Дробные классы Соболева на бесконечномерных пространствах

Никитин, Егор Владимирович

Дробные классы Соболева на бесконечномерных пространствах тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Никитин, Егор Владимирович АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Москва МЕСТО ЗАЩИТЫ

2013 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.01 КОД ВАК РФ

Диссертация по математике на тему «Дробные классы Соболева на бесконечномерных пространствах»

Автореферат диссертации на тему "Дробные классы Соболева на бесконечномерных пространствах"

Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова Механико-математический факультет

На правах рукописи УДК 519.2

Никитин Егор Владимирович

ДРОБНЫЕ КЛАССЫ СОБОЛЕВА НА БЕСКОНЕЧНОМЕРНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ

01.01.01 — вещественный, комплексный и функциональный анализ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

о з апр гзм

005546625

Москва, 2014

005546625

Работа выполнена на кафедре теории функций и функционального анализа механико-математического факультета Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова.

Научный руководитель:

доктор физико-математических

наук, профессор Богачев Владимир Игоревич

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук Кириллов Андрей Игоревич,

РФФИ, начальник управления конкурсных проектов по математике, механике и информатике

кандидат физико-математических наук Кругова Елена Павловна, ВИНИТИ РАН, старший научный сотрудник ОНИ ПФМНиИТ

Ведущая организация: Московский государственный технический

университет им. Н.Э. Баумана

Защита диссертации состоится 25 апреля 2014 г. в 16 часов 45 минут на заседании диссертационного совета Д 501.001.85 при Московском государственном университете имени М.В. Ломоносова по адресу: 119991, ГСП-1, Москва, Ленинские горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 16-24.

С диссертацией можно ознакомиться в Фундаментальной библиотеке МГУ имени М.В. Ломоносова (Ломоносовский проспект, 27).

Автореферат разослан 25 марта 2014 г..

Ученый секретарь диссертационного совета Д 501.001.85 при МГУ, доктор физико-математических наук, профессор

В.Н. Сорокин

Общая характеристика работы

Актуальность темы. На конечномерных пространствах существуют различные способы определения пространств Соболева с дробным порядком дифференцируемости. Среди них наиболее хорошо изучены пространства Бесова1,2, а также близкие к ним пространства Слободецкого3. Подобные дробные шкалы пространств широко применяются в теории дифференциальных уравнений с частными производными (см. монографии4,5). Пространства типа Бесова тесно связаны с пространствами Соболева. Как правило, одни вложены в другие, а в некоторых случаях совпадают. Один из важнейших известных результатов состоит в том, что следы функций из пространства Соболева на R" представляются функциями из пространства Бесова на соответствующем подпространстве R"-*.

Классы Соболева над бесконечномерными пространствами впервые были определены и исследованы H.H. Фроловым6 в начале 1970-х годов также с целью применения к дифференциальным уравнениям.

Несколько позже такие пространства стали использоваться П. Мал-лявэном в разработанном им «исчислении Маллявэна»7 и быстро стали весьма популярным объектом исследования на стыке стохастического анализа, нелинейного функционального анализа и теории меры (см.

^О.В. Бесов. О некотором семействе функциональных пространств. Теоремы вложения и продолжения. ДЛИ СССР. 1059. T. 126, N 0. С. 11G3-1165.

2О.В. Бесов. Исследование одного семейства функциональных пространств в связи с теоремами вложения и продолжения. Труды МИАН пм. Стеклова. 1961. Т. 60. С. 42-81.

^Л.Н. Слободецкий. Обобщенные пространства С.Л.Соболева и их приложения к краевым задачам для дифференциальных уравнений в частных производных. Ученые записки ЛГПИ им. А.И. Герцена. 1058. Т. 1Я7. С. 54-112.

4Х. Трибель. Теория интерполяции, функциональные пространства, дифференциальные операторы. Мир, M., 1980.

^М.С. Агранович. Соболевские пространства, их обобщения и эллиптические задачи в областях с гладкой и липшицевой границей. МЦНМО, M., 2013.

®Н.Н. Фролов. Теоремы вложения для пространств функций счетного числа переменных I. Тр. Ин-та матем. Воронеж, ун-та. Изд-во Воронеж, ун-та. 1970. Вып. 1. С. 205-218.

7 P. Malliavin. Stochastic calculus of variation and hypoelliptic operators. Proc. Intern. Symp. on Stock. DifT. Eq. P. 195-263. Wiley, New York - Chichester - Brisbane, 1978.

монографию8). Современное состояние их теории представлено в книге9. Систематическое изучение пространств Бесова над бесконечномерными пространствами пока не осуществлялось. В нескольких работах для определения пространств типа Бесова применялся вещественный метод теории интерполяции, который также может использоваться и в конечномерном случае. Вещественный интерполяционный метод в разных формах предложили Ж.Л. Лионе, Ж. Петре10 и другие математики.

В работе 2003 года Э. Эро, В.И. Богачев и П. Леско11 использовали вещественный интерполяционный /С-метод для определения дробных классов Соболева ^<7'р('у) > 0 < cr < 1, на локально выпуклом пространстве с гауссовской мерой 7. Основным результатом этой работы является теорема о том, что сужение соболевской функции на подпространства Е + у, параллельные конечномерному подпространству Е из пространства Камерона-Мартина, лежат в классе Е"'р(7У) по условным мерам на Е + у при почти всех у относительно проекции меры на дополняющее Е подпространство.

