Условия локализации и суммируемости спектральных разложений эллиптических операторов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА. ЛЕНИНА, ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЩИИ И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. 'Л. В. ЛОМОНОСОВА

На правке рукописи

АшУРОВ Раваан РадаабОЕИЧ

УСЛОВИЯ ЛОКАЯВ/ЦИИ И СШ.ИРУЕШСТИ СПЕКТРАЯЫЖ РАЗЛОМЕ!®; ЗЛЛШ1ТИЧЕС1ИС ОПЕРАТОРОВ

01.01.02 - дифференциальные уравнения

. АВТОРЕФЕРАТ

• диссертации на соискашю ученой стопеш; доктора физико-матег.атических наук

Москва- 1992

Работа выполнена на факультете вычислительной математики и кибернетики Московского госуниверситета и на математическом факультете Ташкентского госуниверситета.

Научный консультант - член корр. АН РУз, профессор

Ш.А.Алимов

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

Ведущая организация - Воронежский государственный университет.

в 15 час. 30 мин. на заседании Специализированного совета Д.053.05.37 при Московском университете им.М.В.Ломоносова по адресу: II9899 г.Москва, Ленинские горы, МГУ, 2 учебный корпус, факультет вычислительной математики и кибернетики, ауд. 685.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке факультета ИаиК МГУ.

Автореферат разослан " "_ 19у2 г.

профессор М.Л.Гольдман

доктор физико-математических наук,

профессор А.А.Дезин

доктор физико-математических наук,

профессор И.А.Шишарев

Г;

Защита диссертации состоится

Учоный секретарь Специализированного

совета, профессор г JlЕ.И.Моисеев

.......il

ОБЦАЯ ХАРАЛСГЕРИСГЛКА РАБОТЫ

Актуальность теш. Изучение вопросов сходимости и суммируемости спектральных разложений является одним из основных направлений в спектрачьной теории эллиптических операторов. С другой стороны, эти вопросы имеют ва:;шое прикладное значение для обоснование метода Фурье при. релении различных задач математической чизики. Именно поэтому исследования шогих математиков включая ряд монографий и обзорных статей, как в пашей стране так и зарубе:.:ом, аосвя\-;ны этому направления. Следует откатить работы С.Боч1:о:.а, C.U.::/евитана, U.A. Ильина, Э.Стейна, Я.Петре, Л.Хср:.:ан,до;»и.

Первые результаты в этой оснасти пэсшиенн лзучении круговых частичных сумм кратных рядов и интегралов Фурье. Затем часть из этих результатов (т.е. в случае, когда разлагаемая функция сама или вместе с производным;! до определенного порядка интегрируется со степенью о 2 ) ¡юракос:-ась на случаи спектральных разложений оператора Лапласа и затем -произвольного эллиптического оператора л.обого порядка. Результаты, относящиеся этому случаи, в настоящее время имеют, в определенном смысле, завершенный характер.

При переносе другой части результатов (случай пришлось потребовать от разлагаемой функции гораздо больше условий чем для кратных интегралов Фурье з зависимости от дифференциального зыракения и рассматриваемого самосопряхен-яого расширения (.граничных условий ) .

В работе [6] (см.также [7]) А.Й.Бастис построил такое самосопряженное расширение оператора Лапласа, что для суммируемости соответствующих спектральных разложений необходимо ютребовать от разлагаемой функции столько же условий, что в случае общего эллиптического оператора.

Поэтому несомненно актуальным является вопрос: при фик-¡ированных граничных условиях какие характеристики [геометри-геские, алгебраические 'или другие ) рассматриваемого дифферен-

циального выражения и как влияют на условия сходимости и суммируемости соответствующих спэктральных разложений?

Изучению именно этого вопроса посвящена настоящая диссертация.

Цель работы - исследование влияния геометрических свойств поверхности уровня главного символа эллиптического оператора на условия локализации и суммируемости почта всюду соответствующих средних Рисса споктрачьных разложений.

Научная новизна. Все доказанные в работе теоремы являются новыми.

Основные результаты диссертации показывают, что условия локализации спектральных разложений существенно зависят (при этом установлена точная зависимом1! ) от числа отличных от нуля главных кривизн поверхности уровня главного символа рассматриваемого оператора, в то время как на условия, обесле-чшзаоцие суммируемости почги всюду, эти геометрическою характеристики никакого влияния не оказывают. На этом пути найдено асимптотическое разложение средних Рисса спектральной функции произвольного эллиптического оператора в норме пространства . Установленная асимптотическая оценка спектррль-ной Гункции играет ключевую роль в исследованиях вопросов равносходимости и в доказательствах теорем отрицательного харак-тера^ т.е. теорем об отсутствии сводимости и суммируемости.,

Методы исследования. Спектральная функция во псам пространстве эллллтического оператора с постоянными коэффициентами является осциллирующим ингегралом. Асимптотическое поведение этих функции при больдих спектральных параметрах изучен методом стационарной фазы. Для оценки спектральной ¿ункцаи на торе применяем метод суммирования Пуассона. При оценке спектральных разложений (максимального оператора в третьей■главе ) мы используем либо тауберовую теорему Л.Хер-мавдера , либо интерполяционную теорему З.Стейна для аналити-чзского семейства линейных операторов.

Зо второй главе изучается спектральная функция эллиптического дифференциального оператора произвольного порядка.

При построение асимптотического разложения средних Рисса спектральной функции в метрике L.z мы, в отличии от других работ (исключением является работы В.А.Ильина), где исследуется асимптотика спектральной функции, не привлекаем каких-либо тауберовых теорем и непосредственно обращаем преобразование Стильтьеса (метод В.А.Ильина оснозан на формуле среднего значения для решения эллиптического уравнения второго порядка). При этом использувтся различные свойства резольвенты и спектральной функции.

