Некоторые вопросы разложения функций в кратные ряды Фурье по собственным функциям дифференциальных операторов второго порядка тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Введение

§ 1. Разложения по собственным функциям оператора

Лагерра-Эрмита.

§ 2. Разложения по собственным функциям оператора

Лагерра-Якоби.

§ 3. Разложения по собственным функциям оператора

Эрмита-Якоби.

§ 4. Точные оценки скорости сходимости двойных рядов Фурье-Эрмита.

§ 5. Разложения по собственным функциям оператора

Ai(x)g, + A2(y)& + Bi(x)& + B2(y)l.

§ 6. Разложения по собственным функциям операторов Лагерра-Лагерра, Эрмита-Эрмита, Якоби-Якоби (обратные теоремы).

Известно, что решение многих задач теоретической и математической физики приводит нас к различным специальным функциям математической физики (классические ортогональные многочлены, цилиндрические, сферические и гипергеометрические функции), которые обычно возникают при решении уравнений математической физики методом разделения переменных, основанном на теоремах разложения функций по различным ортогональным системам.

Вопросами разложения функций в ряды Фурье по различным ортогональным системам занимались многие математики. Им посвящены фундаментальные монографии Н.К. Бари, А. Зигмунда, Г. Се-ге, Г.Н. Ватсона, Б.М. Левитана и И.С. Саргсяна, А.Г. Костюченко и И.С. Саргсяна, Э.Ч. Титчмарша и др., а также ряд обзорных статей П.Л. Ульянова, Б.И. Голубова, Л.В. Жижиашвили, В.А. Ильина-Е.М. Никишина-Ш.А. Алимова, В.М. Тихомирова, М.И. Дьяченко и др.

Настоящая работа также посвящена некоторым вопросам разложения функций многих переменных в кратные ряды Фурье по собственным функциям дифференциальных операторов второго порядка.

В диссертации, в частности, рассматриваются разложения функций двух переменных по собственным функциям, которые образуют полную ортогональную систему в пространстве 1>2{р(х, у); ф) с подходящим весом р(х, у), относительно которого ортогональна соответствующая система в ее области определения , следующих дифференциальных операторов п д2 ^ д2 2хд 2 д дх2 ду2 дх ду'

Яз = (1 •- + (1 ■- - 2(0, + 1)хА - 2(/3 +

Известно, что в вопросах сходимости рядов Фурье по тригонометрической системе существенную роль играет оператор сдвига Тл/(ж) = /(х + К) и определяемые с его помощью модули непрерывности различных порядков. В вопросах же, связанных со сходимостью рядов Фурье по другим системам собственных функций, например, по собственным функциям дифференциального оператора второго порядка + — -2х— -2 — дх2 ду2 дх ду' аналогичную роль играют операторы обобщенного сдвига. Операторы обобщенного сдвига, построеннные в диссертации, тесно связаны с теоремами сложения и умножения для рассматриваемых систем собственных функций, а также с производящими функциями этих систем.

В диссертации с помощью операторов обобщенного сдвига вводится понятие обобщенного модуля непрерывности различных порядков для функции двух переменных, характеризующее ее гладкость. Рассматриваемые в диссертации классы функций характеризуются с одной стороны обобщенным модулем непрерывности, а с другой — тесно связаны с дифференциальными операторами, по собственным функциям которых иссследуются разложения функций.

Отыскивая скрость сходимости двойных рядов Фурье по собственным функциям дифференциальных операторов, указанных выше, на тех или иных классах функций двух переменных в различных функциональных пространствах с весом, мы, можно сказать, естественно приходим к исследованию величины, равной точной верхней грани уклонения частичных сумм на рассматриваемом классе функций. Так как, в отличие от одномерных рядов Фурье, здесь нет естественного способа построения частичных сумм, то мы должны были бы сначала фиксировать некоторый класс функций, а затем построить частичные суммы кратного ряда Фурье так, чтобы указанная выше величина была минимально возможной. Эти идеи привели А.Н. Колмогорова к рассмотрению величины, названной им N-поперечником рассматриваемого класса функций.

