Формы Дирихле и емкости, связанные с бесконечномерными вероятностными распределениями тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

На правах рукописи

□и^47ВБ14

Пугачев Олег Всеволодович

ФОРМЫ ДИРИХЛЕ И ЕМКОСТИ, СВЯЗАННЫЕ С БЕСКОНЕЧНОМЕРНЫМИ ВЕРОЯТНОСТНЫМИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯМИ

.05 — теория вероятностей и математическая статистика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва — 2009

003476614

Работа выполнена в МГТУ имени Н Э Баумана

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор И В Павлов, доктор физико-математических наук, профессор А В Угланов,

доктор физико-математических наук, профессор В В Ульянов

Ведущая организация: Владимирский государственный

гуманитарный университет

Защита состоится 2009 г в 14 часов на заседали

диссертационного совета Д 002 022 01 при Математическом институт им В А Стеклова по адресу 119991 Москва, ул Губкина, д 8, 9-й эга> конференц-зал

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Математическог института им В А Стеклова

Автореферат разослан "С&Ь-'А /Р^ 2009 г

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 002.022 01 при Математическом институте им В А Стеклова

доктор физико-математических наук, профессор

В А Ватутин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы Основная тематика этой работы связана с аналитическими проблемами теории бесконечномерных вероятностных распределений, привлекающими аппарат теории емкостей и форм Дирихле для изучения распределений случайных процессов, функционалов от них, а также сходимости случайных процессов Это направление, активно развивающееся в последние два десятилетия, в идейном отношении восходит к классическим работам Ю В Прохорова1 и Г Шоке2, отличительной особенностью которых явился синтез аналитического и топологического подходов В последующие годы развитие аналитического направления привело к созданию двух важных областей в теории бесконечномерных вероятностных распределений — теории дифференцируемых мер С В Фомина3 и исчисления Маллявэна4 Первой из них посвящены фундаментальные труды5'6'7,8'9,10 Второй также посвящен целый ряд монографий, из которых особо отметим книги11,12,13,10 Связи между теорией дифференцируемых мер и исчислением Маллявэна подробно исследованы в работах14,8,10 и книгах15,10 В данной диссертации существенно используются идеи и методы теории дифференцируемых мер и исчисления Маллявэна Более того, часть основных результатов диссертации, относящихся к построению поверхностных мер для бесконечномерных

Прохоров Ю В Сходимость случайных процессов и предельные теоремы теории вероятностей Теория вероятн и ее примен , 1956, т 1, в 2, 177-238

^Choquet G Theory of capacities Ann Inst Fourier (Grenoble), 1955, v 5, 131-295

^Фомин С В Дифференцируемые меры в линейных пространствах Тезисы кратких научн сооб-щ Международного конгресса математиков Секция 5, 78-79 Изд-во МГУ, М , 1966

4Malhavin Р Stochastic calculus of variation and hypoelliptic operators Proc Intern Symp on Stoch Diff Eq (Res Inst Math Sci, Kyoto Univ , Kyoto, 1976), 195-263 Wiley, New York - Chichester -Brisbane, 1978

5Авербух В И , Смолянов О Г, Фомин С В Обобщенные функции и дифференциальные уравнения в линейных пространствах Тр Моек мат об-ва, 1971, т 24, 133 174 ^Скороход А В Интегрирование в гильбертовом пространстве Наука, М , 1975 ^Далецкий Ю JI, Фомин С В Меры и дифференциальные уравнения в бесконечномерных пространствах Наука, М , 1983

^Богачев В II, Смолянов О Г Аналитические свойства бесконечномерных распределений Успехи мат наук, 1990, т 45, N 3, 3 83

^Uglanov А V Integration on infinite-dimensional surfaces and its applications Kluwer Academic Publ, Dordrecht, 2000

^Богачев В И Дифференцируемые меры и исчисление Маллявэна РХД, Москва Ижевск, 2008

ПВе11 D The Malhavin calculus Wiley and Sons, N -Y , 1987

^Malliavm P Stochastic analysis Springer-Verlag, Berlin, 1997

11

Nualart D The Malhavin calculus and related topics 2nd ed Springer-Verlag, Berlin, 2006

^Bogachev V I Differential properties of measures on infinite dimensional spaces and the Malhavin

calculus Acta Univ Carolinae, Math et Phys , 1989, v 30, N 2, 9 30

15Богачев В II Гауссовские меры Наука, М , 1997

вероятностных распределений, дает решения задач на стыке этих двух областей

Первая общая конструкция поверхностной меры на бесконечномерном пространстве была предложена А В Скороходом6 А В Угланов существенно модифицировал эту конструкцию и построил общую теорию поверхностного интегрирования на бесконечномерных пространствах (см 16,9), а также получил важные приложения этой теории к решению бесконечномерных дифференциальных уравнений с частными производными Однако метод А В Угланова требует топологических ограничений на рассматриваемые поверхности (типа непрерывности некоторых производных) Для гауссовских мер эти ограничения удалось снять в работе17 с помощью исчисления Маллявэна В И Богачев18 предложил схему построения поверхностных мер для негауссовских гладких мер с использованием исчисления Маллявэна Этот подход был развит автором, что позволило снять топологические ограничения и для общих дифференцируемых мер и построить поверхностные меры на множествах уровня соболевских функций От этих функций не требуется даже непрерывность (таковы типичные функции, появляющиеся в теории случайных процессов и задаваемые с помощью стохастических интегралов) Построение и исследование поверхностных мер в бесконечномерных пространствах, причем не только линейных, но и в пространствах конфигураций, входит в круг основных целей диссертации

В описанной проблематике существенную роль играет изучение емкостей, порожденных классами Соболева относительно бесконечномерных вероятностных распределений Их исследование важно и для многих других вопросов теории бесконечномерных вероятностных распределений и теории случайных процессов В последние три десятилетия емкости, связанные с классами Соболева на бесконечномерных пространствах или с весовыми классами Соболева на конечномерных пространствах, исследуются весьма интенсивно19,20,10'12'15 В геометрической теории меры и стохастическом анализе часто возникает потребность в более тонкой характеристике малости множества, чем сама мера Важным

^Угланов А В Поверхностные интегралы в банаховом пространстве Мат сб , 1979, т 110, N 2, 189-217

17Airault H , Malhavin Р Intégration géométrique sur l'espaces de Wiener Bull Sei Math (2), 1988, V 112, N 1, 3-52

18Bogachev VI Smooth measures, the Malhavin calculus and approximation in infinite dimensional spaces Acta Umv Carolmae, Math et Phys , 1990, v 31, N 2, 9-23

19Ma Z M , Rockner M An introduction to the theory of (non-symmetric) Dinchlet forms Springer, Berlin, 1992

■®F\ikushima M , Oshima Y , Takeda M Dinchlet forms and symmetric Markov processes De Gruyter, Berlin - New York, 1994

примером такой характеристики является емкость Свойства соболевских емкостей на бесконечномерных пространствах рассматривались в ряде работ как для гауссовских, так и для некоторых негауссовских мер21,12'22,10, однако для общих дифференцируемых мер до сих пор имелись лишь отдельные результаты, а случай пространства конфигураций ранее вообще не исследовался

Одной из наиболее принципиальных и просто формулируемых (но, как правило, трудных) проблем в связи с емкостями, порожденными классами Соболева по вероятностным мерам, является проблема их плотности, т е существования компактов со сколь угодно малыми емкостями дополнений Эта проблема весьма актуальна и в стохастическом анализе, и в теории меры В отличие от радоновских мер, общие емкости даже на очень простых пространствах (например, на прямой) отнюдь не всегда плотны, несмотря на то, что по известной теореме Шоке внутренне компактно регулярны Это связано с неаддитивностью большинства емкостей Во многих случаях плотность емкости ответственна за существование диффузии Вопрос о плотности классических соболевских емкостей на К" решен положительно, см , например23,24 В бесконечномерном случае появляется широкое разнообразие пространств, мер и определений соболевских классов Данная проблема рассматривалась в работах25'15 Плотность емкостей С12 важна при построении диффузионных процессов Кроме того, плотность емкостей, порожденных классами И/Т,р, является существенной деталью конструкции поверхностных мер на бесконечномерных пространствах и многообразиях, развитой в третьей главе диссертации С вероятностной точки зрения, оценки емкости различных множеств важны для понимания поведения диффузионных процессов, например, возможности попадания в эти множества Бесконечномерные пространства обладают заметной спецификой при изучении соболевских емкостей

Один из важнейших объектов в этих исследованиях — формы Дирихле Этот аналитический объект тесно связан с целым спектром вероятностных понятий и проблем, относящихся к сходимости случайных

•^Fukushima М Basic properties of Brownian motion and a capacity on the Wiener space, J Math Soc Japan, 1984, v 36, N 1, 161-176

22Kusuoka S Dinchlet forms and diffusion processes on Banacli spaces, J Fac Sci Umv Tokyo, Sec 1A, 1982, v 29, N 1, 79-95

2^Гольдштейн В M , Решетняк Ю Г Введение в теорию функций с обобщенными производными и квазиконформные отображения Москва, „Наука", 1983

24Мазья В Г Пространства С J1 Соболева Л Изд-во ЛГУ, 1985

25Rockner М , Schmuland В Tightness of general Ci p capacities on Banach space, J Funct Anal , 1992, v 108, N 1, 1-12

процессов Замыкаемости и сходимости форм Дирихле и свойствам связанных с ними диффузионных процессов и классов Соболева посвящено множество исследований, из которых особенно важны работы26'27,28,29,30,31 В частности, проблема замыкаемости квадратичных форм возникает в стохастическом анализе, в теории дифференциальных операторов и теории пространств Соболева32,19 Чтобы градиентная квадратичная форма Дирихле вида

т = / |v/|2dM

могла быть ассоциирована с некоторым диффузионным процессом, необходима ее замыкаемость В случае, когда вероятностная мера ц на задана дифференцируемой (в соболевском смысле) плотностью д, существует диффузионный процесс удовлетворяющий стохастическому дифференциальному уравнению

dSt = y/2dwt + ?^-dt

и имеющий стационарное распределение /i — Qdx Генератор L переходной полугруппы этой диффузии имеет вид Lf = Д/ + V/) Квадратичная форма этого оператора на области C¿c(Kd) в Ь2(ц) есть форма Дирихле 6(f) Оказывается, что форма Дирихле £(f) может быть замыкаемой и для мер с недифференцируемыми плотностями Таким способом строятся диффузии с сингулярными коэффициентами сноса На многих пространствах типа фракталов такой способ построения является основным даже для наиболее простых диффузий, например, броуновского движения Этому направлению принадлежит один из основных результатов первой главы диссертации, который дает решение долго стоявшей проблемы существования такой замыкаемой градиентной формы Дирихле на плоскости, что частные формы не являются замыкаемыми

2®Жиков В В , Козлов С М , Олейник О А Усреднение дифференциальных операторов М Наука, 1993

27Жиков В В О весовых соболевских пространствах Мат сборник, 1998, т 189, N 8, 27- 58

^MoscoU Composite media and Dinchlet forms, J Funct Anal, 1994, v 123,368-421

29Кириллов А И Бесконечномерный анализ и квантовая теория как исчисления семимартингалов Успехи мат наук, 1994, т 49, N 3, 43-92

30Kuwae К

, Sliioya Т Convergence of spectral structures a functional analytic theory and its applications to spectral geometry Coram Anal Geom , 2003, v 11, N 4, 599-673

31Kolesnikov A V Mosco convergence of Dinchlet forms in infinite dimensions with changing reference measures J i\inct Anal , 2006, v 230, 382-418

32Albeveno S , Rockner M Classical Dinchlet forms on topological vector spaces - the construction of the associated diffusion process, Probab Theory Relat Fields, 1989, v 83, 405-434

Наконец, еще одно активно развивающееся современное направление в теории бесконечномерных вероятностных распределений, к которому относится ряд основных результатов данной диссертации, связано с изучением пространств конфигураций, те пространств локально конечных наборов точек из данного фазового пространства, например, риманова многообразия Пространства конфигураций возникают во многих теоретических и прикладных задачах На них строятся меры, представляющие собой различные обобщения распределения Пуассона33 На пространствах конфигураций имеется естественная и очень интересная структура бесконечномерного многообразия Этому направлению посвящено много исследований, см , например, работы34'35'36'37'38,^39,40,41,42 ^ диссертации строятся соболевские классы любых порядков на пространстве конфигурации с мерой Пуассона, изучается проблема плотности порожденных ими емкостей Кроме того, оцениваются емкости различных порядков для множества конфигураций, имеющих кратные точки Эти вопросы ранее не изучались