Насколько автору известно, такой подход решения данного вопроса им применен впервые.

Теоретическая и практическая ценность. Диссертация носит теоретический характер и ее результаты могут служить для дальнейшего развития спектральной теории эллиптических дифференциальных операторов, а также могут найти применения при решении методом Фурье эволюционных уравнений математической шизики.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на международных конференциях по дифференциальным уравнениям, проходивших в Кардиффе ( Уэльс, 1985г.), Давди (, Шотландия, 1990г ), Киото (Япония,1990г.) , Самарканде (Узбекистан, 1990г. ) , Обервольфахе (ФРГ, 1991г.), Пловдиве (.Болгария, 1991г.) , на всесоюзной школе иолодых ученых "Функциональные методы в прикладной математике и математической физике" ('г.Ташкент, 1988г.) на всесоюзной конференции " Краевые задачи и их спектральные вопросы для дифференциаль-шх уравнений" ( г.Алма-Ата, 1991г. ) , в школе " Современные летоды качественной теории краевых задач" ( Воронеж, 1392г.), в школе молодых ученых ;ЯУ( В.1иК, 1982,1983гг. ) , на семи-гарах акад. FAH Ильина В.А. и член корр. РАН Еипадза А.Н. , 1.1ГУ) , член корр. РАН Бипадзе А.Н. (МИ РАН), академиков АН Уз Салахшщинова М.С., Дхсураева Т.Д.(ИГЛ Ali РУз), член корр. 1Н РУз Алимова Ш.А. (Таш1У ), проф, да. Б.Маклеода (Окофорд-!жай университет ), проф. Е.Б.Дэваса (Кинге колледж Локдонско-'о Университета) , проф. Б.Д. Званса (Кардиффский университет)

просо. В.Д.Эверита( Бирмингемский Университет) .

Публикации. Осковние результаты диссертации опубликованы в работах [21 - 40] автора, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Каждая глава разбита на параграфы, а отдельные параграфы разбиты на пункты. Объем диссертации 277 страниц, включая 9 страниц цитированной литературы. В списке литературы 75. наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

I

Во введении содержится обзор математической литературы, посвященной изучаемым вопрос.ам, и формулируются основные результаты, полученные в диссертации.

Пусть -О. -произвольная область N _ мерного евклидов; пространства ША , А(>-,Ь) - эллиптический дийререшиальный оператор порядка т с коэффициентами из С °° (С2 ) . Предположим, что оператор А является формально положительным, т.е для любой шункшщ ие С С О. ) выполняется неравенство.

( /1 и, го ) с (гс, го) , су о,

где СИЛ"; - сколярное произведение в Ьг (О- ) . Оператор А с областью определения Се ( О. ) является симметрическим и по теореме Фридрихса имеет по крайней мере одно самосопряженное расширение А с . Обозначим через { Е^ [ разложение единицы какого-нибудь самосопряженного расширения с полотателыюй нижней границей. В силу теоремы Л.Гординга операторы являются интегральными, т.е. спектральное разложение любого элемента с С2. ) имеет вид

5 А) £ > • '

л о.

где © ( . у > А ) _ ядро оператора Е ^ , называемое спектральной функцией оператора А .

Определим равенством

Л о

средние Рисса спектрального разложения (I ) порядка s > О Отметим, что в случао s - о средние Рисса (2) совпадают с

В частности, если рассмотреть в А/ - мерном кубе эллиптический оператор А (2>) = З)'4

с постоянными коэффициентами и периодическими граничными условиями, то спектральное разложение (I) элемента е '-*1(тА') совпадает с частичной суммой кратного ряда Фурье:

~ ' YV ОС.

ос f

где Ain,) = ^ & ) -j-^ - коэффициенты Фурье

функции -f . у

Если же il — ^ , то оператор А ) имеет единственное самосопряженное расширение в ¿z ( % ) и соответствующее спектральное разложение ( I ) совпадает с частным интегралом кратного интеграла Фурье:

г г ч СЭСЪ I

J (ч)

А ^

где -f - преобразование Фурье-Плакшереля функции f & (

В первой главе диссертации изучается влияние геометрических характеристик поверхности уровня главного символа эллиптического оператора на условия локализации соответствующих спектральных разложений. При исследовании этого вопроса мы остановимся на классических спектральных разложениях. Именно, сначала рассмотрим кратные интегралы Фурье ( 4 / , затем-кратные ряды Фурье 1 3 ) .

Определение. Будем говорить, что однородный эллиптичес\' кий полином Ж? J = а.л <f* принадлежит классу ( г = о, Л . - - ■ ы~ 1 ) , если в ка-эдой точке соответствующей поверхности { ç <= К" , л ( f 1 - -f } По крайней

мере г из А/-1 главных кривизн отличны от нуля.

Очевидно, /¡^с-с Ал с. А 0 , где Ас -

класс всех однородных эллиптических полиномов. Типичны:,! представителем класса Аы. 1 является полином I?!"" ( А (ъ ) -в этом случае, оператор Лапласа).

Сформулируем сначала результаты, касающихся кратным интегралам Фурье 14).

Теорема 1.1. Пусть Аг . Тогда для средних

Рнсса имеет место принцип локализации в классе Лиу-

ЗИЛЛЯ ( /А'Л') , при условии о , -1 ^ ^ ^ ,2 ,

О** * = г) . <5)

г- р

Иначе, для любой финитной функции [_р ( ^ , тавной

нулю в некоторой области V ,

л

разномерно на любом компакте КС. (У*

Если множество = 1 !? , А ( £ ) < 1}

выпукло, то условие локализации (5 ) становится менее ограниченным. Сформулируем соответствующий результат.

