Характеристические свойства некоторых операторов гармонического анализа в весовых пространствах функций ограниченной средней осцилляции и пространствах Харди тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

003492567

РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАгидиь

На правах рукописи

Фам Тиен Зунг

ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА НЕКОТОРЫХ ОПЕРАТОРОВ ГАРМОНИЧЕСКОГО АНАЛИЗА В ВЕСОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ ФУНКЦИЙ ОГРАНИЧЕННОЙ СРЕДНЕЙ ОСЦИЛЛЯЦИИ И ПРОСТРАНСТВАХ ХАРДИ

Специальность 01.01.01. - математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 2009

003492567

Работа выполнена на кафедре математического анализа и теории функций Российского университета дружбы народов.

Научный руководитель: Доктор физико-математических наук,

профессор, члеп-корреспоидепт РАН Степанов В. Д.

Официальные оппоненты: Доктор физико-математических наук,

профессор Магарил-Ил,ьяев Г. Г.

Кандидат физико-математических паук, доцент Скориков А. В.

Ведущая организация: Московский Физико-технический институт

Защита состоится « 22 » декабря 2009 г. в 16 ч.ОО мин. на заседании диссертационного совета К 212.203.27 при Российском университете дружбы народов по адресу: 117419, г. Москва, ул. Орджоникидзе, д. 3, ауд. № 495".

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Российского университета дружбы народов.

Автореферат разослан«_»_2009 г.

Ученный секретарь

диссертационного совета: /^Т)

Кандидат физико-математических наук^|^^гсх:швс;кий Л. Е.

-2-

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы

В теории функций хорошо известны задачи об изучении свойств операторов классического и гармонического анализа, действующих в вещественных или комплексных нормированных пространствах. Из всего многообразия мы рассматриваем, в основном, три задачи. Первая из них связана со свойством перестановочности операторов с преобразованиями Фурье, вторая посвящена получению теорем о представлении элементов классических пространств Харди Нр в верхней полуплоскости и, наконец, третья задача посвящена проблеме ограниченности интегральных операторов в весовых пространствах функций ограниченной средней осцилляции. Все три задачи объединены тем, что в них проявляются новые свойства операторов дробного интегрирования Римана-Лиувилля.

В классической монографии Е. Титчмарша1 (Теорема 69) для функций / € Ь2(0, оо) доказаны равенства

В работе Б. И. Голубова 2 эти формулы обобщаются для функций / € 1/(0, оо) при 1<р<2и1<р<2, соответственно.

Первая из рассматриваемых нами задач состоит в обобщении результатов Б. И. Голубова для более общих операторов Римана-Лиувилля На

'Титчмарш Е. Введении « теорию интегралов Фурье. М.-Л: Гостехиздат, 1948. 2Голу(юв Б. И. Об одной теореме Беллмана о коэффициентах Фурье. // Матем. сб., 1994. Т. 185, Я> П. С. 31-40.

И

и Ва таких, что

#„(/)(*) := J {t~tJ° f(t)dt, х > 0, а>0,

X

И

X

B*(f)(x) := ^ J(x - t)a~lf(t)dt, х > 0, а > 0. о

Вторая задача имеет корни в теории рядов Фурье. В 1928 г. Г. Г. Харди доказал, что класс IP (1 < р < оо) инвариантен отиосителы-ю (С, ^-преобразований коэффициентов Фурье. В 1944 г. Р. Беллман доказал двойственный результат для класса Lp (1 < р < оо), опираясь на работу Г. Г. Харди и некоторые общие теоремы о рядах Фурье. Отметим, что развитию тематики, начатой в работах Г. Г. Харди и Р. Беллмана посвящены работы Н. К. Бари, О. Я. Берчияна, Р. Р. Гольдберга, Ф. Юнга и других авторов.

Рассматриваемая нами задача связана с внутренней характеристикой банаховых пространств Харди Нр всех аналитических функций в верхней полуплоскости с помощью CS-nap преобразований.

Третья задача посвящена нахождению условий ограниченности весового оператора Харди-Литтлвуда

X X

Tf(x) = f f(t)w(t)dt, где W(x) = J w(t)dt. о о

в весовых пространствах BMO(w, М) функций ограниченной средней осцилляции.

За последние двадцать лет критерии весовой ограниченности интегральных операторов в функциональных пространствах разрабатывались В. И. Буренковым, М. Л. Гольдманом, В. Д. Степановым, Р. Ойнаровым и многими другими авторами. Для пространств ограничен-

ной средней осцилляции эти вопросы изучались в работах Б. И. Голу-бова, В. Мукенхоупта и Р. Видена, К. Лая, Л. Пика и других авторов.

Цель работы

Целью работы является решение сформулированных выше задач, а именно

• Доказать свойство перестановочности операторов Римана-Лиу-вилля с преобразованиями Фурье.

