Спектральные свойства дифференциально-разностных операторов и нелокальных эллиптических задач тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АВИАЦИОННЫЙ ИНСТИТУТ (ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)

Факультет прикладной математики и физики

На правах рукописи

ПОДЪЯПОЛЬСКИЙ Владимир Васильевич

СПЕКТРАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО -РАЗНОСТНЫХ ОПЕРАТОРОВ И НЕЛОКАЛЬНЫХ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

01.01.02 — дифференциальные уравнения

Диссертация на соискание ученой степени

кандидата физико-математических наук

Научный руководитель: доктор

физико-математических наук, профессор А.Л. Скубачевский

Москва—1999

Оглавление

Введение 3

I Сильно эллиптические дифференциально - разностные операторы 12

§1 'Некоторые свойства разностных операторов................12

§2 Базисность по Абелю системы корневых функций .... 15

§3 Пример существования присоединенной функции..........21

§4 Подчиненное возмущение самосопряженного дифференциально - разностного оператора............................28

§5 Гладкость собственных и присоединенных функций . . . 30 §6 Асимптотика собственных значений самосопряженных сильно эллиптических дифференциально - разностных

операторов......................................................36

§7 Асимптотика собственных значений одной нелокальной

эллиптической задачи..........................................41

II Нелокальные задачи 47 §1 Нелокальные эллиптические задачи в областях с гладкой

границей........................................................47

§2 Нелокальные эллиптические задачи в цилиндре............59

§3 Нелокальная задача с интегральными условиями..........63

Список литературы 66

Введение

1. В настоящей диссертации рассматриваются спектральные свойства сильно эллиптических дифференциально - разностных операторов и нелокальных эллиптических задач. Изучаются полнота и суммируемость по Абелю системы корневых функций несамосопряженных операторов, порождаемых дифференциально - разностными уравнениями и нелокальными задачами, а также асимптотика собственных значений самосопряженного дифференциально - разностного оператора.

Основы общей теории краевых задач для эллиптических дифференциально - разностных уравнений были созданы в работах А.Л. Скуба-чевского [25] - [27], [38]. Были получены необходимые и достаточные условия выполнения неравенства типа Гординга, исследованы вопросы однозначной, фредгольмовой, нетеровой разрешимости в пространствах Соболева и в весовых пространствах, а также гладкости обобщенных решений. Показано, что гладкость обобщенных решений может нарушаться в области даже при бесконечно дифференцируемой правой части и сохраняется лишь в некоторых подобластях. Наиболее полное изложение теории краевых задач для дифференциально - разностных уравнений и обширную библиографию можно найти в [38]. Однако во- , просы полноты и суммируемости системы корневых функций, а также асимптотики собственных значений остались неисследованными.

Нелокальные задачи изучались рядом авторов. Спектральные свойства нелокальных задач для обыкновенных дифференциальных уравнений исследованы достаточно хорошо (см. [29], [35], [9], [30] и др.). Например, в работе [9] для дифференциальных операторов второго порядка с нелокальными условиями установлены необходимые и доста-

точные условия базисности по Риссу системы корневых векторов. Спектральные задачи для дифференциальных операторов с интегральными условиями были исследованы в работах М. Picone [36], Я.Д. Тамаркина [29], W. Feller [34], A.M. Krall [35], В.А. Ильина и Е.И. Моисеева [10], A.A. Шкаликова [30] и ряда других авторов. В этих работах рассматривались случаи атомарной на концах интервала меры. Были получены результаты о разрешимости, полноте и базисности системы корневых функций.

Дискретность и угловая структура спектра нелокальных эллиптических задач, а также оценки резольвенты были установлены A.J1. Ску-бачевским [24]. Однако, асимптотика собственных значений, полнота системы корневых функций и суммируемость разложений по корневым функциям многомерных нелокальных задач практически остаются неисследованными. В связи с этим отметим работы F. Browder [33], М.А. Мустафина [17], [18] и Е.И. Моисеева [15], [16]. В [33] получен первый член асимптотики спектральной функции и функции распределения собственных значений самосопряженного в L2{Q) оператора, порожденного нелокальной эллиптической задачей. Кроме того как известно (см. [39], §§13, 21), нелокальные задачи как правило являются несамосопряженными. Однако условия существования такого оператора не были приведены. В работе [17] рассмотрена задача Бицадзе -Самарского для оператора Лапласа

Аи(х, у) + Аи(х, у) = 0, ((ж, у) 6 (0, 2) х (0,1)) u{x,tt) = м(ж,1) = 0, (же (0,2))

«(0, у)+«(2,2/)= о, (уе(0,1))

и{хо,у) + и(1 + х0,у) = 0, (у£( 0,1)).