Теорема 1.2. Пусть А Ц) & А^ , у с А/ - 4 и множество д выпукло. Тогда существует функция £д ( р > > О такая, что принцип локализации для е^ в классе Ц С й?" ) справедлив при условии а, х> г- о . у\ р £ и

О г г, ^ та X V/0' ^ Ь (6)

Замечание I. В классе /40 (.т.е. в классе всех эллиптических полиномов ) утверждение теоремы справедливо и без тре бовашя выпуклости множества , но с функцией

£а С р ) г? о . £. (-О — ■. где ^ - порядок оператора

АЛ (3>5. А "

Условия локализации для разложения (3) и (4) в случае оператора Лапласа: А 1%)= ^& А были изучены в работах

С.Еохнера [I?] и Э.Стейна [20] в классах Ц> , р =»• ^ ( т.е. при а — о ) .С.Бохнер доказал, что для средних Рисса порядка ь - в классе Ь А принцип локализации имеет

место для интегралов Фурье ( 4) а не справедлив для рядов Фурье (3). Порядок он юз вал нритдческпм.Э.Стейн

установил, что принцип локализации средних Рисса критического порядка кратных рядов Фурье будет справедлив, если ¿.^ заменить на 1_ р , р >- -1 .

Принцип локализации спектральных разложений,отвечающих различным эллиптическим дифференциальным.операторам изучался Б.:*!.Левитаном, В.А.Ильиным, Я.Петре, И.А.Шишмаревым, Е.И.Моисеевым, М.Л.Гольдааном и другими математиками.

Условия, обеспечивающие локализацию средних Рисса спектральных разложений произвольного эллиптического дифференциального оператора в классах Лиувилля ЬД, имеют вид

А/

а + 5 ^ . Р ^ 2. . (X)

Этот результат в с" ормулиров/.нном виде принадлежит Ш.А.Алимову [2] и лрл а~о (т.е. в массах ) ранее ' был установлен Л.Хермандером[15] . Достаточность условий (7) для локализации спектральных разложений сначала оператора Лапласа, затем произвольного эллиптического оператора второго порядка доказана В.А.Ильиным и,его учениками (см. [41 ).

Впервые в работах В.А.Ильина установлены результаты от- -рицательного характера, т.е. теоремы о существовании для произвольных самоспряхеншх расширений эллиптических операторов таких гладких функций, для спектральных разложений которых не справедлив принцип локализации (см.[4] ). В частности, э работе [э] доказано, что принцип локализации отсутствует для средних Рисса порядка з , ^^ , спектральных разложе-

ний эллиптического оператора второго порядка в классе Гельдера ¿Л (. } , если

СХ + 5

А/-1

"ту

(в)

\

\

Следовательно, локализация отсутствует при условии (.9) в любом из классов Никольского Нр ) , Лиувилля Ьр и Соболева (Л ) , р л.

Сопоставляя условия локализации \ 7) и с 9) могло заключить, что проблема локализации в классах /_<£ при по существу решена. Поэтому в теоремах 1.1 и 1.2 рассматрива ются классы при * р 2.

Следует также заметить, когда число из теоремы 1.1 пробегает от 0 до /V-1 , то линии я = ¿Г. с р > { при

а=.о, т.е. рассматриваются классы ¡- р ) полностью заполняют зазор ме?,1у условием Бохнера и Хермандера 18).

Дня того, чтобы показать неулучшаемость найденных в теоремах 1.1 и 1.2 достаточных условий локализации, рассмотрим следующие эллиптические полиномы:

о ЖН , Л' . п чи1 , 1 ,

"••г Г"1 4 <1 ' н ''

г

ПОЛИНОМ иг ё. А у, при > о и 1-г

При этом множество не является выпуклым. Что касается

полинома , то при -<. ы-1 он принадлежит

классу А г- и не принадлежит А,.,, а множество ¿2,

выпукло.

Обозначим через (Л ) - средние Рисса разложения (4 ) , соответствующего полиному и положим

Теорема 1.3. Пусть а , s ^ о , 4 & р^ Z и а-г s = с р > . Тогда для дабой точки & ^ существует финитная функция f , удовлетворяющая следующим условиям:

1) принадлежит классу С.:л.Никольского rt/ ( ) ;

2) fcr<) - о в некоторой окрестности точки ^„ ;

3) ldAs (. vf I-*«:) I > °

Иначе, для с?л в rj!acce 14¡> принцип локализации отсутствует.

Из этой теоремы, в силу вложения Н^"1 Lp для любого f. >С следует, что сформулированное в теореме 1.2 условие (.6) точное (т.к. .-.р ^ ¿Х- ip) при м ) . Отсюда также вытекает неулучшаемость условия i 5) е классе А h . Однако, сформулированная mute теорема 1.5 показывает, что условие (5) при г>о неулучиаемо даже для фиксированного оператора V,. r (~Ь ) из класса А ^ .

Теорема 1.4. Пусть С\, -s о , р =ь Z я Qt<, ^ (р) . Тогда для Од справедлив прин-

цип локализации в классе С й?к') .

В силу вышеупомянутого вложения для классов Ир и Lj. из этой теоремы следует, что необходимое условие, найденное в теореме 1.3 , точное.

Теорема 1.5. Пусть (l.^ü , >- о . и а + <: = - N - 1 - у • Тогда для средних Рисса с? д ( Ьг ) принцип локализации в классе Н^ (/i?v) отсутствует.

