Интегральные операторы свертки и с однородными ядрами в пространстве ВМО тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Направахрукописи

Гиль Алексей Викторович

ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ СВЁРТКИ И С ОДНОРОДНЫМИ ЯДРАМИ В ПРОСТРАНСТВЕ ВМО

01.01.01. - математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученной степени кандидата физико-математических наук

Ростов-на-Дону 2004

Работа выполнена на кафедре дифференциальных и интегральных уравнений Ростовского государственного университета.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Карапетянц Николай Карапетович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Пуляев Василий Фёдорович

кандидат физико-математических наук, профессор Ерусалимский Яков Михайлович

Ведущая организация: Новгородский государственный

университет

Защита состоится У ^^АСР^_ 2004 г. в 16.50 на заседании

диссертационного совета К 212.208.06 при Ростовском государственном университете по адресу: 344090, г. Ростов-на-Дону, ул. Зорге 5, механико-математический факультет, ауд. 239.

С диссертацией можно ознакомится в научной библиотеке РГУ по адресу: г. Ростов-на-Дону, ул. Пушкинская 148.

Автореферат разослан УОАБМ 2004 г.

Учёный секретарь

диссертационного совета К 212.208.06, кандидат физико-математических наук,

Кряквин В.Д.

2от

дт-Н

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В диссертации рассматриваются операторы свёртки, Винера-Хопфа и с однородными ядрами степени -1 ядрами в пространстве

порядка. Такие операторы имеют многочисленные приложения и хорошо изучены в пространствах суммируемых или гладких функций в монографиях Ф.Д. Гахова и Ю.И. Черского, И.Ц. Гохберга и И.А. Фельдмана, 3. Пресдорфа (уравнения свёртки), и Л.Г. Михайлова, А.П. Солдатова, Н.К. Карапетянца и С.Г. Самко, И.Б.Симоненко и Нгок Чинь Минь, Р.В. Ду-дучавы (уравнения с однородными ядрами степени -1), и др. В одномерной теории в пространствах Ьр, 1 < р < оо эти классы операторов тесно связаны между собой, а также с сингулярными интегральными операторами (с помощью преобразования Фурье- в случае сверток и преобразования Меллина- в случае операторов с однородными степени -1 ядрами). Эти связи позволяют формулировать в терминах символа и его индекса основные свойства операторов, связанные с описанием их спектральных и фредгольмовских свойств. Пространства ВМО уже давно возникли в различных вопросах, связанных с интегральными операторами. Именно в их терминах, например, описывается образ дробных интегралов и потенциалов Рисса в так называемом предельном случае теоремы Соболева, когда а = пр. В терминах принадлежности к ВМО описываются классы функций, для которых коммутатор с сингулярным интегральным оператором оказывается компактен и др. Пространства ВМО высших порядков оказываются тесно связанными с пространствами типа Бесова. Различные аспекты, связана с ВМО пространствами нашли отражение в монографиях А. ТогсЫпску, Дж. Гарнетт, Б.С. Кашин и А.А. Саакян, П. Кусис и др., а с .ВМОк, к € N в монографии Я.А. Бе Уоге и Я. С. 8Ьагр1еу и докторской

функций с ограниченной средней осцилляцией

диссертации Р.М. Рзаева.

Заметим, что специальный интегральный оператор с однородным степени -1 ядром, а именно, оператор Харди - Литтлвуда вида ( В})(х) = х !о х >0, играющий важную роль в различных вопросах ана-

лиза был рассмотрен в работе Б.И. Голубова, где была показана его ограниченность в простанстве и в то же время там же было отмечено, что сопряженный к нему оператор уже действует не в ВМО, а в пространстве Re ^.

Основными объектами, рассматриваемыми в диссертации являются интегральные операторы свертки

(Я/)(х) = ^ Цх - 0Я0Л. х € в.", О)

Винера - Хопфг

и с однородным степени -1 ядром

КЦх) = £к(х,у)М<1у, хе(а,Ь). (3)

Для последнего оператора интересны случаи, когда сингулярная точка х — О лежит на границе (случаи отрезка [0,1] или полуоси), либо является внутренней точкой ( случаи отрезка [-1,1] или оси).

В диссертации эти операторы рассматриваются в пространстве ВМО, специфические внутренние свойства которых требуют иного подхода, отличного от случая Ьр -пространств, даже в вопросах огран иченности, и приводятся результаты об ограниченности, фредгольмовости и обратимости.

Интересно отметить, что при переходе к пространству , условия

ограниченности зависят от порядка к, а условия фредгольмовости для сверток -те же, что и при к — 0. При изучении фредгольмовости возникает необходимость-в иепользовании весовых свёрточных колец, с весом имеющим разнсе поведение на . Операторы свертки в весовых классах

суммируемых функций рассматривались, например, в работах Ф.Д. Гахо-ва и Ю.И. Черского, В.Б. Дыбина, С.Б. Джиргаловой и Н.К. Карапетянца, B.C. Рабиновича, С.Г. Самко и др.

При рассмотрении интегральных операторов, как свертки, так и с однородными степени -1 ядрами оказалось, что важную роль играют оценки средних значений функций по интервалам в зависимости от самого интервала и его длины. При этом принципиальными моментами, отличными от случая хорошо известных пространств 1 < р < 150, являются два.

Во первых, для операторов с свертки и с однородными степени -1 ядрами хорошо оценивается полунорма || • ||*, но одного этого недостаточно и появление дополнительных условий, кроме традиционных условий суммируемости ядра, связано с оценкой "всей" нормы. Во вторых, здесь мы не можем использовать традиционные связи с операторами свёртки на оси (или Винера-Хс'пфа на полуоси) ввиду несохранения классов ВМО при экспоненциальных заменах, связывающих подобные операторы. В диссертации приводятся достаточные условия ограниченности интегральных операторов К с однородными степени -1 ядрами в пространствах функций с ограниченной средней осцилляцией на полуоси, на отрезке и на оси. Эти условчя оказываются существенно различны для конечного и бесконечного отрезка и, кроме того, зависят от того будет ли особая точка х = 0 граничной или внутренней. В последнем случае дополнительная сложность связана ещё с тем, что обычный приём 2x2 матричного растяжения и перехода к системе уравнений на полуоси не обязан сохранять классы ВМО. Строится подходящее множество символов, что позволяет изучать обратимость и фредгольмовость Для пространств

переход к случаю к > 0 приводит к ряду новых эффектов, что в наибольшей степени проявляется для казалось бы "более простого" интегрального оператора по пслуоси, условия разрешимости которого оказываются зависящими от порядка к. Кроме того, в диссертации изучаются некоторые

внутренние свойства пространств ВМС.