В упомянутой работе Э. Эро, В.И. Богачева и П. Леско используются результаты, полученные в известной работе С. Ватанабэ12, где пространства Es<p(7) определяются интерполяционным методом следов Ж.Л. Ли-онса для произвольного s, при этом для целых s пространство Es,p(7) полагается равным пространству Соболева. Пространства Es'p(7) оказываются удобнее пространств Соболева в первую очередь благодаря свойству инвариантности относительно композиций с липшицевыми функциями. Эквивалентность определения, которое дает Ватанабэ, определению через интерполяционный /("-метод для 0 < s < 1 можно считать очевидной, однако в общем случае для утверждения эквивалентности требуется

Shigekawa. Stochastic analysis. Amer. Math. Soc., Providence, Rhode Island, 2004.

9В.И. Богачев. Дифференцируемые меры и исчисление Маллявэна. НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», М. - Ижевск, 2008.

10J.L. Lions, J. Peetre. Sur une classe d'espaces d'interpolation. Publ. Math. Inst. Hautes Etudes Sei. Publ. Math. 1964. V. 19. P. 6-64.

Эро, В.И. Богачев, П. Леско. Конечномерные сечения функций из дробных классов Соболева на бесконечномерных пространствах. Докл. РАН. 2003. Т. 391, N 3. С. 320-323.

12S. Wanatabe. Fractional order Sobolev spaces on Wiener space. Probab. Theory Related Fields. 1993. V. 95. P. 175-198.

дополнительное свойство пространств Соболева, которое доказано в диссертационной работе. Заметим также, что для целых б интерполяционный АГ-метод дает пространства, которые для р ф 2 не совпадают с пространствами Соболева. Классические пространства Бесова также имеют дополнительный индекс q, который позволяет дать более точную шкалу пространств, чем пространства Соболева. Пространства Е3'р при этом соответствуют случаю равных д и р.

В недавней работе Е. Пинеды и В. Урбино13 подробно рассматриваются свойства пространств Бесова Врд(л), определяемых с помощью полугруппы Пуассона на конечномерном пространстве с гауссовской мерой 7¿. Этот метод может быть успешно перенесен с небольшими изменениями на бесконечномерные пространства. Доказательства большинства основных свойств при этом остаются неизменными или легко модифицируются с применением теории полугрупп.

Существует направление изучения пространств типа Бесова и пространств типа Трибеля-Лизоркина, связанных с неотрицательным самосопряженным оператором Ь, на метрических пространствах с мерами, обладающими свойством удвоения14,15. Это сравнительно новое направление является близким к конечномерному случаю. Связь с ним в диссертации подробно не рассматривается.

В диссертационной работе вещественным интерполяционным .К'-мето-дом определяются пространства типа Бесова Ва'т. Устанавливаются интерполяционные свойства пространств Соболева, которые позволяют получить базовые результаты типа теорем вложения для пространств Вя,р,я и доказать их эквивалентность пространствам, вводимым Ватанабэ, для равных д и р и дробных я. Кроме того, в диссертационной работе дается альтернативное определение пространств типа Бесова, по методу работы

1 «5

Pineda, W. IJrbino. Some results on Gaussian Besov-Lipschitz spaces and Gaussian Trtebel-Lizorkin spaces. J. Approx. Theory. 2009. V. 161. P. 529-564.

^D. Yang, W. Yuan. New Besov-type spaces and Triebel-Lizorkin-type spaces including Q spaces. Math. Z. 2010. B. 265. S. 451-480.

^L. Liu, D. Yang, W. Yuan. Besov-type and Triebel-Lizorkin-type spaces associated with heat kernels. arXiv:1309.13G6. Preprint. 2013.

Б. Пинеды, В. Урбино, через полугруппу, близкую полугруппе Пуассона Qt. Это определение оказывается эквивалентным интерполяционному определению. В то время как определение через полугруппу Пуассона позволяет разбирать частные случаи (например, оно используется для демонстрации большей точности шкалы пространств Бесова), интерполяционное определение кажется более эффективным в общих вопросах. Например, это определение, как представляется, может быть успешно применено для изучения следов функций Соболева на подпространствах и гиперповерхностях.

Цель работы. Исследование различных определений дробных классов Соболева, в том числе пространств типа Бесова, а также связей между этими определениями и связей пространств типа Бесова и пространств Соболева.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем.

1. Введено несколько определений пространств типа Бесова на локально выпуклых пространствах с гауссовскими мерами и доказана равносильность определений, использующих интерполяционные методы, а также определения через полугруппу Пуассона.

2. Установлено свойство приближения в I/ соболевских функций с меньшим индексом дифференцируемости соболевскими функциями с большим индексом дифференцируемости и контролируемой соболевской нормой приближающей функции. Для р = 2 индексы могут быть произвольными действительными, для р > 1 индексы предполагаются целыми.

3. Доказан ряд свойств типа вложения пространств Бесова и Соболева. Доказано, что пространства типа Бесова В5'2,2 совпадают с пространствами Соболева Я2,5. Дается пример, показывающий, что для д > 2

пространства Bs'2'q не совпадают с Я2,5 и лежат во всех Я2'51 с меньшим индексом si. Таким образом, пространства типа Бесова дают более точную шкалу пространств, чем пространства Соболева.

Методы исследования. В работе применяются методы функционального анализа, теории меры, теории интерполяционных пространств, элементы стохастического анализа, а также некоторые оригинальные конструкции.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Полученные в диссертации результаты представляют интерес для специалистов в области функционального анализа и теории случайных процессов.

Апробация диссертации. По теме диссертации были сделаны доклады на следующих семинарах:

— научно-исследовательском семинаре кафедры теории функций и функционального анализа механико-математического факультета МГУ имени М. В. Ломоносова «Бесконечномерный анализ и стохастика» под руководством В.И. Богачева, H.A. Толмачева и C.B. Шапошникова (2009-2013 гг.)

