Некоторые классы функциональных пространств, характеризуемых в терминах средней осцилляции и операторов с ядрами типа Бергмана тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

На правах рукописи

/

Кодзоева Фсрдос Джабраиловпа

НЕКОТОРЫЕ КЛАССЫ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ ПРОСТРАНСТВ, ХАРАКТЕРИЗУЕМЫХ В ТЕРМИНАХ СРЕДНЕЙ ОСЦИЛЛЯЦИИ И ОПЕРАТОРОВ С ЯДРАМИ ТИПА БЕРГМАНА

01.01.01 - математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физпко - математических наук

Ростов-на-Дону 2008

003452809

Диссертационная работа выполнена на кафедре дифференциальных и интегральных уравнений факультета математики, механики п компьютерных наук Южного федерального университета

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, доцент

Карапетянц Алексей Николаевич

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Кондаков Владимир Петрович

доктор физико-математических наук, профессор

Ляхов Лев Николаевич

Ведущая организация:

Белгородский государственный университет

Защита состоится 9 декабря 2008 г. на заседании диссертационного совета Д 212.208.29 в Южном федеральном университете но адресу: 344090, г.Ростов-иа-Дону, ул. Мильчакова 8а, факультет математики, механики и компьютерных наук Южного федерального университета, ауд.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Южного федерального университета по адресу: г.Ростов-на-Дону, ул. Пушкинская, 148.

Автореферат разослан ^О ОК/»■&$>¡Л-— 2008 г.

Ученый секретарь диссертационного

совета Д 212.208.29 _у . В.Д. Кряквин

Общая характеристика работы

Цели и задачи исследования. Исследование новых классов существенно различных функциональных пространств, в определении и (пли) описании которых используются средняя осцилляция функции. Развитие методов исследования таких пространств, основанных на технике дробного интегро-дифференцировання, преобразования Березина и с использованием классических интегральных операторов с каноническими ядрами типа Бергмана. Для достижения указанной цели исследованы весовые аналитические пространства Бесова на единичном диске, пространства функций с ограниченной средней осцилляцией в метрике Бергмана на бидиске и пространства функции с р— суммируемой с весом ограниченной средней осцилляцией на вещественной оси, полуоси и отрезке.

Актуальность. Пространства Бергмана, Харди, Бесова, Липшица, Блоха и ВМОА наиболее широко изучены в современной литературе в ряду пространств аналитических функций одного или многих переменных. Широкий круг задач, в том числе интегральные представления функций из этих классов, разложение на атомы, вопросы двойственности, интерполяции, характеризация в терминах производных (в том числе и дробных) объединяет эти пространства и связывает решение этих задач со ставшими уже классическими операторами типа Бергмана, операторами дробного интегродиф-ференцировання, преобразованием Березина и техникой средней осцилляции. Эти пространства, за исключением ВМОА, естественно могут считаться частью достаточно общего семейства аналитических пространств Соболева, однако, детальное изучение каждого специфического класса представляет самостоятельный интерес. Не менее важным и актуальным представляется исследование пространств функций, определяемых условиями суммируемости на среднюю осцилляцию функций. Характеризация этих пространств представляется важной с точки зрения внутренних задач теории функций,

каковыми, например, являются задачи описания гладкостных свойств функций в терминах средней осцилляции, исследование интегральных операторов в таких пространствах, а также вопросы аппроксимации локально суммируемых функций сингулярными интегралами в терминах средней осцилляции.

Методы исследования. В диссертационном исследовании используются методы функционального анализа, теории функций вещественного и комплексного переменного, методы теории функций с ограниченной средней осцилляцией как вещественного, так и комплексного переменного, техника оценок средних значений локально интегрируемых функций, техника дробного интегродифференцирования, методы теории интегральных операторов с каноническими ядрами, в том числе проектор Бергмана, техника преобразования Березина.

Научная новизна. Основные научные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем.

Получена характеризация весовых аналитических пространств Бесова 5^(0) на единичном диске в терминах, связанных с весовым проектором Бергмана, в терминах весовых дифференциальных операторов дробного порядка, в терминах осцилляции функции в гиперболической метрике Бергмана.

Дана характеризация классов функций с ограниченной средней осцилляцией в метрике Бергмана на бидиске ВМО^(У2) в терминах преобразования Березина и в терминах средних по гиперболическим дискам.

Введены и изучены классы функций с р— суммируемой (с весом) ограниченной средней осцилляцией на вещественной оси ВМОР)Ш(К), полуоси ВМОр>ш(М±) и отрезке в терминах интегрального скачка Сарасона.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты и развитые методы могут найти применение в исследованиях по

теории функциональных пространств аналитических функции и функций с ограниченной средней осцилляцией как вещественного, так и комплексного переменного. Развитые методы могут быть использованы при исследовании свойств ограниченности, компактности, спектральных свойств теплнцевых, ханкелевых операторов и их модификаций в пространствах типа Бесова, Дирихле, а также при исследовании алгебр таких операторов.

Полученные результаты могут быть использованы научными коллективами Уфимского научного центра РАН, С. Петербургского отделения математического института им. Стек-лова, Южного федерального университета, Воронежского, Казанского, Одесского университетов, а также другими научными коллективами, ведущими исследования в теории функции вещественного и комплексного переменного, примыкающих к основным направлениям диссертации.

Апробация работы. Диссертация выполнена в Южном Федеральном университете на кафедре Дифференциальных и интегральных уравнений при поддержке грантов Российского фонда фундаментальных исследований:

1. "Интегральные операторы с каноническими ядрами, сингулярные интегральные операторы на банаховых пространствах и порождаемые ими алгебры"(РФФИ 06-01-00297-а, исполнитель);

2. "Операторы типа потенциала с особенностями ядер или символов на многообразиях, аппроксимативные обратные операторы и функциональные пространства, связанные с такими операторами "(РФФИ 04-01-00862-а, исполнитель)

Отдельные части диссертации докладывались соискателем на следующих международных конференциях:

1. 4-ой международной конференции "Аналитические методы анализа и дифференциальных уравнений "(АМАБЕ-

2006, Минск, Белорусский госуниверситет, сентябрь 2006);

2. международной конференции "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы", посвященной памяти И.Г. Петровского (Москва, МГУ, май 2007);

3. международной конференции "Теория операторов. Комплексный анализ. Математическое моделирование"

(Волгодонск, сентябрь 2007).

Результаты диссертации также неоднократно докладывались на семинарах кафедры дифференциальных и интегральных уравнений Южного федерального университета, на семинарах кафедры математики Ингушского государственного университета.

Публикации. Содержание диссертации опубликовано в работах [1]-[10]. Профессору, д.ф.-м.н. Н.К. Карапетянцу принадлежит постановка задач, решение которых составило третью главу диссертационной работы, а научному руководителю, д.ф.-м.н. А.Н. Карапетянцу принадлежит постановка задач первой и второй главы диссертации и последующее руководство решением задач, составивших диссертационную работу. В совместных работах [1], [3] научному руководителю, д.ф.-м.н. А.Н. Карапетянцу принадлежит постановка задач и выбор методики исследования, а автору диссертации - реализация рекомендаций и доказательства соответствующих результатов.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, общей характеристики работы, трех глав, включающих в себя 26 разделов, кратких выводов и комментариев к каждой главе, заключения, библиографического списка, включающего список использованных источников и список работ соискателя. Объем диссертационной работы 132 страницы машинописного текста. Список использованных источников и список работ соискателя на 12 страницах содержит 100 и 10 наименований соответственно.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ

Безвесовые аналитические пространства Бесова на единичном диске комплексной плоскости, а также специальные классы так называемых Qp пространств, в определении которых не участвуют производные, активно изучались в последние годы в контексте исследования инвариантных относительно преобразования Мебиуса пространств на единичном диске (упомянем, например, работы J.Arazy, S. Fisher, J. Peetre (1985-1992), J. Xiao (2001-2006), K. Zhu (1991-2005)). В связи с тем, что производные функций из аналитических пространств Бесова принадлежат весовым пространствам Бергмана, многие вопросы теории пространств Бергмана и операторов Теплица в этих пространствах связаны по-сугцеству с характери-зацией весовых пространств Бесова.

