценка роста функции Лебега линейных методов суммирования Матем Заметки 1968 т 6, № 3, с 277-286
Осиленкер Б ГТ О сходимости и суммируемости разложений Фурье по ортонормированным полиномам, ассоциированным с разностными операторами второго порядка Сиб матем ж , 1974, т 15, №4, с 892-908 'КзльнейС Г О необходимых и достаточных условиях суммируемости рядов Якоби Изв ВУЗов, матем 1991, т 348, №5, с 75-78
8КальнейС Г Суммируемость рядов Якоби треугольными матрицами Матем заметки 1983 т 34, с 91103
Kal'nei S G , On the summability of Jacobi series at Lebesgue points Analysis Math 2003 v 29, p 181-194
Научная новизна. Все полученные результаты являются новыми и состоят в следующем
1 Получены оценки сверху функции Лебега-Jlareppa линейных средних, а также условия на матрицу А, необходимые и достаточные для регулярности соответствующего метода суммирования
2 Доказаны теоремы о сходимости ряда Фурье-Лагерра в интегральной метрике при условии, что его коэффициенты образуют квазимонотонную последовательность Причем сходимость рядов
Фурье по стандартизованным многочленам Лагерра L?m установлена не
только в пространстве функций интегрируемых с весом е Х^ха, но и
-х/2 у
в пространствах функций интегрируемых с весом е X , где у Ф СХ удовлетворяет некоторым дополнительным условиям
3 Получены достаточные условия сходимости линейных средних рядов Фурье-Лагерра в точке Лебега t = 0 функции f для более широкого класса матриц А, чем матрицы, определяющие методы суммирования Чезаро
Методы исследования. В работе используются методы теории функций и функционального анализа исследования сходимости последовательностей линейных функционалов и операторов, методы теории сингулярных интегралов Также в диссертации использованы некоторые из методов, разработанные в теории суммирования тригонометрических рядов Фурье и рядов по системам многочленов, ортогональных с весом на конечном промежутке, хотя, как уже отмечалось выше, с их применением в случае рядов Фурье-Лагерра возникают дополнительные сложности из-за бесконечности промежутка ортогональности
Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер Ее результаты и методы могут быть использованы для дальнейших исследований в теории приближения и ортогональных рядов
Апробация работы. Результаты диссертации неоднократно докладывались на научных семинарах по теории функций и ортогональных рядов под руководством акад П Л Ульянова, проф М К Потапова, проф М И Дьяченко (мех -мат МГУ, 2005, 2006), на семинарах под руководством проф С А Теляковского (МИРАН им В А Стеклова, 2005, 2004), на 12-й и 13-й Саратовских зимних математических школах (Саратов, 2004, 2006), Воронежской зимней математической школе (Воронеж, 2005), III и VI международных симпозиумах «Ряды Фурье и их приложения» (Новороссийск, 2005, 2006)
Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 10 работах автора, список которых приведен в конце автореферата ([1]-[10]) Публикаций, сделанных в соавторстве, нет
Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на параграфы и списка литературы Объем работы 101 страница, библиография 62 названия
Краткое содержание диссертации
Во введении даются постановки задач, делается краткий обзор полученных ранее другими авторами результатов по рассматриваемым вопросам и результатов диссертации
В первой главе изучаются необходимые и достаточные условия регулярности методов суммирования
В § 1.1 приведены доказательства базовых утверждений, необходимых для обоснования результатов первой главы
Пусть С - пространство непрерывных на [0, со) функций f, для которых lim f(x)e~x!2 =0, с нормой Ц/Ц^ = sup В§
Х-+-КО 0<х<оо
1 1 доказано, что это пространство является банаховым, показано, что любая функция f 6 С разложима в ряд Фурье-Лагерра Отметим, что множество алгебраических многочленов плотно в этом пространстве Кроме того, в этом же параграфе показано, что преобразования Х,Л) - непрерывные
линеиные операторы из
С в С с
м
х>0
а в
случае фиксированного X = Х0 - непрерывные линейные функционалы на С
= ££(х0,Л),где ££(х,Л)= {
т=0
fdt
функция Лебега-Лагерра Таким образом, из теоремы Банаха-Штейнгауза следует, что ограниченность взвешенной функции Лебега-Лагерра при некоторых дополнительных условиях обеспечивает регулярность метода суммирования
Во втором параграфе главы 1 исследуется поведение функции
Лебега-Лагерра (х, А) в точке X = 0 и даются условия на
коэффициенты матрицы Л, необходимые и достаточные для регулярности метода суммирования Л в этой точке
Основными результатами главы являются следующие теоремы
Теорема 1.2.1. Пусть О <СС <—.Тогда для функции Лебега-Лагерра
линейных средних справедливо неравенство
»
i
п-1 f
(О,А) < С шах ЛW +СУ(т +1)
m=0
п-т
\ п +1 .
