Разностные схемы для уравнения теплопроводности с нелокальными граничными условиями тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

им. М. В. ЛОМОНОСОВА РСБ ОД

Факультет вычислительной математики и кибернетики

2:3-Г0КТ'Ш'

УДК 519.61 На правах рукописи

МОРОЗОВА ВАЛЕНТИНА АЛЕКСЕЕВНА

РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ С НЕЛОКАЛЬНЫМИ ГРАНИЧНЫМИ УСЛОВИЯМИ

01.01.07 — вычислительная математика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

МОСКВА — 2000

Работа выполнена па кафедре вычислительных методов факультета вычислительной математики и кибернетики Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова.

Научный руководитель — кандидат физико-математических наук доцент Н. И. Ионхин.

Официальные оппоненты — доктор физико-математических наук профессор В. Ф. Типткин, кандидат физико-математических наук доцент В. В. Тихомиров.

Ведущая организация — Институт прикладной математики им. М. В. Келдыша РАН

[ »/-Г/¿си/1а1

ационного совета Д I

Защита диссертации состоится "/¿ь ¿¿С/УС1_2000 г. в 15

час. 30 мин. на заседании диссертационного совета Д 053.05.37 по математике при МГУ им. М. В. Ломоносова по адресу: 119 899, Москва, Воробьевы горы, МГУ, факультет вычислительной математики и кибернетики, второй учебный корпус, ауд. 685.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ имгМ. В. Ломоносова. Автореферат разослан "/$ С1С>}!Л.£/^\А.1_ 2000 г.

Ученый секретарь Совета профессор " / ^ Е. В. Захаров

/МО-г,40 2,2.1-3 оз

Общая характеристика работы Актуальность темы.

Под нелокальной краевой задачей понимается задача нахождения решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего дополнительным условиям, которые связывают значения искомого решения в различных точках границы и, может быть, во внутренних точках области. Задачи с нелокальными краевыми условиями возникают при изучении различных физических процессов. Примером такого рода задач является математическая модель процесса диффузии частиц в плазме, когда для функции распределения частиц задано условие нормировки числа частиц интегрального вида. В теории теплопроводности хорошо известна нелокальная задача, описывающая процесс распространения тепла п тонком нагретом стержне при заданном общем изменении количества тепла. Рассматриваются также задачи, когда на одном конце стержня поддерживается нулевая температура и потоки тепла па концах стержня рашгы.

В последние годы нелокальные краевые задачи привлекли внимание многих математиков. Основополагающей явилась работа А. В. Бицадзе и А. А. Самарского 1, в которой была сформулирована в общем виде постановка нелокальной краевой задачи и было проведено исследование существования и единственности нелокальных краевых задач для уравнений эллиптического типа. Подобная задача для уравнения параболического типа и вырождающихся эллиптических уравнений изучалась в работах Л. И. Камынина. Для упомянутых выше задач исследована разрешимость и единственность в классе достаточно гладких функций, доказан принцип максимума.

Применение метода разделения переменных к задачам с нелокальными условиями привело к необходимости изучения спектральных свойств возникающих дифференциальных операторов. Особенностью рассматриваемых задач, затрудняющей их исследование, является несамосопряженность пространственного дифференциального оператора и, как следствие, неполнота системы его собственных функций. Эти функции пополняются присоединенными функциями, которых может быть бесконечно много. Вопрос о базисности совокупности собственных и присоединенных функций был решен В. А. Ильиным 2. Он развил методы изучения спектральных разложений в биортогональный ряд по произвольной полной и минимальной в системе, которая состоит из собственных и присоединенных функций. Большой интерес представляют работы В. А. Ильина и Е. И. Моисеева, в которых найдены точные условия, гарантирующие разрешимость нелокальных краевых задач и устойчивость их решения, построены и исследованы разностные схемы, аппроксимирующие эти задачи.

В работах Н. И. Ионкина изучалась устойчивость и сходимость разностных схем с весами в сеточной £2-норме для уравнения теплопроводности с нелокальными граничными условиями и был предложен алгоритм нахождения

'А. В. Бицадзе, А. А. Самарский. О некоторых простейших обобщениях линейных эллиптических краевых задач. ДАН СССР, 1969, т. 185, N 4, с. 739-740.

гВ. А. Ильин. Необходимые и достаточные условия базисвости подсистемы собственных и присоединенных функций пучка М. В. Келдыша обыхновенных дифференциальных операторов. Докл. АН СССР, 1976, т. 227, N.4, с. 28-31.

численного решения, основанный на модификации метода прогонки. Метод исследования равномерной устойчивости и сходимости разностных схем, пригодный как для постоянных, так и для переменных коэффициентов, изложен в работах Н. И. Ионкина и Д. Г. Фурлетова. Этот метод существенно использует свойства матрицы, обратной к матрице, порожденной системой разностных уравнений, а также сам алгоритм нахождения численного решения. В работе Н. И. Ионкина и Е. А. Валижовой были получены априорные оценки, из которых вытекает устойчивость и сходимость разностного решения в метрике С в случае переменных коэффициентов. Для доказательства устойчивости здесь использовался подход, основанный на принципе максимума. Разностные схемы для нелинейных задач с нелокальными граничными условиями, в том числе для квазилинейного уравнения теплопроводности с нелокальным условием Бицадзе-Самарского, изучались В. Л. Макаровым. Им были доказаны теоремы существования и единственности обобщенных решений, построены и исследованы чисто неявные разностные схемы, получены оценки их скорости сходимости.