— семинаре «Исчисление Маллявэна и его приложения» под руководством А.Ю. Пилипенко и A.A. Дороговцева в Институте математики HAH Украины (Киев, 2013 г.)

— научно-исследовательском семинаре «Анализ и дифференциальные уравнения» кафедры ФН-2 «Прикладная математика» МГТУ им. Н.Э. Баумана (2014 г.)

Основные результаты диссертации докладывались также на международной конференции «Ломоносов-2013» (Москва, 2013 г.).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 4 работах автора, из которых 3 — в журналах из перечня ВАК. Список работ приведен в конце автореферата.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, включающих 5 параграфов, и списка литературы из 31 наименования, включая работы автора. Общий объем диссертации составляет 59 страниц.

В первой главе рассматривается интерполяционный подход к определению пространств типа Бесова на бесконечномерных пространствах. Доказывается вложение этих пространств в пространства Соболева и ряд других свойств.

Рассматривается локально выпуклое пространство X, на котором определена центрированная радоновская гауссовская мера 7. Пространства Соболева на X можно задать равенством

Пространства типа Бесова определяются с помощью вещественного интерполяционного /^-метода. Приведем определение этого метода. Пусть Хо, Х\ - нормированные пространства, и

К(Ци) тЩиоНх,, +<||и!||х1: и = щ +иьщ € Х0,Щ € ^1}.

Если 0<(?<1и1<д<оо, то (Хо, Х\)о-ч%к обозначает пространство всех функций и & Хо + Х\ таких, что функция Ь »->• и) входит в

Ы := Щ0,оо;£й/4).

Определение 1. Пусть 0 < в < оо, 1 < р < со, 1 < д < оо, т. — наименьшее целое, большее в. Пространством Бесова В8]р,д(7) назовем определенное с помощью вещественного интерполяционного К-метода

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Глава 1.

интерполяционное пространство между L?(~{) и Нр'т(7) с индексом в = s/m, т.е.

В^Ъ) = И7), н»>»Ъ))зМ.

Ряд свойств пространств Бесова доказывается с помощью так называемой реитерационной теоремы, известной в рамках вещественного интерполяционного метода. Чтобы ее применить, нужно доказать, что пространство Соболева само является в определенном смысле промежуточным между 1^(7) и пространствами Соболева с более высокими индексами дифференцируемости. Для доказательства этого утверждения потребуется установить два свойства пространств Соболева..

Первым является следующее неравенство, верное для всех функций и е НР'г{-у):

1 —£ г

1М!р,г < с(г, s)||u||p ' ||u||p,S) 0 < г < s, r,s€l.

Второе необходимое нам свойство пространств Соболева содержится в следующей теореме.

Теорема 1. Пусть р > 1. Пусть к, т&Ъ, 0 < к < т. Тогда дм всякой функции и 6 Hp'k(f) и для всякого достаточно малого е > 0 найдется такая функция и£ 6 Нр,т(7), что

||и - ие||р < С{р, k)£k\\u\\p,k, ||Ue||p,m < С(р, k, m)ek_m||u||Pib

В случае р = 2 эту теорему можно усилить, распространив на пространства Соболева дробных порядков дифференцируемости. Это позволит для р = 2 вывести некоторые свойства вложений, не имеющие аналогов в конечномерном случае, где в теории пространств Бесова рассматриваются классы Соболева только целых индексов.

Пусть X, Xq, Xi — нормированные пространства,

J(t;u) := max {||u||Xo, ¿INk}-По определению, X £ Щв; Xq,Xi), где 0 < в < 1, если K(t\u) <c(e)te\\u\\x VueX, Ых <C(e)t~eJ(tu) Wu&XoDXi.

Пространство Соболева Нр'к{7) является промежуточным между 1^(7) и Нр'т(7) в том смысле, что оно принадлежит к классу Н(к/тп-,Ьр('у),Нр,т(,у)). Точный результат дает следующая теорема.

Теорема 2. Пусть р > 1. Для всех к, meZ,0<í;<m имеем Кроме того, для всех г, 56 К, 0 < г < й имеем

Н2'Ъ) б Н(г/з;Ь2(7),Я2'в(7)), ЯР'Ъ) 6 ^г/з; Щ7), Я^(7)).

Применяя эту теорему и реитерационную теорему, мы можем установить ряд свойств пространств Бесова.

Теорема 3. Пусть р > 1. 1) Если в определении Я5;р,?(7) в качестве т брать любые целые, большие в, то получим одно и то же пространство.

2) Если > в и 1 < д, < оо, то

в частности, 7) с Я5;р'?(7).

3) Если 0 < к < в < т, к, т £ 2 и в = (1 - + 0т, то

в частности, Яр'т(7) с Я5;р'?(7) С Яр-*(7).

4) ЙХ < в < 5 = (1 — 0)51 + и 1 < 91, 92 < оо, то

5) Ясли т целое, то Вт;р-1(7) с Яр'т(7) С Ят^°°(7).

Для р = 2 получаем более сильные свойства. Теорема 4. 1) Если 0 < г < в < г, г, £ 6 К и я = (1 - в)г + вЬ, то

7) С (Я^(7),Я^(7)),;?Ж. В частности, В'1М(7) С Яр>'(7). Кроме того, В3;р-1(7) с Яр,а(7).

2) Если О < г < s < t, г, t € R и s = (1 - в)г + 9t, то

В частности, Я2'г(7) С £s;2'9(7) С Я2^(7).

3) Ss;2,1(7) С Я2,5(7) С Bs;2'°°(7).