А2^
Эта оценка функции Лебега-Лагерра позволяет получить аналог известной теоремы С М Никольского9 о сходимости линейных средних тригонометрических рядов и теоремы С Г Кальнея10 о сходимости линейных средних рядов Фурье-Якоби
Теорема 1.2.2 Пусть 0 < а < — Если А2А$ >0 (< 0) при всех
/И = 0,1, ,п — к, где к > 1 - фиксированное число, не зависящее от п, то для ограниченности (0,Л) необходимо и достаточно, чтобы
4Я) ^С, (т + 1)а(п + 1-ту3/2~а<С
т=О
Как следствие теоремы 12 2 и критерия регулярности метода суммирования в точке, доказанного в § 1 1 (утверждение 1 1 7) получаем теорему о регулярности в точке X = 0 методов суммирования
Теорема 1.2 3. Пусть 0 < а < — Если вторые разности Д2А^ > О (< 0) при всех т - 0,1, ,п — к, где к > 1 - фиксированное число, не
А
зависящее от п, то для регулярности в точке Х0 = О на пространстве С
метода суммирования, задаваемого матрицей А, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия
№
О
<с,
« = 1,2, ,
2) ^ ^ {т + \)а {п^\-т)-Ъ12-а <С, « = 1,2, ,
т=о
3) Л^ —> 1 при п —> со для всякого фиксированного т
Отметим, что из теоремы 12 3 следует регулярность в точке Хд = 0 на С методов Чезаро (С,8) при 8 > а +1/2, а также методов суммирования
'Никольский С М О линейных методах суммирования радов Фурье Изв АН СССР, сер матем , 1948, т
12, с 259-278
|0КальнейС Г О необходимых и достаточных условиях суммируемости рядов Якоби Изв ВУЗов, матем 1991,т 348, К°5, с 75-78
Зигмунда, задаваемого матрицей А^ = 1 ■
( \s т
п + \)
,8 > 0, и Рисса
Д1Я) =
1-
т и + 1
.2Л15
1
,5 >а + — 2
/
При доказательстве теоремы 1 2 1 важную роль играет полученная во втором параграфе первой главы оценка интеграла от ядер Вапле Пуссена по многочленам Лагерра
КЛх>') = Т-7 £ (*•'). (л,* = 0,1,. ,кйп),
К +1 т=п-к
где £>£ (х,?) - ядро Дирихле по многочленам Лагерра
Лемма 1 2.1. Пусть П, к — 0,1, ; к < п. Тогда имеет место следующая оценка
1
fc(0 ,t)e~itadt<C
п +1
к +1
п +1
jln(* + 2),
к + {п + \)а+\
к +1
0<а<
а--
а>-2
1
В третьем параграфе первой главы показано, что усчовия теоремы 12 3 будут необходимыми и достаточными для равномерной регулярности метода суммирования Этот факт является следствием того, что
шах(е~х12 достигается в точке х = 0 (утверждение 13])
Частный случай этого результата для функции Лебега-Лагерра чезаровских средних ранее был установлен Е ГерлихомиК Маркеттом"
Во второй главе изучается задача о сходимости рядов Фурье-Лагерра с квазимонотонными коэффициентами Рассматривается ряд по стандартизованным многочленам Лагерра
00
т=О
"GfirlichE andMarkettC A convolution structure for Laguerre series Indag Math 1982 v 44 p 161-171
при этом предполагается, что он является рядом Фурье-Лагерра некоторой
1 °°
функции /, то есть что ат = —-—
I + 0
(/72 = 0,1,.) Функция / предполагается принадлежащей пространству
ч={/ = у^р-*2** <»}. у
Последовательность } называется квазимонотонной с показателем и > 0, если последовательность < —— I монотонно убывает к нулю
\тП
В § 2.1 доказаны теоремы
Теорема 2.1.2 Пусть ряд (5) есть ряд Фурье по многочленам Лагерра функции / е Ьа (0,со) (0<а) Если последовательность {ат} квазимонотонна для некоторого Ц > 0, то для сходимости его к / в метрике Ъа (0,оо) необходимо и достаточно, чтобы
т
а 1
Теорема 2.1.3. Пусть --—</ <тт
' а
1
а >— и 2
а,— + — V 2 4,
пусть ряд (5) есть ряд Фурье по многочленам Лагерра функции У е Ну (0,оо) Если последовательность {<Зт} квазимонотонна для некоторого ¡л~> 0, то для сходимости его к / в метрике Ъу (О, со) необходимо и достаточно, чтобы
аттг+1/2-±0 («-» ю)
Третья глава посвящена вопросу сходимости линейных средних в точке X ~ 0 при условии, что она является точкой Лебега /, принадлежащей пространству
и удовлетворяющей некоторым дополнительным условиям на бесконечности В § 3.1 помещены предварительные сведения, необходимые для обоснования результатов третьей главы
Во втором параграфе третьей главы доказана сингулярность ядра Дирихле-Лагерра и найдены условия на матрицу, при которых ядро метода суммирования будет сингулярным
В § 3.3 строятся и исследуются монотонные мажоранты для ядер Фейера и Балле Пуссена В первом случае доказывается интегрируемость этой мажоранты, а во втором случае дается оценка для интеграла от построенной функции, которая в дальнейшем будет использована для доказательства основных результатов третьей главы
В четвертом параграфе третьей главы доказана следующая теорема Теорема 3.4.1 Пусть — 1<ОГ<1/2 и матрица А удовлетворяет следующим условиям
1) Л^ —> 1 при п —> оо для всякого фиксированного т,
точкой Лебега, А -суммируем в этой точке
В теореме 3 4 1 предполагается, что функция / интегрируема на бесконечности с единичным весом, что является сильным требованием Желательно ослабить ограничение на интегрируемость функции на бесконечности Это можно сделать, применяя теорему Д К Фаддеева о сходимости сингулярных интегралов в точках Лебега не на всем промежутке (0,оо), а на некотором отрезке, содержащем точку X = 0 (точку Лебега), а
на оставшемся промежутке применяя другие соображения Этому и посвящен пятый параграф главы 3, в котором доказаны основные результаты главы о суммируемости в точке Лебега X — 0 рядов Фурье-Лагерра
Теорема 3.5.1. Пусть —1/2 < ОС <1/2 и матрица А, коэффициенты которой ограничены, удовлетворяет условиям
т=и
Тогда ряд Фурье-Лагерра функции
имеющей точку X = О
1) Нш Л^ ^ — 1 для всякого фиксированного т,
П-+СО
2)
3) существует число 3 < 0, такое, что
т-и
Если функция f е УД°илетБ0Ряет условию
00
1
то ряд Лагерра функции f А - суммируем в точке Лебега х = О
Кроме теоремы 3 5,2, в § 3 5 получена еще одна теорема о суммируемости рядов Фурье-Лагерра в точке Лебега Х = 0
Теорема 3.5.2. Пусть -1/2 < а < 1/2 и ограниченная матрица А удовлетворяет условиям
1) lim 4'0 = 1 Для всякого фиксированного W,
и-1
2) £(/И + 1)
w=0
n — m п +1
Л Г-«
2, И
АД
<С,
и, кроме того, существует число 5 < 0, такое, что
3) £(/л + 1)
а/2+3/4
