Теория мартингальных пространств со смешанной нормой и связи с классами Харди и ВМО тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ
|
Павлов, Игорь Викторович
АВТОР
|
||||
|
доктора физико-математических наук
УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
|
||||
|
Ростов-на-Дону
МЕСТО ЗАЩИТЫ
|
||||
|
2002
ГОД ЗАЩИТЫ
|
|
01.01.05
КОД ВАК РФ
|
||
|
|
||||
напрту™
ПАВЛОВ Игорь Викторович
ТЕОРИЯ МАРТИНГАЛЬНЫХ ПРОСТРАНСТВ СО СМЕШАННОЙ НОРМОЙ И СВЯЗИ С КЛАССАМИ ХАРДИ
И ВМО
01.01.05 — теория вероятностей и математическая статистика
АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук
Москва 2002
Диссертация выполнена в Математическом институте им. В- А. Стеклова РАН и Ростовском государственном строительном университете.
Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,
профессор Григелионис Б.И.,
доктор физико-математических наук профессор Гущин А.А.,
доктор физико-математических наук, профессор Семенов Е.М.
Ведущая; организация: Московский государственный университет
им. М.В. Ломоносова, г. Москва
Защита состоится 26 декабря 2002 года в 14 часов на заседании диссертационного совета Д 002.022.01 при Математическом институте им. В.А. Стеклова РАН по присуждению ученой степени доктора физико-математических наук по адресу: 117966, Москва, ул. Губкина, д. 8, МИР АН, конференцзал.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Математического института им. В.А. Стеклова РАН.
Автореферат разослан "_" ноября 2002 г.
Ученый секретарь совета / ^Л^ ) к
профессор ^ ГУ (Л ВатУтинВ-А-
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность темы. В предисловии к избранным трудам конференции, прошедшей 17-23 мая 1970 года в Оберфольфахе1, был поставлен вопрос: "Имеют ли право мартингалы, проявившие себя как мощное техническое средство, сами стать объектом исследования в теории вероятностей?". Дальнейшее развитие теории случайных процессов, несомненно, доказало правильность позитивного ответа, данного на этот вопрос всеми докладчиками упомянутой конференции, среди которых значились такие имена, как D. Burkhoîder, С. Doléans-Dade, R. Gundy, В. Knight, К. Krickeberg, P.A.Meyer, M. Rao, H. Rost, M. Silverstein, D. Stroock, S.R.S. Waradhan и др. Все они получили значительные результаты в области теории мартингалов и предъявили многочисленные применения этой теории к дифференциальным уравнениям, функциональному анализу, гармоническому анализу, теории функций, теории потенциала, ортогональным рядам и т.д. Среди отечественных математиков, внесших выдающийся вклад в развитие теории мартингалов и стохастического анализа в целом, следует выделить А.Н. Ширяева и его учеников, многие из которых успешно применяют полученные результаты в финансовой и страховой математике, математической статистике, в теории стохастических дифференциальных уравнений и других областях математики.
Настоящая диссертация посвящена одному из разделов теории мартингалов — пространствам мартингалов и их применению к некоторым проблемам функционального анализа, гармонического анализа и теории потенциала. Довольно полно теория пространств мартингалов с дискретным временем изложена в монографии Р. Лонга "Мартингальные пространства и неравенства"2. В ней подробно изучаются пространства Хар-ди Hp, р > 0, различные модификации пространства ВМО, пространства Орлича Ьф. В нашей работе исследуются пространства Lp мартингалов со смешанной нормой, которые, с одной стороны, идейно близки к обычным Lp-пространствам, но, с другой стороны, так же, как и пространства Н\ и ВМО, не являются симметричными пространствами, что усложняет работу с функциями распределения различных функционалов, связанных с мартингалами.
Понятие смешанной нормы функции от бесконечного числа переменных, впервые введенное в [26], было перенесено в статье [9] на случайные величины (с.в.), определенные на счетном декартовом произведении веро-
1 Lecture Notes in Math., 190, 1971.
2Long R. Martingale spaces and inequalities. Hong Kong, 1993
ятностных пространств, и с этой точки зрения использовалось в последующих работах [3, 11, 22, 30]. Именно, если (Ük. Ак, А)^! — счетный набор вероятностных пространств,
ОО 00 ОС
О- ® Ак,Р:= (1)
к=1 i=l t=l
/ — интегрируемая с.в. на (fi, А, Р), а р = [pi,p2,. ■ ■ ,рп, • • ■) — бесконечномерный вектор (1 <рк < с»), то смешанная норма ||/||^ определялась так: рассматривался мартингал /„ = i?[/1 ßn], где Вп — а-алгебра
цилиндрических множеств из (£1, Л) с основаниями в ( П <8> , и
\к=1 к=1 /
полагалось:
тр=™р\ш\рир2,.,рп- (2)
Я
При этом, так как; /„ зависит только от п первых переменных, то j|/nüpi,p2,...,pn понималась как классическая смешанная норма (см., например, одну из первых статей по смешанной норме А. Бенедека и Р. Панзоне3, либо фундаментальную монографию О.В. Бесова, В.П. Ильина и С.М. Никольского4), только с измененным порядком интегрирования: например, если п = 2 и Pi,P2 < оо, то
ll/alkft - (/(/ 1/2(«1,^2
1/2(0^2) {иг)
Итак, формула (2) определяла смешанную норму мартингала относительно стохастического базиса (Г2, Вп, А,Р), где П, Вп, А и Р имели структуру декартова произведения. В докладе [34] (подробное изложение содержится в [19]) мы распространили понятие смешанной нормы на любой мартингал / = (/„,Тп,Р) , определенный на произвольном стохастическом базисе (О, Ау Р). Обобщенное определение выглядит так: полагается
гДе llöllр,т Ра®«0 (^[Мф^У^' Р < и lim | IMLf, если р = оо. Банахово пространство мартингалов /, удовлетворяющих условию 11/11р < 00) мы обозначаем через Мр, однако большая часть диссертации посвящена подпространствам Lp С Мр, состоящим из равномерно интегрируемых мартингалов. Актуальным является не только построение
3Benedek A., Panzone R. // Duke Math. J., 1961, 28, p. 301-324.
^Интегральные представления функций и теоремы вложения, М., 1975.
теории таких пространств, но и применение этой теории к решению разного рода задач анализа. В качестве мотивации приведем следующую, на наш взляд, чрезвычайно сложную и нерешенную до настоящего времени проблему, связанную с бесконечномерными операторами Рисса.
Пусть в (1) при любом к Qk = Тк = Т — единичная окружность, рассматриваемая как топологическая группа, Ак — а-алгебра борелев-ских подмножеств на Т*, Р-К — мера Хаара на (Tk^Ak). В этом случае
п со
П — Тп — п-мерный тор, II Qk = Т°° — бесконечномерный тор, v := Р — мера Хаара на Т°°. Обозначим через * операцию свертки, через еи — меру Дирака в нейтральном элементе группы Тп, через Сп — множество бесконечно дифференцируемых функций на Тп, через С — множество цилиндрических бесконечно дифференцируемых функций на
оо
Т°°, ип £п® п Pk,x=:ui. Ясно, что если / € ЩТ°°), то E[f] = j*v
,t=7l+l
и E[f j Б„] = / * vn • При выполнении условия
sup Pi < OQ (4)
к
множество £ плотно в Lp.
Обозначим через Zn п -мерную целочисленную решетку. Группой характеров компактной абелевой группы Т°° является группа Z^ ~ U Zn
п
с мерой Хаара, равной единице на любом одноточечном множестве. Эта группа состоит из бесконечномерных векторов с целочисленными координатами, причем у каждого вектора лишь конечное число координат неравно нулю. Задавшись числами ак > 0 (к = 1,2,...), рассмотрим квадратичную форму
оо
Ф(0) = £ ak6l в G ZK (5)
fc=i
Введем следующее
Определение 1 (3.1.3)5. Пусть на Z^ определена вектор-функция т(в) = (mi(9),m2(e),.. .j с ограниченным модулем |то|. Зададим на С линейный оператор Т = (Ti, Г2,...) следующим образом:
(г?) (в) = т(0)/(0), 0 €
Вектор-функция т называется р -мультипликатором, а Т - мульти-пликаторным оператором в Lp, если для любой j £ С выполняется
53десь и в дальнейшем в круглых скобках приводится нумерация, принятая в диссертации.
неравенство:
! |Г/| ¡. < с,||/||,.
Положим
й о
у/Ш ' Т ' (6)
О ,6 = 0;
По аналогии с классическим конечномерным случаем будем называть т(в) векторным мультипликатором Рисса, а соответствующий мультиплика-торный оператор Т — Ё, — векторным оператором Рисса. В начале 80-х годов был получен следующий результат6: вектор-функция тп(9) является р-мультипликатором при любом скалярном р, 1 < р < оо. В 1987 г. в работе [9] была высказана гипотеза, что данный факт верен и для векторов р, удовлетворяющих условию (4). Однако до настоящего времени эта гипотеза не доказана и не опровергнута. Отметим, что в конечномерной ситуации соответствующий результат верен (см. цитированную выше монографию О.В. Бесова и др.).
Обратимся теперь к пространствам Харди и ВМО. Исследования этих пространств занимают в настоящее время важное место в теории случайных процессов и теории функций. Началом теории пространств Харди Нр считаются 1920-1930 гг., когда появились работы М. Рисса, Харди и Литтлвуда, А.Н. Колмогорова. В дальнейшем в развитии этой теории приняло участие довольно много авторов, причем применяемые методы были чисто аналитические (исторический обзор имеется в книге К.Е. Петерсена7). В конце 60-х - начале 70-х годов была открыта связь между пространством Н\ и пространством ВМО , впервые введенным Джоном и Ниренбергом. Именно, было показано, что двойственным к пространству Нх, состоящему из функций, определенных на В,п, является пространство ВМО (Фефферман, Стейн). В 1977 г. этот факт был обобщен Койфманом и Вейсом на произвольные однородные пространства, причем классы Харди Нр, р > 0, определяются с помощью введенного этими авторами понятия атома.
С другой стороны, в работах Буркхольдера, Дэвиса, Ганди, Гарсия, Херца, Мейера, а также работах ряда других зарубежных авторов были введены в рассмотрение мартингальные пространства Нр и ВМО, изучены их свойства и доказана теорема двойственности Н\ и ВМО. После этого возник вопрос о применении вероятностных результатов, природа
6Павлов И.В. // Дисс.. .канд. физ.-мат наук. Вильнюс, 1982.
7Petersen К.Е. Brownian motion, Hardy spaces and bounded mean oscillation. Cambrige Univ., 1977
которых весьма обща, к изучению уже известных, а также новых аналитических пространств Нр и ВМО (Струк и Варадан, 1974; П.А. Мей-ер, 1977; К.Е. Петерсен, 1977). Этот вопрос сохранил свою актуальность до настоящего времени. Такому направлению посвящена заключительная часть реферируемой диссертации, однако, в отличие от вышеперечисленных работ, в ней рассматриваются пространства Харди и ВМО, состоящие из функций, зависящих от бесконечного числа переменных. В частности, впервые введены пространства Харди со смешанной нормой и в терминах сопряженных мультипликаторных операторов получена теорема двойственности.
Цель работы. Диссертационная работа посвящена построению теории банаховых идеальных пространств мартингалов со смешанной нормой в случае дискретного времени, применению их к бесконечномерному анализу, изучению функциональных аналогов этих пространств, а также пространств Харди и ВМО.
Методика исследований базируется на основных результатах теории мартингалов и марковских процессов (включая теорию пространств Дирихле), теории банаховых идеальных пространств, гармоническом анализе на компактных группах, вероятностной теории потенциала. Связи между пространствами мартингалов и соответствующими функциональными пространствами устанавливаются, в основном, с помощью суперпозиций марковских процессов и соответствующих гармонических функций.
Научная новизна. В отличие от классической конечномерной теории пространств со смешанной нормой, при исследовании соответствующих пространств мартингалов приходится преодолевать две дополнительные трудности: "распутывать" наслоения условных матожиданий, входящих в формулу (3), и переходить к пределу, устремляя количество интегрирований к бесконечности.
Краткое изложение результатов диссертации по главам таково.
В главе I
• введены и с применением теории идеальных пространств подробно изучены пространства Lp равномерно интегрируемых мартингалов со смешанной нормой; установлены связи с классической концепцией смешанной нормы (пункт 1.1.1);
• изучены свойства сходимости в пространства Lp при различном асимптотическом поведении бесконечномерного вектора р показателей суммируемости; в частности, доказана теорема сходимости мартингалов в смешанной норме и получен критерий совпадения пространств Lp и Loo (см. пункты 1.1.2,1.1.3, 1.2.1);
• для специальной хааровской фильтрации (см. определение 1.2.1) даны полные характеризации мартингальных пространств Харди, ВМ и УМО (см. пункт 1.2.2);
• для диадической фильтрации получен критерий конечности смешанных норм экспоненциальных мартингалов в терминах норм несимметричных пространств последовательностей (см. §1.3);
• в случае цилиндрической фильтрации исследованы вопросы геометрии пространства Ьр (как банахова пространства) и, в частности, доказаны теоремы Рисса, Радона и теорема о равномерной выпуклости (см. §1.4);
• для бесконечномерного тора изучены свойства гармонических продолжений функций из Ьр(Т°°), а также доказана теорема о характеризации интеграла Пуассона (см.§1.5).
В главе II
• получены результаты об ограниченности оператора условного математического ожидания в Ьр; получены структурные теоремы о подпространствах Ьр (см. §2.1);
• доказано обобщение теоремы Пелчинского об отсутствии безусловного базиса в пространствах Ьр с бесконечно близкими к единице показателями суммируемости (см. §2.2);
• изучены некоторые свойства ортонормированных систем в Ьр; получены критерий сходимости рядов в Ьр при почти всех выборах знаков и критерий безусловной базисности в терминах функции Пэ-ли (см. пункт 2.3.1);
• получена теорема базисности обобщенной системы Хаара в пространстве Ьр (см. пункт 2.3.2).
Глава III диссертации является связывающим звеном между вероятностным и аналитическим аппаратом, примененным в наших исследованиях. В ней
• для билинейной формы вида
1 г 00
£{и,ъ) := - у £ аи(х)и'х.(х)у'х.{х)^(х), £[£] = £,
определенной в /^(Т00), даны достаточные условия ее замыкаемости до регулярной формы Дирихле (см. пункт 3.1.1);
• с помощью марковского процесса, соответствующего построенной регулярной форме Дирихле, вводятся в рассмотрение функции Литтл-вуда-Пэли и доказывается их ограниченность в пространствах Ьр,
1 < р < оо (см. первую часть пункта 3.1.2);
в следуя П.А. Мейеру, вводятся в рассмотрение допустимые обобщенные функции, по ним строится широкий класс векторных мульти-пликаторных операторов и доказывается их ограниченность в пространствах Ьр, 1 <р < оо (см. вторую часть пункта 3.1.2);
• с применением ограниченности в Ьр, 1 < р < оо, векторного оператора Рисса (как частного случая мультипликатора, порожденного допустимыми обобщенными функциями), обосновывается регулярность слабых решений уравнения Аи — Хи = /, где А — оператор Лапласа на Т°°, а / — функция из пространства Соболева на Т°° (см. пункт 3.1.3);
• в качестве применения теории пространств Дирихле на Т°° выводится вторая формула Берлинга-Дени на х и строится винеров-ский процесс с отражением (см. пункты 3.1.4 и 3.1.5);
• изучаются свойства пространства Саф с "симметричной смешанной нормой"; на эти пространства распространяется теорема об ограниченности векторного оператора Рисса (см. §3.2).
Основные результаты главы IV настоящей работы таковы:
• определены мультипликаторные пространства Харди со смешанной нормой и дано описание сопряженных с ним пространств в терминах функций " В МО со смешанной нормой", построенных с помощью сопряженных мультипликаторов (см. пункт 4.1.1);
• с применением обобщенных уравнений Коши-Римана введены классы Харди гармонических функций бесконечного числа переменных; получены достаточные условия эквивалентности их норм (см. пункты 4.1.2 и 4.1.3);
в для пространства ВМО, снабженного нормой Гарсия, доказан критерий сходимости интеграла Пуассона от функции из ВМО к самой этой функции, а также получены мартингальная и потенциальная характеризация пространства ВМО (см. пункты 4.2.1-4.2.3);
• при некоторых условиях на мультипликаторы доказана теорема двойственности Н{ = ВМО, когда ВМО снабжено нормой Гарсия (см. пункт 4.2.4).
Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Ее результаты и методы могут быть использованы в научных исследованиях и учебных целях. Некоторые идеи диссертации уже применены в финансовой математике при моделировании финансовых рынков, подверженных целенаправленной скупке акций. Это отражено в порядка двадцати публикациях автора, не вошедших в данную работу.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались па семинарах, отечественных и международных конференциях как в нашей стране, так и за рубежом. В частности, на 3-ей и 4-й Международной Вильнюсской конференции по теории вероятностей и математической статистике (1981,1985 гг.); 17-й, 19-й и 20-й школах-коллоквиумах по теории вероятностей и математической статистике (пос. Бакуриани, 1983, 1985, 1986 гг.); на Международной конференции по устойчивым динамическим системам (г. Баку, 1994 г.); на 1-м Всемирном конгрессе общества математической статистики и теории вероятностей им. Бернулли (г. Ташкент, 1986 г.); на Международных конференциях по теории потенциала (г. Прага, 1998 г.; г. Нагоя, 1990 г.); на Международном Конгрессе математиков (г. Цюрих, 1994 г.); на Втором Европейском Математическом Конгрессе (г. Будапешт, 1996 г.); на первой (Абрау-Дюрсо, 1994 г.), второй (Йошкар-Ола, 1995 г.), третьей (Туапсе, 1996 г.), пятой (г. Йошкар-Ола, 1998 г.), седьмой (г. Сочи, 2000 г.), восьмой (г. Йошкар-Ола, 2001 г.) Всероссийских школах-коллоквиумах по стохастическим методам; на Международных школах-семинарах, посвященных Н.В. Ефимову (Абрау-Дюрсо, 1996, 1998 гг.), на Ростовском городском семинаре по вероятностной теории потенциала (рук. проф. Н.С. Ландкоф), на семинарах Ростовского госуниверситета по теории операторов в функциональных пространства (рук. проф. С.Г. Самко) и по смежным вопросам теории случайных процессов, теории функций и геометрии (рук. проф. С.Б. Климентов), на семинаре Гумбольтовского университета по стохастическому анализу (рук. проф. X. Фельмер), на семинаре отдела теории вероятностей и математической статистики Математического института им. В.А. Стеклова РАН (рук. академик РАН Ю.В. Прохоров), на семинаре МГУ по теории ортогональных рядов (рук. член-корр. РАН Б.С. Кашин).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах большинство из которых (включал обзорную статью [21])
напечатаны в журналах, входящих в перечень ВАК8, либо являющихся иностранными или международными изданиями. Вклады автора и А.Д. Бендикова в написание совместных работ равнозначны. Результаты, в получении которых роль соавтора преобладает, либо вообще не вошли в текст диссертации, либо отнесены к приложениям. Основные результаты совместной с Е.П. Марковым работ [23] и [24] принадлежат автору и анонсированы в [15]; соавтору же принадлежит распространение полученных оценок на неравномерно интегрируемые мартингалы. Результаты совместной работы [25] представляют собой несколько расширенную версию результатов, приведенных в первоначальном варианте работы автора [19], которая была представлена в издательство 'ГВП раньше, чем [25]. И, наконец, в совместной работе [26] A.B. Скорикову принадлежит критерий компактности, а остальные результаты принадлежат автору.
Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав и трех приложений, содержит 297 страниц текста; в списке литературы 91 наименование.
СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ
Во введении обоснована актуальность темы исследований, приведены цели работы и обзор литературы, дано краткое описание результатов диссертации.
Изложим основные результаты главы 1.
Теорема 1 (1.1.1). Если выполняется условие (4) и f £ Ьр, то
\\f-E\f |Л]||?-»0 (7)
при п —> оо .
Доказательство основывается на условной форме обратного неравенства Минковского и на свойстве Леви для смешанной нормы: если последовательность с.в. /п такова, что 0 < / п.н. и / € Ьр, то |!/„||р 1" Ц/!1? (1 < р < оо).
Непосредственным приложением теоремы 1 является следующая теорема двойственности.
Теорема 2 (1.1.2). Если выполнено условие (4), то Щ = Ь§, где 1/р+1/д=1.
8ЬНр://с1Ь. informika.ru/vak/db/spisok.htm
Доказательство основано на прямом и обратном неравенствах Гель-дера, а также на порядковой непрерывности смешанной нормы, которая вытекает из теоремы 1.
Если при некотором р, 1 < р < оо, свойство (7) выполняется для любой с.в. / 6 Lp, то Loo плотно в V В этой связи естественен вопрос о плотности Loo в Lp при условии suppi = оо. Приведем три результата в данном направлении.
Предложение 1 (1.1.6). Пусть среди координат вектора р есть бесконечные.
а) Если в векторе р после первой бесконечной координаты все осталъ ные также бесконечны, то L^ плотно в Lp.
б) Если в векторе р после бесконечной координаты имеется конечная, то Loa, вообще говоря, не плотно в Lp.
Теорема 3 (1.1.3). Пусть все а-алгебры J-n конечны и стохастический базис регулярен в следующем смысле: существует такая константа с, 0 < с < 1, что для любого п > 1, для любого алгола А из J-n и для атома В из Тп-\, содержащего А, справедливо неравенство:
Р(А) > с-Р(В). (8)
Пространства Lp и Loo совпадают тогда и только тогда, когда
оо
£ 1М < оо- (9)
к=\
Частным случаем регулярного стохастического базиса является стохастический базис (fi, А, Р), имеющий следующую структуру: i эс — A, J~n порождена разбиением Í2 на атомы А\, ... Ап, Вп, п — 1,2,... (то есть при переходе от момента п к моменту n + 1 атом Вп g дробится на две части Ап+г
и Вп+1, а остальные атомы остаются без изменения), P{Ak) — 2~к. Мы будем говорить, что этот стохастический базис снабжен специальной хааровской фильтрацией.
Предложение 2 (1.2.4). Пусть (Í2, (Т'п)^, А,Р) снабжен специальной хааровской фильтрацией и предположим, что
{ *k \
где 8 > 0. Рассмотрим ряд
_ , если 8к < 1 Sk , если 8к> 1
EA--U- (Ю)
к=1
1) Ряд (10) нормально сходится к f в Lp тогда и только тогда, когда 0 < S < 1п 2/2 /
2) если 1п2/2 < S < 1п2, то ряд (10) сходится к f в Lp;
3) если 8 = 1п2, то f 6 Lp, но ряд (10) не сходится к f в Lp;
4) если 5 > 1п2, то f 0 Lp.
Нетрудно понять, что пункт 3) данного предложения доставляет пример вектора показателей р, удовлетворяющего условию E^-i 1 /pi- < oo, при котором Loo неплотно в Lp.
Обоснование предложения 2 опирается на технически сложную харак-теризацию пространств Lp, которую мы здесь не приводим. В то же время характеризация некоторых других мартингальных пространств достаточно изящна, поэтому остановимся на ней подробнее.
Рассмотрим стохастический базис, снабженный специальной хааров-ской фильтрацией. Мы систематически отождествляем равномерно интегрируемый мартингал / = (fn, Тп,Р) со случайной величиной
/ = /оо = Jim Л = Е o-khk, (11)
)t=i
Ясно, что /„ = СГ„ + Ьп1Вп, где Ьп = £ ап+4-2 ', а сг„ = £ а*/^
¿=1 4=1
Рассмотрим следующие пространства мартингалов: НР = {/ |[/,/&2б£Р}, 1<Р<ос, где [/,/]оо = /02+ Е(/„+1-/„)2;
ВМО = {/1 sup (Е [(/оо - Л)2 I 6 Хо.},
где /_i := 0;
VMO = |/ | Jiin - /„||
Ибмо
= 0 .
Мы покажем, что эти пространства имеют тесную связь со следующими пространствами последовательностей:
hp = (/ = I £ !a*+i - °)t|P < oo, a0 = о}, 1 < p < oo,
» 1 k=о >
hoo = \f = {<*k) sup - öfcl < oo, a0 = 0 [,
l k> 0 J
vmo = \ f € ftoo lim |а*.ц - afc| = 0 k
I OO )
Так как справедливо неравенство ||/||£l < < 3 ||/||£l, то эти
пространства, как следует из формулы (11), можно мыслить равномерно интегрируемыми мартингалами.
Теорема 4 (предложения 1.2.5, 1.2.6,1.2.9). ВМО = hX) VMO = vmo, Hoc = hi и нормы этих пространств эквивалентны.
Из первого соотношение теоремы 4 немедленно следует, что ВМО изоморфно пространству Loo • Изучая геометрию функционального пространства ВМО на отрезке, М.В. Лейбов9 показал, что оно неизоморфно какому-либо пространству Х«,. Таким образом, этот случай принципиально отличается от рассматриваемого нами.
Так как все /п ограничены, то из второго соотношение теоремы 4 вытекает, что VMO содержится в замыкании Lx — LX(Q.,T, Р) в ВМО в норме ||-||дМ0. Однако, это вложение строгое, так как, например, / =
£ (-l)kIAk € Loo, но f VMO. Обратно, элемент / = Ü (in k)IA¡¡ £ k—1 k—1 VMO , но / ^ Loo. Само же замыкание Lx в ВМО (в норме |["IIjsatö) строго вложено в ВМО, так как согласно теореме Деллашери, Мейера и Иора , если L^ плотно в ВМО, то Lqо — ВМО, что в нашем случае не выполняется. Отметим также, что VMO неизоморфно ВМО, так как VMO изоморфно сепарабельному пространству сц, а ВМО изоморфно несепарабельному пространству .
Наконец, из третьего соотношения следует, что вложение h2 С ВМО строгое. Учитывая вышесказанное замечание, естественным образом получаем наш результат из [13] о том, что Н^ неплотно в ВМО. Ясно также, что Д» = /12 неизоморфно VMO = vmo.
Дадим теперь характеризацию мартингального пространства Харди Нх.
Предложение 3 Для любой f £ Li справедливы неравенства
< ll/lk < II/II, (12)
г<?е II/II
Из общей теории пространств Харди Нр известно, что Hi С Li, причем ||/||£i < с||/||Я1. С помощью неравенства (12) нетрудно построить
пример, показывающий, что данное вложение строгое. Именно, достаточ-
k
но выбрать с.в. /, у которой ak+i = (Щ}1 •
9Лейбов M.B. jj Дисс.. .канд. физ.-мат наук. Ростов-на-Д<?ну, 1985.
10Lect. Notes in Math., 649, Sem. de Prob. XII, 19T8, p. 98-113.
Следствие 1 (предложение 1.2.8). Пространства Н\ и изоморфны.
Отметим, что классическое функциональное пространство Н\ на отрезке неизоморфно какому-либо пространству Ь\ (к замечанию после теоремы 4 следует применить аргументы двойственности).
Рассмотрим теперь стохастический базис (П, (^п)ю0> А Р) > имеющий диадическую структуру: П = [0,1); Тп — <7-алгебра, порожденная разбиением П на атомы [2~пк,2~п{к + 1)), п > 0, 0 < & < 2"; Л - ^ = У^п — с-алгебра борелевских подмножеств в 57; Р —мера Лебега на П. Займемся оценками в смешанной норме стохастической экспоненты вида:
ЛИ = П (1 + «ЛИ) ,мбП, (13)
к=1
где гь(~) — функции Радемахера. Подмножество мартингалов (соотв. равномерно интегрируемых мартингалов) из Мр, имеющих вид (13), будем обозначать Мр (соотв., Ьр).
Рассмотрим мартингал / = (/П,^„,Р), где /„ задается формулой (13). Сформулируем общий критерий принадлежности мартингала / классу Мр.
Теорема 5 (1.3.1). 1) Если / € Мр, то У8, 0 < 8 < оо, выполняются неравенства
Е (р*-1)«1 <00 и Е |а4|<00. (14)
2) Если условия (14) выполнены для какого-либо 5, 0 < 5 < оо, то / 6 Мр.
Следствие 2 (1.3.1). 1) Если / Е Ьр, то 0 < 5 < оо, выполняются неравенства
Е Рк<4<°° и Е |<**|<оо. (15)
2) Если условия (15) выполнены для какого-либо 6, 0 < 8 < оо, то } 6
Ьр.
Будем говорить, что бесконечномерный вектор а = (а^а^,...) принадлежит множеству 1р, если для какого-либо 8, 0 < 8 < оо, выполнены условия (15); при этом нам удобно предполагать, что если рк — оо и ак = 0, то рк ак = 0.
Мы также будем использовать обозначение:
12,Р = { « = £ Рк <4 < 00
2ф = Т. Рк<4 { *=1
В силу принятого нами соглашения, если а £ и какая-то координата Рк — оо, то необходимо щ = 0.
Справедлива следующая теорема, характеризующая множество Lp экс поненциальных равномерно интегрируемых мартингалов в терминах весовых пространств последовательностей.
Теорема 6 (1.3.3). 1р есть линейное пространство, совпадающе с суммой линейных пространств +h • При этом lp = fi тогда ь только тогда, когда выполняется условие (9), 1р = 1г,р тогда и только тогда, когда выполняется (4), и lp = fa тогда и только тогда, когда limsuppi < оо.
k—too
Пусть 0<5<ооиа = (0:1,0:2,...). Введем еще два обозначения:
\<* Ы :=
\
Е + £ К1> №:=ПМ ||а||А
к-.р„\ак\<6 k:pt\ak\>6 0<i<°°
Следующая теорема является экспоненциальным вариантом леммы Хи чина в смешанной норме.
Теорема 7 (1.3.4). Для любого а £ 1р справедливо неравенство:
где нормы слева и справа понимаются как обычные нормы сумм банаховых пространств.
Заключительная часть главы 1 посвящена пространствам со смешанной нормой на бесконечномерном торе. Так как в этом случае все (П^, Лк) являются борелевскими пространствами, то Мр естественно отождествляется с пространством знакопеременных мер на (Т°°, Л), (Вп) -локально абсолютно непрерывных относительно меры Хаара V и таких, что порождаемые ими мартингалы имеют конечную р -норму.
Прежде всего приведем необходимые для дальнейшего сведения об обобщенных функциях (распределениях) на Т°°, а также о гармонических функциях на бесконечномерных областях.
Обозначим через V пространство знакопеременных мер на Т°° с ограниченной вариацией (мы будем рассматривать только такие меры на
Т°°). Если / и д — функции на Т°°, то
(/, д) ■= j f(x)g(z)Mx)-
усе
Введем стандартным образом метрику на £„ так, чтобы оно стало топологическим векторным пространством. Именно, определим счетное семейство норм рь:
рк(<р)-= sup \Daip(x)\,
где а = (аь..., ап) - мультииндекс, Da = D^D"? ... D^ и ¡ccj — "l + + • • • + • Ясно, что (Сп,{рк}Т-1) есть полное счетно-нормиро-валное пространство. Линейное пространство £ мы будем рассматривать как объединение счетно-нормированных пространств Сп. Сходимость последовательности ((рп) к нулю в £ означает, что <рп при всех п > 1 лежат
в некотором £т и при всех мультиикдексах a sup \Da<pn(x)\ —> 0 при
хет°°
п -> оо. Совокупность С* всех линейных непрерывных функционалов на £ будем называть пространством обобщенных функций (распределений).
Пусть / £ L\. Определим на £ линейный функционал А/ равенством: A.f((p) := (f,<p), <р £ £. Очевидно, Л/ £ С*. Распределение А/ называется регулярной обобщенной функцией на Т00. Аналогично, для р £ V положим Ам(р) := (р, ф) . Ясно, что A;i € С*.
Введем на пространстве обобщенных функций некоторые важные операции анализа (дифференцирование, свертка, преобразование Фурье). На функциях из £ эти операции определяются стандартно. Пусть Л £ £*, P(zu..., z„) — некоторый многочлен, D — (DXl,DX2,..., DXn) и P{D) = Р (DXi,DX2,..., DXn) . Определим линейный функционал P(D)A, положив для любого ip £ £:
P(D)A(<p):=A(P(-D)<p).