Важный класс аналитических пространств Бесова составляют так называемые диагональные пространства Бесова. Эти пространства ßp(D) введены и описаны в работе К. Zhu (1991) в случае единичного диска и далее изучены в контексте ограниченной симметричной области (1995). Характеризация функций из пространств Бесова приводится в различных терминах, включая осцилляцию функции в метрике Бергмана, проектор Бергмана и также некоторые аналоги оператора дробного ди-ференцирования.

Весовые аналитические пространства Бесова на единичном диске, изученные в первой главе диссертации, являются обобщением указанных пространств ßp(D) на весовой случай и определяются следующим образом. Для 0 < р < оо, — 1 < Л < оо весовое пространство Бесова -В^(Р) определяется как множество аналитических на В функций, для которых

J(l-\z\2)N^2\ßN\z)\4^(z)<oo,

D

где dß\(z) определяется равенством

dpx(z) = (Л + 1)(1 - \z\2)xdfi(z), dß(z) = —dxdy,

TT

а N -любое фиксированное натуральное число, удовлетворяющее условию N > ^ (определение весового пространства Вр(В) не зависит от N >

Основные результаты первой главы составляют описание этих пространств в терминах, связанных с весовым проектором Бергмана, в терминах весовых дифференциальных операторов дробного порядка в терминах осцилляции функции в метрике Бергмана, и др. Упомянутые операторы дробного дифференцирования характеризуются, например, действием на каноническое ядро Бергмана

___—_^_ 2 ■,„ с в

и широко используются в различных вопросах теории аналитических функций. Обозначим N-1

Ё 1/(т)(0)|р + /(1 - И2)^-2|/(ЛГ)(.г)№А(*).

771=0 I

В

При 1 < р < оо эта конструкция определяет норму в весовом пространстве Бесова: ||/||р = ||/||в*(о)- Если 0 < р < 1, то ||/||р задает метрику в В*(В) равенством р(/,д) = ||/ - д\\р, причем пространство Вр(О) полно с этой метрикой (нормой при 1 < р < оо).

Одним из основных результатов первой главы является описание весовых пространств Бесова Вр(Ю>) в терминах, связанных с весовым проектором Бергмана. Например, при О ^ А < оо доказан следующий результат.

Теорема 1.1 Пусть 1<р<оо,0<А<оои/- аналитическая на О функция. Тогда следующие условия эквивалентны:

1- / е в^Щ-

^ = 11< оо.

во

В этом же контексте интересным представляется харак-теризация в терминах дробного дифференцирования ña,t.

Теорема 1.2 Пусть 0 < р < оо, —1 < Л < оо, 1 + а не

является отрицательным целым числом и функция / ана-литичпа на В. Тогда следующие условия эквивалентны:

1. fe ВрА(В);

2. функция (1 — \z\2yR01'*f (z) принадлежит пространству LP(B>,dv\) для некоторого положительного t > где 1 + а + t не является целым отрицательным числом;

3. функции (1 — \z\2)1 Ra,tf (z) принадлежит пространству

dv\) для всех положительных t > где 1 + a + t не является целым отрицательным числом.

Особый интерес представляет характеризация функций из 5p(D) в терминах осцилляции в гиперболической метрике Бергмана: (3{z,w) = \ ln z,w Е D. Для локаль-

но суммируемой на D функции / определим осцилляцию в метрике Бергмана следующим образом

u>r(f)(z) = sup{|/(*) - /MI : w 6 D(z, г)}.

Пусть также

D(z,r)

где |D(,z, г)|д - мера D(z, г) по отношению к dfi\(z), а р -средняя осцилляцию функции / в метрике Бергмана определяется равенством

МО(/)(*) = f^T^ / 1/И - TrAz)\pdfix(w)]Р.

При р = 1 условимся писать МОгд(/)(г).

Следующим важным результатом первой главы является

Теорема 1.3 Если г > О, 0 ^ А < оо, 1 < р < оо и f

аналитична на О, то следующие условия эквивалентны:

1.fe ©);

2. МОгЛ(/)(2) е 1?(В>,duxy,

3. ur(f) € D>(B,dvxy,

4. \D(z,r)\~xl J l/H-Z^feWelPtD,^).

D(z,r)

Исследованы также дальнейшие свойства весовых пространств Вр(Ю>), в том числе получен результат о разложении на атомы функций из пространства В^(В), изучено поведение коэффициентов ряда Тейлора функций из Вр(Ю>), наконец, приведены результаты об интерполяции и двойственности весовых пространств Бесова в различных терминах. Именно, использованы различные формы скалярного произведения. Здесь мы не останавливаемся на этих вопросах.

Глава 2 посвящена описанию функций из весового пространства ВМОд(У2) на единичном бидиске V2 = DxD. Ясно, что все результаты немедленно обобщаются на многомерный случай полидиска V", так что случай бидиска рассматривается в контексте упрощения формулировок и доказательств.

Пространство BMO^(V2), 1 ^ р < оо, — 1 < Л < оо, определяется как совокупность измеримых на V2 функций, для которых полунорма

11V11 #,bmoj (v2) = sup \\tp О аг(-) - y\{z)\\LP(y24ilx) zev2

конечна. Здесь dfix(z) = (AiH-1)(Л2Ч-1)(1 — |2)Al (1 — |12)(-г), dfi(z) = \dx\dy\^dx2dy2, и ^(^-преобразование Березина функции связанное с весовым пространством Бергмана на бидиске, определяется следующим образом:

ш= [ <p(w)\k${w)\2dnx(z), ZGV2, Jv2

где функция

л g-|*il2)1+»(i-Na)1+*

есть нормированное когерентное состояние в соответствующем весовом пространстве Бергмана на бидиске.

Классы функций с ограниченной и исчезающей средней осцилляцией ВМО и VMO в гиперболической метрике Бергмана на единичном диске были введены и изучены в работе K.Zhu (1987) и далее в работе D.Becolle, С.Berger, L.Coburn (1990) в случае ограниченных симметричных областей (упомянем также Н. Li, D.H. Lueking (1994)) Были исследованы также аналитические аналоги ВМОА, VMOA и ESV на единичном шаре в С". Эти исследования нашли приложение к задаче о связи между компактностью оператора Теплица с символом из ВМО и поведением преобразования Березина оператора Теплица при приближении к границе диска (см. работы N.Zorboska (2003) и А.Н.Карапетянц (2005-2006)). При этом, в работах А.Н.Карапетянца вводились и изучались весовые пространства ВМОд(О) на единичном диске, обобщение которых на случай бидиска и представлено в настоящей диссертационной работе.

Отметим также, что в настоящее время имеется большое число работ по пространствам ВМО и их модификациям на полидиске (бидиске), см. например, S. Ferguson, С. Sadosky (2000) и M. Lacey, S. Ferguson (2002) и имеющиеся там ссылки. В этих работах приведена характеризация функций из пространства ВМО и некоторых обобщений этого пространства в терминах мер Карлесона и в терминах двойственности, и далее результаты применяются к задачам ограниченности теп-лицевых и ханкелевых операторов и их модификаций в пространствах Харди в полидиске. Упомянутые работы фактически не затрагивают тематику характеризации пространств в терминах гиперболической метрики, а также в терминах преобразования Березина. По-видимому, такое исследование

может быть дальнейшим развитием данной тематики. Очевидно, что в случае полидиска возникает большое количество существенно различных модификаций ВМО пространств.

В диссертационной работе приводится характеризация свойств функций из ВМОд(У2), в том числе доказывается липшицевость в метрике на V2 преобразования Березина функции из ВМОд(У2). Последний результат, например, является ключевым при исследовании свойств ограниченности и компактности операторов типа Теплица с символами из ВМОд(У2) в весовых пространствах Бергмана. Однако, возвращаясь к основной цели настоящей диссертационной работы, отметим, что ряд основных результатов первой главы может быть сформулирован в виде следующей теоремы.

