Интерполяция функциональных пространств классов Бесова и Лизоркина-Трибеля тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

На правах,рукописи

Крепко горский Всеволод Львович

ИНТЕРПОЛЯЦИЯ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ ПРОСТРАНСТВ КЛАССОВ БЕСОВА И ЛИЗОРКИНА-ТРИБЕЛЯ

01.01.01 - математический анализ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

003464276

Казань - 2009

003464276

На правах рукописи

Крепкогорскнй Всеволод Львович

ИНТЕРПОЛЯЦИЯ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ ПРОСТРАНСТВ КЛАССОВ БЕСОВА И ЛИЗОРКИНА-ТРИБЕЛЯ

01.01.01 - математический анализ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Казань-2009

Работа выполнена на кафедре математики Казанского высшего военного командного училища

Официальные оппоненты: доктор физ.-мат. наук, профессор

Бережной Евгений Иванович.

доктор физ.-мат. наук, профессор Нурсултанов Ерлан Даутбекович.

доктор физ.-мат. наук, профессор Новиков Игорь Яковлевич.

Ведущая организация Самарский государственный уни-

верситет

Защита состоится 26 марта 2009г. в 14 часов 30 минут на заседании специализированного совета Д 212.081.10 при Казанском государственном университете по адресу; г.Казань, ул.Профессора Нужина .1/37, ауд.324

С диссертацией можно ознакомиться е научной библиотеке Казанского гос. университета.

Автореферат разослан 12 февраля 2009г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Липачев Е.К.

к.ф.-м.н. доцент /у

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность исследования. Обычно для интерполяции в классах пространств Бесова В' или Лизоркина-Трибеля Р*р д используются вещественный метод Петре (К-метод) или комплексные методы Кальдеро-на. В книгах Трибеля1,2 или Берга и Лёфстрема3 можно найти 10 - 15 формул для интерполяции пространств В*р д и помощью К-метода Петре. Проверим, насколько они эффективны, на примере пары пространств Пространства Вр определяются равенством Вр Ис-

пользуя «классические» интерполяционные формулы мы можем получить описание пространств только в следующих частных случаях

а) Ро=Р\> б) Ц — Рв' гДе Рб ~ — + ■ Объединим в дальнейшем эти частные случаи в один случай, который будем называть «диагональным». В «диагональном» случае, применив интерполяционный функтор К-метода к паре пространств Бесова, мы снова получим пространство Бесова. На первых порах «диагональный» случай казался вполне достаточным для исследования интерполяционных свойств пространств Бесова и Лизоркина-Трибеля. Необходимость исследования общего «недиагонального» случая была продемонстрирована в работах В.В.Пеллера4 и В.В.Пеллера, С.В.Хрущева5, посвященных пространствам рациональной аппроксимации.

В качестве примера рассмотрим следующий результат В.В.Пеллера.

Пусть Т - единичная окружность на комтексной плоскости, и -множество всех рагщоиалъных функций с полюсами вне Т, сумма крапгно-стей полюсов которых (включая и полюс в бесконечности) не превосходит п. Пусть (1п{/,ВМО)—\х^\/ — 1р\ВМО{Т)\ обозначает расстояние от функции / & ВМО до подпространства Тогда

1 Трибель X. Теория интерполяции, функциональные пространства, дифференциальные операторы. / ХЛрибель-М.:Мпр, 1980.-664с

"Трибель X. Теория функциональных пространств. / Х.Трибель-М.: Мир, 1986.-447с. БергЙ., Лефстрем Й. Интерполяционные пространства. Введение / Й.Берг, ЙЛефстрем. -М.:Мир,1980,- 264 с.

4 Пеллер В.В. Описание операторов Ганкеля класса &р при р > 0, исследование скорости рациональной аппроксимации и другие приложения / В.В.Пеллгр// Матем сб. 1953. -Т.122. - С.481-510.

Пеллер В.В. Операторы Ганкеля. наилучшие приближения и стационарные гауссовские процессы / В.В.Пеллер, С.В.Хрущев IIУМН. - Т.37. - №1. - С.53-124.

\

\

'Гак как алпроксимационные свойства сохраняются при интерполяции, то интерполируя пространства рациональной аппроксимации можно получить новые пространства этого типа. Можно надеяться, что помощью интерполяции удастся расширить класс пространств рациональной аппроксимации. Заметим, что при интерполяции пространств в «диагональном» случае мы снова получим пространства этого же типа ^ = ВирРо . Это означает, что «диагональный» случай не дал

ничего нового по сравнению с исходным результатом. Чтобы расширить класс пространств рациональной аппроксимации с помощью интерполяции нужно рассмотреть именно общий «недиагональный» случай. В.В.Пеллером было получено описание интерполяционных пространств ~ (^^'(Т), В^р> (Т))в ч, которые также обладают аппроксимаци-

онными свойствами. Таким образом, В.В. Пеллер рассмотрел интерполяцию пространств Бесова в «недиагональном» случае. Дальнейший прогресс возможен в следующих направлениях: а) применить интерполяционные функторы более общего вида, чем {',')е б) получить более простое

описание для интерполяционной нормы пространства ^ (в работах

В.В.Пеллера эти нормы имеют очень громоздкое описание в терминах потенциалов Грина); в) наконец, можно рассмотреть аппроксимацию по норме не только пространства ВМО. Например, аппроксимацию по нормам Н изучал А.А.Пекарский6, а по норме Ьх- А.А.Пекарский7 и Ю.В.Нетрусов8.

Другая задача интерполяции, которая возникает при описании пространств рациональной аппроксимации, состоит в получении описания

пространств (вмо,в;\у (ьто,в;)еч> (с,в;\у Ий-

терполяциоиные пространства этого типа в диагональном случае изучали А.А.Пекарский7 и Ю.В.Нетрусов8.

Если к паре пространств Бесова или Лизоркина-Трибеля применить обычный функтор метода Петре, то в результате мы получим пространств одного из этих типов только в некоторых частных случаях. С другой стороны, как показано в работах И.Асекритовой, Н.Кругляка и др9. и

s Пекарский A.A. Классы аналитических функций, определенные наилучшими приближениями в / А.А.Пекарский // Матем. c6.-1985.-T.127.-Jtel.-C.3-39.

7 Пекарский A.A. Чебышевские рациональные приближения в круге, на окружности н на отрезке

/А.А.Пекарский // Матем.сб.-1987,— T.133. -№1. - C.S6-102.

в Нетрусов Ю.В. Нелинейная аппроксимация функций из пространств Бесова-Лоренца в равномерной метрике/ Ю.В.Нетрусон Н Записки научного семииара ЛОМИ. - 1993. - T.204.- C.6I-81. ' Asekritova I. Lions-Peetre reiteration formulas for triples and their applications / l.Asekritova, N.Krugljak, L.Maligranda, L. Nikolova, L - E.Persson // Studia Math. - 2001.-V.145.-P.219 -254.

К.Бекмаганбетова и Е.Нурсултанова10, по 1файней мере, расширенные классы пространств Врд^ и Fspq^ замкнуты относительно функторов многомерных методов. Это позволяет получить интерполяционные теоремы со слабыми условиями вида Т:Вр]т —вместо условий

Т : Bpi —> Bp . Такие условия проверяются, однако не для двух пар, а для трех и большего количества пар.

Проще всего интерполировать пространства Bsp(U) и Fpg(U) в случае, когда U = Rn или U = Т (единичная окружность на комплексной плоскости). Между тем пространства Бесова возникли как пространства следов в связи с теоремами вложения. Поэтому возникает проблема интерполяции пространств Бесова и Лизоркина-Трибеля на области. Здесь особенно интересно получить «внутреннее» описание интерполяционных норм, не использующее продолжений функции через границ}' области. Для «диагонального» случая такое описание получено О.В.Бесовым" 12

Цель работы состоит в том, чтобы реализовать вещественные интерполяционные методы в классах пространств Бесова и Лизоркина-Трибеля, в общем, в первую очередь «недиагональном» случае; получить интерполяционные теоремы с участием пространств Бесова, Ли-зоркина-Трибеля с одной стороны и пространств Гельдера-Зигмунда Gs или Lp, В МО, bmo, Lx, С ¡реализовать многомерные интерполяционные методы Спарра и покоординатной интерполяции в классах пространств гладких функций; проинтерполировать пространства Бесова на области, получить внутреннее описание интерполяционных норм; с помощью интерполяции расширить классы пространств рациональной аппроксимации по нормам ВМО, Ир, Lx Основные результаты диссертации

1) Решена задача интерполяции пространств Бесова Вр (i?„) и Лизоркина-Трибеля F* (Дл) в общем «недиагональном» случае

(теоремы 1.2.3, 1.3.2 и 1.5.2).

2) Получены интерполяционные утверждения для пространств Бесова с участием пространств ВМО, Гельдера-Зигмунда, (теорема 2.2.1 и ее следствия - теоремы 2.2.2/1, 2.2.2/2, 2.2.2/3).

3) В классах пространств Бесова и Лизоркина-Трибеля реализованы многомерные интерполяционные методы Спарра и «покоор-

10 BekmaganbetovK.A. Method of multiparameter interpolation and embedding theorems in Besov spaces Bp[0, 2яУ Bekmaganbetov K.A., Nursultanov E.D. // Analysis Math. - 1998. - V.24-P, 241 -263.

" Бесов O.B. Интерполяция и вложения функциональных пространств Bspq, Fp на области //Докл. РАН.-1997,- Т. 357 - №.-6.

12 Бесов О.В. Интерполяция пространств дифференцируемых функций на области // О.В.Бесоа//Тр. Матем. ин-та РАН имени Стеклова,-1997,-T.214.-С.59-82.

динатной» интерполяции. Получены интерполяционные теоремы, использующие слабые условия вида Г : Fpœoo и

Т : Bsp i ] -> (Теоремы 3.1.3/3; 3.1.3/4; 3.2.3/1; 3.2.3/2).

4) Решена проблема внутреннего описания интерполяционной нормы на области с сильным условием конуса (теорема 4.2.2/2).

5) Получены новые классы пространств рациональной аппроксимации (по норме ВМО теоремы 5.7.2/1; 5.7.2/2; 5.7.3/1; по норме H теорема 5.7.4 и по норме теорема 5.7.5).

Общая .методика выполнения исследований. Применяются методы теории функций и функционального анализа. Широко используются методы теории интерполяции операторов. Применяется теория банаховых функциональных структур и пространств рациональной аппроксимации.

Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми. В первой главе диссертации впервые были получены интерполяционные теоремы, описывающие пространства (Ж0 ,BS* ) = BÜ'k

\ ' ' /6,0 г^Ч

в «недиагонапьном» случае. Для частного случая интерполяции пространств аншгогичный результат был получен

В.В.Пеллером. В дальнейшем эти исследования были продолжены Бо-кингом13, который исследовал пространства ^В* (./?„),.

При этом он отметил, что в частном случае, когда qt = i = 0,1 его результаты совпадают с моими.

Во второй главе диссертации впервые получены интерполяционные теоремы для общего случая с участием пространств Бесова и Ли-зоркина-Трибеля с одной стороны и пространств Гельдера-Зигмунда Gs

или пространств Ьто, С, L^ с другой стороны.

В третьей главе диссертации метод Спарра был реализован в классе пространств Лизоркина-Трибеля при этом была доказана интерполяционная теорема, использующая слабые условия вида

Т'^рЧ 1) ^'оо(ео)- Близкий результат был получен в статье

И.Асекрнтовой, Н.Кругляка9 и др. опубликованной одновременно с соответствующей статьей автора.

В четвертой главе диссертации впервые были получены описания интерполяционных норм на области для «недиагонального» случая. При

" Böcking J. Night-diagonale interpolation von klassische Funktionenräumen/ J.Böcking // Dissertation, Rheinische Friedrich-Wilhelms-Universität Bonn, 1994.-269p.

6

этом были использованы конструкции норм предложенные

О.В.Бесовым14 и Освальдом15 для исходных пространств Вр (С) или

для пространств полученных с помощью интерполяции в «диагональном» случае.

В пятой главе основываясь на результатах В.В.Пеллера4, С.В.Хрущева5, А.А.Пекарского6'7 и ЮБ.Нетрусова8 с помощью интерполяции в «недиагоналы-юм» случае получены более широкие классы пространств рациональной аппроксимации, чем в перечисленных работах.

Теоретическая и практическая ценность. Полученные в диссертации результаты могут быть применены в теории аппроксимации, в теоремах вложения, теории дифференциальных операторов и дифференциальных уравнений.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на семинаре в МГУ под руководством действительного члена РАН профессора П.Л.Ульянова и члена-корреспондента РАН профессора Б.С.Кашина; на семинаре МИР АН под руководством действительного члена РАН С.М.Никольского; на семинаре ЛОМИ под руководством профессора В.В.Пеллера; на семинарах в Самарском и Воронежском университете, на семинаре в Институте математики и механики Уральского отделения РАН, на шести международных конференциях, в том числе на международной конференции «Функциональные пространства, теория приближений, нелинейный анализ» посвящений столетию С.М. Никольского (Москва 23 мая - 28 мая 2005г.)

Публикации. Основные работы автора изложены в работах автора [1-20]. Совместных работ нет.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из Введения и пяти глав, разделенных на 29 параграфа. Диссертация занимает 263 страницы компьютерного набора. Библиография содержит 148 наименования.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Глава 1 посвящена интерполяции пространств Бесова и Ли-

зоркина-Трибеля Содержание главы изложено в статьях автора

[2], [4], [6]. В первом параграфе даны основные определения и обозначения (см.1,2).

Назовем квазибанаховой ('банаховой') структурой квазибанохово (банахово) пространство измеримых функций Е, квазинорма (норма) которо-

14 Бесов О.В. Интерполяция пространств дифференцируемых функций на области /О.В. Бесов// Тр. Матем. ин-та РАН имени Стеклова,- 1997.-T.214.-C.59-82.

15 Oswald P. On Besov-Hardy-Sobolev spaces of analytic function in the unit disc / P.Oswald // Czechoslovak. Mathsm. J.- 19S3.- V.33 (108).- 3,- P. 408 - 426.

го обладает свойством монотонности: если /(х) и £(х) - измеримые функции, |/(х)|< почти всюду и g(x)eE, то /(х)еЕ и

1№ЫМ4

Пусть даны две квазинормировашше структуры Е(Х) и С(У), а также функция двух переменных /(х,у), X £ X, у £ У, Смешанной квазинормой_("нормой) назовем функционал |у|(7[.Е]|

= | ||/(х,|<?(У)||. Обозначим через 0[£] пространство со смешанной квазинормой (нормой).

Пару банаховых (квазибанаховых) пространств (Л0, Ах ) вложенных непрерывно в некоторое хаусдорфово ТВП А будем называть совместимой парой.

Для совместимой пары можно определить К-функционал Петре:

Для функций заданных на множестве (0, со) рассмотрим семейство квазинорм

(со , №

Л'-'И^1

, о

0<в<1,0<д<оо

и при q = оо

фе,соЫ'-= sup reg(t).

0<t<OQ

Для совместимой пары банаховых (квазибанаховых) пространств определим пространство

[Л>'Ле А>+А ||а\{Ai>A\q ■= [K{t,a,д,,a1 )) < ooJ.

Интерполяционное свойство. Рассмотрим две совместимые пары (Дз.Д) и (Bg.Bi). Пусть линейный оператор Т: А,- —> с нормами Mj = ¡Г|Д. / = ОД. Тогда оператор Т А)^ с

нормой -{B^^M^-Ml

Пространством Лоренца Lp q(U\w,fl) с весом Ш и мерой ¡1 при 0< p<oo,0<q<co назовем квазинормированную (банахову) структуру с квазинормой

\\f\LM(u, м)|| - J(tVp(f .u)\{tj)q ~ д<сю

I/А4)! ~ 5иР{¿УР(/' (0)•

11 (

Здесь знак {ё) означает невозрастающую перестановку равноизмеримую с £(х) относительно меры ц.