Цели и задачи исследования. Целью диссертации является изучение операторов свёртки, Винера-Хопфа, с суммарными ядрами и с однородными степени -1 в пространстве В МО. Для достижения этой цели были поставлены следующие задачи: найти достаточные условия: для ограниче-ности рассматриваемых операторов; построить кольцо по этим условиям; найти условия на символы этих операторов, при которых они обратимы и фредгольмовы.

Методы исследования. В диссертационном исследовании используются методы функционального анализа и техника оценок средних значений локально интегрируемых функций.

Научная новизна. Перечислим новые результаты, полученные в диссертации.

1. Найдены условия ограниченности интегральных операторов свертки и Винера-Хопфа п пространтсве ВМО.

2. Найдены условия ограниченности интегральных операторов с однородными степени -1 с граничной и внутренней сингулярной точкой в в про-странтсве ВМО.

3. Выяснена зависимость от порядка к условий обратимости операторов с однородными ядрами в пространстве ВМО и связь с площадными задачами в теории аналитических функций.

4. Описаны условия продолжимости функций из ВМО (Л^.) на ось нулем, четным, нечетным образом.

5. Введено понягие интегрального скачка для описания локальных свойств функций из ВМО.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут найти применение при исследовании разрешимости многомерных аналогов рассмотренных операторов. Частично они используются при чтении спецкурса.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на Международной конференции "Аналитические методы анализа и дифференциальных уравнений' института математики НАН Беларуси в городе Минск в 2001 г., на Международном Российско-Узбекском симпозиуме "Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики" в городе Нальчике в 2003 г., на Международной конференции "Аналитические методы анализа и дифференциальных уравнений" института математики НАН Беларуси в городе Минск в 2003 г., на Международном Российско-Казахском симгозиуме "Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики" в городе Нальчике в 2004- г. и неоднократно на семинаре "Линейные операторы и функциональные пространства" кафедры дифференциальных и интегральных уравнений РГУ под руководством профессора Н.К. Карапетянца.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в статьях [1-11], список которых приводится в конце автореферата. Результаты работ [1], [3], [9], [11] получены совместно с Н.К. Карапетянцем, в которых научному руководителю принадлежит постановка задачи, определение общей схемы построения весовых колец с разным поведением веса на полуосях, а также идея оценки средних от функций из ВМО по шарам, а автору - реализация этих рекомендаций и проведение детальных доказательств.

Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения, трёх глав, разбитых на 14 параграфов, и списка литературы, содержащего 53 наименований. Объём работы 148 страниц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В §1 даны определения основных рассматриваемых пространств. Обозначим через R1 • одномерное евклидово пространство; I = [а, Ь] - отрезок в В,1; |/| ~ Ь — а - длина этого отрезка. Е с/ л и*, то пусть обозначает среднее значение на отрезке =

|/ — Пусть -ортонормированная на [-1,1] система, полученная

из системы функций {х"}, v е Z+ с помощью скалярного произведения (f,g) = \ f!, f(t)g(t)dt. Обозначим для к 6 Zf

ВД, (а,= р) -

iff, (4)

ww - ло* . m

Определение 1. Пространство В МО1"' состоит из функций / € ¿'^(R1), d/w ксторых ||/||»,fc < оо, где

ll/lk* - sup ВД, M)) = sup j- Л/(у) - A.M>/(y)|dy. (6)

Заметим, чтс \\f\\,,k определяет полунорму, поскольку ||/||»,* = 0 для любого полинома fc-ой степени. Чтобы определить норму полагаем ll/IUow) = 11/11*,* + /-, \(Pk,{-u)f)(y)\dy.

Определе ние 2. Пространство VMOk (VMOk) состоит из функций, принадлехсагщх BMOk (VMOk), для которых lim sup Га, Ь)) = 0 ( lim sup ük(f, (а, Ь)) -+ 0).

Отметим, что аналогично определяются пространства на отрезке или полуоси (а также в многомерном случае). При к = 0 полагаем В МО0 = ВМО и ||/||,Д) = ||/||4. Пространства ВМОк,к G N, и ВМО могут отличаться по внутренним свойствам, что приводит к необходимости иногда рассматривать :>ти случаи раздельно. Так отметим, что функции f(x) и |/(i)| одновременно принадлежат к пространства ВМО, в то время как это вообще говоря не так в случае пространства ВМОк, к 6 N. Например, функция (i| не принадлежит к BMOl(Rl).

В §2 рассмотрены вопросы продолжимости функций нулем, четным, нечетным образом. Причем, в случае к = 0 продолжимость нулем или нечетным образом связана с конечностью некоторой величины sup | Jfl£ \f(t)\dt

:>0

в то время как четное продолжение существуег всегда.

По аналогии с понятием интегрального скачка, введенного Сарасоном при А: = 0, определим скачок 7£е(/) для функции f£BMOk, положив

7Uf) = (/ " А,(г-,г+£)/) , 7г°,е(/) = ЪАЛ = Лг.т) ~ f(r~e,r),

где г € R1 и г > 0 - произвольно. Он позволяет локально характеризовать функции из ВМОк.

Лемма I. Ест feBM&iR1) (feVMOk(R})), то для любого

т е R1 необходимо будет supЬт£(/)| < 00 (limjkJf) - 0).

£>0 ' Ve-.o • /

Отметим, что в точках Лебега функции f(x) вместо характеристики 7г,е(/) можно использовать 7^(7).

В §3, играюгдем центральную роль для дальнейшего, изучается характер поведения средних |//| в случае пространства ВМО и более общих средних вида щ Jj \Pkjf(t)\dt в случае ВМОк, к € N в зависимости от интервала I = (а, Ь) и его длины (ср. Krantz G., Li Song-Ying для |/| < 1).

Лемма 2. Пусть функция f(x) е ВМО{R1) и I = (а,Ь) • интервал в R1. Тогда

\М<с\\Пвмо, где c = 16+^e + 4]0g2(2 + |a|). (7)

Имеет место и многомерный аналог этого утверждения. Основной результат параграфа приведём в случае пространства BMOk(Rl).