Теорема 1.4 Для локально интегрируемой на V2 функции <р и для любого произвольного фиксированного г = (г1,Г2), т^ > О, у — 1,2. следующие условия эквивалентны:

1. функция ограничена и 6 ВМОд(У2);

2. функция фг<\ ограничена при г > 0 и <р е ВМОд(У2);

3. функция ограничена и

8ир{[ИМ*)]я-|£л(.г)|}<оо;

геУ2

4. функция ограничена при г > 0 и

5. функция ограничена.

Здесь использованы средние (рг<\[г), в определении которых теперь Т)(г,ю) = Б^!,«^) х Б^,«^).

Описание пространств с ограниченной средней осцилляцией в терминах преобразования Березина вполне естественно с точки зрения комплексного анализа. Однако, существует

альтернативный подход к описанию пространств с ограниченной средней осцилляцией - следуя традициям теории вещественного переменного, описание дается в терминах средних по гиперболическим дискам.

Следующий важный блок результатов второй главы приводит к такому описанию пространств ВМОд(У2). Именно, не формулируя соответствующую теорему, утверждаем, что полунорма

IMI#,BMO£r(v=) = supMO Pr<x(<p){z) zev2

также определяет пространство ВМОд(У2). Здесь определяется как и выше с учетом того, что D(z, w) — ~D(z\,wi)x D(z2, w2), z = (z\, Z2) 6 V2, a dß\(z)- дифференциал весовой меры на бидиске.

Классическая ссылка по ВМО пространствам функций комплексного переменного - книга Дж. Гарнета (1982). Недавно появилась также книга К. Zhu (2004), где отражено современное состояние теории этих пространств, а также их модификаций - ВМОА, VMOA, ESV на единичном шаре в С".) Следует также отметить, что несмотря на то, что в первых двух главах используется техника аналитических пространств, методы и идеи пионерских работ Ch. Fefferman, Е.М. Stein (1971, 1972) широко используются и в теории функций комплексного переменного с ограниченной средней осцилляцией. К вещественным пространствам ВМО, а точнее, к некоторым обобщениям этих пространств, мы обращаемся в третьей главе диссертации.

Пространства, определяемые условиями на среднюю осцилляцию функций, представляют важный объект исследования с точки зрения внутренних задач теории функций, таких как задача описания гладкостных свойств функций в терминах средней осцилляции, исследование интегральных операторов в гармоническом анализе в пространствах типа ВМО.

Классы функций, определяемые условиями на среднюю осцилляцию, изучались, например, в работах S.Janson (1976),

II. ОеУоге, II. БЬаргку (1984) и других авторов. В работах Р.Рзаева (1990-1997) исследовались многомерные сингулярные операторы в более общих пространствах ВМО^в, определяемых с помощью условий на модуль гладкости к - го порядка, а также вопросы аппроксимации функций из этих пространств. Заметим, что в этих обозначениях упомянутые выше работы Б.Лапэоп, II. ОеУоге, II. ЭЬагрку относятся к случаю к = 1, (р(6) = 6х, 1 < в < оо и к > 1, (р(5) = 6х, 9 = оо. В частности, если (/?(£) = 1, то ВМО^в = ВМО + Ри-1, где ВМО - класс всех локально интегрируемых функций, имеющих ограниченную среднюю осцилляцию и Рк - множество полиномов степени не выше к.

В главе 3 мы продолжаем исследование классов функций, определяемых условиями на среднюю осцилляцию, вида ВМО^д. Именно, изучаются классы функций ВМОр,а!(М), ВМОр)Ш(К±), ВМОрДа, Ь) с р— суммируемой с весом 1/шр ограниченной средней осцилляцией. Здесь непрерывная неотрицательная функция

ш 6 Фца '■= {и : почти убывает при Ь £ (0, оо)}.

Рассматриваются вопросы продолжения и склеивания функций из пространств ВМОР)а,(К±), приводятся необходимые условия принадлежности функций этим пространствам в терминах сходимости некоторого интеграла. В качестве приложения исследованы вопросы ограниченности операторов свертки и с однородными степени —1 ядрами в пространствах ВМОр,ш(К+) и ВМОР)и,(К). Этот ряд вопросов для указанных пространств ранее не рассматривался.

Пусть I = (а,Ь)- интервал вК, \1\ = Ь — а - длина этого интервала. Для функции /, как обычно, положим

и

т/(г) = зир{^(/, I) : |/| < г, I С Е}.

Пространство ВМОР)Ш(К), 1 ^ р < оо, состоит из функций, локально интегрируемых на К, для которых следующая полунорма конечна:

Аналогично вводятся пространства ВМОР1Ш(К±), ВМОРА,(а, Ь).

Вначале приводятся некоторые оценки для локально интегрируемых функций, в том числе доказывается полнота пространства ВМОр>ш(М). Далее приводится характеризация множеств функций из ВМОРА,(К+), продолжения которых на полуось х < 0 нулем, четным или нечетным образом принадлежит всему пространству ВМОР1Ш(М). Эти достаточные условия формулируются в терминах фишшгости конструкций вида

где А^(е) = \ /|/(£)|сй. В качестве примера сформулируем

следующий результат (в диссертации эта теорема формулируется и доказывается в более общей постановке).

Теорема 1.5 Пусть f £ ВМОРА,(М+) и /—ее продолжение нулем при х < 0. Тогда / 6 ВМОР1Ш(К) если и только если А+} < оо.

Далее рассматриваются вопросы склеивания функций из пространств ВМОР|Ш(К±). Здесь используется аналог интегрального скачка, введенного Д.Сарасоном:

(1.1)

(1.2)

£

О

т+е

т

т

Т—Е

Это выражение позволяет локально характеризовать пространства функций с ограниченной средней осцилляцией. Например, в следующей теореме приводится необходимое и в определенном смысле достаточное условие принадлежности ВМОР1Ш(М) в терминах интегрального скачка.

Теорема 1.6 Справедливы следующие утверждения

1. Если f £ ВМОР)Ш(М), г £ 1, то необходимо

2. Если / б ВМОРА,(-оо,т) и / 6 ВМОр,ш(т, оо) и выполнено условие (1.3) при данном т, то f £ ВМОРА,(Ж).

Наконец, как уже было отмечено, в качестве приложения полученных результатов сформулированы и доказаны теоремы об ограниченности операторов Вольтерра и свертки в пространствах ВМОРА,(М) и ВМОр,ш(М+).

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю, доктору физико-математических наук Алексею Николаевичу Карапетянцу за постановку задач, помощь и постоянное руководство при выполнении настоящей работы.

(1.3)

Публикации по теме диссертации

1. Karapetyants A.N., Kodzoeva F.D. Analytic weighted Besov spaces on the unit ball // Proc. A. Razmadze Math. Inst. -2005. -V. 139. -P. 125-127.

2. Кодзоева Ф.Д. Характеризация функций из аналитического пространства Бесова Bi(D) на единичном диске в терминах весового проектора Бергмана // Научный вестник Ингушского госуниверситета. Магас. -2005. № 1-2. -С. 130-134.

3. Карапетянц А.Н., Кодзоева Ф.Д. Характеризация функций из весового аналитического пространства Бесова на единичном диске // В сб.: Комплексный анализ. Теория операторов. Математическое моделирование. Владикавказ. Изд-во ВНЦ РАН. -2006. -Т. 1. -С. 48-62.

4. Кодзоева Ф.Д. Характеризация функций из BMO\(V2) в терминах преобразования Березина // Труды 4-ой международной конференции "Аналитические методы анализа и дифференциальных уравнений". Минск. -2006. -Т. 2. -С. 84-88.

