Аппроксимация функций при дополнительных условиях в функциональных пространствах тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ имени А. И. ГЕРЦЕНА

Специализированный совет К 113.05.14

На правах рукописи

УМАЛАТОВ Абулкадар Абулкасумович

АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИИ ПРИ ДОПОЛНИТЕЛЬНЫХ УСЛОВИЯХ В ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ

01.01.01 — МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

САНКТ-ПЕТЕРБУРГ

1992

Работа выполнена в Дагестанском сельскохозяйственном институте.

Научный руководитель — кандидат физико-математических наук, доцент В. Н. БУРОВ

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Н. А. ШИРОКОВ кандидат физико-математических наук, доцент Н. Б. ТИХОМИРОВ

Ведущая организация — Саикт-Петербургскнй университет.

Защита состоится « 1992 г. в ^^ часов на

заседании специализированного совета К.ИЗ.05.14 в Российском государственном педагогическом университете имени Л. И. Герцена по адресу: 191186, С.-Петербург, наб. р. Мойки, 48, ауд. 210, корп. 1, математический факультет.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке университета по адресу: 191186, наб. р. Мойки, 48, фундаментальная библиотека.

Автореферат разослан «

1992 г.

Ученый секретарь специализированного совета Е. В. БАРАНОВА

- з -

. . ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

^'■'-лАу^уальность темы. Важным разделом теории приближения являет-~'(Гг-еЫроксиыация функций при наличии ограничений (дополнительных условий) на приближающий аппарат.•Начало этой проблематике положено еще знаменитыми работами П.Л.Чебышева о разыскании алгебраического полинома степени п со старшим коэффициентом, равным единице, норма которого в пространстве С Г"'.минимальна. Дальнейшее разлитие идей П.Л.Чесшева в этом направлении имело место в работах его последователей Е.П.Золотарева, А.А.Маркова, Н.И.Ахлезера, С.Н.Еершптейна.

Более общей является задача наилучшей аппроксимации с одной линейно:! связью, впервые рассмотренная В.А.Марковым. В дальнейшем аналогичные задачи с одной или несколькими линейны?,и связями исследовались А.П.Пшеборским, Я.Л.Геронимусом, Д.Г.Гребеню-ком, Б.А.Рымаренко, Е.В.Вороновской, С.Пашковским, В.С.Виденским, Е.Г.Гольштейном, Н.".Черных, И.Марущаком, В.К.Дзядыком, Ал.'А.Приваловы?,1 л другими. В этих работах изучаются вопросы о существовании, единственности и характеристических свойствах полинома наилучшего приближения, рассматриваются относящиеся к тог,ту же кругу различные экстремальные задачи и др. вопросы. При этом в качестве аппарата приближения использовалось классическое че-бышевское подпространство ( Т -пространство).

В последние 20-25 лет широкое применение в различных областях математики нашли пространства более общие, чем Т -пространство, такие, как обобщенные чебкиевские ( 6Т -пространства), обобщенные слабо чебышевские (С^Т -пространства) и другие (см. работы Г.Я.Ярахмедова, Р.Джонс и Л.Карловитц, М.Б.Коробковой, Б.П.Черника и др.), причем активно развивается круг вопросов, связанный с задачей наилучшего приближения функций элементами таких подпространств. Но во всех этих работах рассматриваются задачи обычной аппроксимации (без ограничений).

Поэтому исследование вопросов наилучшего приближения функций элементами ОТ и йИ/Т -пространств при наличии дополнительных условий представляется актуальной задачей теоретического и практического значения.

Цель работы:

1) ввести в рассмотрение такие ограничения на аппроксимирующий аппарат из -пространства, которые бы позволили для соответствующих задач наилучшего приближения с ограничениями

в пространстве Ь°°(Х) получить аналога классических теорем о равномерном приближении на Х=[С1,£>] непрерывных функций элементами Т -пространства (в частности, теорем П.ЛЛебышева и Балле Пуссена) ;

2) усилить некоторые результаты, полученные для задачи аппрок симации с ограничениями в пространстве С(Х) ;

3) распространить на случай приближения в [/00, 2 £ р + °о, элементами 6Т и йИ/Т -пространств некоторые из результатов, установленных для задач наилучшего приближения функций с ограничениями и без ограничений элементами Т -пространства.