• Установить представление элементов классических пространств Харди Нр в верхней полуплоскости и ограниченность операторов дробного интегрирования Римана-Лиувилля в пространстве Re.ll1.

• Получить критерии ограниченности интегральных операторов в весовых пространствах функций ограниченной средней осцилляции.

Методика исследования

В работе используются методы теории функций, гармонического и функционального анализа.

Научная новизна

Основные результаты диссертации является новыми и обобщают или дополняют ранее известные.

Теоретическая значимость.

Результаты диссертации носят теоретический характер и могут применяться в теории интегральных уравнений и неравенств.

Аппробация работы.

Основные результаты диссертации и отдельные ее части докладывались на научном семинаре РУДН по функциональному анализу под

руководством чл-корр. РАН В. Д. Степанова, на Международной научной конференции "Современные проблемы математики, механики и их приложения, " посвященной 70-летию ректора МГУ академика В.А. Садоничего, 2009, а также на Всероссийских конференциях РУДН в 2008 и 2009 гг.

Публикации.

Основные результаты диссертации опубликованы в четырех работах, в том числе в 3 статьях и 1 тезисах докладов на научных конференциях.

Структура диссертации.

Диссертация состоит из введения, трех глав, и списка литературы (49 наименований). Объем диссертации составляет 71 страницу.

Содержание работы

Первая глава "Перестановочность операторов Римана-Лиувилля с преобразованиями Фурье."

В этой главе доказывается перестановочность операторов Римана-Лиувилля с косинус и синус преобразованиями Фурье.

Теорема 1.5. Если / е Щ0,оо), где р 6 (1,2], а > 1/р', р' = ^, то почти всюду на (0, оо) справедливы равенства

ва(Шх)=вдц*). = адш

В следующей теореме установлен двойственный результат.

Теорема 1.6. Если / <Е Щ0,оо), где р € (1,2], а > 1/р', р' = то почти всюду на (0, оо) справедливы равенства

Яа(/с)(з) = адЫ, #„(/,)(*) = адЫ-

В особом случае р = 1 предыдущие утверждения усиливаются следующим образом,

- О -

Теорема 1.7. Если / € Ь1(0, оо), и а > 0, то для всех х € (0, оо), справедливы равенства

адж*) - ад)», ва(Л)(х) - адЫ-

Аналогичные теоремы имеют место для расширений операторов Римаиа-Лиувилля на всю действительную ось следующего вида

В«(/)(®) -

Но(Л(х) =

^ - Ь)а~4№, х > о

о

о

^ \(н - Ж'Чт, х < о

X

оо

Ц^-ху-1

X

I

ад -ИГ1

х > О

/(0<Й, X < 0.

Теорема 1.8. Если / € оо,оо), где 1 < р < 2, а > 1 /р', р' — ^у, то почти всюду на (—оо,оо) справедливо равенство

Ва(/)(х) = нГ(7)(®)-

Если 1 < р < 2, то почти всюду на (—оо, оо) имеет место равенство

вд>) = С(7)(*)-

Вторая глава "Характеристические свойства пространств Харди Нр и ограниченность оператора Римана-Лиувилля в пространстве Не.Н1" мы рассматриваем задачу о представлении функций из пространств Нр с помощью С в-пар преобразований Фурье (Теоремы 2.6 и 2.7), а также доказываем ограниченность оператора Римана-Лиувилля На

в пространстве ReH1 (Теорема 2.9). Теоремы 2.С, 2.7, 2.9 дополняют

результаты из монографии Е. Титчмарша (Теорема 95) и Б. И. Голубова з

Теорема 2.6. Пары (а, 6) и (—Ъ,а) одновременно являются CS-парами преобразований Фурье тогда и только тогда, когда существует F(z) € H»,р€ (1, 2], такая, что

оо

F(z) = J (a(t) - ib{t)) ehtdt, > 0. (1)

о

Теорема 2.7. Пусть интеграл (1) представляет функцию F(z) € Н'\ 1 < р < 2 в верхней полуплоскости Qz > 0. Тогда интеграл

то

Ф(г) = J(A(t.) - Œ(t))eiztdt, у> 0 о

тоже принадлежит Нр, где

t t A(t) = ^J{t- x)a~la(x)dx, B(t) = IJ(t- x)a-4(x)dx, о 0

и a > 1/p'.

Более того, справедливо неравенство

Теорема 2.9. Пусть интеграл (1) представляет функцию F(z) G Я1, в верхней полуплоскости $sz > 0. Тогда интеграл

оо

Ф(г) = У (A(t) - iB{t))éztd,t, у > 0

''Голубое Б. И. Об ограниченности операторов Хардн и Харди-Литтвуда в пространствах ReH1 к В МО. // Матем. сб., 1997. Т. 188, № 7. С. 93-1 ОС.