В диссертации установлено, что в ряде случаев наибольший интерес представляют треугольные частичные суммы, так как мы показываем, что для заданных классов функций точный порядок убывания колмогоровских поперечников дают именно треугольные частичные суммы. Следовательно, при другом построении частичных сумм порядок убывания уклонений на всем классе не может быть лучше.

Остановимся теперь вкратце на содержании диссертации. Работа состоит из шести параграфов. Так как в результатах, полученных в диссертации для различных систем собственных функций много общего, мы опишем содержание первого параграфа.

В первом параграфе исследованы вопросы, связанные с разложениями по собственным функциям дифференциального оператора второго порядка д2 1 д2 м д названного нами, для удобства, оператором Лагерра-Эрмита. В первом параграфе даны точные или порядковые оценки скорости сходимости двойных рядов Фурье по собственным функциям оператора Лагерра-Эрмита (рядов Фурье-Лагерра-Эрмита) на достаточно широких классах функций в пространстве 1/2 (М+ х е~х ~уУа)> характеризующихся обобщенным модулем непрерывности, доказана теорема, устанавливающая связь между структурными свойствами функций и скоростью сходимости их рядов Фурье-Лагерра-Эрмита, указаны достаточные условия абсолютной сходимости двойного ряда Фурье-Лагерра-Эрмита, найдены точные значения или слабые эквивалентные оценки ./V-поперечников Колмогорова рассматриваемых выше классов функций в пространстве х М; е~х ~ууа).

Во втором и третьем параграфах аналогичные вопросы изучены для разложений по собственным функциям дифференциальных операторов второго порядка Лагерра-Якоби и Эрмита-Якоби. л

В четвертом параграфе мы даем точные оценки скорости сходимости двойного ряда Фурье-Эрмита на одном классе функций, характеризующемся с одной стороны обобщенным модулем непрерывности, а с другой — дифференциальным оператором Эрмита-Эрмита.

В пятом параграфе мы рассматриваем аналогичные вопросы, связанные с разложениями по собственным функциям одной краевой задачи штурм-лиувиллевского типа. Здесь также даны точные оценки скорости сходимости двойных рядов Фурье на рассматриваемых классах функций.

В шестом параграфе мы доказываем так называемые обратные теоремы. Эти теоремы с известными ранее результатами характеризуют связь между скоростью сходимости двойных рядов Фурье-Лагерра, Фурье-Эрмита, Фурье-Якоби и гладкостью разлагаемой в ряд функции.

Отметим, что аналогичные вопросы для одномерных рядов Фурье, построенных по специальным функциям достаточно хорошо изучены (см., напр., [16], [17] и цитир. там литерат.). В последние годы возрос интерес к вопросам разложения функций многих переменных в кратные ряды Фурье по указанным системам функций (см., напр., [1] и цитир. там литер.)

В дальнейшем мы неоднократно будем пользоваться обобщенными частными производными в смысле Леви. Напомним, что функция / Е Ьг((а, 6) х (с, ¿);р(х,у)) имеет обобщенную частную производную в смысле Леви по переменной х Е (а, 6), обозначаемую д / через —, если существует функция /*(х, у) ((аг, у) Е (а, Ь) х (с, , ох эквивалентнаяя функции /(х, у) в области (а, 6) х (с,с£) и локально абсолютно непрерывная по переменной х Е (а, Ь) для почти всех л * 1 дГ у Е (с, а), при этом —--это любая функция, эквивалентная —— ох ох др в области (а, Ь) х (с, й). Функция —— существует почти всюду в ох области (а, 6) х (с, ¿). Аналогично определяется производная по переменной у Е {с,в). Обобщенные производные высших порядков определяются соотношениями дЦ д2/ д (д/\ дх2 дх \дх) ' дхду дх \ду) и т.д. (см. [15], с. 172).

Кроме того, мы неоднократно будем пользоваться следующими двумя хорошо известными утверждениями, которые, для удобства ссылок, сформулируем в виде теорем А\ и Ач.

