Условия сходимости и локализации спектральных разложений, отвечающих эллиптическим операторам тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

§ I. Основные обозначения и определения

§ 2. Условия равномерной сходимости и локализации спектральных разложений, отвечающих некоторым эллиптическим операторам с сингулярными коэффициентами

§ 3. Условия локализации спектральных разложении,-связанных с опера тором, Щредф^гера с потенциалом, сингулярным на много'отфазиях

ГЛАВА I. УСЛОВИЯ ПОТОЧЕЧНОЙ СХОДИМОСТИ И ЛОКАЛИЗАЦИИ СПЕКТРАЛЬНЫХ РАЗЛОЖЕНИЙ, ОТВЕЧАЮЩИХ СТЕПЕНИ. ОПЕРАТОРА ШРЕДИНГЕРА

§ I. Оценка функции Грина

§ 2. Формула среднего значения и следствия из неё

§ 3. Оценка коэйс&ициентов Фурье функций из класса

§ 4. Условия, обеспечивающие поточечную сходимость и локализацию спектральных разложений

ГЛАВА 2. УСЛОВИЯ РАВНОМЕРНОЙ СХОДИМОСТИ И ЛОКАЛИЗАЦИИ СПЕКТРАЛЬНЫХ РАЗЛОЖЕНИЙ, СВЯЗАННЫХ С ОПЕРАТОРОМ ШРЕДИНГЕРА В Я3 .■.

§ I. Оценка функции Грина вспомогательной задачи и следствия из неё

§ 2. Условия, обеспечивающие равномерную сходимость и локализацию спектральных разложений

§ 3. Обращение в нуль в особой точке собственных . функций оператора Шредингера, с сильно сингулярным потенциалом.

ГЛАВА 3. УСЛОВИЯ ЛОКАЛИЗАЦИИ СПЕКТРАЛЬНЫХ РАЗЛОЖЕНИЙ ОТВЕЧАЮЩИХ ОПЕРАТОРУ ШРЕДИНГЕРА С ПОТЕНЦИАЛОМ, СИНГУЛЯРНЬМ НА МНОГООБРАЗИЯХ.

§ I. Оценка функции Грина и следствия из неё

§ 2. Оценка коэффициентов Фурье функций из класса ¿/

§ 3. Условия, обеспечивающие локализацию спектральных разложений.

§ I. Основные обозначения и определения

1°. Пусть Л - произвольная Л/ -мерная область, быть может, совпадающая со всем А/ -мерным пространством . Рассмотрим полином по /? четного порядка /??=: ¿¿по' с коэффициентами из С (Л) ос/^/г)

В этом равенстве о( обозначает мультииндекс оС~ (оС±, оС^ 7 где ' - компоненты вектора у £ £ * . Положим далее

Формальный дифференциальный оператор

4 ¿г, 2);= Г а^шзх

1.2) оС1</гз называется эллиптическим оператором порядка /V , если для всех ССбЛ и У ¿Я" при О

Обозначим через С.0 (Л-) пространство функций, бесконечно дифференцируемых в области -У2. и имеющих компактный носитель в

Л.

Обозначим через Д оператор, действующий в гильбертовом пространстве с областью определения по правилу А и = А и(эс) , ие С^СЛ).

Дифференциальный оператор (1.2) называется формально самосопряженным, если оператор /[ является сиг-метрическим, т.е. если для любых функций ¿С и С/ из ) выполняется равенство

Всюду в дальнейшем будем предполагать, что оператор (1.2) является формально самосопряжеиным. Предположим также, что оператор /\ является полуограниченным снизу, т.е. существует постоянная С такая, что для всех

А и,и) ^С(и>и) .

По известной теореме К.О.Фридрихса оператор Д имеет, по Я крайней мере, одно самосопряженное расширение Д с той же нижней границей С .

В частности, будем говорить, что 4 существенно самосопряжен, если его замыкание /\ самосопряженное ладает разложением единицы 1 г и представляется в виде Я /

А = 5 с

2°. Оператор Д по спектральной теореме Да.фон Неймана об

Л •

Проекторы монотонно возрастают, непрерывны слева и по теореме Л.Гординга Сявляются интегральными операторами с ядром 0(Х,у,71):

Функция называется спектральной функцией оператора /\ , а выражение (1.3) - спектральным разложением элемента -М , отвечающим самосопряженному оператору А . Отметим, л что если оператор /\ имеет дискретный спектр, то (1.3) совпала ет с рядом фурье функции по собственным юункциям оператора л л /

Введем средние Рисса \ / спектрального разложения порядка £ >/0 : г*

-о

Оператор , так же как и , является интегральл ' . -. -Л ным оператором, ядро которого имеет вид

•6

Мы будем изучать средние Рисса ¿Е^ ^ функций из классов

Лиувилля Ь (Л.). В случае, когда Л.^ , этот класс совпадает с классом ¿^(Я^) , определение которого содержится в монографии Ш] С.М,Никольского. При класс определяется как замыкание множества С0 (Л ) по

7° ~ норме ¿ц ¿Г ) .

Р А*

Кроме того, мы будем изучать дробные степени /| , определение которых можно найти в книге Х.Трибелья.

1. Ш.А.Алимов. Равномерная сходимость и суммируемость спект-аральных разложений функций из L,p » Дифф.уравнения, 9:4 (1973), 669-681.

2. Ш.А.Алимов. О локализации спектральных разложений, Дифф. уравнения, 10:4 (1974), 744-746.

3. Ш.А.Алимов. О спектральных разложениях функций из , Матем. сборник, 101 (I43):II9 (1976), 3-20.

