О некоторых нетрадиционных методах приближения, связанных с комплексными полиномами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

На правах рукописи УДК 517.53, 517.54

Косухин Олег Николаевич

О НЕКОТОРЫХ НЕТРАДИЦИОННЫХ МЕТОДАХ ПРИБЛИЖЕНИЯ, СВЯЗАННЫХ С КОМПЛЕКСНЫМИ

ПОЛИНОМАМИ

01.01.01 — математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 2006

Работа выполнена на кафедре теории функций и функционального анализа механико-математического факультета Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук профессор Е.П. Долженко

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук

профессор В.И. Данченко, кандидат физико-математических наук доцент А.К. Рамазанов

Ведущая организация:

Саратовский государственный университет

Защита диссертации состоится 17 февраля 2006 г. в 16 часов 15 минут на заседании диссертационного совета Д. 501.001.85 в Московском государственном университете им. М.В. Ломоносова по адресу: 119992, ГСП-2, Москва, Ленинские горы, МГУ, ауд. 16-24.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан 17 января 2006 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д.501.001.85 в МГУ, профессор

Т. П. Лукашенко

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы.

Бурное развитие математики в XX веке привело к возникновению новых задач, для решения которых оказалось необходимым изучение новых нетрадиционных методов приближения функций и множеств. Настоящая диссертационная работа посвящена исследованию некоторых из этих методов, связанных с комплексными полиномами, именно, приближению функций посредством наипростейших дробей и приближению жордановых кривых посредством лемнискат в хаусдорфовой метрике.

Наипростейшими дробями порядка п называются рациональные функции вида Яп{г) = 1/0* ~ гДе полюсы а3 функции Нп{г) — некоторые точки комплексной плоскости С, не обязательно различные. Класс всех наипростейших дробей порядка не выше п обозначим Очевидно,

Rniz) - (logP(z))' = P'{z)/P(z), где P(z) = (z-ai)... (z-an) - полином

степени п. Поэтому наипростейшую дробь также называют логарифмической производной многочлена.

Внимание к логарифмическим производным многочленов было обращено работами А.Дж.Макинтайра и У.Х.Дж.Фукса1, А.А.Гончара (1955 г) и Е.П.Долженко (1960 г.), посвященными рациональным аппроксимациям и решению некоторых экстремальных задач. Это направление исследований продолжает развиваться и внастоящее время.

Логарифмические производные многочленов имеют и простой физиче-► ский смысл: Rn{z) представляет собой напряженность плоского электро-

статического поля в точке z, созданного положительными единичными зарядами, расположенными в точках а} — при этом, если в некоторой точке а находятся ровно к точек aj, то, соответственно, в этой точке расположен заряд величины к.

Первая работа, касающаяся приближения непрерывных функций посредством наипростейших дробей, опубликована в 1999 году В. И. и Д. Я. Данченко2. Эта работа положила начало интенсивному изучению аппрок-симационных свойств наипростейших дробей научной школой проф. Е.П. Долженко.

При условии, что компакт К не разбивает плоскости С, В.И. и Д.Я. Данченко доказали возможность равномерного приближения с любой точностью посредством наипростейших дробей каждой функции / из клас-

'Macintyre A.J., Fuchs W.H.J. Inequalities for the logarithmic derivatives of a polynomal // J.London Math. Soc, 1940, v.15, N 3, p.162-168.

2ДанченкоВИ, Данченко Д.Я. О равномерном приближении логарифмическими производными многочленов // Теория функций, ее приложения и смежные вопросы Тезисы докл. школы-конференции: Изд-во Казанского университета, 1999. 74-77

■-UU Национальная , библиотека )

са СА(К) функций, непрерывных на компакте К и аналитических в его внутренних точках. Для каждой такой функции ими указан способ, с помощью которого можно построить последовательность {Д„(.г)} наипростейших дробей, равномерно сходящуюся к / на К. При этом все полюсы каждой функции Rn(z) при всех достаточно больших п лежат вне произвольного фиксированного круга. Теорема Данченко является не только аналогом известной теоремы С.Н. Мергеляна о полиномиальных приближениях функций класса СА(К), но и, как нетрудно видеть, ей эквивалентна. Отметим, что обе эти теоремы имеют качественный характер: они не указывают зависимость скорости приближения рассматриваемой функции / Е СА(К) от конкретных свойств К и f.

В настоящей диссертационной работе исследуются вопрос об оценке скорости наилучшего равномерного приближения посредством наипростейших дробей в зависимости от свойств компакта К и приближаемой функции / € СА(К), а также вопрос о принципиальной возможности равномерного приближения функций /, непрерывных на заданном замкнутом неогранниченном множестве L специального вида на комплексной плоскости, в зависимости от свойств L и /.

В последние десятилетия возрос интерес к классическим аппроксимациям Падё ("дробям Падё"), их обобщениям и приложениям. Изучение этих объектов было начато еще О.Коши, К.Якоби, П.Л.Чебышевым, Т.Стильтьесом, А.А.Марковым и другими в их работах по цепным дробям. Резкое повышение интереса к дробям Падё связано с развитием вычислительной математики, теоретической и экспериментальной физики, и в значительной степени вообще с возрастанием потребности в обработке экспериментальных данных. Наиболее существенные теоретические результаты, касающиеся классических дробей Падё, в последние десятилетия получены A.A. Гончаром и его учениками, E.H. Никишиным и его учениками. В настоящей работе исследуются так называемые наипростейшие дроби Падё (или, что то же, наипростейшие рациональные дифференциалы аналитических функций). Это направление теории дробей Падё в 1999 г. сформулировал Е.П. Долженко.

Другое направление теории приближений, исследуемое в работе — это изучение зависимости между скоростью убывания (при п оо) наименьших уклонений заданного замкнутого жорданова контура Г в комплексной плоскости С от лемнискат степени п в метрике Хаусдорфа и свойствами этого контура. При этом на приближающие лемнискаты накладывается условие, что они являются сами являются аналитическими жордановыми контурами, содержащими Г внутри себя. Принципиальная возможность сколь угодно хорошего приближения жордановых контуров такими лем-

нискатами в метрике Хаусдорфа доказана Д. Гильбертом3. В настоящей работе впервые приводятся количественные оценки такого приближения.

При каждом натуральном п обозначим через R„(Ä") класс всех рациональных функций R{z) степени не выше п, полюсы которых не лежат на компакте К комплексной плоскости С. Если при заданном натуральном s, некоторой точке zq € К и любом натуральном п справедливо неравенство вида |Я«(го)| < Л ' ||Я||с(К) какова бы ни была функция R € R„(/f), где Л = А {К, n, s, zq) > 0, то будем говорить, что в точке zq выполняется неравенство типа Маркова-Бернштейна для s-ых производных рациональных функций.

Оценки типа Маркова-Бернштейна в первую очередь представляют интерес в связи с возможностью их использования для получения так называемых обратных теорем теории рациональных приближений. Ряд важных результатов этой теории получен с помощью оценок этого типа в работах A.A. Гончара и Е.П. Долженко.

В.И.Данченко4 нашел достаточно простой геометрический критерий на строение компакта К вблизи произвольной заданной его точки zq для того, чтобы в этой точке при заданном s существовала оценка типа Маркова-Бернштейна. Опираясь на этот критерий, в настоящей работе решается вопрос об отыскании в определенном смысле неулучшаемых достаточных условий на компакт комплексной плоскости для существования на нем почти всюду относительно произвольно заданной ^з-меры Хаусдорфа оценок типа Маркова-Бернштейна для производных заданного натурального порядка s от произвольных рациональных функций, не имеющих полюсов на этом компакте. Ряд результатов в этом направлении получен Е.П.Долженко и Д.Я. Данченко.

Научная новизна работы.

Все результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:

- Для приближений наипростейшими дробями на отрезках, кругах и окружностях комплексной плоскости в диссертации доказан аналог неравенства Джексона для полиномиальных аппроксимаций.

- Доказана теорема о связи наименьших равномерных уклонений приближаемой функции от наипростейших дробей и ее равномерных уклонений от полиномов на компактах специального вида, приведены некоторые приложения этой теоремы.

'Hilbert D. Über die Entwicklung einer beliebigen analytischen Funktion einer Variabein in eine unendliche nach ganzen rationalen Punktionen fortschreitende Reihe // Nachr. Königl. Gesell. Wiss. Göttingen, Math.-phys. Klasse 1897. S.63-70.

4Данченко В,И. Один критерий существования оценки производной рациональной функции // Матем заметки, Москва. 2005. 78, вып. 4. 493-502

- Найдено простое необходимое и достаточное условие на непрерывную функцию, заданную на действительной оси, для ее равномерной прибли-жаемости наипростейшими дробями с любой точностью.

- Рассмотрены наипростейшие дроби Паде, доказано их существование и единственность, найден простой алгоритм их получения по заданной аналитической функции и заданной точке — рассматриваемому центру аппроксимации Паде. Описаны области сходимости этих дробей.