Теорема Аг ([13], стр. 341).

Пусть Н — гильбертово пространство. Если множество М С И содержит шар 7В радиуса 7 некоторого N + 1 -мерного подпространства Н, то лг(М;Н) ^7, где с/дг(М; Н) — N-поперечник Колмогорова множества М в пространстве Н.

Теорема А2 ([11]» стр. 51). Если А : Н —> Н — вполне непрерывный самосопряженный оператор в пространстве ЕГ, отличные от нуля собственные значения оператора А, расположенные в порядке убывания их абсолютных величин, причем в написанной цепочке неравенств каждое собственное число повторяется столько раз, какова его кратность, то

ММ;Н) = ^N+11 где

Ш={деШ:д = А/,/еШ)\\Д ^1} и, как и выше, ¿дг(М; Н) N-поперечник Колмогорова множества М в пространстве Н.

1. Абилов В. А. Некоторые экстремальные свойства специальных функций математической физики и их приложения // Диссерт. доктора физ.-мат. наук. М., ВЦ РАН. 2002. -220 с.

2. Абилов В. А., Абилов М.В. Приближение функций в пространстве ¿2(К^; ехр(—|ж|2)) // Матем. заметки. Т. 57, № 1, 1995, с. 3-19.

3. Абилов В. А., Абилов М.В. Приближение функций двух переменных в среднем // Доклады Болгарской АН. Т. 46, № 10,1993, с. 17-20.

4. Абилов В.А., Абилов М. В. Приближение непрерывных функций двух переменных суммами Фурье-Эрмита в среднем // Деп. ВИНИТИ, 1993, №1429-В93; 2-24; РЖМ, 1993, 9Б84.

5. Абилов В.А., Абилов М. В. Приближение непрерывных функций двух переменных суммами Фурье-Лежандра в среднем // Деп. ВИНИТИ, 1993, № 1428-В93; 2-29; РЖМ, 1993, 9Б41.

6. Абилов В.А., Абилов М. В. Приближение непрерывных функций двух переменных суммами Фурье-Лагерра в среднем // Деп. ВИНИТИ, 1993, № 1427-В93; 2-25; РЖМ, 1993, 9Б64.

7. Абилов В.А., Абилова Ф. В. О наилучшем приближении функций алгебраическими многочленами в среднем // Изв. вузов. Маг тем. №3, 1997, с. 40-43.

8. Абилов В.А., Абилов М. В., Керимов М.К. Некоторые вопросы сходимости двойных рядов Фурье-Лагерра-Эрмита // Журнал ВМ и МФ, Т. 44, № 2, 2004, с. 213-230.

9. Богачев В.М. Гауссовские меры. М.: Наука, 1997. -352 с.

10. Виленкин Н. Я. Специальные функции и теория представлениягрупп. М.: Наука, 1966.

11. Гохберг И. И., Крейн М. Г. Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов. М.: Наука, 1965.

12. Колмогоров А. Н. Избранные труды. Математика и механика. М.: Наука, 1987.

13. Корнейчук Н. П. Точные константы в теории приближения. М.: Наука, 1987.

14. Лебедев H.H. Специальные функции и их приложения. M.-JL: Физматгиз, 1963. 358 с.

15. Никольский С. М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. М.: Наука, 1969.

16. Потапов М. К. О приближении алгебраическими многочленами. Теория функций и приближений. Саратов, 1983, с. 16-31.

17. Потапов М.К. Прямая и обратная теоремы приближений для т-го обобщенного модуля гладкости // Труды МИ им. В.А. Сте-клова РАН. Т. 232, 2001, с. 289-297.

18. Рафальсон С.З. Наилучшее приближение функций в метриках Lp(x) алгебраическими многочленами и коэффициенты Фурье по ортогональным многочленам // Вестник ЛГУ, механика и ма-тем., JY* 7, 1969, с. 68-79.

19. Сеге Р. Ортогональные многочлены. М.: Физматгиз, 1962.

20. Watson G. N. Another note on Laguerre polynomials //J. London Math. Soc. № 14,1939, p. 19-22.