т=О
<Сиг
Тогда ряд Фурье-Лагерра функции / 6 ^р(а) 00) ^ " сУммиРУем в точке Лебега I — 0, если существует число / > 0 такое, что
J|/(0<
fdt< 00
для некоторого />>1, причем в случае 1/6 < С£ < 1/2 и £>1/12 — «/2 предполагается, что р удовлетворяет дополнительному условию
12^ + 12
-
6а-1 + Ш
Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю кандидату физико-математических наук, доценту Сергею Григорьевичу Кальнею за постановку задач и постоянное внимание ко всем этапам данной работы
Работы автора по теме диссертации
1 БурмистроваМ Д О суммируемости рядов Лагерра линейными методами Известия Саратовского университета Серия Математика Механика Информатика 2008, Вып 1,с 15-20
2 Бурмистрова М Д О необходимых и достаточных условиях суммируемости в нуле рядов Фурье-Лагерра Тезисы докладов 12-й Саратовской зимней математической школы Саратов, 2004, с 38-39
3 Бурмистрова М Д О равномерной регулярности методов суммирования рядов Фурье-Лагерра Тезисы докладов Воронежской зимней математической школы Воронеж, 2005, с 46-47
4. Бурмистрова М Д О сходимости в метрике La (0, со) и La/¿ (0,сс)
рядов Фурье-Лагерра с квазимонотонными коэффициентами Тезисы XIII Международной конференции «Математика Экономика Образование» и III Международного симпозиума «Ряды Фурье и их приложения», Ростов-на-Дону, 2005, с 13-14
5 Бурмистрова М Д О суммируемости рядов Лагерра в точках Лебега Тезисы докладов 13-й Саратовской зимней математической школы Саратов, 2006, с 41
6 Бурмистрова М Д О линейных методах суммирования рядов Лагерра для полуцелых а Тезисы XIV Международной конференции «Математика Экономика Образование» и IV Международного симпозиума «Ряды Фурье и их приложения», Ростов-на-Дону, 2006, с 18-19
7 Бурмистрова М Д О сходимости в метриках пространств La (О, оо) и Az/2 (0>°°) рядов Фурье-Лагерра с квазимонотонными
коэффициентами Вестник Московского государственного университета печати, 2006, с 7-14
8 Бурмистрова М Д О сходимости в метрике пространств (0, со)
рядов Фурье-Лагерра с квазимонотонными коэффициентами Труды XIII Международной конференции «Математика Экономика Образование» и III Международного симпозиума «Ряды Фурье и их приложения», Ростов-на-Дону, 2005, с 5-9
9 Burmistrova М D On necessary and sufficient conditions of the regularity of summation methods for Laguerre-Founer senes Analysis Math, 2006, v 32, № 4, p 247-264
10 Бурмистрова M Д О суммируемости рядов Лагерра в точках Лебега Сборник научных трудов «Фундаментальные физико-математические проблемы и моделирование технико-технологических систем», вып 9, М, Изд-во «Янус-К», 2006, с 8-12
Издательство ЦПИ при механико-математическом факультете МГУ им М В Ломоносова
Подписано в печать 23 Off ОЬ Формат 60x90 1/16 Уел печ л D,?S Тираж -(QL) экз Заказ
Отпечатано с оригинал-макета на типографском оборудовании механико-математического факультета
Введение.
Глава I. О РЕГУЛЯРНОСТИ МЕТОДОВ СУММИРОВАНИЯ РЯДОВ
ФУРЬЕ-ЛАГЕРРА НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ.
§1.1. Вспомогательные утверждения.
§ 1.2. Регулярность в точке X = 0 методов суммирования рядов Фурье
Лагерра непрерывных функций.
§1.3. Равномерная регулярность методов суммирования рядов Фурье
Лагерра.
Глава II. СХОДИМОСТЬ РЯДОВ ФУРЬЕ-ЛАГЕРРА С
КВАЗИМОНОТОННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ В
ПРОСТРАНСТВАХ ЛЕБЕГА.
§2.1. О сходимости рядов Фурье-Лагерра с квазимонотонными коэффициентами в пространствах ЛебегаЬу (0,оо).
Глава III. СУММИРУЕМОСТЬ РЯДОВ ФУРЬЕ-ЛАГЕРРА
ИНТЕГРИРУЕМЫХ ФУНКЦИЙ В ТОЧКАХ ЛЕБЕГА.
§3.1. Предварительные сведения.
§3.2. Сингулярность ядра линейных средних по полиномам Лагерра.
§3.3. Построение монотонных мажорант для ядер Фейера и Валле
Пуссена.78
§3.4. Суммируемость рядов Фурье-Лагерра интегрируемых с единичным весом функций в точке Лебега t = 0.
§3.5. Сходимость в точке Лебега t — 0 линейных средних для функций пространства L.
Ортогональные многочлены и ряды Фурье по ним имеют широкое применение в различных областях математики, математической физики, в задачах обработки информации, при решении дифференциальных и интегральных уравнений и в других задачах. Одной из основных проблем теории рядов Фурье по ортогональным многочленам, как и в целом теории ортогональных рядов, является исследование условий их сходимости и суммируемости. Сходимость и суммируемость рядов Фурье изучаются как для произвольных систем ортогональных многочленов, так и для конкретных систем ортогональных многочленов. В частности, большое теоретическое и практическое значение имеет исследование вопросов суммируемости разложений Фурье по классическим ортогональным многочленам Якоби, Лагерра, Эрмита, тесно связанным с решением краевых задач математической физики.
Особый интерес представляют ряды по многочленам Лагерра и Эрмита, ортогональным на бесконечном промежутке. Неограниченность промежутка вносит существенные сложности в исследование указанных выше вопросов. В нашей работе изучается задача о суммировании рядов Фурье-Лагерра линейными методами.
Пусть \frm (Г)] , а>—1, - ортонормированная на [0,оо) с весом p(t,CC^ = е ~ta система многочленов Лагерра, то есть система алгебраических многочленов таких, что
00 о где 8т i - символ Кронекера. Для определённости положим знак старшего коэффициента (t) равным .
Пусть для некоторой функции f существуют интегралы
00
Ctm — jtae t f [t^I^^t^dt. Тогда функции f можно поставить в О соответствие её ряд Фурье-Лагерра
00
1) т=О
Вопросам сходимости ряда (1) к разлагаемой функции посвящено много исследований. В них, в основном, изучалась сходимость рядов Фурье-Лагерра интегрируемых функций в весовых пространствах Лебега, то есть в пространствах функций f измеримых по Лебегу на [0,+оо) и таких, что
Г™ \1/Р
Л/смоГ dt vo J оо, 1 < р < со, причем весовая функция u(t) связана с весом Лагерра Также изучалась поточечная сходимость в случае непрерывных и дифференцируемых функций.