В частности, DXkA(<p) = -Л (DXtip). Легко видеть, что P(D)А £ £*. Пусть теперь Ai, Аг £ £*. По определению полагаем:
Ai * А2(<р) = AJ (А$ф + у)), <р € £. (16)
Выражение, стоящее справа в (16), определено, так как для £ £ функция <-рх(у) = 'f(x + у) принадлежит £ при любом х £ Т°° и А2<Рх(у) € £• Кроме того, можно показать, что Ai * Аг £ С*.
Обозначим ее(х) = ехр(гж0), где в £ х £ Т°°. Ясно, что е^ £ С + гС. Преобразованием Фурье обобщенной функции А назовем функцию:
А(в) := А{ев), в £
Нетрудно проверить, что справедливы следующие соотношения:
(Р(Д)Л)А (в) = РЩЦд), в € (17)
(Л! * Л2)л (в) = А1(в)А2(в), в е £(оо); Л(у>) = / к{в)ф{в)йвь фЕС.
В частности, из формулы (17) следует, что 1)гьА(в) = -гвкЛ(0).
Определим также бесконечномерный оператор Лапласа, с которым мы будем постоянно иметь дело:
00
д /е£, а*>0(* = 1,2,...). (18)
¿=1
Легко видеть, что Д/(0) — -ф(в)/(в), / € С, где квадратичная форма ■ф(д) определена формулой (5) (в дальнейшем будем говорить, что эта форма ассоциирована с диагональной матрицей сНа§(а*), где все ак > 0).
В терминах преобразования Фурье можно дать характеризацшо как пространства С, так и пространства С*.
Рассмотрим гауссову меру \х на , такую, что
р,(в) — ехр (—^>(0)),
оо
Имеем /х = ® р.к > где цк — гауссова мера на торе Тк—Т-. к—1
Цк(<1хк)
У
7Г _ I (хк - 2тгп)
- £ ехр -йхк. (19)
<*к п^г \ 4а* 1
По теореме Какутани мера (л, либо абсолютно непрерывна относительно меры Хаара на Т°°, либо сингулярна. Известно11, что абсолютная непре-
оо ,
рывность имеет место тогда и только тогда, когда Е е *к < оо; при
к=1
этом в качестве плотности /¿(¡с) может быть выбрана непрерывная функ-
оо _
ция тогда и только тогда, когда £ е < оо. Эта функция имеет вид:
к=1
/*(») = П *
4=1 \
¿ГЕ-р^Э^Ь х = ЫГ. (20)
ак пег V 4а*
При 4 > 0 обозначим через щ гауссову меру на Т00, ассоциированную с матрицей сИа§(4аь). Нетрудно проверить, что семейство мер (¿¿¡)
иВе^ СЬ. // 1гтп1;. МаЛ., 1976, 32, р. 49-100.
1й
обладает полугрупповым свойством относительно свертки: = ¿¿(+8,
и, кроме того, при £ Д. О имеет место слабая сходимость мер —» £ц, где £о — мера Дирака в нейтральном элементе группы Т00.
Для каждого £ > 0 определим линейный оператор Р% : С(Т°°) —> С(Т°°) по формуле Р\3 = * /. Семейство операторов (Р<)<>о образует непрерывную полугруппу сжатий на С{Т°°), а генератор этой полугруппы на функциях из С имеет вид (18). Марковский процесс, порожденный полугруппой (Рг)г>о, мы будем называть винеровским процессом на Т00 и обозначать У = (Г2, У4, Рх). Известно, что У — пространственно однородный стандартный необрывающийся марковский процесс, траектории которого п.н. непрерывны. В соответствии с вышесказанным имеем:
£,(0) = ехр (-^(0)), б € £(оо). (21)
Перейдем теперь к изложению необходимых фактов, связанных с понятием гармоничности.
Пусть и — открытое подмножество Т°° (или, более обще, Т°° х В."), а / — универсально измеримая функция на I/.
Определение 2 (1.5.2). Локально ограниченная (сверху, снизу) функция / называется (суб-, супер-) гармонической на V, если для любого открытого множества V, такого, что V С и, и для любого х € V справедливо равенство:
Ех[/(Уг))=т (>/(»),</(»)),
где У — винеровский процесс на Т00, т = ту — момент первого выхода его траектории У< из V .
Мы часто будем пользоваться следующим условием (А): переходная функция (щ) процесса У абсолютно непрерывна относительно меры Хаара, т.е. = р^х)(1и(х), и плотность рг(х) непрерывна на := Т°° х (0, оо).
Это условие выполняется, например, если Нт^/п = оо.
Отметим, что из условия (А) вытекает непрерывность всех гармонических и полунепрерывность (сверху, снизу) всех (суб-, супер-) гармонических функций.
Определение 3 (1.5.3). Обобщенная функция А называется (суб-,супер-) гармонической в области II С Т°° х Яп, если для любой неотрицательной функции <р € С такой, что эирр((р) С и, выполняется Л(Дф) = 0 (> 0, < 0). В частности, если А — Аf — регулярная обобщенная функция, порожденная функцией /, то будем говорить, что / (суб-,супер-) гармонична на II в обобщенном смысле.
Следующая теорема обобщает классическую лемму Вейля на случай бесконечномерного тора.
Теорема 8 (1.5.3). Если f гармонична в области U С Т°° х Rn, то она является гармонической в обобщенном смысле.
Предположим, что условие (А)выполнено. Тогда из того, что функция f гармонична в обобщенном смысле в области U С Т°° х Л", вытекает, что она почти всюду совпадает с гармонической функцией в U.
Перейдем теперь к рассмотрению гармонических функций в области Т+ . Пусть У — винеровский процесс на Г00, a Z — стандартный ви-перовский процесс на R1 ; тогда X := (Y, Z) — винеровский процесс на Т°° х R1. Пусть го — момент первого достижения процессом Z нуля. Ясно, что го совпадает с моментом первого достижения процессом X множества Т°° х {0}. Для (x,t) G Т™ обозначим через Qt(x,dy) распределение с.в. ХГо по мере Рг,{. Используя независимость Го и процесса Y, легко вычислить:
00
Рх* {ХТ0 edy) = [ fis{dy - x)ht(s)ds, о
где fa — меры, порождающие полугруппу (Ps) процесса Y, а
ht{s)ds = Р*(то 6 ds) = (47r)~1^2is~3/2 ехр(—i2/4s)ds.
Таким образом, если / — ограниченная борелевская функция на Г00 ~ Т°° х {0}, то функция
Qtf(x) := Е* [f(XT0)] = fQ(x,t) = * f(x)ht(s)ds
о
гармонична относительно процесса X на множестве . Непосредственно проверяется, что семейство интегральных операторов (Qt)t>о является непрерывной инвариантной относительно сдвига сжимающейся полугруппой во всех пространствах Lp, причем преобразование Фурье Qtf имеет вид Qtf = J (/ € LÎ). Полугруппа (Qt) называется полу-
оо
группой Копш и является феллеровской. Положим qt{dx) := / fi3(dx)ht{s)ds Очевидно, что qt — вероятностная мера и для любой функции / € L\ Qtf — 4t * / > причем qt = . Для обобщенной функции f € С* определим Qtf := qt* f (G С*). Обобщенную функцию Qtf будем называть интегралом Пуассона обобщенной функции /.
Обозначим через С+ множество цилиндрических бесконечно дифференцируемых функций на Т+ , а через С\ — пространство обобщенных
функций на . Пусть также Д — характеристический оператор процесса X, который, как легко видеть, на функциях <р g С+ имеет вид:
Д ¡р = А<р + D\y>.
Предложение 4 (1.5.7). Пусть / g £*. Определим линейный функционал /q на £+ следующим образом:
оо
(fQ,<p) = I (f,Qm)dt, (22)
о
где <pt(x) = ip{x,t) g £+ . Тогда fQeC*+ и Afg = 0 на .
Теорема 9 (1.5.4). Пусть f g Lp (1 < р < оо) и F(x,t) = Qtf(x). Тогда:
1) функция F гармонична па (в обобщенном смысле);
г»\ II -ill _____ llr^ J-II
" оо у
3) если suppk < оо, то \\Qtf — /Ц^ 0 при t 0;
к
4) если mfpk > 1, то Qtf f v -п.в. при t -» 0.
Если мера jj, g Мр (1 < р < оо), то для Qtfj. свойства 1) и 2) теоремы 9 остаются справедливыми, свойство 3) не выполняется, а о выполнении свойства 4) говорить бессмысленно.
Теорема 10 (1.5.5). Пусть F(x,t) - гармоническая (в обобщенном смысле) функция на Т+ (х g Т°°, t G (0,оо)), удовлетворяющая условию:
esssup = с < со.
t> о
1) Если рк > 1 (к > 1), то на Т°° существует такая знакопеременная мера /j, g Мр, что при всех t > 0 меры Qt/j, абсолютно непрерывны относительно v и dudt-n.e. выполняется равенство
F{x,t) = Qtn(x). (23)
2) Если выполняется условие infpk > 1, то мера ц абсолютно не-
к
прерывна относительно меры и, причем плотность f лежит в Lp.
3) Если выполняется условие (А), то при любом р существует мера /х € V такая, что выполняется (23).
В дальнейшем при исследовании пространств Харди на Т°° нам понадобятся векторные обобщения пространств Lp, Мр и V. Например,
Lp := Lp{h) = { / = (fuh, ■■•)• 1 l/l ||p < оо} , 21
где |/| := JTtf ■
Для пространств Lp, Мр и V выполняются аналоги теорем 9 и 10.
Вторая глава диссертации посвящена некоторым операторам и базисам в пространстве Ьр.
Пусть (О, Л, Р) — произвольный с.б. с дискретным временем
и пусть ? — произвольная а-подалгебра а -алгебры Л. Обозначим через Ьр{Т) множество с.в. / £ Ьр, измеримых относительно Т. Очевидно, Ьр{Т) — замкнутое подпространство Ьр и одновременно идеальное пространство на (С1, Т, Р). Из свойств пространства Ьр следует, что норма пространства ЬР(Т) порядково полунепрерывна, а из теоремы 1 вытекает, что при бирр* < оо норма этого пространства порядково непре-к
рывна. Пусть Ь'р{Т)— дуальное12 к идеальному пространству Ьр(Т) и 1/й + 1/о = 1. Тогда по неравенству Гельдера
ЬЬт = „ ™р
< NI« = 1ЫМ>
fgfdP
а
то есть Lq{!F) С L'p{J-), причем норма оператора вложения не превосходит единицы. Если этот оператор вложения осуществляет изоморфизм Lq(J-) на L'p(F), то будем писать L'p{T) ~ .
В следующей теореме собраны свойства оператора условного матожи-дания Е?.
Теорема 11 (теор. 2.1.1, следствие 2.1.1, предложения 2.1.1, 2.1.2, 2.1.4). a) L'p(F) ~ L^F) тогда и только тогда, когда ЕТ ограниченно действует из Ьр в ЬР(Т);
б) \Е% = 1^Ь'р(?) = Ь,{Т);
г) Оператор Е*, действующий из Ьр в Lp(J~), замкнут; он плотно определен, если выполнено условие (4);
д) Существует такой с.б. (ПД^,)^, Л,Р), такая а-подалгебра Т С Л и такая с.в. / € Ьр, для которых = оо.
Справедлива также следующая
Теорема 12 (предложение 2.1.7). Пусть условие (4) выполнено, (Gn) ~ возрастающее семейство а -подалгебр а -алгебры Л и Goo = yGn-Тогда: _
a) bp(Goo) = ULp(Gn) (замыкание в Ьр);
12Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1977.
б) существуют такие ((?„) и / 6 Ьр(доо), что не стремится
к f б Ьр.
Доказательство этого факта основано на структурных теоремах относительно подпространств пространства Ьр. При этом результат, содержащийся в пункте а), является достаточно неожиданным, потому что семейство ст-подалгебр (0п) никак не связано с семейством (Тп), относительно которого определяется норма пространства Ьр.
Определение 4 (2.1.1). Стохастический базис (О,(£/п)£10,£/,Р) назовем правильным подбазисом стохастического базиса если для любого п > 0 5п С Тп и для любого индикатора а — , где С? 6 0, выполняется равенство
Е[д\Гп] = Е[д\дп], п = 0,1,2,-. ■ (24)
а -алгебру 0 — \/ 0п будем называть правильной а -алгеброй стохас.-
п
____________ £______ /Г« (Т \00 Л Т>\
ПШЧСЪГъиси ииоиьи, ^ 71уп__0) 1 )*
Теорема 13 (2.1.2). Если стохастический базис (Г2,(С/„)£10,£/,Р) является правильным подбазисом стохастического базиса (П, {Гп)%=о, А, Р), то У/€1р(Й,№ДР)
||^4<||/||р,1<^<оо. (25)
Следствие 3 (2.1.2). Пусть (П, (■Т7,,)^, А,Р) — стохастический базис, обладающий структурой декартова произведения (1). Предположим, что а -алгебра £ С А имеет структуру декартова произведения в данном стохастическом базисе, то есть найдутся такие а -алгебры
оо
£к С Ак, что £ = ® £к ■ Тогда £ является правильной о -алгеброй в Перейдем теперь к рассмотрению вопросов, связанных с базисами в
Ьр.
А. Пелчинский13 доказал, что пространство 1^(0,1) обладает следующим свойством: оно не вкладывается изоморфно ни в одно банахово пространство с безусловным базисом (это свойство мы будем называть свойством Пелчинского). Обобщение этого факта на пространства Ьр выглядит следующим образом.
Теорема 14 (2.2.1). Предположим, что для любого п существует событие Ап£Тп с Р(Ап) — 1/2, не зависящее от а-алгебры Тп-\. Если
НпппГр* = 1, то пространство Ьр обладает свойством Пелчинского. к-юо
"БикНа МаШ., 1960, V. 19, р. 209-228.
Классическая теорема Пелчинского получается из теоремы 14, если в качестве (!Рп) взять диадическую фильтрацию и положить рп = 1, п = 1,2,...
Условие Р(Ак) = 1/2 в теореме 14 имеет технический характер и связано с использованием в конструкциях доказательства функций Раде-махера (к сожалению, избавиться от этого условия не удалось). В то же время условие независимости Ап от Тп-\ существенно. Действительно, если взять в качестве {Т^) специальную хааровскую фильтрацию, то очевидно, что любое нетривиальное событие из {Тп) зависит от (^Рп-х) ■ С другой стороны, легко видеть, что при выполнении условия (4) система индикаторов {/л„}^=1 образует безусловный базис в Ьр.
С безусловными базисами связаны и следующие две теоремы, хорошо известные для обычных пространств Ьр.
Теорема 15 (2.3.1). Пусть вир^ = г < ос. Для того, тобы ряд
к
оо
£ /„ с элементами /„ £ Ьр сходился в Ьр при почти всех выборах
п=1
знаков,.необходимо и достаточно, чтобы
,1/2
( оо V
£ Ьр.
Пусть Ф = {фпУп=1 — полная и минимальная система с.в. в Ьр, а Ф = С Ьд — биортогональная ей система с.в. Рассмотрим для
любой с.в. I £ Ьр функцию Пэли
1/2
Теорема 16 (2.3.2). Пусть вирр* = г < оо. Для того, чтобы сис-
к
тема Ф являлась безусловным базисом в Ьр, необходимо и достаточно, чтобы для любой с.в. / £ Ьр выполнялось неравенство:
вы\р<\\р(тр<А\\п§,
где константы А и В не зависят от /.
Перейдем теперь к рассмотрению конкретных систем. Фильтрацию (Нп) будем называть фильтрацией Хаара, если Мп> О Нп порождается разбиением П на ровно п+1 атом {ВЦ, В™,..., В"} строго положительной вероятности. Таким образом, Вд = и Уп > 0 разбиение {Вд+1,Вх+1,.. получается дроблением ровно одного из
событий В", 0 < з < п, на два события положительной вероятности при том, что остальные атомы В", не изменяясь, входят в систему
С каждой фильрацией Хаара (Нп) мы свяжем систему с.в. Хаара (у„), п > 0, следующим образом: хо = 1 на П и
' а , если а) £ В£+1 %п+1(ш) = Ь , если ш £ Я,п+1 ,
О в противном случае
где В%+1 и Б"+1
— как раз те два атома из Н.п+1, которые получились в результате дробления атома из Нп, а числа а и Ь выбраны таким образом, что Е(хп+1) = 0, Е (Хп+0 = 1 • Ясно, что каждая с.в. Хп+1 определяется с точностью до знака.