- Найдены оценки сверху наименьших уклонений произвольно заданной замкнутой жордановой кривой от лемнискат, порожденных многочленами заданной степени п, в метрике Хаусдорфа в зависимости от определенных метрических свойств этой кривой.

- Найдены в определенном смысле неулучшаемые достаточные условия на компакт комплексной плоскости для существования на нем почти всюду относительно произвольно заданной </>-меры Хаусдорфа оценок типа Маркова-Бернштейна для производных заданного натурального порядка s от произвольных рациональных функций, не имеющих полюсов на этом компакте.

Методы исследования.

В работе применяются методы действительного и комплексного анализов и теории приближений функций.

Теоретическая и практическая ценность.

Работа имеет теоретический характер. Ее результаты могут найти применение в исследованиях по теории приближения плоских множеств и функций действительного и комплексного переменных, при мероморфных продолжениях аналитических функций, в теории потенциала.

Апробация работы.

Результаты диссертации докладывались в МГУ на семинаре по теории приближения и граничным свойствам функций под руководством проф Е. П. Долженко, на семинаре по теории функций действительного переменного под руководством чл.-корр. РАН проф. П. JI. Ульянова и чл.-корр. РАН проф. Б С Кашина и на семинаре по теории ортогональных и тригонометрических рядов под руководством чл.-корр. РАН проф П.Л Ульянова, проф. М. К. Потапова и проф. М. И. Дьяченко. Эти результаты докладывались также на семинарах в Институте математики HAH Украины, Киевском и Белорусском университетах, на конференциях и школах-конференциях в Саратове, Москве, Казани, Минске, Гродно и Волгограде.

Публикации.

Результаты диссертации опубликованы в 6 работах, список которых приводится в конце автореферата. Работа [2] написана в соавторстве с П.А.Бородиным. Доказательство теоремы 1 этой работы (в диссертации это теорема 1.4) получено ее авторами независимо друг от друга, теорема 2 этой работы (теорема 1.5 диссертации) принадлежит О.Н.Косухину Остальные основные результаты диссертации получены и опубликованы ее автором без соавторства.

Структура и объем работы.

Диссертация состоит из оглавления, введения, трех глав и списка цитированной литературы из 30 наименований. Общий объем диссертации 80 страниц.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении дан краткий обзор результатов работ по теме диссертации, даны необходимые определения, сформулированы рассматриваемые в диссертации задачи, описана ее структура и приведены основные результаты работы.

Первая глава состоит из трех параграфов и посвящена изучению аппроксимационных свойств наипростейших дробей. В первом параграфе главы исследуется связь между скоростью убывания к 0 величин pn{f,K) := inf{||i? - /|| : R <Е SR„} (|| -1| = II' llc(if) - равномерная норма на К) при п —> оо и свойствами приближаемой функции / (z) на компактах К специального вида.

Пусть о>(F,E-S) := 8ир{|Г(У) - F(z")\ : z',z" € Е, \з/ - z"| < ¿} — модуль непрерывности функции F(z) на множестве Е С С (6 > 0) Если множество Е есть вся область определения функции F(z), положим с=

Известные теоремы Д.Джексона5 дают оценку величин наименьших равномерных уклонений En(f, К) многочленов порядка не выше п от функции / G СА(К) в случае, когда К — отрезок Aj = [—d, d\ или замкнутый круг Dd — {z : \z\ < d}, через ее модуль непрерывности ш(/, К; 6). Эти теоремы относятся к так называемым прямым теоремам теории приближений. Н.П.Корнейчук6 уточнил эти оценки, отыскав точные константы, входящие в них. Именно, для таких К он показал, что En(f, К) < uj(f, К, nd/(п+1)) (п = 1,2,...). В случае аппроксимации наипростейшими дробями имеют место аналогичные оценки.

"Jackson D. On approximation by trigonometric sums and polynomials// IVans.Amer.Math.Soc., 1912, N 14, P.491-515.

"КорнейчукН.П. Точные константы в теории приближения. М.: "Наука". 1987.

Теорема 1.1. Пусть d > О, К = Ad или К - Ddl f G СА(К). Тогда PnU,K) < C(d||/||) (u + ll/ll2) ,

где C(r) = 4(1 + r)e2r, n = 1,2,....

Замечание. Неравенство вида pn(f,K) < C{d, ||/||)ш(/, K\ trd/n) не может быть справедливо для любой функции / £ СА(К), так как уже для / = const ф 0 имеем u>(f,K;wd/n) = 0 и в то же время p„(f,K) ф 0. Поэтому появление в правой части неравенства слагаемого (7rd/n)||/||2 естественно.

Обозначим через K(b, d) класс всех компактов К со связным дополнением в С со свойством: существует такая точка b Ç К и такое число d > 0, что любую точку z G К можно соединить с Ь некоторой спрямляемой кривой l(b, z) С К длины не более d.Следующая теорема показывает, что аппроксимации наипростейшими дробями и аппроксимации полиномами на компактах из К(Ь, <£) тесно связаны между собой.

Теорема 1.2. Пусть К е К(Ь, d), f е СА(К), a(z) = a(f; z). Тогда Ci{d\\f\\)pn+i(f, К) < En(fea, К) < C2(d\\f\\)pn+1(f,K),

где Ci (г) = 1/(2(1 + г)ег), Са(г) = (1 + 2 reT)er, п = 0,1,2,....

С помощью теоремы 1 2 в диссертации получен ряд прямых и обратных теорем теории аппроксимации наипростейшими дробями, аналогичных известным теоремам из теории полиномиальных аппроксимаций.

Второй параграф первой главы посвящен изучению аппроксимативных свойств наипростейших дробей на неограниченных замкнутых жордано-вых кривых Le С. Основными результатами этого параграфа являются следующие теоремы.

Теорема 1.4. Для любого и > 0 каждая функция из пространства Co(R) может быть с любой точностью равномерно на R приближена наипростейшими дробями с полюсами вне полосы Пи = {z : |Imz\ < и].

Теорема 1.5. Для любого неразвернутого угла (то есть двух лучей с общей вершиной, не принадлежащих одной прямой) Л С С найдется функция f € С(Л), f(z) —> 0 при z -¥ оо, z G Л, которая не может быть с любой точностью равномерно на А приближена наипростейшими дробями.

Третий параграф первой главы посвящен аппроксимационным свойствам наипростейших дробей Паде.

Теорема 1.6. Дробь Rn{f,b\z) существует, единственна и совпадает с логарифмической производной частичной суммы SJJ_0c*(z — b)k ряда Тейлора функции .

Замечание. Существование и единственность наипростейшей дроби Паде Rn(f, Ь\ z) была независимо доказана другими методами В.И. и Д.Я. Данченко.

Также в диссертации найдены оценки сверху для скорости сходимости наипростейших дробей Паде к аналитическим функциям из некоторых функциональных классов.

Вторая глава состоит из трех параграфов. В ней даются оценки сверху наименьших уклонений в метрике Хаусдорфа заданного замкнутого жор-данова контура Г в комплексной плоскости С от лемнискат, порожденных многочленами P{z) заданной степени п, в зависимости от метрических свойств этого контура. При этом предполагается, что приближающие лемнискаты являются замкнутыми жордановыми кривыми, содержащими Г внутри себя.

В силу теорем Римана и Каратеодори существует единственное конформное и однолистное отображение w = ф(г) внешности Gp кривой Г на внешность Ge единичной окружности С ~ {xv : \w\ = 1} со свойствами: ф(оо) — оо, ф'(оо) >_ О, отображение w = ф{г) продолжается до гомеоморфизма замыканий Gr и Ge областей Gp и Ge. Положим (p(w) := ф~1(ю) (w € Ge), f(0) ~ <f(ei9) (в е R). Пусть А и В — компакты на С, рн(А,В) — хаусдорфово расстояние между ними: рц(А,В) := inf{e}, где инфимум берется по всем таким е > 0, что множества А и В находятся в евклидовых е-окрестностях друг друга. Через р(А, В) обозначим обычное (евклидово) расстояние между А к В: р(А, В) := inf{|zi — z¡\ : z\ € A, zi G В}.

Пусть Pn(z) — многочлен степени п переменного z, г = const > О, L(Pn, г) := {z : \PTL{z)\ = г} — r-ая лемниската, порожденная многочленом Рп (то есть его г-ая линия уровня), #„(Г) := inf{/?ff(P, L(Pn, г)) : Р„,г}, где Рп пробегает все многочлены степени п, а г — положительные числа, причем учитываются только те Рп и г, для которых L(Pn, г) является замкнутой жордановой кривой, содержащей Г внутри себя. _

Пусть g(z, С) — функция Грина для области Gr с полюсом С 6 G?. Как известно, g{z, оо) = log \ф{г)\ =: д(г).