-3 теоремах 1.6 - 1.8 доказаны аналога теорем I.I - 1.4 для средних Рисса кратных'рядов Фурье (см. (3))в клас-

се Lp ^Т*-' ) , р< г , т.е. при а = о

Пусть рт ( Х- ) - Ч™ + С"1" '' ЧГ ~ эллиптический полином из класса А 0 . Torna для соответствующих средних Рисса разложений (3 ) справедливо утверждение замечания I

при а ~ о ) . По мере увеличения граница области -£"2 р^ становится более плоской и при т -* <к множества приб-

лижаются к кубу, а соответствующие спектральные разложения ^3)- к кубическим (часто называемым, квадратным) частичным суммам '

Сло)

В § 7 первой главы изучены условия локализации для частичных ■ суш (10). Отметим, что в обзорной работе Г4] ставился вопрос о нахождении точного условия локализации для квадратных частичных сумм (10) в классах Н^ - замыкание пространства ¡¿л- -периодических бесконечно дифференцируемых функций по норме пространства Никольского Н^ . Ответ на этот вопрос дан в теоремах 1.9 и 1.10. В теореме 1.9 доказано, что если ар-5г-л/-*1 , а>о , р^^С сравни с условием ( Е) при с ) то в классе Ар справедлив принцип локализации для 5 к • Если же ар-=г л/-ч , то существует

функция £г Йр ( теорема 1.10 ) для которой принцип локализации квадратных частичных суш отсутствует.

Ранее В.А.Ильин £8} доказал, что для прямоугольных частичных суш локализация в классе имеет место тогда и только тогда, когда . о р > л/-1

^ В первых четырех параграфах изучаются кратные интегралы . В § I доказаны теоремы 1.1 , и 1.2 и замечание I. Пусть и Финитная функция & С П?" ^ , а >о,

и обращается в нуль в области Х7 . Тогда с помощью тауберовой теоремы Хермандера мо:хно показать, что

равномерно на любом компакте из X/ . Отсюда вытекает утверждение теоремы 1.1.

Для того, чтобы установить оценку (II) при мы

должны изучить асимптотическое поведение ядра оператора б1 , которое имеет вид

Этот интеграл изучается методом стационарной фазы и его асимптотическая оценка существенно зависит от числа отличных от нуля главных кривизн поверхности

Во втором параграфе выписано асимптотическое разломе- ^ ние при А -» о^ спектральной функции оператора Ь„/ГР>) 4 @ ■ Следующий параграф посвящен доказательству теорем 1.3 и 1.4. В § 4 доказана теорема 1.5.

При доказательстве теорем 1.3 и 1.5 мы строим функцию из соответствующего класса и'равной нулю в окрестности начала координат и такую, что

Ж^ /С / (о>1>0.

Для этого, сначала построим последовательность гладких функции -р^ (х) , носитель которых находится вне начало координат и имеющие такую не асимптотику при А у-* м , что и главная часть асимптотического разложения ядра е5( 0/ ч1 А ). Затем рассмотрим функцию 1

Очевидно, в окрестности нуля. Последовательнос-

ти чисел и вы<^еРем так> чтобы{&) принад-

лежал нужному классу и выполнялось неравенство (12.) . Это достигается следующим образом. Возьмем числа настолько редкими, чтобы величины Сэл ( й- ^ V о) и

^ ^ ^¡х^ ^ Со) были много меньше чем

Ч]®'^ Со (.в силу осцилляции ядра

-¿с о, аА Л при такой выбор возможен ). Пос-

ледняя величина не стремится к нулю, ибо функции (х) и ■€5 С с, -х-, имеют одинаковое асимптотическое поведение.

Чтобы все это осуществить, нам необходимо знать асимптотическое разложение ядра -е? (о, А ) при больших А . Полиномы и I, выбраны так, что для них соответст-

вущая асимптотика получается достаточно просто.

Последующие два параграфа данной главы посвящены доказательству теорем 1.6 - 1.8 для щ)атных рядов Фурье. Здесь основной аппарат-формула суммирования Пуассона. Эту формулу для ядер средних Рисса *=Л порядка я. ==- ^¿г- можно доказать только в случае полиномов из класса А . В § сохраняя условия на порядок средних Рисса, данная формула доказана для спектральн юс разложений в общем случае. Следует отметить, что ограниченность средних Рисса £ , в отличии от § I, доказана с помощью интерполяционной теоремы Стей-на (поэтов здесь рассмотрены средние Рисса комплексного порядка Я , {^е. а ^ С ) •

Вторая глава диссертации посвящена нахождению асимптотического разложения в метрике средних Биоса спектральной функции © С*,у, А ) произвольного поло.кительного самосопряженного расяшрения в Ьг(С2) эллиптического оператора А (~х,~Ь) с бесконечно дифференцируемыми коэффициентами в и областью определения С~(С2) .

Пусть - главный символ оператора А , т.е.

Обозначил через ^ ^ Л > ^ ) фазовую функцию, т.е. однородную по Ц степени 1 функцию, удовлетворяющую условиям

= ОС/*-,?!*-/?/), ич)

Существование фазовой функции в достаточно малой окрестности диагонали доказано ЛДермакдером [15} . Окрестность диагонали сх-= У , где существует фазовая функция, будем обозначать через V .

Следуя Л.Хершвдеру, обозначим через ( ТГ, (К^ ) класс бесконечно дифференцируемых функций { с*, , равннх

нулю вне V , и для которых справедлива оценка

К ^ ** f Ы.Э.Ч ) I ■V« V

Основной результат данной главы содержится в следующей теореме.