I 1п017ттпфопттр К ^гпопгтшто 9 Ч 757/»-»»/ йл ст т/>поп « Т — 17 „,
-м».-'—------- ^ -------»^ " <» я — '^71
выполняется условие (4), то система Хаара (х?»)^о ■явл^стся базисом в Ьр.
Рассмотрим теперь фильтрацию (§п), такую, что £/о = {Г2,0}, С,к порождена конечным набором атомов и Як г Як-1 (А: = 1,2,...). Сформулируем следующее очевидное
Предложение 6 (2.3.8). На (£1,Я<х,Р) существует фильтрация Хаара ('Нп), такая, что для некоторой (однозначно определенной) возрастающей подпоследовательности (Пк) справедливо равенство %Пк = Як, к> 0.
Пусть фильтрация (Тк) такова, что = (П,0) и \//г > 1 Тк порождена конечным числом атомов. Если нужно, отбрасываем лишние одинаковые а-алгебры и перенумеровываем оставшиеся. В результате получаем фильтрацию (Як), удовлетворяющую условию Як ф 9к-1 > к = 1,2, — Согласно предложению 6, построим одну из фильтраций Хаара (Нп), ассоциированных с (Як), и соответствующую систему Хаара (хп)^о • Систему Хаара (Хп)^о будем называть ассоциированной с фильтрацией (Тк).
Предложение 7 (2.3.12). Пусть р — (р\,р2, ■ • •), а вектор д = (91)92)---) устроен следующим образом: дг- = рк при щ-у < г < (подпоследовательность тц., к > 1 взята из предложения б). Тогда
ьр(п,дк,р) = ь9(п,пп,р).
Из предложений 5 и 7 вытекает следующая
Теорема 17 (2.3.3). Если выполняется (4), а фильтрация (7-к), состоит из конечных а-алгебр, то система Хаара (хп)^о > ассоциированная с (Тк), является базисом в Ьр(£1,Тк,Р).
Изложение результатов третьей главы диссертации начнем с определения и теоремы, позаимствованных из монографии М. Фукушима14.
Пусть Е — локально компактное хаусдорфово пространство и и — плотная мера Радона на Е. Как всегда, будем обозначать L2 := 1ч{Е, и), (u,v) := J uvdu и || • ¡¡2 '•= j| • ||/;2. Пусть также Cq — пространство непре-
Е
рывных функций с компактными носителями на Е.
Определение 5 (3.1.1). Замкнутая неотрицательно определенная симметричная билинейная форма £ на Li называется регулярной формой Дирихле с областью определения D[£], если:
1) D[£]f]Co плотное Cq в равномерной метрике и в D[£] в метрике
Н, = ад :=£(«) +Ni;
2) £ удовлетворяет условию марковости, то есть для любого е > О существует определенная на (—00,00) функция ipc(t), значения которой лежат в интервале [—£,1+£], <pe(t) = t при t € [0,1], 0 < <pe(t)—tp£(s) < t — s при s <t и обладающая следующим свойством:
и е D[£] =» y»e(u) б D[£], £ (<ре{и)) < £{и).
Гильбертово пространство (D\£], || • ||*) называется при этом пространством Дирихле.
Теорема 18 (3.1.1). 1) Каждой регулярной форме Дирихле £ можно сопоставить симметричный процесс Ханта Y с полугруппой (Pi), удовлетворяющей соотношению
£(u,v) = — Ptu,v), Mu,v £ D[£}.
2) Процесс Y определяется формой £ однозначно с точностью до эквивалентности.
3) Процесс Y имеет непрерывные п.н. траектории тогда и только тогда, когда форма £ локальна, то есть когда
V«, ^ 6 D[£], и |8uppw = 0 £(и, у) = 0.
Пусть теперь Е = Т°°. Мы будем часто отождествлять Т с интервалом . (—7Г, 7г] ; тогда групповая операция совпадает с операцией сложения по mod 27Г. Через dxf. обозначим нормированную меру Лебега на (—7Г, 7г] ;
оо
тогда dv = ® ах к.
к=1
14Dirichlet forms and Markov processes. North-Holland/Elsevier, 1980.
Для бесконечномерной матрицы А(х) — (at'J-(a;))j0°_1, состоящей из ограниченных борелевских функций ац{х) и при любых п > 1 и £ = (6) • • • i£n) € if удовлетворяющей условию
оо
Еау(*)66>0 (v -п.в.), (26)
».j=i
положим:
г 00
£(«,«) := / Е М*)<(*К,(*)«М*)> ОД = с. (27)
у»
Если А(х) не зависит от а:, то будем говорить, что матрица А = (a;j)°°=1 числовая. Числовые диагональные матрицы будем, как и ранее, обозначать А — diag(aj).
Для числовых матриц А полагаем:
00
т := Е <чМ, 0 = (вив2,...)£ z(°°K
i,J=1
Предложение 8 (3.1.1). Для числовых матриц Л форма (£,£) замыкаема. Если £ — ее минимальное замкнутое расширение, то В — регулярная форма Дирихле и
D[£] = lu€L2: f ф(е)\и{в)\Че < оо .
I z(°°> J
Пусть теперь матрица А диагональна, то есть А = diag(a»). Обозначим через Wl (А) гильбертово пространство функций и € Li, чьи обобщенные производные первого порядка лежат в и для которых выполняется неравенство:
00
М^(Л):=Еа*К1122 + |МЦ<оо. *=1
Тогда нетрудно показать, что D[£] = WUA) и £{и) = J аЛи' 12di>, и е D[£}.
Теорема 19 (3.1.2). Пусть задана форма (27), удовлетворяющая условию (26), и предположим, что выполнено одно из следующих условий:
а) существует числовая матрица А0 = и число 8 > 0 та-
кие, что при любых п > 1 и £ = (£i,...,£n) £ if и-п.в. выполняется
неравенство:
5~2 Е "гМ < Е афШ, < 52 Е (28)
¿,,7=1 «,7=1 »¿=1
б) матрица А(х) = ^¿¿(а:) квазидиагоналъна и справедлива лишь левая часть двойного неравенства (28).
Тогда форма £ замыкаема и ее минимальное замкнутое расширение (£, £>[£]) есть регулярная форма Дирихле.
Если условие а) выполняется с диагональной матрицей А0 = сИад(а*), ак >0 {к > 1), то £>[£] = И'¡{А*) и Уи 6 ОД
. оо уоо г,7=1
Замечание 1 (3.1.2). Пусть матрица А(х) = А не зависит от ж € Т°°. В этом случае У — пространственно однородный симметричный процесс на Т°°. Его марковская полугруппа (Рг) порождается слабо непрерывной однопараметрической полугруппой (щ) симметричных гауссовых мер на группе Т°°:
¿><(0) = ехр {-Щв)), Д/ = ц * /, * > 0,
где = £¿5=1 в € При каждом £ > 0 мера щ есть
проективный предел последовательности гауссовых мер и^ на Т". В случае, когда при любом п > 0 матрица А„ = (аг-,;)"у=1 невырождена, каждая мера г/^ абсолютно непрерывна относительно меры Хаара и^1 на Тп и
В диагональном случае, когда А = diag(a¿), а* > 0, мы приходим к формулам (19), (20) и (21). Ясно, что процесс У феллеровский. Сильная феллеровость процесса У, как нетрудно видеть, равносильна абсолютной непрерывности при каждом í > 0 меры щ относительно меры Хаара и.
Предположем, что матрица А = (ау) не зависит от ж 6 Т"*5.
Пусть (Р() — марковская полугруппа процесса У, (который порождается формой Дирихле £ в соответствии с теоремой 18), ((¿^ — полугруппа Коши, а А и В — ¿2 -генераторы полугрупп (Р<) и (С}^ соответственно. Легко проверяется, что операторы Р4, (Зг, Д и В переводят £ в £ и для / £ £ выполняется соотношение Д/ = —В2/.
Определение 6 (3.1.2). Пусть Ь : С —» С х С х ... — линейный оператор, удовлетворяющий условиям:
1) 1Р1 = РгЬ (Ш>0);
2) I 1/(х)д.и(х) = 0 (У/е£);
уоо
3) т+ (V/е£).
Такой оператор Ь называется допустимым.
Теорема 20 (предложение 3.1.5). Если оператор Ь допустим, то справедливо неравенство || |Х/| ||р < ср\\В/\\р, 1 < р < оо.
Доказательство сформулированного предложения опирается на Ьр-оценки функций Литтлвуда-Пэли, ассоциированных с полугруппой (С}^.
Пример 1 (3.1.1). Пусть условие доминирования (28) выполняется с диагональной матрицей, то есть (а^) = с!1ад(аь). Положим
/ 0 ^ \
Легко проверяются свойства 2) и 3) определения 6. Поскольку матрица (а,^) не зависит от х Е Т°°, то Р4 действует как оператор свертки, поэтому У0Р< = PtVa. Следовательно, Уа допустим и по теореме 20 имеем:
\\№Л\\р<ср\\В/\\р, 1<р<оо.
Пусть Ъ - допустимый оператор,
А(9) := Ьев(0), (29)
' ^ ' (30)
0 ,0 = 0;
т(0) = (гщ(0),т2(0),...).
Предложение 9 (3.1.6). Вектор-функция тп(в) является р-мультипликатором при любом р, 1 < р < оо.
Доказательство этого предложения опирается на предложение 3.1.5. Для допустимого оператора У0 из примера 1 мультипликатор т имеет вид (6).
Часто допустимые операторы можно конструировать с помощью так называемых допустимых распределений.
Определение 7 (3.1.4). Вектор А — (Лх, Лг,...), где Ак — линейные функционалы на С, называется допустимым, если для любой функции /€£
0 оо оо
|л/|2 = £ М < Е ау/;(0)4(0) 4- (ЯДО))2.
Ь=1 ¿,¿=1
Линейный функционал А на С называется допустимым, если вектор А = (Л, 0,0,...) допустим.
С каждым распределением Л на Т°° можно связать линейный оператор Lf(x) := Л*/(х) = ЛД-+г). Аналогично, по вектору Л определяется
1} := А * / = (Лх * /, Лг */,...).
Предложение 10 (3.1.8). Если А — допустимый вектор распределений, то соответствующий векторный оператор Ь допустим (в смысле определения 6).
Дадим некоторые применения изложенного материала к исследованию дифференциальных уравнений на бесконечном торе.
Обозначим через (к > 1) линейное пространство функций из Ьр, чьи обобщенные производные до к-го порядка включительно принадлежат Ьр, р > 1. Будем говорить, что функция и € Ьр является слабым решением уравнения
Ди-А« = /, (31)
если для любой функции <р € £ справедливо равенство {и, А<р — А <р) =
Теорема 21 (3.1.3). Пусть и Е Ьр — слабое решение уравнения (31)
с правой частью / 6 \Ур . Тогда и е \Ур+2 и Аи= Е а1,]и%х >
»¿=1 ' ' '
справа сходится в Ьр.
Теорема об ограниченности в Ьр векторного оператора Рисса допускает обобщение на пространства, которые изучаются в заключительной части главы 3.
Для 1 < а < оо и некоторой конечной меры р на (1, оо), не нагружающей точку г — вир^ирр//}, введем пространство
Нетрудно видеть, что — симметричное фундаментальное пространство, удовлетворяющее условиям порядковой непрерывности и монотонной полноты и что ЬТ С £а,м С Ьт_. .В частности, при г = оо
получаем: LС Са и С П L„. В этом последнем случае при выполнении
р< оо
некоторых условий пространство Саi(J находится "дальше" от L,
Справедливо следующее обобщение предложения 9 для векторных операторов Рисса.
Теорема 22 (предложение 3.2.18). Пусть Q = Т°° — бесконечномерный тор, ц — конечная мера на интервале (1,оо), d¡í(p) = ^dfx{p) и 1 < а < оо. Тогда для / Е £а>м(Т°°) выполняется неравенство:
||Д/1кд < с(а,ц) \\f\\a^.
Доказательство этой теоремы основано на оценках норм конечномерных операторов Рисса15.
Перейдем к изложению результатов заключительной, четвертой главы диссертации.
Через т(в) = (mi(0),m2(0),...) будем систематически обозначать фиксированный векторный мультипликатор, а через Т = (Ti,T2,...) — соответствующий векторный мультипликаторный оператор (см. определение 1). Таким образом,JT*/(0) = тк(в)/(в), V/ 6 W Е Z(oo), Vft > 1, или в векторном виде: Тf = mf.
Определение 8 (4.1.1). Пусть f — борелевская функция на Г°° и 1 ^ Р < 00 • Будем говорить, что f принадлежит пространству Харди Hp со смешанной нормой, если можно указать вектор-фунцию f = (/i,¡2,...) на Т°°, удовлетворяющую следующим условиям:
1) f = rhf;
2) 11/1!я/= Ц^+ЕЛ^оо.
Отметим, что, согласно условию 1), для f Е Hp выполняется соотношение / = Т/.
Легко доказать, что Hp - банахово пространство при любом 1 < р < оо, и если при некотором р оператор Т : Lp —> Lp ограничен, то при этом р Hp и Lp изоморфны, причем изоморфизм осуществляет тождественное отображение.
Теорема 23 (следствие 4.1.3). Если выполнено (4), то множество С плотно в Hp.
15Duoandikoetxea J., Rubio de Francia J.L. // C.R. Acad. Sc. París, 1985, t. 300, Série I, 7, p. 193-196.
Займемся теперь описанием пространства Щ — сопряженного пространства к пространству Харди Нр — при условии вир рк < оо. Заме-
к
тим, что если р = 1, то в качестве сопряженного мы получаем обычное пространство ВМО на бесконечномерном торе. Сделаем следующее техническое допущение: будем предполагать, что существует такой вектор показателей суммируемости г = (г1,гг,...), р < г, удовлетворяющий условию вир г* < оо, при котором оператор Т является (X,-, Х^) -мультипликатором. Это условие автоматически выполняется, если бирр* < 2.
_ _ к так как очевидно, что оператор Т всегда является (Хо,!^) -мультипликатором. Смысл этого условия состоит в следующем. Если обозначить через г' сопряженный показатель к г, то можно рассмотреть ограниченный сопряженный оператор Т* : Ъ? —> Ь?, который ввиду неравенства г' < 5 будет определен на функциях из Ьд. Именно этот оператор Т* фигурирует в следующем определении.
Определение 9 (4.1.2). Пространством ВМОд будем называть множество функций 1{х) вида:
1 = 9о+ЕТ!9к, (32)
к=\
где д = (до, 91,92,- ■ •) 6 X«/ при этом ||/||вл/о? := и^ Ц^Цх,, где инфимум берется по всем д £ Ьд, удовлетворяющим равенству (32).
Ясно, что Х?- С ВМОд С
Теорема 24 (4.1.2). Пространство ВМО$ является банаховым пространством, изоморфным пространству Щ. Более точно: если I £ Нр, то существует единственная функция I ~ 1(х) £ ВМОд такая, что для любой f £ £(с Нр) имеем:
/(/) = / 1{х)^х)йи{х). (33)
уос
Обратно, любая функция I = 1(х) £ ВМОд порождает по формуле (33) линейный непрерывный функционал на Нр. При этом
Шщ-тьмо!-
Будем теперь рассматривать мультипликатор т — (ггц, тг,...), удовлетворяющий условию |т(0)| = 0 (это условие не существенно для дальнейших построений, а просто упрощает вид некоторых формул). Для любого натурального к рассмотрим функцию Хк = т^^ф, определенную на
J?'00'. Нетрудно показать, что существует распределение (вообще говоря, не допустимое, то есть не получающееся из соотношения (29)), такое, что Ait = Afc. Однако вектор распределений Л = (Ai, Л2,...) и мультипликатор m связаны формулой (30). Аналогичным образом определяется вектор распределений Л, для которого Л* = Хк (в правой части черточкой сверху обозначено комплексное сопряжение).
Определение 10 (4.1.5). Будем говорить, что мультипликатор m удовлетворяет условию нормировки, если \fh(9)\ = 1 при в фО.
Заметим, что условие нормировки равносильно условию равносильно условию )Д| = \рф.
Для f Е £ и к = 1,2,... рассмотрим опрераторы Lkf := Л* * / и L% = Ai * /. Обозначив также Lof := —Dtf, получим L^f = Dtf.