Положим М„(Г) := inif{max{3(z) : z £ L(Pn,r)} : РП)г}, где Р„иг пробегают те же множества, что и выше при определении #„(Г). В диссертации доказано, что величины Я„(Г) и М„(Г) связаны между собой неравенствами #„(Г) < u¿{ip\ ехр{М„(Г)} - 1), М„(Г) < ы(д; Нп{Г)).

Для кривой Г и любого натурального п введем в рассмотрение многочлены Qn(z) и Ф„(г). Положим Q„(z) := c~n(z - a\){z - а2)... (z - а„), где

с = с(Г) — гармоническая емкость кривой Г, а^ := (¿>(ехр{(2& + 1)ти/п}). Через Фп(г) обозначим многочлен Фабера п-ой степени, то есть такой полином, что Ф„(г) — фп(г) = 0{1/г) при г -> оо.

Первый параграф второй главы посвящен отысканию оценок сверху для величин М„(Г) в случае произвольных замкнутых жордановых кривых Г С С. Основным его результатом является

Теорема 2.1. Пусть Г — замкнутая жорданова кривая, д(г) = д(г, оо) — функция Грина с полюсом на бесконечности для внешности кривой Г. Тогда для любого натурального п найдутся такие положительные числа Т\ = г\(п) и 7*2 = г2(п), что лемнискаты Ь(£2п,гг) и Ь(Фп,г2) являются замкнутыми аналитическими жордановыми кривыми, содержащими Г внутри себя, и неравенство

тахШ : г Е ¿(<?п, п)} < ш(д; ¿) + 2ш (у, С; £ "^МММ) А>

справедливо для любого <1 > и> (¡р, С; тт/п), а неравенство

тах{ф) : г £ ЦФ„, г2)} < «О + о, (<р, С; £ ^

справедливо для таких й > и (уз, С; тг/гг), что второе слагаемое справа в этом неравенстве не превосходит первого. Отсюда при таких же <1 имеем

М„(Г) < сО + о, С; I) £ Л.

Замечание. Указанные в теореме 2.1 условия справедливости неравенств не существенны при их практическом применении, поскольку наилучшие по порядку величин оценки получаются при д., определяемых из условия равенства между собой двух слагаемых справа в этих неравенствах — так как при (1 \ 0 первое слагаемое справа убывает к нулю, второе возрастает к +оо.

Второй параграф второй главы посвящен отысканию оценок сверху для величин М„(Г) в случае гладких и аналитических замкнутых жордановых кривых Г С С.

Теорема 2.2. Пусть Г — гладкая замкнутая жорданова кривая, причем функции ■ф(г) и <р(и}) непрерывно дифференцируемы в и Сс соответственно, кроме того, для 5 > О

Тогда существуют такие числа r1 = п(п) > 0 и гг — Г2(п) > О, что при п —» оо имеют место равенства:

max{g{z) : 2 6 L{Qn,n)} = 0(l/n), max{5(z) : z G ЦФп,г2)} = 0{l/n), так что

Я„(Г) = 0(1/п), М„(Г) = 0(l/n) fn 00/

Теорема 2.3. Пусть Г — линия уровня функции Грина дк{%) для оператора Лапласа во внешности некоторого континуума К С. С со связным дополнением: Т — {z : gx{z) — Л}, А > 0. Тогда

lim sup у/Нп(Г) = lim sup у/Мп(Г) < е_А.

п—юо п-»оо

В третьем параграфе второй главы доказана оценка снизу для величин М„(Г).

Третья глава диссертации состоит из двух параграфов. В первом параграфе найдены достаточные условия (в определенном смысле неулучшае-мые) на компакт комплексной плоскости для существования на нем почти всюду относительно произвольно заданной у-меры Хаусдорфа оценок типа Маркова-Бернштейна для производных заданного натурального порядка s от произвольных рациональных функций, не имеющих полюсов на этом компакте.

Пусть F — произвольное борелевское множество на С. Конечное или счетное семейство {В3} открытых кругов В} будем называть ¿-покрытием множества F, если F С UjBj и для каждого j диаметр diam В} круга В3 не превосходит 5. Для заданного борелевского множества F и произвольной функции у>{г), определенной и возрастающей при г > 0, с уэ(0) — у>(0+) = О величину

(^)mes F := lim inf ^(diamßj) : F с UjBv diam B3 < ¿Vj| < 00,

называют хаусдорфовой tp-мерой этого множества. В случае ip(r) = га с некоторым а > 0 величину mes°F (ip)mes F называют а-мерой Хаусдорфа этого множества и обозначают mesaF.

Пусть G — ограниченная область на С, dG - ее граница. Внутренним радиусом области G назовем величину г = r(G) :— sup{p(£, dG) : £ € <?} Пусть также N(dG,S) — наименьшее возможное количество кругов в <5-покрытии множества dG.

Для любого компакта К с С обозначим через Go неограниченную компоненту связности его дополнения С \ К, а через {Gj}j>i — конечную или бесконечную последовательность всех ограниченных компонент этого дополнения, расположенных в порядке невозрастания их внутренних радиусов Tj := r(Gj). Положим dj := diamdG3 (j > 0). Множество

Е = Е(К, в) всех таких точек ^о £ К, для которых не существует оценок указанного вида, назовем исключительным множеством, а множество Е° — Е°(К, й) Е \ — внутренним исключительным множе-

ством. Для каждого j >1 положим N2 := N ^ЭС^, .

Теорема 3.1. Пусть задана произвольная функция <р{г), определенная и возрастающая при г > 0, с <р(0) = <р(0+) = 0. Если ^>1 N3 '

<р < оо, то внутреннее исключительное множество Е° =

Е°(К, в) С К имеет нулевую (р-меру Хаусдорфа: (<р)тез Е° = 0.

В случае а-меры Хаусдорфа теорема 3.1 является в определенном смысле неулучшаемой. Это показывает следующая

Теорема 3.2. Пусть а € (0,2], з > 1. Тогда существует такой континуум К = а), что для любого е > 0 ряд ^з" сходится, а внутреннее исключительное множество Е°(К,з) имеет ненулевую а-меру Хаусдорфа.

Во втором параграфе третьей главы исследуется вопрос о влиянии малых изменений компакта К на исключительное множество Е"(К, в)

Теорема 3.3. Пусть К — произвольный компакт вС, ц — произвольная конечная счетно-аддитивная борелевская мера на К. Тогда для любого е > 0 существует такой компакт F = Е(К,/л,е) С К, что К\Е) < е и Е(Е, в) = Р Ув > 1.

Автор глубоко благодарен своему научному руководителю профессору Евгению Прокофьевичу Долженко за постановки интересных задач, их обсуждение и постоянную поддержку в работе над их решением, а также доценту П. А. Бородину за ряд ценных указаний и пристальное внимание к работе.

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. О Н. Косухин Об аппроксимационных свойствах наипростейших дробей // Вестник Моск. ун-та. Сер.1. Матем. Механ. 2001, N 4. С. 54-59.

2. П.А.Бородин, О.Н.Косухин О приближении наипростейшими дробями на действительной оси // Вестник Моск. ун-та. Сер.1. Матем Механ. 2005, N1, С.3-8.

3. О.Н. Косухин О скорости приближении замкнутых жордановых кривых лемнискатами // Матем. заметки, 2005, Т.77, Вып. 6, С. 861-876.

4. О.Н. Косухин О наипростейших дробях Паде // Труды математического центра имени Н.И.Лобачевского, Т.8, "Теория функций, ее приложения и смежные вопросы". Материалы Казанской международной школы-

конференции (Казань, 27 июня - 4 июля 2001 г.). Казань: Изд-во "ДАС", 2001, С. 142-143.

5. О.Н. Косухин О скорости приближения замкнутых жордановых кривых лемнискатами // Труды математического центра имени Н.И.Лобачевского, Т.19, "Теория функций, ее приложения и смежные вопросы". Материалы шестой Казанской международной школы-конференции (Казань, 27 июня - 4 июля 2003 г.) Казань: Изд-во Казанского математического общества, 2003, С. 132-133.

6. О.Н. Косухин Об оценке производных рациональной функции на компакте // Труды математического центра имени Н.И.Лобачевского, Т.ЗО, "Теория функций, ее приложения и смежные вопросы". Материалы VII Казанской международной школы-конференции (27 июня - 4 июля 2005 г.). Казань: Изд-во Казанского матем. общества, 2005, С. 87-89.

Издательство ЦПИ при механико-математическом факультете МГУ им. М.8. Ломоносова. Подписано в печать /3. С/. Об Формат 60x90 1/16. Усл. печ. л.

Тираж 100 экз. Заказ 05

¿¿Ж 6А

/«¿TL,

Введение

Глава I. Об аппроксимационных свойствах наипростейших дробей

§1. О приближении наипростейшими дробями на компактах.

§2. О приближении наипростейшими дробями на неограниченных кривых.

§3. О наипростейших дробях Паде.

Глава II. О скорости приближения замкнутых жордановых кривых лемнискатами

§1. О приближении жордановых кривых общего вида.