В предлагаемой диссертации излагаются результаты автора, относящиеся к исследованию разностных схем, аппроксимирующих нелокальные краевые задачи для уравнений параболического типа.

Цель работы.

Целью работы явилось:

1) Построение и исследование разностных схем для двумерного по пространству уравнения параболического типа для случая, когда по одному направлению заданы краевые условия первого рода, а по другому — нелокальные условия. Разработка методов решения соответствующих систем сеточных уравнений.

2) Выяснение необходимых и достаточных условий устойчивости по начальным данным разностных схем, аппроксимирующих уравнение теплопроводности с нелокальными граничными условиями.

Общая методика.

При исследовании двумерной задачи применялись принцип максимума и разложение решения в ряды по собственным и присоединенным функциям основного оператора. При исследовании устойчивости использовались теория устойчивости разностных схем, предложенная А. А. Самарским, и найденный Н. И. Ионки-ным базис из собственных и присоединенных функций рассматриваемого разностного оператора.

Научная новизна.

Доказаны существование и единственность решения двумер лого уравнения теплопроводности с постоянными коэффициентами в случае, когда по одной из переменных заданы краевые условия первого рода, а по второй переменной

— нелокальные граничные условия. Для указанной задачи в случае переменных коэффициентов построена абсолютно устойчивая разностная схема и доказана ее сходимость. Предложены и исследованы численные методы решения систем сеточных уравнений, возникающих в результате разностной аппроксимации двумерных задач с нелокальными граничными условиями. Получены необходимые и достаточные условия устойчивости в энергетических нормах разностных схем, аппроксимирующих уравпение теплопроводности с нелокальными граничными условиями.

Практическая ценность.

Разработанные в диссертации методы решения могут использоваться при математическом и численном моделировании различных задач математической физики, содержащих нелокальные краевые условия. Методы исследования устойчивости разностных схем, развитые в диссертации, могут оказаться полезными при изучении более общих несамосопряженных разностных схем.

Апробация работы.

Результаты диссертации докладывались на научно-исследовательском семинаре кафедры вычислительных методов факультета ВМиК МГУ им. М. В. Ломоносова под руководством академика А. А. Самарского. Основные результаты диссертации были доложены на следующих конференциях:

IX Научная конференция "Современные проблемы вычислительной математики и математической физики", Москва, 1999.

У1 Международная конференция аспирантов и студентов по фундаментальным наукам "Ломопосов — 99", Москва, МГУ, 19Э9.

УП Международная конференция "Математика. Компьютер. Образование." Дубна, 2000.

Публикации.

По теме диссертации опубликованы работы [1]—[7]. Структура и объем работы.

Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Общий объем работы — 111 страниц. Библиография содержит 41 наименование.

Содержание работы

Во введении дан обзор работ, посвященных постановке и математическому исследованию задач с нелокальными граничными условиями для дифференциальных уравнений в частных производных и их разпостпых аналогов, излагается содержание и структура диссертации, приводятся основные результаты. В первой главе рассматривается краевая задача для уравпения

ди д2и д2и , .

где D — Dxv x (О < t < Г), Dxy = (О < x,y < 1). Ищется решение, удовлетворяющее по переменной х нелокальным краевым условиям

«(О,у,«)=«(!,»,*), 0 < у < 1, 0 < i < Т, (2)

а по переменной у — краевым условиям первого рода

u(z,0,t) = u(z,M) = 0, 0 < г < 1, 0 <t<T, и(х,у,0) = щ(х,у). (3)

Спецификой рассматриваемой задачи является наличие краевых условий первого рода по одной из переменных и нелокальных условий — по другой.

В параграфе 1.1 проведено исследование сформулированной выше задачи. Методом разделения переменных построено классическое решение в виде биортогонального ряда по собственным и присоединенным функциям задачи

d2Z d2Z dZ

tf(0,y)=S(l,y), —(1, у) = 0, Z(x,0) = Z(z,l) = Q, 0 < x,y < 1. (5) Решенное задачи (1)—(3) построено в виде ряда

ОО оо оо

u(x,y,t) = Yl'POkZok{x,y)e~'M"'Í + [V2m—1 к 1 У

fe=X *=1тп=1

+V2mk(Z2mk{x,y)-2^tZ^lk(x,y))]e-^t, (6)

где ¡imk = 7m + A¡t = (2irm)2 + {^к)2 — собственные значения задачи (4), (5), коэффициенты (ртк определены согласно формуле

Vmk = (lio, т - 0,1,... ,fc = 1,2,...,

а функции Zmk(х, у) образуют множество собственных и присоединенных функций задачи (4), (5). Здесь скалярное произведение функций ф{%,у),£{х,у) 6 L%{Dzy) определяется как

í. Í

(V'.í) - J JФ{х,УШх>у)<*х<1У>

а функции Wmk(x, у) образуют множество собственных и присоединенных функций задачи, сопряженной к задаче (4), (5). Доказана

Теорема 1 Пусть и0(х, у) определена и непрерывна в Dxy ищ(х,у) е C2(DXU). Пусть, кроме того, u,a(Q,y) = ио(1,у), = 0, и0(г,0) = иа{х,\) = 0. Тогда

функция, определенная согласно (6), является классическим решением задачи

(i)43).