Расширим операторы Тк и Lk на пространство обобщенных функций.
Рассмотрим сначала оператор Тк, к = 1,2,____Нетрудно проверить,
что этот оператор осуществляет непрерывное отображение пространства £ в себя. Это обстоятельство позволяет определить Tkf для f € С*. Именно, для <р Е £ положим: (7*/, ip) := (f,Tktp). Легко видеть, что Tkf £ £* и Тк задает непрерывное отображение £* в себя.
Аналогично, рассмотрим оператор Ь*к, к = 1,2,... и пусть F Е £*+. Определим обобщенную функцию LkF из С*+, положив для g Е £+: (LkF,g) := {F,L\g),где L*kg(x,t) = L*kgt(x) = Ак * gt(x) £ £+. Так же, как и LkF определяется обобщенная функция L*kF. Таким же образом определяются и операторы Lq и Lq на £\.
Теорема 25 (4.1.3). Пусть /,/ь/2,... € С* и F0 := fQ,Fx := (f{)Q, F2 := (/2)3 — "я интегралы Пуассона (см. формулу (22)). Для того, чтобы
fk - Tkf + const, к = 1,2,..., (34)
необходимо и достаточно, чтобы выполнялись соотношения:
LkFn = LnFk (п > 0, к > 0, п ф к) (35)
(неполная система уравнений Коши-Римана).
Теорема 26 (4.1.4). Пусть в дополнении к условия теоремы 25 мультипликатор m удовлетворяет условиям нормировки. Для того, чтобы выполнялись соотношения (34) необходимо и достаточно, чтобы были справедливы равенства:
[ LkFn = LnFk (п>0,к>0,пфк)
(полная система уравнений Коши-Римана).
Теорема 27 (4.1.5). Пусть выполняется условие нормировки и .Ро, 1*1,... — обобщенные функции из С\, удовлетворяющие соотношениям (36). Тогда каждая из этих обобщенных функций гармонична в области
Т®.
С этого момента мы будем считать, что выполнено условие (А). Пусть Р — (^0,^1,^2) • • •) — вектор-функция, компоненты которой есть гармонические функции на Т+, удовлетворяющие неполной системе уравнений Коши-Римана (35) (если выполняется условие нормировки, то можно считать, что компоненты вектора Р есть регулярные обобщенные функции на Т+, удовлетворяющие полной системе уравнений Коши-Римана (36); тогда в силу теоремы 27 эти компоненты гармоничны на
Определение 11 (4.1.6). Будем говорить, что вектор Р принад-
ЛР'НГПГТ). пг\пггтп'пп'нгтАН Я-1/гпптлртггпяриип гтпттплиггпап 7-/= ) 1 .1-------- ------i---------а . „р (-------------------—, ..1---...г—— д --р/г -
р < оо, если при всех t>0 и к = 1,2,... функция ортогональна
единице и выполняется условие
1%, 8иР Ш->Ок < 00 (соотв., := вир \Р(;*)|
п? *>о ? . * II г>о
< оо).
Можно показать, что при всех р Ир С НрС Ир.В частности,
Щ С Нх С Ни (37)
Предложение 11 (4.1.4). Если т является (Ь\,Ъ\) -мультипликатором, то вложения в формуле (37) строгие.
Для того, чтобы дать достаточные условия совпадения пространств "Нх , Н\ и И\, рассмотрим следующее условие (Б) (которое является обобщением на бесконечномерный случай соответствующего конечномерного факта, установленного Кальдероном):
существует такое число в (0 < я < 1), что какова бы ни была Р £ %1 функция субгармонична на множестве .
Теорема 28 (теорема 4.1.8, следствие 4.1.5). Если выполняется условие (Б), то Н\ изометрично пространству "Ну и изоморфно пространству .
Пример 2 (4.1.2). Положим для / £ С А.к у/ак0хк/(0), к > 1, и пусть Л° = (Л®, Л®,...). Очевидно, вектор Л° допустим. Вычислим преобразование Фурье А® распределения Л®: А°к(в) = К\(ев) = г^/а^вк, где
в = (0Ь6%,...) £ . Мультипликатор тп\, ассоциированный с , имеет вид (6), то есть т° является мультипликатором Рисса. Из предложения 9 видно, что этот мультипликатор является (Ьр, Ьр) -мультипликатором при 1 < р < оо. Однако из результатов конечномерной теории пространств Харди следует, что он не является ¿^-мультипликатором. Полная система уравнений Коши-Римана для этого мультипликатора имеет вид:
оо
I ч/йЩ^ = о
1 -/йЩ^-Рг. = у/а^ОХпРк (тг фк,х0= t, ай.= 1).
Теперь мы сконцентрируем внимание на условии (Я). Пусть Л — произвольный допустимый вектор, по нему построено Н1, Р € Н\ и Ь\ порождены риссовыми распределениями Л 2. Обозначим через М матрица £--ст гтппуя тгптлппй ргтт. Г,9 Р . и ттаг п. 111 М\11 — нппмя Гшпчбептя-
, ---1--------I---------К- 7 — ---III---III ---г---------- -Х----
Шмидта матрицы М. Положим:
Легко видеть, что < 1.
Теорема 29 (4.1.9). Для того, чтобы выполнялось условие (в), необходимо и достаточно, чтобы < 1. При этом, если Р 6 %1, то функция |Р|а будет субгармоничной при а > 2 — 1/5^ -
Можно показать, что на каждом из подпространств , состоящем
из вектор-функций Р, зависящих от первых п+1 координат, условие (Э) выполняется.
Условие (А) обеспечивает справедливость следующего, доказываемого с помощью перехода к преобразованию Фурье предложения.
Предложение 12 (4.2.1). Пусть / € Ь\ и и) = <Эи(х, /). Тогда: 1) Р гармонична в области (см. определение 2);
3) функция , где а = (а0, ..., а„), ха = и, ограничена на множестве := Т°° х [а,оо) при любом мулътииндексе а и любом а > 0;
4) корректно определен квадратичный оператор поля
00
7(г,и) = (ОиР(х,у))2 + Е аф^х.и)2.
к=1
(ряд в правой части сходится равномерно на ТЦ° при любом а > 0).
Пусть M = (Mt, Tt,P) — непрерывный мартингал. Будем писать, что
M € Hi(Р), если \\M\\HliP) := Ер jjjp< оо, и что M Е ВМО(Р),
если с.в. |Мо| и процесс ЕР[(М,М)Х - {M,M)t \ Tt] ограничены, где (M, M)t — квадратичная характеристика мартингала M.
Пусть теперь f Е Li, F{x,u) = Qu{x,f) и Mt = F (XtAro), где У — винеровский процесс на Т°°, £ — стандартный винеровский процесс на R1, X = (У, Я), а то — момент первого достижения нуля процессом J?. Мы знаем, что F(x, и) — гармоническая функция на Т|° относительно марковского процесса X . В дальнейшем точки полупространства мы будем обозначать греческими буквами; например, £ = (x,u),rj = (y,v).
Предложение 13 (4.2.2). Пусть f Е Li, F(x,u) = Quf{x) и вероятностная мера /i на Т+ такова, что supp(ц) С Т+ . Тогда процесс Mt = F{XtAr0) есть мартингал класса Li (fi, !Ft, Рм).
Несколько видоизменив рассуждения, проведенные П. A.. IS^enepoM1^, получаем общую формулу для подсчета квадратичной характеристики {M, М) :
(Лть
(M, M)t = 2 / 7(X,)de Р"-п.н..
. о
Обозначим через fа, а > 0, меру на определяемую формулой Va ~ V ® £а 1 где е„ — мера Дирака в точке а Е R1.
Определение 12 (4.2.1). Будем говорить, что функция f на Т°° принадлежит пространству Н", если
ИЯк :=Ji&llMlk(p-)<0°-
Следующая теорема сравнивает нормы пространств Hi и .
Теорема 30 (4.2.1). Если выполняется условие (S), то
ll/lk < 4fh,
Определение 13 (4.2.2). Пусть / — борелевская функция на Г00. Будем говорить, что / принадлежит пространству BMÖ, если
11/11 %мо-= sup [Q,(f)-(Quff}<oo.
Можно доказать, что || • ||вмо — преднорма (ее эквивалент для круга называют нормой Гарсия17) и что соответствующее пространство классов эквивалентности полно.
leLect. Notes Math., 1976, 511, p. 125-183.
17Кусис П. Введение в теорию пространств Hv. M.,1984.
Обозначим через V(£, drj) ядро потенциала Грина полупространства Т+ . Рассмотрим "потенциальную" характеризацию пространства ВМО.
Теорема 31 (4.2.2). Функция f принадлежит ВМО тогда и только тогда, когда f £ L\ и для всех £ G выполняется неравенство:
V(i,7) < с2 < (38)
Наименьшая константа с, удовлетворяющая неравенству (198), определяет преднорму, равную -^\\/\\вмо ■
Дадим теперь вероятностную характеризацию пространства ВМО. Теорема 32 (4.2.3). Пусть f € L\ и Mt = F(XtATg). Следующие условия эквивалентны:
1) / € ВМО;
2) существует, такое начальное распределение fi на Т+, supp(ju) С ТТ. что мартингал (Mt - Мп) лежит в ВМО(Р'1);
3) для любого начального распределения /i на Т+, supp(//) С , мартингал (Mt — Mq) лежит в ВМО(Р'*).
При выполнении любого из свойств 1)-3) справедливо равенство:
Швмо = ||М - М0\\вм0{р>). Следствие 4 (4.2.1), ВМО С П Lp.
1<р<оо
Сформулируем теперь результаты, связанные со свойствами и харак-теризацией интеграла Пуассона в пространстве ВМО.
Теорема 33 (4.2.4). Пусть / G ВМО. Тогда \\f\\BM0 = sup \\Quf\\BM0
и>0
и следующие условия равносильны:
1) Qui / в ВМО при и ->• 0;
2) функция f непрерывна в целом в пространстве ВМО, т.е. для любого е > 0 существует такая окрестность U нейтрального элемента группы Т°°, что для всякого у £ U выполняется:
!!/(• +у)-/01 \вмо<^
3) / G С(Т°°), где (^(Т00) — замыкание множества непрерывных функций С(Т°°) в пространстве ВМО.
Теорема 34 (4.2.5). Пусть F(x,u) — гармоническая на Т+ функция, ограниченная на бесконечности. Если
sup||F(-,u)||BMO < оо,
то существует / € ВМО, такая, что Quf(x) = Е(х,и), (х,и) €
Введем в рассмотрение следующее условие (В): мультипликатор т таков, что для любой функции д € функ
ция Т*д= Е Т£дк лежит в ВМО.
1
В классическом п -мерном варианте известно, что мультипликатор! Рисса удовлетворяют условию (В).
Для того, чтобы различать константы в пространстве ВМО, рассмот рим подпространство Ь2, снабженное нормой ||/||ВЛ10а := И/Цгшо+ИЯк Очевидно, что В МО 2 — банахово пространство.
Теорема 35 (4.2.7). Если выполнены условия (Б) и (В), то прс странство Щ изоморфно пространству ВМО2 ■
Теорема 36 (4.2.8). Если выполнены условия (Э) и (В), то прс странства Н\ и Я* изоморфны.
Список публикаций по теме диссертации
[1] Бендиков А.Д., Павлов И.В. Теорема двойственности функциональных пространств Н\ и В МО на бесконечномерном торе. — В сб.: Случайный анализ и асимтотические задачи теории вероятностей и математической статистки. / Под ред. Г.М. Мания, Н.Л. Лазриевой, Т.Л. Шервашидзе. Тбилиси: Мецниереба, 1984, с. 6-15.
[2] Бендиков Л.Д., Павлов И.В. Лемма Вейля для винеровского процесса на торе и характеризация интеграла Пуассона. — В сб.: Случайный анализ и асимтотические задачи теории вероятностей и математической статистки. / Под ред. Г.М. Мания, Н.Л. Лазриевой, Т.Л. Шервашидзе. Тбилиси: Мецниереба, 1984, с. 91-92.
[3] Бендиков А.Д., Павлов И.В. Вероятностные методы в исследовании свойств интеграла Пуассона в пространстве ВМОуТ00} и пространствах Ур(Т°°) со смешанной нормой. — В сб. "XIX школа-коллоквиум по теории вероятностей и математической статистике. Тезисы докладов." Тбилиси, 1985, с. 7.
[4] Бендиков А.Д., Павлов И.В. Вероятностно-аналитические аспекты неравенств Литтлвуда-Пэли, диффузионные процессы и уравнения в частных производных. — В сб. "XIX школа-коллоквиум по теории вероятностей и математической статистике. Тезисы докладов." Тбилиси, 1985, с. 6.
[5] Бендиков А. Д., Павлов И. В. Диффузионные процессы на группе Т00 и эллиптические уравнения от бесконечного числа переменных. — В сб.: IV международная вильнюсская конф. по теор. вер. и мат. стат., тезисы докладов. Вильнюс, 1985, т. I, с. 74-75.
[6] Бендиков А.Д., Павлов И. В. Винеровский процесс с отражением и гармонические функции с конечным интегралом энергии. — В сб.: XX школа-коллоквиум по теории вероятностей и математически! статистике. Тезисы докладов. / Под ред. Г.Н. Кинкладзе. Тбилиси: Мецниереба, 1986, с. 6.
[7] Бендиков А. Д., Павлов И. В. Об одном банаховом пространстве мартингалов. — В сб.: XX школа-коллоквиум по теории вероятностей и математической статистике. Тезисы докладов. / Под ред. Г.Н. Кинкладзе. Тбилиси: Мецниереба, 1986, с. 7.
[8] Бендиков А.Д., Павлов И.В. Ограниченность в ЬР(Т°°) одного класс; векторных мультипликаторных операторов. — Сибирский математи ческий журнал, 1986, т. XXVII, 1, с. 3-10.
[9] Бендиков А.Д., Павлов И. В. Пространства Lp со смешанной нор мой на бесконечном декартовом произведении вероятностных про странств. — Analysis Math., 1987, v. 13, 3, p. 231-250.
[10] Бендиков А.Д., Павлов И. В. Винеровский процесс с отражением i гармонические функции с конечным интегралом энергии. — Теори: вероятностей и ее применения, 1988, т. 33, с. 586-589.
[11] Бендиков А.Д., Павлов И. В. О пространствах гармонических функ ций с мартингальной смешанной нормой. — Теория вероятностей i ее применения, 1988, т. 33, с. 769-772.
[12] Бендиков А.Д., Павлов И. В. Характеризация интеграла Пуассона ] пространстве ВМС^Т00). — Математический анализ и его прило жения, Ростов-на-Дону, РГУ, 1992, с. 9-17.
[13] Павлов И.В. Контрпример к гипотезе о плотности Ноо в простран стве ВМО. — Теория вероятностей и ее применения, 1980, вып. 1 с. 154-157.
[14] Павлов И.В. Пространства мартингалов и их функциональные ана логи. — В сб. "Воронежская зимняя математическая школа -95, Во ронеж, тезисы докладов", с. 178.
[15] Павлов И.В. Критерий конечности смешанной нормы мультиплика тивных мартингалов, составленных из функций Радемахера. — В сб "2-я Всероссийская школа-коллоквиум по стохастическим методам Тезисы докладов." М.: ТВП, 1995, с. 111-112.
[16] Павлов И.В. Обобщение одной теоремы А.Пелчинского на простран ства мартингалов со смешанной нормой. — В сб "3-я Всероссийская школа-коллоквиум по стохастическим методам Тезисы докладов." М.: ТВП, 1996, с. 125-125.
[17] Павлов И.В. Структурные теоремы и оператор условного матожи дания в пространстве мартингалов со смешанной нормой в случа произвольного стохастического базиса. — В сб.: "Международная гес метрическая школа-семинар памяти Н.В. Ефимова, Абрау-Дюрсо, Те зисы докладов". Ростов-на-Дону, 1996, с. 129.
[18] Павлов И.В. Системы Хаара и некоторые результаты о базисах в пространстве мартингалов со смешанной нормой. — Теория вероятностей и ее применения, 1997, т. 42, вып. 3, с. 623-626.
[19] Павлов И.В. Некоторые свойства мартингальных пространств Нр, ВМО, VMO и со смешанной нормой. — Обозрение прикладной и промышленной математики, М.: ТВП, 1999, т. 6, вып. 2, с. 368-386.