Теорема 2.1. Существует конечная сумма

и бесконечно дифференцируемая функция ^ такая, что

при А 1 справедлива разноверная по гг. на любом компакте К С. СИ- опенка

// £ \ «-. у, Л ; - ^ 'г ', ч. -X) - Г '(■ <>у, Л ) Ц ^

. \ I

.. Г.

(Ч

ь (±21 [А " >\~ Ч ,

(1'

где & ( I , Л'Л ; , ■( - иооизвольнсс полой,

6 / л'' • Г

ДЛЯ которого ' ЛИОО л »' > с .

либо с ; наконец I ' означает ядро :

I' О- .у .1

а символом обозначена сиектрг-лытал <;'у::шия споратора /|

во всем пространстве.

Следует отметать, что И с 7> л )I/^ ( (С , ибо

является ядром ортогонального проектора в ( В случай самой спектрально!! функции, т.е. пря о , опенка (.15) приобретает наиболее простой апд:

-- Ск А '"7 С1,;

где

г /

-(^тг) .) гС* ,

* »<*-.*)< А

Многие частичные случаи теоремы 2.1 были известны ранее. Для спектральной функции эллиптического оператора с постоянными коэффициентами оценка (15) была установлена Г.Еер-

гендалем ¡1б] . В случае общего эллиптического оператора второго порядка этот результат при о< в принадлежит В.А.Ильину [93.

Следует отметить, что в работе[16] фактически оценена разность между средними Рисса спектральной функции 6 оператора А Сз>) в области и во всем пространстве &0 . Средние Рисса ©о (.ядро оператора СЗд ) в этом случае явно вычисляются (см. (.ункцию в* на стр. 10 ). Этот результат для произвольных эллиптических операторов обобщил Л.Хермандер [14] ,[15] . Однако для операторов с переменными коэффициентами явный вод неизвестен.

Отметим также, условие 5 -с ¿г в работе В.А.Ильина [9] точное, поскольку в этой работе построен главный член асимптотики функции ,©'ь в норме . Для того, чтобы получить аналогич-

ную оценку при необходимо построить второй и последующие

члены асимптотического разложения в5 . Именно это сделано в теореме 2.1 для произвольного эллиптического оператора.

Доказательству теоремы 2.1 посвящены §§1-5 данной главы. В § I построено приблежение для функции Грина оператора А в /£?.*' с помоцыо интегральных операторов Фурье (ИСФ) с фазовой функцией, удовлетворяющей условиям (13) и (14).Далее, в § 2, оценена разность между функцией Грина и построенным ИОФ. Используя эту. • оценку и тот факт, что оператор Грина •= (X-г)"1 является преобразованием Стильтьеса от ¡=я , в § 3 доказана оценка (15) в елчае - .Оценка (15) для средних Рисса целого порядка . -установлена б § 4. В § 5 осуществлен, используя указанную выше оценку Хермавде£а для ревности О^-б* , переход к произвольной области О. и доказана оценка (16).

Оценка (15) имеет многочисленные приложения. С ее помощью в § 6 установлена оценка снизу константы Лебега и доказана теорема об отсутствии локализации в классе Злгмунда - Гельдера С ( ) порядка с» - _ 5 . при доказательстве этих фактов изучено асимптотическое поведение при Я °° функции е^Д].

Приведем формулировку соответствкщих теорем. Пусть

* = е в с .

Теорема 2.2.Пусть ОС - произвольная точка области -£2.. Тогда существует область В на единичной сфере и число

> О такие, что Кь и для любого °< /?< /?0

и множества Е , содержащего в (?) мера которого .удовлетворяет условию 1е1> | К6 Ы, К ) | и ^ ~ справедлива оценка

Е

Для любого компакта К с О. постоянные (?0 и р» можно выбрать одними и теш хе для всех осе К .

Впервые оценка (17) была'доказана В.А.Ильиным в 1957г.(см. [41 ). В работе [эЗ В.А.Ильин установил аналогичную оценку (левая часть (17) умножена на , I > О ) для спектральной функции общего эллиптического оператора-второго порядка.

Отметим, что доказательства теорем об отсутсвии сходимости по норме Ц ) и почти всюду в £2. основаны именно на оценке (17) (см. [4Д ).

Теорема 2.3, Для любой точки "=<а£гО. и любого я , Ы-1 . г

о <. 9 существует функция -}-а , удовлетворяющая

следуицим условия!л:

1) <а С*1'_ 5 ( О ) и финитна в О.

2) 4еЫ)=0 в некоторой окрестности точки ;

3) 1Еис(^и > О .

Пусть СА (£2 ) - пространство Гельдера, т.е. замыкание множества бесконечно дифференцируемых в £2 функций по норме пространства Зигмунда - Гельдера Са(0 ) . Тогда, как показано в вышеуказанной работе Ш.А.Алшова[21 (см. условие (7)), принцип локализации имеет место для всех финитных функций из С А (£>)I

Для однородных операторов А(3>) с постоянными коэффшщ-ентама при допольнительном условии выпуклости множества А0?)<'!]• аналогичная теорема доказана А.К.Пулатовым (см. [31 ).

В последнем параграфе ( § 7 ) данной главы,используя идею рассуждений из § 3, доказан уточнений вариант одной тауберо-

вой теоремы М.А.Субханкулова (теорема 2.5) . Данная теорема затем применена для оценки спектральной функции эллиптического оператора с постоянной главной части, рассматриваемого во всем пространства. Сформулируем соответствующий результат.