5. Karapetyants A.N., Kodzoeva F.D. Analytic weighted Besov spaces on the unit disc and polydisc // Тезисы докладов 4-ой международной конференции "Аналитические методы анализа и дифференциальных уравнений". Минск. -2006.

-С. 61.

6. Кодзоева Ф.Д. Описание весового пространства ВМOvx(V2) // Известия вузов.Северо-Кавказский регион. Естественные науки. -2008. -№ 3. -С. 3-11.

7. Кодзоева Ф.Д. Характеризация функций из BMO\{V2) в терминах средних по гиберболическим дискам // Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. -2008. 4. -С. 8-15.

8. Кодзоева Ф.Д. Двойственность и интерполяция весовых аналитических пространств Бесова на единичном диске // В сб.: Комплексный анализ. Теория операторов. Математическое моделирование. Владикавказ. Изд-во ВНЦ РАН. -2008. -Т. 1. -С. 131-136.

9. Кодзоева Ф.Д. Описание аналитических пространств Бесова в терминах радиальных операторов дифференцирования дробного порядка // Известия вузов. Математика. Изд-во Казанского Гос. Университета. -2008. № 10. -С. 1-4.

10. Кодзоева Ф.Д. Пространство ВМОд(У2) и оценки средних значений // Ростов-на-Дону. Южный Федеральный Университет. Рукопись деп. в ВИНИТИ 29.05.2008. № 474-В2008. 42 с.

Издательство «ЦВВР». Лицензия ЛР № 65-36 от 05.08 99 г. Сдано в набор 27.10.08 г. Подписано в печать 27.10 08 г. Формат 60*84 1/ 16 Заказ № 982. Бумага офсетная. Гарнитура «Тайме». Оперативная печать. Тираж 100 экз. Печ. Лист 1,0. Усл.печ.л. 1,0. Типография: Издательско-полиграфическая лаборатория УНИИ Валсологии

«Южный федеральный университет» 344091, г. Ростов-на-Дону, ул. Зорге, 28/2, корп. 5 «В», тел (863 ) 247-80-51. Лицензия на полиграфическую деятельность № 65-125 от 09.02.98 г.

ВВЕДЕНИЕ

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

1 Глава 1: Весовые аналитические пространства Бесова на единичном диске

1.1 Постановка задач и предварительные сведения

1.2 Весовое пространство Бергмана на единичном диске

1.3 Метрика Бергмана, на О и некоторые вспомогательные утверждения.

1.4 Операторы дробного интегродифференцирования в пространстве аналитических функций Н(О)

1.5 Некоторые свойства пространств Я* (О).

1.6 Описание пространств 15 терминах весового проектора Бергмана.

1.7 Описание в терминах весового дифференциального оператора

1.8 Описание функций из Вр(Ш) в терминах осцилляции в метрике Бергмана.

1.9 Дальнейшие свойства пространства В)

1.10 Интерполяция и двойственность весовых пространств Бесова.

1.11 Комментарии к главе

2 Глава 2: Описание функций из весового пространства ВМОд(У2) на единичном бидиске

2.1 Постановка задач и предварительные сведения

2.2 Метрика на V2 и некоторые вспомогательные утверждения

2.3 Весовое пространство BMO^(V2).

2.4 Некоторые результаты для функций из ВМОд(У2).

2.5 Липшицевость преобразования Березина функций из BMO^V2)

2.6 Описание пространства в терминах преобразования Березина.

2.7 Пространство ВМОРДУ2): описание BMO^(V2) в термицах усреднений

2.8 Комментарии к главе

3 Глава 3: Пространства функций ВМО^ДГЦ, определенные в терминах р -суммируемости средней осцилляции

3.1 Постановка задач и предварительные сведения

3.2 Определения и некоторые свойства метрических характеристик

3.3 Пространства BMOP;U;(R), BMOP;W(R+) и BMOp,w(a, Ъ)

3.4 Некоторые оценки для локально суммируемых функ- . ций.

3.5 Полнота пространства BMOP!W(R).

3.6 Продолжимость функций из ВМОР)(1;(М±)

3.7 "Склеивание"функций из BMOP;U;(R±).

3.8 Ограниченность операторов Вольтерра и свертки в пространствах ВМОрД№) и BMOP)W(M+).

3.9 Комментарии к главе

Результаты диссертационной работы относятся к теории функциональных пространств вещественного и комплексного переменного.

Диссертационная работа посвящена исследованию новых классов существенно различных функциональных пространств, в определении и (или) описании которых используется средняя осцилляция функции. Развиваются новые методы исследования и обобщаются известные и ставшие уже классическими методы, основанные на технике дробного интегродифференцирования, технике преобразования Березина; методы теории интегральных операторов с каноническими ядрами, методы теории функций с ограниченной средней осцилляцией как вещественного, так и комплексного переменного.

Исследованы весовые аналитические пространства Бесова на единичном /щеке, пространства функций с ограниченной средней осцилляцией в метрике Бергмана на бидиске и пространства функций с р— суммируемой с весом ограниченной средней осцилляцией па. вещественной оси, полуоси и отрезке.

Пространства Бергмана, Харди, Бесова, Липшица, Блоха и ВМОА наиболее широко изучены в современной литературе в ряду пространств аналитических функций одного или многих переменных. Широкий круг задач, в том числе интегральные представления функций из этих классов, разложение на атомы, вопросы двойственности, интерполяции, характеризация в терминах производных (в том числе и дробных) объединяет эти пространства и связывает решение этих задач со ставшими уже классическими операторами типа Бергмана, операторами дробного интегродифференцирования, преобразованием Березина и техникой средней осцилляции. Эти пространства, за исключением ВМОА, естественно могут считаться частью достаточно общего семейства аналитических пространств Соболева, однако детальное изучение каждого специфического класса представляет самостоятельный интерес. Не менее важным и актуальным представляется исследование пространств функций, определяемых условиями суммируемости на среднюю осцилляцию функций. Характеризация этих пространств представляется важной с точки зрения внутренних задач теории функций, каковыми, например, являются задачи описания гладкостных свойств функций в терминах средней осцилляции, исследование интегральных операторов в таких пространствах, а также вопросы аппроксимации локально суммируемых функций сингулярными интегралами в терминах средней осцилляции.

Основные научные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем.

Получена характеризация весовых аналитических пространств Бесова -Вр(В) на единичном диске в терминах, связанных с весовым проектором Бергмана, в терминах весовых дифференциальных операторов дробного порядка, в терминах осцилляции функции в гиперболической метрике Бергмана.

Дана характеризация классов функций с ограниченной средней осцилляцией в метрике Бергмана на бидиске ВМОд(У2) в терминах преобразования Березина и в терминах средних по гиперболическим дискам.

Введены и изучены классы функций с р— суммируемой (с весом) ограниченной средней осцилляцией на вещественной оси ВМОРА,(М), полуоси ВМОР)и;(М±) и отрезке в терминах интегрального скачка Сарасона.

Перейдем к изложению основных результатов диссертационной работы.

Безвесовые аналитические пространства Бесова на единичном диске комплексной плоскости, а также специальные классы так называемых Qp пространств, в определении которых участвуют производные, активно изучались в последние годы в контексте исследования инвариантных относительно преобразования Мебиуса пространств на единичном диске (упомянем, например, работы J. Arazy, S. Fisher, J. Peetre [40]-[44], [72], J. Xiao [89], [90], K. Zhu [91]-[97]). В связи с тем, что производные функций из аналитических пространств Бесова принадлежат весовым пространствам Бергмана, многие вопросы теории пространств Бергмана и операторов Теплица в этих пространствах связаны по-существу с характеризацией весовых пространств Бесова.

Важный класс аналитических пространств Бесова составляют так называемые диагональные пространства Бесова. Эти пространства введены и описаны в работе Zhu К. [94] в случае единичного диска и далее изучены в контексте ограниченной симметричной области [95], [96]. Характеризация функций из пространств Бесова приводится в различных терминах, включая осцилляцию функции в метрике Бергмана, проектор Бергмана и также некоторые аналоги оператора дробного дифференцирования.