Наиболее существенный вклад в исследование задачи о сходимости в среднем в пространствах интегрируемых с различными весами функций внесли X. Поллард [58], Р. Аскей и С. Вейнгер [42] и Б. Макенхоупт [55], [56]. Отметим, что сходимость в среднем рядов Фурье-Лагерра существенно зависит от выбора весовой функции u(t). X. Поллард в работе [58] рассматривал сходимость в среднем с весом u{t) — e и доказал, что ряд Фурье
Лагерра сходится в метрике этого пространства только когда р = 2. Р. Аскей и
С. Вейнгер [42] рассматривали сходимость в пространствах I/ с весовой функцией = , при а > 0. Они доказали, что в таком пространстве сходимость ряда Фурье-Лагерра будет иметь место при всех 4/3 <р< 4. Макенхоупт в работах [55], [56] рассматривал произвольные весовые функции. Более того, в работе [56] он рассматривал задачу о сходимости ряда Фурье-JIareppa функции, принадлежащей весовому пространству с одним весом, в метрике пространства с другим весом. В этой работе Макенхоуптом были найдены такие весовые функции, при которых сходимость в среднем в весовом пространстве L/7 гарантирована при любом 1 < р < оо. Приближение алгебраическими многочленами дифференцируемых функций на [0,+оо) с весом JIareppa е изучалось А. X. Бабаевым [2], В. К. Лащеновым [30], М. К. Потаповым и С. К. Танкаевой [35], [59], В. М. Федоровым [41] и другими математиками. Некоторые результаты о поточечной сходимости рядов Фурье-Лагерра изложены в монографиях Г. Сегё [36] и П. К. Суетина [37]. Отметим, что в силу особенностей поведения многочленов Лагерра в окрестности точки X = 0, поведение частных сумм и линейных средних рядов Фурье-Лагерра в точке X = 0 существенно отличается от поведения их на промежутке [a, b] d (0, +со) (см., например, [36], теоремы 9.1.5 и 9.1.7). Этим вызвана необходимость отдельного исследования сходимости рядов Лагерра в концевой точке промежутка ортогональности. Также отдельного исследования требуют вопросы сходимости на всем промежутке [0, +оо).
Известно, что существуют непрерывные, и, более того, дифференцируемые функции, ряд Фурье-Лагерра которых расходится в заданной точке (см., например, [36], стр. 278 и 282). Следовательно, существуют функции, ряд Фурье-Лагерра которых не сходится на промежутке [0,+оо). Поскольку ряд Фурье-Лагерра может расходится, как в отдельных точках, так и в метрике весового If пространства (см. [42], [55], [58]), возникает вопрос о тех методах, которыми можно его суммировать. Имеется ряд исследований, в которых рассматривались вопросы суммируемости рядов Фурье-Лагерра конкретными методами — методами Чезаро ([36], теорема 9.1.7, [49-50], [53-54], [57], [62]). В работах [49], [53-54], [57] рассматривалась суммируемость методами Чезаро в весовых I/ пространствах, были получены оценки сверху и снизу норм операторов чезаровских средних в этих пространствах. Поскольку множество алгебраических многочленов является плотным в лебеговых пространствах с подходящими весами (см. [56]) при р < оо, то из ограниченности норм операторов соответствующих средних можно делать выводы о суммируемости методами Чезаро. Суммируемость методами Чезаро рядов Фурье-Лагерра в точке X = 0 при условии непрерывности разлагаемой функции в этой точке исследовалась в монографии Г. Сегё ([36], теорема 9.1.7). Что касается произвольных методов суммирования, необходимо отметить, что в последнее время активно развивается теория мультипликаторов для разложений по многочленам JIareppa (см., например, [45-47], [61]), которая тесно связана с суммированием рядов Фурье-Лагерра (см. [45]). Однако задача о суммируемости рядов Фурье-Лагерра произвольными методами суммирования остаётся мало изученной.
В нашей работе рассматриваются линейные методы суммирования, задаваемые треугольными матрицами А = |я^| (т = 0,1,.; п = 0,1,.;
Л^ - 0 При т > л + lj. Каждая такая матрица определяет последовательность многочленов
2) т=О называемых линейными средними ряда Фурье-Лагерра.
Будем говорить, что ряд (1) суммируется в точке Х0 методом, задаваемым матрицей А, если Л) —> /{xq) при п—> оо. Метод, задаваемый матрицей Л, будем называть регулярным в точке на подпространстве G пространства функций, заданных на [0,со)5 если для любой функции f е G ряд (1) суммируется к ) этим методом в точке
Xq.
Если G является подпространством пространства непрерывных на [0,оо) функций и для любой функции / gG линейные средние ряда (1) равномерно сходятся к f на [0,оо)3 то метод Л будем называть равномерно регулярным на G (или просто регулярным).
Одним из вопросов, исследуемых в настоящей работе, является задача о нахождении условий на коэффициенты матрицы Л, при выполнении которых метод суммирования, задаваемый этой матрицей, будет регулярным в точке или равномерно регулярным на некотором подпространстве пространства непрерывных функций.
Линейные средние (2) являются линейными операторами на соответствующем пространстве функций, а при фиксированном X - линейными функционалами. Поэтому при изучении задачи естественно использовать известную теорему Банаха-Штейнгауза ([26], с. 266). Однако из-за бесконечности промежутка ортогональности многочленов Лагерра при её использовании возникают дополнительные сложности. Например, не всякая непрерывная на [0, оо) функция может быть разложена в ряд Фурье-Лагерра.
Кроме того, множество алгебраических многочленов плотно не во всяком подпространстве пространства непрерывных функций, разложимых в ряд Фурье-Лагерра. Поэтому возникает вопрос о выборе подходящего подпространства пространства непрерывных на положительной полуоси функций. В § 1.1 настоящей работы показано, что в качестве такого подпространства можно взять пространство С непрерывных на [О, со) функций f, для которых Иш = 0, с нормой
Ас = sup |ЛХ)
0<Х<оо
X—>+00
-х/2 п
Обозначим К% (x,t,A) = (t) - ядро линейного м=0 метода суммирования, задаваемого матрицей Л. Линейные средние (2)
V А являются (см. § 1.1) непрерывными линейными операторами из С в С с нормой та шахе х/2££(х,л),где лг>0 оО х,Л) = j]^ (x,t,K)e-tl2tadt (3) о
- функция Лебега-Лагерра линейных средних, задаваемых матрицей А. При фиксированном X = х0 линейные средние (2) являются непрерывными линейными функционалами на С с нормой = Применяя теорему Банаха-Штейнгауза, получаем, что для регулярности метода суммирования, задаваемого матрицей А, в точке х0е[0,оо) на С необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия:
1) /%(х0,А)<С, п = 1,2,.;
2) Л^ —> 1 при ft —> оо для всякого фиксированного m. Соответственно, для равномерной регулярности метода суммирования, А задаваемого матрицей Л, на С необходимо и достаточно, чтобы
1) шахе~х!2(х,Л) < С, п = 1,2,.; х>0
2) Л^ —> 1 при П —> оо для всякого фиксированного Ш.