Теорема 2.4. Пусть Ос к & ~ спектральные функции самосопряженных расширений в ) операторов (-!>) = ь^т и Ао + , где Р> - дифференциальное выражение порядка ■£</»•- с ограниченными коэффициентами, соответственно. Тогда существует

функция ¿// Л ) такая, что 1ху,.\)- Л)

11 '

А) ~ % +0(л ш)

равномерно по ^■

Оценка(181 является не улучшаемой в том смысле, что даже для операторов 3> с постоянными коэффициентами О в этой оценке нельзя заменить на о . Отметим, что для операторов с постоянными коэффициентами функция имеет простой ввд и непревосходит остаток в (18^.

В главе Ш настоящей диссертации изучается суммируемость почти всюду спектральных разложений эллиптических дифференциальных и псевдодифференциальных операторов (ПДО) .

В § I и 2 рассматриваются разложения (4 1 и (3) соответственно. Поскольку полученные результаты формулируются одинаково, мы приведем их лшь для красных рядов. л. ,

Теорема 3.2. Пусть множество А = {Iй ^, выпукло, 1<.р<.2 и Л >(//-1 ) (у, ~ % ) . Тогда для любой функции (. Т " ) срецние Рисса ----

г-* г ~ и

£Л / С-О = х 1 ^

А (п.) < А

сходятся к ¿Ы) почти всюду в 7~л' . Кроме того справедлива оценка мажоранты £ — /

*- иг") [ ьР(т*)

Г

За-у.ечаи'ло 2. При Л'-'- 2 л 3 утверздекия теоремы справедливы без требования выпуклости множества ,

т.е. ,для произвольных эллиптических полиномов.

Отьетим, что теорема 3.2 для случая /)(р) - Л^-г ранее бита доказана Э.Стоинсм [20], а для общего эллиптического полинома - Л .Хермачдером [15] при более жестком ограничении ^^¿(л-мс Г ~ ~ ^ ' / 1'з теоремы 3.2 слсдуст, что геометрические характеристики поверхности '^^д , рассмотренные в первой главе, на условия сходимости почти всюду, в отличии от локализации, И2 ВЛПЯДТ.

\ — А

\ Сходимость почти всосредних с1 -/- тактически следует из оценки маиоранта ч !;-•').

Неравенство (19) доказало сначала (§ I ) для оператора С-д и затем (§ 2), привлекая -¿орг-улу сумм:роваш!я Пуассона, для кратных рядов. При р - А?. доказательство оценки (, 1Э) (1 основано на лемму Качмака а при р , близких к I , она доказывается с лрпвличением асимптотической опенки спектральной функции -с'' с ~ ■ Я } , ядра интегрального оператора . Необходимую опенку ддя мы поличили

используя оценку Е.Рэндола [19] для преобразования Оурье характеристической функции выпуклого множества с аналитической грающей. К оценкам (19) при г -■ с и при р , близ -к I , далее применяя интерполяционную теорему Э.Стекна 1 си. [20]) для аналитического семейства липе^тг: операторов, получаем (19) для любого о . Чтобы применить теорему Э.Стекна, в этой главе рассматривается средние Рисса когяхлексного порядка , /?е <; г> с

Следует отметить, еслимнотество ^А выпукло, то осциллирующий интеграл ■€.(.--*:.,у, й) имеет только две граничные стационарные точки. Если :хе А не выпукло, то число стационарных точек ли только растет, дгио целая 1ь - мерная поверхность, уь. . мо:.<ет состоят из

стационарных точек. Последний случаи очень тяжело поддается к исследованию. При N-=-1£ требуемая оценка для йункиии

вытекает из работы Е.Рэндола [18] , а при //-5, по просьбе автора диссертации, доказана И.Икрамовым С'1'1 ' •

В третьем параграфе рассматриваются спектральные разложения (Iотвечающие произвольны!.! эллиптическим дифференциальным операторам. Пусть - «уккш;п определенная в теореме 2.1, Обозначим через ъ комплексно сопряженную функшш. Основной результат данного параграфа содержится в следующей теореме.

Теорема 3.3. Пусть 1-л - сродшю Рг.сса разложе-Ш1я единицы произвольного самосопряженного эллиптического оператора в области с. /\1л и пусть А' - кошакт из Тогда для лобой фшштнои функции , А'

и л, /< е. » справедлива оценка

{ (! ь'7) - ё л)! Г ¿г* с (К,4 I

Л > * ' л (~С/

где Л - интегральны:! оператор с ядром

Доказательство оценки (.20) основано на теорему 2.1. Как было отмечено выше, сходимость почти всюду разложений

вытекает из оцени! мажоранты •£ -- 1£л/-со/. Важность теоремы 0.3. заключается в том, что с помощью оценки (20) изучение максимального операторов сводит-

ся к изучению интегрального оператора -е-"^'. £ Я ) , который близко к обычному кратному интегралу Фурье.

Следует подчеркнуть, что из теоремы 3.3 также вытешет равносходимость почти всюду в ИТ. средних Рисса порядка > ~ разложений £л £ и -ё для

финитных функции из классов ¿.г,(£2) , .

Далее, в этом параграфе, изучая оператор -е "V % ) доказана следующая

Теорема 3.4. Пусть оператор АЫ,~£>) удовлетворяет одному из условий:

1) имеет постоянную главную часть, а (%) и множество { | & К", Л (% ) ^ 1} выпукло ;

2) имеет постоянную главную часть и N-3 ;

3) для любого £2. множество \ £ £ а(х^)<1}

строго выпукло.