тоже принадлежит в Н1, где

t t т = т = ^J(t- x)a-ib(x)dx,

о о

и а > 0.

Более того, справедливо неравенство

||Ф||№ < C(a)\\F\\[l4 \\HJ\\ReIi> < CWfWwu

В третьей главе "Ограниченность интегральных операторов в весовом пространстве функций ограниченной средней осцилляции" рассматривается задача об ограниченности обобщенного оператора Харди и оператора Римаиа-Лиувилля в пространстве функций с весовой ограниченной средней осцилляцией на R (§ 3.2); (§ 3.3), а также более общих интегральных операторов в классическом пространстве функций ограниченной осцилляции на R+ (§ 3.4).

Одним из основных результатов третьей главы является следующая Теорема 3.7. Пусть w(x) удовлетворяет условию удвоения. Тогда неравенство

Цг/11. < СЦ/Ц.

выполняется для всех / е BMO(w, R) с константой С, не зависящй от /.

Следующий результат является обобщением теоремы Б. И. Голубова для расширений операторов Римаиа-Лиувилля на всю действительную ось.

Теорема 3.10. Пусть а. > 0, и Ва- расширение интегрального оператора Римака-Лиувилля на действительную ось. Тогда неравенство

||ва/ц, < сии/и*

выполняется для всех / 6 ВМО(Ш) с константой С(а), не зависящй от /.

Завершает третью главу критерий ограниченности в пространствах ВМО(Е+) общих интегральных операторов с неотрицательным ядром. Теорема 3.11. Пусть ядро к(х, у) > 0 удовлетворяет условиям:

X

Jk(x,y)dy = 1, х > О о

и найдется число р > 1 такое, что А := sup хх !р

хбК+

где 1/р + 1/j/ = 1. Тогда

\\Kf\u<c(P)\\f\u.

Теорема 3.11 проиллюстрирована примером с оператором типа Римана-Лиувилля с ядром кп(х, у) := х — уа > 0. При а мы получаем Теорему Б. И. Голубова с оператором Харди на полуоси

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Pham Tien Zung. On the boundedness of the Hardy operator in weighted BMO apace.// Analysis Mathematica. 2009. V. 35, № 4. P. 249-259

2. Pham Tien Zung. On Belhnan-Golubov theorems for the Riemann-Liouville operators.// J. Funct. Spaces Appl., 2009, V. 7, № 3. P. 289-300

3. Фам Тиен Зупг. О пространствах Харди. // Вестник РУДН. 2009. № 3. С. 25-33.

4. Фам Тиен Зупг. Теорема Беллмана-Голубова для операторов Римана-Лиувилля.// "Современные проблемы математики, механики и их приложений посвященная 70-летшо ректора МГУ академика В. А. Садовничего , 2009. С. 55.

Ч1>

kv'{x,y)dy

< оо,

Фаы Тиен Зунг (Вьетнам)

Характеристические свойства некоторых операторов гармонического анализа в весовых пространствах функций ограниченной средней осцилляции и пространствах Харди

В работе изучены задачи о перестановочности операторов Римана-Лиувилля с преобразованиями Фурье, внутренней характеризации пространств Харди с помощью CS-nap преобразований и условиям ограниченности интегральных операторов в весовых пространствах функций ограниченной средней осцилляции на полуоси.

Pham Tien Dung (Vietnam)

Characteristic properties of certain operators of harmonic analysis in the weighted spaces of functions of bounded mean oscillation and the Hardy spaces

The problems of commutation of the Ricmann-Liouville operators with the Fourier transforms, inner characterization of the Hardy space by CS-pairs of transformations and criteria of the boundedness of integral operators in the function space of weighted bounded mean oscillation are studied.

Подписано к печати 12.11.09

Формат издания 60x84/16 Бум. офсетная №1 Печать офсетная Печ.л. 0,75 Уч.-изд.л. 0,65 Тираж 100 экз.

Заказ № 8203

Типография издательства МЭСИ. 119501, Москва, Нежинская ул., 7

ВВЕДЕНИЕ

Глава 1. ПЕРЕСТАНОВОЧНОСТЬ ОПЕРАТОРОВ РИМАНА--ЛИУВИЛЛЯ С ПРЕОБРАЗОВАНИЯМИ ФУРЬЕ

§ 1.1. Преобразование Фурье функций в пространствах Лебега и предварительные сведения.

§ 1.2. Теорема Беллмана-Голубова для операторов

Римала-Лиувилля

Глава 2. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ПРОСТРАНСТВ ХАРДИ HP И ОГРАНИЧЕННОСТЬ ОПЕРАТОРА РИМАНА-ЛИУВИЛЛЯ В ПРОСТРАНСТВЕ ReH1.

§ 2.1. Пространство Нр и его свойства.