Лемма 3. Пусть f(x) 6 BMOk(R1) и I = (a,b) -интервал в R1. Тогда справедливо

jJ\Pk,ii{x)\dx<c\\i\\BM04 (8)

с = c(a,b,k) — 2(7(&)(2 + |a|)*Iog(2 + |a|) + С(&)(2- log^/l) если J/| < I, с = c(a, b, k) = '.lC(k)(2+\a\)k log(2+|a|)+(7(A:)|/|t(2+3og21/|) если |/| > 1.

Эти оценки выводятся из сравнения величин Рщ и Рк з при различных предположения* относитеьно интервалов. Заметим еще, что оценки средних по вложенным шарам позволяют дать простые необходимые условия принадлежности простанству ВМОк(К1). Сперва сформулируем теорему для к = 0 (ср. Дж. Гарнетг, при р = 2, п = 1).

Теорема 1. Пусть }(х) е ВМО{Кп). Тогда необходимо

для любого е > 0 и 1 < р < сю.

В случае п = ], к > 1 приведём несколько более тонкий вариант необходимого условия.

Теорема 2. Пусть }(х) € ВМОк(К1). Тогда необходимо

для любого £ >0 и I <р<оо.

Непосредственно отсюда можно сделать вывод о не принадлежности к пространству ЕМО некоторых функций. Так функции |л |'5 и 11п ^Ц^' не принадлежат к пространству ВМО{Еп) при любом <5 > 0.

В §4 рассмотрены различные дополнительные свойства функций из ВМО.

Теорема 3. Пусть функция /(г) является непрерывной строго монотонной и принадлежит ВМО{Л1+). Тогда функция /(¡д:|)бБМО(Еп).

Пример 1. 1п|х|еЯМО(11п), а 1п(1 + |х|)б^Л/0(а").

Рассмотрим вопрос о поведении функции вида |/(:г)|р.,р > 0. Известно следующее утв«рждение (А. ТогсЫпску для ВМО, А. I. Каг1оуюЬ, Уи.1. КагЬукЬ для V МО).

Лемма 4. Если f(x) € ВМО( Rn) (KMO(Rn)), тогда функция g(x) = |/(х)|* е ВМО{Rn) (VMO{Rn)), О < 5 < 1.

Пример 2. Если f(x) = |ln|z||°, то f(x) е ВМО при О < а < 1, но f{x) i VMO.

При "больших" р принадлежность степени |/(а:)|р к ЕМ О связывается с выполнением дополнительного условия.

Лемма 5. Если f(x)eBMO(R1), 1 = (a,b) и выполнено условие

sup (ln(2 + |a!) + |ln|/||r]m/(/)<oc1 р> 1, (11) |/|>0. asR1

то \/(х)\реВМО(В}).

Оказывается, что похожее условие возникает, если рассмотреть мультипликаторы в ВМО. Обозначим предварительно

Z¡(g) = (1й(2 + (а|) +1 In \I\\)mi(g) (12)

Лемма 6. Пусть f(x)eBMO(R1) {VMOiK1), VMO(R1)), ff(x)eLoo(Rl) и, кроме того,

sup Z¡(g) < оо; (lim sup Z¡(g) - 0; lim sup Z¡(g) = 0. I |/|>0, 06R1 \s-° |/|<f, oeR1 aeR1 /

Тогда g[x)f(x) 6 ВМО(R1) (VMO(R1), VMOÍR1), соответственно).

Имеет место также многомерный аналог леммы 6 с заменой Z/(g) на Дв(а,г)(Л ~ (ln(2+ |a|) +1 \nr\)mB(arf(f). Завершим наши рассуждения в виде теоремы, в которой приведены простые достаточные условия выполнения условия ¡sup Zj{g) < оо. |/¡>0

Теорема 4. Пусть /(x)eßMO(R1) {VMO{R1), VMOfR1)), а g(x)eH\Rl), 0 < А < 1. Тогда g(x)f(x) 6 ВМО(R1) (VMO(R1), VMO (R1), соответственно).

Наконец, подобные же условия с функцией вида (12) возникают если выяснить, когда д(х) = f\(xi)-...-fn(xn) € ВМО(R"), х = (xj,... ,х„), если известно, «гго fj(t) е ВМО(R1), j = 1,... ,п.

В §5 рассмапривается оператор свёртки Я в пространстве ВМО, изучается его ограниченность и обратимость. Пусть Л(£) обозначает преобразование Фурье функции h(x).

Теорема 5 Пусть А = XI+H и функция h(x) удовлетворяет условию |/i(2/)|21og2;2 + |2/|)eL](Rn). Если А+М£) ф О, £ £ R1, то оператор А обратим в пространстве ВМО{Rn) {VMO(R"), VMO(Rn)).

В §6 рассматриваются операторы Винера - Хопфа и с суммарным ядром в пространстве ВМО. Оказывается, что в отличии от пространств 1 < р < ос, лаже ограниченность таких вольтерровских операторов в ВМО(К\) опи:ь[вается разными условиями. Пусть Н - оператор Винера - Хопфа вида (i) и обозначим при х > О

(Я+/)(г)= Г h(x - y)f(y)dy\ (Я_/)(х) = Г h(x-y)f(y)dy. (13) .'О Jx

Оператор Я_ нроше и его условия сходны с условиями из теоремы 5 для

оператора свёртки на R1. Именно, оператор Я_ ограничен в пространстве

ВМО(Ri) (VM0(Rj.), VMO(Rj.)),если |/i(y)|log2(2-2/)ei,(RL).Пе-

рейдём теперь к оператору Я+.

Лемма 7. Пусть (1 + t)sh(t) 6 £i(R+) для какого либо 5 > 0 и выполнено условие

D= sup |ln(6 - a)| f \h{y)\dy < oo. (14)

b-a<t Ja

Тогда оператор H+ ограничен в пространстве BMO(R\).

Достаточныу условием справедливости (14) является условие h{t) G L„(R*) с некоторым и > 1. Что касается пространства VMO(R+), то

для ограничен» эсти Я+ следует дополнительно к условиям леммы 7 требовать, чтобы lim | In(6 - а)| Ji\h(y)\dy = 0.

Объединяя условия ограниченности операторов Я±, получаем условия ограниченности для оператора Винера-Хопфа Н — Н^+Н- в BMO(R\).