Таким образом, как и в конечномерном случае, определенные нами пространства Бесова _Bs;p,9(7) вкладываются в пространства Соболева, индекс дифференцируемое™ которых равен наименьшему целому числу, меньшему з. Кроме того, для любого р > 1 пространство Бесова Bs'M(j) вложено в пространство Соболева Яр,'(7) с любым t > s, а для р = 2 верно и обратное вложение.

В качестве применения указанных свойств доказывается следующая теорема.

Теорема 5. Пусть г > 0, s > 0. Оператор Vr = (I — L)~r/2 — ограниченный оператор из BSM(7) в Br+s;M(7).

Определенные нами пространств Бесова Bs,p'4(j) связаны с дробными классами Соболева Es,p("f), которые определяются с помощью интерполяционного метода следов Ж.-Л. Лионса. Пусть Bi и B<¿ — вещественные сепарабельные банаховы пространства и В\ С i?2. Для х € В%\Вi положим |х|в1 = оо по определению. Для 1<р<оои1/бК банахово пространство W = W(g, i/; Я2) определяется как множество всех абсолютно непрерывных функций /: (0, оо) —> Втаких что t"f е Ья{{0, оо) -> Bi) и tvf е Ьд((О, оо) ->■ Я2), с нормой

||/||ж = max(||í'//IU,((o,oo)-»Bj)i И^/'И^ДО,«)^))-

Если в = ¿ +^ < 1, то lim¿|o /(£) = /(0) существует в и мы полагаем

Т = В2) = {/(0)1/ € W(q, и; Ви Вг)},

||«||г = inf{||Лк1/ е Щч, f; Bu в2), /(о) = и}, и е т.

Определение 2. Дробные классы Соболева Е8ф('у), 1 < р < оо, s € М, задаются равенством

£я'р(7) = Яри(7), если s€Z,

и равенством

= Т1-а{Ем*(г(), Ек*{-г)), если 5 = к + а, к е Ъ, 0 < сг < 1.

Из общей теории интерполяционных пространств известно, что интерполяционный метод следов эквивалентен вещественному интерполяционному К-методу, который мы использовали для определения пространств Бесова В8;м(7). Благодаря этому, а также доказанным свойствам В8,р'я(7) мы можем доказать следующую теорему.

Теорема 6. Для 1 < р < оо и дробных я пространства Е8'р(7) совпадают с пространствами Вв'р,р(7), а их нормы эквивалентны. При р = 2 пространства £?"'2(7) и £?";2'2(7) совпадают для всех в > 0.

Из этой теоремы, применяя результат, доказанный в работе Ватанабэ, получаем такое следствие.

Следствие 1. Пусть э > 0, е > 0, 1 < ЦиЦ2 < оо и 1 < р < оо.

Справедливы вложения

Можно определить классы Бесова с отрицательным индексом дифференцируемое™.

Определение 3. Для & 0 < <т < О пространства Бесова

В~к+а'р'ч{7) определяются равенством

Пространства, определенные через вещественный интерполяционный метод, обладают свойством дуальности. Легко видеть, что для любых действительных в имеет место равенство

В»+ам1(7) с #гм(7) с В«-Ч>.Й(7).

1/2,д;Я"

= 7), р-'+р'-1 = 1, я'1 + г1 = 1.

,'-1

Для интерполяционных пространств также известна характеризация через полугруппы. Для а > 0 положим

<?**> = ГТ^ХП<18), \W\ds) := *

J о

где Т.'¡^ = е~"'Т(. При а = 0 полугруппа <3[0' = называется полугруппой Пуассона (полугруппой Коши).

Предложение 1. Пусть в = к + сг, к&Ъид<а< 1. Тогда для пространств В$>рл(7) = (Нр'к('у),Нр,к+1('у)) ,К справедливо представление

В3'р'ч(7) = {и | и € Нр'к(-г),

Пространства 7) имеют аналогичное представление, где ц = р, так как Е(з,р)(7) = В3'р'р(7).

Для целых индексов дифференцируемости, рассмотрев Вк'р'ч(7) как интерполяционное пространство между Нр'к{7) и Нг>,А:+1(7), получаем несколько другое представление.

Предложение 2. Пусть к 6 Z. Тогда для пространств Вк'р,ч(7) справедливо представление

В*™(7) = | гх е Нр'к~1(^),

1М15Гм := 1МЦ-1 + (/Г1-91К7- < оо}.

Глава 2.

Во второй главе дается определение, аналогичное используемому в работе Е. Пинеды, В. Урбино, где пространства Бесова определяются на

конечномерных пространствах с гауссовской мерой. Цель главы — доказать, что этот метод эквивалентен основному интерполяционному определению, и вывести свойства вложения пространств Бесова и Соболева с одинаковыми индексами дифференцируемое™.

Определение 4. Пусть в > 0, т — наименьшее целое больше, чем э, 1 < Р, Ч ^ 00• При 1 < q < оо пространство Бесова-Липшица Вр д(7) состоит из всех таких функций и € Ьр(7), что

дт дО"

■Фг

1/9

— < ОО.

«<Й

Норма и € Вр Я(7) определяется так: := ||и||р+|и|в. . Ддяд = оо

пространство Бесова-Липшица состоит из всех функций / € У{,у)> для которых существует константа А, зависящая от / и такая, что

дт дР

< Аг

-к+з

Норма задается формулой Ц/Цв»^ := \\1\\р + А(/), где Л(/) — наименьшее возможное А, для которая верна указанная оценка.

Удобство этого определения заключается в явном выражении для нормы. Для функций из Ь2(7) это выражение легко оценивается с помощью разложения функции в винеровский хаос. Это используется в доказательстве следующей теоремы.