Весовые аналитические пространства Бесова на единичном диске, изученные в первой главе диссертации, являются обобщением указанных пространств на весовой случай и определяются следующим образом. Для 0 < р < оо, — 1<А<оо весовое пространство Бесова В^ (В) определяется как множество аналитических на В функций, для которых

1 - \г\2)"р-2\1{МЧг)\^х(г) < оо, в где ^д(-г) определяется равенством с1ц\(г) = (Л + 1)(1 — 2)Х(11л(г), ¿^{г) — —йхйу,

7Г а N -любое фиксированное натуральное число, удовлетворяющее условию N > (определение весового пространства Вр(Ш) не зависит от N >

Основные результаты первой главы составляют описание этих пространств в терминах, связанных с весовым проектором Бергмана, в терминах весовых дифференциальных операторов дробного порядка в терминах осцилляции функции в метрике Бергмана, и др. Упомянутые операторы дробного дифференцирования характеризуются, например, действием на каноническое ядро Бергмана

1 1 яа,ьт:-= т^-гттт—гт, г, УЗ е Ю>,

1 -ггВ)2+а (1~гъй)2+а+г и широко используются в различных вопросах теории аналитических функций.

Одним из основных результатов первой главы является описание весовых пространств Бесова -Вр(Ю) в терминах, связанных с весовым проектором Бергмана. Этот результат формулируется и доказывается в теоремах 1.15, 1.16.

В этом же контексте интересным представляется характе-ризация в терминах дробного дифференцирования Яа'ь (теорема 1.19).

Особый интерес представляет характеризация функций из Вр(Ш) в терминах осцилляции в гиперболической метрике Бергмана (теорема 1.22).

Исследованы также дальнейшие свойства весовых пространств 5р(В), в том числе нолучен результат о разложении на атомы функций из пространства £?р(В), изучено поведение коэффициентов ряда Тейлора функций из наконец, приведены результаты об интерполяции и двойственности весовых пространств Бесова в различных терминах. Именно, использованы различные формы скалярного произведения. Здесь мы не останавливаемся на этих вопросах.

Глава 2 посвящена описанию функций из весового пространства ВМОд(У2) на единичном бидиске V2 = В х В. Ясно, что все результаты немедленно обобщаются на многомерный случай полидиска Vя, так что случай бидиска рассматривается в контексте упрощения формулировок и доказательств.

Пространство ВМОд(У2), 1 < р < оо, — 1 < А < оо, определяется как совокупность измеримых на V2 функций, для которых полунорма

1И1#,ВМОР(У2) = 8иР 11<Р° <**(•) -геУ2 конечна. Здесь (г) = {Х1 + 1)(Х2 + 1)(1-\г1\2)Х1(1-\г2\2)хЧф) и (¿^(^-преобразование Березина функции (/?, связанное с весовым пространством Бергмана на бидиске, определяется следующим образом: р\(*)= [ о, ¿еУ2,

У1/2 где функция

А (1 -- ы')»-» ' (1 - г,т,)-'ь\.(1 - г2ш2)2+Л2 есть нормированное когерентное состояние в соответствующем весовом пространстве Бергмана на бидиске.

Выбор техники преобразования Березина для определения и описания пространств неслучаен. Преобразование Березина эффективно используется при изучении операторов в пространствах Бергмана. По - видимому, впервые символ Березина (ковариант-ный символ) с такой целью использовался в работах [47], [48]. Также преобразование Березина успешно применяется при исследовании пространств, начиная с пространств Харди (см., например, [83]) и включая пространства Бергмана-Сегала (см. [47]), и, но -существу, используется в контексте (аналитических) пространств Блоха и пространств с ограниченной средней осцилляцией (см., например, [91]).

Классы функций с ограниченной и исчезающей средней осцилляцией ВМО и VMO в гиперболической метрике Бергмана на единичном диске были введены и изучены в работе К. Zhu [91] и далее в работе D. Becolle, С. Berger, L. Coburn, К. Zhu [46] в случае ограниченных симметричных областей (упомянем также H. Li, D.H. Lueking [69]). Были исследованы также аналитические аналоги ВМОА, VMOA и ESV на единичном шаре в Сп. Эти исследования нашли приложение к задаче о связи между компактностью оператора Теплица с символом из ВМО и поведением преобразования Березина оператора Теплица при прр1ближении к границе диска (см. работы N.Zorboska [99], [100] и А.Н.Карапетянц [20], [21]). При этом в работах А.Н.Карапетянца вводились и изучались весовые пространства ВМОд(В) па единичном диске, обобщение которых на случай бидиска и представлено в настоящей диссертационной работе.

Отметим также, что в настоящее время имеется большое число работ по пространствам ВМО и их модификациям на полидиске (бидиске), см. например, Ferguson S., Sadosky С. [59] и Lacey M.,

Ferguson S. [68] и имеющиеся там ссылки. В этих работах приведена характеризация функций из пространства ВМО и некоторых обобщений этого пространства в терминах мер Карлесона и в терминах двойственности, и далее результаты применяются к задачам ограниченности теплицевых и ханкелевых операторов и их модификаций в пространствах Харди в полидиске. Упомянутые работы фактически не затрагивают тематику ха.рактеризации пространств в терминах гиперболической метрики, а также в терминах преобразования Березина. По-видимому, такое исследование может быть дальнейшим развитием данной тематики. Очевидно, что в случае полидиска возникает большое количество существенно различных модификаций ВМО - пространств.

В диссертационной работе приводится характеризация свойств функций из ВМОд(У2), в том числе доказывается липшицевость в метрике на V2 преобразования Березина функции из ВМОд(У2). Последний результат, например, является ключевым при исследовании свойств ограниченности и компактности операторов типа Теплица с символами из ВМОд(У2) в весовых пространствах Бергмана.

Одним из основных результатов второй главы диссертации является теорема 2.15, в которой приводятся эквивалентные описания условии принадлежности функции BMOj(V2) в терминах преобразования Березина и в терминах средних по бидискам D (z, w) = D{zi,W\) X D(Z2,W2).

Описание пространств с ограниченной средней осцилляцией в терминах преобразования Березина вполне естественно с точки зрения комплексного анализа. Однако, используется также альтернативный подход к описанию пространств с ограниченной средней осцилляцией - следуя традициям теории вещественного переменного, описание дается в терминах средних по гиперболическим дискам. Это описание дается в теореме 2.19, которая вытекает из ряда предшествующих результатов, представляющих самостоятельный интерес (например, лемма 2.20).

К вещественным пространствам ВМО, а точнее, к некоторым обобщениям этих пространств, мы обращаемся в третьей главе диссертации.

Пространства, определяемые условиями на среднюю осцилляцию функций, представляют важный объект исследования с точки зрения внутренних задач теории функций, таких как задача описания гладкостных свойств функций в терминах средней осцилляции, исследование интегральных операторов в гармоническом анализе в пространствах типа ВМО.

Классы функций, определяемые условиями на среднюю осцилляцию, изучались, например, в работах Э. Лапвоп [60], II. Бе Уоге, II. ЭЬагрку [55] и других авторов. В работах Р. Рзаева [32]-[34] исследовались многомерные сингулярные операторы в более общих пространствах ВМОК определяемых с помощью уело-вий на модуль гладкости к - го порядка, а также вопросы аппроксимации функций из этих пространств. Заметим, что в этих обозначениях упомянутые выше работы Э. ЛапБоп, К. БеУоге, Я. 8Ьагр1еу относятся к случаю к = 1, (р(6) = 5х, 1 ^ в ^ оо и к ^ 1, <р(5) = ¿)л, в — оо. В частности, если </?(£) = 1, то ВМОф ^ — ВМО+Р^ 1, где ВМО - класс всех локально интегрируемых функций, имеющих ограниченную среднюю осцилляцию и Рк - множество полиномов степени не выше к.