§ 2.2. Ограниченность оператора Римана-Лиувилля в пространстве Нр.

§ 2.3. Случай р — 1.

Глава 3. ОГРАНИЧЕННОСТЬ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ В ВЕСОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ ФУНКЦИЙ ОГРАНИЧЕННОЙ СРЕДНЕЙ ОСЦИЛЛЯЦИИ.

§ 3.1. Весовые пространства функций ограниченной средней осцилляции.

§ 3.2. Ограниченность обобщенного оператора

Харди-Литтлвуда.

§ 3.3. Ограниченность оператора Римана-Лиувилля в классическом пространстве ВМО.

§ 3.4. Ограниченность одного класса интегральных операторов в классическом пространстве ВМО.

В теории функций хорошо известны задачи об изучении свойств операторов классического и гармонического анализа, действующих в вещественных или комплексных нормированных пространствах. Из всего многообразия мы рассматриваем, в основном, три задачи. Первая из них связана со свойством перестановочности операторов с преобразованиями Фурье, вторая посвящена получению теорем о представлении элементов классических пространств Харди Нр в верхней полуплоскости и, наконец, третья задача посвящена проблеме ограниченности интегральных операторов в весовых пространствах функций ограниченной средней осцилляции. Все три задачи объединены тем, что в них проявляются новые свойства операторов дробного интегрирования Римана-Лиувилля.

Остановимся подробнее на характеристике каждой из перечисленных задач и приведем известные результаты. Сначала дадим необходимые определения.

Пространство Лебега Lv = Lp{—оо, оо), 1 < р < оо состоит из всех измеримых функций, для которых конечна норма

Для пространств Лебега на более узких множествах - полуось R+ (О, оо), интервал (а, Ь) С R := (—оо, оо), мы пользуемся обозначениями Lp(0, оо) и Lp{a, b), а также соответствующими модификациями в обозначениях норм.

На пространстве Лебега L1 определено преобразование Фурье & : V оо f(x)\pdx <00 при рб[1,оо),

WfWoo ■= esssup I/(ж)I < 00 при р — оо.

L1 —» L°° в виде оо

1 ' ----Ja:t, f(x) := := у /(*)е»*<Й. (0.1) оо

В том случае, если 6 L1, то верна формула обращения оо

Д.т) = -1= J f{t)e-^dt. (0.2)

-оо

В частном случае, если / четная функция, то преобразование Фурье / также является четной функцией и формула (0.1) может быть записана в виде оо f(x) = у ^ J ДО cos xtdt. (0.3) о

Если же / нечетна, то и / нечетна. В этом случае оо

-if(x) = y^J f(t) sin xtdt. (0.4) о

Если функция / определена на полуоси (0,оо), то правые части в (0.3) и (0.4) называются косинус- и синус преобразованием Фурье и обозначаются fc и fs, соответственно.

В классической монографии Е. Титчмарша ([19], Теорема 69) для функций / G L2(0, оо) доказаны равенства t оо ( оо Л J fc{x)dx — J < J dy > cos txdx

0 О 1.T J и оо Л оо ( X

J Ц^-dx = J I i J f{y)dy COS txdx t о l 0

В работе Б. И. Голубова [9] эти формулы обобщаются для функций 6 Lp( 0, оо) при 1<р<2и1<р<2, соответственно.

Первая из рассматриваемых нами задач состоит в обобщении результатов Б. И. Голубова для более общих операторов Римана-Лиувилля На и Ва таких, что оо

Ha(f)(x) := J ^-f(t)dt, х > О, а > 0, X И х

BQ(f)(x) :=-LJ(x- t)a-lf(t)dt х>0, а > 0. о

Известно [21], что эти операторы сопряжены друг к другу и ограничены в пространстве Lp(0, оо), первый - при 1 < р < оо, а второй - при 1 < р < оо. При а = 1 интегралы Римана-Лиувилля обычно называют оператором Харди и оператором Харди-Литтлвуда, соответственно.

Более подробно необходимые сведения о свойствах операторов Римана-Лиувилля и преобразования Фурье приведены в первой главе, где дается решение первой задачи.

Вторая задача имеет корни в теории рядов Фурье. В 1928 г. Г. Г. Харди [32] доказал, что класс Lp (1 < р < оо) инвариантен относительно (С, ^-преобразований коэффициентов Фурье. В 1944 г. Р. Беллман [22] доказал двойственный результат для класса Lp (1 < р < оо), опираясь на работу Г. Г. Харди [32] и некоторые общие теоремы о рядах Фурье. Отметим, что развитию тематики, начатой в работах Г. Г. Харди [33] и Р. Беллмана [22] посвящены статьи [1], [3], [4], [29], [49].

Рассматриваемая нами задача связана с внутренней характеристикой пространств Харди Нр, которые определяются следующим образом.