Научная новизна. В диссертации:

1) доказаны некоторые аналоги классических теорем Д.Л.Чебы-пева и Балле Пуссена для задач наилучшего приближения с ограничениями и без ограничений в Ь (X) элементами С?Т и -прс странств, дополняющие результаты Я.Л.Геронимуса, Г.Я.Ярахмедо-ва и др. ;

2) установлен комплексный аналог известного неравенства В.А.Маркова, являющийся и уточнением его;

3) доказана теорема об экстремальных свойствах заданного коэффициента полинома наилучшего приближения в Ь (X) элементами (?Т -пространства ;

4) улучшен результат С.Пашковского, относящийся к задаче аппроксимации с интерполяционными связями ;

5) получен алгоритм построения полинома наилучшего приближения с интегральными связями I ЬР(Х), Р?2.

Практическая ценность. Диссертация носит теоретический характер и относится к направлению фундаментальных исследований Практическая ценность работы заключается в возможности применения результатов исследования как в теории приближений, в частности, при решении задач наилучшего приближения с ограничениями в пространстве ЬР(Х), р- +сс , так и в вычислительной мате матике. Отдельные вопросы могут быть включены в спецкурсы по теории приближений.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 5 работ.

Структура. Диссертация состоит из введения, четырех глав, списка цитированной литературы из 77 наименования и занимает 112 страниц машинописного текста.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В первой главе приводятся некоторые необходимые для дальнейшего сведения из теории функций и вводятся понятия и обозначения, применяемые во всей работе. В частности, здесь определяются налагаемые на аппарат приближения ограничения, а также вводится понятие квази-альтернанса.

Пусть X - произвольное множество положительной меры Лебега на вещественной прямой. Обозначим через L (X) пространство L -измеримых существенно ограниченных вещественных функций3^, заданных на X , с нормой

IK0!! = vrai sup \Ш)\. осёХ

Говорят, что L -измеримая функция <Р(х) к, раз меняет знак на множестве £ с X » если найдется такое семейство

( измеримых множеств £ положительной меры, что (-l)Lf(.x)>0 (< СО-

при Xefii (.1 = 1.2,. ••, Ы).

Пространство На L-измеримых функций ?0(х), ..f^Cx), заданных на К , называется обобщенным чебышевским —Q Т -пространством, если выполняется условие

к) Функции и f(z) в L°°(X) считаются эквивалент-

ными, если mes X (?&) = 0.

кх) Символ используется для обозначения семейст-

ва непустых множеств /IjcX , для которых

Slip fjj £ inj (j-1,2,..., m-i).

<■ ¿-о ¿-о

и всякий полином из Нп меняет знак не более гь раз на множест ве X .

Вторая глава посвящена исследованию задач наилучшего приближения с ограничениями типа интегральных и супер-линейных связей

в Ь^М, +оо, Х=[й-Л1 , полиномами -простран-

ства.

В § I получены некоторые аналоги классических теорем П.Л.Че-бышева об альтернансе и Балле Пуссена об оценке наилучшего приближения для случая аппроксимации с интегральными связями в С°(Х)

Пусть Н есть

ат -пространство в , где X = [а,&']

(й'<а, 6<&) . Зафиксируем некоторое семейство Е отрезков = . причем а.бёЦ ек,

и пусть J = ^ . Обозначим через

их)

множество всех

в^с: X

функций , суммируемых на X и существенно ограниченных

на X.

Рассматривается задача наилучшего приближения с интегральными связями

Еп&£)- ^ 1Ш> Ы-РЛ=чМыр\№-рп&\ (О

РпсНпЦс)

фиксированной функции, (X) \ Нп , где Нп(1>£) -

множество полиномов, удовлетворяющих V интегральным связям

Ч ек

В частности,

ч

Справедлива5^

к) В автореферате сохраняется нумерация теорем и лемм, приведенная в диссертации.