Доказаны единственность классического решения и теорема об устойчивости решения по пачалъным данным в норме ||«(01| = у (м>и)-Для неоднородного уравнения

ди д2и З'и „, _ „

с нулевыми пачалыгыми данными и граничными условиями (2), (3) получена априорпая оценка, выражающая устойчивость по правой части.

В параграфе 1.2 изучаются разностные схемы для параболического уравнения с переменными коэффициентами

ди д (, ди\ д /ди\ , . ,

и нелокальными граничными условиями (2)—(3). Здесь /(г, у, £), р(х, у, £), (¡(г., у, ¿) — непрерывные , а кг(х, у, /), кг{х, у, 4) —непрерывно дифференцируемые функции. Предполагается, что выполнены условия

О < та < <г2, 0 <т3 < к2(х,у,Ь) < г4,

о <Ф,у,<) <г5, о <г6 <р{х,у,г).

С помощью интегро-ивтерполяциопного метода построепо однодараметричес-кое семейство разностных схем. Проведено исследование погрешности аппроксимации и установлено достаточное условие устойчивости в норме С разностной схемы по начальным данным и по правой части. Доказала сходимость в С разностного решения к точному с порядком, равным порядку погрешности аппроксимации.

Для построения разностной схемы вводится равномерная сетка с шагами Л) по х, по у и г > 0 по времени. Обозначим я; = 1Л1, У] = ]Ь,2, 4 = 1п + 0.5т, = аи?;1 + (1 - (т)^, = «+1 -«5)/г, рц =

«ч — Щ-1, _ - и<] _ —

= пт.

«г..-; =

1 ' , 1 I

II1 /11 п

и{ - и,

-у,,] , "■> = (оиг),,у, (Л2и)<3- = (Ьи,у)у,ч.

п. 2

Полученная разностная схема имеет вид

(ри,)у = + А2и^ -+ *= 1,2.....ЛГг-1, 3 = 1,2,..., 1,

(8)

2

(рщ)м,} = ¿*4л ; + о - ¿Ъ + т з> 1 = 1,2,..., N2-1, (9)

1 = 1,2,...,^1-1, ] = п = 0,1,2,...

Отметим, что разностпое уравнение (8) аппроксимирует основное уравнение (7), а разностное уравнение (9) — второе граничное условие (2).

Коэффициенты разностной схемы (8), (9)нредставляют собой осредненные по пространственно-временным ячейкам значения соответствующих коэффициентов дифференциального уравнения (7). Например, коэффициент а^ вычисляется по формуле

(Xi »7 + 1/»

ПГ [ ( ТТ^ТП ,» = 1,2,...,N1,3=1,2.....Н,-\,

где Ь = 4- 0.5т.

Доказано, что погрешность аппроксимации основного уравнения представляет собой величину 0(г2 + + Ь.1) при и ■= 0.5 и 0(т + + Л^), если <г ф 0.5, а порядок погрешности аппроксимации граничного условия на решении исходной дифференциальной задачи совпадает с порядком аппроксимации основного уравнения.

Сформулируем теорему об устойчивости полученной разностной схемы. При каждом тг = 0,1,... будем рассматривать множество Н сеточных функций ш — {ш^}, удовлетворяющих условиям = = 0, = и/д- •. Введем в Н

норму

Для коэффициентов рассматриваемой разностной схемы выполнены неравенства

0 <Г1 < Из <П, О ^ ^ 7*4, 0 < с£у < г5, 0 <те<р^.

Обозначим 7! = т/Ь.\, 72 = т/Щ. Доказана следующая теорема об устойчивости разностной схемы по начальным данным и по правой части.

Теорема 2 Пусть весовой множитель с удовлетворяет неравенствам 0 < а < 1, (1-<г)< Гб

+ 2(7^2 + 7 2г4)

Тогда разностная схем.а (8) — (9) устойчива по начальным данным и по правой части, так что для ее решения справедлива оценка

||«"||с<||«0||с + ^ Е\\<рк\\с, п = 1,2,...

Как следствие получаем, что разностная схема (8) — (9) с а = 1 устойчива да начальным данным и но правой части при любых г, ¡¡1 и Л2-

Получена следующая теорема о сходимости решения разностной задачи к точному решению в равномерной метрике.

Теорема 3 Пусть решение задачи (7), (&)— (3) достаточно гладкое и выполнены условия теоремы 2. Тогда решение разностной задачи (8) — (9) сходится в равномерной метрике к решению задачи (7), (2)— (3) и порядок точности разностной схемы совпадает с порядком погрешности аппроксимации.

Во второй главе рассматриваются прямые методы решения сеточных уравнений, возникающих при численной реализации неявных разностных схем, соответствующих двумерным дифференциальным задачам с нелокальными граничными условиями. В этом случае возникают нестандартные системы сеточных уравнений относительно значений искомого решения на верхнем временном слое. В частности, матрица полученной системы линейных алгебраических уравнений не является симметрической.