Пусть U = {z = х + iy : х G (—00,00), у > 0} - верхняя полуплоскость комплексной плоскости. Пространство Харди HP(U) = = HPi 1 < р < оо, является банаховым пространством всех аналитических функций F на U, удовлетворяющих условию 1 \1/Р Ц^Цяр := sup I у IF(x + iy)\pdx J <00, 1 < р < оо,

Ц^РЦяоо := sup \F(z)\, р = оо. zeU

Классическая теория пространств Харди Нр отражена в монографиях А. Зигмунда [12], Н. К. Бари [2], Дж. Гарнетта [8], К. Беинетта и Р.К. Шарпли [23], И. М. Стейна [45] и других авторов. При р — 1, пространство ReH1 изоморфно пространству Харди Н1 однозначных аналитических в верхней полуплоскости функций F{z). Один из важных результатов доказан Ч. Фефферманом [28] о том, что пространство В МО функций ограниченной средней осцилляции является вещественным сопряженным к пространству ЯеНл. Существенную роль также играет Теорема Ф. Джона и JT. Ниренберга. [33], имеющая широкие применения. Б. И. Голубов [10] доказал теорему о представлении функций из пространств Н1 с помощью Сб'-пар преобразований Фурье, а также ограниченность оиератораРимана-Лиувилля На в пространстве ReH1 и ограниченность оператора Харди-Литтлвуда в пространстве ВМС.

Пусть р € [1,2]. Следуя Б. И. Голубову [10] мы называем пару (а, Ъ) функций a(t) и b{t) Сб'-парой преобразований, если существует функция / G Lp такая, что для t > 0 справедливы равенства = A(f), b{t) = f3(i)где оо / \ 1 d f r/ .sinxt 7 т = ш J

00 00 / N Id f „. . 1 — cos xt , fs(t) = ~""77 / f{x)-dx. n at J x oc

Дополняя результаты Е. Титчмарша ([19], Теорема 95) и Б. И. Голуб-ова ([10], Теорема D) мы устанавливаем критерий представления функций F €Е Нр в виде со

F(z) = J (a(t) - ib{t)) eizidt, > 0 о а также показываем, что интеграл

00

Ф{г) = J(A{t) - iB(t))eiztdt, у > О о принадлежит Нр, где t t A(t) = i ]{t- xr-1a(x)dx, B(t) = x)a~1b(x)dx, о 0 и 1/У < a < 1.

Кроме этого, мы показываем, что оператор Римана-Лиувилля На ограничен в пространстве ReH1. При а = 1 аналогичный результат доказан Б. И. Голубовым [10].

Третья задача посвящена нахождению условий ограниченности весового оператора Харди-Литтлвуда X О где X

W(x) = J w(t)dt. о в весовых пространствах ВМО(и>,Щ функций ограниченной средней осцилляции, определяемых следующим образом. Пусть ги(х) > 0 -весовая локально суммируемая функция. Мы говорим, что функция / принадлежит весовому пространству функций ограниченной средней осцилляции и записываем f £ ВМО(ю,Ш), если /' £ Ь1ос(ги,Ж) и удовлетворяет условию

11/11* == SUPT7F7п / 1/0*0 - //.^K^da; < оо, /ск W U J J I где

W(J) := J w(x)dx, fIiW := ^yy J f{x)w{x)dx i i При ги = 1 эта задача, исследована Б. И. Голубовым ([10], Теорема 2).

Дополняя и обобщая этот результат, мы устанавливаем ограниченность весового оператора Харди-Литтлвуда в весовых пространствах функций ограниченной средней осцилляции BMO(w, К), когда вес ги подчиняется условию удвоения

W(2I) < cW(J) для любого I Clc положительной константой с, не зависящей от /.

Кроме этого устанавливается ограниченность операторов Римана-Лиувилля и более общих интегральных операторов в классических пространствах ВМО на полуоси.

За последние двадцать лет критерии весовой ограниченности интегральных операторов в функциональных пространствах разрабатывались В. И. Буренковым [5]; М. Л. Гольдманом [11], [30], [31]; Р. Ойнаро-вым [15]; В. Д. Степановым [17], [18], [46], [47], [48] и многими другими авторами. В особенности для пространств ограниченной средней осцилляции эти вопросы изучались в работах Б. И. Голубова, Б. Мукенхоупта и Р. Видена [41]; К. Лая [34], [35] и других авторов.

Диссертация состоит из настоящего введения, трех глав, разбитых на 9 параграфов и списка литературы.

Перейдем к изложению содержания диссертации. Первая глава "Перестановочность операторов Римана-Лиувилля с преобразованиями Фурье. "

В этой главе рассматривается задача о перестановочности операторов Римана-Лиувилля с преобразованиями Фурье.

Основными результатами главы являются следующие теоремы. В первой из них доказывается перестановочность операторов Римана-Лиувилля с косинус-преобразованием Фурье.