Последняя группа результатов связана с преобразованиями мер на пространствах конфигураций Квазиинвариантность гауссовских и некоторых других бесконечномерных распределений относительно нелинейных преобразований функциональных пространств изучалась многими авторами, начиная с классических работ Камерона и Мартина, Маруямы, Прохорова, Скорохода, Гирсанова Обзор этих исследований и современное состояние вопроса можно найти в книгах15,43

Кингман Дж Пуассоновские процессы МЩ1МО, М , 2007 *^Вершик А М , Гельфанд II М , Граев М И Представления групп диффеоморфизмов, Успехи чат наук, 1975, т 30, N 6, 1-50

•^Исмагилов Р С Унитарные представления группы диффеоморфизмов пространства Rn, п > 2, Мат Сборник, 1975, т 98, 55-71

^Смородина Н В Формула Остроградского-Гаусса для пространства конфигураций Теория ве-роятн и ее примен , 1990, т 35, N 4, 725-736

07

° Давыдов ЮЛ, Лифшиц М А , Смородина НВ Локальные свойства распределений стохастических функционалов Физматлит, М , 1995

^Pnvault N Girsanov theorem for anticipative shifts on Poisson space Probab Theory Relat Fields, 1996, v 104,61-76

^Albeveno S, Kondratiev Yu G , Ilockner M Analysis and geometry on configuration spaces, J Funct Anal 1998, v 154, N 2, 444-500

^Tklevich N , Vershik A , Yor M An in finite- dimensional analogue of the Lebesgue measure and distinguished properties of the gamma process J Funct Anal, 2001, v 185, N 1 274-296

^Albeverio S , Smorodina N V A distributional approach to multiple stochastic integrals and transformations of the Poisson measure Acta Appl Math , 2006, v 94, 1-19

^Смородина H В Кратные стохастические интегралы и „непуассоновские" трансформации гамма-меры Зап научи семин ПОМП РАН, 2005, т 328, 191 220

^Ustunel A S , Zakai М Transformation of measure on Wiener space Springer, Berlin, 2000

В работах34,35 установлена квазиинвариантность меры Пуассона относительно преобразований конфигураций на многообразии М, порожденных диффеоморфизмами самого М В работе38 получено обобщение теоремы Гирсанова на пуассоновские процессы, вероятностное пространство которых изоморфно пространству конфигураций на [0, +оо) с мерой Пуассона В работах41,42 получены достаточные условия квазиинвариантности меры Пуассона при преобразованиях конфигураций на многообразии вида 5 х [0, +оо), сдвигающих точки вдоль второго сомножителя В диссертации получены формулы преобразования мер на пространствах конфигурации на конечномерных многообразиях под действием отображений значительно более общего вида

Цель работы. Исследование замыкаемости градиентных форм Дирихле и получение условий слабой сходимости конечномерных распределений сингулярных диффузионных процессов в терминах порожденных ими форм Дирихле Доказательство плотности соболевских емкостей, связанных с бесконечномерными вероятностными распределениями, и построение поверхностных мер на множествах уровня соболевских функций относительно таких распределений Исследование емкостей и поверхностных мер на пространствах конфигураций с пуассоновскими распределениями Нахождение условий абсолютной непрерывности пуассонов-ских распределений относительно нелокальных преобразований

Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми и заключаются в следующем

1 Решена долго стоявшая проблема теории форм Дирихле построена мера ц на К2, для которой градиентная квадратичная форма замыкаема, но частные квадратичные формы не замыкаемы При построении использован новый положительный результат, дающий достаточное условие замыкаемости форм Дирихле относительно сужений меры Лебега на множества

2 Получены новые достаточные условия сходимости Моско конечномерных и бесконечномерных форм Дирихле Это дает эффективно проверяемые условия слабой сходимости конечномерных распределений диффузионных процессов

3 Доказана плотность емкостей, порожденных классами Соболева различных порядков в широком классе локально выпуклых пространств, а также в пространствах конфигураций

4 Получены достаточные условия нулевой емкости множества конфигураций, имеющих кратные точки

5 Результаты о соболевских емкостях применены для построения поверхностных мер на множествах уровня соболевских функций, порожденных бесконечномерными вероятностными распределениями, а также поверхностных мер на пространствах конфигураций

6 Доказана квазиинвариантность мер Пуассона для широкого класса нелокальных преобразований пространств конфигураций

Методы исследования. В работе применяются методы теории бесконечномерных вероятностных распределений, в частности, теория слабой сходимости мер, теория дифференцируемых мер, теория форм Дирихле, а также исчисление Маллявэна Используются методы функционального анализа, в том числе, теория соболевских классов и емкостей Кроме того, используется ряд оригинальных конструкций автора

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер Ее методы и результаты могут быть использованы в теории случайных процессов, теории вероятностей, теории дифференциальных уравнений с частными производными на бесконечномерном пространстве, математической физике, геометрической теории меры Результаты диссертации могут найти применение в исследованиях, проводимых в МГУ им М В Ломоносова, МИАН им В А Стеклова, ПОМИ РАН им В А Стеклова, С -ПГУ, НГУ, ИМ СО РАН, МГТУим НЭ Баумана, ДВНЦ РАН

Апробация диссертации. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на международном семинаре «Бесконечномерный стохастический анализ», посвященном 95-летию со дня рождения А Н Колмогорова (МГУ, 1998), на научно-исследовательском семинаре «Бесконечномерный анализ и стохастика» под руководством профессора В И Богачева в МГУ (1998-2009 гг), на семинаре «Бесконечномерный стохастический анализ» в университете г Билефельда (2001-2006 гг), в Уорикском университете (2002 г), в Бристольском университете (2002 г), на Международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам (Суздаль, 2008 г), на семинаре Отдела теории вероятностей и математической статистики Математического института РАН имени В А Стеклова (2008 г), на семинаре «Теория дифференцируемых функций многих переменных и ее приложения» под руководством академика С М Никольского и члена-корреспондента РАН Л Д Кудрявцева в Математическом институте РАН имени В А Стеклова (2008 г), на международной конференции, посвященной 100-летию со дня рождения С Л Соболева (Новосибирск, 2008 г), во

Владимирском Гуманитарном университете (2009 г) и на международной конференции «Стохастический анализ и случайные динамические системы», посвященной 100-летию Н Н Боголюбова (Львов, 2009 г)

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 11 работах автора, список которых приведен в конце

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, включающих 18 разделов, и списка литературы из 135 наименований Общий объем диссертации составляет 202 страницы

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ Глава 1

Основные результаты этой главы дают решение проблемы существования замыкаемой градиентной формы Дирихле на плоскости, для которой частные формы не замыкаемы Для этого используется новое достаточное условие замыкаемости формы Дирихле, порожденной сужением меры Лебега на компакт Кроме того, найдены эффективно проверяемые условия сходимости по Моско форм Дирихле в терминах сходимости стационарных распределений, что дает условие слабой сходимости конечномерных распределений процессов

Пусть X — локально выпуклое пространство с положительной ра-доновской мерой ц, II С X - гильбертово подпространство, вложенное в X непрерывно Если функция д является /¿-интегрируемой, то через д ц обозначим меру с плотностью Радона Ни код им а д относительно ц В конечномерном случае пусть С = С™(Х) — класс гладких функций с компактными носителями в X, в бесконечномерном случае пусть С = РС^(Х) — класс гладких цилиндрических функций вида

1(х) = и{11(х), ,1т(х)), 13£Х', тем

Для функции / 6 С определен градиент V/// вдоль Я

Определение 1.1. Пусть £ — квадратичная форма па множестве Т> с Ь2(Х,ц) Говорят, что форма (£,Т>) замыкаема, если для всякой последовательности функций /„ 6 Т>, такой, что Ц/пЦх,» —> 0 и

п—*оо

£(/„ — /т) —> 0, выполнено £(/„) —> 0

т,п—»оо п—>оо

В одномерном случае имеется простой критерий замыкаемости градиентной формы Дирихле, однако уже в двумерном случае проблема оказывается существенно более сложной и до сих пор не решена Более 40

лет остается открытой и гипотеза Фукушимы, что необходимым условием замыкаемости формы

т=J|v/|2d/i, v=с, (i i)

является абсолютная непрерывностьц Эффективно проверяемым достаточным условием оказалась замыкаемость частных форм Дирихле

Однако долгое время оставался открытым вопрос о необходимости этого условия Было неизвестно, существует ли такая мера /¿ на плоскости, что форма (1 1) замыкаема, а форма £Х1 не замыкаема В данной главе получен положительный ответ на этот вопрос

Теорема 1 2. На плоскости существует вероятностная мера fi, для которой полная градиентная форма Дирихле замыкаема, а частная форма £Х1 пет

Здесь получен также и положительный результат - новое достаточное условие замыкаемости формы (1 1) для специального класса мер на К", а также достаточное условие продолжения соболевских классов, близкое к результатам Жикова44 45 Обозначим через А" меру Лебега на R"

Теорема 1 3 Предположим, что открытые множества Q с ix'' и G\Gq, где Gq С G с имеют локально липшицевы границы Возьмем счетное семейство преобразований подобия Tk пространства R'', для которых Tk(G) с Q и 7|(g) п T}(G) = 0 при к ^ j Положим

оо

5=q\ut*(g») (12)

к= 1

Тогда квадратичная форма

£'(/)= / |V/|2dA", f€C, Js

замыкаема в L2(Xn |s), а соболевские классы W1'P(S), р > 1, корректно определены

Решение упомянутой проблемы было получено автором при помощи теоремы 1 3, примененной к плоскости R2 и G = (—3,3)2, Gq = (—2,2)2

^Ъкиков В В Усреднение функционалов вариационного исчисления в теории упругости, Изв АН СССР, Сер матем, 1986, т 50, N 4, 675 711

^Жиков В В Асимптотические задачи, связанные с уравнением теплопроводности в перфорированных обчастях, Матем сб, 1990, т 181, N 10, 1283 1305

В качестве меры /i можно взять сужение меры Лебега на некоторый компакт вида (1 2) Можно видоизменить эту меру так, чтобы ее носитель совпадал со всей плоскостью К2 Полученный результат обобщается также на d-мерное пространство

Теорема 1.4. Пусть d € N, d > 2 Существует мера и с полным носителем па такая, что квадратичная форма вида

£ни =ел*/(19hu "hd-

замыкаема в L2{y) в том и только том случае, если h\ h(j > 0

Пусть fin, ¡i — радоновские положительные меры на X

Определение 1.5. (i) Будем говорить, что последовательность функций fn 6 L2(fin) слабо сходится к функции f 6 L2(//), если

j fn{x)ip(x)iin(dx) -> J f(x)ip(x)n(dx) MtpeC

(11) Последовательность функций fn 6 Ь2(цп) сильно сходится к функции f 6 L2(fi), если она сходится к f слабо и при этом выполнено соотношение ||/n||L2W -> ||/||^)

Сходимость Моско была введена в работе28 Ее роль состоит в том, что сходимость Моско квадратичных форм на L2(fi) эквивалентна сильной сходимости порожденных ими диффузионных полугрупп, из нее также вытекает слабая сходимость конечномерных распределений диффузионных процессов, соответствующих этим полугруппам Важное продвижение было получено в работах27'30, где рассматривались квадратичные формы на последовательности гильбертовых пространств Следующее определение сходимости Моско соответствует именно этому более общему случаю

Определение 1.6. Последовательность квадратичных форм£п на пространствах L2(fin) сходится по Моско к квадратичной форме £ на L2(fi), если выполнены следующие два условия:

(М1) для всякой последовательности функций /„ G L2(fxn), слабо сходящейся к f £ выполнено неравенство ]ym£n(fn) > £(f),

п—>оо

(М2) для всякой функции f € L2(//) найдется последовательность fn 6 Ь2(цп), сильно сходящаяся к f, такая, что £n(fn) £(f)

Пусть = С([0, оо), X) - пространство всех непрерывных траекторий в локально выпуклом пространстве.^ Рассмотрим в X марковский диффузионный процесс

{п,хигир„хех}, (13)

имеющий вероятностную или неотрицательную сг-конечную стационарную меру ц на X Данный диффузионный процесс порождает на Ь2{ц) полугруппу {Т1}4>о, у которой генератор Ь имеет область Б(Ь) С генератором полугруппы ассоциирована неотрицательно определенная квадратичная форма (£, !)(£)), где 0(£) = О(Ь), заданная соотношением