Теорема 7. Пусть в > 0. Пространство Бесова В3'2,2(7) совпадает с пространством #22(7); а также с пространством Соболева Н2,а(7). Кроме того, В3,2,9(7) вложено в £^(7) пРи 1 < <7 < °о.

Кроме того, тот же подход позволяет для случая р = 2 построить пример, показывающий, что шкала пространств Бесова является более точной, чем шкала пространств Соболева.

Предложение 3. Пусть в > 0. Существует функция и такая, что и входит во все пространства Н2'3~с(7) для сколь угодно малого а > 0, и 6 5|,?(7) для Я > 2, но при этом и не входит в Н2,3(7).

В качестве примера можно рассмотреть такую функцию и, что

пространства 7) существенно упрощается для функций из Нр'т(7), где т = [в] + 1. Мы также можем доказать, снова обращаясь к теории полугрупп, что Нр'т(7) является всюду плотным подпространством в ВрЧ{7), что позволяет в доказательстве многих свойств пространств Врд(7) ограничиваться функциями из Нр,т(у).

Важную роль играет известное неравенство Литтлвуда-Пэли-Стейна.

На применении этого неравенства основано доказательство вложений пространств Бесова и Соболева с одинаковыми индексами дифференцируемое™. Приведем точные формулировки.

Лемма 1. Если в > 0 и целое к > 0, то для всякой функции и £ 7) справедливо равенство

Теорема 8. Если 0 < а < 1 и целое к > 0, то для всякой функции и £ Нр'к+1(у) справедливы неравенства

Чтобы из предыдущей теоремы следовало вложение (у) в Нр,к(7), достаточно доказать, что Нр>к+1(7) плотно в Вк+а(у).

Предложение 4. Пусть я > 0, т € Ъ и т, > й. Тогда пространство Нр,т(у) всюду плотно в пространстве ВрЯ(7).

Применение неравенства. Литтлвуда-Пэли-Стейна помогает доказать следующую теорему.

1М1р,* < С(к,<т,д)\\и\\вь+„ < С(к,<т,д)\\и\\р,к+г.

Следует обратить внимание на то, что в этой теореме выводится более сильное утверждение о вложении классов Соболева, чем было доказано в первой главе для пространств В$'р,ч(гу), определенных через вещественный интерполяционный К-метод.

Наконец, доказывается эквивалентность пространств В*'р'ч(7) и Вр д(7) в общем случае и усиленное свойство вложения. Эти результаты представлены следующими двумя теоремами.

Теорема 10. Пусть в > О, р>1,1<д<оо. Тогда пространство Бесова Б5,р'?(7) совпадает с пространством 7), а их нормы эквивалентны.

Теорема 11. Пусть к 6 2 и в е 1.

1) Если 2 < р < оо, то Вк*>2(7) С Н?*(7) и Н*>'3(7) С £^(7).

2) Если 1<р<2,то В"™{ 7) с Я^Ы и ^(7) С В^'2(7).

Здесь вводится определение пространств Бесова, аналогичное классическому определению с разностными отношениями из конечномерного случая.

Для всякой функции и на М" и всякого вектора А е М™ положим Аьи(х) = и{х) — и(х — Н). При з > О, р > 1 и д > 1 класс Бесова функций на пространстве Ж" определяется как множество всех функций и е .//(М11), для которых

Теперь для функции и € 1^(7) положим Д/,и(х) = и(х) — м(а; — /1), где Л, € Я(7). Это привносит заметное отличие в бесконечномерном случае, ибо здесь Н(7) существенно меньше всего пространства, в частности имеет меру нуль относительно 7, из-за чего ниже привлекается дополнительная мера V на Н(7), относительно которой ведется интегрирование по /г.

Глава 3.

Определение 5. Пусть 0 < в < оо, 1 < р < оо, 1 < <7 < оо, и — некоторая борелевская вероятностная мера на Н(7) ит — наименьшее целое число, большее е. Класс Бесова В$>р<чм(7) состоит из всех таких функций и € Ьр('у), что

[ ткд^гчИ^) <

Jн

Норма в В$'р'ч'"{7) задается формулой

Отметим, что определяемые так пространства существенно зависят не только от трех числовых параметров, как обычные классы Бесова, но и от дополнительного параметра, которым является мера на пространстве Камерона-Мартина. Пространства В8>р'1'1'(-у) являются банаховыми и для них справедлива следующая теорема о вложении. Теорема 12. Пусть вероятностная мера и на Я(7) такова, что функция ехр(М|/1|д) интегрируема по V при некотором М > ■ Тогда при pl>puO<sq<l имеем ЖРь1(7) С В^р'ч'"{ 7).

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю доктору физико-математических наук профессору Богачеву Владимиру Игоревичу за постановку задач и постоянное внимание к работе.

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

[1] Никитин Е.В. Дробные классы Соболева на бесконечномерных пространствах. Докл. РАН. 2013. Т. 452, N 2. С. 130-135.

[2] Никитин Е.В. Классы Бесова на бесконечномерных пространствах. Матем. заметки. 2013. Т. 93, N 6. С. 951-953.

[3] Никитин Е.В. Сравнение двух определений классов Бесова на бесконечномерных пространствах Матем. заметки. 2014. Т. 95, N 1. С. 150153.

[4] Никитин Е. В. Дробные классы Соболева на бесконечномерных пространствах. XX Международная молодежная научная конференция студентов, аспирантов и молодых учёных "Ломоносов", секция "Математика и механика", Тезисы докладов, Москва: МАКС Пресс, 2013, 1.