Теорема 1.5. Если / е LP(0,оо), где р G (1,2], 1 /р' < а < 1, р' = -^у, то почти всюду на (0, оо) справедливы равенства

В следующей теореме установлен двойственный результат. Теорема 1.6. Если / £ 1/(0, оо), где р е (1,2], 1 /р' < а < 1, р' = то почти всюду на (0, оо) справедливы равенства

Ha{fc)(x) = BJJUx)< na(fs)(x) = BJJ)a(x).

В особом случае р = 1 предыдущие утверждения усиливаются следующим образом.

Теорема 1.7. Если / 6 ^(О. оо), и а > 0, то для всех х е (0. оо), справедливы равенства

Аналогичные теоремы имеют место для расширений операторов Римана-Лиувилля на всю действительную ось следующего вида

Ba(fe)(x) = Ha(f)c(x)t Ва{ fs)(x) = Ha(f)a(x)

Ва(Шх) = Ha(f)c{x), Ba(fs)(x) = Ha{f)s(x). x

В М)(х) = о о 1

J(N - * < о V х и оо а-1

Н „(/)(*) = ^

J{t ^ f{t)dt, X > О х

1<1а

Теорема 1.8. Если / б Lp(-oo,oo), где 1 < р < 2,1/р' < а < 1> р' = > то почти всюду на (—оо. оо) справедливо равенство

Ba(f)(x)=HM)(x).

Теорема 1.9. Если / 6 Lp(-оо,оо), где 1 < р < 2, 1/р' < а < li У — ^zji то почти всюду на (—оо. оо) имеет место равенство

Н„(/)(,;) - С(7)(.х').

Вторая глава "Характеристические свойства пространств Харди Нр и ограниченность оператора Римана-Лиувилля в пространстве ReHL" мы рассматриваем задачу о представлении функций из пространств Нр с помощью CS'-nap преобразований Фурье (Теоремы 2.6 и 2.7), а также доказываем ограниченность оператора Римана-Лиувилля На в пространстве ReH1 (Теорема 2.9). Теоремы 2.6, 2.7, 2.9 дополняют результаты Е. Титчмарша ([19], Теорема 95) и Б. И. Голубова [10].

Теорема 2.6. Пары (а, Ь) и (—6, а) одновременно являются С5-парами преобразований Фурье тогда и только тогда, когда существует F(z) е Нр,р е (1,2], такая, что оо

F(z) = J (a{t) - ib(t)) eiztdt, > 0. (0.5) о

Теорема 2.7. Пусть 1 < p < 2 и интеграл (0.5) представляет функцию F(z) е Нр, в верхней полуплоскости > 0. Тогда интеграл оо ф(*) = J(A(t) - iB{t))eizidt, > 0 тоже принадлежит Нр, где t

A(t) = xY~la(x)dx, = ^ У (« - x)°~lb(x)dxt о и l/p' < a < 1.

Более того, справедливо неравенство

Ф||лр<С(а,р)|И|Яр.

Теорема 2.9. Пусть интеграл (0.5) представляет функцию F(z) Е Я1 в верхней полуплоскости Qz > 0. Тогда интеграл ос

Ф(г) = J(A(t) - iB(t))elzidt, у > 0 о тоже принадлежит в Я1, где t t A(t) = ^ J(t - x)a~1a(x)dx, B(t) = x)a~lb{x)dx, о 0 и a > 0.

Более того, справедливы неравенства

Ф||я1 < C(a)||F||/fi, ||Я„/||леЯ1 < C\\f\\ReHu

В третьей главе "Ограниченность интегральных операторов в весовом пространстве функций ограниченной средней осцилляции" рассматривается задача об ограниченности обобщенного оператора Харди-Литтвуда и оператора Римана-Лиувилля в пространстве функций с весовой ограниченной средней осцилляцией наМ (§ 3.2); (§ 3.3), а также более общих интегральных операторов в классическом пространстве функций ограниченной осцилляции на R+ (§ 3.4).

Сначала доказывается следующий аналог известной Леммы Кальде-рона-Зигмунда.

Теорема 3.3. Пусть ги(х) удовлетворяет условию удвоения и функция и(х) б Ll(w,I) такова, что 1

W{I) I

X < S, где s > О, I С М. Тогда существует последовательность {Ik} попарно непересекающихся открытых интервалов 4с/ такая, что и(&-)| < s п.в х £ / — UIk, 1 s <

W(h) h

J \u(x)\w(x)dx < 2s,

J \u(x)\w(x)dx. к 5 j

Кроме этого нам потребуется обобщение известной Теоремы Джона-Ниренберга.

Теорема 3.4. Пусть ги(х) удовлетворяет условию удвоения, / С R. Если / е BMO{w, R) то для любого А > О xel: \f(x) - fi,w\ > Л} < Ci схр (-щ;) , где С\ и Сч не зависят от /, I и Л.