Для операторов Я±, используя условия их ограниченности, можно построить кольца символов, в которых справедливы теоремы Винера и Винера-Леви. Наконец, путем объединения колец для операторов Н± получаем кольцо ¿1, состоящее из ядер h{i) таких, что:

/i(f) log2(2 - <) £ L](Ri); Л(*)(1-И)'б1,(&1); (15) h(t) € LV(R\), v>\. (16)

Теорема 6. Пусть h(t) удовлетворяет условиям (15), (16) и пусть А + Л(£) ф 0, £ е R1 и х = -ind (А +■ h(£)). Тогда при х > 0 оператор АI+H обратим справа, а при я < 0 - слева. При к > 0 оператор АI+H имеет ровно х линейно независимых нулей в BMO{R\).

Ясно, чго с небольшими изменениями, касающимися ограниченности операторов Я, Я± в VMO(R+), можно рассмотреть и вопрос об обратимости (односгоронней обратимости) операторов XI + Н, АI + Н± в пространстве VMO(R\).

В §6 рассмотрен также оператор с суммарным ядром (H+f)(x) = /0°° h(x + y)f{y':dy, х > 0 и получено условие его ограниченности.

Лемма 8. Пусть h(y)\og2{2 + y) 6 ¿i(R+) и выполнено условие (14), тогда оператор Н+ ограничен в пространстве ВМО(К\). Если еще

lim sup |ln(6-a ¿-Оь-а <s

тогда оператор Н+ ограничен в пространстве VMO(R*).

Лемма 9. Пусть (1 + t)"h(t) G Li(R|) при каком-либо (любом малом) v > 0 и выполнено условие (17). Тогда оператор Н+ ограничен в 1 . t »

пространстве VMO(R+).

)\ \h(y)\dy = О, ■ ' (17) Ja

В §7, §8 мы рассматриваем в пространстве ВМОк операторы свёртки и Винера-Хопфа и выясняем, что их ограниченность зависит от А;, в то время как характер разрешимости такой же, как и в случае к = 0. Проиллюстрируем что на примере оператора Винера-Хопфа.

Лемма 10. Пусть выполнены условия И^^-у^Ьк^-у) £ Ь\(К1), (¡4) и (1 -r■t)a*^kh(t) € ¿1(11+) для какого либо 5 > 0. Тогда оператор Винера-Хопфа Н = Н+ + #_ ограничен в пространстве ВМОк{К\).

Отметим, что если рассматривать раздельно операторы Н±, то первое из условий леммы гарантирует ограниченность для Я_, в то время как два других возникают при рассмотрении #+. Изменения в кольце ядер по сравнению с §6 будут следующие: условия (15) заменяются на

Л(<)(2 - *)'Ъ82(2 -*) е ^х(НЬ), А(<)(1 -И),+* 6 Ш1), (18)

а условие (16) остается без изменения.

Всюду в третьей главе считаем, что ядро к(х, £) удовлетворяет условию однородности степени -1, то есть к(Хх, Аг) = \~}к(х, <) для любого А > 0.

В §9 рассматривается ограниченность операторов с однородными ядрами в ВМО{К\) и УМО(К1+).

Теорема 7. Если ядро к{х,{) оператора К однородно степени -1 и удовлетворяет условию

J/■+X)

' |*(М)|(1 + |Ы|)Л<оо. (19)

о

то оператор К ограничен в ВМО(ТИ\) ( в У'Л/С^Я*)). При этом если ядро к(х,{) неотрицательно, то условие (19) является необходимым.

ОпределениеЗ. Под символом оператора К будем понимать аК(х) = к(1.у)у'г({у = Мк(гх + 1), где Мк(гх + 1) - преобразование Мемина функции к(1.у) вида = к(1,у)у'~]с!у.

Теорема 8 Пусть N — XI + К, причем к(х,у) однородно степени -¡.удовлетворяетусловию (19) и о.\(х) — А+Лй(гх4-1) ^ 0, при х € R1. Тогда оператор N обратим в пространстве BMO(R\) ( в VMO(R+)}.

В §10 рассматривается интегральный оператор с однородным ядром в пространстве ВМО(R1). Пусть К оператор вида (3) по оси: (а, 6) = R1, причём ядро к(х,у) удовлетворяет условию симметрии

к(х,у) = к(-х,-у), (20)

и следующим вгсовым условиям суммируемости

roo

/ |*(±l,y)|(l + |Iny|)dt/<oo. (21)

Jo

Отметим, что условие симметрии (20) необходимо по существу.

Пример 3. Оператор (Kf)(x) = jij^^i f{y)dy, х € R1, не действует в BMO(Rl).

Теорема 9. Пусть к{х, у) однородна степени-1, удовлетворяет условию симметрии (20) и условию суммируемости (21). Тогда оператор К ограничен в ВМО{R1) {VMO(R1), VMO(Rx)).

Если f[x) £ ВМО(R1), то через /±(х) обозначим сужение f(x) на Ri, соответственно, так что f+(x) - f(x), х > 0 и /_(х) = f(x), х < 0. Mepei ¿MÍ02(R*) обозначим пространство двумерных векторов g = (pi.(?2), где ghg2eBMO{R\). Для f(x)eBMO{R1) обозначим через Rf оператоэ векторного растяжения (Я/)(х) = д{х) = (/+(х),/_(х)). Обозначим теперь через R~xg оператор, действующий по правилу

= (22) (^(-z), х < 0.

При этом переходе будет f±(x)eBMO{R±), однако /(х) не обязана быть из BMO(Rl). 13 связи с этим дадим следующее

Определение 4. Через BMOfi(R*) обозначим пространство функций ш BM02(R\), для которых

1 fe

«UF М9)\ < оо, ъ(д) = ~ / Ых)-92{ф1х (23)

£>о е J о

с нормой ||p||bu02(R1) = MIbMO(R*) + Ывл/оад + supÍ7e(s)|.

£>0

Справедливь равенства

RR~xg = д,де BMO¡(R\); R']Rf = f, f e BMO(R1), (24)

при этом ||я-1£||вл/о(щ) < 4||5||bw02(Ri), ||í*/||baí0¿(r>) < Щ\\вмо(Щ-Здесь же находятся условия сохранения классов ВМ0¿(R*) под воздействием произвольной матрицы второго порядка.

Пусть рассматривается уравнение (XI - K)ip — f, х е R1, где К оператор вида (3) при (a,b) = R1 с ядром к(х,у), удовлетворяющим условиям (20) - (21). Обозначим R<p = Ф, Rf = F,

КФМ = £'к(*,у)Ф(у№, <25>

Разрешимость уравнения (XI - K)tp = / в BMO(Rl) эквивалентна разрешимости в BMOg(R^) матричного уравнения (AI - К)Ф = F.