Тогда для любого s ft/ (i - у ) и -либой

ФИНИТНОЙ фуККЩШ f é Lp (G ) i л t p -i 2 " ■fi m / t">r > = f )

-r oo

почти всюду a •

Данная теорема для произвольных самосопряженных расширения оператора Лапласа доказана ХА.Алимовым [i] , а для общего эллиптического оператора - ЛДермаццером [15] при более местком ограничении S >■ 2 ( /V - / > ( - £ ) ■

В рассматрываемом параграфе также доказана теорема об отсутствии сходимости почти всюду. Сформулируем данный результат.

Теорема 3.5. Пусть £А - сред;ше Рисса разложения единицы произвольного самосопряженного эллиптического оператора в области -S2. С . Тогда для любого р,

" «î , суще-

ствует финитная функция f из класса /^-.(SZ ) "такая, что па некоторой множестве положительной меры

¿Z / e Vi-*1 ' ^ •

Построение функцииj опирается на методику, разработанную в. работе З.А.Ильина и Ш.А.Алимова flOj , где были изучены спектральные разложения оператора Лапласа. Основную роль в этом построении играет оценка снизу константы Лебега, устаноаченная в теореме 2.2.

Аналогичный результат в случае оператора Лапласа доказан Е.МЛЬдашшным [13], а для эллиптических операторов с постоянными коэффициентами - К.И.Бабенко [5] .

Следует также отметить работу А.Й.Бастиса [?], где построено таксе самосопряженное расширение оператора Лапласа, что для соответствующих спектральных разложений имеет место, расходимость на множестве положительной меры б классе при«/-«. <

Сопоставляя приведенные выше результаты о суммируемости почти всюду, легко заметить, что в классе эллиптических диф-

ос-реншшльннх операторов.остается зазор между положительными и отрицатель.ыми результатами.

3 последнем параграфе данноЗ глазы изучается сходимость почти есюду спектральных разложений произвольного псевдодифференциального оператора (ГЩО). Примечательным является то обстоятельство, что в классе ЦДО положительные и отрицатель-ние результата сшкавтся.

Приведем точние формулировки результатов. Пусть А эллиптически."! си'ллетрический положительный 1Щ0 с облстью определения С^ЧСЗ С? и символом й(^) е (О- * К"),

т > О .

Теорема З.в. Пусть | ] - разложение единицы произвольного самосопряженного расширения в оператора А. Тогда для любой финитной функции •/■ из класса Лиувилля

¿¿(О), 2.,

Е / Ы) -

почти всхщу в О- ■

Теорема 3.7. Пусть й , 6з О , £> - целое и

. Тогда существует эллиптический ПКО 1 р г- ^ лэ , п V \

с постоянными коэффициентами и областью определения ( г» )..

и финитная функция / е ¡-^ () , для средних Рисса спектральных разложений которой справедливо равенство

I Е^ / Г*:) I = Г ее

на множестве положительной меры.

Для дифференциальных операторов теорема 3.6 доказана в работе А.И.Бас-тиса Гб ] . Мы оперяемся на методику, предложенной в этой работе. Теорема 3.7 при ^ = 1 и з, — о

также доказана А.Й.Бастисом.

Автор приносит глубокую благодарность члену корреспондент, ту АН Республики Узбекистан проф. Ш.А.Алимову за постоянную поддержку и большое внимание, проявленное им к этой диссертации.

ЛИТЕРАТУРА

1. Алимов Ш. А. О суммируемости рядов Фуръе из Lp по собственным функциям // Дифф. уравнения. 1970. Т. G. N 3, С. 567-576.

2. Алимов Ш. А. Равномерная сходимость и суммируемость спектральных разложений функций из [Д //Дифф. уравнения, 1973. Т. 9. N 4. С. 669-681. 1

3. Алимов UL А. , Ашуров Р. Р. , Пулатов А. К. Кратные ряды и интегралы Фурье // Итоги науки и техники. .Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. ВИНИТИ. 1989. Т. 42. С. 5-105.

4. Алимов 11!. А. . Ильин В. А. , Никишин Е. М. Вопросы сходимости кратных тригонометрических рядов и спектральных разложений // УМН. 1976. Т. 31. N 6. С. 29-83. , 1977. Т. 32. N 1. С. 107-130.

5. Бабенко К. И. О суммируемости и сходимости разложений по собственным функциям дифференциального оператора //Матем. сборник. 1973. Т. 91. N 26. С. 147-201.

6. Бастис А. Й. Некоторые вопросы суммируемости спектральных разложений, отвечающих эллиптическим операторам //Кандидатская диссертация. Москва. МГУ. 1983.

• £ 7. Бастис А. Я. О расходимости почти всюду средних Рисеа спектральных разложений по собственным функциям оператора Лапласа // Литов. матем. сборник. 1989. Т. 29. N 4. С. 645-555.

8." Ильин В. А. Условия локализации прямоугольных частичных сумм кратного тригонометрического ряда £урье в классах С. М. Никольского // Матем. заметки. 1970. Т. 3. N 5. С. 595- 606.

9. Ильин В. А. Услоеия сходимости спектральных ряз.-оданий, отвечающих самосопряженным расширениям эллиптических оперит,."-?., IV // Дифф. уравнения. 1973. Т. 0. N 1. 0.49-73.

Ю.Ильин В. А. , Алимов 1IL А. О расходимости на множестве- .¡гл. жительной меры средних Рисса ядер дробного порядка //Дифф. ,/■ нения. 1972. Т. 8. N 2. С. 372-373.

11. Икрамов И. А. Оценки преобразования Фурье х.:фак:> готических функций невыпуклых множеств //ДАН Республики Ув^-киотан.