Одним из основных результатов третьей главы является следующая теорема.

Теорема 3.7. Пусть w{x) удовлетворяет условию удвоения. Тогда неравенство

Г/11* < сц/11* выполняется для всех / € BMO(w,M) с константой С, не зависящй от /.

Следующий результат является обобщением теоремы Б. И. Голубова для расширений операторов Римана-Лиувилля на всю действительную ось.

Теорема 3.10. Пусть а > 0, и BQ- расширение интегрального оператора Римана-Лиувилля на действительную ось. Тогда неравенство l|Ba/||*< сип/11, выполняется для всех / € В МО (Ж) с константой С (а), не зависящй от /'.

Завершает третью главу критерий ограниченности в пространствах ВМО(Ш+) общих интегральных операторов с неотрицательным ядром. Теорема 3.11. Пусть ядро к(х,у) > 0 удовлетворяет условиям: X

J k(x,y)dy = 1, X > О о и найдется число р > 1 такое, что А sup х1'р

C€R+ где 1 /р + 1/У = 1. Тогда

IIA7II* < C(P)\\f\U.

Теорема 3.11 проиллюстрирована примером с оператором типа Римана-Лиувилля с ядром ка(х, у) -^{х — ос > 0. При а мы получаем

Теорему Б. И. Голубова с оператором Харди на полуоси.

Автор выражает глубокую благодарность научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору, член-корреспонденту РАН Степанову В. Д. за постановку задачи, полезные советы, внимание к работе и неоценимый опыт научной деятельности.

X /

L/p кр'{х, y)dy оо.

1. Алшынбаева Е. Преобразование коэффициентов Фурье некоторых классов функций. // Матем. заметки. 1979. Т. 25. № 1. С. 645-651.

2. Бари Н. К. Тригонометрические ряды. М.: ГИФМЛ, 1961.

3. Берчиян О. Я. О преобразованиях коэффициентов Фурье. // Со-общ. АН Груз. ССР. 1990. Т. 137. № 1. С. 25-28.

4. Берчиян О. Я. О преобразованиях Харди и Беллмана коэффициентов Фурье функций из симметричных пространствах. // Матем. заметки. 1992. Т. 53. № 4. С. 3-12.

5. Буренков В. И., Голъдман М. Л. Неравенства типа Харди для модулей непрерывности. // Труды МИ АН. 1999. Т. 227. С. 92108.

6. Канторович Л. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1984.

7. Колмогоров А. И, Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. // М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006.

8. Гарнетт Док. Ограниченные аналитические функции. М.: Мир, 1984.

9. Голубое Б. И. Об одной теореме Беллмана о коэффициентах Фурье. // Матем. сб., 1994. Т. 185, № 11. С. 31-40.

10. Голубое Б. И. Об ограниченности операторов Харди и Харди-Литтвуда в пространствах ReH1 и В МО. // Матем. сб., 1997. Т. 188, № 7. С. 93-106.

11. Гольдман М. Л. Точные оценки норм операторов типа Харди на конусах квазимоиотонных функций. // Труды МИАН, 1999. Т. 232. С. 92-108.

12. Зигмунд А. Тригонометрические ряды. Том 1. М.: Мир, 1965.

13. Зигмунд А. Тригонометрические ряды. Том 2. М.: Мир, 1965.

14. Натансон И. П. Теория функций вещественной переменной. М.: Гостехиздат, 1957.

15. Ойнаров Р. Двусторонние оценки нормы некоторых классов интегральных операторов. // Тр. МИАН. 1993. Т. 204. С. 240-250.

16. Прохоров Д. В., Степанов В. Д. Весовые оценки для операторов Римана-Лиувилля и приложения. // Тр. Мат. ин-та им. В. А. Стеклова РАН. 2003. Т. 243. С. 278-301.

17. Степанов В. Д. О весовых неравенствах типа Харди для дробных интегралов Римана-Лиувилля.// Сибир. матем. журнал, 1990. Т. 31. № 3. С. 186-197.

18. Степанов В. Д., Ушакова Е. П. Весовые оценки для интегральных операторов на полуоси с монотонными ядрами. // Сибир. матем. журнал, 2004. Т. 45. № 6. С. 1378-1390.

19. Тит,чмарш Е. Введение в теорию интегралов Фурье. М.-Л: Гостехиздат, 1948.

20. Федорюк М. В. Метод перевала. М.: Наука, 1977.

21. Харди Г. Г., Литтлвуд Д. Е., Полиа Г. Неравенства. М.: ИЛ, 1948.