§2. О приближении гладких жордановых кривых.

§3. Об оценках снизу для величин наименьших уклонений.

Глава III. Об оценках производных от рациональных функций на компакте

§1. Об условиях существования оценок типа

Маркова-Бернштейна почти всюду на компакте.

§2. Влияние малых изменений компакта на исключительное множество.

Во многих разделах математики важную роль играют задачи об аппроксимации более сложных объектов менее сложными. Для решения таких задач часто оказывается необходимым знание методов и результатов теории приближений, центральное место в которой занимают теории приближения функций посредством алгебраических и тригонометрических полиномов, рациональных дробей (соответственно полиномиальная и рациональная теория приближений). Бурное развитие математики в XX веке привело к возникновению новых задач, для решения которых оказалось необходимым изучение новых нетрадиционных методов приближения функций и множеств. Настоящая работа посвящена исследованию некоторых из этих методов, связанных с комплексными полиномами: приближению функций посредством наипростейших дробей и приближению жорда-новых кривых посредством лемнискат в хаусдорфовой метрике.

Основные результаты диссертации опубликованы в трех статьях [2527]. Работа [26] написана в соавторстве с П.А.Бородиным. Доказательство теоремы 1 этой работы (в диссертации это теорема 1.4) получено ее авторами независимо друг от друга, теорема 2 этой работы (теорема 1.5 диссертации) принадлежит О.Н.Косухину. Остальные основные результаты диссертации получены и опубликованы ее автором без соавторства. Основные результаты диссертации также опубликованы в Трудах математического центра имени Н.И.Лобачевского (см. [28-30]).

Работа состоит из оглавления, введения, трех глав и списка цитированной литературы из 30 названий. В первой главе рассматриваются рациональные функции вида Rn(z) = \j[z — aj), где aj (полюсы функции Rn(z)) — некоторые точки комплексной плоскости С — не обязательно различные. По предложению Е.П. Долженко такая функция названа наипростейшей дробью, число п — ее порядком. Класс всех наипростейших дробей порядка не выше п обозначим SRn. Очевидно, Rn(z) = (logP(z))' = P'(z)/P(z), где P(z) = C(z — a\).(z — an) — полином степени п (С = const ф 0). Поэтому наипростейшую дробь также называют логарифмической производной многочлена.

Внимание к логарифмическим производным многочленов было обращено работами А.Дж.Макинтайра и У.Х.Дж.Фукса (1940 г.), А.А.Гончара (1955 г.) и Е.П.Долженко (1960 г.), посвященными рациональным аппроксимациям и решению некоторых экстремальных задач. Это направление исследований продолжает развиваться и внастоящее время.

Логарифмические производные многочленов имеют и простой физический смысл: Rn(z) представляет собой напряженность плоского электростатического поля в точке z, созданного положительными единичными зарядами, расположенными в точках a,j — при этом, если в некоторой точке а находятся ровно к точек aj, то, соответственно, в этой точке расположен заряд величины к.

В работе [18] А.Дж.Макинтайру и У.Х.Дж.Фуксу, опираясь на известную лемму Картана, для любого натурального п удалось доказать ряд оценок сверху на максимум модуля логарифимической производной многочлена от z в плоскости С с выброшенным из нее набором из не более чем п "малых" в некотором смысле кругов. В частности, им удалось показать, что для любого набора комплексных чисел а\, а,2, ., ап и любого е > 0 существует такой набор из не более чем п кругов {Bf.}k с радиусами Vf. соответственно, что Ylk rk < 2е и z ~ аз\ £ i- ^ j=i I "J I для всех г€С \ U f-Bk. Сами авторы предположили, что логарифм в пра

11

TL —(1 + log п) может быть опущен, и £ вой части неравенства н г —

• t Z~a3 j = l J даже доказали это утверждение в частном случае когда все лежат на одной прямой. Вопрос о справедливости этого утверждения в случае произвольного расположения {aj} оставался открытым вплоть до недавнего времени. Его удалось решить в работе [1] Дж.М. Андерсону и В.Я. Эйдерману, показав, что в этом случае точной по порядку относительно ?? будет оценка п

Е— — V/bg(^+T)) где С = const > 0. £

Другим примером экстремальной задачи для логарифмической производной многочлена является задача, возникшая в теории дифференциальных уравнений и впервые поставленная Е.А. Гориным в 1962 году ([6]). Пусть d{L,Rn) — обычное (евклидово) расстояние между множеством {a,j} всех полюсов функции Rn G SRn и заданным множеством L С С, a dn(L) — infimum величин d(L,Rn) по всем Rn Е SRn, для которых \Rn(z)\ < 1 при z € L. Задача состоит в том, чтобы отыскать как можно более точную оценку снизу на величины dn(L) с ростом п. В случае, когда L совпадает с действительной осью R отысканием таких оценок в разное время занимались Е.А. Горин (1962), Е.Г. Николаев (1965), А.О. Гельфонд (1966), В.Э. Кацнельсон (1967). Наибольших успехов в решении этой трудной задачи добился В.И. Данченко (1991, [7]), который не только впервые доказал стремление величин dn(L) к нулю с ростом п, но и нашел точный порядок такого стремления в случаях, когда г т? г ^ / I I 1\ 1 lQg lQg 71 ^ 1 s о 1оё 1оё 71 L = R и L = С := {z : z = 1): - • —-< dn(R) < 2 • —-,

9 log n log n

1 log Tl lc>S ^

- --< dn(C) < 2 --для достаточно больших п. В случае других

4 п п множеств L, отличных от прямых и окружностей комплексной плоскости, вопрос об оценке величины dn(L) остается открытым.

Первая работа, касающаяся приближения непрерывных функций посредством наипростейших дробей, опубликована в 1999 году В. И. и Д. Я. Данченко [8]. Эта работа положила начало интенсивному изучению ап-проксимационных свойств наипростейших дробей в научной школе Е.П. Долженко.

При условии, что компакт К не разбивает плоскости С, В.И. и Д.Я. Данченко доказали возможность равномерного приближения посредством наипростейших дробей (с любой точностью) каждой функции / из класса СА(К) непрерывных на К и аналитических во внутренних точках К функций. Для каждой такой функции в [8] указан способ, с помощью которого можно построить последовательность Rn(z) наипростейших дробей, равномерно сходящуюся к / на К. При этом, начиная с достаточно больших п, все полюсы функции Rn(z) лежат вне произвольного фиксированного круга. Эта теорема является аналогом известной теоремы С.Н. Мер-геляна о полиномиальных приближениях и имеет качественный характер. Возникает естественный вопрос об оценке скорости наилучшего равномерного приближения посредством наипростейших дробей в зависимости от свойств компакта К и приближаемой функции /.

В первом параграфе главы исследуется связь между скоростью убывания к 0 величин /?п(/, К) при п —> со и свойствами приближаемой функции f(z) на компактах К специального вида, введенных в [8]. Обозначим через К(Ъ, d) класс всех компактов К С С со связным дополнением в С, для которых существует такая точка b £ К и такое число d > 0, что любую точку z £ К можно соединить с b некоторой спрямляемой кривой l(b, z) С К длины не более d.

Обозначим еще через А(К) семейство функций /, каждая из которых аналитична в некоторой окрестности U(f) компакта К, а через СЛ(К) — семейство всех функций f(z), непрерывных на К и аналитических во внутренних точках К. Для К Е K(b,d) и / Е СА(К) в [8] введена в рассмотрение функция a(z) = a(f;z) := ///(С) гДе интегрирование ведется по любому спрямляемому пути l(b,z) С К, ведущему из b в z. Очевидно, что интеграл в правой части последнего неравенства не зависит от выбора пути l(b,z), а функция a(z) принадлежит классу СА(К).

Для любого компакта К С С и функции / Е С (К) обозначим через u(f, К] 5) := sup {\f(z + Az) - f(z)\ : z, z + Az E К, |Az\ < равномерный модуль непрерывности функции / на этом компакте. Для любых чисел к = 0,1,2,. и /3 Е (0,1] определим Lipк+^(К) как класс всех функций / Е С(К), имеющих непрерывную k-ю производную на К (считаем = /), для которых найдется такая константа М = М(К, /, к, /3) > О, что неравенство cu(f^k\K;S) < М выполнено для всех S > 0. При всех к = 0,1,2,. обозначим также через Zк(К) класс всех непрерывных б на К, имеющих непрерывную на нем к-ю производную для которой неравенство \f^k\z-bh) — 2f^k\z)-\-f^(z—h)\ < Ch выполнено с некоторой положительной константой С = С(/, к) для всех h > 0 и z+h, z,z — h G К.

Для любого d > 0 положим Д^ := [—d,d] и Da '•= {z : |z| < d}.