Здесь и далее в работе буквой С будем обозначать величину, не зависящую от п, вообще говоря, в разных случаях разную.
Так как проверка условия ограниченности "^функции Лебега для конкретных матриц трудна, желательно заменить это условие другими, проверка которых не вызывает больших трудностей.
Постановка данной задачи о нахождении эффективных условий ограниченности функции Лебега метода суммирования берет начало от известной работы С. М. Никольского [32]. В этой работе С. М. Никольский показал, что в случае тригонометрических рядов Фурье для выпуклых вогнутых) при каждом п последовательностей Л^ условие ограниченности п констант Лебега Сп (А) = — f
П t следующими условиями: ьт с
1»
1 п т=1 п X м cos mt dt можно заменить
1т т=\ п + 1-т
Со.
Далее С. Б. Стечкин, А. В. Ефимов, С. А. Теляковский и другие математики получили различные необходимые и достаточные условия ограниченности констант Лебега для тригонометрических рядов, выраженные через коэффициенты матрицы А, их первые разности АЛ^ = Л^ — Л^^ и вторые А2Л^ = А ^АЛ^ j. В случае рядов по другим ортогональным системам задача об ограниченности функции Лебега линейных средних также изучалась, хотя и в меньшей мере. Некоторые условия ограниченности функции Лебега в случае рядов Фурье по многочленам, ортогональным на конечном промежутке, могут быть получены из работ Б. П. Осиленкера (см., например, [33], [34]). Для суммирования рядов Фурье по многочленам Якоби
Р^'^ (х) ряд интересных результатов был получен С. Г. Кальнеем. В частности, им в статьях [22-23] была доказана теорема, аналогичная теореме С.М. Никольского.
Для рядов Фурье-Лагерра вопрос ограниченности функций Лебега для общих линейных методов суммирования исследован мало. В работах Е. Гёрлиха и К. Маркетта [48] и [49], К. Маркетта [53], [54], Е. Л. Поиани [57], достаточно подробно рассмотрен вопрос об оценке сверху и снизу норм операторов конкретных линейных средних - средних Чезаро - в ^^ пространствах, 1<р<со, - весовая функция, связанная с весом p{t,Произвольные линейные методы суммирования исследовали Дж.
Гаспер и В. Требельс в работе [45], в которой они, используя схему работы [25], получили оценку снизу функции Лебега для линейных методов суммирования рядов Лагерра. Отметим, что рассматриваемые в работах [48], [49], [53], [54] и
57] при р = оо, сс > 0, пространства включают функции, удовлетворяющие условию lim f(x)e =0, S>0, что сильнее наложенного нами условия lim = 0.
X->+00
Ограниченность функции Лебега-Лагерра играет важную роль не только при изучении сходимости линейных средних в некоторой точке, но и их равномерной сходимости к разлагаемой функции. В связи с тем, что норма
СС ( . л л оператора Тп yf, X, A J из С в С совпадает с нормой этого оператора из L а
ОО в Le, где ~La=<f\ ||/|jL = \\f{t)\e-"2tadt«* а О из ограниченности функции Лебега-Лагерра можно делать выводы также о сходимости линейных средних по норме пространства .
Результаты о сходимости конкретных линейных средних можно применять к исследованию других задач. Так, в нашей работе исследуется задача о сходимости ряда Фурье-Лагерра к разлагаемой функции в интегральной метрике, если коэффициенты ряда удовлетворяют условию монотонности или его обобщениям. Для тригонометрических рядов данная задача исследовалась А. Н. Колмогоровым, Е. Хилле и Я. Д. Тамаркиным, С. А. Теляковским, Г. А. Фоминым и другими авторами. Ряд классических и результатов отражен в монографиях А.Зигмунда [20] и Н. К. Бари [3]. В 1923 году А. Н. Колмогоров в работе [52] полностью решил вопрос о сходимости в метрике L ряда а 00 при условии, что его коэффициенты стремятся к нулю и последовательность \cim } выпукла или хотя бы квазивыпукла. Он показал, что в этом случае ряд
4) является рядом Фурье, а для его сходимости в метрике L необходимо и достаточно, чтобы при т —> оо выполнялось условие ат log т —> 0. Позже С. А. Теляковский и Г. А. Фомин в работе [38] доказали, что условие ат log т —> 0 является необходимым и достаточным для сходимости ряда Фурье (4) в метрике L при условии квазимонотонности последовательности (последовательность jcm j называется квазимонотонной с показателем с,
Ц>0, если последовательность т т<и монотонно убывает к нулю). Аналог теоремы С.А. Теляковского и Г.А. Фомина для рядов Фурье-Якоби был получен С. Г. Кальнеем в работе [24]. Нами доказана соответствующая теорема для рядов Фурье-Лагерра функции f Е La.
Заметим, что данную задачу о сходимости ряда Фурье по многочленам Лагерра Z^ с квазимонотонными коэффициентами можно рассматривать не только в пространстве , но и в пространствах Лебега L^, где у ^ ОС. В настоящей работе доказаны теоремы о сходимости рядов Фурье-Лагерра с квазимонотонными коэффициентами для случая f е Ly, а 1
---< у<mm
2 4 г а п а,—h — v 2 4 у 1 а > —. 2
Еще одним важным вопросом теории суммирования рядов Фурье по классическим ортогональным многочленам представляется вопрос о сходимости линейных средних в концевой точке промежутка ортогональности при условии, что она является точкой Лебега.
