Неортонормированные фундаментальные системы функций оператора Лапласа тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

I. Неортонормированные фундаментальные системы функций

1. Односторонне обратимые операторы.

2. Неортонормированные фундаментальные системы функций

3. Разложения элементов пространства 1/2(£1) по неорто-нормированным фундаментальным системам функций

II. Неортонормированные фундаментальные системы функций оператора Лапласа

4. Неортонормированные фундаментальные системы функций оператора Лапласа.

5. Оценки интегралов, содержащих функции Бесселя

6. Точные по порядку оценки сумм квадратов неортонор-мированных фундаментальных систем функций.

III. Равномерная сходимость спектральных разложений по неортонормированным фундаментальным системам функций оператора Лапласа

7. Классы Соболева-Лиувилля.

8. Равномерная сходимость разложений по неортонормированным фундаментальным системам функций оператора Лапласа.

9. Асимптотика спектральной функции средних Рисса спектральных разложений.

10. Равномерная сходимость средних Рисса спектральных разложений.

Спектральная теория дифференциальных операторов является одним из важнейших разделов анализа как с точки зрения общей теории, так и приложений к практическим задачам математической физики. Основу ее заложили классические труды Ж.Лиувилля, Ш.Штурма, Д Гильберта, В.А.Стеклова, Д.Биркгоффа и Я.Д.Тамаркина Значительный вклад в развитие спектральной теории внесли работы С.Бохнера, Э.Ч.Титчмарша, Л.Гординга, С.Феффермана, Б.М.Левитана, В.А.Ильина, А.Г.Костюченко, И.М.Гельфанда и многих других математиков.

Вопросы спектральной теории обычно рассматриваются для дифференциальных операторов, подчиненных определенным краевым условиям. В 1968 году В.А.Ильиным [1] было введено понятие фундаментальной системы функций оператора Лапласа во внутренней подобласти Q N-мерной области Q С Ел', никак не связанное с какими-либо краевыми условиями.

Пусть задана система решений {ип} , п = 1,2,. уравнения Гель-мгольца

Aun + \niin = 0, Ап > 0 (0.1) в области Q . Система функций {ип} называется фундаментальной в L2(H), если для любого п для некоторого ортонормированного базиса {йп} в L^i^t) . В рамках этого понятия В.А.Ильиным была построена универсальная теория, позволившая при изучении спектральных разложений отказаться от задания краевых условий конкретного вида. В частности, разработанная им техника охватывает все самосопряженные неотрицательные расширения оператора Лапласа с чисто точечным спектром на числовой прямой. Итог этой теории был подведен в монографии В.А.Ильина [2].

Развитая В.А.Ильиным теория опирается, в сущности, на два следующих основных свойства фундаментальной системы функций. Первое из них - формула среднего значения решений (0.1). Если шар В(х,г) радиуса г с центром в точке х содержится внутри О, то справедливо равенство j ип(х + ru)diJ = (2-)Л -и„1.п[г./К)- л' :'./л 2. ->1г\/к<)- (0.3)

М=1 где Ju{x) означает функцию Весселя первого рода порядка v, a dco есть элемент площади единичной сферы в RN.

Второе свойство фундаментальной системы функций - вытекающее из определения (0.2) равенство Парсеваля

2 = Ы2, <реь2(п), (0.4) п где (, ) и | • | означают, соответственно, скалярное произведение и норму в L2(0).

Пользуясь только этими двумя свойствами, В.А.Ильин устанавливает точные по порядку оценки как сверху, так и снизу некоторых определенных сумм квадратов функций ип(х) на каждом компакте /ICQ. Прежде всего, для любого /1 > 1 функция в{хФ1)= £ u2n(x) = 0( 1К (0.5) равномерно по х Е Qr и непрерывна в области Q . Здесь и ниже под Qr понимается множество всех точек х Е Q, расстояние которых до границы 8Q больше R. Отсюда, в частности, следует, что при а> N/ 2 X-aul(x) Е С(П). а„>1

Более существенную роль играет установленная В.А.Ильиным равномерная по х Е Од оценка ц+1 j de{x,t2) = o(i)nN~\ (о.б) точная в том смысле, что справедлива оценка снизу ц+Т

С j d9(x,t2) > /Iм-1, /1 > 2Т, (0.7) fi'-T где положительные постоянные С и Г зависят только от R.

Эти оценки позволяют сделать ряд важных заключений об асимптотике по Л числа п(Х) собственных значений Хп < А .