Обозначим через совокупность всех систем

V7 = {у./ (*)} .=0 с Я {К) >таких что эирр^о с{х: |х|<2}, ¡Й1рр¥>ус{х: 2;_! <|ж|<2у+,},;=1,2,3,...

для каждого мультииндекса а существует положительное число са, при котором 2;'а' (х)| < са для всех ] — 0,1,2,...и всех х € Кп и

;=о

Пространства Бесова В* и Лизоркпна-Трибеля Пусть —оо<£<оо,0<<7<оо и <р = {ср;^ <6^(^л)-(¡) Если 0 < р < оо, то

/ € ),\\/\в*м (Д„)|| = 1(К)

(п) Если О < р < оо,то

= /

СооУ.

<оо>.

Здесь 3 - оператор Фурье.

Пространства полу чаются при интерполяции пары пространств Ьр с весом, а пространства ВЦ* - при интерполяции пар пространств Бесова Вр.

Пространства Vpq. Пусть —со < s,k < оо, 0 < р < оо,

О < <7 < сх>. Рассмотрим пространство Лоренца, состоящее из последовательностей функций f(x,j) — fj(x),x € Rn, j = 0,1,2,.... Положим

L*:=LM(RnxZ+,2"'-k'>\2Jl»xmn).

Пространства BEpq. Пусть —оо < s,k < оо, 0 < р < оо, 0<#<ОО. Тогда

Щкч •= {/|/ € =||э-< оо}.

Пусть А и 5-два банаховых пространства. Оператор R^x[A,B)

называется ретракцией, если существует оператор Se -С(В,Л) такой,

что RS = I (тождественный оператор из ¿(В,5)). При этом оператор

S называется коретракцией. Пространство В называется ретрактом пространства А .

В параграфе 2 рассматривается интерполяция в классе пространств Lp с весом и в классе банаховых пространств Бесова Bp(Rn). При этом получены следующие результаты.

Теорема 1.2.2. Пусть hub- коэффициенты из уравнения прямой s~kx + b, проходящей через точки (\lp,,st), i — 0,1. Положим -оо < si < оо, 0 < р, < оо, 0 < д < 1,0 < q < оо, sf := s0(l — в) + st9 и Р = Рв> VPo-=(}-Q)IPt> + QIPv Тогда

Здесь Isр := £sp(Z+,2Ji,1>)- пространство £р с весом 2JS.

Теорема 1.2.3. Пусть — оо < s0,sl < оо, 0<6><1, —оо < <оо, 1 <p0,Pi <оо, р0 »с р]у 0<q<oo. Если s = ss и р = р„, то

(Bl(Rn),B^R„))0g = BL^.

В параграфе 1.3 изучается интерполяция в классе квазинормиро-ванных пространств Бесова. При этом доказана теорема 1.3.2, которая отличается от теоремы 1.2.3 только тем, что условие 1 < р0,р{ < оо заменено на 0 < р0,р1 < оо. Однако доказательство этой теоремы для квазинор-мированного случая существенно сложней чем 1.2.3.

В четвертом параграфе исследуются свойства интерполяционных

пространств BEp q. В частности, доказана теорема.

ю

Теорема 1.4.1. При 1<#<оо,1<р<оо, — оо<.?<оо, — оо<к<оо,\1ц-т\1ц=\, I/р-{-1/р' — I справедливы равенства

Здесь через Е] обозначено ассоциированное с банаховой структурой Е пространство.

В параграфе 1.5 получены интерполяционные теоремы для пространств Лизоркина-Трибеля. Сначала доказаны вложения.

Теорема 1.5.1. Пусть 1<р< со, 1<д<оо,—оо< 1с <со, к^О, -сю<5 <оо. Тогда

rs,k

с ^ с В£;100.

С помощью теоремы о реитерации отсюда получаем Теорема 1.5.2. Пусть 1 < р1 < со, 1 < д, < оо, р0 ^ рх, ^ ^ -оо<.?(<оо, / = 0,1; О<0<1 и 1/р = (1-6>)/р0 + 9/рх,

s = Q-6)s0 + 6sv * = -

Тогда

Ирх-\!р0

(¡7*0 А

^ Ро.<?о Р-Я'

В параграфе 1.6 рассматриваются вложения как между пространствами различных типов на , так и вложения между пространствами следов.

Представим пространство Ип как декартово произведение К = ж = {ж', х„}, = {дг,, д:2, ..., }. В этом

случае для функций из пространства Вр(Яп) имеют смысл следы

Дх',0),

-^(х',0),..., f^O)

охг. дх.

при

условии,

что

S > г + (11 р) ■ тах(0, (п —1)(1 /р — 1)). Определим на пространстве ЩкЛЮ оператор

ЩГ--

Дх',0), ^-(х',0),..., ~у(х',0) ох. ох„

Теорема 1.6.2. Если 0<р<оа,0<д<оои

5 > г + (1 / р) • шах(0, (и -1)(1 / р -1)),

то Зт! - ретракция, отображающая пространство

BLfJRJ

В шестом параграфе обсуждается следующая проблема. Теорема 1.5.2 утверждает, что при интерполяции пространств Лизоркина-Трибеля

^Мч'^М)^ результат совершенно не зависит от «первона-

чальных» значений параметров да,д1 лишь бы они принадлежали множеству [1,оо]. Возникает вопрос нельзя ли в этом равенстве заменить пространства Лизоркина-Трибеля на пространства Бесова В''р(р.

Ответ на этот вопрос отрицательный, так как получен контрпример, показывающий, что, вообще говоря, пространства ], В^ , )д ? и

Замечание. В своей диссертации Бокинг13 со ссылкой на автора диссертации формулирует теорему 1.2.3. Затем он описывает пространства — {.^Хда'^м^о.г- Здесь кх - угловой коэффициент прямой, проходящей через точки (1//>,,-5',) и кр- угловой коэффициент прямой, проходящей через точки (1/ (¡¡). В данном примере показано, что, вообще говоря ВЬ!-к^г) * .

Хорошо известная формула интерполяции

где зе = £0(1 — + и I/ре = (1 — 0)!рй +в!рх, соответствующая «диагональному» случаю, основана на простом факте: ВСрр = Вр независимо от значения к. Возникает вопрос: не совпадают ли пространства и , при кх^к2 в общем случае? К сожалению, точный ответ на этот вопрос мне неизвестен. Приведен пример, показывающий, что, по крайней мере, пространства и И**, могут быть различны при кх ^ кг.

В главе 2 рассматривается интерполяция с участием пространств Бесова и Лизоркина-Трибеля с параметром р — оо. Содержание главы изложено в статьях автора [9], [10]. Известно2, что пространства Бесова В^ совпадают с пространствами Гельдера-Зигмунда б*, пространство совпадает с пространством Ьто(Кп), (однородные пространства *£2(Д„) совпадают с ВМО(Яп)). Наконец, пространства Ь^, судя

по всему, не совпадают ни с одним из пространств Бесова или Лизоркина-Трибеля, однако в интерполяционных формулах это пространство ведет как пространство класса Е с параметрами 5 = 0 и р = оо.

Во второй главе доказаны интерполяционные теоремы с участием пространств Ъто, Гельдера О5, Ьр и Ь

Теорема 2.2.2/1. Пусть а) > О, л'0 ^ .У,, 0 < р < оо,0 < д < со, О<0<1, ¿ — ([ — ^Яц+вя^ 1/р = в/рх, к = р,(.У, — ^о), тогда

б) при дополнительных условиях 1 < < оо, 1 < < оо, справедливо равенство

Ю.В.Нетрусов'6 получил интерполяционную теорему для пространств В!р^г)(ЯП) и их(Яп) в «диагональном» случае.

А.А.Пекарский7 доказал следующее утверждение.

Теорема. Пусть V - единичная окружность на комплексной плоскости или отрезок [—1,1] и 0 < в < 1, Ир = (1 — 0)/рй > 1. Тогда

(в;;чи),с(иу)е,Р =

В главе 2 доказаны два близких утверждения для «недиагонального» случая.

Теорема 2.2.3/2. /Тусоть 0 < /?,, /?2 <1, 0 < < оо, 0 < Й < 1, 1/р = ГагЛ, =

Теорема 2.2.3/3. Дуешь п! р - п< < оо, $р<п, 0 < р < 1, 0<д<оо, 0<0< 1, ^ — (1 —Мр = (\-6)1 рй, тогда

(в%(11пиМкя = Щчг

В главе 3 изучается действие многомерных интерполяционных функторов в классах пространств Бесова и Лизоркина-Трибеля. Содержание главы изложено в статьях автора [7], [12], [14]. Многомерные интерполяционные методы Спарра, Фернандеса являются аналогами обычного «одномерного» метода Петре. Функторы эигх методов действуют не на пары «исходных» пространств, а на наборы из п или 2" пространств. Классы пространств Бесова и Лизоркина-Трибеля оказываются замкнутыми относительно этих функторов. Кроме того, рассматривается многомерный метод, функторы которого составлены из одномерных функторов Петре. Этот метод можно назвать методом «покоординатной» интерполяции. Реализация многомерных методов в конкретных классах функциональных пространств, встречает большие трудности. Так единственный пример реализации метода Фернандеса в классе пространств со смешанной нормой

" Нетрусов Ю.В. Интерполяция (вещественный метод) пространств гладких функций с пространством ограниченных функций. / Ю.В.Нетрусов//Докл. РАН. - 1992.-т.325,-№6. -С.1120-- 1123.

оказался неточен. Соответствующие контрпримеры были приведены рядом авторов. Например17.

На четверке пространств А1к,г = 0,1; к = 0,1 определим многомерный функтор

^е, д ((Д-, 1)4^0,1 ((Д>,о> >

в - (0, Д), й - (ъ,д2), 0 < 0,,в2 < 1,1 < Чх,Чг < оо.

Рассматривается расширенный класс пространств Бесова В* (г) с

нормой ¡/К,>(г)1=||/^,|г;[1„г]||.

Доказаны интерполяционные теоремы со слабыми условиями типа Т '• Врд (1) —► Вр • Показано, что такие условия слабее чем условия вида

Т'^Р^Т:в;,, В1100, Т:ВПр, -В£р>00.

Пусть преобразование У(х,у): К2 —► Л2 определено формулой

1Чх,У):=

'а, 0' д;

0 а2/ +

Л м

Теорема 3-1.2/3. Пусть О = (({,&,),() = (д},д2),0 < в},в2 <\, 1 < ?1,<?2 <оо, У(1/р^) = (1/ДД),Г(1/= 0/рЛ 1 < р;,р, < оо, - оо < < оо, / = 0,1, у = 0,1; л = (1 - 92)х0 + 92я,

Ир = (1 — 9^1 р0 + в, Iр,, . Тогда если

Т • В ' 1 -^ало)

■ В'1

Р, >°о,(оо)

(1.1)

то Г : В' ^ Если, кроме того, р < р, то Т \ Вр В5-.

Заметим, что одномерная теорема для пространств В* со слабыми условиями вида (1.1), вообще говоря, неверна. В п. 1.7.1 приведен пример оператора Г, который удовлетворяет слабым условиям при любых (р,я), р — р, 5 = — оо < 5 < +оо, 1 < р < оо, Л" — 1 / р, но оператор Г не

отображает пространство на ни при каком г £ (1,оо).

1 /г

17 Крепкогорский В.Л. Контрпримеры к теории операторов в пространствах со смешанной нормой / В.Л. Крепкогорский /7 Деп. в ВИНИТИ 30.06.1980. -№2963 - 80Деп.

Для любого множества С С К2 обозначим через С0 - внутренность выпуклой оболочки множества О. Пусть точка М имеет координаты (1/р,я). Обозначим пространство Бесова-через или Вр

через Вм.

Теорема 3.1.2/4. Пусть во всех точках , принадлежащих множеству С С(0, 1)х7?, выполняются слабые условия

^ • -^0,1,(1) ~~* ^Го,оо,(оо)'

Тогда для любой точки М множества С0 выполняются условия Т: ВП1,<,г,(ч>Г

Положим, что точка М имеет координаты^ 1/р,^), а точка УМ - (1 / Если, кроме того, р <р, то оператор

Т:ВМ->ВШ.

Известно, что вещественные интерполяционные методы плохо работают с билинейными операторами. Так из результатов Лионса и Петре18 следует, что из всех функторов (•,-)в , при О<0<1,1<^<оо, лишь

функторы интерполируют билинейные операторы. В отличие от од-

номерных интерполяционных функторов, многомерные функторы интерполируют билинейные операторы в общей ситуации.

Теорема 3.1.3(1). Если билинейный оператор }¥ отображает Д X Bj в пространство Е1 ^, (г = 0,1;} — 0,1), то }¥ отображает

Из этого утверждения можно сделать следующие выводы.

Следствие. Если линейный оператор Т : Д. (Р)^ Bj —* Е1 ^ то

Т : ВвгЛ1 ->

Второй параграф третьей главы посвящен реализации многомерного интерполяционного метода Спарра19 в классах пространств Бесова и Ли-зоркина-Трибеля.

Общая теория многомерных методов разработана достаточно глубоко, однако их применение вызывает значительные трудности.

18 Lions J.L. Sur une classe d'espaces d'interpolation / 3.L. Lions, I Peetre // lnst. Hautes Etudes Sci. Publ.Math. -1964.-V.19.-P.5-68.

"SparrG. Interpolation ofseveral Banachspaœs/G.SpaiT/"Ann. Mat. Pura Apll.-I976.- V.99.-P.247- 316.

При реализации обычного «одномерного» метода очень Полезной является теорема о реитерации.

Для метода Спарра известны три теоремы о реитерации (о стабильности по терминологии Спарра), в том числе очень полезные теоремы, связывающие функторы различной размерности. Однако, во всех этих теоремах содержится оговорка, что они справедливы только при условии выполнения в данном классе пространств равенства д.к — Ац . В отличие от метода Петре, справедливость этого равенства не гарантирована. Известны соответствующие контрпримеры20. Проверка условия А-в ч-к —А-в в конкретном классе пространств, обычно достаточно

сложно. Значительное продвижение в этом направлении достигнуто б статье И.Асекритовой и Н.Кругляка21, которые показали, что равенство Ащ = Лр ^ выполняется в семействах банаховых структур и их реграк-

тов. А пространства Бесова и Лизоркина-Трибеля как раз являются такими ретракгами. Это позволило им в дальнейшем реализовать вместе с группой авторов22 метод Спарра в классе пространств Бесова. Одновременно близкие результаты были получены мною.

Дадим краткое описание метода Спарра. Пусть А — {Аъ,А^...ъАп}, где А,- банаховы пространства, вложенные в одно

общее хаусдорфово ТВП. Для запишем

К(Т, а, Л) = М {¿о !<з0 КII + 1| +... + *„ \ая \А„ ||}, где

а = а04-а, +... + а„.

Пусть Н'1 - множество всех векторов (Л0,Л],...,ЛЛ), для которых = А( > 0. Допустим, что 9 € Я" и 1 < д < оо, тогда определим норму Ф^ ^ с помощью равенства

dt,

1 /д

л 1

Пространство

dt "'я

" L

ае±АЛа(А)

ы>

10 Span G. Interpolation of weighted Lp - spaces / G.Sparr /fStudiaMath.-1978.-V.62.-P.229 -271.

21 Асекритова И.Л. 05 эквивалентности К к J -методов для (п +1) -наборов в банаховых пространствах/ И. ААсекритова, Н.Я.Кругляк Н Studia math. - 1997. - V.122. -- No.2.- Р.99 -116.