Точка t = О называется точкой Лебега функции f, если существует число А такое, что
Задача о сходимости линейных средних рядов по различным ортогональным системам в точках непрерывности и точках Лебега разлагаемой функции рассматривалась во многих работах. В частности, в случае тригонометрических рядов эта проблема изучалась С. М. Никольским [32], А. В. Ефимовым [19] и другими математиками. Для рядов Якоби данная задача для чезаровских средних рассматривалась в монографии Г. Сегё [36], для более широкого класса методов суммирования - в работах С. Г. Кальнея [21], [51], для рядов по ультрасферическим многочленам в работах Топурия С. Б. и других грузинских математиков (см. [39]), Тан Пин [60]. Примечательно, что в случае рядов Якоби для сходимости линейных средних в точке Лебега t — 1 необходимо, вообще говоря, даже для случая чезаровских методов суммирования, накладывать на функцию дополнительное "антиполярное" условие - ограничение на поведение функции в другой концевой точке отрезка ортогональности. В случае рядов Лагерра, в монографии Г. Сегё [36] доказана теорема о сходимости чезаровских средних порядка k> СС +1/2 в точке непрерывности t = 0 функции f при выполнении дополнительного условия, 1 условия в случае рядов Якоби. Нетрудно показать, что упомянутая теорема Г. Сегё остаётся верной, если вместо непрерывности функции в точке t — 0 h
0. о
00 которое является аналогом антиполярного предположить, что точка t = О является точкой Лебега функции f. Для этого достаточно слегка изменить доказательство теоремы аналогично тому, как сделано на стр. 272 монографии [36] для случая рядов Якоби. В настоящей работе мы приводим достаточные условия сходимости линейных средних в точке Лебега t = О функции f для более широкого класса матриц А, чем матрицы, определяющие методы суммирования Чезаро. Наше исследование основано на теореме Д. К. Фаддеева о представлении интегрируемых функций в точках Лебега сингулярными интегралами (см. [40]).
Настоящая работа состоит из введения и трёх глав. Параграфы нумеруются двумя числами, первое из которых обозначает номер соответствующей главы. Так, § 2.1 означает первый параграф второй главы. Теоремы, леммы, формулы нумеруются тремя числами, первое из которых указывает главу, второе - номер параграфа внутри этой главы, а третье - номер теоремы (леммы, формулы) в данном параграфе. Например, теорема 1.2.3 означает третью теорему второго параграфа первой главы.
В первой главе изучаются необходимые и достаточные условия регулярности методов суммирования.
В § 1Л приведены доказательства базовых утверждений, необходимых для обоснования результатов первой главы. В частности, в этом параграфе показано, что ограниченность функции Лебега-Лагерра при некоторых условиях обеспечивает регулярность метода суммирования.
Во втором параграфе главы 1 исследуется поведение функции Лебега
Лагерра в точке X = 0 и даются условия на коэффициенты матрицы
Л, необходимые и достаточные для регулярности метода суммирования А в этой точке. С использованием полученной в этом же параграфе оценки интеграла сумм Валле Пуссена, доказана основная теорема первой главы. 1
Теорема 1.2.1. Пусть \)<СС<—.Тогда для функции Лебега-Лагерра линейных средних справедливо неравенство:
О, Л) < С шах
О <т<п хм
1т c"t(m +1) т—О n-m\i
-а V
А2Я(п)
7 + 1 у
Эта оценка сверху функции Лебега-Лагерра и доказанная Дж. Гаспером и В. Требельсом [45] оценка ее снизу позволяют получить необходимые и достаточные условия ограниченности функции Лебега-Лагерра для выпуклых вогнутых) последовательностей Х^.
Теорема 1.2.2. Пусть 0 <а<—. Если > 0 (< 0) при всех
Ш = 0,1,., и — к, где k> 1 - фиксированное число, не зависящее от п, то для ограниченности (0, А) необходимо и достаточно, чтобы
С, (m + lf (n + \-myV2-a <С. т=0
Как следствие теоремы 1.2.2 и критерия регулярности метода суммирования в точке, доказанного в § 1.1 (утверждение 1.1.7) получаем теорему о регулярности в точке X = 0 методов суммирования, являющуюся аналогом известной теоремы С. М. Никольского [32] о сходимости линейных средних тригонометрических рядов и теоремы С. Г. Кальнея [23] о сходимости линейных средних рядов Фурье-Якоби.
Теорема 1.2.3. Пусть 0 <СС<—. Если вторые разности А2/1^
4 >0 0) при всех т = ОД,— к, где k> 1 - фиксированное число, не зависящее от п, то для регулярности в точке Х0 = 0 на пространстве С метода суммирования, задаваемого матрицей А, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия:
1) л<"> с, тт п
2) (w + lf(« + l-w)3/2"<C, п = 1,2,.; т=0
3) Л^ —> 1 при п —> со Эля всякого фиксированного Ш.
В третьем параграфе первой главы показано, что те же самые условия будут необходимыми и достаточными для равномерной регулярности метода суммирования. Этот факт является следствием того, что max^e достигается в точке X = 0 (утверждение 1.3.1).
Частный случай этого результата для функции Лебега-Лагерра чезаровских средних ранее был установлен Е. Гёрлихом и К. Маркеттом в работе [48].
Во второй главе изучается задача о сходимости рядов Фурье-Лагерра с квазимонотонными коэффициентами. Рассматривается ряд по стандартизованным многочленам Лагерра
00
5) т=О при этом предполагается, что он является рядом Фурье-Лагерра некоторой 00 функции /, то есть что ат = —-— j' ta e~l f (t) Lam (t)/Lam (0)dt
1 + 1J 0 m = 0,1,.).
В § 2.1 доказаны теоремы.
Теорема 2.1.2. Пусть ряд (5) есть ряд Фурье по многочленам Лагерра Ц^ функции f e~La (0,оо) (0 < а). Если последовательность квазимонотонна для некоторого JH > 0, то для сходимости его к f в метрике La (0,оо) необходимо и достаточно, чтобы ma+l/2am ->0 (т-> со). а 1
Теорема 2.1.3. Пусть < У < mm а О а,—ь — 2 4 1
ОС > — — и пусть
V ^ ^ J ряд (5) есть ряд Фурье по многочленам Лагерра функции f £ Ly (О, оо).
Если последовательность квазимонотонна для некоторого jLl> 0, то для сходимости его к f в метрике необходимо и достаточно, чтобы атт
7+1/2 0 (т—»оо).
Третья глава посвящена вопросу сходимости линейных средних в точке X = 0 при условии, что она является точкой Лебега.
В § 3.1 помещены предварительные сведения, необходимые для обоснования результатов третьей главы.
Во втором параграфе третьей главы доказана сингулярность ядра Дирихле-Лагерра и найдены условия на матрицу, при которых ядро метода суммирования будет сингулярным.
В § 3.3 строятся и исследуются монотонные мажоранты для ядер Фейера и Валле Пуссена. В первом случае доказывается интегрируемость этой мажоранты, а во втором случае даётся оценка для интеграла от построенной функции, которая в дальнейшем будет использована для доказательства основных результатов третьей главы.
Четвертый параграф третьей главы посвящен доказательству следующей теоремы.