Известные теоремы Д.Джексона ([12], [13]) дают оценку величин наименьших равномерных уклонений En(f,K) многочленов порядка не выше п от функции / 6 СА(К) в случае, когда К — отрезок Л,/ или замкнутый круг Da, через ее модуль непрерывности u(f,K;d). Эти теоремы относятся к так называемым прямым теоремам теории приближений. Н.П.Корнейчук (см. [17], Гл.6, §6.2) уточнил эти оценки, отыскав точные константы, входящие в них. Именно, для таких К он показал, что En(f,K) < а>(/, К; 7rd/(n + 1)) (п = 1,2,.). В случае аппроксимации наипростейшими дробями имеют место аналогичные оценки.

Теорема 1.1. Пусть d > 0; К = Ad или К = Dd, / G СА{К). Тогда find, к) < c(d\\f\\) (и (/, ff;^) + ll/ll2) , где С (г) = 4(1 + г)е2г, п = 1,2,.

Замечание. Неравенство вида pn(f,K) < C(d,\\f\\)uj(f, K;7rd/n) не может быть справедливо для любой функции / € СА(К), так как уже для / = const ф 0 имеем u(f, K;itd/n) = 0 и в то же время р„(/, К) ф 0. Поэтому появление в правой части неравенства слагаемого (nd/n)\\f\\2 естественно.

Знаменитая теорема П.Л.Чебышева утверждает для произвольной непрерывной на отрезке функции / существование и единственность алгебраического полинома заданной степени п наилучшего равномерного на этом отрезке приближения. В теории равномерного приближения посредством наипростейших дробей аналогичное утверждение неверно: даже в случае, когда компакт К представляет собой отрезок или круг, а / 6 СА{К), наипростейшая дробь порядка не выше п наилучшего равномерного приближения для функции / на К может быть нееднпственна для некоторых п. Соответствующие примеры функций / были впервые построены П.А. Бородиным — учеником Е.П. Долженко. Существование же наипростейшей дроби наилучшего равномерного приближения в случае пролзвольного компакта К С Си произвольной функции / £ СЛ(К) легко следует из компактности в метрике п-мерной сферы Римана С" множества Rn{K, М) {(ai,a2,.,a„) : || Rn{z) = J2j=i l/(z ~ <*j)\\c(K) < М} С С" полюсов всех наипростейших дробей, ограниченных по модулю на К константой М = 2 ||/|| > 0 и непрерывности уклонения ||/?n — f\\c(K) как функции от полюсов (aj, ., ап) в этой метрике (считаем здесь l/(z — ос) = 0). Несмотря на серьезные различия, как показывает следующая теорема, аппроксимации наипростейшими дробями и аппроксимации полиномами на компактах из K(b,d) тесно связаны между собой.

Теорема 1.2. Пусть К е K(b, d), f Е СА(К), a{z) = a{f; z). Тогда Ci{d\\f\\)pn+i{f, К) < En{fea,K) < C2(d\\f\\)Pn+l(f,K), где C\(r) = 1/(2(1 + r)er), C2(r) = (1 + 2rer)er, n = 0,1,2,.

Теорема 1.2 позволяет получить целый ряд прямых и обратных теорем теории аппроксимации наипростейшими дробями, аналогичных известным теоремам из теории полиномиальных аппроксимаций.

Теоремы Д.Джексона (см. [13]) для гладких на компакте К = Д,/ или К = Dd функций утверждают, что для любого натурального к, некоторой положительной константы С = C(d,k), произвольной функции / е

СА(К). имеющей непрерывную на К производную порядка к, и люu(fW,K;d/(n-k)) бого п > к выполнено неравенство En(f, К) < С ■ —---. пк

Следствие 1.2.1. Пусть d > О, К = Ad или К = Dd, /, f{k) G СА(К). Тогда гдеС = С (d, к, ||Л|, ||/<»||,., ||/С>||) > 0, п > к + 2.

С.Н. Бернштейн и А. Зигмунд (см. [13]) соответственно доказали, что справедливость неравенства D^) < С/пк+Р (к = 0,1,2,-., 6

0,1])при любом натуральном п с некоторой константой С = C(d,k,(3) > О является необходимым и достаточным условием для принадлежности функции / классу Lipпри /3 6 (0,1) и классу Zk(D<i) при /3 = 1.

Следствие 1.2.2. Функция / 6 CA(D,i) тогда и только тогда принадлежит классу L\pk+P(Dd) при (3 G (0,1), и классу Zk(Dd) при (3 = 1, когда условие pn(f,K) < C/nk+P выполнено при любом натуральном п с некоторой константой С = C(f,d,k,{3) > 0.

Следствие 1.2.3. Для того, чтобы для функции f Е С(Д,/) при каждом натуральном п имело место неравенство pn(f,K) < C/nk+lj с некоторой константой С = C(f,d, k,/3) > 0 необходимо и достаточно, чтобы функция f(t) := f(dcost) принадлежала классу при

3 е (0,1); и классу Zk(Ad) при (3 = 1.

В.К.Дзядык доказал (см. [13]), что для того, чтобы заданная функция f(x) при некотором целом неотрицательном к принадлеэюала классу Lip*+^(Ad) (классу Zk(Ad))> где 0 < (3 < 1, необходимо и достаточно, чтобы при каждом натуральном п > к нашелся такой алгебраический многочлен Pn(z) степени п, чтобы при всех х 6 Aj выполнялось неравенство |f(x) - Рп(х)| < А ■ rk+P(x) (|f{x) - Рп(х)| < А ■ rk+\x)), где А = A(f,d,k,(3) (А = A(f,d,k)) — постоянная, которая не зависит ни от х, ни от п, и rn(x) := \Jd2 — х2/п 4-1 /п2.

Следствие 1.2.4. Для того, чтобы заданная функция f(x) при некотором ц2лом неотрицательном к принадлеэюала классу Lip*"+^(Af/) (классу Zk(Ad)), где 0 < /3 < 1, необходимо и достаточно, чтобы для некоторого числа N > 0 при каоюдом натуральном п > N нашлась наипростейшая дробь Rn(z) порядка не выше п такая, чтобы при всех х 6 А,/ выполнялось неравенство

I/O*) - < Arkn^(x) (I/O*) - Rn(х)\ <АГь+1(х)), где А = A(f,d,k,(3) > 0 (А = A(f,d,k) > 0) — постоянная, которая не зависит ни от х, ни от п, и rn(x) := y/d2 — х2/п + 1/п2.

Пусть К — произвольный континуум на С, функция <p(z) однолистно и конформно отображает неограниченную связную компоненту дополнения к К в С на внешность единичного круга D := {z : \z\ < 1}, причем <р(оо) = оо, lim^^oc Lp(z)/z > 0. При R > 1 обозначим через Гц прообраз окружности Cr {z : \z\ = R} при этом отображении, а через Gr — внутренность кривой Гц. По теореме Уолша, для функции / е СЛ(К) справедливо неравенство limsupn^00 y/En(f, К) < 1 /R, если / аналитически продолжается с К на Gr (R > 1). Аналогичный результат верен и для аппроксимации наипростейшими дробями.

Теорема 1.3. Пусть К € K(b,d), функция f : К С определена на компакте К и мероморфна в его внутренних точках. При R > 1 неравенство limsup^oo y/pn{f, К) < 1/R имеет место тогда и только тогда, когда f(z) мероморфно продолэ/сается с К в Gr как логарифши-ческая производная Ff(z)/F(z) некоторой функции F{z), аналитической в Gr.

Второй параграф первой главы посвящен изучению аппроксимативных свойств наипростейших дробей на неограниченных замкнутых жор-дановых кривых L С С, то есть кривых, допускающих параметризацию <р : R I—> L инъективной функцией (р(х), определенной и непрерывной на действительной оси R, (р(х) —»• оо при х —> оо. Отметим, что для таких кривых построение содержательной теории равномерных полиномиальных аппроксимаций невозможно: любая функция, которую можно с любой точностью приблизить на этой кривой в равномерной норме полиномами, сама является полиномом. Как будет показано ниже, в отличае от теории равномерных полиномиальных аппроксимаций, теория равномерных аппроксимаций наипростейшими дробями на таких кривых весьма содержательна. Прежде всего интересен вопрос о полном описании класса SR{L) всех функций, допускающих на L равномерное приближение наипростейшими дробями с любой точностью. Обозначим через Cq(L) пространство всех таких комплекснозначных функций f(z), определенных и непрерывных на неограниченной жордановой кривой L С С, что f(z) —у 0 при z —> сю, z £ L. Очевидно, все наипростейшие дроби, не имеющие полюсов на L, принадлежат этому пространству. В силу полноты пространства Co(L) относительно равномерной нормы, получаем включение SR(L) С Cq(L). Как показывает следующая теорема, в случае L — R имеет место и равенство SR(R) = Co(R).

Теорема 1.4. Для любого и > 0 каждая функция из пространства Co(R) может быть с любой точностью равномерно па R приближена наипростейшими дробями с полюсами вне полосы IIW = {z : |Iin,z| < и}.