22 Asekritova I. X-ions-Pectie reiteration formulas for triples and applications /1. Asekritova, N. Iinigljak, L.Maligranda, L.Niko!ova, L-E.Persson // Stadia Math. - 2001 -V. 145,- P.219 - 254.

Пространства обладают интерполяционными свойствами,

аналогичными свойствам обычных пространств A9 lj Петре.

Для пространств Бесова Bsp q (q) доказана интерполяционная теорема. Теорема 3.2.3/1. Пусть точки Mj(l/ppSj),j — 0,\,...,т;т > 2 образуют выпуклый многоугольник. Предположим, что никакие три из них не лежат на одной прямой и 1 < Pj < со, 1 < ^ < оо,

А Тогда

Пусть точка М имеет координаты (l / p,s). Для наглядности будем обозначать через пространство

Теперь можно сформулировать интерполяционную теорему для пространств Бесова, использующую слабые условия вида

Теорема 3.2.3/2. Пусть заданы два невырожденных треугольника ЛМД1/Pj,Sj), ANj(1 /'гj,иj) и вектор в G . Для линейного оператора Т выполняются слабгае условияТ: F(m\\q) —* Fqi \co,(oa)>J =

l/p=H2jJj/pp 's=Yl)jjs)>l/r=Y,)jj,rj"

mop T: Bsp q ^ j —v B"q . Если, кроме того, выполняется условие г>р, то оператор Т '. Bsp —> В".

Глава 4 посвящена описанию интерполяции пространств Бесова и Лизоркина-Трибеля на области. Содержание главы изложено в статьях автора [11], [13], [15].

Интерполяционные пространства изучались в главе 1. При

этом было получено описание интерполяционных пространств в терминах «декомпозиционных» норм, т.е. норм, использующих свертки с фиксированной последовательностью функций {v5/} 0 G Ф • Для пространств на

Rn это естественный тип норм, удобный с точки зрения интерполяции. Однако, при переходе к пространствам на областях «хорошие» описания норм этого типа неизвестны даже для исходных пространств Bp(G). Более перспективными для перехода к нормам на области выглядят нормы, использующие дифференциально-разностные конструкции. В данной главе предлагается несколько описаний таких норм.

17

Заметим, что интерполяционные результаты, сформулированные для пространств В 'р (Л„) легко перенести на случай пространств Бесова на

области В* (С), если определить норму • р*((?) с помощью равенства

УК(С)

inf.

«ÇPr /

g , где Pr f- множество всевозможных

продолжений функции / на Кп. Однако для пространств на области желательно получить «внутреннее» описание нормы. Иными словами такое описание, в котором не используются никакие продолжения функций за границу области. В «диагональном» случае первые результаты такого типа для пространств Соболева были получены Лионсом и Мадженесом23 и Мадженесом24. Для многомерного анизотропного и «диагонального» случая известны результаты О.В.Бесова25'26.

В данной главе получено внутреннее описание интерполяционной нормы в «недиагональном» случае.

Для пространств Бесова и Лизоркина-Трибеля известно несколько вариантов дифференциально-разностных норм. Используя их в качестве «базовых» получим несколько соответствующих вариантов интерполяционных норм.

В параграфе 4.1 получено описание интерполяционной нормы (/?„) «на базе» нормы пространства Ррд(Кп) из книги Трибеля2 (с.132). Обозначим через и)^(г,х,£) функдионал, определенный равенством и)^(г,х,£) := зир|ркг |д;/|. Доказана интерполяционная теорема для

пространств BV'p ^R^) с нормой

+

где 0 < 8 < ОО.

В параграфе 4.2 доказана интерполяционная теорема для пространств Бесова на области с сильным условием конуса. В качестве базовой, используется конструкция нормы для пространств Бесова на области,

23 Lions J.L. Problèmes and limites non homogenes /J.L. Lions, H.Magenes // Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa, 1961-V. 15.-P.39-Î01.

24 Magenes H. Интерполяционные пространства и уравнения в чапиых производных / E.Magenes // УМН, - 1966,- »2,- С. 169 -218.

м Бесов О.В. О пространствах Соболева-Луивилля и Лизоркина-Трибеля на области/ О.В.Бесов // Тр. Матем.

ин-та РАН имени Стеклова,- 1990.-T.192.-C.20 -34.

26 Бесов О.В. Интерполяция пространств дифференцируемых функций на области/О.В.Бесов//Тр. Матем.

ин-та РАН имени Стеклова,- 1997,- T.214 - С.59 - 82.

рассмотренная в статье17. Получено внутреннее описание интерполяционной нормы. При этом используются обозначения и определения статьи24 , хотя в этой статье рассматривается анизотропный случай, а здесь изотропный.

Обозначим через Q0 «двоичный» куб . Пусть

х,у,а&Я„, И Е ЛХ,Е С С С /?„ и т— целое положительное число. Положим

АГ(А,£)/(*) "й .,,/(* + ]У)

при [х,х-\-тке']С.Е; и Л* (й, £)/(*):= 0 при [х,х + тке'](£Е, где е'- единичный вектор, ¡-ая координата которого равна 1, а остальные 0.

При Г >0 рассмотрим множество С, = |х х + ¿20 Сб} и при т >0 функционал

Доказана интерполяционная теорема с «внутренней» нормой.

ПространствоВЬ3^ (С). . Пусть 1 < р < оо, 1 < < оо

— ос» < Л'Д < оо. Обозначим через ВИ* пространство функций с нормой

+Е

Л г

Конус. Для любого г € 7?н и чисел 0 < ? < Г,0 < 50 назовем конусом множество вида

х+У(б0) = х+ и [гг+гб^ав.

0«<Г

-Условия конуса. Область О С К„ назовем областью с усиленным условием конуса, если существует конечное число Аг открытых множеств

Я&)= и И'+ад). ^ е ля, о< ¿0 < 1, 0 < Т < оо

0</<Г

таких, что при некотором е > 0

Бесов О.В. О пространствах Соболева-Луивилля и Лизоркинз-Трибеля на области/ О.В.Бесоп!! Тр. Мате«, ин-та РАН имени Стеклова,- 1990.- Т.192,- С.20 - 34.

1--1 »/-=1

где

зМ

в1;' = {х: X € б,, (1151 (х,ас, \ <9(7) > е}. Если же это равенство справедливо с С';^ вместо где

= {х: х € в„,Ш(х,в\ в,) > е],

то б назовем областью с сильным условием конуса

Теорема 4.2.2/2. Пусть 1 < р. < оо, 0 < < оо, г = ОД; 0 < в < 1, | | _ 0 0

1 < Ч < оо, — =--1--, £ = (1 — + и

Р Ро Р\

Рй-Рх

коэффициенты га уравнения прямой .у = /с • (1 / р^ + Ь, проходящей через точки О, С - область с сильным условием конуса. Тогда

нормой

В параграфе 4.3 рассматриваются интерполяционные пространства аналитических функций на окружности с дифференциально-разностной нормой.

Пусть Т = £ С: Щ = 1| - единичная окружность на комплексной плоскости; £> = € С : ¡г| < !]■- единичный открытый круг.

с

- пространство аналитических на Т функций:

/ = IV": ='°(п° )>"'- "'= ■"(Я <100

л>0 /

Любая функция из В+ имеет единственное продолжение на I).

Рассмотрим два случая а) 0 < < 1,1 < р{ < оо; и б) — I < $1 < О, 1 < р, < оо.

Интерполяционное пространство Бесова А^'^ в случае а) определим как пространство всех аналитических на Т функций, для которых

/'€1м((1-И),-\(1-|2|)"-1 -т2)Пв/ с норкой

/

Р,Ч

г

Р:1

В случае б) положим с нормой

гк

/

р>я

/

д(1-иг,(1-и)"

-к-1

■т,

Рассмотрим интерполяционную теорему для пространств Бесова Ар.

Теорема 4.3.4/1. Пусть для чисел р,, г = 0,1 выполняются либо условие а) 0 < 5, < 1,1 < р1 <оо. либо б) — 1 <<0, 1<р.<оо. Кроме того, пусть 0 <в <1,1 <д <оо, 1 / р = (1 — &)/р0 + 9/ре. Тогда

. Л**)

лр.Ч '

В результате мы получили самое простое описание интерполяционной нормы. К сожалению, оно годится только для пространств аналитических функций и специального случая пространств на окружности.

В главе 5 рассматриваются пространства рациональной аппроксимации по нормам пространств ВМО, Нр и Ь^. Содержание главы изложено

в статьях автора [1], [3], [5], [8], [16], [17], [18]. Основная задача главы - с помощью интерполяции получить как можно более широкие классы пространств рациональной аппроксимации. В случае аппроксимации по нормам Нр и используется традиционная версия К-метода с функторами

(•»•)9 • а при аппроксимации по норме ВМО - более общие варианты вещественного метода Петре: К-метод с функциональным параметром и К-метод с симметричным параметром.

В параграфе 5.1 даются основные определения и вводятся обозначения. Рассматриваются различные варианты норм пространств Бесова на окружности. В том числе дано определение нормы пространств Бесова на языке потенциалов Грина и с помощью последовательности сверток.

Пространства Бесова на окружности. Для любого целого п определим на Т функции 1¥п, п £ Ъ.

Пусть п> 0. Тогда положим, что Шп(к) = 0, если Пусть также Г„(2И) = 1 и Г?,,(к) - линейная функция

па промежутках [2" 1,2" !У=1У~ И, наконец, К

•1 + 2.

Если п < 0, то

положим

Пространством Бесова Вр(Т}, — оо<5<оо, 1 < р < оо, назовем класс функций / € таких, что

{пег

Мр

<оо.

Очевидно, |/|в;|(1) =

ка двух функций f =1= g определяется равенством 00 л \

У—-оо

Определение пространств Бесова на языке потенциалов Грина.

Пусть Е - одна из следующих областей на комплексной плоскости: ={г€С:1/2<ф|<2} н Е2 = {геС: 1 <<2}. Для любой банаховой решетки через 1(Е,ш,р) обозначим пространство Ьс весом и>, состоящее из функций, заданных на Е с мерой ¡1. Пусть при любом £ € С

/^НМ'

еэзБир \<р(\)\. 1М<Ж)/2'

Определим операторы

. Здесь сверт-

81' 2

д/ , Ж дх ду

С-т ■■х + гу;

(1-\

е гт^т ^

где £ - целое число, I > Г - такая функция класса С" ([1, + оо ))

[1,3/2]"

1, вирр^с[1,2].

При 0 < р < оо, — оо < .у < оо рассмотрим классы функций

С нормой ¡¡^11 — (</?),

Г- -и-\\-\1р

. При

Е = ЕХ обозначим

такой класс через £р, а при Е = Е2- через Ер.

Пусть р > О, Л" > тах(0,1 / р — 1). Пространство Вр (Г) определим с помощью оператора О как множество образов Вр (Г) = =

Аналогично, пространство аналитических функций Ар(Т) определим как множество образов Ар (Т) = 01?р = .'Э^з £ Ър: / =

В параграфе 5.2 рассматривается интерполяция следующих пар пространств:

a) пары идеальных пространств (банаховых структур)

b) пары пространств Бесова В* (Т) или А' (Т);

Рассмотрим соответствующие интерполяционные пространства.

Пространство Ир . Пусть 0 < < оо, — оо < я, к <оо. Обозначим через 1?р (£) пространство Лоренца с весом определенные с помошыо равенства

Пространство (Е^ определим как множество с нормой

ЬК(4=

Множество Е совпадает с одним из множеств Е, или Е2, множи-

тель

Пространства ВЬ!р (Г) п

О < Р, Ц < оо, — оо < 5,к < оо.

Через ВЬ'^(Т) (ЛП^Г)) обозначим

странство Бесова (интерполяционное пространство Бесова аналитических функций) с нормой (квазинормой, если р < 1 или д < 1):

АГ*Л{Т). Пусть

интерполяционное про-

ывь\

IV„ * СП

п Т

1рч1Тх2,2[1~к'р]\2кпрхт

Здесь функции Цгп определены в п.5.1.2, при определении пространства Бесова на окружности; - вес, и - атомическая мера на 2 равная

единице на любом множестве, состоящем из одного элемента. Если в этом определении заменить множество

на

(О

2+ = {0,1,2,...} мы получим определение нормы щЛЬ'

Другой вариант интерполяционных норм получается при использовании потенциалов Грина.

В этом случае нормы (квазинормы) определяются равенствами:

И

й

Н7-^)!»1И

А

Получена интерполяционная теорема для пространств Бесова на ок-

ружности с интерполяционными функторами вида (•,•)

реме

■\вп

1.2.3.

0)

и

3,4

доказывается,

аналогичная тео-что нормы

Р.Ч

Фактически здесь

¡(2)

являются нормами интерполяционного простран

ства.

Теорема 5.2.2. Для любых чисел 1 < рй,рх < оо; 0 < в < I, 1<#<00 и р такого, что \! р = (1 — + 61 Р\\

5 = (1 — 0)зо + имеет место равенство

РЛ'

При этом в пространстве используется норма .

Пусть 0 < < оо, 0 < < оо, 0 < в < 1, 1 в „ „ , л Р Ро Р\

Теорема 5.3.2.

—оо < к,$ < ос, з{ — к1 р{Л-Ъ

> гпах(0,—— 1), = к I р( + Ь - прямая, проходящая через точки Р,

(1 г = 0,1. Тогда

где АЬ^{Т) :

г-\ЛА#

й

<ооК

Й

В параграфе 5.4. дано описание интерполяционных методов, являющихся вариантами К-метода Петре. Это К-метод с симметричным параметром28 и К-метод с функциональным параметром29,30.

К-метод с функциональным параметром.

Пусть В - класс непрерывных функций /:(0, оо)—>(0, оо), для которых f (l) — 1 и величина

7(f) := sup/(¿О/Я*)«» V<e( 0,00).

s>0

Для функций из класса В определим индексы Бойда )<'<=» log / l-^+OD Jog/

■ J 0<K1 log/ t-0 log/

которые удовлетворяют неравенствам25: —оо < ¡3j < аь < +оо.

Для функции / £ В определим интерполяционное пространство

= [ае А, + 4 .-¡а^ = )//(0*'"'К|| <

где 0 < д < оо.

В параграфе 5.5 К-метод с функциональным параметром реализуется в классах банаховых структур. Рассматриваются следующие структуры. Пространства Лоренца свесом Для функции

ФеВ

и 0 < С[ < -}-оо определим пространство Лоренца Аф как множество измеримых функций с конечной квазинормой

<2 Л*

а Bennst С. Banach Function Spaces and Interpolation Methods. ¡.The Abstract Theory. /C.Bennet И Journal of functional analysis.-1974.- V.l7 - P.409 - 440.

29 Калугина Т.Ф, Интерполяция банаховых пространств с функциональным параметром. Теорема реите-рацин/Т.Ф.Калугина//Вестн. Моск. ун-та. Сер. матем., механ.- 1975.—Л». 6.-C.6S-77. j0 Mcrucci С. Applications of interpolation with a function parameter to Lorentz, Sobolev and Besov spaces / .Merucci// Lect Notes Math.- 1984 - '1070,- P.183 -201.

где (й)^ - равноизмеримая перестановка функции а относительно меры [I, а функция и является весом.

Пространства Ь^'^ (Е^. Норму (квазинорму) пространства (Е) определим с помощью равенства

где, как и раньше, множество Е может иметь вид Е] = |1/2 < < 2}

птЕг ={1<[г]<2| и 0<<?<оо, — оо<Ь,к<оо.

Пространства В.!.^(Е) и Пусть 0<д < оо,

— оо < Ь,к < оо. Тогда

(Е) е Д1: \\В1^\\ = ¡у^ (Е) || < оо}

при Е = Е1 1/2<|г|<2} и

(Е) € 2)': = Цг^ (Я)|| < оо}

при Е = Е2 ={2€С:1<|г|<2}.