В главе 3 мы продолжаем исследование классов функций, определяемых условиями на среднюю осцилляцию, вида ВМп. Именно, изучаются классы функций ВМОР)Ш(М), ВМОРА,(М±),

ВМОРА,(а, Ь) с р— суммируемой с весом 1/а;р ограниченной средней осцилляцией. Здесь непрерывная неотрицательная функция со Фц-1 '•— {и \ 1 р почти убывает при Ь 6 (0, сю)}.

Рассматриваются вопросы продолжения и склеивания функций из пространств ВМОРА;(М±), приводятся необходимые условия принадлежности функций этим пространствам в терминах сходимости некоторого интеграла. В качестве приложения исследованы вопросы ограниченности операторов свертки и с однородными степени — 1 ядрами в пространствах ВМОРА,(М+) и ВМОР)и,(1&). Этот ряд вопросов для указанных пространств ранее не рассматривался.

Пусть I = (а, Ъ)~ интервал в М, |/| = Ъ — а - длина этого интервала. Для функции /, как обычно, положим = ЩI /Шу, Ш Л = щ /1 №) - Шх

I I и га/(г) = 8ир{П(/, /) : |/| < / С К}.

Пространство ВМОР)Ш(М), 1 ^ р < оо, состоит из функций, локально интегрируемых на М, для которых следующая полунорма конечна: I оо . \ р

11/||#,ВМОр,„(Ж)

1 о

I. ] р а\ < оо. (о.1)

Аналогично вводятся пространства ВМОРА,(М+), ВМОрл;(а, Ь).

Вначале приводятся некоторые оценки для локально интегрируемых функций, в том числе доказывается полнота пространства ВМОрДМ).

Один из основных результатов - характеризация функций из ВМОР;^(М+), продолжения которых на полуось х < 0 нулем, четным или нечетным образом принадлежит всему пространству ВМОР)а;(К). Этот результат состоит из теорем 3.17, 3.18, 3.19.

Далее рассматриваются вопросы склеивания функций из пространств ВМОр5а;(М±). Здесь используется аналог интегрального скачка, введенного Д.Сарасоном:

Т+£ Т вгМ) = \ / f(t)dt■ т т—е

Это выражение позволяет локально характеризовать пространства функций с ограниченной средней осцилляцией.

Таким образом, следующий ряд результатов - теоремы 3.26 и 3.27, в которых сформулированы и доказаны необходимые и в определенном смысле достаточные условия принадлежности ВМОТ) в терминах интегрального скачка в случае бесконечных и конечных интервалов.

Наконец, как уже было отмечено, в качестве приложения полученных результатов сформулированы и доказаны теоремы об ограниченности операторов Вольтерра и свертки в пространствах ВМОрДМ) и ВМОр>а;(М+).

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю, доктору физико-математических наук Алексею Николаевичу Карапетянцу за постановку задач, помощь и постоянное руководство при выполнении настоящей работы.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Диссертация выполнена в Южном федеральном университете на кафедре Дифференциальных и интегральных уравнений при поддержке грантов Российского фонда фундаментальных исследований: "Интегральные операторы с каноническими ядрами, сингулярные интегральные операторы на банаховых пространствах и порождаемые ими алгебры"(РФФИ 06-01-00297-а, исполнитель); и "Операторы типа потенциала с особенностями ядер или символов на многообразиях, аппроксимативные обратные операторы и функциональные пространства, связанные с такими операторами" (РФФИ 04-01-00862-а, исполнитель)

Отдельные части диссертации докладывались на 4-ой международной конференции "Аналитические методы анализа и дифференциальных уравнений" (АМАБЕ-2006, Минск, Белорусский госуниверситет, сентябрь 2006); па международной конференции "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы", посвященной памяти И.Г. Петровского (Москва, МГУ, май 2007); на международной конференции "Теория операторов. Комплексный анализ. Математическое моделирование"(Волгодонск, сентябрь 2007).

Результаты диссертации также неоднократно докладывались на семинарах кафедры дифференциальных и интегральных уравнений Южного федерального университета, на семинарах кафедры математики Ингушского государственного университета.

Содержание диссертации опубликовано в работах [101]-[111]. Профессору, д.ф.м.н. Н.К. Карапетянцу принадлежит постановка задач, решение которых составило третью главу диссертационной работы, а научному руководителю, д.ф.м.н. А.Н. Карапетянцу принадлежит постановка задач первой и второй главы диссертации и последующее руководство решением задач, составивших диссертационную работу. Автору диссертации принадлежит реализация рекомендаций и доказательства соответствующих результатов. Результаты совместных с А.Н. Карапетяицем рабой1 были обобщены и существенно дополнены соискателем в единоличной работе [110], и вошли в диссертацию именно в том виде, в котором они получены в указанной работе.

1. Бари Н.К., Стечкин С.Б. Наилучшие приближения и дифференциальные свойства двух сопряженных функций.Труды московского матем-го общества. -1956. -Т. 5. -С. 483-522.

2. Берколайко М.З. Оценки модулей непрерывности функций из пространств B^'q, H^ß и их приложения.// ДАН СССР.-1977. -Т. 233. № 5. -С. 761-764.

3. Гарнетт Дж. Ограниченные аналитические функции // М.:Мир. -1984. 470 с.

4. Гиль A.B. Интегральные операторы свёртки и с однородными ядрами в пространстве ВМО: Диссертация . кандидата физ.-матем. наук // Ростов-на-Дону. -2004.

5. Гиль A.B. Интегральное уравнение с однородным ядром в пространстве ВМО. //Сборник научных трудов: Модели и дискретные структуры. Элиста. -2002. -С. 152-163.

6. Гиль A.B., Карапетянц Н.К. Интегральный оператор с однородным степени —1 ядром в пространстве ВМО. // Сб. "Интегро-дифференциальные операторы и их приложения". Ростов-н/Д, Изд-во ДГТУ. -2001. Вып.5. -С. 59-77.

7. Гиль A.B. Операторы с однородным ядром в пространстве ВМОк( R+). // Материалы международного российскогоказахского симпозиума: Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики. Нальчик -Эльбрус. -2004. -С. 39-40.

8. Гиль A.B. Интегральное уравнение с однородным ядром в пространстве ВМО(0, оо). // Тезисы докладов X Международной конференции: "Математика. Экономика. Образование."II Международный симпозиум: Ряды Фурье и их приложения. Ростов-н/Д. -2002. -С. 67.

9. Гиль A.B. Интегральные операторы Винера-Хопфа и с суммарным ядром в пространстве ВМО. // Ростов-н/Д. Ростовский ун-т. Рукопись деп. в ВИНИТИ 09.02.2004. № 209-В2004, 35 с.

10. Гиль A.B., Карапетянц Н.К. Интегральный оператор с однородным ядром в пространстве функций с ограниченной средней осцилляцией. // Доклады РАН. -2004. -Т. 397. № 1. -С. 1-4.

11. Гиль A.B. Ограниченность оператора с суммарным ядром в пространствах ВМО, VMO и VMO на полуоси. // Труды аспирантов и соискателей РГУ. Ростов-н/Д, Изд. РГУ. -2003. -Т. 9. -С. 25-28.

12. Голубов Б.И. Об ограниченности операторов Харди и Харди-Литтлвуда в пространствах ReH1 и ВМО // Матем. сб. -1997. -Т. 188. № 7. -С. 93-106.

13. Гохберг И.Ц., Фельдман И.А. Уравнения в свёртках и проекционные методы их решения // М.: Наука. -1971. 352 с.

14. Гусейнов А.И.,Мухтаров Х.Ш. Введение в в теорию нелинейных сингулярных интегральных уравнений.// М.: Наука. -1980.

15. Дудучава Р.В. Интегральные уравнения свертки с разрывными предсимволами, сингулярные интегральные уравнения с неподвижными особенностями и их приложения к задачам механики // Труды Тбил. Мат. ин-та АН Груз. ССР. -1974. -Т. 60. 134 с.