Следствие 1.4.1. Для любой прямой I € С каоюдая функция f{z), непрерывная на I и стремящаяся к нулю при z —> оо, z £ I, может быть с любой точностью равномерно на I приближена наипростейшими дробями.

Следствие 1.4.2. Любая действительнозначная функция из Co(R) может быть с любой точностью равномерно на R приближена действительнозначными наипростейшими дробями.

Теорема 1.5. Для любого неразвернутого угла (то есть двух лучей с общей вершиной, не принадлежащих одной прямой) Л С С найдется функция f € C{h), f(z) —у 0 при z —> оо, z G Л, которая не моо/сет быть с любой точностью равномерно на Л приближена наипростейшими дробями.

Попутно из доказательства теоремы 1.5 следует невозможность сущеп 1 ствования таких наипростейших дробей rn(z) = ^^-, что ||г„||^'(д) = j=1 0 йп3 max{|rn(2:)| : £ £ А} —> 0 при п —У оо и при каждом п хотя бы один из полюсов anj лежит внутри угла Л (0 < arg anj < а) и ограничен по модулю произвольным фиксированным числом М, не зависящим от п.

Третьй параграф первой главы посвящен аппроксимационным свойствам наипростейших дробей Паде.

В последние десятилетия возрос интерес к классическим аппроксимациям Падё ("дробям Падё"), их обобщениям и приложениям. Изучение этих объектов было начато еще О.Коши, К.Якоби, П.Л.Чебышевым, Т.Стильтьесом, А.А.Марковым и другими в их работах по цепным дробям. Резкое повышение интереса к дробям Падё связано с развитием вычислительной математики, теоретической и экспериментальной физики, и в значительной степени — вообще с возрастанием потребности в обработке экспериментальных данных. Наиболее существенные теоретические результаты, касающиеся классических дробей Падё, в последние десятилетия получены А.А. Гончаром и его учениками, Е.Н. Никишиным и его учениками. В настоящей работе исследуются так называемые наипростейшие дроби Падё (или, что то же, наипростейшие рациональные дифференциалы аналитических функций). Это направление теории дробей Падё в 1999 г. сформулировал Е.П. Долженко. Оказалось, что наипростейшие дроби Падё в сравнении с классическими дробями Падё обладают рядом замечательных особенностей.

Классические (одноточечные) аппроксимации Паде представляют собой естественное обобщение полиномов Тейлора. Именно, пусть / ~ со + c\z + C2Z2 + . — некоторый формальный степенной ряд с вообще говоря комплексными коэффициентами. Напомним, что рациональная функция 7гтп(/, z) = p(z)/q(z) со степенью числителя не выше п и степенью знаменателя не выше т называется дробью Паде (аппроксимацией Паде) порядка (n,m) для этого степенного ряда, если в формальном разложении разности q(z)f(z) — p(z) в степенной ряд с центром в точке z = О коэффициенты с номерами от к = 0 до к = п + т равны 0. Такое определение рациональной функции тгпт(f,z) наилучшего локального приближения (которая существует всегда и при том только одна) связано с тем, что задача об отыскании рациональной функции Rn,m(z) степени не выше (n,m), при которой формальный степенной ряд для f(z) — Rn,m(z) имеет нулевыми коэффициенты с номерами от 0 до п + га, не всегда разрешима.

При п > 1 наипростейшим рациональным дифференциалом порядка п — 1 функции f(z) в точке Ь, в некоторой односвязной окрестности U которой f(z) однозначна и аналитична, или наипростейшей дробью Па-де n-ого порядка функции f(z) в точке 6, назовем наипростейшую дробь Rn{f,b; •) G SRn со свойством: f(z) — Лп(/,b;z) = 0((z — b)n) при z —b. Как показывает следующая теорема, в отличае от классических аппроксимаций Паде, такой подход к определению наипростейших дробей Паде всегда оправдан.

Как и ранее, для функции f(z) в окрестности точки b рассмотрим функцию a(z) = a(f]z) := /(С)^С> гДе интегрирование ведется по любому спрямляемому пути в некоторой односвязной окрестности точки Ь.

Теорема 1.6. Дробь RTl(f,b;z) существует, единственна и совпадает с логарифмической производной частичной суммы — b)k ряда Тейлора функции ea^z\

Замечание. Существование и единственность наипростейшей дроби Паде Rn(f, b\ z) была независимо доказана другими методами В.И. и Д.Я. Данченко в работе [9].

Представляют естественный интерес вопросы о нахождении области G(f) сходимости последовательности дробей {Rn(f, b\z)} к приближаемой функции / и об оценке скорости такой сходимости с ростом п. Как будет показано в теореме 1.7, область G(f) вообще говоря шире, чем круг сходимости ряда Тейлора для функции /, а последовательность {/?м(/, 6; z)} сходится к / в точках G(f) со скоростью геометрической прогрессии.

Отметим здесь, что круг сходимости ряда Тейлора функции сп совпадает с соответствующим кругом сходимости для функции fca — так как (еа)' = fen. Обозначим радиус этого круга сходимости через R. Внутрь круга В := {z : \z — b\ < R} из окрестности точки b функция / аналитически (или мероморфно) продолжается как логарифмическая производная от функции еа.

Теорема 1.7. Пусть функция f аналитична в некоторой окрестности точки b G С, положительное число R таково, что ряд Тейлора функции еа^ с центром в точке b сходится на круге {z : jz — b\ < R}, г = const 6 (О, Л). Тогда для произвольного компакта Е С {z : — b\ < г}, не содержащего полюсов функции f, имеет место неравенство

Hmsup d\\Rn{f, Ь; •)-/(') Wc(E) < r/R.

11—too *

Также в этом параграфе приводятся оценки сверху на улонения наипростейших дробей Паде от функций / из класса Харди Н\ в точках единичного круга D.

Вторая глава состоит из трех параграфов. В ней даются оценки сверху наименьших уклонений в метрике Хаусдорфа заданного замкнутого жор-данова контура Г в комплексной плоскости С от лемнискат, порожденных многочленами P(z) заданной степени п, в зависимости от метрических свойств этого контура. При этом предполагается, что приближающие лемнискаты являются замкнутыми жордановыми кривыми, содержащими Г внутри себя. Принципиальная возможность сколь угодно хорошего приближения жордановых контуров такими лемнискатами в этой метрике доказана Д.Гильбертом в 1897г. (см. [4]). Естественно возникает вопрос о количественной оценке такого приближения. Этот вопрос неоднократно ставил Е. П. Долженко.

Отметим здесь, что теория приближений в хаусдорфовой метрике, порожденной метрикой Евклида, уже нашла свое приложение в математических методах обработки изображений (см., например, работу Б.Сендова [21]). Представляет интерес и теория приближений функций в метрике Хаусдорфа, порожденной метрикой Минковского. Многие важные теоремы этой теории получены Е.П.Долженко и Е.А.Севастьяновым (1975-1978 гг.), а также А.И.Ермаковым (1980 г.).

В силу теорем Римана и Каратеодори существует единственное конформное и однолистное отображение w = ф(г) внешности Gy кривой Г на внешность Gc единичной окружности С := {w : |u;| = 1} со свойствами: ф(оо) = оо, ф'(оо) > 0, отображение w = продолжается до гомеоморфизма замыканий Gy и Gc областей Gt и Gc- Положим (f(w) := w £ Gc), f(9) ■■= v(eie) (в EH). Пусть А и В - компакты на С, рн(А, В) — хаусдсрфово расстояние между ними: рн(А, В) := infje:}, где инфимум берется по всем таким г > 0, что множества А и В находятся в евклидовых ^-окрестностях друг друга. Через р(А, В) обозначим обычное (евклидово) расстояние между А и В: р(А, В) := inf{|zi — zi| : z\ £ A, z<i £ В}.

Пусть Pn(z) — многочлен степени п переменного z, г = const > О, L(Pn,r) := {z : = г} — r-ая лемниската, порожденная многочленом Рп (то есть его r-ая линия уровня), Нп(Т) := inf{/0//(F, L(Pn: г)) : Pn,r}, где Рп пробегает все многочлены степени n, а г — положительные числа, причем учитываются только те Рп и г, для которых L(Pn,r) является замкнутой жордановой кривой, содержащей Г внутри себя.

Пусть g(z, £) — функция Грина для области Gr с полюсом £ £ Gr- Как известно, g(z, оо) = =: g(z). Ниже uj(F,E-,S) := sup{|F(z') —

F(z")\ : z',z" £ E, |z' — z"\ < — модуль непрерывности функции F(z) на множестве Е С С (5 > 0). Если множество Е есть вся область определения функции F(z), положим uj(F; <5) = oj(F, Е;5).

Положим Мп(Г) inf{max{^(z) : z £ L(Pn,r)} : Рп,г}, где Pn и г пробегают те же множества, что и выше при определении Нп(Т). Как показывает следующая лемма, величины Нп(Т) и МП(Г) тесно связаны между собой.