Для пространств Пр доказана интерполяционная теорема. Теорема 5.4.2. Пусть функция / Е В и

0<(37 <ау <1,0<<?<оо, —оо<50,51 <оо,0<р0,р{ <оо;точки

(1/ лежит на прямой с уравнением 3 = ка + Ь и, наконец, функция

Щ-,

t

1/ро

Тогда

(Е° I/1 I = I

V Л>'

(*.ь)

'1V; '

Пусть функция

где о.у и /3^ - индексы Бойда функции / £ В.

Рассмотрим пространства последовательностей. Ф 6В, -оо</Зф < «ф < оо.

Обозначим через Л| пространство последовательностей (а„ , для которых конечны квазинормы

при с} < оо или

п

Здесь {а*п невозрастающая перестановка последовательности (а

Для пространств последовательностей доказана интерполяционная теорема.

Теорема 5.4.3./1. Пусть функция. 0</Зф <оо, Ф 6 В, 0< Рй,Р1,Ч<00, р0</?рФ(^/,/р°/ф(/'/ро~1/А). Тогда ФёВ и

В следующей теореме дано описание пространств последовательностей, которые могут быть получены с помощью интерполяции из пары

пространств (гпЛРХ

Теорема 5.4.3/2. Если функция Ф £ В, < а$ < +оо, 0<а <оо, то существуют такие числа р0,р,б(0,оо) и функция / е З, чото

В параграфе 5.5 рассматривается интерполяция с помощью К-метода с симметричным параметром (метод Беннетта). К-метод с симметричным параметром.

к-метод. Допустим, что для данной пары пространств (Х1,Х2) их пересечение А^р|Х2 всюду плотно в каждом из пространств X,-. В этом случае для любого элемента / е X, + Х2 существует единственная фушо

I

ция к (г;/), для которой £(/;/)= |к(я;/)£&.

о

Определение. Если (Х],Х2)- банахова пара и а- симметричная норма, обозначим как (Х\,Х2)а.к Ве1т пространство элементов / е X] + Х2 для которых конечна норма

Пространства последовательностей.

Для симметричной нормы а определим пространство числовых последовательностей ¿а.Вет с нормой

со

\,И=0

Пространства 4т,Пусть а - симметричная норма и

—оо<к,Ъ< оо. Пространство ¿^Вггт определим как банахову структуру с нормой

<р

а,к -,Вепп

■ а

)

Пространства и Пусть -оо < Ь,к < оо. Тогда

BL\ и

SÄ» == 6 D': = (4)

<оо

^L {ф € D': = М < 00

Для пространств доказана интерполяционная теорема.

В параграфе 5.6 доказаны интерполяционные теоремы для пространств Бесова на окружности, полученные с помощью К-метода с симметричным параметром3' и К-метода с функциональным параметром.

Для К-метода с функциональным параметром.

Теорема 5.6.2. Для любой функции /б В, у которой О < Ру < а у < 1, 1 < д < оо, 1 < р0,рх < оо, 1! р.1 — 1 < ^ < оо,

Рп ^ рх, / = 0,1. Тогда

а)

Vip

b)h

■(WO

'Ф ,q

Здесь Ф(/) = //(/(Д| й)/АД) к я Ъ- коэффициенты из уравнения прямой 5 = к (1 / р) + Ъ, проходящей через точки (1 / ), / = 0,1.

31 Berrnet С. Banach Function Spaces and Interpolation Methods. l.The Abstract Theoiy. / C.Bennet II Journal of functional analysis.-l 974,- V.l 7P.409 - 440.

В параграфе 5.7. рассматриваются пространства рациональной аппроксимации на единичной окружности комплексной плоскости по нормам ВМО, H р и Lx. Для норм пространства В МО используются результаты В.В.Пеллера4 и В.В.Пеллера, С.В.Хрущева5. В этих работах был получен сравнительно узкий класс пространств рациональной аппроксимации, который затем был расширен с помощью интерполяции. При этом использовался К-метод в своей традиционной версии с функторами (v)e ■ С помощью более общих интерполяционных методов в диссертации получен еще более широкий класс пространств рациональной аппроксимации. Для аппроксимации по нормам H и ограничимся функторами (У)ду

Пространства ВМО н BMQA. Функция

<р € вмо(т) & \р\вмо(т)\ .•= (0)|

Подпространство всех аналитических функций из ВМО будем обозначать через ВМОА.

Через обозначим множество рациональных функций на С с полюсами вне круга clos D :=jz 6 С : |z| < l|, сумма кратностей которых (с

учетом точки оо не превосходит п). Для функции / S ВМОА(Т) положим

гп (/)= distBMOA (/, 3î„ ).

Аналогично, через Rn обозначим множество рациональных функций на С с полюсами вне окружности Т, сумма кратностей которых (с учетом точки оо ) не превосходит п.

Для функции / еВМО(Т) положим

Определение. Будем говорить, что пространство X С ВМО (ХА С ВМОА) допускает описание в терминах рациональной аппроксимации в норме ВМО{ВМОА), если существует такое идеальное пространство последовательностей t, что f G. X {dn (/)} >Q 6 i

f 6 XA |rn (/)} £ t j. Будем называть такие пространства X R

- пространствами (такие пространства ХА 5R пространствами).

В указанных выше статьях, В.В.Пеллером было показано что/S Врр <^*{â„(/)}n>0 е ^ р- Затем, интерполируя вдоль прямой

.ч — \/ р, было получено описание пространств рациональной аппроксимации вр^, для которых справедливо следующее утверждение.

Теорема (В.В.Пеллер, С.В.Хрущев) Пусть

/ еВМО, 0< р<оо; 0<А<оо,0<<7<+оо. Тогда

»ЯШ)'<} + »)''"

п>0

Применяя интерполяцию с помощью К-метода с функциональным или симметричным параметром доказаны следующие теоремы.

Теорема 5.7.2/1 Пространство А1при Ф € В, 0 < < а$ < 1

является пространством рациональной аппроксимации. При этом функция

V € ¿4;? ^ {г„ {ч>, ВМОА)} е Л|.

Теорема 5.7.2/2. Пусть (Х- симметричная норма с индексами О < /? < а < 1. Пространство АВегт является пространством рациональной аппроксимации. При этом (р € Вепп € К-хвгтг

Для того чтобы сформулировать аналогичные теоремы для пространств ВЬ дадим несколько определений.

Норму Г идеального пространства назовем квазнсиммет-

ричной, если существует симметричная норма а, эквивалентная Г на классе М(Х) невозрастающих функций, т.е. для функции / €М норма

Г(/) < оо (7 (/) < оо и существует число С > О такое, что

с-Ц/)<г(/)<с<7(/).

Так как функции к(/;/) и - невозрастающие, то в опре-

делениях к и К- методов симметричную норму а можно заменить на квазисимметричную норму Г, часто более простую.

Теорема 5.7.3/1. Пусть - квазисимметричная норма, обладающая свойством Фату, с индексами 0 < /3 < а < 1. Тогда ВЬ^Х„„ есть И -пространство и

/6ы^Ь <=> </„(/)={<1ЫВШ(/,к)}п2о ее^.

В параграфе 5.8 рассматриваются - пространства рациональной аппроксимации по норме пространства Харди Н . Пусть А - пространство

всех аналитических на Z3 = : |z| < 1 j. Через Нр, при 0 < р< оо, обозначим пространство

Нр := (/ 6 А: 1 /|Я II = sup ||/(r)|zJ < оо),

I I I 11 0<r<l" " J

где | \Lp jj - Lp норма на окружности T — jz: |z| = 1 j.

Для функции f £ Hp и целого и положительного числа п обозначим через rn (f, Нр j приближение функции f в пространстве Нр рациональными функциями степени не выше п — 1.

При а>0,0< p,q< оо обозначим через Rap q аппроксимацион-ное пространство функций f £ Нр с квазинормой

,]=о

1 /?

/к

Как показал А.А.Пекарский3, пространство рациональной аппроксимации Щ,,<г совпадает с пространством А° при а, сг > 0,1</><оо и

¿7 = (а + /Г1) . Можно заметить, что этот результат характеризует пространства не при любом значении второго нижнего индекса

д € (0,оо|, а только при условии д = <т = (а + ) • Используя интерполяцию, от этого ограничения удалось отказаться.

Теорема 5.8. Пусть 0 < а,д < оо,1 < р < оо, а — Мо — Пр. Тогда

В параграфе 5.9 рассматриваются пространства рациональной аппроксимации по нормеХ^. Рассмотрим числа

Аппроксимационным пространством (а >0,0<д<оо) назовем множество непрерывных на Т функций, для которых конечны квазинормы

/К, (Т)\| = Ц/|4, (Г)1 + E(2ia • dv (f'T)J

при g^oo и

Vq

1/КооИ| = ¡/^ (Г)1 + 8ир2% {/,Т)

]

В статье А.А.Пекарского7 показано, что КоМа = Виа> («>!)•

Здесь получено описание аппроксимационных пространств Д," д,

при условии Ч = \/а, т.е. для данного значения а. мы получаем ответ только при одном значении (]. Этот результат можно усилить с помощью интерполяции

Теорема 5.9. Если 0 < с* < 1,0 < < оо, то К^ = Я^/«,« • Таким образом, мы получили ответ 1три произвольном значении ц. Полученные резулг.таты можно упростить с помощью описаний интерполяционных норм полученных в параграфе 4.3. Это является содержанием параграфа 5.10.

Теорема 5.10/1. Пусть 1< а < оо, 0 < а < 1 — На, 1 < <7 < оо. Тогда аналитическая функция / € принадлежит аппроксимационно-му пространству = тогда и только тогда, когда

Здесь производная берется от продолжения функции f на открытый круг В.

Рассмотрим пространства рациональной аппроксимации по норме ВМО. Из результатов В.В.Пеллера32'3 (Теор. А) следует, что

тогда и только тогда, когда / € ^ , где

1/р = (1-0)/ро+0/д.

Теорема 5.10/2. Пусть 1 < р < оо,1 < ^ < оо,/ - аналитическая функция. Последовательность £р(!11,р~и'11 тогда и только

тогда, когда /е или <аЬрд{о,(\-\г\),(\-Щ'2 т^.

п Пеллер В.В. Операторы Ганкеля класса СГр и их приложения (рациональная аппроксимация,

гауссовские процессы, проблема мажорации операторов ) / В.В.Пеллер // Матем. сб.- 19S0.-T. !13.-№4.~С.538-581.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

[1] Крепкогорский B.JI. Пространства функций, допускающие опи-

сание в терминах рациональной аппроксимации в норме В МО / В.Л.Крепкогорский // Изв. вузов. Математика 1988. - №10. - С.23 -30.

[2] Крепкогорский В.Л. Пространства интерполяционные относительно

пространств Бесова / В.Л.Крепкогорский // Изв. вузов. Математика. 1989. — № 11. - С.85 — 87.

[3] Пространства рациональной аппроксимации по норме II/

В.Л.Крепкогорский И Деп. В ВИНИТИ 03.11.89 Ред. ж. Изв. Вузов. Матеем. -1989. -Ж6701-В89,- Юс.

[4] Крепкогорский В.Л. Квазинормированные пространства функ-

ций, рациональной аппроксимации в норме ВМО / В.Л.Крепкогорекнй // Изв. вузов. Математика 1990. -№3. - С.38 -44.

[5] Крепкогорский В.Л. Интерполяция в пространствах Лизоркина-

Трибеля и Бесова / В.Л.Крепкогорский // Матем. сб. —1994. —Т.185. — №7. — С.63 - 76.

[6] Крепкогорский В.Л. Интерполяция с функциональным параметром в

классе пространств Бесова / В.Л.Крепкогорский // Изв. вузов. Математика. - 1996. - Л'аб. - С.54 - 62.

[7] Крепкогорский В.Л. Интерполяция и теоремы вложения для

квазинормированных пространств Бесова / В.Л.Крепкогорский // Изв. вузов. Математика. — 1999. - №7. - С.23 - 29.

[8] Крепкогорский В.Л. О многомерных методах интерполяции /

B.Л.Крепкогорский // Изв. вузов. Математика. - 1999. - №11. -

C.41 —49.

[9] Крепкогорский В.Л. Пространства рациональной аппроксимации

по чебышевской норме / В.Л.Крепкогорский // Тезисы конферен. "Теория функций, ее приложения и смежные вопросы" Казань. -1999.-С.130- 131.

[10] Крепкогорский В.Л. Интерполяция в классе пространств гладких функций. Чебышевская рациональная аппроксимация на окружности. / В.Л.Крепкогорский // Алгебра и анализ. - 2000. -Т. 12- вып.5 — С. 128-141.

[11] Крепкогорский В.Л. Интерполяция в классе пространств Бесова и Лизоркина-Трибеля. Предельный случай р0 = со. /

B.Л.Крепкогорский // Известия вузов. Математика. — 2000. - №5. -

C.72-74.

[12] Крепкогорский В.Л. Интерполяционные нормы для пространств Бесова, определенные с помощью модуля непрерывности. / В.Л.Крепкогорский // Труды Математического центра имени

Н.И.Лобачевского. Т.5. Материалы Международной научной конференции. - Казань, - 2000. - С. 121-122.

[13] Крепкогорский В.Л. Реализация интерполяционного метода Спар-ра в классах пространств гладких функций. /В.Л.Крепкогорский // Математические заметки. - 2001. - Т.70 - вып.4. - С. 581-590.

[14] Крепкогорский В.Л. Внутреннее описание интерполяционной нормы ВЬ на плоскости. /В.Л.Крепкогорский // Ульяновский гос. педагогический ун-т. Материалы международной конференции по теории операторов и ее приложениям, посвященной памяти А.В.Штрауса. - Ульяновск, 2001г. - С.25.

[15] Крепкогорский В.Л. Метод Спарра в пространствах Бесова. / В.Л.Крепкогорский // Материалы конференции по функциональному анализу. - Казанский гос. ун-т, Казань, -2001 - С.130—131.

[16] Крепкогорский В.Л. Интерполяция пространств Бесова. Нормы, заданные с помощью модуля непрерывности. /В.Л.Крепкогорский // Известия вузов. Математика. — 2002. № 1. - С. 76 - 78.

[17] Крепкогорский В.Л. Дифференциально-разностная характеристика пространств рациональной аппроксимации на окружности /В.Л.Крепкогорский // Материалы шестой Казанской международной летней школы-конференции (Казань, 27 июня - 4 июля 2003 г.)//Казанский гос. ун-т, Казань, - 2003г. - С.134 - 135.

[18] Крепкогорский В.Л. Пространства рациональной аппроксимации,

полученные с помощью интерполяции пространств Бесова Ар

/В.Л.Крепкогорский // Материалы международной конференции «Функциональные пространства, теория приближений, нелинейный анализ» посвященной столетию Сергея Михайловича Никольского (Москва 23 мая - 28 мая 2005 г.)//МИАН им. Стеклова, Москва, -2005г.-С. 137.

[19] Крепкогорский В.Л. Интерполяция пространств рациональной аппроксимации, принадлежащих к классу Бесова. /В.Л.Крепкогорский // Математические заметки. -2005. - Т.77- вып.6. - С. 877-885.

[20] Крепкогорский В.Л. Интерполяция пространств Бесова на области. /В.Л.Крепкогорский // «Современные методы теории функций и смежные проблемы»: Материалы Воронежской зимней математической школы (Воронеж, 2007г.) // ВГУ, - 2007г......С.114-115.

Редактировал и корректировал автор

Подписано в печать 2.02.09 - Формат 60x84 г/ Типографская № 2. Офсетная печать. Усл. печ. л. 2,25 Тираж 100 экз. Зак. № 30-09. Типография КВВКУ, Казань -25

Условные обозначения

Введение.