Отпечатано в отделе оперативной печати Геологического ф-та МГУ Тираж ¿00 экз. Заказ № Лв

Текст научной работы диссертации и автореферата по математике, кандидата физико-математических наук, Никитин, Егор Владимирович, Москва

Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова Механико-математический факультет

На правах рукописи УДК 519.2

042014568^2

Никитин Егор Владимирович

ДРОБНЫЕ КЛАССЫ СОБОЛЕВА НА БЕСКОНЕЧНОМЕРНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ

.01.01 — вещественный, комплексный и функциональный анализ

ДИССЕРТАЦИЯ на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель доктор физико-математических наук, профессор В.И. Богачев.

Москва, 2013

Содержание

Введение.........................................................

Глава 1. Интерполяционный подход.............................

1.1. Определение и основные свойства...........................

1.2. Метод следов................................................

1.3. Дуальность и полугрупповое представление................

Глава 2. Подход через полугруппу Пуассона....................

2.1. Определение, эквивалентность в Ь2 и

базовые свойства вложения......................................

2.2. Эквивалентность в общем случае и теорема вложения.....

Глава 3. Классическое определение в бесконечномерном случае

Литература......................................................

Введение

Общая характеристика работы

Актуальность темы. На конечномерных пространствах существуют различные способы определения пространств Соболева с дробным порядком дифференцируемости. Среди них наиболее хорошо изучены пространства Бесова1,2, а также близкие к ним пространства Слободец-кого3. Подобные дробные шкалы пространств широко применяются в теории дифференциальных уравнений с частными производными (см. монографии4'5). Пространства типа Бесова тесно связаны с пространствами Соболева. Как правило, одни вложены в другие, а в некоторых случаях совпадают. Один из важнейших известных результатов состоит в том, что следы функций из пространства Соболева на Rn представляются функциями из пространства Бесова на соответствующем подпространстве Шп~к.

■*■().В. Бесов. О некотором семействе функциональных пространств. Теоремы вложения и продолжения. ДАН СССР. 1959. Т. 126, N 6. С. 1163-1165.

О.В. Бесов. Исследование одного семейства функциональных пространств в связи с теоремами вложения и продолжения. Труды МИАН им. Стеклова. 1961. Т. 60- С. 42-81.

Л.Н. Слободецкий. Обобщенные пространства С.Л.Соболева и их приложения к краевым задачам для дифференциальных уравнений в частных производных. Ученые записки ЛГПИ им. А.И. Герцена. 1958. Т. 197. С. 54-112.

^Х. Трибель. Теория интерполяции, функциональные пространства, дифференциальные операторы. Мир, М., 1980.

5М.С. Агранович. Соболевские пространства, их обобщения и эллиптические задачи в областях с гладкой и липшицевой границей. МЦНМО, М., 2013.

H.H. Фролов. Теоремы вложения для пространств функций счетного числа переменных I. Тр. Ин-та матем. Воронеж, ун-та. Изд-во Воронеж, ун-та. 1970. Вып. 1. С. 205-218.

P. Malliavin. Stochastic calculus of variation and hypoelliptic operators. Proc. Intern. Symp. on Stoch. Diff. Eq. P. 195-263. Wiley, New York - Chichester - Brisbane, 1978.

В работе 2003 года Э. Эро, В.И. Богачев и П. Леско11 использовали вещественный интерполяционный K-метод для определения дробных классов Соболева Еа,р{7), 0 < а < 1, на локально выпуклом пространстве с гауссовской мерой 7. Основным результатом этой работы является теорема о том, что сужение соболевской функции на подпространства Е + у, параллельные конечномерному подпространству Е из пространства Камерона-Мартина, лежат в классе Ea-P(YJ) по условным мерам на Е + у при почти всех у относительно проекции меры на дополняющее Е подпространство.

В упомянутой работе Э. Эро, В.И. Богачева и П. Леско используются результаты, полученные в известной работе С. Ватанабэ12, где пространства Es,p(7) определяются интерполяционным методом следов Ж.Л. Ли-онса для произвольного s, при этом для целых s пространство Es,p{7) полагается равным пространству Соболева. Пространства Ев,р(7) оказываются удобнее пространств Соболева в первую очередь благодаря свойству инвариантности относительно композиций с липшицевыми функциями. Эквивалентность определения, которое дает Ватанабэ, определению через интерполяционный if-метод для 0 < s < 1 можно считать очевидной, однако в общем случае для утверждения эквивалентности требуется

I. Shigekawa. Stochastic analysis. Amer. Math. Soc., Providence, Rhode Island, 2004.

®В.И. Богачев. Дифференцируемые меры и исчисление Маллявэна. НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», М. - Ижевск, 2008.

l^J.L. Lions, J. Peetre. Sur une classe d'espaces d'interpolation. Publ. Math. Inst. Hautes Etudes Sei. Publ. Math. 1964. V. 19. P. 6-64.

■^Э. Эро, В.И. Богачев, П. Леско. Конечномерные сечения функций из дробных классов Соболева на бесконечномерных пространствах. Докл. РАН. 2003. Т. 391, N 3. С. 320-323.

S. Wanatabe. Fractional order Sobolev spaces on Wiener space. Probab. Theory Related Fields. 1993. V. 95. P. 175-198.

дополнительное свойство пространств Соболева, которое доказано в диссертационной работе. Заметим также, что для целых й интерполяционный ^С-метод дает пространства, которые для р ^ 2 не совпадают с пространствами Соболева. Классические пространства Бесова В3'р,д также имеют дополнительный индекс q, который позволяет дать более точную шкалу пространств, чем пространства Соболева. Пространства Е8'р при этом соответствуют случаю равных д и р.