[20] Павлов И.В. О мультипликаторных пространствах Харди со смешанной нормой на бесконечномерном торе. — Обозрение прикладной и промышленной математики, М.: ТВП, 2Q00, т. 7, вып. 2, с. 519-520.
[21] Павлов И.В. Пространства мартингалов и их функциональные аналоги. — Известия ВУЗов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки, 2001, 3, с. 8-23.
[22] Павлов И.В., Бендиков А.Д. О некоторых операторах в пространстве мартингалов со смешанной нормой. — В сб.: "4-я международная вильнюсская конференция по теории вероятностей и математической статистике. Тезисы докладов", 1985, т. 3, с. 9-11.
[23] Павлов И.В., Марков Е.П. Критерий конечности смешанной нормы мультипликативных мартингалов, составленных из функций Раде-махера. — Известия ВУЗов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки, 1996, 4, с. 10-15.
[24] Павлов И.В., Марков Е.П. Экспоненциальный вариант леммы Хин-чина в смешанной норме. — В сб.: "Международная школа-семинар по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова, Абрау-Дюрсо, Тезисы докладов". Ростов-на-Дону, 1998, с. 203-205.
[25] Павлов И.В., Марков Е.П., Климентов Д.С. О плотности ограниченных мартингалов в пространстве мартингалов со смешанной нормой. — В сб. "Всероссийская школа-коллоквиум по стохастическим методам геометрии и анализа. Тезисы докладов." М.: ТВП, 1994, с. 90-91.
[26] Павлов И.В., Скориков А. В. Пространства Lp со смешанной нормой на бесконечномерном торе. — Известия вузов. Математика, 1986, 2, с. 69-72.
[27] Bendikov A.D., Pavlov I.V. Spaces Hp and ВМО on the infinite dimensional torus. — В сб.: Третья международная Вильнюсская конф.
по теор. верю и мат. стат., тезисы докладов. Вильнюс, 1981, т. II с. 26-27.
[28] Bendikov A.D., Pavlov I.V. Diffusion processes on the group T°° an elliptic equations of infinitely many variables. — In: Proc. of Fourt Intern. Vilnius Conf. on Prob. Theory and Math. Stat., Abstracts < Comm., 1985, vol. 1, p. 74-75.
[29] Bendikov A.D., Pavlov I.V. On the Poisson equation on the infinil dimentional torus. — In: Potential Theory, Plenum Publishing Corp New York, 1988, p. 29-38.
[30] Bendikov A.D., Pavlov I.V. Some operators on martingale spaces wit mixed norm. — In: Statistics and Control of Stochastic Processes. E< by A.N. Shiryaev and al., 1989, p. 17-30.
[31] Bendikov A.D., Pavlov I.V. Diffusion processes on the group an elliptic equations of infinitely many variables. — In: Probab. Theory an Math. Stat., Proc. of Fourth Intern. Vilnius Conf., VNU Science Pres Utrecht, 1987, p. 145-169.
[32] Pavlov I.V. Martingales' with mixed norm: general theory ar applications. — В сб.: 1-й Всемирный конгресс общества математз ческой статистики и теории вероятностей им. Бернулли. Тезис! М.:Наука, 1986, т. 2, с. 725.
[33] Pavlov I.V. Martingales with mixed norm: general theory ar applications. — In: Proceedings of the 1st World Congress of tl Bernoulli Society, vol. 1, Probab. Theory and Appl. WNU Science Pres Utrecht, 1987, p. 575-579.
[34] Pavlov I.V. Spaces of martingales: applications to the potential theory. -In: Intern. Conf. on Potential Theory, Abstracts of Comm., Nagoya, 199 p. 31.
[35] Pavlov I.V. Geometric properties of the space of martingales with mix( norm. — In: 2-nd Gauss Symposium, Abstract Book, Univ. Munche München, August 2-7, 1993, p. 57.
[36] Pavlov I.V. Spaces of number sequences with martingale norms. — I Intern. Congress of Math., Abstracts of Short Comm., Zurich, Augu 3-11,1994, p. 155.
[37] Pavlov I.V. On some bases and inequalities in the space of dyadic martingales with mixed norm. — В сб. "3-я Всероссийская школа-коллоквиум по стохастическим методам. Тезисы докладов." М.: ТВП, 1996, с. 176.
[38] Pavlov I.V. Hardy spaces with mixed norm: probability-analitic aspects. — Intern. Conf. "Stochastic Analysis and Related Topics", Abstracts, St. Petersburg, 2001, p.60-61.
[39] Павлов И.В. Критерий совпадения пространства i^oo с пространством Lp мартингалов со смешанной нормой. — Обозрение прикладной и промышленной математики, М.: ТВП, 2002, т. 9, вып. 1, с. 128-129.
[40] Павлов И.В. Об ограниченности оператора'условного матожидания в пространстве иартингалов со смешанной.нормой. — В сб. "Труды участников Международной школы-семинара памяти Н.В. Ефимова, Абрау-Дюрсо, 5-11 сентября 2002 года", Ростов-на-Дону, 2002, с. 255256.
ЛР № 020818 от 13.01.99 г. Подписано в печать 01.11.2002. Формат 60 x 84—. Бумага белая. Ризограф. Тираж 100 экз. Заказ 157.
Редакционно-издательский центр Ростовского государственного строительного университета, 344022, Ростов-на-Дону, ул. Социалистическая, 162.
Список обозначений
Введение
1 Мартингалы со смешанной нормой
1.1 Общие определения и факты.
1.1.1 Смешанная норма мартингалов относительно произвольной возрастающей последовательности а -алгебр.
1.1.2 Теорема сходимости мартингалов.
1.1.3 Свойства аппроксимации в случае бесконечно больших показателей суммируемости . 41 1.2 Случай специальной хааровской фильтрации . 45 1.2.1 Свойства аппроксимации в случае бесконечно больших показателях суммируемости (продолжение)
1.2.2 Характеризация пространств Харди, В МО и УМО.
1.3 Случай диадической фильтрации.
1.3.1 Оценки стохастических экспонент.
1.3.2 Характеризация в терминах несимметричных пространств последовательностей
1.4 Случай потока цилиндрических о -алгебр.
1.4.1 Пространства со смешанной нормой на декартовом произведении вероятностных пространств
1.4.2 Реализация диадической фильтрации в виде декартова произведения
1.5 Пространства Ьр на бесконечномерном торе
1.5.1 Свойства сходимости. Неравенство Юнга. Критерий компактности
1.5.2 Оператор Фурье в пространствах Ьр (Т°°)
1.5.3 Обобщенные функции (распределения) на бесконечномерном торе.
1.5.4 Винеровский процесс на Т°°.
1.5.5 Гармонические функции на областях в Т°°
1.5.6 Гармонические функции с мартингальной смешанной нормой
2 Базисы и операторы в пространствах Ьр
2.1 Операторы условных матожиданий в пространствах Ьр
2.1.1 Связь между пространствами Ьр(Т) и операторами условного матожидания Е*
2.1.2 Структурные результаты о подпространствах ЬР(Т).
2.2 Теорема Пелчинского для пространств Lp
2.2.1 Формулировка теоремы и вспомогательные результаты.
2.2.2 Доказательство теоремы Пелчинского
2.3 Обобщение результатов, справедливых для обычных пространств Lp
2.3.1 Ортонормированные системы в пространствах Lp
2.3.2 Обобщенные системы Хаара в пространствах Lp со смешанной нормой.
3 Lp-теория на бесконечномерном торе
3.1 Диффузионные процессы на группе Т°°, функции
Литтлвуда-Пэли и операторы типа Рисса.
3.1.1 Формы Дирихле и симметричные процессы Ханта.
3.1.2 Неравенства Литтлвуда-Пэли и допустимые операторы.
3.1.3 Применение к исследованию дифференциальных уравнений.
3.1.4 Вторая формула Берлинга-Дени на Т°°
3.1.5 Винеровский процесс с отражением и гармонические функции с конечным интегралом энергии.
3.2 Некоторые обобщения для пространств Са,ц
3.2.1 Определение и простейшие факты.
3.2.2 Вопрос двойственности.
3.2.3 Пространства мартингалов, ограниченных в норме Са.
3.2.4 Пространства Саф(Т°°)
4 Пространства Харди и ВМО
4.1 Мультипликаторная теория пространств Харди со смешанной нормой на бесконечномерном торе
4.1.1 Пространства Харди Нр. Двойственность
4.1.2 Обобщенные уравнения Коши-Римана
4.1.3 Пространства Харди гармонических функций
4.1.4 Примеры мультипликаторов. Условие (в) . . 231 4.2 Пространства ВМО (Т°°). Характеризация интеграла Пуассона.
4.2.1 Вероятностное пространство Харди Н™
4.2.2 Пространство ВМ.О и различные его характеристики
4.2.3 Характеризация интеграла Пуассона в пространстве ВМО
4.2.4 Теорема двойственности и некоторые ее следствия
А Обратное неравенство Гельдера в смешанной норме
В Свойства сходимости в пространствах Ь С Уравнение Пуассона на Т°° Библиография
Список обозначений
1. Обозначения, связанные с общим вероятностным пространством
П — пространство элементарных событий ш — элементарное событие из О
А — <7-алгебра событий на Q
А, В — события из А
Р — вероятностная мера на А
Q, А, Р) — вероятностное пространство
Т, Q — о -подалгебры сг-алгебры А f,g}h — случайные величины (с.в.) на (О, А, Р) индикатор события А pfq,r — показатели суммируемости
Lp(Q,A}P) — пространство р-суммируемыхв. на (Q, А, Р)
Е — символ математического ожидания
E(f) — математическое ожиданиев. /
E[f | — условное матожиданиев. / относительно сг-алгебры Т
Ег — оператор условного матожидания • ||P)jr — условная р-норма, р, q, г — бесконечномерные векторы показателей суммируемости,
Рк — к -я координата вектора р р" — вектор из п первых координат вектора р рп — вектор без п первых координат вектора р возрастающее семейство а -подалгебр, где То = {ÎÎ, оо}, Too = Л n)^, А, Р) —охастический базис || • ||рп — п -смешанная норма,
Lpn — пространствоп-смешанной нормой,
-|j- —ешанная норма,
Мр — пространство мартингалов со смешанной нормой,
Lp — пространствов.ешанной нормой,
Lp —пряженное пространство к Lp,
Lp(T) — подмножество из Lp, состоящее из
-измеримыхв., 118 Lp{T) — дуальное к Lp(T),
Lp(F) — сопряженное к Lp{T)
V — множество конечнозначныхв. на (П, Л, Р), каждая из которых ^-измерима при некотором п, 40 ||-||a /i —мметричнаяешанная норма,
Са,ц — пространствов.симметричной смешанной нормой, множество П Lay
1<«<р
9?а>/1 — фундаментальная функция симметричного пространства Саф,
Ма,fi. — пространство мартингалов с симметричной смешанной нормой,
Х = (ХиГиР) М=(МиГиР) (М, М)г [М, М]г Мк{ш) ВМО(Ъ) неотрицательный субмартингал мартингал квадратичная характеристика мартингала М квадратичная характеристика мартингала М мартингал из функций Радемахера, пространство ВМО мартингалов относительно потока а -алгебр р < оо оо УТПО гк{ш)
2. Обозначения, связанные с хааровскими и диадическими потоками а -алгебр пространства Харди мартингалов пространства мартингалов с ограниченной средней осцилляцией пространства мартингалов с исчезающей средней осцилляцией пространства последовательностей типа Нр, пространства последовательностей типа ВМО пространства последовательностей типа УМО функции Радемахера, подмножество экспоненциальных мартингалов из Мр, подмножество экспоненциальных мартингалов из Ьр,
1р — пространства р -суммируемых последовательностей
2,р — пространства 2-суммируемых последовательностейвесами - координатами вектора р,
1р = /2 р + 1\ — пространства последовательностей типа Ьр,
3. Обозначения, связанные с декартовым произведением вероятностных пространств
Ок,Ак,Рк) — вероятностные пространства, из которых составляется декартово произведение
Шк — элементарное событие из О*
Пп — пространства элементарных событий, составленные из Пк >
Ат,Ап — о-алгебры,ставленные из Лк}
ЯтчЯп<>Ят — вероятностные меры, составленные из Рк
Вп) — возрастающая последовательность цилиндрических а -алгебр на декартовом произведении,
В%+т — а -алгебра цилиндрических измеримых подмножеств Пп+т с основаниями в Пп гп — случайные величины Радемахера
4. Обозначения, связанные с торами
Tjfe = Т — единичная окружность (тор),
Тп — п-мерный тор, dxk — нормированная мера Лебега на (—7Г, 7г] = Т* =
Т°° — бесконечномерный тор,
Т°°-п — бесконечномерный тор с удаленными первыми пмножителями, произведение Т°° и интервала [а, оо), произведение Т°° и интервала (0, оо) дТ™ — граница TJ°
Т — пространство ÏÏ1 х Т°°
7+ — открытое полупространство (0, оо) х Л71-1 х Т дТ+ — граница Т+, то есть {0} х х Т°°
7+ — замкнутое полупространство 7+ U <97+ dx — мера Хаара на Т операцияертки, еп — мера Дирака в нейтральном элементе Т", еа — мера Дирака в точке а € Л иа — произведение мер и и еа v — мера Хаара на Т°°, vn — произведение еп на меру Хаара группы Т°°~п иногда: мера Хаара на Т°°-п), 90 / = (/i, /2,.) — бесконечномерный вектор функций (/, g) = (/, р)^ —алярное произведение комплекснозначных функций на Т°° относительно ¡1, 96 Л/ — обобщенная функция на Т°°, порожденная функцией /, 96 Лм — обобщенная функция на Т°°, порожденная мерой 97 А(х) — бесконечномерная матрица ограниченных функций А = (а^)?5=1 — бесконечномерная числовая матрица А0 = ( а? <)<5=1 — бесконечномерная числовая матрица diag(a¿) — бесконечномерная диагональная числовая матрица, 100 ©з(я><7) —тэта-функция
5. Обозначения, связанные с теорией пространств Дирихле
Е — локально компактное хаусдорфово пространств
V — плотная мера Радона на Е
1/2 = £>2(Е, V) — пространство функций с интегрируемым квадратом
•, ♦) —скалярное произведение (по и)
Со — пространство функций с компактными носителями на Е 6 — форма Дирихле на Е
Еу — форма Дирихле процесса Ханта У минимальное замкнутое расширение формы
2 — форма Дирихле процесса Коши на Т форма Дирихле винеровского процесса с отражением в 7+ £д — форма Дирихле процесса
D[£] — область определения формы Дирихле • — метрика пространства Дирихле p£(t) — функция, с помощью которой определяется марковское свойство формы Дирихле (£)[£], || • II*) — пространство Дирихле Y —процесс Ханта (УиТиТ<,Рх) на Е
6. Обозначения функциональных пространств на торах
С — множество бесконечно дифференцируемых функций из V на Т°°, 90 Сп — множество бесконечно дифференцируемых функций на Тп, 90 С* — пространство обобщенных функций распределений) на Т°°, 96 С — множество цилиндрических бесконечно дифференцируемых функций на Т°° х Л1 с компактными носителями С+ — множество цилиндрических бесконечно дифференцируемых функций на , 109 С\ — пространство обобщенных функций
С(и) — множество бесконечно дифференцируемых функций на, U с компактными носителями С(Тп) — пространство непрерывных функций на Тп
С(Т°°) — пространство непрерывных функций на Т°°
С°°(Т+) — множество бесконечно дифференцируемых функций на Wp — пространства Соболева
W^A) — гильбертово пространство Соболева, связанное с матрицей diag(A) Tía — гильбертово про-во последовательностей, связанное с матрицей diag(A) Tiw} — множество гармонических функций на 7+ из расширенного пространства Дирихле винеровского процесса с отражением на 7+ (И/21(7+),— пространство Дирихле винеровского процесса с отражением в Tf
2,о(7+)>£+) — пространство Дирихле части винеровского процесса на 7+
W} — пополнение невозвратного пространства
Дирихле (W^S) по метрике у/£ W^2 — пополнение невозвратного пространства
Дирихле (VF21//2, £1/2) по метрике y/S\/2 W¡(T+) — пополнение (W21(7+) по метрике
0(7+) — пополнение (И^ДТ*) по метрике
V — пространство знакопеременных мер на Т°° с ограниченной вариацией,
V — пространство векторных мер на Тс
Bi(P)
BMOq BMO(P) В MO BMÖ с ограниченной вариацией, пространство вектор-функцийешанной нормой, пространство векторных мерешанной нормой, пространство Харди со смешанной нормой на Тп пространство Харди со смешанной нормой на Т°° вероятностное пространство Харди функциональное пространство Харди с вероятностной нормой пространство, сопряженное к Нр вероятностное пространство В МО пространство ВМО с преднормой Гарсия пространство ВМО с нормой Гарсия
7. Обозначения операторов на торах преобразование Фурье, 94 у — обратное преобразование Фурье,