Теорема 3.4.1. Пусть -1 < а <1/2 и матрица А удовлетворяет следующим условиям:
1) Л^ —> 1 при YI —> оо для всякого фиксированного Ш ; т п
2) £(f» + l) т- О
А2Л{п) гл /ьт с.
Тогда ряд Фурье-Лагерра функции f G L^OjOo), имеющей точку X = О точкой Лебега, А-суммируем в этой точке.
В теореме 3.4.1 предполагается, что функция / интегрируема на бесконечности с единичным весом, что является сильным требованием. Желательно ослабить ограничение на интегрируемость функции на бесконечности. Это можно сделать, применяя теорему Д.К. Фаддеева о сходимости сингулярных интегралов в точках Лебега не на всём промежутке
О, оо), а на некотором отрезке, содержащем точку X = О (точку Лебега), а на оставшемся промежутке применяя другие соображения. Этому и посвящен пятый параграф главы 3, в котором доказаны основные результаты главы о суммируемости в точке Лебега X = 0 ряда Фурье-Лагерра функции е L р(а)
00 f\\f\Vp(a) = \\f{tb"tadt<^
Теорема 3.5.1. Пусть —lIlKCKXjl и матрица А, коэффициенты которой ограничены, удовлетворяет условиям:
1) Нш Л^ = 1 для всякого фиксированного т; п—>00 1 f rt-уиЛо а
2) £(/и +1) т-О п-т v п +1
2 А2Х^
С;
3) существует число 8 < О, такое, что п
2+3/4 т=О
А 2Л{п)
Спс
Если функция f G ^Дсг) удовлетворяет условию оо ф-'/2га/2+<?-13/12Л<оо, то ряд Лагерра функции У Л - суммируем в точке Лебега X = 0.
Кроме теоремы 3.5.2, в § 3.5 получена ещё одна теорема о суммируемости рядов Фурье-Лагерра в точке Лебега X — 0, в которой ограничение на поведение функции на бесконечности состоит в требовании интегрируемости функции в некоторой степени в окрестности бесконечности.
Теорема 3.5.2. Пусть —1/2 < ОС <1/2 и ограниченная матрица А удовлетворяет условиям:
1) lim Я^ = 1 для всякого фиксированного Ш;
П—>оэ
2) 2 (»»+ 1)| т=О п-т п +1 а у а2я
С; и, кроме того, существует число д < 0, такое, что п
3) + т=О а/2+3/4
А 1Х{п)
Спс
Тогда ряд Фурье-Лагерра функции f Е А- суммируем в точке
Лебега t = 0, если существует число Z >0 такое, что оо
МО'
-//2 tadt< оо для некоторого р> 1; причем в случае 1/6 <ос< 1/2 и 8 > 1/12-а/2 предполагается, что р удовлетворяет дополнительному условию
2а + \2 р<-.
6а-1 + 125
Результаты диссертации докладывались на 12-й и 13-й Саратовских зимних математических школах (Саратов, 2004, 2006), Воронежской зимней математической школе (Воронеж, 2005), III и VI международных симпозиумах «Ряды Фурье и их приложения» (Новороссийск, 2005, 2006), на семинарах под руководством проф. С. А. Теляковского (МИРАН им. В. А. Стеклова, 2005, 2004), на научных семинарах по теории функций и ортогональных рядов под руководством акад. П. Л. Ульянова, проф. М. К. Потапова, проф. М.И. Дьяченко (мех.-мат. МГУ, 2005, 2006). По теме диссертации опубликовано 10 научных работ [6-15].
Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю кандидату физико-математических наук, доценту Сергею Григорьевичу Кальнею за постановку задач и постоянное внимание ко всем этапам данной работы.
20
1. Алексия Г. Проблемы сходимости ортогональных рядов. М., 1963.
2. Бабаев А. X. О приближении функций с заданным модулем непрерывности частичными суммами Фурье-Лагерра. УМН, 1967, т. XXII, №2, с. 130-132.
3. Бари Н. К. Тригонометрические ряды. М., 1961.
4. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции, т.2, М., 1974.
5. Бернштейн С. Н. О весовых функциях. Докл. АН СССР, 1951,т. 77, с. 549-552.
6. Бурмистрова М. Д. О необходимых и достаточных условиях суммируемости в нуле рядов Фурье-Лагерра. Тезисы докладов 12-й Саратовской зимней математической школы. Саратов 2004, с. 38-39.
7. Бурмистрова М. Д. О равномерной регулярности методов суммирования рядов Фурье-Лагерра. Тезисы докладов Воронежской зимней математической школы. Воронеж, 2005, с. 46-47.
8. Бурмистрова М. Д. О суммируемости рядов Лагерра в точках Лебега. Тезисы докладов 13-й Саратовской зимней математической школы. Саратов, 2006, с. 41.
9. Бурмистрова М. Д. О линейных методах суммирования рядов Лагерра для полуцелых а. Тезисы IX Международной конференции «Математика. Экономика. Образование» и IV Международного симпозиума «Ряды Фурье и их приложения», Ростов-на-Дону, 2006 г, с. 18-19.
10. Бурмистрова М. Д. О сходимости в метриках пространств La (0, оо) и Laj2 (О, оо) рядов Фурье-Лагерра с квазимонотонными коэффициентами.Вестник Московского государственного университета печати, 2006, с. 714.
11. Burmistrova М. D. On necessary and sufficient conditions of the regularity of summation methods for Laguerre-Fourier series. Analysis Math., 2006, v. 32, № 4, p. 247-264.
12. Бурмистрова M. Д. О суммируемости рядов Лагерра в точках Лебега. Сборник научных трудов «Фундаментальные физико-математические проблемы и моделирование технико-технологических систем», вып. 9, М., Изд-во «Янус-К», 2006, с. 8-12.
13. Бурмистрова М. Д. О суммируемости рядов Лагерра линейными методами. Известия Саратовского университета, 2008, Т. 8. Сер. Математика. Механика. Информатика, вып. 1, с. 15-20.
14. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. М., 1967.
15. Геронимус Я. Л. Многочлены, ортогональные на окружности и на отрезке. М: Государственное изд-во физ.-мат. литературы, 1958.
16. Джексон Д. Ряды Фурье и ортогональные полиномы. Москва-Ижевск, 2002.
17. Ефимов А. В. О линейных методах суммирования рядов Фурье. Изв. АН СССР сер. матем., 1960, т. 24, с. 743-756.