В параграфе 2.1 показано, что в случае постоянных ( а точнее — не зависящих от переменной у) коэффициентов возможно использование метода, аналогичного методу Хокни и допускающего применение быстрого дискретного преобразования Фурье по одной из пространственных переменных. Разностная схема (8) — (9) записывается в виде

- тс (А - щ= Ец, Л = Л1 + Л2, (10)

» = 1,2,...)ЛГ1-1, 7 = 1,2,...,ЛГ2-1, 2

/>лг,«лг,з + гги"1и>Л) ~~ т<т(Л2 — ¿мАи^; — «1

«ед = «N,7, = 1,2,..., - 1, щ0 - иМг =0, I = 1,2,..., N1 - 1,

где и^ = — искомые значения решения на верхнем слое, ^ — известные правые части, определяемые решением 1х?- на предыдущем слое и правыми частями разпостпого уравнения.

Для решения полученной системы предлагается применить метод, основанный на разделении переменных и существенно использующий прямоугольность области и наличие краевых условий первого рода по переменной у.

В основе метода лежит разложение искомого решения и правой части уравнения по системе собственных функций задачи

+ = 3 = 1,2,.. .,N2 - 1, Уо=Улг, =0, которая, как известно, имеет следующее решение:

УкО) = &*т-ккзЪ.2, Аь = к,]= 1,2,...,ЛГ2-1.

Предложен следующий алгоритм решения двумерной разностной задачи в случае коэффициентов, не зависящих от }.

1. По формулам = где = л/2 вт для г = 1,2,..., Ль к = 1,2,..., N2 — 1 находятся коэффициенты Фурье правых частей.

2. Для к = 1,2,..., N2 — 1 методом нелокальной прогонки по индексу I решаются системы

Аг*(г - 1) - СЯф) + вак{х + 1) = -Рь(г), » = 1,2,..., ЛГ, - 1, Слг.М^О = - 1) + йь(0) = 2к(ЛГг),

откуда определяются коэффициенты Фурье искомого решения. Здесь 71 = т/к\, = <771(1;, В; = <г71а^ь I = 1, 2,. .., ЛГг - 1, Лл,, = 2(Т71а^,

С; = />,- + тсЪ + ат\кЬ{ +Ai + Bi, < = 1,2,..., N1 - 1,

Cnx = № + Tcritf, + <TT\khNi + ANl.

3. По формуле ay = ЕЙГ1 Zk(i)Yk(j) для i = 1, 2,..., Nu j = 1,2,..., N2 - 1 восстанавливается искомое решение

Предложенный алгоритм является прямым методом численного решения соответствующей системы линейных алгебраических уравнений и для его реализации на каждом временном слое требуется выполнить O(iiiNj) арифметических действий. Если же для вычисления сумм использовать быстрое дискретное преобразование Фурье, то число действий сокращается до 0{NiN2In N1).

Недостатком метода является его неприменимость в том случае, когда коэффициенты уравнения теплопроводности зависят и от переменной у.

В параграфе 2.2 предлагается в случае переменных коэффициентов использовать хотя и не экономичный, но универсальный метод нелокальной матричной прогонки. Чтобы воспользоваться методом матричной прогонки, необходимо представить уравнения (8), (9) в виде системы векторных уравнений

Ayi-1 ~ CiVi + Bit/Hi = -F„ i = 1,2,... ,JV-1, (11)

An'JN-I — CnT/N = — Ftf, yo = ytl,

где N = N1, a y;, Fi — векторы размерности M — 1, M = N2 и Ai, Bi, Ci — матрицы порядка M — 1 . Заметим, что в рассматриваемом случае Ai, Bi — диагональные матрицы с положительными элементами на диагонали, a С; — симметричные трехдиагональные положительно определенные матрицы. Симметричность матриц Ai, Bi, Ci является следствием того, что по второму направлению заданы самосопряженные граничные условия первого рода.

Для решения системы (11) предложен следующий алгоритм нелокальной матричной прогонки.

1. Полагая an = СЦ^Ац, Pn = C^lFn, для i — N — I, N — 2,... ,1 выполнить а,- = {Ci - ¿WO-M;, Pi = {Ci - ДаН1)-1(ВД+1 + Fi).

2. Полагая р0 = 0, 70 = Е, для i = 0,1,..., N — 1 выполнить pi+1 = ai+i}>i + А'+ь 7.41 =

3. Полагая ун = {Е — 7n)~1Pn, Уо = Vn, для г = 1,2,..., JV — 1 выполнить Vi=Pi + ИУЫ-

Порядок числа арифметических действий 0{NM3). Следующая теорема содержит достаточные условия устойчивости нелокальной матричной прогонки. Обозначим

II II (&сдх,ацУ'2

хфо (CiX,x)*'-!

Теорема 4 Пусть элементы матриц Ai, Bi и Ci не зависят от г и пусть А" = Ai > О, Ц* = Bi > 0, Ci = Ci > 0. Предположим, что существуют положительные постоянные а и Ь такие, что

Ai<aCi, Bi < bCi, а + 6<1, i = 1,2,..., N - 1, AN < CN. Тогда справедливы оценки ||Qi||c, 1> t = 1, 2,..., JV.

В параграфе 2.3 проведено тестирование предложенных алгоритмов и приведены результаты расчетов, демонстрирующие быстродействие и необходимый объем оперативной памяти при использовании метода разделения переменных и метода нелокальной матричной прогонки.