Р<) — винеровская полугруппа на Т°°, м) — полугруппа гауссовых мер на Т°°, порождающая , 101 Gt(x) — плотность гауссовой меры на окружности
ДА) — резольвента полугруппы (Р{)
А — генератор полугруппы (Pt) бесконечномерный оператор Лапласа), 98 D[А] — область определения оператора А
А — оператор А + hr(t) —бординатор полугруппы (Pt),
Qt) — полугруппа Коши на Т°°, qt) — полугруппа пуассоновских мер на Т°°
Qtf = /q — интеграл Пуассона функции /,
В — генератор группы (Qt) (А = —В2)
V — бесконечномерный вектор набла
V0 — вектор набла, связанный с diag(a¿) (недиагональный) квадратичный опер-р поля F(x,t) = Qtf — интеграл Пуассона от / К/(х) — функция Литтлвуда-Пэли
Kj*(x) — "горизонтальная" функция Литтлвуда-Пэли
L — оператор, переводящий функции в векторфункции (часто - допустимый оператор) Т = (ТЬТ2,.) — векторный мультипликаторный оператор R = (Ri,R,2, .) — бесконечномерный векторный оператор Рисса f{m,n) оператор (0,., 0, Tm, Tm+i,., Tnt 0,0,.) оператор (Ti,T2,. ,0,0,.) Ккп — /г-й оператор Рисса (классический) в пространстве К1 %п — векторный оператор Рисса (классический) в пространстве Л" %%п — к-й оператор Рисса (связанный с diag(a¿)) в пространстве Яп векторный оператор Рисса (связанный с сИа) в пространстве В,п
Щп — к-й оператор Рисса (связанный с diag(ajt)) на группе Тп векторный оператор Рисса (связанный с сИаg(ajfc) ) на группе Тп п-й оператор Рисса (связанный с diаg(aJt)) на группе Т°°
Я" — векторный оператор Рисса (связанный с сИад(а)ь)) на группе Т°° 0Хк — оператор дифференцирования по переменной Хк,с. 97 — ^ьз — оператор повторного дифференцирования Щ0,хи.,х„ — оператор дифференцирования раз по соответствующим переменным, где а = (а0,о;1,. ,а„), 96 И — вектор операторов дифференцирования первого порядка, 97 Р(£>) — многочлен от операторов дифференцирования, оператор свертки с мерой ц
I = 1{х) — непрерывный линейный функционал на Нр к}) — ядро потенциала Грина полупространства
С{Лх) — мера Грина на Т°°
С?(ж) — плотность меры Грина на Т°° потенциал Грина функции / мера Бесселя на Т°° плотность меры Бесселя на Т°° потенциал Бесселя функции / обратный оператор к Jp область определения с равномерной нормой образа
8. Обозначения процессов на торах
Yd — винеровский процесс на 7+ — ií71-1 х Т°°
Z — стандартный винеровский процесс на Т°° х R1, 107 X = (Y, Z) — марковский процесс на Т°° х R1,
РР — вероятностная мера, соответствующая начальному распределению /л процесса X Ем — математическое ожидание по мере Ри то — момент первого после +0 выхода процесса X из множества , 108 тц — момент первого после +0 выхода процесса X из множества U (M)t — квадратичная характеристика мартингала Mt мартингальный аддитивный функционал конечной энергии
N¡u^ — непрерывный аддитивный функционал нулевой энергии
Mdx) Мх)
Jp*f В
9. Обозначения, связанные с целочисленными решетками п -мерная целочисленная решетка, группа характеров группы Т°° (бесконечномерная решетка),
Т = Яп х Z(00) — двойственная к Т группа в Е — бесконечномерный целочисленный вектор с конечным числом ненулевых координат ев{х) — характер группы Т°°, ф(в) — квадратичная форма на
А(0) — преобразование Фурье оператора Ь т[в) —векторный мультипликатор (т^в),т2(0), га*, А*; — символ комплексного сопряжения
Ьг(гп) — пространство со смешанной нормой на гп, пространствоешанной нормой на
В предисловии к избранным трудам конференции, прошедшей 17-23 мая 1970 года в Оберфольфахе (Lecture Notes in Math., 190, 1971), был поставлен вопрос: "Имеют ли право мартингалы, проявившие себя как мощное техническое средство, сами стать объектом исследования в теории вероятностей?". Дальнейшее развитие теории случайных процессов, несомненно, доказало правильность позитивного ответа, данного на этот вопрос всеми докладчиками упомянутой конференции, среди которых значились такие имена, как D. Burkholder, С. Doléans-Dade, R. Gundy, В. Knight, К. Krickeberg, P.A.Meyer, М. Rao, Н. Rost, М. Silverstein, D. Stroock, S.R.S. Waradhan и др. Все они получили значительные результаты в области теории мартингалов и предъявили многочисленные применения этой теории к дифференциальным уравнениям, функциональному анализу, гармоническому анализу, теории функций, теории потенциала, ортогональным рядам и т.д. Среди отечественных математиков, внесших выдающийся вклад в развитие теории мартингалов и стохастического анализа в целом, следует выделить А.Н. Ширяева и его учеников, многие из которых успешно применяют полученные результаты в фи нансовой и страховой математике, математической статистике, в теории стохастических дифференциальных уравнений и других областях математики.
Настоящая диссертация посвящена одному из разделов теории мартингалов — пространствам мартингалов и их применению к некоторым проблемам функционального анализа, гармонического анализа и теории потенциала. Довольно полно теория пространств мартингалов с дискретным временем изложена в монографии Р. Лонга "Мартингальные пространства и неравенства" [71]. В ней подробно исследуются пространства Харди Нр, р > 0, различные модификации пространства В МО, пространства Ор-лича Ьф . В данной диссертации вводятся и изучаются пространства Ьр мартингалов со смешанной нормой, которые, с одной стороны, идейно близки к обычным Ьр-пространствам, но, с другой * стороны, так же, как и пространства Н\ и ВМО, не являются симметричными пространствами, что усложняет работу с функциями распределения различных функционалов, связанных с мартингалами.
Понятие смешанной нормы функции от бесконечного числа переменных, впервые введенное в [45], было перенесено в статье [13] на случайные величины (с.в.), определенные на счетном декартовом произведении вероятностных пространств, и с этой #> точки зрения использовалось в последующих работах [7], [15],
41], [46], [56], [52]. Именно, если — счетный набор вероятностных пространств, оо оо оо
П := П акуА:= 0Л,Р:= 0 П, к=1 Jfe=l к=1 — интегрируемая с.в. на (О, Л,Р), а р = (Р1,Р2, • • • }Pm • • •) — бесконечномерный вектор (1 <рк < оо) ? то смешанная норма Ц/Ц^ ^ определялась так: рассматривался мартингал /„ = E[f | ßn], где
Вп — <j-алгебра цилиндрических множеств из (ii, Л) с основаниями в ( П fijfe, <8> Лк), и полагалось: \k=i к=1 / ll/||p = suP||/n|U,P2,.,P„ ^ п см. формулу (1.52) в тексте диссертации). При этом, так как /п зависит только от п первых переменных, то ||/n||pi,p2,.,p» понималась как классическая смешанная норма (см., например, одну из первых статей по смешанной норме [58], либо фундаменталь-* ную монографию О.В. Бесова, В.П. Ильина и С.М. Никольского
17]), только с измененным порядком интегрирования: например, если п = 2 и pi,p2 < со, то
Шк„= (/(/ 1/2 (ь»1,Ш2) \KdP2 (w2) (b>l) )
Iii n2
Итак, формула (1.52) определяла смешанную норму мартингала (il,fniBn,P) ,где П и имели структуру декартова произ-^ ведения. В докладе [81] (подробное изложение содержится в [38]) мы распространили понятие смешанной нормы на любой мартингал / = {fn,Fn,P) 5 определенный на произвольном стохастическом базисе {üy!Fn,A,P), = {Q, 0}. Обобщенное определение выглядит так: полагается :=supl. ИАИ^л.,
Рп-l^n-2
1/р
РгЛ где выражение вида есть (^Цз^.?7]) Р» если р < оо, и
Нт-Г ||р|[р^» если р = оо.
РТ°°
Кратко изложим основные результаты первых двух глав настоящей диссертации, которые преимущественно посвящены пространствам мартингалов со смешанной нормой.
В главе 1
• введены и с применением теории идеальных пространств подробно изучены пространства Ьр равномерно интегрируемых мартингалов со смешанной нормой; установлены связи с классической концепцией смешанной нормы (пункт 1.1.1);
• изучены свойства сходимости в пространства Ьр при различном асимптотическом поведении бесконечномерного вектора р показателей суммируемости; в частности, доказана теорема сходимости мартингалов в смешанной норме (см. пункты 1.1.2, 1.1.3, ??);
• для специальной хааровской фильтрации (см. определение 1.2.1) получены результаты типа "теоремы вложения" при близких к бесконечности показателях суммируемости, а также даны полные характеризации мартингальных пространств Харди, ВМО и У МО (см. пункты 1.2.1, 1.2.2);
• для диадической фильтрации получен критерий конечности смешанных норм экспоненциальных мартингалов в терминах норм несимметричных пространств последовательностей (см. §1.3);
• в случае цилиндрической фильтрации исследованы вопросы » геометрии пространства Ьр (как банахова пространства) и, в частности, доказаны теоремы Рисса, Радона и теорема о равномерной выпуклости (см. §1.4);
• для бесконечномерного тора изучены свойства гармонических продолжений функций из £р(Т°°), а также доказана теорема о характеризации интеграла Пуассона (см.§1.5).
В главе 2
• получены результаты об ограниченности оператора услов-* ного математического ожидания в Ьр; получены структурные теоремы о подпространствах Ьр (см. §2.1);
• доказано обобщение теоремы Пелчинского об отсутствии безусловного базиса в пространствах Ьр с бесконечно близкими к единице показателями суммируемости (см. §2.2);
• изучены некоторые свойства ортонормированных систем в Ьр; получен критерий сходимости рядов в Ьр при почти
Ф всех выборах знаков; получена оценка функции Пэли в смешанной норме (см. пункт 2.3.1);
• получена теорема базисности обобщенной системы Хаара в пространстве Ьр (см. пункт 2.3.2).
Вернемся теперь к пространствам Харди и ВМО . Исследования этих пространств занимают в настоящее время важное место в теории случайных процессов и теории функций. Началом теории пространств Харди Нр считаются 1920-1930 гг., когда появились работы М. Рисса, Харди и Литтлвуда, А.Н. Колмогорова. В дальнейшем в развитии этой теории приняло участие довольно много авторов, причем применяемые методы были чисто аналитические (исторический обзор имеется в книге К.Е. Пе-терсена [87]). В конце 60-х - начале 70-х годов была открыта связь между пространством Н\ и пространством ВМО, впервые введенным Джоном и Ниренбергом. Именно, было показано, что двойственным к пространству Н\, состоящему из функций, определенных на ВТ1, является пространство ВМО (Фефферман, Стейн). В 1977 г. этот факт был обобщен Койфманом и Вейсом на произвольные однородные пространства, причем классы Харди Нр, р > 0, определялись с помощью введенного этими авторами понятия атома.
С другой стороны, в работах Буркхольдера, Дэвиса, Ганди, Гарсия, Херца, Мейера, а также работах ряда других зарубежных авторов были введены в рассмотрение мартингальные пространства Нр и ВМО у изучены их свойства и доказана теорема двойственности Н\ и ВМО. После этого возник вопрос о применении вероятностных результатов, природа которых весьма обща, к изучению уже известных, а также новых аналитических пространств Нр и ВМО (Струк и Варадан, 1974; П.А. Мей-ер, 1977; К.Е. Петерсен, 1977). Этот вопрос сохранил свою ак туальность до настоящего времени. В таком направлении проводятся исследования в четвертой главе данной диссертации, однако, в отличие от вышеперечисленных работ, в ней рассматриваются пространства Харди и ВМО, состоящие из функций, зависящих от бесконечного числа переменных, а также соответствующие пространства мартингалов. Именно, в качестве фазового пространства выбирается компактная абелева группа Т°° — счетное произведение одномерных торов Т.
Основные результаты главы 4 настоящей работы таковы:
• определены мультипликаторные пространства Харди со смешанной нормой и дано описание сопряженных к ним пространств в терминах функций " ВМО со смешанной нормой" , построенных с помощью сопряженных мультипликаторов (см. пункт 4.1.1);
• с применением обобщенных уравнений Коши-Римана введены классы Харди гармонических функций бесконечного числа переменных; получены достаточные условия эквивалентности их норм (см. пункты 4.1.2 и 4.1.3);
• для пространства ВМО, снабженного нормой Гарсия, доказан критерий сходимости интеграла Пуассона от функции из ВМО к самой этой функции, а также получены мартингальная и потенциальная характеризация пространства
ВМО (см. пункты 4.2.1-4.2.3);
• при некоторых условиях на мультипликаторы доказана теорема двойственности Щ = ВМО, когда ВМО снабжено нормой Гарсия (см. пункт 4.2.4).
Глава 3 диссертации является связывающим звеном между вероятностным и аналитическим аппаратом, примененным в наших исследованиях, однако, автор надеется, что результаты этой главы представляют и самостоятельный интерес. Краткое содержание главы 3 таково:
• для билинейной формы вида
1 г 00
У00 определенной в ¿2 (Т°°), даны достаточные условия ее за-мыкаемости до регулярной формы Дирихле (см. пункт 3.1.1);
• с помощью марковского процесса, соответствующего построенной регулярной форме Дирихле, вводятся в рассмотрение функции Литтлвуда-Пэли и доказывается их ограниченность в пространствах Ьр, 1 < р < со (см. первую часть пункта 3.1.2);
• следуя П.А. Мейеру, вводятся в рассмотрение допустимые обобщенные функции, по ним строится широкий класс векторных мультипликаторных операторов и доказывается их ограниченность в пространствах Ьр, 1 < р < оо (см. вторую часть пункта 3.1.2);
• с применением ограниченности в Ьр, 1 < р < оо, векторного оператора Рисса (как частного случая мультипликатора, порожденного допустимыми обобщенными функциями), доказывается регулярность слабых решений уравнения
А и — Хи = /, где Д — оператор Лапласа на Т°°, а / — функция из пространства Соболева на Т°° (см. пункт 3.1.3);
• в качестве применения теории пространств Дирихле на Т°° выводится вторая формула Берлинга-Дени на Т°° и строится винеровский процесс с отражением (см. пункты 3.1.4 и 3.1.5);
• изучаются свойства пространства Са,И с "симметричной смешанной нормой"; на эти пространства распространяется теорема об ограниченности векторного оператора Рисса (см. §3.2).
В приложениях доказывается обратное неравенство Гельде-ра в смешанной норме, подробно исследуются связи различных свойств сходимости в 1ур, а также доказывается существование сильного решения уравнения Пуассона на Т°°.
Основные результаты данной диссертации содержатся в 38 публикациях: [5]-[16], [32]—[45], [53]—[57], [79]—[85], включая обзорную статью "Пространства мартингалов и их функциональные аналоги" [40]. Вклады автора и А.Д. Бендикова в написание совместных работ равнозначны. Результаты, в получении которых роль соавтора преобладает, либо вообще не вошли в текст диссертации, либо отнесены к приложениям. Основные результаты совместной с Е.П. Марковым работ [42] и [43] принадлежат автору и анонсированы в [34]; соавтору же принадлежит распространение полученных оценок на неравномерно интегрируемые мартингалы. Результаты совместной работы [44] представляют собой несколько расширенную версию результатов, приведенных в первоначальном варианте работы автора [38], которая была представлена в издательство ТВП раньше, чем [44]. И, наконец, в совместной работе [45] A.B. Скорикову принадлежит критерий компактности, а остальные результаты принадлежат автору.