В.А.Ильиным, с помощью разработанной им техники, были получены исчерпывающие окончательные по точности результаты о равномерной сходимости (на компактных подмножествах в Q ) в классах Соболева-Лиувилля [3] спектрального разложения р = ^2(р,ип)ип (0.8) п по фундаментальной системе функций. Аналогичные результаты были установлены и для средних Рисса

Efr)(х) = Е f1 - у) (^«пКМ, * > 0; (0.9) а„ < а ^ ' они опираются на соответствующие оценки спектральной функции

6{х,у, А) = Y, f1 - у) Un(x)un(y). (0.10) ап <а \ '

Окончательный центральный результат В.А.Ильина выглядит следующим образом. Пусть LP}q(Q) обозначает класс всех функций р , обращающихся в нуль вне некоторого компакта К С Q и принадлежащих пространству Соболева-Лиувилля RN) . Теорема (В.А.Ильин [2]) (а) Если peL%fi(n), а + s > (N — 1)/2, pa>N, р> 1, (0.11) то —р при А —> +оо равномерно в Qr для любого R > 0 . (Ь) Если р = 0 в окрестности компакта К С О и реЬ%0(П), a + s > (N - 1)/2, (0.12) то Esx 0 при X -—+ос равномерно на К . с) Если а + s < (N — 1)/2 . то для любой точки € О найдется такая функция if £ . что tp{x) = 0 в окрестности х0 и

Пт ЕЦхо) = оо. (0.13)

А—>+оо

В дальнейшем теория В.А.Ильина развивалась по многим направлениям. В самой монографии [2] установлено, что привлечение известной теоремы Гординга-Браудера-Маутнера об упорядоченном представлении пространства L2 позволяет перенести основные результаты на случай любого самосопряженного неотрицательного расширения оператора Лапласа с произвольным точечным или непрерывным спектром.

Кроме того, известная формула Е.И.Моисеева [5] о среднем значении регулярных решений эллиптических уравнений со спектральным параметром позволила распространить эту теорию с оператора Лапласа на случай общих эллиптических операторов второго порядка [6]. Эта теория получила также развитие и для случая некоторых эллиптических операторов и систем высокого порядка [7].

Положенное В.А.Ильиным в основу определения фундаментальной в L2(0) системы функций свойство образовывать ортонормиро-ванный базис в более широкой области О использовалось, по существу, лишь в том смысле, что так определенная система функций удовлетворяет равенству Парсеваля (0.4) в области О . Поэтому за основу определения фундаментальной системы функций можно взять именно свойство системы функций удовлетворять в некоторой области П равенству Парсеваля, не прибегая к ортонормиро-ванному базису {мп} в более широкой области Q . Как установлено А.М.Олевским [8, 9], наличие равенства Парсеваля в Q в определенном смысле и достаточно для существования ортонормированного базиса {йп} в со свойством (0.2). Более точно, им получены необходимые и достаточные условия для указанного продолжения функций {ип} до ортонормированного базиса в Q .

Все связанные с ортонормированностью и базисностью понятия удобно описывать в терминах линейного оператора Р : L2(f2) , определяемого равенствами

Р<р)п = (<р,ип), п = 1,2,. (0.14)

Если для системы {wn} оператор Р ограничен, то существует и сопряженный оператор Р* : /2 —>■ ^(0) . переводящий элемент еп естественного в /2 базиса (то есть системы векторов вида ег = (1.0,.) , е2 = (0,1,. .), . ) в вектор ип Е Ь2(П) . Как показано в §2, целый ряд различных свойств системы можно характеризовать с помощью этих двух операторов: система {ип} ортонормирована РР* = 1; обладает свойством (0.4) Р*Р = 1; полна Ker Р = 0: минимальна =Ф- КегР* = 0.

Система понимается минимальной, если ни одна из ее функций не входит в замыкание линейной оболочки остальных элементов этой же системы.

Предполагая оператор Р в (0.14) ограниченным, теорему A.M.Оле-вского [8, 9] в терминах Р, Р* можно сформулировать следующим образом.

Теорема. Пусть область О содержит, Q и лебегова мера множества Q\Q отлична от, нуля. Если система {ип} полна в P2(fi) и РР* является проектором в 12 с бесконечномерным ядром, то существует. ортонор мир о ванный базис {йп} в Р2(П) со свойством, (0.2).

Из полноты системы {ип} следует, что КегР = 0. В частности, область значений ImP* плотна в Ь2 , так что равенство (РР*)(РР*) = РР* , переписанное в форме Р(РР* - 1)Р* = 0, влечет Р*Р = 1 . В свою очередь, последнее равенство означает, что для системы {ип} в Р2(П) справедливо равенство Парсеваля (0.4). Таким образом, результат А.М.Олевского можно переформулировать так.

Теорема. Пусть область О содержит, Q и лебегова мера множества Q, \ Q отлична от нуля. Если сист,ема {мп} в P2(Q) обладает свойством (0-4) и ядро Ker Р* бесконечномерно, то существует; ортонор мир о ванный базис {йп} в Р2(П) со свойством (0.2).

Возникает вопрос, в какой мере основные результаты В.А.Ильина сохраняют свою силу, если в определении фундаментальной системы функций {ип} ортонормированный базис {йп} в Р2(П) заменить на базис: Рисса. Исследование этого вопроса и составляет предмет диссертационной работы. Полученные результаты позволяют, в частности, охватить в рамках расширенной теории В.А.Ильина и некоторые несамосопряженные расширения оператора Лапласа (не допускающие, впрочем, присоединенных собственных функций).