В главе 3 изучается устойчивость по начальным данным разностных схем, аппроксимирующих одномерное уравнение теплопроводности с постоянными коэффициентами

ди д2и , „ч , . — = —, и(ж,0) = «о(х), 0 < ж < 1, <>0

и нелокальными граничными условиями §^(0, = ¿), и(0,4) = 0. В основу метода исследования положена теория устойчивости раэностпых схем, предложенная А. А. Самарским: трактовка разностной схемы как операторно-разностного уравнения в евклидовом пространстве, формулировка условий устойчивости в виде операторных нсравепств. Отметим, что исходная дифференциальная задача и аппроксимирующие ее разностные схемы являются несамосопряженными, что существенно затрудняет применение общей теории устойчивости разностных схем. *

Осповные теоретические результаты главы 3 получены в параграфе 3.1. Как известно, в случае граничных условий первого рода необходимым и достаточным условием устойчивости явной разностной схемы является выполнение неравенства 7 < 0.5, где 7 = т/Ъ?, т — шаг по времени и Ь — шаг по пространству. В работе Н. И. Иошпгаа (см. 3) в случае нелокальных граничных условий получено достаточное условие устойчивости в виде 7 < 0.5/(1 + с), где е > 0 — произвольная постоянная.

В диссертации изучается равномерная устойчивость явной разностной схемы в нормах, порожденных самосопряженным положительным оператором В. Такая устойчивость означает выполнение оценок вида

(Оуп+иуп^) < (Буп,уп), 71 = 0,1,... (12)

для решения уп разностной задачи. В § 3.1 предложена конструкция оператора нормы О и найдены необходимые и достаточные условия устойчивости в этой норме явной разностпой схемы и схемы с весами. Рассмотрим разностную схему

„?+! - и?

--— = ¿ = 1,2,...,^-1, АГЛ = 1, (13)

т

.."+1 — п „О .. с, \ Уаг+ ~ У7г __ 2 , П П \ Уо =о> Уг = Ыг;)> ---- -ц\Ухл - У^Ы)-

Схему можно представить в каноническом виде

лУп=о, « = 0,1,...,

т

где уп = у{Ьп) € Н, ¿п = пт, Н — линейное пространство, состоящее из вещественных векторов V — (г>1 г>2 • •• г!дг)т, г>; = и(г,), хi — ¿Л, со скалярным

3Н. И. Ионкин. Задача для уравнения теплопроводности с неклассическим(нелокальным) краевым условием. Будапешт, Хи::;<"лк\у.. Мо<1гегек, N. 14, 1979,70 с.

ЛГ-1 ,-

произведением (y,v) = £ O.bhytíVjf и нормой |y¡| = v/(у,у)- Линейный

¿=i v оператор А : Н —> Н определяется формулами

2

{Ay)i = -Jfe,,;, г= 1,2,..., jV-1, (Ау)л/ = ——(ух,о — Ух,лг), Уо = 0.

В дальнейшем предполагаем для определенности, что пространство Н имеет нечетную размерность N = 2т+1. Известно, что оператор А обладает системой собственных и присоединенных функций

V^(x¡) = Xi, — X;COs2nkli, v^k\x{) = sin2irfcx;,

t=l,...,JV, Л = 1,2,... ,rn, то = (jV — l)/2, образующих базис в пространстве //. Непосредственно проверяется, что

Aw'2*) = AfctiW, fc = 0,1,.,. ,m, AvW'1) = A^"1)к — 1,2,... ,m,

где

4

At = — sin37rA:fe, к = 0,1,2,..., m, h 2

it = —2\ATcos7rfc/í = —~sm2wkh, к = 1,2,..., m. h

Тем самым, матрица оператора А в указанном базисе является жордановой, J = diag[/u Jj . .. Л ■ • • Jm], где

Jo — Ао, J* =

At Pk 0 At

í; = 1,2,... ,m.

Норма, в которой гарантируется устойчивость разностной схемы (13), определяется жордановой структурой матрицы А и строится следующим образом. Введем диагональную матрицу D = àiag[l,l,/3i, 1,/32,.. ■ ,1,/Зт], где (Зк > 0 — положительные параметры. Далее, обозначим через V матрицу, столбцами которой являются векторы базиса из собственных и присоединенных функций оператора А и определим самосопряженный положительный оператор D = V'^DV-1. Пусть m = (N - 1)/2, тк = 1 для к = 1,2,... ,m -1 лг„ = 0.5. Доказана

Теорема 5 Пусть параметры /3^ удовлетворяют условиям

W о

2V .= 1,2.....п. (14)

Для устойчивости разностной схемы (13) в пространстве Но, где D = V*_1£> необходимо и достаточно, чтобы выполнялись неравенства

~ А/ь ( Аку/тфк) ' ^ 1'2>"">7П'

Для схемы с весами

- Ут.

4- <тАуп+1 4- (1 - а)Ау„ -0, п = 0,1,...

(15)

т

получены необходимые и достаточные условия устойчивости в той же норме. Справедлива

Теорема 6 Пусть выполнены условия (14)- Разностная схема (15) устойчива в пространстве Но тогда и только тогда, когда выполнены неравенства

Из теоремы 6 следует абсолютная устойчивость схемы (15) с <г > 0.5.