Теорема 1.2. Для любой (функции £ (X) полином наилуч-

шего приближения в Hn(f,£) существует.

Говорят, что L -измеримая функция /(я) , определенная на А', меняет знак в точке ЗС0<^Х , если существуют такие числа £.,>0, ¿2>0 , что х)>0 (¿0) почти всюду на (xc-£1f £<>) {(Х)^0(>0) почти всюду на (Х<,,Х0+£Л) .причем /(Ф не эквивалентна нулю ни на одном таком интервале.

Лемма I.I. Пусть На является ВТ -пространством в L(X). Каковы бы ни были точки сс£еХ \ пи,

существует полином Нп(0,£), меняющий знак на X \ J в

точках Х[ (L=1,2,. ..,гп) и только в этих точках.

Эта лемма обобщает аналогичные результаты М.Г.Крейна, Р.Джонса и Л.Карловитца и других.

Для формулировки следующей теоремы введем некоторые обозначения и определения. _

Пусть /(ее)е L0(X)\H П f ГД8 Пг) бСТЬ ОТ -пространбт-

во в [Лх) . Предположим, что полиному Рп Сх) £ Иа (£>£■) , для

некоторого кеЫ и ¿¡{Otfe Hf-PJI) можно поставить в

соответствие семейство множеств »^J = { EiS, ^¡¿=1 >

подчиненное следующим условиям:

1) Etf^XU, me$EiS>0 = .....k);

2) (кх)-Р„СЯ)1>и-РаП на U Eis,

причем на EiS разность /(£)- Рп (рО не меняет знак и пусть Q(f-Pa; 6") - совокупность всех таких семейств при фиксированном & . Для семейства Q, (J—Pn; S) <= (f~Pn ; &•)

ПОЛОЖИМ { Ei , < I t = bPj. Cf~Pn >3) U И пусть E Y£f = Em ■ Определение I. Сигнум-вектором порядка • семейства

назовем вектор S = (6, ,&г,..., g^),

каздая компонента которого определяется следующим образом:

sign [{(х)-Рп(х)]

, если

I - » если £t- € б ;

Здесь = (-if SLÛfl [{(Х)-РП(Х)].

X s Em

Определение 2. Условимся говорить, что сигнум-вектор S-(<o1t бг, ■ • • > 6 k+v) ™еет 171 перемен знака, если существует т-его компонент >6j2, • ■ ■> Gjmt, ( ji ^ ¡г c ■ • • ^ jm+0 последо вательно противоположных знаков.

Определение 3. Будем■говорить, что разность Рп(х) им

ет к. -членный квази-альтернанс Чебышева на К , если для люб го Ô (0^6é II ft ||) найдется семейство множеств

; такое, что число перемен знака соответствующего сигнум-вектора, равно /r+^-f.

Точка ССо^Х называется ( + ) -экстремальной ( (-) -экстр мальной) точкой функции f(£)eL (X) , если при любом £>0

vrai sup {P(x)=ifi ( waLinf Ш)=~1?1).

[Xe-^CCc+S] хе[х0-6,х0+е]

Теорема 1.3. Пусть па есть GT -пространство в

/(х)е[,0(ХJ . Чтобы полином Рп*сх)е На Cf,£) был наименее уклоняющимся от функции -fix) на X » достаточно существова ния (a-ï>-<-2) -членного квази-альтернанса Чебышева. Это услови является и необходимым, если полином Р„*СХ) , наименее уклоня ющийся от ¡fix) . единствен и множество С7 не содержит экстремальных точек разности f(z) -Рл*(х).

В заключении вводится определение квази-альтернанса Балле Пуссена и доказывается следующая Теорема 1.4. Пусть И п. является

GT -пространством в

L°°(X) и {(X)eL0(X) . Если для некоторого Р„С^еНДе; разность iCxj-PftCx) имеет -членный квази-альтер

нанс Балле Пуссена на X , то Еа (f>? nùri (L~1,2,..., n-V+2.