Лемма 2.1. Для произвольной замкнутой жордановой кривой Г и любого натурального числа п выполнены неравенства

Нп(Г) < и(ср- - 1), МП(Г) < ш(д; Я„(Г)).

Для кривой Г и любого натурального п введем в рассмотрение многочлены Qn(z) и Фn(z). Положим Qn(z) := c~n(z — a\)(z — «2). (z — an), где с = с(Г) — гармоническая емкость кривой Г (см. [5], Гл. VII, §3), ctk '■= У1ехР{(2k+ l)iri/n}). Через Фп(%) обозначим многочлен Фабера пой степени, то есть такой полином, что Фп(г) — ip1l(z) = 0(1/z) при 2 —> оо (см., например, [19], T.II, Гл. 5, §4, п.4.5).

Первый параграф второй главы посвящен отысканию оценок сверху для величин Мп(Г) в случае произвольных замкнутых жордановых кривых Г с С. Основным его результатом является

Теорема 2.1. Пусть Г — замкнутая эюорданова кривая, g(z) = g(z, оо) — функция Грина с полюсом на бесконечности для внешности кривой Г. Тогда для любого натурального п найдутся такие полоэюи-телъные числа г\ = г\{п) и Г2 = гг(п), что лемнискаты L(Qn,r\) и £(Фп> г2) являются замкнутыми аналитическими жордановыми кривыми, содержащими Г внутри себя, и неравенство max{g(z) : * G L(Qn, n)} < u{g; d) + 2a; (p, C; jH тт{ш^'Л2У ^ справедливо для любого d > cj (cp, C',ir/n), а неравенство max{g{z) : г € L(ФП1 r2)} < u(g; d) + W C; J™ millM^2> ^ справедливо для таких d > lj (<£>, С; ir/n), что второе слагаемое справа в этом неравенстве не превосходит первого. Отсюда при таких лее d имеем /„ч / / ^ тг\ min{td(t/>;0>2} , M^n^wfejdJ+w^C;-) у -1 ^ f<ft.

Замечание. Указанные в теореме 2.1 условия справедливости неравенств не существенны при их практическом применении, поскольку наилучшие по порядку величин оценки получаются при d, определяемых из условия равенства между собой двух слагаемых справа в этих неравенствах — так как при d \ 0 первое слагаемое справа убывает к нулю, второе возрастает к +оо.

Следствие 2.1.1. Для любой замкнутой жордановой кривой Г имеет место равенство

Мп{Г) = О (^(^CjTr/n)) (п оо;.

Замечание. Из следствия 2.1.1 вытекает, что для любой замкнутой жордановой кривой Г имеем МП(Г) —> 0 при п оо. По лемме получаем, что Нп(Г) —> 0 при п —^ оо. В этом и состоит упомянутый выше результат Д. Гильберта.

Следствие 2.1.2. Пусть Г — замкнутая жорданова кривая, функция ф удовлетворяет в Gr условию Lip а (0 < а < I): ф(г') - ф(г")\ < M\z' — z"\a для любых z', z" из Gr, М = const > 0. Тогда при 0 < а < 1 выполнено соотношение

Мп(Г) = 0(с/(у>, С; тг/п)) (п оо), где (3 = шах{а, 1/(3 — 2а)}, а при а — 1

Мп{Г) = О С; 7r/n)log (l/w(p, С; тг/n))) (п оо).

Второй параграф второй главы посвящен отысканию оценок сверху для величин Мп(Г) в случае гладких и аналитических замкнутых жордановых кривых Г с С.

Теорзма 2.2. Пусть Г — гладкая замкнутая жорданова кривая, причем функции ф(г) и tp(w) непрерывно дифференцируемы в Gr и Gc соответственно, кроме того, для 5 > 0 arg /', R; S) = О „ U(f, R;d) = О при S - 0.

Тогда существуют такие числа Г\ = г\(п) > 0 и г2 = r2(ii) > 0, что при п —У оо г:меют место равенства: max{g(z) : z G L(Qn,ri)} = 0(l/n), max{g(z) : z e Ь(Фп,г2)} = 0{l/n), так что (см. лемму 2.1)

Нп(Т) = 0{1/п), МП(Г) = 0(1/гг) (п оо). Следствие 2.2.1. Пусть Г — гладкая замкнутая э/сорданова кривая, угол наклона касательной 6(s) к которой как функция длины дуги s имеет модуль непрерывности u)(t), удовлетворяющий условию к t Js V Vbg(l/5)y при 5 —> 0 (5 > 0). Тогда при п —> оо имеют место равенства:

Я„(Г) = 0(1/п), М„(Г) = 0(1/п).

Теорема 2.3. Пусть Г — линия уровня функции Грина (jk(z) для оператора Лапласа во внешности некоторого континуума К С С со связным дополнением: Г = {z : дк(%) = А}; Л > 0. Тогда limsup у/Нп(Г) = limsup у/Мп(Т) < е~х.

71—ЮО П-> ОО

Следствие 2.3.1. Для любой замкнутой аналитической жордановой кривой Г справедливо неравенство limsupn^oo у/Нп(Г) = Нтзири^оо у/Мп(Т) < 1.

В третьем параграфе второй главы доказана оценка снизу для величины М„(Г).

Третья глава диссертации состоит из двух параграфов. В первом параграфе найдены достаточные в определенном смысле неулучшаемые условия на компакт комплексной плоскости для существования на нем почти всюду относительно произвольно заданной </>меры Хаусдорфа оценок типа Маркова-Бернштейна для производных заданного натурального порядка s от произвольных рациональных функций, не имеющих полюсов на этом компакте.

Для любого натурального п обозначим через Ип(К) класс всех рациональных функций R(z) степени не выше п, полюсы которых не лежат на компакте К комплексной плоскости С. Если при заданном натуральном s, некоторой точке zq Е К и любом натуральном п справедливо неравенство вида

R{s)(zq)\<\.\\R\\c{k) какова бы ни была функция R Е Rn(if), где Л = Л(К,п, s, z{)) > 0, то будем говорить, что в точке zq выполняется неравенство типа Маркова-Бернштейна для s-ых производных рациональных функций. Легко видеть, что у любого компакта К с С найдутся точки zq € К, в которых не существует сценок такого вида ни при каких фиксированных п и s. Заметим, что в случае произвольного континуума К, не вырожденного в одну точку, любого натурального п и любого полинома Pn(z) степени не выше п неравенство указанного вида с R = Рп справедливо в каждой точке zq Е К с А — А (К, n,s) < оо, уже не зависящим от zq — то есть в этом случае всегда имеется равномерая на К оценка для производной любого порядка s от каждого полинома (см. добавление С.Н.Мергеляна в [23], Раздел 1, п. 5).

В работе [14, Гл.IV] Е.П.Долженко указал условие на строение континуума к вблизи точки zq Е к, достаточное для справедливости (уже не зависящей от п) оценки |.R(,s)(zo)| < \(K,s,zq) • ||Я||с(ат) для любой рациональной функции R(z) с полюсами вне К. В частности, это условие выполняется для почти каждой (относительно плоской меры Лебега) точки zq Е К \ UjTj, если Ylj < оо, где через Го обозначена граница диаметра := сНатГо неограниченной компоненты связности Go дополнения к К в С, а через {Gj}j>i, {rj}j>i и {dj}j> 1 — конечные или бесконечные последовательности всех ограниченных компонент этого дополнения, их границ и диаметров соответственно. Отсюда следует (см. [15]), что для таких zq неравенство \f^(zo)\ < \(K,s,zq) • Н/Нс^) справедливо для любой функции /, принадлежащей банахову пространству R(К) всех функций, непрерывных на К и допускающих на нем сколь угодно точное равномерное приближение рациональными функциями.

В работе [10] В.И.Данченко нашел достаточно простой геометрический критерий на строение компакта К вблизи произвольной заданной его точки zq для того, чтобы в этой точке при заданном s существовала оценка типа Маркова-Бернштейна. Чтобы сформулировать этот критерий, наномним следующее определение.

При £ Е С обозначим через /?(£, К) обычное евклидово расстояние от ( до К. Следуя В.И.Данченко, для любой точки z € К введем в рассмотрение величину ал, (/Г, := sup{p(£, К) • — z\~s~l : С, Е С\/С}, называемую s-пористостыо компакта К в точке z (понятие s-пористости обобщает понятие обычной пористости множества в точке, введенное Е.П.Долженко в 1964 г.).

Теорема А (В.И.Данченко, [10]). Пусть К — произвольный компакт на С, zq Е К, s — натуральное число, s > 1. Тогда для существования в точке zq неравенства вида (1) для любой функции R Е Rn(/T), необходима и достаточна конечность величины us{K, Zq). При этом неравенство s)(^o)| < 50s!we(tf,2b)(n + 1) • \\R\\C(K) выполнено для любой функции R Е Ип(К).