1992. N 4-5. С. 11-12.

12. Левитан Б. М. О суммировании кратных рядов и интегралов Оуръе //ДАН СССР. 1955. Т. 102. N 6. С. 1073-1076.

13. Никишин Е. М. Резонансные теоремы и функциональные ряды. Докторская диссертация. Москва. МГУ. 1971.

14. Хермакдер Л. О средних Рисса спектральных функций эллиптических дифференциальных операторов и соответствующих спектральных разложениях //Математика. Сборник переводов. 1968. 'Г. 12. N 5. С. 91-130.

15. Хермандер JL Спектральная функция эллиптического оператора // Математика. Сборник переводов. 1959. Т. 13 N б. С. 1U--37.

16. Bergendal G. //Comm. du. S'em. Math, de I'universite' de Lund. 1959. V. 15. P. 1-63.

17. Bochner S. Summation of multiple Fourier series by spherical means //Trans. Amer. Math. Soc. 1935. v. 40. P. 175-207.

18. Randol S. On the Fourier tranform of the indicator-function of a planar set //Trans. Amer. Math. Soc. 1969. V. 139. P. 271- 279.

19. Randol B. On the asymptotical behavior of the Fourier transforms of the indicator functions of a convex set //Trans. Amer. Math. Soc. 1969. V. 139.' P. 279-235.

20. Stein E.M. Localisation and sunnability of multiple Fourier series // Acta Math. 1958. V. 100. К 2. P. S3-147.

Работы автора по теме диссертации

21. Ашуров Р. Г. О расходжимости спектральных разложений, связанных с эллиптическими операторами //Матем. заметки. 1981. Т. 30. N 2. С. 22.5-235.

22. Ашуров Р. Р. 00 отсутствии локализаций спектральных разложений, связанных с эллиптическими операторами //Матем. заметки. 1981. Т. 30. N 4. С. 535-542.

23. Ашуров Р. Р. Об условиях локализации спектарльных разложений, отвечающих эллиптическим операторам с постоянными коэффициентами .//ДАН СССР. 1981. Т. 257. N 6. С. 1292-1294.

24. Ашуров Р. Р. Асимптотика спектральных функций некоторых эллиптических операторов // Дифф. уравнения. 1982. Т. 18. N 4. С. 62V-625.

25. Асурсв P. P. Об условиях локализации спектральных рлзло жений, отвечающих эллиптическим операторам с постоянными коэффициентами //' Матем. заметки. 1983. Т. 33. N 6. С. 847-357.

26. Ашуров Р. Р. О суммируемости почти всюду рядов Фурье

Lp по собственным функциям //Матем. заметки. 1983. т. 34. с. 837-8-43.

27. Ашуров р. р. о локализации спектральных разложений, отвечающих эллиптическим оператороам с постоянными коэффициентами. //Дифф. уравнения. 1934. Т. 20. N 1. С. 3-7.

28. Ашуров Р. Р. Асимптотическая оценка спектральной функции эллитического оператора // ДАК СССР. 1984. Т. 276. N 2. С. 265-267.

29. Ашуров Р. Р. Об условиях локализации кратных тригонометрических рядов Фурье // ДАН СССР . 1985. Т. 232. N 4. С. 777-730.

30. АшуроЕ P.P. О спектральных разложениях, отвечающих эллиптическим операторам с постоянной главной частью // Дифф. уравнения и их приложения к механике . Ташкент. Фан. 1985. С. 211-230.

31. Ашуров P.P. Асимптотическая оценка спектральной функции эллиптического оператора // Краевые задачи для неклассических уравнений математической физики. Ташкент. Фан. 1986. С. 248-266.

32. Ашуров P.P. Асимптотическая оценка е L^ средни:: Рисса спектральной функции эллиптического оператора //ДАН УзССР. 1386. N 11. С. 5-8.

33. Ашуров Р. Р. Асимптотическая оценка з L.., средних Рисса спектральной функции эллиптического оператора //Дифф. уравнения. 1989. Т. 25. N 1. С. 3-14.

34. Ашуров Р. Р. Условия локализации квадратных частичных сумм кратного тригонометрического ряда Фурье в классах С. М. Никольского //Матем. заметки. 1989. Т. 46. N 4. С. 3-7.

35. Ашуров Р. Р. О суммируемости кратных тригокомертричееких рядов гурье //Матем. заметки. 1991. Т. 49. N 5. С. 12-18.

36. Ашуров Р. Р. О принципе локализации для кратных тригонометрических рядов фурье // Труды Ташкентского университета. Ташкент. 1989. С. 14-21.

37. Ashurov R. R. The Multiple Fourier series // Harmonic Analis en Homogeneous Spases and Representation theory of Groups Kyoto University. Kyoto. Japan. 1991. July. P. 52-76.

38. Ashurov R. R. ' Convergence almost .everywhere of spectral resolutions // 11- Conference on cliff, equations. Dundee. 1990. Abstracts of talks.

39. Ashurcv R. R. An asymptotic estimate in L?of the spectral function of elliptic operators // Conference on diff. equations. Plovdiv. 1991. Abstracts of talks.

.40. Ashurov R. R. On convergence of spectral resolutions of pseudodifferential operators // 12- Conferense on diff. equations. Dundee. 1992. Abstracts of talks.

Подписано к печати 03.1Я>.91.

Формат 60x90/16. Усл. печ. л. '«, Уч.-изд.л.

Тираж iDO э J. Заказ № /¿S3

Ордена 'Знак Почета" издательство Московского университета. 103009, Москва, ул. Герцена, 5/7. Типография ордена 'Знак Почета' издательства /ЛГУ. 119899, Москва, Ленинские горы.