1 ИНТЕРПОЛЯЦИЯ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ В ПРОСТРАНСТВАХ БЕСОВА И ЛИЗОРКИНА-ТРИБЕЛЯ.

1.1 Введение.

1.1.1 Основные определения и обозначения.

1.2 Интерполяция в классе банаховых пространств Бесова.

1.2.1 Известные случаи

1.2.2 Интерполяция пространств isp[Lp].

1.2.3 Интерполяция пространств Бесова. Общий случай

1.2.4 Интерполяция пространств класса BL

1.3 Квазинормированные пространства Бесова.

1.3.1 Проблема интерполяции квазинормированных пространств Бесова.

1.3.2 Интерполяционная теорема для квазинормированных пространств Бесова.

1.4 Пространства BL и их свойства.

1.4.1 Основные свойства пространств BL. Сопряженные пространства

1.4.2 Свойство лифтинга

1.5 Интерполяция в классе пространств Лизоркина-Трибеля

1.5.1 Вложения между пространствами классов BL и F

1.5.2 Интерполяция пространств F£q.

1.5.3 Интерполяция пространств Бесова Вс одинаковыми s.

1.5.4 Интерполяционная теорема со слабыми условиями для пространств Лизоркина-Трибеля

1.5.5 Интерполяция с участием пространств W*, Н*, Lp

1.6 Теоремы вложения для пространств типа BL.

1.6.1 Вложения пространств на Rn.

1.6.2 Пространства следов.

1.7 Контрпримеры к теории интерполяции функциональных пространств.

1.7.1 Сравнение результатов интерполяции в классах пространств Бесова и Лизоркина-Трибеля

1.7.2 Пространства Lb^kq при разных к не совпадают

1.8 Выводы.

2 ИНТЕРПОЛЯЦИЯ В КЛАССЕ ПРОСТРАНСТВ БЕСОВА Bsp,

КОГДА ОДИН ИЗ ПАРАМЕТРОВ р РАВЕН БЕСКОНЕЧНОСТИ

2.1 Введение.

2.1.1 Основные определения и обозначения.

2.2 Интерполяционные теоремы.

2.2.1 Интерполяция в классах пространств Лизоркина-Трибеля и Бесова в случае бесконечного значения

2.2.2 Интерполяционные теоремы для пространств Гельдера

Зигмунда, bmo, Лебега.

2.2.3 Интерполяция пространств. Бесова и Lqo.

2.3 Выводы.

3 МНОГОМЕРНАЯ ИНТЕРПОЛЯЦИЯ

3.1 Многомерная интерполяция. Метод

3.1.1 Введение.

3.1.2 Реализация метода Q в классах пространств Бесова и Лизоркина-Трибеля

3.1.3 Билинейные операторы и тензорные произведения

3.1.4 Интегральные операторы в пространствах Бесова

3.2 Метод Спарра.

3.2.1 Основные определения.

3.2.2 Интерполяция пространств Лизоркина-Трибеля.

3.2.3 Пространства Бесова.

3.2.4 Связь между функторами Спарра и Петре.

3.3 Выводы.

4 ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ НОРМЫ ОПРЕДЕЛЕННЫЕ С ПОМОЩЬЮ РАЗНОСТЕЙ. ПРОБЛЕМА ВНУТРЕННЕГО ОПИСАНИЯ НОРМЫ ДЛЯ ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫХ ПРОСТРАНСТВ

НА ОБЛАСТИ

4.1 Пространства гладких функций на окружности.

4.1.1 Введение

4.1.2 Основные определения и обозначения.

4.1.3 Интерполяция пространств Lp с весом.

4.1.4 Интерполяционные пространства BL.

4.1.5 Эквивалентность интерполяционных норм.

4.2 Интерполяционные пространства на областях. Проблема внутреннего описания норм.

4.2.1 Интерполяционные пространства на областях.

4.2.2 Внутреннее описание нормы на области.

4.2.3 Случай к = 0.

4.2.4 Теорема вложения.

4.3 Интерполяционные пространства аналитических функций с дифференциально - разностной нормой.

4.3.1 Основные определения и обозначения.

4.3.2 Интерполяция пространств LP(U, ш, /х)

4.3.3 Сопряженные пространства

4.3.4 Интерполяция пространств (А.

4.4 Выводы.

ИНТЕРПОЛЯЦИЯ ПРОСТРАНСТВ БЕСОВА НА ОКРУЖНОСТИ И РАЦИОНАЛЬНАЯ АППРОКСИМАЦИЯ В НОРМАХ ВМО, Нр И Loo.

5.1 Пространства гладких функций на окружности.

5.1.1 Введение.

5.1.2 Основные определения и обозначения.

5.2 Интерполяция с помощью К-метода. Функторы (•,

5.2.1 Интерполяционные пространства

5.2.2 Нормы пространств (В, в терминах последовательности сверток.

5.2.3 Описание интерполяционных пространств в терминах потенциалов Грина

5.3 Интерполяционные методы.

5.3.1 К-метод с симметричным параметром.

5.3.2 К-метод с функциональным параметром.

5.4 Интерполяция банаховых структур с помощью К-метода с функциональным параметром

5.4.1 Интерполяционные пространства

5.4.2 Интерполяция пространств L3p.

5.4.3 Пространства последовательностей. Интерполяционные пространства (£, £)f,q,K

5.5 Интерполяция банаховых структур с помощью К-метода с симметричным параметром.

5.5.1 Интерполяционные пространства.

5.5.2 Интерполяция пространств Lp с весом

5.5.3 Интерполяция пространств Lsp с помощью метода Беннетта

5.5.4 Интерполяция пространств последовательностей £р с помощью метода Беннетта

5.6 Интерполяция пространств Бесова Вр(Т) и Ар(Т).

5.6.1 Ретракты пространств Lp.

5.6.2 Интерполяция К-методом с функциональным параметром

5.6.3 Интерполяция с помощью К-метода с симметричным параметром.

5.7 Пространства рациональной аппроксимации по норме В МО.

5.7.1 Основные определения

5.7.2 Пространства аналитических функций, которые являются пространствами рациональной аппроксимации

5.7.3 Ип - пространства.

5.8 Рациональная аппроксимация по норме Нр.

5.8.1 Пространства аналитических функций.

5.9 Рациональная аппроксимация по норме Loo

5.10 Аналитические пространства рациональной аппроксимации

5.10.1 Аппроксимация по нормам Нр и ВМОА

5.11 Выводы.

Условные обозначения

Будем использовать следующие обозначения: ~ - знак эквивалентности двух норм (квазинорм); □ - конец доказательства. cij • v - атомическая мера с плотностью (aj) (мера атома {j} равна a,j ); (Ао, А\)ел - интерполяционные пространства К-метода (п.1.1.1); (Ао, Ai)fiq-K ~ интерполяционные пространства К-метода с функциональным параметром (п.5.3.2);

1Н(4ь '•= {« е А0 +Ах : IHIf,q-,K = , а, Ао, А!)/(/й * tllq)\Lq\\ < 00} (п.5.1.2);

A)e,q,Sparr, {A)e,q,Ki (A)o,q,j ~ многомерные интерполяционные функторы метода Спарра (п.3.2.1);

Ар(Т) = Р(Вр(Т)) — пространства Бесова аналитических функций на окружности (п.4.3.2)

Ъто и ВМО - неоднородное и однородные пространства функций ограниченной средней осциляции (п.2.1.1); В— класс полумультипликативных функций (п.5.3.2); Bpq(Rn) - пространство Бесова на Rn (п.1.1.1); Вр(Т) - пространство Бесова на окружности (п.5.1.2);

ВЬр'д(Т)сг и АЬр'д(Т)сг - интерполяционные пространства с нормами в терминах квазианалитических продолжений (потенциалов Грина) (п.5.2.1); BLф ^ и АЬфЬд - интерполяционные пространства, полученные с помощью метода с функциональным параметром (п.5.4.1); Сm - пространства дифференцируемых функций (п.2.1.1); dn{f) = distBMo{f, Ип) (п.5.7.2); D = {z £ С : \z\ < 1} - единичный открытый круг; Т>' - пространство распределений; D'+ - пространство аналитических на Т функций:

D+ = {/ = : 1^1 = 0(т/), п оо,/3 = £(/) < оо} (п.4.3.1);

Ei = {£ Е С : 1/2 < |£| < 2}, Е2 = {£ G С : 1 < < 2}, Щ = {£ е С : 1/2<|£|<1}- множества на комплексной плоскости (п. 5.1.2); (Esf)(t) = f(st), 0 < t < оо — оператор растяжения; \\f\BL^(G)\\W и \\f\BLykq(G)\\№ - варианты «внутренней» нормы на области(п.4.2.2);

•// - мера с плотностью fix), определенная на множестве Е равенством д)(Я)= [ f(xW(x)-, J Е f(t) := supS>0f(ts)/f(s) <oo WG (0, oo) (n.5.3.2); (/)*(£) = inf{<7 : m(cr,/) < t} (или просто f*(t)) - невозрастающая равноизмеримая относительно меры /л перестановка функции /(ж), где m(aj) :=n({x:\f(x)\>a}) (п.1.1.1);

- обратное преобразование Фурье ; ||/|i?|| - квазинорма пространства Е от функции /(подробнее п.1.1.1);

Условные обозначения ^ f\ASp(T)\\os = \\Г\Щ\\ при 0 < 8 < 1, 1 < р < оо, f\Asp(T)\\os = ll/l^pll при —l<s<0, 1<р<оо- нормы Освальда на пространствах Бесова аналитических функций (п.4.3.2); е А№\т) & Г е 1 - kl)1-^,(i - H^-VonD^ при

О < s < 1, 1 < р < оо;

И/ИвдНЛИ = - И)14^1 - И)"*"1"»)!! при о < 5 <

1, 1 <р < оо (п.4.3.2);

Н/Им'СПН = ll/IW.(! - - lzl)"tlm2)|| при -1 < в <

0, 1 < р < оо; f\G[E]\\ = ||||/(ж,?/)|£(Х)|| |<х(У)|| - смешанная квазинорма (п.1.1.1);

F^q(Rn) - пространство Лизоркина-Трибеля (п.1.1.1);

Tf - преобразование Фурье функции / ;

Gs(Rn) - пространства Гельдера-Зигмунда (п.2.1.1); h(s) := ||#8|| = sups <j(Esf)/cr(f)- индикаторная функция нормы сг(п.5.3.1);

Hp - пространство бесселевых потенциалов (п.1.1.1);

Tip - пространство определенное равенствами: в случае а) при 0 < s <

1, 1 < р < оо

Щ = D'+ f| (1 - И)1—1/* та); в случае б) при — 1 < s < 0, 1 < р < оо (п.4.3.2)

Щ = D'+ (1 " ИГ'-^тг).

Hank - множество операторов Ганкеля (п.5.1.2). k-метод Беннетта(п.5.3.1);

K(t,f, Aq, Ai) - К-функционал Питре (п.1.1.1);

K(t:a:A) - К-функционал метода Спарра (п.3.2.1); lsq - пространство lq с весом 2is,j G Z+] L - банахова структура (п.1.1.1);

L1 - банахова структура ассоциированная с банаховой структурой L (п.1.4.1);

LP{T>, fi) - пространства Lp на множестве Т> с весом ш и мерой /j, или просто

Ьр{ш) - пространство Lp с весом fi) - пространство Лоренца с весом ш и мерой ц (п.1.1.1); Lp'^(Rn) и BLp^Rn) - интерполяционные пространства (п.1.1.1); Lp>*(Gx N) - пространство двойных последовательностей функций {(f ij с нормой х = £ (jf ■ f)h. где - лебегова мера на Rn: г\ - атомическая мера на Л/о с мерой атома равной 1, N = ЛГ или Л/о (п.4.2.2)

- пространство с нормой \\f\Lk^q(E)\\ := = \\f*\A%(E1 p~h+l,p~k~l -7712)11 (п.5.4.1); Le(X) - пространство с симметричной нормой (п.5.3.1); m - мера Лебега на Т или на [0, оо); тп - лебегова мера на Rn\ Af - множество натуральных чисел;

U{0};

Р - проектор Рисса, определенный на ТУ равенством Р/ = XlnLo f(n)zTl п.5.1.2)

Qo = (—1; l)n- единичный n-мерный куб; rn{f) = distBM0A(f, (п.5.7.1).

Rp q - аппроксимационное пространство функций / е Нр с квазинормой при a>0,0<p, д<оо (п.5.8.1);

7Zn - множество рациональных функций на С с полюсами вне окружности Т, сумма кратностей которых (с учетом точки оо) не превосходит п

S = S(Rn) - пространство Шварца комплекснозначных быстроубываю-щих функций на Rn\

S' = S'(Rn) - пространство всех умеренных распределений; Г = {г £ С : \z\ = 1} - единичная окружность на комплексной плоско

Z (Z+) - множество целых (и неотрицательных чисел); Ztv - множество целых чисел i £ [1, N]; Wp - пространство Соболева (п.1.1.1); a d= lims>0 (- log h(s)) / log s; /3 d= lim,,-*» (- log h(s)) / log s- индексы Бойда для симметричной нормы (п.5.3.1) aj d= lim^+oo log f{t) / log t, d= lim*»o log f(t) / log t, — индексы Бойда для функций из В(п.5.3.2) ;

Am(y, E)f(x) := если x,VZRn,ae Д», h G ll/l^ocll = ||/|Яр|| + sup(2*V2,(/>tfp)) п.5.9); сти С;

Условные обозначения

-—^— 1и

Ri,E С G С Rn, т G Л/о при [ж, ж + ту] С Е и Дт(у, E)f(x) := 0 при [ж, ж + rra/] £ Е (п.4.2.2);

Af(h,E)f(x) = Am(he\E)f(x), г = 1,2,3.,тг; где ег' - единичный вектор г-ая координата которого равна 1, а остальные 0 (п.4.2.2); 4т)(/, М) = №(tu, Gt)f(x)\du (п.4.2.2); Аф - пространство последовательностей (п.5.4.3); Лф- пространства Лоренца (п.4.3.2); Аф(Х,а;,//)- пространство Лоренца с весом (п.4.4.1); v - атомическая мера на Z+ (мера атома равна единице); (</?)*- оператор, определенный равенствами |£| — 1 , <£>*(£) := esssup|^(A)| при А| < р(£)/2 и £ е С (п 5.1.2);

3'e,Q((A',A;)fc=o,i)i=o,i многомерный интерполяционый функтор (п.3.1.1); 3?п - множество рациональных функций на С с полюсами вне круга clozD = {z G С : \z\ < 1}, сумма кратностей которых (с учетом точки сю) не превосходит п (п.5.7.2).

Диссертация посвящена исследованию интерполяции в классах пространств Бесова Bpq и Лизоркина-Трибеля Fpq. Эти классы включают в себя многие из известных пространств, например, пространства Соболева, Никольского, Харди. Пространства Bpq и Fpq используются при исследовании краевых задач для эллиптических уравнений, возникают как пространства следов в теоремах вложения. Пространства Бесова известны также своими аппроксимационными свойствами.

Несмотря на то что в книгах Берга и Лсфстрёма ( Bergh J., Lofstrom J.) [12] или Трибеля (Triebcl Н.) [52, 53] можно найти значительное количество формул интерполяции в классах пространств Bsp q и Fpq, теория интерполяции для данных классов пространств далека от завершения.

На первом этапе развития интерполяции линейных операторов в 20-х и 30-х годах XX века были получены первые интерполяционные теоремы Рисса-Торина (Riesz М., Thorin G.O.) [ 123 ] , [ 126 ] и Марцинкевича (Marcinkiewicz J.) [ 107 ] для пространств Lp.