Лемма И. Пусть <b(x)eBM0¡(R\) и А;(±1,у)(1 + |1пу|) G /„(R1,), тогда КФ(х)€ЯМО^).

Для оператора XI - К (или, что то же для AI - К) введём матричный символ. Пусть

- U-Ю *+(í)J' (0 - V ~к-(0 А - AV(oJ' (26)

где - преобразование Меллина в точке 1 от функции к(±1,у). Заметим, что в :илу условий на ядро, функции К±((,) принадлежат вине-ровскому кольцу, в котором для deta(£) верна теорема Винера.

Теорема 13. Если deta(^) ф 0, £ 6 R1, то XI - К обратим в ВМО( R1).

В §11 рассматривается интегральный оператор с однородным ядром в пространстве ВМО{О,1). Пусть

KJ[x 1= [ k(x,t)f(t)dt, K+f(x)= f k{x,t)f{t)dt. (27) JO Jx

Теорема 11. Пусть функция k(x, y) однородна степени -1 и удовлетворяет условию k(l,t)(l + |lni|) G Li(0,1). Тогда оператор вида (27) ограничен и пространстве ВМО(0,1) (и в VMO(0,1)).

Теорема 12. Пустьфункция к(х,у) однородна степени -1 и удовлетворяет условиям /г(1,£) 6 L] (1, оо) и

sup /1,aifc(l,y)llto(l-ay)|(^"1)(^4 < 00. (28) 0<o<6<i Ji/ji (by-ayr

Тогда оператор К+ вида (27) ограничен в пространстве ВМО(0,1). Следующее условие будет достаточным для выполнимости (28).

/■2а

sup/ \k{\,y)\vyv-4y<oo (29)

а>1 Ja

для какого-либо и > 1 или условие /j00 |fc(l,j/)|"j/l'~1 < ею. Комбинируя условия теорем 11 и 12 получаем следующее.

Теорема 13. Пусть функция к(х, у) однородна степени -/, удовлетворяет условиям fc(l,i)(l + |ln£|) € L\(0,1), k(l,t) G Z,(l,oo) и (28). Тогда оператор К = К+ + К- ограничен в пространстве ВМО{0,1).

Далее строятся кольца символов для операторов XI - К± и устанавливаются теоремы об их обратимости.

Перейдём к рассмотрению оператора К = К- + К+. Итак, пусть множество Е состоит из ядер к(х,у) однородных степени -1 и таких, что k{l,t)P(t) € Ri), где (3{t) = 1 при t > 1 и p(t) = 1 + |Ini| при О < i < 1, a С iî ■ ядра из Е, удовлетворяющее дополнительно условию (29) при некотором v > 1. Пространство Е„ с умножением

к{х,у)= [ k{x,t)k2{t,y)dt (30)

J о

и нормой = ИМММОИ^ОЧ.) является банахово алгеброй. Расширенное константами множество преобразований Меллина этого кольца -Е„ таково, что ;з нем верны теоремы Винера и Винера-Леви.

Рассмотрим интегральный оператор вида

(А/ + К)/ = А/(х) + / к{х, t)f{t)dt, 0 < х < 1 (31) Уо

с ядром = Еи. Для него можно получить результат о нетеровости.

Теорема 11. Пусть к(х,() однородна степени-], удовлетворяет условиям £ Ь1{К1+), (29) и пусть А + Мк{% + 1) Ф 0, 4 € Й.1 и х = -¡пс1 (А + Мк(£ +1)). Тогда при х > 0 оператор XI + К обратим справа, а при х < 0 - слева. При х> 0 оператор XI + К имеет ровно х . линейно независимых нулей в пространстве ВМО{0,1).

Отметим, что в случае аналитических символов, когда К = К- или К = К+, условия теоремы могут быть упрощены.

В §12 рассматривается интегральный оператор с однородным ядром в пространстве ВМО(-1,1). На этот раз мы имеем эффект от того, что особая точка ле;кит внутри отрезка. Условия ограниченности оператора по отрезку [-1,1], те же, что и в случае [0,1], с заменой к(1,у) на к(±\,у) и к ним ещё добавляется условие симметрии (20).

Исследование фредгольмовости в этом случае также основывается на переходе к матричному оператору с ядром вида (25). Однако на сей раз в отличии от ораторов вида (3) по всей оси операторы по отрезку [-1,1] не коммутируют. Это не позволяет простыми средстзами Еывести выполнимость условий Сарасона на интегральный скачок, определённый выше, позволяющих по решению системы из вектора решений на [0,1] склеивать решение для оператора К уже в ВМО[~ 1,1]. Здесь при исследовании фредгольмовости удаётся использовать тот факт, что матрица-символ, соответствующгя оператору XI - К при матричном переходе вида (25) оказывается циклической и это позволяет её легко факторизовать.

В §13 рассматривается случай пространства ВМОк{К\).

Теорема 15. Если ядро к(х,{) оператора К однородно степени -1 и удовлетворяет условиям

|А:(], £)|(+ 11п < оо, |А:(1,ф*(1 + |1п4|)Л<оо, (32)

то оператор К ограничен в постранстве ВМОк(К\).

Далее, подобно §9, строится кольцо ядер и символов, но в этом случае максимальные идеалы уже лежат в полосе -к < 1тг < 0.

Теорема 15. Пусть функция к(х,у) однородна степени -1, удовче-творяет условиям (32) и оц(х) = Х + ^ к(1,у)у'хс!у символ оператора N — XI + К. Если <7д'(г) ф 0, при всех г ЕС из полосы -к < 1шг < О, то оператор N обратим в пространстве ВМОк(К\).

В случае отрезка [0,1] условия ограниченности операторов К+, К+, К = К- + А'+ вида (27) в пространстве ВМО(0,1) совпали с условиями ограниченности этих операторов в пространстве ВМО(0,1), которые были доказаны в §] 1. Это означает, что все выводы §11, касающиеся обратимости и фредгольмовости оператора К в пространстве ВМО(0,1), будут справедливы и в общем случае для пространства ВМО (0,1). Они получаются простой заменой пространства ВМО(0,1) на ВМОк(0,1).

В §14 показывается ограниченность в В МО (И11) оператора Харди -

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю, доктору физико-математических наук профессору Николаю Карапето-вичу Карапетянцу за постановку задачи, помощь и постоянное руководство при выполнении настоящей работы.

Литтлвуда р/{г) = нг/и^Л»)^-

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

[1] КарапетянцН.К., ГильА.В. Интегральные операторы с однородными ядрами в пространстве BMO(R2). // Труды института математики НАН Беларуси. Минск, 2001. Том 9. С. 73-80.