Во втором параграфе в терминах обобщенного альтернанса уста новлены результаты, аналогачные доказанным в § I, для задачи наилучшего приближения в L (X) при наличии супер-линейных связей. ^ ^

Пусть На есть GT -пространство в L(X), ХСХ,

c^t-(^io>ciii> ■ • > (L=1,2,...,Vi Véa) - произвольны

векторы.

Определение 4. Линейные соотношения Lù:(Pn) = S <^¿¿(2/-

к-0

( i = i, 2,..., V) мезаду коэффициентами полинома

п

F' (ce) = S О-* ff: (X)eHn будем называть супер-линейными связями,

еслл всякий поляной Qn (х) яз tin • удовлетворяющий услогляи с0-L(Qn) =0(i=1,2,.- ,V) меняет знак ла X ла более п-\> раз.

В случае Т -пространства понятие супер-линейных связей было введено Я.Л.Героинмусом.

Легма' 2.1. Пусть Нп есть GT -пространство в L(X) . Тогда для любых точек œua:2,...,ocm(m^n-V-,a<x1<xz<...<xm<6) существует поляком Qn , удовлетворяющий условиям

(¿>i(Qn) = 0 = и меняющий знак па X в точках

ЗС£ (.i = i,2.....т)а только в этих точках.

Говорят, что функция

имеет обобщенный к. -членный альтернаяс на X . если для любого 0(0^6¿¡¡ffl) существует семейство мнолестз {Ejg, < } y=i , удовлетворяющее следующим условиям: DEjgCX, mes ЕО

2) |<Р(а:)| ? iftfll -S на множестве IjEjg-

3) C-lV?(X)>0 i<0) na J='(j .,/0-Пусть H

л является

GT -пространством в - множество всех полиномов яз Нп , удовлетворяющих V суперлинейным связям U>i (Pn) = ê[ (L = 1,2, ■■■, V) , где - заданные числа.

Рассматравается задача наилучшего приближения с супер-линейными связями

En({^)--lnf IhPnll (2)

PneHn(V)

фиксированной функции | (а:) е °°(Х) \ Нп на множестве X • Теорема 2.3. Пусть Ип является QT -пространством в Ц°(Х) •

f Cï) в L °°(X) • Чтобы полином Р„ (x)g Hn(V) был наименее уклоняющимся от функции j £сс) на X > достаточно существование обобщенного (n-V+2) -членного альтернанса. Это условие является и необходимым, если Рп * CZ) - единственный полином, наименее

уклоняющийся от §(х).

Эта теорема дополняет некоторые результаты С.Н.Бернттейна, Я.Л.Герошыуса, Г.Я.Ярахмедова.

Далее установлен аналог известной теоремы Балле Пуссена, а также получены некоторые другие результаты.

В § 3 установлен алгоритм построения полинома наилучшего приближения с интегральными связями в 1/(Х) (2 < р<

Пусть L p(i) (XJ, - пространство суммируемых на X в р -ой степени с весом вещественных функций, Hn<^ Lpci) (X) есть GT -пространство и у- (¿=1,2,...у) - заданные числа.

Для фиксированной функции |(эс)е L pez) i рассматривается задача отыскания полинома pa*(i)c (О такого, что

J РР) | f (х)- pn*(x)¡ pdcc « inf í pea) [ f (x)-p„ (x)| Pdx где X РпвНп(е)ЛГ

ек

?¡c= - фиксированные сегменты из X.

В случае р>2 установлен алгоритм построения полинома Рп*(х), основанный на методе Ньютона-Рафсона приближенного решения дифференциальных уравнений. При р = 2 для нахождения Р*(х) получена система линейных уравнений с отличным от нуля определителем и найдено соответствующее уклонение.

В случае, когда Нп является Т -пространством в С(X) и Н„ (í) - множество полиномов, удовлетворяющих интерполяционным связям Pft (2¡) = y¿,a;¿eX ■ ■ - ,v), алгоритм рассмотрен

И.Марущаком, а в классическом случае обычного наилучшего приближения - С.Кангом.