В недавней работе Е. Пинеды и В. Урбино13 подробно рассматриваются свойства пространств Бесова определяемых с помощью полугруппы Пуассона на конечномерном пространстве с гауссовской мерой Этот метод может быть успешно перенесен с небольшими изменениями на бесконечномерные пространства. Доказательства большинства основных свойств при этом остаются неизменными или легко модифицируются с применением теории полугрупп.

Существует направление изучения пространств типа Бесова и пространств типа Трибеля-Лизоркина, связанных с неотрицательным самосопряженным оператором на метрических пространствах с мерами, обладающими свойством удвоения14,15. Это сравнительно новое направление является близким к конечномерному случаю. Связь с ним в диссертации подробно не рассматривается.

В диссертационной работе вещественным интерполяционным /^-методом определяются пространства типа Бесова В3'р,д. Устанавливаются интерполяционные свойства пространств Соболева, которые позволяют получить базовые результаты типа теорем вложения для пространств В-%Т))Ч и доказать их эквивалентность пространствам, вводимым Ватанабэ, для равных дири дробных е. Кроме того, в диссертационной работе дается альтернативное определение пространств типа Бесова, по методу работы

1 о

1 Е. Pineda, W. Urbino. Some results on Gaussian Besov-Lipschitz spaces and Gaussian Tricbel-Lizorkin spaces. J. Approx. Theory. 2009. V. 161. P. 529-564.

^D. Yang, W. Yuan. New Besov-type spaces and Triebel-Lizorkin-type spaces including Q spaces. Math. Z. 2010. B. 265. S. 451-480.

^L. Liu, D. Yang, W. Yuan. Besov-type and Triebel-Lizorkin-type spaces associated with heat kernels. arXiv:1309.1366. Preprint. 2013.

Е. Пинеды, В. Урбино, через полугруппу, близкую полугруппе Пуассона Qt. Это определение оказывается эквивалентным интерполяционному определению. В то время как определение через полугруппу Пуассона позволяет разбирать частные случаи (например, оно используется для демонстрации большей точности шкалы пространств Бесова), интерполяционное определение кажется более эффективным в общих вопросах. Например, это определение, как представляется, может быть успешно применено для изучения следов функций Соболева на подпространствах и гиперповерхностях.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем.

2. Установлено свойство приближения в Ьр соболевских функций с меньшим индексом дифференцируемости соболевскими функциями с большим индексом дифференцируемости и контролируемой соболевской нормой приближающей функции. Для р = 2 индексы могут быть произвольными действительными, для р > 1 индексы предполагаются целыми.

3. Доказан ряд свойств типа вложения пространств Бесова и Соболева. Доказано, что пространства типа Бесова совпадают с пространствами Соболева Н2,в. Дается пример, показывающий, что для д > 2

пространства Bs,2,q не совпадают с H2,s и лежат во всех H2,Sl с меньшим индексом Si. Таким образом, пространства типа Бесова дают более точную шкалу пространств, чем пространства Соболева.

Апробация диссертации. По теме диссертации были сделаны доклады на следующих семинарах:

— научно-исследовательском семинаре «Анализ и дифференциальные уравнения» кафедры ФН-2 «Прикладная математика» МГ-ТУ им. Н.Э. Баумана (2014 г.)

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 4 работах автора, из которых 3 — в журналах из перечня ВАК. Доказательства основных результатов опубликованы в работах [28]—[31]. Список работ приведен в конце диссертации.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Глава 1.

7) :=

где оператор Vr на функциях / G Lp(7) задается равенствами

roo

Vrf := ГСг/2)"1 / f^e-Xfdt, Jo

Ttf(x)= í ¡{е~гх — y/l — e~2t y)/y(dy). Jx

Пространства типа Бесова определяются с помощью вещественного интерполяционного Х-метода. Приведем определение этого метода. Пусть Хо, Х\ - нормированные пространства и

K(t;u) := inf{||w0|Uo : и = щ + щ, щ 6 Х0,щ £ Х{\.

Если 0<#<1и1<д<оо, то (Хо ,Xi)e->qíK обозначает пространство всех функций и £ Xq + Х\ таких, что функция t У t~eK(t; и) входит в

Ll :=L«(0,oo; dí/O-

Определение 1. Пусть 0 < 5 < со, 1 < р < оо, 1 < q < 00, т — наименьшее целое, большее s. Пространством Бесова Bs'p,q(7) назовем определенное с помощью вещественного интерполяционного К -метода интерполяционное пространство между Lp(7) и Нр,т{7) с индексом в - s/m, т.е.

В™(7) = {Щ7), Д»"(7))./тлК.

Ряд свойств пространств Бесова доказывается с помощью так называемой реитерационной теоремы, известной в рамках вещественного

интерполяционного метода. Чтобы ее применить, нужно доказать, что пространство Соболева само является в определенном смысле промежуточным между Lp(7) и пространствами Соболева с более высокими индексами дифференцируемости. Для доказательства этого утверждения потребуется установить два свойства пространств Соболева.

Первым является следующее неравенство, верное для всех функций и <= ЯР'Г(7):

IMLr < с (г, s)|MIp~* IMlL, о < г < 5, г, s 6 R.

Второе необходимое нам свойство пространств Соболева содержится в следующей теореме.

Теорема 1. Пусть р > 1. Пусть fc,m£Z;0<fc<m. Тогда для всякой функции и Е Нр'к(7) и для всякого достаточно малого г > 0 найдется такая функция и£ Е Нр>т(7), что

11« - ие\\р < С(р, k)£k\\u\\p,k, ||tze||p>m < С(р, fc, m)£fc-m||u||M.