18. Зигмунд А. Тригонометрические ряды. Изд-во "Мир", Москва, 1965.
19. Кальней С. Г. Суммируемость рядов Якоби треугольными матрицами. Матем. Заметки, 1983, т. 34, № 1, с. 91-103.
20. Кальней С. Г. О линейных методах суммирования рядов Якоби для полуцелых ОС. Analysis Mathem., 1996, v. 22, p. 35-50.
21. Кальней С. Г. О необходимых и достаточных условиях суммируемости рядов Якоби. Изв. ВУЗов, матем., № 5, 1991, т. 348, с. 75-78.
22. Кальней С. Г. О сходимости в среднем рядов Фурье-Якоби с квазимонотонными коэффициентами. Труды МИАН, 1986, т. 173, с. 136139.
23. Кальней С. Г. Об оценке снизу функции Лебега линейных средних рядов Фурье-Якоби. Труды МИАН, 1984, т. 170, с. 113-118.
24. Канторович Л. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ. М., 1984.
25. Качмаж С., Штейнгауз Г. Теория ортогональных рядов. М., Физматгиз, 1958.
26. Кашин Б.С., Саакян А.А. Ортогональные ряды. М.: Наука, 1984.
27. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1981.
28. Лащенов В. К. Приближение дифференцируемых функций частными суммами ряда Фурье-Лагерра. Изв. ВУЗов, матем., № 1, 1981, т. 224, с. 44-57.
29. Натансон И. П. Теория функций вещественной переменной. М., 1974.
30. Никольский С. М. О линейных методах суммирования рядов Фурье. Изв. АН СССР, сер. матем., 1948, т. 12, с. 259-278.
31. Осиленкер Б. П. О сходимости и суммируемости разложений Фурье по ортонормированным полиномам, ассоциированным с разностными операторами второго порядка. Сиб. матем. ж., 1974, т. 15, № 4, с. 892-908.
32. Осиленкер Б. П. Оценка роста функции Лебега линейных методов суммирования. Матем. Заметки., 1968, т. 6, № 3, с. 277-286.
33. Потапов М. К., Танкаева С. К. О структурных характеристиках функций с данным порядком наилучшего приближения алгебраическими многочленами. Вестн. МГУ, 1994, сер. 1, Математика. Механика, № 1, с. 46-54.
34. Сегё Г. Ортогональные многочлены. М.: Физматгиз, 1962.
35. Суетин П.К. Классические ортогональные многочлены. 3-е изд., М.: Физматлит, 2007.
36. Теляковский С. А., Фомин Г.А. О сходимости в метрике L рядов Фурье с квазимонотонными коэффициентами. Труды МИАН, 1975,т. 134, с. 310313.
37. Топурия С. Б. Ряды Фурье-Лапласа на сфере. Изд-во Тбилисского Ун-та, Тбилиси, 1987.
38. Фаддеев Д. К. О представлении суммируемых функций сингулярными интегралами в точках Lebesgue'a. Матем. сб. 1936. т. 1/43, №3. с. 351-368.
39. Федоров В. М. Аппроксимация многочленами на полуоси. Конструктивная теория функций 81. София, 1983, с. 181-184.
40. Askey R., Wainger S. Mean convergence of expansions in Laguerre and Hermite series. Amer. J. Math., 1965, v. 87, p. 695-708.
41. Askey R. Orthogonal polynomials and positivity. Studies in Applied Mathematics, Wave Propagation and Special Functions, SIAM, 1970, p. 64-85.
42. Freud G. Orthogonale Polynome. Berlin, 1969.
43. Gasper G., Trebels W. A lower estimate for the Lebesgue constants of linear means of Laguerre expansions. Res. Math. 1998, v. 34, p. 91-100.
44. Gasper G., Trebels W. On a restriction problem of de Leeuw type for Laguerre multipliers. Acta. Math. Hungar., 1995, v. 68, № 1-2, p. 135-149.
45. Gasper G., Trebels W. On necessary multiplier conditions for Laguerre expansions. Canad. J. Math., 1991, p. 1228-1242.
46. Gorlich E., Markett C. A convolution structure for Laguerre series. Indag. Math., 1982, v. 44, p. 161-171.
47. Gorlich E., Markett C. On approximation by Cesaro means of the Laguerre expansion and best approximation. Res. Math, 1979, v. 2, p. 124-150.
48. Gupta D. P. Cesaro summability of Laguerre series. Approx. Theory v. 7 1973, p. 226-238.
49. Kal'nei S. G. On the summability of Jacobi series at Lebesgue points. Analysis Math., 2003., v. 29, p. 181-194.
50. Kolmogorov A. N. Sur l'ordre de grandeur des coefficients de la smie de Fourier-Lebesgue. Bull. Acad, polon. sci. (A), sci. math., 1923, p. 83-86.
51. Markett C. Mean Cesaro summability of Laguerre expansions and norm estimates with shifted parameter. Analysis. Math. 1982, v. 8, p. 19-37.
52. Markett C. Norm estimates for Cesaro means of Laguerre expansions. Approximation and Function Spaces (Proc. Conf. Gdansk, 1979); p. 419-435, North Holland (Amsterdam, 1981).
53. Muckenhoupt B. Mean convergence of Hermite and Laguerre series I. Trans. Amer. Math. Soc., 1970, v. 147, p. 419-431.
54. Muckenhoupt B. Mean convergence of Hermite and Laguerre series II. Trans. Amer. Math. Soc., 1970, v. 147, p. 433-460.
55. Poiani E. L. Mean Cesaro summability of Laguerre and Hermite series. Trans. Amer. Math. Soc., 1972, v. 173, p. 1-31.
56. Pollard H. The mean convergence of orthogonal series II. Trans. Amer. Math. Soc., 1948, v. 63, p. 355-367.
57. Potapov M. K., Tankaeva S. K. On approximation of functions on the half-line by algebraic polynomials. Analysis Math., 1994, v. 20, p. 107-115.
58. Tang Ping. On linear summation methods of Fourier-Laplace series II, Analysis Math., 1998, v. 25, p. 151-162.
59. Thangavelu S. Transplantation, summability and multipliers for multiple Laguerre expansions. Tohoku Math. J., 1992, v. 44, p. 279-298.
60. Yadav S. P. Approximation of Fourier-Laguerre Expansions by its Cesaro mean in certain Banach Spaces. Approx. Theory, 1983, v. 39, p.l53-156.