16. Дыбин В.В., Карапетянц. Н.К. Об интегральных уравнениях типа свертки в классе обобщенных функций // Сибирский матем. журнал. -1966. Т. УП. № 3. -С. 531-545.

17. Дыбин В.Б., Джиргалова C.B. Оператор дискретной свёртки в пространстве {а, {3}р, 1 < р < оо // Изв. вузов. Северо-Кавказ. регион. Естеств. науки. Приложение. Математика и механика. Ростов-н/Д. -2003. № 9. -С. 3-16.

18. Карапетянц А.Н. Характеризация функций из весового пространства BMO^ÇD) на единичном диске // Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. Приложение. -2005. Ж 9. -С. 8-17.

19. Карапетянц А.Н. Описание весовых пространств ВМОд(Ю>) в терминах средней осцилляции в метрике Бергмана // Известия вузов.Северо-Кавказский регион. Естественные науки. -2006. №. 1. -С. 15-19.

20. Карапетянц Н.К., Самко С.Г. Уравнения с инволютивными операторами и их приложения // Ростов-н/Д. Изд-во РГУ. -1988. 188 с.

21. Карапетянц Н.К. О локальных свойствах решения уравнения Винера-Хопфа // Изв. Вузов. Математика. -1983. № 4. -С. 6167.

22. Кашин B.C., Саакян A.A. Ортогональные ряды // М.: Наука. -1984. 496 с.

23. Кузнецов Д.С. Специальные функции // Изд-во "Высшая школа", Москва. -1965.

24. Кусис П. Введение в теорию пространств Нр // М.: Мир. -1984. 364 с.

25. Михайлов Л.Г. Интегральные уравнения с ядром, однородным степени -1 // Душанбе: Дониш. -1966. 48 с.

26. Прссдорф 3. Некоторые классы сингулярных уравнений // М.: Мир. -1979. 494 с.

27. Рабинович B.C. Некоторые оценки для операторов, инвариантных относительно сдвига в пространствах с весом // Изв. Вузов. Математика. -1968. № 10. -С. 72-80.

28. Рабинович B.C. Многомерные операторы типа свертки в пространствах, интегрируемых с весом функций // Мат. заметки. -1974. -Т. 16. № 2. -С. 267-276.

29. Рабинович B.C. Многомерное уравнение Винера-Хопфа для конусов // Сб. "Теория функций, функциональный анализ и их приложения". -1968. Вып. 6. -С. 59-67.

30. Рзаев P.M. Многомерный сингулярный интегральный оператор в пространствах, определяемых условиями на среднюю осцилляцию функций. // ДАН СССР. -1990. -Т. 314. № 3. -С. 562-565.

31. Рзаев P.M. Интегральные операторы в пространствах, определяемых условиями на среднюю осцилляцию функций и некоторые приложения: Диссертация . доктора физ.- матем. наук // Баку. -1993.

32. Рзаев P.M. Многомерный сингулярный интегральный оператор в пространствах, определяемых условиями на среднюю осцилляцию к -го порядка. // Доклады РАН. -1997. -Т. 356. Я0 5. -С. 602-604.

33. Садовничий В.А. Теория операторов // Изд-во МГУ. -1980.

34. Самко С.Г., Килбас A.A., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения // Минск. Наука и техника. -1987.

35. Симонснко И.В., Чииь Нгок Минь. Локальный метод в теории одномерных сингулярных интегральных уравнений с кусочно-непрерывными коэффициентами. Нетеровость // Ростов-н/Д. Изд-во РГУ. -1986.

36. Солдатов А.П. Одномерные сингулярные операторы и краевые задачи теории функций // М.: Высшая школа. -1991. 208 с.

37. Шанкишвили Л. Д. Интегро-дифферепцирование комплексного порядка в гельдеровских классах: Диссертация . кандидата физ.- матем. наук // Ростов-на-Дону. -1999.

38. Arazy J., Fisher S. The uniqueness of the Dirichlet space among Mobius-invariant Hilbert spaces // Illinois J. Math.29. -1985. -P. 449-462.

39. Arazy J., Fisher S. Mobius-invariant spaces of holomorfic functions in bounded symmetric domains // Operator theory, Advances and Applications. -1990. -V. 48. -P. 67-91.

40. Arazy J. Realization of the invariant inner products on highest guoticnts of the composition series // Arkiv Mat. 30. -1992. -P. 1-24.

41. Arazy J., Fisher S., Janson S., Peetre J. An identity for reprodusing kernels in a planar domain an Gilbert-Schmidt Hankel operators // -1988.

42. Becolle D., Berger C.A., Coburn L.A., Zhu K. BMO in Bergman metric on bounded symmetric domains //J. Funct. Anal. -1990. -V. 93. -P. 310-350.

43. Berger C.A., Coburn L.A. Toeplitz operators and quantum mechanics // J. Funct. Anal. 1986. - T. 68. - C. 273 - 299.

44. Berger C.A., Coburn L.A. Toeplitz operators of the Seagal-Bargmann space // Trans. Amer. Math. Soc. 1987. - T. 301. - C. 813 - 829.

45. F.A. Berezin. Wick and anti-Wick symbols of operators // Math. USSR Sbornik. -1971. -V. 84. -R 578-610.

46. F.A. Berezin. Covariant and contravariant symbols of operators // Math. USSR Sbornik. -1972. -V. 6. -R 1117-1151.

47. F.A. Berezin. Quantization // Math. USSR Izvestija. -1974. -V. 8. -R 1109-1165.

48. F.A. Berezin, M.A. Shubin The Schroedinger equation // Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, Boston. -1991.

49. Bottcher A., Silberman B. Analysis of Toeplitz Operators.// New-York, Berlin: Springer Verlag. -1990.

50. Brown L., Shields A. Cyclic vectors in the Dirichlet space // Trans. Amer. Math. Soc. -1988. -V. 285. -P. 269-304.

51. De Vore R.A., Sharpley R.C. Maximal functions measuring smoothness // Memoirs. AMS. -1984. -V. 47. № 293. 115 p.

52. Fefferman C., Stein E.M. Characterization of bounded mean oscillation // Bull. Amer. Math. Soc. 1971. - T. 77. - C. 587 -588.

53. Fefferman C., Stein E.M. Hp spaces of several variables // Acta Math. 1972. - T. 129. - C. 137 - 193.

54. Frazier M., Javerth B. Decomposition of Besov spaces // Indiana Univ. Math. J. -1985. -V. 34. -P. 777-799.

55. Ferguson S., Sadosky C. Characterization of bounded mean oscillation on the polydisc in terms of Hankel operators and Carleson measures // J. D'Analyse Math. 2000. - V. 81. -P. 239 - 267.

56. Janson S. On function with conditions on the mean oscillation // Ark. Math. -1976. -V. 14. -P. 1189-196.

57. Iledenmalm H., Korenblum B., Zhu K. Theory of Bergman spaces // New York: Springer-Verlag, 2000.

58. Karapetiants N.K., Samko S.G. Equations with involutive operators and their applications / / Boston-Basel-Berlin: Birkhauser. -2001. 427 p.

59. Karapetiants N.K., Samko N. Weighted theorems on fractional integrals in the generalized Holder spaces via indices and Mw // Fract. Calc. Appl. Anal. -2004. -V. 7. № 4. -P. 437-458.

60. Kerman R., Sawyer R. Carleson measures and multipliers of Dirichlet-type space // Trans. Amer. Math. Soc. -1988. -V. 309. -P. 87-98.

61. Krantz S. Function theory of several complex variables. John Wiley ©Sons, 1982.

62. Krantz G., Li Song-Ying. Boundedness and Compactness of Integral Operators on Spaces of Homogeneous Type and Applications. I. // Journal of Mathematical Analysis and Applications. -2001. -V. 258. -P. 629-641.