4. Ш.А.Алимов, Е.М.Никишин, В.А.Ильин. Вопросы сходимости кратных тригонометрических рядов и спектральных разложений. Успехи матем. наук, 31:6 (1976), 29-83.

5. Р.Р.Ашуров. Кандидатская диссертация., М., МГУ, 1979.

6. Г.Бейтмен, А.Эрдейи. Высшие трансцендентные функции, т.2, М., Наука, 1974.

7. Л.Гординг. Разложения по собственным функциям, связанные с эллиптическими дифференциальными операторами, 12 COfl^/l . fflatà. Scand . ôCccncé ., (1953), 44-55 ("Математика", сб.переводов 1:3 (1957), I07-II6).

8. Н.Данфорд, Дж.Т.Шварц. Линейные операторы, т.2, М.,Мир, 1965.

9. В.А.Ильин. 0 равномерной сходимости разложений по собственным функциям при суммировании е порядке возрастания собственных чисел, ДАН СССР, 114:4 (1957), 698-701.

10. В.А.Ильин. О равномерной сходимости разложений по собственным функциям нечетномерных областей, ДАН СССР, 145:4 (1957), 650-652.

11. В.А.Ильин. О сходимости разложений по собственным функциям оператора Лапласа. Успехи матем. наук, 13:1 (1958), 87-180.

12. В.А.Илыш. Рады Фурье по собственным функциям многомерных областей, расходящиеся почти всюду, ДАН СССР, 170:2 (1986),проблемы локализации для ряда Фурье по фундаментальной системе функций оператора Лапласа, ДАН СССР, 477:2 (1967), 258-260.

13. В.А.Ильин. Проблемы локализации и сходимости для рядов Фурье по фундаментальной системе функций оператора Лапласа, Успехи матем.наук, 23:2 (1968), 61-120.

14. В.А,Ильин. Условия сходимости спектральных разложений, 1У, Дифф. уравнения, 9:1 (1973), 49-73.

15. В.А.Ильин, Ш.А.Алимов. Условия сходимости спектральных разложений, отвечающих самосопряженным расширениям эллиптических операторов, I, П, Дифф.уравнения, 7:4 (1971), 670-710; 7:5 (1971), 851-882.

16. С.Качмаж, Г.Штейнгауз. Теория ортогональных рядов, М., Физматгиз, 1958.

17. Б.М.Левитан, 0 разложении по собственным функциям оператора Лапласа, ДАН СССР, 90 (1953), 133-135.

18. Б.М.Левитан. О суммируемости кратных рядов и интегралов Фурье, ДАН СССР, 402:6 (1955), 1073-1076.

19. Б.М.Левитан. О разложении по собственным функциям самосопряженного уравнения в частных производных, М., Труды НМО,5 (1955), 269-298.

20. С.М.Никольский. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения, М., Наука, 1977.

21. А.П.Прудников, Ю.А.Брычков, ОШ.Маричев. Интегралы и ряды, М., Наука, 1981.257.260.

22. В.А.Ильин. Исчерпывающие в классахи?и с™решение-11323. А.К.Пулатов. О локализаций спектральных разложений, связанных с однородными эллиптическими операторами, ДАН СССР, 238:4 (1978), 800-803.

23. М.Рид. Б.Саймон. Методы современной математической физики, т.2, М., Мир, 1978; т.4, М., Мир, 1982.

24. Э.Ч.Титчмарш. Разложения по собственным функциям, связанные с дифференциальными уравнениями второго порядка, т.2, М., ИЛ, 1981.

25. Х.Трибель. Теория интерполяции, функциональные пространства, дифференциальные операторы, М., Мир, 1980.

26. Л.Хермандер. О средних Рисса спектральных функций эллиптических дифференциальных операторов и соответствующих спектральных разложениях,УеЬ&оа СОгс'аегм^ , 1966, ("Математика",сб.переводов 12:5 (1968), 91-130).

27. Л.Хермандер. Спектральная функция эллиптического оператора. Асба /77а£% , 121:3-4 (1968), 193-218 ("Математика" сб.переводов, 13:6 (1989), 114-137).

28. Д.Шенк. Решение задачи Коши и асимптотика спектральной функции оператора Шредингера, ДАН СССР, 243:1, 1978.30. й.А.Шишмарев. Функциональный анализ и его применения, т.З. вып.4 (1969), 69-76.V/31. &, I, . О/г ¿Л& /¿¿е^сС , 45 (1983), 5-18.

29. З.ЗЗ&сАпеъ , ¿ссыъа&с^ъ /г?и££уэ& З&ссггт40 (1936), 175-207.33. СЯа^гоАесАагап. ^ ¿Г.г?еап&, ? 1952.

30. У. ЗЪ^ЪЯ , е¿^П^оспс&о/г б.крап. —со^сОеп**., . &'сапа(., 15 (1964), 8392.

31. А.Р.Халмухамедов. Теорема о среднем для одного эллиптического уравнения.- Тезисы второй международной научной конференции студентов социалистических стран, Варшава, 1979.

32. А.Р.Халмухамедов, Разложения по собственным функциям одного сингулярного эллиптического оператора,- Рукопись деп. в ВИНИТИ 8 июля 1982г., В 3638-82 Деп.

33. А.Р.Халмухамедов. Разложения по собственным функциям одного сингулярного эллиптического оператора,- ^копись деп. в ВИНИТИ 15 июня 1983г., II 3998-83 Деп.

34. А.Р.Халмухамедов. Теорема о среднем для одного эллиптического уравнения,- Дифф.уравнения, 1983, Т 19, й 9.