Пусть еще имеется последовательность диффузионных процессов

{П, Хщи Тп>и р;, хеХ}, neN, (1 4)

со стационарными мерами квадратичными формами £п и полугруппами {Тт1(} Рассмотрим на О. распределения

V, = ¡РМЪ), ^ = I

Сходимость Моско £п —> £ влечет слабую сходимость конечномерных распределений к распределениям (Х^, , ). В работе27 показано, что формы Дирихле £п на Ь2(/1п), ассоциированные с марковскими процессами (1 4), сходятся по Моско к форме £ на /у2(/л), ассоциированной с (1 3), в точности тогда, когда для всякой последовательности функций /„ € £2 (//„), сильно сходящейся к / € Ь2(ц), функции Тп ,/п сильно сходятся к Тг/ при каждом I > О

Будем говорить, что мера ц на локально выпуклом пространстве X локально дифференцируема вдоль вектора /г € X в смысле Скорохода, если меры (/х( +£/1)—/¿)/£ локально слабо сходятся (т е сходятся интегралы от функций из Со(Х)) к некоторой знакопеременной мере, обозначаемой через Мера д называется локально дифференцируемой вдоль вектора Н е X в смысле Фомина, если меры (¿¿( 4- От) — сходятся к с4/1 на каждом предкомпактном борелевском множестве

В случае мер на К'' локальная дифференцируемость /л по Скороходу вдоль в, линейно независимых векторов означает, что частные производные ¡1 в смысле обобщенных функций задаются локально ограниченными мерами Локальная дифференцируемость Фомина равносильна тому, что [1 = дЛх, где д е (И*)

Пусть Н с X — линейное подпространство В случае X = пусть оно наделено евклидовой нормой, не обязательно совпадающей с нормой из Если же X — бесконечномерное локально выпуклое пространство,

то предположим, что Я - гильбертово пространство (конечномерное или бесконечномерное сепарабельное), непрерывно вложенное вХ

Пусть р — неотрицательная радоновская мера на локально выпуклом пространстве X, квадратичная форма определена для функции tp g С формулой

ад = /1 v^i2^

Норму на пространстве С зададим формулой

Ы\е = I Мщ,) + \/ад

Соболевским классом И^'2(/х) называется пополнение класса С по норме

Il IML2(/i)

Следующие теоремы дают новые достаточные условия сходимости Мос-ко градиентных квадратичных форм Отметим, что здесь на меры не накладываются условия ограниченности снизу (типа существования плотности р с локально интегрируемой р~1), поэтому полученные здесь результаты применимы и к диффузиям, стационарные меры которых имеют «пустоты»

Теорема 1.7. Пусть меры рп, р. на локально выпуклом пространстве X неотрицательны и конечны (в случае X = Rd — локально конечны, причем для некоторого ¡3 > О выполнена оценка р(\х\ < R) < для всех R > 0), пусть рп > р и рп —► р слабо (в случае X = M.d —

п~* оо

локально слабо) Рассмотрим квадратичные формы

£>(/) = J\VHf(x)\2,in(dx), (1 5)

для которых D(En) таковы, что С плотно в D(£n) по норме || Пусть

Щ) = J\VHf(x)\2p(dx), (16)

где H — сепарабельное гильбертово пространство, непрерывно вложенное в X Если форма Е замкнута, то Еп —> 8 по Моско

Теорема 1.8 Пусть па Rrf заданы неотрицательные локально конечные меры р и рп, п G N Пусть меры рп локально дифференцируемы по Скороходу по всем векторам h g Я с Rfi, а мера р локально дифференцируема по Фомину по всем векторам h g H, причем g Ь2ж(р) Предположим, что pn —+ p и dhpn —> dhP локально по вариации Рассмотрим квадратичные формы (1 5), для которых; D(£n) таковы, что С плотно в D(En) по норме || ||£п Пусть для формы (1 6) имеет место равенство D{£) = Wjf(p) Тогда £п -» £ по Моско

Теорема 1.9. Пусть на локально выпуклом пространстве X задана радоновская вероятностная мера р., такая, что гильбертово пространство

вд = {Л€Х 3/?;;GL2M}, цл||ЯОО = (17)

плотно в X Пусть Н С Н(/х) — гильбертово подпространство с той оке нормой и радоновские меры /;,, > О дифференцируемы по Скороходу по всем векторам h Е Н, причем р„ —у ц и d/,p,n —> ditp по вариации Расслютрим квадратичные формы (1 5) Пусть D(£n) таковы, что С плотно в D(£n) по норме || \\еп, а для формы (1 б) имеет место равенство D{£) = W}/2(p) Тогда £п £ по Моско

Применим теорему 1.9 к случаю, когда меры ди fin абсолютно непрерывны относительно некоторой гауссовской меры

Теорема 1.10. Пусть 7 — радоновская гауссовская мера на локально выпуклом пространстве X, такая, что ее пространство Камерона -Мартина //(7) плотно в X, Н С Н(7) — гильбертово подпространство с той же нормой

Пусть ро, рп > 0 входят в ¿'(7), причем ,/ро € ^щ7)(7)> а функции рп имеют обобщенные производные по всем векторам h е Н, являющиеся мерами dhpn Предположим, что рп Ро в и dhPn dhPa 7 по вариации Рассмотрим квадратичные формы

£.(/) = / \4lf(x)\2pn(xMdx), где D{£„) таковы, что С плотно в D(£n) по норме || ||fn Пусть

£(f) = J \Чн№\2роШ<Ь), D(£) = W]i\pQ 7)

Тогда £п —* £ по Моско

Следствие 1.11. Если выполнены условия одной из теорем1 7—1 10 и, кроме того, формы £п замкнуты, то

(I) для всякой последовательности функций /„ е L2(fin), сильно сходящейся к / 6 L2(fi), функции Tntfn сильно сходятся к Ttf при t > 0,

(II) конечномерные распределения диффузионных процессов, ассоциированных с £п, слабо сходятся к конечномерным распределениям диффузионного процесса, ассоциированного с £

В конечномерном случае полученные результаты означают, что для слабой сходимости конечномерных распределений диффузий, заданных градиентными формами Дирихле, достаточна сходимость их стационарных распределений на шарах по соболевской норме

Глава 2

Основные результаты этой главы состоят в доказательстве ряда важных свойств емкостей, порожденных классами Соболева на бесконечномерных пространствах (локально выпуклых или пространствах конфигураций)

Пусть X — локально выпуклое пространство, в которое непрерывно и плотно вложено сепарабельное гильбертово пространство Я со скалярным произведением (, ) и нормой | | Это даст непрерывное отображение Зн X* -> Я, где (?я(0> h) = 1(h)

Если функция / дифференцируема в точке х в каком-либо смысле, то ковектору f'(x) € X* соответствует вектор Vnf(x) = Jj{(f'(x)), называемый градиентом функции / вдоль II

Обозначим через Н(Н, Я) = Н.2 класс операторов Гильберта-Шмидта из Я в II По индукции определяются классы операторов Гильберта-Шмидта порядков п > 2 Нп = Н(Н,Нп-1) Естественно положить П0 = R, Tii = Н Соответствующие нормы равны

оо оо

imiL=E Е \\Пет„ ,emnJ\\l

7711=1 т„_1=1

и не зависят от выбора ортонормированного базиса {ет} в Я

Пусть /х — радоновская вероятностная борелевская мера наХ, имеющая полный носитель Будем предполагать, что j//(X*) с Я(/х), где II (ц) — гильбертово пространство, определенное в (1 7)

Определение 2.1. Мера /1 па X дифференцируема вдоль векторного поля v X —> X, если существует функция 6v £ называемая

дивергенцией векторного поля v, такая, что для всякой функции ip из выполнено равенство

J dvip(x)ii(dx) = - J <p(x)dv(x)fi(dx),

где dv(p(x) = ip'(x)(v(x))

Определение 2.2 Функция f e U'(iL) входит в пространство Соболева WTp(n), если существует последовательность функций fnEJ-Cf, сходящаяся к / в и'(ц) и фундаментальная по норме || |[rjJ, где

г ¿=1

При 1 <т< к предел в Lv()i, Нт) функций V#/n обозначим через и будем называть соболевским градиентом т-го порядка функции /

Определение 2 3. Пусть ц - неотрицательная борелевская мера на топологическом пространстве X Пусть Т - некоторое линейное пространство [I-измеримых функций, снабженное нормой || ||о, причем функции из Т, совпадающие почти всюду по мере ц, обладают равными нормами Емкость, порожденная Т, определяется так для всякого открытого множества II С X полоэ/сим

С?(и) = 1п£{||/||о / € Т, / > 0 на X, / > 1 на и ¡1-почти всюду}, для произвольного мноэюества А С X положим

Суг(А) = т({Суг(и) Леи, и - открытое}

Функция / на X называется С^-квазинепрерывной, если существуют замкнутые множества такие, что / |дп непрерывна при каждом п, и Ср{Х\С}п) < 1 /п Известно, что для всякой функции / 6 ^-"существует СУ-квазинепрсрывная /^-версия

Емкость Су называется плотной, если для всякого е > 0 найдется компакт Кг С X, такой, что С?(Х\К£) < £

Согласно классической теореме Шоке, всякая емкость Шоке С на сус-линском пространстве X (например, на полном сспарабслыюм метрическом пространстве) внутренне компактно регулярна, т е для всякого боре-левского множества В верно равенство

С(В) = зир{С(/0 К - компакт в В} Однако, в отличие от случая мер, из этого не следует плотность, даже если X = К1 или X = (0,1)

Будем говорить, что II удовлетворяет условию (Т1), если существует центрированная радоновская гауссовская мера 7 на X с Н С II(7)

Теорема 2 4. Пусть X - локально выпуклое пространство с радопов-ской вероятностной мерой д Пусть для всякого е > О существует метризуемый компакт К£ С X с //(Х\К€) < е Предположим, что сепарабельное гильбертово пространство II а X удовлетворяет условию (Т1) Тогда емкость Стр — плотна при всех р 6 [1,+схэ), г 6 К, при которых соболевский класс Ип'р{ц) корректно определен

Перейдем к соболевским функциям и емкостям в пространствах конфигураций Пусть М — некомпактное связное гладкое полное риманово многообразие размерности (I Через обозначим градиент к-го порядка на М, определенный в терминах связности Лсви- Чивиты

Определение 2 5 Пространство конфигураций (с кратными точками) Г = Гд/ на многообразии М есть пространство мер 7 на М, принимающих значения вЪ+ и{+оо}, таких, что для всякого компакта К с М имеем 7(К) < оо

Обозначим через юо топологию на Г, порожденную функциями вида (<Л7) = j ф^у^х), где V 6 С0(М) В пространстве Г существует

метрика р, задающая топологию такая, что Г с метрикой р является полным и сспарабельным

Определение 2.6. Пусть многообразие М наделено а-конечной локально конечной мерой а Вероятностная мера тг„ на пространстве конфигураций Г = Гм называется пуассоповской мерой с интенсивностью а, если для любого конечного набора непересекающихся ограниченных боре-левских множеств А\, ,Ап С М значения 7(/1,) являются независимыми пуассоновскими случайными величинами с Е 7(Д) = сг(Аг)

Далее мы будем предполагать, что мера о имеет плотность д относительно риманова объема на М, причем у/р € И^'^А/)

Функция / Г —> М называется гладкой цилиндрической (обозначение / 6 ТС? = если она имеет вид

/(7) = (¥>п,7», Ч>1 6 и € Сь°°(Г'), п 6 N

Пусть Т"М" — такое тензорное расслоение над М'\ что слой в точке (XI, ,хи) е Мп имеет вид (ТпМп)[хи = Т1лМ® ®Т,,пМ Обозначим через [, ]„ риманово скалярное произведение в слое (ТпМ")(Хь 1п), заданное формулой

п

[«1 <Э О Уп, V)! О • ® №„] п = Д [у3, -Ш^Т^М

3=1

Через | | обозначим соответствующую норму |г>| = и]„. Касательное тензорное пространство п-го порядка Т"Г в точке 7 € Г есть пространство сечений ТпМп, для которых конечна следующая норма

(Х»'у(хь 'хп)\2'у{с1х1) '

Обозначим через и^тта, Т'Т) пространство ^„-измеримых сечений F тензорного расслоения Т"Т, ^(7) 6 Т"Г, наделенное нормой

Векторное поле V £ Сд>(М, ТМ) порождает группу диффеоморфизмов многообразия М, которые «поднимаются» в пространство Г по правилу если 7 = Е, М*., то Ч'ьЬ) = £«

Определение 2.7. Градиентом сечения F расслоения 7Т, где п 6 называется сечение VF расслоения Г"+1Г, определенное таким образом:

для всякого V £ ТХМ, х £ Бирр 7, выполнено равенство

Х,Х1, ,ХП),(У®У1® 0 уп) =

-I Т1-(-1

-I Т1-(-1

dt\t=о .