[2] Гиль А.В. Интегральное уравнение с однородным ядром в пространстве ВМО. //Сборник научных трудов: Модели и дискретные структуры. Элиста, 2002.С. 152-163.

[3] Гиль А.В., Карспетянц Н.К. Интегральный оператор с однородным степени —1 ядром в пространстве ВМО. // Сб."Интегро-дифференциальные операторы и их приложения", Вып.5, Ростов-на-Дону, Изд-во ДГТУ, 2001. С. 59-77.

[4] Гиль А.В. Оператор Винера-Хопфа в пространстве функций с ограниченной средней осцилляцией. // Материалы международного российско-узбекского симпозиума: Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа \ информатики. Нальчик -Эльбрус, 2003, С. 39-40.

[5] Гиль А.В. Операторы с однородным ядром в пространстве BMOk(R+). // Материалы международного российско-казахского симпозиума: Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики. Нальчик -Эльбрус, 2004. С. 39-40.

[6] Гиль А.В. Интегральное уравнение с однородным ядром в пространстве ВМО(0. оо) . II Тезисы докладов X Международной конференции: "Математика. Экономика. Образование." II Международный Симпозиум: Ряды Фурье и их приложения. Ростов-на-Дону, 2002. С. 67.

[7] Гиль А.В. Интегральные операторы Винера-Хопфа и с суммарным ядром в пространстве ВМО. II Ростов-на-Дону. Ростовский ун-т. Рукопись деп. в ВИНИТИ 09.02.2004. № 209-В2004, 35 с.

[8] Гиль А.В. Интегральные операторы свёртки и Винера-Хопфа в пространстве ВМО1. II Ростов-на-Дону. Ростовский ун-т. Рукопись деп. в ВИНИТИ 23.08.2004. № 1418-В2004, 37 с.

[9] Гиль А.В., Карспетянц Н.К. Оператор с однородным ядром в пространстве функций с ограниченной средней осцилляцией на отрезке. // Тезисы

докладов международной конференции: "Аналитические методы анализа и дифференциальных уравнений". Институт математики НАН Беларуси. Минск, 2003. Т. С. 54.

[10] Гиль А.В. Ограниченность оператора с суммарным ядром в пространствах В МО, VMO и VMO на полуоси. // Труды аспирантов и соискателей РГУ. Ростов на Дону, Издательство РГУ. 2003. Т. IX, С. 25-28.

[11] Гиль А.В., Каралетянц Н.К. Интегральный оператор с однородным ядром в пространстве функций с ограниченной средней осцилляцией. // Доклады РАН, 2004. Т. 397, № 1, С. 1-4.

Издательство ООО «ЦВВР». Лицензия ЛР № 65-36 от 05.08.99 г. Сдано в набор 27.10.04 г. Подписано в печать 27.10.04 г. Формат 60*84 1/16 Заказ № 543. Бумага офсетная. Гарнитура «Таймс». Оперативная печать. Тираж 100 экз. Печ. лист. 1,0. Усл.печ.л. 1,0. Типография: Издательско-полиграфический комплекс « Биос» РГУ 344091, г. Ростов-на-Дону, ул. Зорге, 28/2, корп. 5 «В», тел. 929-516,659-532. Лицензия на полиграфическую деятельность № 65-125 от 09.02.98 г.

# 22 2 1 6

РНБ Русский фонд

2005-4 20357

Оглавление стр

Введение

Глава 1. Пространство В МО и оценки средних значений с1р

§1. Предварительные сведения стр.

§2. Продолжимость функций в пространствах с ограниченной средней осцилляцией стр.

§3. Оценки средних значений функции с ограниченной средней осцилляцией стр.

§4. Дополнительные свойства функций с ограниченной средней осцилляцией стр.

Глава 2. Операторы свёртки и Винера-Хопфа стр.

§5. Оператор свёртки в пространстве В МО стр.

§6. Операторы Винера - Хопфа и с суммарным ядром в пространстве В МО стр.

§7. Оператор свёртки в пространстве ВМОк стр.

§8. Оператор Винера-Хопфа в пространстве ВМОк стр.

Глава 3. Операторы с однородными ядрами стр.

§9. Ограниченность операторов с однородными ядрами в

ВМО{К\) h VMO{R\) стр.

§10. Интегральный оператор с однородным ядром в пространстве ВМО{В}) стр.

§11. Интегральный оператор с однородным ядром в пространстве ВМО(0,1)

§12. Интегральный оператор с однородным ядром в пространстве ВМО{—1,1)

§13. Интегральный оператор с однородным ядром в пространстве ВМОк

§14. Интегральный оператор Харди-Лнттлвуда в пространстве ВМО{Rn)

В диссертации рассматриваются операторы свёртки, Винера-Хопфа и с однородными степени -1 ядрами в пространстве ВМОк, к Е Z+- функций с ограниченной средней осцилляцией А;-того порядка. Такие операторы имеют многочисленные приложения и хорошо изучены в пространствах суммируемых или гладких функций. Эти исследования по уравнениям типа свертки отражены в монографиях Ф.Д. Гахова и Ю.И. Черского [3], И.Ц. Гохберга и И.А. Фельдмана [6], 3. Пресдорфа [22], а по уравнениям с однородными степени -1 ядрами в монографиях JI.F. Михайлова [21], А.П. Солдатова [29]; Н.К. Карапетянца и С.Г. Самко [16], [34]; И:Б.Симоненко и!Нгок Чинь Минь [30], Р.В. Дудучавы [9], и др.В одномерной теории в; пространствах Lp, 1 < р < оо, эти классы операторов тесно связаны между собой (с помощью экспоненциальных замен), а* также с сингулярными интегральными операторами (с помощью преобразования Фурье- в: случае сверток и преобразования Меллина- в случае операторов с однородными степени - Г ядрами). Эти связи- приводят к соответствию оператор ядро символ, что позволяет формулировать в терминах символа и его индекса основные свойства операторов, связанные с описанием их спектральных и фредгольмовских свойств. Пространства ВМО уже давно возникли в различных вопросах, связанных с интегральными i операторами. Именно в их терминах, например, описывается образ дробных интегралов и потенциалов Рисса в так называемом предельном случае теоремы Соболева, когда-о; = пр. В терминах принадлежности к BMG описываются классы функций, для которых коммутатор с; сингулярным интегральным оператором оказывается компактен и др. Пространства ВМО высших порядков оказываются тесно связанными с пространствами типа Бесова. Различные аспекты, связаные с ВМО пространствами нашли отражение в монографиях A. Torchincky [43]; Дж. Гарнетт [2], Б.С. Кашин, А.А. Саакян

17], П. Кусис [18] и др., а с ВМОк, А; € N в монографии R.A. De.Vore, R.C. Sharpley [33] и диссертации P.M. Рзаева [26] (см. также [27], [28]).