Результаты диссертационной работы докладывались на 3-ей и 4-й Международной Вильнюсской конференции по теории вероятностей и математической статистике (1981, 1985 гг.); 17-й, 19-й и 20-й школах-коллоквиумах по теории вероятностей и математической статистике (пос. Бакуриани, 1983, 1985, 1986 гг.); на Международной конференции по устойчивым динамическим системам (г. Баку, 1994 г.); на 1-м Всемирном конгрессе общества математической статистики и теории вероятностей им. Бернул-ли (г. Ташкент, 1986 г.); на Международных конференциях по те-+ ории потенциала (г. Прага, 1998 г.; г. Нагоя, 1990 г.); на Международном Конгрессе математиков (г. Цюрих, 1994 г.); на Втором Европейском Математическом Конгрессе (г. Будапешт, 1996 г.); на первой (Абрау-Дюрсо, 1994 г.), второй (Йошкар-Ола, 1995 г.), третьей (Туапсе, 1996 г.), пятой (г. Йошкар-Ола, 1998 г.), седьмой (г. Сочи, 2000 г.), восьмой (г. Йошкар-Ола, 2001 г.) Всероссийских школах-коллоквиумах по стохастическим методам; на Международных школах-семинарах, посвященных Н.В. Ефимову # (Абрау-Дюрсо, 1996, 1998 гг.), на Ростовском городском семинаре по вероятностной теории потенциала (рук. проф. Н.С. Ланд-коф), на семинарах Ростовского госуниверситета по теории операторов в функциональных пространства (рук. проф. С.Г. Сам ко) и по смежным вопросам теории случайных процессов, теории функций и геометрии (рук. проф. С.Б. Климентов), на семинаре Гумбольтовского университета по стохастическому анализу (рук. проф. X. Фельмер), на семинаре отдела теории вероятностей и математической статистики Математического института им. В.А. Стеклова РАН (рук. академик РАН Ю.В. Прохоров), на семинаре МГУ по теории ортогональных рядов (рук. член-корр. РАН B.C. Кашин).
1. Бендиков А.Д. О функциях, гармонических для одного класса диффузионных процессов на группе. — Теория вероятностей и ее прим., 1975, т. XX, вып.4, с. 773-784.
2. Бендиков А.Д. О гармонических функциях для одной категории марковских процессов и проективных пределов в ней. — Успехи мат. наук, 1976, т. XXXI, вып. 2(188), с. 209-210.
3. Бендиков А.Д. О гармонических структурах, порожденных тепловым винеровским процессом на группе. — Успехи мат. наук, 1979, т. XXXIV, вып. 1(205), с. 217-218.
4. Бендиков А.Д. О слабых решениях эллиптических уравнений на группе. — В сб. "VIII школа по теории операторов в функциональных пространствах, тезисы докладов", Рига, 1983, с. 24.
5. Бендиков А. Д., Павлов И. В. Об одном банаховом пространстве мартингалов. — В сб.: XX школа-коллоквиум по теории вероятностей и математической статистике. Тезисы докладов. / Под ред. Г.Н. Кинкладзе. Тбилиси: Мецниереба, 1986, с. 7.
6. Бендиков А.Д., Павлов И.В. Ограниченность в Lp(T°°) одного класса векторных мультипликаторных операторов. — Сибирский математический журнал, 1986, т. XXVII, 1, с. 310.
7. Бендиков А.Д., Павлов И. В. Пространства Lp со смешанной нормой на бесконечном декартовом произведении вероятностных пространств. — Analysis Math., 1987, v. 13, 3, p. 231-250.
8. Бендиков А.Д., Павлов И. В. Винеровский процесс с отражением и гармонические функции с конечным интегралом энергии. — Теория вероятностей и ее применения, 1988, т. 33, с. 586-589.
9. Бендиков А.Д., Павлов И. В. О пространствах гармонических функций с мартингальной смешанной нормой. — Теория вероятностей и ее применения, 1988, т. 33, с. 769-772.
10. Бендиков А.Д., Павлов И. В. Характеризация интеграла Пуассона в пространстве ВЫ О2(Т°°) . — Математический анализ и его приложения, Ростов-на-Дону, РГУ, 1992, с. 9-17.
11. Бесов О.В., Ильин В. П., Никольский С. М. Интегральные представления функций и теоремы вложения. М.: Наука, 1975, 480 с.
12. Брело М. Основы классической теории потенциала. М.: Мир, 1964, 212 с.
13. Гельфанд И.М., Шилов Г.Е. Пространства основных и обобщенных функций. "Обобщенные функции", вып. 2, Москва,1958, 307 с.
14. Дынкин Е.Б. Марковские процессы. Физматгиз, 1963, 860 с.
15. Зигмунд А. Тригонометрические ряды. М.: Мир, 1965, т. II.
16. Иосида К. Функциональный анализ. М.: Мир, 1967.
17. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1977, 744 с.
18. Карапетянц Н. К., Рубин Б. С. Радиальные потенциалы Рис-са на круге и операторы дробного интегрирования. — ДАН СССР, 1982, т. 263, 6, с. 1299-1302.
19. Карапетянц Н. К., Рубин Б. С. Локальные свойства дробных интегралов и пространство ВМО на отрезке вещественной оси. — Ростовский госуниверситет, Ростов-на-Дону, 1985, 43с. (рукопись депонирована в ВИНИТИ 06.02.86, 869В)
20. Кашин Б.С., Саакян A.A. Ортогональные ряды. М.: Наука, 1984, 496 с.
21. Крейн С.Г., Петунин Ю.И., Семенов Е.М. Интерполяция линейных операторов. М.: Наука, 1978, 400 с.
22. Ландкоф Н.С. Основы современной теории потенциала. М.: Наука, 1966, 516 с.
23. Лейбов М.В. Геометрия функционального пространства ВМО. Кандидатская диссертация, Ростов-на-Дону, 1985, 133 с.
24. Мейер П.А. Вероятность и потенциалы. М.: Мир, 1973, 338 с.
25. Мизохата С. Теория уравнений с частными производными. М.: Мир, 1977, 504 с.
26. Павлов И.В. Контрпример к гипотезе о плотности .Ноо в пространстве ВМО. — Теория вероятностей и ее применения, 1980, вып. 1, с. 154-157.
27. Павлов И.В. Пространства мартингалов и их функциональные аналоги. — В сб. "Воронежская зимняя математическая школа -95, Воронеж, тезисы докладов", с. 178.
28. Павлов И.В. Критерий конечности смешанной нормы мультипликативных мартингалов, составленных из функций Ра-демахера. — В сб. "2-я Всероссийская школа-коллоквиум по стохастическим методам. Тезисы докладов." М.: ТВП, 1995, с. 111-112.
29. Павлов И.В. Обобщение одной теоремы А.Пелчинского на пространства мартингалов со смешанной нормой. — В сб. "3-я Всероссийская школа-коллоквиум по стохастическим методам. Тезисы докладов." М.: ТВП, 1996, с. 125-125.
30. Павлов И.В. Системы Хаара и некоторые результаты о базисах в пространстве мартингалов со смешанной нормой. — Теория вероятностей и ее применения, 1997, т. 42, вып. 3, с. 623-626.
31. Павлов И.В. Некоторые свойства мартингальных пространств Нр, В МО, У МО и со смешанной нормой. — Обозрение прикладной и промышленной математики, М.: ТВП, 1999, т. 6, вып. 2, с. 368-386.
32. Павлов И.В. О мультипликаторных пространствах Харди со смешанной нормой на бесконечномерном торе. — Обозрение прикладной и промышленной математики, М.: ТВП, 2000, т. 7, вып. 2, с. 519-520.
33. Павлов И.В. Пространства мартингалов и их функциональные аналоги. — Известия ВУЗов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки, 2001, 3, с. 8-23.
34. Павлов И.В., Бендиков А.Д. О некоторых операторах в пространстве мартингалов со смешанной нормой. — В сб.: "4-я международная вильнюсская конференция по теории вероятностей и математической статистике. Тезисы докладов", 1985, т. 3, с. 9-11.
35. Павлов И.В., Марков Е.П. Критерий конечности смешанной нормы мультипликативных мартингалов, составленных из функций Радемахера. — Известия ВУЗов. СевероКавказский регион. Естественные науки, 1996, 4, с. 10-15.
36. Павлов И.В., Марков Е.П. Экспоненциальный вариант леммы Хинчина в смешанной норме. — В сб.: "Международная школа-семинар по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова, Абрау-Дюрсо, Тезисы докладов". Ростов-на-Дону, 1998, с. 203-205.
37. Павлов И.В., Скориков А. В. Пространства Ьр со смешанной нормой на бесконечномерном торе. — Известия вузов. Математика, 1986, 2, с. 69-72.
38. Скориков А.В. Бесселевы потенциалы в пространствах со смешанной нормой на группе Т°°. — Вестник Моск. ун-та. Сер.1, Математика. Механика, 1993, 6, с. 3-6.
39. Стейн И.М. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций. М.: Мир, 1973, 344 с.
40. Стейн И., Вейс Г. Введение в гармонический анализ на евклидовых пространствах. М.: Мир, 1974, 336 с.
41. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. М.: Наука, 1970, т. 2, 800 с.
42. Хейер X. Вероятностные меры на локально компактных группах. М.: Мир, 1981, 704 с.
43. Ширяев А.Н. Вероятность. М.: Наука, 1980, 576 с.
44. Bendikov A.D. Some properties of Gaussian measures and potentials in martingales space with mixed norm. — In: New Trends in Probab. and Statistics, VSP/Mokslas, 1991, p. 221232.
45. Bendikov A.D., Pavlov I.V. Spaces Hp and В MO on the infinite dimensional torus. — В сб.: Третья международнаяВильнюсская конф. по теор. верю и мат. стат., тезисы докладов. Вильнюс, 1981, т. III, с. 26-27.
46. Bendikov A.D., Pavlov I.V. Diffusion processes on the group T°° and elliptic equations of infinitely many variables. — In: Proc. of Fourth Intern. Vilnius Conf. on Prob. Theory and Math. Stat., Abstracts of Comm., 1985, vol. 1, p. 74-75.
47. Bendikov A.D., Pavlov I.V. On the Poisson equation on the infinite dimentional torus. — In: Potential Theory, Plenum Publishing Corp., New York, 1988, p. 29-38.
48. Bendikov A.D., Pavlov I.V. Some operators on martingale spaces with mixed norm. — In: Statistics and Control of Stochastic Processes. Ed. by A.N. Shiryaev and al., 1989, p. 1730.
49. Bendikov A.D., Pavlov I.V. Diffusion processes on the group T°° and elliptic equations of infinitely many variables. — In: Probab. Theory and Math. Stat., Proc. of Fourth Intern. Vilnius Conf., VNU Science Press, Utrecht, 1987, p. 145-169.
50. Benedek A., Panzone R. The spaces Lp, with mixed norm. — Duke Math. J., 1961, 28, p. 301-324.
51. Berg Ch. Potential theory on the infinite dimentional torus. — Invent. Math., 1976, 32, p. 49-100.
52. Berg C., Forst G. Potential theory on locally compact Abelian groups. Berlin-Heidelberg etc.: Springer-Verlag, 1975, 197 p.
53. Blumenthal R.H., Getoor R.K. Markov processes and potential theory. London Academic Press, 1968, 311 p.
54. Dellacherie C.,Meyer P.A. Probabilités et Potentiel, Théorie de Martingales. Hermann: Paris, 1980, 477 p.
55. Dellacherie C.,Meyer P.A., Yor M. Sur certaines propriétés des espaces de Banach H1 et BMO. — Lect. Notes in Math., 649, Sem. de Prob. XII, 1978, p. 98-113.
56. Dinculeanu N. Vector measures. Berlin: VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, 1966, 432 p.
57. Duoandikoetxea J., Rubio de Francia J.L. Estimations indépendantes de la dimension pour les transformés de Riesz. — C.R. Acad. Se. Paris, 1985, t. 300, Série I, 7, p. 193-196.
58. Fukushima M. Dirichlet forms and Markov processes. Amstrdam etc.: North-Holland/Elsevier, 1980, 196 p.
59. Getoor R.K., Sharp M.J. Conformai martingales. — Invent. Math., 1976, v. 16, p. 271-308.
60. Gundy R.F. On the class LlogL, martingales and singular integrals. — Studia Math., 1969, 33, p. 109-118.
61. Haagerup U. The best constants in the Khintchine inequality. — Studia Mathematica, 1982, T. LXX, p. 231-283.
62. Holley R., Stroock D. Diffusion on an infinite dimensional torus. — J. of Func. Anal., 42, 1981, p. 29-63.
63. Long R. Martingale spaces and inequalities. Peking Univ. Press, Hong Kong, 1993, 346 p.
64. Meyer P.A. Démonstration probabiliste de certaines inégalités de Littlewood-Paley. — Lect. Notes Math., 1976, 511, p. 125183.
65. Meyer P.A. Un cours sur les intégrales stochastiques. — Sém. de Prob. X, Lect.N. in Math., 511, Springer-Verlag: Berlin, Heidelberg, New York, 1976, p. 245-400.
66. Meyer P.A. Le dual de Hl(Rv) : démonstration probabiliste. — Lect. Notes Math., 1977, 581, p. 132-195.
67. Meyer P.A. Retour sur la théorie de Littlewood-Paley. — Lect.N. in Math.,850, Springer-Verlag: Berlin, Heidelberg, New York, 1981, p. 151-166.
68. Neveu J. Discrete-parameter martingales. North-Holland Publ. Сотр., 1975, 236 p.
69. Novikov I., Semenov E. Haar series and linear operators. Kluwer Acad. Publ., 1996, 236 p.
70. Parthasarathy K.R. Probability measures on metric spaces. Academic Press (New-York London), 1967, 276 p.
71. Pavlov I.V. Martingales with mixed norm: general theory and applications. — В сб.: 1-й Всемирный конгресс общества математической статистики и теории вероятностей им. Бер-нулли. Тезисы, М.:Наука, 1986, т. 2, с. 725.
72. Pavlov I.V. Martingales with mixed norm: general theory and applications. — In: Proceedings of the 1st World Congress of the Bernoulli Society, vol. 1, Probab. Theory and Appl. WNU Science Press, Utrecht, 1987, p. 575-579.
73. Pavlov I.V. Spaces of martingales: applications to the potential theory. — In: Intern. Conf. on Potential Theory, Abstracts of Comm., Nagoya, 1990, p. 31.
74. Pavlov I.V. Geometric properties of the space of martingales with mixed norm. — In: 2-nd Gauss Symposium, Abstract Book, Univ. München, München, August 2-7, 1993, p. 57.
75. Pavlov I.V. Spaces of number sequences with martingale norms. — In: Intern. Congress of Math., Abstracts of Short Comm., Zurich, August 3-11, 1994, p. 155.
76. Pavlov I.V. On some bases and inequalities in the space of dyadic martingales with mixed norm. — В сб. "3-я Всероссийская школа-коллоквиум по стохастическим методам. Тезисы докладов." М.: ТВП, 1996, с. 176.
77. Pavlov I.V. Hardy spaces with mixed norm: probability-analitic aspects. Intern. Conf. "Stochastic Analysis and Related Topics", Abstracts, St. Petersburg, 2001, p.60-61.
78. Pelczynski A. Projections in certain Banach spaces. — Studia Math., v. 19, p. 209-228.
79. Petersen K.E. Brownian motion, Hardy spaces and bounded mean oscillation. London-New York-Melbourne: Cambrige University, 1977, 101 p.
80. Shipp F. The dual space of martingale VMO space. — In: Statist, and Probab., Proc. of 3-d Pannonian Symp. Math. Statist., Visegrad, 1982 Budapest, 1984, p. 305-311.
81. Stein E.M. Some results in harmonic analysis in FC1 for n —> oo. — Bull. Amer. Math. Soc., 1983, v. 9, 1, p. 71-73.
82. Stoica L. Local operators and Markov processes. — Lect. Notes Math. 816, Springer-Verlag, 1980.
83. Wojtaszczyk P. Banach spaces for analysts. Cambridge Univ. Press, Cambridge etc., 1991, 356 p.