Следующий этап в развитии общей теории интерполяции линейных операторов приходится на 50-60 годы XX века. В этот период были разработаны разными авторами несколько общих методов интерполяции.

---15

Например, Петре (Peetre J.) [114] были предложены К и J- методы интерполяции; Лионсом (Lions J.) и Петре - метод средних; Лионсом - метод следов; С.Г.Крейном - метод шкал [ 26 ], [ 27 ]; Кальдероном (Calderon А.Р.) - «комплексные» методы. В дальнейшем оказалось, что многие из этих методов эквивалентны между собой. В настоящий момент, из перечисленных, чаще всего используются К и J- методы Петре и комплексные методы Кальдерона. Применение методов Кальдерона и Петре в конкретных классах пространств чаще всего приводит к различным результатам.

Появление общих интерполяционных методов не означает, что получение интерполяционных теорем для данного класса пространств стало тривиальной задачей. Например, для классов Бесова и Лизоркина-Трибеля первые результаты были получены в начале 60-х годов, но и сейчас теория интерполяции для этих пространств не может считаться законченной. Общая схема для интерполяции таких пространств была разработана Лионсом и Петре [100], Петре [118] и другими авторами. Основную часть полученных ими результатов можно найти в книгах [12, 52, 53].

Применим интерполяционный функтор Петре (•, к паре пространств Бесова В^, г = 0, 1. Что получится в результате? «Классическая» теория интерполяции в классе Бесова, изложенная в книгах [12, 52, 53] не может дать ответ на этот вопрос в общем случае. Дело в том что класс пространств Бесова незамкнут относительно функторов Петре. Теория же описывает все известные частные случаи, когда пространства (Вр°, Вр1^ в принадлежат классам Вр или Fpq или их расширенным вариантам Bsp q ^ или Bpjp. Будем называть частный случай пар пространств Бесова, когда это выполняется, «диагональным». Однако, вообще говоря, пространства (Вр°, могут не принадлежать к этим классам. В диссертации дано описание интерполяционных пространств BL^ :— (Вр°, Вр^д , где к - угловой коэффициент прямой, проходящей через точки Как следует из общей теории интерполяции, пространства класса BL «наследуют» полезные свойства пространств Бесова Bp. Например, они образуют систему, замкнутую относительно теорем вложения. Кроме того, они наследуют аппроксимационные свойства пространств Бесова. Поэтому среди пространств типа BL мы находим пространства рациональной аппроксимации по нормам ВМО, пространств Харди Нр я Loo.

В принципе, необходимый аппарат для описания пространств BLp^ был разработай еще в 60-е годы. Однако, в те времена появление нового класса пространств выглядело не целесообразным, так как не было известно задач, которые оправдывали бы введение этого нового понятия. Вероятно поэтому, первые описания пространств типа BL, не включающихся в классы Бесова и Лизоркина-Трибеля, были получены не специалистами по интерполяции, а математиками, занимающимися другими вопросами. Для пространств BLp^iT) = Bp(Pl)e,q на окружности такие описания были получены В.В.Пеллером [46,47] и В.В.Пеллером, С.В.Хрущевым [48] в терминах квазианалитических продолжений. Эти описания были получены в связи с задачей описания как

Введение ^ можно более широкого класса пространств рациональной аппроксимации по норме ВМО. Аналогичная задача решалась А.А.Пекарским [41] для пространств рациональной аппроксимации про норме Нр. В этом случае необходимо получить описание интерполяционного пространства типа

Частные случаи интерполяции пространств Лизоркина-Трибеля - пары рассматривались Н.Я.Кругляком [32], Ю.А.Брудпым и Н. Я. Кругля ком [64].

Заметим, что в связи с задачами аппроксимации, в первую очередь представляет интерес интерполяция не пар пространств Бесова (вЦРо, BplPl)eа интерполяция с участием пространств ВМО, Нр. Например, для получения аппроксимационых пространств по норме ВМО надо описать интерполяционые пространства fВМО, ВР{Р1\ . Для че

У 6,q бышевской аппроксимации надо описать интерполяционное пространство (L0о, Вр\)в . Для решения первой задачи базовым можно считать результат Петре (Peetre J.) и Свенсона (Svensson Е.) [119], которыми была доказана формула

ВМО, B'A)e v = щ в случае s = #si, 1/р = 9/pi. Хотя в этом случае ответ получен только при значении параметра р = 9/pi, однако, применяя теорему о реите-рации, можно перейти к общему случаю. Описание интерполяционного пространства (Lоо, Вр\)в получено Ю.В.Нетрусовым [36].

В диссертации получены интерполяционные теоремы с участием про

1. странств Бесова или Лизоркина-Трибеля с одной стороны, а с другой —

Гельдера-Зигмунда, В МО, Лебега, Ь^.

Наряду с одномерными интерполяционными функторами Петре рядом авторов изучались многомерные интерполяционные функторы. Известны методы Спарра (Sparr G.) [124], Фернандеса (Fernandez D.L.) [83,84,85]. Можно упомянуть также работы И.А.Асекритовой [56], Н.Я.Кругляка, Малигранды ( Maligranda L.) [2], Кобоша (Cobos F.) [75, 74, 73, 72], Цвикля (Cwikel М.) [77], Нурсултанова Е.Д. [39] и других [60, 66, 67, 69, 81, 82, 110, 111]

Заметим, что многомерные функторы в классах Бесова обладают более мягким действием в том смысле, что классы В* q ^ замкнуты относительно многомерных функторов , но не замкнуты относительно обычных функторов Петре. Это позволяет получить в классах пространств Бесова интерполяционные теоремы, использующие слабые условия вида: Т : Bs\ m —В~ , v Реализация многомерных интерполяционных методов в конкретных классах пространств вызывает большие трудности, чем реализация метода Петре. Известно, что единственный пример реализации метода Фернандеса в классе пространств со смешанной нормой оказался неточен. Соответствующие контрпримеры были приведены рядом авторов [111, 56, 77, 141], в том числе и автором диссертации.

При реализации метода Петре очень полезна теорема о реитерации. Аналогичные теоремы известны и для метода Спарра (теоремы о стабильности по терминологии Спарра). При доказательстве теоремы о реитерации для метода Петре используется эквивалентность норм (•, ')e,q,K ~ q,j• Совершенно аналогична ситуация в случае метода Спарра, за исключением того обстоятельства, что интерполяционные нормы полученные с помощью АТ-метода и J-метода не обязательно эквивалентны. Поэтому все теоремы о стабильности для метода Спарра доказаны им при дополнительном условии, что в данном классе пространств обе нормы эквивалентны. Несмотря на приведенный Спарром критерий эквивалентности, доказательство этого утверждения в конкретном классе пространств обычно является нетривиальной задачей. Серьезное продвижение в этом направлении было достигнуто И.А.Асекритовой и Н.Я.Кругляком [58]. Им удалось доказать эквивалентность интерполяционных норм полученных К и J методами для банаховых структур и их ретрактов. Так как пространства Бесова и Лизоркина-Трибеля являются ретрактами банаховых структур, то это позволило реализовать метод Спарра в данных классах пространств. В статье [57] И.Асекритовой, Н.Кругляка, Малигранды, Николовой (Nikolova L.Y.) и Перссона (Persson J.) получена интерполяционная теорема для метода Спарра, использующая слабые условия типа Т : Щцу —> Щ оо(оо)- Одновременно мною был получен близкий результат [140] - интерполяционная теорема для пространств Бесова, использующая слабые условия вида Т : ^ —> irs р, 00,(оо)

В первых главах диссертации разработана теория интерполяции для пространств Бесова и Лизоркина-Трибеля на i?n. Однако, основные приложения пространств Бесова и Лизоркина-Трибеля связаны с теоремами вложения, с теорией дифференциальных операторов на области. В прин

---2 ципе несложно перенести основные результаты с пространств на Rn на пространства на области. Однако при этом получаются нормы, в которых используются инфимумы норм от всевозможных продолжений данной функции через границу области. Интересно было бы получить внутреннее описание интерполяционной нормы, в котором не рассматриваются никакие продолжения функции через границу области. Для норм пространств на области естественно использовать дифференциально-разностные конструкции. Конкретный вид интерполяционной нормы зависит от вида нормы в исходном пространстве Бесова. В диссертации получены описания интерполяционных норм на базе конструкций Х.Трибеля [ 53, стр.132], О.В.Бесова [ 14 ] и Освальда (Oswald Р.) [ 112 ]. Получены описания «внутренних» интерполяционных норм для областей, удовлетворяющих условию конуса. Доказана теорема вложения.

В.В.Пеллер [46, 47, 42, 48] получил описания пространств рациональной аппроксимации по норме ВМО. Аналогичные результаты были получены А.А.Пекарским [ 41 ], [ 43 ], [ 44 ], [ 45 ] для пространств рациональной аппроксимации по нормам пространств Нр и Ь^. При этом В.В.Пеллер получил описание пространств (Вр[Ро(Т), вЦР1(Т))вд на окружности в терминах квазианалитических продолжений. Так как аппроксимационные свойства сохраняются при интерполяции, то этот результат позволил расширить класс пространств рациональной аппроксимации. В диссертации эти результаты усилены по следующим направлениям: 1) применяя интерполяционные функторы более общего вида, чем (•, получен более широкий класс пространств рациональной аппроксимации по норме ВМО; 2) интерполируя соответствующие пространства, расширен класс пространств рациональной аппроксимации по нормам Нр и Loo; 3) получены более простые описания норм рациональной аппроксимации, чем нормы в терминах квазианалитических продолжений.

Основным недостатком результатов В.В.Пеллера [46, 47, 42, 48j по опикая сложность полученных конструкций норм в терминах квазианалитических продолжений. Обычное для интерполяции описание норм с помощью последовательности сверток также далеко от совершенства, так как не позволяет получить «внутреннее» описание интерполяционной нормы на области. Оптимальным было бы описание интерполяционной нормы с помощью дифференциально-разностной конструкции. В этом случае была бы достигнута наглядная связь между аппроксимационными свойствами и «степенью» непрерывности функции.

Для диагонального случая первые результаты такого типа для пространств Соболева были получены Лионсом ( Lions Л.)и Мадженесом ( Magenes Е.) [ 99 ] и Мадженесом [ 103 ]. Для многомерного анизотропного случая известны результаты О.В.Бесова [ 14 ], [ 15 ]. В диссертации приведены различные варианты интерполяционных норм этого типа на области с условием конуса в «недиагоиальном» случае. Получено внутреннее описание интерполяционной нормы.

Переходя к характеристике диссертационной работы, отметим некоторые ее особенности. санию интерполяционных пространств является высо

Актуальность темы. При изучении пространств Бесова Bpq и Ли-зоркина - Трибеля F*q широко применяется интерполяция линейных операторов. Так, например, в книге Трибеля (Triebel Н.) [52] дано си-стематческое изложение теории пространств Bpq и F£q, опирающееся на теорию интерполяции. В этой и других книгах можно найти соответствующие формулы для интерполяции в классах В^ и полученные в работах Лионса и Петре [100,118]. Однако проблема описания всех интерполяционных пространств (•, даже для самой простой пары (Bp°(Rn), Bp^Rn)) была решена только в так называемом «диагональном» случае (см. п.1.2.1). Необходимость изучения общего «недиагонального» случая была продемонстрирована в работах В.В.Пеллера и С.В.Хрущева [46-48]. Им удалось получить описание пространств рациональной аппроксимации по норме ВМО на единичной окружности комплексной плоскости. Оказалось, что аппроксимационные пространства совпадают с пространствами Бесова В^Р(Т). Так как аппроксимационные свойства, как правило, сохраняются при интерполяции, то было бы естественным, проинтерполировав пару пространств этого типа, получить с помощью вещественного К-метода более широкий класс пространств рациональной аппроксимации. Однако, использование только формул интерполяции для диагонального случая привело бы нас снова к пространствам вида ВрР(Т), т.е. никакого расширения класса аппрокси-мационных пространств не произошло бы. Поэтому В.В.Пеллером было проведено соответствующее исследование и получено описание интерполяционных пространств {BplPa, Bp[Pl)e,q в «недиагональном» случае. Получились пространства уже не принадлежащие к классам пространств Бесова или Лизоркина-Трибеля, но зато обладающими аппроксимаци-онными свойствами. Аналогичные результаты были получены А.А.Пекарским [41-45] для пространств рациональной аппроксимации по нормам пространств Нр и L^ . Однако в этом случае задача получения интерполяционных пространств для «недиагонального» случая не была решена. В связи с этими исследованиями возникают следующие задачи: 1) решить проблему интерполяции пространств Бесова и Лизоркина-Трибеля в общем, «недиагоналыюм» случае; 2) применяя интерполяцию, расширить класс аппроксимационных пространств, изучавшимися

A.А.Пекарским; 3) расширить класс аппроксимационных пространств

B.В.Пеллера за счет использования интерполяционных методов более общих по сравнению с традиционной версией К-метода. Решению этих задач посвящены главы 1 и 5.

В последнее десятилетие появился ряд статей, в которых пространства Бесова и Лизоркина-Трибеля интерполируются с помощью многомерных методов (см. [57,58,60,142]). Как выяснилось, данные классы пространств замкнуты относительно функторов многомерных методов в отличие от функторов К-метода. Это позволяет, например, получать интерполяционные теоремы со слабыми условиями. В то же время реализация многомерных методов в конкретных классах пространств обычно является очень сложной задачей. Для обычного К-метода очень полезна теорема о реитерации. Для ее доказательства используется эквивалентность К и J методов Петре. Спарр [124] предложил многомерный метод с анало

Введение ^ гами К и J методов. Однако К и J методы Спарра, вообще говоря не эквивалентны. Серьезный успех был достигнут в статье И.Асекритовой и Н.Кругляка [58], в которой было показано, что К и J методы Спарра эквивалентны в классах банаховых структур и их ретрактов, к которым относятся пространства Bpq и После этого И.Асекритова, Н.Кругляк и другие [57] и я [142] опубликовали одновременно статьи, в которых метод Спарра был реализован в классах пространств Bsp q и F* . В диссертации этому вопросу посвящена глава 3.

Наконец отметим, что все «классические» формулы интерполяции, которые описаны в книгах Берга Й, Лёфстрема Й. [12] и Трибеля X. [52,53], относятся к случаю пространств на Rn. В то же время пространства Бесова широко используются в теоремах вложения, в теории дифференциальных операторов. И здесь нас интересует в первую очередь случай пространств на области. В диссертации рассматривается интерполяция в «недиагональном» случае для пространств на области.

Цель работы заключается в исследовании интерполяции в классах функциональных пространств, в общем, в том числе «недиагональном» случае, изучении свойств интерполяционных пространств, описании широкого класса пространств рациональной аппроксимации по нормам ВМО, Hp-, Loo

Новизна полученных результатов. Основные результаты диссертации являются новыми. Впервые были получены интерполяционные теоремы, описывающие пространства {B£,B£)gtq и (Fp°Mi F^qi)e,q в «недиагональном» случае. Для частного случая интерполяции пространств

Введение r —--- £ -SpgPo, Bp[Pl j аналогичный результат был получен В.В.Пеллером. Со d,q ссылкой на автора Бокинг (Bocking J.) [ 62 ] приводит это же описание интерполяционных пространств (В^, В^)д}Я и исследует более общий вопрос, рассмотрев пространства (B^ qo, В^ )giq . Впервые получены интерполяционные теоремы для общего случая с участием пространств Бесова и Лизоркина-Трибеля с одной стороны и пространств В МО, Нр, L^ с другой стороны.

В третьей главе диссертации интерполяционный метод Спарра был реализован в классе пространств Лизоркина-Трибеля. При этом была доказана интерполяционная теорема, использующая слабые условия вида Т : Fptl —> Fpl\- Близкий результат был получен в статье И.Асекритовой, Н.Кругляка и др. [ 57 ], опубликованной одновременно с соответствующей статьей автора.