Заметим, что специальный интегральный оператор с однородным степени -1 ядром, а именно, оператор Харди - Литтлвуда вида

1 /*Х

Вf)(x) = - Г f(t)dt, х > О,

X Jo играющий важную роль в различных вопросах анализа был рассмотрен в работе Б.И. Голубова [5], где была показана его ограниченность в про-станстве ВМО{К\) и в то же время там же было отмечено, что сопряженный к нему оператор(В* f)(x) = f(t)j уже не действует в ВМО, а действует в пространстве Re Н1 (см. также [37]-[40], где подобные операторы рассматриваются из весовых Lp в весовое ВМО). Отметим, что для вольтерровских операторов свертки действие из весовых пространств Ьр в весовое ВМО рассматривалось в работах [13]-[15].

Основными объектами, рассматриваемыми в диссертации являются интегральные операторы свертки

Hf )(x)= f h(x — t)f {t)dt, х G Rn, (0.1)

J rn

Винера - Хопфа

•OO

Hf)(x)= h(x - у)f(y)dy, x >0, (0.2)

Jo и с однородным степени -1 ядром

Kf(x)= [Ь k(x,y)f(y)dy, xe(a,b). (0.3)

J a

Для последнего оператора интересны случаи, когда сингулярная точка я; = 0 лежит на границе (случаи отрезка [0,1] или полуоси), либо является внутренней точкой ( случаи отрезка [-1,1] или оси).

В диссертации такие операторы рассматриваются в пространстве ВМО, специфические внутренние свойства которых требуют иного подхода, отличного от случая Lp - пространств, даже в вопросах ограниченности, и приводятся результаты об ограниченности, фредгольмовости и обратимости. Интересно отметить, что при переходе к пространству ВМОк, к е N, условия ограниченности зависят от порядка fc, а условия, фредгольмово-сти для сверток -те же, что и при к = 0. При изучении фредгольмовости > возникает необходимость в использовании весовых свёрточных колец, с весом имеющим разное поведение на ±оо. Отметим, что операторы свертки в весовых классах суммируемых функций рассматривались, например, в [3], [7], [8], [11], [23R25], [34] и др.

При рассмотрении интегральных операторов, как свертки, так и с однородными степени -1 ядрами оказалось, что важную роль играют оценки средних значений функций по интервалам в зависимости от самого интервала и его длины. При этом принципиальными моментами; отличными от случая хорошо известных ([19] - [21] (см. также[1], [10], [35] в многомерном случае)) пространств Lp(H\), 1 < р < оо, являются два; Во первых, для операторов свёртки и с однородными степени -1 ядрами хорошо оценивается полунорма (так называемая || • ||+), но одного этого недостаточно' и появление дополнительных условий, кроме традиционных условий суммируемости ядра; связано с оценкой "всей" нормы, что эквивалентно описанию условий локальной интегрируемости (Я f)(x) или (Кf)(x). Во вторых, и: это также важно, здесь мы не можем использовать традиционные связи с операторами свёртки на оси (или Винера-Хопфа на полуоси) ввиду несохранения классов ВМО при экспоненциальных заменах, связывающих подобные операторы. В диссертации приводятся достаточные условия ограниченности интегральных операторов К с однородными степени -1 ядрами в пространствах функций с ограниченной средней осцилляцией на полуоси, на отрезке и на оси. Эти условия оказываются существенно' различны для конечного и бесконечного отрезка и, кроме того, зависят от того будет ли особая точка а; = 0 внутренней или граничной. Кроме того, эти условия ограниченности требуют привлечения более сложных колец, отличных от винеровского кольца, при изучении фредгольмовости. На этом пути удается рассмотреть интегральные операторы вида XI — К на полуоси, отрезке и оси. В последнем случае дополнительная сложность связана ещё с тем, что обычный приём 2 х 2 матричного растяжения и перехода к системе уравнений на полуоси не обязан сохранять классы В МО. Строится подходящее множество символов, что позволяет изучать обратимость и фредгольмовость А/ — К. Для пространств ВМОк переход к случаю /г > 0 приводит к ряду новых эффектов, что в наибольшей степени проявляется для казалось бы "более простого" интегрального оператора по полуоси, условия разрешимости которого оказываются зависящими от порядка к. Кроме того, в диссертации изучаются некоторые внутренние свойства пространств ВМОк, такие как необходимое условие принадлежности; пространству, условия продолжимости с полуоси на ось нулем, чётным, нечётным; образом и др.

Перейдем к содержанию диссертации. Диссертация состоит из введения, трёх глав, разбитых на 14 параграфов, и списка литературы, содержащего 53 наименования. Объём работы 148 страниц.

1. Авсянкин О.Г. Многомерные интегральные операторы с однородными ядрами: Диссертация— кандидата физ.- мат. наук. - Ростов-н/Д, 1997. -145 с.

2. Гарнетт Дж. Ограниченные аналитические функции. М.:Мир, 1984. 470 с.

3. Гахов Ф.Д., Черский Ю.И. Уравнения типа свёртки М;:Наука, 1978. 296 с.

4. Гельфанд И.М., Райков Д.А., Шилов Г.Е. Коммутативные нормированные кольца. М.: Физматгиз, 1960. 316 с.

5. Голубов Б.И. Об ограниченности операторов Харди и Харди-Литтлвуда в пространствах ReH1 и ВМО. // Матем. сб. 1997. Т.188, №7. С. 93-106.

6. Гохберг И.Ц., Фельдман И.А. Уравнения в свёртках и проекционные методы их решения. М.: Наука, 1971. 352 с.

7. Дыбин В.Б., Карапетянц. Н.К. Об интегральных уравнениях типа свертки, в классе обобщенных функций. // Сибирский матем. журнал, 1966. т. УП, №3. С. 531-545.

8. Дыбим В.Б., Джиргалова С.Б. Оператор дискретной свёртки в пространстве {а,1 < р < оо. // Изв. вузов. Северо-Кавказ. регион. Естеств. науки. Приложение. Математика и механика. №9. Ростов-н/Д, 2003. С. 3-16.