(0.1)

Явно вычисляя собственные значения и корневые функции задачи (0.1) методом разделения переменных и применяя результат работы [9], доказана базисность по Риссу в Ь2((0,2) х (0,1)) системы корневых функций задачи (0.1) при хй 6 (0,1), х§ ф 1/2. В работе [18] рассмотрена задача Бицадзе - Самарского для равномерно эллиптического оператора второго порядка в п-мерной ограниченной области. Доказана базисность по Абелю системы корневых функций порядка а Е (п + 1, п + 2).

В работах [15] и [16] приведены примеры нелокальных задач для оператора Лапласа в двумерном круге, корневые функции которых полны и минимальны в 1/2 ((3), но не образуют в нем базиса.

2. В диссертации впервые получены результаты о суммируемости рядов по корневым функциям несамосопряженных сильно эллиптических дифференциально - разностных операторов и многомерных нелокальных эллиптических задач, а также об асимптотике собственных значений самосопряженных дифференциально - разностных операторов. В силу того, что собственные функции дифференциально - разностных операторов являются негладкими (см. раздел 4.2), для вычисления первого члена асимптотики используется вариационный метод исследования. Результаты о суммируемости по корневым функциям опираются на методы, развитые в работах В.Б. Лидского [13] и М.С. Аграновича [1], [2]. Отличие состоит в использовании более слабых оценок резольвенты, что позволило изучить суммируемость разложений в более сильной топологии.

3. Приведем определения базисности по Риссу и Абелю системы корневых функций. Пусть — некоторая минимальная система векторов в гильбертовом пространстве Н, т.е. ни один из векторов fi не содержится в замыкании линейной оболочки остальных векторов /ь ...,/г_!,/¿+1,.... Обозначим через Л4/ линейную оболочку векторов /Ш{+1,..., /т,+1, где — некоторая неограничено возрастающая последовательность целых неотрицательных чисел и тг =0.

Система векторов {_£•} называется полной в пространстве Н, если замыкание линейной оболочки этих векторов совпадает с Н. Последовательность подпространств называется полной, если замыкание линейной оболочки всех подространств совпадает с Н.

Пусть {е^-}^ — ортонормированный базис в Я, а N1 — линейная оболочка векторов ет,+1,..., ет;+1.

Если существует такой ограниченный оператор Б в Я, имеющий ограниченный обратный, что М.\ = ВМ\ при всех /, то говорят, что — базис Рисса из подпространств в Н.

Промежуточным между полнотой и базисностью из подпространств является свойство суммируемости по Абелю, введенное в известной ра-

боте В.Б. Лидского [13].

Пусть в Н действует неограниченный, обратимый оператор А с областью определения Т>(А) и оператор Т = А-1 — компактный. Очевидно, что оператор А имеет дискретный спектр. Пусть Xi - собственное значение оператора А, — соответствующее корневое подпространство, в котором существует базис из жордановых цепочек собственных и присоединенных векторов

е(1),...,е^. (0.2)

Выбирая таким образом для каждого Аг- (г = 1,2,...) базис в А^, получим систему векторов {ед} (д = 1,2,...). Пусть эта система минимальна. Тогда существует биортогональная система векторов = 1, 2,...)

(см. [8, гл. VI, §1]). Пусть произвольный вектор / € Н представим в виде ряда

/ = !>*• (о-3)

ч

Коэффициенты сд определяются следующим образом: если -—

жорданова цепочка, т.е.

_ 1 ™ _ 1 _ 1

Тед — — ед, Т ед+\ — — ед+1 + ед, ..., Тед+ь — — ед+к + ед+к-\, лд лд лд

то

Сд+ (0 < г < &).

9ч+к-г)

Нумерация векторов биортогональной системы объясняется следующим. Если ед,...,ед+к — некоторая жорданова цепочка системы (0.2), то соответствующие векторы дд, ...дд+к биортогональной системы преобразуются по формулам

Т*дч+к = =-дя+к-1, Т*дч+к-1 — =~дя+к-1 + дч+к, Т*дд = =-дд + дд+1.

Лд Лд Лд

Поэтому для удобства вектора перенумеровывают так, чтобы первый вектор системы был собственным.