Ряд проблем, относящихся к устойчивости разностных схем, не удается решить до конца, оставаясь в рамках только аналитического исследования. Однако привлечение численных методов позволяет ответить на многие возникающие вопросы. Такому численному подходу к изучению устойчивости посвящены параграфы 3.2 — 3.4. Например известно, что для равномерной устойчивости явной разностной схемы в сеточной ¿2-норме необходимо и достаточно выполнения операторного неравенства А* 4- А > тА*А, где А — основной оператор разностной схемы. Выполнение такого неравенства эквивалентно неотрицательности всех собственных значений матрицы Р = A* -f А — тА'А. Найти аналитически эти собственные значения не удается, однако в параграфах 3.2 и 3.3 на основе численных расчетов показано, что матрица Ai — 0.5(^4* 4- А) всегда имеет одно отрицательное собственное значение. Отсюда приходим к выводу об абсолютной неустойчивости явной схемы в сеточной Ьг-норме. В параграфе 3.4 находится: число обусловленности m оператора нормы, равное отношению наибольшего собственного значения этого оператора к наименьшему. В проведепных расчетах m ~ 6. Знание числа обусловленности позволяет оценить ¿2-норму решения разностной задачи в любой момент через такую же норму начальных данных. Действительно, если выполнены неравенства (12), то

, (Dy„,yn) < (Dy0,у0), (£>г/п,У») > Атш(0)Ы2, (Dy0,y0) < A^D^yoll2

и, следовательно, ||у„|| < %/™||Уо||-

В параграфе 3.2 для различпых N вычислены собственные значения матрицы А и ее симметрической части Ах = 0.5(^4 + А*). В следующей таблице приведены минимальные собственные значения: указанных матриц для различных ДГ и Л = 1. Например, при ЛГ = 5 рассматривалась матрица

к = 1,2,... ,т.

2-10 0 0 -12-10 0

А = 0-12-10

О 0-12-1 -2 0 0-2 2

Все найденные собственные значения оказались вещественными.

Таблица 1.

N 5 6 10 11 20 21 100

Arnin(^) 0 0 0 0 0 0 0

Amin(Ai) -0.083 -0.074 -0.056 -0.053 -0.043 -0.043 -0.041

Для теории устойчивости разностных схем является существенным факт знаконеопределенности матрицы А 4 А*, из которого следует, что рассматриваемая разностная схема не является равномерно устойчивой в сеточной -корме.

В параграфе 3.3 построено характеристическое уравнение матрицы Ах = 0.5(Л 4- А*) и численно найдено минимальное собственное значение этой матрицы Аш;п(-А1) при больших N к Н = 1. Результаты содержатся в таблице 2.

Таблица 2.

N 20 21 100 1000 10 000

AnmMl) -0.043 -0.043 -0.041 -0.041 -0.041

Отсюда видно, что при больших N минимальное собственное значение матрицы А\ равно примерно —0.041/Л.2.

В параграфе 3.4 представлены результаты расчетов, относящихся к нахождению спектра оператора D = V" 1DV~1. Точнее, интересовала зависимость числа обусловленности (отношение cond(D) = AmiI(D)/Arnin(i3)) от выбора параметров вспомогательного оператора устойчивости D. В идеальном случае, когда cond(D) = 1, оператор D является единичным. Однако, как показано выше, устойчивость в единичной норме невозможна. Поэтому возникает проблема оптимального выбора параметров Д, при котором схема остается устойчивой, а число cond(£>(/?)) становится минимальным. Чисто теоретически эта проблема не решена. В настоящем разделе приведен пример численного решения упомянутой задачи минимизации.

В проведенной серии расчетов параметры /3 полагались постоянными, то есть Pi — 02 = • ■ ■ = Дл = 0, и для различных N находилось число обусловленности оператора нормы D = DV-1. В таблице 3 представлена зависимость оптимального /3 от числа точек N. Здесь же приведены соответствующие значения ткр — критического шага по времени, при котором еще остается устойчивой явная разностная схема (13), числа обусловленности cond и предельного значения = (2N2 cos2 , обеспечивающего устойчивость явной схемы в

случае краевых условий первого рода.

Таблица 3.

N 5 11 31 35 41 75 127

Ann. 2.8 2.6 2.4 2.4 2.4 2.4 2.3

cond 4.32 5.62 6.33 6.38 6.44 6,62 6.69

Ткр. 2.17E-02 4.20E-03 5.21E-04 4.09E-04 2.98E-04 8.89Б-05 3.10E-0f

Too 2.21E-02 4.43E-03 5.22E-04 4.09E-04 2.98E-04 8.8915-05 З.ЮЕ-Oi

Из таблицы 3 видно, что с увеличением N значение гкр. стремится к тх, оставаясь меньше тПри числах N порядка 30 — 70 оптимальное значение

параметра /9 равно примерно 2.4, а соответствующее ему число обусловленности возрастает от 6.3 до 6.6.

Для сравнения в таблице 4 приведены значения чисел обусловленности оператора Б для набора /Эх =/?2=■ ■ не являющегося оптимальным.

Таблица 4.

N 5 11 31 35 41 75 127

Р 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0

сопс! 8.58 9.68 10.32 10.36 10.41 10.53 10.59

Ткр. 2.14Е-02 4.19Е-03 5.21Е-04 4.09Е-04 2.98Е-04 8.89Е-05 3.10Е-05

Гоо 2.21Е-02 4.43Е-03 5.22Е-04 4.09Е-04 2.98Е-04 8.89Е-05 3.10Е-05

Основные результаты работы

1. Построена и исследована разностная схема, аппроксимирующая нелокальную краевую задачу для двумерного по пространству уравнения теплопроводности с переменными коэффициентами. Предложены и апробированы два прямых метода численпого решения систем сеточных уравнений, возникающих при такой аппроксимации на верхнем временном слое.