В четвертой главе диссертации впервые были получены «внутренние» описания интерполяционных норм на области для «недиагонального» случая. При этом были использованы конструкции норм, предложенные О.В.Бесовым [ 16 ] и Освальдом (Oswald Р.) [ 112 ] для исходных пространств Bp(G) или для пространств, полученных с помощью интерполяции в «диагональном» случае.

В пятой главе основываясь на результатах В.В.Пеллера [ 47 ], В.В.Пел-лера, С.В.Хрущева [ 48 ], А.А.Пекарского [ 41 ], [ 41 ] и Ю.В.Нетрусова [ 38 ], с помощью интерполяции в «недиагональном» случае получены более широкие классы пространств рациональной аппроксимации, чем в перечисленных работах.

Введение 2g

Основные результаты, выносимые на защиту.

1) Решена задача интерполяции пространств Бесова Bp(Rn) и Лизоркина-Трибеля Fp q(Rn) в общем «недиагональном» случае (теоремы 1.2.3, 1.3.2 и 1.5.2).

2) Получены интерполяционные утверждения для пространств Босова с участием пространств ВМО, Гельдера-Зигмунда, L^ (теорема 2.2.1 и ее следствия - теоремы 2.2.2/1, 2.2.2/2, 2.2.2/3).

3) В классах пространств Бесова и Лизоркина-Трибеля реализованы многомерные интерполяционные методы Спарра и «покоординатной» интерполяции. Получены интерполяционные теоремы, использующих слабые условия вида Т : F^^, г = 0,1,2. иТ : в*рМ1) £1,00,(00), i = М- (Теоремы 3.1.3/3; 3.1.3/4; 3.2.3/1; 3.2.3/2).

5) Решение проблемы внутреннего описания интерполяционной нормы на области с условием конуса (теорема 4.2.2/2).

6) Получены новые классы пространств рациональной аппроксима-ции(по норме ВМО теоремы 5.7.2/1; 5.7.2/2; 5.7.3/1; по норме Нр теор. 5.7.4 и по норме L^ теор. 5.7.5).

Практическая ценность полученных результатов определяется широкой областью использования пространств Бесова и Лизоркина-Трибеля.

Аппробация работы. Основные результаты диссертации изложены на различных конференциях и семинарах. На семинаре члена-корреспондента РАН П.Л.Ульянова (МГУ) сделано три доклада, доклад на семинаре акад. С.М.Никольского (НИИ РАН им.Стеклова), доклад на семинаре доктора ф.м.наук В.В.Пеллера (ЛОМИ). Сделаны доклады на шести

-.-—z. конференциях, в том числе на международной конференции «функциональные пространства, теория приближений, нелинейный анализ» посвященной столетию Сергея Михайловича Никольского (Москва 23 мая - 28 мая 2005 г.)

Публикации автора про теме диссертации составляют 20 наименований из которых в библиограф, список включено 20.

Структура и объем диссертация. Работа состоит из Введения, пяти глав, разбитых на параграфы, которые в свою очередь объединяют несколько пунктов и списка литературы. Библиография включает 146 наименований цитированной литературы и 20 работ автора. Общий объем диссертации — 263 страниц, из которых список литературы содержит 20 страниц.

5.11 Выводы

В главе 5 изучены интерполяционные пространства на окружности. При этом используется как обычная версия К-метода (-, •)<?так и более общие версии: К-метод с функциональным параметром и К-метод с симметричным параметром.

С помощью этой интерполяционной теории получены описания пространств рациональной аппроксимации по нормам ВМО, Нр и L^. При этом использовались результаты В.В. Пеллера и А.А.Пекарского. С помощью интерполяции рассмотренные ими классы пространств рациональной аппроксимации удалось существенно расширить.

1. Асекритова И.А. Вещественный метод интерполяции для конечных наборов банаховых пространств / И. А.Асекритова // Исслед. по теор. функций многих вещественных переменных: Сб.ст. — Ярославль, 1981.- С. 9 17.

2. Асекритова И.А. Об эквивалентности К и J методов для (п -f- 1) -наборов в банаховых пространствах / И.А.Асекритова, Н.Я.Кругляк // Stud, math.- 1997.- V.122.- No.2.- Р.99 - 116.

3. Асекритова И.А. Об интерполяции пространств Бесова в недиагональном случае / И.А.Асекритова, Н.Я.Кругляк // Алгебра и анализ- 2006.- Т.18.— С.1 9.

4. Асташкин С.В. Об одном свойстве функторов вещественного метода интерполяции / С.В.Асташкин // Матем. заметки — 1985.— Т. 38,— вып. 3,- С.393-406.

5. Асташкип С.В. Об интерполяции билинейных операторов вещественным методом / С.В.Асташкин // Матем. заметки. — 1992.— Т. 52. — вып. 1,— С.15-24.

6. Асташкин С.В. О дизъюнктной строгой сингулярности вложений симметричных пространств/ С.В.Асташкин // Матем. заметки,— 1992.- Т. 65.- вып. 1.— С. 3-14.

7. Асташкин С.В. Об экстраполяционных свойства шкалы Lp-пространств / С.В.Асташкин // Матем. сб-к.- 2003.- Т.194.- №6,- С.23-42.1. Литература245

8. Асташкин С.В. Об интерполяции пересечений вещественным методом / С.В.Асташкин // Алгебра и анализ.— 2005.— Т.17 — №2.— С.33-69.

9. Асташкин С.В. Интерполяция билинейных операторов в пространствах Марцинкевича / С.В.Асташкин, С.В.Ким // Матем. заметки.— 1999.—Т. 60.- вып. 4.- С. 483 494.

10. Асташкин С.В. Об интерполяции в Lp-пространствах / С.В.Асташкин, Л.Малигранда // Матем. заметки,- 2003.-Т.74.- №5.-С.782-786.

11. Асташкин С.В. Функториальный подход к интерполяции операторов слабого типа / С.В.Асташкин, В.И.Овчинников // Сиб. мат.ж.— 1991,- Т.32,— №.3.- С.12-23.

12. Берг Й., Лефстрем Й. Интерполяционные пространства . Введение / Й.Берг, Й.Лефстрем.—М.:Мир,1980.— 264 с.

13. Бесов О.В. О некотором семействе функциональных пространств. Теоремы вложения и продолжения //Докл.АН СССР. — 1959.— Т.126.— С.1163 1165.

14. Бесов О.В. О пространствах Соболева-Луивилля и Лизоркина-Трибеля на области/ О.В.Бесов // Тр. Матем. ин-та РАН имени Стеклова.— 1990,- Т.192.— С.20 34.

15. Бесов О.В. Интерполяция пространств дифференцируемых функций на области / О. В. Бесов //Тр. Матем. ин-та РАН имени Стеклова.— 1997.- Т.214.— С.59 82.1. Литература ^

16. Бесов О.В. Интерполяция и вложения функциональных пространств Bp,qi Fp,q на области / О.В.Бесов // Докл. РАН. — 1997. Т. 357.-№. 6. - С.727-730.

17. Бесов О.В. Об интерполяции, вложениии и продолжении пространств функций переменной гладкости / О.В.Бесов // Докл. РАН. — 2005.— Т.401.— т.- С.7-11.

18. Бухвалов А.В. О пространствах со смешанной нормой /А.В.Бухвалов // Всстн. Ленингр. ун-та 1973,- Т.19- С. 5-12.

19. Брудный Ю.А. Вещественная интерполяция одного семейства пространств гладких функций / Ю.А.Брудный, Н.Я.Кругляк // Докл. РАН,- 1996.- Т.349 — Ж 6,- С.729 731.

20. Гулисашвили А.Б. О мультипликаторах в пространствах Бесова / А.Б.Гулисашвили // Записки научи, сем. ЛОМИ.— 1984.— Т.135.— С. 36-50.

21. Гулисашвили А.Б. Мультипликаторы в пространствах Бесова и следы функций на подмножествах евклидова пространства / А.Б.Гулисашвили // Докл.АН СССР. —Т.281. —№4 .- С.777-781.

22. Дынькин Е.М. Конструктивная характеристика классов С.Л.Соболева и О.В.Бесова / Е.М.Дынькин // Труды МИАН,- 1981,— Т.156.— С.41-76.

23. Калугина Т.Ф. Интерполяция банаховых пространств с функциональным параметром. Теорема реитерации / Т.Ф.Калугина // Вестн.1. Литература 24

24. Моск. ун-та. Сер. матем., механ.— 1975 — №. 6.— С.68 77.

25. Кисляков С.В. Вещественная интерполяция и сингулярные интегралы / С.В.Кисляков, Шу Куанхуа // Алгебра и анализ.— 1996.— Т.8.— Ж 4.- С.75 109.

26. Крейн С.Г. Об одной интерполяционной теореме в теории операторов / С.Г.Крейн // ДАН СССР I960.- т. 130.- С. 491 - 494.

27. Крейн С.Г. О понятии нормальной шкалы пространств / С.Г.Крейн // ДАН СССР 1960 - т. 132. - С.510 - 513.

28. Крейн С.Г. Шкалы банаховых пространств / С.Г.Крейн, Ю.И.Петунин // УМН.- 1966.- Т.21.— №.2,- С.89 168.

29. Крейн С.Г. Гипершкалы банаховых структур / С.Г.Крейн, Ю.И.Петунин, Е.М.Семенов // ДАН СССР.- 1966.- Т.170.- С.265 267.

30. Крейн С.Г. Шкалы банаховых структур измеримых функций / С.Г.Крейн, Ю.И.Петунин, Е.М.Семенов // Труды Моск. матем. общества.- 1967-Т.17.— С.293 322.

31. Крейн С.Г. Интерполяция линейных операторов./ С.Г.Крейн, Ю.И.Петунин, Е.М.Семенов — М.: Наука, 1978.— 400с.1. Литература24g

32. Кругляк Н.Я. Гладкие аналоги разложения Кальдерона Зигмунда, количественные теоремы о покрытиях и К-функционал для пары (Lg, Wk) / Н.Я.Кругляк // Алгебра и анализ - 1996.- Т.8.- Ж 4.-С. 110 - 160.

33. Лизоркин П.И. Интерполяция пространств Ьр с весом / П.И.Лизоркин ■ // Док л. АН СССР.- 1975.- Т.222,- №.1,- С.32 35.

34. Мадженес Е. Интерполяционные пространства и уравнения в частных производных / Е.Мадженес // УМН.- 1966.— Т. 21.— Ж 2,— С. 169 218.

35. Мазья В.Г. Пространства Соболева. В.Г.Мазья — Л.:ЛГУ,1985,— 415 с.

36. Нетрусов Ю.В. Интерполяция (вещественный метод) пространств гладких функций с пространством ограниченных функций / Ю.В.Нетрусов // Докл. РАН.- 1992.- Т.325.— Ж 6.- С.1120-1123.

37. Нетрусов Ю.В. Множества особенностей функций из пространств типа Бесова и Лизоркина-Трибеля / Ю.В.Нетрусов // Тр. Матем. ин-та АН СССР.- 1989.- Т.187.- С.162 187.

38. Нетрусов Ю.В. Нелинейная аппроксимация функций из пространств Бесова-Лоренца в равномерной метрике / Ю.В.Нетрусов // Записки научного семинара ЛОМИ 1993.- Т. 204 - С.61-81.

39. Нурсултанов Е.Д. Многопараметрический интерполяционный функтор и пространства Лоренца Lp^ q — (qi,q2r,Qn) / Е.Д.Нурсултанов--- i

40. Функц. анализ и его прил — 1997. Т.31.— №. 2 — С.79 82.

41. Овчинников В.И. Точная интерполяционная теорема в пространствах LP / В.И.Овчинников // Докл.АН СССР.- 1983.- Т.272 №.2,- С. 300 - 303.

42. Пекарский А.А. Классы аналитических функций, определеные наилучшими приближениями в Нр / А.А.Пекарский // Матем. сб.— 1985.- Т. 127.- №- С.3-39. 510.

43. Пеллер В.В. Операторы Ганкеля и свойства непрерывности операторов наилучшего приближения / В.В.Пеллер // Алгебра и анализ — 1990.- Т.2.- вып.1.— С.165 189.

44. Пекарский А.А. Чебышевские рациональные приближения в круге, на окружности и на отрезке / А.А.Пекарский // Матем. сб.— 1987.— Т.133.-Ж1.- С. 86 102.

45. Пекарский А.А. Прямые и обратные теоремы рациональной аппроксимации в пространствах Lp— 1; 1. и С[— 1; 1] / А.А. Пекарский // Докл.АН СССР.- 1987.- Т.293.- №. 6. С.1307 - 1310.

46. Пекарский А.А. О скорости наилучших приближений в пространствах С, ВМО и Lp / А.А.Пекарский // Доклады Расширенного Заседания Семинара ин-та приклад.математ. им.Векуа 23-27 апр. 1985г.— Т.1.- №2.—Тбилиси.— 1985,- С.108-109.

47. Пеллер В.В. Операторы Ганкеля класса ар и их приложения (рациональная аппроксимация, гауссовские процессы, проблема мажора1. Литература--Z Oljции операторов ) / В.В.Пеллер // Матем. сб.— 1980.— Т. 113.— №4,— С.538-581.

48. Седаев А.А. О возможностях описания интерполяционных пространств в терминах К-метода Петре / А.А.Седаев, Е.М.Семенов // Оптимизация: Сб.ст.— 1971.- Т.21.— №. 4,- С. 98 114.

49. Трибель X. Теория интерполяции, функциональные пространства,1. Литература------Zqдифференциальные операторы. / Х.Трибель — М.: Мир, 1980.— 664с.

50. Трибель X. Теория функциональных пространств. / Х.Трибель — М.: Мир, 1986.- 447с.

51. Шефер X. Топологические векторные пространства./ X. Шефер — М.:Мир, 1971.- 359с.

52. Asekritova I. Theorem of reiteration and K-divisionable (n+l)-tuples of Banach spaces /I. Asekritova // Funct. Approx. Comment. Math. — 1992,- V. 20.- P.171 175.

53. Asekritova I. Lions-Peetre reiteration formulas for triples and their applications. / I.Asekritova, N.Krugljak, L.Maligranda, L.Nikolova, L-E.Persson // Studia Math.- 2001,- V.145.- P.219 254.

54. Asekritova I. On equivalence of K- and J-methods for (n+l)-tuples of Banach spaces / I.Asekritova, N.Krugljak // Studia Math.— 1997.— V.122.— P.99-116.

55. Bacuta C.Regularity estimates for elliptic boundary value problems in Besov spaces /С.Bacuta, H.Bramble, J.Xu // Math. Comput.— 2003.— V.72.—№244 — P.1577-1595.

56. Bekmaganbetov, К.А. The method of multi-parameter interpolation and imbedding theorems of Besov spaces 0,27t). /K.A.Bekmaganbetov, E.D.Nursultanov // Anal. Math 1998,- V.24—№4 — P.241-263.

57. Bennet C. Banach Function Spaces and Interpolation Methods. l.The Abstract Theory. / C.Bennet // Journal of functional analysis.— 1974.— V.17.— P.409 440.

58. Bocking J. Nicht-diagonale Interpolation von klassischen Funktionenraumen./ J.Bocking // Dissertaion, Rheinische Friedrich-Wilhelms-Universitat Bonn, 1994. 269p.

59. Boyd D.W. Indices of function spaces and their relationship to inerpolation. / D.W.Boyd // Canad. J. Math.- 1967.- V.21- P.1245 1254.

60. Bruddnyi Yu.A. Interpolation functors and interpolation spaces .1. / Yu.A.Bruddnyi, N.Ya.Krugliak — Amsterdam: North-Holland.— 1991 — 717p.