Ч

п

Здесь - поток диффеоморфизмов, порожденный гладким векторным полем Ух на М с Ух(х) = V, таким, что ■г/'« в окрестности точки х сдвигает точки вдоль геодезических с постоянной скоростью, Ух = О вне некоторой окрестности точки х, не содержащей других точек конфигурации 7 Через Ф((и) 6 Тф^М обозначен результат параллельного переноса вектора V £ ТХМ вдоль траектории ^

В случае п = 0 мы имеем то же самое определение градиента скалярной функции, что и в работе59 Применяя определение 2 7 несколько раз, мы можем определить градиенты высших порядков Х7к для скалярных функций, векторных и тензорных полей на Г

Будем говорить, что сечение F расслоения ТПГ принадлежит классу ^С^(ГТ) гладких цилиндрических тензорных полей тг-го порядка, если оно имеет следующий вид

где к, £ М, ^(ц, ,хп) = Лт(7)^ь 'кт{хъ ,хп),

N 6 М, Л" £ и>к/' 'кт £ С^{Мп,ТпМп) Индексы к, никак

не связаны с кратностями точек конфигурации Они появляются в силу того, что, например, производная цилиндрического векторного поля не может быть записана как линейная комбинация гладких тензорных полей 2 порядка на М2, умноженных на цилиндрические функции Имеет место включение У(ТС^(ТпГ)) с ТС™(Тп+1Г) Для гладких цилиндрических сечений ТпГ, п = 0,1, , соболевские нормы || ¡|гр, г £ К, р > 1, определены следующим образом

Гладкие цилиндрические сечения имеют конечные соболевские нормы любых порядков

Определение 2 8 Сечение € 1-?(-ка, Т"Г) принадлежит соболевскому классу \УТ'р(ТпТ), если существует последовательность гладких цилиндрических сечений Рт расслоения 1тГ, сходящаяся к Р по ЬР^тГс, Т™Г)-порме, и при атом — последовательность Коши по норме || ||Г1р

+кт=п

г

IР

При к = 1, , г градиентом к-го порядка сечения Р считается предел в //(7га, соответствующих градиентов сечений Ет

Градиенты от 1-го до г-го порядка от функций класса \УТ,!'(ТпГ) определены корректно Будем обозначать 1УГ,Р = 1У'Р(Т°Г) — пространство соболевских скалярных функций

Зафиксируем точку а £ М и обозначим через 1/г открытую г-окрес-тность а в метрике М Предположим, что выполнено следующее условие существуют такие функции <рп е С^(М) со значениями в [0,1], что <рп \ап= 1, 811рр (рп с ип+1, и такие числа о^ > 1, что

ьирзир|У^п(х)| <ак Чк =1,2, ,г (2 1)

п хем

В случае г = 1 это условие выполнено всегда В общем случае условие (2 1) является дополнительным ограничением на М Пространство и ¿-мерное пространство Лобачевского удовлетворяют условию (2 1) при всех г £ N

Теорема 2.9. Пусть условие (2 1) выполняется для некоторого натурального г Тогда емкость порожденная классом Соболева \¥Т,Р на Г, плотна при всяком р> 1

Пространство Г = Тм конфигураций без кратных точек есть

г = {7 е г 7({х}) <1 Ух е м}

Известно, что если а не имеет атомов, то 7гст(Г\Г) = 0 Метрическое пространство (Г, р) не является полным Однако пространство Г с топологией адо будет полным по другой метрике р\, задающей ту же топологию В работе найдены следующие условия компактности в пространствах конфигураций

Теорема 2.10. (1) Множество С} С Г предкомпактпо в топологии и>0 в точности тогда, когда для всякого компакта А С М имеем

Бир7(Л)<оо (2 2)

(и) Множество Ц С Г предкомпактно в топологии гои в точности тогда, когда для всякого компакта А С М выполнено (2 2) и

т£( пнп с11Б^(а;,1/)) > О

Чх.уеЛГеирр 7 /

Возникает такой вопрос будет ли та или иная соболевская емкость обращаться в нуль на множестве Г\Г конфигураций с кратными точками'7 В этом направлении получен следующий результат

Теорема 2.11. Пусть Г — пространство конфигураций ?taMd или па d-мерпом пространстве Лобачевского с пуассоиовской мерой, порожденной локально конечной мерой а, имеющей плотность g относительно d-мерной меры Лебега (или относительно римановского объема), такую, что уД> G и g G Lfoc Тогда при всяких г G N и р G [1, d/r) мы имеем Сгр(Г\Г) = 0, а емкость Сг р плотна также в Г

Глава 3

Основные результаты этой главы связаны с построением поверхностных мер на множествах уровня соболевских функций на бесконечномерных пространствах с вероятностными мерами (локально выпуклых или пространствах конфигураций) Принципиальное новшество состоит в том, что не накладывается каких-либо условий непрерывности на функции, задающие поверхности Значение этого результата понятно из того, что многие типичные функционалы от случайных процессов не являются непрерывными Таковы, например, функционалы, задаваемые посредством стохастических интегралов или решений стохастических уравнений Скажем, простейший стохастический интеграл Винера

Г{и>)= \ ^¿щ. Jo

от неслучайной функции ф имеет непрерывную на С[0,1] версию лишь тогда, когда функция ¡р имеет ограниченную вариацию, хотя Р — линейная функция и входит во все классы Соболева С помощью кратных стохастических интегралов можно построить примеры соболевских функций, которые нельзя сделать непрерывными, сузив на какое-либо множество полной меры

В этой же главе получен ряд новых результатов об эквивалентных преобразованиях мер на пространствах конфигураций Эти преобразования не являются локальными

Пусть X — локально выпуклое пространство, ц — радоновская вероятностная мера, Н — сспарабельное гильбертово пространство, непрерывно вложенное в X Предположим, что Н удовлетворяет условию (Т1) и что м(Х*) с я (/х)

Пусть /С — счетное семейство компактов на X Назовем К. локализующим семейством г-го порядка, если выполнены такие условия

1) \/кик2 е к, э/с., е к. кх и к2 с к\

2) /х(Х\1|Ке^)=0.

3) для каждого К € К. существует СГ]р-квазинепрерывная при всех р > 1 функция (к е П7,>1 №г>р(ц), такая, что 0 < Ск < 1, О? к = 1, и существует такой компакт К' б К., что С к 1 0 Семейство функций {С;<- | К 6 1С} также будем называть локализующим порядка г

Будем говорить, что функция / принадлежит локальному соболевскому классу если существует локализующее семейство г-го порядка

функций {Ск}, такое, что С/ 6 И/г,р(/г) € {Ск} При этом производные / в точке х £ К £ К. определяются по формуле = Уц(Ск1)(х), к = 1, г

Если мера /г сосредоточена на возрастающей последовательности абсолютно выпуклых компактов, представимых в виде счетного пересечения цилиндров, то имеется локализующее семейство всякого порядка г б N и имеет место вложение 1№т,р{ц) С В диссертации доказано, что

если / е и СТ#{Х\К) = 0, то функция / имеет Сгр-

квазинепрерывную /х-версию

В следующей теореме о свойствах плотности индуцированной меры при отображении в прямую на функцию наложены более слабые условия гладкости, чем в работе17 Эта теорема играет важную роль при построении поверхностной меры на множествах уровня

Теорема 3.1. Пусть /1 — радоновская вероятностная мера на локально выпуклом пространстве X, пусть Н — сспарабельное гильбертово пространство, Н с Н(ц) Пусть

Р е ^Г1 е ЬШ =

гдер > 4, и для Р и [У/у/^-1 существует общее локализующее семейство функций С 2-го порядка Если для всякой С € £ мера (ц дифференцируема вдоль векторного поля^дР, причем плотность меры относительно меры ц принадлежит Ь2(ц), то мера ((ц) о Р~1 имеет непрерывную плотность к(относительно меры Лебега) с ограниченной вариацией на К

Теорема 3.2. Пусть X — локально выпуклое пространство, и выполнены условия теоремы 3 1 Тогда однозначно определено семейство ра-доновских мер {и^ £ € С, а £ К}, таких, что

I ф)и[а\ёх) = (а) Чср € ГС?(Х)

Эти меры обращаются в 0 на множествах нулевой емкости где г удовлетворяет условию 4/р + 1/г < 1

Определим поверхностную меру и^1 на всей поверхности {Р(х) = а} Пусть выполнены условия теоремы 3 2 и Л £ В(Х) Если А С К при

некотором К £ fC (К — локализующее семейство компактов 2-го порядка для функции F), и supp (,к С К' £ /С, то положим v^a\A) = Если Л произвольно, то положим

и{а)(А) = biip{i/(a)(2?) В С А, 3К £ 1С В С К}.

Отметим простейшие свойства введенных мер

Предложение 3.3. Функции г/'"' ¡3(Х) —> [0, +оо] пс зависят от выбора локализующих семейства компактов 2-го порядка К. и являются радоповскими а-конечными положительными мерами, конечными на компактах из К.

Для рассматриваемых поверхностных мер получено обобщение формулы Остроградского-Гаусса Пусть функция F £ W^2(/i) является С\<с,-квазипепрерывной и £ Ь]2Г(р), положим U = F-1((—оо,0))

Будем называть множество Е = F_1(0) поверхностью множества U. Если функция F и мера ¡1 удовлетворяют условиям теоремы 3 1, то на Е мы имеем поверхностную меру Определим нормированную поверхностную меру

fi{dx) = \VHF(x)\^\dx),

где для |V//F|2 £ Wj£([i) выбрана С^в-квазинепрерывная версия Эта мера имеет конечную вариацию на каждом компакте К £ К. Внешней нормалью к поверхности Е будем называть вектор

п(х) = IVuFW^Fix), х € Е

Тогда для всякого векторного поля и £ Wl'12([i, //), имеющего компактный носитель supp и С К £ 1С, такого, что существует Su (см определение 2 1), будет справедлива следующая формула Остроградского-Гаусса

I 5u(x)fi(dx) = f {u(x),n(x)}fif){dx), (31)

Ju JT.

где для функции (и, п) выбрана С^б-квазинепрерывная версия

Замечание 3 4 Если вместо принадлежности локальным соболевским классам потребовать включения F £ W2'l2(fj.) и |VhF|_1 £ Ln(/i), то формула (3 1) будет верна для векторных полей и £ W1,12(fi,H) не только с компактными носителями

Мера не зависит от выбора функции F, задающей данные U и Е с точностью до множества нулевой емкости С\ с,

В этой же главе исследуется абсолютная непрерывность образа меры Пуассона при отображении пространства конфигураций на прямую, затем строятся поверхностные меры, связанные с мерой Пуассона При

этом для функции .Р, задающей поверхность, мы рассматриваем градиенты только первого и второго порядка, затем рассматриваем альтернативное определение, использующее только первый градиент функции Р

Определение 3.5. Мера п„ на Г дифференцируема вдоль векторного поля V Г —> ТТ, если существует функция 6у 6 Ь1^) (дивергенция поля г>), такая, что для всех (р £ выполнено равенство

! = - У уММтКаО^у),

где ду1р{ч) = ^<¿>(7), ф))^

Теорема 3.6. (1) Пусть Р е \У2,Р такова, что существует векторное поле V £ И^'^ТГ) с дивергенцией 5У £ Ьв(к<т), « (дуР)'1 & Ьч{7ГСТ) Если д € (2 < г < оо), и положительные числа р, д, г, я удовлетворяют неравеству

- + - + ^ + -<1, (3 2)

р д г в

то для меры {д-ка)оР~1 можно выбрать абсолютно непрерывную плотность Радопа-Никодима кд относительно меры Лебега на К, такую, что

/•+00

Уаг к„ —

■/—оо

В частности, |А^(а)| < сопб1;(Р, V) ||д||1,г для всех абК

(и) Пусть функция Р £ И/1'р такова, что существует векторное поле V £ Ь3{тта,ТТ) с дивергенцией ЬУ £ Ь${тта), 1 /р+ 1/й < 1 Тогда для всякой функции д £ с г — ^ мера (дуРтга) о Р~1 допускает абсолютно непрерывную плотность кду относительно меры Лебега па М, такую, что