9. Дудучава Р.В. Интегральные уравнения свертки с разрывными предсим-волами, сингулярные интегральные уравнения с неподвижными особенностями и их приложения к задачам механики. Тр. Тбил. Мат. ин-та АН Груз. ССР, 1974, т. 60. 134 с.

10. Карапетянц Н.К. Интегральные операторы свёртки и с однороднымиядрами с переменными коэффициентами: Диссертация доктора физ.матем. наук. Тбилиси, 1989. 296 с.

11. Карапетянц. Н.К. О локальных свойствах решения уравнения Винера-Хопфа. // Изв. Вузов. Математика. 1983. № 4. С. 61-67.

12. Карапетянц Н.К., Гиль А.В. Интегральные операторы с однородными ядрами в пространстве ВМО(R2). // Труды института математики НАН Беларуси. Минск, 2001. Том 9. С. 73-80.

13. Карапетянц Н.К., Гинзбург А.И. Оценки средней осцилляции операторов вольтерровской свертки. // В сб. "Дифференциальные, интегральные уравнения и комплексный анализ". Калмыцкий ун-т, Элиста, 1993. С.57-56.

14. Карапетянц Н.К., Гинзбург А.И; Дробные интегралы в предельном случае. // Доклады РАН, 1993. т.333; № 2. С.136-137.

15. Карапетянц Н.К., Рубин Б.С. Локальные свойства дробных интегралов? и пространства ВМО на отрезке вещественной оси. // Ростов-н/Д. Ростов, ун-т, 1985, Рукопись деп. в ВИНИТИ 6.02.1986 г., № 869-В Деп. 43 с.

16. Карапетянц Н.К., Самко С.Г. Уравнения с инволютивными операторами и их приложения. Ростов-н/Д. Изд-во РГУ, 1988. 188 с.

17. Кашин Б.С., Саакян А.А. Ортогональные ряды. М.: Наука, 1984; 496 с.18.! Кусис П. Введение в теорию пространств Нр. М.: Мир, 1984. 364 с.

18. Михайлов Л.Г. Новый класс особых интегральных уравнений. // Math. Nachr.1977. T.76. G. 91-107.

19. Михайлов Л.Г. Новый класс особых интегральных уравнений и его применения :к дифференциальным уравнениям с сингулярными коэффициентами; // Труды АН Таджикской ССР. 1963. ТЛ. 180 с.

20. Рзаев Р.М. Интегральные операторы в пространствах, определяемых условиями • на:среднюю осцилляцию функций?и некоторые приложения:. Диссертация доктора физ.- матем. наук. Баку, 1993.

21. I Рзаев Р.М. Многомерный j сингулярный интегральный! оператор в пространствах, определяемых условиями» на среднюю осцилляцию; функций. // ДАН СССР. 1990.' Т. 314, № 3, С. 562-565:.

22. Рзаев; P.M. Многомерный сингулярный интегральный; оператор в пространствах, определяемых условиями! на среднюю осцилляцию -го порядка. // Доклады РАН. 1997. Т. 356, № 5, С. 602-604.

23. Солдатов А.П. Одномерные сингулярные операторы и краевые задачи теории!функций. М:: Высшая;школа; 1991. 208 с.

24. Симоненко И.Б., Чинь Нгок Мннь. Локальный метод в теории одномерных сингулярных, интегральных уравнений с кусочно-непрерывными коэффициентами. Нетеровость. Ростов-н/Д. Изд-во РГУ. 1986. с.

25. Харди Г., Литтлвуд Д., Полна Г. Неравенства. М.:ИЛ, 1948. 456«с:

26. Bottcher A., Silberman В. Analysis of Toeplitz Operators. New-York, Berlin: Springer Verlag. 1990. c.

27. De: Vore R.A., Sharpley R.C., Maximal, functions measuring smoothness; Memoirs. AMS., 1984. V.47, № 293, 115 p.34.' Karapetiants N.K., Samko S.G. Equations with involutive operators and their applications. Boston-Basel-Berlin: Birkhauser. 20011427 p.

28. Karapetiants N.K., Samko S.G. Multi-dimensional integral operators with homogeneous kernels. Fractional Calculus & Applied Analysis. 1999. №; 1, V.2. P. 67-96.

29. Karlovich A. I;, Karlovich Yu.I. Compactness, of commutators arising in the Fredholm theory of singular integral operators with shifts. // J. Integral Equations Appl. 15, 2003. № 3, P. 263-320.

30. Krantz G., Li Song-Ying. Boundedness and Compactness of Integral Operators on Spaces of Homogeneous Type and Applications. I. // Journal of Mathematical Analysis and5Applications. 2001; V. 258, P. 629-641

31. Krantz G., Li Song-Ying. Boundedness and Compactness of Integral Operators on Spaces of Homogeneous Type and Applications II. // Journarof Mathematical Analysis and Applications. 2001. V. 258, P. 642-657

32. Qinsheng L., Pick L. The Hardy operator, L^, and В MO: 11 J. London Math. 1993. Soc. II, Ser. 48, P. 167-177.

33. Qinsheng L., Pick L. The Hardy operator and the gap between L^ and В MO. // J. London Math. Soc. 1998. II, Ser. 57, P. 196-208.

34. Sarason D. Toeplitz operators with precewise quasicontinuous symbols.// Indiana Univ. Math. J., 1977. v.28, № 5. P. 817-838.

35. Stegenga D.A. Bounded Toeplitz operators on H1 and! applications of duality between H1 and functions of bounded mean oscillation: // Amer J. Math: 1976. P. 573-589.

36. Torchincky A. Real-Variable Methods in Harmonic Analysis. Academic Press, Inc., 1986. V. 123. 468 p.

37. Гиль А.В. Операторы с однородным; ядром в пространстве В МОк (R+). // Материалы международного российско-казахского симпозиума: Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики. Нальчик -Эльбрус, 2004. С. 39-40.

38. Гиль . А.В. Интегральное уравнение с однородным ядром в пространстве ВМО(0, оо). // Тезисы докладов X Международной;конференции: "Математика. Экономика., Образование." 1Г Международный симпозиум: Ряды Фурье и их приложения. Ростов-н/Д, 2002. С. 67.

39. Гиль А.В. Интегральные операторы Винера-Хопфа и с суммарным ядром в пространстве; ВМО. И Ростов-н/Д. Ростовский' ун-т. Рукопись деп. в ВИНИТИ 09.02.20041 № 209-В2004, 35 с.