В работе [10] для s = 1 и а 6 (1,2] в случае, когда К представляет собой замкнутый единичный круг с выброшенной из него последовательностью попарно не пересекающихся открытых кругов Dj радиусов rj соответственно, также доказано, что условие г^2 < оо является достаточным для равенства нулю так называемой а-меры Хаусдорфа множества Е = Е(К, s) С К всех точек zq Е К несуществования оценок вида (1): mesa.E = 0. В случае плоской лебеговой меры mes2 (как известно, mes2 = (4/7r)mes2) Д.Я.Данченко [11] установила более общий результат: если континуум К имеет конечный периметр или, что то же, конечный обхват по Пенлеве (это означает, что Y2j>o mesi Г/ < оо, rnesi — линейная мера Лебега), то при s = 1 оценки типа Маркова-Бернштейна имеют место почти в каждой точке К относительно плоской меры, то есть mes2Е = 0.

Пусть F — произвольное борелевское множество на С. Конечное или счетное семейство {Bj} открытых кругов Bj будем называть ^-покрытием множества F, если F С UjBj и для каждого j диаметр diam Bj круга Bj не превосходит 6. Для заданного борелевского множества F и произвольной функции ip(r), определенной и возрастающей при г > 0, с с/?(0) = <^(0+) = 0 величину mesF := lim inf ^(diam.Bj) : F С UjBj, diamBj < j < сю, называют хаусдорфовой </?-мерой этого множества. В случае ip(r) = га с некоторым а > 0 величину mesaF := ((p)mesF называют а-мерой Хау-сдорфа этого множества и обозначают mesaF.

Пусть G — ограниченная область на С, 0G — ее граница. Внутренним радиусом области G назовем величину г = r(G) := snp{/o(C, OG) : С £ G}. Пусть также N(dG, S) — наименьшее возможное количество кругов в <5-покрытии множества 3G.

Как и ранее, для любого компакта К С С обозначим через Gq неограниченную компоненту связности его дополнения С \ К, а через {Gj}j>\ — конечную или бесконечную последовательность всех ограниченных компонент этого дополнения, расположенных в порядке невозрастания их внутренних радиусов гj := r(Gj). Положим dj := diamSGj (j > 0). Множество E = E(K, s) всех таких точек zq G К, для которых не существует оценок указанного вида, назовем исключительным множеством, а множество Е° = E°(K,s) := Е \ (Uj>odGj) — внутренним исключительным множеством. Для каждого j > 1 положим Nj := N (dGj,

Теорема 3.1. Пусть задана произвольная функция <р(г), определенная и возрастающая при г > 0, с <£>(0) = ^(0+) = 0. Если Ylj>i Nj • ip < oo, то внутреннее исключительное множество E° =

E (К, s) С К имеет нулевую (р-меру Хаусдорфа: (ip)mesE° = 0.

Следствие 3.1.1. Если границы dGj (j > 0) всех связных компонент дополнения компакта К имеют нулевую (р-меру Хаусдорфа и Ylj>i Nj • Lp (4rJ/(e+1)) < oo, mo (<£>)mes E = 0.

Следствие 3.1.2. Пусть a G (1,2]. Если граница dGj (j > 0) каждой связной компоненты дополнения компакта К представляет собой объединение из kj замкнутых жордановых спрямляемых кривых, cj = \dGj\ := mes1 dGj, причем ]Г) ■>l kj • < oo, mo mesaE = 0.

Следствие 3.1.3. Если Y,j>i (l + d?rj2/(e+1)) • v? (4rJ/(e+1)) < oo; mo (cp)mes E° = 0.

В случае а-меры Хаусдорфа теорема 3.1 является в определенном смысле неулу ннаемой. Это показывает следующая

Теорема 3.2. Пусть а Е (0,2], s > 1. Тогда существует такой континуум К = K(s, а), что для любого г > 0 ряд ' сходится, а внутреннее исключительное множество E°(K,s) uAteem ненулевую а-меру Хаусдорфа.

Во втором параграфе третьей главы исследуется вопрос о влиянии малых изменений компакта К на исключительное множество E°(K,s).

Теорема 3.3. Пусть К — произвольный компакт в С, ц — произвольная конечная счетно-аддитивная борелевская мера на К. Тогда для любого е > 0 существует такой компакт F = F(K, /1, е) С К, что ц(К \F) < е и E(F,s) = F Vs > 1.

Автор глубоко благодарен своему научному руководителю профессору Евгению Прокофьевичу Долженко за постановки интересных задач, их обсуждение и постоянную поддержку в работе над их решением, а также" доценту П. А. Бородину за ряд ценных указаний и пристальное внимание к работе.

1. Андерсон Дж. М., ЭйдерманВ.Я. Оценки преобразования Коши точечных масс (логарифмической производной многочлена) // ДАН. - 2005. -Т.401. - No 5. - С. 1-4.

2. Ахиезер Н.И. Лекции по теории аппроксимации М.: "Наука", 1965.

3. Warschawski S.E. On differentiability at the boundary in conforrnal mapping 11 Proc.Amer.Math.Soc. 1961. V.12, N4. P.614-620.

4. Hilbert D. Uber die Entwicklung einer beliebigen analytischen Funktion einer Variabeln in eine unendliche nach ganzen rationalen Funktionen fortschreitende Reihe // Nachr. Konigl. Gesell. Wiss. Gottingen, Math.-phys. Klasse 1897. S.63-70.

5. ГолузинГ.М. Геометрическая теория функций комплексного переменного. М.: "Наука". 1966.

6. Горин Е.А. Частично гипоэллиптические дифференциальные уравнения в частных производных с постоянными коэффициентами // Сиб. матем. журнал, 1962. N 4. С.506-508.

7. Данченко В.И. Оценки расстояний от полюсов логарифмических производных многочленов до прямых и окружностей // Матем.сб. 1994. 185, N 8. 63-80.

8. ДанчечкоВ.И., ДанченкоД.Я. О равномерном приближении логарифмическими производными многочленов // Теория функций, ее приложения и смежные вопросы. Тезисы докл. школы-конференции: Изд-во Казанского университета, 1999. 74-77.

9. Данченко В.И., Данченко Д.Я. О приближении наипростейшими дробями // Матем. заметки. 2001. 70, вып. 4. 553-559.

10. Данченко В.И. Один критерий существования оценки производной рациональной функции // Матем. заметки, Москва. 2005. 78, вып. 4. 493-502.

11. Данченко Д.Я. Некоторые вопросы аппроксимации и интерполяции рациональными функциями. Приложение к уравнениям эллиптического типа. Дисс., Владимир, ВГПУ, 2001.

12. Jackson D. On approximation by trigonometric sums and polynomials//Trans.Amer.Math.Soc., 1912, N 14, P.491-515.

13. ДзядыкВ.К. Введение в теорию равномерного приближения функций полиномами// М.: "Наука", 1977.

14. Долженко Е.П. Дифференциальные свойства функций и некоторые вопросы теории приближений // Канд. дисс., Москва, МГУ, 1960.

15. Долженко Е.П. О приближении на замкнутых областях и о нульмножествах // ДАН СССР. 1962. Т. 143, № 4, С.771-774.

16. Долженко Е.П. О конформных отображениях жордановых областей //Вестник МГУ. 1999. Сер.1 Матем. Мех. №4, С.66-68.

17. КорнейчукН.П. Точные константы в теории приблиэ!сения. М.: "Наука". 1987.

18. Macintyre A.J., Fuchs W.H.J. Inequalities for the logarithmic derivatives of a polynomal // J.London Math. Soc, 1940, v.15, N 3, p.162-168.

19. Маркушевич А.И. Теория аналитических функций. М.: "Наука". 1968.

20. Натансон И.П. Теория функций вещественной переменной. М.: "Наука". 1974.

21. СендовБ. Хаусдорфово расстояние и обработка изобралсепий// Успехи метематических наук 2004, Т. 59, вып. 2, С. 127-136.

22. ТамразовП.М. Экстремальные конформные отображения и полюсы квадратичных дифференциалов //Изв. АН СССР. Сер. матем. 1968. Т.32, вып.5. С.1033-1043.

23. Уолш Дж.Л. Интерполяция и аппроксимация рациональными функциями в комплексной области. М.: Издательство иностранной литературы. 1961.

24. Falconer К. Fractal geometry. Mathematical foundations and applications. Wiley, University of St.Andrews, UK. 2003.

25. О.Н.Косухин Об аппроксимационных свойствах наипростейших дробей // Вестник Моск. ун-та. Сер.1. Матем. Механ. 2001, N 4. С. 54-59.

26. П.А. Бородин, О.Н. Косухин О приближении наипростейшими дробями па действительной оси // Вестник Моск. ун-та. Сер.1. Матем. Механ. 2005, N1, С.3-8.

27. О.Н. Косухин О скорости приближении замкнутых жордановых кривых лемнискатами // Матем. заметки, 2005, Т.77, Вып. G, С. 861-876.