2. Получены необходимые и достаточные условия устойчивости в энергетических нормах разностных схем, аппроксимирующих одномерное уравнение теплопроводности с нелокальными граничными условиями.

Публикации по теме диссертации

1. Ионкин Н. И., Морозова В. А. Разностные схемы для двумерного уравнения теплопроводности с нелокальными граничными условиями. МГУ. 1999. Рукопись депонирована в ВИНИТИ 22.03.99, N 879-В99.

2. Ионкин Н. И., Морозова В. А. Устойчивость разностных схем с нелокальными граничными условиями для двумерного уравнения теплопроводности. Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15. Вычислительная математика и кибернетика, 1999, N 4, стр. 15 — 18.

3. Морозова В. А. Нелокальная матричная прогонка. Тезисы УН Международной конференции "Математика. Компьютер. Образование." Дубна — 2000. Стр. 237.

4. Ионкин Н. И., Морозова В. А. Об устойчивости разностных схем для уравнения теплопроводности с нелокальными граничными условиями. Препринт. Москва. Диалог-МГУ. 2000 г. 18 стр.

5. Ионкин Н. И., Морозова В. А. Двумерное уравнение теплопроводности с нелокальными краевыми условиями. Дифференц. уравнения. 2000. Т. 36, N 7. С. 894 — 898.

6. Ионкин Н. И., Морозова В. А. Устойчивость разностных схем с нелокальными граничными условиями. Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15. Вычислительная математика и кибернетика. 2000. N 3. С. 19 — 23.

7. Морозова В. А. Нелокальная матричная прогонка. Труды УН Международной конференции "Математика. Компьютер. Образование." Дубна.2000.

Основные результаты. Библиография

Сформулируем основные результаты диссертационной работы.

1. Построена и исследована разностная схема, аппроксимирующая нелокальную краевую задачу для двумерного по пространству уравнения теплопроводности с переменными коэффициентами. Предложены и апробированы два прямых метода численного решения систем сеточных уравнений, возникающих при такой аппроксимации на верхнем временном слое.

2. Получены необходимые и достаточные условия устойчивости в энергетических нормах разностных схем, аппроксимирующих одномерное уравнение теплопроводности с нелокальными граничными условиями.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю к. ф.- м. н., доценту Н. И. Ионкину за постановку задачи и руководство в процессе ее решения, а также академику А. А. Самарскому, члену - корреспонденту РАН Е. И. Моисееву и профессору А. В. Гулину за внимание к работе.

1. А. В. Бицадзе, А. А. Самарский. О некоторых простейших обобщениях линейных эллиптических краевых задач. ДАН СССР, 1969, т. 185, N. 4, с. 739-740.

2. Л. И. Камынин. О единственности решения краевой задачи с граничными условиями Самарского для параболических уравнений 2-го порядка. ЖВМиМФ, 1976, т. 16, N. 6, с. 14801488.

3. Л. И. Камынин. Единственность краевых задач для вырождающегося эллиптического уравнения второго порядка. Диф. ур., 1978, т. 14, N. 1, с. 39-49.

4. Н. И. Ионкин. Решение одной краевой задачи теории теплопроводности с неклассическим краевым условием. Диф. ур., 1977, т. 13, N. 2, с. 294-304.

5. Н. И. Ионкин. Об устойчивости одной краевой задачи теории теплопроводности с нелокальными краевыми условиями. Диф. ур., 1979, т. 15, N. 7, с. 1279-1283.

6. Н. И. Ионкин, Е. И. Моисеев. О задаче для уравнения теплопроводности с двухточечным краевым условием. Диф. ур., 1979, т. 15, N. 7, с. 1284-1295.

7. Д. Г. Гордезиани. О методах решения одного класса нелокальных краевых задач. Ротопринт ИПМ им. ак. Векуа, ТГУ, 1981.

8. Н. И. Ионкин. Разностные схемы для одной неклассической задачи. Вестн. Моск. унив., сер. выч. матем. и киб., 1977, N. 2, с. 20-32.

9. Н. И. Ионкин. Задача для уравнения теплопроводности с не-классическим(нелокальным) краевым условием. Будапешт, Штепкив Москегек, N. 14, 1979, 70 с.

10. Н. И. Ионкин, Н. Зидов. Устойчивость в С разностных схем для одной неклассической задачи. Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15, Выч. матем. и киберн., 1982, N. 1, с. 8-16.

11. Н. И. Ионкин. О равномерной сходимости разностной схемы для одной нестационарной нелокальной краевой задачи// Актуальные вопросы прикладной математики. М.: изд-во Моск. ун-та, 1989, с. 61-68.

12. Н. И. Ионкин, Д. Г. Фурлетов. Равномерная устойчивость разностных схем для одной нелокальной несамосопряженной краевой задачи с переменными коэф. Диф. ур., 1991, т. 27, N. 3, с. 1170-1177.

13. Н. И. Ионкин, Д. Г. Фурлетов. Равномерная сходимость семейства разностных схем для одной неклассической краевой задачи с переменными коэф. Вест. Моск. ун.,сер. 15, Выч. мат. и киб., 1991, N. 2, с. 20-26.

14. В. Л. Макаров. Разностные схемы для квазилинейных уравнений параболического типа с нелокальными краевыми условиями в классе обобщенных решений. Численные методы и приложения'84, София, 1985, с. 82-90.