/+оо ■оо

В частности, \кду(а)\ < (Н^Н^ + при всех а £ М

Теорема 3.7. (1) Пусть Р £ \У2>Р

и пусть поле V £ (ТГ) таково, что 5У £ Ь*(па) и {дур)'1 £ ¿«(тгст) Пусть 2/р + 2Д/ + 2/в < 1 Тогда существует такое семейство мер {^оеиъ что справедливо следующее тождество

/+оо

|^(a)|da<const(F,F) \\g\\lir

■00

/(7) va{dri) = kf(a), Va € R, V/ £ TC\ Кроме того, верна оценка

va{A) < const(F, V) Ci,r(i4), VAeB(Г),

где const(F, V) — положительное число, зависящее только от F и V, а число г удовлетворяет условию (3 2)

(и) В ситуации предположения (и) теоремы 3 6 существует такое селмйство мер {иау}а^тя., что

J/(7) v*y{di) = kfy(a), Va 6 R, V/ G TC?, va(A) < (IIV^IU- + И^И^С^Л), MA 6 B{Г)

В виду теоремы 2 11, мы получаем такое следствие теоремы 3 7

Следствие 3 8. Пусть выполнены условия теоремы 3 7(i) Если мы рассматриваем пространство конфигураций Г на где выполнено условие d > (l — 1 /р — 2/q — 2/s) , то мера va обращается в нуль на Miiooicecmee конфигураций с кратными точками

Естественно называть va и vay поверхностными мерами на множествах {F = а} Преимущество va по сравнению с ь>ау в том, что она не зависит от векторного поля V (требуется лишь существование подходящего V) С другой стороны, преимущество меры и„у в том, что для се построения требуются лишь первые производные функции F

Чтобы получить более геометрическое определение поверхностной меры (так, чтобы она не зависела даже от выбора F), рассмотрим нормализованные поверхностные меры va = ¡ VF[ i/a, где для функции |VF| выбрана С^р-квазинепрерывная версия

В работе получена версия формулы Остроградского-Гаусса, обобщающая результаты36,37, формулы такого типа могут быть полезны при изучении краевых задач на пространствах конфигураций

Теорема 3.9 Пусть 6/p + 2/q + 2/s — 1 и функция F € lV2j' является Cij-квазинепрерывпой Пусть векторное поле V G W1,S(TT) таково, что (i) 6V в Ь3{тта), (и) (dvF)'1 6 L«{na)

Пусть Y — векторное поле класса И/1'Р(7Г<7, ТГ), для которого существует дивергенция 5Y Тогда функция

7 и^ш^ё^

интегрируема по мере щ, и если для функции (VF, Y) выбрана C\ v¡2-квазинепрерывная версия, то верна формула

í 6Y( 7)7rCT(d7)=/ Ц,,У)(7)^7), (3 3)

JF-m-oofl)) JF-ЦО)

где пр — |VF| lVF В частности, правая часть формулы (3 3) не зависит от выбора Сх^^-квазинепрерывной версии (VF,Y)

Если имеется другая С^р-квазинепрерывная функция F, удовлетворяющая условиям теоремы 3 9, и {F < 0} = {F < 0} и {F = 0} = {F = 0}, то мера щ не изменится, если мы заменим функцию F функцией F

В последнем разделе рассмотрена проблема квазиинвариантности меры Пуассона Поскольку множество конфигураций с кратными точками имеет нулевую меру 7гст, мы будем рассматривать пространство конфигураций Г с Г без кратных точек Следовательно, мы можем отождествлять конфигурации со счетными локально конечными подмножествами многообразия М

Пусть / Г —> К, зафиксируем 7о € Г Будем говорить, что функция / дифференцируема по точке xq £ 70, если отображение

/о М-> R х^/((7о\{х0» U{x})

дифференцируемо в точке х0, те существует Vl0/(7) = Vm/o(zo) £ ТХоМ Соответственно, / называется непрерывно дифференцируемой по точке xq £ 7о, если отображение Vm/о М —» ТМ непрерывно в точке xq

Мы будем рассматривать отображения вида

Т(7) = {х + tp(j)v(x) | х € 7}

Для простейшего случая (<р = 1, носитель поля v компакт) известен следующий результат Пусть F — борелевское отображение М в себя, и существует ограниченная область П с М, такая, что F(x) = х при х ^ О, и <т о F'1 <С а Если преобразование пространства Г задано в виде Т(7) = {F(x) | х £ 7}, то тта о Т-1 <С 7ГСТ, и соответствующая плотность Радона-Никодима такова

167ПП

В диссертации рассмотрен общий случай переменного множителя <р и векторного поля v, не обязательно имеющего компактный носитель Отрезок, соединяющий точки а и Ь, обозначим через [а, Ь]

Теорема 3.10. Пусть Г — пространство конфигураций на Rd и па — мера Пуассона с интенсивностью а = Q(x)dx, где q > 0, q £ C^R^) Пусть отображение Т Г —> Г имеет вид

Т{7) = {х + <p(j)v(x) | х е 7},

где ip Г —> [—1,1] непрерывно дифференцируема по каждому х 6 7 Пусть V — липшицево с константой С < 1 векторное поле na Rd и supx|w(x)| = V < 00 Положим w{x) — ||Ví;(x)||, где норма операторная Предположим, что

1 ~ ^

Предположим также, что интеграл

D(a) = J (Г1'1^) - lja{dx),

где

Т{х) = (l-w(i))-'' exp sup If—,w)|,

[x-t.(x),i+t(i)]l ^ в >\

конечен при некоторых q > 1 и а > 0 Тогда мера 7гст квазиипвариантна относительно отображения Т, причем верпа оценка

с/(тга О Г-1) < exp(D(0)/q)

dir„

L"M 1 - P

Теперь рассмотрим преобразования конфигураций потоками, порожденными векторными полями Обозначим через

в

дивергенцию поля V относительно меры а на римановом многообразии М Эта дивергенция заведомо существует, если поле локально липшицево

5v(x) = ^и(х), ^-^(х)^ + div v(x)

Теорема 3.11. Пусть М — связное некомпактное гладкое ¿-мерное риманово многообразие, v — локально липшицево векторное поле наМ Обозначим через поток диффеоморфизмов М, порожденный по-

лем v Пусть преобразование Tt пространства Г имеет вид

ВД = {ВД 1*67}

Если при некотором фиксированном t > 0 и некоторой точке о S М при некоторых q >1, а>0и/3>1 конечен интеграл

[ ехр((<7 - 1)( sup (~tSv)+ + М min{a, ——^--})) - 1 cr(dx),

Jm 4 VmvW distм(o,x) 'J

где u+ = max{u, 0}, то мы имеем na о Тр1 тга, соответствующая плотность равна

= ехр(-У2 / ¿у(Е.а(х))сЬ) 4 хб7 Л '

и входит в класс Ьч{-ка), причем ЦйЦ^^) < ехр(К0 0/д)

В работе приведены примеры, показывающие, что технические условия, накладываемые в двух предыдущих теоремах, существенны Например, построено преобразование вида Т{7) = {я + \ х £ 7}, где у е С™(М,ТМ) и / 6 ГС™ (Г), которое переводит меру не в эквивалентную, даже если V и Ву произвольно малы

ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

[1] Пугачев О В Формула Остроградского-Гаусса в бесконечномерном пространстве Матем сб 1998 Т 189, N 5 С 115-128

[2] Pugachev О V Tightness of Sobolev capacities in infinite dimensional spaces Inf Dimcn Anal, Quantum Probab and Relat Top 1999 V 2, N 3 P 427-440

[3] Пугачев О В О замыкаемостн классических форм Дирихле на плоскости Докл РАН 2001 Т 380, N 3 С 315-318

[4] Пугачев О В Пространство простых конфигураций является польским Матем заметки 2002 Т 71, N 4 С 581-589

[5] Богачев В И , Пугачев О В , Рскнер M Поверхностные меры и плотность соболсвских емкостей на пространстве Пуассона Докл РАН 2002 Т 386, NIC 7-10 (О В Пугачевым получены теоремы 2, 3, 4, 5, В И Богачевым получено следствие 1 и предложен ряд усовершенствований доказательств теорем 2 и 3, M Рекнером получена теорема 1 и предложено несколько определений, использованных в работе)

[G] Bogachev V I Pugachcv О V , Rockner M Surface measures and tightness of (r,p)-capacities on Poisson space J Funct Anal 2002 V 196, N 1 P 201-225 (О В Пугачевым получены теоремы 4 5, 5 3, 6 1 и следствие 5 6, В И Богачевым получены лемма 3 4 и следствие 5 5, M Рекнером получены леммы 3 5, 4 1 и предложен ряд конструкций из §2)

[7] Pugachev О V On closability of classical Dirichlet forms J Funct Anal 2004 V 207, N 2 P 330-343

[8] Пугачев О В Соболевские емкости множества конфигураций с кратными точками в пространстве Пуассона Матем заметки 2004 Т 76, N6 С 874-882

[9] Пугачев О В Емкости и поверхностные меры в локально выпуклых пространствах Теория вероятн и примен 2008 Т 53, N 1 С 178-189

[10] Пугачев О В Квазиинвариантность пуассоновских распределений относительно преобразований конфигураций Докл РАН 2008 Т 420, N4 С 455-458

[11] Пугачев О В О сходимости Моско диффузионных форм Дирихле Теория вероятн и примен 2008 Т 53, N 2, С 277-292

Подписано к печати 04 08 09 Заказ № 458 Объем 1,75 печ л Тираж 100 экз Типография МГТУ им Н Э Баумана 105005, Москва, 2-я Бауманская ул , д 5 (499) 263-62-01

Общая характеристика работы

Краткое содержание диссертации

Глава 1. Формы Дирихле

1.1. Замыкаемость квадратичных форм

1.2. Продолжения соболевских функций

1.3. Решение проблемы Рёкнера

1.4. Сходимость Моско и ее приложения

1.5. Сходимость Моско диффузионных форм Дирихле

Глава 2. Соболевские емкости

2.1. Классы Соболева в локально выпуклых пространствах

2.2. Плотность соболевских емкостей в локально выпуклых пространствах

2.3. Пространство конфигураций

2.4. Мера Пуассона

2.5. Соболевские классы в пространстве Пуассона

2.6. Плотность соболевских емкостей в пространстве Пуассона

2.7. Свойства подпространства конфигураций без кратных точек

Глава 3. Преобразования мер

3.1. Локальные соболевские функции

3.2. Одномерный образ бесконечномерного распределения

3.3. Поверхностные меры в локально выпуклых пространствах

3.4. Поверхностные меры в пространстве конфигураций

3.5. Формула Остроградского-Гаусса в пространстве конфигураций

3.6. Квазиинвариантность меры Пуассона 175 Список литературы

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Прохоров Ю.В. Сходимость случайных процессов и предельные теоремы теории вероятностей. Теория вероятн. и ее примен., 1956, т. 1, в. 2, 177-238.

Choquet G. Theory of capacities. Ann. Inst. Fourier (Grenoble), 1955, v. 5, 131-295.

Фомин С.В. Дифференцируемые меры в линейных пространствах. Тезисы кратких научи, сооб-щ. Международного конгресса математиков: Секция 5, 78-79. Изд-во МГУ, М., 1966.

Malliavin P. Stochastic calculus of vaiiation and hypoelliptic operators. Proc. Intern. Symp. on Stoch. Diff. Eq. (Res. Inst. Math. Sci., Kyoto Univ., Kyoto, 1976), 195-263. Wiley, New York - Chichester -Brisbane, 1978.

Авербух В.И., Смолянов О.Г., Фомин C.B. Обобщенные функции и дифференциальные уравнения в линейных пространствах. Тр. Моск. мат. об-ва, 1971, т. 24, 133-174.

Скороход А.В. Интегрирование в гильбертовом пространстве. Наука, M., 1975. у

Далецкий Ю.Л., Фомин С.В. Меры и дифференциальные уравнения в бесконечномерных пространствах. Наука, М., 1983.

Богачев В.И., Смолянов О.Г. Аналитические свойства бесконечномерных распределений. Успехи мат. наук, 1990, т. 45, N 3, 3-83.

Uglanov A.V. Integration on infinite-dimensional surfaces and its applications. Kluwer Academic Publ., Dordrecht, 2000.