Пусть X, Xq, Х\ — нормированные пространства,

J{t\u) := max {|М|Хо, ¿IMUJ-По определению, X Е 7-С(в\ Х0, Xi), где 0 < 9 < 1, если

K(t-u)<C{Q)t9\\u\\x VueX,

||и||х < C(e)t~eJ(t- и) У и Е Xq П Х\.

Пространство Соболева Нр,к(7) является промежуточным между 1/(7) и Hp,Tn{~f) в том смысле, что оно принадлежит к классу %{к/т\ 1/(7), Яр,т(7)). Точный результат дает следующая теорема.

Теорема 2. Пусть р > 1. Для всех к, тЕЪ,0<к<т имеем

Я^(7) <= П{к/т]Ьр{7),Яр'т(7)). Кроме того, для всех г, я е м, 0 < г < в имеем Я2'г(7) е -Н(г/5;£2(7),Я2'*(7)), я^(7) е

Применяя эту теорему и реитерационную теорему, мы можем установить ряд свойств пространств Бесова.

Теорема 3. Пусть р > 1.1) Если в определении Яв;р,<?(7) в качестве т брать любые целые, большие в, то получим одно и то же пространство.

2) Если > 5 и 1 < д, < оо, то

7) =

в частности, я51;р'91(7) с я5;р,9(7).

3) Если 0 < к < 5 < га, к,т е Ъ и в = (1 — в)к + 9т, то

в частности, Яр'т(7) С С Яр,/с(7).

4)-_ЕЬш 5х < в < 52, з = (1 — 9)б\ + 9з2 и 1 < <?ъ < оо, то

5) Если т ^елое, то С Яр'т(7) С Ят^°°(7).

Для р = 2 получаем более сильные свойства. Теорема 4. 1) Если 0 < г < в < Ь, еШ и в = (1 — в)г + 0£, то

В частности, В8'р'я(,у) С Яр'*(7). Кроме того, Яв;р'1(7) С Яр,в(7).

2) Если 0 < г < в < г, * € К и в = (1 - 0)г + то

В частности, Я2,Г(7) С Яв;2'9(7) С Я2,*(7).

3) Я^2'1(7) С Я2'5(7) С я5;2'°°(7).

Таким образом, как и в конечномерном случае, определенные нами пространства Бесова Bs;p'q(7) вкладываются в пространства Соболева, индекс дифференцируемости которых равен наименьшему целому числу, меньшему s. Кроме того, для любого р > 1 пространство Бесова Bs;p,q(7) вложено в пространство Соболева Hp,t(7) с любым t > s, а для р = 2 верно и обратное вложение.

В качестве применения указанных свойств доказывается следующая теорема.

Теорема 5. Пусть г > 0, s > 0. Оператор Vr = (I — L)~r/2 — ограниченный оператор из Bs',p>q(7) в Br+s;p,<í(7).

Определенные нами пространств Бесова Bs,p,q(7) связаны с дробными классами Соболева Es,p(j), которые определяются с помощью интерполяционного метода следов Ж.-Л. Лионса. Пусть В\ и В2 — вещественные сепарабельные банаховы пространства и В\ С 1?2. Для ж G положим | х\вх = оо по определению. Для 1 <р<оои^б1 банахово пространство W = W(q,u; Bi, В2) определяется как множество всех абсолютно непрерывных функций /: (0,оо) —» -В2, таких что Г/ € L9((0, 00) Bi) и tv f £ Lg((0, 00) £2), с нормой

|| f\\w = max(||tV||ií((0)oo)->i?1), №V'IU,((0,ooHi?a))-

Если ^ = ^ + í/ < 1, то lim^o f{t) — /(0) существует в B2, и мы полагаем Г = Т««(ВЪ В2) = {/(0)1/ G W(q,!/; В2)},

IMIr = inf{||/|k|/ е I/; Въ В2), /(0) =14}, и £ Т.

Определение 2. Дробные классы Соболева Es,p{7), 1 < р < 00, s £ R, задаются равенством

Es'p{-y) = Яр'5(7), ео/ш 5GZ,

и равенством

Е8*<с() = Т1~а(Ек+1ф(ч), Ек>р{7)), если s = /с + <т, к £ Z, 0 < а < 1.

Из общей теории интерполяционных пространств известно, что интерполяционный метод следов эквивалентен вещественному интерполяционному Х-методу, который мы использовали для определения пространств Бесова Bs;p,q(7). Благодаря этому, а также доказанным свойствам Bs'p,q(7) мы можем доказать следующую теорему.

Теорема 6. Для 1 < р < оо и дробных s пространства Es'p{^) совпадают с пространствами Bs'p,p(7), а их нормы эквивалентны. При р = 2 пространства Es'2(7) и Bs;2,2(7) совпадают для всех s > 0.

Из этой теоремы, применяя результат, доказанный в работе Ватанабэ, получаем такое следствие.

Следствие 1. Пусть s > 0, £ > 0, 1 < gi, <72 < 00 и 1 < V <

Справедливы вложения

BS+£W(7) С iP's(7) С Bs~£^{7).

Можно определить классы Бесова с отрицательным индексом дифференцируемое™ .

Определение 3. Для /c£n;0<<t<0 пространства Бесова B~k+a,p,q^ определяются равенством

а пространства B~k,p'q(7) — равенством

Пространства, определенные через вещественный интерполяционный метод, обладают свойством дуальности. Легко видеть, что для любых действительных s имеет место равенство

(5вЛ9(7))' = £-^'(7), р-1 + р'-1 = 1, q~l + q'~l = 1.

Для интерполяционных пространств так