15. В. А. Ильин. Необходимые и достаточные условия базиснос-ти подсистемы собственных и присоединенных функций пучка М. В. Келдыша обыкновенных дифференциальных операторов. Докл. АН СССР, 1976, т. 227, N.4, с. 28-31.

16. В. А. Ильин. Необходимые и достаточные условия базиснос-ти и равносходимости с тригонометрическим рядом спектральных разложений. Диф. ур., 1980, т.16, N. 5, с. 771-794.

17. В. А. Ильин. Необходимые и достаточные условия базис-ности в Ьр и равносходимости с тригонометрическим рядом спектральных разложений и разложений по системе экспонент. Докл. АН СССР, 1983, т. 273, N.4, с. 789-793.

18. В. А. Ильин. О безусловной базисности на замкнутом интервале систем собственных и присоединенных функций диф. оп. 2 порядка. Докл. АН СССР, 1983, т. 273, N.5, с. 10481053.

19. В. А. Ильин. Необходимые и достаточные условия базисности Рисса корневых векторов разрывных операторов 2 порядка. Диф ур., 1986, Т.22, N.12, с.2059-2071.

20. В. А. Ильин. Об абсолютной и равномерной сходимости разложений по собственным и присоединенным функциям несамосопряженного эллиптического оператора. ДАН СССР. 1984. т. 274, N. 1. С. 19 — 22.

21. В. А. Ильин, Е. И. Моисеев. Нелокальная краевая задача для оператора Штурма-Лиувилля в дифференциальной и разностной трактовках. ДАН СССР, 1986, т. 291, N.3, с.534-539.

22. В. А. Ильин, Е. И. Моисеев. Нелокальная краевая задача первого рода для оператора Штурма-Лиувилля в дифференциальной и разностной трактовках. Диф. ур., 1987, т. 23, N.7, с.1198-1207.

23. В. А. Ильин, Е. И. Моисеев. Оператор Штурма-Лиувилля с нелокальным краевым условием второго рода. ДАН СССР, 1987, т. 294, N.6, с.1340-1345.

24. В. А. Ильин, Е. И. Моисеев. Нелокальная краевая задача второго рода для оператора Штурма-Лиувилля. Диф. ур., 1987, т.23, N.8, с.1422-1431.

25. В. А. Ильин, Е. И. Моисеев. Априорная оценка решения задачи, сопряженной к нелокальной краевой задаче первого рода. Диф. ур., 1988, т.24, N.5, с.795-804.

26. В. А. Ильин, Е. И. Моисеев. Двумерная нелокальная краевая задача для оператора Пуассона в дифференциальной и разностной трактовках. // Мат. моделирование. 1990. т. 2, N 8. С. 139 — 156.

27. М. П. Сапаговас, Р. Ю. Чегис. О некоторых краевых задачах с нелокальным условием. Диф. уравнения, 1987, т. 23, N. 7, с. 1268 — 1274.

28. В. В. Тихомиров. О безусловной базисности корневых векторов нелокальных задач для систем уравнений с отклоняющимися аргументами// Диф. уравнения, 1990, т. 26, N 1, с. 147 —153.

29. Н. И. Ионкин, Е. А. Валикова. Принцип максимума для одной нелокальной несамосопряженной краевой задачи. Дифферент уравнения. 1995. Т. 31, N. 7. С. 1232 — 1239.

30. Н. Ю. Капустин, Е. И. Моисеев. Об одной спектральной задаче для оператора Лапласа на квадрате со спектральным параметром в граничном условии. Дифференц. уравнения. 1998. Т. 34, N 5. С. 662 — 667.

31. Hockney R. W. A fast direct solution of Poissons equation using Fourier analysis// J. Assoc. Comp. Mech.-1965-V.12, N.l.

32. А. А. Самарский, А. В. Гулин. Численные методы. M., Наука, 1989, 430 стр.

33. А. А. Самарский. Теория разностных схем. М., Наука, 1989, 616 стр.

34. Н. И. Ионкин, В. А. Морозова. Разностные схемы для двумерного уравнения теплопроводности с нелокальными граничными условиями. МГУ. 1999. Рукопись депонирована в ВИНИТИ, N 879-В99.

35. Н. И. Ионкин, В. А. Морозова. Устойчивость разностных схем с нелокальными граничными условиями для двумерного уравнения теплопроводности. Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15. Вычислительная математика и кибернетика, 1999, N 4, стр. 15 — 18.

36. В. А. Морозова. Нелокальная матричная прогонка. Тезисы УП Международной конференции "Математика. Компьютер. Образование." Дубна.2000. Стр. 237.

37. Н. И. Ионкин, В. А. Морозова. Об устойчивости разностных схем для уравнения теплопроводности с нелокальными граничными условиями. Препринт. Москва. Диалог-МГУ. 2000 г. 18 стр.

38. Ионкин Н. И., Морозова В. А. Двумерное уравнение теплопроводности с нелокальными краевыми условиями. Диффе-ренц. уравнения. 2000. Т. 36, N 7. С. 963 — 967.

39. Ионкин Н. И., Морозова В. А. Устойчивость разностных схем с нелокальными граничными условиями. Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15. Вычислительная математика и кибернетика. 2000. N 3. С. 19 — 23.

40. Морозова В. А. Нелокальная матричная прогонка. Труды УП Международной конференции "Математика. Компьютер. Образование." Дубна.2000. С. .