61. Calderon A.P. Intermediate spaces and interpolation, the complex method / A.P.Calderon // Studia Math.- 1964.- V.24.- P.113 190.

62. Carro M.J. Real interpolation for families of Banach spaces. / M.J.Carro // Studia Math.- 1994.- V.109.-№1.- P. 1-21.

63. Carro M. Some real interpolation methods for families of Banach spaces a comparison / M.Carro, L.I.Nikolova, J.Peetre, L.E.Persson // J. Approx. Theory - 1997.- V. 89,- P.26 - 57.1. Литература

64. Ceausu Т. On interpolation of linear operators on Lorentz spaces. / T.Ceausu, D.Gaspar // An. Univ. Timis., Ser. Mat.-Inform. — 1993.— V.31- №1-P.15-30.

65. Ceausu T. On the real interpolation methods of Banach (n + l)-tuples. / T.Ceausu, I.Stan // Bui. Stiint. Teh. Univ. Teh. Timis., Ser. Mat.-Fiz. 1991.- P.22-30.

66. Cobos F. On the Lorentz Marcikiewicz operator ideal / F.Cobos // Math. Nachr.- 1986,- Bd.126 — P.281 - 300.

67. Cobos F. On interpolation of bilinear operators by methods associated to polygons / F.Cobos, M. Josiu,, A. Martanez // Boll. Unione Mat. Ital., Sez. B, Artie. Ric. Mat. 1999.- V.8 (2).- №- 2.- P.319-330.

68. Cobos F. On duality between К and J spaces / F.Cobos, P.Fernandez-Martinez, Raynaud // Proc. Edinburgh Math. Soc — 1999 — V.42.— Ж1- P.43 63.

69. Cobos F. Reiteration and a Wolff theorem for interpolation methods by means of poligons / F.Cobos, P.Fernandez-Martinez // Studia Math.— 1992.- V.102.— P. 239 256.

70. Cobos F. Interpolation of compact operators: the multidimensional case / F.Cobos, J.Peetre // Proc. of the Lond. Math. Soc.- 1991,- V.63.-m.- P.371-400.

71. Cobos F. On interpolation of bilinear operators by methods associated polygons / F.Cobos, J.M.Cordeiro, A.Martanez A. // J. Boll. Unione1. Литература 254

72. Mat. Ital., Sez. В, Artie. Ric. Mat. 1999.- (8)2 —№2 — P.319-330. case / F.Cobos, J.Peetre // Proc. of the Lond. Math. Soc.— 1991.— V.63.- №2.- P.371-400.

73. Cwikel M. Real and complex and extrapolation of compact operators/ M.Cwikel // Duke Math. Journal.- 1992,- V. 65.- P. 333 343.

74. Cwikel M. Real and complex nterpolation for finite and infinte families of B-spaces / M.Cwikel, S.Janson // Advances in Matem.— 1987.— V.66.— P.234 290.

75. DeVore R. The K-functional for (#ь В MO). / R.DeVore // Lect.Notes Math.- 1984.- V. 1070.- P.66 79.

76. DeVore R. if-functionals for Besov spaces. / R.DeVore, Yu X.M. // J. Approximation Theory — 1991 — V. 67—JYU P.38-50.

77. Echandsa V. Interpolation between H1 and BMO using a parameter function. / V. Echandsa // J. Acta Cient. Venez. — 1999.— V. 50 — № 3 P. 146-150.

78. Ericsson S. Certain reiteration and equivalence results for the Cobos-Peetre polygon interpolation method / S.Ericsson // Math. Scand.— 1999,- V. 85.- P. 301 319.

79. Ericsson S. Description of some К functionals for three spaces and reiteration / S.Ericsson // Math. Nachr.- 1999.- V.202 P.29-41.

80. Fernandez D.L. A theory of interpolation for 4-tuples of Banach spaces / D.L.Fernandez // Anais Academia Brasileirade Ciencias.— 1974.—1. Литература1. V.46.-P.690 692.

81. Fernandez D.L. Interpolation of 2n Banach spaces / D.L.Fernandez // Stud, math.- 1979.- V.65. P.175 - 201.

82. Fernandez D.L. Lorentz spaces with mixed norms / D.L.Fernandez // J.Funct.Anal—1977.— v. 25. Ш. - C.128 - 146.

83. Freitag D. Realinterpolation of weighted Lp-spaces / D.Freitag // Math. Nachr. 1978.- V.86.- P.15 - 18.

84. Gustavson J. A function parametr in connection with interpolation of Banach spaces / J.Gustavson // Math. Scand.— 1978.- V.42 — P.289 -305.

85. Gheorghe L.G. Interpolation of Besov spaces and applications / L.G. Gheorghe // Matematiche— 2000,- V.55.-№1.- P.29-42.

86. Hanks R. Interpolation by the Real Method Between BMO,1.{0 < a < oo), Ha(0 < a < oo)/ R.Hanks // Indiana Univ. Math. J.- 1977,- V.26.— № 4.- P.679 689.

87. Han Y. Inhomogeneous Besov and Triebel-Lizorkin spaces on spaces of homgeneous type / Y. Han, S.Lu, D.Yang // Approximation Theory Appl.— 1999,- V.15.-№3.- P.37-65.

88. Hanks R. Interpolation by the Real Method Between BMO,LQ(0 < a < oo), Ha(0 < a < oo)/ R.Hanks // Indiana Univ. Math. J.- 1977 — V.26.- № 4,- P.679 689.

89. Holmstedt Т. Interpolation of Quasinormed Spaces / T.Holmstedt // Math. Scand. 1970,- V.26.- №1.- P.177-199.

90. Janson S. Notes on Wolff's note on interpolation spaces / S.Janson, P.Nilsson, J.Peetre, M.Zafran // Proc. London Math. Soc.— 1984.— V. 48,- P.283 299.

91. Kisliakov S.V. Interpolation of Hp -spaces: Some recent developments / S.V.Kisliakov // Proc. of the workshop, Haifa, Israel, June 7-13, 1995. Ramat Gan: Bar-Ilan University. Isr. Math. Conf. Proc. 13, 102-140 (1999)

92. Kutzarova D.N. Notes on Wolff's note on interpolation spaces / D.N. Kutzarova; L.Y.Nikolova; T.Zachariades // Math. Nachr.— 1995 — V. 171.- P.259-268.

93. Li.H. Notes on Wolff's note on interpolation spaces / H.Li, B.Sheng, Z.Sheng // J. Baoji Coll. Arts Sci., Nat. Sci.- 1999.- V. 19 —№2.— P.l-6.

94. Lions J. Une construction d'espaces d'interpolation / J.Lions // C.R. Acad. Sci. Paris I960'.- V. 251.- P.1853 - 1856.

95. Lions J. Sur les d'espaces d'interpolation / J.Lions // Math. Scand. — 1962. V.9 - P. 147-177.

96. Lions J.L., Magenes E. Problemes and limites non homogenes /J.L.i1.ons, E.Magenes // Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa, 1961.- V. 15 — P.391. Литература-lb

97. Lions J. Sur une classe d'espaces d'interpolation / J.Lions, J.Peetre //1.st. Hautes Etudes Sci. Publ. Math. 1964.- V. 19 — P. 5 - 68.

98. Liu L. Interpolation between Sobolov spaces. / L.Liu // J. Math. Res. Expo. 1995.- V.15 - P. 153-154.

99. Luxemburg W.A. J. Appendum to «on the measurability of a function which occurs in a paper by A.C.Zaanen» / W.A.J.Luxemburg // Proc. konikl. Nederl. acad. wetensch.- 1963.— V.A66 — № 4.- P.587-590.

100. Magenes E. Интерполяционные пространства и уравнения в частных производных / Е.Magenes // УМЫ. 1966 - № 2,— С. 169-218.

101. Maligranda L. The K-functional for symmetric spaces / Lecture Notes in Math.- 1984,- V.1070 — P.169-182.

102. Maligranda L. A bibliography on «Interpolation of Operators and Applications» 1926-1990 / L.Maligranda // Dept. of Math., LuleaUniversity.— 1990.

103. Machihara S. Interpolation inequalities in Besov spaces/ S.Machihara, T.Ozawa // Proc. Am. Math. Soc 2003.- V.131- №5.-P.1553-1556.

104. Marcinkiewicz J. Sur Interpolation d'operteus / Marcinkiewicz J. // C.R.Acad.Sci. Paris.- 1939.- V.208 P.1272 - 1273.

105. Matsuoka Katsuo Interpolation theorem between Bq and BMO / Matsuoka Katsuo 11 Sci. Math. Jap. 2001. - V.53.- № 3.- P. 547 - 554.

106. Merucci C. Applications of interpolation with a function parameter to Lorentz, Sobolev and Besov spaces / C.Merucci // Lect. Notes Math.—1. Литература--2581984.- №1070.- Р.183 201.

107. Mihailov D. On Sparr and Fernandez's interpolation methods on Banach spaces / D.Mihailov, I.Stan // Novi Sad J. Math. — 2002 — V.32 — № 2.- C. 37 45.

108. Milman M. On Interpolation of 2n Banach Spaces and Lorentz Spaces with Mixed Norms / M.Milman // J. of functional analysis.— 1981.— № 41.- C.l 7.

109. Oswald P. On Besov-Hardy-Sobolev spaces of analytic function in the unit disc / P.Oswald // Czechoslovak. Mathem. J — 1983,-V.33 (108).— m.- P. 408 426.

110. Ovchinnikov V.I. The Method of Orbits in interpolation Theory / V.I.Ov-chinnikov // Math. Reports.— 1984,— Ж1 — P.349 515.

111. Peetre J. Sur le nombre de parametres dans la definition de certain espaces d'interpolation / J.Peetre // Ricerche Mat.— 1963.— V.12.— P.248 261.

112. Peetre J. A theory of interpolation of nurmed spaces / Peetre J. // Notes Universidade de Brasilia.— 1963.

113. Peetre J. Interpolation i abstracta rum / J.Peetre // Lecture Notes. Lund.- 1966.

114. Peetre J. Hankel operators, rational approximation and allied questions of analysis / J.Peetre // Canadian Mathematical Society Conference Proc.- 1983.- V.3.- P. 287 332.

115. Peetre J. Sur les espaces de Besov / J.Peetre // C.R. Acad. Sci. Paris.— 1967.- V.264 P.281 - 283.

116. Peetre J., Svensson E. On the generalized Hardy's inequality of McGehee, Pigno and Smith and the problem of interpolation between BMO and a Besov space / J.Peetre, E.Svensson // Math. Scand.— 1984.— V.54.— P.221 241.

117. Persson J. Descriptions of some interpolatin spaces in off-diagonal cases / J.Persson // in: Lecture Notes in Math.— 1984 — V.1070 — Springer — P.213 231.

118. Pietch A. Interpolationsfunktoren, Folgenideale and Operatorenideale / A.Pietch // Czechoslovak Math. J.- 1971.- V.21 P. 644 - 652.

119. Pyatkov S.G. Interpolation of weighted Sobolev spaces. / S.G.Pyatkov // Sib. Adv. Math.- 2000,- V.10 — P. 83-132.

120. Riesz M. Sur les maxima des formes bilineaires et sur les fonetionelles lineaires / M.Riesz // Acta Math.- 1926.- V.49 — P. 465 497.

121. Sparr G. Interpolation of several Banach spaces / G.Sparr // Ann. Mat. Рига Appl.— 1976.- V.99.— P.247 316.

122. Sparr G. Interpolation of weighted Lp spaces / G.Sparr I j Studia Math.- 1978,- V.62 — P.229 - 271.

123. Thorin G.O. An extension of convexity theorem due to M.Riesz / G.O.Tho-rin // Comm. Sem. Math. Univ. Lund.- 1939.- № 4,- P.l 5.1. Литература с------------ ^

124. Wolff Т. A note of interpolation spaces / T.Wolff // Harmonic Analisis. Lecture Notas in Math.— 1982.— Springer ver. Berlin New York.— № 908.- P. 199 - 204.

125. Крепкогорский В.JI. Пространства функций, допускающие описание в терминах рациональной аппроксимации в норме ВМО / В.Л.Крепкогорский // Изв. вузов. Математика.— 1988.— №.10 — С.23 30.

126. Крепкогорский В.Л. Пространства, интеполяционные относительно пространств Бесова / В.Л.Крепкогорский // Изв. вузов. Математика. 1989.- Ж11,- С.85 87.

127. Крепкогорский В.Л. Пространства рациональной аппроксимации по норме Нр / В.Л.Крепкогорский // Деп. в ВИНИТИ 03.11.89 Ред. ж. Изв.вузов. Матем—1989 — №. 6701-В89.— 10 с.

128. Крепкогорский В.Л. Квазинормировапные пространства функций, рациональной аппроксимации в норме ВМО / В.Л.Крепкогорский // Изв. вузов. Математика.— 1990 — №3 — С.38 44.

129. Крепкогорский В.Л. Интерполяция в пространствах Лизоркина-Трибеля и Бесова / В.Л.Крепкогорский // Матем. сб.— 1994.—Т.185.— №7.- С.63 76.

130. Крепкогорский В.Л. Интерполяция с функциональным параметром в классе пространств Бесова / В.Л.Крепкогорский // Изв. вузов. Математика.- 1996 — №.6 С.54 - 62.

131. Крепкогорский В.Л. Интерполяция и теоремы вложения для ква1. Литературазинормированных пространств Бесова / В.Л.Крепкогорский // Изв. вузов. Математика.- 1999.- №.7.— С.23 29.

132. Крепкогорский В.Л. О многомерных методах интерполяции / В.Л.Крепкогорский // Изв. вузов. Математика.— 1999.— №.11.— С.41 49.

133. Крепкогорский В.Л. Пространства рациональной аппроксимации по чебышевской норме / В.Л.Крепкогорский // Тезисы конферен. "Теория функций, ее приложения и смежные вопросы."Казань.— 1999.— С.130 131.

134. Крепкогорский В.Л. Интерполяция в классе пространств гладких функций. Чебышевская рациональная аппроксимация па окружности. / В.Л.Крепкогорский // Алгебра и анализ.— 2000.— Т.12— вып.5 С. 128 - 141.

135. Крепкогорский В.Л. Интерполяция в классе пространств Бесова и Лизоркина-Трибеля. Предельный случай ро = оо. / В.Л.Крепкогорский // Известия вузов. Математика.— 2000.— № 5.— С.72-74.

136. Крепкогорский В.Л. Реализация интерполяционного метода Спарра в классах пространств гладких функций. /В.Л.Крепкогорский //1. Литература-----262

137. Математические заметки. — 2001.— Т.70— вып.4.— С. 581-590.

138. Крепкогорский В.Л. Метод Спарра в пространствах Бесова. / В.Л.Крепкогорский // Материалы конференци по функциональному анализу.— Казанский гос. ун-т, Казань,— 2001— С.130-131.

139. Крепкогорский В.Л. Интерполяция пространств Бесова. Нормы, заданные с помощью модуля непрерывности. /В.Л.Крепкогорский // Известия вузов. Математика,— 2002. № 1 — С. 76 78.

140. Крепкогорский B.J1. Интерполяция пространств рациональной аппроксимации, принадлежащих к классу Бесова. /В.J1.Крепкогорский // Математические заметки. — 2005.— Т.77— вып.6.— С. 877-885.

141. Крепкогорский B.J1. Интерполяция пространств Бесова на области /В.JI.Крепкогорский //"Современные методы теории функции и смежные проблемы": Материалы Воронежской зимней математической школы (Воронеж, 2007 г. // ВГУ,- 2007г. С.114-115).

142. Крепкогорский B.JI. Интерполяционные семейства пространств со смешанной нормой: Дис. канд. физ-мат. наук / В.J1.Крепкогорский; Казанск.гос.ун-т.— Казань, 1982.—142 с.