Однако ряд (0.3) сходится не для всякого / 6 Н. Поэтому вместо ряда (0.3) рассмотрим

(0.4)

Здесь сд(Ь) зависят от £ и определяются следующим образом. Если ер — собственный вектор оператора А (следовательно, и оператора Г), соответствующий собственному значению Лр оператора А не имеет присоединенных, то

Ср(*) = V (0.5)

Если же ея,..., ея+к образуют жорданову цепочку, то

к—з

с9+,-(*) - е~х%г ]Г (0 < з < к), (0.6)

т=0

где

Вывод формул (0.5), (0.6) можно найти в [13].

Введем следующее

Определение 0.1. Будем говорить, что ряд (0.4), соответствующий f суммируем к f по методу (А, А, о:), если для этого ряда существует подпоследовательность частичных сумм 5V„(£), сходящаяся в Н при всех t > 0, такая, что

со N¡,+1

«(*) = Е( Е с*(')е«)>

¡/=1 q-N„ +1

lim u(t) = f. *->+о '

Определение 0.2. Система {eq} (q = 1,2,...) образует базис Абеля со скобками порядка а в Н, если для любого f 6 Н соответствующий ряд суммируем к f по методу (А, Л, а).

4. В диссертации исследуются свойства операторов, действующих в пространствах Соболева. Приведем используемые обозначения. Для натуральных к через Wk(Q) обозначим пространство Соболева комплекс-нозначных функций, имеющих обобщенные производные вплоть до к -го порядка из L2(Q). Для нецелых к определение пространств Собо-

о .

лева приведено, например в [14]. Через W (Q) обозначим замыкание множества финитных и бесконечно дифференцируемых в Q функций

в 1¥к((5). В дальнейшем будем обозначать скалярное произведение и норму в УУк(0) через (•, -)кд и || • Ц^д соответственно.

Диссертация состоит из двух глав и введения. В первой главе рассматриваются спектральные свойства сильно эллиптического дифференциально - разностного оператора вида

Ляи= £ {uev{ЛR)), (0.7)

|«|,| 0\<т

о

где Т>(Ав) С \¥т((^)), — разностный оператор, определяемый следующим образом. Обозначим через Рц : 1/2(Мп) —> оператор сужения функции из М.п в <5, /д : Ь^О) —> Ь2(ЕП) оператор продолжения функции, заданной в ф нулем в М.п. Тогда

Р-а/зд = РаЯа/з^д,

Яари(х) = аа13к(х)и(х + /1), кет

где а^ъ. £ С°°(КП) - комплексные функции, Т — конечное множество векторов из К." с целочисленными координатами.

В §1 приводятся необходимые в дальнейшем сведения о разностных операторах.

В §2 исследуется суммируемость по Абелю системы корневых функций несамосопряженных сильно эллиптических дифференциально - разностных операторов. Результаты для операторов получаются как следствие результатов для полуторалинейных форм, т.е. используется вариационная постановка. Необходимые оценки собственных значений получаются из сильной эллиптичности и минимаксного принципа для собственных значений. Это позволяет получать аналогичные результаты для произвольных сильно эллиптических функционально - дифференциальных операторов.

В §3 строится пример несамосопряженного сильно эллиптического дифференциально - разностного оператора, имеющего присоединенные функции. Для этого с помощью метода разделения переменных задача сводится к дифференциально - разностному уравнению на интервале (0,2). Доказывается, что существуют такие значения параметров, что

Л = 0 является собственным значением оператора Ar и этому собственному значению соответствует присоединенная функция.

В §4 рассматривается подчиненное возмущение самосопряженного дифференциально - разностного оператора. Предполагается, что возмущение самосопряженности происходит в младших членах. Используя результаты М.С. Аграновича [1] о суммируемости рядов по корневым векторам мы получаем утверждение о базисности по Абелю, а в одномерном случае базисности по Риссу системы корневых векторов.

В §5 исследуется гладкость собственных и присоединенных функций. Доказывается гладкость собственных и присоединенных функций в подобластях Qs{. Приводится пример нарушения гладкости собственной функции на границе соседних подобластей. Получены достаточные условия сохранения гладкости собственных и присоединенных функций на границе соседних подобластей.