Вогачев В.И. Дифференцируемые меры и исчисление Маллявэна. РХД, Москва-Ижевск, 2008.

11Bell D. The Malliavin calculus. Wiley and Sons, N.-Y., 1987.

Malliavin P. Stochastic analysis. Springer-Verlag, Berlin, 1997.

Nualarfc D. The Malliavin calculus and related topics. 2nd ed. Springer-Verlag, Berlin, 2006. дифференцируемых мер и исчислением Маллявэна подробно исследованы в работах14'8'10 и книгах15'10. В данной диссертации существенно используются идеи и методы теории дифференцируемых мер и исчисления Маллявэна. Более того, часть основных результатов диссертации, относящихся к построению поверхностных мер для бесконечномерных вероятностных распределений, дает решения задач на стыке этих двух областей.

Первая общая конструкция поверхностной меры на бесконечномерном пространстве была предложена A.B. Скороходом6. A.B. Угланов существенно модифицировал эту конструкцию и построил общую теорию поверхностного интегрирования на бесконечномерных пространствах (см.16,9), а также получил важные приложения этой теории к решению бесконечномерных дифференциальных уравнений с частными производными. Однако метод A.B. "Угланова требует топологических ограничений на рассматриваемые поверхности (типа непрерывности некоторых производных). Для гауссовских мер эти ограничения удалось снять в работе17 с помощью исчисления Маллявэна. В.И. Вогачев18 предложил схему построения поверхностных мер для негауссовских гладких мер с использованием исчисления Маллявэна. Этот подход был развит автором, что позволило снять топологические ограничения и для общих дифференцируемых мер и построить поверхностные меры на множествах уровня соболевских функций. От этих функций не требуется даже непрерывность (таковы типичные функции, появляющиеся в теории случайных процессов и задаваемые с помощью стохастических интегралов). Построение и исследование поверхностных мер

Bogachev V.l. Differential properties of measures on infinite dimensional spaces and the Malliavin calculus. Acta Univ. Carolinae, Math, et Phys., 1989, v. 30, N 2, 9-30.

Богачев В.И. Гауссовские меры. Наука, M., 1997.

Угланов A.B. Поверхностные интегралы в банаховом пространстве. Мат. сб., 1979, т. 110, N 2, 189-217.

Airault H., Malliavin P. Intégration géométrique sur l'espaces de Wiener. Bull. Sei. Math. (2), 1988, V. 112, N 1, 3-52.

•^Bogachev V.l. Smooth measures, the Malliavin calculus and approximation in infinite dimensional spaces. Acta Univ. Carolinae, Math, ct Phys., 1990, v. 31, N 2, 9-23. в бесконечномерных пространствах, причем не только линейных, но и в пространствах конфигураций, входит в круг основных целей диссертации.

В описанной проблематике существенную роль играет изучение емкостей, порожденных классами Соболева относительно бесконечномерных вероятностных распределений. Их исследование важно и для многих других вопросов теории бесконечномерных вероятностных распределений и теории случайных процессов. В последние три десятилетия емкости, связанные с классами Соболева на бесконечномерных пространствах или с весовыми классами Соболева на конечномерных пространствах, исследуются весьма интенсивно19,20'10,12,15. В геометрической теории меры и стохастическом анализе часто возникает потребность в более тонкой характеристике малости множества, чем сама мера. Важным примером такой характеристики является емкость. Свойства соболевских емкостей на бесконечномерных пространствах рассматривались в ряде работ как для гауссовских, так и для некоторых негауссовских мер21'12,22,10, однако для общих дифференцируемых мер до сих пор имелись лишь отдельные результаты, а случай пространства конфигураций ранее вообще не исследовался.

Одной из наиболее принципиальных и просто формулируемых (но, как правило, трудных) проблем в связи с емкостями, порожденными классами Соболева по вероятностным мерам, является проблема их плотности, т.е. существования компактов со сколь угодно малыми емкостями дополнений. Эта проблема весьма актуальна и в стохастическом анализе, и в теории меры. В отличие от радоновских мер, общие емкости

-®Ма Z.M., Röckner M. An introduction to the theory of (non-symmetric) Dirichlet forms. Springer, Berlin, 1992.

Fukushima M., Oshima Y., Takeda M. Dirichlet forms and symmetric Markov processes. De Gruyter, Berlin - New York, 1994.

Fukushima M. Basic properties of Brownian motion and a capacity on the Wiener space, J. Math. Soc. Japan, 1984, v. 36, N 1, 161-176.

Kusuoka S. Dirichlet forms and diffusion processes on Banach spaces, J. Fac. Sei. Univ. Tokyo, Sec.lA, 1982, v. 29, N 1, 79-95. даже на очень простых пространствах (например, на прямой) отнюдь не всегда плотны, несмотря на то, что по известной теореме Шоке внутренне компактно регулярны. Это связано с неаддитивностью большинства емкостей. Во многих случаях плотность емкости ответственна за существование диффузии. Вопрос о плотности классических соболевских емкостей на Мп решен положительно, см., например23,24. В бесконечномерном случае появляется широкое разнообразие пространств, мер и определений соболевских классов. Данная проблема рассматривалась в работах25'15. Плотность емкостей С\$ важна при построении диффузионных процессов. Кроме того, плотность емкостей, порожденных классами является существенной деталью конструкции поверхностных мер на бесконечномерных пространствах и многообразиях, развитой в третьей главе диссертации. С вероятностной точки зрения, оценки емкости различных множеств важны для понимания поведения диффузионных процессов, например, возможности попадания в эти множества. Бесконечномерные пространства обладают заметной спецификой при изучении соболевских емкостей.

Один из важнейших объектов в этих исследованиях — формы Дирихле. Этот аналитический объект тесно связан с целым спектром вероятностных понятий и проблем, относящихся к сходимости случайных процессов. Замыкаемости и сходимости форм Дирихле и свойствам связанных с ними диффузионных процессов и классов Соболева посвящено множество исследований, из которых особенно важны

Гольдштейн В.М., Решетняк Ю.Г. Введение в теорию функций с обобщенными производными и квазиконформные отображения. Москва, „Наука", 1983.

24Мазья В.Г. Пространства С.Л.Соболева. Л: Изд-во ЛГУ, 1985.

Rockner М., Schmuland В. Tightness of general CilP capacities on Banach space, J. Funct. Anal., 1992, v. 108, N 1, 1-12. работы26'27'28'29,30'31. В частности, проблема замыкаемости квадратичных форм возникает в стохастическом анализе, в теории дифференциальных операторов и теории пространств Соболева32'19. Чтобы градиентная квадратичная форма Дирихле вида = J |v/|2^ могла быть ассоциирована с некоторым диффузионным процессом, необходима ее замыкаемость. В случае, когда вероятностная мера ß на M.d задана дифференцируемой (в соболевском смысле) плотностью д, существует диффузионный процесс удовлетворяющий стохастическому дифференциальному уравнению d£t = л/2 dwt + dt вШ i и имеющий стационарное распределение ¡i — gdx. Генератор L переходной полугруппы этой диффузии имеет вид Lf = Д/ + (-y,V/). Квадратичная форма этого оператора на области Cq°(W1) в L2(fi) есть форма Дирихле £(/). Оказывается, что форма Дирихле 8(f) может быть замыкаемой и для мер с недифференцируемыми плотностями. Таким способом строятся диффузии с сингулярными коэффициентами сноса. На многих пространствах типа фракталов такой способ построения является основным даже для наиболее простых диффузий, например, броуновского движения. Этому направлению принадлежит

Жиков В.В., Козлов С.М., Олейник O.A. Усреднение дифференциальных операторов. М.: Наука, 1993.

Жиков В.В. О весовых соболевских пространствах. Мат. сборник, 1998, т. 189, N 8, 27-58.

2^Mosco U. Composite media and Dirichlet forms, J. Punct. Anal., 1994, v. 123, 368-421. "^Кириллов А.И. Бесконечномерный анализ и квантовая теория как исчисления семимартингалов. Успехи мат. наук, 1994, т. 49, N 3, 43-92.

Kuwae К., Shioya Т. Convergence of spectral structures: a functional analytic theory and its applications to spectral geometry. Comm. Anal. Geom., 2003, v. 11, N 4, 599-673.

Kolesnikov A.V. Mosco convergence of Dirichlet forms in infinite dimensions with changing reference measures. J. Punct. Anal., 2006, v. 230, 382-418.

Albeverio S., Röckner M. Classical Dirichlet forms on topological vector spaces - the construction of the associated diffusion process, Probab. Theory Relat. Fields, 1989, v. 83, 405-434. один из основных результатов первой главы диссертации, который дает решение долго стоявшей проблемы существования такой замыкаемой градиентной формы Дирихле на плоскости, что частные формы не являются замыкаемыми.

Наконец, еще одно активно развивающееся современное направление в теории бесконечномерных вероятностных распределений, к которому относится ряд основных результатов данной диссертации, связано с изучением пространств конфигураций, т.е. пространств локально конечных наборов точек из данного фазового пространства, например, риманова многообразия. Пространства конфигураций возникают во многих теоретических и прикладных задачах. На них строятся меры, представляющие собой различные обобщения распределения Пуассона33. На пространствах конфигураций имеется естественная и очень интересная структура бесконечномерного многообразия. Этому направлению посвящено много исследований, см., например, работы34'35'36,37'38'39'40'41,42. В диссертации строятся соболевские классы любых порядков на пространстве конфигураций с мерой Пуассона; изучается проблема плотности порожденных ими емкостей. Кроме того,

Кингман Дж. Пуассоновские процессы. МЦНМО, М., 2007.

В ершик A.M., Гельфанд U.M., Граев М.И. Представления групп диффеоморфизмов, Успехи мат. наук, 1975, т. 30, N 6, 1-50.

Исмагнлов P.C. Унитарные представления группы диффеоморфизмов пространства Rn, п > 2, Мат. Сборник, 1975, т. 98, 55-71.

Смородина Н.В. Формула Остроградского-Гаусса для пространства конфигураций. Теория ве-роятн. и ее примен., 1990, т. 35, N 4, 725-736.

Давыдов Ю.А., Лифшиц М.А., Смородина Н.В. Локальные свойства распределений стохастических функционалов. Физматлит, М., 1995.

Privault N. Girsanov theorem for anticipative shifts on Poisson space. Probab. Theory Relat. Fields, 1996, v. 104, 61-76.

Albeverio S., Kondratiev Yu.G., Röckner M. Analysis and geometry on configuration spaces, J. Funct. Anal. 1998, v. 154, N 2, 444-500.

Tsilevich N., Vcrshik A., Yor M. An infinite-dimensional analogue of the Lebesgue measure and distinguished properties of the gamma process. J. Funct. Anal, 2001, v. 185, N 1. 274-296.

Albeverio S., Smorodina N.V. A distributional approach to multiple stochastic integrals and transformations of the Poisson measure. Acta Appl. Math., 2006, v. 94, 1-19.

Смородина Н.В. Кратные стохастические интегралы и „пепуассоповские" трансформации гамма-меры. Зап. научн. семин. ПОМИ РАН, 2005, т. 328, 191-220. оцениваются емкости различных порядков для множества конфигураций, имеющих кратные точки. Эти вопросы ранее не изучались.

Последняя группа результатов связана с преобразованиями мер на пространствах конфигураций. Квазиинвариантность гауссовских и некоторых других бесконечномерных распределений относительно нелинейных преобразований функциональных пространств изучалась многими авторами, начиная с классических работ Камерона и Мартина, Маруямы, Прохорова, Скорохода, Гирсанова. Обзор этих исследований и современное состояние вопроса можно найти в книгах15'43. В работах34,35 установлена квазиинвариантность меры Пуассона относительно преобразований конфигураций на многообразии М, порожденных диффеоморфизмами самого М. В работе38 получено обобщение теоремы Гирсанова на пуассоновские процессы, вероятностное пространство которых изоморфно пространству конфигураций на [0; +оо) с мерой Пуассона. В работах41'42 получены достаточные условия квазиинвариантности меры Пуассона при преобразованиях конфигураций на многообразии вида 5 х [0;+сю), сдвигающих точки вдоль второго сомножителя. В диссертации получены формулы преобразования мер на пространствах конфигураций на конечномерных многообразиях под действием отображений значительно более общего вида.