В главе I диссертационной вводится понятие неортонормирован-ных фундаментальных систем функций и детально изучаются свойства таких систем.

В носящем вспомогательный характер §1 излагаются общие свойства односторонне обратимых операторов, большая часть которых хорошо известна [11].

В §2 вводится основное в данной работе определение - определение неортонормированных фундаментальных систем функций. При дальнейшем рассмотрении этих систем активно используются свойства односторонней обратимости операторов.

Как показано в §2 , совершенно аналогично ортонормированному случаю свойство базисности по Риссу в L2(Q) системы {йп} приводит к справедливости в Ь2(О) двусторонней оценки

С-'М* < ^2(<р,ип) < С2М2, v G Ь2(П) (0.15) п с некоторой постоянной С > 1 , не зависящей от ср Е L2{Vt) ■ Именно эта оценка была положена нами в основу определения обобщенной (или неортонормированной) фундаментальной системы функций {ип} в ь2(п).

В терминах односторонне обратимых операторов наличие оценки (0.15) можно выразить кратко требованием обратимости слева оператора (0.14).

Основным содержанием §2 является доказательство аналога теоремы Олевского (в указанном выше варианте) для неортонормированных фундаментальных систем функций.

Теорема 2.3. Пусть область Q содержит Q и лебегова мера, множества Q \ О отлична от нуля. Пусть система {ип} в L2(Q) удовлетворяет условию (0.15). оператор Р ограничен и ядро КегР* бесконечномерно. Тогда существует базис Рисса {йп} в L2(Q) со свойством (0.2).

В §3 главы I вводится важное понятие сопряженной фундаментальной системы функций; в случае ортонормированных базисов {йп} необходимость введения сопряженных систем не возникает. Обратимые операторы в L2(Q) переводят фундаментальные системы функций в фундаментальные. Примером подобного оператора может служить произведение Р*Р. В соответствии с этим система vn = {P*P)~1un, п = 1,2,. (0.16) будет фундаментальной, она называется системой, сопряженной к wn}. Заметим, что свойство сопряженности взаимно. Важность введенного понятия заключается в разложении ч> = ^fe^nH

0.17) в смысле сходимости в L2 любой функции у Е L2(0). В случае, когда {ип} является базисом Рисса, система {vn} образует биортогональ-ный к нему базис. В общем случае сопряженность является аналогом свойства биортогональности.

1. Ильин В.А. Проблемы локализации и сходимости для рядов Фурье по фундаментальным системам функций оператора Лапласа. // Успехи мат. наук. - 1968. - Т.23, 2. -С.61-120.

2. Ильин В.А. Спектральная теория дифференциальных операторов. М.: Наука, 1991.

3. Никольский С.М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. М.: Наука, 1969.

4. Данфорд П., Шварц Дж. Т. Линейные операторы, ч. 2 (Спектральная теория). М.: Мир, 1966.

5. Моисеев Е.И. Формула среднего для собственных функций эллиптического самосопряженного оператора // Дифференц. уравнения. 1971. - Т.7, 8. - С.1490-1502.

6. Ильин В.А., Моисеев Е.И. О спектральных разложениях, отвечающих произвольному неотрицательному расширению общего самосопряженного эллиптического оператора второго порядка // Докл. АН СССР. 1971. - Т. 191, 4. - С.770-772.

7. Ильин В.А., Шишмарев И.А. Ряды Фурье по фундаментальным системам функций полигармонического оператора // Докл. АН СССР. 1969. - Т.189, 4. - С.707-709.

8. Олевский A.M. О продолжении последовательности функций до полной ортонормированной системы. // Мат. Заметки. 1969. -Т.6, 6. - С.737-747.

9. Солдатова М.А. Об одном обобщении ортонормированных фундаментальных систем функций (в смысле В.А.Ильина) для оператора Лапласа. -Тезисы докладов Межународной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам Суздаль, 2000. С. 185.

10. Солдатова М.А. Об одном обобщении фундаментальной системы функций оператора Лапласа//Дифференц. уравнения.-2001.-Т.37, No4, С.529-537.

11. Солдатова М.А. Некоторые оценки для неортонормированных фундаментальных систем функций оператора Лапласа //Доклады РАН.-2001.-Т.377 , No5, С.10-16.

12. Солдатова М.А. О некоторых точных по порядку оценках для неортонормированной фундаментальной системы функций (в смысле В.А.Ильина) для оператора Лапласа //Дифференц. у равнения.-2002.-Т.38, No4, С.516 520.См. также:

13. Солдатова М.А. О равномерной сходимости спектральных разложений по неортонормированным фундаментальным системам функций оператора Лапласа //Дифференц.уравнения (в печати).