В §6 получается первый член асимптотики первой краевой задачи для сильно эллиптического дифференциально - разностного уравнения. Трудности, возникающие при исследовании этой задачи, связаны с тем, что гладкость обобщенных решений может нарушаться (см. §5). Поэтому для получения спектральной асимптотики используется вариационный подход [40, 4].

В §7 результат об асимптотике собственных значений дифференциально - разностных операторов применяется к эллиптическому уравнению с нелокальными условиями, связывающими следы искомой функции и ее производных на некоторых кусках границы с линейной комбинацией следов на тех же кусках, но сдвинутых внутрь области. При наложении некоторого требования на коэффициенты в нелокальных условиях удается свести задачу на собственные значения оператора, порожденного нелокальной задачей, к задаче на собственные функции и собственные значения для дифференциально - разностного оператора

CRu - XRqu (и G V(CR)),

о

где CR = CRq, V(CR) = {и e Wm(Q) : CRu G L2(Q)}, С — сильно эллиптический дифференциальный оператор, Rq — некоторый разностный оператор. Заметим, что первый член асимптотики собствен-

ных значений матричных несамосопряженных эллиптических дифференциальных операторов был получен в работе [б]. Однако на оператор А, являющийся замкнутым расширением дифференциального оператора, кроме прочих накладывалось требование Т>(А) С W2m(Q). В нашем случае это требование не выполнено и, следовательно, полученная асимптотическая формула не следует из результатов статьи [6]. В силу негладкости собственных функций применяется вариационный метод. Примечательно, что первый член не зависит от коэффициентов в краевых условиях.

Вторая глава посвящена исследованию спектральных свойств нелокальных задач.

В §1 рассматривается задача

Au = f(x) (х G Q) (0.8)

с нелокальными условиями

В^и = (Blu + + В\и - 0 (х £ ÔQ, ц = 1,.... m). (0.9)

Формулируется понятие эллиптичности с параметром на луче локальной задачи, порожденной нелокальной задачей (0.8) - (0.9) и строится *

оператор As, действующий в пространстве WS(Q). В §1.1 устанавливается плотность области определения этого оператора при некоторых s. В §1.2 используя результаты о разрешимости нелокальных задач и априорные оценки, устанавливаются необходимые оценки резольвенты оператора As. В §1.3 используя технику работы [13] устанавливается полнота и базисность по Абелю системы корневых функций задачи (0.8) - (0.9). Заметим, что в отличие от работы [13] использована более слабая оценка резольвенты. Это позволило получить результаты о суммируемости по Абелю для операторов, действующих не только b L2(Q), но и WS{Q) при s > 0. Для нелокальных задач, локальные задачи которых эллиптичны с параметром на любом луче, не совпадающем с К.+, приведен первый член асимптотики распределения модулей собственных значений, используя результаты работы [б].

В §2 рассматривается нелокальная задача в цилиндре для оператора второго порядка с формально самосопряженной главной частью. В

отличие от §1 допускается подход носителя нелокальных слагаемых к границе области. Используя схему §1, получен результат о базисности по Абелю в L2(Q) системы корневых функций соответствующего оператора. Также, используя результаты работы [б], приведен первый член асимптотики распределения модулей собственных значений.

В §3 рассмотрена нелокальная задача для обыкновенного дифференциального оператора второго порядка на (0,1) с интегральными условиями. Для этой задачи строится неплотно в Ь2(0,1) определенный оператор А и приводится достаточное условие суммируемости по Абелю ряда по корневым векторам к любому вектору из V(A). Для исследования применяются методы §1.

5. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [19] -[22], [37]. Результаты диссертации излагались на Международной конференции "Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. Проблемы математического образования", посвященной 75-летию Л.Д. Кудрявцева (Москва, 1998г.), Международной конференции, посвященной 90-летию со дня рождения Л.С. Понтрягина; на семинаре В.В. Власова и A.B. Седлецкого в Московском Государственном университете им. М.В. Ломоносова, Г.А. Каменского и А.Л. Скуба-чевского в Московском Государственном авиационном институте, Е.И. Моисеева в Московском Государственном университете им. М.В. Ломоносова, A.A. Шкаликова в Московском Государственном университете им. М.В. Ломоносова, а также на Крымской осенней математической школе (1998г.).

Глава I

Сильно эллиптические дифференциально -разностные операторы

§1 Некоторые свойства разностных операторов

1. Введем ограничений разностный оператор Л : Ь2(Жп) —> Ь2(Ш.п) по формуле:

йм(ж) + (1.1)

и ет

где Т — конеч