В третьей главе рассмотрены две экстремальные задачи, относящиеся к аппроксимации с ограничениями в пространствах С (В) и L (X) , и задача наилучшего синхронного приближения семейства функций в L°°(X).

В § I исследуется задача о максимуме модуля одного комплекс- г ного определителя.

Пусть 6с: (Г _ произвольное ограниченное замкнутое множество, Нп^ССВ) есть (fifi) -мерное подпространство с базисом Го (г), % (2), . . ., 4>п (2) и C¡ = (Си,Сц,. ■ ■, Ст) е <£ пИа=1,2,...у) -

- II -

заданные линейно независимые векторы. Рассматривается задача

Еп = inj |PJ, fffi, II = лш IPn(Z)l (з)

отыскания полинома Pn*(¿) , наименее уклоняющегося от нуля в классе полиномов Hn(V). удовлетворяющих V линейным связям

НаМ={Рп(2)еНп: «3£(Р„М£, 14,2,V^ft},

п

где ^ (Рл) = 2 <?ifc<2fc; bi + O - заданные числа.

т

Леша I.I. Пусть ß^ = 2(n-v)+3) - характеристиче-

ское множество задачи (3). Для того чтобы Pn*(z)£ Ип W) был полиномом, наименее уклоняющимся от нуля на В ff , необходимо и достаточно, чтобы для любого полинома Qn(Z)e Ня такого, что (М.2,...У), выполнялось неравенство

min £e{f>*(2fc)-Q/,

Эта леша аналогична известному критерию А.Н.Колмогорова л в случае одной линейной связи была получена В.С.Виденским. Для каждой системы (Р„ „ Рп 2> ■ ■ Рпу) полиномов ß = Рц ; (Z) -

п » > 'J 'J

=Z Н» рассмотрим определитель &=del Цс1);(Рп /-) ||. .

LtJ — 1

и пусть Ч>о={(РП)„Рп,г,--;РП1у):Д£0},Д;- определитель, полученный

из й заменой j -го его столбца столбцом £>п&г,. • С помощью леммы I.I доказывазтся Теорема I.I. Для любой системы полиномов • •

имеют место неравенства

-L min ReG(zk)± IReAl±4r max i&GöJl,

Ei Ii kirn En l^kAin

-L min max UmGizj),

£n Ea nkim

где - v

* ','=< (o)

Pn* (Z) - полином, наименее уклоняющийся от нуля на Вт . Теорема 1.2. В условиях теоремы I.I справедливо неравенство

7" ЦаЛ \2*jPn.j(*b)I.

сл léktm y=i '

Последнее неравенство является комплексным аналогом неравенства В.А.Маркова и уточнением ого.

В § 2 изучаются экстремальные свойства заданного коэффициента приближающих полиномов G Т -пространства. Найдены достаточные условия для того, чтобы полином,наименее уклоняющийся от заданной функции в метрике L M, давал наибольшее значение для функционала ¿Pfc (Pn.) = Iа к I • Il f - ft II .

В случае равномерной аппроксимации непрерывной функции полиномами Т -пространства аналогичный вопрос рассматривался В.Н.Буровым.

Последний параграф посвящен исследованию задачи наилучшего синхронного приближения семейства функций в L (X) полиномами СгИ/r -пространства.

Пространство называют обобщенным слабо чебышевским — GWT -пространством, если произвольная функция из меняет знак на X не более п. раз.

Пусть - {¿j(x)} -=1 - фиксированное сегейство попарно не эквивалентных на X функций из L°°(X) . Рассматривается задача наилучшего синхронного приближения

Еп(Ш)* Щ MX If/-ft II (4)

РлеНа lij'fc

семейства Ж полиномами (?И/Т -пространства Hn<=L (X). Определение 5. Будем говорить, что семейство (fiO*)}^

функций (Х)£ L (X) \ [Оj имеет обобщенный к -членный альтернате на X , если для любого & ( шах ЦÇjj Ц) существует семейство множеств {frgg.^jg-y > удовлетворяющее следующим условиям:

1) Вее^Х, mes (e=f,2,..., к);

2) для любого t {i = i,2, .... к) существует jg (féjgé/n-)

такое, что l^jll-^ > х ^Efs , причем знаки

^jt(Z) на множествах Е( t = ) последовательно

противоположны.