63. Krantz G., Li Song-Ying. Boundedness and Compactness of Integral Operators on Spaces of Homogeneous Type and Applications IT. // Journal of Mathematical Analysis and Applications. -2001. -V. 258. -P. 642-657.

64. Lacey M., Ferguson S. A characterization of product BMO by commutators // Acta Mathematica 2002. - V. 189. № 2. - P. 143 - 160.

65. Li H., Lueking D. H. BMO on strongly pseudoconvex domains: Hankel operators, duality and d estimates // Trans. Amer. Math. Soc. - 1994. - V. 346. № 2. - P. 661 - 691.

66. Peetre J. Invariant function spaces connected with the holomorfic discrete series // Anniversary on Approximation Theory and Functional Analysis (Proceedings, Oberwolfach 1983), Intermat. Ser. Numer. Math.65. -1984. -P. 119-134.

67. Peetre J. Invariant function spaces and Hankel operators a rapid survey // Exposition Math.5. -1986. -P. 3-16.

68. Peetre J. New Thoughts on Besov spaces // Duke Univ. Math. Series 1. Durham. -1976.

69. Poller V. Hankel operators of class Cp and their applications (rational approximation, Gaussian processes, the problem of majarizing operators) // Math. USSR-Sbornik 41. -1982. -P. 443479.

70. Rochberg R. Decomposition theorems for Bergman spaces and their applications // Operators and Function Theory (S. C. Power, editor), D. Reidel. -1985. -P. 225-277.

71. Rochberg R., Semmes S. A decomposition theorem for functions in BMO^(V2) and applications //J. Funct. Anal. -1986. -V. 67. -P. 228-263.

72. Samko N. Singular integral operators in weighted spaces with generalized Holder condition // Proc. Razmadze Math. Inst. -1999. -V. 120. -P. 107-134.

73. Samko N. On compactness of integral operators with a generalized weak singularity in weighted spaces of continuous functions witha given continuity modulus // Proc. Razmadze Math. Inst. -2004. -V. 136. -P. 91-113.

74. Samko N. On non-equilibrated almost, monotonic functions of the Zygmund-Bari-Stechkin class // Real Analysis Exchange. -2005. -V. 30. № 2. -P. 727-746.

75. Sarason D. Toeplitz operators with precewise quasicontinuous symbols.// Indiana Univ. Math. J. -1977. -V. 28. № 5. P. 817-838.

76. Shapiro J., Random A. Dirichlet functions are multipliers. -1988.

77. Shapiro H., Shields A. On the zeros of functions with finite Dirichlet integral and some related function spaces // Math. Z. -1962. -V. 80. -P. 217-229.

78. D. Stegenga Multipliers of the Dirichlet space, III // J. Math. -1980. -V. 24. -P. 113-139.

79. Stroethoff K. Algebraic properties of Toeplitz operators on the Hardy space via the Berezin transform // Contemp. Math. 232, AMS. Providence, RI. - 1999.

80. G. Taylor Multipliers on Da // Trans. Amer. Math. Soc. -1966. -V. 123. -P. 229-240.

81. Torchincky A. Real-Variable Methods in Harmonic Analysis // Academic Press, Inc., -1986. -V. 123. -P. 468.

82. Qinsheng L., Pick L. The Hardy operator, Lqo, and BMO. //J. London Math. 1993. Soc. II. Ser. -48. -P. 167-177.

83. Qinsheng L., Pick L. The Hardy operator and the gap between Loo and BMO. //J. London Math. Soc. 1998. II. Ser. -57. -P. 196-208.

84. Yacubov A.Y. Fractional type integration operators in weighted generalized Holder spaces // Fract. Calc. Appl. Anal. -2002. -V. 5(3). -P. 275-294.

85. Xiao J. Holomorfic Q Classes // Lecture Notes in Math.1767. Springer-Verlag, Berlin. -2001.

86. Xiao J. Geometric Q Classes // Frontiers in Math. Birchauser-Verlag. -2006.

87. Zhu K. VMO, ESV, and Toeplitz operators on the Bergman space // Trans. Amer. Math. -1987. -V. 302. -P. 617-646.

88. Zhu K. Operator theory in function spaces. // Monografs and textbooks in pure and applied mathematics. New York: Marcel Dekker. -1990.

89. Zhu K. Mobius invariant Hilbert spaces of holomorfic functions on the unit ball of Cn // Trans. Amer. Soc.323. -1991. -P. 823-842.

90. Zhu K. Analytic Besov spaces // Journal of Mathematical Analysis and Applications. -1991. -V. 157. -P. 318-336.

91. Zhu K. Holomorphic Besov spaces on bounded symmetric domains // Quarterly J. Math. Oxford (2). -1995. -V. 46. -P. 239256.

92. Zhu K. Holomorphic Besov spaces on bounded symmetric domains, II // Indiana University Mathematics Journal. -1995. -V. 44. № 4. -P. 1017-1031.

93. Zhu K. Spaces of holomorphic functions in the unit ball // Graduate texts in Mathematics. Springer, 2004.

94. Zhu К. Operator theory in function spaces // American Mathematical Society. -2007. -V. 138.

95. Zorboska N., Toeplits operators with BMO symbols and the Berezin transform //IJMMS. -2003. -V. 46. -P. 2929-2945.

96. Zorboska N. The Beresin transform and radial operators // Proc. Amer. Math. Soc. 2003. - V. 131. № 3. - P. 793 - 800.

97. Karapetyants A.N., Kodzoeva F.D. Analytic weighted Besov spaces on the unit ball // Proc. A. Ra,zmadze Math. Inst. -2005. -V. 139. -P. 125-127.

98. Кодзоева Ф.Д. Характеризация функций из аналитического пространства Бесова -Bi(ID) на единичном диске в терминах весового проектора Бергмана // Научный вестник Ингушского госуниверситета. Магас. -2005. №.1-2. -С. 130-134.

99. Карапетянц А.Н., Кодзоева Ф.Д. Характеризация функций из весового аналитического пространства Бесова на единичном диске //В сб.: Комплексный анализ. Теория операторов. Математическое моделирование. Владикавказ. Изд-во ВИЦ РАН. -2006. -Т. 1. -С. 48-62.

100. Karapetyants A.N., Kodzoeva F.D. Analytic weighted Besov spaces on the unit disc and polydisc // Тезисы докладов 4-ой международной конференции "Аналитические методы анализа и дифференциальных уравнений". Минск. -2006. -С. 61.

101. Кодзоева Ф.Д. Характеризация функций из BMO\(V2) в терминах преобразования Березина // Труды 4-ой международной конференции "Аналитические методы анализа и дифференциальных уравнений". Минск. -2006. -Т. 2. -С. 84-88.

102. Кодзосва Ф.Д. Характеризация функций из ВМО\(у2) в терминах преобразования Березина // Тезисы докладов международной конференции: "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы". МГУ. Москва. -2007. -С. 144.

103. Кодзоева Ф.Д. Описание весового пространства ВМО^(У2) // Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. -2008. № 3. -С. 3-11.

104. Кодзоева Ф.Д. Характеризация функций из ВМО^(У2) в терминах средних по гиберболическим дискам // Известия вузов.Северо-Кавказский регион. Естественные науки. -2008. Ж4. -С. 8-15.

105. Кодзоева Ф.Д. Двойственность и интерполяция весовых аналитических пространств Бесова на единичном диске // В сб.: Комплексный анализ. Теория операторов. Математическое моделирование. Владикавказ. Изд-во ВИЦ РАН. -2008. -Т. 1. -С.

106. Кодзоева Ф.Д. Описание аналитических пространств Бесова в терминах радиальных операторов дифференцирования дробного порядка // Известия вузов. Математика. Изд-во Казанского Гос. Университета. -2008. № 10. -С. 1-4.

107. Кодзоева Ф.Д. Пространство BMOP;U,(®L) и оценки средних значений // Ростов-на-Дону. Южный Федеральный Университет. Рукопись деп. в ВИНИТИ 29.05.2008. № 474-В2008. 42 с.131.136.