Цель работы. Исследование замыкаемости градиентных форм Дирихле и получение условий слабой сходимости конечномерных распределений сингулярных диффузионных процессов в терминах порожденных ими форм Дирихле. Доказательство плотности соболевских емкостей, связанных с бесконечномерными вероятностными распределениями, и построение поверхностных мер на множествах уровня соболевских функций относительно таких распределений. Исследование емкостей и поверхностных мер на пространствах конфигураций с пуассоновскими распределениями. Нахождение условий абсолютной непрерывности пуассонов-ских распределений относительно нелокальных преобразований.

Ustiinel A.S., Zakai М. Transformation of measure on Wiener space. Springer, Berlin, 2000.

Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми и заключаются в следующем:

1. Решена долго стоявшая проблема теории форм Дирихле: построена мера д на I2, для которой градиентная квадратичная форма замыкаема, но частные квадратичные формы не замыкаемы. При построении использован новый положительный результат, дающий достаточное условие замыкаемости форм Дирихле относительно сужений меры Лебега на множества.

2. Получены новые достаточные условия сходимости Моско конечномерных и бесконечномерных форм Дирихле. Это дает эффективно проверяемые условия слабой сходимости конечномерных распределений диффузионных процессов.

3. Доказана плотность емкостей, порожденных классами Соболева различных порядков в широком классе локально выпуклых пространств, а также в пространствах конфигураций.

4. Получены достаточные условия нулевой емкости множества конфигураций, имеющих кратные точки.

5. Результаты о соболевских емкостях применены для построения поверхностных мер на множествах уровня соболевских функций, порожденных бесконечномерными вероятностными распределениями, а также поверхностных мер на пространствах конфигураций.

6. Доказана квазиинвариантность мер Пуассона для широкого класса нелокальных преобразований пространств конфигураций.

Методы исследования. В работе применяются методы теории бесконечномерных вероятностных распределений, в частности, теория слабой сходимости мер, теория дифференцируемых мер, теория форм Дирихле, а также исчисление Маллявэна. Используются методы функционального анализа, в том числе, теория соболевских классов и емкостей. Кроме того, используется ряд оригинальных конструкций автора.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Ее методы и результаты могут быть использованы в теории случайных процессов, теории вероятностей, теории дифференциальных уравнений с частными производными на бесконечномерном пространстве, математической физике, геометрической теории меры. Результаты диссертации могут найти применение в исследованиях, проводимых в МГУ им. М.В. Ломоносова, МИ АН им. В.А. Стеклова, ПОМИ РАН им. В.А. Стеклова, С.-ПГУ, НГУ, ИМ СО РАН, МГТУ им. Н.Э. Баумана, ДВНЦ РАН.

Апробация диссертации. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на международном семинаре «Бесконечномерный стохастический анализ», посвященном 95-летию со дня рождения

A.Н. Колмогорова (МГУ, 1998), на научно-исследовательском семинаре «Бесконечномерный анализ и стохастика» под руководством профессора

B.И. Богачева в МГУ (1998-2009"гг.), на семинаре «Бесконечномерный стохастический анализ» в университете г. Билефельда (2001-2006 гг.), в Уорикском университете (2002 г.), в Бристольском университете (2002 г.), на Международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам (Суздаль, 2008 г.), на семинаре Отдела теории вероятностей и математической статистики Математического института РАН имени В.А. Стеклова (2008 г.), на семинаре «Теория дифференцируемых функций многих переменных и ее приложения» под руководством академика С.М. Никольского и члена-корреспопден-та РАН Л.Д. Кудрявцева в Математическом институте РАН имени В.А. Стеклова (2008 г.), на международной конференции, посвященной 100-летию со дня рождения С.Л.Соболева (Новосибирск, 2008 г.), во Владимирском Гуманитарном университете (2009 г.) и на международной конференции «Стохастический анализ и случайные динамические системы», посвященной 100-летию H.H. Боголюбова (Львов, 2009 г.).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 11 работах автора, список которых приведен в конце.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, включающих 18 разделов, и списка литературы из 135 наименований. Общий объем диссертации составляет 202 страницы.

1. Авербух В.И., Смолянов О.Г., Фомин C.B. Обобщенные функции и дифференциальные уравнения в линейных пространствах. Труды Моск. Мат. Об-ва. 1971. Т. 24. С. 133-174.

2. Венткус В.Ю., Паулаускас В.И. О скорости сходимости в центральной предельной теореме для гауссовских смесей в бесконечномерных пространствах. Литов. матем. сб. 1983. Т. 23, N 1. С. 17-29.

3. Биллингслп П. Сходимость вероятностных мер. Наука, Москва, 1977.

4. Богачев В.И. Гауссовские меры. Наука, Москва, 1997.

5. Богачев В.И. Основы теории меры, 2-е изд. НИЦ „Регулярная и хаотическая динамика", Т. 1, 2. Москва-Ижевск, 2006.

6. Богачев В.И. Дифференцируемые меры и исчисление Маллявэна. НИЦ „Регулярная и хаотическая динамика", Т. 1, 2. Москва-Ижевск, 2008.

7. Богачев В.И., Смолянов О.Г. Аналитические свойства бесконечномерных распределений. Успехи мат. наук. 1990. Т. 45, N 3 (273). С. 3-84.

8. Вахания H.H., Тариеладзе В.И., Чобаняп С.А. Вероятностные распределения в банаховых пространствах. Наука, Москва, 1984.

9. Вентцель А.Д. Курс теории случайных процессов, 2-е изд. Наука, Москва, 1996.

10. Вершик A.M., Гельфанд И.М., Граев М.И. Представления групп диффеоморфизмов. "Успехи мат. наук. 1975. Т. 30, N 6. С. 1-50.

11. Гирсанов И.В. О преобразовании одного класса случайных процессов с помощью абсолютно непрерывной замены меры. Теория вероятн. и ее примен. 1960. Т. 5, N 3. С. 314-330.

12. Гольдштейн В.М., Решетняк Ю.Г. Введение в теорию функций с обобщенными производными и квазиконформные отображения. Наука, Москва, 1983.

13. Гольдштейн В.М., Решетняк Ю.Г., Водопьянов С.К. Геометрические свойства функций с обобщенными первыми производными. Успехи мат. наук. 1979. Т. 34, N 1. С. 17-65.

14. Давыдов Ю.А., Лифшиц М.А., Смородина Н.В. Локальные свойства распределений стохастических функционалов. Москва, Физматлит, 1995.

15. Далецкий Ю.Л., Фомин C.B. Меры и дифференциальные уравнения в бесконечномерных пространствах. Наука, Москва, 1983.

16. Дистель Дж. Геометрия банаховых пространств. Киев, Вища школа, 1990.

17. Ефимова Е.И., Угланов A.B. Формула Грина на гильбертовом пространстве. Матем. сб. 1982. Т. 119, N 2. С. 225-232.

18. Ефимова Е.И., Угланов A.B. Формулы векторного анализа на банаховом пространстве. Докл. АН СССР. 1983. Т. 271, N 6. С. 1302-1306.

19. Жиков В.В. Усреднение функционалов вариационного исчисления в теории упругости. Изв. АН СССР. Сер. матем. 1986. Т. 50, N 4. С. 675711.

20. Жиков В.В. Асимптотические задачи, связанные с уравнением теплопроводности в перфорированных областях. Матем. сб. 1990. Т. 181, N 10. С. 1283-1305.

21. Жиков В.В. О переходе к пределу в нелинейных вариационных задачах. Матем. сб. 1992. Т. 138, N 8. С. 47-84.

22. Жиков В.В. Связность и усреднение. Примеры фрактальной проводимости. Матем. сб. 1996. Т. 187, N 8. С. 3-40.

23. Жиков В.В. О весовых соболевских пространствах. Матем. сб. 1998. Т. 189, N 8. С. 27-58.

24. Жиков В.В. К проблеме предельного перехода в дивергентных неравномерно эллиптических уравнениях. Функц. анализ и его прил. 2001. Т. 35, вып. 1. С. 23-29.

25. Жиков В.В. К технике предельного перехода в нелинейных эллиптических уравнениях. Докл. РАН. 2008. Т. 420, N 3. С. 300-305.

26. Жиков В.В., Козлов С.М., Олейник O.A. Усреднение дифференциальных операторов. Наука, Москва, 1993.

27. Исмагилов P.C. Унитарные представления группы диффеоморфизмов пространства Ш1, п > 2. Матем. сб. 1975. Т. 98. С. 55-71.

28. Исмагилов P.C. Об унитарных представлениях группы диффеоморфизмов пространства-Жп. Функц. анализ и прил. 1975. Т. 9; N 2. С. 71-72.

29. Кингман Дж. Пуассоновские процессы. МЦНМО, Москва, 2007.

30. Кириллов А.И. Бесконечномерный анализ и квантовая теория как исчисления семимартингалов. Успехи мат. наук: 1994. Т. 49, N 3. С. 4392.

31. Мазья В.Г. Пространства С.Л.Соболева. Изд-во ЛГУ, Ленинград, 1985.

32. Неретин Ю.А. Диффузия дробного порядка и квазиинвариантное действие бесконечномерных групп. Труды Матем. института им. В.А. Стеклова. 1997. Т. 217.

33. Неретин Ю.А. О соответствии между пространством бозонов Фока и пространством L2 по мере Пуассона. Матем. сб. 1997. Т. 188, N 11. С. 19-50.

34. Неретин Ю.А. Категории симметрий и бесконечномерные группы. Едпюр1ал УРСС, Москва, 1998.

35. Паулаускас В.И., Рачкаускас А.Ю. Точность аппроксимации в центральной предельной теореме в банаховых пространствах. Мокслас, Вильнюс, 1987.

36. Прохоров Ю.В. Сходимость случайных процессов и предельные теоремы теории вероятностей. Теория вероятн. и примен. 1956ю Т. 1, N 2. С. 177-238.

37. Скороход A.B. Нелинейные преобразования вероятностных мер в функциональных пространствах. Докл. АН СССР. 1966. Т. 168, N 6. С. 1269-1271.

38. Скороход A.B. Интегрирование в гильбертовом пространстве. Наука, Москва, 1975.

39. Смородина Н.В. Дифференциальное исчисление в пространстве конфигураций и устойчивые меры. I. Теория вероятн. и примен. 1988. Т. 33. С. 522-534.

40. Смородина Н.В. Формула Остроградского-Гаусса для пространства конфигураций. Теория вероятн. и примен. 1990. Т. 35, N 4. С. 725-736.

41. Стейн И. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций. Мир, Москва, 1973.42.,Угланов A.B. Поверхностные меры в банаховом пространстве. Матем. сб. 1979. Т. 110, N 2. С. 189-217.

42. Угланов A.B. Поверхностные интегралы и дифференциальные уравнения в бесконечномерном пространстве. Докл. АН СССР. 1979. Т. 247, N 6. С. 1331-1335.

43. Угланов A.B. Формула Ньютона-Лейбница на банаховых пространствах и приближение функций бесконечномерного аргумента. Известия АН СССР, матем. 1987. Т. 51, N 1. С. 152-170.

44. Угланов A.B. О гладкости распределений функционалов от случайных процессов. Теория вероятн. и примен. 1988. Т. 33, N 3. С. 535-544.

45. Угланов A.B. Поверхностные интегралы в линейных топологических пространствах. Докл. РАН. 1995. Т. 344, N 4. С. 450-453.

46. Угланов A.B. Поверхностные интегралы в пространствах Фреше. Матем. сб. 1998. Т. 189, N 11. С. 139-157.

47. Ульянов В.В. К уточнению оценок скорости сходимости в центральной предельной теореме. Теория вероятн. и примен. 1978. Т. 33, N 3. С. 684-687.

48. Ульянов В.В. Оценка скорости сходимости в центральной предельной теореме в сепарабельном вещественном гильбертовом пространстве. Матем. заметки. 1981. Т. 29, N 1. С. 145-153.

49. Федерер Г. Геометрическая теория меры. Наука, Москва, 1987.

50. Фомин C.B. Дифференцируемые меры в линейных пространствах. Тезисы кратких научн. сообщ. Международного конгресса математиков: Секция 5. С. 78-79. Изд-во МГУ, Москва, 1966.

51. Фомин C.B. Обобщенные функции бесконечного числа переменных и их преобразования Фурье. Успехи матем. наук. 1968. Т. 23, N 2. С. 215216.

52. Фролов H.H. Теоремы вложения для пространств функций счетного числа переменных. Труды Института математики Воронежского ун-та. 1970. Т. 1. С. 205-218.

53. Фролов H.H. Теоремы вложения для пространств функций счетного числа переменных и Pix приложения к задаче Дирихле. Докл. АН СССР.1972. Т. 203, N 1. С. 39-42.