22. Bellman R. A note on a theorem of Hardy on Fourier constants. // Bull. Amer. Math Soc., 1944. V. 50. P. 741-744.

23. Bennett С., Sharpley R. С. Interpolation of operators. Pure and Applied Mathematics 129. Academic Press, Boston. 1988. Bennett C., Devore R. A., Sharpley R. C. Weak L°° and BMO. // Ann. of Math. 1981. V. 113. P. 601-611.

24. Bloom S. Hardy integral estimates for the Laplace transform. // Proc. Amer. Math. Soc., 1992. V. 116. N 2. P. 417-426.

25. Burkholder D. L., Gundy R. F., Silverstein M. L. A maximal function characterization of the class Hp. // Trans. Amer. Math. Soc. 1971. V. 157. P. 137-153.

26. Calderon A. P., Zygmund A. On the existence of certain singular integrals. // Acta Math., 1952. V. 88, P. .85-139.

27. Coifman R. R., Fefferman C. Weighted norm inequalities for maximal functions and singular integrals. // Studia. Math., 1974. V. 51. P. 241250

28. Fefferman C. Interpolation between Hp spaces: The real method. // Trans. Amer. Math. Soc., 1974. V. 191. P. 75-81.

29. Goldberg R. R. Average of Fourier coefficients.// Pacific J. Math., 1959. V. 9. P. 695-699.

30. Goldman M. L. On integral inequalities on the cone of functions with monotonicity properties. // Soviet Math. Dokl. 1992. V. 44. N 2. P. 581-587.

31. Goldman M. L., Heinig H. P., Stepanov V. D. On the principle of duality in Lorentz spaces. // Canad. J. Math. 1996. V. 48. N 5. P. 959-979.

32. Hardy G. H. Notes on some points in the integral calculuc. // Messenger of Math., 1928. V. 58. P. 50-52.

33. John F., Nirenberg L. On functions of bounded mean oscillation. // Comm. Pure Appl. Math., 1961. V. 14, P. 415-426.

34. Lai Qinsheng. Linear monotone operators and weighted BMO. // Proc. Amer. Math. Soc., 1994. V. 120. P. 875-887.

35. La i Qinsheng, Pick L. The Hardy operator, La0 and BMO. //J. London Math. Soc., 1993. V. 48. P. 167-177.

36. Latter R. H. A decomposition of Hp(Rn) in terms of atoms. // Studia Math., 1978. V. 62. P. 92-101.

37. Lomakina E.N., Stepanov V.D. On the Hardy-type integral operators in Banach function spaces. // Publ. Mat. 1998. V. 42. P. 165-194.

38. Martin-Reyes J.F., Sawyer E. Weighted inequalities for Riemann-Liouville fractional integrals of order one and greater. // Proc. Amer. Math. Soc. 1989. V. 106. P. 727-733.

39. Moricz F. The harmonic Ccsaro and Copson operators on the spaces LP(R), 1 < p < 2.// Studia Math., 2002. V. 149, № 3. P. 267-279.

40. Muckenhoupt B. Hardy's inequalities with weights. // Stud. math. 1972. V. 34 N 1. P. 31-38.

41. Muckenhoupt В., Wheeden R. L. Weighted bounded mean oscillation and the Hilbert transform. // Studia Math., 1976. V. 54. P. 221-237.

42. Prokhorov D. V. On the boundedness and compactness of a class of integral operators // J. London Math. Soc. 2000. V. 61. P. 617-628.

43. Sinnamon G. Hardy's inequality and monotonicity. // Proc. „Function Spaces, Differential Operators and Nonlinear Analysis"(FSDONA 2004), Acad. Sci. Czech Republic, Milovy, 2004. P. 292-310.

44. Sinnamon G., Stepanov V. D. The weighted Hardy inequality: New proofs and the case p = 1. // J. London Math. Soc., 1996. V. 54. P. 89-101.

45. Stein E. M. Harmonic analysis: Real-Variable Methods, Orthogonality, and Oscillatory Integrals. Princeton Univ. Press, Princeton, New Jersey, 1993.

46. Stepanov V. D. Weighted inequalities for a class of Volterra convolution operators. I j J. London Math. Soc., 1992. V. 45. P. 232-242.

47. Stepanov V. D. Integral operators on the cone of monotone functions. // J. London math. Soc., 1993. V. 48. P. 465-487.

48. Stepanov V. D. Weighted norm inequalities of Hardy type for a class of integral operators. // J. London Math. Soc., 1994. V. 50. P. 105120.

49. Young F. H. Transformations of Fourier coefficients. // Proc. Amer. Math. Soc., 1952. V. 3. P. 783-791.РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

50. Pham Tien Zung. On the boundedness of the Hardy operator in weighted BMO space.// Analysis Mathematica. 2009. V. 35, № 4. P 249-259.

51. Pham Tien Zung. On Bellman-Golubov theorems for the Riemann-Liouville operators.// J. Funct. Spaces Appl., 2009, V. 7, № 3. P 289-300.