Теорема 3.1. Пусть НП есть GWT -пространство размерности

ОО - 13 -

гЖ в L (X) . Для того чтобы Pft*(x)e f/a был полиномом наилучшего синхронного приближения семейства функций Щ , достаточно, чтобы семейство {{¡(.Х)-Р^С*)] ^ имело обобщенный

чебышевский ( (1+2) -членный) альтернанс. Это условие является и необходимым, если р£ (X) - единственный полином наилучшего синхронного приближения для Ш

В заключении § 3 вводится понятие альтернанса Балле Пуссена для семейства функций и доказывается аналог теоремы Балле Пуссена.

Четвертая глава посвящена изучению задачи наилучшего приближения в С(В) при наличии интерполяционных связей.

В § I для случая приближения г/)е С(&), & = [a,&]*[C,d], .толиномами 2 О-ib 2' Ц k с интерполяцией в точках множества

К = = СХП^Ь, такого,

«о minllxj:;.

устанавливается связь между "скоростью" роста W и сходимостью к нулю последовательности { ЕЛгП. (f, <Яп)} наилучших приближений с интерполяционными связями.

Основной результат параграфа - следующая

Теорема 1.2. Для любой функции f(Z, С(й), для которой

En, n,(j) ^

выполняется соотношение £Л)П. (f» "У —*0(п—<- оо).

Здесь Ьпп

(f) -обычное наилучшее приближение /(Я,у), 0^oc<2j>, р= max {¿-a,d-cj..

В этом же параграфе получен одномерный аналог теоремы 1.2, который является усилением результата С.Пашковекого.

В § 2 рассмотрен тригонометрический случай задачи, изученной в предыдущем параграфе.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на семинаре по теории приближений в Математическом институте им.В.А.Стек-лова АН СССР, на семинаре по конструктивной теории функций в ЛГУ им. А.А.Дданова, а также неоднократно обсуждались на семинарах по конструктивной теории функций в ЛГПИ им. А.И.Герцена и в Дагестанском госуниверситете им. В.И.Ленина.

За критические замечания автор благодарит участников семина-

ра по теории приближений ШАН и особенно С.Б.Стечкпна.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1. Умалатов A.A. О комплексном аналоге одного неравенства В.А.Маркова. - В сб.: XXIX Герценовские чтения. Математика. -Л.: 1976, с. 60-63.

2. Умалатов A.A. 0 наилучшем приближении непрерывной функции полиномами, которые интерполируют ее в данных узлах. - В сб.: Функциональный анализ, теория функций и их приложения.-Махачкала; 1976, вып. 3,'ч. I, с. 138-143.

3. Умалатов A.A. К вопросу об аппроксимации в пространстве Ь°° [аЛ1 . Махачкала, 1983. -с. 17. -Рукопись представлена

Дагест. с.-х. ин-том. Деп. в ВИНИТИ 4 августа 1983, В 4321-83 Деп.

4. Умалатов A.A. 0 наилучшем L? -приближении функций элементами обобщенных чебышевских пространств. -В сб.: Функциональный анализ, теор!я функций и их приложения.-Махачкала; 1985,

с. I23-I3I.

5. Умалатов A.A. Об аппроксимации функций с ограничениями в LTß.ßJ элементами обобщенных чебышевских пространств. -Махачкала, 1986. -с. 19. -Рукопись представлена Дагест. с.-х. ин-том. Деп. в ШНИта 6 августа 1986, № 5597-В86.

подписано к. печати МОЧ.М, . ¿аказ Ж . Тирад /Л^

формат бумаги 60x84 1/16, Ц&печ.я. Бесплатно.

ПО - 3 "Ленуприздата".

191104 Ленинград, Литейный пр., дом № 51).