54. Фролов H.H. О неравенстве коэрцитивности для эллиптического оператора с бесконечным числом независимых переменных. Матем. сб.1973. Т. 90, N 3. С. 402-413.

55. Цирельсон B.C. Естественная модификация случайных процессов и ее применения к рядам из независимых функций и к гауссовским мерам. Зап. науч. сем. Лен. отд. Мат. ин-та. 1977. Т. 55. С. 35-63.

56. Яхлаков В.Ю. Поверхностные меры на поверхностях конечной коразмерности в банаховом пространстве. Мат. заметки. 1990. Т. 47, N 4. С. 147-156.

57. Airault H. Differential calculus on finite codimensional submanifolds of the Wiener space. J. Funct. Anal. 1991. V. 100. P. 291-316.

58. Airault H., Malliavin P. Intégration géométrique sur l'espace de Wiener. Bull. Sci. Math., 2e serie. 1988. V. 112. P. 3-52.

59. Albeverio S., Daletskii A., Lytvynov E. Laplace operators on differential forms over configuration spaces. J. Geom. Phys. 2001. V. 37. P. 15-46.

60. Albeverio S., Kondratiev Yu.G., Rôckner M. Analysis and geometry on configuration spaces. J. Funct. Anal. 1998. V. 154, N 2. P. 444-500.

61. Albeverio S., Kondratiev Yu.G., Rôckner M. Analysis and geometry on configuration spaces: the Gibbsian case. J. Funct. Anal. 1998. V. 157, N 1. P. 242-291.

62. Albeverio S., Kusuoka S., Rôckner M. On partial integration in infinite-dimensional space and application to Dirichlet forms. J. London Math. Soc. 1990. V. 42. P. 122-136.

63. Albeverio S., Rôckner M. Classical Dirichlet forms on topological vector spaces The construction of the associated diffusion process. Probab. Theory and Relat. Fields. 1989. V. 83. P. 405-434.

64. Albeverio S., Rôckner M. Classical Dirichlet forms on topological vector spaces. Closability and a Cameron-Martin formula. J. Funct. Anal. 1990. V. 88. P. 395-436.

65. Albeverio S., Rôckner M. Stochastic differential equations in infinite dimensions: Solutions via Dirichlet forms. Probab. Th. Rel. Fields. 1991. V. 89. P. 347-386.

66. Albeverio S., Smorodina N.V. A distributional approach to multiple stochastic integrals and transformations of the Poisson measure. Acta Appl. Math. 2006. V. 94. P. 1-19.

67. Aubin T. Some nonlinear problems in Riemannian geometry. Springer, Berlin. 1998.

68. Bell D. The Malliavin calculus. Wiley and Sons, N.-Y. 1987.

69. Bichteler K., Gravereaux J.B., Jacod J. Malliavin calculus for processes with jumps. Gordon and Breach science Publishers. 1987.

70. Bogachev V.I. Differential properties of measures on infinite dimensional spaces-and-the Malliavin calculus. Acta Univ. Carolinae, Math, et Phys.1989. V. 30, N 2: P. 9-30.

71. Bogachev V.I. Smooth measures, the Malliavin calculus and approximations in infinite dimensional space. Acta Univ. Carolinae, Math, et Phys.1990. V. 31, N 2. P. 9-23.

72. Bogachev V.I. Infinite dimensional integration by parts and related problems. Bonn Univ, SFB 256. 1992. Preprint N 235.

73. Bogachev V.I. Differentiate measures and the Malliavin calculus. J. Math. Sci. 1997. V. 87, N 5. P. 3577-3731.

74. Bogachev V.I., Rôckner M. Les capacités gaussiennes sont portées par des compacts metrisables. C. R. Acad. Sci., Serie 1. 1992. V. 315. P. 197-202.

75. Bogachev V.I., Rôckner M. Mehler formula and capacities for infinite dimensional Ornstein-Uhlenbeck processes with general linear drift. Osaka J. Math. 1995. V. 32, N 2. P. 237-274.

76. Camar-Eddine M., Seppecher P. Closure of the set of diffusion functionals with respect to the Mosco-convergence. Math. Models Methods Appl. Sci. 2002.'V. 12, N 8. P. 1153-1176.

77. Cameron R.H., Martin W.T. Transformation of Wiener integral under translation. Ann. Math. 1944. V. 45. P. 386-396.

78. Cattiaux P., Fradon M. Entropy, reversible diffusion processes and Markov uniqueness. J. Func. Anal. 1996. V. 138. P. 243-272.

79. Choquet G. Theory of capacities. Ann. Inst. Fourier (Grenoble). 1955. V. 5. P. 131-295.

80. Eberle A. Uniqueness and non-uniqueness of semigroups generated by singular diffusion operators. Springer, Lecture Notes in Math. 1999. V. 1718.

81. Feyel D., de La Pradelle A. Espaces de Sobolev gaussiens. Ann. Inst. Fourier. 1989. V. 39, N 4. P. 875-908.

82. Feyel D., de La Pradelle A. Capacités gaussiens. Ann. Inst. Fourier. 1991. V. 41, N 1. P. 49-76.

83. Fukushima M. Basic properties of Brownian motion and a capacity on the Wiener space. J. Math. Soc. Japan. 1984. V. 36, N 1. P. 161-176.

84. Fukushima M. A note on capacities in infinite dimensions. Lect. Notes Math. 1988. V. 1299. P. 80-85.

85. Fukushima M., Kaneko K. On (r:p)-capacities for general Markovian semigroups. Infinite dimensional anal, and stochast. processes (Bielefeld, 1983). P. 41-47. Boston. 1985.

86. Fukushima M., Oshima Y., Takeda M. Dirichlet forms and symmetric Markov processes. De Gruyter, Berlin New York. 1994.

87. Gaffney M.P. A special Stokes's theorem for complete Riemannian manifolds. Ann. of Math. 1954. V. 60, N 2. P. 140-145.

88. Hamza M. Détermination des formes de Dirichlet sur Mn. Thèse 3e cycle, Orsay. 1975.

89. Kolesnikov A.V. Convergence of Dirichlet forms with changing speed measures on №d. Forum. Math. 2005. V. 17. P. 225-259.

90. Kolesnikov A.V. Mosco convergence of Dirichlet forms in infinite dimensions with changing reference measures. J. Funct. Anal. 2006. V. 230. P. 382418.

91. Krée M. Propriété de trace en dimension infinie, d'espaces du type Sobolev. Bull. Soc. Matli. France. 1977. V. 105. P. 141-163.

92. Krée P. Calcul d'integrales et de dérivées en dimension infinie. J. Funct. Anal. 1979. V. 31. p. 150-186.

93. Kusuoka S. Dirichlet forms and diffusion processes on Banach spaces. J. Fac. Sci. Univ. Tokyo, Sec.lA. 1982. V. 29, N 1. P. 79-95.

94. Kuwae K., Shioya T. Convergence of spectral structures: a functional analytic theory and its applications to spectral geometry. Comm. Anal. Geom. 2003. V. 11, N 4. P. 599-673.

95. Kuwae K., Shioya T. Variational convergence over metric spaces. Trans. Amer. Math. Soc. 2008. V. 360, N 1. P. 35-75.

96. Lascar B. Propriétés locales d'espaces de type Sobolev en dimension infinie. Comm. Partial Diff. Eq. 1976. V. 1, N 6. P. 561-584.

97. Lescot P. Une théoréme de désintégration en analyse quasi-sure. Sém. Probab. XXVII, Springer, Lecture Notes Math. 1993. V. 1557. P. 256-275.

98. Lyons T.J., Zhang T.S. Decompositions of Dirichlet processes and its applications. Ann. Probab. 1994. V. 22, N 1. P. 494-524.

99. Ma Z.M., Rôckner M. An introduction to the theory of (non-symmetric) Dirichlet forms. Springer, Berlin Heidelberg. 1992.

100. Ma Z.M., Rôckner M. Construction of diffusions on configuration spaces. Osaka J. Math. 2000. V. 37. P. 273-314.

101. Malliavin P., Malliavin M.P. Integration on loop groups. J. Funct. Anal. 1990. V. 93. P. 207-237.

102. Malliavin P. Stochastic Analysis. Springer, Berlin. 1998.

103. Mosco U. Composite media and Dirichlet forms. J. Funct. Anal. 1994. V. 123. P. 368-421.

104. Norin N.V. The extended stochastic integral in linear spaces with dif-ferentiable measures and related topics. World Sci. Publ., River Edge, New Jersey. 1996.

105. Nualart D. The Malliavin calculus and related topics. 2nd ed. SpringerVerlag, Berlin. 2006.

106. Pitcher T.S. Likelihood ratios for diffusion processes with shifted mean value. Trans. Amer. Math. Soc. 1961. V. 101, N 1. P. 168-176.

107. Privault N. Girsanov theorem for anticipative shifts on Poisson space. Probab. Theory Relat. Fields. 1996. V. 104. P. 61-76.

108. Rôckner M. Stochastic analysis on configuration spaces: basic ideas and recent results. In: New directions in Dirichlet forms, Studies in advanced mathematics, Amer. Math. Soc. 1998. V. 8.

109. Rôckner M., Schied A. Rademacher's theorem on configuration spaces and applications. J. Funct. Anal. 1999. V. 169, N 2. P. 325-356.

110. Rôckner M., Schmuland B. Tightness of general capacities on Ba-nach space. J. Func. Anal. 1992. V. 108, N 1. P. 1-12.

111. Rôckner M., Schmuland B. A support property for infinite-dimensional interacting diffusion processes. C. R. Acad. Sci. Paris, Série I. 1998: V. 326. P. 359-364.

112. Rôckner M., Zhang T. S. Uniqueness of generalized Schrôdinger operators and applications. J. Func. Anal. 1992. V. 105. P. 187-231.

113. Rôckner M., Zhang T. S. Uniqueness of generalized Schrôdinger operators and applications II. J. Func. Anal. 1994. V. 119. P. 455-467.

114. Smorodina N.V. Multiple stochastic integrals and „nonpoissonian" transformations of the gamma measure. Jour. Math. Sci. 2006. V. 139, N 3.

115. Smorodina N.V. The invariant and quasi-invariant transformations of the stable Lévy processes. Acta Appl. Math. 2007. V. 97. p. 239-250.

116. Strichartz R.S. Analysis of the Laplacian on the complete Riemannian manifold. J. Funct. Anal. 1983. V. 52. p. 48-79:

117. Takeda M. (r,p)-capacity on the Wiener space and properties of Brow-nian motion. Z. Wahrsch. Verw. Gebiete. 1984. V. 68-. P: 149-162.

118. Tsilevich N., .Vershik A., Yor M. An infinite-dimensional analogue of the Lebesgue measure and distinguished properties of the gamma process. J. Funct. Anal. 2001. V. 185, N 1. P. 274-296.

119. Uglanov A.V. Integration on infinite-dimensional surfaces and its applications. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht. 2000.

120. Ustiinel A.S., Zakai M. Transformation of measure on Wiener space. Springer, Berlin. 2000.

121. Wu L.M. Inégalité de Sobolev sur l'espace de Poisson. Sém. Probab. XXI, Springer, Lecture Notes Math. 1987. V. 1247. p. 114-137.Публикации автора по теме диссертации

122. Пугачев О.В. Формула Остроградского-Гаусса в бесконечномерном пространстве. Матем. сб. 1998. Т. 189, N 5. С. 115-128.

123. Pugachev O.V. Tightness of Sobolev capacities in infinite dimensional spaces. Inf. Dimen. Anal., Quantum Probab. and Relat. Top. 1999. V. 2, N 3. P. 427-440.

124. Пугачев O.B. О замыкаемостн классических форм Дирихле па плоскости. Докл. РАН. 2001. Т. 380, N 3. С. 315-318.

125. Пугачев О.В. Пространство простых конфигураций является польским. Матем. заметки. 2002. Т. 71, N 4. С. 581-589.

126. Pugachev O.V. On closability of classical Dirichlet forms. J. Funct. Anal. 2004. V. 207, N 2. P. 330-343.

127. Пугачев O.B. Соболевские емкости множества конфигураций с кратными точками в пространстве Пуассона. Матем. заметки. 2004. Т. 76, N 6. С. 874-882.

128. Пугачев О.В. Емкости и поверхностные меры в локально выпуклых пространствах. Теория вероятн. и примен. 2008. Т. 53, N 1. С. 178-189.